s08 sistemas de ecuaciones
DESCRIPTION
servirá para resolver sistema de ecuacionesTRANSCRIPT
![Page 1: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/1.jpg)
jlc
![Page 2: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/2.jpg)
Conjunto de ecuaciones con varias incógnitas que
constituyen un problema matemático
La solución consiste en encontrar los valores de
las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
jlc
![Page 3: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/3.jpg)
jlc
![Page 4: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/4.jpg)
o Los métodos directos proporcionan una solución del
sistema en un número finito de pasos.
o Los métodos iterativos se parte de una
aproximación y se genera, a partir de dicha
aproximación, una sucesión de vectores que si
converge lo hace a la solución del sistema.
jlc
![Page 5: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/5.jpg)
La descomposición LU transforma una matriz a en el
producto de dos matrices triangulares
𝐴 = 𝐿𝑈
Donde 𝐿 es triangular inferior y 𝑈 es triangular
superior.
jlc
![Page 6: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/6.jpg)
𝐴𝑥 = 𝑏
𝐿𝑈𝑥 = 𝑏
𝐿 𝑈𝑥 = 𝑏
𝑈𝑥 = 𝑧 → 𝐿𝑧 = 𝑏
jlc
![Page 7: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/7.jpg)
jlc
33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
U
1
01
001
3231
21
ll
lL
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
![Page 8: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/8.jpg)
jlc
3
2
1
3
2
1
3231
21
1
01
001
b
b
b
z
z
z
ll
l
3
2
1
3
2
1
33
2322
131211
00
0
z
z
z
x
x
x
u
uu
uuu
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
33232131
22121
11
bzzlzl
bzzl
bz
1313212111
2323222
3333
zxuxuxu
zxuxu
zxu
![Page 9: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/9.jpg)
jlc
![Page 10: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/10.jpg)
jlc
![Page 11: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/11.jpg)
jlc
![Page 12: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/12.jpg)
jlc
![Page 13: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/13.jpg)
jlc
![Page 14: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/14.jpg)
𝐴𝑥 = 𝑏
𝒙 = 𝐸𝑥 + 𝑓
𝒙𝑘+1 = 𝐸𝑥𝑘 + 𝑓
La representación de 𝐸 y 𝑓 es
independiente del método.
jlc
![Page 15: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/15.jpg)
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
0
0
2
0
1
0
nx
x
x
x
)(1 0
1
0
2121
11
1
1 nnxaxaba
x
)(1 0
11
0
22
0
11
1
nnnnnn
nn
n xaxaxaba
x
)(1 0
2
0
323
0
1212
22
1
2 nnxaxaxaba
x
jlc
![Page 16: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/16.jpg)
La matriz se puede escribir de la forma 𝐴 = 𝐿 + 𝐷 + 𝑈
000
00
0
00
00
00
0
00
000
23
1312
33
22
11
3231
21
333231
232221
131211
a
aa
a
a
a
aa
a
aaa
aaa
aaa
n
ij
k
jij
i
j
k
jiji
ii
k
i xaxaba
x1
1
1
1 1𝑥𝑘+1 = −𝐷−1(𝐿 + 𝑈)𝑥𝑘 + 𝐷−1𝑏𝐸 = −𝐷−1(𝐿 + 𝑈)𝑓 = 𝐷−1𝑏
𝐴𝑥 = 𝑏 (𝐿 + 𝐷 + 𝑈)𝑥 = 𝑏
𝐷𝑥𝑘+1 = −(𝐿 + 𝑈)𝑥𝑘 + 𝑏
kk UxLx𝐷𝑥𝑘+1
jlc
![Page 17: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/17.jpg)
La matriz 𝐴 debe ser diagonalmente dominante.
El elemento de la diagonal principal sea mayor que
la suma del resto de elementos de la misma ecuación
jlc
aii aijj1ji
n
![Page 18: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/18.jpg)
jlc
15
21
7
512
184
114
3
2
1
x
x
x
0
0
00x
5/15
8/21
4/7
05/15/2
8/108/4
4/14/10
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
5
215
8
421
4
7
0
2
0
11
3
0
3
0
11
2
0
3
0
21
1
xxx
xxx
xxx
0.35
15
625.28
21
75.14
7
![Page 19: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/19.jpg)
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
0
0
2
0
1
0
nx
x
x
x
)(1 0
1
0
2121
11
1
1 nnxaxaba
x
)(1 1
11
1
22
1
11
1
nnnnnn
nn
n xaxaxaba
x
)(1 0
2
0
323
1
1212
22
1
2 nnxaxaxaba
x
Utilizamos la
estimación
anterior
jlc
![Page 20: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/20.jpg)
1
1 1
11 1 i
j
n
ij
k
jij
k
jiji
ii
k
i xaxaba
x
𝑥𝑘+1 = − 𝐷 + 𝐿 −1𝑈𝑥𝑘 + 𝐷 + 𝐿 −1𝑏𝐸 = − 𝐷 + 𝐿 −1𝑈𝑓 = 𝐷 + 𝐿 −1𝑏
𝐴𝑥 = 𝑏 (𝐿 + 𝐷 + 𝑈)𝑥 = 𝑏
𝐷 + 𝐿 𝑥𝑘+1 = −𝑈𝑥𝑘 + 𝑏
k1k UxLx 𝐷𝑥𝑘+1
jlc
![Page 21: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/21.jpg)
La matriz A debe ser diagonalmente
dominante
La matriz A debe ser simetrica y definida
positiva
jlc
![Page 22: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/22.jpg)
5225
21512
251220
2525
21512
51220
No es diagonalmente dominante No definida positiva
2525
21512
51220
Definida Positiva
Simetrica
Diagonalmente dominante
jlc
2528
21512
51220
No simetrica.
![Page 23: S08 Sistemas de Ecuaciones](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022020222/577c80501a28abe054a8245b/html5/thumbnails/23.jpg)
jlc
15
12
4
512
181
214
3
2
1
x
x
x
0
0
00x
5
215
8
12
4
24
1
2
1
11
3
0
3
1
11
2
0
3
0
21
1
xxx
xxx
xxx
075.35
625.1215
625.18
112
14
4