logaritmos problemas - wordpress.comlogaritmos problemas simplificar las siguientes expresiones ......

Julio Cruz www.juliocruz82.wordpress.com

[1]

LOGARITMOS

PROBLEMAS

SIMPLIFICAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES

1. 3 2 5log 27 log 48 log 25+ −

2. log 34

9log 816 3. log 34

3log 82

4. 5 5

5

log 15 2 log 7

4log 3

7 3

7E

++=

5. 2 3

2 3

1 log 3 1 log 2

1 log 3 1 log 2

+ ++− −

6. ( ) 63 2

log 5log 2 log 34 9×

7. log log log logn n

a a an an n

an n+ +

8. 15 155 5

512 216log 8 64 log 6 36E = +

9. 1 1 1

1 log 1 log 1 loga b ccb ac ab+ +

+ + +

10.

2 25 4 4

16 5

1 1

log 3 log 49 log 9 log 9

1

log 25 log 3

27 5 81 8

3 5 5

+ −

+ ×

11. 6 8

1 1

log 5 log 725 49+

12. 5 9 7

1 4

log 3 log 36 log 981 27 3+ +

13. 42 2log log 2−

14. 3 33 3log log 3−

15. 6 9log 5 log 361 log 236 10 3−+ −

16. 9

125 7

1 1log 4 log 8 log 24 281 25 49

− + ×

17. ( )65

2525

31log 3 2log 9

log 6log 781 37 125

409

+ −

18. 2 51284

11 111 15

log logloglog ...N NNNN N N N

× × × ×

19. ( )3254 272 49

1loglog log 1 4log 22 3 2 7 5 1

aa a aa+ − − ÷ − −

20. ( )2 3

2 2 21

62 2

log 1 log 1

log 1 log 1

a

a

aa

a a

a a

− × −

− × −

21. 2 2

1 1log log 1 log 1 log2b a b aa b a ba b a b ab

+ ++ +− +

22.

49 3

1 2

2log 25 2log 4 log 4 22 2 225 2log log log 4

1

aa a

a

− + −

−

23. ( ) ( )log log 2 log log log 1a b a ab bb a b b a+ + − −

24. ( )

31 log

log log 1 log

a

a b a

b

ab a

b

−

+ +

SIMPLIFICAR LAS EXPRESIONES

25.

( )100 100

2loglog log

log log

ab a ba b

a bb a

+

×


[3]

26. ( )1

1 24 4 2log log 2 2 log logb a b aa b a b

+ + + − −

27. ( ) 1 22 2

3 log loglog log 12 2 4

2 2 4

1log 2 log log 2

2x

xx

x x x x−

++ ⋅ + +

28. 24

11 21

1 3log 22log 8 1xxx+

+ +

29. ( )3

4 6

3 12

log log

loglog log

a a

bb

a a

b b

b b

a bb b

−

−

÷−

30. ( )( )2

16 2 26 log log 1 log log logb a a aa

a b b b b−× + + + −

31. ( )20,5 log

2log log

log log log log

log log 1

b

b a

a

a aab a

b

a ab

b b b b

b b b

+ ××− −

32. log log 2 log loga b a b a b a bm m m m+ − + −+ − × si se

cumple 2 2 2m a b= −

33. 1 33

1log 2 log 3 log

3

−

34.

log

log

log

log

xabc

y

yabc

x

yx

xy

x

y

35. ( )2

1

2

11log lg 222

20.5 lg lg

lg 2 lg

lg 11 10

2lg

b

b

b b

b

b

−× ×

+ + −

36. ( )1

11 24 4 22 4 42log log log log loga a b a b

b ab ab ab

a b

+ − +


[4]

37. ( )log log 2 log log logn p n np np n p p p+ + × − ×

38.

1 112 22 22

log 1 log 11 1 2 log

2log 2loga a

a

a a

b bb

b b

+ + − − +

39. ( )

( )

( ) ( )( )

21 2

12 2

11 log log

1 log log

a

a

aa

a ba b

a b a b

− + −−

− − + −

40. ( )1

1 24 4 2log log 2 2b aa

+ + −

Calcular

41. 1 log 1 log

log 5 log 551 log 1 log

a bb a

b a

b a

a ba b

+ + + + +

42. lg tan2º lg tan4º lg cot2º lg cot 4º+ + +

43. lg tan3º lg tan6º lg tan9º... lg tan87º× × ×

44. lg tan1º lg tan2º lg tan3º ... lg tan89º+ + + +

Demostraciones

45. Demostrar que

3 4 5 6 7 7

1log 2log 3 log 4 log 5 log 6 log 8

3=

46. Demostrar que

( ) ( )2 21

3

log cos cos cos2 cos2 0α β α β α β + + − − =

47. Demostrar que

2 2 2log cos 20 log cos 40 log cos 80 3+ + = −

48. Demostrar que log

1 loglog

aa

ab

xb

x= +

49. Demostrar que log log

log1 log

b bbn

b

a nan

n

+=+


[5]

50. Demostrar que

2 3 4 5

1 1 1 1 115 log

log log log log log n

a a a a a

an n n n n

+ + + + =

51. ( ) ( ) ( ) 1 2

1 2

...1 11

1log

log log ... logn

n

a a a

a a a

xx x x

− −− =+ + +

52. log log log log log loga b b c c an n n n n n+ + =

log log log

loga b c

abc

n n n

n= i i

53. Demostrar que

( )1lg lg lg

3 2

a ba b

+ = + si 2 2 7a b ab+ =

54. Demostrar que

( )2 1lg lg lg

4 2

a ba b

+ = + si 2 24 12a b ab+ =

Calcular

55. 100log 40 si 2log 5 a=

56. 6

3log a si log 27a b= , 0, 0a a> ≠

57. logc ab si log ,log ,loga b cn p n q n r= = = , donde

a, b, c, n son números positivos distintos de 1

58. 3

logab

a

b si logab a n= , donde a, b son números

positivos, con la particularidad de que 1ab ≠

59. 49log 16 si 14log 28 a=

60. 12log 60 si 6log 30 a= , 15log 24 b=

61. Si 1log sin40 log tan40 log cos 40a a a b−+ + = ¿a

que será igual 1log sin50 log tan50 log cos 50a a a

−+ + ?


[6]

62. Hallar 30log 8 , si se sabe que lg 5 a= y lg 3 b= 1

63. Si 2log 4b = , hallar “a” en: 2

2log 62

ba

=

64. Si 12log 3 b= , hallar 12log 8

65. Calcular 2 2x x−+ , si 4 4 23x x−+ =

1 lga logaritmo en base 10


[7]

SOLUCIONES

1. Recordamos que log n

b b n=

Tenemos

3 2 5log 27 log 64 log 25+ − 3 6 23 2 5log 3 log 2 log 5= + −

3 2 53log 3 6log 2 2log 5 3 6 2 7= + − = + − =

2. Por propiedad de logaritmos tenemos log 34

9 4 9log 8 log 3 log 816 16=

Trabajando con 4 16log 3 log 9=

16 9 16log 9 log 8 log 816 16 8// = =

3. 3log 3 24 223 4 3 4

3log 2log 2log 8 log 3 log 8 log 8 22 2 2 2 2 2 2= = = = =

4. ( )5 5 5 5 5

5 5

log 3 5 log 7 log 5 log 3 log 72 2

4 4log 3 log 3

7 3 3 7 3 3

7 7E

× ++ × + ×= =

5 5 5 5

5 5

log 3 log 7 log 3 log 3

4 4log 3 log 3

7 7 9 3 7 7 9 7

7 7E

× + × × + ×= =

( ) 5

5

log 3

44log 3

7 9 716 2

7E

+= = =

5. Trabajando con el 1º monomio 2

2

1 log 3

1 log 3

+−

3

2 3 3 3

32 3

3 3

log 2 111

1 log 3 log 2 log 2 1 log 21 log 2 11 log 3 1 log 21

log 2 log 2

+++ += = = −−− −−

en la

expresión original 3

3

1 log 2

1 log 2

+−−

3

3

1 log 2

1 log 2

++−

0=

6. ( ) 63 2

log 5log 2 log 34 9× llevando a una raíz común

( ) ( )6 62 3 2 23 3

log 5 log 5log 3log 2 log 3 2log 3log 2 2log 24 9 2 3= =


[8]

( ) ( )6 62 3 6 6log 5 log 5log 9 log 4 log 5 2log 52 3 9 4 36 6× = × = = =

6log 256 25=

7. log log log logn n

a a an an n

an n+ + =

( )log loglog log

n na an an n n

a aa n× + = ( )( )log log log

na an an n n

a a n× =

( )( ) ( )( )1 1log loglog log log loga ana a

n a nnn a nn

a aa n n a n×× × = × *

Recordando que ( ) ( )log loglog a an a n

an a n a× × = en *

( )( )1 1log loglog loga a

a a

n a nn a nn nna a a

×× = =

8. 15 15

5 55 5

512 216log 8 64 log 6 36E = +

1515 9 3

515 6 5 25

2 6log 2 2 log 6 6E = +

9 3

15 15

21 7

5 52 6

2 6

21 7

5 5log 2 log 6 log 2 log 69 3

15 15

E = + = +

21 15 7 157 7 14

5 9 5 3E

× ×= + = + =× ×

9. Recordamos que log log log 1a b ca b c= = =

1 1 1

1 log 1 log 1 loga b ccb ac ab+ + =

+ + +

1 1 1

log log log log log loga a b b c ca cb b ac c ab+ + =

+ + +

1 1 1

log log loga b cabc abc abc+ + =

Logaritmo inverso: 1

loglogu

v

vu

= para cada monomio

log log log log 1abc abc abc abca b c abc= + + = =


[9]

10. Recordando que 1

loglog a

b

ba

= y loga ba b=

( ) ( )2222 23 5 9

225 5

log 3log 7log 2 log 4

log 4 log 3

27 5 81 8

3 5 5

+ −=

+ ×

( ) ( )23 5 9

5 5

log 3log 2 log 7 log 43 2 3

log 4 log 3

3 5 9 2

3 5 5

+ −=

+ ×

( ) ( ) ( ) ( )8 7 16 27 15 1111

3 4 3 15

+ − −= = = −

+ ×

11. Similar al ejemplo anterior

6 8 5 7

1 1

log 5 log 7 log 6 log 825 49 25 49+ = +

5 57 7log 6 log 36log 8 log 642 25 7 5 7= + = +

36 64 100 10= + = =

12. 5 9 7

1 4

log 3 log 36 log 981 27 3+ + 2

2 23 9 9 3 3 3log 6 4 log 7log 5 log 36 4log 7 log 54 381 27 3 3 3 3= + + = + +

2 4 3 22 23 3 3 3 3 3

log 6 4log 7log 5 log 5 log 6 log 74 33 3 3 3 3 3= + + = + + 4 3 25 6 7 890= + + =

13. 1

84 82 2 2 2 2 2log log 2 log log 2 log log 2− = − = −

32 2 2 2 2

1 1log log 2 log log 8 log 2

8 8 = − = − = =

23log 2 3= =

14. 1

3 33 3 93 3 3 3 3 3log log 3 log log 3 log log 3− = − = −

23 3 3 3 3

1 1log log 3 log log 9 log 3

9 9 = − = − = =

32log 3 2= =


[10]

15. 2

26 9 6 3log 6log 5 log 36 log 51 log 2 2 log 236 10 3 6 10 10 3− −+ − = + × −

6 3log 25 log 6

log 2

10 106 3 25 6 24

10 2= + − = + − =

16. 9

125 7

1 1log 4 log 8 log 24 281 25 49

− + × =

( ) ( )2 3

2 33 5 7

1 12 log 2 2 log 2 2 log 24 29 5 7 −

= + ×

35 7

3

1 1log 2 log 4 log 42 2

log 2

19 5 7 9 4 4

9

− = + × = × + ×

3log 4

1 1 193 4 4 3 4 4 4 19

3 4 4 × + × = × + × = × =

17. ( )65

2525

31log 3 2log 9

log 6log 781 37 125

409

+ −

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

29 325

25

3

3 3957

2log 5 3 log 6 1 3 log 6log 7

log 6log 25log 6log 25

23233

9 37 5

409

9 37 5

409

25 625 626 6

409 409625 216 409

1409 409

+ = −

+ = −

−+= − =

−= = =

18. 2 51284

11 111 15

log logloglog ...N NNNN N N N

× × × ×

( )1

log 2 log 4 log 8 log 512 15...N N N NN N N N= × × × ×

( )1

log 2 log 4 log 8 ... log 512 15N N N NN + + + +=


[11]

( )2 3 91

log 2 log 2 log 2 ... log 2 15N N N NN + + + +=

( ) ( )2 3 91 1

log 2 2 2 ... 2 2 3 915 152 2 2 ... 2NN × × × ×= = × × × ×

( )( )

( )1

9 9 11 1151 2 3 ... 9 45 3215 152 2 2 2 8

++ + + +

= = = = =

19. ( )3254 272 49

1loglog log 1 4log 22 3 2 7 5 1

aa a aa+ − − ÷ − −

( ) ( )3 22 243 2 52 3 7

log 1 log loglog2 3 2 7 5 1a a aa a

+ = − − ÷ − −

( )( ) ( )4 2 21 2 1a a a a a= − + − ÷ − −

( ) ( ) ( )( ) ( )4 2 2 4 2 22 1 1 2 1 1a a a a a a a a a a− − − ÷ − − = − + + ÷ − −

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )24 2 2 2 21 1 1 1 1a a a a a a a a a a= − + ÷ − − = − + + + ÷ − −

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1a a a a a a a a= + + − − ÷ − − = + +

Analicemos ( )2 1a a− − que no debe ser 0

2 1 51 0

2a a a

+− − ≠ → ≠

20. ( )2 3

2 2 21

62 2

log 1 log 1

log 1 log 1

a

a

aa

a a

a a

− × −

− × −

( ) ( )2 22 2 2

2 2 2

log 1 log 1 log 1

log 1 log 1 log 1

a a a

a a a

a a a

a a a

− × − − −= =

− × − −

2log 1a a= −

21.

2 21 1

log log 1 log 1 log2b a b aa b a ba b a b ab+ +

+ +− + 2log log log 2log2a a b bb b a aa a b a a b b a b b= × × − × × × + × ×


[12]

2 3 3 2 2 32 2b a b b a a b a b ab a b a b= × × − × × × × + × = − +

( ) ( )22 22ab b ab a ab b a= − + = −

22.

49 3

1 2

2log 25 2log 4 log 4 22 2 225 2log log log 4

1

aa a

a

− + −

−

2253

1log 49 log 4 2log 8 22

2 2 225 2log log log 4

1

aa a

a

− + −

=−

122

25 4log 49 log 32 22 2 225 2log log log 4 4

1

a

a

− + −

=−

( )1

4 22 22 2 2

2 2

1 149 2log log log 2 7 2log log 49 91 1

a a

a a

+ − + −

= =− −

( ) ( )2 2 22 2 2

1 17 2log log 2 7 2log 2

9 91 1

a a

a a

+ − + −= =

− −

( ) ( ) ( )2

21

7 2 1 119 11 1 1

a a aaa

a a a

+ − + −−= = = = +− − −

con 1a ≠

23. ( ) ( )log log 2 log log log 1a b a ab bb a b b a+ + − −

Si 1

log1 logab

b

ba

=+

y que log log 1u vv u× =

1log log log log log

1 loga a a b a

b

b b b a ba

= × − × + × +

1 1log 2 log 2 log

1 log 1 logb a b

b b

a b aa a

− × + × − × + +

11 log log log log log

1 logb a a b a

b

a b b a ba

− = × × − × ×+


[13]

1log 1 log log 2 log log

1 logb b b b a

b

a a a a ba

+ × − × × + × ×+

1 12 log 1 1 log log

1 log 1 logb a b

b b

a b aa a

− × × − = × − ++ +

( )2log 2 log

2 1 1 log log 11 log 1 log

b ba b

b b

a ab a

a a

×− + × − − = + ++ +

( )21 2 log log

log log 11 log

b b

a b

b

a ab a

a

+ × +− = + +

+

( )21 log

log log 1 1 log log1 log

b

a b b a

b

ab a a b

a

+− = + + − − =

+

24. ( )

31 log

log log 1 log

a

a b a

b

ab a

b

−

+ +

( ) ( ) ( )

3 31 log 1 log

log log 1 1 log 1log 1 1 log

log

a a

a b a

a a

a

b b

b a bb b

b

− −= =+ + −

+ + −

( )

( )( ) ( )

33

22

log 1 log1 log

1 log log 1 log1 log log1 log

log

a aa

a a aa aa

a

b bb

b b bb bb

b

−−= = + + −+ + −

( )( )

3

3

log 1 loglog

1 log

a a

a

a

b bb

b

−= =

−

25.

( )100 100

2loglog log

log log

ab a ba b

a bb a

+

×

Trabajando con el exponente

100log 1 1 1

log log 100 log 2log 10 log 2a a

a

a a a= = =

× × al igual

que con 100log 1

log 2

b

b= en la expresión original


[14]

( )

( ) ( ) ( )2log1 1

log2 2

ab

ab

a b

a bb a b a a b

++

× = × = +

26. ( )1

1 24 4 2log log 2 2 log logb a b aa b a b

+ + + − −

11 22

4

4

1log 2 2 log log

logb b a

b

a a ba

= + + + − −

11 2

8 4 2

4

log 2log 12 log log

logb b

b a

b

a aa b

a

+ + = + − −

( )1

1 22 24

4

log 12 log log

log

b

b a

b

aa b

a

+ = + − −

( )1

4 2

2

log 12 log log

log

b

b a

b

aa b

a

+ = + − −

14 2 2

2

log 2log 1log log

logb b

b a

b

a aa b

a

+ += − −

( )1

2 22

2

log 1log log

log

b

b a

b

aa b

a

+ = − −

2log 1 1log

log logb

b

b b

aa

a a

+= − −

2 2log 1 1 loglog log

log logb b

b b

b b

a aa a

a a

+ −= − = −

log log 0b ba a= − =


[15]

27. ( ) 1 22 2

3log loglog log 12 2 4

2 2 4

1log 2 log log 2

2x

xx

x x x x−

++ + +i

( ) 2 23 log log2 22 2 2 2 2

1log 2 2log log log 1 log 2

2xx x x x= + + + + +

( )32 2log log2 22 2 2 21 2log log log 2log 2 x

x x x x= + + + + +

( )32 32 2 2 21 3 log 3 log log 1 logx x x x= + + + = +

28. 24

11 21

1 3log 22log 8 1xxx+

+ +

( )222

2

111 1 21 log 4 log loglog log 2 22 38 1 2 1

xx x

xxxx x

+ + = + + = + +

( ) ( ) ( )22

1 112loglog 2 22 222 1 2 1 1x xxx x x x = + + = + + = +

1x= +

29. ( )3

4 6

3 12

log log

loglog log

a a

bb

a a

b b

b b

a bb b

−

−

÷−

33 12

4 6

1log

loglog log

1 1

log log

a

b

b b

b b

ba

b a b

a a

b b

−

−

= ÷ +−

( )6

3

4 6

1log

loglog 12 log

1 1

log log

a

b

b b

b b

ba

b a b

a a

b b

−

= ÷ + −−


[16]

63

4 6

1log

log loglog 12

1 1

log log log log

a

b bb

b b b b

ba b

a

a b a b

−−= ÷ −

−− −

1log

log 63 log 12

1 1

log 4 log 6

a

bb

b b

ba

a

a a

−−= ÷ −

−− −

( ) ( )( )

log log 6 log 1

log 63 log 4

log 6 log 4

log 4 log 6

a b a

bb

b b

b b

b a b

aa

a a

a a

× − −−= ÷ −− − +

− −

( )( )1 6log 1

3 log 42

log 4

ab

b

ba

a

− −= ÷ −−−

( ) ( )6 log log 43 log 4

2a b

b

b aa

− −= ÷ −

−

( ) ( )3log log 4 3 log 4 loga b b ab a a b= − ÷ − =

30. ( )( )2

16 2 26 log log 1 log log logb a a aa

a b b b b−× + + + −

( )1

221

6 log log 1 6 log log log2b a a a aa b b b b

= × + + − + −

( )1

221

6 1 6 log log log2 a a ab b b

= + + − + −

1

223

6 6log log log2 a a ab b b

= − + −

( ) ( )( )11

22 229 6 log log log 3 log loga a a a ab b b b b= − + − = − − *


[17]

Analizando ( )( )1

2 23 log 3 loga ab b− = − 2

En * 3 log log 3 2loga a ab b b= − − = −

31. ( )20,5 log

2log log

log log log log

log log 1

b

b a

a

a aab a

b

a ab

b b b b

b b b

+ ××− −

( )( )2

log

log log

1loglog log log

1 1loglog

b

b a

a aa a b

b

a

b

bb b ab

bbab

×+= ×

−−

( )2

1log

log log log log1 log 1log

log log

a

a a b b

aa

b b

bb a a b

bba b

×+ += ×

−−+

( ) ( )

log

log 1 log 11 log 1 log 1log

log 1

a

a b

a aa

b

b

b a

b bba

+ += ×− +−

+

( ) ( )log1

log log log 1 log 1 log 1log 1

a

a b a b a

b

b

b a b a b

a

= ×× + − + −+

( ) ( )log 1 log

1 log 1 log 1 log 1b a

a b a

a b

b a b

+= × =+ − + −

( )log1 1

log log 1 log 1a

a a a

b

b b b= × =

− −

32. log log 2 log loga b a b a b a bm m m m+ − + −+ − ×

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

2log log log logm m m ma b a b a b a b

= + − ×+ − + −

2 Se considera 2a a= no contemplamos la raíz negativa


[18]

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

log log 2

log log log logm m

m m m m

a b a b

a b a b a b a b

− + += −

+ − + −

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2log 2log 2

log log log log

mm

m m m m

a ba b a b

a b a b a b a b

− −− + −= =

+ − + −

( ) ( ) ( ) ( )2log 2 2log 2

log log log logm m

m m m m

m m

a b a b a b a b

− −= =+ − + −

( ) ( )2 2

0log logm ma b a b

−= =+ −

33. 1 133 3

1 1log 2 log 3 log log 2 log

3 3

− = −

( )log 2 1 log1 0= − = =

34.

log log

loglog

log log

log log

x xabc abc

y y

xabcyabc

x x

y yx x

yxy y

x x

y y

=

1log log log

1 logloglog

y y x

yx

x

x x y

xyy

x x x y

xy yy

= = = =

35. ( )2

1

2

11log lg 222

20.5 lg lg

lg 2 lg

lg 11 10

2lg

b

b

b b

b

b

−× ×

+ + −

( )1

1 22

1

2

lg lg2

1lg lg

2lg

lg 1 2lg10

2lg

b

b bb

b b

b

× ×=

+ + −


[19]

1

2

1 1lg lg

2lg 2lg

lg 1 1lg 1 1 lglg 22lg22lg

b bb b

bb bb bb

× ×= =

++ −−

1lg

2lg lglg

lg 1 lg1lg 1 2lg lg

22lg

bb b

bb b

b b b

b

×= = =

+ −+ −

36. ( )1

11 24 4 22 4 42log log log log loga a b a b

b ab ab ab

a b

+ − +

1 1

2 21 1 1 12 log log log log log

4 4 4 4a a b a b

b ab ab ab

a b

= + − +

( )1

1 22

1 12 log log log log log

2 2a a b a b

b ab ab ab

a b

= + − +

( )1

21

2 log log log log log2a a a b bb a b a b= + + +

( )1

2log log log loga a b bb a a b− − + −

( ) ( )1 1

2 2log 1 log log 1 log 1 log 1a a b a bb b a b a = + + + − − + −

1 1

2 21 1log 2 log log 2

log loga a a

a a

b b bb b

= + + − − +


[20]

1 12 22 2log 2log 1 log 2log 1

loglog log

a a a aa

a a

b b b bb

b b

+ + − + = −

( ) ( )1 1

2 22 2log 1 log 1log

log loga a

a

a a

b bb

b b

+ − = −

log 1 log 1 log 1 log 1log log

log log loga a a a

a a

a a a

b b b bb b

b b b

+ − + − += − =

2log 2

loga

a

bb

= =

37. ( )log log 2 log log logn p n np np n p p p+ + × − ×

1 1 1log 2 log

log log logn n

n p p

p pp n np

= + + × − ×

2log 2log 1 1 1log

log log 1 logn n

n

n p p

p pp

p n n

+ += × − × +

( )1 log loglog 1

loglog 1 loglog

p pnn

p pn

n npp

n np

+ −+ = × × +

( ) ( ) ( ) log1log 1 log 1

1 loglog 1 logn

n n

pp p

pp p

nn n

= + = + ++

( ) ( )log loglog 1 log 1

1 log 11

log log

n nn n

n

n n

p pp p

p

p p

= + = + + +

2logn p=


[21]

38.

1 112 22 22

log 1 log 11 1 2 log

2log 2loga a

a

a a

b bb

b b

+ + − − +

1 12 22 2log 1 2log log 1 2log

2 log2log 2log

a a a aa

a a

b b b bb

b b

+ − + + = −

log 1 log 12log

2log 2loga a

a

a a

b bb

b b

− += −

log 1 log 12log 2

2loga a

a

a

b bb

b

− − −= = −

39. ( )

( )

( ) ( )( )

21 2

12 2

11 log log

1 log log

a

a

aa

a ba b

a b a b

− + −−

− − + −

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1

2

2

1 log log

11 log log

1

2

a a

a a

a b a b

a b a b

− − + −=

− − + −

( ) ( )( ) ( )( )

2

12 2

1 2log log

1 2log log

a a

a a

a b a b

a b a b

− − + −=

− − + −

( )( )( )( )

( )2

2

1 log1 log

1 log

a

a

a

a ba b

a b

− −= = − −

− −

40. ( )

( )

( ) ( )( )

21 2

12 2

11 log log

1 log log

a

a

aa

a ba b

a b a b

− + −−

− − + −


[22]

11 22

4

4

1log 2 2

logb

b

aa

= + + −

41. 1 log 1 log

log 5 log 551 log 1 log

a bb a

b a

b a

a ba b

+ + + + +

log log log loglog 5 log 55

log log log loga a b b

b ab b a a

a b b a

b a a ba b

+ + + + = + log log

log 5 log 55log log

a bb a

b a

ab ba

ba aba b

= +

lg lg

lg lglog 5 log 55

lg lg lg lg 5 lg lg 55

lg lg lg lg lg lg

b a

ab ab

a b

ab ab b a

b a a b b aa b a b

= + = + lg5 lg 55

log 5 log 55lg lg 5 55 60a ba ba b a b= + = + = + =

42. lg tan2º lg tan4º lg cot2º lg cot 4º+ + +

1 1lg tan2º lg tan4º lg lg

tan2º tan4º= + + +

tan2º tan4ºlg lg1 0

tan2º tan4º = = =

43. lg tan3º lg tan6º lg tan9º... lg tan87º× × ×

Analizando los ángulos, uno de ellos es 45º con lo que uno de estos múltiplos es lg tan45º lg1 0= = que es

igual a 0, por lo que

lg tan3º lg tan6º ...lg tan45º... lg tan87º× × ×

( )lg tan3º lg tan6º ... 0 ... lg tan87º 0= × × × =

44. lg tan1º lg tan2º lg tan3º ... lg tan89º+ + + +

lg tan1º lg tan2º lg tan3º lg tan4º lg tan5º ... lg tan45º= + + + + + +

... lg tan85º lg tan86º lg tan87º lg tan88º lg tan89º+ + + + + +

lg tan1º lg tan89º lg tan2º lg tan88º lg tan3º lg tan87º= + + + + +

lg tan4º lg tan86º ... lg tan45º+ + + +


[23]

( ) ( ) ( )lg tan1º tan89º lg tan2º tan88º lg tan3º tan87º= × + × + ×

( )lg tan4º tan86º ... lg tan45º+ × + +

Se trata de ángulos suplementarios de la forma tan1º tan89º 1× = , tan2º tan88º 1× = , tan3º tan87º 1× =

lg1 lg1 lg1 ... lg1 0⇒ + + + + =

45. 3 4 5 6 7 7

1log 2log 3 log 4 log 5 log 6 log 8

3=

Escribiendo de adelante hacia atrás

8 7 6 5 4 3log 7 log 6 log 5 log 4 log 3 log 2 aplicando regla de

la cadena nos queda 38 22

1 1log 2 log 2 log 2

3 3lqqd

= = =

46. ( ) ( )2 21

3

log cos cos cos2 cos2 0α β α β α β + + − − =

( ) ( )2 21

3

log cos cos cos2 cos2α β α β α β + + − −

Completando cuadrados a ( ) ( )2 2cos cosα β α β+ + −

( ) ( ) ( ) ( )2 2cos cos 2cos cosα β α β α β α β→ + + − + + −

( ) ( ) ( ) ( )( )22cos cos cos cosα β α β α β α β− + − = + + −

( ) ( )2cos cosα β α β− + − *

Con las fórmulas de suma y producto

cos cos 2cos cos2 2

u v u vu v

+ − + =

Suma

( ) ( )cos cosα β α β→ + + −

2cos cos 2cos cos2 2

α β α β α β α β α β+ + − + − + = =

( ) ( )( )1cos cos cos cos

2u v u v u v= − + + Producto


[24]

( ) ( )cos cosα β α β+ −

( ) ( )( )1cos cos

2α β α β α β α β= + − + + + + −

( )1cos2 cos 2

2β α= +

Remplazando en *

( ) ( )2 12cos cos 2 cos2 cos2 cos2 cos2

2α β β α α β→ − ⋅ + −

2 22cos 2cos cos2 cos2 cos2 cos 2α β β α α β= ⋅ − − −

Utilizando también 22cos 1 cos2u u= +

( ) ( )1 cos2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 cos2α β β α α β→ + + − − −

1 cos2 cos 2 cos2 cos 2 cos2 cos2β α α β β α= + + + − −

[ ]1

3

cos2 cos2 1 log 1 0lqqd

α β− = → =

47. 2 2 2log cos 20 log cos 40 log cos 80 3+ + = −

Con el lado izquierdo de la expresión

2 2 2log cos 20 log cos 40 log cos 80+ + *

2log cos 20 cos 40 cos 80= × × Trabajando solo con los

ángulos trigonométricos tenemos

8sin20 cos 20 cos 40 cos 80cos 20 cos 40 cos 80

8sin20

× × ×× × =

( )2 2 2 sin20 cos20 cos 40 cos80

8sin20

× × × × × ×=

( )2 2 sin40 cos 40 80 2 sin80 cos 80

8sin20 8sin20

× × × × × ×= =

( ) 3sin 180 20sin160 sin202

8sin20 8sin20 8sin20−−

= = = =

En * 32log 2 3

lqqd

− = −


[25]

48. log

1 loglog

aa

ab

xb

x= +

Trabajando con el lado izquierdo de la expresión

1

log log log1log log

log

a x x

ab x

x

x a ab

x a

ab

= =

log log log log

log log logx x x x

x x x

a b a b

a a a

+= = +

log1 1 log

logx

a lqqdx

bb

a= + = +

49. log log

log1 log

b bbn

b

a nan

n

+=+

Trabajando con logbn an realizando un cambio de base

“b” a este, tenemos log log log

loglog log log

b b bbn

b b b

an a nan

bn b n

+= =+

log log

1 logb b

b lqqd

a n

n

+=+

50. 2 3 4 5

1 1 1 1 115 log

log log log log log n

a a a a a

an n n n n

+ + + + =

Recordando que 1

loglogu

v

vu

= tenemos

2 3 4 5

1 1 1 1 1

log log log log loga a a a an n n n n

+ + + +

2 3 4 5log log log log logn n n n na a a a a= + + + +

log 2log 3log 4log 5 logn n n n na a a a a= + + + +

15 logn lqqda=


[26]

51. ( ) ( ) ( ) 1 2

1 2

...1 11

1log

log log ... logn

n

a a a

a a a

xx x x

− −− =+ + +

( ) ( ) ( )1 2

1 11

1

log log ... logna a ax x x

− −−+ + +

1 2

11 1 1

...log log log

na a ax x x

=+ + +

pero 1

loglog u

v

vu

=

1 2

1

log log ... logx x x na a a→

+ + +

1 2 ...

1 2

1log

log ... na a alqqd

x n

xa a a

= =× × ×

52. Trabajando con el lado izquierdo

log log log log log loga b b c c an n n n n n+ +

log log log

log log loga b c

n n n

n n n

b c a= + +

(1log log log

log log log a n n

n n n

n c ab c a

= i i

i i

)log log log log log logn b n n n cb n a b c n+ +i i i i

( )1 1 1log log log

log log log n n n

n n n

c a bb c a

= + +i i

( )log log log loga b c nn n n abc= i i

log log log

loga b c

abc lqqd

n n n

n= i i

53. Tenemos que demostrar que

( )1lg lg lg

3 2

a ba b

+ = + si 2 2 7a b ab+ =

Trabajando con la condición 2 2 7a b ab+ =


[27]

2 22 9a ab b ab→ + + =

( )29a b ab→ + =

3a b ab→ + = en la expresión original

3lg lg lg

3 3

a b abab

+ = =

( )1 1lg lg lg

2 2lqqd

ab a b= = +

54. Trabajando con la condición 2 24 12a b ab+ = 2 24 4 16a ab b ab→ + + =

( )22 16a b ab→ + =

2 4a b ab→ + = en la expresión original tenemos

2 4lg lg lg

4 4

a b abab

+ = =

( )1 1lg lg lg

2 2lqqd

ab a b= = +

55. 2100

2

log 40lg 40 lg 40log 40

lg100 2 2log 10= = =

( )2 2 2

2 2 2

log 5 8 log 5 log 8

2log 5 2 2 log 5 log 2

× += =× + ( )

3

2 1

a

a

+=+

56. De la condición log 27a b=

log 27a b= haciendo operaciones en el lado izquierdo

3 627 3 3

1 1 1log log loga a a

b b b= → = → =

57. Trabajando con las condicionales

1log loga nn p a

p= → = (1)


[28]

1log logb nn q b

q= → = (2)

1log logc nn r c

r= → = (3)

Realizando (1) (2)

(3)

+

1 1log log

1logn n

n

a b p q

c

r

++ =

log 1 1

logn

n

abr

c p q

→ = +

logc

q pab r

qp

+→ =

58. Trabajando con logab a n=

log log 1 1ab aba n a n= → − = −

log log 1ab aba ab n− = −

1log 1 log 1ab ab

an b n

ab

−= − → = −

log 1ab b n− = −

Reacondicionando las condicionales

3 33log log3ab ab

na n a= → = (1)

12log 1 log

2ab ab

nb n b

−− = − → − = (2)

Sumando (1) (2)+

3 1log log

3 2ab ab

n na b

−− = +

3 5 1log

6ab

a n

b

−=


[29]

59. La expresión a calcular se puede escribir

49 7 749log 16 log 16 log 4 2log 2= = = Llamamos a

7log 2 x= , entonces 49log 16 2x=

Ahora en la condicional 2

7 714

7 7

log 28 log 2 7log 28

log 14 log 2 7

×= =×

27 7

7 7

log 2 log 7 2 1

log 2 log 7 1

xa

x

+ += = =+ +

1

2

ax

a

−→ =−

49

1log 16 2 2

2

ax

a

− ∴ = = −

60. Lo que buscamos es 12log 60 operando en ella

2 2 2 212

2 2 2

log 60 log 4 3 5 2 log 3 log 5log 60

log 12 log 4 3 2 log 3

× × + += = =

× +

Llamando a 2log 3 x= y 2log 5 y=

12

2log 60

2

x y

x

+ +→ =+

Con las condicionales tenemos

2 26

2 2

log 30 log 2 3 5log 30

log 6 log 2 3a

× ×= = =

×

2 2 2

2 2

log 2 log 3 log 5 1

log 2 log 3 1

x y

x

+ + + += =+ + +

22 2

15

2 2

log 24 log 2 3log 24

log 15 log 3 5b

×= = =

×

32 2

2 2

log 2 log 3 3

log 3 log 5

x

x y

+ += =+ +

Se crea un sistema de ecuaciones


[30]

1

1

x ya

x

+ +=+

3 xb

x y

+=+

3 2 2,

1 1

b ab a b abx y

ab ab

+ − − − +→ = =− −

En la expresión que buscábamos

12

3 2 22

1 1log 603

21

b ab a b ab

ab abb ab

ab

+ − − − ++ +− −= + −+

−

12

2 2 1log 60

1

ab a

ab b

+ −=+ +

61. Operando en la condicional dada resulta 1log sin40 log tan40 log cos 40a a ab −= + +

log sin40 log tan40 log cos40a a a= + −

2sin40 tan40log log tan 40

cos 40a a= =

2log tan40ab→ =

Lo que nos piden calcular 1log sin50 log tan50 log cos 50a a a

−+ +

log sin50 log tan50 log cos50a a a= + −

2sin50 tan50log log tan 50

cos50a a= =

12log tan50 2log cot 40 2log

tan40a a a= = =

12log tan 40 2log tan40a a b−= = − = −

1log sin50 log tan50 log cos 50a a a b−∴ + + = −


[31]

62. 30

103loglg 8 3lg 2 5log 8

lg 30 lg 3 10 log 3 lg10= = =

× +

1 11 12 2

8 42 24

4 4

log 2log 11log 2 2 2

log logb b

b

b b

a aa

a a

+ + = + + − = −

( )1

1 2 12 24 4 2

4 2

log 1 log 12 2

log log

b b

b b

a a

a a

+ + = − = −

14 2 22

2

log 2log 1 log 1

log logb b b

b b

a a a

a a

− + −= =

2log 1log log

log logb

b a

b b

aa b

a a= − = −

63. De la condición 42log 4 2 16b b= → = =

( )2

2 2

16log 6 log 128 6

2a a

= → =

6 1128 2 128 64

2a a a→ = → = → =

1

4a→ =

64. Dato 12 12log 3 log 8b x= ∧ = sumando

( )12 12 12 12log 24 log 12 2 log 12 log 2b x= + = × = +

121 log 2b x+ = + *, de la condición:

312 12 12log 8 log 2 3 log 2x = = =

12log 23

x→ = en * ( )31 1

3 2

xb x x b+ = + → = −

65. Llamemos 2 2x xE −= + elevando al cuadrado,


[32]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2x x x x x xE − − −= + = + + 2 4 4 2x xE −= + + Sustituyendo 2 23 2 25 5E E= + = → =

BIBLIOGRAFIA

� Colección de problemas de matemáticas para entrar en las escuelas técnicas – I. M. Skanavi 7ma Ed. MIR PLUBLISHERS (en ruso) «Сборника задач по математике для поступающих во втузы»

� Matemática, Математика С. Ю. Кулабухова.

� Algebra - Carlos Torres Mattos UNICIENCIA

� Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS Algebra y Trigonometría - V. Litvinenko

� Problemas de Algebra y como resolverlos - Armando Tori Loza Colección RACSO

� PROBLEMAS DE MATEMATICAS ELEMENTALES - V. LIDSKI

logaritmos problemas - wordpress.comlogaritmos problemas simplificar las siguientes expresiones ......

Documents