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MATE 3031

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 23

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Areas y distancias

En esta sección se tratara de encontrar el área bajo una curva o ladistancia recorrida por un carro, y se obtiene a través de límites.

El problema de áreaSe trata de resolver el siguiente problema de área:

Halle el área de la región Sque está bajo la curva

y = f (x) desde a hasta b.S es acotada por la gráficade la función continua f ,las rectas verticales x = a,

x = b y el eje X


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Recuerde como se determina el área de algunas regiones conocidas porustedes:


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Sin embargo no es fácil hallar el área de una región plana cuyos lados noson segmentos de recta. Piense en una idea intuitiva de como hallar elárea de la primera región. Una idea es aproximar el área dividiendo laregión en intervalos como en el siguiente ejemplo:Use rectángulos para estimar el área, A, bajo la parábola y = x2 desde 0hasta 1.


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Una aproximación sería hallando el área del cuadrado de lado 1, pero esobvio que no es una buena aproximación.

Una mejor aproximación sería dividiendo el segmento [0, 1] en cuatropartes iguales y construyendo cuatro rectángulos como la parte b de lagráfica anterior. La altura de los rectágulos es la imagen de f en el ladoderecho de cada subintervalo: [0, 1/4] , [1/4, 1/2] , [1/2, 3/4] y [3/4, 1] ,es decir, si se denota por R4 la suma de las áreas de los rectángulos, setiene:

R4 = 14

! 14

"2+ 1

4

! 24

"2+ 1

4

! 34

"2+ 1

4 (1)2 = 0.46875.

De la figura se observa que el área A < R4 = 0.46875.


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Ahora considere losextremos izquierdos decada subintervalo y sedenota por L4 la suma

de las áreas delos rectángulos.y se tiene:

L4 = 0! 14

"2+ 1

4

! 14

"2+ 1

4

! 24

"2+ 1

4

! 34

"2= 0.218 75

De la figura se observa que el área A > L4 = 0.218 75


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Es natural pensar que mientras más pequeña es la partición, es decir, seconsideran más subintervalos, mejor será la aproximación del cálculo delárea A, observe las dos siguiente gráficas:


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Observe que sucede si n el número de subintervalos es más grande:n Ln Rn100 0.3283500 0.33835001000 0.3328335 0.3338335

es decir, A! 13


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Asuma que el intervalo [0, 1] se divide en n subintervalos de la mismalongitus, donde la longitud de cada uno de ellos es 1"0n = 1

n yconsiderando los lados derechos de cada subintervalo se tiene:


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Rn =

Si n es un número muy grande se tiene:limn!∞

Rn = limn!∞

De manera similar: limn!∞

Ln =

Podemos concluir que: A = limn!∞

Ln = limn!∞

Rn = .


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Si se aplica el ejemplo anterior a una región S, se subdivide S en n franjasS1,S2, · · · ,Sn, de igual ancho, como se observa en la siguiente figura:

El ancho del intervalo [a, b] es b" a y el ancho de cada franja es:

∆x =b" an


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Las franjas dividen al intervalo [a, b] en n subintervalos:[x0, x1] , [x1, x2] , [x2, x3] , · · · , [xn"1, xn ]donde: a = x0 y b = xn.

x1 = a+ ∆xx2 = a+ 2∆xx3 = a+ 3∆x

...

Aproximando la i-ésima franja Si por un rectángulo con ancho ∆x y alturaf (xi ), el cual es el valor de f en el extremo derecho de cada subintervalo.El área del i-ésimo rectángulo es f (xi )∆x . El área aproximada de S sepuede pensar como la suma del área de cada rectángulo, es decir:Rn = f (x1)∆x + f (x2)∆x + · · ·+ f (xn)∆x ,en notación de suma:Rn = f (x1)∆x + f (x2)∆x + · · ·+ f (xn)∆x =

n∑i=1f (xi )∆x


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Definición. El área A de la región S que está bajo la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos:

A = limn!∞

Rn = limn!∞

[f (x1)∆x + f (x2)∆x + · · ·+ f (xn)∆x ] .

Se puede probar que el límite anterior siempre existe, asumiendo que f escontinua.

De manera similar, se pueden usar los extremos izquierdos de cadasubintervalo y se tiene:

A = limn!∞

Ln = limn!∞

[f (x0)∆x + f (x1)∆x + · · ·+ f (xn"1)∆x ] .

En general, si toma como la altura del i-ésimo rectángulo el valor de lafunción en cualquier número x#i en el i-ésimo rectángulo [xi"1, xi ] .

A los números x#1 , x#2 , · · · , x#n se les llama puntos muestrales, ver la

siguiente figura:P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 23

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La forma general para calcular el área, A, es:

A = limn!∞

[f (x#1 )∆x + f (x#2 )∆x + · · ·+ f (x#n )∆x ] = limn!∞

n∑i=1f (x#i )∆x


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Problema de distanciaEl objetivo es determinar la distancia que viaja un objeto durante un ciertointervalo de tiempo si la velocidad del objeto se conoce en cada instantedel tiempo. Recuerde:

distancia = velocidad $ tiempo

En general, suponga que que el objeto se mueve con velocidad v = f (t) ,donde a % t % b y f (t) & 0 y si la velocidad se considera en los tiempost0 = a, t1, · · · , tn = b, de manera que la velocidad es casi constante encada intervalo, entonces la distancia recorrida en el intervalo [a, b] sepuede aproximar por:

d ' f (t0)∆t + f (t1)∆t + · · ·+ f (tn"1)∆t =n∑i=1f (ti"1)∆t o

d ' f (t1)∆t + f (t2)∆t + · · ·+ f (tn)∆t =n∑i=1f (ti )∆t

d = limn!∞

n∑i=1f (ti"1)∆t = lim

n!∞

n∑i=1f (ti )∆t


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Ejemplos1. Ejemplo 2, página 369


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2. Ejemplo 4, página 369


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5. Use la definición de área para escribir una expresión del área bajo la

curva f (x) =2xx + 1

en [1, 3]


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6. Determine la región cuya área es igual al límite limn!∞

n∑i=1

π4n tan

iπ4n


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