examen diagnóstico quinta sesión matemáticas departamento de
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Examen Diagnóstico
Quinta Sesión
Matemáticas
ED5
Departamento de Servicios Educativos
Mayo, 2012
Introducción
Estimado educando, esta guía tiene por objeto reforzar tus saberes para que tengas una base
de aprendizaje que te permita abordar los contenidos básicos del eje de matemáticas de
Secundaria; y así, cuentes con elementos que te permitan la comprensión de los mismos.
Es importante señalar que en cada tema se trató de manejar situaciones en las que podemos
tener contacto en el trabajo o casa y presentar ejemplos de la vida cotidiana, con el fin de
generar aprendizajes significativos; en cada tema se desarrollan ejercicios que refuerzan los
ejemplos dados, así como algunas imágenes o figuras que te ayudarán a clarificar y facilitar la
comprensión del tema. Asimismo, de algunos ejercicios que se plantean, se dan los
resultados remarcados o con otro color.
Conocerás sobre como podemos comprender y aplicar la aritmética como base para ingresar
al área de álgebra; es decir, primero encontrarás una breve descripción de los números
naturales, números positivos y negativos, las fracciones y sus operaciones básicas de suma,
resta, multiplicación y división; el equivalente fraccional, decimal y de porcentaje de una
cantidad continua, conociendo métodos de conversión como la regla de tres entre otros.
La presentación de datos en una tabla o su interpretación son temas que se abordan como
mecanismos para organizar o clasificar datos de cualquier negocio o aspecto familiar. De las
tablas se pueden derivar gráficas de barras o de pastel, mismas que ayudan a presentar los
datos registrados con una interpretación amena. En este mismo tema, están los pictogramas
que son representados con dibujos de distinta dimensión.
En el contenido de plano cartesiano viene a dar una introducción al álgebra, mediante la
representatividad de “x” y “y” en el registro de datos y en la formación de una gráfica, producto
de una ecuación.
En geometría se aborda la descripción y catalogación de figuras geométricas, así como las
fórmulas para encontrar su perímetro, área (superficie) y volumen. Este tema también da la
pauta para retomar álgebra, en la que a base de representaciones literales (letras), nos
introduce al conocimiento de monomios, binomios y polinomios, para después aprender la
resolución de ecuaciones lineales o de primer grado.
Posteriormente, se presentan los temas del sistema de ecuaciones por varios métodos: suma,
resta y multiplicación, así como el método de gráficas. Finalmente el tema de álgebra se
cierra con el Teorema de Pitágoras, que se resuelve con una ecuación de segundo grado.
Esperamos que sea de apoyo esta guía.
Examen diagnóstico quinta sesión - ED5
Tema/objetivo: Operaciones básicas (suma, multiplicación, etc.) de números con signo.
Los números con signo surgen por la necesidad
de fijar un ponto de partida o referencia con
respecto al cero, por ejemplo, para medir la
temperatura, para llevar un recuento de los años,
para conocer el aumento o disminución del
poder adquisitivo del dinero, etc. Dichos
números con signo los podemos representar en
la recta numérica.
Ejemplo: Leonor revisa 5 veces la temperatura de un
producto que guarda en el refrigerador. Primero hace
tres tomas partiendo de 0°C reduce 2 grados en
cada una ( , después hace 2 tomas en
las que la temperatura aumenta 2 grados en cada
una ( . ¿En qué temperatura final quedo su
producto?
1. ( ) Ejercicio: Tengo un pedazo de hielo a
-4ºC y después de un tiempo su
temperatura aumenta 3ºC.
¿En qué temperatura quedó el pedazo de
hielo?
Tema: Equivalencias de fracciones
Las fracciones que representan la misma medición pero con fracciones diferentes se llaman
equivalencias, por ejemplo: Tenemos 3 pasteles y los dividimos en rebanadas de diferente tamaño:
Partes en que
se dividió Color Fracción
1° en 2 Rosa
IGU
AL
2° en 4 Verde
3° en 8 Azul
Ejemplo: Sergio compró de pizza,
él se comió y su hermano del
total de la pizza.
¿Qué cantidad de la pizza les sobra?
a) b) c) d)
Equivalencia
Consumo
Resultado
2. ( ) Ejercicio: Don Pedro hereda un terreno a sus
6 hijos en partes iguales. Su hijo Juan piensa
construir su casa en la mitad del terreno que
herede.
¿En qué fracción del terreno completo
construirá Juan su casa?
Nota: El símbolo “ ” significa “por lo tanto”, dando respuesta a la pregunta correspondiente
Tema: Equivalente numérico de una fracción dada
Las fracciones pueden
convertirse a números
decimales. Para ello
sólo hay que dividir el
numerador entre el
denominador.
Ejemplo: se puede
escribir con números decimales
3. ( ) Ejercicio: Susana compró 11
bolsas de naranjas de kilo c/u.
¿Cuántos kilos de naranja compró?
Tema: Equivalente fraccionario de un número decimal
Para convertir un número
decimal a una fracción: La
cantidad de cifras que se
escriben a la derecha del
punto decimal determinan
el número de ceros que
forman el denominador
decimal de la fracción
Ejemplos:
4. ( ) Ejercicio: Karina tiene 0.750 kilogramos
(kg) de una esencia que comercializa, ella
quiere convertirla a número fraccionario.
¿Qué fracción de kg tiene Karina?
Tema: interpretación numérica de porcentajes
Porcentaje (%): es la proporción en la que la unidad o cantidad se divide entre 100
% de una unidad % de una cantidad
Es otra forma de
representar una parte de
la unidad. En el tanto por
ciento la unidad (uno), se
ha dividido en 100 partes
iguales, por lo tanto hablar
de tanto por ciento, es
hablar de una fracción
cuyo denominador es 100.
1) La cantidad se divide en 100 partes iguales
para obtener el 1% de la cantidad.
2) El resultado se multiplica por el % deseado
Ejemplo: Daniel tiene 16 caballos, le compran el
75 %. ¿Cuántos caballos vendería?
Si dividimos
Multiplicamos
12 caballos son el 75% de los 16 que tiene Daniel
El tanto por ciento se representa en 3 formas:
5. ( ) Ejercicio: Marcos atiende una juguetería de lunes a viernes.
Recibe en inventario 12 pelotas el día martes. Vende el 25% y el
jueves vende el 50% de la cantidad que recibió. ¿Cuántas pelotas le
quedan en existencia?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
Tema: regla de tres
Regla de tres: La regla de tres es un método que
permite establecer una proporcionalidad entre cuatro
datos, cuando se conocen tres de ellos.
Ejercicio: En la tienda hay Promoción del 15% de
descuento en celulares. Rubén acude a comprar un
celular que tiene un precio de $ 400.°°.
¿A qué equivale ese descuento? R. ___$60____
¿Cuánto le costará el celular? R.
Ejercicio: Sandra tiene la
necesidad de solicitar un
préstamo de $3,000.°°, el
banco le presta el capital
(dinero) con un rédito mensual
del 8%.
11. ( ) La operación que hace para
saber el rédito (interés) mensual a
pagar es:
12. ( ) ¿Cuánto pagará
de rédito al mes?
a) 266 b) 240
c) 80 d) 375
Tema: Interpretación de datos en tablas
Una tabla se utiliza para organizar información, es una manera de presentar datos y ubicarlos de
manera precisa. Una tabla está formada por un título, columnas y filas; las columnas son verticales
y las filas horizontales; el título normalmente va en la parte superior de la tabla.
Ejemplo: En una florería, Juanita es la responsable de las ventas del fin de semana y para organizar
la existencia de flores, elabora la siguiente tabla con el “Título”: Inventario de plantas.
Las columnas están encabezadas
por las palabras: Flor, Sábado,
Domingo y Venta.
Las filas inician con los nombres de
las flores, por lo que la palabra
Dalia se encuentra en la primera
columna y en la tercera fila.
La existencia final de 28 margaritas
se señala en la cuarta columna y
cuarta fila.
Inventario de plantas (fin de semana)
Flor Recibí Sábado Domingo Venta
Rosa 250 110 32 218
Dalia 340 171 52 288
Margarita 150 126 28 22
Clavel 180 145 70 110
TOTAL DE VENTA $ 638
Con base en la tabla podemos contestar preguntas sobre la existencia de las diferentes flores por
día: sábado o domingo, además del corte de caja, toda vez que conocemos la venta del fin de
semana. Así, podemos contestar a preguntas como:
¿Cuántos claveles se vendieron el fin de semana?____110_____
¿Cuántas Dalias recibió Juanita?_____340___
Conociendo el costo de las flores, la tabla nos ayuda a obtener el corte de caja mediante la columna de Venta
Ejercicio: Saúl revisa la existencia de muebles de
la tienda que es de su propiedad, el contabiliza 1
sala, 2 cómodas, 3 revisteros y 1 comedor. Él
decide surtir su mueblería y compra, 3 comedores,
2 salas, 1 cómoda, 7 revisteros y 1 recamara.
Llenar la tabla con los títulos en columnas y filas.
6. ( ) ¿Cuál es el inventario final después de la
compra?__________________________
Mueble Existencia Compra Inventario
Comedor 1 3 4
Sala 1 2 3
Cómoda 2 2 4
Revistero 3 7 10
Recámara 0 1 1
Solución de problemas con ayuda de información presentada en tablas
Con esta estrategia puedes llevar números, datos y combinaciones en una forma organizada. En
estas tablas puedes colocar números, palabras, símbolos y cualquier otro tipo de información.
Ejemplo: En la clase del profesor Torres se estudian los números pares e impares y la división. El
profesor plantea el siguiente problema:
“El número misterioso tiene 4 dígitos y está entre 4230 y 4240. Por lo menos dos de sus dígitos
son impares y todos son diferentes, además de que la cifra es divisible entre 7”.
¿Cuál es el número misterioso?
► El número misterioso es 4235.
► Tiene dos dígitos impares: 3 y 5.
► Todos los dígitos son diferentes 4, 2, 3,
5.
► Es divisible entre 7. (al dividir da 605)
La tabla nos ayuda a visualizar que el N°
4235 cumple con un “si” en las tres
columnas o condicionantes.
Número Dos
dígitos impares
Dígitos diferentes
Divisible entre 7
4231 si si no
4232 no no no
4233 si no no
4234 no no no
4235 si si si
4236 no si no
4237 si si no
4238 no si no
4239 si si no
4240 no no no
Ejercicio: Juan empieza a trabajar en una tienda y le
piden revisar el inventario de 300 piezas en una
mueblería. Como desconoce el proceso y sólo tendrá
media hora diaria para esa actividad, su jefe sabe por
experiencia que Juan aumentará cada día el número (#)
de muebles inventariados.
Problema: Hay 300 muebles que inventariar, y Juan los
revisará diariamente a razón de 10 el 1er día, 15 el 2°
día, 20 el 3er día, etc. Quiere decir que hay un patrón de
5 muebles más inventariados por cada día que pasa.
7. ( ) Elaborar la tabla que permita saber en
cuantos días concluye Juan con dicha actividad,
(puedes integrar columnas para días, para muebles
inventariados y para la suma o total de muebles
inventariados)
Día Muebles inventariados
Total de muebles
inventariados
1 10 10
2 15 25
3 20 45
4 25 70
5 30 100
6 35 135
7 40 175
8 45 220
9 50 270
10 30 300
Tema: plano cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical,
eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
Para localizar puntos en el plano cartesiano:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se
cuentan las unidades correspondientes
hacia la derecha si son positivas o hacia
La izquierda si son negativas, a partir del
punto de origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se
cuentan las unidades correspondientes
hacia arriba si son positivas o hacia abajo,
si son negativas y de esta forma se
localiza cualquier punto dadas sus
coordenadas.
Ejemplo: en el siguiente plano cartesiano
se ubican 4 puntos, cada uno con dos
coordenadas, la 1a corresponde al eje X y la
2a al eje Y.
El punto A, tiene las coordenadas (-5, -3).
Para el eje “X” -5 (horizontal)
Para el eje “Y” -3 (vertical)
El punto B, tiene las coordenadas (0, 3)
Buscamos horizontalmente a “x” con “0”
Y verticalmente ubicamos a “y” con “3”
La misma función en los incisos C y D
Ejercicio: encontrar las
coordenadas que ubican
el plano cartesiano del
mapa adjunto:
a) (-3, -4) c) (-4, -3)
b) (-4, 3) d) (4, -3)
Tema: Interpretación de pictogramas para comparar cantidades
Pictograma: es un gráfico con dibujos alusivos a un tema ubicados en un eje cartesiano, se utiliza
para hacer más amigable y entendibles los informes estadísticos. Los datos se recopilan a través
de una encuesta o investigación.
Los dibujos alusivos se colocan en la
gráfica de forma proporcional a la
frecuencia o cantidad que
representan.
Ejemplo: el siguiente pictograma tiene
datos sobre los millones de árboles
existentes en algunos estados de la
república mexicana en el año 2000. M
illo
ne
s d
e á
rbo
les
Ca
mp
Ch
is
Ver
Yu
c
Q.R
o
o O
ax
Sin
Estados de México con mayor producción forestal
Con este pictograma se puede redactar información como:
En el año 2000 Campeche tenía la mayor área forestada con 7 millones de árboles, seguida por
Chiapas con 5 millones y medio de árboles en su territorio, etc.
Ejercicio: La demanda de un tipo de vehículo en algunos países de Sudamérica se muestra en el siguiente pictograma.
8. ( ) Llenar la siguiente tabla con los datos del
pictograma correspondiente.
Demanda anual de un vehículo en países de Sudamérica
Colombia 20000
Venezuela 40000
Argentina 120000
Chile 150000
Brasil 160000
Valor del pictograma
Análisis: el caso de Chile la demanda
equivale a (140,000+10000)
Pa
íse
s
Pictograma: “Demanda anual de un vehículo en países de Sudamérica”
Demanda
Potencias
Cuando los factores de una multiplicación
son iguales, se puede escribir como
potencia.
En una potencia, la base es el número
(factor) que multiplicamos por sí mismo y
el exponente es el número que indica
cuantas veces multiplicamos la base.
Las multiplicación se puede representar con un
punto: ● o usando paréntesis: ejemplo:
Una de las ventajas es que en álgebra el signo
no se confunde con la letra .
Observar que cada vez que se
disminuye un exponente en una
unidad la potencia se divide entre 5.
De acuerdo con esto, al pasar del
exponente 1 al 0 hay que dividir
En álgebra también se usan literales (letras) para representar cantidades. Ejemplos:
También el exponente se puede representar con una letra:
Lo cual indica que el factor esta elevado n veces:
Cuando la base es negativa se procede de la misma
forma:
Signo de una potencia:
1.- Las potencias de exponente par son siempre positivas:
Ejemplo: 26 = 64 (−2)
6 = 64
2.- Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base:
Ejemplo: 23 = 8 (−2)
3 = −8
Tema: jerarquía de operaciones
Cuando encontramos expresiones como , se pretende hacer dos operaciones con tres
números:
Si primero sumamos
Si primero multiplicamos
Entonces debemos preguntarnos ¿Qué operación debemos realizar primero?
Para evitar confusiones, se han establecido reglas para realizar las operaciones en un orden
determinado.
Operación Proceso
Ejemplo:
6 + (4 + 23)
11. ( ) Ejercicio:
Figuras geométricas
La clasificación básica de las figuras
geométricas es de acuerdo a sus lados:
Triángulo 3 lados
Cuadrilátero 4 lados
Polígono Más de 4 lados
Nombre de las figuras geométricas de acuerdo al número de lados
Jerarquía de operaciones
1° Potencia y raíces 2° Las operaciones dentro de paréntesis 3° Multiplicaciones y divisiones 4° Sumas y restas
Se llama ángulo a la abertura que determinan dos líneas rectas que tienen el mismo punto
extremo. A las dos líneas se les llama lados del ángulo y el punto donde se unen se le llama
vértice.
La unidad de medida de los ángulos es el grado
El círculo forma un ángulo de 360°
Medio círculo forma un ángulo de 180°
Un cuarto de círculo forma un ángulo de 90°, mejor conocido como ángulo recto.
Características de un cuadrado Características de un triángulo
Una diagonal es la recta que une dos vértices no consecutivos de una figura cerrada de 4 o más lados:
El rectángulo tiene dos diagonales.
El pentágono tiene 5 diagonales.
Cálculo del área de superficies
Para medir el área de cuadrados y
rectángulos, generalmente se utilizan
unidades cuadradas. El metro cuadrado es
una de las unidades que más se utilizan para
medir superficies.
Para calcular el área de un rectángulo se
multiplica la longitud de su base por la
longitud de su altura:
Para calcular el área
de un cuadrado se
hace de la misma
forma que con el
rectángulo, pero como
sus cuatro lados
miden lo mismo, se
multiplica lado por
lado, si un cuadrado
midiera 3m de cada
lado:
__________________
Ejercicio: ¿Cuál es el área del campo?
El área es una medida agraria, equivale al área
de un cuadrado de 10m X 10m, es decir 100
metros cuadrados (100m2).
La hectárea equivale a 100 áreas, es decir
10000 metros cuadrados (10000m2), su símbolo
es ha.
La centiárea es la centésima parte de un área.
Cada figura geométrica tiene dos fórmulas. La 1ª tiene la letra “P”, que significa perímetro, se refiere
al contorno de la figura y se determina en medidas lineales como el cm, m o km.
La 2ª fórmula tiene la
letra “A” que significa
área y se utiliza para
obtener la superficie
interior de la figura (lo
coloreado), lo que se
desea cubrir con algo,
por ejemplo pintura en
la pared.
Notas: Cuando dos literales (letras) se encuentran unidas como en la fórmula para obtener el área
del rectángulo “ ” significa que se multiplica: .
Cuando un número o una literal elevada al cuadrado como la fórmula para obtener el área del
cuadrado” ”, significa que esa letra se multiplica por sí misma 2 veces: . Otro
ejemplo:
Para obtener el área de un círculo, debemos tener presente lo
siguiente:
Su valor es constante y equivale a 3.1416, resulta de dividir la
circunferencia entre su diámetro. Algunas personas calculan usando
3.14 y otras 3.1416.
Para conocer la circunferencia o perímetro del círculo, se multiplica
el diámetro del círculo por
El área de un círculo se obtiene multiplicando el cuadrado del radio
por . Considerando que significa que se multiplica por sí mismo.
Ejemplos:
Para conocer el área de un rectángulo que tiene 6.8 cm de base y 4.9 cm de altura:
Si un círculo tiene 8 m de radio, su área será:
Ejercicios. Calcular el área de las siguientes figuras geométricas:
Figura Fórmula Datos Despeje Área
11. ( ) ¿Cuál es el área?
12. ( ) ¿Cuál es el área?
Clases de cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos ocupan un volumen en el espacio, por lo tanto, tienen tres dimensiones:
alto, ancho y largo, y están formados por figuras geométricas.
Los cuerpos geométricos están formados por caras, aristas y vértices. Algunas de sus caras son
laterales y otras son basales o bases.
Las aristas son líneas en las que se unen dos caras del cuerpo geométrico.
Los vértices son los puntos donde se unen 3 o más caras de un cuerpo geométrico.
Los cuerpos geométricos se pueden clasificar de varias formas, una de ellas es por la estructura de
sus partes.
Se distinguen dos clases de cuerpos geométricos con volumen:
Los poliedros: o cuerpos planos, que son cuerpos geométricos con volumen, compuestos
exclusivamente por figuras planas, por ejemplo el cubo
Los cuerpos geométricos redondos: que son cuerpos geométricos compuestos total o
parcialmente por figuras geométricas curvas, por ejemplo el cilindro, la esfera o el cono.
Poliedros regulares:
Poliedros irregulares
Volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo, objeto o material, se mide generalmente
en unidades cúbicas, lo cual significa que para medir el volumen se cuenta la cantidad de cubos que
ocupan el mismo espacio que el objeto o material que se mide.
Las unidades cúbicas más comunes son el metro cúbico ( ) y el centímetro cúbico ( ). Para
obtener el volumen revisa las fórmulas que se encuentran en cada figura volumétrica.
Para calcular el volumen de un prisma es, multiplicando la superficie de la base por la altura; entonces multiplicamos:
Ejercicio: calcular el volumen del siguiente cubo de agua:
1º.
2º.
Ejercicio
FÓRMULAS
DATOS
SUSTITUCIÓN
13. ( ) RESULTADO
Tema / Objetivo: área de figuras compuestas
Un carpintero requiere conocer el área de un par de puertas, para saber la cantidad de material
que empleara en su elaboración. Ya tiene el área de la primera puerta. ¿Cuál es el área de la
segunda puerta?
4.5
m
m
4m
2.5 m
Ejemplo:
1° Calcular el área rectangular
2° Calcular el área de la parte triangular:
3m
2.2 m
Ejercicio: 1° área del semicírculo:
2° área del rectángulo
3° Suma de las dos áreas
3° Sumar las dos áreas:
14. ( ) ¿Cuál es el área de la puerta?
a) c)
b) d)
Tema / Objetivo: probabilidad
La probabilidad de que un evento ocurra puede expresarse como la fracción. La probabilidad es una
rama de las matemáticas que estudia los fenómenos del azar.
A la probabilidad de que ocurra un evento o hecho se le asocia un número que va del cero al 1. El
número asociado a la probabilidad es cero, uno o un número fraccionario o decimal, pudiendo
expresarse en porcentaje.
Cuando es seguro que ocurra un evento o suceso se le asocia el número 1, cuando es seguro que
no ocurra un evento o suceso se le asocia el número cero (0).Cuando se toman decisiones se
analizan todas las posibilidades que tienes; como al vestirse, se elige la ropa en función de la
probabilidad de lluvia.
Ejemplo: Rosa y Leticia quieren tomar un
curso de verano en donde les ofrecen
distintas opciones para practicar un
deporte y una actividad recreativa.
Para saber cuántas opciones tenían, organizaron la información en una tabla:
Actividades Deporte
Tenis Fútbol Voleibol Basquetbol Natación
Baile de salón X X X X X
Ajedrez X X X X X
Dominó X X X X X 1. ( )
Con ella pudieron ver todas las opciones, por ejemplo, puede ser tenis y baile de salón; tenis
y ajedrez; o tenis y dominó. En total se pueden contar con un total de 15 opciones diferentes.
4m
Club sociocultural
Elija el deporte que más le gusta y una
actividad recreativa por $250.°° al mes
Deportes: Tenis, fútbol, voleibol, basquetbol, natación
Actividad recreativa: Baile de salón, ajedrez, dominó
Tema: sucesión de números
Una sucesión es un conjunto de números que sigue una determinada ley de formación,
teniendo un orden secuencial. Los números que forman la sucesión se denominan términos.
Todas las sucesiones tienen un 1er término, un 2°, 3° 4° y así sucesivamente.
Ejemplo: 6, 12, 18, 24, 30, 36, . . .
Cada sucesión se nombran con una letra y un subíndice (n) cuyo valor depende del lugar que
el término ocupa en la sucesión (ese valor empieza siempre en 1, y sigue 2, 3 ,4 ,5, 6, 7, etc.:
El término general de una sucesión es una expresión (fórmula o patrón o regla) que permite conocer el valor de cualquiera de los términos en función del lugar que ocupa.
Ejemplo del término general 2n
n 1 2 3 4 . . . 27 28
2n 2 4 6 8 - 54 56
Las sucesiones pueden ser crecientes,
cuando van en aumento: 3, 6, 9, 12, 15, . . .
Son decrecientes cuando van disminuyendo:
50, 45, 40, 35, 30, . .
Sucesión de figuras
En un grupo de figuras como la siguiente puede haber una sucesión. ¿Podrías determinar cuantos puntos integra la figura N° 6?
Para encontrar el término general:
1° Tomamos nota del # de puntos que tiene cada figura, los anotamos en una tabla.
Figura 1 2 3 4 5 6
N° puntos
4 8 12 16 20 ?
2° Notar cuantos puntos hay de diferencia en cada figura:
a) Cada figura aumenta 4 puntos al anterior (múltiplos del 4).
b) El lado de cada figura aumenta un punto de cada lado
3° La figura 6 tendría 24 puntos, ( 6x4=24)
Sucesión numérica
Procesos para la sucesión 7, 13, 19, 25, . . Término general representado con literales:
an+b
n 1 2 3 4 5 ... 9
Sucesión 3 5 7 9 11 … ?
Para encontrar el término general
1º La sucesión aumenta de 2 en 2. Por lo
tanto, a = 2 Sustituimos en la fórmula
2n+b
2º El primer término de la sucesión es 3 Para n=12(1)+1=3
Para n =1 2(1) + b = 2 + b =3
El único valor de b que hace que el primer
término sea 3 es 1, así que, b = 1
Para n=22(2)+1=5
Para n=32(3)+1=7
Para n=92( ? ) + 1 =___?____ . .
Si deseamos conocer el número de la fila n, se
desarrolla la fórmula sustituyendo el número
correspondiente y desarrollando la fórmula.
Ejercicios: En base a los términos generales,
completa la sucesión correspondiente
15. ( )
5, 9, 13, 17,______ 21, _____, 29, ..
16. ( )
-1, 2, 7, 14, 23, 34, _____, 62, _____,
Tema: expresiones y ecuaciones algebraicas (utilidad de literales en álgebra)
Literal: una literal puede representar una incógnita, un número o una variable de una función.
Expresiones algebraicas Ejemplos Ejercicios
Un número más 15
Un número menos 20
El triple de un número
La suma de 2 números
El doble de un número más 12
La mitad de un número
La mitad de un número menos 7
Un número divido entre otro
La multiplicación de 2 números
La multiplicación de 2 números más 5
5 menos un número
2000 menos un número
Un número más la mitad del mismo
Un número al cuadrad
En algebra se usan letras para representar
cantidades y se llaman literales como es:
Su empleo es parecido al de los números en la
aritmética. En el siguiente ejemplo Cada
segmento pequeño mide , la medida del
segmento AB es:
La multiplicación de un número y una literal,
queda expresada:
Son expresiones algebraicas:
Coeficiente: es el número que multiplica una literal,
Nota: recuerda que el exponente determina
cuantas veces se debe multiplicar la literal o
coeficiente por sí mismo: ejem.
Cuando el coeficiente y exponente es 1, no se
escribe.
Ejemplo:
No toda expresión algebraica es una ecuación. La igualdad se cumple sólo para algunos
valores de las incógnitas llamados soluciones.
Es una identidad
Una Identidad
En una identidad no tiene sentido calcular el valor
de la incógnita, ya que una identidad se cumple
para cualquier valor. Ejemplo:
Tema: monomios, binomios, polinomios y su reducción
A los sumandos se les llama términos:
La suma: tiene 4
términos
Una expresión algebraica compuesta por un
solo término se llama monomio.
Ejemplos: 3 , 5 , -x
Una expresión algebraica compuesta por dos
términos se denomina binomio.
Ejemplos: ,
Polinomios: son expresiones algebraicas que
se componen de dos o más monomios.
Ejemplo: 5 x
Simplificación de términos semejantes:
Cuando dos términos tienen las mismas
literales con los mismos exponentes se dice
que son semejantes, como son:
Un polinomio puede reducirse al sumar o restar
los términos semejantes que lo forman:
Ejemplos: y
En ocasiones los polinomios están dentro de un
paréntesis, dicho paréntesis puede estar
antecedido por un signo de más o menos (+ o -).
A los sumandos se les llama términos,
La suma: tiene 4
términos
Signo en el paréntesis
Si el signo que antecede al paréntesis es
positivo, se quita el paréntesis sin cambiar el
signo de los sumandos del polinomio encerrado
dentro del paréntesis.
Ejemplo:
Simplificando:
Si el signo que le antecede es negativo, se
cambia el signo a los sumandos del polinomio
encerrado dentro del paréntesis y se quita el
paréntesis.
Ejemplo:
Simplificando:
Cuando el paréntesis lleva signo positivo y está
al inicio del polinomio, generalmente no se
escribe el signo, pero si es negativo, sí se
escribe:
Ejemplo:
Simplificando:
Tema: suma, resta y multiplicación de monomios y polinomios
Eliminación de paréntesis
Cuando hay varios paréntesis metidos unos
dentro de otros, se eliminan paso a paso,
iniciando con los interiores. Ejemplo:
Simplificando:
Suma de polinomios
Para sumar polinomios, se localizan los
términos que son semejantes y se realiza la
suma de coeficientes
Nota: es más fácil si se acomodan en filas los
términos semejantes:
17. ( ) Ejercicio
Resta de polinomios
Para restar polinomios, se cambia el signo a todos los términos que forman el sustraendo y después se suma:
Ejemplo: Cambio signo y sumo
18. ( ) Ejercicio: Cambio signo y sumo
Multiplicación: monomio por monomio
Se multiplican los coeficientes de ambos y después
las literales
Ejemplo: Cambio signo y sumo
Multiplicación: monomio por polinomio
Para multiplicar un polinomio por un monomio. Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Ejemplos: 19. ( ) Ejercicio:
Multiplicación: polinomio por polinomio
Para multiplicar un polinomio por otro polinomio, se multiplica cada término de un polinomio por cada término de otro polinomio y se suman para simplificar.
Ejemplo:
20. ( ) Ejercicio: 12a
Tema: ecuaciones de primer y segundo grado
Para la búsqueda de incógnitas es importante:
1° Leer con detenimiento el problema
2° Analizar los datos y su relación.
3° Buscar qué nos preguntan y elegir una letra que represente
En una ecuación, cada sumando
se denomina término, y todos los
elementos de cada lado del signo
igual (=) se denomina miembro.
+
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
+
a esa pregunta o incógnita (emplear tantas incógnitas como
cosas nos pregunten);
4° Plantear la ecuación que represente el problema.
Regla de operatividad para dejar a “x” sola en el primer
miembro de una ecuación: para pasar un término del otro lado
del signo igual (=), si está sumando pasa restando, si está
restando pasa sumando, si está dividiendo pasa multiplicando y
si está multiplicando pasa dividiendo
Suma
Resta
Multiplica
Divide
pasa Restando
Sumando
Dividiendo
Multiplicando
=
pasa
El grado de una ecuación es el mayor de los exponentes a los que está elevada la incógnita.
Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado:
Las literales o incógnitas están elevadas
al exponente 1.
Ejemplo:
Las ecuaciones de segundo grado están
elevadas al cuadrado, ejemplo de ello es la
ecuación del teorema de Pitágoras:
Ecuaciones de primer grado
En las siguientes ecuaciones y el objetivo es dejar sola a “x” como un miembro.
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: Beto pagó $190.°° por unos tenis que
costaban $240.°° ¿Cuánto le descontaron?
Ejercicio: Celeste compra abarrotes en la tienda
por $172.°°, paga con un billete de $200.°° y la
cajera le pide $22.°° más. ¿Cuánto es de cambio?
21. ( ) ¿Cuál es la ecuación a desarrollar?
a) b)
c) d)
22. ( ) ¿Cuánto dinero le deben dar de cambio?
a) 50 b) 42 c) 28 d) 68
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: Juanita tiene 39 años y su hija de 11
años le pregunta ¿Cuántos años tenías cuando
nací?
(-1) (-1)
Ejercicio: Liliana tiene 7 años, quiere saber en
cuántos años emitirá su voto.
23. ( ) ¿Qué ecuación expone el problema?
a) b)
c) d)
24. ( ) ¿Cuántos años le faltan para votar?
a) b) c) d)
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: La revista del consumidor calcula que
una familia de 4 integrantes malgasta 436 litros de
agua.
Ejercicio: Una hoja de triplay es cuatro veces más
larga que ancha y tiene un perímetro de 12.8 m.
25. ( ) ¿Cuáles son sus medidas?
a) 3.2 m b) 2.13 m c) 1.6 m d) 1.28 m
¿Cuántos litros malgasta en promedio un
integrante de la familia?
Ejercicio: Sandra tiene experiencia en su
trabajo, su sobrina gana $72.°° al día, la
tercera parte de lo que gana Sandra.
26. ( ) ¿Cuánto gana Sandra?
c) 185 d) 220 c) 216 d) 238
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: Sergio recibió de salario $9800.°° por cuatro
semanas de trabajo y una compensación de $400°°,
¿Cuánto gana semanalmente?
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: se colocan 3 focos, juntos consumen
280 watts de energía, el 1er foco es de 70
watts, los otros dos focos consumen la misma
cantidad de energía. ¿Cuántos watts
consumen el 2° y 3er foco?
Ejercicio: El hermano mayor de una familia tiene
4 años más que el 2° hermano, si entre los dos
tienen la edad del padre de 38 años.
27. ( ) ¿Qué edad tiene el hermano menor?
a) 23 b) 17 c) 25 d) 19
Ecuaciones de la forma:
Ejemplo: La tercera parte de la caja de
chocolates más 5 son 17 chocolates. ¿Cuántos
chocolates tiene la caja?
28. ( ) Ejercicio: fórmula para convertir grados Fahrenheit a grados centígrados es:
.
Convertir 85°F a °C
Tema: gráfica de una ecuación de primer grado
Cuando hay una cantidad que cambia de valor cuando cambia el valor de otra, se dice que una
depende de la otra. Cuando una ecuación tiene dos literales que representan números
desconocidos, dichas literales son “Variables”. Ejemplo:
La “x” puede tomar muchos valores, como: Si “x” vale 1, “y” vale 3,
S i “x” vale 2, “y” vale 6.
El valor de “y” en la ecuación depende del valor de “x”, por lo que:
“x” es la variable independiente
“y” es la variable dependiente
Ejemplo: Elena trabaja en una zapatería, y su sueldo quincenal es de $ 1 200.°° más una comisión de
$ 15.°° por cada par de zapatos que vende. Analiza como calcula su salario quincenal.
Elena sabe que para calcular su salario
puede usar la siguiente ecuación:
x y
10 1350
15 1425
20 1500
25 1575
30 1650
Para resolver una ecuación con 2 variables
1° Asignar valores a la variable independiente
2° Calcular valores de la variable dependiente
Gráfica de una ecuación de primer grado
Ejemplo: Los taxis cobran $4.°° por cada
kilómetro recorrido más $9.°° por servicio.
¿Cuánto cobran por un viaje?
La ecuación que representa esta relación de las
variables es:
(independiente)
(dependiente)
Una tabla puede auxiliar Gráfica de los datos en tabla
X Y
1 13
2 17
21
4 25
5 29
6 33
7 37
8 41
Ejercicio: Olivia va a rentar un coche. En la arrendadora “Suárez” en la que cobran $180.°° más $5
por kilómetro recorrido. En la “Comodidad” cobran $50.°° por kilómetro recorrido.
Considerando qué:
29. ( ) ¿Cuál es la ecuación que representa el precio de “Suárez”?
a) b) c) d)
30. ( ) ¿Cuál es la ecuación que representa el precio de “Comodidad”?
a) b) c) d)
Se realiza la tabla
Se elabora la gráfica respectiva
Km recorrido
“Suárez” “Comodidad”
10 630 500
20 1080 1000
30 1530 1500
40 1980 2000
50 2880 2500
Tema: sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones de primer grado (o lineales), implica la relación de valores de las
incógnitas de ambas ecuaciones.
Método de sustitución
Para resolver un sistemas de 2 ecuaciones con 2
incógnitas de primer grado:
(1)
(2)
1° Despejar una variable y encontrando su valor
en términos de la otra
Despejo en la ecuación (1)
2° Sustituir dicho valor en la ecuación (2) y se
obtiene una ecuación con una incógnita
Sustituyo el valor de en la ecuación (2)
3° Conocido el valor de lo sustituyo en la
ecuación (1)
Sustituyo el valor de en la ecuación (1)
4° Compruebo en las ecuaciones (1)
(2)
Ejemplo: Don miguel es ganadero; vendió 1 becerros y 1
borrego en $1600.°° a un comprador. Al mismo precio por
cabeza, vendió a otro comprador 3 becerros y 5 borregos
por los que recibió $6050.°°.
¿En cuánto vendió cada becerro y borrego?
y
(1)
(2)
Despejo : (1)
Sustituyo
(2)
Comprobando
(1)
1650=1650
(2)
Cada becerro ( ) lo vendió en $1100.°°
Cada borrego ( lo vendió en $550.°°
Sustituyo (1)
Ejercicio: La entrada al circo cuesta $28.°° para niño y
$55.°° para adulto y hoy recaudaron $8615.°° por 245
boletos vendidos.
31. ( ) ¿Cuántos boletos para adulto y cuántos para niño
vendieron?
(1)
(2)
Despejo (1)
Sustituyo (2)
y
Comprobando
Sustituyo (1)
Sistema de ecuaciones Método de suma o resta
Para resolver un sistemas de 2 ecuaciones con
2 incógnitas de primer grado:
(1)
(2)
1° Hay que sumar o restar los términos
semejantes de ambas ecuaciones, de tal
forma que se elimine una incógnita
Sumo o resto términos de las ecuaciones
(1)
(2)
2° Resolver la ecuación obtenida
con una sola incógnita
3° Conocido el valor de lo sustituyo en la
cualquiera de las ecuaciones.
Es este caso (1)
Sustituyo el valor de en la ecuación (1)
4° Compruebo sustituyendo valores de y
(1)
(2)
Ejemplo: Don miguel vende pollitas de postura de dos
variedades: rojas y avadas, con distinto precio cada
una. Su hijo nota que en una venta un señor le compra
8 pollas avadas y 6 rojas y le pagan $174.°°. Minutos
más tarde el mismo cliente quiere regresar las 6 pollitas
rojas y comprar 10 pollas avadas, a lo cual accede Don
Miguel y le cobra sólo $48°° descontando el costo de
las pollitas rojas. Su hijo que le ayuda ve esas compras
y quiere saber el precio de cada variedad de pollitas.
¿Cuál es el costo de venta de cada variedad de pollitas?
y
(1)
(2)
Sumar o restar
Resolver la nueva ecuación:
Sustituyo el valor de en la ecuación (1)
Comprobando La pollita avada se vende en $12.°°
+/-
_
La pollita roja se vende en $13.°°
32. ( ) Ejercicio: Revisa la resolución del
siguiente sistema de ecuaciones y
comprueba su resultado.
33. ( ) ¿Cuál método de resolución se aplica?
__________________________________
Sistema de ecuaciones Método de suma o resta (con multiplicación de una ecuación)
En caso de que ninguna incógnita tenga igual el valor absoluto de
sus coeficientes puede multiplicarse alguna de las ecuaciones por el
número que sea necesario para que los 2 coeficientes de alguna de
las incógnitas tengan el mismo valor absoluto.
(1)
(2)
1° Se puede multiplicar la ecuación
(2) por 2 y obtener lo siguiente:
Multiplico por 2 la ecuación (2).
2° Resolver por suma o resta el
nuevo sistema de ecuaciones
(1)
(2)
16
3° Resuelvo la ecuación resultante
de suma y resta
4° Sustituyo el valor de x en
cualquiera de las ecuaciones
(1)
5° Compruebo sustituyendo
valores de y :
(1)
(2)
(2) (2)
Sistema de ecuaciones Método gráfico
Hay sistemas que pueden tener muchas soluciones, debido a que si se grafican las ecuaciones del
sistema, todos los puntos de una línea pertenecen a la otra. Hay sistemas que no tienen solución y
las líneas que corresponden a las ecuaciones son paralelas, por lo tanto no se cruza.
Para resolver un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas mediante el método de
gráfico, hay que graficar las dos ecuaciones y localizar las coordenadas del punto donde se cruzan.
(1)
(2)
1° Despejar en ambas ecuaciones
x y x y
1 10.5 1 18
2 9 2 14
3 7.5 3 10
4 6 4 6
5 4.5 5 2
6 3 6 -2
Como las líneas se cruzan en el punto: (4, 6),la solución del sistema es :
y
Comprobando
Gráfica de valores
Ejercicio: resolver el siguiente sistema de ecuaciones con el método
de gráfica. (1)
(2)
34. ( ) Despejar las ecuaciones
35. ( ) Elaborar la tabla de datos “ y de ambas ecuaciones
x y X y
1 -2 1 6
2 1 2 5
3 4 3 4
36. ( ) Elaborar la gráfica correspondiente
37. ( ) Comprobar los resultados
4 7 4 3
y y
Comprobación
Ejemplo:
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5
y1
y2
Tema: problemas del teorema de Pitágoras en contextos cotidianos
El Teorema de Pitágoras establece que en
un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa (el lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo) es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos (los dos lados
menores del triángulo, los que conforman el
ángulo recto).
De manera concreta el “Teorema de
Pitágoras” dice: “En todo triángulo
rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.”
Para ello recuerda:
1° Qué el triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto.
2° Cómo se obtiene el área de un cuadrado:
Ejercicio: Se necesita construir una escalera
para lavar un tanque de agua que se encuentra
a cinco (05) metros de altura y la escalera será
inclinada desde una distancia de 3 metros.
¿Cuánto debe medir la escalera?
Fórmula:
Ejercicio:
Román comprará un terreno que tiene forma triangular, lo que
suele llamarse como cuchilla, pero el vendedor no conoce una de
las medidas (la hipotenusa) de ese lote y le pide obtener ese dato
para conocer el perímetro y tratar el costo del terreno. Los catetos
(lados) miden 15 m (a) y 26 m (b).
1. Si la incógnita se resuelve mediante el teorema de Pitágoras. ¿Cuál es la fórmula para obtener la
Hipotenusa
(c)?
1. c2=a2+b2 2. c = 3. c2=2a+2b 4.