matematica ii

POR: LUZ MARTHA CALCINA QUISPE

1

Luz Martha Calcina Quispe

Matemática II

Universidad Nacional del Altiplano -2015

2

Título original : Matemática II

Autor : Luz Martha Calcina Quispe

Número de edición: 1ra. Edición.

Editorial : Ediciones NOBEL.

Puno - Perú, noviembre 05 de 2015

Hecho en el depósito legal en la Biblioteca Nacional Del Perú

Nº 2015-00623

Ley Nº 26905

Reglamento D.S. Nº 017-98-ED

Impreso en:

Gráfica “NOVEL” de Pedro Suarez

R.U.C Nº 10327902552

AV. Larco Nº 324 - Juliaca

3

PRESENTACIÓN

A través de la historia las ideas adquiridas sean copiado para algún día mejorarlas o sacar nuevas ideas, es por eso que presento este libro que es una sumilla de temas que se tocaron a lo largo del semestre en el curso de Economía Matemática II.

Mediante este libro recordaré y analizaré, es por tanto que me ayudara a mejorar como estudiante, para luego desempeñarme eficazmente como ingeniero economista.

Estoy seguro que este libro ayude a otros estudiantes como mi persona.

4

INDICE

1° CONCEPTOS BASICOS DE OBTIMIZACION ESTATICA......6A) FUNCIONES..................................................................................................................6

B) LÍMITE Y CONTINUIDAD....................................................................................8

B1) LIMITE.....................................................................................................................8

B11) PROPIEDADES DE LIMITES...................................................................................9

B2) CONTINUIDAD.....................................................................................................11

B21) TIPOS DE DISCONTINUIDAD....................................................................12

B22) Teoremas sobre funciones continuas....................................................13

C) EL COCIENTE DE DIFERENCIAS...................................................................15

¿Qué es el cociente de diferencia?...........................................................................15

Análisis forma del cociente de diferencias.............................................................16

B3) DERIVADA...........................................................................................................24

B31) Regla de derivación.....................................................................................24

B311) REGLA DE LA FUNCION POTENCIAL..............................................24

B312) REGLA DE LA FUNCION EXPONENCIAL.........................................25

B313) REGLA DE LA FUNCION LOGARITMICA.........................................25

B314) REGLA DE LA FUNCION TRIGONOMETRICA.................................25

B315) REGLA DE SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES.......................26

B316) REGLA DE PROCTO DE FUNCIONES...............................................26

B317) REGLA DE DIVICION DE FUNCIONES..............................................26

B318) REGLE DE LA CADENA.......................................................................26

B4) CONTINUIDAD & DIFERENCIABILIDAD........................................................27

B5) EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION...............................................29

B6) CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD......................................................................31

Máximo relativo......................................................................................................31

Mínimo relativo.......................................................................................................32

B7) MAXIMIZACION DE GANANCIAS...................................................................37

B8) DERIVADAS PARCIALES.................................................................................39

B81) DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLISITAS.............................................41

B82) APLICACIÓNES DE LAS DERIVADAS PARCIALEN EN LA ECONOMIA..................42

B821) FUNCIONES DE PRODUCION.............................................................43

Bibliografía.................................................................................................................................46

5

UNIDAD I1° CONCEPTOS BASICOS DE OBTIMIZACION ESTATICA

A) FUNCIONES El análisis matemático es el estudio del comportamiento de las funciones .para

ello generalmente se analizan separadamente las funciones de una y varias

variables. Las funciones a su vez son un tipo especial de relaciones que

provienen del producto cartesiano entre conjuntos.

Sea A y B dos conjuntos no vacíos, una relación R de A en B es un

subconjunto de A x B. El dominio de R, notado Dom(R), es el conjunto

{x∨(x , y )∈R paraalgun y∈B }

Y el rango de R, notado Ran(R), es el conjunto

{ y∨(x , y)∈R paraalgun x∈ A }.

Consideremos la siguiente función:

f ( x )=cos x

Si evaluamos f ( x ) en x=0 tendremos f (0 )=cos (0 )=1

Usualmente es necesario evaluar expresiones matemáticas tales como el caso anterior las mismas que resultan fácil de resolver sin embargo existen otras expresiones cuya evaluación no necesariamente es sencilla como por ejemplo:

g ( x )= sen (x)x

¿Cuál es el valor de g(x) cuando se evalúa x = 0?

g (0 )= sen(0)0

=00

Es posible plantear dos escenarios para calcular la función g (x) en x = o

Si analizamos la función haciendo uso de límites llegaremos a lo siguiente:

6

LIMITES POR LA IZQUIERDA LIMITE POR LA DERECHA

A) limx→0−¿g (x)¿

¿ =1 B) limx→0+¿ g (x)¿

¿

X g(x) X g(x)

-5 -0.1918 5 -0.1918

-0.5 0.9588 0.5 0.9588

Los límites por la derecha y por la izquierda se denominan laterales. Si los límites laterales son idénticos entonces existe un límite de la función.

Entonces concluimos:

limx→ 0−¿ g (x )= lim

x→0 +¿ g( x)¿¿ ¿

¿

limx →0

g (x)=1

B)LÍMITE Y CONTINUIDAD B1) LIMITE En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la

noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o

una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se

acercan a determinado valor.

Dada una función f definida en un intervalo [a,b] y un punto xo ∈ (a,b), se dice que

la función f tiene límite L ∈ R en el punto xo , y se denota

limx→x o

f (x )=L

Este límite existirá si se cumple los siguientes requisitos:

Llegamos al mismo resultado puesto que la función es simétrica

7

Existe limx→x o−¿ f (x)¿

¿

Existe limx→x o+¿f (x)¿

¿

Existe lim

x→x o−¿ f (x)= limx→ x o+¿ f (x) ¿

¿ ¿¿

Es necesario evaluar el límite de una función cuando la función dada presente

problemas de indeterminación de algún valor de su dominio

Ejercicio

f ( x )= x+3 x2

x

Si x = 0 la función f(x) es indeterminada

Apliquemos límites

limx →0

f ( x )=¿ limx →0

[ x+3 x2

x]¿

Si x = 1

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

3

4

limx→0−¿f (x )=1¿

¿ limx→0+¿ f (x)=1¿

¿

B11) PROPIEDADES DE LIMITES

Recuerda que Cuando una función es

indeterminado se aplica límites

8

Las propiedades nos facilitaran resolver una variedad de ejercicios, son 5 las

principales propiedades y son las siguientes:

LIMITE DE UN ESCALAR limX→ 0

E

LIMITE DE UN ESCALAR MULTIPLICATIVO limx→x o

kf (x)=k limx →x o

f (x)

SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES limx→x o

[ f (x )± g(x )]= limx→x o

f (x )± limx →x o

f (x)

LIMITE DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES limx→x o

f ( x ) . g (x)= limx →x o

f (x) . limx →x o

f (x)

LIMITE DE UN COCIENTE DE FUNCION

limx→x o

f (x )g(x )

=limx →x o

f (x)

limx→x o

g( x)

Ejercicio

Dado la expresión

z=[1+ in]nt

Donde Z es el factor de capitalización. Se pide calcular el monto final a retirar (S) de un banco, con pendiente a un depósito inicial (M) de $2.500, con las condiciones siguientes:

i=10% anual

t= 2 años

n= 12

Solución El monto final (S) se obtiene al aplicar la expresión

9

S=(1+ in)nt

M

S=(1+ 10%12

)12 (2)

S=(1,22039)(2500)

S=3,050.98

Si n=2

S=(1,21551)(2500)

S=3,038.77

Podemos observar que mientras “n” disminuye el valor de Z también disminuye

¿Qué ocurre con Z si n ∞?

limn→∞

z=limn→∞

(1+ in)nt

=1

El resultado de este límite será absurdo puesto que el precio debe subir al monto inicial entonces la conclusión es que con limites no se llegara al final

Apliquemos log a Z

log z=log(1+ in)nt

log z=nt . log(1+ in)

Reformulando:

log z=log(1+ i

n)

1nt

=h(n)g(n)

Apliquemos límites:

limn→∞

log z=limn→∞

[log(1+ i

n)

1nt

]

10

limn→∞

log z=limn→∞

limn→∞

(1+ in)

limn→∞

1nt

=00

Asumiendo

h (n )=log(1+ in) g (n )= 1

nt

Según la regla de L´ hospital

limn→∞

log z=limn→∞

h´ (x )g´ (x)

limn→∞

z=e¿

B2) CONTINUIDAD

Una función f(x) es continua en x = x0, si cumple los siguientes requisitos:

a. El punto x0 pertenece al dominio de la función f ( x ) →existe

b. Existe el límite (laterales)

limx→x 0f (x)

c. Satisfacer la condición de continuidad

limx→x 0

f (x)=f (x )

Si una función no es continúa en un punto, se dice entonces que es discontinua en dicho punto

B21) TIPOS DE DISCONTINUIDADUna función f presenta una discontinuidad evitable en el punto x0 E a cuando

existe limx→x 0

f (x)

O bien no existe f(x0)

O bien existe f(x0) pero f(x0) ≠ limx→x 0

f (x)

e = constante de Euler

Recordemos que toda función debe tener

continuidad

11

En el caso de no estar definida la función en x0, puede ampliarse la

continuidad de la función f(x) en dicho punto definiendo f ( x 0 )= limx →x0

f (x )

Una función f presenta una discontinuidad de salto (finito) en el punto x0

E A cuando existen los limites laterales de la función en el punto pero no

coinciden

limx→x 0+¿ f (x)=L≠ M= lim

x →x 0−¿ f (x) ∄ limx→x0

f( x)¿¿¿

¿

Una función f presenta una discontinuidad esencial en el punto x0 E A

cuando algunos de los limites laterales (o ambos) de la función en el

punto es infinito o no existe alguno (o ambos) de los limites laterales.

Veamos gráficos de diferentes discontinuidades

Discontinuidad Discontinuidad Discontinuidad

Evitable de salto esencial

B22) Teoremas sobre funciones continuas

A. Sea f y g dos funciones tales que limx→x 0

f (x)=L y g es continua en L.

entonces se verifica que

limx→x o

(g° f )(x )= limx→x 0

g (f (x ))=g(L)

12

B. [DE WEIERSTRASS] si f[a,b] R es una función continua en el intervalo [a,b], entonces f está acotada en [a,b]y alcanza el máximo y mínimo en dicho intervalo

Ejercicios Para comprender el concepto de continuidad de una función, desarrollaremos el siguiente ejemplo

1. Sea la función: f ( x )=2+¿x∨¿ El dominio de la función es: Dom f(x) E R y su grafia de f(x) es

2

¿Es continua f(x) en x = 0?

La función f(x) será continua solo si satisface la condición de continuidad

limx →0

f (x )=f (o)

Verifiquemos su continuidad

a. 0 E Dom f(x), por lo que existe F(0) =2

b. Los limites laterales de f(x) cuando x→0 son:

limx→0−¿f (x)=2¿

¿

13

limx →0f (x )=2 lim

x→0+¿ f (x)=2¿¿

Por lo expuesto se concluye manifestando el cumplimiento de la condición de continuidad

F(x) es continua en x= 0

En todo el dominio de f(x) la función es continua por lo tanto, f(x) es continua

2. Sea la función h ( x )= 10x−2

¿Es h(x) una función continua?

Avaluemos

i. 2 E Dom h(x), entonces h(2) no existe

ii. Los limites laterales son

limx→2−¿h( x)=−∞¿

¿

limx →2

h(x )=noexiste limx→2+¿h (x)=+∞¿

¿

iii. X=2 la función h(x) no cumple la condición de continuidad así que h(x) es una función discontinua

1 .8 2 .0 2 .2 2 .4

200

100

100

200

14

C) EL COCIENTE DE DIFERENCIAS

¿Qué es el cociente de diferencia?

Es matemáticamente la pendiente de una recta lineal o no lineal, también es el relación entre dos variaciones. Consideremos la siguiente función:

y=f ( x )=5−2x+x2

Si adoptamos el valor para X

X0 = 3 Yo =f ( X 0 )=5−2 (3 )+32

Yo = 8X1 = 8 Y1 =F ( X1 )=5−2 (8 )+82

Y1 = 53

Podemos apreciar el cambio en las variables X e Y

∆ x=X1−X 0=8−3=5

∆ y=Y 1−Y o=53−8=45

El operador ∆ se conoce como diferencia (también se determina cambio, variación, incremento.etc). Sabemos que cualquier cambio en X ocasiona cambios en Y, por tanto

∆ y∆ x

=455

=9

Esto significa que un aumento en 1 unidad a X, habrá un aumento en 9 unidades en Y, este valor en X Comprende de 3 y 8

Análisis forma del cociente de diferencias

y=f ( x )Si x=x0→ y0=f (x0 )Si x=x1→ y1=f ( x1 ) El cambiode x es∆ y=f (x1 )−f (x0 )

∆ x=x1−x0El cocientede diferencias∆ y∆ x

=f ¿¿ Demaneraalterna se puedeexpresar

15

∆ x=x1−x0x1=x0+∆ x

Se puede generalizar sosteniendo que todo valor de x se puede obtener considerando en un valor inicial y una variación entonces.

∆ y∆ x

=f (x+∆x )−fx

∆ x

EjercicioSea laf ( x )=2+2 x−x2Hallando el cocientede diferencias .

∆ y∆ x

=2+2 ( x+∆ x )− (x+∆ x )2−(2−2 x−x2 )

∆ x

∆ y∆ x

=2+2x+2∆ x−x2−2 x ∆ x−∆ x2−2+2 x+x2

∆ x∆ y∆ x

=2∆x−2∆ x ( x )−∆ x2

∆ x

∆ y∆ x

=∆ x (2−2x−∆ x )

∆ x∆ y∆ x

=2−2 x−∆x

Si x=2 i ∆ x=6

∴ ∆ y∆ x

=2−2 (2 )−6∴ ∆ y∆ x

=−8

Significa queal aumentar unaunidad en∆ x ,la ∆ y se reducenen8.Graficamos :

Hallemos

QS=2P+K…(1)I = ingreso

16

Qd=−p+0.5 I…(2)K = stock Qd=Qs=Q…(3)

Las variables endógenas son QS , Qd, p las variables exógenas son I, K

SOLUCION Dada la condición de equilibrio

QS=¿ Qd

2p + k = -p + 0.5I

p=16

I−13

K ….. (4)

Remplacemos (4) en (1)

QS=2( 16 I−13

K )+k

QS=13

I+ 13

k …(5)

Las expresiones (4) y (5) se conoce como “formas reducidas” es decir, son funciones en los que una variable endógena se expresa en términos de la variable exógenas del modelo. Representa la solución al modelo

Asumamos que I0 =1000 ᶺ K0 =2

Entonces: P0=16

(100 )−13

(2 )=16

Q 0=13

(100 )+ 13

(2 )=34

Grafiquemos:

El modelo es las funciones inversas son

Q = -p + 50 p = 50 - Q

Q = 2p+2 p =-1+1/2Q

17

P1

Q1 Q

¿Qué ocurre con P y Q de mercado si aumenta el ingreso?

∆ I>0 Que ocasionara en ∆P ᶺ ∆Q

∆I > 0

I1 – I0 > 0 → 150 – 100 > 0 → 50 > 0 ∆I= 0

En general, interesa hallar los cocientes de diferencia

∆ p

∆i∆q

∆ i

De la expresión (4) podemos obtener

p=p ( I ,K )=16

I−13

K

Entonces el cociente de diferencia será

∆ P∆I

=P ( I+∆ I )−P(I )

∆ I

∆ P∆I

=O .5 ( I+∆ I )−K

3−0.5 I

3+K3

∆ P∆I

=

0.5 ∆I3∆I

∆ P∆I

=16

18

Hallemos ahora en ∆Q sabiendo Q=Q ( I ,K )=13

I+ 13

K

Entonces

∆Q∆ I

=Q ( I+∆ I ,K )−Q(I ,K )

∆I

∆Q∆ I

=[ 13 ( I+∆ I )+ 1

3K ]−[ 1

3I+ 13

K ]

∆ I

∆Q∆ I

=

13

I+ 13

∆I+ 13

K−13

I−13

K

∆I

∆Q∆ I

=13

Llegamos a la conclusión que los cocientes de diferencias son las siguientes:

∆ P∆I

=16≅ 0.17 ∆Q

∆ I=13≅ 0.33

∆ P∆I

=0.17 SI ΔI = 50 Δ P = 0.17 Δ P = 8.5

Significa que aumentar en $50 en el ingreso ocasionara un aumento del precio de mercado en $ 8.5

En términos cualitativo

∆ P∆I

>0 significa que existe una dirección directa entre ∆ P y

∆ I

Análisis grafico

Un incremento en el ingreso ocasionara un incremento en el

precio

LA OFERTA NO CAMBIARA Y TAMPOCO

SE MOVERA

19

Q= -P+50 I=150

Las funciones inversas son:

75 P P= 50 – Q P= 75 - Q

50 QS (K 0)

I1˃I0

P1

P0

Q0 Q1 Q

¿Por qué aumenta el precio?

El precio aumenta debido al exceso de la cantidad demandada en el mercado

RECORDEMOS: P0 = 16

P1= P0+ΔP=16+8.3

P1 =24.3

Qd=D (P , I )=−P+0.5 I

QS=S ( P ,K )=2P+K

Qd=QS ↑ I →↑Q→ED →↑ P

20

Ejercicio

y=f ( x )=6−x+3x2

Apliquemos cociente de diferencia

f ( ∆ x+x )=6−(∆ x+x )+3(∆x+x )2

∆ x

¿6− (∆ x+x )+3 ( ∆x+x )2−6+ x−3 x2

∆ x

¿6−∆ x−x+3¿¿

¿−∆ x+3 (∆ x )2+6∆ x2

∆ x

∆ y∆ x

=3∆ x+6 x−1…….. (1)

Este cociente depende de x y Δx, si consideramos los siguientes valores

X=1 Δx =5 remplacemos los valores en (1)

∆ y∆ x

=3 (5 )+6 (1 )−1=20

llegamos a la siguiente conclusión que por cada 1 unidad de incremento en x la variable Y aumentara en promedio de 20 unidades siempre que la variable X este comprendido entre 1 y 6.

¿Qué ocurre con Δy/Δx si Δx tiende a cero?

X Δx Δy/Δx

1

1

1

1

1

3

2

1

0.5

14

11

8

6.5

21

0.01 5.03

Grafiquemos:

El cociente de diferencia Δy/Δx= 20 muestra el grado de iniciación de una recta, comprendida entre los valores x=1 ᶺ x=6 de manera alternativa

B3) DERIVADA

La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva y físicamente como una razón “instantánea” de cambio

Con el ejercicio anterior podemos darnos cuenta de cómo se desarrolla una derivada. La derivada es un punto en la recta de pendiente

Dado el cociente de diferencia Δy /Δx =-1+6x+3Δx

Observe que conforme Δx→0 el cociente de diferencia será

lim∆ x→0

∆ y∆ x

=−1+6 x

La derivada se define como

dydx

= lim∆ x→0

∆ y∆ x

22

B31) Regla de derivación

Dada la función y=f (x )

Se define la derivada de Y con respecto a X

F ( X )=dydx

=df (x)dx

= lim∆ x →0

∆ y∆ x

f ´ ( x )= lim∆x →0

f ( x+∆ x )−f (x)∆ x

Para encontrar la derivada existe un conjunto de reglas

Cada una dependerá del tipo de función que tome

B311) REGLA DE LA FUNCION POTENCIAL

Sea la función potencial

f ( x )=a xn;anϵR

La derivada será:

f ´ ( x )= lim∆x → 0

a(x+∆ x)n−a xn

∆ x

Demostremos

f ( x )= lim∆x →0

a[ xn+nxn−1∆ x+n (n−1 )2!

xn−2∆ x2+…+∆n2−a xn]

∆ x

f ( x )= lim∆x →0

a[n xn−1+n (n−1 ) xn−2∆ x

2 !+

n(n−1)(n−2)∆ x3 !

]

f ( x )=an xn−1

B312) REGLA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

Dada la función

f ( x )=eg( x)

Entonces

f ´ ( x )=eg( x). g ´ (x )

23

B313) REGLA DE LA FUNCION LOGARITMICA

f ( x )=ln g ( x )

f ´ ( x )= g ´ (x )g(x )

B314) REGLA DE LA FUNCION TRIGONOMETRICA

a) FUNCION SENO

f(x)= sen g(x)f´(x)= cos g(x).g´(x)

b) FUNCION DE COSENO

f(x) = cos g(x)f(x) = -sen g(x) . g´(x)

B315) REGLA DE SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES

Y=f (x )± g(x )

dydx

=f ´ ( x ) ±g´ (x )

B316) REGLA DE PROCTO DE FUNCIONES

Y=f ( x ) . g(x )

dydx

=f ´ ( x ) . g ( x )+f ( x ) . g ´ (x )

B317) REGLA DE DIVICION DE FUNCIONES

Y=F (X )g(x )

ln = log e

24

dydx

=f ´ ( x ) . gx−f ( x ) . g ´ (x )

g (x)2

Ejercicios

f ( x )=k ;kϵ RObserve

f ( x )=k x0 → f´(x) = 0

f ( x )=x−1=1x

f ´ ( x )=−1(x−2)

B318) REGLE DE LA CADENA

Si y= f(z) dy/dz =f´(z)

Z=g(x) dz/dx =g´(x)

Entonces

dydx

=dydz

.dzdx

=f ´ (z ) . g ´ (x)

Alternativamente, incomparado g(x) en la función f(z)

y = f(z) ; z = g(x)

y =f [g(x)] función compuesta

la derivada será:

dydx

=f ´ [ g ( x ) ] . g ´ ( x )=dfdg

.dgdx

Hallemos la siguiente derivada

f(x) = |x-4|+5

Si (x-4) ˃ 0 → f(x) = x – 4 + 5 y f(x)

x˃4 f(x) = 1

Si (x-4) ˂ o →f(x) = -x+4+5

x˂4 f(x) = -1

Cambios en la variable z generan

cambios en la variable y

25

4

B4) CONTINUIDAD & DIFERENCIABILIDAD

Consideremos la función

f ( x )=|x−4|+5

¿Es continua f(x) en x = 4?

Para que la función sea continua debe satisfacer la condición de continuidad

limx→x 0

f (x)=f (x 0)

limx→4

f (x )=f (4 )

a) Los limites laterales son:lim

x→4−¿ f (x)=5= limx→ 5+¿f (x) ¿

¿ ¿¿

b) Evaluemos f(x) en x = 4f(4) = 5

¿Es diferenciable f(x) en x0=4?

Debe satisfacer la condición de diferenciabilidad

f ´ ( x 0 )= lim∆x →0

f (x 0+∆ x )−f ( x0)∆ x

Observemos x0 + Δx = x Δx = x - x0Luego, la condición de diferenciabilidad será:

f ´ ( x 0 )= limx →x0

f (x )−f (x 0)x−x 0

¿f ´ (4 )=limx → 4

f ( x )−f (4)x−4

?

Por la derecha Por la izquierda

f (4 )=limx →4

[|x−4|+5 ]−[|4−4|+5]x−4

f ´ (4 )= limx→4−¿ ¿ x−4∨ ¿

x−4=−1¿ ¿

¿

¿ lim

x→4+¿¿ x−4∨ ¿x−4

=1¿ ¿

¿

Para que exista un límite las dos laterales deben

ser iguales

26

Dado que lim

x→4−¿ f (x)≠ limx→4−¿ x¿

¿¿¿

Entonces no existe el límite

limx→4

f (x )

Por tanto, en x0 =4 la función f(x) no tiene derivada entonces podemos

decir que la función f(x) no es derivable para x0=4

La continuidad es requisito para la diferenciabilidad, pero la continuidad

no asegura una diferenciable. Toda función diferenciable es continua

f ( x )=2−3 x2+x3

Grafiquemos

Para que exista un límite las dos laterales deben

ser iguales

Para derivar debemos tener en cuenta que la función debe

cumplir la continuidad

27

1 1 2 3 42

2

4

6

B5) EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION

En toda función es posible encontrar los extremos:

a) Máximo relativo o (local)

b) Mínimo relativo o (local)

El término “relativo” hace alusión a un sub conjuntos del dominio de la función, en la cual existe un máximo/ mínimo

Grafico

1 1 2 3 42

2

4

6

En el gráfico, para el conjunto x ˂ 36 x E ˂-∞,3˃ el máximo valor ocurre en x =

3, donde la f(0) = 2 es el “mayor de todo”

28

Dado en el sub conjunto x E˂-1,+∞> del dominio de la función existe un minimo

en x = 2, donde f(2) = -2 siendo el “menor de todos”

Sin embargo, en todo el dominio de la función

Dom f(x) E ˂-∞, +∞>

El máximo y mínimo relativo no prevalecen y se concluye manifestando que la

función no posee máximo ni mínimo absoluto

¿Cómo encontrar los extremos relativos?

Consideremos f ( x )=2−3 x2+x3

f ( x )=3 x2−6 x

a) Observe: en el entorno de x=0

∀ x<0→f ´ (x)>0 ∀ x>0→f ´ (x )<0 En x=0 existe un máximo relativo en x=0→f ´ ( x )=0

b) Observe en el entorno de x=2

∀ x<2→f ´ (x)<0 ∀ x>2→f ´ ( x )>0 En x=2 existe un máximo relativo en x=2→f ´ ( x )=0

Del análisis anterior se concluye que para encontrar los extremos relativos se

debe imponer la siguiente condición f´(x) = 0

Esta condición se conoce como la condición del primer orden

B6) CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.

DADA LA FUNCION:

Se debe igualar a cero

la primera derivada

29

f ( x )=2−3 x2+x3

f ' ( x )=−6 x1+3 x2

f ' ' ( x )=−6+6 x

Punto de inflexión

Si para toda x:

si :∀ x→ f ' ' ( x )<0→ f (x)

Es estrictamente cóncava.

∀ x→f ' ' (x)>0→f (x )

Es estrictamente convexa.

f ' ' ( x )=0→en Xoexisteun puntode inflexion

Tomando en cuenta el análisis anterior podemos establecer lo siguiente.

Máximo relativo

Si, f ' ' (Xo)<0→ X ' se ubica en el tramo cóncavo de f(x)Y dado que es un extremo relativo, se concluye que en Xo está el máximo relativo.

Mínimo relativo.

Si, f ' ( x , )>0→ X , se ubica en el tramo convexo de f(x) y dado que es un extremo relativo, se concluye que en X, está el mínimo relativo.

La convexidad/ concavidad, en sentido geométrico, muestra la

curvatura de una función. La función será

30

Criterio de la segunda derivada.Dada una función:

Y=f(x)

En X=Xo existirá un máximo relativo Si:

f ' ( Xo )=0f ' ' (Xo)<0

En X=Xo existirá un mínimo relativo si:

f ' (Xo)

EJERCICIOS:

Dada la función

f ( x )=5 x3+7 x2+x−8

a) Encuentre los extremos relativos.

f’(x)=o

15 x2+14 x+1=0

Xo=−0,86Yo=−6,86

X1=−0,08Y 1=−8,04

Los extremos relativos:

F(x) son: (Xo,Yo) ^ (X.Y)

La convexidad/ concavidad, en sentido geométrico, muestra la

curvatura de una función. La función será

31

b) Determine el máximo/mínimo relativo de f(x).

La segunda derivada de f(x) es:

f ' ' ( x )=30 x+14

Evaluando en los extremos relativos.

a) f ' ' ( Xo )=30 (−o ,86 )+14=.11,8

f ' ' (Xo)<0

b)f ' ' (X1 )=30 (−0,08 )+14=11,6

f ' ' (X1)>0

El punto (Xo,Yo) es un máximo relativo. El punto (X, ,Y,) es un minimo relativo.

c) Encuentre el punto de inflexión

30 x+14=0

30 x=−14

x2=−715

X2=−0,46

x2=−0,46 ;Y 2=−7,45

Conclusión:

(x2; y2)es el punto de inflexionde f (x ).

Grafiquemos

Podemos definir que la expresión no tiene extremos Relativos.

32

d) f ( x )= 20x−5

Hallemos la derivada:

f ' ( x )=(20 ) ( x−5 )−(x−5)' (20)

(x−5)2

f ' ( x )= −20(x−5)2

Para hallar los extremos relativos tenemos que hacer lo siguiente:

f ' ( x )=0

−20(x−5)2

;−−−−−−→

Para hallar el punto de inflexión haremos:

f ' ( x )= −20(x−5)2

f ' ' ( x )=(−20 )' ( x−5 )2−[ ( x−5 )2] '(−20)

[(x−5)2]

f ' ' ( x )= 40

(x−5)3

Igualemos a cero:

Podemos decir que con la siguiente

expresión analizamos que no encontraremos el punto de inflexión

33

40

(x−5)3=0

En x=5 ; f(x) es discontinua.

f ' ( x )= −20(x−5)2

f ' ' ( x )= 20

(x−5)3

a) ∀ x<5; f ' ( x )<0 ; f ' '(x )<0

limx →5

20x−5

X f(x) limx →∞

f (x)

x f(x)

4 -20 0 -4

4,5 -40 -10 -1,3

-1000 -0,0019

-∞ 0

b) ∀ x>5; f ' ( x )<0 ; f ' '(x )>0

limx→5+¿ 20

x−5¿

¿

Grafiquemos

Podemos decir que con la siguiente

expresión analizamos que no encontraremos el punto de inflexión

34

f ( x )=lon (x2−1)

f ´ ( x )= 2 x

−1+x2

f ' ' ( x )= −4 x2

(−1+ x2 )2+ 2−1+x2

=−2(1+x2)(−1+ x2)2

Existe un extremo relativo respecto a cero:

{x →0}

f ( x ) ln(x¿¿2−1)= ln (x2−1)¿

Observe dominio ¿∞ ,1>U←1,1>U<1 ,+∞>¿

Grafiquemos:

35

10 5 5 10

4

2

2

4

B7) MAXIMIZACION DE GANANCIAS

Consideremos una empresa cuya función de ganancias es la siguiente

¶ = I(Q) –C (Q)

¶(Q) = I(Q) – C(Q) … (1)

En competencia perfecta el precio es fijo, por lo tanto

I(Q) = P.Q…..(2)

(2) EN (1)

¶(Q) = P.Q – C(Q)

¶(Q) = P – C´(Q)

¿Cuál es el nivel de producción que maximiza ganancias en la empresa?

Aplicando la condición de primer orden

¶´(Q) = 0

Obtendremos los extremos relativos, es decir, los niveles de producción que

máx. o min las ganancias

P – C´(Q) = 0

P= C´(Q)…..(3)

36

SI la empresa quiere maximizar sus ganancias es igualar el precio al margen

del costo, aplicando la condición de segundo orden podemos establecer la

condición la maximización

¶´(Q) ˂ 0

D c´(Q)/d (Q) ˂ 0

La pendiente del segundo orden la expresión (4) se denomina condición del

segundo orden denominado también condición suficiente para la empresa de

competencia perfecta indica el nivel de producción maximizar ganancia deberá

estar situada en el tramo de pendiente positiva del costo marginal

dC´(Q) / d Q > 0 …(4)

EJERCICIO

Dada una empresa en competencia perfecta tiene la siguiente función de

ingreso y costos

I (Q) = 1200Q

C (Q) = 2000+1528.5Q – 61.25Q2+Q3

a) Cuál es el nivel de producción que maximiza ganancias en la empresa

1200=1528.5−2 (61.25 ) Q+3Q2

0=3Q2−122.5Q+328.5

Recordando la formula apliquemos a la expresión

122.5±√122.52−4(3)(328.5)6

122.5+105.26

o 122.5−105.26

cMg = dc´(Q)

−b±√b2−4 ac2a

37

Q1 =37,95 Q0=2,89

B8) DERIVADAS PARCIALES

Las funciones matemáticas relacionan variables matemáticas

Ejemplo

Si solo existe dos variables Xe Y, la relación entre ellas se expresa mediante

una función

Y= g(x)

La variable (y) depende del comportamiento (x). En esta función solo existe una

variable explicativa

En general una variable dependiente (y) podrá ser explicada por una o más

variables

Ejemplo

Y= f(x1,x2,x3…xn)

Existe n variables que explican el desempeño de Y

Si x1=x

38

X2=z

X3=m

Entonces nuestra funciones seria

Y = f(x,z,m)

Cualquier cambio en x,z o m ocasionara cambios en la variable Y

Por ejemplo, si estamos interesados en aislar el efecto de Z sobre Y, entonces

XyM deben mantenerse constante (no deben interferir en los cambios de Y),

está relacionado o este comportamiento hace alusión el concepto de derivada

parcial

En la función y=f(x,z,m) se puede distinguir tres derivadas parciales

∂ y∂ x

=∂ f (x , z ,m)

∂ x=fx (x ,m , z)

Muestra el cambio en Y debido a un cambio en X, manteniendo constante Z,M

∂ y∂ z

=∂ f (x ,m, z )

∂ x=fz ( x ,m, z )

Muestra el cambio Y debido a un cambio en Z, manteniendo constante X,M

∂ y∂m

=∂ f (x ,m , z )

∂m=fm (x ,m , z )

Muestra el cambio en Y debido a un cambio en M, manteniendo constante Z,X

EJEMPLO

Consideremos la siguiente función

Y = f(z,x,m) = 2−4 xz−x2+zm

a) Hallar la derivada parcial fx, fm,fz

DERIVADA PARCIAL SIGNIFICA QUE CUANTO

ATRIBUYO UNA UNIDAD A LA SOLUCION O A LA

LLEGADA FINAL

39

Fx = -4z - 2x

Fz = - 4x +m

Fm = z

b) evaluemos la derivada parcial en x= 1 z=2 m= -1

Fx(x,m,z) = - 4z - 2x = -4(2) – 2(1) = -10

Fx(x,m,z) = -10

Un incremento de x en una unidad ocasionara la reducción de y en 10

unidades, manteniendo constante dos variables ZyM

Fz(x,m,z) = - 4x + m = - 4(1) – 5 = -5

Fz(x,m,z) = - 5

Un incremento de z en una unidad ocasionara la reducción de y en 5 unidades,

manteniendo constante dos variables ZyM

Fm(x,m,z) = z

Fm(x,m,z) = 2

Una disminución de una unidad en M ocasionara el aumento de Y en 2

unidades, manteniendo constante las variables XyZ

B81) DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLISITAS

Dada la ecuación

x2+2xy+ y+5=0….(1)

Despejamos Y

Y=−5+x2

2x+1

Este es una función explicita en el sentido que Y se expresa en términos de X

de manera específica (es una forma conocida)

En general, dada una ecuación

F(y,x) = 0

40

Una función explicita será:

Y = f(x)

Siempre que sea posible despejar Y a términos de X

¿Sera posible “siempre” despejar Y a función de X?

Será la ecuación

x2−3 x+ ( x+ y )2=0

En este caso es “muy difícil” despejar Y en términos de X por lo tanto, sería

complicado encontrar la derivada de y con respecto a x sin embargo, existe el

teorema de la función implícita de la forma

Y= f(x)

Siempre que se satisface cierto requisito y por tanto será posible encontrar la

derivada

Requisitos

Dada un ecuación f(y.x) = 0

a) de f(y,x) debe existir fy; fx

b) existe un punto (y0,x0) que cumple f(y0,x0) = 0

c) fy ≠ 0 evaluando en (y0,x0)

Entonces, se define la derivada dy/dx en un entorno del punto (y0,x0)

De esta manera

B82) APLICACIÓNES DE LAS DERIVADAS PARCIALEN EN LA ECONOMIA

B821) FUNCIONES DE PRODUCION

dydx

=−fxfy

LAS FAMILIAS ADQUIEREN BIENES FINALES Y LAS EMPRESAS ADQUIEREN

LOS BIENES INTERMEDIOS

41

Relaciona diversos niveles de producción de un bien con el uso de factores

productivos

Asumiendo que el bien producido sea Q y los factores productivos utilizados

sean capital (k) y trabajo (l)

Entonces

Q = Q(K,L)

Significa que la cantidad producida de Q depende de la cantidad de capital y

trabajo

En toda función de producción se puede obtener las productividades

marginales de los factores

1) PRODUCTIVIDAD MARGINAL DEL CAPITAL

PMC=dQ(k , l)

dk=Qk>0

Muestra el cambio en la producción del bien Q como consecuencia de un

cambio en el stock de capital, manteniendo constante del trabajo

Existe una relación directamente KyQ entre stock de capital y la cantidad

2) PRODUCTIVIDAD MARGINAL DEL TRABAJO

PML=dQ(k ,l)

dl=Ql>o

LAS FAMILIAS ADQUIEREN BIENES FINALES Y LAS EMPRESAS ADQUIEREN

LOS BIENES INTERMEDIOS

LOS INSUMOS PODEMOS OBSERVARLOS EN EL PRODUCTO FINAL EN CAMBIO LOS FACTORES PRODUCTIVOS ESTAN COMO UN SERVICIOS

QUE NO LO PODEMOS TOCAR NI VER

42

Muestra el cambio en la producción del bien Q como consecuencia de un cambio en el trabajo, manteniendo constante del stock de capital

3) PRODUCTIVIDAD MARGINAL CRECIENTE DE LOS PRODUCTOS

PRODUCTIVIDAD MARGINAL DECRECIENTE DEL CAPITAL

d2Q(k ,l)d k2

=d (Qk)

dk=Qkk

Esto significa que conforme aumenta el uso de capital la productividad la productividad también aumenta aunque cada vez en una menor proporción

4) productividad marginal cruzada de factores d (Qx)

dl=Qkl>0

Ejemplo

Sea la función de producción

Q=K 0.3L0.7

a) encontrar la productividad del capital y el trabajo considerado que la empresa actualmente utiliza 10 UND de capital y 80 UND de trabajok=10 l=80

Qk=0.3k−0.7 .l0.7

QK=0.3¿Remplacemos

Qk=0.3¿

43

Qk=1.29Este valor nos indica que si la empresa decide aumentar en una 1UND su stock de capital entonces la productividad se elevara en 1.29UND

b) encontrar la productividad el trabajo

Ql=0.7 l−0.3 . k0.3

Ql=0.7( kl)0.3

Remplacemos Ql=0.7¿Ql=0.38

Bibliografíahttps://books.google.com.pe/books?id=ShmLW4Dvmx8C&printsec=frontcover&dq=Fundamentos+matem%C3%A1ticos+para+Econom%C3%ADa.+Almer%C3%ADa,+Espa

44

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