Número= la expresión de un valor, la cuantificación de una magnitud.

Los números naturales. El conjunto N. Expresan valores referentes a cosas enteras, no partidas, los números naturales van de uno en uno desde el 0, no admiten la partición de las unidades, y solamente expresan valores positivos.

EJ: 1,2,3…

Números Enteros: Los enteros son como los naturales, pero se incluyen los números negativos

Números decimales: Expresión de una fracción en número. Ej: 0´5; 26´333;…

Multiplicar decimales

Multiplica normalmente, ignorando los puntos decimales.

Después pon el punto decimal en la respuesta - tiene que haber tantas cifras decimales como había en los dos números juntos.

En otras palabras, sólo tienes que contar cuántas cifras hay después del punto decimal en los dos números que multiplicas, y la respuesta tiene que tener esa cantidad después de su punto decimal.

Ejemplo: Multiplica 0,03 por 1,1

Empieza por: 0,03 × 1,1

multiplica sin puntos decimales: 3 × 11 = 33

0,03 tiene 2 cifras decimales, y 1,1 tiene 1 cifra decimal, así que la respuesta tiene 3 cifras decimales:

0,033

Dividir números decimales:

1 Sólo el dividendo es decimal

Se efectúa la división de números decimales como si de números enteros se tratara. Cuando bajemos la primera cifra decimal, colocamos una coma en el cociente y continuamos dividiendo.

Ejemplo: 526.6562 : 7 = 75.2366

2 Sólo el divisor es decimal

Quitamos la coma del divisor y añadimos al dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. A continuación dividimos como si fueran números enteros.

Ejemplo: 5126 : 62.37 = 82.18

3 El dividendo y el divisor son decimales

Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y del divisor, añadiendo a aquel que tenga menos decimales, tantos ceros como cifras decimales de diferencia haya. A continuación se prescinde de la coma, y dividimos como si fueran números enteros.

Ejemplo: 5627.64 : 67.5261 = 83.34

División por la unidad seguida de ceros

Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

Ejemplo:

235 : 10 = 23.5 235 : 100 = 2.35

235 : 1 000 = 0.235 235 : 10 000 = 0.0235

Fracción: es la expresión de una cantidad dividida por otra.

Simplificar o Reducir una fracción consiste en hallar la fracción equivalente más pequeña posible; para ello, lo primero que hacemos es buscar el mayor número que divide exactamente (resto = 0) al numerador y al denominador (mayor divisor común) y después dividimos el numerador y el denominador por este mayor divisor común, ya que como hemos visto antes, dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número obtenemos una fracción equivalente (de igual valor).

Por ejemplo: Simplificar 30/42Los números que dividen exactamente a 30 (divisores) son: 2, 3, 5, 6, 10 y 15.Los números que dividen exactamente a 42 (divisores) son: 2, 3, 6, 7, 14 y 21.Los divisores comunes a ambos son 2, 3 y 6. El mayor divisor común es 6, por tanto, dividimos numerador y denominador por 6.

30 30/6 5

—— = ——— = —

42 42/6 7

Cuando en una fracción, el numerador y el denominador no tienen ningún divisor común, se dice que es una fracción irreducible.

Suma Y Resta De Fracciones

Si las fracciones tienen el mismo denominador (homogéneas), se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador. Ejemplo:

3 2 (3 + 2) 5 5 2 (5 – 2) 3

— + — = ——— = — ;      — – — = ——— = —

6 6 6 6 7 7 7 7

Si las fracciones tienen distinto denominador (heterogéneas), lo primero que tenemos que hacer es igualar los denominadores. Para conseguirlo, buscamos dos fracciones equivalentes a las dadas, multiplicando el numerador y el denominador de cada una de ellas por el denominador de la otra. Una vez obtenido el mismo denominador, procedemos como en el caso anterior, sumamos los numeradores y ponemos el denominador común. Ejemplo:

2 3 (2 x 7) (3 x 5) 14 15 29

— + — = ——— + ——— = —— + —— = ——

5 7 (5 x 7) (7 x 5) 35 35 35

Multiplicación De Fracciones

El producto de varias fracciones es igual a otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. Ejemplo:

3 4 2 (3 x 4 x 2) 24 2

—   x  —   x  — = ———— = ——   simplificando = —

4 5 3 (4 x 5 x 3) 60 5

Fracción De Un Número

Calcular la fracción de un número es lo mismo que multiplicar la fracción por ese número.Ejemplo: Calcular los 2 / 3 de 60:

2 2 (2 x 60) 120

—   de   60 = —  x  60 = ——— = —— = 40

3 3 3 3

División De Fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Ejemplo:

4 3(4 x 5)

20

— : 

— =

———

=——

9 5(9 x 3)

27

Operaciones combinadas y prioridades (Números naturales, decimales, enteros y fracciones)

1  Pasar a fracción los números mixtos y decimales.

2  Calcular las potencias y raíces.

3  Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y l laves.

4  Efectuar los productos y cocientes.

5  Realizar las sumas y restas.

Ejemplo:

 

1  Primero operamos con las productos y números mixtos dentro de los paréntesis.

2  Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el

tercero y operamos en el último.

3  Realizamos el producto y lo simplificamos.

4  Realizamos las operaciones del paréntesis.

5  Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado .

Lenguaje algebraico: Es el lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y,

además, las trata como números en operaciones y propiedades.

Ecuaciones de primer grado con una incognita

Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman la ecuación en

una identidad.

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

• Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión.

Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero.

Procedimiento para resolver una ecuación de 1r grado:

• Eliminar denominadores: multiplicando ambas partes de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los

denominadores. (Propiedad 2)

• Eliminar paréntesis. (Propiedad distributiva)

• Transposición de términos. Conseguir una ecuación de la forma a ⋅ x = b . (Propiedad 1).

• Despejar la incógnita. (Propiedad 2).

• Comprobar la solución.

Ej.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.

Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.

En el ejemplo podemos probar con valores:

x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,

x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:

Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así:

3x - x = -1 - 2 ; 2x = - 3 ; x = -3/2 ó x = -1,5.

Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 -2 ; -4,5 + 1 = -3,5. ¡cierto!.

Magnitudes directas e inversamente proporcionales. Porcentajes.

Directamente proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionales  cuando, almultiplicar o dividir una

de ellas  por un número cualquiera,  la otra queda multiplicada o dividida  por el

mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

A más  corresponde más. 

A menos  corresponde menos .

Son magnitudes directamente proporcionales , el peso de un producto y su precio.

Ejemplo:  

Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50 céntimos.

Es decir: A más ki lógramos de tomate más euros. A menos  ki lógramos de

tomate menos  euros.

También son directamente proporcionales:

El espacio recorrido por un móvil y el t iempo empleado.

El volumen de un cuerpo y su peso.

La longitud de los lados de un polígono y su área.

Inversamente proporcionales:

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una

de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el

mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad inversa  entre dos magnitudes cuando:

A más  corresponde menos .

A menos  corresponde más.

Son magnitudes inversamente proporcionales , la velocidad y el t iempo:

A más  velocidad corresponde  menos  tiempo.

A menos velocidad corresponde  más tiempo.

Ejemplos: 

Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si

doblamos la velocidad el t iempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120

km/h el t iempo del trayecto será de 3 horas.

Porcentajes:

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.

Ejemplos

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%.

¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

100 €    7.5 €

8800 €   x €

8800 € − 660 € = 8140

€

100 €    92.5 €

8800 €   x €

Magnitudes y medidas. Sistema Internacional. Unidades de longitud, capacidad, masa, superficie, volumen y tiempo. Escalas.

Magnitud es algo cuantificable, es decir, medible. Las magnitudes pueden ser

directamente apreciables por nuestros sentidos, como los tamaños y pesos de las

cosas, o más indirectas (aceleraciones, energías). Medir implica realizar un

experimento de cuantificación, normalmente con un instrumento especial (reloj,

balanza, termómetro).

Sistema Internacional:

Escala de unidades métricas:

Triángulos: clasificación, área y perímetro

Definición de triángulo:  Un triángulo es un polígono de tres lados.

Propiedades de los triángulos:

1  Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su

diferencia.

2  La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3  El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Clasificación de los triángulos según sus lados:

Triángulo equilátero: Tres lados iguales

 

Triángulo isósceles: Dos lados iguales

 

Triángulo escaleno: Tres lados desiguales

Clasificación de los triángulos según sus ángulos:

Triángulo acutángulo: Tres ángulos agudos (menos de 90º)

 Triángulo rectángulo: Un ángulo recto (90º). El lado mayor es la hipotenusa(h). Los lados

menores son los catetos(c)

 Triángulo obtusángulo: Un ángulo obtuso (más de 90° pero menos de 180º)

Cuadriláteros: clasificación, área y perímetroLos cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. La suma de los ángulos interiores de un

cuadrilátero es igual a 360°.

Clasificación de cuadriláteros

Paralelogramos:  Cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:

Cuadrado : Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos.

Rectángulo : Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos.

Rombo : Tiene los cuatro lados iguales.

Romboide : Tiene lados iguales dos a dos.

P = 2 · (a + b)

A = b · h

Trapecios:  Cuadriláteros que tienen dos lados paralelos, l lamados base mayor y base

menor. Se clasifican en:

Trapecio   rectángulo : Tiene un ángulo recto.

Trapecio isósceles : Tiene dos lados no paralelos iguales.

Trapecio escaleno : No tiene ningún lado igual ni ángulo recto.

Trapezoides: Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo.

Longitud de la circunferencia y área del círculo

Áreas y volúmenes

 Área y volumen del cubo

 

Área y volumen del ortoedro

 

Área y volumen del prisma

 

 Área y volumen de la pirámide

Área y volumen del cilindro

 

Área y volumen del cono

 

Área y volumen de la esfera

 

Tablas , Recuentos y FrecuenciasRecuento de datos.Es parte del proceso, después de recopilar los datos se procede a su recuento para expresarlos de forma ordenada y para que sea más fácil trabajar con ellos. Generalmente se elabora una tabla como en la simulación de la derecha donde puedes practicar.

Frecuencia absoluta, es el nº de veces que aparece un dato. fi. Frecuencia relativa, es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nº total de datos.

Hi. Frecuencia acumulada de un dato, es la suma de las frecuencias absolutas de los

valores que son menores o iguales que él, la indicaremos con Fi. También se pueden calcular las frecuencias relativas acumuladas.

Ejemplo:

TIEMPO (EN SEGUNDOS) QUE TARDAN LOS ALUMNOS DE UNA CLASE EN RECORRER UNA DETERMINADA DISTANCIA

32 23 28 20 31 30 28 25 22 2123 25 24 28 31 23 26 29 24 2221 27 28 26 30 21 28 25 21 20

 

Tabla de frecuencias Variable

  Frecuencias   Frecuencias

Acumuladas

 

Xi fi hi hi(%) Fi Hi Hi ( %)20 2 0,0666667 6,666666

72 0,0666667 6,666666

721 4 0,1333333 13,33333

36 0,2 20

22 2 0,0666667 6,6666667

8 0,2666667 26,666667

23 3 0,1 10 11 0,3666667 36,666667

24 2 0,0666667 6,6666667

13 0,4333333 43,333333

25 3 0,1 10 16 0,5333333 53,333333

26 2 0,0666667 6,6666667

18 0,6 60

27 1 0,0333333 3,3333333

19 0,6333333 63,333333

28 5 0,1666667 16,666667

24 0,8 80

29 1 0,0333333 3,3333333

25 0,8333333 83,333333

30 2 0,0666667 6,6666667

27 0,9 90

31 2 0,0666667 6,6666667

29 0,9666667 96,666667

32 1 0,0333333 3,3333333

30 1 100

Totales 30 1 100      

Representaciones gráficas

Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una

tabla. Las gráficas describen relaciones entre dos variables.

La variable  que se representa en el  eje horizontal  se llama variable independiente o

variable x .

La que se representa en el  eje vertical  se l lama variable dependiente o variable y . La

variable y está en función de la variable x.

Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclusiones.

Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo

varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.

Kg de patatas 1 2 3 4 5

Precio en € 2 4 6 8 10

En esa gráfica podemos observar que a medida que compramos más kilos de patatas el precio

se va incrementando.

Nota 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº de alumnos 1 1 2 3 6 11 12 7 4 2 1

En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota

comprendida entre 4 y 7.

Medidas de centralización

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. Son:

Media aritmética : La media es el valor promedio de la distribución.

Mediana : La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior  de la

distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Moda: La moda es el valor que más se repite en una distribución.

Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión  nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la

distribución. Son:

Rango o recorrido: El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una

distribución estadística.

Desviación media : La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de

las desviaciones respecto a la media.

Varianza : La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a

la media.

Desviación típica : La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Probabilidad

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las

posibil idades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas : Son los experimentos de los que podemos predecir el

resultado antes de que se realicen.

Ej: Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra

bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de

tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios : Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que

éste depende del  azar.

Ej: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz. Si lanzamos un dado

tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teoría de probabilidades : se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado

que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y

saber si un suceso es más probable que otro.

Suceso : Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Ej. Al lanzar

una moneda salga cara. Al lanzar un dado se obtenga 4.

Espacio muestral : Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia

aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Ej: Espacio muestral de

una moneda: E = {C, X}. Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ej. Tirar un dado un

suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Ejemplo completo:

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso C = {extraer una sola bola negra}. C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Ley de Laplace

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos

igualmente probables (equiprobables), entonces si A es un suceso, la  probabil idad  de que

ocurra el suceso A es:

Ej. Hallar la probabil idad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.

Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.

Casos favorables: 1.

Ej. Calcular la probabil idad de que al echar un dado al aire, salga:

1 Un número par.

Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Casos favorables:  {2, 4, 6}.

2 Un múltiplo de tres.

Casos favorables:  {3, 6}.

3 Mayor que 4.

Casos favorables:  {5, 6}.

Diagrama de árbol

Para la construcción de un diagrama en árbol  se partirá poniendo una rama para cada una de

las posibil idades, acompañada de su probabil idad.

En el final de cada rama parcial  se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas,

según las posibil idades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del

experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta: que la  suma de probabil idades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Ej. Calcular la  probabil idad de que al arrojar al aire tres monedas, salgan tres caras.

Ej. Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la

probabil idad de:

1. Seleccionar tres niños.

2. Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

4. Seleccionar tres niñas.