examen matemáticas - 1º bachillerato - 08/02/2012
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Examen matemáticas - 1º Bachillerato - 08/02/2012TRANSCRIPT
Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia
Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]
Examen de Matemáticas 1º Bachillerato
1. Calcula: Dominio, imagen, asíntotas, máximos y mínimos relativos, intervalos de monotonía, intervalos de curvatura, y limite de la función en x=2. (1pto)
Dominio: 𝐷 𝑓 𝑥 = −∞,−2 ∪ −2, 2 ∪ 2,∞ = ℝ − ±2 Imagen: 𝐼𝑚 𝑓 𝑥 = −∞,∞ = ℝ Asíntotas:
Verticales: 𝑥 = −2 y 𝑥 = 2 Horizontales: 𝑦 = −2
Máximos relativos: la función no tiene ningún máximo relativo. Mínimos relativos: 𝑥, 𝑦 = 0,−2 Intervalos de monotonía: La función es creciente en: −∞,−2 ; 0, 2 ; 2,∞
La función es decreciente en: −2, 0
Intervalos de curvatura: La función es convexa en: −∞,−2 ; −2, 2 La función es cóncava en: 2,∞
Límite en 𝑥 = 2: lim!→!!
𝑓 𝑥 = ∞
lim!→!!
𝑓 𝑥 ≠ lim!→!!
𝑓 𝑥 ⟹ lim!→!
𝑓 𝑥 = ∄
lim!→!!
𝑓 𝑥 = −∞
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2. Dadas las funciones: 𝑓 𝑥 = !!!!!"# !!!
+ 𝑒!!! 𝑔 𝑥 = !!!! ℎ 𝑥 = !
!!!! (1’5ptos)
Calcula: a) Dominio de: 𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥 y ℎ 𝑥 . b) La función ℎ ∘ 𝑔 𝑥 y su dominio. c) La función 𝑔 ∘ ℎ !! 𝑥 .
a) Para calcular el dominio de 𝑓 𝑥 tendremos en cuenta que las raíces no existen para valores
negativos del radicando, que los logaritmos no existen para valores negativos ni nulos de su argumento y que, por ser una fracción, el valor que anule el denominador tampoco será incluido en el dominio de la función. La exponencial no tiene problemas en ningún punto.
• 𝑥! − 4 ⟶ 𝑥! − 4 = 0 ⟶ 𝑥 = ±2
−∞,−2 −2, 2 2,∞ + − +
Por lo tanto la función 𝑓 𝑥 no existirá en el intervalo −2, 2 .
• log 𝑥 + 4 ⟶ 𝑥 + 4 = 0 ⟶ 𝑥 = −4 Por lo que 𝑓 𝑥 no existirá en el intervalo −∞,−4 .
• Denominador ⟶ log 𝑥 + 4 = 0 ⟶ 𝑥 + 4 = 1 ⟶ 𝑥 = −3 La función 𝑓 𝑥 no existirá en el punto 𝑥 = −3.
Una vez analizados todos los puntos e intervalos conflictivos podemos decir que el dominio de 𝑓 𝑥 será:
𝐷 𝑓 𝑥 = −4,−3 ∪ −3,−2 ∪ 2,∞ El dominio de 𝑔 𝑥 es sencillo ya que no existe ningún punto conflictivo:
𝐷 𝑔 𝑥 = ℝ
Para calcular el dominio de ℎ 𝑥 tendremos que tener en cuenta el punto en el que se anula el denominador:
• 4𝑥 − 4 = 0 ⟶ 𝑥 = 1 Por lo tanto, el dominio de ℎ 𝑥 será:
𝐷 𝑔 𝑥 = ℝ − 1
b) ℎ ∘ 𝑔 𝑥 = ℎ 𝑔 𝑥 = ! !!·! ! !!
=!!!!
!·!!!! !!= !!!
!!!!!!"= !!!
!!!!
Calculamos el cero del denominador para conocer el dominio: • 4𝑥 − 4 = 0 ⟶ 𝑥 = 1
Por lo tanto, el dominio de ℎ ∘ 𝑔 𝑥 será:
𝐷 ℎ ∘ 𝑔 𝑥 = ℝ − 1
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c) Calculamos primero 𝑔 ∘ ℎ 𝑥 :
𝑔 ∘ ℎ 𝑥 = 𝑔 ℎ 𝑥 =ℎ 𝑥 + 2
3=
!!!!!!!
3=
!!!!!!!!!!3
=9𝑥 − 812𝑥 − 12
Calculamos ahora su inversa:
𝑦 =9𝑥 − 812𝑥 − 12
⟶ 𝑦 12𝑥 − 12 = 9𝑥 − 8 ⟶ 12𝑥𝑦 − 12𝑦 = 9𝑥 − 8 ⟶ 12𝑥𝑦 − 9𝑥 = 12𝑦 − 8
𝑥 12𝑦 − 9 = 12𝑦 − 8 ⟶ 𝑥 =12𝑦 − 812𝑦 − 9
;
𝑔 ∘ ℎ !! 𝑥 =12𝑥 − 812𝑥 − 9
3. Calcula los valores de “a” y “b” para que la función sea continua: (1pto)
𝑥! + 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥! + 𝑏
2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑏𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 > 2 Para que 𝑓 𝑥 sea continua, tienen que existir los límites en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2: lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑥! + 2 = 2
𝑓 0 =𝑏2 lim!→!!
𝑓 𝑥 = 𝑓 0 = lim!→!!
𝑓 𝑥 ⟹ 𝑏2 = 2 ⟹ 𝑏 = 4
lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑎𝑥! + 𝑏2
=𝑏2
Una vez que conozco el valor de 𝑏 calculo el otro límite:
lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑎𝑥! + 42
= 2𝑎 + 2
𝑓 2 = 2𝑎 + 2 lim!→!!
𝑓 𝑥 = 𝑓 2 = lim!→!!
𝑓 𝑥 ⟹ 2𝑎 + 2 = 12 ⟹ 𝑎 = 5
lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
4𝑥 + 4 = 12
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4. Estudia el dominio y la continuidad de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 4𝑥 − 5 y represéntala: (1pto)
Vamos a estudiar en qué intervalos la función 𝑔 𝑥 dentro del valor absoluto es negativa y en cuáles es positiva para poder definir nuestra función a trozos:
𝑥! − 4𝑥 − 5 = 0 ⟶ 𝑥! = −1𝑥! = 5
Por lo tanto, la función será: 𝑥! − 4𝑥 − 5 𝑠𝑖 −∞ < 𝑥 ≤ −1 𝑓 𝑥 = −𝑥! + 4𝑥 + 5 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 5 El dominio será: 𝐷 𝑓 𝑥 = ℝ 𝑥! − 4𝑥 − 5 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑥 < ∞
Calculamos los límites en 𝑥 = −1 y 𝑥 = 5: lim
!→!!!𝑓 𝑥 = lim
!→!!!𝑥! − 4𝑥 − 5 = 0
𝑓 −1 = 0 lim!→!!!
𝑓 𝑥 = 𝑓 −1 = lim!→!!!
𝑓 𝑥 = 0
lim!→!!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!!
−𝑥! + 4𝑥 + 5 = 0
La función 𝑓 𝑥 es continua en 𝑥 = −1 lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
−𝑥! + 4𝑥 + 5 = 0
𝑓 5 = 0 lim!→!!
𝑓 𝑥 = 𝑓 5 = lim!→!!
𝑓 𝑥 = 0
lim!→!! 𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑥! − 4𝑥 − 5 = 0
La función 𝑓 𝑥 es continua en 𝑥 = 5 La función 𝑓 𝑥 es continua en ℝ
−∞,−1 −1, 5 5,∞ + − +
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5. Calcula las asíntotas de la función 𝑓 𝑥 = !!
!!! y esboza su gráfica. (1pto)
La función tendrá una asíntota vertical en el punto en el que el denominador se anule: 𝑥 − 6 = 0 ⟶ 𝑥 = 6
Calculamos los límites de la función cuando 𝑥 → 6:
lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑥!
𝑥 − 6= −∞
lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑥!
𝑥 − 6= ∞
Dado que el numerador de la función es un grado mayor que el denominador, ésta tendrá una asíntota oblicua de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Lo comprobamos:
lim!→!
𝑓 𝑥 = lim!→!
𝑥!
𝑥 − 6= lim
!→!
𝑥!𝑥!
𝑥𝑥! −
6𝑥!
=10!
= ∞
lim!→!!
𝑓 𝑥 = lim!→!!
𝑥!
𝑥 − 6= lim
!→!!
𝑥!𝑥!
𝑥𝑥! −
6𝑥!
=10!
= −∞
Calculamos 𝑎:
𝑎 = lim!→!
𝑓 𝑥𝑥
= lim!→!
𝑥𝑥 − 6
= lim!→!
𝑥𝑥
𝑥𝑥 −
6𝑥
=11= 1
𝑏 = lim!→!
𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 = lim!→!
𝑥!
𝑥 − 6− 𝑥 = lim
!→!
𝑥! − 𝑥! + 6𝑥𝑥 − 6
= lim!→!
6𝑥𝑥 − 6
= lim!→!
6𝑥𝑥
𝑥𝑥 −
6𝑥
= 6
Por lo tanto, las dos asíntotas de la función son: Asíntota vertical: 𝑥 = 6 Asíntota oblicua: 𝑦 = 𝑥 + 6
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6. Halla los límites siguientes: (1’5ptos)
a) lim!→!!!!!!!!!!
b) lim!→!!!!!!!!!!!
!!!!
a) lim!→!!!!!!!!!!
= !!
lim!→!
𝑥! − 3− 1𝑥 − 2 = lim
!→!
𝑥! − 3− 1 𝑥! − 3+ 1𝑥 − 2 𝑥! − 3+ 1
= lim!→!
𝑥! − 3− 1𝑥 − 2 𝑥! − 3+ 1
=
= lim!→!
𝑥! − 4𝑥 − 2 𝑥! − 3+ 1
= lim!→!
𝑥 + 2 𝑥 − 2𝑥 − 2 𝑥! − 3+ 1
= lim!→!
𝑥 + 2𝑥! − 3+ 1
=42 = 2
b) lim!→!!!!!!!!!!!
!!!! = lim!→!
!!!
!!! !!!
!!!
!! !!!!
!!!!
= !!
!"#!→!!!!! = 1!
𝑙𝑖𝑚!→!
2𝑥! + 62𝑥! − 4
!!!!= 𝑙𝑖𝑚
!→!1+
𝑥! + 3𝑥! − 2− 1
!!!!= 𝑙𝑖𝑚
!→!1+
𝑥! + 3− 𝑥! + 2𝑥! − 2
!!!!=
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
1 +5
𝑥2 − 2
𝑥−36= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞1 +
1𝑥2 − 25
𝑥−36 ·𝑥
2−25 · 5
𝑥2−2
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
1 +1
𝑥2 − 25
𝑥2−25
𝑥−36 · 5
𝑥2−2
=
= 𝑒 !"#!→!!!!!"!!!!!" = 𝑒
!"#!→!
!!!!!
!"!!
!!!!! !
!"!! = 𝑒!/! = 𝑒! = 1
7. Calcula las siguientes derivadas (1’5ptos)
a) 𝑦 = 2 · 𝑥! − 1! + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔 𝑥 b) 𝑦 = 𝑒!!!!! · cos 2𝑥 + 3
a)
𝑦! = 2 ·1
8 𝑥! − 1 !! · 4𝑥! +1
1+ 𝑥! ·
12 𝑥
=𝑥!
𝑥! − 1 !! +1
2 𝑥 · 1+ 𝑥
b)
𝑦! = 2𝑥 − 3 𝑒!!!!! · 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 3 + 𝑒!!!!! · −2 sin 2𝑥 + 3
𝑦! = 2𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 3 − 2 sin 2𝑥 + 3 𝑒!!!!!
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8. Calcula !!"#
!!!!− !!"#
!!!!"· !!!!!!
expresando el resultado en todas las formas posibles. Represéntalo. (1’5ptos)
𝑖!"#
2 − 𝑖!−
𝑖!"#
4 + 𝑖!"·𝑖 + 34 − 𝑖
=𝑖! !"
2— 1−
𝑖! !" · 𝑖!
4 + 𝑖! ! · 𝑖!·𝑖 + 34 − 𝑖
=1
2 + 1−
1 · −𝑖4 + 1 · −1
·𝑖 + 34 − 𝑖
=13+𝑖3·𝑖 + 34 − 𝑖
=
=13+𝑖! + 3𝑖12 − 3𝑖
=13+−1 + 3𝑖12 − 3𝑖
=13−1 − 3𝑖12 − 3𝑖
=13−
1 − 3𝑖 · 12 + 3𝑖12 − 3𝑖 · 12 + 3𝑖
=13−12 + 3𝑖 − 36𝑖 + 9
144 + 9=
=13−21 − 33𝑖153
=13−21153
+33𝑖153
=1051
+1151𝑖 ≈ 0!196 + 0!216 𝑖
Calculamos el radio y el argumento:
𝑅 =1051
!+
1151
!=
13153
≈ 0′29
𝛼 = arctan!!
!"!"
!"= arctan !!
!"≈ 47!7°
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑏𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎:=1051+
1151 𝑖
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑧 = 0!29!"!!°
𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎: 𝑧 = 0!29 · cos 47!7°+ 0!29 · sin 47!7°