examen matemáticas - 1º bachillerato - 08/02/2012

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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected] Examen de Matemáticas 1º Bachillerato 1. Calcula: Dominio, imagen, asíntotas, máximos y mínimos relativos, intervalos de monotonía, intervalos de curvatura, y limite de la función en x=2. (1pto) Dominio: = , 2 2, 2 2, = ±2 Imagen: = , = Asíntotas: Verticales: = 2 y = 2 Horizontales: = 2 Máximos relativos: la función no tiene ningún máximo relativo. Mínimos relativos: , = 0, 2 Intervalos de monotonía: La función es creciente en: , 2 ; 0, 2 ; 2, La función es decreciente en: 2, 0 Intervalos de curvatura: La función es convexa en: , 2 ; 2, 2 La función es cóncava en: 2, Límite en = 2: lim !! ! = lim !! ! lim !! ! lim !! = lim !! ! =

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Examen matemáticas - 1º Bachillerato - 08/02/2012

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Page 1: Examen matemáticas - 1º Bachillerato - 08/02/2012

Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]

 

Examen  de  Matemáticas  1º  Bachillerato    

1. Calcula:  Dominio,  imagen,  asíntotas,  máximos  y  mínimos  relativos,  intervalos  de  monotonía,  intervalos  de  curvatura,      y  limite  de  la  función  en  x=2.    (1pto)  

 Dominio:  𝐷 𝑓 𝑥 = −∞,−2 ∪ −2, 2 ∪ 2,∞ = ℝ − ±2    Imagen:  𝐼𝑚 𝑓 𝑥 = −∞,∞ = ℝ    Asíntotas:  

Verticales:     𝑥 = −2    y    𝑥 = 2  Horizontales:     𝑦 = −2  

 Máximos  relativos:  la  función  no  tiene  ningún  máximo  relativo.  Mínimos  relativos:   𝑥, 𝑦 = 0,−2    Intervalos  de  monotonía:     La  función  es  creciente  en:   −∞,−2 ;   0, 2 ;   2,∞  

La  función  es  decreciente  en:   −2, 0    

Intervalos  de  curvatura:  La  función  es  convexa  en:   −∞,−2 ;   −2, 2  La  función  es  cóncava  en:   2,∞    

Límite  en  𝑥 = 2:    lim!→!!

𝑓 𝑥 = ∞  

lim!→!!

𝑓 𝑥 ≠ lim!→!!

𝑓 𝑥    ⟹     lim!→!

𝑓 𝑥 = ∄  

lim!→!!

𝑓 𝑥 = −∞  

 

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Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]

 

2. Dadas  las    funciones:                𝑓 𝑥 = !!!!!"# !!!

+ 𝑒!!!                        𝑔 𝑥 = !!!!                            ℎ 𝑥 = !

!!!!          (1’5ptos)  

  Calcula:  a) Dominio  de:  𝑓 𝑥 ,𝑔 𝑥  y  ℎ 𝑥 .  b) La  función   ℎ ∘ 𝑔 𝑥  y  su  dominio.  c) La  función   𝑔 ∘ ℎ !! 𝑥 .  

 a) Para   calcular   el   dominio   de   𝑓 𝑥   tendremos   en   cuenta   que   las   raíces   no   existen   para   valores  

negativos   del   radicando,   que   los   logaritmos   no   existen   para   valores   negativos   ni   nulos   de   su  argumento  y  que,  por  ser  una  fracción,  el  valor  que  anule  el  denominador  tampoco  será  incluido  en  el  dominio  de  la  función.  La  exponencial  no  tiene  problemas  en  ningún  punto.  

• 𝑥! − 4      ⟶      𝑥! − 4 = 0      ⟶      𝑥 = ±2  

−∞,−2   −2, 2 2,∞ + − +

Por  lo  tanto  la  función  𝑓 𝑥  no  existirá  en  el  intervalo   −2, 2 .  

• log 𝑥 + 4      ⟶      𝑥 + 4 = 0      ⟶      𝑥 = −4  Por  lo  que  𝑓 𝑥  no  existirá  en  el  intervalo   −∞,−4 .    

• Denominador      ⟶        log 𝑥 + 4 = 0      ⟶      𝑥 + 4 = 1      ⟶      𝑥 = −3  La  función  𝑓 𝑥  no  existirá  en  el  punto  𝑥 = −3.    

Una  vez  analizados  todos  los  puntos  e  intervalos  conflictivos  podemos  decir  que  el  dominio  de  𝑓 𝑥  será:  

𝐷 𝑓 𝑥 = −4,−3 ∪ −3,−2 ∪ 2,∞    El  dominio  de    𝑔 𝑥  es  sencillo  ya  que  no  existe  ningún  punto  conflictivo:    

𝐷 𝑔 𝑥 = ℝ    

Para   calcular   el   dominio   de  ℎ 𝑥   tendremos   que   tener   en   cuenta   el   punto   en   el   que   se   anula   el  denominador:  

• 4𝑥 − 4 = 0      ⟶      𝑥 = 1      Por  lo  tanto,  el  dominio  de    ℎ 𝑥  será:  

𝐷 𝑔 𝑥 = ℝ − 1  

 

b) ℎ ∘ 𝑔 𝑥 = ℎ 𝑔 𝑥 = ! !!·! ! !!

=!!!!

!·!!!! !!= !!!

!!!!!!"= !!!

!!!!  

 

Calculamos  el  cero  del  denominador  para  conocer  el  dominio:  • 4𝑥 − 4 = 0      ⟶      𝑥 = 1  

   Por  lo  tanto,  el  dominio  de     ℎ ∘ 𝑔 𝑥  será:  

𝐷 ℎ ∘ 𝑔 𝑥 = ℝ − 1  

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 c) Calculamos  primero   𝑔 ∘ ℎ 𝑥 :  

 

𝑔 ∘ ℎ 𝑥 = 𝑔 ℎ 𝑥 =ℎ 𝑥 + 2

3=

!!!!!!!

3=

!!!!!!!!!!3

=9𝑥 − 812𝑥 − 12

 

 Calculamos  ahora  su  inversa:    

𝑦 =9𝑥 − 812𝑥 − 12

   ⟶  𝑦 12𝑥 − 12 = 9𝑥 − 8  ⟶  12𝑥𝑦 − 12𝑦 = 9𝑥 − 8  ⟶    12𝑥𝑦 − 9𝑥 = 12𝑦 − 8    

𝑥 12𝑦 − 9 = 12𝑦 − 8    ⟶    𝑥 =12𝑦 − 812𝑦 − 9

;  

 

𝑔 ∘ ℎ !! 𝑥 =12𝑥 − 812𝑥 − 9

 

 

 3. Calcula  los  valores  de  “a”  y  “b”  para  que  la  función  sea  continua:  (1pto)    

 𝑥! + 2              𝑠𝑖      𝑥 < 0  

𝑓 𝑥 =                𝑎𝑥! + 𝑏

2      𝑠𝑖    0 ≤ 𝑥 ≤ 2  

𝑏𝑥 + 4          𝑠𝑖    𝑥 > 2    Para  que  𝑓 𝑥  sea  continua,  tienen  que  existir  los  límites  en  𝑥 = 0  y  𝑥 = 2:    lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑥! + 2 = 2  

𝑓 0 =𝑏2                                                                                           lim!→!!

𝑓 𝑥 = 𝑓 0 = lim!→!!

𝑓 𝑥    ⟹    𝑏2 = 2    ⟹    𝑏 = 4

lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑎𝑥! + 𝑏2

=𝑏2  

   Una  vez  que  conozco  el  valor  de  𝑏  calculo  el  otro  límite:    

lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑎𝑥! + 42

= 2𝑎 + 2  

𝑓 2 = 2𝑎 + 2                                                                                       lim!→!!

𝑓 𝑥 = 𝑓 2 = lim!→!!

𝑓 𝑥  ⟹  2𝑎 + 2 = 12  ⟹  𝑎 = 5

lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

4𝑥 + 4 = 12  

   

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 4. Estudia  el  dominio  y  la  continuidad  de  la  función:  𝑓 𝑥 = 𝑥! − 4𝑥 − 5  y  represéntala:  (1pto)  

 Vamos  a  estudiar  en  qué  intervalos  la  función  𝑔 𝑥  dentro  del  valor  absoluto  es  negativa  y  en  cuáles  es  positiva  para  poder  definir  nuestra  función  a  trozos:    

𝑥! − 4𝑥 − 5 = 0      ⟶       𝑥! = −1𝑥! = 5                  

 Por  lo  tanto,  la  función  será:                                            𝑥! − 4𝑥 − 5                  𝑠𝑖         −∞ < 𝑥 ≤ −1  𝑓 𝑥 =          −𝑥! + 4𝑥 + 5            𝑠𝑖           − 1 < 𝑥 < 5     El  dominio  será:  𝐷 𝑓 𝑥 = ℝ                                          𝑥! − 4𝑥 − 5                  𝑠𝑖                    5 ≤ 𝑥 < ∞  

Calculamos  los  límites  en  𝑥 = −1    y    𝑥 = 5:    lim

!→!!!𝑓 𝑥 = lim

!→!!!𝑥! − 4𝑥 − 5 = 0  

𝑓 −1 = 0                                                                                                                         lim!→!!!

𝑓 𝑥 = 𝑓 −1 = lim!→!!!

𝑓 𝑥 = 0

lim!→!!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!!

−𝑥! + 4𝑥 + 5 = 0  

 La  función  𝑓 𝑥  es  continua  en  𝑥 = −1    lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

−𝑥! + 4𝑥 + 5 = 0  

𝑓 5 = 0                                                                                                                               lim!→!!

𝑓 𝑥 = 𝑓 5 = lim!→!!

𝑓 𝑥 = 0

lim!→!! 𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑥! − 4𝑥 − 5 = 0  

 La  función  𝑓 𝑥  es  continua  en  𝑥 = 5    La  función  𝑓 𝑥  es  continua  en  ℝ                    

−∞,−1   −1, 5   5,∞  +   −   +  

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5. Calcula  las  asíntotas  de  la  función  𝑓 𝑥 = !!

!!!  y  esboza  su  gráfica.  (1pto)  

 

La  función  tendrá  una  asíntota  vertical  en  el  punto  en  el  que  el  denominador  se  anule:  𝑥 − 6 = 0    ⟶    𝑥 = 6  

Calculamos  los  límites  de  la  función  cuando  𝑥 → 6:  

lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑥!

𝑥 − 6= −∞  

 

lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑥!

𝑥 − 6= ∞  

 

Dado  que  el  numerador  de  la  función  es  un  grado  mayor  que  el  denominador,  ésta  tendrá  una  asíntota  oblicua  de  ecuación  𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.  Lo  comprobamos:    

lim!→!

𝑓 𝑥 = lim!→!

𝑥!

𝑥 − 6= lim

!→!

𝑥!𝑥!

𝑥𝑥! −

6𝑥!

=10!

= ∞  

 

lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑥!

𝑥 − 6= lim

!→!!

𝑥!𝑥!

𝑥𝑥! −

6𝑥!

=10!

= −∞  

 

Calculamos  𝑎:  

𝑎 = lim!→!

𝑓 𝑥𝑥

= lim!→!

𝑥𝑥 − 6

= lim!→!

𝑥𝑥

𝑥𝑥 −

6𝑥

=11= 1  

 

𝑏 = lim!→!

𝑓 𝑥 − 𝑎𝑥 = lim!→!

𝑥!

𝑥 − 6− 𝑥 = lim

!→!

𝑥! − 𝑥! + 6𝑥𝑥 − 6

= lim!→!

6𝑥𝑥 − 6

= lim!→!

6𝑥𝑥

𝑥𝑥 −

6𝑥

= 6  

 

Por  lo  tanto,  las  dos  asíntotas  de  la  función  son:    Asíntota  vertical:    𝑥 = 6    Asíntota  oblicua:  𝑦 = 𝑥 + 6  

             

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6. Halla  los  límites  siguientes:  (1’5ptos)  

a) lim!→!!!!!!!!!!

  b) lim!→!!!!!!!!!!!

!!!!  

 

a) lim!→!!!!!!!!!!

= !!  

 

lim!→!

𝑥! − 3− 1𝑥 − 2 = lim

!→!

𝑥! − 3− 1 𝑥! − 3+ 1𝑥 − 2 𝑥! − 3+ 1

= lim!→!

𝑥! − 3− 1𝑥 − 2 𝑥! − 3+ 1

=

= lim!→!

𝑥! − 4𝑥 − 2 𝑥! − 3+ 1

= lim!→!

𝑥 + 2 𝑥 − 2𝑥 − 2 𝑥! − 3+ 1

= lim!→!

𝑥 + 2𝑥! − 3+ 1

=42 = 2

b) lim!→!!!!!!!!!!!

!!!! = lim!→!

!!!

!!! !!!

!!!

!! !!!!

!!!!

= !!

!"#!→!!!!! = 1!  

𝑙𝑖𝑚!→!

2𝑥! + 62𝑥! − 4

!!!!= 𝑙𝑖𝑚

!→!1+

𝑥! + 3𝑥! − 2− 1

!!!!= 𝑙𝑖𝑚

!→!1+

𝑥! + 3− 𝑥! + 2𝑥! − 2

!!!!=  

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

1 +5

𝑥2 − 2

𝑥−36= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞1 +

1𝑥2 − 25

𝑥−36 ·𝑥

2−25 · 5

𝑥2−2

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

1 +1

𝑥2 − 25

𝑥2−25

𝑥−36 · 5

𝑥2−2

=  

= 𝑒 !"#!→!!!!!"!!!!!" = 𝑒

!"#!→!

!!!!!

!"!!

!!!!! !

!"!! = 𝑒!/! = 𝑒! = 1  

 7. Calcula  las  siguientes  derivadas  (1’5ptos)  

a) 𝑦 = 2 · 𝑥! − 1! + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔 𝑥  b) 𝑦 = 𝑒!!!!! · cos 2𝑥 + 3  

 a)  

𝑦! = 2 ·1

8 𝑥! − 1 !! · 4𝑥! +1

1+ 𝑥! ·

12 𝑥

=𝑥!

𝑥! − 1 !! +1

2 𝑥 · 1+ 𝑥  

 

b)  

𝑦! = 2𝑥 − 3 𝑒!!!!! · 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 3 + 𝑒!!!!! · −2 sin 2𝑥 + 3    

𝑦! = 2𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 3 − 2 sin 2𝑥 + 3 𝑒!!!!!  

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8. Calcula   !!"#

!!!!− !!"#

!!!!"· !!!!!!

 expresando  el  resultado  en  todas  las  formas  posibles.  Represéntalo.  (1’5ptos)  

 𝑖!"#

2 − 𝑖!−

𝑖!"#

4 + 𝑖!"·𝑖 + 34 − 𝑖

=𝑖! !"

2— 1−

𝑖! !" · 𝑖!

4 + 𝑖! ! · 𝑖!·𝑖 + 34 − 𝑖

=1

2 + 1−

1 · −𝑖4 + 1 · −1

·𝑖 + 34 − 𝑖

=13+𝑖3·𝑖 + 34 − 𝑖

=  

 

=13+𝑖! + 3𝑖12 − 3𝑖

=13+−1 + 3𝑖12 − 3𝑖

=13−1 − 3𝑖12 − 3𝑖

=13−

1 − 3𝑖 · 12 + 3𝑖12 − 3𝑖 · 12 + 3𝑖

=13−12 + 3𝑖 − 36𝑖 + 9

144 + 9=  

 

=13−21 − 33𝑖153

=13−21153

+33𝑖153

=1051

+1151𝑖 ≈ 0!196 + 0!216  𝑖  

 Calculamos  el  radio  y  el  argumento:    

𝑅 =1051

!+

1151

!=

13153

≈ 0′29  

 

𝛼 = arctan!!

!"!"

!"= arctan !!

!"≈ 47!7°  

       

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎  𝑏𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎:=1051+

1151 𝑖

   

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎  𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑧 = 0!29!"!!°    

 

 

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎  𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:  𝑧 = 0!29 · cos 47!7°+ 0!29 · sin 47!7°