manuel mazo y marta marrón. departamento de electrónica 1 fundamentos de control borroso

Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 1

Fundamentos de Control BorrosoFundamentos de Control Borroso

Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica

2

Control borroso: Elementos básicosControl borroso: Elementos básicos

Bor

rosi

fica

ción

(Fu

zzif

icat

ion

)

Base conocimientio(Rule-base)

Mecanismo inferencia(Inference mechanism)

Des

bor

rosi

fica

ción

(Def

uzz

ific

atio

n)

Proceso(Process)

Controlador Borroso (Fuzzy Controller)

Reference Input

r(t)

Inputsu(t)

Outputsy(t)

Inputs e(t)

Entradas borrosificadas

Conclusiones borrosas

com

par

ador


3

Tener un conocimiento exhaustivo de la planta. Tener claras las especificaciones de diseño (son similares

a las de un control convencional). Elección de las entradas y salidas del controlador

borroso. Elección de las técnicas de pre-procesamiento de entradas

y post-procesamiento de las salidas. Diseño de cada uno de los cuatro bloques del controlador

borroso. Evaluar el comportamiento (utilizando técnicas

matemáticas, simulación y experimentación). Hay que tener presente que un controlador borroso es un control no lineal.

Control borroso: ProcedimientoControl borroso: Procedimiento


4

Acciones básicas Acciones básicas Diseño de un controlador borroso Diseño de un controlador borroso Fase 1Fase 1 Objetivo: Péndulo invertidoObjetivo: Péndulo invertido

u

y

2l

Pénduloinvertido

Reference Input

r(t)

Inputsu(t)

Outputsy(t)

Objetivo: actuando sobre el carro con una fuerza u(t) mantener la barra con y(t)=0 (posición vertical).

El controlador borroso debe automatizar el comportamiento que un experto humano utilizaría para alcanzar el “objetivo”.


5

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borrosoFase 2 Elección de entradas y salidasFase 2 Elección de entradas y salidas

Entradas: el experto humano determina qué entradas le ayudarán a tomar decisiones sobre la acción del controlador. En este caso p.ej.: e(t) = r(t)-y(t), de(t)/dt En general: e(t), de(t)/dt, ∫e(t)dt

Salida: fuerza aplicada al móvil u(t). Valor de la referencia [r(t)]: parece lógico que r(t) =0.

ControladorBorroso

Pénduloinvertidod/dt

r eu y_

+

El experto, a partir de su conocimiento dela planta, es el que realiza la descripción lingüística para el diseño del controlador


6

Variables y valores lingüísticos: Variables: “error”, “cambio de error”, “fuerza aplicada” Valores (para cada variable): “neg. grande” (NG), “neg. pequeño”

(NP), “cero” (CE) , “pos. pequeño” (PP), “pos. grande” (PG).

Reglas básicas: La cuantificación lingüística que el experto hace conduce a las reglas básicas (if-then). En general, con “m” entradas y “p” valores lingüisticos para cada una se tienen pm reglas básicas.

Base de conocimiento:

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borrosoFase 3 variables, valores, reglasFase 3 variables, valores, reglas

“Fuerza”

u(t)

“Cambio de error”

NG NP CE PP PG

“error”

NG PG PG PG PP CE

NP PG PG PP CE NP

CE PG PP CE NP NG

PP PP CE NP NG NG

PG CE NP NG NG NG


7

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borroso Ejemplos de reglasEjemplos de reglas

u

u

u

If error es CE and cambio de error es PP Then fuerza es NP

If error es PG and cambio de error es NP Then fuerza es NP

If error es NG and cambio de error es NG Then fuerza es PG

e<0e>0 de/dt>0

de/dt<0

de/dt>0

de/dt<0Criterio de signos


8

- π/2 -π/4 π/4 π/2 e(t), (rad)

NG NP CE PP PG

- π/4 -π/8 π/16 π/8 π/4 de(t)/dt, (rad/sec)

NG NP CE PP PG

-30 -20 -10 10 20 30 u(t), (N)

NG NP CE PP PG

Diseño de un controlador borroso Diseño de un controlador borroso Fase 4 Funciones de pertenenciaFase 4 Funciones de pertenencia

Se debe tener presente que –π/2≤e(t) ≤π/2


9

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borrosoFase 5 Fase 5 BorrososificaciónBorrososificación

Determina para cada valor natural de las entradas el grado en que pertenecen a cada valor lingüístico: funciones de pertenencia.

La entrada del borrosificador es siempre un valor numérico (limitado al universo de discurso de la variable de entrada) y la salida es un grado de pertenencia ( μi(x) siempre en el intervalo de 0 a 1).

Ejemplo:

Borrosificador(Tipo: singleton)

e(t) = e1(t) = π/4

e(t) = e2(t) = 0

e(t) = e3(t) = - π/4

μPP [e1(t)]= 1, μPG [e1(t)]= μCE [e1(t)]= 0

μCE [e2(t)]= 1, μPP [e2(t)]= μNP [e2(t)]= 0

μNP [e3(t)]= 1, μCE [e3(t)]= μNG [e3(t)]= 0

e(t)=π/8

- π/2 -π/4 π/4 π/2 e(t), (rad)

NG NP CE PP PG

μCE = μPP =0.5,

μNG = μNP = μPG = 0 0.5

1.0


10

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borrosoFase 6Fase 6 Mecanismo de inferencia Mecanismo de inferencia

- π/4 -π/8 π/16 π/8 π/4 de(t)/dt, (rad/sec)

NG NP CE PP PG

Reglas activas las que tienen premisas:

“error es CE” “cambio de error es CE”“cambio de error es PP”

- π/2 -π/4 π/4 π/2 e(t), (rad)

NG NP CE PP PG

“Fuerza”

u(t)

“Cambio de error”

NG NP CE PP PG

“error”

NG PG PG PG PP CE

NP PG PG PP CE NP

CE PG PP CE NP NG

PP PP CE NP NG NG

PG CE NP NG NG NG

Reglas activas

Ejemplo de determinación qué reglas están activas. Caso e(t) =0 y de(t)/dt =(3π)/32


11

μpremisa (1)= mín {1, 0.25}=0.25

-π/8 π/16 π/8 de(t)/dt

CE

-π/4 π/4 e(t)

CE

μCE(ei),μCE (dei/dt)

0.25

Premisa(1): “If error es CE and cambio de error es CE”

Premisa(2): “If error es CE and cambio de error es PP” μpremisa (2)= mín {1, 0.75}=0.75

π/16 π/8 π/4 de(t)/dt -π/4 π/4 e(t)

CE

μCE(ei),0.75

PP

μPP (dei/dt)

Conectiva and: mínimo

Conectiva and: mínimoEjemplo de cuantificación de las premisas de las reglas. Caso e(t) =0 y de(t)/dt =(3π)/32

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borroso Fase 6 Fase 6 Mecanismo de inferenciaMecanismo de inferencia


12

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borroso Fase 6 Fase 6 Mecanismo de inferenciaMecanismo de inferencia

π/16

π/8

π/4- π/4

π/4

- π/4

e(t), (rad)

d

d te t ra d( ) , ( / sec )

prem isa

En tanto el valor de las entradas cambien con el tiempo, lo harán los valores de las funciones de pertenencia, y por tanto los valores de las funciones de pertenencia multidimensional de

las premisas de las reglas

Función de pertenencia de la premisa 2


13

If error es CE and cambio de error es CE then fuerza es CE

-π/4 π/4 e(t)

CE

μCE(ei),μCE (dei/dt)

0.25

-10 10 u(t)

CE

-π/8 π/16 π/8 de(t)/dt

If error es CE and cambio de error es PP then fuerza es NP

-π/4 π/4 e(t)

CE

μCE(ei),0.75

PP

μPP (dei/dt)

-20 -10 10 u(t)

NP

μ regla_1(u)= mín {μ permias(1) , μ CE (u)}

μ regla_2(u)= mín {μ permias(2) , μ NP(u)}

0.25

0.75

Diseño de un controlador borroso Diseño de un controlador borroso Fase 7Fase 7 Obtención de conclusiones Obtención de conclusiones


14

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borrosoFase 8 Desborrosificación: COGFase 8 Desborrosificación: COG

ub

crisp i reg la ii

reg la ii

_

_

.6 8 1

CE

0.25

-10 10 u(t)

NP 0.75

-20 -10 10 u(t)

bi= centro de la función de pertenencia.

μregla_i = área bajo las funciones de pertenencia: μregla_1(u) y μregla_2(u)

-20 -10 10 u(t), (N)

NP CE 0.75

0.25μregla_i

u=-6.81


15

En este caso se puede ver que se cumple:

En la práctica hay que tener presente los límites mínimo y máximo de las variables de actuación.

Esos limites dependen tanto de las funciones de pertenencia definidas como del desborrosificador utilizado.

2 0 2 0ub

crisp i reg la ii

reg la ii

_

_

-30 -20 -10 10 20 30 u(t), (N)

NG NP CE PP PG

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borrosoValores extremos de las salidasValores extremos de las salidas


16

μpremisa (i) ub

crisp i prem isa ii

p rem isa ii

( )

( )

.7 5

-20 -10 10 u(t), (N)

NP CE 0.75

0.25

-7.5

μpremisa(i)

Diseño de un controlador borrosoDiseño de un controlador borrosoFase 8 Desborrosif.: Centros ponderadosFase 8 Desborrosif.: Centros ponderados

CE

-10 10 u(t)

NP μregla_2(u) = 0.75μNP(u)

-20 -10 10 u(t)

μregla_1(u) = 0.25μCE(u)0.75

0.25

mín

prod


17

Control Borroso: ResumenControl Borroso: Resumen

2. If and Then

1. If and Then

Entrada 1 Entrada 2 …..

Salida

InferenciaPremisa

Agr

egac

ión

Desborrosificación

Manuel Mazo y Marta Marrón. Departamento de Electrónica 18

Aspectos formales de la Aspectos formales de la

Lógica BorrosaLógica Borrosa


19

Variables lingüísticas y valoresVariables lingüísticas y valores

Las entradas ei y salidas ui del sistema borroso pertenecen a dominios precisos (crisp) denominados “universo de discurso” Ei e Ui.

Generalmente Ei e Ui coinciden con el conjunto de números reales.

e E i n

u U i mi i

i i

, , , . . . . . . . ,

, , , . . . . . . . ,

1 2 3

1 2 3

e1

e2

...

en

u1

u2

...

um

En

trad

as (

cris

p)

Sali

das

(cr

isp)

Bor

rosi

fica

ción

(Fu

zzif

icat

ion

)

Base conocimientio(Rule-base)

Mecanismo inferencia(Inference mechanism)

Des

bor

rosi

fica

ción

(Def

uzz

ific

atio

n)

Controlador Borroso (conjunto borroso)

Entradas borrosificadas

Conclusiones borrosas

~u i~e i

e e b o rro sific a d o r

u u d esb o rro sifica d o ri i

i i

~ :~ :


20

~e i definida sobre el universo de discusión Ei puede tomar

~A i

j

La variable

cualquiera de los valores del conjunto

~A i

~{

~: , , . . . }A A j Ni i

ji 1 2

~A i

j ~A i

~u q definida sobre el universo de discusión Uq puede tomar

~A i

j

La variable

cualquiera de los valores del conjunto

~A i

~{

~: , , . . . }B B p Mq q

pq 1 2

~B q

p ~B q

~e i Ejemplo: si representa la variable velocidad, se puede tener el conjunto lingüístico (valores):

~{

~ ~ ~} { , , }, , ,A A A A len to m ed io rap ido1 1

112

13

Variables lingüísticas y valoresVariables lingüísticas y valores


21

Tipos: SISO, SIMO, MISO, MIMO

Ejemplo de MIMO:

Equivalente con MISO:

If e es A and e es A and and e es A then u es B and u es Bj kn n

l r s~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~1 1 2 2 1 1 2 2

If e es A and e es A and and e es A then u es B

If e es A and e es A and and e es A then u es B

j kn n

l r

j kn n

l r

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 2 2

ReglasReglas


22

Si Ei es el universo de discurso de la variable , con valores

lingüísticos definidos por , la función μ(ei) asociada a

los valores que mapea la correspondencia entre el

universo de discurso Ei y el conjunto de valores reales [0,1],

se conoce como función de pertenencia.

La función de pertenencia describe la certeza (certidumbre) con que una variable lingüística puede ser catalogada como

El conjunto borrosos asociado a la función de pertenencia se expresa:

~e i~ ~A Ai

ji

~A i

j

~e i~A i

j

A i

ij e( )

~{( , ( ))} : }A e e e Ei

ji A i i i

ij

Conjuntos borrosos, Conjuntos borrosos, Funciones de pertenenciaFunciones de pertenencia


23

Función de pertenencia:

Definición: Sea Ei el conjunto de discurso de la variable , con valores

definidos por La función μ(ei) asociada a los valores que

establece la correspondencia entre Ei y el conjunto de valores reales [0, 1]

se conoce como función de pertenencia.

¿Qué describe?: la certeza (certidumbre) con que una variable lingüística

puede ser catalogada como .

Funciones de pertenencia.

Expresión de conjunto borroso: El conjunto borroso asociado a la función de pertenencia se expresa como:


~e i~ ~A Ai

ji

~A i

j

~e i~A i

j

A i

ij e A u e e Ei

j

i A i i iii , :

μ

ei


24

Gaussian membership functions

Left

Centers

Right

L

L

L

L

e

if e c

e co th erw ise

( )ex p

1

1

2

2

( ) ex pee c

1

2

2

R

R

R

R

ee c

if e c

o th erw ise

( )ex p

1

2

1

2

1

ecL

ec

1

cR e

1



25


Triangular membership functions

Left

Centers

Right

L

L

L

L

e

if e c

c eo therw ise

( )m ax ,

.

1

0 10 5

C e

e cif e c

c eo therw ise

( )

m ax ,.

m ax ,.

0 10 5

0 10 5

R

R

RR

e

e cif e c

o therw ise

( )m ax ,

.

0 10 5

1

ωL

ecL

1

1

e

ωω

cc-ω/2 c+ω/2

ωR

ecR

1


26

A A A i A i i i

i i i ie e e E1 2 1 2

min{ ( ), ( ): }

AND: La intersección de dos conjuntos borrosos definidos en el universo de discurso Ei , es el conjunto borroso con función de pertenencia: Mínimo:

Producto:

Las dos funciones anteriores se suelen denominar “norma

triangular” y se expresan como:

A Ai i1 2

A i A i

i ie e1 2( ) * ( )

A Ai i1 2,

Funciones de lógicasFunciones de lógicas

A A A i A i i i

i i i ie e e E1 2 1 2

{ ( ) ( ): }


27

A A A i A i i i

i i i ie e e E1 2 1 2

max{ ( ), ( ): }

OR: La unión de dos conjuntos borrosos , definidos en el universo de discurso Ei , es el conjunto borroso con función de pertenencia:

Máximo:

Suma:

Las dos funciones anteriores se suelen denominar “co-norma

triangular” y se expresan como:

A Ai i1 2

A i A i

i ie e1 2( ) ( )

A Ai i1 2,


A A A i A i A i A i i i

i i i i i ie e e e e E1 2 1 2 1 2

{ ( ) ( ) ( ) ( ): }


28


Complemento (NOT): El complemento de un conjunto borroso con función de pertenencia :

Producto cartesiano: Es una operación en la que intervienen conjuntos borrosos con diferentes universos de discurso, resultando la siguiente función de pertenencia:

A i1

A i

ie1 ( )

A i A i

i ie e1 11( ) ( )

A xA x xA n A A A nj k

nl j k

nle e e e e e

1 2 1 21 2 1 2......

( , , . . . . ) ( ) * ( ) * . . . . . . . .* ( )


29

Base de conocimientoBase de conocimiento

La base de conocimiento ha de ser: Completa: todas las posibles entradas del controlador han de tener su

conclusión. Consistente: no puede haber conflicto entre conclusiones de

diferentes reglas.

Número de reglas: Si todas las posibles premisas participan en las reglas, y el conjunto de reglas contempla todas las posibles combinaciones de premisas, el número de reglas es:

Ejemplo: n = 2, N1= 4, N2=6, número de reglas =24

N um ero de reg las N

n num ero de en tradas

N num ero de funciones de pertenencia

ii

n

i

1

" " ,


30

BorrosificaciónBorrosificación ( )

Aifu z x

( )A

i

iifu z x

x e

x e

1

0

1 1 1 1 1

…….

Funciones de pertenencia

ei

A i

ie1 ( )

A ii

e3 ( ) A i

ie6 ( )

( ) ex p

A

i

ifu z x a

x e

2

Borrosificadorsingleton

ei ( )

Aifu z x

Borrosificadorno singleton

ei ( )

Aifu z x


31

Mecanismo de inferenciaMecanismo de inferencia

1. Determinar el alcance de las regalas relevantes para cada situación de las “n” entradas (matching o correspondencia): Obtener las reglas activas de la base de conocimiento. Calcular la función de pertenencia de la premisa de la regla activa.

Para un borrosificador la certidumbre asociada a la premisa de la regla “i” se expresa mediante el producto cartesiano:

2. Establecer las conclusiones en función de las entradas y de las reglas de la base de conocimiento (paso de inferencia).

i n A A A ne e e e e ej knl( , , . . . . ) ( ) * ( ) * . . . . . . . .* ( )1 2 1 2

1 2

B q i n B q

qi

qpu e e e u im o( ) ( , , . . . ) * ( ); * m in 1 2

B q B q B q B qq q q qRu u u u im o( ) ( ) ( ) . . . . . . ( ); m ax 1 2

(1)

(2)


32

DesborrosificaciónDesborrosificación

Objetivo: calcular la salida “uqcrisp” a partir de cada una de las

reglas implicadas o a partir de todas simultaneamente.

Si se hace a partir de las conclusiones de las reglas individualmente procesadas (1), los métodos más utilizados son COG y ponderación de centros.

En el caso de implicación simultánea de las reglas (2), el “Criterio Máximos” es el más utilizado.


33

Desborrosificación: COGDesborrosificación: COG Sea una base de conocimiento con R reglas. Sea bp

q el centro del conjunto borroso de la función de pertenencia implicada por la regla (j, k, ….. l; p)i, y el área de dicha función de pertenencia:

La salida es:

B q

qp u( )

B q q

uqp

q

u du( )

u

b u du

u duqcrisp

iq

B q q

ui

R

B q q

ui

R

qi

q

qi

q

( )

( )

1

1

La función de pertenencia de los términos del consecuente de las reglas no se saturan en los extremos para asegurar un valor finito de la salida Hay que asegurar que el denominador sea distinto de cero

B q q

ui

R

qi

q

u du( )

1

0


34

DesborrosificaciónDesborrosificaciónPonderación de centrosPonderación de centros

El cálculo de la salida se obtiene a partir de los centros de las funciones de pertenencia de los consecuentes de las reglas implicadas y el valor máximo de certeza de tales funciones de pertenencia.

Siendo el valor máximo de la función de pertenencia del consecuente “q” afectado por la regla “i”.

su p { ( )}u B qq qi u

u

b u

uqcrisp

iq

u B qi

R

u B qi

R

q qi

q qi

su p { ( )}

su p { ( )}

1

1

su p { ( )}u B qi

R

q qi u

1

0


35

DesborrosificaciónDesborrosificaciónEjemplosEjemplos

B q

qu1 ( )

…. b1 b2 b3 bi bN uq

B q

qu1 ( )

B qqN u( )

B qq

u2 ( )

…. b1 b2 b3 bi bN uq

B q

qu2 ( )

B qqN u( )


36

DesborrosificaciónDesborrosificaciónCriterio MáximoCriterio Máximo

Esta estrategia tiene en cuenta todos los conjuntos borrosos implicados simultáneamente.

La salida es el punto del universo de discurso de salida para el que la función de pertenencia del conjunto borroso Bq es el máximo.

Donde arg supx{μ(x)} devuelve el valor de x para el cual la función μ(x) presenta un máximo.

Ejemplo:

u uqcrisp

u B qq qi {arg su p { ( )}}

-20 -10 10 20 uq

μregla_1

uqcrisp = -20

μregla_2μregla_3 μregla_4


37

DesborrosificaciónDesborrosificaciónCentro de áreasCentro de áreas

Al igual que la estrategia del “criterio maximo”, tiene en cuenta todos los conjuntos borrosos implicados simultáneamente.

La salida, ucrisp, se elige como el centro del área del universo de discurso de salida.

Para un universo de salida continuo, el centro del área es:

Un inconveniente de esta estrategia es que computacionalmente es caro.

uu u du

u duqcrisp

q B q qu

B q qu

qq

qq

( )

( )

B q qu q

q

u du( ) 0


38

2. If and Then

1. If and Then


Salida

InferenciaPremisa

Agr

egac

ión

Desborrosificación

Sistemas tipo MandaniSistemas tipo Mandani


39

Sistemas tipo Takagi-SugenoSistemas tipo Takagi-Sugeno

El elemento diferenciador de un sistema tipo Takagi-Sugeno radica en la expresión del consecuente de las reglas de la base de conocimiento.

En los sistemas tipo Sugeno el consecuente es una función (o varias funciones de salida caso de sistemas SIMO, MIMO) de las variables de entrada.

Generalmente la función fi (consecuente) se reduce a una constante o una relación lineal de las entradas.

Ejemplo:

if u es A and u es A and and u es A T hen f u u uj kn n

li n1 1 2 2 1 2. . . . . . . . ( , , . . . . . , )

f a a u a u a n rea lesi i i n n i j 1 0 1 1, , , ,. . . . . . ; º


40

Sistemas tipo Takagi-SugenoSistemas tipo Takagi-Sugeno

Para la evaluación AND se suelen utilizar operadores mínimo o producto.

Para la desborrosificación se suele utilizar:

Ejemplo:

uf

crisp i prem isa ii

R

prem isa ii

R

( )

( )

1

1

If e es A then f e

If e es A then f e

1 11

1 1

1 12

2 1

2

1

uf f

f fcrisp

1 1 2 2

1 21 1 2 2

e1=0: ucrisp =(2+0)0.5 + (1+0) 0.5 =1.5

e1≥1: ucrisp =1+e1

e1≥1: ucrisp =2+e1

-1 1 e1

1μ1 μ2


41

Sistemas tipo Sugeno: ResumenSistemas tipo Sugeno: Resumen

2. If and Then

1. If and Then


Salida

InferenciaPremisa

Agr

egac

ión

Desborrosificación


42

Comparación: Comparación: Sugeno vs MamdaniSugeno vs Mamdani

Ventajas sistema Sugeno: Eficiente en términos de computación. Funciona bien con técnicas lineales (PID por ejemplo). Funciona bien con técnicas de optimización y adaptativas Garantiza la continuidad en la superficie de salida del sistema. Se adapta mejor al análisis matemático.

Ventajas sistema Mamdani: Es más intuitivo. Está ampliamente aceptado. Se adapta mejor al lenguaje humano.

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