Pg. 1 Escuela Profesional de Ingeniera Informtica"Ao del Centenario de Machu Picchu para el Mundo".Escuela Acadmica ProfesionalIngeniera InformticaCURSO : Investigacin Operativa IITEMA : Manual de Investigacin Operativa IIDOCENTE : Mg. Alcibades Sosa PalominoCICLO: VIIINTEGRANTES : Canales Susanibar, Junior Luciano Vega, JoelMata Matas, RicardoSnchez Vergara, DeisyHUACHO 2011Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaINDICE1. INTRODUCCION..2. Modelos Probabilsticos..3. Mtodo Pert/Cpm.4. Mtodo Pert/Cost..5. Contraccin de red..6. Modelo de Decisiones.7. Modelo de Decisiones con ProbabilidadA Posteriori.8. Toma de Decisiones con Criterios Mltiples9. Programacin Dinmica..10.Proceso de Markov..11.Teora de Juego........12.Modelos de Lnea de Espera.13.Conclusin General.3412162331415161768496105Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaINTRODUCCIONCadavezesmsdifcil asignarlosrecursosoactividadesdelaformams eficaz, pues los recursos cada vez son ms escasos y crecen las complejidades de los sistemas generando problemas para decisiones ptimas. En el siglo pasado las Organizaciones del mundo solo estaban constituidas por un nmero reducido de personas y eran dirigidos por una sola persona. Todo este panorama cambia radicalmente con la Primera Revolucin Industrial. Como se sabe, sta trajo consigo la energa, las maquinarias y los equipos que revolucionaronlasindustriasmecanizandolaproduccin. Consecuentemente conellovinoladivisinoespecializacindel trabajotrayendoconellolas nuevas responsabilidades de finanzas, produccin, mercado e investigacin y desarrollo por parte de especialistas y cientficos.Investigacin de Operaciones se le atribuye ms alos servicios militares prestados a principios de la II Guerra Mundial. Debido a los esfuerzos blicos, existaunanecesidadurgentedeasignar recursos escasos alas distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operacin, en la forma ms efectiva. Por esto, las administraciones militares americana y Britnicas hicieronunllamadoaungrannmerodecientficosparaqueaplicaranel mtodocientficoasteyaotrosproblemasestratgicosytcticos. Estos equipos de cientficos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de mtodos efectivos que contribuyeron a numerosos triunfos. Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaTema 1:Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera Informtica MODELO PROBABILISTICOMODELOS PROBABILSTICOSVarianza.- La varianza de una variable aleatoria es la esperanza del cuadrado de la desviacin de dicha variable respecto a su media. Se trata de una medida de la dispersin de dicha variable aleatoria.Estmedidaenunidadesdistintasdelasdelavariable. Por ejemplo, si la variablemideunadistanciaenmetros, lavarianzaseexpresaenmetrosal cuadrado. Ladesviacinestndar, larazcuadradadelavarianza, estsin embargo expresada en las mismas unidades. Tanto la varianza como la desviacin estndar miden la variabilidad de la variable aleatoria.Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaV(x) = E(x2) (E(x)) 2Desviacin Estndar.- se utiliza para saber si los datos estn dispersos o no; un valor grande significa que los datos estn muy dispersos; un valor pequeo significa que los datos estn muy concentrados,se obtiene extrayendo la raz cuadrada de la varianza.= ) (x vMuestra.- Parte de lapoblacin elegida mediante un proceso tcnico llamado muestreo; sus medidas se llaman estadsticos, dentro de los cualesse tienen a la media aritmtica y la desviacin estndar, simbolizadas porxys respectivamente; de igual manera se tiene la varianza muestral y la proporcin muestral.Existen cuatro formas bsicas para seleccionar los elementos de una muestra; los quepueden hacerse por muestreo aleatorio, por muestreo sistemtico, por muestreoestratificadoymuestreoporconglomerados; cadaunotienesus propias particularidades y complejidades.Variable.- Es una caracterstica de la poblacin o de la muestra el que puede tomar diferentesvalores. Seclasificanendosgrandesgrupos, cualitativao cuantitativa, las variables cualitativas expresan una relacin de cualidad como blanco, negro o rojo, en cambio las cuantitativas expresan relaciones numricas de cantidad; con las variables cualitativas pueden representarse en formanumricaodeotraformaperonopuedendesarrollarseoperaciones algebraicas.Las variables tambin pueden ser independientes o dependientes; se dice que la variable es independiente cuando su valor depende de smisma, es decir que no est asociado a ningn otro factor; en cambio, una variable es dependiente cuando su valor est asociado a la variable independiente.VariableAleatoria.-sedefinecomounafuncinquehacecorresponder nmeros reales a elementos del Espacio Muestral. Una variable aleatoria puede ser discretaocontinua. Dependiendodel tipodeexperimentoofenmeno podemos hablar de modelos de probabilidad, algunos de los cuales son muy comunes.Funcin Distribucin Acumulada.-Si X es una variable aleatoria, entonces para cualquier nmero real x0, existe la probabilidaddel evento (X toma cualquier valor menor o igual a x0).Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaLaprobabilidad quedepende de laeleccindex0es laprobabilidad acumulada hasta x0que es la funcin distribucin o distribucin acumulada y se denota por F(x0).F(x0) =Promedio.-Enmatemticasyestadstica, lamedia aritmtica(tambin llamada promedio o simplemente media) de un conjunto finito de nmeros es igual a la suma de todos sus valores dividida entre el nmero de sumandos. Cuandoel conjuntoes unamuestraaleatoriarecibeel nombredemedia muestral siendo uno de los principales estadsticos muestrales.Promedio Discreto=E(x)= = x*f(x)Promedio Continuo =

Experimento estadstico.- Es un ensayo que se desarrolla con una muestraseleccionadaalazar,conlafinalidad de buscarunconocimiento o confirmarloexistente;debidoaquelosresultadosdelexperimentono pueden conocerse de antemano,stos ejemplos,cuandoselanzaalaire unamoneda,asumiendoquenotendr ningunatendenciadeladearsehacia unlado,entonces alcaer,puede mostrar caraosello,ocuandoarrojamos un dado, los resultados posibles que podrn formarse estarn constituidos por losnmeros1,2,3, 4,5, y 6; comonosabemosexactamenteculdeellos saldrn,sedicequeestos resultados estarn sujetos al azar.Eventoosuceso.-Esunresultadoespecficodelespaciomuestral;as, cuando lanzamos unamoneda, podemos estar interesados en obtener solo los eventoscaras,entoncesanalizandoestasituacin,podremosobtener cero (caras)o una(cara);deigualmanera,enellanzamientodeun dado, observamosqueelevento#4,sloocurrirunavez,oloseventos# pares, ocurrirnenconjuntotresveces (2,4y 6).Cuando eleventono sucedao serimposibledequesuceda seledenotaporcero;como ejemplo,puede decirsequeallanzarundadoelevento#7nunca suceder, por lo que su valor estar asociado a cero.Funcin de probabilidad discreta.- Si f(x) describe una funcin de distribucinde probabilidaddeunavariablealeatoriadiscreta,paraxuna Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera Informticavariablealeatoriaentera,definidadentrodeunrango,comox=0,1,2, ,n,entoncesf(x)=P(X=x)definelaprobabilidaddequesucedael eventox.As,enelcasodelanzarunamonedaeleventopuedeserceroo una cara, de modo que la variable aleatoriax solo podrtomar el valor 0 1 ysufuncindeprobabilidadestarasociado conx=0,f(0)=P(X=0) = 0,50, y para x = 1, f(1) = P(X = 1) = 0,50.Funcindeprobabilidadcontinua.-Sif(x)defineunafuncinde probabilidad continua, para xdefinido dentro en el intervalo [a, b], entonces la probabilidad de que un evento suceda entre a y r se denota por r. El Modelo de Probabilidad Poisson Esunadistribucindeprobabilidaddiscreta, paracadaintervalomuy pequeo de tiempo, la probabilidad de que ocurra un suceso en ese intervalo esaproximadamenteproporcional alaamplituddel intervaloynopueden ocurrir dos o ms sucesos en un intervalo.La funcin de densidad de la distribucin de Poisson es: El Modelo de Probabilidad NormalEsta distribucin es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadsticas, su propio nombre indica su extendida utilizacin, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenmenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucin.Muchas variables aleatorias continuaspresentan una funcin de densidad cuya grafica tiene forma de campana.Su funcin de probabilidad est definida matemticamente por la ecuacinPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaEjerciciospoissonAl cajero automtico de un banco llegan en promedio 3 clientes cada 4 min. Determine:Probabilidad de que lleguen a lo ms 4 clientes en ese intervalo de tiempoSolucin:Probabilidad ContinuaLos ingresos por ventas de pcs de una empresa se distribuyen linealmente de forma creciente,Entre 16 y 32 vendidas quincenalmente. Determine su funcin de probabilidad, sabiendo que la relacin entre su mayor ingresorespecto al menor estas en la proporcin de 3 a 1Determine a.) La probabilidad e vender ms de 20 pcs b.) Promedio esperado de ingresosc.) La varianzaSolucin:Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaProbabilidad Discreta:La siguiente tabla proporciona la distribucin e probabilidades de asistencia a clases durante un mes,De un nmero de alumnos:Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaNumero veces (x)0 1 2 3 4 5 6Llegan a clases0.012 0.02 0.16k 0.36 0.18k 0.07 0.01Encuentre el valor de k y calcule:a.) La probabilidad de q un alumno vaya a clases ms de 2 veces:b.) El promedio de asistencia a clases una vez al mesc.) La desviacin estndar Solucin: LA NORMALLos ingresos mensuales de los profesores de la UNJFSC se distribuyen normalmente. Si el 10% de los profesores ganas ms de 2800 mensuales, y el 45% ganan menos de 1400. Determine:Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera Informticaa.) El sueldomximoquedebernganarsesi seconsideraqel 5%delos profesores son los peores pagados b.) Hallar el promedio Solucin:a)b)Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaTema 2:ADMINISTRACION DE Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaPROYECTOS PERT/CPMADMINISTRACION DE PROYECTOSPER/CPM PROBABILISTICOEl mtodo del camino crtico es un proceso administrativo de planeacin, programacin, ejecucin y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro deuntiempocrticoyal costoptimo,consisteenlarepresentacin grfica de una red de tareas, que, cuando se colocan en una cadena, permiten alcanzar los objetivos de un proyecto.La distribucin para cualquier actividad se define por tres estimados: El tiempo real estimado, denotado por la letra m, es el estimado ms realista para la moda de la distribucin (el punto ms alto de la distribucin), es el tiempo que se obtiene con ms frecuencia, el que ms se observa en la distribucin. El tiempooptimistaestimado, denotadoporlaletra, esun tiemponomuyprobable, peroposibleparalaejecucindela Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera Informticaactividad si todo marcha muy bien. Es un estimado esencialmente del lmite inferior de la distribucin de probabilidad. El tiempopesimista, denotadoporlaletrab, esunestimado esencialmente del lmite superior de la distribucin de probabilidad. Esuntiempodeejecucindelaactividadquees posible si se presentan todos los inconvenientes relacionados con esa actividad.El tiempo esperado, denotada de la siguiente forma te, es el tiempo promedio de duracin de una actividad.Cuya variabilidad est dada por:La forma de la distribucin se muestra en la siguiente Figura. El tiempo ms probable es eltiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan unamedidadelaincertidumbreinherenteenlaactividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores. = tiempo optimistab = tiempo pesimistam = tiempo mas probablePg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaCada arco contiene la siguiente informacin sobre la actividad: Duracin esperada de la actividad (te) Tiempo de inicio ms temprano (CI) Tiempo de trmino ms temprano (CF) Tiempo de inicio ms tardo o lejano (LI) Tiempo de trmino ms tardo o lejano (LF) Holgura de la Actividad (H) USOSEl campodeaccindeestemtodoes muyamplio, dadasugran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeo. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes caractersticas:CI teCFLI H LF1 2APg. 1Escuela Profesional de Ingeniera Informtica1. Que el proyecto sea nico, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad.2. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mnimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crtico.3. Que se desee el costo de operacin ms bajo posible dentro de un tiempo disponible.Dentrodel mbitoaplicacin, el mtodosehaestadousandoparala planeacin y control de diversas actividades, tales como construccin de presas, aperturadecaminos, pavimentacin, construccindecasasy edificios, reparacin de barcos, investigacin de mercados, movimientos de colonizacin, estudios econmicos regionales, auditorias, planeacin de carreras universitarias, distribucin de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones defbrica, planeacinde itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de poblacin, etc., etc.VENTAJAS DEL METODO PERT CPM1. Ensea una disciplina lgica para planificar y organizar un programa detallado de largo alcance. 2. ProporcionaunametodologaStandarddecomunicarlosplanes del proyectomedianteuncuadrodetresdimensiones(tiempo, personal; costo). 3. Identificalos elementos (segmentos) ms crticos del plan, en que problemas potenciales puedan perjudicar el cumplimiento del programa propuesto. 4. Ofrece la posibilidad de simular los efectos de las decisiones alternativas o situaciones imprevistas y una oportunidad para estudiar sus consecuencias en relacin a los plazos de cumplimiento de los programas. 5. Aporta la probabilidad de cumplir exitosamente los plazos propuestos. 6. En otras palabras: CPM es un sistema dinmico, que se mueve con el progreso del proyecto, reflejando en cualquier momento el STATUS presente del plan de accin.Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaTema 3: METODO PERT/COSTPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaMTODO PERT COSTDefinicinEste mtodo nos sirve para poder analizar el recurso Costo(a consideracin nuestra el mas importante) en el proyecto que se estuviera llevando acabo, es decir para poder llevar el planeamiento, la programacin y el control de este recurso a lo largo del proyecto.El mtodo Pert-Cost se podra decir que es una ampliacin del mtodo PERT/CPM porque hace uso de las actividades programadas para poder armar el programadeCostosdel proyecto, aadidoaestoel costo inicialmente presupuestado (Cij)CONSIDERACIONES Para llevar a cabo el proyecto se estima un costo inicial presupuestado (Cij). Durantelarealizacindel proyectoalgunasactividadesnoson completadas en su totalidad como otras si, por eso se hace uso de un control en ese determinado avance del proyecto. Se hace el control para poder ver si el costo que se haba planteado al comienzo del proyecto esta por encima o por debajo del costo real (CR). Tambien las actividades tienen un porcentaje de avance. Se hace una grfica de la Regin factible del presupuesto. Para poder realizar controles en los tiempos que uno estima conveniente y realizar el reporte correspondiente del mismo se requiere de la siguiente informacin :a) Costo Real a la fecha por actividad (CR)b) Porcentaje de avance (Pi) a la fecha por actividad, que nos permitir calcular el valor del trabajo efectuadoVique se obtiene as :Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaVi = Valor del trabajop efectuado a la fecha requerida.Pi = Porcentaje de avance. Cij = Costo Presupuestado Inicial de cada actividad.c) Obtenerlosalzamientosyabatimientos(Di) deloscostos por actividad y se calcula as : d) La sumatoria de Di muestra el alzamiento o abatimiento del proyecto a la fecha solicitada; esta informacin permitir tomar decisiones Caso PrcticoEl promotor y Encargado de realizar el evento por el aniversario de Huacho que se realizara en estas fechas que tendra lugar en la Plaza de Armas de esta misma Ciudad,debera realizar las tareas que se muestran en la siguiente tabla, antes de poder realizar el concierto (todas las duraciones estn en das).CijPiVi )100(Vi CR Di Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaDibujo de la red del proyectoPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaDada la sgte tabla:Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera Informtica Elabore el programa de actividades y de costos Representeenformagraficalaregindel presupuesto factible Elabore el reporte al noveno daPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaSolucinElabore el programa de actividades y de costosPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaDe ac se halla que: Di=0.6Esto quiere decir q al noveno dia hay un sobrante de 0.6*100=60 soles La grafica: Regin factiblePg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaTema 4: CONTRACCION DE REDPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaMETODO DE CONTRACCIN DE LA REDDefinicinEl Siguiente mtodo nos permite reducir el tiempo de salida de una red (Tij) para llevar a cabo en menos tiempo las actividades.La red se puede contraer por dos formas:1.- Utilizando el Mtodo Practico:Analizandolasactividadesdelarutacrtica, empezandoporaquellas actividades cuyo costo de reduccin (Kij) es menor:Kij: Costo de reduccin para cada actividadpor unidad de tiempo.Mj: Margen de reduccin de tiempo de cada actividad.Cij : Costo presupuestado de C/Actividad con tiempo normal esperado.Cij : Costo de urgencia para cada actividad.Te : Tiempo normal esperado para cada actividad.Te : tiempo de urgencia (lo que se desea reducir de cada actividad).Formulas:

MjCij - Cij' KjMj = Te Te2.-Utilizando el MPL:Cuando las redes son muy grandes para reducir el Tij de salida : La variables de decisin son :Xi : Tiempo de ocurrencia del evento iYj : Tiempo de reduccin para la actividad j La funcin objetivo es :Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaMin W =Yj Kj Restricciones : Descripcin de la red.XiTe Yj + Xi-1 Tiempo de reduccin por actividadYj Mj Contraccin de la red Xn Tij n : El ltimo nodo evento de la red. Tij : es el tiempo total de reduccin del proyecto. Condicin de no negatividad Yj 0Xi 0Caso PrcticoEl promotor y Encargado de realizar el evento por el aniversario de Huacho que se realizara en estas fechas que tendra lugar en la Plaza de Armas de esta misma Ciudad,debera realizar las tareas que se muestran en la siguiente tabla, antes de poder realizar el concierto (todas las duraciones estn en das).Se pide contraer la red en su totalidad yhallar el costo adicional del proyecto.Para ello se tienen la sgte. Informacin:Aij Precedentet t C CA ___ 5 4 1200 1500Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaB ___ 4 3 1500 1700C B 8 5 2000 2600D A 2 2 1000 1000E D 3 2 900 1200F D 8 5 3000 4200G F, C 6 4 1800 2500H E 4 3 1300 1500I G, H 5 3 2000 2600Dibujo de la red del proyectoPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaRuta criticaPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaSolucion : MPLMin=300YA+200YB+200YC+MYD+300YE+400YF+350YG+200YH+300YIPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaD.R. X1=0YA-X1+X2>=5YB-X1+X3>=4YD-X2+X4>=2YC-X3+X5>=8YF-X4+X5>=8YE-X4+X6>=3YH-X6+X7>=4YG-X5+X7>=6YI-X7-X8>=5T.R.YA Cantidad que voy a producir en ese mesDn=> DemandaWn => Capacidad de almacenamientoPn => Capacidad de produccinXn-1=> inv. Final etapa n=inv. Inicial etapa n-1Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaETAPA 2f2=r2 + f1*Min r2=4d1 + 2X2 -2SiX2=0 -> r2 =2 , X1=0 ->f1* =8-> 2 +8 =10 d2= 1SiX2=0 -> r2 =6 , X1=1 ->f1* =4-> 6 +4 =10 d2= 2ETAPA 3d3 x30 1 2 d3 f3*X2= X3+d3-32 - 15 19 1 15 0,1d2 x20 1 2 3 d2 f2*X1= X2+d2-10 - 10 10 10 1,2,3 10 0,1,21 8 8 8 - 0,1,2 8 0,1,22 6 6 - - 0,1 6 1,23 4 - - - 0 4 2Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera Informticaf3=r3 + f2*Min r3=6d3 +X3 -3SiX3=2 -> r3 =5 , X2=0 ->f2* =10-> 5 +10 =15 d3= 1SiX3=2 -> r3 =11 , X2=1 ->f2* =8-> 11 +8 =19 d3= 2MESES di CP Inv. InicialInv. FinalCw Costo de ProduccinAbril D3=31 5 2 0 0 5Mayo D2=13 6 0 2 4 10Junio D1=20 0 2 0 0 015 Costo Optimo de ProduccinPor lo tanto la solucin ptima ser: En Abril voy a producir 1, mi demanda est cubierta con mi Inventario Inicial de 2 En Mayo produzco 3, mi demanda queda cubierta y me sobra 2 que es mi inventario final En Junio produzco 0, pero mi demanda se cubre con mi inventario inicial de 2Cantidad que voy a Costo de produccinCosto total de (CP + Cw)Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaPROBLEMA SOBRE MOCHILAEtapa: realizar tareas, echar a la mochila o a un carro o camin. Estados: Cmo se encuentra mi mochila como consecuencia de haber echado las cosas?Inventario Inicial: Capacidad mxima (Volumen, peso) que tiene la mochila, Cantidad de volumen que la mochila puede resistir, Objetivo: Ingresar a la mochila los productos de mayor valorEjemplo: Mi amigo Jos piensa realizar una excursin para ello necesita una buena mochila donde alojar sus pertenecas que necesitara durante dicha expedicin para ello tiene que realizar un Inventario inicial de lo que llevara y ver la capacidad de la mochila de 10 Kg si es que le va alcanzarXi Vi1 2 22 1 33 1 4Tarea o cosas o tipos de productosSe llena con una tabla de ponderacin ejemplo: ponderar del 1 al 5Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaPg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaModelo de Programacin Lineal Max f = V1*d1 + V2*d2 + V3*d3 Max f = 2d1 + 3d2 + 4d3 W1*d1 + W2*d2 + W3*d3 Inventario Inicial capacidad de la mochila 2*d1 + 1*d2 +1*d3 10di 0r3 = V3*d3 r2 = V2*d2 r1 = V1*d1r3 =2 *d3 r2 =3 *d2 r1 =4 *d1d1, d2, d3: Cantidad del artculo que voy a echar a la mochilaX1, X2, X3: Inventarios dependiendo en que etapa se encuentre etapaW1, W2, W3: Pesos correspondientes en cada etapa.V1, V2, V3: valores de los artculos correspondientes de cada etapa3X3=10d3 X2=X3 W3d3X2=X3 2d32d2 X1=X2 W2d2X1=X2 1d21d1 Xo=X1 W1d1Xo=X1 1d1Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaETAPA 1:X1 d1 f10 0 01 1 42 2 83 3 124 4 165 5 206 6 247 7 288 8 329 9 3610 10 40ETAPA 2: d3X30 1 2 3 4 5 d3 f3* X2= X3-2d310 40 34 28 22 16 10 0 40 10,8,6,4,2,0Ya no puedo echar ms, a mi mochila esta llenaMochila vaca (capacidad libre de 10 Kg)Cantidad que me permite llenar a mi mochila f1* = r1 + fo* E n f u n c i n a W 3 = 2f3 = r3 + f2*Pg. 1Escuela Profesional de Ingeniera InformticaETAPA 3:d2x20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10d2F2*X1=x2-d20 0 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0 0 01 4 3 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0 4 1,02 8 7 6 -- -- -- -- -- -- -- -- 0 8 2,1,03 12 11109 -- -- -- -- -- -- -- 0 12 3,2,1,04 16 15141312-- -- -- -- -- -- 0 16 4,3,2,1,05 20 1918171615-- -- -- -- -- 0 20 5,4,3,2,1,06 24 232221201918-- -- -- -- 0 24 6,5,4,3,2,1,07 28 27262524232221-- -- -- 0 28 7,6,5,4,3,2,1,08 32 3130292827262524-- -- 0 32 8,7,6,5,4,3,2,1,09 36 353433323130292827-- 0 36 9,8,7,6,5,4,3,2,1,010 40 393837363534333231300 40 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0d3 = cantidad de Objeto 1 = 0d2 = cantidad de Objeto 2 = 0 E n f u n c i n a W 2 = 1f2 = r2 + f1*Pg. 75Escuela Profesional de Ingeniera InformticaCONCLUSIONES La tcnica de programacin dinmica evita explorar todas las secuencias posibles por medio de la resolucin de subproblemas de tamao creciente y almacenamiento en una tabla de las soluciones ptimas de esos subproblemas para facilitar la solucin de los problemas ms grandes. LaprogramacinDinmicatienemayor aplicacinenlaresolucinde problemas de optimizacin. Permite resolver problemas mediante unasecuencia de decisiones.Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaTema 9:PROCESO DE MARKOVPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaPROCESO DE MARKOVDEFINICION: Familia de modelos dinmicos que son estocsticos y dependientes del tiempo. Buscan determinar en forma secuencial las probabilidades de ocurrencia de eventos.QU ES UN PROCESO ESTOCSTICO?Es un concepto matemtico que sirve para caracterizar; es una sucesin de variables aleatorias(estocsticas) que evolucionan en funcin de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del procesotiene supropia funcin dedistribucin deprobabilidady,entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.QU ES UNA CADENA DE MARKOV?Esunaseriedeeventos, enlacual laprobabilidaddequeocurraun evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el ltimo evento y esto condiciona lasposibilidades delos eventos futuros. Estadependenciadel evento anterior distinguealas cadenas deMrkovdelas series deeventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado.TERMINOS A USAR:Estado: Condiciones inciales y finales del proceso de Markov.Ensayo: Ocurrencias repetidas del evento que se estudia.Probabilidad de Transicin: Probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente.CADENA DE MARKOV:Proceso de Markov que presenta las restricciones:1. Existe un nmero finito de estados.2. Las probabilidades de transicin son constantes.MODELO MATEMATICOPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaNotacin: pij : Probabilidad de cambiar del estado i al estado j.P : Matriz formada por los valores de pij (Matriz de transicin).Si(t) : Probabilidad de encontrarse en el estado i en el periodo t.S(t) : Vector de probabilidad de estado en el periodo t.El desarrollo de las cadenas de Markov dada una matriz de transicin de una etapa P = [Pij] y un vector de estado para el periodo t , S ( t ) esta dado por: S ( t + 1 ) = S ( t ) PY dado que: S ( t + 1 ) = S ( t )P = S ( t 1 )P2 = = S ( 1 )Pt-1 = S ( 0 ) PtSe tiene que:S (t ) = S ( 0 ) PtTambin: Puede obtenerse el vector de probabilidades de equilibrio o de estado estacionario, S , resolviendo el sistema de ecuaciones: S= SP

ESTADOS ABSORBENTES:Es aquelestado que tiene una probabilidad de ser abandonado igual a cero, es decir. Una vez en l es imposible dejarlo. Esto quiere decir: Si i es un estado absorbente si se cumple quepij =0si i jy pii =1.Una cadena de Markov es Absorbente:Si se cumple:a) Tiene por lo menos un estado Absorbente.b) Es posible ir de cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. No es necesario efectuar esta transicin en un 11miiSPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informticapaso; ni esnecesariotenerlaposibilidaddealcanzarcada estado absorbente a partir de cualquier estado no absorbente.Anlisis de las cadenas de Markov Absorbentes.A partir del anlisis de estas cadenas, es posible determinar los siguientes datos:1) El nmero esperado de pasos antes de que el proceso sea absorbido.2) El nmeroesperadodeveces queel procesoestencualquier estado dado no absorbente.La probabilidad de absorcin por cualquier estado absorbente dado.CASO PRCTICO 1PROCESO INFINITO La Tienda de DonFrank estima lo siguiente- 50% de sus clientes que realizaron la comprade papas light en una semana, comprarn cuates la prxima semana.- 1% de sus clientes que realizaron la compracuates en una semanacomprarn papas lightla prxima semana. Prxima semana Semana actualPapas light CuatesPapas light 0.5 0.5 Cuates 0.1 0.9Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaSe Tiene inicialmente s0 = [0.30.7]. Esto significa que, en la semana el 30%de los nios que compraron papas light y el 70% compraron cuates.Don Frank desea saber cul ser la eleccin de los nios en las prximas semanasSOLUCINP =s0 = [0.30.7].S(t + 1 ) = S( t) Ps1 = s0P = [0.3 0.7] = [0.22 0.78]s2 = s1P = [0.22 0.78] = [0.188 0.812]s3 = s2P = [0.188 0.812] = [0.1752 0.8248]s4 = s3P = [0.1752 0.8248] = [0.17008 0.82992]--De los anteriores clculos podemos observarse que despus de t = 3elmercado alcanza un equilibrio, o un estado estable, en el sentido que elmercado no cambia con el tiempoCOMPROBANDO:[s1s2]= [s1s2]* [s1s2]=[(0.8*S1 + 0.3*S2) (0.2*S1 + 0.7*S2)]S1 = 0.5*S1 + 0.1*S2S2 = 0.5*S1 + 0.9*S2Por la Condicin:S1 + S2 =1 S2=1-S2S1 =0.2*S2S1 =0.2*(1-S1)Resolviendo tenemos:Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaS1=0.17 valor porcentual de clientes quecompraran papas lightS2=0.83valor porcentual de clientes que compraran cuates.Graficando el rbolProbabilidad de consumir papas light o cuates en cada etapaPor lo tanto:0.30 = el cliente va a preferir comprar papas light0.70 = Probabilidad de consumir cuatesCASO PRCTICO 2PROCESO FINITO1.- En la tienda de Venta de Pltanos de Doa Victoria en el Distrito de Paramonga ubicada en la parada del mismo Distrito presenta en la actualidad una totalidad de 300 cabezas de Pltano Verde y 60 Cabezas de Pltanos maduro. La Sra. Victoria desea observar la situacin actual de laventadesuspltanostantoverdescomomaduros, paralocual se considera un ensayo de Markov. El cual mostr los siguientes estados:VENDIDO PERDIDO VERDE MADUROVENDIDO 1 0 0 0PERDIDO 0 1 0 0VERDE 0.61 0 0.01 0.38MADURO 0.92 0.01 0 0.07LLCCLCL0.90.220.50.10.50.780.110.110.0780.7020.1880.812E t a p a 1E t a p a 2Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaSe pide:Qu cantidad de Manos de Pltano terminan vendidos?Qu cantidad Manos de Pltano terminanperdidos?Las respuestas tambin deben de representar la cantidad Manos de Pltano Verdes y Maduros que fueron Vendidos o Perdidos.SOLUCIONVENDIDO PERDIDO VERDE MADUROVENDIDO 1 0 0 0PERDIDO 0 1 0 0VERDE 0.61 0 0.01 0.38MADURO 0.92 0.01 0 0.07 De la tabla se saca las siguientes matrices:Hallando la matriz fundamental(F) F=

F= ILM.01.380 .07M=.61 0.92 .01L=1001I=1500 60 VerdeMaduroS0=1001.01.380 .07-.99-.380 .93=.99-.380 .93-1Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informtica.99a - .38c = 1 a=1.01 .99b - .38d = 0 b=0.41 .93c = 0 c= 0 Entonces:F=Ahora multiplicamos por la matriz L: F x L == Por ltimo tenemos:.99-.380 .93a b

c d1 00 1(.99a - .38c)(.99b - .38d).93c .93d1 00 1.93d = 1 d= 1.08

1.010.410 1 .081.010.410 1 .08.61 0.92 .01 .02.99 .01.99 .01 .02VendidoPerdidoVerde MaduroSe VendeSe Pierde1544 16VendidosPerdido==Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informtica=Conclusin del Problema:El total de las Manos de Pltanos Vendidas son 1544 mientras y que se pierden adems se puede observar que el Pltano verde es el Ms Vendido.Tema 10:150060.99 .01.99 .01 .021485 Verde59 Maduro15 Verde1 MaduroPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informtica TEORIA DE JUEGOTEORIADE JUEGOLos juegos representan situaciones de competencia y conflicto entre los jugadores, loscualessesuponequesonpersonasracionalesquerealizansu juego de un modo inteligente con el fin de ganarlo, o bien para minimizar sus prdidas. La teora de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimizacin interactiva. La teora de juegos puede haber un nmero variable de jugadores, cada uno de los cuales tiene un diferente nmero de estrategias posibles cuya combinacin nos llevara a determinar el valor del juego. La teora de juegos es diferente a la tomadedecisiones, yaqueenestael tomadordedecisionesjuegacontrala naturaleza, la cual es un adversario pasivo cuyas estrategias se definen de una maneraprobabilstica,mientrasquepor su parteen la teora dejuegos,cada Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informticajugador define las probabilidades de sus estrategias buscando lo que ms conviene a sus intereses.TERMINOLOGA Juego._ Situacincompetitivaentrevariosjugadorescadaunodelos cuales tratara de enfrentarlo de modo que maximice sus ganancias. Estrategias._Sonlasdistintasaccionesquepuedetomar unjugador, cada una de la cuales lleva un valor numrico asociado a ella y conducente al valor del juego, dependiendode las combinaciones de estrategias de los diversos jugadores. Valor de juego.- Es elresultado numrico finalque se obtiene, cuando cada jugador define sus estrategias. Matriz de pagos.- Es una matriz donde se incluyen todos los resultados del juego para las posibles combinaciones que puede haber.CLASIFICACIN Los juegos se clasifican de acuerdo a varios criterios, de los cuales lo ms frecuentes son los siguientes:1. El nmero de jugadores que participan: pueden ser de dos o ms jugadores.2. El tipo de estrategias del juego: las estrategia del juego pueden ser puras si cada uno de los jugadores juega todo el tiempo solo una de sus estrategias; y mixtas, en las que cada jugador juega variasde sus estrategias en diversas proporciones indicadas por las probabilidades de cada una de ellas.3. La suma del juego: Representa el valor neto del juego, pudiendo ser cero, cuando lo que un jugador gana es igual a lo que el otro pierde, de modo que el resultado neto es cero; y diferente de cero, cuando lo que un jugador gana no es igual a lo que el otro pierde, o bien si ambos jugadores ganan o ambos pierden.Los casos fundamentales que se pueden presentar se pueden resolver aplicando los siguientes mtodos.1. PUNTO SILLA:Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaEl punto de silla consiste en localizar aquel valor de la matriz que es a la vez el mnimo del rengln y el mximo de la columna a los que pertenece, siendo la estrategia a jugar para cada jugador, por constituir el optimo para ambos. El punto silla es el valor MaxiMin (mximo de los mnimos) para el jugador 1 y el Minimax (mnimo de los mximos) del 2, tal y como puede verse en el juego que se presenta en la siguiente figura:2. ESTRATEGIA DOMINANTE:En la teora de juegos, a veces aparecen juegos que puedes ser reducidos de tamao mediante la estrategia de dominio, el cual conforme a la notacin convenida es el siguiente: habr dominio en un juego siempre que en la matriz de pagos todos los elementos de una lnea dada ya sea rengln o columna sean mayores o iguales que los de otra lnea semejante. As si todos los elementos de un rengln dado son mayores o iguales, que los correspondientes a otro, se dice que el primer rengln domina al ultimo, ya que el jugador 1 no escoger la estrategia respectiva del rengln de elementos menores,por lo que dicho rengln puede eliminarse del juego; por su parte si los elementos de una columna, se dice que la primera columna domina a la ultima, ya que por ser menores sus elementos, al jugador 2 le convendr tomar los menores valores de la matriz de pagos, por lo que no jugara la estrategia correspondiente a su columna de elementos mayores, por lo que sta puede eliminarse del juego. Este concepto aplica para juegos en los que no existe punto silla de montar por lo que forma parte de una estrategia mixta. CASO PRCTICO 1:Dos grandes almacenes A y B compiten en el mercado y pretenden aumentar la afluencia de compradores en estas Navidades. Cada uno de ellos, tras estudios de marketing, han decidido adoptar las siguientes estrategias. 1) Anticipar las rebajas. 2) Proporcionar servicio a domicilio. 3) Establecer aparcamiento gratuito.La variacin de la afluencia de pblico tras aplicar dichas estrategias se ha estimado obtenindose los siguientes resultados.Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaB1 2 31 0 -2 2A 2 4 3 -33 1 2 -4Se quiere emplear esta informacin para escoger su mejor estrategia.Determinar la mejor estrategia paralas dos partes mediante los mtodos explicados en clase.SOLUCIN1) PUNTO SILLAB1 2 31 0 -2 2 -2A 2 4 3 -3 -33 1 2 -4 -44 3 2MIN(MAX)= 2 MAX(MIN)= -2NO EXISTE PUNTO DE SILLANo existe una solucin mediante elmtodo de Punto de Silla2) ESTRATEGIA DOMINANTEBMIN(MAX)= 2MAX(MIN)=-2Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informtica1 2 31 0 -2 2A 2 4 3 -33 1 2 -4Fila 2 absorbe a fila 3B1 2 31 0 -2 2A 2 4 3 -3Columna 2 absorbe columna 1B2 31 -2 2A 2 3 -3No existe una solucin mediante elmtodo de Estrategia Dominante3) ESTRATEGIA MIXTAPasamos a la forma2*nmediante el mtodo de estrategia dominantePg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaBY2 Y32 3A X11 -2 2X22 3 -3SOLUCIONY2 Y3X1 -2 2X2 3 -3Reemplazando valoresReduciendo VariablesPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaX2 =1-X1Reemplazando f1= f2= ibujando lasfuncionesCalculandoMax(min)Funciones 1,2 =Pto optimoPTOPTIMOPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informtica 0.6Para x1=0Para x1=1EntoncesLa Solucin mediante el mtodo de Estrategias mixtas es la siguienteCASO PRCTICO 2:DoscompaasGLAXO(Relenza) YROCHE(Tamifl), vendendosmarcas de antigripales. La compaa GLAXO anuncia en radio, televisin y peridicos. La compaaROCHE, adems deutilizar radio, televisinyperidicos, tambin mandapor correofolletos. Dependiendodel ingenioylaintensidaddela Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informticacompaa de publicidad, cada compaa puede capturar una porcin del mercado de la otra. La siguiente matriz resume el porcentaje de mercado capturadoo perdidopor la compaa ROCHE.PUNTO SILLALa estrategia ptimaest dada por:MAX (MIN)=MIN (MAX)MAX(MIN)=MIN(MAX)= V*=5ESTRATEGIA DOMINANTESe pueden aplicar por filas y columnas.V*=5ESTRATEGIAS MIXTASSe utiliza cuandono existepunto sillani estrategiasdominantes y las estrategiasson 2xn mx2.5 5RadioTelevisinPeridicosFolletosRRadio8-29-33Televisin6568TPeridicos-24-95P-3 5-95 8 5985ROCHE (TAMIFL)GLAXORELENZA*Radio*TelevisinPeridicosFolletos**Radio 8 -2 9 -3**.Televisin 6 5 6 8ROCHE (TAMIFL)GLAXORELENZAPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informtica*Radio*.Televisin.PeridicosFolletos*Radio8-29-33.Televisin6568..Peridicos-24-95.Y1Y222X1-2-33X2585TelevisinFolletosTRadio-2-33Televisin58TROCHE (TAMIFL)GLAXORELENZATelevisinFolletosTRadio-2-33Televisin58TPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaV*=5;Y2=0;Y1=1X1=0;X2=1MODELO DE PROGRAMACIN LINEALSe aplicacuando los competidorestienenmxn estrategias.Y1Y2Y3Y4X18-2 9-3Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaMPL DE LA COMPAA GLAXOMAX Z=Vs.a:=1CNN:;MPL DE LA COMPAA ROCHEMIN Z=Vs.a:CNN:;CONCLUSIN DEL CASO:La solucin ptima del juego pide seleccionar la estrategiasTelevisin;es decir ambas compaas deben anunciarse por televisin el resultado ser a favorde la compaa GLAXO porque su participacin en el mercadoser de 5%.En este caso, decimos que el valor del juego es 5% y que GLAXO Y ROCHE usan una solucin de punto deequilibrio.Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaTema 11: MODELO DE LINEA DE ESPERAPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaMODELO DE LNEAS DE ESPERALos modelos de lnea de espera consisten en frmulas y relaciones matemticas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas (medidas de desempeo) para una cola. Las caractersticas operativas de inters incluyen las siguientes: Probabilidad de que no haya unidades o clientes en elsistema Cantidad promedio de unidades en la lnea de espera. Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la lnea de espera ms la cantidad de unidades que se estn atendiendo). Tiempo promedio que pasa una unidad en la lnea de espera. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera ms el tiempo de servicio). Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio. Losgerentesquetienendichainformacinsonmscapacesdetomar decisiones que equilibren los niveles de servicio deseables con el costo de proporcionar dicho servicio.CONCEPTOS BSICOSClientes: Trmino usado en un sistema de colas para referirse a: Gente esperando lneas telefnicas desocupadas. Mquinas que esperan ser reparadas. Aviones esperando aterrizar.Instalaciones de Servicio: Este trmino se usa para referirse a: Lneas telefnicas. Talleres de reparacin. Pistas de aeropuerto.Llegadas: Es el nmero de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.Tasa de Servicio:Este trmino se usa para designar la capacidad de servicio, por ejemplo: Un sistema telefnico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto. Una instalacin de reparacin puede de media, reparar mquinas a razn una cada 8 horas.Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informtica Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.Nmerodeservidoresdeservicio:Es lacantidaddeservidores deque disponemos: Nmero de conmutadores telefnicos. Nmero de puestos de reparacin. Nmero de pistas de aterrizaje de un aeropuerto.El nmero de servidores no tiene porqu ser siempre en paralelo, es decir, puede que un sistema de colas tenga varias fases.TIPOS DE COLAS El primer sistema que se muestra se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir una consulta de un mdico.a) Una lnea, mltiples servidores El segundo, una lnea con mltiples servidores, es tpico de una peluquera o una panadera en donde los clientes toman un nmero al entrar y se les sirve cuando les llega el turno.b) Varias lneas, mltiples servidores El tercer sistema, enquecadaservidor tieneunalneaseparada, es caracterstico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sera vlido slo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separacin no sera vlida.NOTACIN DE KENDALLPor convencin los modelos que se trabajan en teora de colas se etiquetan ___/___/___Distribucin de tiempo entre llegadasDistribucin de tiempos de servicioNmero de servidoresPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaLas distribuciones que se utilizan son: M: Distribucin exponencial (markoviana) D: Distribucin degenerada (tiempos constantes) G: Distribucin generalM / M / s : Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son exponenciales y se tienen s servidores. CASO PRCTICOPeluqueraMelanieesunaempresa,quedael serviciodecortedecabello, Tintes, rayitos, laceados, peinados, ondulaciones entre otros, ubicada en la Av. Central N 233 en Paramongaque atiende de Lunes a Sbado con un horario de las 8 am a12am y desde las 2 pm hasta las 1Opm. La llegada de clientes sigue una distribucin de Poisson y los servicios una distribucin exponencial. En esta Peluquerael primero en llegar es el primero en ser atendido las llegadas son de 2 personas por cada 40 minutos y la atencin es de 30min/cliente. Actualmente est peluquera cuenta con dos Seoritas peluqueras.1. Hallar :a) La probabilidad de que no haya ningn cliente en La Peluquera.b) Nmero promedio de clientes en el sistemac) Nmero promedio de clientes en la colad) Tiempo promedio de espera en la colae) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistemaf) Probabilidad de atencinSOLUCIN:Modelo: M/M/2Pg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informticaa) La probabilidad de que no haya ningn cliente en La Peluquerab) Nmero promedio de unidades en la lnea de espera.c) Nmero promedio de unidades en el sistema.d) Tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera. La probabilidad de que no se encuentre a ningn cliente en el

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.|1 k0 nk n0 kkk!1n!11P+ qL L30818 . 0qW( )0 2) ( .! 1) (Pk kLkq ( ) ( )

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.|+10 n2 n058432!143n!11P2 . 21P0 4545 . 0 P0 ( )4545 . 0) 5 ( .! 1822) 4 3 (qL4545 . 0255 . 4qL0818 . 0 qL8318 . 0430818 . 0 + L L0273 . 0 qWqqLWPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera Informticae) Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.f) Probabilidad que una unidad que llega tenga que esperar.CONCLUSION DEL TEMA La teora de las colas es elestudio matemtico de las colas o lneas de espera. La formacin de colas es, por supuesto, un fenmeno comn que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva. Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto a la cantidad de servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchasvecesesimposiblepredecir conexactitudcundollegarnlos clientes que demandan el servicio y/o cuanto tiempo ser necesario para dar ese servicio; es por eso que esas decisiones implican dilemas que hay que resolver con informacin escasa. Las lneas de espera largas tambin soncostosas por tantoparalaempresayaqueproducenprdidade prestigio y prdida de clientes. Lateoradelascolas en si no resuelvedirectamente el problema,pero contribuye con la informacin vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas caractersticas sobre la lnea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio. 410273 . 0 + W0!1Pk kkPkw

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.| 1+ qW W2773 . 0 W4545 . 05843! 212

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.|wP4545 . 0209

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.|wP9045 . 0 wPPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaANEXOPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaCONCLUSION GENERALPg. 106Escuela Profesional de Ingeniera InformticaLainvestigacinoperativaesel procedimientocientficoqueest auxiliado por modelos y tcnicas matemticas, servible para disear y operar a los problemas complejos de la direccin y administracin de grandes sistemas que forman una organizacin compleja en las cuales las decisiones son muy importantes y difciles de elegir,ya quelaeficaciadeunadecisinsobreguardarlasupervivenciay desarrollo de sta, al contrario estara en camino hacia el fracaso.