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MATE 3031

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 24

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Valores máximos y mínimos

Las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial se dan en losproblemas de optimización, en los cuales se desea obtener lo óptimo (lomejor) de algo. Por ejemplo, podemos mencionar:

1 Minimizar los costos de una compañía que produce un ciertoproducto.

2 Maximizar las ganancias de una empresa.3 Determinar la máxima aceleración de una nave espacial.

Los problemas anteriores se reducen a determinar los valores máximos ymínimos de una función.


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Observe la siguiente gráfica:

El punto más alto de la gráfica es(3,5), es decir el valor más grande

de f es f (3) = 5El punto más bajo de la gráfica es(6,2), es decir el valor más pequeño

de f es f (6) = 2


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Definición: Sea c un número en el dominio D de una función f . Entoncesf (c) es el:

valor máximo absoluto de f en D si f (c) ≥ f (x) para todo x en D.valor mínimo absoluto de f en D si f (c) ≤ f (x) para todo x en D.

f (a) es un mínimo absolutof (d) es un máximo absoluto

Nota: Los máximos omínimos absolutostambién se les llamamáximos o mínimos

globales


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En general, si se consideran intervalos que contienen a ciertos números deldominio se puede determinar máximos o mínimos en dichos intervalos.Por ejemplo, en la gráfica anterior, si se construye un intervalo alrededorde b se puede concluir que f (b) es el mayor valor en dicho intervalo, esese caso se dice que existe un máximo local.Similarmente, si se construye un intervalo alrerdedor de a se puede concluirque f (a) es el menor valor en dicho intervalo, es ese caso se dice queexiste un mínimo local.

Lo anterior nos lleva a la siguiente definición:Definición: El número f (c) es un:

valor máximo local de f si f (c) ≥ f (x) cuando x está cerca de c .valor mínimo local de f si f (c) ≥ f (x) cuando x está cerca de c .

De la gráfica anterior, podmeos decir que f posee mínimos locales en c ye, y máximos locales en b y d .


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Ejemplos1. En la siguiente gráfica, para cada número a, b, c , d , r y s, determine sila gráfica posee un mínimo o máximo local y absoluto o ninguno de ellos.


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2. En la siguiente gráfica, determine los valores máximos o mínimosabsolutos de la función g (x).


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3. Trace la gráfica de una función f continua en [1, 5] y que satisface:tiene un máximo absoluto en 5, un mínimo absoluto en 2, máximo local en3 y mínimos locales en 2 y 4.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y


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4. Trace la gráfica de la función f (x) = sin x , 0 ≤ x < p2 e identifique los

valores máximos y mínimos absolutos y locales de f

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y


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5. Trace la gráfica de la función f (x) =!4− x2 si −2 ≤ x < 02x − 1 si 0 ≤ x ≤ 2 e

identifique los valores máximos y mínimos absolutos y locales de f

−3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y


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Se han discutido ejemplos de funciones donde algunas tienen valoresextremos y otras no. El siguiente teorema da algunas condiciones paraque una función posea valores extremos:

Theorem

(Teorema del valor extremo) Si f es una función continua en un intervalocerrado [a, b] , entonces f tiene un valor máximo absoluto f (c) y un valormínimo absoluto f (d) en algunos números c y d en [a, b] .

Los diferentes casos del teorema del valor extremo se ilustran en lasiguiente gráfica:


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El teorema del valor intermedio indica que una función continua en unintervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo absoluto, sin embargo nonos indica como hallarlos. Por ejemplo observe la siguiente gráfica:

La función f tiene un mínimo localen d y un máximo local en c .Observe que en los puntos demáximos o mínimos las

rectas tangentes parecen tenerpendiente 0, es decir:f 0 (c) = 0, f 0 (d) = 0


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El siguiente teorema, confirma las observaciones anteriores:

Theorem

(Fermat) Si f tiene un máximo o mínimo local en c, y f 0 (c) existe,entonces f 0 (c) = 0.


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Definición: Un número crítico de una función f es un número c en eldominio de f tal que f 0 (c) = 0 ó f 0 (c) no existe.

6. Halle los número críticos de:a. f (x) = x3 + 6x2 − 15x


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b. f (p) =p − 1p2 + 4


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c. f (x) = x−2 ln x


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Nota: Si f tiene un máximo o mínimo local en c , entonces c es unnúmero crítico de f .

Para hallar los máximos y mínimos absolutos de una función continua enun intervalo cerrado, se observó en los ejemplos, que es un extremo local(en este caso ocurre en un número crítico) u ocurre en un extremo delintervalo. Se sugiere considerar los siguientes pasos para hallar losmáximos y mínimos absolutos de una función continua en un intervalocerrado [a, b]:

1 Halle los valores de f en los números críticos de f en (a, b) .2 Halle los valores de f en los extremos del intervalo.3 El mayor de los valores en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absolutoy el menor de los valores es el valor mínimo absoluto.


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7. Halle los valores máximos y mínimos absolutos de f en el intervalo dado:a. f (x) = 5+ 54x − 2x3, [0, 4]


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b. f (x) = x +1x, [0.2, 4]


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c. f (t) = t + cos (t/2) , [p/4, 7p/4]


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d. f (x) = x − ln x3," 12 , 2#


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8. Un objeto con peso W es arrastrado sobre un plano horizontal por unafuerza que actúa sobre una soga atada al objeto. Si la soga hace unángulo q con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es:

F =µW

µ sin q + cos q

donde µ es una constante positiva llamada el coeficiente de fricción ydonde 0 ≤ q ≤ p/2. Demuestre que F alcanza su mínimo cuandotan q = µ.


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