sol entera

5/13/2018 Sol Entera - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sol-entera 1/76

PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN ENTERADE INVESTIGACIÓN OPERATIVA I

Problema 3:

El equipo de gimnasia olímpica de Transilvania consta de 6 personas. Transilvania tieneque seleccionar tres personas para viga de equilibrio y ejercicios de piso. También tieneque presentar un total de cuatro personas por cada evento. La calificación que cadagimnasta puede obtener en cada evento se muestra en la tabla 1.Plantee un PE con elque se maximice la calificación total que obtengan los gimnastas de Transilvania.

TABLA 1

Gimnasta Viga deequilibrio

Ejerciciosde piso

1 8.8 7.92 9.4 8.33 9.2 8.54 7.5 8.75 8.7 8.16 9.1 8.6

Solución:

1, si el gimnasta i entra en ambos eventos. (i = 1, 2, 3, 4, 5,6)0, si no es así.

1, si el gimnasta i entra solo en vigas de equilibrio. (i = 1, 2, 3, 4, 5,6)0, si no es así.

1, si el gimnasta i entra solo en ejercicios de piso. (i =1, 2, 3, 4, 5,6)0, si no es así.

Función objetivo:

Max z = 16.7 X1+17.7 X2+17.7 X3+16.2 X4+16.8 X5+17.7 X6 +8.8 Y1+9.4Y2+9.2 Y3+7.5 Y4+8.7 Y5+9.1 Y6 +7.9 W1+8.3 W2+8.5 W3+8.7 W4+8.1 W5+8.6 W6

Sujeto a:

X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6 = 3 (seleccionar a 3 personas que hagan amboseventos)

Y1+ Y2+ Y3+ Y4+ Y5+ Y6 =4 (se quiere un total de 4 personas que hagan elmismo evento, en este caso el evento 1: vigas de equilibrio)

1

Xi =

Yi =

Wi =



W1+ W2+ W3+ W4+ W5+ W6 =4 (se quiere un total de 4 personas que hagan elmismo evento, en este caso el evento 2: ejercicios de piso)

Xi, Yi, Wi =0 ó 1

SETS:Cant/1..6/:X,Y,W,VIGA,EJRPISO,PUNTAJE;

ENDSETS

DATA:VIGA = 8.8 9.4 9.2 7.5 8.7 9.1 ;EJRPISO = 7.9 8.3 8.5 8.7 8.1 8.6;ALVEZ=3;POREVNTO=4;

ENDDATA

max=@SUM(cant(i):PUNTAJE*X(i))+@SUM(cant(i):VIGA*Y(i))+@SUM(cant(i):EJRPISO*W);

@FOR(cantidad(I):PUNTAJE(i)=VIGA(i)+EJRPISO(i);

);

! RESTRICCIONES;

@SUM (cant(I):X(i))=ALVEZ;

@SUM (cant(I):Y(i))=POREVNTO;

@SUM (cant(I):W(i))=POREVNTO;

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR (cant(I):@BIN(X);@BIN(Y);@BIN(W););

2



La solución nos dice que los gimnastas que entran solo en viga de equilibrio son el1,2,3,6 ;los gimnastas que entran solo en ejercicio de piso son el 2,3,4,6 y los gimnastasque entran a ambos eventos son el 2,3,6 ;uno se da cuenta ya que el valor de cada una deestas variables es 1.La calificación total máxima que obtienen los gimnastas de Transilvania es 123.70.

Problema 4 :

La decisión de una corte estableció que la matricula de cada escuela de bachillerato enMetrópolis debe tener por lo menos 20% de negros. El número de estudiantes de

bachillerato, blancos y negros, en cada uno de los 5 distritos escolares de la ciudad semuestra en la tabla 1. La distancia en millas que un estudiante debe viajar a cadaescuela de bachillerato en cada distrito, se proporciona en la tabla 2.La política escolar establece que todos los estudiantes en un distrito dado asistan a la misma escuela. Si sesupone que cada escuela debe tener una matricula de por lo menos 150 estudiantes,formular el PE con el cual se pueda minimizar la distancia total que los estudiantes deMetrópolis tienen que recorrer hasta la escuela.

DISTRITO BLANCOS NEGROS1 80 30

2 70 53 90 104 50 405 60 30

Tabla 1

DISTRITOESCUELA

1ESCUELA

21 1 22 0,5 1,7

3 0,8 0,84 1,3 0,45 1,5 0,6

Tabla 2

3



Sol:

seaXij = distrito i, escuela de bachillerato j

Min z = X11 +2X12 + 0.5X21 + 1.7X22 + 0.8X31 +1.3X41 + 0.4X42 + 1.5X51 +0.6X52

Sujeto a:

110X11 + 75X21 + 100X31 + 90X41 + 90X51 >= 150 (restricción alumnos por escuela)

110X12 + 75X22 + 100X32 + 90X42 + 90X52 >= 150

100*(30X11 + 5X21 + 10X31 + 40X41 + 30X51)/ (110X11 + 75X21 + 100X31 +90X41 + 90X51)>=20

100*(30X12 + 5X22 + 10X32 + 40X42 + 30X52)/ (110X12 + 75X22 + 100X32 +90X42 + 90X52)>=20

X11 + X12 <=1X21 + X22 <=1X31 + X32 <=1X41 + X42 <=1X51 + X52 <=1

Xij =0 ó 1 (i,j =1,2,3,4,5)

PROBLEMA 6 :

Los datos del problema se pueden expresar de la siguiente manera:

MATERIA CURSOS

4



Cal.

(1)

Inv.Op.(2)

Estr.Dat.(3)

Estadi.

Adm.(4)

Sim.Comp.

(5)

Intr.Prog.

(6)

Pred.Requ.

(7)

total

matemáticas 1 1 1 1 0 0 1 2

Inv.operativa

0 1 0 1 1 0 1 2

computación

0 0 1 0 1 1 0 2

Pre-requisito

Nin. Nin. (6) (1) (6) Nin. (4)

Se Utilizara el programa lingo para resolver el problema

!x= 1-->si se estudia el curso i (i=1..7)

0-->si no se estudia el curso i (i=1..7);

!min = cantidad mínima de curso;

!pcurso =posibilidad de tomar un curso i (1..7) para la materia j(1..3);

sets:cursos/1..7/:x;materias/1..3/:tot;matcur(materias,cursos):pcurso;endsets

data:tot= 2 2 2;

pcurso= 1 1 1 1 0 0 10 1 0 1 1 0 10 0 1 0 1 1 0;

enddata

min=@sum(cursos:x);

@for(materias(i):@sum(cursos(j):pcurso(i,j)*x(j))>=tot(i));

x(3)<=x(6);x(4)<=x(1);x(5)<=x(6);x(7)<=x(4);

@for(cursos:@bin(x););end

5



MIN X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 5) + X( 6) + X( 7)SUBJECT TO2] X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 7) >= 23] X( 2) + X( 4) + X( 5) + X( 7) >= 24] X( 3) + X( 5) + X( 6) >= 25] X( 3) - X( 6) <= 06]- X( 1) + X( 4) <= 07] X( 5) - X( 6) <= 08]- X( 4) + X( 7) <= 0ENDINTE 7

La solución que me proporciona es la siguiente:

Interpretación

Los cursos que utilizaran para lograr la especialización son 4 y son los siguientes:

• Investigación operativa• Estructura de datos

• Simulación por computadora• Introducción a la programación

Por lo tanto significa que al llevar estos 4 cursos podré satisfacer los requerimientos para la especialización con la menor cantidad de cursos llevados

PROBLEMA Nª12:

Una compañía planea abrir unas bodegas en cuatro ciudades; Nueva York, Los Ángeles,Chicago y Atlanta. Desde cada bodega se pueden embarcar 100 unidades por semana.El costo fijo por semana por mantener en operación cada bodega es de 400 dólares para

Nueva York, 500 dólares para Los Ángeles, 300 dólares para Chicago y 150 dólares para Atlanta. La región 1 del país requiere 80 unidades por semana, la región 2 demanda70 unidades por semana y la región 3 necesita 40 unidades por semana. Los costos (sinolvidar los costos de producción y embarque) por enviar una unidad desde una planta

desde una región se señala en la tabla 11. Se desea cumplir con las demandas

6



semanales a un costo mínimo, sujeto a la información precedente y a lasrestricciones siguientes:

1. Si se abre la bodega de Nueva York, entonces se debe abrir la bodegade Los Ángeles.

2. Es posible abrir a lo más dos bodegas.

3. Se tiene que abrir la bodega de Atlanta o la de Los Ángeles.

Formule un PE que se pueda usar para minimizar los costos semanales decumplir con las demandas.

TABLA11

Hasta (dólares)

Desde

Región

1 Región 2 Región 3Nueva York 20 40 50

Los Ángeles 48 15 26

Chicago 26 35 18

Atlanta 24 50 35

Formulación de la PE:Xi { = 1 Si se abre la bodega i (i=0,1,2,3,4)

= 0 En caso contrario.

Yj = Cantidad de unidades destinadas para la región j (j=1,2,3)Yij = Cantidad de unidades trasladadas de la bodega i (i=1,2,3,4) hasta laregión j (j=1,2,3)PE :Minz = 400X1 + 500X2 + 300X3 + 150X4 +

20Y11 + 40Y12 + 50Y13 +48Y21 + 15Y22 + 26Y23 +26Y31 + 35Y32 + 18Y33 +24Y41 + 50Y42 + 31Y43

S.a:Y11 + Y21 + Y31 + Y41 = Y1

Y12 + Y22 + Y32 + Y42 = Y2Y13 + Y23 + Y33 + Y43 = Y3

Y11 + Y12 + Y13 <= 100Y21 + Y22 + Y23 <= 100Y31 + Y32 + Y33 <= 100Y41 + Y42 + Y43 <= 100

X1 <= MY11 X2 <= MY21 X3 <= MY31 X4 <= MY41X1 <= MY12 X2 <= MY22 X3 <= MY32 X4 <= MY42X1 <= MY13 X2 <= MY23 X3 <= MY33 X4 <= MY43

Y1=>80Y2=>70

7



Y3=>40

X1 – X2 <= 0X1 + X2 + X3 + X4 <= 2X4 + X2 <= 1

X1,X2,X3=0 ó 1;Y1,Y2,Y3,Y11,Y12,Y13,Y21,Y22,Y23,Y31,Y32,Y33,Y41,Y42,Y43 = # enterosM = # muy grande

Problema 13

Glueco fabrica tres tipos de pegamento en dos líneas de producción distintas. Hasta 7

trabajadores usan a la vez cada línea. Cada trabajador recibe un pago de 500 dólares por

semana en la línea de producción 1, y 900 dólares por semana en la línea de producción

2. Una semana de producción en la línea de producción 1 cuesta 1000 dólares para

organizarla y 2000 en la línea de producción 2.

Durante una semana en una línea de producción cada trabajador elabora la cantidad de

unidades de pegamentos indicada en la siguiente tabla::

Se tienen que elaborar a la semana, por lo menos, 120 unidades del pegamento 1, por lo

menos 150 unidades del pegamento 2 y por lo menos 200 unidades del pegamento 3.

Formule un PE para minimizar el costo total por cumplir con las demandas semanales.

Solución:

Sea:

8

Línea de producciónPegamento

1 2 31 20 30 402 50 35 45



xi = número de trabajadores empleados en la línea i (i =1,2).

1 se usa la línea i, (i =1,2).

yi =

0 si no es así

Entonces, la PE apropiada es:

F:O : min z = 1000y1 + 2000y2 + 500x1 + 900x2

s.a.

20x1 + 50x2 120

30x1 + 35x2 150

40x1 + 45x2 200

x1 7 y1

x2 7 y2

x1, x2 0; y1,y2 = 0 ó 1

La programación en LINDO sería:

9



Y La solución en LINDO sería:

CONCLUSIÓN:

Como se puede observar en el resultado se tendrá un costo de 4000 dólares para cumplir las demandas semanales, con 6 trabajadores trabajando en la línea número 1 solamente.

1



PROBLEMA 15PROBLEMA 15:

En el hospital general Blair se ejecutan 6 tipos de operaciones quirúrgicas. Los tipos deoperaciones que cada cirujano esta calificado para practicar (señalados como 1) se

proporciona en la tabla. Suponga que el cirujano 1 y el cirujano 2 no simpatizan entre si,y no pueden estar en el mismo tiempo de servicio. Se necesita la cantidad mínima decirujanos necesarios para que el hospital pueda desarrollar todo tipo de operaciones.

CIRUJANO OPERACIÓN1 2 3 4 5 6

1 x x x2 x x x3 x x4 x x5 x6 x x

SOLUCION:SOLUCION:

Si consideramos a cada X como 1 y cada espacio vacío como 0:

CIRUJANO OPERACIÓN1 2 3 4 5 6

1 1 1 0 1 0 02 0 0 1 0 1 13 0 0 1 0 1 04 1 0 0 0 0 1

5 0 1 0 0 0 06 0 0 0 1 1 0

Definimos las variables a utilizar:

Xi = 1 Si el cirujano i realiza alguna operación. (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)0 en caso contrario.

El PE apropiado para este problema es:

FUNCION OBJETIVO:

1



MIN Z= X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6;

S.A:

X1 + X4 >= 1X1 + X5 >= 1

X2 + X3 >= 1

X1 + X6 >= 1

X2 + X3 + X6 >= 1

X2 + X4 + X5 >= 1

X1 + X2 <= 1 (el cirujano 1 y 2 no simpatizan entre si)

Xi >= 0 (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6);

PROGRAMACIÓN EN LINGOPROGRAMACIÓN EN LINGO:

VARIABLES UTILIZADAS:

DISPONIBILIDAD = Operaciones que pueden realizar los cirujanos

SETS:CIRUJANO/1..6/:X;

OPERACION/1..6/;COMBINACION(CIRUJANO,OPERACIÓN):DISPONIBILIDAD;ENDSETS

DATA:DISPONIBILIDAD=1,1,0,1,0,0,

0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0;

ENDDATA

! FUNCION OBJETIVO;

MIN=@SUM(CIRUJANO:X);

! RESTRICCIONES;

! CIRUJANOS DISPONIBLES; @FOR(OPERACION(J):@SUM(CIRUJANO(I):DISPONIBILIDAD(I,J)*X(I))>=1);! CIRUJANO 1 Y 2 NO SIMPATIZAN ENTRE SI; X(1)+X(2)<=1;! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR(CIRUJANO:@BIN(X));

END

1



LA SOLUCIÓN DEL PROGRAMA CON LINGO ES:LA SOLUCIÓN DEL PROGRAMA CON LINGO ES:

RESPUESTA:RESPUESTA:

Como se nota en la solución con LINGO, la cantidad mínima de cirujanos para que se

puedan realizar las 6 operaciones es 3. Los cirujanos que pueden realizar lasoperaciones son 1, 3 y 4.

PROBLEMA 16 : Cárdenas Rondoño, Bryan 04170102

Eastinghouse embarca 12 000 capacitores por mes para sus clientes. Se podrían producir los capacitares en plantas distintas. La capacidad de producción, costos fijos mensualesy costos variables por la producción de un capacitor en cada planta se proporcionan en

la tabla 96. el costo fijo en una planta se contrae sólo si la planta se usa para hacer capacitares. Desarrolle un modelo de programación con enteros cuya solución leindique a eastinghouse cómo minimizar sus costos mensuales por cumplir con lademanda de sus clientes.

Tabla 96Planta Costos fijos

(en miles dedólares)

Costosvariables(dólares)

Capacidadde

producción

1 80 20 60002 40 25 70003 30 30 6000

SOLUCIÓN

El programa en Lingo es:

!DESCRIPCIÓN DE LAS VARIABLES UTILIZADAS;

!X = Cantidad de capacitores producidos por fabrica;!Y = Si se produce i(cada planta) entonces 1, caso contrario 0;!CAP = capacidad de producción de cada planta;!CF = costos fijos de cada planta en dólares;!CV = costos variables de cada planta en dólares;!DEM = demanda total de los clientes;SETS:PLANT/1..3/:X,Y,CAP,CF,CV;DEMAND/TOTAL/:DEM;ENDSETSDATA:CAP = 6000 7000 6000;CF = 80000 40000 30000;

1



CV = 20 25 30;DEM = 12000;ENDDATAMIN=@SUM(PLANT:CF*Y+CV*X);@FOR (PLANT:@BIN(Y););

@FOR (PLANT:X<=CAP);@FOR (DEMAND:@SUM(PLANT:X)>=DEM);@FOR (PLANT:X<=(12000*Y));

La solución del Lingo es:

Global optimal solution found at step: 14Objective value: 390000.0

Branch count: 0

Variable Value Reduced CostX( 1) 6000.000 0.0000000X( 2) 6000.000 0.0000000X( 3) 0.0000000 5.000000Y( 1) 1.000000 80000.00Y( 2) 1.000000 40000.00Y( 3) 0.0000000 30000.00

CAP( 1) 6000.000 0.0000000CAP( 2) 7000.000 0.0000000CAP( 3) 6000.000 0.0000000CF( 1) 80000.00 0.0000000

CF( 2) 40000.00 0.0000000CF( 3) 30000.00 0.0000000CV( 1) 20.00000 0.0000000CV( 2) 25.00000 0.0000000CV( 3) 30.00000 0.0000000

DEM( TOTAL) 12000.00 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price1 390000.0 1.0000002 0.0000000 5.0000003 1000.000 0.00000004 6000.000 0.00000005 0.0000000 -25.00000

6 6000.000 0.00000007 6000.000 0.00000008 0.0000000 0.0000000

1



Problema16: García Paz María 03170054

Eastinghouse embarca 12 000 capacitores por mes para sus clientes. Se podrían producir los capacitores en tres plantas distintas. La capacidad de producción, costos fijosmensuales de operación y costos variables por la producción de un capacitor en cada

planta se proporciona en la tabla. El costo fijo en una planta se contrae solo si la plantase usa para hacer capacitores. Desarrolle un modelo de programación con enteros cuyasolución le indique a Eastinghouse como minimizar sus costos mensuales por cumplir con la demanda de sus clientes.

PlantaCostos fijos(en miles de

dólares)

Costos variables(dólares)

Capacidad deproducción

123

804030

202530

6 0007 0006 000

Solución:

Podemos observa por el enunciado que se trata de un problema al que se denomina“problema de cargo fijo” .

Definimos las variables a utilizar:

Xi = Numero de capacitores producidos en la planta i. (i = 1, 2,3)

1, si se produce en la planta i. (i =1, 2,3)0, si no es así.

M = Cantidad muy grande, que puede ser de un millón.

Entonces, el PE apropiado es:

FUNCIÓN OBJETIVO:

MIN Z= 20 X1 + 25 X2 + 30 X3 + 80 Y1 + 40 Y2 + 30 Y3;S.A.:

X1 + X2 + X3 = 12 000; (Se embarca 12 000 capacitores al mes)

X1 <= 6 000 (Capacidad de producción en la planta 1 de 6 000)X2 <= 7 000 (Capacidad de producción en la planta 2 de 7 000)X3 <= 6 000 (Capacidad de producción en la planta 3 de 6 000)

X1 <= M Y1X2 <= M Y2

X3 <= M Y3

1

Yi =



Xi >= 0 (i = 1, 2,3); Yi =0 ó 1

Programación en Lingo:VARIABLES UTILIZADAS:

• COSTO = Costo variables (dólares) sujeto a la cantidad de producción que se produzca.

• COSTOADIC = Costos fijo (dólares) adicional por utilizar las instalaciones dealguna planta.

• CAP= Capacidad de cada planta.• M = valor muy grande• REQUERIMIENTO = cantidad de capacitares embarcados al mes

SETS: PLANTA/1..3/: COSTO, COSTOADIC, X, Y, CAP;ENDSETS

DATA:COSTO = 20 25 30;COSTOADIC = 80 40 30;CAP= 6000 7000 6000;M=1000000;REQUERIMIENTO=12000;

ENDDATA

! FUNCION OBJETIVO:

MIN=@SUM(PLANTA(I):COSTO(I)*X(I))+ @SUM(PLANTA(I):COSTOADIC(I)*Y(I));

! RESTRICCIONES:

! RESTRICCION DE REQUERIMIENTO; @SUM(PLANTA(I):X(I))=REQUERIMIENTO;

! RESTRICCION DE LA MAXIMA CAPACIDAD DE CADA PLANTA; @FOR(PLANTA(I):X(I)<=CAP(I)); @FOR(PLANTA(I):X(I)<=M*Y(I));

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR(PLANTA(I):@BIN(Y));

END

Respuesta:Como se nota en la solución con LINGO, para poder cumplir la demanda de los clientesy a su vez minimizar los costos se deben producir en las plantas 1 y 2 con una cantidadde 6 000 capacitores en cada planta, de esta forma el costo de producir capacitores enestas plantas será de 270 120 dólares.

1



Problema 17

Un producto se puede fabricar en cuatro maquinas distintas. Cada maquina tieneun costo fijo de preparación, costos variables de producción por unidad procesaday una capacidad de producción que se proporciona en la tabla 15. Se tiene quefabricar un total de 2000 unidades del producto. Plantee un PE cuya soluciónindique como minimizar los costos totales.

1 1000 20 9002 920 24 10003 800 16 12004 700 28 1600

Solución:

X i = Cantidad de producto fabricado en la maquina i.(i = 1,2,3,4.)

1, si el producto se fabrica en la maquina i. (i =1, 2, 3, 4.)0, si no es así.


Función objetivo es:

MIN Z = 20 X1 + 24 X2 + 16 X3 + 28 X4 + 1000 Y1 + 920 Y2 + 800 Y3+ 700 Y4

Sujeto a:

X1 + X2 + X3 + X4 = 2000 (Total de producción requerida)X1 - 2000 Y1 <= 0 (Si produce en maquina 1, se considera CF 1)X2 - 2000 Y2 <= 0 (Si produce en maquina 2, se considera CF 2)X3 - 2000 Y3 <= 0 (Si produce en maquina 3, se considera CF 3)X4 - 2000 Y4 <= 0 (Si produce en maquina 4, se considera CF 4)

1

TABLA

MAQUINA COSTO FIJO($)

COSTO VARIABLE POR UNIDAD ($)

CAPACIDAD

Yi =



X1 <= 900 (Capacidad de la maquina 1)X2 <= 1000 (Capacidad de la maquina 2)X3 <= 1200 (Capacidad de la maquina 3)X4 <= 1600 (Capacidad de la maquina 4)

X i, Yi =0 ó 1 ( i =1, 2, 3, 4. )

En Lindo

MIN 20 X1 + 24 X2 + 16 X3 + 28 X4 + 1000 Y1 + 920 Y2 + 800 Y3

+ 700 Y4

SUBJECT TO

X1 + X2 + X3 + X4 = 2000

X1 - 2000 Y1 <= 0

X2 - 2000 Y2 <= 0

X3 - 2000 Y3 <= 0

X4 - 2000 Y4 <= 0

X1 <= 900

X2 <= 1000

X3 <= 1200

X4 <= 1600END

GIN X1

GIN X2

GIN X3

GIN X4

INTE Y1

INTE Y2

INTE Y3

INTE Y4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 37000.00

VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 800.000000 20.000000X2 0.000000 24.000000X3 1200.000000 16.000000X4 0.000000 28.000000

Y1 1.000000 1000.000000Y2 0.000000 920.000000

1



Y3 1.000000 800.000000Y4 0.000000 700.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 0.000000

3) 1200.000000 0.0000004) 0.000000 0.0000005) 800.000000 0.0000006) 0.000000 0.0000007) 100.000000 0.0000008) 1000.000000 0.0000009) 0.000000 0.000000

10) 1600.000000 0.000000

NO. ITERATIONS = 26

En conclusión:El productor para minimizar sus costos totales deberá producir 800

productos en la maquina 1 y 1200 productos en la maquina 3, de esta manera incurriráen menos costos fijos y variables. Con esto la empresa incurrirá en un costo totalde 37 000 dólares.

PROBLEMA 18

Monsanto produce anualmente 359 millones de libras de anhídrido maleico. DisponeDe un total de cuatro reactores para elaborar este producto. Cada reactor tiene la aptitudde funcionar en uno de tres regimenes. El costo (en miles de dólares) y libras

producidas 8en millones) anuales para cada reactor y cada régimen se proporcionan enla séte tabla. Un reactor solo puede funcionar a un régimen el año completo. Prepare unP.E cuya solución indique a Monsanto el método de costo mínimo para cumplir con sudemanda anual de anhídrido maleico.

MODEL:

SETS:

REACTOR/RX1 RX2 RX3 RX4/:P;REGIMEN/RM1 RM2 RM3/;FUNC(REACTOR,REGIMEN):X,COSTO,LIBRAS;

¡DEFINICION DE ATRIBUTOS:;¡P:RESTRICCION DE QUE UN REACTOR SOLO PUEDE TRABAJAR A UN REGIMEN ENUN AÑO;¡COSTO:EN MILES DE DOLARES;¡LIBRAS:CANTIDAD DE LIBRAS PRODUCIDAS EN EL REACTOR; ENDSETS

DATA:

COSTO = 50 80 100

1



65 90 12070 90 11040 60 70;

LIBRAS = 80 140 170100 140 215

112 153 19565 105 130;

ENDDATA

@FOR(REACTOR(J):@SUM(REGIMEN(I):X(I,J))<=P(I));@FOR(REGIMEN(I):@BIN(P(I));@FOR(FUNC(I,J):@SUM(FUNC:COSTO*X(I,J))=359);MAX=@SUM(FUNC:LIBRAS(I,J)*X(I,J));

END

El reactor 2 y el reactor 4 serán los que trabajen con el régimen 3 durante todo el año

Problema 20Gasahol, Inc. Tiene 14 000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol almacenada ensuinstalación de Fresno y 16 000 galones almacenados en su instalación de Bakersfield.Desde estas instalaciones, Gasahol debe proveer a Fresh Food Farms (FFF) 10 000

galones y a American Growers (AG) 20 000 galones. El costo de embarcar un galóndesde cada instalación de almacenado a cada cliente es:

Formule un modelo de programación lineal para determinar el plan de embarque decosto mínimo que satisfaga las restricciones de provisión y demanda.

Planteo Gráfico:

2



Variables de Decisión:

FRFFF: Cantidad de galones para proveer de Fresno a Fresh Food Farms.FRAG: Cantidad de galones para proveer de Fresno a American Growers.BKFFF: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a Fresh Food Farms.

BKAG: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a American Growers.

Restricciones de no negatividad:

FRFFF, FRAG, BKFFF y BKAG >= 0

Restricciones de Disponibilidad:

FRFFF + BKFFF >= 10000FRAG + BKAG >= 20000FRFFF + FRAG <= 14000BKFFF + BKAG <= 16000

Función Objetivo:

Min = ( FRFFF * 0.04 ) + ( FRAG * 0.06 ) + ( BKFFF *0.05 ) + ( BKAG * 0.03)

Mediante Lindo:

MIN 0.04 FRFFF + 0.06 FRAG + 0.05 BKFFF + 0.03BKAG

SUBJECT TOFRFFF + BKFFF >= 10000FRAG + BKAG >= 20000FRFFF + FRAG <= 14000BKFFF + BKAG <= 16000END

Respuesta en Lindo luego de compilar y ejecutar:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1OBJECTIVE FUNCTION VALUE

2



1) 1120.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST

FRFFF 10000.000000 0.000000

FRAG 4000.000000 0.000000BKFFF 0.000000 0.040000BKAG 16000.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.0400003) 0.000000 -0.0600004) 0.000000 0.0000005) 0.000000 0.030000

NO. ITERATIONS= 1

PROBLEMA 21Gotham City fue divida en 8 distritos. El tiempo en minutos que tarda una

ambulancia en llegar de un distrito a otro se muestra en la tabla. Lapoblación de cada distrito en miles es como se indica:

Distrito 1 2 3 4 5 6 7 8Población 40 30 35 20 15 50 45 60

La ciudad solo tiene 2 ambulancias y desea ubicarlas en tales lugares que semaximice el numero de personas que viven a dos minutos de una ambulancia.

DISTRITO DISTRITO1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 3 4 6 8 9 8 102 3 0 5 4 8 6 12 93 4 5 0 2 2 3 5 74 6 4 2 0 3 2 5 45 8 8 2 3 0 2 2 46 9 6 3 2 2 0 3 27 8 12 5 5 2 3 0 2

2



8 10 9 7 4 4 2 2 0

SOLUCION:

Definimos las Variables de Decisión:

Xi = 1 si el distrito i cuenta con ambulancia0 en caso contrario

Yi = 1 si el distrito i es atendido0 en caso contrario

Donde i = 1,2,3,4,5,6,7,8

Si se quiere atender a las personas que viven a dos minutos o menos de una de lasambulancias entonces en la siguiente tabla el valor 1 significa si la ambulancia deldistrito i atiende en 2 o menos minutos al distrito j , y 0 en caso contrario. Laambulancia de un distrito atiende a su propio distrito en 0 min.

DISTRI

TO

DISTRITO

1 2 3 4 5 6 7 81 1 0 0 0 0 0 0 02 0 1 0 0 0 0 0 03 0 0 1 1 1 0 0 04 0 0 1 1 0 1 0 05 0 0 1 0 1 1 1 06 0 0 0 1 1 1 0 17 0 0 0 0 1 0 1 18 0 0 0 0 0 1 1 1

o La tabla anterior va a estar representada por el parámetro tviajeij

Definimos la siguiente FUNCION OBJETIVO:

MAX Z= 40 Y( 1) + 30 Y( 2) + 35 Y( 3) + 20 Y( 4) + 15 Y( 5) + 50 Y( 6)+ 45 Y( 7) + 60 Y( 8)

RESTRICCIONES:

o RESTRICCION 1: La ciudad solo tiene dos ambulancias.

X( 1) + X( 2) + X( 3) + X( 4) + X( 5) + X( 6) + X( 7) + X( 8) = 2

o RESTRICCION 2: En cada una de las siguientes ecuaciones se muestra cualesson los distritos Xi que pueden atender a un distrito Y j . Por ejemplo en la

2



tercera ecuación si por lo menos uno de los distritos 3, 4 ,5 posee unaambulancia entonces Y(3) podria ser 0 o 1 (1 >=Y(3)) y como Y(3) esta en lafunción objetivo y esta es de maximización el valor de Y(3) seria 1, es decir quela ciudad si es atendida.

X( 1) - Y( 1) >= 0X( 2) - Y( 2) >= 0X( 3) - Y( 3) + X( 4) + X( 5) >= 0X( 3) + X( 4) - Y( 4) + X( 6) >= 0X( 3) + X( 5) - Y( 5) + X( 6) + X( 7) >= 0X( 4) + X( 5) + X( 6) - Y( 6) + X( 8) >= 0X( 5) + X( 7) - Y( 7) + X( 8) >= 0X( 6) + X( 7) + X( 8) - Y( 8) >= 0

FORMULACION EN LINGO:

!x= 1-->si el distrito cuenta con la ambulancia0-->si el distrito no cuenta con la ambulancia ;

!y= 1-->si el distrito es atendido0-->si el distrito no es atendido;

!pob= cantidad de pobladores de un distrito;!tviaje=posibilidad de viaje segun el tiempo que requiera de undistrito a otro;

sets:distrito/1..8/:pob,x,y;

distime(distrito,distrito):tviaje;endsets

data:tviaje=1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0 00 0 1 1 0 1 0 00 0 1 0 1 1 1 00 0 0 1 1 1 0 10 0 0 0 1 0 1 10 0 0 0 0 1 1 1;

pob=40,30,35,20,15,50,45,60;enddata

max=@sum(distrito(i):pob(i)*y(i));

2



!RESTRICCION 1;@sum(distrito:x)=2;!RESTRICCION 2;@for(distrito(j):@sum(distrito(i):tviaje(i,j)*x(i))>=@sum(distrito(j):y(j)));! X e Y SON VARIABLES BINARIAS;

@for(distrito:@bin(x););@for(distrito:@bin(y););end

SOLUCION EN LINGO:

El máximo número de personas atendidas es 225. Para que esto ocurra los distritos conambulancia deben ser el 3 y 8. Se va a dejar de atender a los distritos 1 y 2.

ROBLEMA 22

Una compañía debe terminar tres trabajos. El tiempo de proceso ( en minutos) requerido

se muestra en la tabla. Un trabajo no se pueda procesar en la maquina j a menos que

para toda i<j el trabajo ha completado su proceso en la maquina i. Una vez que un

trabajo empieza su proceso en la maquina j, dicho trabajo debe continuar en la maquina

j . El tiempo de flujo para un trabajo es la diferencia entre su tiempo de terminación y el

tiempo en el cual el trabajo empieza su primera etapa de proceso. Planteé un PE cuya

solución se pueda usar para minimizar el tiempo de flujo promedio de los tres trabajos.

2

MaquinaTrabajo 1 2 3 4

1 20 - 25 302 15 20 - 183 - 35 28 -

SETS:

TRABAJO/1..3/:;MAQUINA/1..4/:;MATRIZ(TRABAJO,MAQUINA):T,X,Y;ENDSETS

DATA:T=20 0 25 30

15 20 0 180 35 28 0;

!M, mayor valor posible para quer no afecte a las restricciones M=1000;ENDDATA

MIN=@SUM(MATRIZ(I,J):X(I,J));!tiempo para trabajar c/u de los 3 trabajos >= tiempo establecido para optimizar la

produccion por ejemplo:X(1,1)<=MY(1,1)20-X(1,1)<=M*(1-Y(1,1);@FOR(TRABAJO(I):@FOR(MAQUINA(J):X(I,J)<=M*Y(I,J)));@FOR(TRABAJO(I):@FOR(MAQUINA(J):T(I,J)-X(I,J)<=M*(1-Y(I,J))));

!cada maquina debe realizar solo un trabajo completo@FOR(MAQUINA(J):@SUMA(TRABAJO(I):Y(I,J)=1);

!el producto1 solo requiere 3 procesos;Y(1,1)+Y(2,1)+Y(1,3)+Y(1,4)=3;



!Y es la variable binaria;@FOR(MATRIZ(I,J):@BIN(Y(I,J)));



SOLUCION EN LINGO:

Problema 26:

El gobernador Blue del estado de Berry pretende conseguir la legislatura del estado para dividir injusta y arbitrariamente los distritos electorales de de Berry. El estadoconsiste en 10 ciudades y el número de republicanos y demócratas (en miles) en cadaciudad es el que se presenta en la tabla. Berry tiene cinco representantes electorales.Para formar los distritos electorales; las ciudades se tienen que agrupar según lasrestricciones siguientes.1.- Todos los electores en un a ciudad deben estar en el mismo distrito.2.- cada distrito debe tener entre 150000 y 250000 electores (no hay electoresindependientes).El gobernador Blue es demócrata. Suponga que cada votante siempre vota por todos loscandidatos de un partido. Formule un PE que para ayudar al gobernador Blue amaximizar el número de demócratas que ganaran curules en el congreso.TablaCiudad Republicanos Demócratas1 80 342 60 443 40 444 20 245 40 1146 40 64

7 70 148 50 119 70 5410 70 64

Solución:Xi = 1: si ganan los demócratas en el distrito i

0: caso contrarioYij =cantidad de votantes del tipo j (1=Demócratas, 2= Republicanos)Wij = 1 si los pobladores de la ciudad j pertenecen al distrito i

2



0 caso contrarioMax Z = X1 + X2+ X3+ X4 + X5

Y11 + Y12 ≥ 150000Y21 + Y22 ≥ 150000Y31 + Y32 ≥ 150000

Y41 + Y42 ≥ 150000Y51 + Y52 ≥ 150000Y11 + Y12 ≥ 250000Y21 + Y22 ≥ 250000Y31 + Y32 ≥ 250000Y41 + Y42 ≥ 250000Y51 + Y52 ≥ 250000Y12 = 80 W11 + 60 W12 + 40 W13 + 20 W14 + 40 W15+40 W16+70 W17 +50 W18 +70W19+70 W1 10 Y22 = 80 W21 + 60 W22 + 40 W23 + 20 W24 + 40 W25+40 W26+70 W27 +50 W28 +70W29+70 W2 10

Y32 = 80 W31 + 60 W32 + 40 W33 + 20 W34 + 40 W35+40 W36+70 W37 +50 W38 +70W39+70 W3 10 Y42 = 80 W41 + 60 W42 + 40 W43 + 20 W44 + 40 W45+40 W46+70 W47 +50 W48 +70W49+70 W4 10 Y52 = 80 W51 + 60 W52 + 40 W53 + 20 W54 + 40 W55+40 W56+70 W57 +50 W58 +70W59+70 W5 10 Y11 = 34 W11 + 44 W12 + 44 W13 + 24 W14 + 114 W15+64 W16+14 W17 +44 W18 +54W19+64 W1 10 Y21 = 34 W21 + 44 W22 + 44 W23 + 24 W24 + 114 W25+64 W26+14 W27 +44 W28 +54W29+64 W2 10 Y31 = 34 W31 + 44 W32 + 44 W33 + 24 W34 + 114 W35+64 W36+14 W37 +44 W38 +54W39+64 W3 10 Y41= 34 W41 + 44 W42 + 44 W43 + 24 W44 + 114 W45+64 W46+14 W47 +44 W48 +54W49+64 W4 10 Y51 = 34 W51 + 44 W52 + 44 W53 + 24 W54 + 114 W55+64 W56+14 W57 +44 W58 +54W59+64 W5 10 W11 + W21+ W31 + W41 + W51 = 1W12+ W22+ W32 + W42 + W52 = 1W13+ W23+ W33+ W43 + W53= 1W14+ W24+ W34 + W44 + W54 = 1W15+ W25+ W35+ W45+ W55 = 1

W16+ W26+ W36 + W46 + W56 = 1W17+ W27+ W37 + W47 + W57 = 1W18+ W28+ W38 + W48 + W58 = 1W19+ W29+ W39 + W49 + W59 = 1W1 10 + W2 10 + W3 10 + W4 10 + W5 10 = 1Y11 - Y12 = a11 – a12

Y21 - Y22 = a21 – a22

Y31 - Y32 = a31 – a32

Y41 - Y42 = a41 – a42

Y51 - Y52 = a51 – a52

a11 ≥ X1

a21 ≥ X2

a31 ≥ X3

2



a41 ≥ X4

a51 ≥ X5

PROBLEMA 26

Houseco Developers planean construir tres edificios de oficinas. El tiempo requerido para terminar cada uno de ellos y la cantidad de trabajadores necesarios para ejecutar laobra en todos los tiempos se proporcionan en la tabla 106. Una vez que se termina unedificio se renta por la siguiente cantidad anual: edificio 1, 50 000 dólares; edificio 2,30 000 dólares; edificio 3, 40 000 dólares. Houseco afronta las restricciones siguientes:

a Durante cada año se dispone de 60 trabajadores.b Se puede iniciar cuando mucho un edificio durante cualquier año.c El edificio 2 se debe terminar al final del año 4.

Formule un PE que maximice la renta total que gana Houseco al final del año 4.

Tabla 106

Edificio Duración del proyecto (años) Numero de trabajadores

necesarios1 2 302 2 203 3 20

SOLUCION

VARIABLES: i=1, 2, 3; j=1, 2, 3X(i,j)= 1 si el edificio i se empieza a construir en el año j

0 en caso contrario

AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4|________|________|________|________|

X11 X12X23

X31 X32FUNCION OBJETIVO (EN MILES DE DOLARES):

2



MAX Z = 50(4-2) X11 + 50(4-3) X12 + 40(4-3) X31

RESTRICCIONES:

X11 + X31<=1 (restricción del año 1)X23 =1 (restricción del año 2)X13 + X33<=1 (restricción del año 3)

X11 + X13<=1 (restricción del edificio 1)X31 + X33<=1 (restricción del edificio 3)

30 X13 + 20 X31<=60 (restricción mano de obra en el año 1)(30X11 + 20 X31)+20 X23<=60 (restricción mano de obra en el año 2)(30X11 + 20 X31 + 20 X23)+30 X13 + 20 X33<=60 (restricción mano de obra en elaño 3)

FORMULACIÓN EN LINGO:

SETS:EDIFICIO /1..3/:NUMTRAB,INGRESO;YEAR/1..3/;EDIFYEAR(EDIFICIO,YEAR):X;ENDSETSDATA:NUMTRAB= 30 20 20;INGRESO= 50 30 40;ENDDATA

MAX= 100*X(1,1)+50*X(1,2)+40*X(3,1);@FOR(YEAR(J):@SUM(EDIFICIO(I):X(I,J))<=1);@FOR(EDIFICIO(I):@SUM(YEAR(J):X(I,J))<=1);X(2,3)=1;@SUM(EDIFICIO(I):NUMTRAB*X(I,1))<=60;@SUM(EDIFICIO(I):NUMTRAB*X(I,1)+NUMTRAB*X(I,2))<=60;@SUM(EDIFICIO(I):NUMTRAB*X(I,1)+NUMTRAB*X(I,2)+NUMTRAB*X(I,3))<=60;@FOR(EDIFYEAR:@BIN(X));

SOLUCION EN LINGO:

El máximo ingreso por la renta total de Houseco es 100 mil dólares. El edificio 1 se

construye en el año 1, el edificio 2 en el año 3 para que este listo a finales del año 4 y eledificio 3 se empezara a construir recién en el año 4 debido a la restricción de la manode obra.

Global optimal solution found at iteration: 0Objective value: 100.0000

Variable Value Reduced CostNUMTRAB( 1) 30.00000 0.000000NUMTRAB( 2) 20.00000 0.000000NUMTRAB( 3) 20.00000 0.000000INGRESO( 1) 50.00000 0.000000INGRESO( 2) 30.00000 0.000000INGRESO( 3) 40.00000 0.000000

2



X( 1, 1) 1.000000 -100.0000X( 1, 2) 0.000000 -50.00000X( 1, 3) 0.000000 0.000000X( 2, 1) 0.000000 0.000000X( 2, 2) 0.000000 0.000000X( 2, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 1) 0.000000 -40.00000X( 3, 2) 0.000000 0.000000X( 3, 3) 0.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price1 100.0000 1.0000002 0.000000 0.0000003 1.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 1.000000 0.0000008 0.000000 0.000000

9 30.00000 0.00000010 30.00000 0.00000011 10.00000 0.000000

Problema 27:

Hay cuatro camiones disponibles para entregar leche a cinco tiendas. La capacidad y loscostos de operación diarios de cada camión se muestran en la tabla 107, la demanda decada tienda puede ser surtida por sólo un camión, pero un camión podría entregar a más

de una tienda. La demanda diaria de cada tienda es como se indica: tienda 1, 100galones; tienda 2, 200 galones; tienda3, 300 galones; tienda 4, 500 galones; tienda 5,800 galones. Formule un PE con el que se pueda minimizar el costo diario de cumplir con la demanda.

camión capacidad(galones)

costos de operación diarios(dólares)

1 400 45

2 500 50

3 600 55

4 1100 60

Solución

1, si se usa el camión i. (i =1, 2, 3, 4)0, si no es así.

3

y

i =



1, si se usa el camión i para repartir a la tienda j (j=1, 2, 3, 4, 5)

x ij= 0, si no es así.

El PE sería:

min z= 45y1+50y2+55y3+60y4

s.a100x11+200x12+300x13+500x14+800x15<=400y1 (restricción de la capacidad)

100x21+200x22+300x23+500x24+800x25<=500y2

100x31+200x32+300x33+500x34+800x35<=600y3

100x41+200x42+300x43+500x44+800x45<=1100y4

x11 + x21 + x31 + x41=1 (la demanda de cada tienda no puede ser surtida por más de un camión)

x12 + x22 + x32 + x42=1

x13 + x23 + x33 + x43=1

x14 + x24 + x34 + x44=1

x15 + x25 + x35 + x45=1

todas las variables son 0 o 1

EN LINGO EL PROGRAMA SERÍA:

SETS:CAMION/1..4/:CAP,COST,Y;TIENDA/1..5/:DEM;

REPARTO(CAMION, TIENDA):X; ENDSETS

DATA:CAP=400 500 600 1100;COST = 45 50 55 60;DEM= 100 200 300 500 800;

ENDDATA

3



MIN=@SUM(CAMION(I):COST(I)*Y(I));

@FOR(CAMION(I): @SUM(TIENDA(J):X(I,J)*DEM(J))<=CAP(I)*Y(I););

@FOR(TIENDA(I):

@SUM(REPARTO(J,I):X(J,I))=1;);@FOR(CAMION(I):

@BIN(Y););@FOR(REPARTO(I,J):

@BIN(X(I,J)););

El mínimo costo en que se incurriría para cumplir con la demanda y ajustándose a lasrestricciones es de 155 dólares.

Problema 28

El estado de Texas efectúa con frecuencia auditorias a compañías que tienen negociosen Texas. Las oficinas centrales de estas compañías están ubicadas a menudo fuera delestado de modo que los auditores tienen que viajar a lugares fuera del estado. Losauditores tienen que hacer al año 500 viajes a ciudades en el noroeste, 400 viajes a

ciudades en el oeste medio, 300 viajes a ciudades en el oeste y 400 viajes a ciudades enel sur. Texas está proyectando ubicar a sus auditores en Chicago, Nueva York, Atlanta yLos Ángeles. El costo anual por ubicar auditores en cualquier ciudad es 100 000. Elcosto por enviar un auditor desde cualquiera de estas ciudades a una región dada del

país, se muestra en la tabla 108.

Costo del auditor (dólares)

NoresteOestemedio

Oeste Sur

Nueva York 1 100 1 400 1 900 1 400

Chicago 1 200 1 000 1 500 1 200Los Ángeles 1 900 1 700 1 100 1 400

Atlanta 1 300 1 400 1 500 1 050

Plantee un PE cuya solución minimice el costo anual que se genera por enviar alos auditores fuera del estado.

Solución:

3



3



PROBLEMA Nº 28 :

3



El estado de Texas efectúa con frecuencia auditorias a compañías que tienen negociosen Texas. Las oficinas centrales de estas compañías están ubicadas a menudo fuera delestado, de modo que los auditores tienen que viajar a lugares fuera del estado. Los

auditores tienen que hacer al año 500 viajes a ciudades en el noreste, 400 viajes aciudades en el oeste medio, 300 viajes a ciudades en el oeste y 400 viajes a ciudades enel sur. Texas esta proyectando ubicar a sus auditores en Chicago, Nueva York, Atlanta yLos Ángeles.

El costo anual por ubicar auditores en cualquier ciudad es 100 000. El costo por enviar un auditor desde cualquiera de estas ciudades a una región dada del país, se muestra enla siguiente tabla.

CIUDAD

COSTO DE AUDITOR (miles dólares)

NORESTE OESTEMEDIO

OESTE SUR

Nueva York 1 100 1 400 1 900 1 400Atlanta 1 200 1 000 1 500 1 200Chicago 1 900 1 700 1 100 1 400Los Ángeles 1 300 1 400 1 500 1 050

Solución:

Xij = Cantidad de viajes de los auditores de la ciudad i ( i = 1: NY,2:A, 3:C, 4:LA) hacia

una región j ( j = 1: NO, 2:OM , 3: O, 4: S)

1, si el auditor es asignado a la ciudad i ( i = 1: NY, 2:A, 3:C, 4:LA)

0, si no es así.


Función objetivo es:

Min z = COSTO X ASIGNAR AUDITORES + COSTO X VIAJE DE AUDITORES

Costo x viajes de auditores :

1 100 * X11+ 1 400 * X12 +1 900 * X13 + 1 400 * X14 + 1 200 * X12 + 1000 *X22 + 1 500* X23 + 1 200 * X24 + 1 900 * X31+ 1 700 * X32 + 1 100 * X33 + 1 400 * X34 + 1 300 * X41

+ 1 400 * X42 + 1 500 * X43 + 1 050 * X44

Costo x asignar auditores :

3

Yi =



100 000Y1 + 100 000 Y2 + 100 000Y3 +100 000 Y4

Restricciones :

Restricción de cantidad de viajes:

Noreste:X11+ X21 + X31 + X41 >= 500

Oeste Medio:X12+ X22 + X32 + X42 >= 400

Oeste:X13+ X23+ X33 + X43 >= 300

Sur:

X13+ X23+ X33 + X44 >= 400

Restricción de asignación de auditores:

M= un numero muy grande

El auditor 1 puede ir a una región que pueden ser (j=1, 2, 3, 4)

X11+ X12 + X13 + X14 <= M * Y1


X21 + X22 + X23 + X24 <= M * Y2


X31+ X32 + X33 + X34 <= M * Y3


X41+ X42 + X43 + X44 <= M * Y4

3

Yi = 0 ó 1 (i = 1:A, 2:B, 3:C, 4:D) , (j = 1, 2, 3, 4)

Xi,j >= 0 (i = 1:A, 2:B, 3:C, 4:D) , (j = 1, 2, 3, 4)



El programa del Lingo es:

!COSTOS EN DOLARES;!M=VALOR MUY GRANDE;

!Y =1 O 0 (1 = SI SE ASIGNA AUDITOR EN LA CIUDAD Y 0 = SI NO LO ES ASI);!CANT_V= CANTIDAD DE VIAJES HACIA LAS REGIONES;!COST_V= COSTO POR VIAJE A LA CIUDAD I HACIA LA REGION J;!COST_A= COSTO POR ASIGNAR UN AUDITOR A UNA LA CIUDAD;

SETS:CIUDAD /1..4/: Y;REGION /1..4/: CANT_V;

VIAJES (CIUDAD,REGION) : COST_V,X;ENDSETS

DATA:COST_V = 1100 1400 1900 1400

1200 1000 1500 12001900 1700 1100 14001300 1400 1500 1050 ;

CANT_V = 500 400 300 400 ;M=10000000000;COST_A=100000;

ENDDATAMIN=@SUM(VIAJES :COST_V*X)+ @SUM(CIUDAD:Y)*COST_A;

! RESTRICION DE VIAJES;

@FOR (REGION(J):@SUM(CIUDAD(I):X(I,J))>=CANT_V(J));

! RESTRICCION DE ASIGNACION DE AUDITORES;

@FOR (CIUDAD(I):@SUM(REGION(J):X(I,J))<=M*Y(I));

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS; @FOR (CIUDAD(I):@BIN(Y));

MODEL:[_1] MIN= 1100 * X_1_1 + 1400 * X_1_2 + 1900 * X_1_3 + 1400 * X_1_4

+

3



1200 * X_2_1 + 1000 * X_2_2 + 1500 * X_2_3 + 1200 * X_2_4 + 1900 *X_3_1

+ 1700 * X_3_2 + 1100 * X_3_3 + 1400 * X_3_4 + 1300 * X_4_1 + 1400*

X_4_2 + 1500 * X_4_3 + 1050 * X_4_4 + 100000 * Y_1 + 100000 * Y_2 +100000 * Y_3 + 100000 * Y_4 ;

[_2] X_1_1 + X_2_1 + X_3_1 + X_4_1 <= 500 ;[_3] X_1_2 + X_2_2 + X_3_2 + X_4_2 <= 400 ;[_4] X_1_3 + X_2_3 + X_3_3 + X_4_3 <= 300 ;[_5] X_1_4 + X_2_4 + X_3_4 + X_4_4 <= 400 ;[_6] X_1_1 + X_1_2 + X_1_3 + X_1_4 - 10000000000 * Y_1 <= 0 ;[_7] X_2_1 + X_2_2 + X_2_3 + X_2_4 - 10000000000 * Y_2 <= 0 ;[_8] X_3_1 + X_3_2 + X_3_3 + X_3_4 - 10000000000 * Y_3 <= 0 ;[_9] X_4_1 + X_4_2 + X_4_3 + X_4_4 - 10000000000 * Y_4 <= 0 ;

@BIN( Y_1); @BIN( Y_2); @BIN( Y_3); @BIN( Y_4); END

CONCLUSIONES:

El menor costo que se puede asignar para tener el costo en auditorias a compañías quetienen negocios en el estado de Texas será por los cálculos obtenidos de 2010000dólares al año.

No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de Noreste. No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de OM. No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de Oeste. No se ha realizado viajes de la ciudad Nueva York a la región de Sur.

Se ha realizado 500 viajes de la ciudad Chicago a la región de Noreste.Se ha realizado 400 viajes de la ciudad Chicago a la región de OM.

No se ha realizado viajes de la ciudad Chicago a la región de Oeste.Se ha realizado 400 viajes de la ciudad Chicago a la región de Sur.

No se ha realizado viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de Noreste. No se ha realizado viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de OM.Se ha realizado 300 viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de Oeste.

No se ha realizado viajes de la ciudad Los Ángeles a la región de Sur.

No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de Noreste. No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de OM. No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de Oeste. No se ha realizado viajes de la ciudad Atlanta a la región de Sur.

Como se observa en la ciudad de Chicago y Los Ángeles se han realizado viajes por loque en estos lugares se asignaran auditores, en tanto como la ciudad de Nueva York yde Atlanta no se han realizado viajes no se asignaran auditores.

Problema 29:

3

Alumno: milla luyo



Usted fue asignado para acomodar las canciones del ultimo álbum de Madona en laversión audio cinta. Una cinta tiene dos lados ( 1 y 2 ). Las canciones de cada lado de lacinta deben hacer en total entre 14 y 16 minutos de duración. La duración y tipo decada canción se proporcionan en la tabla 28.

Las asignaciones de canciones en la cinta debe cumplir con las condiciones siguientes:

1. Cada lado debe llevar dos baladas, exactamente.

2. El lado 1 debe tener por lo menos tres canciones hit

3. La canción 5 o la canción 6 tiene que estar en el lado 1.

4. Si las canciones 2 y 4 están en el lado 1, entonces la canción 5 debe estar en ellado 2.

1 Balada 42 Hit 53 Balada 34 Hit 25 Balada 46 Hit 37 58 Balada y Hit 4

Solución:

Considerando a M un valor grande.

3

CanciónTipo

Duración( min. )



1; Si en el lado i esta la canción numero j.Xij =

0; Si no es así

Función objetivo:

max Z = X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 + X21 + X22 + X23 +X24 + X25 + X26 + X27 + X28

Sujeto a:

2) 4 X11 + 5 X12 + 3 X13 + 2 X14 + 4 X15 + 3 X16 + 5 X17 + 4 X18 <= 163) 4 X11 + 5 X12 + 3 X13 + 2 X14 + 4 X15 + 3 X16 + 5 X17 + 4 X18 >= 144) 4 X21 + 5 X22 + 3 X23 + 2 X24 + 4 X25 + 3 X26 + 5 X27 + 4 X28 <= 165) 4 X11 + 5 X12 + 3 X13 + 2 X14 + 4 X15 + 3 X16 + 5 X17 + 4 X18 >= 146) X11 + X13 + X15 + X18 = 27) X21 + X23 + X25 + X28 = 2

8) X12 + X14 + X16 + X18 >= 39) X15 + X16 >= 1

10) X12 + X14 >= M (1 - X25)

ENDINTE X11INTE X12INTE X13INTE X14INTE X15INTE X16INTE X17INTE X18INTE X21INTE X22INTE X23INTE X24INTE X25INTE X26INTE X27INTE X28

Problema 29:

4



Una compañia de consultoria tiene 10 empleados ,cada uno de los cuales puede trabajar cuando mucho en 2 proyectos de grupos.Hay 6 proyectos en planes .Cada proyectorequiere 4 de nuestros 10 trabajadores. Los trabajadores necesarios y las gananciasgeneradas en cada proyecto se muestra en la tabla 109.A cada trabajador que interviene en cualquier proyecto se debe pagar el anticipo de la

tabla 110 .Por ultimo ,cada trabajador que interviene en un proyecto se le paga la tarifa del proyecto que se muestra en la tabla 111.¿Como se puede maximizar su ganancia?

Tabla 109Proyecto Trabajadore

s necesariosRendimiento($)

1 1,4,5,8 100002 2,3,7,10 150003 1,6,8,9 60004 2,3,5,10 80005 1,6,7,9 120006 2,4,8,10 9000

Tabla 110Trabajadores

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Anticip

o800 500 600 700 800 600 400 500 400 500

Tabla 111Proyecto

1 2 3 4 5 6Tarifa($) 250 300 250 300 175 180

Resolución:

1, si el trabajador i integra el grupo de trabajo del proyecto jXij =

0, si no es así.

1, si se realiza el proyecto iYi =

0, si no es asi.

Funcion objetivo es:

Max z= 10000*Y1 + 15000*Y2 + 6000*Y3 + 8000*Y4 + 12000*Y5 + 9000*Y6 – 800*(X11+X13+X15) – 500*(X12+X24+X26) – 600*(X32+X34) – 700*(X41+X46) –

4



800*(X51+X54) – 600*(X63+X65) – 400(X72+X75) – 500(X81+X83+X86) – 400*(X93+X95) – 500*(X102+X104+X10 6) – 250*( X11 + X41 + X51 + X81 ) – 300*( X22 + X32 + X72 + X10.2) – 250*( X13 + X62 + X83 + X93) – 300*( X24 + X34 + X54 + X10 4) – 175*( X15 + X65 + X75 +X95) – 180*( X26 + X46 + X86+ X10 6)

Sujeto a:

Restricción de participación de cada trabajador en cada proyecto

X11+X12+X13+ X14+X15+X16 ≤ 2X21+X22+X23+ X24+X25+X26 ≤ 2X31+X32+X33+ X34+X35+X36 ≤ 2X41+X42+X43+ X44+X45+X46 ≤ 2X51+X52+X53+ X54+X55+X56 ≤ 2X61+X62+X63+ X64+X65+X66 ≤ 2X71+X72+X73+ X74+X75+X76 ≤ 2

X81+X82+X83+ X84+X85+X86 ≤ 2X91+X92+X93+ X94+X95+X96 ≤ 2X10 1+X10 2+X10 3+ X10 4+X10 5+X10 6 ≤ 2

Restricción de participación necesaria por proyecto

X11 + X41 + X51 + X81 >= 4*Y1

X22 + X32 + X72 + X10 2 >= 4*Y2

X13 + X62 + X83 + X93 >= 4*Y3

X24 + X34 + X54 + X10.4 >= 4*Y4

X15 + X65 + X75 + X95 >= 4*Y5

X26 + X46 + X86+ X10 6 > = 4*Y6

El Programa de Lingo es:

4

SETS:TRABAJADOR/1..10/:ANTICIPO;PROYECTO/1..6/:TARIFA,RENDIMIENTO,Y;MATRIZ(TRABAJADOR,PROYECTO):X;

ENDSETS

DATA:ANTICIPO = 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500;TARIFA = 250 300 250 300 175 180;RENDIMIENTO = 10000 15000 6000 8000 12000 9000;

MAXIMOP = 2;

ENDDATA

MAX=@SUM(PROYECTO:RENDIMIENTO*Y)- 800*(X(1,1)+X(1,3)+X(1,5) ) -500*(X(1,2)+X(2,4)+X(2,6)) - 600*(X(3,2)+X(3,4)) - 700*(X(4,1)+X(4,6)) -800*(X(5,1)+X(5,4)) - 600*(X(6,3)+X(6,5)) - 400*(X(7,2)+X(7,5)) -500*(X(8,1)+X(8,3)+X(8,6)) - 400*(X(9,3)+X(9,5)) -500*(X(10,2)+X(10,4)+X(10,6)) - 250*(X(1,1)+X(4,1)+X(5,1)+X(8,1)) -300*(X(2,2)+X(3,2)+X(7,2)+X(10,2)) - 250*(X(1,3)+X(6,3)+X(8,3)+X(9,3)) -300*( X(2,4)+X(3,4)+X(5,4)+X(10,4)) - 175*(X(1,5)+X(6,5)+X(7,5)+X(9,5)) -180*(X(2,6)+X(4,6)+X(8,6)+X(10,6));

!RESTRICCION DE CAPACIDAD DEL TRABAJADOR;

@FOR(TRABAJADOR(I):@SUM(PROYECTO(J):X(I,J))<=MAXIMOP);!RESTRICCION DE TRABAJADOR POR PROYECTO;X(1,1)+X(4,1)+X(5,1)+X(8,1) >=4*Y(1);

X(2,2)+X(3,2)+X(7,2)+X(10,2)>=4*Y(2); X(1,3)+X(6,3)+X(8,3)+X(9,3) >=4*Y(3);



Nota 1: No se pudo probar el Programa puede encontrar un Lingo de otra version puesla cantidad de variables binarias es superior al limite que presenta esta version.

Nota 2: Se intento tratar de reducir el número de variables pero no llegue a ningunasolución.

Nota 3: Gran parte de las restricciones se encuentran escritas en forma literal pues no

encontre la regla de adecuada para poder solo visualizar las variables que se necesitan para la resolución de este problema.

Problema 29.

Una compañía de consultaría tiene 10 empleados , cada uno de los cuales puede trabajar cuando mucho en dos proyectos de grupo. Hay seis proyectosen planes . Cada proyecto requiere cuatro de nuestros 10 trabajadores . lostrabajadores necesarios y las ganancias generadas en cada proyecto se

muestran en la tabla 1.A cada trabajador que interviene en cualquier proyecto se debe pagar elanticipo de de la tabla 2.Por ultimo cada trabajador que interviene en un proyecto se le paga la tarifadel proyecto que se muestra en la tabla 3.

¿Cómo se puede maximizar la ganancia ?

TABLA 1PROYECTO TRABAJADORES

NECESARIOS

RENDIMIENTO

(DOLARES )1 1,4,5,8 100002 2,3,7,10 150003 1,6,8,9 60004 2,3,5,10 80005 1,6,7,9 120006 2,4,8,10 9000

TABLA 2TRABAJADOR

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Anticipo(Dólares) 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500

TABLA 3PROYECTO

1 2 3 4 5 6TARIFA(DOLARES) 250 300 250 300 175 180

Solución

4



MODEL:SETS:

TRABAJADOR/1..10/:ANTICIPO, Y ;PROYECTO/1..6/:R, T, Z;MATRIZ(PROYECTO , TRABAJADOR):C, X ;

ENDSETS

DATA:ANTICIPO = 800 500 600 700 800 600 400 500 400 500;RENDIMIENTO = 10000 15000 6000 8000 12000 9000;TARIFA = 250 300 250 300 175 180;

C = 1 0 0 1 1 0 0 1 0 00 1 1 0 0 0 1 0 0 11 0 0 0 0 1 0 1 1 00 1 1 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0 0 1 0 1;

ENDDATA

MAX = @SUM(PROYECTO(I):R(I)*Z(I))+@SUM(TRABAJADOR(I):ANTICIPO(I)*Y(I))+@SUM(PROYECTO(I):T(I)*X(I,J)); ! RESTRICCIONES;

@FOR(TRABAJADOR(J):@SUM(PROYECTO(I):X(I,J)*C(I,J))<=2 );@FOR(TRABAJDOR(J):@SUM(PROYECTO(I): X(I,J))<=2);@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(I): X(I,J))>=M*Y(I));@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(J): X(I,J))>=M*Z(J));@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(J): X(I,J)*C(I,J))<=4);

@FOR(PROYECTO(I):@SUM(TRABAJADOR(J): X(I,J))<=4);

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR(MATRIZ(I,J):@BIN(X));@FOR(PROYECTO(I):@BIN(Z));@FOR(TRABAJADOR(I):@BIN(Y));

END

PROBLEMA 30:

4



La ciudad de Nueva Cork tiene 10 distritos de recolección de basura y pretende

determinar cuál de los distritos debería un tiradero. Cuesta 1000 dólares acarrear una

tonelada de basura un tramo de una milla. La ubicación de cada distrito, el costo fijo

anual (en millones de dólares) por operar un tiradero, y el costo variable (por tonelada)

por procesar una tonelada de basura en un tiradero, se muestra en la tabla 112.

Por ejemplo, el distrito 3 se localiza en las coordenadas (10,8). El distrito 3 produce 555

toneladas de basura al año, y cuesta un millón de dólares al año en costos fijos operar un

tiradero en el distrito 3. Cada tonelada de basura procesada en el sitio 3 incurre en un

costo variable de 51 dólares.

Cada tiradero puede procesar cuando mucho 1500 toneladas de basura. Cada distrito

debe enviar toda su basura a un solo sitio. Determine dónde localizar los tiraderos de tal

manera que se minimice el costo total por año.

TABLA 112:

Distrito Coordenadas Toneladas Costos(millones de $) x y Fijo Variable

1 4 3 49 2 310

2 2 5 874 1 40

3 10 8 555 1 514 2 8 352 1 341

5 5 3 381 3 131

6 4 5 428 2 182

7 10 5 985 1 20

8 5 1 105 2 40

9 5 8 258 4 177

10 1 7 210 2 75

SOLUCIÓN:

Xi =

Yi j =

Dij = Distancia del distrito i al distrito j; (Donde i y j = 1, 2, ......10)

FO:

4

1: Si el distrito i, será un tiradero. (i=1,2....10)0: Si el distrito i, no será un tiradero. (i=1,2....10)

1: Si el distrito i manda basura al distrito j(i=1,2....10)

0: Si el distrito i, no manda basura al distrito j.(i=1,2....10)



Min Z = (2 + 49*310)*X1 + (1+40*874)*X2 + (1+51*555)*X3 +(1+341*351)*X4 + (3+131*381)*X5 + (2+182*428)*X6 +(1+20*985)*X7 + (2+40*105)*X8 + (4+177*258)*X9 +(2+75*210)*X10 +

(D11*Y11 + D12*Y21 + D13*Y31 + D14*Y41 + D15*Y51 +

D16*Y61 +D17*Y71 +D18*Y81 + D19*Y91 +D110*Y101)*1000*X1+ (D21*Y12 + D22*Y22 + D23*Y32 + D24*Y42 + D25*Y52 +

D26*Y62 +D27*Y72 +D28*Y82 + D29*Y92 +D210*Y102)*1000*X2

+ (D31*Y13 + D32*Y23 + D33*Y33 + D34*Y43 + D35*Y53 +D36*Y63 +D37*Y73 +D38*Y83 + D39*Y93 +D310*Y103)*1000*X3


+(D51*Y15 + D52*Y25 + D53*Y35 + D54*Y45 + D55*Y55 +D56*Y65 +D57*Y75 +D58*Y85 + D59*Y95 +D510*Y105)*1000*X5





+(D101*Y110 + D102*Y210 + D103*Y310 + D104*Y410 +D105*Y510 + D106*Y610 +D107*Y710 +D108*Y810 +D109*Y910 + D1010*Y1010)*1000*X10

Sa:

X1*(Y11*49+Y12*874+Y13*555+Y14*352+Y15*381+Y16*428+Y17*985+Y18*105+Y19*258+Y110*210) <=1500;

X2*(Y21*49+Y22*874+Y23*555+Y24*352+Y25*381+Y26*428

+Y27*985+Y28*105+Y29*258+Y210*210) <=1500;

X3*(Y31*49+Y32*874+Y33*555+Y34*352+Y35*381+Y36*428

+Y37*985+Y38*105+Y39*258+Y310*210) <=1500;

X4*(Y41*49+Y42*874+Y43*555+Y44*352+Y45*381+Y46*428+Y47*985+Y48*105+Y49*258+Y410*210) <=1500;

4

RESTRICCION DE LACAPACIDAD DE LOSTIRADEROS



X5*(Y51*49+Y52*874+Y53*555+Y54*352+Y55*381+Y56*428

+Y57*985+Y58*105+Y59*258+Y510*210) <=1500;

X6*(Y61*49+Y62*874+Y63*555+Y64*352+Y65*381+Y66*428+Y

67*985+Y68*105+Y69*258+Y610*210) <=1500;

X7*(Y71*49+Y72*874+Y73*555+Y74*352+Y75*381+Y76*428+Y 77*985+Y78*105+Y79*258+Y710*210) <=1500;

X8*(Y81*49+Y82*874+Y83*555+Y84*352+Y85*381+Y86*428+Y 87*985+Y88*105+Y89*258+Y810*210) <=1500;

X9*(Y91*49+Y92*874+Y93*555+Y94*352+Y95*381+Y96*428+Y

97*985+Y98*105+Y99*258+Y910*210) <=1500;

X10*(Y101*49+Y102*874+Y103*555+Y104*352+Y105*381+Y106

*428+Y107*985+Y108*105+Y109*258+Y1010*210) <=1500;

Y11+Y21+Y31+Y41+Y51+Y61+Y71+Y81+Y91+Y101<=1;Y12+Y22+Y32+Y42+Y52+Y62+Y72+Y82+Y92+Y102<=1;


Y15+Y24+Y35+Y45+Y55+Y65+Y75+Y85+Y91+Y105<=1;



Y110+Y24+Y310+Y410+Y510+Y610+Y710+Y810+Y91+Y1010<=

1;

El programa en lingo:

SETS:DISTRITO/1..10/:TN,CF,CV,CT,X;DISTANCIA (DISTRITO,DISTRITO):D,Y;ENDSETS

DATA:TN=49 874 555 352 381 428 985 105 258 210;CF=2 1 1 3 2 1 2 4 2;CV=310 40 51 341 131 182 20 40 177 75;D=0 2.83 7.81 5.38 1 2 6.32 2.23 5.09 52.83 0 8.54 3 3.61 2 8 5 4.24 2.237.81 8.54 0 8 7.07 6.71 3 8.6 5 9.055.38 3 8 0 5.83 3.6 7.61 7.62 3 1.411 3.61 7.07 5.83 0 1.49 5.38 2 5 5.652 2 6.71 3.6 1.49 0 6 4.12 3.16 3.6

6.32 8 3 7.61 5.38 6 0 6.4 5.83 9.222.23 5 8.6 7.62 2 4.12 6.4 0 7 7.21

4

CADA DISTRITODEBE ENVIAR TODA SU BASURAA UN SOLO SITIO.

RESTRICCION DE LACAPACIDAD DE LOSTIRADEROS



5.09 4.24 5 3 5 3.16 5.83 7 0 4.125 2.23 9.05 1.41 5.65 3.6 9.22 7.21 4.12 0;

ENDDATA

!FUNCION OBJETIVO;MIN = @SUM(DISTRITO(I):CT(I)*X(I))

+@SUM(DISTANCIA(I,J):@SUM(DISTANCIA(I,J):D(I,J)*Y(I,J))*1000*X(I));!COSTO TOTAL;@FOR(DISTRITO:CT=CF+CV*TN);

!RESTRICCIONES;@FOR(DISTANCIA(I,J):@SUM(DISTRITO(I):TN(I)*Y(I,J))*X(I)<=1500);@FOR (DISTANCIA:@SUM(DISTANCIA(I,J):Y(I,1))<=1);

!RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR(DISTRITO(I):@BIN(X););@FOR (DISTANCIA(I,J):@BIN (Y););

Problema 30:

La universidad estatal tiene que comprar 1100 computadoras de tres vendedores. Elvendedor 1 carga 500 dólares por computadora mas un encargo por la entrega de 5000dólares , el vendedor 2 carga 350 dólares por computadora mas un cargo por la entregade 4000 dólares. El vendedor 3 carga 250 dólares por computadora mas un cargo por laentrega por de 6000 dólares. El vendedor 1 venderá a lo mas 500 computadoras, elvendedor a los mucho 900 y el vendedor cuando mas 400. Se necesita minimizar elcosto de la compra de computadoras necesarias.

SOLUCION:

VARIABLES:

X(i,j) = Cantidad de computadoras que vende el vendedor i

Y(i,j) = 1 Si el vendedor i vende computadoras a la universidad estatal0 en caso contrario.

FUNCION OBJETIVO:

MIN Z = 5000Y(1) + 4000Y(2) + 6000Y(3) + 500X(1) + 350X(2) + 250X(3)

RESTRICCIONES:

o RESTRICCION 1: La universidad estatal tiene que comprar 1100 computadorasde tres vendedores.

X( 1) + X( 2) + X( 3) >= 1100

o RESTRICCION 2: Lo máximo que puede vender cada vendedor:

4



X( 1) <= 500X( 2) <= 900X( 3) <= 400

o RESTRICCION 3: Si la universidad compra computadoras al vendedor ientonces también tendrá que pagar el cargo respectivo por la entrega decomputadoras.

1000000 Y( 1) + X( 1) <= 01000000 Y( 2) + X( 2) <= 01000000 Y( 3) + X( 3) <= 0


! MODELO DE WINSTON CAP 9 # PROB 6

COSTOS EN DOLARES; !M=VALOR MUY GRANDE;!COSTOE ES EL COSTO DE ENTREGA;!X CANTIDAD DE COMPUTADORAS QUE VENDE EN VENDEDOR I;!Y 1 SI EL VENDEDOR I VENDCOMPUTADORAS! 0 EN CASO CONTRARIO;SETS:

VENDEDOR/1..3/:COSTOE,COSTO,X,Y,MAXVEND;

ENDSETSDATA:

COSTOE = 5000 4000 6000;COSTO = 500 350 250;MAXVEND= 500 900 400;M=1000000;REQUERIMIENTO=1100;

ENDDATA

MIN=@SUM(VENDEDOR(I):COSTO(I)*X(I))

+@SUM(VENDEDOR(I):COSTOE(I)*Y(I)); ! RESTRICCION 1; @SUM(VENDEDOR(I):X(I))>=REQUERIMIENTO;

! RESTRICCION DE 2; @FOR (VENDEDOR(I):

X(I)<=MAXVEND(I););

! RESTRICCION DE 3;

@FOR (VENDEDOR(I):

X(I)<=M*Y(I););

4



! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;@FOR (VENDEDOR(I): @BIN(Y););

SOLUCION EN LINGO:

El mínimo costo para comprar computadoras es de 355 000 dolares, y la universidadtendrá que comprar 700 y 400 computadoras a los vendedores 1 y 2 respectivamente.

Global optimal solution found at step: 8Objective value: 355000.0Branch count: 0

Variable Value Reduced CostM 1000000. 0.0000000

REQUERIMIENTO 1100.000 0.0000000COSTOE( 1) 5000.000 0.0000000COSTOE( 2) 4000.000 0.0000000COSTOE( 3) 6000.000 0.0000000COSTO( 1) 500.0000 0.0000000

COSTO( 2) 350.0000 0.0000000COSTO( 3) 250.0000 0.0000000X( 1) 0.0000000 150.0000X( 2) 700.0000 0.0000000X( 3) 400.0000 0.0000000Y( 1) 0.0000000 5000.000Y( 2) 1.000000 4000.000Y( 3) 1.000000 6000.000

MAXVEND( 1) 500.0000 0.0000000MAXVEND( 2) 900.0000 0.0000000MAXVEND( 3) 400.0000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price1 355000.0 1.0000002 0.0000000 -350.00003 500.0000 0.00000004 200.0000 0.0000000

5 0.0000000 100.00006 0.0000000 0.00000007 999300.0 0.00000008 999600.0 0.0000000

5



PROBLEMA30:

La ciudad de Neva York tiene 10 distritos de recoleccion de basura y pretendedeterminar cual de los distritos deberia ser un tiradero. Cuesta 1 000 dolares acarrear una tonelada de basura un tramo de una milla. La ubicación de cada distrito, la cantidad

de toneladas de basura producidas en un año por el distrito, el costo fijo anual (enmillones de dólares) por operar un tiradero, y el costo variable(por tonelada) por procesar una tonelada de basura en un tiradero, se muestra en la tabla 112.

Distrito Coordenadasx

Coordenadasy

toneladas Costo fijo(millones)

Costovariable(millones)

1 4 3 49 2 3102 2 5 874 1 403 10 8 555 1 514 2 8 352 1 3415 5 3 381 3 1316 4 5 428 2 1827 10 5 985 1 208 5 1 105 2 409 5 8 258 4 17710 1 7 210 2 75

Por ejemplo el distrito 3 se localiza en las coordenadas (10,8). El distrito 3 produce 555toneladas de basura al año, y cuesta un millon de dolares al año en costos fijos operar untiradero en el distrito 3. Cada tonelada de basura procesada en el sitio 3 incurre en un

costo variable de 51 dólares.Cada tiradero puede procesar cuando mucho 1500 toneladas de basura. Cada distritodebe enviar toda su basura a un solo sitio. Determine dónde localizar los tiraderos de talmanera que se minimice el costo total por año.

Soluciòn(LINGO)

min 2015190x1+1034960x2+1028305x3+120032x4+3049911x5+2077896x6+1019700x7+2004200x8+4045666x9+2015750x10+7000x1+7000x2+18000x3+10000x4+8000x5+9000x6+15000x7

+6000x8+13000x9+8000x10 subject to49x1+874x2+555x3+352x4+381x5+428x6+985x7+105x8+258x9+210x10<=15000end

INT X1INT X2INT X3

5



INT X4INT X5INT X6INT X7INT X8

INT X9INT X10

Problema 31:

Usted es el Gerente de ventas de Eli Lilly. Ud. Desea Ubicar oficinas de ventas en

cuatro de las ciudades de la tabla 1. La cantidad de llamadas telefónica de ventas (enmiles) Que se deben hacer en cada ciudad que se dan e n la tabla 1. por ejemplo SanAntonio requiere 2000 llamadas y está a 602 millas de Phoenix. La distancia entre cadaciudad se da en la tabla 2. ¿En donde se deben ubicar las oficinas centrales con el objetode minimizar la distancia total que se debe recorrer para hacer las llamadas necesarias?

Tabla N° 1

Ciudad (i)Llamada requeridas

(en miles)San Antonio (1) 2Phoenix (2) 3Los Angeles (3) 6

Seattle (4) 3Detroit (5) 4Minneapolis (6) 2Chicago (7) 7Atlanta (8) 5

Nueva York (9) 9Boston (10) 5Filadelfia (11) 4

Tabla N° 2

SanAntonio Phoenix LosAngeles Sealtle Detroit Minneap. Chicago Atlanta NuevaYork Boston FiladelfiaSan Antonio 0 602 1376 1780 1262 1140 1060 935 1848 2000 1668Phoenix 602 0 851 1193 1321 1026 1127 1290 2065 2201 1891Los Angeles 1376 851 0 971 2088 1727 1914 2140 2870 2995 2702Sealtle 1780 1193 971 0 1834 1432 1734 2178 2620 2707 2486Detroit 1262 1321 2088 1834 0 403 205 655 801 912 654Minneapolis 1140 1026 1727 1432 403 0 328 876 1200 1304 1057Chicago 1060 1127 1914 1734 205 328 0 564 957 1082 794Atlanta 935 1290 2140 2178 655 876 564 0 940 1096 765Nueva York 1848 2065 2870 2620 801 1200 957 940 0 156 180Boston 2000 2201 2995 2707 912 1304 1082 1096 156 0 333

Filadelfia 1668 1891 2702 2486 654 1057 794 765 180 333 0

5

PROBLEMA N°



SOLUCIÓNDenotaremos las ciudades por códigos asignados:

Sea Xj = la ruta que debe realizar de una ciudad a otra

Xj= 1 Si se hace la ruta0 Si no se realiza

j = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,.....55

entonces: grafico de las rutas será como se muestra en la tabla:

SanAntonio Phoenix

LosAngeles Sealtle Detroit Minneap. Chicago Atlanta

NuevaYork Boston Filadelfia

San Antonio (1) 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

Phoenix (2) X1 0 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19Los Angeles (3) X2 X11 0 X20 X21 X22 X23 X24 X25 X26 X27Sealtle (4) X3 X12 X20 0 X28 X29 X30 X31 X32 X33 X34Detroit (5) X4 X13 X21 X28 0 X35 X36 X37 X38 X39 X40Minneapolis (6) X5 X14 X22 X29 X35 0 X41 X42 X43 X44 X45Chicago (7) X6 X15 X23 X30 X36 X41 0 X46 X47 X48 X49Atlanta (8) X7 X16 X24 X31 X37 X42 X46 0 X50 X51 X52Nueva York (9) X8 X17 X25 X32 X38 X43 X47 X50 0 X53 X54Boston (10) X9 X18 X26 X33 X39 X44 X48 X51 X53 0 X55Filadelfia (11) X10 X19 X27 X34 X40 X45 X49 X52 X54 X55 0Llamadas Neces. 2000 3000 6000 3000 4000 2000 7000 5000 9000 5000 4000

Obteniéndose entonces 55 rutas posibles a realizarse

Sea:

Yi = 1 si la Oficina central de ventas está en la ciudad i0 si no está

i = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

La función Objetivo:

Minimizar las distancias totales que se debe recorrer para hacer las llamadas necesarias:Min Z =

Y1(602X1+1376X2+1780X3+1262X4+1140X5+1060X6+935X7+1848X8+2000X9+1668X10)+

Y2(602X1+851X11+1193X12+1321X13+1026X14+1127X15+1290X16+2065X17+2201X18+1894X19)+

Y3(1376X2+875X11+971X20+2088X21+1727X22+1914X23+2140X24+2870X25+2995X26+ 2702X27)+

Y4(1780X3+1193X12+971X20+1834X28+1432X29+1734X30+2178X31+2620X32+2707X33+ 2486+

Y5(1262X4+1321X13+2088X21+1834X28+403X35+205X36+655X37+801X38+912X39+654X40)+

5



Y6(1140X5+1026X14+1727X22+1432X29+403X35+328X41+876X42+1200X43+1304X44+1057X45)+

Y7(1060X6+1127X15+1914X23+1734X30+205X36+328X41+564X46+957X47+1082X48+794X49)+

Y8(935X7+1290X16+2140X24+2178X

31+655X37+876X42+564X46+940X5+1096X51+765X52)+Y9(1848X8+2065X17+2870X25+2620X32+801X38+1200X43+957X47+940X50+156X53+180X54)+

Y10(2000X9+2201X10+2995X26+2707X33+912X39+1304X44+1082X48+1096X51+156X53+333X55)+

Y11(1668X10+1891X11+2702X27+2486X34+654X40+1057X45+794X49+765X52+180X54+333X55)

S.A.

Se desea con cuatro Oficinas centrales para realizar las ventas vía llamadas telefónicas:Y1+ Y2 + Y3+ Y4+ Y5+ Y6+ Y7 + Y8+ Y9+ Y10 + Y11 = 4

El total de llamadas de las ciudades no debe de exceder de la Oficina central de ventas

(en miles):

• Si una de la oficinas centrales está en San Antonio, cuyas llamas necesarias es

2000:

3X1 + 6X2 + 3X3 + 4X4 + 2X5 + 7X6 + 5X7 + 9X8 + 5X9 + 4X10 <= 2;

• Si una de la oficinas centrales está en Phoenix, cuyas llamas necesarias es 3000:2X1 + 6X11 + 3X12 + 4X13 + 2X14 + 7X15 + 5X16 + 9X17 + 5X18 + 4X19 <= 3;

• Si una de la oficinas centrales está en Loa Ángeles, cuyas llamas necesarias es

6000:

2X2 + 3X11 + 3X20 + 4X21 + 2X22 + 7X23 + 5X24 + 9X25 + 5X26 + 4X27 <= 6;

• Si una de la oficinas centrales está en Seattle, cuyas llamas necesarias es 3000:

2X3 + 3X12 + 6X20 + 4X28 + 2X29 + 7X30 + 5X31 + 9X32 + 5X33 + 4X34 <= 3;• Si una de la oficinas centrales está en Detroit, cuyas llamas necesarias es 4000:

2X4 + 3X13 + 6X21 + 3X28 + 2X35 + 7X36 + 5X37 + 9X38 + 5X39 + 4X40 <= 4;

• Si una de la oficinas centrales está en Minneapolis, cuyas llamas necesarias es

2000:

2X5 + 3X14 + 6X22 + 3X29 + 4X35 + 7X41 + 5X42 + 9X43 + 5X44 + 4X45 <= 2;

•

Si una de la oficinas centrales está en Chicago, cuyas llamas necesarias es 7000:2X6 + 3X15 + 6X23 + 3X30 + 4X36 + 2X41 + 5X46 + 9X47 + 5X48 + 4X49 <= 7;

5



• Si una de la oficinas centrales está en Atlanta, cuyas llamas necesarias es 5000:2X7 + 3X16 + 6X24 + 3X31 + 4X37 + 2X42 + 7X46 + 9X50 + 5X51 + 4X52 <= 5;

• Si una de la oficinas centrales está en Nueva York, cuyas llamas necesarias es

9000:2X8 + 3X17 + 6X25 + 3X32 + 4X38 + 2X43 + 7X47 + 5X50 + 5X53 + 4X54 <= 9;

• Si una de la oficinas centrales está en Boston, cuyas llamas necesarias es 5000:2X9 + 3X10 + 6X26 + 3X33 + 4X39 + 2X44 + 7X48 + 5X51 + 9X53 + 4X55 <= 5;

• Si una de la oficinas centrales está en Filadelfia, cuyas llamas necesarias es4000:2X10+ 3X11 + 6X27 + 3X34 + 4X40 + 2X45 + 7X49 + 5X52 + 9X54 + 5X55 <= 4;

Resuelto en LINGO:

Probla N° 31 del CAP. 9 del Libro de WINSTON;!Xj = la ruta que debe realizar de una ciudad a otra

Xj= 1 Si se hace la ruta0 Si no se realiza (j = 1,2,3 ... 55)

Yi = 1 si la Oficina central de ventas está en la ciudad i0 si no está (j = 1,2,3 ... 11);

SETS:

CIUDAD/C1..C11/:Llamadas,Y;Rutas(CIUDAD,CIUDAD):Distancia,X;ENDSETS

DATA:Llamadas=2,3,6,3,4,2,7,5,9,5,4;Distancia= 0 602 1376 1780 1262 1140 1060 935 1848 2000 1668

602 0 851 1193 1321 1026 1127 1290 2065 2201 18911376 851 0 971 2088 1727 1914 2140 2870 2995 27021780 1193 971 0 1834 1432 1734 2178 2620 2707 24861262 1321 2088 1834 0 403 205 655 801 912 6541140 1026 1727 1432 403 0 328 876 1200 1304 10571060 1127 1914 1734 205 328 0 564 957 1082 794935 1290 2140 2178 655 876 564 0 940 1096 7651848 2065 2870 2620 801 1200 957 940 0 156 1802000 2201 2995 2707 912 1304 1082 1096 156 0 3331668 1891 2702 2486 654 1057 794 765 180 333 0;

ENDDATA!LA FUNCIÓN OBJETIVO;MIN=@SUM(CIUDAD(i):Y(i)*@SUM(Rutas(i,j):Distancia(i,j)*X(i,j)));

!LAS RESTRICIOPNES ENCUNATO AL NUMERO DE OFINAS CENTRALES;@SUM(CIUDAD:Y)=4;

!LAS RESTRICIOPNES ENCUNATO AL NUMERO DE LLAMADAS NECESARIAS;

@FOR(CIUDAD(i):@SUM(Rutas(i,j):Llamadas(i)*X(i,j))<=Llamadas(i));

5



!X e Y SON VARIABLES BINARIAS;@FOR(CIUDAD:@BIN(Y););@FOR(RUTAS:@BIN(Y););END

Problema 31.Una pipa de Sunco Oil tiene 5 compartimientos, con una capacidad de 2700, 2800,

1100, 1800 y 3400 galones de combustible respectivamente. La compañía debe surtir 3tipos de gasolina (súper, regular y sin plomo) a un cliente. En la tabla se dan lasdemandas, la multa por galón que falta y el faltante máximo permisible. Cadacompartimiento puede llevar solo un tipo de gasolina. Se desea minimizar los costos por faltante de gasolina.

TIPO DEGASOLINA

DEMANDA COSTO POR GALON

FALTANTE

MAXIMAESCASEZ

PERMITIDASUPER 2900 10 500REGULAR 4000 8 500SIN PLOMO 4900 6 500

SOLUCION:

VARIABLES:

W(i) = Galones de gasolina faltante del tipo i para satisfacer la demanda i

X(i,j) = Galones de gasolina del tipo i destinados al compartimiento jY(i,j) = 1 Si el compartimiento j lleva gasolina del tipo i0 en caso contrario

i = 1(súper), 2(regular), 3(sin plomo)j = 1,2,3,4,5

FUNCION OBJETIVO:

MIN Z = 10 W( 1) + 8 W( 2) + 6 W( 3)

RESTRICCIONES:

o RESTRICCION 1: Máxima escasez permitida de la gasolina del tipo i:

W( 1) <= 500W( 2) <= 500W( 3) <= 500

o RESTRICCION 2: Obligaciones con la demanda, donde X es la gasolinadestinada a un compartimiento y W es la gasolina faltante para satisfacer lademanda.

X(1,1) + X(1,2) + X(1,3) + X(1,4) + X(1,5) + W(1) = 2900

5



X(2,1) + X(2,2) + X(2,3) + X(2,4) + X(2,5) + W(2) = 4000

X(3,1) + X(3,2) + X(3,3) + X(3,4) + X(3,5) + W(3) = 4900o RESTRICCION 3: Capacidad de los compartimientos, si X(i,j)>0 entonces

Y(i,j) = 1.X( 1, 1) <= 2700 Y( 1, 1)X( 1, 2) <= 2800 Y( 1, 2)X( 1, 3) <= 1100 Y( 1, 3)X( 1, 4) <= 1800 Y( 1, 4)X( 1, 5) <= 3400 Y( 1, 5)X( 2, 1) <= 2700 Y( 2, 1)X( 2, 2) <= 2800 Y( 2, 2)X( 2, 3) <= 1100 Y( 2, 3)X( 2, 4) <= 1800 Y( 2, 4)X( 2, 5) <= 3400 Y( 2, 5)X( 3, 1) <= 2700 Y( 3, 1)X( 3, 2) <= 2800 Y( 3, 2)X( 3, 3) <= 1100 Y( 3, 3)X( 3, 4) <= 1800 Y( 3, 4)X( 3, 5) <= 3400 Y( 3, 5)

o RESTRICCION 4: Cada compartimiento puede llevar solo un tipo de gasolina:Y( 1, 1) + Y( 2, 1) + Y( 3, 1) = 1Y( 1, 2) + Y( 2, 2) + Y( 3, 2) = 1Y( 1, 3) + Y( 2, 3) + Y( 3, 3) = 1Y( 1, 4) + Y( 2, 4) + Y( 3, 4) = 1Y( 1, 5) + Y( 2, 5) + Y( 3, 5) = 1


5



sets:!PROB 31 CAP 9.2 DEL WINSTON;!x:gasolina;!w:gasolina faltante;

!y:1 si el compartimiento j lleva la gasolina tipo i o en caso contrario;!cf : costo por galon faltante;!me : máxima escasez permitida;

tipo/1..3/:cf,me,dem,a,w;compartimiento/1..5/:cap;matriz(tipo,compartimiento):x,y;endsets

data:cf=10,8,6;me=500,500,500;dem=2900,4000,4900;cap=2700,2800,1100,1800,3400;enddata

min=@sum(tipo:w*cf);

!RESTRICCION 1;@for(tipo(i):w<=me(i));!RESTRICCION 2;

@for(tipo(i):w(i)+@sum(compartimiento(j):x(i,j))=dem(i));!RESTRICCION 3;@for(matriz(i,j):x(i,j)<=cap(j)*y(i,j));!RESTRICCION 4;@for(compartimiento(j):@sum(tipo(i):y(i,j))=1);!VARIABLE Y ES BINARIA;@for(matriz:@bin(y));

SOLUCION EN LINGO:

El mínimo costo que se podrá pagar es 2 600 dólares. La gasolina del tipo 1 (super)2800 galones van al compartimiento 2, la gasolina del tipo 2 (regular) 2700 galonesvan al compartimiento 1, la gasolina del tipo 2 1100 galones van al compartimiento 3,la gasolina del tipo 3 (sin plomo) 1500 galones van al compartimiento 4, la gasolina deltipo 3 3400 galones van al compartimiento 5. La variable w son los galones de gasolinatipo i faltantes. Para que se cumpla la demanda faltan 100 galones del tipo súper, y 200galones del tipo regular.

Global optimal solution found at step: 558Objective value: 2600.000

5



Branch count: 32

Variable Value Reduced CostCF( 1) 10.00000 0.0000000CF( 2) 8.000000 0.0000000

CF( 3) 6.000000 0.0000000ME( 1) 500.0000 0.0000000ME( 2) 500.0000 0.0000000ME( 3) 500.0000 0.0000000

DEM( 1) 2900.000 0.0000000DEM( 2) 4000.000 0.0000000DEM( 3) 4900.000 0.0000000

A( 1) 0.0000000 0.0000000A( 2) 0.0000000 0.0000000A( 3) 0.0000000 0.0000000W( 1) 100.0000 0.0000000W( 2) 200.0000 0.0000000W( 3) 0.0000000 6.000000

CAP( 1) 2700.000 0.0000000CAP( 2) 2800.000 0.0000000CAP( 3) 1100.000 0.0000000CAP( 4) 1800.000 0.0000000CAP( 5) 3400.000 0.0000000

X( 1, 1) 0.0000000 0.0000000X( 1, 2) 2800.000 0.0000000X( 1, 3) 0.0000000 0.0000000

X( 1, 4) 0.0000000 0.0000000X( 1, 5) 0.0000000 0.0000000X( 2, 1) 2700.000 0.0000000X( 2, 2) 0.0000000 0.0000000X( 2, 3) 1100.000 0.0000000X( 2, 4) 0.0000000 0.0000000X( 2, 5) 0.0000000 0.0000000X( 3, 1) 0.0000000 0.0000000X( 3, 2) 0.0000000 0.0000000X( 3, 3) 0.0000000 0.0000000X( 3, 4) 1500.000 0.0000000

X( 3, 5) 3400.000 0.0000000Y( 1, 1) 0.0000000 -27000.00Y( 1, 2) 1.000000 -28000.00Y( 1, 3) 0.0000000 -11000.00Y( 1, 4) 0.0000000 -18000.00Y( 1, 5) 0.0000000 -34000.00Y( 2, 1) 1.000000 -21600.00Y( 2, 2) 0.0000000 -22400.00Y( 2, 3) 1.000000 -8800.000Y( 2, 4) 0.0000000 -14400.00Y( 2, 5) 0.0000000 -27200.00

Y( 3, 1) 0.0000000 0.0000000Y( 3, 2) 0.0000000 0.0000000

5



Y( 3, 3) 0.0000000 0.0000000Y( 3, 4) 1.000000 0.0000000Y( 3, 5) 1.000000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 2600.000 1.0000002 400.0000 0.00000003 300.0000 0.00000004 500.0000 0.00000005 0.0000000 -10.000006 0.0000000 -8.0000007 0.0000000 0.00000008 0.0000000 10.000009 0.0000000 10.0000010 0.0000000 10.0000011 0.0000000 10.0000012 0.0000000 10.0000013 0.0000000 8.00000014 0.0000000 8.00000015 0.0000000 8.00000016 0.0000000 8.00000017 0.0000000 8.00000018 0.0000000 0.000000019 0.0000000 0.000000020 0.0000000 0.000000021 300.0000 0.0000000

22 0.0000000 0.000000023 0.0000000 0.000000024 0.0000000 0.000000025 0.0000000 0.000000026 0.0000000 0.000000027 0.0000000 0.0000000

Problema 33:

6



Al tratar un tumor en el cerebro mediante radiaciones, los médicos quieren la cantidadmáxima de radiación posible para bombardear el tejido en donde se localiza el tumor.Pero la restricción es que hay una cantidad máxima de radiación que el tejido normal

puede tolerar sin sufrir daño. Por lo tanto los médicos deben decidir cómo dirigir laradiación de tal manera que sea máxima la radiación que llegue al tumor sujeta a la

restricción de no dañar el tejido sano. Como un ejemplo simple de esta situación,suponga que se pueden dirigir seis tipos de haces de radiación (los haces difieren endirección e intensidad) a un tumor. La región en donde se localiza el tumor se dividió enseis regiones: tres regiones contiene tumores y tres están sanas. La cantidad de radiación

por cada tipo de haz se muestra en la tabla.

Normal Tumor Haz1 2 3 1 2 3

16 12 8 20 12 6 112 10 6 18 15 8 29 8 13 13 10 17 34 12 12 6 18 16 49 4 11 13 5 14 58 7 7 10 10 10 6

Si cada región de tejido tolera a lo más 40 unidades de radiación, entonces ¿qué hacesse deberían usar para maximizar la cantidad total de radiación recibida por el tumor?

Solución:

El PE apropiado es:

La función objetivo es maximizar la cantidad total de radiación recibida por el tumor.

654321525668706974 x x x x x xMaxZ +++++=

Sujeto a:

Restricción para región normal 1: 4089491216654321≤+++++ x x x x x x



Restricción para región tumor 1:4010136131820

654321≤+++++ x x x x x x

Restricción para región tumor 2:4010518101512

654321≤+++++ x x x x x x

Restricción para región tumor 3: 401014161786654321≤+++++ x x x x x x

En Lingo:

SETS:HAZ/1..6/:TIPO;REGION/1..6/:;

6

Si el haz de radiación de tipo i (i=1, 2…6) es usado

Si no sucede así

=

0

1

i

x



RADIACION(HAZ,REGION):CANTIDAD;ENDSETS

DATA:CANTIDAD = 16 12 8 20 12 6

12 10 6 18 15 89 8 13 13 10 174 12 12 6 18 169 4 11 13 5 148 7 7 10 10 10;

ENDDATA

MAX=@SUM(RADIACION(I,J):CANTIDAD(I,J)*TIPO(I));

! RESTRICCIONES;

@FOR(REGION(J):@SUM(HAZ(I):CANTIDAD(I,J)*TIPO(I))<=40);

! RESTRICCION DE VARIABLES BINARIAS;

@FOR(HAZ: @BIN(TIPO));

END

Solución en Lingo:


Variable Value Reduced CostTIPO( 1) 1.000000 -74.00000TIPO( 2) 0.0000000 -69.00000TIPO( 3) 1.000000 -70.00000TIPO( 4) 1.000000 -68.00000TIPO( 5) 0.0000000 -56.00000TIPO( 6) 0.0000000 -52.00000

CANTIDAD( 1, 1) 16.00000 0.0000000CANTIDAD( 1, 2) 12.00000 0.0000000CANTIDAD( 1, 3) 8.000000 0.0000000CANTIDAD( 1, 4) 20.00000 0.0000000CANTIDAD( 1, 5) 12.00000 0.0000000CANTIDAD( 1, 6) 6.000000 0.0000000CANTIDAD( 2, 1) 12.00000 0.0000000CANTIDAD( 2, 2) 10.00000 0.0000000CANTIDAD( 2, 3) 6.000000 0.0000000CANTIDAD( 2, 4) 18.00000 0.0000000CANTIDAD( 2, 5) 15.00000 0.0000000CANTIDAD( 2, 6) 8.000000 0.0000000CANTIDAD( 3, 1) 9.000000 0.0000000

CANTIDAD( 3, 2) 8.000000 0.0000000CANTIDAD( 3, 3) 13.00000 0.0000000CANTIDAD( 3, 4) 13.00000 0.0000000

6



CANTIDAD( 3, 5) 10.00000 0.0000000CANTIDAD( 3, 6) 17.00000 0.0000000CANTIDAD( 4, 1) 4.000000 0.0000000CANTIDAD( 4, 2) 12.00000 0.0000000CANTIDAD( 4, 3) 12.00000 0.0000000CANTIDAD( 4, 4) 6.000000 0.0000000

CANTIDAD( 4, 5) 18.00000 0.0000000CANTIDAD( 4, 6) 16.00000 0.0000000CANTIDAD( 5, 1) 9.000000 0.0000000CANTIDAD( 5, 2) 4.000000 0.0000000CANTIDAD( 5, 3) 11.00000 0.0000000CANTIDAD( 5, 4) 13.00000 0.0000000CANTIDAD( 5, 5) 5.000000 0.0000000CANTIDAD( 5, 6) 14.00000 0.0000000CANTIDAD( 6, 1) 8.000000 0.0000000CANTIDAD( 6, 2) 7.000000 0.0000000CANTIDAD( 6, 3) 7.000000 0.0000000CANTIDAD( 6, 4) 10.00000 0.0000000CANTIDAD( 6, 5) 10.00000 0.0000000

CANTIDAD( 6, 6) 10.00000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price1 212.0000 1.0000002 11.00000 0.00000003 8.000000 0.00000004 7.000000 0.00000005 1.000000 0.00000006 0.0000000 0.00000007 1.000000 0.0000000

En conclusión los haces que se deberían emplear para maximizar la radiación en el

tumor son los de tipo 1, 3 y 4

Problema 34:

El servicio de bomberos de Smalltown tiene en la actualidad siete equipos conescaleras ordinarias y siete cajas de alarma. Los dos equipos más cercanos con escaleraa cada caja de alarma se dan en la tabla 3. Los padres de la ciudad desean maximizar elnúmero de equipos con escalera ordinaria que se puedan reemplazar por equipos conescaleras extensibles. Las consideraciones políticas establecen infortunadamente que es

posible reemplazar un equipo ordinario solo si, después del reemplazo por lo menosuno de los equipos más cercanos a cada caja de alarma todavía es un equipo ordinario.

• Formule un PE que se pueda usar para maximizar la cantidad de equiposconvencionales que es posible reemplazar por equipos con escalerasextensibles.

sol :

Xij = escalera j que esta cercana a la caja i que va a ser cambiada

Xij {1 si se cambia el equipo ordinario por el extensible0 si no sucede así

Maz = X12+ X13+ X23+ X24+ X31+ X35+ X42+ X46+ X53+ X56 + X64+X67+X75+ X77

6



s.a :X12+ X13>= 1X23+ X24>= 1X31+ X35>= 1

X42+ X46>= 1X53+ X56>= 1X64 +X67>= 1X75+ X77>= 1

X12 =X42X13= X23= X53X24= X64X35= X75X46 = X56X67= X77

Xij= 0 o 1(i =j= 1, 2, 3, 4, 5, 6,7)

Alumno: Sánchez Carquin NathalyCodigo : 03170129

PROBLEMA 35:

Cuando usted solicita números telefónicos 800 a AT&T para telemercadeo, AT&Tutiliza un modelo de Solver para indicar a usted dónde debe ubicar su centro dellamadas a fin de minimiza sus costos de operación sobre un horizonte de 10 años. Conel objeto de ilustrar el modelo, suponga que usted está considerando 7 ubicaciones paracentros de llamadas: Boston, Nueva York, Charlotte, Dallas, Chicago, L.A y Omaha. Yaconocemos el costro promedio (en dólares) en que se incurre si una llamada detelemercadeo es hecha desde cualquiera de estas ciudades a cualquier región del país.También sabemos los salarios por hora que debemos pagar a los trabajadores en cada

ciudad (tabla 120)Suponga que una llamada promedio requiere 4 minutos. Hacemos llamadas 250 días alaño, y el número promedio de llamadas por día a cada región del país, se proporciona enla tabla 121.El costo de la construcción de un centro de llamadas en cada localidad posible, está enla tabla 122.Cada centro de llamadas puede efectuar al menos 5000 llamadas por día. Con estainformación ¿cómo se puede minimizar el costo de contado (a 10% por año) de echar aandar la operación de telemercadeo durante 10 años? Suponga que todos los salarios ylos costos de las llamadas se pagan al final de cada año.

Tabla 120

6



Costo dellamada($/min)

NuevaInglater

ra

Atlántico

MedioSureste Soroeste

GrandesLagos Planicies

MontañasRocosas Pacífico

Salariox hora

($)Boston 1.2 1.4 1.1 1.3 2 2.2 2.8 2.2 14

Nueva York 1.3 1 1.3 1.2 1.8 1.9 2.5 2.8 16Charlotte 1.5 1.4 0.9 1.5 2.1 2.3 2.6 3.3 11

Dallas 2 1.8 1.2 1 1.7 2.2 1.8 2.7 12Chicago 2.1 1.9 2.3 1.9 0.9 1.3 1.2 2.2 13

Los Angeles 2.5 2.1 1.9 2.2 1.7 1.5 1.4 1 18Omaha 2.2 2.1 2 2.6 1.4 0.6 0.9 1.5 10

6

Región Llamadas diariasNueva Inglaterra 1000Atlántico Medio 2000

Sureste 2000Suroeste 2000

Grandes Lagos 3000Planicies 1000

Montañas Rocosas 2000Pacífico 4000

Ciudad Costo de Construcción(millones de dolares)Bostón 2.7

Nuvea Yokr 3Charlotte 2.1

Dallas 2.1Chicago 2.4

Los Angeles 3.6Omaha 2.1

Tabla 121 Tabla 122



SOLUCION:

Para poder minimizar los costos, primero hallaremos los costos anuales en $ para lasllamadas, para lo cual multiplicaremos por el promedio de duración de la llamada (4), elnúmero promedio de llamadas al día (tabla 121) y el número de días que se realizan

llamadas por año (250). Con lo que obtenemos la Tabla 1:

Costo dellamada

( millones de$/ año)

NuevaInglaterra

Atlántico

MedioSureste Suroeste

GrandesLagos Planicies

MontañasRocosas Pacífico TOTAL

Boston 1.2 2.8 2.2 5.2 6 2.2 5.6 8.8 34Nueva York 1.3 2 2.6 4.4 5.4 1.9 5.0 11.2 33.8

Charlotte 1.5 2.8 1.8 3.8 6.3 2.3 5.2 13.2 36.9Dallas 2 3.6 2.4 2 5.1 2.2 3.6 10.8 31.7

Chicago 2.1 3.8 4.6 3.0 2.7 1.3 2.4 8.8 28.7Los Angeles 2.5 4.2 3.8 2.4 5.1 1.5 2.8 4 26.3

Omaha 2.2 4.2 4 2.6 4.2 0.6 1.8 6 25.6

Y para el Salario anual de los trabajadores, consideraremos que la central debe trabajar los 365 días del año, las 24 horas del día.Con lo que obtenemos la Tabla 2:

CiudadSalario Anual

(Millones de $/Año)

Boston 0.12096Nueva York 0.14016Charlotte 0.09636

Dallas 0.10512Chicago 0.11388

Los Angeles 0.15768Omaha 0.08760

Sean las Variables:

Xi : 1, Si se opta como centro de llamadas por la ciudad i, 0 En caso contrario

i = 1 (Boston), 2 (Nueva York), 3 (Charlotte), 4 (Dallas), 5 (Chicago), 6 (L.A) ,7 (Omaha)

Función Objetivo:

Min = Xi*( Costo de llamadas(i) + Salario Anual(i) ) + 0.1* Costo de Construcción(i)

6



Restricciones:

Como la demanda total de llamadas, a las distintas regiones, es de 17 000 y cada centrohará al menos 5000, poniéndonos en el peor de los casos tendríamos que cada centrosolo haría las 5000 llamadas, así tendríamos que se necesitará por lo menos:17000/5000 = 3.4 = 4 centros

Para satisfacer la demanda:

Suma( Xi ) >= 4

El programa en Lingo es:

!CLL = Costo de la llamada;!SA = Sueldo Anual;!CC = Costo de Construcción;SETS:CENTROS/1..7/:X,CLL,SA,CC;ENDSETS

DATA:CLL= 34,

33.8,36.9,31.7,28.7,26.3,25.6;

SA= 0.12096,0.14016,0.09636,0.10512,0.11388,0.15768,0.08760;

CC= 2.7,3,2.1,2.1,2.4,3.6,2.1;

ENDDATA

MIN = @SUM(CENTROS(i):X(i)*CLL(i)) +@SUM(CENTROS(i):X(i)*SA(i))+@SUM(CENTROS(i):X(i)*CC(i)*0.1);

@FOR(CENTROS(i):@SUM(CENTROS(j):X(j))>=4);@FOR(CENTROS(i):@bin(X));

6



SOLUCION EN LINGO:

El costo mínimo de poner los centros de llamadas y satisfacer la demanda es de113.7843 millones de dólares, y los locales deberán estar ubicados en: Dallas, LosAngeles, Chicago y Omaha,


Variable Value Reduced CostX( 1) 0.0000000 34.39096X( 2) 0.0000000 34.24016X( 3) 0.0000000 37.20636X( 4) 1.000000 32.01512X( 5) 1.000000 29.05388X( 6) 1.000000 26.81768

X( 7) 1.000000 25.89760CLL( 1) 34.00000 0.0000000CLL( 2) 33.80000 0.0000000CLL( 3) 36.90000 0.0000000CLL( 4) 31.70000 0.0000000CLL( 5) 28.70000 0.0000000CLL( 6) 26.30000 0.0000000CLL( 7) 25.60000 0.0000000SA( 1) 0.1209600 0.0000000SA( 2) 0.1401600 0.0000000SA( 3) 0.9636000E-01 0.0000000SA( 4) 0.1051200 0.0000000SA( 5) 0.1138800 0.0000000

SA( 6) 0.1576800 0.0000000SA( 7) 0.8760000E-01 0.0000000CC( 1) 2.700000 0.0000000CC( 2) 3.000000 0.0000000CC( 3) 2.100000 0.0000000CC( 4) 2.100000 0.0000000CC( 5) 2.400000 0.0000000CC( 6) 3.600000 0.0000000CC( 7) 2.100000 0.0000000

Row Slack or Surplus Dual Price1 113.7843 1.0000002 0.0000000 0.0000000

3 0.0000000 0.00000004 0.0000000 0.00000005 0.0000000 0.00000006 0.0000000 0.00000007 0.0000000 0.00000008 0.0000000 0.0000000

6



PROBLEMA 36 :

La pregunta siguiente se relaciona con el ejemplo del presupuesto de capital de Star Oilde la sección 3.6 los resultados de LINGO para este problema se muestran en la figura16.

a. Encuentre e interprete el precio sombra de cada restricción.

b. Si el VPN de la inversión 1 fuera 5 millones de dólares ¿cambiaria la soluciónóptima del problema?

c. Si el VPN de la inversión 2 y el de la inversión 4 disminuyera en 25%¿cambiaria la solución optima del problema? (Para este inciso se requiereconocer la regla del 100%.)

d. Suponga que el presupuesto del capital de Star Oil se modificara a 50 millonesde dólares en el tiempo 1. ¿Seria star mas rica? (Para este inciso se requiereconocer la regla del 100%.)

e. Suponga que esta disponible (inversión 6). Dicha inversión tiene un VPN de 10millones de dólares y requiere una salida de efectivo de 5 millones de dólares enel tiempo 0 y 10millones de dólares en el tiempo 1 ¿Debería Star Oil invertir enla inversión 6?

Se define como:

Xi = fracción de la inversión i comprada por Star Oil ( i = 1, 2, 3, 4, 5)

6



SOLUCIÓN ÓPTIMA : 57.44902 millones de dólares

7



SOLUCIÓN

a. Encuentre e interprete el precio sombra de cada restricción.

Para ello necesitamos la solución dual del problema:

Se define que:

Y1 = Disponibilidad de dinero en el tiempo 0Y2 = Disponibilidad de dinero en el tiempo 1Y3 = Restricción de la inversión 1Y4 = Restricción de la inversión 2Y5 = Restricción de la inversión 3

Y6 = Restricción de la inversión 4Y7 = Restricción de la inversión 5

Solución dual en LINDO

7



Se observa que los precios sombra y su interpretación son:

S1 = 0.190418 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la disponibilidad en eltiempo 1, el ingreso aumentará en 0.190418 millones de

dólares)

S2 = 0.984644 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la disponibilidad en eltiempo 1, el ingreso aumentará en 0.984644 millones dedólares)

S3 = 7.951474 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la inversión 1, el ingresoaumentará en 7.951474 millones de dólares)

S4 = 0.000000 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la inversión 2, el ingresono sufrirá ningún aumento)



S7 = 0.000000 (Si aumentamos en 1 millón de dólares la inversión 5, el ingresono sufrirá ningún aumento)

7



b. Si el VPN de la inversión 1 fuera 5 millones de dólares ¿cambiaria lasolución óptima del problema?

Como se puede observar la solución óptima cambia a un valor menor que es de

49.49754 millones de dólares.

c. Si el VPN de la inversión 2 y el de la inversión 4 disminuyera en 25%

¿cambiaria la solución optima del problema? (Para este inciso se requiereconocer la regla del 100%.)

7



Como se puede observar la solución óptima cambia a un valor menor que esde 53.14558 millones de dólares.

d. Suponga que el presupuesto del capital de Star Oil se modificara a 50 millonesde dólares en el tiempo 1. ¿Seria Star más rica? (Para este inciso se requiereconocer la regla del 100%.)

7



Como se puede observar la solución óptima cambia a un valor mayor que es de70.18182 millones de dólares. Es decir Star Oil será más rica.

e. Suponga que esta disponible (inversión 6). Dicha inversión tiene un VPN de10 millones de dólares y requiere una salida de efectivo de 5 millones dedólares en el tiempo 0 y 10 millones de dólares en el tiempo 1 ¿Debería StarOil invertir en la inversión 6?

7



Como se puede observar la solución óptima no cambia, y observamos que lainversión 6 no se realiza y se obtiene un ahorro en gastos de 0.798526 millonesde dólares.

Por lo tanto Star Oil no debería hacer una inversión 6.

7

sol entera

Documents