Matemáticas Sesión #8. Determinantes

Contextualización

En esta sesión se introducirá el concepto de determinantes y se considerara los tipos especiales de determinantes. A través de operaciones con determinantes el alumno aprenderá que una de las principales aplicaciones de estos modelos matriciales se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones de 3 variables o incógnitas.

Realizara operaciones de solución en determinantes de 2x2, 3x3 y se aplicara también la Regla de Sarrus.

Aprenderá a utilizar el método de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones.

Extraído de: http://upload.wikimedia.org/math/9/0/8/908b41a4af678e02dc602b82f4a4aa89.png sólo para fines educativos.

Introducción.

Ahora introduciremos una nueva función, la función determinante. Aquí las entradas serán matrices cuadradas, pero las salidas serán números reales.

Buscando formas para describir situaciones en matemáticas, finanzas y economía, llegamos al estudio de las matrices, las cuales se consideran arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considere el sistema de ecuaciones lineales.

2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 03𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 = 06𝑥 − 9𝑦 + 2𝑧 = 0

Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en las ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, el sistema puede ser descrito por el arreglo rectangular.

2 − 1 3 3 4 − 5 6 − 9 2

Explicación

Un arreglo rectangular de números que consiste en m renglones y n columnas, 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

………………

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛

Es llamado matriz de m x n o matriz de orden m x n. para la entrada 𝑎𝑖𝑗, llamamos a i el subíndice del renglón y a j el subíndice de la columna.

Si A es una matriz cuadrada, entonces la función determinante asocia con A exactamente un número real llamado determinante de A. Denotando el determinante de A con |A| (esto es, utilizando líneas verticales), podemos pensar en la función determinante como una correspondencia:

A |A|

Matriz cuadrada número real = determinante de A

Explicación

Determinantes de 2x2

Definición:

Si es una matriz cuadrada de orden 2, entonces

Esto es, el determinante de una matriz 2x2 se obtiene tomando el producto

de las entradas de la diagonal principal y restándole el producto de las

entradas de la otra diagonal:

21

11

a

a

21122211

22

12aaaa

a

a

Explicación

Ejemplo: Evalué los siguientes determinantes:

a).

b).

Explicación

Determinantes de 3x3

Si es una matriz cuadrada de 3x3 la

forma de encontrar su determinante se

resuelve a partir de varios métodos, en

esta sesión se trabajará

específicamente la regla de Sarrus.

Explicación

Extraído de: http://1.bp.blogspot.com/-tH4gyq0ebao/TsPDZScalDI/AAAAAAAAABo/jj4fq8rN6G0/s1600/DiariodeClase2bachB_624_7631.jpg

sólo para fines educativos.

Explicación

“Los términos con signo + están formados por los elementos de la

diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su

correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo − están formados por los elementos de la

diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su

correspondiente vértice opuesto.”

Recuperado el día 16 de abril del 2014 de: http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/sarrus.html sólo para

fines educativos.

Explicación

Extraído de: http://iescastelar.juntaextremadura.net/web/departamentos/matematicas/matematicasccss2ba/matematicas2ccss/imagenes/tdeterminantes10.gif sólo para fines educativos.

Explicación

Ejemplo: Encuentra el siguiente determinante de la matriz A

)2)(6)(3()5)(3)(2()1)(4)(4()1)(6)(3()4)(3)(2()5)(4)(2(

5

3

1

6

4

2

4

3

2

A

122363016182440

5

3

1

6

4

2

4

3

2

A

Explicación

Resolución de un sistema de 3x3 por regla de Cramer

Los determinantes pueden ser aplicados para resolver ciertos tipos de sistemas

de n ecuaciones lineales. De hecho, es a partir del análisis de tales sistemas que

surgió el estudio de los determinantes.

Regla de Cramer:

Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas como sigue:

Explicación

Si el determinante ∆ de la matriz de coeficientes A es diferente de

cero, entonces el sistema tiene una única solución. Además, la

solución está dada por

Donde ∆k, el numerador de xk, es el determinante de la matriz

obtenida reemplazando la k-ésima columna de A por la columna de

constantes.

Explicación

Ejemplo: Resuelve el sistema de 3x3 aplicando el método de Cramer.

Solución: el determinante de la matriz de coeficientes es:

Explicación.

Ya que ∆≠0, existe una solución única. Resolviendo para x,

reemplazaremos la primera columna de la matriz de coeficientes por la

columna de constantes y obtenemos

La solución es x = -1/2, y=2 y z=-1.

Conclusión

Recordemos que una matriz es un arreglo rectangular de números encerrado entre corchetes. La función determinante define la entrada de una matriz cuadrada y como salida habrá un número real.

La regla de Sarrus se utiliza únicamente en dar solución a los determinantes de matrices de 3x3.

La regla de Cramer es un método que se utiliza para la solución de sistemas de ecuaciones lineales de nxm a través del uso de los determinantes; en esta sesión se aplicó específicamente para sistemas de lineales de

3x3.

En la siguiente sesión nos introduciremos al concepto de derivada y utilizaremos las reglas básicas de derivación para funciones.

Extraído de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Dydx.jpg

sólo para fines educativos.

Para aprender más…

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para

enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Determinantes. Recuperado el día 16 de abril del 2014 de:

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/res.html

Método de Sarrus. Recuperado el día 16 de abril del 2014 de:

http://www.ditutor.com/determinantes/metodo_sarrus.html

Video para dar solución a un sistema de ecuaciones de 3X3

Recuperado el día 16 de abril del 2014 de:

http://www.youtube.com/watch?v=AJdCfaGjWlk#aid=P9Gnjzl8O0w

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te

permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias

sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall

hispanoamericana, S.A.

Cibergrafía

Ditutor. (s.f.). Determinantes. Recuperado el día 16 de abril del 2014 de:

http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/sarrus.html