matematicas 3 habilidades y competencias

1Matemticas 3Habilidades y competencias

Javier ngeles ngelesRamn Guerrero Leyva

Elas Loyola Campos

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2 ngeles Editores, S.A. de C.V. 2013Campanario 26San Pedro Mrtir, TlalpanMxico, D.F., C.P. 14650Tel. (55) 55 13 28 82e-mail [email protected]

Primera edicin: diciembre de 2013

ISBN En trmite

Miembro de la Cmara Nacionalde la Industria EditorialReg. Nm. 2608

Impreso en MxicoPrinted in Mexico

MateMticas 3Habilidades y coMpetencias

Gabriel nGeles y Javier nGeles ii: Coordinacin editorial andrs rivera: Asesora en tecnologa alMa velzquez: Correccin de estilo ana Garza: Diseo, diagramacin y formacin Mnica Molina: Correccin de estilo rosario preisser: Asesora en evaluacin

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3El libro que tienes en tus manos te acompaar durante el presente ciclo escolar en tus clases de matemticas. A continuacin te explicaremos algunos aspectos del contenido para que su uso te resulte interesante, estimulante y agradable.

El libro ha sido elaborado con el enfoque de resolucin de problemas. En cada leccin se presentan una o varias situaciones problemticas que resolvers por medio de actividades y de esa manera adquirirs el aprendizaje y la competencia que se espera logres en cada leccin.

Probablemente te preguntars: cmo se aprende a resolver problemas? La respuesta es inmediata: se aprende a resolver problemas resolviendo problemas. De la misma manera que se aprende a nadar o andar en bicicleta realizando estas actividades, la manera de adquirir habilidades y competencias matemticas es ejercitndolas. Por ello te sugerimos que dediques tiempo, concentracin y esfuerzo al trabajo individual y colectivo en el saln de clases y a las tareas y revisiones que realices en casa.

Para resolver un problema es til preguntarse qu recurso o herramienta nos puede servir y si ya hemos resuelto alguno semejante. Tambin es til hacer esquemas o diagramas y probar uno o ms procedimientos. Los intentos que hagas para resolver un problema son, desde el punto de vista educativo, tan importantes como resolver el problema mismo.

Para aprender, ser hbil y competente en matemticas es necesario, adems de la gua del profesor y el estudio individual, el trabajo en parejas, en equipo y en grupo. Discutir e intercambiar puntos de vista con los compaeros; confrontar resultados y estrategias de solucin; comparar procedimientos para abordar un problema, son de gran utilidad para corroborar, corregir y ampliar enfoques, pues obligan a ordenar las ideas propias y promue-ven la correcta expresin de argumentos y mtodos.

Cada leccin consta de dos pginas y las actividades presentan los siguientes iconos:

Palabras al estudiante

Con calculadora

En equipoIndividual En pareja Entre todo el grupo

En algunas actividades se propone el uso de calculadora para agilizar el trabajo, aunque en la mayora de los casos es recomendable hacerlo mentalmente o con papel y lpiz. Ten en cuenta que si ejercitas distintas maneras de hacer clculos, podrs decidir cul es la ms conveniente para resolver un problema. Tambin se sugiere complementar algunos temas con programas y equipo de cmputo, cuando sea posible.

Te deseamos xito en el desarrollo de tus habilidades y competencias matemticas!

Los autores

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4Palabras al docente

El libro Matemticas 3. Habilidades y competencias supone que es usted quien promueve el trabajo autnomo y colaborativo de los alumnos y con-duce el proceso de enseanza-aprendizaje.

La metodologa con la que se desarrollan los contenidos del libro se basa en el enfoque de resolucin de problemas, planteando stos como situacio-nes de aprendizaje.

Al inicio de la mayor parte de las lecciones se pretende ubicar al alumno en situaciones que lo motiven a dar respuestas, buscar herramientas, recu-perar conocimientos, adoptar una actitud reflexiva y participar activamente en el desarrollo de un tema o contenido, sea contestando preguntas, jus-tificando respuestas, calculando valores, completando tablas y desarrollos algortmicos, o formulando conjeturas.

Se propone fundamentalmente el trabajo en pareja, en equipo y gru-pal, ya que estas modalidades enriquecen la visin individual del alumno, estimulan su inventiva y favorecen el aprendizaje. La actividad compartida promueve la necesidad de organizar las ideas, exponer en forma clara los argumentos personales, complementar informacin y emplear alternativas metodolgicas o tcnicas para enfrentar y resolver problemas.

Con alguna frecuencia se incluye bajo el ttulo de Reto algn ejercicio, problema o pregunta, cuya resolucin no requiere conceptos o herramien-tas adicionales al contenido del bloque, sino ms bien ingenio y, sobre todo, perseverancia. Es recomendable estimular a los alumnos a que resuelvan los Retos, ya sea de manera individual o en equipo, a fin de que apliquen lo aprendido y experimenten la satisfaccin de resolver problemas y sentirse competentes.

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5La propuesta de Dosificacin de los contenidos del programa puede ade-cuarse a las condiciones de cada grupo, en funcin del desempeo de los estudiantes en cada bloque o del tipo de contenido abordado.

Al inicio de cada bloque se mencionan los aprendizajes y contenidos que se espera adquieran y asimilen los alumnos. Esto los ayuda a ser conscientes de los objetivos que deben alcanzar y promueve la autoevaluacin.

Al trmino de cada bloque se incluye una evaluacin semejante al mode-lo empleado en los exmenes Enlace y PISA. Usted decidir la pertinencia de emplearla y hacer las adaptaciones o modificaciones que considere con-venientes. Asimismo, el estudiante puede aprovechar estos cuestionarios para auto-evaluarse.

El rubro Complemento tecnolgico, ubicado en las pginas finales del libro, rene algunos ejemplos de las posibilidades que brindan las herramientas computacionales para el aprendizaje de las matemticas. Es importante que los alumnos conozcan dichas herramientas y aprovechen los recursos infor-mticos cuando dispongan de ellos en la escuela o fuera de ella.

En la bibliografa para estudiantes se mencionan algunas obras, tanto impresas como en pginas electrnicas, que pueden usarse para comple-mentar las clases con informacin histrica o recreativa. La bibliografa para docentes, por su parte, contiene fuentes en las que se puede profundizar y abundar en los contenidos del curso, as como diversificar y complementar los temas de dichos contenidos.

Deseamos que Matemticas 3. Habilidades y competencias sea un libro de gran utilidad para usted y favorezca su encomiable labor.

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6Aprendizajes esperados Explicaeltipodetransformacin(reflexin,rotacinotraslacin)

queseaplicaaunafiguraparaobtenerlafiguratransformada.Identificalaspropiedadesqueseconservan.

ResuelveproblemasqueimplicanelusodelteoremadePitgoras.

BLOQUE 2Metamorfosis II es uno de los dibujos de Maurits Cornelius Escher (Holanda, 1898-1972) que causan mayor fascinacin. En varios de sus dibujos y grabados, Escher parte de formas estrictamente geomtricas, como cuadrados y hexgonos, para convertirlas gradualmente en figuras que reconocemos enseguida, como hombres, plantas, animales y edificios, generalmente recubriendo la totalidad del plano, sin huecos ni traslapes, hasta completar el ciclo, como en este fragmento, donde el estado final desemboca en el estado inicial. Escher aplica transformaciones geomtricas como traslaciones, reflexiones y rotaciones a figuras regulares en el plano, a las que va deformando en figuras no congruentes entre s.

7776

Contenidos Usodeecuacionescuadrticaspara

modelarsituacionesyresolverlasusandolafactorizacin.

Anlisisdelaspropiedadesdelarotacinydelatraslacindefiguras.

Construccindediseosquecombinanlasimetraaxialycentral,larotacinylatraslacindefiguras.

Anlisisdelasrelacionesentrelasreasdeloscuadradosqueseconstruyensobrelosladosdeuntringulorectngulo.

ExplicitacinyusodelteoremadePitgoras.

Clculodelaprobabilidaddeocurrenciadedoseventosmutuamenteexcluyentesydeeventoscomplementarios(regladelasuma).

124 bloque III 125Forma, espacio y medida

Podemos estimar el largo de esa cancha y las medidas de otras instalaciones de la escuela?

En la fotografa, el ancho de la cancha mide 2.6 cm y el largo 4.2 cm, aproximadamente. Puesto que las medidas de la fotografa son directamente proporcionales a las medidas de los objetos reales, con estos datos podemos plantear la siguiente proporcin:

2.6 cm45 m =

4.2 cmx

Usando productos cruzados, obtenemos:x(2.6 cm) = 45 m 4.2 cm

Despejando x:

x = 45 m 4.2 cm

2.6 cm

x = 72.7 m

a) El edificio donde Roberto tiene su saln de clases est marcado con la letra A . Estimen sus dimensiones.

b) Estimen las dimensiones de otras instalaciones de la escuela de Roberto, como los edificios marcados con b , C , D , e y F .

c) Estimen el rea del terreno de la escuela de Roberto.d) Comparen sus resultados con los de otros equipos. Si hay diferencias,

analicen por qu y corrijan lo necesario.

I. La ilustracin de la izquierda es una fotografa satelital de la escuela secundaria a la que asiste Roberto. Sabemos que la cancha de futbol (que est remarcada en la fotografa) mide 45 m de ancho.

A

b

C

De

F

Complemento tecnolgico

Si tienen acceso a equipo de cmputo conectado a Internet pueden descargar el software gratuito Google Earth, localizar la poblacin donde viven y buscar algunos sitios como su casa y su escuela. Tomen las medidas de algunos espacios y comprenlas con las que obtienen con el software. Pueden tambin usarlo para medir la distancia de su casa a la escuela, las distancias entre las casas de los amigos, la distancia por carretera o en lnea recta de un lugar a otro y viajar virtualmente por los lugares del mundo que les interese.

Lectura de fotografas, planos y figuras a escala

Problemas sobre semejanza de figurasleCCIN

49II. El plano de la casa de Pedro est trazado a una escala de 1 cm a 1.5 m.

III. Para planear cmo estimar de manera indirecta la altura de su escuela, Irma usa el siguiente dibujo:

2.5 cm

Comedor Cocina

Bao

Recmara 2

Recmara 1Sala

1.5 cm 3 cm

2 cm

3 cm

a) Qu datos necesita Irma para poder hacer los clculos correspondientes?

b) Qu propiedad de semejanza de tringulos debe aplicar Irma para hacer sus

clculos? c) Asignen cierta altura a la estatura de Irma y calculen la altura de la escuela.d) Comparen su procedimiento y resultado con los de otras parejas del grupo.

Probablemente hay diferencias en la estimacin de la altura de la escuela, analicen los motivos de esas diferencias y lleguen a una conclusin.

Encuentren el largo y ancho de:

a) Toda la casa

b) La recmara 1

c) La cocina

d) El bao

e) Comparen sus resultados con otras parejas del grupo. Coinciden? En caso contrario, analicen sus respuestas y, si encuentran algunos errores, corrjanlos

Estimar.Apreciar, poner precio, evaluar algo.

Fuente: Diccionario de la lengua

espaola - Vigsima segunda edicin

(http://lema.rae.es/drae/)

Glosario

La figura de la derecha se ha partido en dos figuras semejantes entre s, la escala entre ellas es 1:3. Puedes partirla t en dos figuras semejantes, pero no iguales? Qu escala tiene tu resultado?

Reto

Conoce tu libro

ndice

Tu libro Matemticas 3. Habilidades y competencias, que estudiars durante este curso, est dividido en cinco bloques, que corresponden a los cinco bimestres del ciclo escolar. Cada bloque inicia con una doble pgina, cuyo contenido es el siguiente.

Contenidos que estudiars en el bloque

Ttulo de la leccin

Nmero de leccin


Se propone el uso de calculadora

Actividades propuestas para lograr los aprendizajes esperados

Glosario, en donde se da el significado de un trmino nuevo

Reto relacionado con el contenido de la leccin

Entrada de bloque

Doble pgina para cada una de las lecciones del curso

Texto que describe la ilustracin que acompaa a esta

pgina

Ilustracin que muestra alguna

aplicacin interesante de

un tema del bloque

Aprendizajes esperados del bloque

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772 bloque I 73

Evaluacin tipo Enlace

1. El largo de un rectngulo es 5 m mayor que su ancho y su rea es de 126 m2. Si representamos con x al ancho del rectngulo, cul es la ecuacin que permite calcular la medida de sus lados?a) x2- 2x -126 =0 b) x2+ 2x -126 =0c) x2+ 2x +126 =0 d) x2- 2x +126 =0

2. Si un terreno rectangular tiene un rea de 180 m2 y permetro igual a 54 m, la ecuacin que permite calcular la medida de sus lados es:a) x(x + 54) 180 = 0 b) x(x 27) + 180 = 0c) x(27 x) 180 = 0 d) x(x + 54) + 180 = 0

3. La ecuacin cuadrtica cuyas soluciones son 2 y 2 es una de las siguientes:a) x2 + 4 = 0 b) 7x2 28 = 0 c) 4x2 14 = 0 d) 2x2 + 28 = 0

4. Seala la expresin VERDADERA.a) Dos tringulos son congruentes si dos de sus lados son igualesb) Dos tringulos son semejantes si tienen dos de sus ngulos igualesc) Dos tringulos son congruentes si tiene todos sus ngulos igualesd) Dos tringulos son semejantes si dos de sus lados son iguales

5. Seala la opcin FALSA.Todo rectngulo:a) Tiene slo dos ejes de simetra b) Sus lados opuestos son igualesc) Sus diagonales son iguales d) Sus diagonales son perpendiculares

6. Una fotografa de 4 cm 6 cm se va a amplificar de manera que el largo mida 10 cm. Cunto medir su ancho?a) 6.67 cm b) 15 cm c) 12.15 cm d) 8 cm

7. Cul es la razn de semejanza entre el cuadriltero ABCD y el cuadriltero ABCD?

a) 12

b) 2

c) 13

d) 4

bloque

I8. Cul de las siguientes grficas representa una proporcionalidad directa entre las

dos variables x y y?

9. Al lanzar dos dados comunes, con sus caras numeradas del 1 al 6, NO son excluyentes el evento Las dos caras muestran un nmero par ya) Al menos un dado cae 1.b) La suma de las caras es 7.c) El producto de las caras es un nmero menor que 4.d) La diferencia de las caras, el nmero mayor menos el menor, es 1.

10. Se quiere saber qu porcentaje de la poblacin con edad de 12 aos o menos an no ha sido vacunada en una localidad de 25 000 habitantes, donde la cuarta parte de ellos tienen 12 aos o menos. Para ello se disea una muestra que encuestar al 10% de los nios de las edades ya mencionadas. Entonces, la cantidad de personas de la poblacin a investigar y del tamao de la muestra, respectivamente, es de:a) 25 000 y 2 500 b) 25 000 y 6 250c) 6 250 y 625 d) 625 y 10

a)

c)

b)

d)

x

y

0

1

2

3

4

1 2 3 4234 11

2

3

4

x

y

0

1

2

3

4

1 2 3 4234 11

2

3

4

x

y

0

1

2

3

4

1 2 3 4234 11

2

3

4

x

y

0

1

2

3

4

1 2 3 4234 11

2

3

4

A

A

B C

D

B C

D

248 bloque V 249

Evaluacin tipo PISAbloque

V

Los tos de Laura tienen un puesto de verduras en el mercado y le han pedido que los apoye en vacaciones. Lo primero que hacen es apilar cada uno de los diversos productos en montculos y Laura decide agrupar los limones en pirmides de base triangular o cuadrada para que luzcan ms. Pero, como tiene que empezar a acomodarlos de abajo para arriba, su problema es calcular cuntos limones irn en la base y cuntas capas sern.

Observa las figuras 1 y 2 , considera que las capas se numeran de arriba hacia abajo. Dibuja, por separado, las cuatro primeras capas de la pirmide triangular. Haz lo mismo para la de base cuadrada. Cuenta, en ambos casos, cuntos limones hay en cada lado, cuntos son en cada capa y compara.

Las pirmides de limones

1. Analiza cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cules no. Escribe V o F en el recuadro, segn sea el caso.

a) El nmero de limones por lado de cada capa de la pirmide triangular es el mismo que en la cuadrangular.

b) Se necesitan ms limones para formar la pirmide triangular.

c) Las capas de la pirmide cuadrangular, de arriba hacia abajo, contienen a los nmeros cuadrados. Es decir, 1, 4, 9, 16, 25, etc.

d) El nmero de limones que se requieren para la n-sima capa de la pirmide

triangular, contando de arriba hacia abajo, lo calculamos con n(n + 1)2

.

2. Cuntos limones se necesitaran para la capa nmero 25 de la pirmide triangu-

lar?, cuntos para esa capa de la pirmide cuadrangular?

3. Calcula la cantidad de limones que tendra cada una de las 15 primeras capas superiores en cada tipo de pirmide.

a) Pirmide triangular:

b) Pirmide cuadrangular:

4. Laura slo tiene 900 limones. Para formar su montculo tiene que decidir qu tipo de pirmide usar, cuntas capas tendr y, en su caso, cuntos limones le faltaran o sobraran. Aydala a completar la siguiente tabla.

Tipo de pirmide Nmero de capasNmero total de

limonesSobrantes

Base triangular

Base cuadrada

Figura 1

Capas de pirmide base triangular

Figura 2

Capas de pirmide base cuadrada

252 253

Complemento tecnolgico (1)

Para realizar las actividades tecnolgicas se requiere tener equipo de cmputo con acceso a Internet. Si no se dispone de un programa de Geometra dinmica, se recomienda usar GeoGebra, que se puede descargar gratuitamente dewww.geogebra.org. Tambin es necesario algn programa que incluya Hoja de clculo.

Explorar GeoGebra

Descripcin

1. Al abrir el programa GeoGebra la pantalla inicial muestra en la parte superior el siguiente men: Archivo, Edita, Vista, Opciones, Herramientas, Ventana y Ayuda.

2. La franja siguiente est formada por 12 botones que constituyen la esencia de GeoGebra.

3. Bajo esta franja aparece la zona de trabajo.

4. Se sugiere dar clic en cada opcin del men para ver su funcin.

7. Selecciona Elige y mueve. Da clic en el segmento, arrstralo y djalo donde quieras. Da clic en uno de los extremos del segmento y arrstralo; el segmento se alarga.

8. Activa el botn Polgono y traza un tringulo. Selecciona Elige y mueve, da clic dentro del tringulo y cmbialo de lugar. Da clic en uno de sus vrtices y arrstralo para que cambien la forma y tamao del tringulo.

9. Selecciona Elige y mueve. Posiciona el puntero en cualquiera de los objetos que creaste (punto, segmento, tringulo), da clic con el botn derecho y selecciona Borra; el objeto desaparece. Repite el proceso hasta que la zona de trabajo quede libre.

Generacin de un rectngulo con permetro constante de 20 cm.

1. Activa Deslizador en el penltimo botn de izquierda a derecha y da clic en la zona de trabajo.

2. En la pantalla que aparece introduce el nombre base, sin comillas. Introduce los valores del intervalo: mnimo 0 y mximo 10, deja el incremento en 0.1 y aplica.

3. En el tercer botn activa Segmento de longitud fija. Da clic en la zona de trabajo y aparecen un punto y una ventana para seleccionar la longitud del segmento. Para poder alterar las dimensiones del rectngulo sin modificar el permetro, en lugar de asignar un nmero a la longitud, teclea base, que es el rango del deslizador generado en el paso anterior. Puedes activar el primer botn y mover el deslizador para ver cmo se modifica el segmento.

4. Para asegurar que los lados del rectngulo sean perpendiculares al segmento, activa Recta perpendicular en el cuarto botn y da clic en el segmento; aparece la recta perpendicular; llvala al punto de su extremo izquierdo y da clic; la perpendicular queda fija.

5. En los botones especficos de GeoGebra basta con colocar el puntero del ratn sobre ellos para ver su nombre y la descripcin bsica de su funcin. Al dar clic en el ngulo inferior derecho, se despliegan sus herramientas especficas y slo basta seleccionar la que se desee utilizar.

6. En la zona de trabajo estn los campo Vista Algebraica, Vista Grfica y la ventana Apariencias con cinco opciones; para dejar la zona en blanco se debe elegir la opcin Geometra.

Ejercicios

1. En el segundo botn selecciona la opcin Nuevo punto.

2. Da clic en cualquier parte de la zona de trabajo. Aparece un punto (A).

3. Activa el primer botn (Elige y mueve). Da clic en el punto, arrstralo hacia donde quieras y sultalo.

4. Activa otra vez Nuevo punto y marca otro punto (B) en la zona de trabajo.

5. En el tercer botn selecciona Segmento entre dos puntos.

6. Da clic en uno de los puntos y luego en el otro. Ahora estn unidos por un segmento.

ANEXO

3

Al final de cada bloque se propone una evaluacin relativa a los aprendizajes esperados, tiles para evaluar competencias y habilidades

Al final de cada bloque se propone una

evaluacin relativa a los aprendizajes

esperados, tiles para evaluar competencias

y habilidades

En esta seccin se incluyen ejemplos sobre las posibilidades de aprovechar la tecnologa para complementar el aprendizaje del contenido de la leccin

Evaluacin tipo PISA



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8Esta propuesta de dosificacin es una estimacin de los tiempos que podrn asignarse a cada uno de los contenidos de la asignatura. Su propsito es apoyar la planeacin de las actividades por parte del maestro, para lograr que sus estudiantes obtengan los aprendizajes esperados. Los tiempos asignados podrn ajustarse de acuerdo al criterio del profesor con base en las condiciones de los alumnos, a algunos

SEMANAS

1 2 3 4

BLO

QU

ES

I

Resolucin de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadrticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Lecciones1, 2, 3 y 4

Construccin de figuras congruentes o semejantes (tringulos, cuadrados, rectngulos) y anlisis de sus propiedades.

Lecciones5, 6 y 7


Lecciones8, 9 y 10

Explicitacin de los criterios de congruencia y semejanza de tringulos a partir de construcciones con informacin determinada.


II

Uso de ecuaciones cuadrticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorizacin.

Lecciones29, 30 y 31

Anlisis de las propiedades de la rotacin y de la traslacin de figuras.


Construccin de diseos que combinan la simetra axial y central, la rotacin y la traslacin de figuras.


Anlisis de las relaciones entre las reas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un tringulo rectngulo.

Lecciones38 y 39

IIIResolucin de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadrticas. Aplicacin de la frmula general para resolver dichas ecuaciones.


Aplicacin de los criterios de congruencia y semejanza de tringulos en la resolucin de problemas.


Resolucin de problemas geomtricos mediante el teorema de Tales.


Aplicacin de la semejanza en la construcin de figuras homotticas.

Lecciones55 y 56

IV

Obtencin de una expresin general cuadrtica para definir el ensimo trmino de una sucesin.


Anlisis de las caractersticas de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un tringulo rectngulo, un semicrculo y un rectngulo. Construccin de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

Lecciones71 y 72

Anlisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ngulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.


Anlisis de las relaciones entre los ngulos agudos y los cocientes entre los lados de un tringulo rectngulo.

Lecciones77 y 78

V

Resolucin de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadrticas o sistemas de ecuaciones. Formulacin de problemas a partir de una ecuacin dada.

Lecciones90 y 91


Leccin92

Anlisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Clculo de las medidas de los radios de los crculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.

Lecciones93 y 94

Construccin de las frmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las frmulas de prismas y pirmides.

Lecciones95 y 96

Dosificacin

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9SEMANAS

5 6 7 8 9Anlisis de representaciones (grficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situacin. Identificacin de las que corresponden a una relacin de proporcionalidad.

Lecciones15, 16, 17, 18 y 19

Representacin tabular y algebraica de relaciones de variacin cuadrtica, identificadas en diferentes situaciones y fenmenos de la fsica, la biologa, la economa y otras disciplinas.

Lecciones20 y 21

Conocimiento de la escala de la probabilidad. Anlisis de las caractersticas de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.


Diseo de una encuesta o un experimento e identificacin de la poblacin en estudio. Discusin sobre las formas de elegir el muestreo. Obtencin de datos de una muestra y bsqueda de herramientas convenientes para su presentacin.



Evaluacin tipo PISA

Explicitacin y uso del teorema de Pitgoras.

Lecciones40 y 41

Explicitacin y uso del teorema de Pitgoras.

Lecciones42 y 43

Clculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).

Lecciones44 y 45


Evaluacin tipo PISA


Lecciones57 y 58

Lectura y construccin de grficas de funciones cuadrticas para modelar diversas situaciones o fenmenos.


Lectura y construccin de grficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etctera.

Lecciones63 y 64

Clculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).



Evaluacin tipo PISA

Explicitacin y uso de las razones trigonomtricas seno, coseno y tangente.


Clculo y anlisis de la razn de cambio de un proceso o fenmeno que se modela con una funcin lineal. Identificacin de la relacin entre dicha razn y la inclinacin o pendiente de la recta que la representa.


Medicin de la dispersin de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviacin media). Anlisis de las diferencias de la desviacin media con el rango como medidas de la dispersin.



Evaluacin tipo PISA

Estimacin y clculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las frmulas.

Lecciones97 y 98

Anlisis de situaciones problemticas asociadas a fenmenos de la fsica, la biologa, la economa y otras disciplinas, en las que existe variacin lineal o cuadrtica entre dos conjuntos de cantidades.

Lecciones99 y 100

Anlisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la nocin de resultados equiprobables y no equiprobables.



Evaluacin tipo PISA

contenidos habr que dedicarles ms tiempo y a otros menos, siempre y cuando se logren cubrir los cinco bloques durante el ciclo escolar. En esta dosificacin se asign un color distinto a cada uno de los ejes: azul para Sentido numrico y pensamiento algebraico; amarillo para Forma, espacio y medida; y verde para Manejo de la informacin. En el cuerpo del libro cada bloque tiene tambin diferente color.

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10

ndice

Palabras al estudiante 3

Palabras al docente 4

Conoce tu libro 6

Dosificacin 8

BLOQUE I 14

Leccin Ttulo Pg. Eje Tema Contenido

1 Rectngulos, permetros y reas (1) 16 Sentido numrico y pensamiento algebraico

Patrones y ecuaciones

Resolucin de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadrticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

2 Rectngulos, permetros y reas (2) 183 Ecuaciones cuadrticas (1) 204 Ecuaciones cuadrticas (2) 225 Figuras congruentes 24

Forma, espacio y medida

Figuras y cuerpos


6 Construccin de tringulos congruentes (1) 267 Construccin de tringulos congruentes (2) 288 Construccin de rectngulos y cuadrados 309 Construccin de figuras semejantes (1) 32

10 Construccin de figuras semejantes (2) 3411 Criterios de congruencia de tringulos 36

Explicitacin de los criterios de congruencia y semejanza de tringulos a partir de construcciones con informacin determinada.

12 Aplicacin de los criterios de congruencia de tringulos

3813 Criterios de semejanza de tringulos (1) 4014 Criterios de semejanza de tringulos (2) 4215 Relaciones de proporcionalidad (1) 44

Manejo de la informacin

Proporcionalidad y funciones

Anlisis de representaciones (grficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situacin. Identificacin de las que corresponden a una relacin de proporcionalidad.

16 Relaciones de proporcionalidad (2) 4617 Relaciones de proporcionalidad (3) 4818 Relaciones de proporcionalidad (4) 5019 Relaciones de proporcionalidad (5) 52

20 Relaciones de variacin cuadrtica (1) 54 Representacin tabular y algebraica de relaciones de variacin cuadrtica, identificadas en diferentes situaciones y fenmenos de la fsica, la biologa, la economa y otras disciplinas.21 Relaciones de variacin cuadrtica (2) 56

22 Probabilidad frecuencial 58

Nociones de probabilidad

Conocimiento de la escala de la probabilidad. Anlisis de las caractersticas de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

23 Los eventos se pueden catalogar (1) 6024 Los eventos se pueden catalogar (2) 6225 Eventos independientes 64

26 Las encuestas 66Anlisis y representacin de datos

Diseo de una encuesta o un experimento e identificacin de la poblacin en estudio. Discusin sobre las formas de elegir el muestreo. Obtencin de datos de una muestra y bsqueda de herramientas convenientes para su presentacin.

27 Extraccin de una muestra 68

28 Estimacin de totales y de porcentajes en una poblacin 70

Evaluacin tipo Enlace 72

Evaluacin tipo PISA 74

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11

BLOQUE II 76


29 Traducir al lgebra y factorizar 78 Sentido numrico y pensamiento algebraico


Uso de ecuaciones cuadrticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorizacin.

30 La factorizacin, paso a paso 80

31 La factorizacin aplicada 82

32 Traslacin de figuras 84


Figuras y cuerpos

Anlisis de las propiedades de la rotacin y de la traslacin de figuras.

33 Rotacin de figuras (1) 8634 Rotacin de figuras (2) 8835 Dos transformaciones sucesivas 90 Construccin de diseos que combinan la

simetra axial y central, la rotacin y la traslacin de figuras.

36 Identificacin de transformaciones 9237 Diseos que combinan varias transformaciones 94

38 Cuadrados en los lados de un tringulo rectngulo (1) 96

Medida

Anlisis de las relaciones entre las reas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un tringulo rectngulo.39 Cuadrados en los lados de un tringulo rectngulo (2) 98

40 Explicitacin del teorema de Pitgoras 100

Explicitacin y uso del teorema de Pitgoras.41 Uso del teorema de Pitgoras (1) 10242 Uso del teorema de Pitgoras (2) 10443 Uso del teorema de Pitgoras (3) 106

44 Eventos mutuamente excluyentes 108 Manejo de la informacin

Nociones de probabilidad

Clculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).45 Eventos complementarios 110



BLOQUE III 116


46 La frmula general 118 Sentido numrico y pensamiento algebraico


Resolucin de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadrticas. Aplicacin de la frmula general para resolver dichas ecuaciones.

47 Ecuacin general de 2o. grado 120

48 Completar el cuadrado 122

49 Problemas sobre semejanza de figuras 124


Figuras y cuerpos

Aplicacin de los criterios de congruencia y semejanza de tringulos en la resolucin de problemas.

50 Problemas sobre congruencia y semejanza de tringulos (1)

126

51 Problemas sobre congruencia y semejanza de tringulos (2)

12852 Teorema de Tales 130

Resolucin de problemas geomtricos mediante el teorema de Tales.

53 Recproco del teorema de Tales 13254 Aplicaciones del teorema de Tales 13455 Construccin de figuras homotticas (1) 136


56 Construccin de figuras homotticas (2) 13857 Construccin de figuras homotticas (3) 14058 Propiedades de la homotecia 142

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12

ndice

BLOQUE IV 166


68 Sucesiones, trminos y patrones 168 Sentido numrico y pensamiento algebraico


Obtencin de una expresin general cuadrtica para definir el ensimo trmino de una sucesin.

69 Sucesiones y diferencias 170

70 Sucesiones de figuras y nmeros con frmula cuadrtica

172

71 Slidos de revolucin 174


Figuras y cuerpos

Anlisis de las caractersticas de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un tringulo rectngulo, un semicrculo y un rectngulo. Construccin de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

72 Construccin de desarrollos planos de cilindros y conos

176

73 Pendiente de una recta (1) 178

Medida

Anlisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ngulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

74 Pendiente de una recta (2) 18075 Pendiente de una recta (3) 182

76 El cociente de los catetos de un tringulo rectngulo (1)

184

77 El cociente de los catetos de un tringulo rectngulo (2)

186 Anlisis de las relaciones entre los ngulos agudos y los cocientes entre los lados de un tringulo rectngulo.78 Relacin entre los lados de un tringulo rectngulo

188

79 Razones trigonomtricas (1) 190

Explicitacin y uso de las razones trigonomtricas seno, coseno y tangente.

80 Razones trigonomtricas (2) 19281 Resolucin de tringulos rectngulos 19482 Aplicacin de las razones trigonomtricas 19683 Razn de cambio (1) 198



Clculo y anlisis de la razn de cambio de un proceso o fenmeno que se modela con una funcin lineal. Identificacin de la relacin entre dicha razn y la inclinacin o pendiente de la recta que la representa.

84 Razn de cambio (2) 200



59 Proporcionalidad y funciones 144



Lectura y construccin de grficas de funciones cuadrticas para modelar diversas situaciones o fenmenos.

60 La funcin y = ax2 (1) 14661 La funcin y = ax2 (2) 14862 La funcin y = ax2 + b 150

63 Grficas rectas y curvas (1) 152 Lectura y construccin de grficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etctera.64 Grficas rectas y curvas (2) 154

65 Eventos independientes (1) 156Nociones de probabilidad

Clculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto).

66 Eventos independientes (2) 15867 Eventos independientes (3) 160



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13

BLOQUE V 216


90 Distintos problemas, diferentes ecuaciones (1) 218 Sentido numrico y pensamiento algebraico



91 Distintos problemas, diferentes ecuaciones (2) 220

92 Ecuaciones y problemas 222

93 Cortes a un cilindro y a un cono 224


Figuras y cuerpos

Anlisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Clculo de las medidas de los radios de los crculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.

94 Varios crculos en un cono 226

95 Volumen de un cilindro 228 Construccin de las frmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las frmulas de prismas y pirmides.96 Clculo del volumen de un cono 230

97 Volumen de cilindros y conos (1) 232 Estimacin y clculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las frmulas.98 Volumen de cilindros y conos (2) 234

99 Funciones lineales y cuadrticas en distintos contextos (1)

236



Anlisis de situaciones problemticas asociadas a fenmenos de la fsica, la biologa, la economa y otras disciplinas, en las que existe variacin lineal o cuadrtica entre dos conjuntos de cantidades.

100 Funciones lineales y cuadrticas en distintos contextos (2)

238

101 Juego justo (1) 240Nociones de probabilidad

Anlisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la nocin de resultados equiprobables y no equiprobables.

102 Juego justo (2) 242

103 Juego justo (3) 244



Anexo 1. Plano de un icosaedro 250

Anexo 2. Tabla de razones trigonomtricas 251

Anexo 3. Complemento tecnolgico (1) 252

Anexo 4. Complemento tecnolgico (2) 256

Bibliografa 258

87 Dispersin y rango 206Manejo de la informacin

Anlisis y representacin de datos

Medicin de la dispersin de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviacin media). Anlisis de las diferencias de la desviacin media con el rango como medidas de la dispersin.

88 Desviacin media 208

89 Diagramas de caja y bigotes 210



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En esta fotografa de la Ciudad-Estado de Singapur se aprecian las construcciones de un paisaje urbano de inspiracin geomtrica que se conoce como una maravilla de la arquitectura moderna de Asia. Sobre un fondo de edificios como prismas rectos, aparece en primer plano una enorme circunferencia, especie de rueda de la fortuna, la Singapore Flyer, que es la noria-mirador ms grande del mundo. Mide 165 metros de altura y desde ah pueden observarse, en das despejados, hasta otros pases vecinos, como Malasia e Indonesia. Singapur es una mezcla extraordinaria de culturas y tradiciones y una de las ciudades mejor organizadas del mundo.

Aprendizajes esperados: Explicarladiferenciaentreeventoscomplementarios,

mutuamenteexcluyenteseindependientes.

14

Competencias que se favorecen: Resolverproblemasdemaneraautnoma. Comunicarinformacinmatemtica. Validarprocedimientosyresultados. Manejartcnicaseficientemente.

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BLOQUE I

Contenidos Resolucindeproblemasqueimpliquen

elusodeecuacionescuadrticassencillas,utilizandoprocedimientospersonalesuoperacionesinversas.

Construccindefigurascongruentesosemejantes(tringulos,cuadradosyrectngulos)yanlisisdesuspropiedades.

Explicitacindeloscriteriosdecongruenciaysemejanzadetringulosapartirdeconstruccionesconinformacindeterminada.

Anlisisderepresentaciones(grficas,tabularesyalgebraicas)quecorrespondenaunamismasituacin.Identificacindelasquecorrespondenaunarelacindeproporcionalidad.

Representacintabularyalgebraicaderelacionesdevariacincuadrtica,identificadasendiferentessituacionesyfenmenosdelafsica,labiologa,laeconomayotrasdisciplinas.

Conocimientodelaescaladelaprobabilidad.Anlisisdelascaractersticasdeeventoscomplementariosyeventosmutuamenteexcluyenteseindependientes.

Diseodeunaencuestaounexperimentoeidentificacindelapoblacinenestudio.Discusinsobrelasformasdeelegirelmuestreo.Obtencindedatosdeunamuestraybsquedadeherramientasconvenientesparasupresentacin.

15

Competencias que se favorecen: Resolverproblemasdemaneraautnoma. Comunicarinformacinmatemtica. Validarprocedimientosyresultados. Manejartcnicaseficientemente.

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16 BLOQUE I

Rectngulos, permetros y reas (1)

En estas lecciones se examina la relacin entre el permetro y el rea de un rectngulo, empezando con aritmtica simple hasta llegar a la ecuacin cuadrtica que relaciona dimensiones lineales con medidas de rea.

I. Luis y Manuel son los encargados de probar dos nuevos procedimientos de cultivo de flores. Cada uno debe marcar un terreno rectangular de manera que ambos terrenos sean fcilmente distinguibles. A cada quien se le entrega una cuerda de 24 m para cercar su terreno.

Luis hace rpidamente un clculo mental y decide que su rectngulo tendr 10 m de largo por 2 de ancho. Para que los terrenos sean diferentes, Manuel decide que su rectngulo ser de 8 m de largo y 4 de ancho.

LECCIN

1

Luis afirma que en su terreno podr sembrar ms plantas, porque mide 10 m de largo y en cambio el de Manuel slo mide 8 m de largo. Tiene razn Luis? Por qu?

En la siguiente cuadrcula, tomando un cuadrito como unidad, traza diferentes rectngulos que tengan 24 m de permetro.

Ladosvariablesypermetrofijo

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17Sentido numrico y pensamiento algebraico

II. Cuntos rectngulos con permetro de 24 m trazaste?

a) Si se usan slo nmeros enteros para medir, cuntos rectngulos diferentes

con permetro de 24 m se pueden trazar?

b) Adems de nmeros enteros, ahora usa fracciones de 0.5 m. Cuntos

rectngulos se pueden trazar con el mismo permetro?

c) Compara tus respuestas con las de otros compaeros y discutan las diferencias.

III. Examinen la relacin entre las posibles medidas de los lados de un rectngulo y la cantidad de rectngulos que se pueden trazar, cuando el permetro es igual a 24 m. Completen la tabla de abajo o diseen otra diferente. Esto demuestra que se puede llegar al mismo resultado por diferentes caminos.

RectngulosSlo nmeros enteros

(largo ancho)Nmeros enteros y fracciones de 0.5 m

Nmeros enteros y fracciones de 0.25 m

1 111 11.50.5

2 102 10.51.5

3 9.52.5

4

5

6

Total 6 12


Construccin de un rectngulo con permetro fijo y lados variables, usando software de geometra dinmica, en este caso GeoGebra.Anexo 3, pgina 252.

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18 BLOQUE I

De acuerdo a lo estudiado en la leccin anterior, es posible trazar rectngulos que tengan el mismo permetro aunque la longitud de sus lados sea diferente. Revisemos ahora el rea de tales rectngulos.

I. Con base en tu experiencia, contesta la primera pregunta. En las dems podrs analizar casos especficos.

a) Si dos rectngulos tienen el mismo permetro, son iguales sus reas?

Explica:

b) Considera dos rectngulos diferentes, R1 y R2, que tienen la misma rea, por

ejemplo, 28 m2. Cunto pueden medir sus lados?

Compara tus respuestas con las de otros compaeros y aclaren diferencias.c) En tu cuaderno, haz una tabla como la anterior y asigna un valor mayor al rea

de los rectngulos.

Comparen sus respuestas con las de otros compaeros.

Hay respuestas distintas para la misma rea? En la ltima columna anoten el nmero de posibles respuestas correctas para cada rectngulo.

LECCIN

2

II. Completen la siguiente tabla considerando slo nmeros enteros.

Rectngulos, permetros y reas (2)

R1 R2

rea 28m2 28m2

Largo

Ancho

Permetro

rea del rectngulo Largo Ancho Permetro Respuestas correctas

27m2

36m2

42m2

63m2

Ladosvariablesyreafija

Reto

Si dos rectngulos tienen la misma rea pero difieren en su permetro, qu relacin hay entre sus lados correspondientes?

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III. Completa la siguiente tabla considerando slo nmeros enteros.

Compara tus respuestas con las de otros compaeros y aclaren discrepancias.

IV. Describan el mtodo que usaron para encontrar la longitud de los lados de cada rectngulo en la actividad III. Escriban el que les parezca mejor y expnganlo a todo el grupo.

V. Analicen la forma en que se resuelve el siguiente problema: dado un rectngulo con rea = 48 m2 y permetro = 32 m, encontrar las medidas de sus lados.

Si el lado largo del rectngulo mide x, entonces el ancho mide 16 x, por qu?

Por otra parte, tenemos quex(16 x) = 48

es decir,x2 16x + 48 = 0

llegamos a una expresin algebraica cuya variable est elevada al cuadrado, como mayor exponente, por lo cual se denomina ecuacin cuadrtica o tambin ecuacin de segundo grado.

VI. Cules de las siguientes ecuaciones son cuadrticas? Mrcalas con una .a) x2 6x + 9 = 0 b) 3x2 + 5x = 3x2 + 20 c) (x 4)2 4 = 5

d) x2 7 = 0 e) 2x 3 = x + 4

La forma general de una ecuacin cuadrtica en x esax2 + bx + c = 0

en la que a, b y c son nmeros reales; a es el coeficiente de x2, b es el coeficiente de x, c es el trmino independiente y a es diferente de cero, por supuesto (por qu?).As que en la ecuacin cuadrtica

x2 2x 8 = 0

los valores son a = 1, b = 2, y c = 8

Lee en voz alta los valores de a, b y c en las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 5x + 8 = 0 b) x2 8x + 16 = 0

c) 2x2 + 14x + 20 = 0 d) 3x2 9x 30 = 0

rea del rectngulo Permetro Largo Ancho

18m2 18

32m2 24

56m2 36

75m2 40

112m2 44

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20 BLOQUE I

Despus de estudiar y resolver esta leccin te familiarizars con algunos tipos de ecuaciones cuadrticas.

I. Cules de las siguientes ecuaciones son verdaderas cuando x = 5 o x = 10?a) x2 25 = 0b) x2 5x 50 = 0c) x2 5x 50 = 0

El nmero que al sustituirse en la variable de la ecuacin hace a sta verdadera se llama una solucin, o raz de dicha ecuacin.

Es fcil comprobar que -5 es una solucin de x2 25 = 0, pero no de x2 5x 50 = 0.10 es una solucin de x2 5x 50 = 0, pero no de x2 25 = 0.Por otra parte, 5 y 10 son soluciones de x2 5x 50 = 0.

Comprubalo en tu cuaderno.

Cuntas soluciones puede tener una ecuacin lineal o de primer grado? Cuntas soluciones puede tener una ecuacin cuadrtica o de segundo grado?

II. Completen la siguiente tabla con la expresin algebraica que describe la relacin de los lados y el rea de los siguientes rectngulos, as como la ecuacin resultante.a) El largo del rectngulo R1 mide 4 metros ms que el ancho y su rea es de 77 m2.b) El largo del rectngulo R2 mide 7 metros ms que el ancho y el rea mide 60 m2.c) El largo del rectngulo R3 mide 4 veces el ancho y su rea es de 144 m2.d) El ancho del rectngulo R4 es la tercera parte del largo y el rea mide 27 m2.

Comparen los datos de su tabla con los de otras parejas de compaeros y discutan las diferencias para corregir posibles errores.

Las ecuaciones de segundo grado sirven para expresar y resolver un sinnmero de problemas que surgen en una diversidad de situaciones. Es muy importante que la ecuacin correspondiente est bien planteada, es decir, que describa correctamente la situacin de que se trate.

LECCIN Ecuaciones cuadrticas (1)

3

Rectngulo Ancho LargoExpresin algebraica

para el reaEcuacin cuadrtica

R1 x

R2 x+7

R3 x(4x)=144

R4x2

3 =27

Algunosproblemasysusecuaciones

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III. En cada uno de los siguientes problemas, escribe la ecuacin que lo representa correctamente.a) El rea de un terreno cuadrado mide 144 m2.

Cul es la medida de cada lado?

Cunto mide el permetro? . Ecuacin: b) Tengo x nmero de bolsas y cada bolsa contiene un nmero x de canicas. Si

regalo 125 canicas, me quedarn 500.

Ecuacin: c) El rea de un terreno rectangular mide 108 m2 y su lado largo mide tres veces

lo que mide el ancho.

d) Si al cuadrado de un nmero le sumo 15, obtengo 64. e) El cuadrado de un nmero menos siete veces ese nmero, ms 12, es igual a

cero. Compara tus respuestas con las de otros compaeros y analicen discrepancias.

IV. Existen varios mtodos para encontrar la solucin o soluciones de una ecuacin cuadrtica. Para empezar, se puede usar el tanteo, ya sea con clculo mental, con papel y lpiz o con calculadora. Por ejemplo, para encontrar la solucin al problema del rectngulo con rea de 77 m2 (actividad II, inciso a) y cuyo largo mide cuatro metros ms que el ancho, se puede construir una tabla como esta.

a) Continen la tabla anterior asignando valores a x hasta que encuentren el que hace x2 + 4x igual a 77.

b) Repitan la tabla en su cuaderno y asignen valores negativos a x, hasta que encuentren uno que haga x2 + 4x igual a 77.

V. Habrs notado que hay casos en que b = 0 en la forma general de una ecuacin cuadrtica. En tu cuaderno, con el mtodo que prefieras, resuelve las siguientes ecuaciones y compara tus respuestas con tus compaeros, para que corrijan errores.a) 4x2 = 400 b) 3x2 = 147

c) x2 + 13 = 38 d) x2 12 = 52

e) x2 + 5x = 36 f) 5x2 3x 162 = 0

g) x2 + 3x 5 = x + 10

x x + 4 x2 4x x2 + 4x

2 6 4 8 12

3 7 9 12 21

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22 BLOQUE I

En la leccin anterior resolviste ecuaciones de segundo grado en las que b = 0.

El procedimiento empleado se redujo a obtener la raz cuadrada de un nmero. No hay que olvidar que la raz cuadrada de un nmero tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; por esa razn, se acostumbra denotar a las soluciones como x1 y x2, o bien x = r, donde r es la respuesta. Tambin, como se vio en la actividad I de la leccin anterior, aunque generalmente las ecuaciones cuadrticas tienen dos soluciones, algunas slo tienen una y otras, ninguna, como x2 + 1 = 0.

I. A la derecha de cada una de las ecuaciones que siguen escribe otra equivalente, que tenga la forma x2 = n, donde n es un nmero; y enseguida de la ecuacin simplificada escribe sus soluciones, x1 y x2.a) x2 25 = 0

b) 4x2 = 400

c) 3x2 = 147

d) x2 + 13 = 38

e) x2 12 = 52

II. Transformen las siguientes ecuaciones a la forma x2 = n, y resulvanlas, simplificando al mximo las respuestas. En cada caso, comprueben la solucin sustituyndola en la ecuacin original.a) 2x2 40 = 0

b) 5x2 45 = 0

c) 3x2 + 7 = 43

d) 3x2 6 = 18

e) 4x2 + 3 = 6

Ecuaciones cuadrticas (2)LECCIN

4 Unaclaseespecficaymuysencilla

Reto

Inventa una ecuacin que slo tenga una solucin doble, otra que tenga dos y otra que no tenga solucin.

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IV. Utilicen clculo mental o construyan tablas para resolver lo que sigue.a) Encuentren dos nmeros que sumados den 5 y multiplicados den 6.

y b) La suma de dos nmeros es 10 y su producto es 16. Qu nmeros son?

y c) La suma de dos nmeros es 16 y su producto es 63. Qu nmeros son?

y d) Encuentren dos nmeros que sumados den 5 y multiplicados den 6.

y e) Encuentren dos nmeros que sumados den 7 y multiplicados den 10.

y f) La suma de dos nmeros es 12 y su producto es 35. Qu nmeros son?

y g) La suma de dos nmeros es 1 y su producto es 42. Qu nmeros son?

y

Comparen sus respuestas con las de otros compaeros y analicen cules son las correctas.

III. En su cuaderno, resuelvan las siguientes ecuaciones.a) (x + 3)2 = 25b) (x + 7)2 4 = 45c) (x 4)2 + 3 = 18d) (x 5)2 + x 8 = x + 19Comparen sus respuestas con las de otras parejas de compaeros, fjense si hay diferencias y, con la ayuda de su profesor, discutan los procedimientos que usaron y aclaren cules son las respuestas correctas.

Otra forma en la que puede presentarse una ecuacin de segundo grado es la que sigue. (x + 5)2 18 = 0

y en tal caso, se puede transformar a (x + 5)2 = 18

y luego: (x + 5)2 = 18

x = 5 18Finalmente,

x1 =

x2 =

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24 bloque I

Figuras congruentesIdentificacin de figuras congruentes

leCCIN

5I. El concepto de congruencia juega un papel importante en nuestra vida diaria,

por ejemplo, cuando vamos a la tienda y pedimos un vaso de licuadora igual a ste o en la ferretera cuando solicitamos una tuerca igual a sta. Muchos de los juegos de bloques para armar que usan los nios pequeos tienen la misma forma y el mismo tamao. En todos estos ejemplos est presente la nocin que en matemticas llamamos congruencia, que significa misma forma y tamao.a) Identifiquen en su saln de clases o en la escuela objetos o figuras congruentes.b) Compartan con los dems compaeros lo que encontraron.

III. Consideren los siguientes cuadrilteros:

Escriban por qu estos cuadrilteros no son congruentes, a pesar de que tienen el mismo largo y ancho.

rea = 15 cm2 rea = 15 cm2

a) Comparen sus respuestas con las de otras parejas de compaeros. Si tienen diferencias, midan los lados y los ngulos de los tringulos, hasta que todos estn de acuerdo.

b) Qu nmeros tienen los tringulos anteriores que son congruentes?

II. Marquen con los tringulos que al superponerse coincidan en todas sus partes.

1

2

3

4 5

6 7 8 9

3 cm 3 cm

5 cm 5 cm

Dos figuras que al superponerse coinciden en todas sus partes se llaman congruentes. En el caso de dos tringulos, son congruentes si sus lados y ngulos correspondientes son iguales.

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25Forma, espacio y medida

V. En las siguientes figuras, los cuatro tringulos de la derecha son congruentes con el tringulo ABC.a) Nombren con A, B, C los vrtices correspondientes.b) Marquen con uno, dos o tres arcos los ngulos correspondientes.c) Con una, dos o tres rayas marquen los lados correspondientes.

A

B

C

IV. Consideren los siguientes pentgonos regulares:

Escriban por qu estos polgonos no son congruentes, a pesar de que tienen sus ngulos iguales.

VI. En el siguiente cuadrado:

VII. En tu casa haz lo siguiente:a) Coloca tu zapato izquierdo frente a un espejo. La imagen mediante esta

reflexin es exactamente la misma que tu zapato derecho. Sin embargo, no te puedes poner tu zapato izquierdo en tu pie derecho, y a la inversa. Comenta esto en el grupo en trminos de lo que has aprendido en esta leccin.

a) Tracen dos segmentos de recta que lo dividan en cuatro cuadrilteros congruentes, con la condicin de que no sean paralelogramos (los cuadrados y los rectngulos son paraleogramos).

b) Cuando encuentren la solucin comprenla con otras parejas de compaeros.

c) Propongan un problema parecido para el caso

de un rectngulo.

3 cm

2 cm

Reto

P es un punto que se mueve sobre la diagonal BD del rectngulo ABCD. Cmo son las reas de los rectngulos R1 y R2?

R1

R2

A D

B C

p

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26 bloque I

Construccin de tringulos congruentes (1)Procedimientos para trazar tringulos congruentes

leCCIN

6I. Para trazar un tringulo congruente con el tringulo ABC se siguen los siguientes

pasos:

a) Cada integrante de la pareja analice estos trazos y luego explique al otro compaero la manera como se copi el tringulo ABC.

b) En una hoja de su cuaderno cada uno de los miembros de la pareja trace: un tringulo equiltero un tringulo issceles un tringulo escalenoc) Midan los tres lados de cada tringulo y proporcionen estas medidas a su

compaero.d) Usen el procedimiento mostrado arriba para que cada uno trace tringulos

congruentes con los tringulos trazados por el otro.e) Recorten cada tringulo y superpnganlo en el original para verificar que

efectivamente son congruentes.f) Describan este procedimiento en su cuaderno e ilstrenlo con un ejemplo.

II. Otro procedimiento para trazar un tringulo congruente a un ABC, es el siguiente:

A

B

60

C

3 cm

5 cm A C5 cm

1

A

B

60

3 cm

5 cm

4

C

A

60

C5 cm

2

A

60

C5 cm

3

A

B C

1.8 cm

2.2 cm

3 cm

1

B C

2

A

B C

1.8 cm

2.2 cm

3 cm

3

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a) Cada integrante de la pareja explique al otro compaero cmo trazar un tringulo congruente a otro, conociendo dos lados y el ngulo que forman estos dos lados.

b) En una hoja aparte cada quien trace: un tringulo obtusngulo un tringulo rectngulo un tringulo acutnguloc) Midan dos lados de cada tringulo y el ngulo que forman y proporcionen estas

medidas a su compaero para que trace un tringulo congruente con cada uno.d) Marquen los lados y ngulos correspondientes en cada caso y verifiquen sus

resultados, superponiendo cada tringulo sobre el original.e) Describan en su cuaderno este procedimiento, acompaado de un ejemplo.

III. Un procedimiento ms para trazar un tringulo congruente a un ABC es el siguiente:

a) Cada miembro de la pareja explique a su compaero cmo trazar un tringulo congruente a otro, si se dan como informacin un lado y los ngulos adyacentes a ese lado.

b) En una hoja de su cuaderno cada integrante trace tres tringulos: uno equiltero y acutngulo otro issceles y rectngulo uno ms escaleno y acutnguloc) En los tres tringulos, cada uno mida un lado y los ngulos adyacentes a ese lado. d) Entreguen esta informacin a su compaero para que trace un tringulo

congruente con cada uno.e) Marquen los lados y ngulos correspondientes y verifiquen sus resultados

superponiendo cada tringulo sobre el original.f) Describan este procedimiento en su cuaderno e ilstrenlo con un ejemplo.

A

B

50

30

C

3 cm

1

A

30

C

3

A

C

3 cm

2

A

B

50

30

C

3 cm

4

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28 bloque I

Construccin de tringulos congruentes (2)Datos mnimos que se requieren para trazar tringulos congruentes

En cada una de las actividades de esta leccin, consideren que una persona les dicta a todos los alumnos del grupo algunos datos con los que deben trazar un tringulo en su cuaderno con sus instrumentos de geometra.

I. Tracen un tringulo cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 10 cm.

leCCIN

7

a) Cules son las medidas de cada uno de sus ngulos? b) Comparen su tringulo con otras parejas. Todos los tringulos que trazaron

son congruentes? c) Son necesarios ms datos para que todos los tringulos que trazaron sean

congruentes? . Justifiquen su respuesta.

d) Con ayuda de su maestro redacten una conclusin de esta actividad.

II. Tracen un tringulo en el que un lado mida 8 cm y el otro 5 cm de manera que el ngulo que forman sea de 40.

a) Cunto mide el tercer lado del tringulo? b) Hacen falta ms datos para que los tringulos que trazaron sean congruentes?

. Justifiquen su respuesta.

c) Con ayuda de su maestro escriban una conclusin de esta actividad.

8 cm

6 cm10 cm

40

8 cm

5 cm

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III. Tracen un tringulo en el que dos de sus lados midan 5 cm y 4 cm, y un ngulo de 50, que no est formado por estos lados.

a) Comenten entre todo el grupo los resultados que obtuvieron.

b) Qu conclusin obtienen de esta actividad?

IV. Tracen un tringulo en el que un lado mida 6 cm y los ngulos adyacentes a ese lado midan 45 y 60.

a) Cules son las medidas de los otros dos lados? b) Comparen su tringulo con el de otras parejas. Los tringulos que trazaron

son congruentes? c) Escriban una conclusin que considere los resultados de los alumnos del grupo.

V. Tracen un tringulo cuyos ngulos midan 45, 60 y 75, respectivamente.

a) Cules son las medidas de los lados del tringulo que trazaron? b) Resultaron congruentes los tringulos que trazaron? c) Con apoyo de su maestro redacten una conclusin de esta actividad.

VI. Entre todo el grupo, y con apoyo de su maestro, escriban en su cuaderno un resumen sobre los resultados de esta leccin que establezca los datos mnimos necesarios para trazar un tringulo congruente a otro tringulo dado.

6045

6 cm

45

75

60

50

4 cm

5 cm

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30 bloque I

Construccin de rectngulos y cuadradosDatos que se requieren para trazar rectngulos y cuadrados congruentes

leCCIN

8I. Para una tarea escolar, dos amigos requieren trazar un rectngulo cuyos lados

midan 4 cm, 10 cm, 4 cm y 10 cm, respectivamente, aunque la indicacin que le da uno al otro es: traza un cuadriltero de lados 4 cm, 10 cm, 4 cm y 10 cm. El amigo traza sucesivamente las cuatro figuras siguientes:

II. Tracen en su cuaderno un rectngulo cuyas diagonales midan 6 cm.

a) Todos los rectngulos resultaron congruentes? b) Qu dato adicional se requiere para que todos los rectngulos sean

congruentes? c) Agreguen ese dato y vuelvan a trazar el rectngulo. Todos los rectngulos

resultaron congruentes?

d) Qu conclusin obtienen de a), b) y c)?

III. Para trazar un cuadrado congruente con otro, qu datos son suficientes?

a) Tracen en su cuaderno un cuadrado cuyos lados midan 5 cm.

Todos los cuadrados resultaron congruentes? b) Tracen en su cuaderno un cuadrado cuyas diagonales midan 6 cm.

Todos los cuadrados resultaron congruentes? c) Ser necesario dar como dato el ngulo que forman las diagonales entre s?

. Justifiquen su respuesta, ilustrndola con un ejemplo.

e) Qu conclusiones obtienen de a), b) y c)?

a) Son cuadrilteros las cuatro figuras? Cmo definen un cuadriltero?

b) Tracen en su cuaderno el rectngulo que debi haber trazado el amigo. Todos los

rectngulos que trazaron son congruentes? Queda definido de manera nica

un rectngulo si slo se dan las medidas de sus lados? Argumenten su

respuesta.

10 cm

10 cm

4 cm 4 cm

10 cm4 cm

4 cm

10 cm

10 cm

10 cm 4 cm

4 cm10 cm

10 cm

4 cm 4 cm

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IV. Consideren que la siguiente sucesin de figuras es una seleccin de imgenes de una pelcula, en la que el rectngulo va reduciendo su largo. Analicen lo que ocurre con los lados, ngulos, diagonales y ejes de simetra de cada figura, en particular en la figura 3 y comntenlo con otra pareja de compaeros.

a) Qu diferencia hay entre las propiedades de las diagonales de la figura 3 con las

diagonales de las otras figuras?

b) Qu diferencia hay entre las propiedades de los ejes de simetra de la figura 3 con

los ejes de simetra de las otras figuras?

c) Cmo definen un rectngulo?

d) Un cuadrado tiene todas las propiedades de un rectngulo (y algunas ms). Puede

considerarse a un cuadrado como un caso particular de rectngulo? Es decir, un

cuadrado es tambin un rectngulo? .

V. En la siguiente tabla, marquen la celda con si la propiedad corresponde a la figura geomtrica indicada.

Propiedades Rectngulo Cuadrado

Tiene dos pares de lados paralelos

Sus lados opuestos son iguales

Sus cuatro lados son iguales

Tiene cuatro ngulos rectos

Sus diagonales son iguales

Sus diagonales son perpendiculares una a la otra

Sus diagonales se bisecan una a la otra

Sus diagonales bisecan sus ngulos interiores

Tiene slo dos ejes de simetria

Tiene cuatro ejes de simetra

1 2 3 4 5

VI. Comparen sus respuestas de esta leccin con otras parejas de compaeros. Coinciden? Si no coinciden, analicen las causas y corrijan lo necesario.

Reto

En la siguiente figura encuentra la longitud de x.

x

52 2

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32 bloque I

I. Las figuras 2 , 3 y 4 se trazaron a partir de la 1 .

leCCIN Construccin de figuras semejantes (1)

9

a) Qu cambios tuvo la figura 1 al transformarse en las figuras 2 , 3 y 4 ?

b) Las figuras 1 y 4 son semejantes. Qu caractersticas tienen las figuras

semejantes?

c) Conforme a la respuesta anterior, por qu las figuras 1 y 2 no son semejantes?

d) De las figuras anteriores, qu otros pares de figuras no son semejantes? . Expliquen su respuesta.

II. En las siguientes figuras, los cuadrilteros 1 y 2 son semejantes.

a) Qu relacin hay entre cada par de ngulos correspondientes de ambos cuadrilteros? (anoten todas estas relaciones y comparen sus respuestas).

; ; ;

b) Qu relacin hay entre cada lado del cuadriltero ABCD y el lado correspon-

diente del cuadriltero ABCD? (anoten las relaciones faltantes).

ABA B = 2

; = ; = ; =

1 3 42

1 2

A

A

B BC C

D

D

Relacin entre los ngulos y los lados correspondientes de figuras semejantes

La relacin 2 a 1 que hay entre los lados del cuadriltero 2 respecto de los correspondientes del cuadriltero 1 se llama factor de escala o razn de semejanza. Esta razn de semejanza es una relacin de proporcionalidad y su valor numrico se llama constante de proporcionalidad.

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III. En la siguiente cuadrcula agranda tres veces el ABC para obtener el DEF.

IV. Consideren el rectngulo KLMN y el rectngulo WXYZ:

a) Cmo verifican que el rectngulo KLMN y el rectngulo WXYZ son semejantes?

b) Cul es el factor de escala de los lados del rectngulo WXYZ respecto de los

lados del rectngulo KLMN? c) Escriban las razones entre los lados del rectngulo WXYZ y los del rectngulo

KLMN. d) En su cuaderno tracen otro rectngulo semejante al rectngulo KLMN.

e) Ese rectngulo es tambin semejante a WXYZ? Cmo pueden

comprobarlo?

B

A

C

a) Cuntas veces es mayor la base del DEF que la del ABC? Es decir,

De la misma manera:

Por lo tanto, cmo son el ABC y el DEF? En este caso, cul es el factor de escala o razn de semejanza?

EFB C =

DFAC = ;

DEAB =

ZW

YX

NK

ML

En las figuras semejantes las razones de los lados correspondientes son iguales y los ngulos correspondientes tambin son iguales.

V. Comparen sus respuestas de todas las actividades de esta leccin con las de otras parejas de compaeros. Si hay diferencias analicen por qu y corrijan lo necesario.

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34 bloque I

I. Consideren el siguiente rectngulo.

a) En hojas cuadriculadas, tracen rectngulos semejantes a este, de manera que

tengan 2, 3, 4 y 5 como factor de escala.

b) Qu operacin hicieron con las medidas del rectngulo original para determinar

las medidas de los rectngulos semejantes?

c) Si en lugar de multiplicar por determinado nmero la medida de cada lado del

rectngulo original la dividen, por ejemplo, entre 2, obtienen un rectngulo

semejante? . Justifiquen su respuesta.

d) Escriban una conclusin sobre b) y c).

II. Gina dice que todos los cuadrados son semejantes. Ser verdad lo que afirma?a) Para verificarlo o refutarlo, analicen varios casos. Por ejemplo, si los lados de

un cuadrado miden 10 cm y de otro miden 7 cm, son semejantes?

b) Consideren el caso de los rombos. Son todos semejantes? (Sugerencia: tracen varios rombos y observen sus ngulos). Argumenten su respuesta.

Bajo la coordinacin de su maestro expongan ante todo el grupo su conclusin sobre semejanza de cuadrados y rombos.

Construccin de figuras semejantes (2)leCCIN

10

III. Un diseador grfico afirma que una manera de ampliar y reducir fotografas rectangulares, sin que se distorsionen, es la que se muestra en esta imagen:

a) Tiene razn el diseador? b) Hagan pruebas de este mtodo en su

cuaderno, comenten en parejas sus resultados y luego, entre todo el grupo, lleguen a una conclusin nica.

c) Si concluyeron que el diseador tiene razn, escriban en su cuaderno las instrucciones de su mtodo para construir rectngulos semejantes.

2

3

Cmo construir rectngulos semejantes

DistorsionarSe dice que una imagen sufre una distorsin si se deforma, es decir, si sus medidas no son proporcionales a las de la imagen original.

Glosario

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IV. Al tamao de una fotografa de 10.5 cm por 15 cm se le llama tamao postal.

a) Marquen con en el recuadro si la ampliacin o reduccin de esta fotografa no

tuvo distorsin.

b) Comparen sus respuestas con las de otras parejas de compaeros. Si no coinciden

analicen las razones y, en su caso, corrijan lo necesario.

V. En muchas mquinas fotocopiadoras se pueden hacer ampliaciones o reducciones del documento original. Escriban en los espacios cul es el factor de escala si un documento se fotocopia al:a) 200% d) 75% b) 50% e) 25% c) 100% f) 300% d) Comparen sus respuestas con las de otras parejas. Si hay diferencias corrijan lo

necesario.

VI. Investiguen las medidas de una cancha de bsquetbol y trcenla en su cuaderno, de manera que sea un dibujo a escala de la cancha.

a) Cunto miden el largo y ancho de la cancha?

b) Qu factor de escala eligieron para hacer su trazo?

c) Cules son las medidas del largo y ancho de la cancha en su trazo?

d) Compartan sus trazos con el resto del grupo y expliquen los criterios que usaron

para hacerlos.

VII. La ilustracin de la derecha contiene figuras semejantes entre s. Los mdicos oftalmlogos usan una ampliacin de sta para medir la agudeza visual de las personas.

Encuentra en tu entorno otros ejemplos de figuras semejantes.

Postal Ancho largo

21 x 30 5.25 x 7.5 21 x 7.5 4.6 x 6 15.75 x 22.5 12 x 8

15

10.5

Dr. T. Mata

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36 bloque I

leCCIN

11 Establecimiento de tres criterios de congruencia de tringulosCriterios de congruencia de tringulos

En las lecciones 6 y 7 analizamos cmo construir un tringulo congruente a otro, dando el mnimo de datos. En esta leccin explicitaremos los criterios de congruencia de tringulos.

El resultado anterior nos conduce al siguiente criterio de congruencia de tringulos:

II. Para esta actividad requieren de un pedazo de alambre formando una horquilla como la ilustrada a la izquierda.

I. Coloquen sobre una mesa tres lpices, de manera que coincidan sus extremos para formar un tringulo. Intercambien de lugar los lpices varias veces, siempre formando un tringulo.

a) Cuntos tringulos diferentes pudieron formar?

b) Pregunten a otras parejas de compaeros si todos los tringulos que formaron

son congruentes entres s.

c) Qu relacin tiene este resultado con el hecho de que un tringulo como el de

la izquierda no se pueda deformar?

d) Comenten sus respuestas con las de otras parejas de compaeros y obtengan

una conclusin.

Consideren que los dos ngulos que se forman son adyacentes a la base de un tringulo.

a) Prolonguen con una lnea punteada los lados desconocidos del tringulo.

b) Comenten con otras parejas cuntos tringulos diferentes pudieron formar.

Esta actividad nos lleva al segundo criterio de congruencia de tringulos:

Criterio LADO-LADO-LADO (LLL)Si los tres lados de un tringulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro, entonces los tringulos son congruentes.

En smbolos (completen):

Si AB = , BC = y AC = , entonces ABC

A

B C

A

B C

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Criterio NGULO-LADO-NGULO (ALA)Si dos ngulos de un tringulo y el lado comprendido entre ellos son respectivamente iguales a dos ngulos y el lado comprendido entre ellos de otro tringulo, entonces los tringulos son congruentes.

Criterio LADO-NGULO-LADO (LAL )Si dos lados de un tringulo y el ngulo que forman son respectivamente iguales a dos lados y el ngulo que forman de otro tringulo, entonces los tringulos son congruentes.


Si A = , B = y AB = , entonces ABC


Si AB = , BC = y B = , entonces ABC

III. Para esta actividad fijen en su comps una determinada abertura, como se ilustra en la figura de la derecha. Consideren que los brazos del comps son dos lados de un tringulo y el ngulo que determinan es el que forman esos lados.

a) El tercer lado del tringulo y los dos ngulos desconocidos quedan

determinados de manera nica?

b) Comenten sus respuestas con otros compaeros y obtengan una

conclusin.

Esta actividad nos conduce al tercer criterio de congruencia de tringulos:

IV. Redacten en su cuaderno un resumen de los tres criterios de congruencia analiza-dos en esta leccin. Comntenlos con otras parejas del grupo y con ayuda de su maestro acuerden una redaccin comn.

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

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38 bloque I

leCCIN

12 Identificacin y uso de los criterios de congruencia de tringulosAplicacin de los criterios de congruencia de tringulos

I. De las siguientes figuras, identifica pares de tringulos congruentes y relacinalos usando el smbolo . En cada caso, anota el criterio de congruencia de tringulos que usaste para decidir y anota los lados correspondientes que son iguales.

II. En cada una de las siguientes figuras estn marcados los lados y ngulos iguales. Identifiquen pares de tringulos congruentes, relacinenlos con el smbolo y escriban el criterio de congruencia que usaron.

III. Analicen los siguientes pares de figuras y calculen los valores de x y de y.

D

5

3 4

E FK L

J

4

3 5

A

C

B

E

D

J

K

M

L

F

H

E

I

G

M

O

N P

R S

Q T

U

V

YW

X

x = y =

6045B C

A

5 cm

4.5 cm 3.7 cm

60

45

E Fxy

D

5 cm 4.5 cm

x = y =

80H I

G

10 cm

10 cm3.5 cm

80K L

x

y

J

3.5 cm

10 cm

C

B

B C

10040

A

6

60ON

M

6

5

100

40

Q

R

P

660

H I

G

6

5

ABC

AB = BC = AC =

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En las siguientes tres actividades usaremos los criterios de congruencia de tringulos para demostrar las proposiciones.

V. En el tringulo ABC de la izquierda, si AB = AC y M es el punto medio de BC, demuestren que

ABM ACM.

a) AB = AC porque ...

b) BM = CM porque ...

c) AM = AM porque ...

d) entonces ABM ACM porque

VI. En la figura de la izquierda, si AB es paralela a CD y AO = OD, demuestren que AOB DOC.

a) AO = OD porque

b) AOB = DOC porque c) BAO = CDO porque d) entonces AOB DOC porque

VII. Comenten con otras parejas los argumentos que dieron en cada una de las actividades IV, V y VI para justificar las afirmaciones que se usaron al hacer las demostraciones. Si no coinciden, analicen por qu y con ayuda de su maestro determinen los argumentos correctos.

B

A D

C

A

B CM

A

C

O

B

D

IV. En la figura de la izquierda, si AB = DC y AC = BD, demuestren que ABC DCB.

a) AB = DC porque

b) AC = BD porque

c) BC = BC porque

d) entonces ABC DCB porque

es un lado comn

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40 bloque I

Criterios de semejanza de tringulos (1)leCCIN

13 Establecimiento de tres criterios de semejanza de tringulos

Cuando hablamos de figuras semejantes, es decir, figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamao, nos vienen a la mente objetos como un mapa de carreteras, el plano de una casa, una fotografa, una lente de aumento, un retroproyector, un telescopio o un automvil a escala.

I. Consideren que al tringulo de la izquierda lo vemos a travs de una lente de aumento.

a) Midan los lados del tringulo original y los del tringulo amplificado, pongan literales a los vrtices y escriban la relacin entre los ngulos correspondientes.

b) Anoten las razones de los lados del tringulo original respecto del tringulo

amplificado. c) Escriban la relacin entre las razones de los lados correspondientes de ambos

tringulos. d) De acuerdo con sus respuestas en a) y c), cmo son ambos tringulos?

El resultado anterior nos conduce al primer criterio sobre semejanza de tringulos:

Criterio LADO-LADO-LADO (LLL)Si los lados correspondientes de dos tringulos son proporcionales, entonces los tringulos son semejantes.

En smbolos (completen): Si a

= b

= c

=, entonces ABC

A

B C

bc

a

A

B C

bc

a

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II. Consideren que estamos en el proceso de trazar un tringulo semejante al ABC y llevamos trazados un lado y los ngulos adyacentes a ese lado.a) Completen el ABC. Queda determinado el ABC

de manera nica? Jutifiquen su respuesta.

b) Cunto debe medir el tercer ngulo? .

Justifiquen su respuesta. c) Midan los lados de ambos tringulos y el tercer ngulo.

Comprueben que sus ngulos son iguales y sus lados proporcionales.

Este resultado nos conduce al segundo criterio sobre semejanza de tringulos:

III. Nos piden trazar un ABC semejante al ABC y hemos trazado ya un ngulo y los lados que forman este ngulo.

Si unimos los puntos A y C, el ABC es semejante al ABC? Verifiquen si su respuesta es correcta estableciendo la comparacin de los ngulos y las razones entre sus lados correspondientes.

Este resultado nos lleva al tercer criterio sobre semejanza de tringulos:

Criterio NGULO-NGULO (AA)Si dos ngulos de un tringulo son respectivamente iguales a dos ngulos de otro tringulo, entonces los tringulos son semejantes.

A

B C

A

B C

En smbolos (completen): Si B = y = C, entonces ABC

5

2

B C

A

1

2.5B C

A

Criterio LADO-NGULO-LADO (LAL)Si dos lados de un tringulo son respectivamente proporcionales a dos lados de otro tringulo y los ngulos formados por esos lados son iguales, entonces los tringulos son semejantes.

En smbolos (completen): Si a

= c

y B = , entonces ABC

A

B C

bc

a

A

B C

bc

a

2

31.7 110

32

A

B C

6

110

32B C

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42 bloque I

aa = 180

Criterios de semejanza de tringulos (2)leCCIN

14 Identificacin y uso de los tres criterios de semejanza de tringulos

En la leccin anterior establecimos los criterios de semejanza de tringulos. Los siguientes pares de figuras ilustran estos tres criterios:

I. De los siguientes tringulos, identifiquen los pares que son semejantes y anoten el criterio de semejanza que aplicaron.

Par de tringulossemejantes Criterios de semejanza

II. En las siguientes figuras identifica los tringulos semejantes, usa el smbolo para denotarlos y anota el criterio de semejanza aplicado.

LLL LALAA

70

70

F

H

G

I

E

A

B

CO

D

b)

40

2

6

h)

40

4

12

a)

45

105

e)105

30

d)

12

16

8

f)

63

4.5g)30

2.7

1.5

c)

30

8.14.5

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III. En las siguientes figuras identifica los tringulos semejantes, usa el smbolo para denotarlos, anota el criterio de semejanza usado y la razn de semejanza.

IV. En el ABC de la derecha, la recta l es paralela al lado BC y corta a los lados del tringulo en los puntos D y E.

La siguiente argumentacin es para demostrar que ABC ADE.

Justifiquen cada paso de la demostracin.

a) ABC = ADE Porque b) A = A Porque c) Entonces, ABC ADE Porque

VI. Analicen la demostracin anterior y en su cuaderno, con argumentos similares, demuestren que:a) ABC CBDb) ACD CBD

A

B

C

O

D

3

6

4

2

B

D

C

E

A

l

C

A

B

C ED 55

4

4

6

VII. Comparen todas sus respuestas de esta leccin con las de otros equipos. Si hay diferencias analicen por qu y corrijan lo necesario.

V. Consideren el tringulo rectngulo ABC, donde ACB = 90. Desde el vrtice C trazamos el segmento CD perpendicular al lado AB.

Demostraremos que ABC ACD.C

A BD

a) ACB = ADC = 90 Porque b) A = A Porque c) Entonces, ABC ACD Por

son datos

es el mismo ngulo

criterio de semejanza AA

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44 bloque I

Relaciones de proporcionalidad (1)

I. El pap de Bernardo tiene una planta purificadora de agua. El cliente acude con su garrafn y en el negocio lo lavan y lo llenan con agua purificada. El precio al que vende cada garrafn de 20 litros es de $11.

La semana pasada se vendieron 816 garrafones.a) De acuerdo a la informacin, completa la siguiente tabla.

b) Compara el resultado que obtuviste en la venta del sbado con tus compaeros

ms cercanos. En caso de que alguno tenga un resultado distinto, pdele que te

explique su procedimiento y despus explcale el tuyo. Traten de llegar a una

conclusin.

c) Cmo obtuviste los valores del rengln correspondiente a dinero que se

obtuvo por venta?

d) Comenta con tus compaeros para ver si coincidieron en el mtodo y escriban

una ecuacin que relacione el dinero que se obtuvo por venta con la cantidad de

garrafones vendidos.

e) Ordena, de menor a mayor, las cantidades de cada fila de la tabla. Despus de

ordenar dichas cantidades, se conserva entre ellas la misma asociacin que

tienen en la tabla? Por qu debe ser as?

f) Los valores ordenados en e), cumplen con la ecuacin que escribiste

en d)?

g) Calcula el promedio diario de garrafones vendidos durante la semana.

h) Calcula el promedio diario del dinero obtenido por ventas durante la semana.

i) Los promedios obtenidos en los incisos g) y h), tambin cumplen con la

ecuacin que escribiste en el inciso d)?

leCCIN

15

Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes Sbado Domingo

Garrafones vendidos 80 96 108 112 100 160

Dinero que se obtuvo por venta ($)

880

Las proporciones en la purificacin del agua

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45Manejo de la informacin

j) En el siguiente cuadro, grafica los resultados de la tabla.

1500

1000

500

0

Dinero que se obtuvo por venta

($)

50 100 150

Garrafones vendidos

k) Los puntos que graficaste:

Estn alineados Forman una lnea recta

Forman un segmento de recta Forman un arco

l) Existen puntos que corresponden a fracciones de garrafn?

Por qu?

II. Algunos de los gastos de la planta purificadora del pap de Bernardo son fijos y otros son proporcionales a la cantidad de garrafones de agua que se producen. Aqu se enlistan algunos de dichos gastos; seala con la palabra fijo los que no cambian, y con la palabra proporcional los que consideres que aumentan, si la produccin aumenta y disminuyen si la produccin disminuye.

a) Renta del local

b) Electricidad para iluminacin

c) Electricidad para los procesos

d) Agua para purificar

e) Agua para los sanitarios

III. Compara tus respuestas con algunos de tus compaeros. Si encuentran alguna discrepancia disctanla y propongan una manera de probar quin tiene razn.

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46 bloque I

I. En la purificadora del pap de Bernardo, por cada litro de agua que entra en el proceso de purificacin, salen 800 mililitros de agua purificada y el resto se desecha.

a) Qu porcentaje del agua procesada se desecha?

b) Qu porcentaje del agua vendida representa el agua desechada?

c) De acuerdo a la informacin, completa la siguiente tabla.

d) Cmo obtuviste los valores del rengln correspondiente a litros desechados?

e) Comenta con tus compaeros para ver si coincidieron en el mtodo y escriban

una ecuacin que relacione la cantidad de litros desechados con la cantidad de garrafones vendidos.

f) Si se ordenan de menor a mayor los valores en cada fila de la tabla, las parejas

conservan la asociacin que tienen en la tabla?

Por qu debe ser as?

g) Los valores ordenados en el incisio anterior, hacen verdadera la ecuacin que

escribiste en el inciso e.

leCCIN

16Relaciones de proporcionalidad (2)

Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes Sbado Domingo

Garrafones vendidos 80 96 108 112 100 160 160

Litros desechados 400 480

El agua desechada en el proceso de purificacin

II. Compara tus respuestas con algunos de tus compaeros. Si encuentran alguna diferencia, disctanla y corrijan los errores.

Si por cada litro de agua que se va a purificar se obtienen slo 800 ml de agua purificada, qu volumen de agua se necesita para obtener un litro de agua pura?

Reto

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47Manejo de la informacin

III. Los resultados anteriores pueden examinarse de manera grfica.a) En el siguiente sistema de coordenadas, grafica los resultados de la tabla.

b) Los puntos que graficaste:

Estn alineados Forman una lnea recta

Forman un segmento de recta Forman un arcoc) Si solamente se venden garrafones completos, sera posible graficar un punto

que correspondiera a 73.5 garrafones vendidos? d) Cuntos litros desechados le corresponden a cero garrafones vendidos?

e) Si un da se vende cierta cantidad de garrafones, y en otro da se vende el doble de ellos, qu pasa con las respectivas cantidades de agua desechada?

f) Se puede concluir que las cantidades de garrafones vendidos y litros desecha-

dos (son/no son) proporcionales.

700

matematicas 3 habilidades y competencias

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