libro superior

Clculo Superior

Teora y Ejemplos

Walter Mora f., Geovanny FigueroaM.A B

Textos UniversitariosRevista Digital Matemtica Educacin e Internet (www.cisde.itcr.ac.cr)

E

D

CLCULO SUPERIORCurso del Instituto Tecnolgico de Costa Rica

Walter Mora F., Geovanni Figueroa M.Escuela de Matemtica Instituto Tecnolgico de Costa Rica. www.cidse.itcr.ac.cr

Contenido

1

Cnicas 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Introduccin. Preliminares Lugares geomtricos Parbola Elipse Hiprbola (*) Ecuacin de segundo grado

1 1 2 3 7 16 27 35 39 39 44 47 56 56 57 59 62 62 66iii

2

Derivadas parciales 2.1 2.2 2.3 2.4 Derivada Parcial. Interpretacin geomtrica de la derivada parcial Derivadas Parciales de Orden Superior Incrementos y Diferenciales. Diferencial Total. 2.4.1 Introduccin. 2.4.2 Incrementos y Diferenciales. 2.4.3 Funciones Diferenciables. Regla de la Cadena. Derivacin Implcita. 2.5.1 Regla de la Cadena 2.5.2 Derivacin Implcita.

2.5

iv

CONTENIDO

2.6 3

Ejercicios Resueltos (Adicionales)

73 77 77 78 86 92 92 93 101 101 103 106 107 112 116 118 122 123 123 124 124 125 125 127 128 131 147 147 162 167 167 171 176 184 184

Gradiente, derivadas direccionales y plano tangente 3.1 3.2 3.3 Vector Gradiente. Derivada direccional 3.2.1 (*) Vector Unitario Tangente. Plano Tangente. 3.3.1 Gradiente y Curvas y Supercies de Nivel. 3.3.2 Plano Tangente.

4

Funciones de varias variables, supercies y slidos. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Coordenadas tridimensionales Funciones de Dos Variables Grca de una funcin de dos variables. Planos y Rectas en el Espacio Supercies Cilndricas Curvas sobre un Plano Curvas de Nivel y Trazas Supercies Cuadrticas 4.8.1 Elipsoide 4.8.2 Paraboloide elptico. 4.8.3 Paraboloide hiperblico 4.8.4 Cono elptico 4.8.5 Hiperboloide de una hoja 4.8.6 Hiperboloide de dos hojas Parametrizacin de una Curva en el Espacio. Interseccin de Superces.

4.9 4.10 5 6

Slidos Mximos y mnimos locales. Multiplicadores de lagrange. 6.1 6.2 Mximos y mnimos Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange

7

Integral doble e integral triple. Cambio de variable. 7.1 7.2 7.3 7.4 Proyecciones Sobre los Planos Coordenados. Integral Doble. rea y Volumen Cambio de Variable en una Integral Doble. 7.4.1 Caso de Coordenadas Polares.

CONTENIDO

v

7.5 7.6

7.7 8

Integral Triple. Cambio de Variables. Coordenadas Cilndricas y Esfricas. 7.6.1 Coordenadas Cilndricas. 7.6.2 () Coordenadas Esfricas. 7.6.3 () Describiendo Supercies en Coordenadas Esfricas. 7.6.4 () Intercambiar Ejes. 7.6.5 () Cambio de Variable con Coordenadas Esfricas. Singularidades.

192 194 195 204 204 207 207 215 217 217 220 222 224 225 227 233 238 241 241 243 243 248 256 258 262 268 277

Integral de lnea. Integral de supercie. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 Curvas y Parametrizaciones. Campos Escalares y Campos Vectoriales. Longitud de una Curva. Integral de Lnea para Campos Escalares. ()Longitud de Arco en Coordenadas Polares. Integral de Lnea para Campos Vectoriales. Independencia de la Trayectoria. Teorema de Green (en el plano). Integral de Lnea para el rea. Parametrizacin de una Supercie. 8.10.1 Supercies Regulares (suaves). rea de una Supercie. Integral de un Campo Vectorial sobre una Supercie. 8.12.1 Supercies Orientables. Teorema de la Divergencia. Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). Ejemplos adicionales.

Bibliografa

Captulo 1

CNICAS

1.1 INTRODUCCIN.

Para los antiguos gemetras griegos como Euclides (300 A.C.) y Arqumides (287-212 A.C.), una seccin cnica (parbola, elipse e hiprbola) era una curva en el espacio, la cual resultaba de la interseccin de un plano con un cono de dos mantos o ramas, siempre y cuando el plano no pasara por el vrtice del con. En caso de que lo hiciera daba lugar a las llamadas cnicas degeneradas (un punto (el vrtice del cono), una recta (un generatriz del cono) o un par de rectas que se intersecan (un par de generatrices)). En la gura 1 se muestran las secciones cnicas: parbola, elipse e hiprbola tal y como fueron denidas por los antiguos gemetras griegos.

Clculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M. Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

1

2

CNICAS

Los griegos en su tiempo se dedicarn con perseverancia al estudio de sus propiedades geomtricas.Sin embargo, es hasta inicios del siglo XVII (1637), con el descubrimiento casi de manera independiente de la geometra analtica, por parte de Descartes y Fermat, que se toma conciencia de su utilidad y pasan a ocupar un lugar de privilegio, maxime cuando Kepler descubri (y Newton explic) que las rbitas de los planetas y otros cuerpos en el sistema solar son secciones cnicas. La geometra analtica plana usa el lgebra y el clculo para estudiar las propiedades de las curvas en el plano xy. Su idea fundamental es establecer una correspondencia entre una ecuacin F(x, y) = 0 y su lugar geomtrico. Una de la ideas centrales de la geometra analtica es que dado un lugar geomtrico o una curva, sus propiedades pueden deducirse en forma algebraica o analtica a partir de su ecuacin F(x, y) = 0.

1.2

PRELIMINARES

Distancia entre dos puntos Recordemos que la distancia euclidiana de un punto A = (a, b) a otro punto B = (p, q) es |AB| = d(A, B) = (a p)2 + (b q)2

EJEMPLO 1.1

Sean A = (1, 1) y B = (5, 3). Entonces |AB| = d(A, B) = (1 5)2 + (1 3)2 = 20

Completar cuadrados. En el tema de cnicas es muy til la completacin de cuadrados pues nos permite obtener la ecuacin de una cnica dada, en una forma ms adecuada para algunos clculos. Una manera de completar cuadrados es ax2 + bx + c = a x + b 2a2

b2 +c 4a

en particular

LUGARES GEOMTRICOS

3

ax2 + bx = a x +

b 2a

2

b2 4a

EJEMPLO 1.2

En cada caso, completar cuadrados a.) 4x2 8x Solucin

4x2 8x

= 4 x+

8 8

2

(8)2 44

= 4(x 1)2 4

b.) y2 + 4y 8 Solucin

y2 + 4y 8 =

y+

4 2

2

(4)2 8 41

= (y + 2)2 12

1.3 LUGARES GEOMTRICOS

El conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano cuyas coordenadas satisfacen una propiedad, que puede estar dada por una ecuacin F(x, y) = 0, se conoce como lugar geomtrico.

EJEMPLO 1.3

Compruebe que el conjunto de todos los puntos P = (x, y) que equidistan de los puntos A = (1, 1) y B = (5, 3) es la mediatriz del segmento de recta que une a estos dos puntos.

4

CNICAS

Solucin El punto P = (x, y) equidista de A = (1, 1) y B = (5, 3) si y slo si

d(P, A) = d(P, B) (x 1)2 + (y 1)2 (x 1)2 + (y 1)2 x2 2 x + 1 + y2 2 y + 1 = (x 5)2 + (y 3)2

= (x 5)2 + (y 3)2 = x2 10 x + 25 + y2 6 y + 9

2x + y = 8 y = 2x + 8 (1)

Por lo tanto, el lugar geomtrico es la recta y = 2x + 8 cuya pendiente es 2. La recta que pasa por lo puntos A = (1, 1) y B = (5, 3) tiene ecuacin 1 x + 2 2

y=

(2)

Y

por lo que su pendiente es 1 ; con lo cual 2 las dos rectas (1) y (2) son perpendiculares. Si resolvemos las ecuaciones (1) y (2) simultneamente, determinamos que la interseccin de estas rectas es, de hecho, el punto medio M = (3, 2) del segmento que une los puntos A y B. Esto se ilustra en la gura que sigue.Figura 1.1

X

EJEMPLO 1.4

Determine el lugar geomtrico de los puntos P = (x, y) cuya distancia al punto A = (7, 1) es dos veces su distancia al punto B = (1, 4).

LUGARES GEOMTRICOS

5

Solucin Los puntos A, B y P aparecen en la gura 2, junto con una curva que pasa por P y que representa el lugar geomtrico buscado. Como

|AP| = 2|BP| = |AP|2 = 4|BP|2 obtenemos la ecuacin (x 7)2 + (y 1)2 x2 + y2 + 2 x 10 y + 6 (x + 1)2 + (y 5)2 = 4 (x 1)2 + (y 4)2 = 0 = 20

Esta ltima ecuacin nos dice el lugar geomtrico corresponde a todos los puntos (x, y) equidistan de C encuya distancia al punto C = (1, 5) es 20. Coo todos los puntos tonces lo que tenemos es un crculo con centro (1, 5) y radio r = 2 5.

Y 8

(x,y)6

(1,4)4

2

(7,1)1 2 3 4 5 6 7 8X

EJEMPLO 1.5

Hallar el lugar geomtrico de los puntos P = (x, y) cuya distancia a la recta (vertical) x = 3 es igual a su distancia al punto A = (3, 0). Solucin Los puntos A, P y la recta se muestran en la gura (1.2).

6

CNICAS

x = -3

Y

La distancia de un punto a una recta es la longitud del nico segmento perpendicular del punto a la recta. La distancia del punto P = (x, y) a la recta x = 3 es la misma que la distancia entre los puntos (x, 0) y (3, 0). Esta distancia es (x + 3)2 + 0 = |x + 3|

P=(x,y)

(-3,y)

y

(-3,0) (x,0) -3X

Figura 1.2

Entonces |PR| = |x + 3| y la distancia de P al punto A es

|AP| = tenemos que

(x 3)2 + y2Y

(x + 3)2 (x + 3)2 (x 3)2 12 x

= (x 3)2 + y2 = y2 = y2X

El lugar geomtrico es la parbola de y2 ecuacin x = y se muestra en la 12 gura 4.Figura 1.3

EJERCICIOS 1.1 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = (x, y) que equidistan de los puntos A = (1, 2) y B = (2, 1). Respuesta: y = x 1.2 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = (x, y) cuya distancia a la recta y = 1 es igual a la distancia al punto A = (3, 3). Respuesta: (x 3)2 = 4 (y 2)

PARBOLA

7

1.3 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = (x, y) tales que su distancia al punto A = (1, 1) es dos veces su distancia al punto B = (1, 4). Respuesta: (x 1)2 + (y 5)2 = 4 1.4 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = (x, y) cuya suma de distancias a los puntos A = (3, 0) y B = (3, 0) es 10. Respuesta: (x 1)2 + (y 5)2 = 4 1.5 Determine el lugar geomtrico de los puntos P tales que el producto de sus distancias a dos puntos jos A = (a, 0) y B = (a, 0) es a2 1.6 Determine el lugar geomtrico de los puntos P = (x, y) tales que su distancia al punto A = (7, 1) es k veces su distancia al punto B = (1, 4). Qu sucede para valores de k muy pequeos?. Qu sucede para k = 1? y qu sucede para valores de k muy grandes? 1.7 Considere los puntos A = (2, 0), B = (0, 0) y C = (1, 3), los cuales forman un tringulo equiltero. Determine el lugar geomtrico de los puntos P = (x, y) tales que la suma de las distancias d(P, A) y d(P, B) es igual a la distancia d(P,C). 1.4 PARBOLA

Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cnicas a partir de su denicin como un lugar geomtrico y no como la interseccin de un cono con un plano, como se hizo en la antigedad. Ya conocemos que la grca de una funcin cuadrtica f (x) = ax2 + bx + c = 0 con a = 0, es una parbola. Sin embargo, no toda parbola es la grca de una funcin en x , como podemos concluir de la siguiente denicin. Denicin 1.1 Una parbola es el conjunto de puntos P(x, y) en el plano que equidistan de un punto jo F (llamado foco de la parbola) y de una recta ja L (llamada directriz de la parbola) que no contiene a F (gura 1).

F

|PF|

P(x,y)|PR| L

F

|PF|

|PF|=|PR|

|PR| L

|PF|=|PR|

P(x,y)

Y

Y

X

X

Figura 1.4

La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se llama eje de simetra de la parbola. Se puede observar en la gura 1 que una parbola es simtrica respecto a su

8

CNICAS

eje de simetra. El punto medio entre el foco y la directriz se llama vrtice y corresponde al punto donde el eje de simetra corta a la parbola.

Teorema 1.1 (Ecuacin cannica de una parbola) La forma cannica de la ecuacin de una parbola con vrtice v = (h, k) y directriz y = k p es

(x h)2 = 4 p (y k)

El eje de la parbola es vertical y el foco F est a |p| unidades (orientadas) del vrtice. Si p > 0 la parbola abre hacia arriba (hacia el semieje positivo del eje Y ) y el foco est en (h, k + p); si p < 0 la parbola abre hacia abajo y el foco est en (h, k p). Si la directriz es x = h p (eje horizontal), la ecuacin es

(y k)2 = 4 p (x h) El eje de la parbola es horizontal y el foco F est a |p| unidades (orientadas) del vrtice. Si p > 0 la parbola abre hacia la derecha y el foco est en (h + p, k) ; si p < 0 la parbola abre hacia la izquierda y el foco est en (h p, k).

Ecuacin (x h)2 = 4 p (y k)

p>0 |PF|=|PR|, k+ (h p)

F Directriz y=k-p(h,k)

|PF|

F=

P(x,y)|PR|

V=(h,k)

h p 0. 3. la distancia de P a la directriz es 10. 4. eje de simetra paralelo al eje Y. Solucin El vrtice es (h, k) = (2, 0) por lo que la ecuacin de la parbola es (x 2)2 = 4p(y 0)

Y

Para determinar p tenemos dos datosb

(8,b)

La distancia de (8, b) a la directriz es 10, es decir b + p = 10 El punto (8, b) est en la parbola, es decir (8 2)2 = 4p(b)

F

b pX8

Entonces tenemos

2

12

CNICAS

b 36

= 10 p = 4pb = 36 = 4p(10 p) = 36 40p + 4p2 = 0

Con lo que p = 1 o p = 9 y en ambos casos b > 0. Por lo tanto, las parbolas que cumplen estas condiciones son (x 2)2 = 4y o (x 2)2 = 36y.

EJEMPLO 1.9

Hallar las parbolas que contienen los puntos (4, 4), (4, 4) de la circunferencia (x 6)2 + y2 = 20 y la distancia de su vrtice al centro del sta es 6 unidades. Solucin. La situacin, segn los datos, es la que se presenta en la gura de la derecha. La ecuacin es, en ambos casos, (y k)2 = 4p(x h). La parbola con vrtice (h, k) = (0, 0). Como (4, 4) est en la parbola, entonces (y k)2 = 4p(x h) = 42 = 16 p = p = 1 La ecuacin de la parbola es y2 = 4x. La parbola con vrtice (h, k) = (12, 0). Como (4, 4) est en la parbola, entonces y2 = 4p(x 12) = 42 = 4p (8) = p = 1/2 La ecuacin de la parbola es y2 = 2 (x 12)Figura 1.74 2 2 -2 -4 4 6 8 10 12

EJEMPLO 1.10

()

Hallar la ecuacin de la parbola con vrtice en el punto (1, 1) y recta directriz x + y = 1. Solucin Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la denicin misma. Como el eje de la parbola es ortogonal a la directriz y debe pasar por el vrtice entonces debe tener ecuacin y = x.

PARBOLA

13

Y

Q

Para hallar el valor de p debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcular la distancia al vrtice. x+y = 1 y = x 3 3 , 2 2

1 Puesto que la solucin es (1/2, 1/2), entonces p = y el foco sera F = 2

Para hallar la ecuacin de la parbola suponga que el punto P = (a, b) esta sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la parbola.Dicha recta tienen ecuacin

y = x+ba Ahora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcular la distancia que buscamos y = x+ba La solucin de este sistema es 1+ab 1a+b , 2 2 y = x

Q=

8

6

4

2

2 -

2

8 4 6 4

F PX

2 -

4 -

14

CNICAS

con lo cual la ecuacin de la parbola es

d(F, P) = d(P, Q) d( 3 2 3 2 3 3 1+xy 1x+y , , (x, y)) = d((x, y), ( , 2 2 2 22

x

+ y2

3 2 3 2

2

=2

x+y1 2 x+y1 22

2

+

x+y1 22

2

x

+ y

= = 0

+

x+y1 2

x2 2 x y + y2 4

1.4.0.1 Propiedades de la Parbola Una de las propiedades geomtricas de la parbola ms utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se reeja en la parbola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parbola, sin importar cual sea el punto de reexin.O recprocamente, un rayo paralelo al eje de la parbola y reejado en ella pasa por el foco.Este hecho es til en la construccin de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el reector tiene una seccin transversal parablica y la fuente luminosa esta en el foco.Igualmente, en los telescopios y receptores de radar, las seales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reejan pasando por el foco, mediante un reector parablico.La potente concentracin que produce un reector parablico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar seales luminosas muy pequeas.

Teorema 1.2 (Propiedad de reexin) La tangente a una parbola en un punto P = (x, y) forma ngulos iguales con : La recta que pasa por P y por el foco (ngulo de reexin). La recta que pasa por P y es paralela al eje de la parbola (ngulo de incidencia). La propiedad de reexin se muestra en la gura 5.

EJERCICIOS

15

Eje Foco

EJERCICIOS 1.8 Determine la ecuacin cannica de la parbola con vrtice en (1, 3) y foco en (2, 3).

1.9 Determine la ecuacin cannica de la parbola que abre en la direccin del eje X y pasa por los puntos (0, 0), (1, 2), (1, 2) 1.10 Determine la ecuacin cannica y el foco de las parbola, que satisfacen simultneamente las siguientes condiciones a) vrtice en (2, 0). b) contiene al punto P = (8, b) con b > 0. c) la distancia de P a la directriz es 10. Sugerencia: hay dos tipos de parbolas que cumplen estas condiciones. Respuesta: Las parbolas que cumplen estas condiciones son y2 = 16(x 2) o (x 2)2 = 4py donde p = 1 o p = 9. 1.11 Determine la ecuacin cannica de la parbola 9 y2 8 x 3

1.12 Determine la ecuacin cannica de la parbola que abre en la direccin del eje x y pasa por los puntos (1, 3), (3, 4), (7, 12) Respuesta: (x 1)2 = 4 (y 3)

16

CNICAS

1.13 Determine la ecuacin cannica de la parbola que tiene eje vertical y pasa por los puntos (2, 3), (4, 3), (6, 5). 1.14 Determine la ecuacin cannica de la parbola que pasa por los puntos (2, 3), (0, 3), (1, 9).

1.15 Determine la ecuacin cannica de la parbola con vrtice en (1, 1) y directriz y = x.

1.5

ELIPSE

Ms de mil aos despus de que los griegos denieran las secciones cnicas, en la poca del Renacimiento, el astrnomo polaco Nicholas Coprnicus (1473 - 1543), en su obra Sobre las Revoluciones de las Esferas Celestes, sostena que todos los planetas, incluso la Tierra, giraban en rbitas circulares alrededor del Sol. Aunque muchas de las armaciones de Cpernico no eran vlidas, la controversia provocada por su teora heliocntrica empuj a los astrnomos a buscar un modelo matemtico que explicar los movimientos de los planetas y el Sol. El primero en hallarlo fue el astrnomo alemn Johannes Kepler (1571 1630).Kepler descubri que los planetas giran alrededor del Sol en rbitas elpticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno de los focos. El uso de las elipses para explicar el movimiento de los planetas es tan slo una de sus diversas aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parbola vamos a denir la elipse como un lugar geomtrico. En este caso usando dos puntos focales en vez de uno.

Denicin 1.2 (Elipse) Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea a > 0. El conjunto de puntos P = (x, y) que cumplen d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a se denomina elipse. A los puntos F1 y F2 se les llama focos. Para visualizar la denicin de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos.Al ir moviendo un lpiz que tensa esa cuerda, su trazo ir dibujando una elipse, como se muestra en la gura 1.

ELIPSE

17

Consideramos una elipse con centrada en el punto (h, k), en un sistema de ejes coordenados. Vamos a considerar solo los dos casos que se ven en la guraY V1 F1

Y V2

k

(h,k)

k

F1

(h,k)

F2

V1

F2V2h

X

h

X

La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vrtices. La cuerda que une los vrtices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse.La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la elipse. La forma cannica de la ecuacin de una elipse de centro (h, k) y ejes mayor y menor de longitudes 2a y 2b respectivamente, con a > b, es

(x h)2 (y k)2 + =1 a2 b2 El eje mayor es horizontal. Los focos estn en el eje mayor, a c unidades del centro, con c2 = a2 b2 .c2 = a 2 - b 2 Y (h,k)k

Y ak

V2 =

(h

+a ,k

)

F1

=(h

-c

, k)(h,k)

F2

b

c

k) c, h+ =( V1 = ( h - a , k)

h

X

h

X

Figura 1.8

En el caso de que el eje mayor sea vertical, la ecuacin toma la forma:

18

CNICAS

(x h)2 (y k)2 + =1 b2 a2 Recuerde que estamos bajo la suposicin de que a > b.c2 = a 2 - b 2 Y Y V1 = (h, k + a ) F1= ( h, k +c ) a

ck

k

b

(h,k)

F2 =(h, k - c)V2 = (h, k - a)h

X

h

X

Figura 1.9

Crculos.Formalmente, la curva que delimita un crculo se llama circunferencia. En un crculo de radio r, la circunferencia es una elipse en la que los focos son iguales y coinciden con el centro. En este caso, a2 = b2 = r2 . Por lo tanto, la ecuacin de la circunferencia de un crculo con centro en (h, k) y radio r, es (x h)2 + (y k)2 = r2 Por abuso del lenguaje decimos que esta es la ecuacin de un crculo con centro en (h, k) y radio r.

EJEMPLO 1.11

En la gura de la derecha aparece un crculo de radio 8, tangente a los ejes coordenados. Determine su ecuacin cannica.

8XFigura 1.10

ELIPSE

19

Solucin.

Como se ve en la gura, el crculo tiene centro (h, k) = (8, 8) por lo que su ecuacin cannica es (x 8)2 + (y 8)2 = 64

8

8Figura 1.11

X

EJEMPLO 1.12

Hallar la ecuacin cannica de la elipse 4 x 2 + y2 8 x + 4 y 8 = 0 Trazar su grca identicando los vrtices, los focos, el centro y la excentricidad. Solucin Para hallar la ecuacin cannica debemos completar el cuadrado de la expresin en ambas variables x e y. 4x2 + y2 8x + 4y 8 4 x2 8 x + y2 + 4 y 8 4 (x 1)2 + (y + 2)2 (x 1)2 (y + 2)2 + 4 16 De donde obtenemos que el centro es (1, 2). = 0 = 0 = 16 = 1

Como a2 = 16 y b2 = 4 entonces a = 4 (a es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), y b = 2 y el valor de c est dado por : c2 = 16 4; = c = 12 = 2 3 Y as, los focos estn dados por (1, 2 2 3) y los vrtices por (1, 6), (1, 2). Por ltimo, la excentricidad es 3 c 2 3 = e= = a 4 2

20

CNICAS

Par dibujar la grca todava falta calcular intersecciones con los ejes. i.) Interseccin eje Y. 4 48 y= 5.46 2 4 + 48 y= 1.46 2 ii.) Interseccin eje X. 8 192 x= 0.73 8 8 + 192 x= 2.73. 8 La grca se muestra en la gura

Y 2

F1

-2

-1

1

2

3

X

-2

-4

F2

-6

Figura 1.12

EJEMPLO 1.13

Considere la cnica 4x2 + y2 16x 6y + 21 = 0. Trazar su grca identicando los vrtices, los focos, el centro y la interseccin con los ejes. Solucin

5 4

Ec.

cannica:

(x 2)2 = 1. 1

(y 3)2 + 4

3 2 1

Centro: (h, k) = (2, 3) a2 = 4, b2 = 1. c = 3 Focos: (2, 3 3) No hay interseccin con ejes.

1

2

3

Figura 1.13

EJEMPLO 1.14

Hallar la ecuacin cannica de la elipse con vrtices en (3, 1), (3, 9) y eje menor de longitud 6.

ELIPSE

21

Solucin Como la longitud del eje menor es de 6 unidades, entonces b = 3. Como los vrtices estn en (3, 1) y (3, 9), entonces el centro est en (3, 5), el eje mayor de la elipse es vertical y a = 4. Con lo cual

c2 = a2 b2 = 16 9 = 7 = c =

78

c 7 Por ltimo, la excentricidad es e = = y la ecuacin a 4 cannica es (x 3)2 (y 5)2 + =1 9 16 Los focos estn en {3, 5 7)}.En este caso no hay interseccin con los ejes. La grca de la elipse se muestra en la gura

6 5 4

2

1

2

3

4

5

6

Figura 1.14

EJEMPLO 1.15

Determine la ecuacin de la elipse cuyo centro est en el origen, contiene al punto (1, 3) y uno de sus vrtices es (0, 5). Solucin

Los datos los podemos representar en la gura de la derecha. Como el centro es (h, k) = (0, 0) entonces la ecuacin es x2 y2 + =1 b2 a2 Esto es as pues el vrtice (0, 5) nos indica que el eje mayor est (en este caso) sobre el eje Y. Ahora, como (0, 5) es un vrtice y el centro est en (0, 0) , se sigue que a = 5 y x2 y2 + =1 b2 25

5

X

Figura 1.15

22

CNICAS

Por otra parte, como (1, 3) est en la elipse

(1)2 32 + =1 b2 25

25 de aqu, despejando, obtenemos b2 = . Finalmente, la ecuacin cannica de la 16 elipse es

x225 16

+

y2 =1 25

EJEMPLO 1.16

La seora Rojas planeaba comprar un mantel para una mesa redonda que est arrinconada en la esquina de la sala. Para hacer la compra, le pidi a su pequea hija que le tomara las medidas a esta mesa y se las apuntara en un papel. Cuando lleg al bazar, sac el papel con las medidas de la mesa y lo que encontr fue ... la gura que sigue

Pared

3 4

Pared

Figura 1.16

Como la seora Rojas haba llevado Clculo Superior algunos aos atrs, rpidamente hizo un clculo y pidi un mantel adecuado para el dimetro de la mesa. Cul es este dimetro?. Solucin. Si consideramos las paredes como ejes coordenados, la mesa es un crculo de centro (r, r) y (x, y) = (4, 3) es un punto en la circunferencia.

ELIPSE

23

4 X r (r,r) 3 (4, 3)

YFigura 1.17

Por lo tanto

(x h)2 + (y k)2

= =

(4 r)2 + (3 r)2 = r2 r 2.1 o r 11.8

As que probablemente el dimetro de la mesa es d 4.20.

EJEMPLO 1.17

Determine la ecuacin de la circunferencia de radio 2 con centro en el vrtice de la parbola de foco (1, 1) y directriz x = 3. Solucin. Como el vrtice de una parbola est a la mitad del camino entre el foco y la directriz entonces (h, k) = (1, 1). La ecuacin de la circunferencia es

(x + 1)2 + (y + 1)2 = 4.

24

CNICAS

-1 -1

Figura 1.18

EJEMPLO 1.18

()

Determine la ecuacin cannica de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos (1, 0), (3, 0), (0, 2), (0, 2). Solucin Suponga que el centro de la elipse es (h, k). Si la elipse tiene eje horizontal su ecuacin debe ser: Si la elipse tiene eje horizontal su ecuacin tiene la forma: (x h)2 (y k)2 + =1 a2 b2 Evaluando cada uno de los puntos, obtenemos el siguiente sistema: (1) (2) (3) (4) Si x = 1, y = 0 = Si x = 3, y = 0 = Si x = 0, y = 2 = (h + 1)2 k2 + 2 =1 a2 b

(3 h)2 k2 + 2 =1 a2 b h2 (2 h)2 + =1 a2 b2 h2 (2 + h)2 + =1 a2 b2 (2 + h)2 (2 h)2 = = h = 0 b2 b2

Si x = 0, y = 2 =

De (3) y (4) obtenemos (5)

ELIPSE

25

De (1), (2) y (5) tenemos que

(h + 1)2 (3 h)2 1 9 = = 2 = 2 = 1 = 9 a2 a2 a a

Lo cual es falso. Esto nos dice que no existe una elipse de eje horizontal que pase por esos. Si la elipse tiene eje es vertical, su ecuacin tiene la forma: (x h)2 (y k)2 + =1 b2 a2 Sustituyendo cada uno de los obtenemos el siguiente sistema: (6) Si (7) Si (8) Si (9) Si x = 1, y = 0 = x = 3, y = 0 = x = 0, y = 2 = (1 + h)2 k2 + 2 =1 b2 a

(3 h)2 k2 + 2 =1 b2 a h2 (2 k)2 + =1 b2 a2 h2 (2 + k)2 + =1 b2 a2 (1 + h)2 = (3 h)2 = h = 1 (2 k)2 = (2 + k)2 = k = 0 4 1 4 16 = 1 y 2 + 2 = 1 = b2 = 4 y a2 = . 2 b b a 3

x = 0, y = 2 =

De (6) y (7) tenemos (10) De (8) y (9) tenemos (11)

De (6), (8), (10) y (11) tenemos

Con lo cual la ecuacin de la elipse es: (x 1)2 3 y2 + =1 4 16 (*) Excentricidad. La excentricidad es una medida de la circularidad" de una elipse, entre ms cerca de cero ms circular y entre ms cerca de uno ms alargada. Denicin 1.3 (Excentricidad) La excentricidad e de una elipse est dada por el cociente c e= a Observe que al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y los vrtices, siempre se tiene que c < 1 = 0 < e < 1 a

0 < c < a = 0 16 b.) Si 0 < k < 16

(*) ECUACIN DE SEGUNDO GRADO

35

c.) Si k < 0 1.26 Determine la excentricidad de la cnica con ecuacin: 3 x2 y2 + 12 x + 9 = 0 1.7 (*) ECUACIN DE SEGUNDO GRADO Como hemos visto la ecuacin cannica de las secciones cnicas tiene la forma: A x2 + B xy +C y2 + D x + E y + F = 0 donde A, B, C, D, E y F son constantes. Este tipo de ecuacin se conoce como ecuaciones de segundo grado en xy. Otra manera de introducir las secciones cnicas es por medio de este tipo de ecuaciones, pues sus grcas corresponden, en general, con las secciones cnicas estudiadas. Denicin 1.6 (Ecuacin de segundo grado) Una ecuacin de la forma A x2 + B xy +C y2 + D x + E y + F = 0 donde A, B, C, D, E y F son constantes, se conoce como ecuacin de segundo grado en xy.

Observacin: La grca de este tipo de ecuaciones corresponde a una seccin cnica y la presencia del trmino mixto xy nos indica que hay rotacin de ejes. Tema que se sale de los objetivos del presente curso y no ser tratado en detalle, pero an as, se presentar el teorema relacionado y un ejemplo. Teorema 1.7 (Rotacin de ejes) La ecuacin de segundo grado

A x2 + B xy +C y2 + D x + E y + F = 0 puede reescribirse como

(1.1)

P u 2 + Q v2 + R u + S v + T = 0 girando los ejes coordenados un ngulo , donde

(1.2)

36

CNICAS

ctg =

A C B

Los coecientes de la nueva ecuacin se obtienen haciendo las sustituciones:

x y

= u cos v sen = u sen + v cos

EJEMPLO 1.23

Hallar la ecuacin cannica de la cnica 7 x2 6 xy 3 + 13 y2 16 = 0 y trazar su grca. Solucin. Primero debemos calcular el ngulo de rotacin 1 7 13 = = = 6 6 3 3

ctg =

Por tanto, el cambio de variable a realizar est dado por u 3v 2 u+v 3 2

x y

= =

Al sustituir en la ecuacin original (2), obtenemos la ecuacin cannica deseada: u2 v2 + =1 4 1 La grca de est elipse se muestra en la gura 1.

(*) ECUACIN DE SEGUNDO GRADO

37

Figura 1.26

Ligada a la ecuacin de segundo grado existe una cantidad conocida como discriminante que es til en la clasicacin de cnicas. Denicin 1.7 (Discriminante) El discriminante de la ecuacin de segundo grado (1.1) est dado por D = B2 4 AC El siguiente teorema nos permite clasicar las cnicas basndose en el signo del discriminante. Teorema 1.8 (Secciones cnicas) La grca de una ecuacin de segundo grado A x2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0 corresponde a, (salvo casos degenerados), una seccin cnica: a.) Si D < 0, la grca es una elipse. b.) Si D = 0, la grca es una parbola. c.) Si D > 0, la grca es una hiprbola.

EJEMPLO 1.24

Las grcas de las siguientes ecuaciones de segundo grado corresponden a cnicas no degeneradas. Clasique cada cnica.

3 X

X 2 Y 1

Y 2 1 1 5. 0 2 50 .51 .1 2 3 5. 1

38

CNICAS

1.) x2 4 xy + 4 y2 + 5 y 5 + 1 = 0 2.) 7 x2 6 xy 3 + 13 y2 16 = 0 3.) x2 10 xy + y2 + 1 = 0 Solucin. Como las ecuaciones corresponden a cnicas no degeneradas, se puede armar que 1.) Como = (4)2 4 1 4 = 0 = la cnica es una parbola 2.) Como = 6 32

4 7 13 = 256 = la cnica es una elipse

3.) Como = (10)2 4 1 1 = 96 = la grca es una hiprbola.

EJERCICIOS 1.27 Otra forma de denir las secciones cnicas es la siguiente:

Sea F un punto jo (llamado foco) y L una recta ja (llamada directriz) en un plano. Sea e un nmero positivo jo (llamado excentricidad). El conjunto de todos los puntos P del plano tales que |PF| =e |PL| (es decir, el cociente de la distancia con respecto a F y la distancia respecto a L es igual a la constante e) es una seccin cnica. Compruebe que la cnica es : a) una elipse si e < 1 b) una parbola si e = 1 c) una hiprbola si e > 1 1.28 1.29 Es la curva de ecuacin x + y = a, con a > 0 una parbola?

Determine la excentricidad de la cnica con ecuacin 3 x2 y2 + 12 x + 9 = 0

Captulo 2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, SUPERFICIES Y SLIDOS.

2.1 COORDENADAS TRIDIMENSIONALES Un punto en el espacio queda determinado dando su localizacin con respecto a tres ejes de coordenadas perpendiculares entre s que pasan por el origen O . Siempre trazaremos los ejes x, y, z como se muestra en la gura 2.2, con echas que indican la direccin positiva a lo largo de cada eje. Con esta conguracin de ejes nuestro sistema de coordenadas es un sistema derecho; si usted dobla los dedos de su mano derecha en la direccin de un giro de 90o desde el eje x positivo hasta el eje y positivo, entonces su pulgar apunta en la direccin del eje z positivo. Si se intercambian los ejes x e y , entonces el sistema de coordenadas sera izquierdo. Estos dos sistemas de coordenadas son diferentes, en el sentido de que es imposible hacerlos coincidir por medio de rotaciones y traslaciones.Z 2 1 1 2 X 1 2 Y 2 1 1 2 Y

Z

1

2

X

Figura 2.1 Ejes x, y, z Clculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M. Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

39

40


Los tres ejes coordenados considerados por pares determinan los tres planos coordenados: El plano (horizontal) xy , donde z = 0 El plano (vertical) yz , donde x = 0 El plano (vertical) xz , donde y = 0Plano xy

Z 2 1 2 X 1 1 2 Y X 1

Z 2 1 2Plano xz

Z 2 1 2 X 1 1 2 YPlano yz

1

2

Y

Figura 2.2 Ejes x, y, z

Figura 2.3 Primer octante.

Z

(a,b,c)El punto P en el espacio tiene las coordenadas rectangulares (a, b, c) siX

a

c

b

Y

a es su distancia (con signo) al plano yz b es su distancia (con signo) al plano xz c es su distancia (con signo) al plano xyFigura 2.4 Punto P = (a, b, c) en el primer octante

En este caso, podemos describir la posicin del punto P simplemente escribiendo P = (a, b, c) . Existe una correspondencia biunvoca natural entre las ternas ordenadas (x, y, z)

FUNCIONES DE DOS VARIABLES

41

de nmeros reales y los puntos P del espacio; esta correspondencia es un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio. En la gura 2.4 se muestra un punto P en el primer octante, la octava parte del espacio en donde las tres coordenadas rectangulares son positivas.

2.2 FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o ms variables independientes. Por ejemplo, el trabajo w realizado por una fuerza w = f d , el volumen V de un cilindro circular recto V = V (r, h) = r2 h , el rea de un tringulo A = b h , son todas funciones de dos variables. Tambin tenemos funciones de tres variables, como el volumen de una caja rectangular V = V (l, a, h) = l a h es una funcin de tres variables. Denotaremos una funcin de dos o ms variables de la forma usualz w = = f (x, y) f (x, y, z) = = x 2 + y2 + 1 xyz

Denicin 2.1 (Funciones de dos variables) Sea D R2 , si a cada par ordenado (x, y) D hacemos corresponder un nmero real z = f (x, y) , entonces decimos que f es una funcin de x e y , y escribimos f : D R2 R . Al conjunto D lo llamaremos dominio de f y al correspondiente conjunto de valores z = f (x, y) lo llamaremos recorrido de f . Llamaremos a las variables x e y variables independientes y a la variable z variable dependiente. Observacin : De manera anloga podemos denir funciones de tres o ms variables, f : D Rn R . En todo caso el dominio ser un subconjunto de Rn y el recorrido un subconjunto de R . En nuestro curso nos limitaremos ha estudiar los casos n = 2, 3 .

EJEMPLO 2.1

Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones 1. f (x, y) = 2. g(x, y) = Solucin 9 (x2 + y2 ) xy x2 y

42


Y 4 3

Para hallar el dominio de f recuerde que el argumento de una raz cuadrada debe ser positivo o cero :-4 -3 -2 -1

2 1 1 -1 -2 -3 2 3 4 X

9 x2 + y2 0 = x2 y 9 Lo cual corresponde al interior de un crculo de radio 3 , como se muestra en la gura 2.5

-4

Figura 2.5 Crculo de radio 3

Y

4

Para hallar el dominio de g recuerde que en un cociente el denominador no puede ser cero, por lo que el argumento del radical debe ser positivo : x2 y > 0 = y < x2 Lo cual corresponde al exterior de la

2

-3

-2

-1

1

2

3

X

-2

-4

parbola y = x2 , sin incluir la parbola misma, esto se muestra en la gura 2.6.

Figura 2.6 Exterior de la parbola y = x2

Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que lo hacemos con las funciones de una variable Suma y resta: f (x, y) g(x, y) Producto: f (x, y) g(x, y) Cociente: f (x, y) g(x, y)

La funcin compuesta dada por ( f g)(x, y) se dene solamente si g es una funcin de dos variables y f una funcin de una nica variable. En este caso

( f g)(x, y) = f (g(x, y))

FUNCIONES DE DOS VARIABLES

43

para todo par (x, y) en el dominio de g . Por ejemplo, la funcin

h(x, y) =

x2 + y2 + 4

puede verse como la composicin de la funcin de dos variables

g(x, y) = x2 + y2 + 4

y la funcin de una variable

f (x) =

x

Una funcin que puede expresarse como suma de funciones de la forma c xm yn (donde c es un nmero real, m, n son enteros positivos) se conoce como funcin polinmica de dos variables. Por ejemplo, la funcin

f (x, y) = x2 + x y2 3 x2 y2 + 5

es una funcin polinmica. Y una funcin racional es el cociente de dos funciones polinmicas.

EJEMPLO 2.2

44


Determine el dominio de la funcin f (x, y) = Solucin Como cada uno de los radicales debe ser no negativo, tenemos que 1 x 2 + y2 4 Lo cual corresponde al anillo que se muestra en la gura 2.7.Figura 2.7-3 -2 -1

Y 3

x2 + y2 1 +

4 x2 y2

2

1

X 1 -1 2 3

-2

-3

Dominio de la funcin f (x, y) =

x 2 + y2 1 +

4 x 2 y2

2.3

GRFICA DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES.

Existen varias maneras de visualizar una funcin de dos variables, en esta seccin lo haremos mediante una supercie en el espacio tridimensional.

Denicin 2.2 (Grca de una funcin de dos variables) La grca de una funcin f : D R2 R es el conjunto de puntos (x, y, z) tales que z = f (x, y) y (x, y) D . Es decir,

Gra f ( f ) = {(x, y, f (x, y)) | (x, y) D}

Observacin : La grca de una funcin de dos variables z = f (x, y) puede interpretarse geomtricamente como una supercie S en el espacio, de forma tal que su proyeccin sobre el plano xy (intuitivamente: la sombra cuando el sol est sobre el eje Z) es D , el dominio de f . En consecuencia, a cada punto (x, y) en D le corresponde un punto (x, y, z) en la supercie. Y, a la inversa, a cada punto (x, y, z) en la supercie le corresponde un punto (x, y) en D (gura 2.8)

PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO

45

Figura 2.8 Grca de una funcin de dos variables

Ms adelante volveremos sobre este tema, cuando tengamos ms elementos acerca de curvas, planos, cilindros, curvas de nivel y trazas.

2.4 PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO

Una recta L en el espacio est determinada por dos puntos P y Q sobre ella. Alternati vamente, se puede determinar dando un punto P sobre ella y un vector (director) PQ que determina la direccin de la recta (Figura 2.9)

Z P

Q v=Q-P

Z

Q

P

Figura 2.9 Recta en el espacio

Los ejemplos ms simples son rectas en los planos xy , yz o xz. En estos casos podemos dibujar directamente a partir de la ecuacin cartesiana ax + by = d , ay + bz = d o ax + bz = d respectivamente.

46


EJEMPLO 2.3

Dibujar las rectas 1. x + y = 1. 2. x + 2z = 2. 3. z y = 0. Solucin. Para dibujar una recta solo necesitamos dos puntos. En el caso de la recta x + y = 1 observamos que interseca a los ejes en x = 1 y y = 1. En el caso de la recta x + 2z = 2 observamos que interseca a los ejes en x = 2 y z = 1. En el caso de la recta z y = 0 observamos que interseca a los ejes en x = y = 0 . Un punto adicional de la recta se puede obtener haciendo z = 1 en cuyo caso tendramos el punto (0, 1, 1) . Aqu la coordenada x es cero pues estamos en el plano yz.Z 2 1 2 X 1 Y Xx+2z=2

Z 2 1 1 Y Xz-y=0

Z

1

1

x+y=1

Y

Figura 2.10 Recta en el espacio

Teorema 2.1 La ecuacin paramtrica de la recta L que pasa por el punto P = (x0 , y0 , z0 ) en la direccin del vector PQ = (a, b, c) es x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct

EJEMPLO 2.4

Hallar la ecuacin paramtrica de la recta que pasa por los puntos P = (2, 0, 1) y Q = (1, 1, 3) y trace su grca. Solucin


47

Un vector director para la recta est dado por PQ = (1, 1, 2) y su ecuacin paramtrica es x = 2 1t y = 0+ t z = 1 + 2t Para trazar su grca basta dibujar dos puntos y luego unirlos, como se muestra en la gura 2.11.

Z

1 1 1 2 XFigura 2.11 Recta en el espacio con puntos P =

Y

(2, 0, 1) y Q = (1, 1, 3)

2.4.1

Planos

Z

P

Un plano en el espacio queda determinado por un punto Q = (x0 , y0 , z0 ) y un vector normal = (a, b, c) al n plano . Tambin, tres puntos no colineales P, Q, R determinan este plano (Figura 2.12).

Q

Y XRFigura 2.12 Plano en el espacio

Teorema 2.2 Una ecuacin escalar de un plano que pasa por el punto Q = (x0 , y0 , z0 ) con vector normal = (a, b, c) est dada por n = 0, o sea, a x + b y + c z = d PQ n con P = (x, y, z) y d = Q = a x0 + b y0 + c z0 n

48


EJEMPLO 2.5

Determine la ecuacin cartesiana del plano que pasa por los puntos P = (3, 0, 0), Q = (2, 1, 0) y R = (0, 1, 2) y trace su grca. Solucin Primero debemos calcular un vector normal i j k 1 1 0 3 1 2

= = PQ PR n y as la ecuacin del plano es

= 2 i +2 j +2 k

(2, 2, 2) (x 3, y, z) = 0 = x + y + z = 3

Para trazar la grca buscamos las intersecciones con los ejes coordenados y las unimos con rectas, como se muestra en la gura 2.13 Interseccin con el eje x : Si y = z = 0 x = 3 y obtenemos el punto (3, 0, 0) Interseccin con el eje y : Si x = z = 0 y = 3 y obtenemos el punto (0, 3, 0) Interseccin con el eje z : Si x = y = 0 z = 3 y obtenemos el punto (0, 0, 3) .

Z

3 3X

3Y

Figura 2.13 Plano x + y + z = 3

En la gura 2.13 se indica con un tono ms claro la parte del plano que est en el segundo octante. La lnea punteada es la interseccin del plano con el plano yz.

El siguiente ejemplo muestra como dibujar un plano que pasa por el origen.

EJEMPLO 2.6

Trace la grca del plano : x y z = 0 .


49

Solucin En este caso buscamos la traza(interseccin) del plano sobre cada uno de los planos coordenados. Traza sobre el plano x = 0 : Si x = 0 y z = 0 y = z Traza sobre el plano y = 0 : Si y = 0 x z = 0 z = x Traza sobre el plano z = 0 : Si z = 0 x y = 0 y = x Para trazar la grca del plano dibujamos solo dos trazas (rectas, en este caso) de las tres trazas (en principio no importa cuales dos se escojan) y estas nos dan una idea del plano, aqu escogimos las trazas y = 0 (recta x = z ) y z = 0 (recta y = x ), como se muestra en la gura 2.14.

ZZ

X 1X 1 1

1 1 Y

1

YFigura 2.14 Plano x y z = 0, en dos posibles puntos de vista.

El siguiente ejemplo muestra como trazar un plano cuando una de las variables est ausente.

EJEMPLO 2.7

Trace la grca del plano y + z = 3 .

50


Solucin En este caso tenemos una variable que no aparece en la ecuacin : x , entonces el proceso para trazar el plano es muy simple; dibujamos la traza del plano y + z = 3 sobre el plano x = 0 (plano yz ) y luego la desplazamos en la direccin del eje x , como se muestra en la gura 2.15. Esto se puede hacer as pues x puede tomar valores arbitrarios ya que en la ecuacin del plano, x esta multiplicada por cero, es decir la ecuacin del plano se puede escribir como 0x+y+z = 3. De hecho, el grco de plano es {(x, y, z) : y+z = 3, x R}.

Z 3

3 X

Y

Figura 2.15 Plano y + z = 3

2.5

SUPERFICIES CIL INDRICAS

Una buena parte de las supercies con las que trabajaremos en el curso se generan a partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la grca de una supercie de este tipo es muy simple, la idea es arrastrar la generatriz en la direccin de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la supercie por la traza que va dejando.

ZDenicin 2.3 (Cilindro) Sea C una curva sobre un plano , llamada generatriz y sea L una recta no paralela al plano , llamada directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a L que intersecan a C es un cilindro.

C

Y XFigura 2.16 Cilindro

SUPERFICIES CILNDRICAS I

51

Observacin : Esta denicin es una generalizacin del conocido cilindro circular recto donde, por ejemplo, la generatriz es x2 + y2 = r2 que esta sobre el plano xy y la directriz es una recta paralela al eje z . Para los nes del curso, vamos a estar interesados nicamente en cilindros cuyas curvas generatrices estn sobre planos paralelos a los planos coordenados y cuyas directrices son rectas paralelas a alguno de los ejes coordenados. Este tipo de cilindros se conoce como cilindros rectos. Cuando la directriz es una recta que no es paralela a alguno de los ejes coordenados el cilindro generado se conoce como oblicuo. Por ejemplo, considere el siguiente cilindro (Figura 2.16) Un cilindro circular recto tiene como generatriz un crculo y como directriz una recta paralela a uno de los ejes coordenados. En la gura 2.17 se muestra un cilindro con generatriz; x2 + z2 = 4, y = 0 (plano xz ) y con recta directriz paralela al eje y .

Z

Z

2.

2.

X

2. 2. Y XFigura 2.17 Cilindro con generatriz x2 + z2 = 4

En la gura 2.18 se muestra un cilindro parablico z = x2 + 1, y = 0 (plano xz ) con generatriz y recta directriz paralela al eje Y

Z

Z 3. 2. 1.

Y

1.

X X YFigura 2.18 Cilindro parablico

52


Si en la ecuacin:

f (x, y, z) = 0 alguna de las variables x , y o z es libre (no aparece en la ecuacin), entonces su grca corresponde a un cilindro y trazarla resulta muy simple : primero dibujamos la traza de la supercie f (x, y, z) = 0 sobre el plano coordenado correspondiente a las variables no libres y luego movemos esta curva en la direccin del eje coordenado correspondiente a la variable libre. Ahora presentamos algunos ejemplos que ilustran esta tcnica.

EJEMPLO 2.8

Trazar la grca de la supercie cilndrica cuya ecuacin est dada por:

z = 4 y2 Solucin Observando la ecuacin z = 4 y2 notamos que la variable libre es x , esto nos dice que debemos dibujar la traza (es decir, la parbola z = 4 y2 ) de la supercie sobre el plano x = 0 (plano yz ) y luego mover esta traza a lo largo del eje x para generar la grca de la supercie, como se muestra en la gura 2.19.Z 4.

Z 4.

X Y

2.

2. Y XFigura 2.19 Parbola de ecuacin z = 4 x2

Observacin : el dominio de la funcin z = 4 y2 es R2 , esto es un aspecto importante al trazar su grca.

EJEMPLO 2.9

SUPERFICIES CILNDRICAS I

53

Trace la grca de la supercie cilndrica y = Solucin

x

En este caso la variable libre es z , entonces debemos dibujar la traza ( es decir la curva y = x ) de la supercie sobre el plano z = 0 (plano xy ) y luego debemos moverla a lo largo del eje z . En este caso es muy importante tomar en cuenta que el dominio de la funcin es D = {(x, z) R2 | x 0} , es decir, slo sobre esta regin vamos a tener grca. En la gura 2.20 se muestra la esta supercie.

Z

Y

XFigura 2.20 Supercie cilndrica y =

x

EJEMPLO 2.10

Incluso los planos pueden verse como supercies cilndricas, por ejemplo, el plano z = 2y tiene una variable libre x , entonces dibujamos la traza de la supercie sobre el planos x = 0 (plano yz ) y la movemos a lo largo del eje x . Un plano como x = 2 , tiene dos variables libres y y z , entonces dibujamos la traza ( x = 2 ) sobre el plano yz y la movemos a lo largo del eje x .

Z

Z

2. X 32 2. Y

Y X

EJEMPLO 2.11

Trazar la grca de la supercie cilndrica

(x 2)2 + (y 2)2 = 1 2

54


Solucin La variable libre es z , entonces dibujamos la traza sobre el z = 0 (plano xy ) y la desplazamos a lo largo del eje z , como se muestra en la gura

Z Z

1. 3.2. X

1. 2.

3.

Y X Y

2.6

CURVAS SOBRE UN PLANO

Una curva sobre un plano x = a , y = b, o z = c se describe dando la ecuacin de la curva y el plano sobre la cual se encuentra. Eventualmente, estas curvas corresponden una traza sobre el plano x = a, y = b, o z = c. Una manera sencilla de dibujar estas curvas es dotar al plano respectivo de un sistema de ejes con origen en a y dibujar en este sistema coordenado. Por ejemplo, si queremos dibujar en el plano x = a una curva de ecuacin F(y, z) = 0, dotamos a este plano de un sistema de ejes y z con origen de coordenadas en x = a y dibujamos la curva F(y , z ) = 0.

EJEMPLO 2.12

Dibujar las siguientes curvas: 1. Parbola (y 3)2 = z + 1 sobre el plano x = 2 2. Circunferencia (x 2)2 + (y 3)2 = 4 sobre el plano z = 0 (plano xy ) 3. Elipse (x 2)2 (y 4)2 + = 1 sobre el plano z = 3 4 16 (x 3)2 (z 2)2 = 1 sobre el plano y = 3 4

4. Hiprbola

Solucin

CURVAS SOBRE UN PLANO

55

1. Parbola

Z

Z

z

2 X -1 2 3 Y

2 X

3 Y

y

2. CircunferenciaZ

4 X

1 3 2

1 2 3 4 Y

3. Elipse

Z2 plano z =3 4

X

y

X Y4. Hiprbola

56


Z

Z

2

X3

3 Y

X

Z

Y 3

X 3 X

2.7

CURVAS DE NIVEL Y TRAZAS

La interseccin del plano horizontal z = k con la supercie z = f (x, y) se le llama una curva de contorno (o traza) de altura k sobre la supercie.

Z

Z 2plano z =1 plano z = 0 plano z = -1

2traza z = 1 traza z = 0

X

2

2

YX

2

2

Y

traza z = - 1

Figura 2.21 Curvas de contorno


57

Z 2 1

Z

traza z = 1.5 traza z = 1 traza z = 0

2 X

1

1

2

Y

X

1

1

Y

traza z = -1 traza z = 1.5curvas de contorno (trazas) curvas de nivel

Figura 2.22 Curvas de contorno y Curvas de nivel

En la seccin anterior ya vimos como dibujar una curva sobre cada uno de estos planos. Ms generalmente, tenemos la siguiente denicin

Denicin 2.4 Sea f : U Rn R y sea c R. El conjunto de nivel del valor c se dene como los puntos v U para los cuales f (v) = c. Si n = 2 hablamos de una curva de nivel de valor c; y si n = 3 hablamos de una supercie de nivel.

En una supercie de ecuacin F(x, y, z) = 0 se pueden considerar, adems de la interseccin con los planos z = k, tambin la interseccin de sta con los planos x = k o los planos y = k.

EJEMPLO 2.13

58


Z 2

1Consideremos la supercie de ecuacin x 2 + y2 + z2 =1 4Figura 2.23

1

Y

X

Esta supercie es llamada un elipsoide. Su grca se ve en la gura 2.23.

z2 Elipsoide x2 + y2 + = 1. 4

Podemos obtener algunas curvas de contorno intersecando, por ejemplo, la supercie con los planos x = k y z = k. Estas curvas las podemos dibujar como vimos en la seccin anterior. a.) x = 0. Se obtiene la traza y2 + z2 = 1 que corresponde a una elipse en el plano yz . 4

b.) x = 1/2. Se obtiene y2 +

z2 = 1/2 que corresponde a dos elipses, una en el 4 plano x = 1/2. y la otra en el plano x = 1/2. z2 = 0 que corresponde al punto (1, 0, 0) 4

c.) x = 1. Se obtiene y2 +

Z 2

Z 2 1

X

2

2

Y X

2

1

Y

Figura 2.24 Trazas x = 0,

1/2


59

d.) z = 0. Se obtiene la traza x2 + y2 = 1 que corresponde a un crculo de radio 1 en el plano xy .)

e.) z = 1. Se obtiene x2 + y2 = 0.75 que corresponde a un crculo en el plano z = 1 .

f.) z = 1 Se obtiene x2 + y2 = 0.75 que corresponde a un crculo en el plano z = 1 .

g.) z = 2. Se obtiene la traza x2 + y2 = 0 que corresponde los puntos (0, 0, 2) y (0, 0, 2)Z 2 1 2 X 2 Y Y X Z 2

1

1

Figura 2.25 Trazas z = 1, 0, 1, 2 y Trazas z = 1, 0, 1, 2, x = 0

EJEMPLO 2.14

Consideremos la supercie de ecuacin z = x 2 + y2 Podemos calcular algunas trazas de esta supercie para tener una idea de su grca (gura 2.26). a.) Traza z = 1. Se obtiene el crculo x2 + y2 = 1 en el plano z = 1 b.) Traza z = 1/2 . Se obtiene el crculo x2 + y2 = 1 en el plano z = 1/2 2

c.) Traza x = 0. Se obtiene la parbola z = y2 en el plano x = 0

60


Z1

Z

1 X

1

Y 1 X1 , x=0 4

Y

Figura 2.26 Supercie z = x2 + y2 y trazas z = 1,

2.8

SUPERFICIES CUADRTICAS

Las secciones cnicas: elipse, parbola e hiprbola; tienen su generalizacin al espacio tridimensional en elipsoides, paraboloides e hiperboloides.

Denicin 2.5 (Supercies cuadrticas) La grca de una ecuacin de segundo grado en tres variables

A x2 + B y2 +C z2 + D x + E y + F z + G = 0

se conocen como supercie cuadrtica, salvo casos degenerados.

Observacin: En la ecuacin de segundo grado A x2 + B y2 +C z2 + D x + E y + F z + G = 0 deliberadamente no hemos incluido los trminos mixtos xy , xz y yz , pues la presencia de estos genera supercies con rotacin, tema que no trataremos en el curso.


61

2.8.1

Elipsoide

La grca de la ecuacin: x2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2 corresponde a un elipsoide. Es simtrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene interseccin con los ejes coordenados en (a, 0, 0) , (0, b, 0) y (0, 0, c). La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un nico punto o una elipse. La gura 2.27 muestra su grca.Figura 2.27 Elipsoide

2.8.2

Paraboloide elptico. i

La grca de la ecuacin x2 y2 z + 2= 2 a b c es un paraboloide elptico. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses : x2 y2 k + 2= 2 a b c Sus trazas sobre planos verticales, ya sean x = k o y = k son parbolas. (Figura 2.28)Figura 2.28 Paraboloide elptico

62


2.8.3

Paraboloide hiperblico

La grca de la ecuacin: y2 x2 z 2= 2 b a c es un paraboloide hiperblico. Sus

trazas sobre planos horizontales z = k son hiprbolas o dos rectas ( z = 0 ). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano x son parbolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano yz son parbolas que abren hacia arriba. Su grca tiene la forma de una silla de montar, como se observa el la gura 2.29.Figura 2.29 Paraboloide hiperblico

2.8.4

Cono elptico i

La grca de la ecuacin: x2 y2 z2 + 2= 2 a2 b c es un cono elptico. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hiprbolas o un par de rectas. Su grca se muestra en la gura 2.30.

Figura 2.30 Cono elptico


63

2.8.5

Hiperboloide de una hoja

La grca de la ecuacin: x2 y2 z2 + =1 a2 b2 c2 es un hiperboloide de una hoja. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses x2 y2 k2 + 2 = 1+ 2 2 a b c Sus trazas sobre planos verticales son hiprbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su grca se muestra en la gura 2.31.

Figura 2.31 Hiperboloide de una hoja

2.8.6

Hiperboloide de dos hojas

La grca de la ecuacin: z2 y2 x2 =1 a2 b2 c2 es un hiperboloide de dos hojas. Su grca consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses y sobre planos verticales son hiprbolas (gura 2.32).Figura 2.32 Hiperboloide de dos hojas

64


EJEMPLO 2.15

Identique cada una de las siguiente supercies cuadrticas: a.) 4 x2 y2 + 2 z2 + 4 = 0 b.) x2 + 2 z2 6 x y + 10 = 0

Solucin a.) Dividiendo por 4 la primera ecuacin obtenemos:

x2 +

y2 z2 =1 4 2

lo cual corresponde a un hiperboloide de dos hoja con el eje y como eje de simetra. b.) Completando el cuadrado en x para la segunda supercie obtenemos :

y 1 = (x 3)2 + 2 z2

que corresponde a un paraboloide elptico con eje de simetra paralelo al eje y .

Traslacin de Ejes.Consideremos el elipsoide de ecuacin (x 3)2 (y 3)2 (z 1)2 + + =1 4 9 4 Este es un elipsoide con centro en (3, 3, 1). Para gracar esta supercie dibujamos en el sistema de ejes coordenados x y z donde donde x = x 3, y = y 3 y z = z 1. Este sistema tiene su origen de coordenadas en el punto (3, 3, 1) del sistema xyz. En este nuevo sistema gracamos la supercie.

PARAMETRIZACIN DE UNA CURVA EN EL ESPACIO.

65

(x )2 (y )2 (z )2 + + =1 4 9 4Z

Z

Y X

X

Y

Figura 2.33 Traslacin de ejes: x = x 3, y = y 3 y z = z 1.

Z

Z

3

XFigura 2.34 Elipsoides

Y

X

5

Y

3

(x )2 (y )2 (z )2 (x 3)2 (y 3)2 (z 1)2 + + =1 y + + =1 4 9 4 4 9 4

2.9 PARAMETRIZACIN DE UNA CURVA EN EL ESPACIO. Denicin 2.6 Si x(t), y(t) y z(t) son funciones continuas en un intervalo I entonces el conjunto de tripletas ordenadas C = {(x(t), y(t), z(t)) : t I} se denomina curva en el espacio tridimensional. Las funciones x(t), y(t) y z(t) se denominan ecuaciones paramtricas de C a a t le llamamos parmetro.

EJEMPLO 2.16

1. Segmento de recta que une A con B (x, y, z) = A + t(B A), t I = [0, 1] 2. Recta que pasa por P = (p1 , p2 , p3 ) en la direccin de = (v1 , v2 , v3 ) v

66


(x, y, z) = P + t , t R v 3. Circunferencia, en el plano xy, de centro (h, k) y radio r

(x, y, z) = (h + r cos(t), k + r sen(t), 0), t I = [0, 2] 4. Elipse, en el plano xy, (x k)2 (y k)2 + =1 a2 b2

(x, y, z) = (h + a cos(t), k + b sen(t), 0), t I = [0, 2] 5. Hiprbola, en el plano xy, (x k)2 (y k)2 =1 a2 b2

(x, y, z) = (h + a sec(t), k + b tan(t), 0), t I = [0, 2] 6. La curva y = f (x), x I tiene ecuacin paramtrica (x, y(x)), x I. Es decir se puede tomar x como parmetro. 2.10 INTERSECCIN DE SUPERFICES. Vamos a mostrar algunos ejemplos que tienen como propsito visualizar cmo un plano corta a otro plano o a otra supercie. Ms adelante nos dedicaremos a calcular las ecuaciones (paramtricas) de las curvas de interseccin. En los ejemplos que siguen, solamente por simplicidad, se trabaja en el primer octante. Como solo estamos tratando con cilindros lo que hacemos es extender cada supercie hasta que tenga contacto con la otra supercie. Estos puntos de interseccin son la gua para bosquejar (si se dibuja a mano) la curva de interseccin (o las curvas de interseccin).

EJEMPLO 2.17

Dibujar las curvas de interseccin, en el primer octante, de las supercies 1. z = 4 x2 y x+y = 6 4

2. y = x2 y x + y + z = 6 3. z = 4 x2 y y x = 1 4

4. x + y + z = 6 y y = 5 5. x2 + y2 = 9 y y = x 2

SLIDOS

67

Solucin.

Figura 2.35

z = 4

x2 y x+y = 6 4

Figura 2.36

y = x2 y x + y + z = 6

Figura 2.37

z = 4

x2 y y x = 1 4

Figura 2.38

x+y+z = 6 y y = 5

Figura 2.39

x 2 + y2 = 9 y y = x 2

2.11 SLIDOS Un slido es una supercie cerrada. La mayora de las veces es la interseccin de varias supercies, pero podra constar de una nica supercie, por ejemplo, una esfera. LosClculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M. Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

68


siguientes ejemplos muestran como dibujar slidos

EJEMPLO 2.18

Dibuje el slido Q limitado por los planos y+z = 5, x = z = 0 y el cilindro z = 4x2 . Solucin Primero dibujamos el cilindro z = 4 x2 y el plano y + z = 5 y su respectiva interseccin:

4

Y5 2

Figura 2.40

Ahora podemos recortar el slido Q

Z4

Y5

X

2

Figura 2.41

El slido Q tiene cinco caras. Las caras de Q en los planos x = 0, y = 0 y z = 0 son

SLIDOS

69

Z4

Z4

Z

Y5 2

X

2

5

Y X

2

Y5

X

Figura 2.42

Las otras dos caras son

Z3 2 1 1 2 3 4

Z3 2 1 1 2 3 4

1

Y X

1

Y

X

Figura 2.43

EJEMPLO 2.19

Dibuje el slido limitado por los planos y + z = 1, x = z = 0 y el cilindro y = x . Solucin Para dibujar el cilindro y = x dibuFigura 2.44 Supercie y =

jamos su traza sobre el plano xy y la desplazamos a lo largo del eje z

x

Para dibujar el plano y + z = 1 dibujamos su traza sobre el plano yz y la desplazamos a lo largo del eje x . Los otros planos son los planos coordenados. Aprovechamos para dibujar la interseccin de las supercies.

70


El slido se muestra en la gura 2.45.

Figura 2.45 Slido limitado por y + z = 1, x = z = 0 y y =

x

Para algunas aplicaciones es importante conocer las ecuaciones de las curvas que forman los bordes del slido. Por ejemplo, ecuacin de la curva C1 se obtiene como el resultado de la interseccin del la cilindro y = x y el plano z = 0 , por tanto, su ecuacin esta dada por : x=t y= t z = 0 y = x C1 = z=0

con t [0, 1]

SLIDOS

71

La curva C2 es la interseccin del cilindro y =

x y el plano y + z = y su ecuacin es :

x=t y= t y = x y + z = 1 z = 1 y = 1 x C2 = z = 1 t

con t [0, 1]

La curva C3 es la interseccin del planos y + z = 1 y x = 0 y su ecuacin es : x=0 y=t y + z = 1 x = 0 z = 1 y C3 = z = 1t

con t [0, 1]

EJEMPLO 2.20

Dibuje el slido limitado por los planos 2y + z = 8, y = x, x = z = 0 y el cilindro z = 4 x2 . Ver gura 2.46. Solucin

72


Figura 2.46 Slido limitado por z = x2 + y2 + 1, x + y = 2 y x = y = z = 0

La ecuacin de la curva C1 se obtiene de la interseccin del cilindro z = 4 x2 y el plano y=x : x=t 2 y=t z = 4 x y = x C1 = z = 4 t2

con t [0, 2]

La curva C2 se obtiene de la interseccin del cilindro z = 4 x2 y el plano 2y + z = 8 :

z = 4 x2 2 y + z = 8

z = 82y 4 x2 = 8 2 y y = 2+ t2 2

x=t t2 C2 = y = 2+ 2 z = z = 4 t2

con t [2, 4]

EJEMPLO 2.21

SLIDOS

73

Dibuje el slido limitado por el paraboloide z = x2 + y2 + 1 y los planos x + y = 2 y x=y=z=0 Solucin Observe que los planos coordenados x = y = z = 0 son fundamentales al momento de dibujar el slido, pues sino podramos obtener un slido no adecuado. La grca del slido se muestra en la gura 2.47.

Figura 2.47 Slido limitado por z = x2 + y2 + 1, x + y = 2 y x = y = z = 0

La curva C1 es la interseccin de paraboloide z = x2 + y2 + 1 y el plano x + y = 2 .

z = x2 + y2 + 1 x + y = 2 y = 2 x z = x2 + (2 x)2 + 1 = 2 x2 4 x + 5

74


con lo cual su ecuacin est dada por: x=t y = 2t C1 = z = 2t 2 4t + 5

con t [0, 2]

La curva C2 es la interseccin del paraboloide z = x2 + y2 + 1 y el plano x = 0 x=0 2 2 2 y=t z = x + y + 1 x = 0 z = y + 1 C2 = z = t2 + 1

con t [0, 2]

La ecuacin de la curva C3 se obtiene de forma anloga a la de C2 .

EJEMPLO 2.22

Dibuje el slido limitado por las siguientes supercies z = 4 x2 , 4y + 3z = 20, x y z = 0, x = y = z = 0 Solucin Bsicamente son las supercies que hemos estado dibujando. El plano 2x y z = 4 pasa por el origen por lo que nos conviene dibujar las trazas sobre los planos xy y xz .

EJEMPLO 2.23

Dibuje el slido limitado por las supercies: x + z = 2, y + z = 4, z = Solucin

x, x = y = 0

Para dibujar el plano x + z = 2 dibujamos su traza sobre el plano xz y la desplazamos en direccin del eje y . Para trazar el plano y + z = 4 dibujamos su traza sobre el plano yz y la desplazamos en direccin del eje x . Para dibujar la supercie cilndrica z = x dibujamos su traza sobre el plano xz y la desplazamos a lo largo del eje y . Con lo cual obtenemos el slido que se muestra en la gura 2.48.

SLIDOS

75

P

Figura 2.48 Slido limitado por y + z = 2, y + z = 4 = 0, z =

xyx=y=0

Para hallar la ecuacin de la curva C1 , observe que se obtiene como resultado de la interseccin de los planos x + z = 2 y y + z = 4 .

x+z = 2y+z = 4 z = 2x = 4y y = 2+x con lo cual la ecuacin de la curva es x=t y = 2+t C1 = z = 2t

con t [0, 1]

x=t y = 4 t y + z = 4 z = x y = 4 x C2 = z= t

con t [0, 1]

76


Para hallar las coordenadas del punto P , observe que se obtiene como la interseccin de las supercies x + z = 2 , y + z = 4 y z = x . Como

x+z = 2z =

x x+ x = 2 x = 1 z = 1

de donde

y+z = 4z = 1 y = 3

Por tanto, P = (1, 3, 1) .

EJEMPLO 2.24

Slido limitado por las supercies: x = 1, y + z = 1, y =

x, z = y = 0.

EJEMPLO 2.25

Slido limitado por las siguientes supercies z = 4 x2 , 4y + 3z = 20, x y z = 0 y x = y = z = 0.

SLIDOS

77

EJEMPLO 2.26

Slido limitado por las siguientes supercies y + x = 6, z = 4 x2 /4 y x = y = z = 0.

EJEMPLO 2.27

Slido limitado por las siguientes supercies y = 4, y+x = 6, z = 4x2 /4 y x = y = z = 0.

78


EJEMPLO 2.28

Slido limitado por las siguientes supercies y + x = 5, x2 + z2 = 4, z = 2 y y = z = 0.

EJEMPLO 2.29

Slido limitado por las siguientes supercies y = x, y = x2 + 2, x + z = 2 y x = z = 0.

EJEMPLO 2.30

SLIDOS

79

Slido limitado por las siguientes supercies z = x2 + y2 , 2z 3x = 2, z = 4 y x = y = 0.

EJEMPLO 2.31

Slido limitado por las siguientes supercies y + x = 1, z = 1 x2 y x = y = z = 0.

EJEMPLO 2.32

Slido limitado por las siguientes supercies y = x, z = 9 x2 , 4y + z = 12 y x = z = 0.

EJEMPLO 2.33

Slido limitado por las siguientes supercies z = x2 + y2 , z y = 6, y x = y = 0.

80


EJEMPLO 2.34

Slido limitado por las siguientes supercies z = 6, z y = 6, z = y2 + x2 y x = y = 0.

EJEMPLO 2.35

Slido limitado por las siguientes supercies z + y = 6, y = 4 x2 y x = y = z = 0.

SLIDOS

81

EJEMPLO 2.36

Slido limitado por las siguientes supercies x = 4 y2 , z + y = 2, y x = y = z = 0.

Las pginas web con animacin 3D se encuentran enhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/index.htm

Los ejercicios de Slidos (con animacin 3D) estn enhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t2-Funciones-de-variasvariables/ 7-solidos/Ejercicios-solidos/index3.html

Captulo 3

DERIVADAS PARCIALES

3.1 DERIVADA PARCIAL. La derivada de una funcin de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x e y podemos medir dos razones de cambio: una segn cambia y , dejando a x ja y otra segn cambia x , dejando a y ja. Suponga que dejamos variar slo a x , dejando a y ja, digamos y = b , en donde b es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una funcin de una sola variable x , a saber g(x) = f (x, b) . Si g tiene una derivada en a entonces la llamamos la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) . De forma anloga podemos hacerlo para y variable y x ja.

Denicin 3.1 (Derivada parcial) Sea f : D R2 R una funcin de dos variables y sea (a, b) D , entonces la derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) est dada por fx (a, b) = g (a) = lim siempre y cuando el lmite exista.Clculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M. Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemtica, Educacin e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

h0

f (a + h, b) f (a, b) (1) h

83

84

DERIVADAS PARCIALES

De forma similar denimos la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b) por f (a, b + h) f (a, b) (2) h

fy (a, b) = g (b) = lim

h0

Observacin: Los lmites (1) y (2) son en una variable por lo que podemos calcularlos usando las tcnicas aprendidas en cursos anteriores: factorizacin, racionalizacin, regla de L Hpital, etc.

EJEMPLO 3.1

Usando la denicin de derivada parcial calcule fy (1, 2) para f (x, y) = 2xy2 + x . Solucin Usando la denicin tenemos que: f (1, 2 + h) f (1, 2) h

fy (1, 2) = g (2) = = =

h0

lim lim lim

2(2 + h)2 8 h0 h 2(4 + h) 1

h0

= 8

Observacin: existen varias notaciones para la derivada parcial: f (x, y) x f (x, y) y

fx (x, y) = Dx (x, y) = fy (x, y) = Dy (x, y) =

EJEMPLO 3.2

Imaginemos que una placa metlica de forma rectangular y delgada se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto (x, y) es T (x, y) = 2xy2 + x . Adems, suponga que x e y estn medidas en metros y la temperatura T en grados centgrados. Cmo vara la temperatura T en el punto (1, 2) cuando x permanece jo en x = 1 ?, Qu

DERIVADA PARCIAL.

85

signica esto ? Solucin Del ejemplo 1 tenemos que f (1, 2) = 8 con lo cual la rapidez de cambio de la temperatura T en el punto (1, 2) es de 8 grados centgrados por metro, cuando x esta jo en 1 . El hecho de que sea positiva nos indica que la temperatura T de la placa aumenta a medida que avanzamos sobre la recta x = 1 hacia y = 2 .

Puesto que la derivada parcial no es ms que la derivada ordinaria de la funcin g de una variable que obtenemos al jar alguna de las variables x o y , su clculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que las usadas para las funciones de una variable. Para calcular fx , considere a y como una constante y derive a f (x, y) con respecto a x . Para calcular fy , considere a x como una constante y derive a f (x, y) con respecto a y .

EJEMPLO 3.3

Calcule la derivada parcial fy para f (x, y) = Solucin Usando la regla para la derivada del cociente

xy x2 y2

y tambin calcule fy (2, 1)

fy (x, y) =

y(x2 y2 ) xy(2y) (x2 y2 )2 x3 xy2 + 2xy2 (x2 y2 )2

= 10 . 9

con lo cual fy (2, 1) =

EJEMPLO 3.4

Calcule zx y zy , si z est denida implcitamente como una funcin de x e y , mediante la siguiente ecuacin

x3 + y3 + z3 + 6xyz = 2

86

DERIVADAS PARCIALES

Solucin Usando la regla de la cadena en una variable, obtenemos, derivando respecto a x , que: z z + 6yz + 6xy =0 x x

3x2 + 3z2 Y al despejar z , obtenemos que: x

x2 + 2yz z = 2 x z + 2xy De una forma anloga, la derivacin implcita con respecto a y , nos da z y2 + 2xz = 2 y z + 2xy

EJEMPLO 3.5

Calcule Solucin

z para la funcin f (x, y) = sen x

x 2 + y2 x 2

Para calcular fy debemos aplicar repetidamente la regla de la cadena f = cos y x2 + y2 x2 x2 y x2 + y2 x2

El siguiente ejemplo muestra que algunas veces no queda ms que recurrir a la denicin para calcular una derivada parcial.

EJEMPLO 3.6

Si f (x, y) = Solucin.

3

x3 + y3 , calcule fx (0, 0) .

DERIVADA PARCIAL.

87

Observe que si calculamos la derivada parcial usando las reglas de derivacin usuales obtenemos que fx (x, y) = x23

(x3 + y3 )2

0 y al evaluarla obtenemos una forma indeterminada ; esto nos puede llevar a la con0 clusin errnea de que la derivada parcial no existe. Ahora usemos la denicin

fx (0, 0) =

f (h, 0) f (0, 0) h 3 3 h = lim h0 hh0

lim

=

h h0 h lim

= 1

Por lo tanto, la derivada parcial fx (0, 0) existe y es 1 . Observacin: de igual manera podemos comprobar que fy (0, 0) = 1EJEMPLO 3.7

x2 1 es derivable en R {1}. f tiene un hueco en x = 1. Podemos x1 agregar un punto deniendo f en x = 1 como f (1) = 2. Esto la hace no solo continua en x = 1 sino tambin derivable. La derivada se debe calcular con la denicin y se obtiene f (1) = 1. La funcin f (x) = Lo mismo podemos hacer por f (x, y) = xy En este punto la grca tiene un hueco. x2 y2 . Esta funcin no esta denida en (0, 0). x2 + y2

88

DERIVADAS PARCIALES

Y X

Figura 3.1

Pero podemos agregar el punto que falta deniendo f (0, 0) = 0. Con esto f no solo queda continua sino que adems las derivadas parciales existen en (0, 0). En efecto fx (0, 0) = lim f (h, 0) f (0, 0) = lim h0 h0 h0 h2

0 h

= lim

h0

0 =0 h

de igual manera fy (0, 0) = 0.

3.2

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL

Recordemos que la grca de z = f (x, y) representa una supercie S . Si f (a, b) = c , entonces el punto P = (a, b, c) esta sobre la supercie S . El plano vertical y = b interseca a la supercie S en la curva C1 (es decir, C1 es la traza de la supercie S sobre el plano y = b . De manera semejante, el plano vertical x = a interseca a la supercie S en la curva C2 . Ambas curvas pasan por el punto P . Observe que la curva C1 es la grca de la funcin g(x) = f (x, b) de manera que la pendiente de su recta tangente T1 en el punto P es g (a) = fx (a, b). La curva C2 es la grca de la funcin g(y) = f (a, y), as que la pendiente de su tangente T2 en el punto P es g (b) = fy (a, b).

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL

89

P =(a,b,c)P =(a,b,c) T2 C2

S C1 b

b

a

y =ba

Figura 3.2 Derivada parcial respecto a x y derivada parcial respecto a y

Por consiguiente, las derivadas parciales fx (a, b) y fy (a, b) pueden interpretarse geomtricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas C1 y C2 en el punto P , respectivamente. Las derivadas parciales pueden tambin interpretarse como razones de cambio. Si z = f (x, y) , entonces fx representa la razn de cambio de z con respecto a x , cuando y permanece ja. De manera semejante, fy representa la razn de cambio de z con respecto a y , cuando x permanece ja.

EJEMPLO 3.8

Hallar la ecuacin de la recta tangente a la curva que se obtiene de la interseccin del 1 paraboloide z = 4 x2 y2 y el plano y = 1 , cuando x = . 2 Solucin En este caso la pendiente de la recta tangente esta dada por fx = 2x = m = fx 1 , 1 = 1 2

con lo cual la ecuacin de la recta tangente es : z = x + b; y = 1 , pero como pasa por el 1 11 punto P = , 1, se tiene que 2 4 z = x + b = 13 11 1 = + b = b = 4 2 4

En la gura 3.3 se muestra la proyeccin sobre el plano xz de la recta tangente z = 13 x + , y = 1 y la parbola z = 4 x2 y2 , y = 1. 4

X X

Y

Zx=a

X

Z

T1

S

90

DERIVADAS PARCIALES

Figura 3.3 Proyeccin, sobre xz, de la parbola y la recta tangente

De donde obtenemos que las ecuaciones paramtricas de la recta tangente estn dadas por: x y C= z

= t = 1 = t +

13 4

La grca del paraboloide, la parbola y la recta tangente se muestran en la gura 3.4.

P

Figura 3.4 Grca de: paraboloide, parbola y recta tangente

EJEMPLO 3.9

Y

Y

Z

1 2 3 XX

Z

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

91

El plano y = 2 interseca al elipsoide 4x2 + 2y2 + z2 = 16 formando una elipse. Determine las ecuaciones paramtricas para la recta tangente a la elipse en el punto (1, 2, 2) . Solucin La ecuacin 4x2 + 2y2 + z2 = 16 dene a z implcitamente como una funcin de x e y , entonces : 8x + 2z z z 4x = 0 = = x x z

Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por z 4 = = 2 = m = 2 x 2 Pero como la recta tangente pasa por el punto P = (1, 2, 2) , entonces z = 2x + b = 2 = 2 + b = b = 4 De donde su ecuacin es : z = 2x + 4 ; y = 2 y sus ecuaciones paramtricas son x y C= z = t = 2 = 4 2t

Observacin : existe otra forma de calcular la ecuacin de la recta tangente a la curva que resulta de intersecar dos supercies en un punto P la cual involucra el uso del vector gradiente como vemos ms adelante.

3.3 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Si f es una funcin de dos variables x e y , entonces sus derivadas parciales fx y fy tambin son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales ( fx )x , ( fx )y , ( fy )x y ( fy )y , las cuales cuales se llaman segundas derivadas parciales de f . Si z = f (x, y) , utilizamos la siguiente notacin : x f x 2 f 2 z = x2 x2

( fx )x = fxx = f11 =

=

92

DERIVADAS PARCIALES

( fx )y = fxy = f12 = ( fy )x = fyx = f21 = ( fy )y = fyy = f22 =

y x y

f x f y f y

= = =

2 f 2 z = yx yx 2 f 2 z = xy xy 2 f 2 z = y2 y2

2 f signica que primero derivamos con respecto a x y luego con yx respecto a y , mientras que para calcular fyx el orden se invierte. La notacin fxy o

EJEMPLO 3.10

Calcule las segundas derivadas parciales de f (x, y) = x3 + x2 y2 + y3 Solucin Las primeras derivadas parciales estn dadas por : fx (x, y) = 3x2 + 2xy2 fy (x, y) = 2x2 y + 3y2 De donde obtenemos que : fxx (x, y) = 6x + 2y2 (3x2 + 2xy2 ) = 4xy y (2x2 y + 3y2 ) fyx (x, y) = = 4xy x fxy (x, y) = fyy (x, y) = 6y + 2x2

Observacin : note que las derivadas parciales mixtas fxy y fyx en el ejemplo anterior son iguales. Esto no es una casualidad y en la mayora de los casos prcticos se da. El siguiente teorema, descubierto por el matemtico francs Alexis Clairaut (1713 -1765), da las condiciones bajo las cuales podemos armar que esta igualdad se da. Teorema 3.1 (Igualdad de las derivadas mixtas) Sea f : D R R una funcin escalar donde D es un disco abierto con centro en (a, b) y radio , entonces si las funciones


93

fxy y fyx son continuas en D, entonces

fxy (a, b) = fyx (a, b)

Observacin : De manera anloga podemos denir las derivadas parciales de orden 3 o superior.

fxyy = ( fxy )y =

y

2 z yx

=

3 z y2 x

y al usar el teorema de Clairaut, se puede demostrar que fxyy = fyxy = fyyx , siempre y cuando estas funciones sean continuas.

EJEMPLO 3.11

Volvamos a nuestra funcin f (x, y) = xy

x2 y2 , f (0, 0) = 0. Ya habamos visto que x2 + y2 fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0. Ser fxy (0, 0) = fyx (0, 0) ?. La respuesta es no. En efecto, aunque fxy y fyx estn denidas en (0, 0), no son continuas en este punto. Para ver esto, podemos calcular estas derivadas de dos maneras distintas y observar que el valor diere. Primero derivamos sobre la recta x = 0 y luego sobre la recta y = 0. zx (0, y) = lim f (h, y) f (0, y) hy(h2 y2 ) = lim = y h0 h(h2 + y2 ) h f (x, h) f (x, 0) hx(h2 y2 ) = lim =x h0 h(h2 + y2 ) h

h0

zx (x, 0) = lim Ahora

h0

zxy (0, 0) = lim

h0

fy (h, 0) fy (0, 0) h0 = lim =1 h0 h h k 0 fx (0, k) fx (0, 0) = lim = 1 h0 h k

zyx (0, 0) = lim

k0

Esto muestra que fxy (0, 0) = fyx (0, 0). El grco de fxy (x, y) muestra un salto en (0, 0)

94

DERIVADAS PARCIALES

Z

X

Figura 3.5

EJEMPLO 3.12

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes fsicas. Por ejemplo, la ecuacin diferencial parcial 2 u 2 u + =0 x2 x2 se conoce como ecuacin de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuacin se llaman funciones armnicas y desempean un papel fundamental en las aplicaciones relacionadas con conduccin de calor, ujo de uidos y potencial elctrico. Compruebe que la funcin u(x, y) = ey sen x satisface la ecuacin de Laplace. Solucin Las primeras derivadas parciales estn dadas por ux = ey cos x uy = ey sen x con lo cual uxx = ey sen x uyy = ey sen x de donde 2 u 2 u + = ey sen x + ey sen x = 0 x2 x2


95

EJEMPLO 3.13

La ecuacin de onda 2 u 2 u = a2 2 2 t x Donde a es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante. Si f y g son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la funcin u(x,t) = f (x + at) + g(x at) satisface la ecuacin de onda. Solucin Las derivadas de u(x, y) con respecto a x estn dadas por : u = f (x + at) + g (x + at) x 2 u = f (x + at) + g (x + at) x2 Las derivadas de u(x, y) con respecto a t estn dadas por : u = a f (x + at) + ag (x + at) t 2 u = a2 f (x + at) + a2 g (x + at) t 2 Sustituyendo obtenemos que 2 u 2 u = a2 f (x + at) + a2 g (x + at) = a2 ( f (x + at) + g (x + at)) = a2 2 t 2 x

EJEMPLO 3.14

Si f y g son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la funcin

u(x, y) = x f (x + y) + yg(x + y) satisface la ecuacin diferencial parcial uxx 2uxy + uyy = 0

96

DERIVADAS PARCIALES

Solucin Las derivadas de u(x, y) con respecto a x estn dadas por : ux = f (x + y) + x f (x + y) + yg (x + y) uxx = f (x + y) + f (x + y) + x f (x + y) + yg (x + y) = 2 f (x + y) + x f (x + y) + yg (x + y) uxy = f (x + y) + x f (x + y) + g (x + y) + yg (x + y) uy = x f (x + y) + g(x + y) + yg (x + y) uyy = x f (x + y) + g (x + y) + g (x + y) + yg (x + y) = 2 f (x + y) + 2g (x + y) + yg (x + y) Sustituyendo uxx 2uxy + uyy = 2 f (x + y) + x f (x + y) + yg (x + y) 2 f (x + y) 2x f (x + y) 2g (x + y) 2yg (x + y) + x f (x + y) + 2g (x + y) + yg (x + y) = 0

EJEMPLO 3.15

Si se dijera que existe una funcin f (x, y) cuyas derivadas parciales son fx (x, y) = x + 4 y fy (x, y) = 3x y; usted lo creera? Solucin Puesto que fxy (x, y) = 1 y fyx (x, y) = 1 son continuas en todo R2 , por el teorema de Clairaut debieran ser iguales, por lo tanto no existe tal funcin.

EJEMPLO 3.16

Una barra de metal de un metro de largo se calienta de manera irregular y de forma tal que a x metros de su extremo izquierdo y en el instantet minutos, su temperatura en grados centgrados esta dada por H(x,t) = 100 e0.1t sen x con 0 x 1 1. Trace la grca de H(x,t) parat = 0 y t = 10.

2. Calcule Hx (0.2,t) y Hx (0.8,t). Cul es la interpretacin prctica (en trminos de temperatura) de estas derivadas parciales?. Explique por qu cada una tiene el signo


97

que tiene. 3. Calcule Hx (x,t) Cul es su signo?. Cul es su interpretacin en trminos de temperatura?

Solucin 1. La grca de las funciones H(x, 0) y H(x, 10) se muestran en la gura 3.3.

Figura 3.6

H(x, 0) y H(x, 10)

Observe que la gura 3.6 nos indica la temperatura inicial en cada punto de la barra y la temperatura despus de un minuto. Note que el punto ms caliente de la barra en cualquier instante est a 0.5 metros del extremo izquierdo. 2. La derivada parcial respecto a x esta dada por Hx (x,t) = 100 e0.1t cos x y al evaluar obtenemos que Hx (0.2,t) = 100 e0.1t cos 0.2 254.16 e0.1t como esta derivada parcial es decreciente conforme t crece y positiva para cualquier valor de t, concluimos que la temperatura va disminuyendo, pues las pendientes de las rectas tangentes a H(0.2,t) son positivas y van siendo ms pequeas conformet aumenta, esto cuando estamos a 0.2 metros del extremo izquierdo. El signo positivo de la derivada nos indica que cuando vamos en la direccin del eje x positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura aumenta. Por otro lado, Hx (0.8,t) = 100 e0.1t cos 0.8 254.16e0.1t observe que en este caso, como la derivada parcial es creciente conforme t crece y negativa para cualquier valor de t , concluimos que la temperatura va disminuyendo,

x

1

80 .

60 .

40 .

20 .

8 0 6 0

4 0

2 0

t

H(x, 10)

10 0

H(x,0)

98

DERIVADAS PARCIALES

pues las pendientes de las rectas tangentes a H(0.2,t) son negativas y van siendo ms grandes conforme t aumenta, esto cuando estamos a 0.8 metros del extremo izquierdo. El signo negativo de la derivada nos indica que cuando vamos en la direccin del eje x positivo (hacia el extremo derecho de la barra) la temperatura disminuye. Las siguientes tablas de valores y la grca 3.6 nos permiten observar con claridad lo explicado antes.t 0 10 20 30 40 50 Hx (0.2,t) 254.16 93.5003 34.3968 12.6539 4.65511 1.71252 H(0.2,t) 58.7785 21.6234 7.95641 2.92641 1.07657 0.39605.

t 0 10 20 30 40 50

Hx (0.8,t) -254.16 -93.5003 -34.3968 -12.6539 -4.65511 -1.71252

H(0.8,t) 58.7785 21.6234 7.95641 2.92641 1.07657 0.39605

3. La derivada parcial respecto a x est dada por Hx (x,t) = 100 e0.1t cos x Observe que Hx (x,t) 0 para 0 x 0.5 y cualquier valor de t y Hx (x,t) 0 para 0.5 x 1 y cualquier valor de t, lo cual nos permite concluir que la temperatura va aumentando desde cero hasta llegar a la mitad de la barra y luego va disminuyendo hasta cero, es decir, que la parte ms caliente de la barra es la mitad.

EJEMPLO 3.17

Las ecuaciones x = v ln(u) (1)

y = u ln(v) (2)

denen a u y v como funciones de las variables independiente x e y . Exprese vx en trminos de u y v . Solucin Para calcular vx derivemos las ecuaciones (1) respecto a x v 1 = vx ln(u) + ux u u 0 = ux ln(v) + vx v


99

Ahora usemos la regla de Cramer para hallar vx v u ln v 1 w1 = 0 v u ln v De donde ln(u) u v ln(u) u v 1) = ln(v) 0 = = 1 ln(u) ln(v)

w=

u v

w2 =

u w1 u v = = ux = w 1 ln(u) ln(v) v v ln(u) ln(v) vx = w2 ln(v) ln(v) = = w 1 ln(u) ln(v) ln(u) ln(v) 1

Volveremos a esto un poco ms adelante.

EJEMPLO 3.18

Compruebe que la funcin u(x, y) = (x2 + y2 + z2 ) 2 satisface la ecuacin diferencial de Laplace en derivadas parciales 2 u 2 u 2 u + 2 + 2 =0 2 x y z

1

Solucin Calculemos las derivadas parciales

100

DERIVADAS PARCIALES

u x 2 u x2 2 u y2 2 u z2

=

2x 2 (x2 + y2 + z2 )3 2x2 y2 z2 (x2 + y2 + z2 )5 2y2 x2 z2 (x2 + y2 + z2 )5 2z2 x2 y2 (x2 + y2 + z2 )5

=

=

=

y al sumarlas obtenemos el resultado deseado.

3.4

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES. DIFERENCIAL TOTAL.

3.4.1

Introduccin.

Una funcin f de una variable es derivable en x si se puede aproximar linealmente en un vecindario alrededor de este punto (con la recta tangente). Formalmente, si f se puede representar en la forma

f (x + h) f (x) = hA +, h donde 0 si h 0.

(3.1)

Como es conocido, la ecuacin (3.1) se cumple cuando f (x) existe. De hecho A = f (x). En dos variables la idea es parecida, z = f (x, y) es diferenciable (o derivable) en (x, y) si puede ser aproximada, en un vecindario de este punto, por una funcin lineal. Formalmente, f es diferenciable si puede ser representada en la forma

f (x + h, y + k) f (x, y) = Ah + Bk + 1 h + 2 k donde, A, B son independientes de h, k y 1 , 2 0 si h, k 0 . Si la representacin (3.2) es posible, A = fx y B = fy . A = fx se obtiene poniendo k = 0 y dividiendo por h y haciendo h 0.

(3.2)

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES. DIFERENCIAL TOTAL.

101

B = fy se obtiene poniendo h = 0 y dividiendo por k y haciendo k 0 . En una variable se dene el diferencial d f = f (x) dx. De manera similar, si f es diferenciable1 , se dene la diferencial total d f = fx dx + fy dy. Un teorema importante establece condiciones sucientes de diferenciabilidad: si fx , fy existen en (x, y) y si al menos una de estas derivadas es continua en este punto, entonces f es diferenciable en (x, y).

3.4.2

Incrementos y Diferenciales.

Para funciones de una variable y = f (x) , se dene el incremento de y como

y = f (x + x) f (x) y la diferencial de y como

dy = f (x)dx

y representa el cambio en la altura de la curva y = f (x) y dy representa la variacin en y a lo largo de la recta tangente cuando x vara en una cantidad dx = x . Observe que y dy se aproxima a cero ms rpidamente que x , ya que = y dy f (x + x) f (x) f (x)x f (x + x) f (x) = = f (x) x x x

y al hacer x 0 , tenemos que 0 . Por tanto

y = dy + x

donde 0 conforme x 0 . En la siguiente 3.7 se muestra d f y f .

1 En

algunos textos solo se pide que las derivadas parciales existan en (x, y)

102

DERIVADAS PARCIALES

f(x0 + x) y f(x0) x dy

T

x0

x0 + x

Figura 3.7

d f y f

Ahora consideremos una funcin de dos variables z = f (x, y) . Si x y y son incrementados x y y , entonces el correspondiente incremento de z es

z = f (x + x, y + y) f (x, y)

Con lo cual z representa el cambio en

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