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PABLO

EFFENBERGER

MATEMÁTICA1.° SECUNDARIA CABA

#EducandoGeneracionesCC 61075384ISBN 978-950-13-2593-5

II

Derechos reservados Kapelusz Editora S.A. Prohibida su copia, reproducción y distribución.

Capítulo3

• Ejes cartesianos.

• Tablas y gráficas.

• Análisis de gráficas.

• Funciones definidas por fórmula.

• Función lineal y cuadrática.

• Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones.

Funciones


Teoría

Ejes cartesianos

Escribir las coordenadas de los puntos marcados en el plano.

Observar los puntos del ejercicio anterior y colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

a) La abscisa del punto m es negativa.

b) La ordenada del punto g es positiva.

c) El punto b tiene las componentes iguales.

d) La abscisa del punto i es el doble de su ordenada.

e) La ordenada del punto j es el triple de su abscisa.

a ;

b ;

c ;

d ;

e ;

f ;

g ;

h ;

i ;

j ;

k ;

l ;

m ;

n ;

1

2

Los ejes cartesianos son dos rectas perpendiculares que dividen el plano en cuatro cuadrantes.Cada punto del plano está determinado por un par ordenado x ; y . El punto donde se cortan los ejes se denomina origen de coordenadas y corresponde al punto 0 ; 0

A la recta horizontal, se la denomina eje x o de las abscisas.A la recta vertical, se la denomina eje y o de las ordenadas.Los puntos que están sobre los ejes no pertenecen a ningún cuadrante.

Punto x y

a 5 3 5 ; 3 cuadrante I

b 4 0 4 ; 0 eje x

c 2 5 2 ; 5 cuadrante II

d 0 6 0 ; 6 eje y

e 1 3 1 ; 3 cuadrante III

f 6 0 6 ; 0 eje x

g 3 5 3 ; 5 cuadrante IV

h 0 1 0 ; 1 eje y

1

1 x

y

m

n

l

k

a

b

c

d

e

g

i

j

f

h

x3

5

6

3

54

y

1

3

1

5

26

d

a

c

e

g

b

d

f

h

III

III IV

48


Marcar en el gráfico los siguientes puntos.

Marcar en el plano los siguientes puntos.

a 2 ; 5 , b 7 ; 4 , c 3 ; 2 y d 3 ; 4

Trazar las siguientes rectas.

M: une los puntos a y b.

R: une los puntos c y d.

Observar el gráfico y escribir.

a) El punto donde se cortan las rectas M y R.

b) Tres puntos de la recta M distintos de a y b.

c) Tres puntos de la recta R distintos de c y d.

Escribir las coordenadas de todos los puntos verdes que cumplen con cada condición.

5

3

4

6 Indicar según las condiciones a qué cuadrante o eje pertenece el punto a ; b .

a) a 0 b 0< ∧ =

b) a 0 b 0< ∧ <

c) a 0 b 0= ∧ >

d) a 0 b 0> ∧ >

e) a 0 b 0> ∧ <

f) a 0 b 0< ∧ >

Desafío

a) Sus coordenadas son iguales u opuestas.

b) La abscisa es el doble que la ordenada.

c) La ordenada es menor que la abscisa.

d) No pertenecen a ningún cuadrante.

e) La suma de sus coordenadas es negativa.

a) p: sobre el eje y con ordenada opuesta a la del punto o.

b) s: sobre el eje x con abscisa opuesta a la del punto r.

c) t: coordenadas iguales a la suma de las coordenadas de

los puntos o y r.

d) m: coordenadas opuestas a las del punto t.

e) h: coordenadas iguales al triple de las coordenadas del

punto m.

x

y

x

y

1

1

5

3

x

y

2

4

o

r

49


Teoría

Interpretación de gráficas

Observar la gráfica y colocar A (aumenta), C (constante) o D (disminuye).

Observar la gráfica y completar los pares ordenados.

Escribir todos los puntos que cumplan con cada condición.

g) Tengan ordenada igual a 3:

h) Tengan las componentes iguales:

Observar la gráfica y responder.

i) ¿Entre qué valores varía la abscisa?

j) ¿Entre cuáles la ordenada?

k) ¿Entre qué valores de x la gráfica es negativa?

l) ¿Entre cuáles es positiva?

m) ¿Y entre cuáles es constante?

a) 6 ;

b) ; 4

c) 3 ;

d) ; 8

e) 0 ;

f) ; 0

a) − < < −3 x 2

b) 0 x 1

c) 4 x 5

d) − < < −6 x 5

e) 1 x 2

f) 8 x 7− < < −

g) 2 x 1− < < −

h) 3 x 4

7

8

Una gráfica representa la relación que existe entre dos variables mediante puntos en un plano. Para realizar el análisis de una gráfica, se debe tener en cuenta qué ocurre con los valores de la ordenada a medida que varían los valores de la abscisa.

Al aumentar el valor de x, puede ocurrir que el valor de y• aumente, entonces, la gráfica aumenta.

• disminuya, entonces, la gráfica disminuye.

• se mantenga igual, entonces, la gráfica es constante.

x

y

x

y

1

1

x

y

7

8

5

6

50


La gráfica muestra las temperaturas máximas y mínimas de una ciudad durante los primeros 15 días de julio.

Observar el gráfico y responder.

a) ¿Entre qué valores se registraron las

temperaturas máximas?

b) ¿Y entre cuáles las temperaturas mínimas?

c) ¿En qué días las temperaturas máximas

fueron menores que 0°C?

d) ¿En qué períodos las temperaturas

máximas aumentaron?

e) ¿En cuáles diminuyeron?

f) ¿Entre qué días las temperaturas máximas

tuvieron un menor aumento?

g) ¿En qué período las temperaturas mínimas

fueron menores a 5°C?

h) ¿Cuál fue la amplitud térmica del 7 de julio?

Completar con los valores que correspondan.

9

10

11 En las gráficas, se relacionan diferentes variables.

Describir una situación para cada una de las gráficas.

a) b) c)

Desafío

a) 5 x 3 y

b) 0 x 2 y

c) x 0 y 3

d) x 3 y 6

e) 2 x 1 y

f) x 8 5 y

g) 6 x 2 y

temperaturaen °C

días de julio

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

x

y

x

y

x

y

x

y

7 5 2

1

3

5

6

3

2 8

51


Teoría

Funciones definidas por fórmulas

Despejar y en cada función y completar la tabla.

Hallar la función, completar la tabla y graficar.

a) x y 7 y

x y

18

9

1

13

20

b) 2x y 5 y

x y

11

7

0

15

37

c) x : 2 y 10 y

x y

10

2

8

20

36

d) y x2 15 y

x y

5

3

2

4

6

a) La diferencia entre dos números es tres.

y

x y

3

1

0

2

4

b) El triple de un número es cinco unidades

mayor que otro.

y

x y

2

0

1

3

5

12

13

Cuando las funciones están definidas mediante una fórmula matemática, se pueden calcular los valores de las variables y, para ello, se debe despejar el valor de y.

x y 2 y 2 x

En la gráfica, se obtienen todas las soluciones de la ecuación. Cualquier punto del gráfico cumple con la condición que x y 2.

x y

5 2 5 7

3 2 3 5

0 2 0 2

4 2 4 2

7 2 7 5

x

y

4 7

7

5

2

5

2

5 3

x

y

x

y

52


a) Escribir la fórmula del perímetro y del rectángulo.

Calcular.

b) El perímetro, si la base mide 23 cm. c) La superficie, si el perímetro es de 40 cm.

A un tanque que tiene 380 litros de agua, se le agrega más agua con una manguera que arroja 160

litros por hora. La capacidad del tanque es de 3 100 litros.

a) Hallar la fórmula para conocer la cantidad y de litros de agua que hay en el tanque después de x horas.

b) Completar la tabla.

c) Calcular cuánto tarda en llenarse.

d) Marcar con una X el gráfico que corresponde a la situación.

e) Explicar qué representan los gráficos que no corresponden a la situación.

14

15

16 Una pelota se arroja hacia arriba. La altura h (metros) que alcanza después de t (segundos) está

expresada por la fórmula: h t2 10t.

Calcular la altura máxima a la que llega la pelota y cuánto tarda en llegar a esa altura.

Desafío

Tiempo en que ingresa agua 3 h 7 h 12 h

Cantidad de agua en el tanque 1 180 l 1 820 l 2 780 l

4x 1 cm

2x

3 c

m

I II III IV

53


Repaso

Marcar en el plano los puntos que se indican.

i: abscisa igual a la del punto d y ordenada igual a la del punto f.

j: abscisa opuesta a la del punto a y ordenada igual a la del punto h.

k: abscisa igual a la mitad de la del punto e y ordenada opuesta a la del punto c.

l: sobre el eje x y abscisa igual a la del punto g.

m: abscisa igual a la tercera parte de la del punto b y ordenada igual a la abscisa.

n: coordenadas opuestas a las del punto a.

o: ordenada siete unidades menor que la del punto b y abscisa igual al origen de coordenadas.

p: abscisa opuesta a la del punto h y ordenada igual a la novena parte de la abscisa.

q: coordenadas iguales a la suma de las coordenadas de los puntos e y g.

a) Positiva:

b) Creciente:

c) Constante:

d) Negativa:

e) Decreciente:

a) Cuadrado mpbt.

t ;

b) Rectángulo smpa.

a ;

c) Paralelogramo rsmg.

g ;

d) Romboide omrq.

q ;

Nombrar y marcar el punto que falta para formar la figura pedida.

Escribir entre qué valores de x se cumple cada condición.

17

18

19

1

1 x

y

a

b

c

d

e

g

f

h

9 x

y

8

1

1 x

yo

p

r

s m

b

54


Germán compró una tarjeta de $ 60 para conectarse a Internet y por cada hora que navega le

descuentan $ 4.

a) Hallar la fórmula que permite calcular el saldo y de la tarjeta después de navegar x horas.

b) Completar la tabla y graficar.

Responder.

c) ¿Qué representa el punto 0 ; 60 ?

d) ¿Y el punto 15 ; 0 ?

Hallar la función, completar la tabla y graficar.

20

21

22

Marcar con una X los puntos que pertenecen a cada función.

a) y 2x 1 0 ; 1 3 ; 7 1 ; 0 1 ; 3 4 ; 9 2 ; 3

b) y x : 3 3 ; 1 6 ; 2 0 ; 0 3 ; 0 18 ; 6 12 ; 4

c) y x : 2 5 0 ; 3 2 ; 6 5 ; 0 8 ; 1 10 ; 0 4 ; 3

d) y x 7 : 4 7 ; 1 3 ; 1 1 ; 2 11 ; 1 5 ; 3 13 ; 5

e) y x2 1 1 ; 0 2 ; 3 3 ; 10 0 ; 1 2 ; 3 4 ; 13

x y

2

36

5

24

7

16

13

a) El siguiente del triple de un número.

y

x y

2

1

0

1

2

b) La mitad del anterior de un número.

y

x y

5

1

1

3

5

$60

horas1

x

y

x

y

55


Teoría

Función lineal

Hallar la raíz y la ordenada al origen, marcar esos puntos y trazar cada recta.

Marcar con una X la fórmula de cada recta.

a) y x 3 b) y 2x 2 c) y x : 2 1 d) y 3 x 1

y x 6

y 2x 6

y 3x 6

y x 9

y 2x 3

y x 5

y x 9

y 3x 13

y 2x 9

y x 2

y 5x 10

y 5x 10

a) b) c) d)

23

24

Las funciones cuya gráfica es una recta se denominan funciones lineales.

La fórmula de las funciones lineales es y ax b

• El valor de x para el cual y 0 es una raíz. La raíz es el punto donde la recta corta al eje x. x 2 es la raíz de la recta y 2x 4

• El valor de y que corresponde a x 0 es la ordenada al origen. La ordenada al origen es el punto donde la recta corta al eje y. y 4 es la ordenada al origen de la recta y 2x 4

y 2x 4

y ax b

x y

4 2 . 4 4 4

3 2 . 3 4 2

2 2 . 2 4 0

0 2 . 0 4 4

1 2 . 1 4 6x

y

6

ordenada al origen

raíz

4

1

34

2

4

2

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

6

3

x

y

5

7

2

x

y

5

2 3

x

y

4 2

7

1

56


Teoría

Función cuadrática

Las funciones en cuya fórmula aparece x2 son funciones cuadráticas y su gráfica se denomina parábola.

26 Escribir las ecuaciones de las siguientes rectas.

Desafío

Completar las tablas y graficar con distintos colores las siguientes parábolas.25

a) b)

a) y x2 3

x y

3

2

1

0

1

2

3

b) y x2 5

x y

3

2

1

0

1

2

3

c) y x2 7

x y

3

2

1

0

1

2

3

d) y 2x2 5

x y

3

2

1

0

1

2

3

x y x2 y x2 2 y x2 1

3 3 2 9 11 8

2 2 2 4 6 3

1 1 2 1 3 0

0 02 0 2 1

1 12 1 3 0

2 22 4 6 3

3 32 9 11 8x

y

1

2

3

4

6

8

9

11

0 1 2 31

2 13

x

y

x

y

6

2

x

y

5

1

1 3

57


Teoría

Resolución gráfica de un sistema

Resolver gráficamente los siguientes sistemas.

a) x y 2

y x 8

+ =− =

b) x y 7

2x y 5

− =+ =

27

Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones, se deben representar cada una de las rectas, y el punto donde se cortan es la solución del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.

a) x y 1 y 1 xx y 5 y x 5

1

2

+ = = −− = = −

b) x y 3 y x 3y x 4 y x 4

1

2

− = = −− = = +

x 3

y 2S 3 ; 2{ }( )

== −

= −S

x y1

4 5

1 2

5 4

x y1

1 4

1 2

5 2

x y2

2 7

0 5

5 0

x y2

3 1

0 4

2 6

x

y5

53

2

2

142

45

7

x

y6

4

21

12 5

2

31

4

x

y

x

y

58


a) Graficar todas las rectas con diferentes colores.

y1 x 7

y2 2x 3

y3 x 2

y4 3x 4

y5 2x 1

b) Observar el gráfico y escribir todos los

sistemas que no tengan solución.

a) Si la suma de dos números es cuatro, y el

doble de uno de ellos es cinco unidades

mayor que el otro, ¿cuáles son los números?

b) Máximo es tres años mayor que su hermana y

dentro de dos años tendrá el doble de su edad

actual. ¿Qué edad tiene cada uno?

Plantear el sistema y resolver gráficamente.

28

29

30 En un sistema de ecuaciones cuya solución es 3; 2 ,

una de las rectas tiene la ordenada al origen igual a 2,

y la otra tiene la raíz igual a 1.

Graficar el sistema.

Desafío

x

y

x

y

x

y

x

y

59


Repaso

Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.

a) La raíz de la recta y 5x 10 es 2.

b) La ordenada al origen de la recta y 3 x 1 es 3.

c) La recta y 3x 2 pasa por el origen de coordenadas.

d) La recta y 5 no corta al eje x.

e) La raíz de la recta y 4x 11 es negativa.

f) La raíz y la ordenada al origen de la recta y 6x son iguales.

Completar la tabla de cada recta y graficarlas.

c) Hallar la raíz y la ordenada al origen

de cada recta.

La ganancia y en pesos de un diario que vende una cantidad x de ejemplares por día está dada por la

recta y 6x 810.

Calcular y responder.

a) ¿Qué ocurre si se venden 120 ejemplares?

b) ¿Y si se venden 185?

c) ¿Cuántos ejemplares como mínimo se deben vender para obtener ganancia?

d) ¿Y cuántos se venden si se obtiene una ganancia de $ 1 500?

e) ¿Cuál es el precio de venta de cada ejemplar?

f) ¿Cuál es el costo diario de imprimir los ejemplares?

31

32

33

a) y1 3x 3

x y

4

3

1

12

b) y2 2x 6

x y

3

8

2

4

x

y

60



Completar las tablas y graficar con distintos colores las siguientes funciones.

c) Escribir los puntos donde se cortan la recta

y la parábola.

d) Trazar la recta y3 que pase por 2 ; 1 y 4 ; 3 .

e) Analizar gráficamente la solución del sistema y

y2

3

.

34

35

a) x y 7

3x y 1

− =+ =

b) x y 1

2y x 6

+ =+ =

a) y1 x2 7

x y

4

3

2

1

0

1

2

3

4

b) y2 2x 1

x y

3

1

0

1

2

x

y

x

y

x

y

61


Integración

Escribir todos los puntos que cumplen con cada condición.

a) Rojos y con coordenadas opuestas.

b) Anaranjados y la ordenada es el doble que la

abscisa.

c) Verdes y la suma de sus coordenadas es 0.

d) Azules y la diferencia entre la ordenada y la

abscisa es 4.

e) Amarillos y con coordenadas iguales.

a) La roja varía entre x

y

b) La azul varía entre x

y

c) La roja es positiva x

negativa x

d) La azul es positiva x

negativa x

Completar los casilleros con los valores que correspondan a cada función.

Unir cada punto con la o las funciones a las que pertenece.38

37

36

y x2 15

y x : 2 3

y 3x 2

y x2 6

y x3 10

1 ; 5

2 ; 2

6 ; 0

2 ; 4

5 ; 10 5 ; 10

3 ; 11

4 ; 1

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

x

y

x

y

63

47

3

1

1

62


Escribir la fórmula de cada función lineal.

En un terreno, se construyen 52 casas y se proyecta construir otras 17 nuevas casas por año.

a) Escribir la fórmula que permita calcular la cantidad y de casas en x años.

Calcular y responder.

b) ¿Cuántas casas habrá después de 9 años?

c) ¿Cuántos años deben pasar para que haya 273 casas?

d) ¿El punto 7; 170 pertenece a la función?

e) Marcar con una X el gráfico que corresponde a la situación.

f) Explicar qué indican los gráficos que no corresponden a la situación.

Un parque de diversiones ofrece dos opciones:

A: Comprar un pase libre para todos los juegos

por $ 52, que incluye el valor de la entrada.

B: Pagar la entrada a $ 12 y cada juego a $ 8.

Graficar ambas opciones en el mismo gráfico y responder.

a) ¿Cuál es la fórmula de la opción A?

b) ¿Cuál la de la opción B?

c) ¿Cuándo conviene cada opción?

d) ¿Cuánto se paga por 9 juegos en cada opción?

39

40

41a) b) c)

cantidad de casas

tiempo

cantidad de casas

tiempo

cantidad de casas

tiempo

I II III

4

cantidad de juegos

dinero en $

1

x

y

3

3

x

y

2

5

3

x

y

4

12

63


Integración


Completar las tablas y graficar con distintos colores las siguientes parábolas.43

42a) − =

+ =x y 5

2x y 1

b) 3x y 2

x y 4

+ =+ =

a) y1 (x 2)2

x y

2

1

0

1

2

3

4

5

6

b) y2 x2 2x 10

x y

5

4

3

2

1

0

1

2

3

x

y

x

y

x

y

64


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