limites funciones en varias variables

DANIEL SAENZ C Pgina 1

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DEFINICION: Si A es un punto en Rn y r es un numero positivo, entonces la BOLA ABIERTA B ( A; r ) se define como el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que la distancia del punto P al punto A es menor que r, es decir

P A < r. En R1 una bola abierta corresponde a un intervalo abierto. ( ) En R2 una bola abierta corresponde al interior de un disco. En R3 una bola abierta corresponde al interior de una esfera. DEFINICION: Si A es un punto en Rn y r es un numero positivo, entonces la BOLA CERRADA B A; r ] se define como el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que la distancia del punto P al punto A es menor o igual que r, es decir

P A r. En R1 una bola cerrada corresponde a un intervalo cerrado. [ ] En R2 una bola cerrada corresponde al interior de un disco junto con su frontera.

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BSICAS

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.


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En R3 una bola cerrada corresponde al interior de una esfera junto con su frontera. DEFINICION. Sea f una funcin de n variables la cual esta definida en alguna bola abierta B ( A ; r ) excepto posiblemente en el punto A mismo. Entonces el

limite de f( P ) cuando P se aproxima a A es L y se escribe LPfLimAx

)( si para cualquier > 0 , no importando que tan pequeo, existe un > 0 tal que f( P ) L siempre que 0 < P A . DEFINICION: Si f es una funcin de dos variables la cual esta definida en cualquier disco abierto B ( ( x0 , y0 ) ; r ) excepto posiblemente en el punto ( x0 ,

y0 ) mismo, entonces LyxfLim

yxyx

,

00 ,, si para cualquier > 0 , no

importando que tan pequeo, existe un > 0 tal que f( x , y ) L siempre que 0 < 20

20 yyxx .

( x0, y0 , 0 )

( x0 , y0 , f(x0 , y0 ) )


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PROPIEDADES DE LOS LIMITES EN DOS VARIABLES Los limites de las funciones en dos variables, cumplen las mismas propiedades que los limites de las funciones en una variable. Es decir: Si L y M son dos nmeros reales y

LyxfLim

yxyx

,

00 ,, ;

MyxgLimyxyx

,00 ,,

, entonces las

siguientes reglas son validas:

a) Regla de la suma: MLyxgyxfLim

yxyx

,,

00 ,,

b) Regla de la resta: MLyxgyxfLim

yxyx

,,

00 ,,

c) Regla del producto MLyxgyxfLim

yxyx

,,

00 ,,

d) Regla del producto por un escalar LkyxfkLim

yxyx

,

00 ,,

e) Regla del cociente

0;,,

00 ,,

MML

yxgyxfLim

yxyx

f) Regla de la potencia: n

m

nm

yxyxLyxfLim

,

00 ,, , siempre que n

m

L sea un numero real.

EJEMPLO: Encontrar los siguientes limites:

31

3110510

3100

5

3

53

2

32

1,0,

1,0,321,0,

yxyyxLim

xyxLim

yxyyxxyxLim

yx

yx

yx


4

52516943 2222

1,0,

22

4,3,

yxLimyxLim

yxyx

0000

0,0,

0,0,

0,0,

2

0,0,

yxxLim

yxyxyxx

Lim

yxyxxLim

yxxyxLim

yx

yx

yxyx


5

ACTIVIDAD: ENCONTRAR LOS SIGUIENTES LIMITES.

253

22

22

0,0,

yxyxLim

yx yxyxyxLim

yx

22

1,1,

2 1

22

11,1,

x

xyxyLimx

yx

2

3,2,

11

yxLim

yx 253

22

22

3,3,

yxyxLim

yx

254

22

22

1,1, yxyxLnLim

yx yxyxyx

Limyxyx

220,0,

24

42,2,

yx

yxLimyxyx 42

22

420,2,

yx

yxLim

yxyx

LA PRUEBA DE LAS DOS TRAYECTORIAS PARA LA NO EXISTENCIA DE UN LIMITE. Si una funcin f(x , y ) tiene diferentes limites a lo largo de dos trayectorias diferentes cuando

( x , y ) tiende a ( x0 , y0 ) , entonces yxfLim

yxyx,

00 ,, no existe.

Ejemplo: encuentre

220,0,2

yxxyLim

yx Para encontrar el limite de la funcin buscamos dos trayectorias de acercamiento al punto ( 0 , 0 ) .


6

Sea S1 La trayectoria de acercamiento a travs de la recta y = x : Luego:

1

2222

2

2

0220,0,22

xy de largo lo a0,0,

x

xLimxx

xxLimyx

xyLimxxxyx

Sea S2 la trayectoria de acercamiento a travs de la parbola y = x2.

01

22

22

2042

3

0

222

2

0,0,22

xy de largo lo a0,0, 2

2

xxLim

xxxLim

xxxxLim

yxxyLim

xx

xxyx

Como la funcin tiene limites diferentes a lo largo de las dos trayectorias, se tiene

que 220,0,2

yxxyLim

yx no existe.

EJEMPLO : Encuentre 24

2

0,0,

2yxyxLim

yx Sea S la familia de curvas de acercamiento a travs de las parbolas y = kx2 , x 0.

20424

4

0

224

22

0,0,24

2

kx y de largo lo a0,0,

122

222

2

kkLim

xkxkxLim

kxxkxxLim

yxyxLim

xx

kxxyx


7

El limite anterior depende del valor que tenga k. as : Si ( x , y ) se acerca a ( 0 , 0 ) a travs de la parbola y = x2 , el valor de k = 1 y el limite es:

1

111222024

2

xy de largo lo a0,0,

2

xyx

LimyxyxLim

Pero si se acerca a travs de la parbola y = 2x2 , el valor de k = 2 y el limite es:

54

21222

2024

2

2x y de largo lo a0,0,

2

xyx

LimyxyxLim

Con lo que el 24

2

0,0,

2yxyxLim

yx no existe de acuerdo a la prueba de las dos trayectorias. ACTIVIDAD: DETERMINE LOS SIGUIENTES LIMITES APLICANDO LA PRUEBA DE LAS DOS TRAYECTORIAS.

220,0, yxxyLim

yx 2222

0,0, yxyxLim

yx 2233

0,0, yxyxLim

yx

22

2

0,0,

3yxyxLim

yx 244

0,0, yxxLim

yx yyxLim

yx

2

0,0,

limites funciones en varias variables

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