La Funcin Parte EnteraJos Pablo Flores Ziga

Ilustracin hecha por: Dorian Romn Prez

Funcin Parte Entera

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NDICEPgina Objetivos.. 3

Introduccin........... 4 Motivacin histrica... 4 1.1 Definicin de parte entera............. 5 Ejercicios 1.1 .. 7 1.2 Orden de los nmeros reales ... 8 Ejercicios 1.2 .. 9 1.3 Anlisis de la funcin parte entera 10 Ejercicios 1.3 .. 10 Ejercicios de mayor grado dificultad... 12 Respuesta de los ejercicios......... 13

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ObjetivosConocer la funcin parte entera Determinar imgenes de nmeros reales en la funcin parte entera Caracterizar la funcin parte entera Determinar la propiedad de densidad de nmeros reales

Si quieres triunfar, debes abrir

nuevos caminos en vez de avanzar por los trillados senderos por donde siempre has pasadoJohn D. Rockefeller

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IntroduccinAnalicemos la imagen de la portada En algn momento de su vida usted ha tenido exactamente 5 aos, o 101 aos? Patrick, un estudiante que naci el 12 mayo de 1994 le pregunt su compaera Melissa qu edad tienes? (Ella le pregunt el da 4 abril de 2010) Si hacemos los clculos de la edad, Patrick tiene 15,89589 aos; sin embargo Patrick le responde a Melissa tengo 15 aos. Actividad: Pregntele a la persona ms cercana Qu edad tienes?

Motivacin Histrica

En 1616, en la traduccin al ingls de una obra del escocs John Napier (1550-1617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con coma decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. Napier propuso un punto o una coma como signo de separacin decimal: el punto decimal se consagr en pases anglosajones, pero en muchos otros pases, se contina utilizando la coma decimal.1

En la historia de las matemticas se le da crditos al matemtico suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de funcin, as como por realizar un estudio sistemtico de todas las funciones elementales; sin embargo, el concepto mismo de funcin naci con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que surgi desde los inicios de la matemtica en la humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilnica, la egipcia y la china.2

Referencias [1] http://sites.google.com/a/glm.edu.co/matematicas-2009-200/sexto-profundizacion/tareas/ii-bimestre [2] http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/histori a.htm

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1.1 Definicin de Parte EnteraSea , : entonces se llama funcin parte entera /

denotada por:Ejemplos:

donde

a) Calculemos la parte entera para el nmero Recordemos que es un nmero irracional y su aproximacin es: 3,14159265358979323846

De la definicin de parte entera buscamos un nmero entero menor que , algunos enteros menores: 3 2 1 0 1 2 3 Cul es el mximo de esos enteros (el mayor entero)? El mayor entero es 3 Entonces 3. b) Calculemos Observe que 2 3 4 4,5 El mayor entero menor que 4,5 es 4

4,5 algunos enteros menores que 4,5

9 2

4

c) Calculemos 2 Algunos enteros menores o iguales a 2 1 0 1 2 2 El mayor entero es 2 2 2 d) Ahora Entonces observe que

0,6666666 2 1 0

Algunos enteros menores o iguales

0

0,666

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Observemos que si el nmero es positivo la parte entera, es el nmero entero que lo separa la coma decimal

14563,26548 Parte entera parte decimale) 14563,26548 14563

Ahora veamos que pasa con nmeros negativos f) Calculemos 35 Con ayuda de una calculadora o de tablas 35 5,916079783 Algunos enteros menores que 35 8 7 6 5,9160 Note que 35 5 si no 35 6 g) Ahora 240

Con ayuda de una calculadora, tablas o tringulos observe que 240 0,8660254 Algunos enteros menores que 240 3 2 1 0,8660254 240 1 h) Finalmente calculemos 7 Algunos enteros menores o iguales a -7 9 8 7 7 7 7

Nota: Si el nmero es entero, la parte entera es el mismo nmero 2 0 2 0

7

7

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Ejercicios 1.1 Calcule la parte entera de los siguientes nmeros i) 5 ii) 6

iii) 101 iv) 5 v) tan 80 vi) 27 vii) 45 viii) ix) 2 0,999

x) cos 100 xi) 2 xii) xiii) xiv) xv) xvi) ln 10 xvii) log xviii) log 56 3 7

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1.2 Orden de los nmeros realesAhora veamos una aplicacin de la funcin parte entera Recordemos que una de las propiedades de los nmeros reales es el ordenamiento, por lo que podemos comparar si un nmero es mayor, menor o igual que otro nmero real y lo podemos analizar rpidamente si calculamos la parte entera de los nmeros a comparar. Por ejemplo ordenemos los nmeros

ascendentemente. Primero calculamos la parte entera de los nmeros: 4 4 3 30 0 1 2

, cos 30, 2

cos 30

Ahora podemos ver ms fcil quien es mayor y menor, recordemos que ascendentemente va ordenado de menor a mayor: 0 1 4 As entonces ordenamos:

2

Ahora otro ejemplo: ordenemos los nmeros: Calculemos las partes enteras de cada uno 210 1 2 3 0 0 Por lo que 2 1 0 y as ordenamos 3

210, 3 , 0

210

0

Qu pasa si la parte entera es el mismo valor? Comparemos 23 Si calculamos la parte entera 23 3 y 3 las partes enteras son el mismo valor 3, pero no significa que los nmeros son iguales, para comparar los nmeros habra que comparar la parte decimal de los mismos.

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23 3,4641 y vimos que 3,1415 como 1415 4641 entonces 23 Pero la idea es trabajar con la parte entera por lo que no se resolvern ms casos de este tipo en este manual. Ejercicios 1.2 Coloque el smbolo de mayor, menor o igual segn corresponda

a) 5_________10

b) _________ c) _______2

d) 9______9 e) f) g) 80 _____ 30______ ________

60

h) log 5 _______ ln 4 i) log 1 ________ log j) 2 _________3

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1.3 Anlisis de la funcin Parte EnteraRepase primero la definicin de la Funcin Parte Entera

Actividad: Determine el dominio y mbito de la funcin parte entera y luego construya la grfica ayudndose con una tabla de valores.Ejercicios 1.3 Complete lo indicado a continuacin Dominio: _______ mbito: ________ Tabla de valores 5 3 1 0 1 2 3 4 4 2 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -2 Grfica

1

5

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Compare la grfica hecha con la siguiente:

Con base en la grfica, determine o complete a) Interseccin con el eje de las abscisas: __________ b) Interseccin con el eje de las ordenadas: __________ c) Indique tres preimgenes de 2: __________________ d) Indique tres preimgenes de -1: _________________ e) Existen preimgenes de 2? ________ por qu? ___________________________________________________ f) Cuntas preimgenes tiene 3, compare este resultado para cualquier otra imagen? Vea la tabla de valores, cmo se llama la propiedad de los nmeros reales que generaliza esta observacin?

Marque con una dentro de la casilla si la funcin parte entera es o no es Inyectiva, Sobreyectiva o Biyectiva. Clasificacin Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva Si No

Felicidades, ya usted tiene el conocimiento bsico de la funcin parte entera

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Ejercicios de mayor grado de dificultad 1) Pruebe a) 1 b) 1 1 1

2) Grafique las funciones: a) b) c) ln 2

3) Resuelva las ecuaciones: a) 6 b) 4) Calcule 5) Determine el criterio de la recta asinttica de la funcin parte entera 2 1

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Respuestas de los ejercicios 1.1 i) 5 ii) -6 iii) 10 iv) 15 v) 5 vi) -3 vii) 3 viii) -2 ix) -1 x) -1 xi) 0 xii) -243 xiii) -1 xiv) 2 xv) 15 xvi) 2 xvii) 0 xviii) -4 1.2

1.3Dominio: mbito: Tabla de valores grfica

Clasificacin Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva

Si X

No X X