Alumno: Ocampo Venegas Josué. Grupo: 03

Universidad Nacional Autónoma de México

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Ejercicio 1Una empresa manufacturera de teléfonos celulares debe determinar la cantidad que se debe producir en este mes de cada uno de los modelos A y B. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

El tiempo máximo disponible para estos productos es de 1250 horas para sub-ensamble, 1600 horas para ensamble final y, 600 horas para inspección.

1. Plantear el modelo matemático.

Z= 10A+20BEcuaciones de Restricción:1.1A+1.25B <= 12500.8A+2B <=16000.5A+0.8B <=600

Cantidad Máxima de unidades A:1.1A+1.25(0) <= 12501.1A <= 1250A<=1136.36

Cantidad Máxima de unidades B:1.1A+1.25B <=12501.1(0) +1.25B <=1250B<= 1000

2. Mediante el método gráfico, determinar el programa de producción.

Método Gráfico:Calculando los puntos extremos para las restricciones:0.8A+2B <= 1600 0.8A+2B <=16000.8A +2(0) <=1600 0.8(0) +2B <=1600 A<=2000 B<= 800

0.5A+0.8B <=600 0.5(0)+0.8B <=6000.5A+0.8(0) <=600 0.5(0) + 0.8A<=1200 B<=750Gráficas:

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Del método gráfico se pueden determinar los valores de A, B y Z, los cuáles son:A=0B=750Z=15000 y Z se obtiene a partir del modelo matemático antes propuesto:Z= 10A+20B, sustituyendo el punto encontrado de coordenadas: (0,750):Z=10(0)+20(750)= 15000

3. Aplique el teorema fundamental del método simplex y3.1. Encontrar las coordenadas de los puntos extremos del

polígono convexo determinado en la solución gráfica.3.2. Determinar la solución óptima del programa de producción.

Aplicando el Método SimplexMaximizar Z= 10A +20B Sujeto a:

1.1A + 1.25B <=1250 horas0.8A + 2B <= 1600 horas0.5A + 0.8B <=600 horas

A, B >=0

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Estandarizando el modelo (agregando en variables de holgura):Max Z= 10A + 20B + X1 + X2 + X3

Sa. : 1.1A + 1.25B + X1 = 12500.8A + 2B + X1 + X2 = 16000.5A + 0.8B + X1 + X2 + X3 =600

A, B, X1, X2, X3 >=0

Tableau del Método Simplex:

Cj 10 20 0 0 0CB Base A B X1 X2 X3 Soluci

ón0 X1 1.1 1.25 1 0 0 12500 X2 0.8 2 0 1 0 16000 X3 0.5 0.8 0 0 1 600

Zj 0 0 0 0 0 0(Cj-Zj) 10 20 0 0 0

Aplicando el método:Cj 10 20 0 0 0

CB Base A B X1 X2 X3 Solución

ϴi

0 X1 1.1 1.25 1 0 0 1250 1041.66

0 X2 0.8 2 0 1 0 1600 8000 X3 0.5 0.8 0 0 1 600 750

Zj 0 0 0 0 0 0 0(Cj-Zj) 10 20 0 0 0

Se da a notar que el elemento pivote es 0.8, entonces se divide el renglón entre 0.8:

Cj 10 20 0 0 0CB Base A B X1 X2 X3 Soluci

ónϴi

0 X1 1.1 1.25 1 0 0 1250 1041.66

0 X2 0.8 2 0 1 0 1600 8000 X3 0.625 1 0 0 1.25 750 750

Zj 0 0 0 0 0 0 0(Cj-Zj) 10 20 0 0 0

Utilizando el pivote se realizan las transformaciones correspondientes para obtener al vector unitario:

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-2R3 + R2-1.2R3+R1

Cj 10 20 0 0 0CB Base A B X1 X2 X3 Soluci

ónϴi

0 X1 -0.15 0 1 0 -1.5 3500 X2 -0.45 0 0 1 -2.5 100 80020 X3 0.625 1 0 0 1.25 750 750

Zj 0 0 0 0 0 0 0(Cj-Zj) 10 20 0 0 0

Resolviendo el resto del sistema por WinQSB:Tableau de 1era Iteración:

Tableau Iteración 2:

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Solución Óptima:

Localización de Puntos Extremos para la Función Objetivo: Z=10A+20B en el polígono convexo:

Puntos Extremos Coordenadas: (A,B)

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O (0,0)C (0,750)G (0.3188,0)H (-0.45,0)F (0.6250,1)H (-2.5,0)I (1136,0)J (900,150)

4. Mencionar la referencia bibliográfica:Libro: Toma de Decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Autores: Robert J Thierauf, Richard Grosse. Editorial: Limusa, 1era Edición, 1972, WinQsb 2.0

Ejercicio 2En relación al problema anterior, el departamento de mercadotecnia considera que por estrategia comercial, se requiere que al menos 200 unidades de A y 100 unidades de B deben producirse.

1. Plantear el modelo matemático con esta nueva estrategia de mercadotecnia

Modelo Matemático:Z=200A+100B

2. Determine las cantidades de A y B que deben producirse tal que maximicen las Utilidades.

Función Objetivo: Z=200A+100B

Maximizar Z= 200A +100B Sujeto a:

1.1A + 1.25B <=1250 horas0.8A + 2B <= 1600 horas0.5A + 0.8B <=600 horas

A, B >=0Estandarizando el modelo (agregando en variables de holgura):Max Z= 200A + 100B + X1 + X2 + X3

Sa. : 1.1A + 1.25B + X1 = 12500.8A + 2B + X1 + X2 = 16000.5A + 0.8B + X1 + X2 + X3 =600

A, B, X1, X2, X3 >=0

Tableau del Método Simplex:

Cj 200 100 0 0 0

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CB Base A B X1 X2 X3 Solución

0 X1 1.1 1.25 1 0 0 12500 X2 0.8 2 0 1 0 16000 X3 0.5 0.8 0 0 1 600

Zj 0 0 0 0 0 0(Cj-Zj) 200 100 0 0 0

Resolviendo por WinQsb:

Del método gráfico se observa que:A=1136.36B=0Z=227272.73

Resolviendo por el método simplex:Tableau de 1era Iteración:

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Variable de Entrada:

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Tableau de Iteración 2:

Variable de Entrada:

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Solución Óptima:

3. Determine el valor marginal de cada recurso y cómo impacta en la solución

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Óptima. Justifique sus respuesta mediante la pregunta ¿qué pasa si?

El valor marginal de cada recurso es:

¿Qué pasa si disminuimos el tiempo de sub-ensamble en 10%?Como B=0 sólo se modifica A, por lo mismo el valor de A no cambia y por el modelo matemático sólo se afecta el tiempo de ensamble final y el tiempo de inspección ya que ocurriría un retraso en el sub-ensamble por la reducción.

Por lo tanto el valor marginal influye solamente en la contribución total del modelo y en el beneficio por unidad de manera que el beneficio de A siempre será el doble del beneficio de B.

4. Comprobar analíticamente el intervalo de optimación para alguno de los Modelos A o B.El Intervalo de optimación es: (1136.36, 0)Comprobando con el modelo matemático propuesto anteriormente en el inciso 1:Z= 200A+100BZ=200(1136.36)+100(0)Z=227272

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El valor de Z se observa que es el mismo dado en la solución del método simplex.

5 Hacer el análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo Relacionados con la solución óptima. Justifique sus conclusiones mediante la Pregunta ¿Qué pasa si?.

Análisis de Sensibilidad de la Función Objetivo:

Función Objetivo: Z= 200A+100BFunción Óptima: Z=200AZ=227.2727

¿Qué pasa si se evalúa el modelo con respecto a B?Se obtendría el valor máximo permitido de la función objetivo, pero en cambio se reduciría el beneficio por unidad y no se ahorraría nada en cuánto al costo.

6 Hacer el análisis de sensibilidad para el lado derecho de las restricciones. Justifique sus conclusiones mediante la pregunta ¿Qué pasa si?.

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Análisis de Sensibilidad por el Lado Derecho de las Restricciones:

Por el lado Derecho de las restricciones se obtiene el valor de los coeficientes que nos dan a conocer el valor máximo permitido de 1, 320,0000 y los valores constantes que afectan al modelo.

¿Qué pasa si fluctúa el modelo en tiempo?Se modifican los valores de las constantes de tal forma que los parámetros cambian proporcionalmente al valor de A, pero de igual manera sólo se modifican el valor máximo de la constante 1.

7. Mencionar la referencia bibliográfica.Libro: Programación Lineal, Autor: Hossein Arsham, 9ª Edición, WinQsb.

Ejercicio 3a) Una empresa manufacturera de electrodomésticos fabricará tres nuevos productos. En este momento, cinco de sus plantas tienen exceso de capacidad de producción. El costo unitario respectivo de producción del primer producto será de $41, $39, $42, $38 y 39 en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5. El costo unitario del segundo producto será de $55, $51, $56, $52 y $53 en las plantas respectivas 1, 2, 3, 4 y 5. y para el tercer producto será de $48, $45 y $50 en las plantas respectivas 1, 2 y 3, pero

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las plantas 4 y 5 no pueden producir este producto. Los pronósticos de ventas indican que la producción diaria debe ser de 700, 1000 y 900 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5 tienen capacidades para producir 400, 600, 400,600 y 1000 unidades diarias, sin importar el tipo de producto o combinación de productos. Suponga que cualquier planta que tiene capacidad y posibilidad de fabricarlos podrá producir cualquier cantidad de productos y con cualquier combinación.La administración desea asignar los nuevos productos a las plantas con el mínimo costo total de producción.

1. Formule este problema como un problema de transporte mediante la construcción de la tabla de parámetros apropiada.

2. Obtenga una solución óptima para el programa de producción.

1. Tabla de Parámetros

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Primera iteración

Segunda Iteración:

Última Iteración:

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2. Solución Óptima:

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b) Después de hacer una revisión de los pronósticos de ventas, estas disminuyeron a 280, 400 y 350 unidades diarias de los respectivos productos 1, 2 y 3. Por lo anterior, cada planta tiene ahora capacidad para producir todo lo que se requiere de uno de ellos. La administración ha decidido que cada nuevo producto debe asignarse a una sola planta y que ninguna de estas debe fabricar más de un producto (por ello se asignará un producto a cada una de tres de las plantas y dos plantas quedarán sin asignación). El objetivo de hacer estas asignaciones es minimizar el costo total de producción de estas cantidades de los tres productos.

1. Formular este problema como uno de asignación mediante la construcción de la

Tabla de costos apropiada. 2. Obtenga la solución óptima. 3. Construya la tabla de parámetros adecuada para volver a

formular el problema Como uno de transporte.

5. Usando la solución básica inicial por el método de Vogel (mostrar el desarrollo), resolver el problema aplicando el método de Stepping-Stone.

6. Mencionar la referencia bibliográfica.Nota. Para resolver el punto 5, el procedimiento viene en las notas. En caso de que requieran una ilustración del método, háganmelo saber y se los doy mañana en la tarde en el salón B302 a las 16:00 hrs.

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1. Tabla de Costos

2. Solución Óptima

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3. Tabla de Parámetros

4. Solución Óptima: Método de Vogel

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5. Referencia Bibliográfica: Se utilizó WinQSB versión 2.0 para Windows 7 para realizar el Ejercicio 3