aplicando las propiedades del Álgebra de boole-algebra lineal
DESCRIPTION
En este informe de problemas propuestos y desarrollados, se desarrolla netamente álgebra de Boole.TRANSCRIPT
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG1
Problema 1: Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, obtener la forma más reducida de la expresión:
En cada caso indicar claramente que teorema o propiedad del álgebra del Boole se aplica.
Solución:
F(A, B, C, D) = AB + A D + BD + AB + ACD + AD + CD + A B C
F(A, B, C, D) = AB(C + C) + A (B + B)D + (A + A)BD + AB(C + C) + A(B + B)CD + A(B + B)D + (A + A)CD + A B C(D + D)
F(A, B, C, D) = ABC + ABC + ABD + A B D + ABD + ABD + ABC + ABC + ABCD + A BCD + ABD + A BD + ACD + ACD + A B CD + A B C D
F(A, B, C, D) = ABC(D + D) + ABC(D + D) + A B(C + C)D + A B (C + C)D + AB(C + C)D + A B(C + C) D + ABC(D + D) + A B C(D + D) + ABCD + A B C D + AB(C + C)D
+ A B (C + C)D + A(B + B)CD + A (B + B)CD + A B CD + A B C D
F(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABC D + ABCD + ABC D + A BCD + A B C D + ABCD + ABC D + ABCD + ABC D + ABCD + ABCD + ABCD + ABC D
+ ABCD + A B C D + ABCD + ABCD + A BCD + A B CD + ABCD + ABCD + A BCD + A BCD + A B CD + A B C D
F(A, B, C, D) = ABCD + ABCD + ABCD + ABC D + ABCD + ABC D + A BCD + A B C D + ABCD + ABC D + ABCD + ABC D + ABCD + ABCD + ABCD + ABC D
+ ABCD + A B C D + ABCD + ABCD + A BCD + A B CD + ABCD + ABCD + A BCD + A BCD + A B CD + A B C D
F(A, B, C, D) = A B C D + A B CD + A BCD + A BCD + ABC D + ABCD + ABCD + ABCD + A B C D + ABCD + ABC D + ABCD + ABCD + ABCD
F(A, B, C, D) = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6 + m7 + m10 + m11 + m12 + m13 + m14 + m15
F(A, B, C, D) = ∑(0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15) (Términos mínimos)
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG2
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 𝑚0 𝑚1 𝑚3 𝑚2
0 1 𝑚4 𝑚5 𝑚7 𝑚6
1 1 𝑚12 𝑚13 𝑚15 𝑚14
1 0 𝑚8 𝑚9 𝑚11 𝑚10
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 0 1 1
Usando el mapa o diagrama de Karnaugh, para reducir la función. Cuya condición debe estar expresada en términos mínimos (miniterms).
MAPA O DIAGRAMA DE KARNAUGH
Lazo 1
Lazo 3
Lazo 2
Lazo 1:
A=0 B= 0
1 C=
0
1
D= 0
1
Lazo 2: A=
0
1
B=0 C= 0
1
D= 0
1
Lazo 3: A=
0
1
B= 0
1
D= 0
1 C=1
La función simplificada es: 𝐹(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷) = A + B + C
Problema 1, recuperado de ÁREA DE CIENCIAS BASICAS - curso matemática discreta (práctica dirigida N°3) – 2009-I
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG3
Problema 2: Dada la función F(A,B,C,D) = AB+C D realizarla utilizando únicamente puertas NOR de dos entradas.
Solución:
F(A, B, C, D) = AB + C D
F(A, B, C, D) = 𝐴𝐵 + 𝐶 𝐷̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿
F(A, B, C, D) = (𝐴𝐵) (𝐶 𝐷 )
F(A, B, C, D) = (𝐴 + 𝐵 )(𝐶 + 𝐷)
COMPUERTA LOGICA DIGITAL
1 era compuerta NOR: (𝐴 + 𝐵 )
2 da compuerta NOR: (𝐶 + 𝐷 )
Problema 2, recuperado de ÁREA DE CIENCIAS BASICAS - curso matemática discreta (práctica dirigida N°3) – 2009-I
Compuerta digital N°1
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG4
Problema 3: Un grupo de cinco amigos, Pedro, Ana, Juan, Martha y Luis, van a la playa el silencio. Para que siempre haya alguien
vigilando las toallas, deciden las chicas, que Luis solo se bañaría cuando:
i. Las dos estén en el agua y uno de los dos chicos no lo estén.
ii. Pedro o alguna de las chicas estén en el agua, pero Juan no.
Obtener la función booleana que decide cuando se baña Luis y el circuito lógico mínimo
Solución:
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 𝑚0 𝑚1 𝑚3 𝑚2
0 1 𝑚4 𝑚5 𝑚7 𝑚6
1 1 𝑚12 𝑚13 𝑚15 𝑚14
1 0 𝑚8 𝑚9 𝑚11 𝑚10
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0
1
0 1 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
Pedro Ana Juan Martha Luis
A B C D F
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 0
(P, A, J, M)
Lazo1
0: Están fuera del agua
1: Están dentro del agua
FLuis 0: No se baña Luis
1: Sí se baña Luis
F(A, B, C, D) = 𝐴 𝐵 𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶 𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶 𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷
F(A, B, C, D) = 𝑚1 + 𝑚4 + 𝑚5 + 𝑚7 + 𝑚8 + 𝑚9 + 𝑚12 + 𝑚13
(Términos mínimos) F(A, B, C, D) = ∑(1, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 13)
MAPA O DIAGRAMA DE KARNAUGH
Lazo 2
Lazo 3
Lazo 4
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG5
1 1 1 1 0 Lazo 1: A=1 B=
0
1
C=0 D= 0
1
Lazo 2:
A= 0
1
B= 0
1
C=0 D=1
Lazo 3:
A= 0
1
B=1 C=0 D= 0
1
Lazo 4:
A=0 B=1 C= 0
1
D=1
La función simplificada es: F(A, B, C, D) = A𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐷 La función simplificada es: F(A, B, C, D) = (A + B + D)𝐶 + 𝐴𝐵𝐷
Problema 3, recuperado de ÁREA DE CIENCIAS BASICAS - curso matemática discreta (práctica dirigida N°3) – 2007-I
Compuerta digital N°2
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG6
Problema 4: Simplificar las siguientes funciones lógicas
Solución:
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 𝑚0 𝑚1 𝑚3 𝑚2
0 1 𝑚4 𝑚5 𝑚7 𝑚6
1 1 𝑚12 𝑚13 𝑚15 𝑚14
1 0 𝑚8 𝑚9 𝑚11 𝑚10
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1
0 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1 1
a) F(A, B, C, D) = ∏(1,2,3,5,7,10,12,14)
b) H(X, Y, Z, V, W) = ∑(1,2,3,4,6,7,11,12,13,16,17,19,22,23,24,25,28,30,31)
c) G(X, Y, Z, W) = ∑(1,2,6,7,8,13,15)
a) F(A, B, C, D) = ∏(1,2,3,5,7,10,12,14)
F(A, B, C, D) = ∑(0,4,6,8,9,11,13,15)
MAPA O DIAGRAMA DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES
Lazo1 Lazo 2
Lazo 3
1
2Lazo 4
1
2Lazo 4
(Términos mínimos)
(Términos máximos)
F(A, B, C, D) = 𝑚0 + 𝑚4 + 𝑚6 + 𝑚8 + 𝑚9 + 𝑚11 + 𝑚13 + 𝑚15
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG7
Lazo 1: A=1 B=0 C=0 D=
0
1
Lazo 2: A=1 B=
0
1
C= 0
1 D=1
Lazo 3:
A=0 B= 0
1 C=0 D=0
Lazo 4:
A=0 B=1 C= 0
1
D=0
La función simplificada es: F(A, B, C, D) = A𝐵 𝐶 + 𝐴𝐷 + 𝐴 𝐶 𝐷 + 𝐴𝐵𝐷
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG8
0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
0 0 𝑚0 𝑚1 𝑚3 𝑚2 𝑚6 𝑚7 𝑚5 𝑚4
0 1 𝑚8 𝑚9 𝑚11 𝑚10 𝑚14 𝑚15 𝑚13 𝑚12
1 1 𝑚24 𝑚25 𝑚27 𝑚26 𝑚30 𝑚31 𝑚29 𝑚28
1 0 𝑚16 𝑚17 𝑚19 𝑚18 𝑚22 𝑚23 𝑚21 𝑚20
0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1
b) H(X, Y, Z, V, W) = ∑(1,2,3,4,6,7,11,12,13,16,17,19,22,23,24,25,28,30,31)
MAPA O DIAGRAMA DE KARNAUGH DE 5 VARIABLES
H(X, Y, Z, V, W) = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4 + 𝑚6 + 𝑚7 + 𝑚11 + 𝑚12 + 𝑚16 + 𝑚17 + 𝑚19 + 𝑚22 + 𝑚23 + 𝑚24 + 𝑚25 + 𝑚28 + 𝑚30 + 𝑚31
(Términos mínimos)
Lazo1 Lazo 2 Lazo 3
Lazo 4
Lazo 5
1
2Lazo 6
1
2Lazo 6
Lazo 7
Lazo 8 Lazo 9
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG9
Lazo 1:
X=1 Y= 0
1
Z=0 V=0 W= 0
1
Lazo 2:
X=1 Y=0 Z=0 V= 0
1
W=1
Lazo 3:
X=1 Y= 0
1
Z=1 V=1 W= 0
1
Lazo 4:
X=0 Y=1 Z=1 V=0 W= 0
1
Lazo 5:
X=0 Y= 0
1
Z=1 V=0 W=0
Lazo 6:
X=1 Y=1 Z= 0
1
V=0 W=0
Lazo 7:
X=0 Y= 0
1
Z=0 V=1 W=1
Lazo 8:
X=0 Y=0 Z=1 V=1 W= 0
1
Lazo 9:
X=0 Y=0 Z= 0
1
V= 0
1
W= 0
1
La función simplificada es: F(A, B, C, D) = X𝑍 𝑉 + 𝑋𝑌 𝑍𝑊 + 𝑋𝑍𝑉 + 𝑋 𝑌𝑍𝑉 + 𝑋𝑍𝑉 𝑊 + 𝑋𝑌𝑉 𝑊 + 𝑋 𝑍 𝑉𝑊 + 𝑋 𝑌𝑍𝑉 + 𝑋 𝑌
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG10
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 𝑚0 𝑚1 𝑚3 𝑚2
0 1 𝑚4 𝑚5 𝑚7 𝑚6
1 1 𝑚12 𝑚13 𝑚15 𝑚14
1 0 𝑚8 𝑚9 𝑚11 𝑚10
0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1
c) G(X, Y, Z, W) = ∑(1,2,6,7,8,13,15)
MAPA O DIAGRAMA DE KARNAUGH DE 4 VARIABLES
Lazo 3
Lazo 2
Lazo 1
Lazo 1: A=0 B=1 C=1 D=
0
1
Lazo 2:
A=0 B= 0
1 C=1 D=0
Lazo 3:
A=1 B=1 C= 0
1
D=1
La función simplificada es: F(A, B, C, D) = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐷 + 𝐴 𝐵 𝐶𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶 𝐷
Lazo 4:
Lazo 4
Lazo 5
A=0 B=0 C=0 D=1
Lazo 4:
A=1 B=0 C=0 D=0
Problema 4, recuperado de ÁREA DE CIENCIAS BASICAS - curso matemática discreta (práctica dirigida N°3) – 2009-I
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG11
Problema 5: Hallar la expresión simplificada de Z usando mapas de Karnaugh y el circuito correspondiente de la caja que se
encuentra dentro del circuito, sabiendo que:
Solución:
F = (A ⊕ C)𝐵
F = (A ⊕ C)𝐵 Sea por definición: (X ⊕ Y) = 𝑋𝑌 + 𝑋𝑌
F = (𝐴𝐶 + 𝐴 𝐶)𝐵
F = (𝐴𝐶 ) (𝐴 𝐶 ) 𝐵
F = (𝐴 + 𝐶)(𝐴 + 𝐶 )𝐵
F = 𝐴𝐴𝐵 + 𝐴 𝐶𝐵 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐵𝐶𝐶
F = 𝐴𝐴𝐵 + 𝐴 𝐶𝐵 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐵𝐶𝐶
De la compuerta digital N°3 se obtiene: F = (𝐴𝐵) 𝑍 + 𝐴𝐶
F = (𝐴𝐵)𝑍(𝐴𝐶 )
F = (𝐴𝐵)𝑍(𝐴𝐶 )
F = (𝐴 + 𝐵 )(𝑍) (𝐴 + 𝐶)
Compuerta digital N°3
ÁLGEBRA LINEAL Álgebra de Boole UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA - FIM
DEVELOPER: DEKER MACHADO DESIGNER: TECADEMACH PÁG12
F = 𝐴 𝐶𝐵 + 𝐴𝐵𝐶
F = ((𝐴 + 𝐵 ) + 𝑍) (𝐴 + 𝐶)
F = (AB + 𝑍) (𝐴 + 𝐶)
F = A𝐴𝐵 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴 𝑍 + 𝐶𝑍
F = A𝐴𝐵 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝑍 (𝐴 + 𝐶)
Igualando 𝛼 y 𝛽:
… … … 𝛼
… … … 𝛽
𝐴𝐵𝐶 + 𝐴 𝐶B = 𝐴𝐵𝐶 + 𝑍 (𝐴 + 𝐶)
𝐴 𝐶B = 𝑍 (𝐴 + 𝐶)
𝐵𝐶 = 𝑍
𝑍 = 𝐵 + 𝐶
Problema 5, recuperado de ÁREA DE CIENCIAS BASICAS - curso matemática discreta (examen final) – 2004-I
Compuerta digital N°4