Matemáticas Sesión # 1. Fundamentos del Álgebra.

Contextualización

Esta sesión está diseñada para ofrecer una breve explicación de los

principios aritméticos y algebraicos que se requieren para el manejo

correcto de las matemáticas, tal es el caso de los números reales, la

prioridad de los operadores, el uso de paréntesis, redondeo de

decimales.

También recordaremos el cálculo de razones, proporciones y

porcentajes. Estos temas son de gran importancia para el uso

correcto de los temas que vienen después, lo más seguro es que la

exposición rápida de estos conceptos te resulte de mucho beneficio.

Al final aprenderás a manejar estos números y propiedades de una

manera más sencilla y eficaz.

Introducción al tema.

Esta sesión está diseñada para ofrecer un repaso breve sobre

algunos términos y métodos para manipulación de las

matemáticas.

Los números reales son el conjunto universal de los números,

pero ¿Cuáles son los números reales y cuáles son sus

propiedades?

Es importante entender que la aplicación correcta de la prioridad

de operadores y el manejo correcto de los paréntesis nos dan la

solución correcta al resolver una expresión matemática.

Las razones y proporciones son de gran uso en diversas

disciplinas; por ejemplo en la ingeniería se emplean las escalas

para realizar maquetas, en contabilidad se realizan muchos

movimientos financieros y en la vida diaria para efectuar

operaciones aritméticas.

Explicación

Prioridad de operadores y uso de paréntesis

En matemáticas las operaciones aritméticas tales como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación tiene un orden o prioridad de uso para solucionar de manera correcta cuando se agrupan varias operaciones, es importante definir la prioridad que tomaran los operadores en una expresión para la solución correcta.

Por orden de aplicación en una expresión debemos de resolver:

1.- Potenciación o radicación

2.- multiplicación y divisiones

3.- sumas y restas

Por ejemplo si tenemos: 32 + 2x5 – 6/2

Primeramente debemos de resolver 32 = 9, luego la multiplicación de 2x5 = 10, ahora la división de 6/2 = 3 y por ultimo realizaremos las sumas y restas que se tienen en la expresión:

9 + 10 – 3 = 19 – 3 = 16,

El 16 es la solución correcta a nuestra expresión aritmética.

Explicación

En algunas expresiones aritméticas se

requiere el uso de los paréntesis para

indicar que algunas operaciones se

deben efectuar antes que otras, o que

deben considerarse como un sólo

número.

Los paréntesis como [ ], { }, se utilizan

para situaciones en las que intervienen

varias operaciones secuenciadas.

Ejemplos: resuelve las siguientes expresiones aritméticas

Para sumar (5 + 7) – 6, se debe efectuar primero (5 + 7) y después restar 6 al resultado.

(5+7) — 6 = 12 — 6 = 4

Para resolver 4 + (6 + 52)

Primero se resuelve la potencia 52= 5x5 = 25

Después se realiza la suma que está entre paréntesis: (6+25 = 31)

Finalmente se resuelve la operación completa: 4+31 = 35

Explicación

Características importantes a considerar

en el uso de los paréntesis con los

signos:

Un paréntesis precedido del signo +

puede eliminarse sin afectar el signo

de los sumandos que contiene.

Si el signo que precede al paréntesis

es negativo esto afecta al resultado

de la operación contenida en dicho

paréntesis.

Ejemplos:

(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

No es lo mismo que: 7 — (2 + 3) = 7 — 5 = 2

- 5 - (23 — 32)

En este ejemplo, primero se resuelven las

potencias que se ubican dentro del paréntesis:

2 x 2 x 2 = 8 y 3 x 3 = 9

De esta manera se resuelve la resta del

paréntesis: 8 — 9 = - 1

Posteriormente se realiza la operación

completa: -5 +1 = - 4

Explicación

Redondeo de decimales

Primeramente debemos saber si estamos redondeando a décimas,

centésimas, etc. O a tantas cifras decimales como se requiera y así sabrás

cuánto quedará del número cuando hayas terminado.

Ejemplos Porque ...

3.1416 redondeado a las centésimas es 3.14 ... la cifra siguiente (1) es menor que 5

2.2635 redondeado a las décimas es 2.3 ... la cifra siguiente (6) es 5 o más

3.2715 redondeado a 3 cifras decimales 3.271 ... la cifra siguiente (5) es menor que 5

Explicación

Cálculo de razones, proporciones y porcentajes.

Razón.

Considere los números a y b. la razón en ellos es el cociente que se obtiene

al dividirlos:

Ejemplo:

Proporción.

Es la igualdad que se formula entre dos razones: y se lee: ‘a’ es a ‘b’

COMO ’c’ es a ‘d’. Esta misma proporción se puede escribir como ad = bc

Explicación

Proporcionalidad directa (regla de tres directa):

En una proporción en la que solo se nos dan el valor de 3 datos, podemos

calcular el cuarto de una manera sencilla.

Ejemplo: Un camión recorre 220 kilómetros con 30 litros de gasolina.

¿Cuántos kilómetros podría recorrer con 100 litros?

La proporción que se tiene es: aquí la “x” representa la cantidad

a buscar por lo tanto se tiene que despejar de nuestra proporción:

Explicación

Porcentaje.

Como "por ciento" quiere decir "por cada 100" se debe de pensar siempre

que "hay que dividir por 100"

Así que 25% quiere decir 25/100

Y 100% es 100/100, o exactamente 1 (100% de cualquier número es el

mismo número)

Y 500% es 500/100, o exactamente 5 (500% de cualquier número es el

quíntuple del número)

Explicación

Números reales.

Considere todos los números

(racionales e irracionales) que pueden

medir longitudes, junto con sus

negativos y el cero. A estos números se

les llama números reales.

Los números reales pueden verse

como etiquetas para puntos a lo largo

de una línea horizontal. Allí ellos miden

la distancia, a la derecha o izquierda (la

distancia dirigida), a un punto fijo

llamado origen y marcado con 0.

Extraído de: http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matematica1/recta_numerica.jpg solo para fines educativos.

Explicación

Algunas propiedades de las operaciones aritméticas con los números

reales.

Dados dos números reales x y y, podemos sumarlos y multiplicarlos para

obtener dos nuevos números reales x+y y x*y (también escrito

sencillamente como xy). La suma y la multiplicación tienen las siguientes

propiedades conocidas:

1. Leyes conmutativas.

x+y = y + x

xy = yx

Explicación

2. Leyes asociativas.

x + (y + z) = (x + y) + z

x(yz) = (xy)z

3. Leyes distributivas.

x(y + z) = xy + xz

4. Elementos identidad.

Existen dos números distintos 0 y 1 que satisface x + 0 = x y x*1 = x, para todo número real x.

5. Inversos.

Cada número tiene un inverso aditivo (llamado también opuesto), -x, que satisface x+(-x) = 0.

También cada número x, excepto el 0, tiene un inverso multiplicativo (también conocido como

reciproco), x-1, que satisface x*x-1=1

Conclusión

En los números reales es importante entender que la prioridad de

operadores se debe de aplicar de manera adecuada para la solución

correcta de nuestras expresiones aritméticas, el redondear números nos

permite que nuestros procesos sean más simples de solucionar ya que

reducimos el número de decimales que se puedan tener en un número.

Las razones, proporciones y porcentajes son otro tipo de cálculos que

podemos realizar con los números reales y el definir estos números nos

ayuda a identificar claramente el manejo correcto de ellos a través de sus

propiedades, es importante tener claro estos conceptos que son el

principio del fundamento algebraico.

En la siguiente sesión aplicaremos más a detalle estos

principios algebraicos para el manejo de los polinomios y

expresiones racionales.

Extraído de:

http://files.matematicasjuanhwhite.webnode.es/system_preview_detail_200000013-

be493bf431/Expresiones%20algebraicas.jpg solo para fines educativos.

Para aprender más…

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje.

Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Clasificación de los números reales:

Math2me. Clasificación de los números reales. Recuperado el día: 7 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=KxFTic7DfFA

Jerarquía de las operaciones (Prioridad de operadores).

Math2me. Eliminación de paréntesis. Recuperado el día 7 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=IzBhMmg-H8I

Explicación de cómo encontrar porcentajes utilizando fracciones.

Math2me. Porcentajes con fracciones. Recuperado el día 7 de abril del 2014: https://www.youtube.com/watch?v=JRhb3Fxd0u8

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

Bibliografía

Purcell, E., Varberg, D., Rigdon, S. (2003). Calculo diferencial e integral.

(8ta edicion). Ed. Pearson. ISBN: 013081137-8

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para

administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage

Learning. ISBN: 970-686-278-1