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LIMITES DE LA REGLA DE L HOPITAL
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo
XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704),
quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment
petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer
texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente
se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la
desarrolló y demostró.
LA REGLA DE L HOPITAL
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,
En la solución de algunos ejercicios sobre la aplicación de la ley de
LHOPITAL, es fundamental que recordemos
La propiedad que relaciona la función exponencial y el logaritmo
natural, la cual dice que
Mediante esta propiedad, se puede establecer que una función se
puede expresar como
De igual manera un limite,
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Por las propiedades de las fracciones se tiene que
Por las propiedades de las fracciones se tiene que si
Para los limites cuando n tiende hacia el infinito se tiene que si f(x) y
g(x) son dos funciones polinomicas, entonces
1) Es igual a cero, cuando el grado del polinomio f(n) es menor
que el grado del polinomio g(n)
2) Es indeterminado cuando el grado del polinomio f(n) es mayor
que el grado del polinomio g(n)
3)
cuando los polinomios tienen el mismo grado y m , n son
los coeficientes de las máximas potencias de dichos
polinomios
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(
*
Al realizar la sustitución inmediata, nos damos cuenta que el limite es
de la forma , para poder encontrar el limite aplicamos
propiedades de los logaritmos y la función exponencial con el fin de
encontrar una expresión de la forma
con el fin de poder
aplicar la regla de LHOPITAL.
Aplicando la propiedad de los logaritmos
(
*
(
( )
)
Por la linealidad de los limites
(
*
( )
Aplicando las propiedades de los logaritmos
(
*
( ( ))
Aplicando las propiedades de las fracciones
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(
*
( (
)
)
Aplicando las propiedades de los logaritmos
(
*
(
)
Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la
fracción
(
*
(
,
Efectuando la resta entre fracciones
(
*
(
,
Aplicando producto de medios y extremos
(
*
(
*
Realizando multiplicaciones
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(
*
( ( )
)
Aplicando el límite cuando los máximos exponentes son iguales
(
*
simplificando
(
*
(
*
Aplicando la propiedad de los logaritmos
(
*
(
( )
*
Por la linealidad de los limites
(
*
( )
Aplicando las propiedades de los logaritmos
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(
*
( ( ))
Aplicando las propiedades de las fracciones
(
*
( (
)
)
Aplicando las propiedades de los logaritmos
(
*
(
)
Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la
fracción
(
*
(
,
Efectuando la resta entre fracciones
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(
*
(
,
Aplicando producto de medios y producto de extremos
(
*
(
*
Realizando los productos indicados
(
*
( ( )
)
Aplicando el límite cuando los polinomios tienen el mismo grado
(
*
simplificando
(
*
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(
)
Aplicando la propiedad de los logaritmos
(
)
(
(
*
)
Por la linealidad de los limites
(
)
(
*
Aplicando las propiedades de los logaritmos
(
)
(( ) (
*)
Aplicando las propiedades de las fracciones
(
)
( (
*
,
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Aplicando las propiedades de los logaritmos
(
)
( ( )
)
Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la
fracción
(
)
(
,
(
)
(
,
(
)
(
*
(
)
( ( )
)
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(
)
(
)
(
*
Aplicando la propiedad de los logaritmos
(
*
(
( )
)
Por la linealidad de los limites
(
*
( )
Aplicando las propiedades de los logaritmos
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(
*
(( * (
))
Aplicando las propiedades de las fracciones
(
*
( (
)
)
Aplicando las propiedades de los logaritmos
(
*
(
)
Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la
fracción
(
*
(
,
(
*
(
,
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(
*
( ( )
+
(
*
(
*
(√
√ )
Aplicando la propiedad de los logaritmos
(√
√ )
(
(√
√ )
+
Por la linealidad de los limites
(√
√ )
(√
√ )
Aplicando las propiedades de los logaritmos
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(√
√ )
( (√
√ )+
Aplicando las propiedades de las fracciones
(√
√ )
(
(√
√ )
)
Aplicando las propiedades de los logaritmos
(√
√ )
( √ √
)
Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la
fracción
(√
√ )
(
( )
( )
)
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(√
√ )
(
)
(√
√ +
(
*
(√
√ )
(√
√ )
(
*
Aplicando la propiedad de los logaritmos
(
*
(
( )
)
Por la linealidad de los limites
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(
*
( )
Aplicando las propiedades de los logaritmos
(
*
(( * (
))
Aplicando las propiedades de las fracciones
(
*
( (
)
)
Aplicando las propiedades de los logaritmos
(
*
(
)
Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la
fracción
(
*
(
,
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(
*
(
,
(
)
( ( )
+
(
*
Aplicando la propiedad de los logaritmos
(
( ) )
Por la linealidad de los limites
( )
Aplicando las propiedades de los logaritmos
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( ( ))
Aplicando las propiedades de las fracciones
( ( )
)
Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la
fracción
(
)
(
)
( )
(
*
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√
Aplicando la propiedad de los logaritmos
√
(
√
)
Por la linealidad de los limites
√
√( )
Expresando el radical como una fracción y simplificando
√
( )
Aplicando las propiedades de los logaritmos
√
(
( ))
multiplicando
√
( ( )
)
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Aplicando la regla de LHOPITAL , derivamos el numerador y el denominador de la
fracción
√
(
,
Aplicando producto de medios y extremos
√
(
*
Aplicando el limite cuando el polinomio del numerador es menor que
el del denominador
√
√
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Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma
Aplicando la regla de LHOPITAL
Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma
Aplicando la regla de LHOPITAL
Reemplazando
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Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma
Aplicando la regla de LHOPITAL
Simplificando
Calculando el limite
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Al sustituir directamente encontramos que el limite esta en la forma
Aplicando la regla de LHOPITAL
Al sustituir directamente encontramos que el limite esta nuevamente
en la forma
Aplicando por segunda vez la regla de lLHOPITAL
Simplificando
reemplazando
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Verificamos la forma del limite
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[
]
Verificamos el límite
[
]
[
]
[
]
[
]
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Efectuamos operaciones para logran una de
las formas de la regla de LHOPITAL
[
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*
+
[
]
*
+
Verificamos el limite
[
] *
+
[
] [
]
Aplicamos le regla a la nueva forma
*
+
*
+
*
+
[
]
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*
+
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]