libro de calculo.pdf

CALCULO DIFERENCIAL

Jorge Adelmo Hernandez Pardo*

Especialista en Matematica Avanzada

Universidad Nacional de Colombia

Profesor Asistente de la Universidad Distrital

Francisco Jose de Caldas

Edilberto Sarmiento**

Magister en Ciencia Matematica


Profesor Asociado de la Universidad Distrital


Rodrigo Rincon Zarta***

Especialista en Matematica Avanzada


Profesor Asistente de la Universidad Distrital


Mayo de 2010

*email [email protected].**email [email protected]

***email [email protected]

Prefacio

Este libro es el resultado de la experiencia de los autores orientando la asig-

natura calculo diferencial en algunas universidades del pais y trabajando en

temas matematicos relacionados con el calculo.

El libro ha sido elaborado pensando en que pueda ser seguido en las carreras

de tecnologa e ingeniera, por tanto se han tenido en cuenta la mayora de

los temas y el orden de los programas de esta asignatura.

En cada una de las secciones del libro se presentan ejemplos resueltos, como

gua para el estudiante al resolver los ejercicios propuestos

El libro consta de cinco captulos, en el primero se presentan los resultados

mas importantes de los numeros reales y las inecuaciones, y se hace el desa-

rrollo de algunos temas de geometra analtica como son las rectas y conicas,

necesarios para el desarrollo de los temas posteriores del calculo.

En el segundo capitulo se trabaja el concepto de relacion y funcion, ejem-

plos, operaciones, las funciones se clasifican segun propiedades geometricas

y algebraicas. Como la mayora de los textos en la actualidad se presentan

las trascendentes tempranas, se estudian mas profundamente las funciones

trigonometricas, sus inversas, las logartmicas y exponenciales.

En el tercer capitulo se estudia el concepto de lmite, se presenta su definicion

formal, la demostracion de sus propiedades, el calculo de lmites algebraicos,

trigonometricos, infinitos, el estudio de las asntotas de una funcion y algu-

nos lmites de funciones trascendentes, para finalizar el capitulo se presentan

i

ii CAPITULO 0. PREFACIO

los conceptos de continuidad y algunos teoremas importantes del calculo.

En el cuarto y quinto capitulo se estudian las derivadas y las aplicaciones

mas importantes, finalizando con la regla de LHopital.

El libro presenta algunos aportes, en la organizacion de los temas, la presen-

tacion de la funcion exponencial y en particular el numero e, que se obtiene

al buscar aquella funcion exponencial, cuando se conoce la pendiente, es

decir, aproximado por una sucesion, cuya ganancia es poder hablar tranqui-

lamente en calculo diferencial de la funcion exponencial y por lo tanto de su

inversa, la funcion logaritmo natural, sin necesidad del calculo integral para

definir dicha funcion. El concepto de extension periodica de una funcion,

el uso del teorema de intercalacion para determinar el lmite parte entera,

ejemplo ?? de la pagina ??.

La mayora de graficas son originales y se han elaborado en el programa

PStricks anexo al programa MikTEX, solo cuatro han sido importadas de

Matlab.

iv CAPITULO 0.

Indice general

v

vi INDICE GENERAL

Captulo 1

Los numeros reales y la recta

numerica

1.1. Los numeros naturales: N

Es un conjunto de numeros que se denota con una N (n mayuscula) y que

por extension se escribe de la siguiente manera:

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} (1.1)

Los puntos suspensivos significa que los numeros continuan en ese orden y

que no hay ultimo elemento. Para algunos autores el cero no es un nume-

ro natural, para otros s. Podemos graficar los numeros naturales en una

recta numerica. Para ello debemos hacer una correspondencia entre algunos

puntos de la recta y los numeros naturales. Se dibuja una recta, puede ser

horizontal. Marcamos un punto

| |

0 1

O B

y lo llamamos O. Al punto O le asociamos el numero cero. Luego, marcamos

otro punto que este a la derecha de O, no importa la distancia, lo llamamos el

punto B y le asociamos el numero uno (1). De inmediato sabemos cuales son

los puntos de la recta a los cuales se les asocia un numero natural, puesto

que se ha escogido una unidad de longitud mediante el segmento OB. El

1

2 CAPITULO 1. LOS NUMEROS REALES Y LA RECTA NUMERICA

punto de la recta al cual se le asocia el numero dos (2) esta a la derecha

del uno y a la misma distancia que del cero al uno, que es la longitud del

segmento OB.

1.2. Los numeros enteros: Z

El conjunto de los numeros enteros, se denota mediante una letra z mayuscu-

la: Z, y por extension se escribe as:

Z = {. . . ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .} (1.2)

Hay que observar que el conjunto Z de los numeros enteros contiene al

conjunto N de los numero naturales, lo que se escribe Z N, o, N Z quese lee N es subconjunto de Z. Los numeros naturales, fueron los primeros

numeros conocidos por el hombre y que sirvieron para contar.

Los numeros enteros ayudan a solucionar ecuaciones que no tienen solucion

en el conjunto de los numeros naturales, como por ejemplo: x+12 = 4, cuya

solucion es x = 8 que no es un numero natural pero si entero. Para hacer lacorrespondencia, de los numeros enteros con la recta numerica, procedemos

de la misma manera que hicimos para ubicar los numeros naturales, pero

ademas a la izquierda de O marcamos el punto B de tal manera que seasimetrico del punto B, respecto del punto O y le asociamos el numero entero

1 y as sucesivamente. Hay que observar que los numeros naturales tienenprimer elemento pero no tienen ultimo elemento, mientras que los numeros

enteros no tienen primer elemento ni ultimo elemento. Ademas, todo punto

de la recta, al cual se le asocia un numero entero, tiene su respectivo punto

simetrico, con punto de simetra el origen O.

| | | | | | |

OB B

3 2 1 1 2 3

Una vez hecha la correspondencia entre los numeros enteros y los puntos de

la recta, la grafica nos muestra los puntos que estan aislados y separados

dos seguidos una distancia igual a la longitud del segmento OB. A pesar de

que se han ubicado infinitos puntos en la recta, quedan infinitos puntos a

1.3. LOS NUMEROS RACIONALES: Q 3

los cuales aun no se les ha asignado un numero, pero que a continuacion se

hace, para que a todo punto de la recta le corresponda un numero.

1.3. Los numeros racionales: Q

En el conjunto de los numeros enteros, ecuaciones como 2x+1 = 0, 3x8 =2, 5x 7 = 3 no tienen solucion, esta deficiencia hizo necesario crear unconjunto donde este tipo de ecuaciones tenga solucion.

El conjunto de los numeros racionales se denota mediante una letra q mayuscu-

la: Q y se escribe por comprension de la siguiente manera:

Q ={m

n

m Z, n Z, n 6= 0}

(1.3)

que se lee: Q es el conjunto de todos los numeros que tienen la forma m sobre

n, siendom y n numeros enteros, con la condicion de que el denominador n es

diferente de cero. Hay que tener en cuenta que todos los numeros enteros son

numeros racionales puesto que por ejemplo el numero dos se puede escribir:

2 =2

1=

4

2=

6

3, . . .

Luego el conjunto de los numeros enteros es un subconjunto de los numeros

racionales. El significado dem

nes que el numero entero m se ha dividido en

n partes iguales. Si escribimos

1

n: entonces la unidad se ha dividido en n partes iguales.

1

2: el uno se ha dividido en dos partes iguales.

1

3: la unidad se ha dividido en tres partes iguales, y escogemos una.

Comom

n= m 1

n, significa que la unidad se divide en n partes iguales y

cogemos m partes de esas. Por ejemplo

8

2= 8 1

2: la unidad, la dividimos en dos partes iguales y tomamos

ocho partes de esas.

6

4= 6 1

4: la unidad, la dividimos en cuatro partes iguales y tomamos

seis partes de esas.


| | | | | | | | |

| | |

0 12 1

0 1 2 3 48 veces 1

2

| | | | | | | | | |

| | | | |

0 14 1

0 1 2 3

La unidad dividida en 4 partes iguales

6 veces 14

Nuevamente, se hace una correspondencia, entre los numeros racionales y

puntos de la recta numerica. A pesar de dicha correspondencia quedan pun-

tos de la recta a los cuales no se les asigna un numero racional. Para com-

pletar la correspondencia, debemos ir a otro conjunto de numeros.

Operaciones en los racionales

Si a,b,c y d son enteros, con b y d no nulos, se define:

1. Sumaa

b+

c

d=

ad+ bc

bd

2. Productoa

b.c

d=

ac

bd

3. Divisiona

b c

d=

ad

bco tambien

a

bc

d

=ad

bc

Orden en los racionales

Sia

b,c

dson numeros racionales, con b y d enteros positivos,

a

b 0, entonces, como r1 {1, 2, , q 1} puedesuceder que r1 = p, en tal caso se tiene que

p

q= 0, c1c1c1 , y clara-

mente se cumple el teorema. Supongase que r1 6= 0, r1 6= p, continuandocon la division se tiene que p = (0, c1c2)q + r2, donde 0 r2 < q,si r2 = 0, entonces,

p

q= 0, c1c2 y el resultado se tiene. Supongamos

que r2 > 0. Entonces, puede suceder que r2 = p, en este caso se tienepq = 0, c1c2c1c2 , y la conclusion se tiene, o puede suceder que r2 = r1,entonces, se tiene que

p

q= 0, c1c2c2 , y nuevamente se tiene el resultado.

Supongase que r2 6= 0, r2 6= p, r2 6= r1, continuando la division se tienep = (0.c1c2c3) q + r3 con 0 r3 < q, entonces, pude suceder que

1. r3 = 0, en tal caso se tienep

q= 0, c1 c2 c3 y el teorema se cumple.

2. r3 = p en este caso se tienep

q= 0, c1 c2 c3 c1 c2 c3 y la conclusion

se tiene.

3. r3 = r1 aqu se tienep

q= 0, c1 c2 c3 c2 c3 c2 c3


4. r3 = r2 aqu se tienep

q= 0, c1 c2 c3 c3 c3 c3 c3 y tambien la conclusion

se tiene.

Continuando con este proceso se tendrap

q= 0, c1 c2 . . . cq1 en el caso en

que rq1 6= 0, rq1 6= r1, rq1 6= r2, . . . , rq1 6= rq2.

Nuevamente, continuando con la division se tienep

q= 0, c1 c2 c3 . . . cq + rq

donde 0 rq < q. Si rq = 0 el resultado se tiene.Como rq { 1, 2, . . . , q 1 }, entonces, existe rs, 1 < s < q 1, tal que,rq = rs y en tal caso se tendra

p

q= 0, c1 c2 . . . , cq1 cs cs+1 . . . cq . . . . Esto

completa la demostracion

Ejemplo 1.2.

1)1

2= 0,5 2)

3

4= 0,75

3)1

3= 0,3333 . . . = 0, 3 4)

5

11= 0, 454545 . . . = 0, 45

5)789

17= 46,411764

Observacion: la raya horizontal, sobre uno o varios dgitos, indica que

dichos dgitos se repiten infinitas veces.

1.4. Numeros irracionales: I

Son todos aquellos numeros que no se pueden escribir como racionales, es

decir, no se pueden expresar como cociente de enteros. Algunos ejemplos de

numeros irracionales son2,

7,

11, .

Los numeros irracionales se caracterizan por tener expansiones decimales

infinitas no periodicas, esto debido al teorema ??

De lo anterior se puede ver que el conjunto de los numeros racionales Q y el

conjunto de los numeros irracionales I son disyuntos, es decir Q I 6= .

1.5. NUMEROS REALES: R 7

1.5. Numeros reales: R

El conjunto de los numeros reales se denota con la letra R y es el conjunto

formado por los numeros racionales y los numeros irracionales:

R = Q I (1.4)

Al hacer la correspondencia entre los puntos de la recta y los numeros reales

queda de tal manera que a todo punto A de la recta numerica le corresponde

un unico numero real y viceversa. A todo numero real a, le corresponde un

unico punto A de la recta, es por ello que a la recta se le llama recta real

y debido a la correspondencia, podemos senalar puntos en la recta real y

llamarlos numeros reales. De esta manera a cada punto de la recta, se le

asigno un unico numero.

1.6. Propiedades de los numeros reales

Las propiedades de los numeros reales estan comprendidos en tres categoras,

a saber:

1. Propiedades Algebraicas.

2. Propiedades de Orden.

3. Propiedades de Completitud.

1.6.1. Propiedades algebraicas

Las propiedades algebraicas nos permiten sumar, restar, multiplicar y dividir

(excepto entre cero) los numeros reales para producir mas numeros reales

utilizando las reglas usuales de la aritmetica.

La suma y la multiplicacion de numeros reales cumplen las siguientes pro-

piedades:

1. Ley clausurativa: Al sumar o multiplicar entre s dos o mas numeros

reales, el resultado que se obtiene es otro numero real:


a, b R, a+ b R; a.b R

Otra forma de expresar dicha propiedad es diciendo que la suma y

la resta son operaciones cerradas en R el conjunto de los numeros

reales. Hay que tener en cuenta que por ejemplo la division no es una

operacion cerrada en el conjunto Z.

2. Ley asociativa: Para sumar o multiplicar tres o mas numeros reales

se pueden asociar de la forma como uno quiera o como nos convenga y

el resultado es igual. Formalmente, se escribe: para todo numero real,

a, b y c se cumple

1) (a+ b) + c = a+ (b+ c)

2) (a b) c = a (b c),

donde a, b y c denotan numeros reales.

3. Ley conmutativa: Para todo numero real a y b

1) a+ b = b+ a

2) a b = b a

4. Ley modulativa:

1) Existe un numero real que es el cero (0) tal que para cualquier

numero real a:

a+ 0 = 0 + a = a.

El cero se llama modulo o elemento neutro de la suma.

2) Existe un numero real unico que es el uno 1 tal que para cualquier

real a:

a 1 = 1 a = a.

El uno es llamado modulo o elemento neutro de la multiplicacion.

5. Ley invertiva:

1.6. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES 9

a) Para cualquier numero real a, existe un numero real unico, lla-

mado el opuesto de a y denotado a tal que al operarlos da comoresultado el elemento neutro de la suma:

a+ (a) = 0

b) Para cada numero real a, diferente de cero, existe un numero real

unico llamado el recproco de a, denotado a1 o1

a, tal que al

multiplicarlos da como resultado el elemento neutro de la multi-

plicacion:

a a1 = 1, o, a (1

a

)= 1

6. Ley distributiva: Esta ley relaciona la operacion de la suma con el

producto. Si a, b y c son numeros reales, entonces:

a (b+ c) = a b+ a c.

Por ejemplo,

3(5 + 4) = 3 5 + 3 4

trabajando simultaneamente en ambos lados miembros de la igualdad,

tenemos:

3 (9) = 15 + 1227 = 27

1.6.2. Propiedades de orden

| |

a b

A B

Dados dos puntos de la recta numerica: el punto A y el punto B, sus res-

pectivas coordenadas son los numeros reales a y b. Si el punto B esta a la

derecha del punto A en la recta, decimos que b > a y se lee: el numero b es

mayor que el numero a, o lo que es lo mismo a < b que se lee: a es menor

que b. Tambien se puede escribir a b: a menor o igual a b, o, b a: b


mayor o igual a a.

Un numero real a es menor que un numero real b, si existe un numero

positivo c (c > 0) de tal forma que a+ c = b, en tal caso se escribe a < b.

Ejemplo 1.3. 5 < 2, pues, 5 + 3 = 2

1.7. Desigualdades

Expresiones como las anteriores: a < b, a b, b > a, b a se llamandesigualdades y el numero b es mayor que el numero a si b a > 0 y elnumero a es menor que el numero b, si a b < 0.

Propiedades de las desigualdades

Si a, b y c son numeros reales, entonces:

1. Si a < b, entonces, a+ c < b+ c.

2. Si a < b, entonces, a c < b c.

3. Si a < b y c > 0, entonces, a c < b c.

4. Si a < b y c < 0, entonces, a c > b c.Si a < b entonces a > b: si se multiplica ambos lados de unadesigualdad por 1, la desigualdad cambia de sentido.

5. Si a > 0, entonces,1

a> 0.

6. Si a > 0 y b > 0, o si a < 0 y b < 0, entonces: a < b implica que1

a>

1

b.

Es logico que si se escribe b > a en lugar de a < b, las propiedades se cum-

plen, tambien si la desigualdad es a b o b a.

La propiedad uno, nos dice que podemos sumar en cada miembro de una

desigualdad, la misma cantidad. Si hacemos eso, la desigualdad que resulta

es equivalente a la anterior. Que dos desigualdades sean equivalentes, sig-

nifica que tienen las mismas soluciones. Resolver una desigualdad, tambien

1.8. INTERVALOS 11

llamada inecuacion, es hallar todos los valores para los cuales la desigualdad

tiene sentido. Por ejemplo, si se escribe x 5 > 0, o, x > 5, la solucionconsta de todos los numeros reales mayores que cinco.

1.8. Intervalos

Dados dos puntos A y B de la recta real, A a la izquierda de B, el conjunto

de todos los puntos de la recta que estan a la derecha de A y a la izquierda

de B, se llama intervalo. El punto A y el punto B, pueden o no pertenecer al

intervalo. Debido a la correspondencia entre puntos de la recta real y nume-

ros reales, dados dos numeros reales a y b, un intervalo consta de todos los

numeros reales que estan entre a y b. Los numeros reales a y b pueden o no

pertenecer al intervalo.

Los intervalos de numeros correspondientes a segmentos de la recta real se

llaman intervalos finitos y los intervalos correspondientes a semirrectas o a la

recta real misma, se llaman intervalos infinitos. Si los extremos del intervalo

pertenecen al intervalo, el intervalo se llama cerrado, si no pertenecen, se

llama intervalo abierto. Los intervalos se pueden dividir en dos clases, segun

tengan longitud finita o infinita y se definen de la siguiente manera: (a y b

son numeros reales)

1. Intervalos de longitud finita:

[a, b] = {x R | a x b}(a, b) = {x R | a < x < b}(a, b] = {x R | a < x b}[a, b) = {x R | a x < b}

2. Intervalos de longitud infinita:

[a,) = {x R | x a}(a,) = {x R | x > a}

(, a) = {x R | x < a}(, a] = {x R | x a}


(,) = R.

Expresiones del tipo P (x) < 0, P (x) 0, P (x) > 0, P (x) 0, donde P (x)es una expresion algebraica en la variable x, se llaman inecuaciones. Para

resolver inecuaciones, se utilizan las propiedades de las desigualdades dadas

en ?? de la pagina ??

Ejemplo 1.4. Resolver:

1. 3x 5 2x+ 3.3x5+5 2x+3+5, se sumo 5 en cada miembro. Queda 3x 2x+8.Sume 2x en cada miembro: 3x 2x 2x 2x+8, queda x 8, quees la solucion.

Como conjunto: {x R | x 8}. Como intervalo: (, 8].

2. 5x4

x4+ 3.

Se suma x4 en cada miembro:

5x4

x4 x

4 x

4+ 3.

Queda 6x4

3. Se multiplica ambos miembros por 4:

6 4x4

3 4,

queda 6x 12. Se divide cada miembro de la desigualdad en 6 queequivale a multiplicar cada miembro por 1

6y por propiedad, cambia

de sentido la desigualdad:

6x6 12

6 ,

queda x 2. Solucion como intervalo: (,2]. Como conjunto:{x R | x 2}. Geometricamente:

]2

1.9. VALOR ABSOLUTO 13

Ejemplo 1.5. Resolver: 8x 9 6x+ 11.

8x 6x 9 + 9 6x 6x+ 9 + 112x 20

x 202

x 10

1.9. Valor absoluto

El valor absoluto de un numero real x, se denota |x| y se define de la siguientemanera:

|x| =

x, si x 0x, si x < 0

(1.5)

Ejemplo 1.6. |6| = 6; | 5| = 5.

Geometricamente, el valor absoluto de un numero x, denota la distancia que

hay del origen 0, de una recta numerica al punto considerado, entonces, |5|es la distancia del origen al punto x = 5, que es de cinco unidades:

| | | | | | | | | | |

5 1 0

La distancia entre el punto A y el punto B, se denota |a b| = |b a|

| |

a b

A B

Ejemplo 1.7. La distancia entre el punto x = 5 y x = 10 es | 5 10| =| 15| = 15 o tambien |10 (5)| = |10 + 5| = 15.

Es importante saber quea2 = a, si estamos seguros que a es un numero

positivo, de lo contrario se tendra como por ejemplo lo siguiente:

(5)2 = 5, de otro lado

(5)2 =

25 = 5


es decir, que 5 = 5 lo que es imposible. Entonces, por definicion:a2 = |a|. (1.6)

1.9.1. Propiedades

El valor absoluto, tiene las siguientes propiedades:

| | |

a 0 a

A O B

1. Un numero y su simetrico, tienen el mismo valor absoluto:

| a| = |a|

2. El valor absoluto de un producto, es el producto de los valores abso-

lutos:

|a b| = |a| |b|

3. El valor absoluto de un cociente, es el cociente de los valores absolutos:

ab

= |a||b| , b 6= 0

4. El valor absoluto de la suma de dos numeros, es menor o igual que

la suma de sus valores absolutos. Esta propiedad se conoce como la

desigualdad del triangulo:

|a+ b| |a|+ |b| (1.7)

5. |a|2 = a2

6. |a| < |b| a2 < b2

Ejemplo 1.8. Resolver la siguiente igualdad: |3x 2| = 10. Por definiciontenemos:

3x 2 = 10 o 3x 2 = 10, resolviendo

1.9. VALOR ABSOLUTO 15

3x = 10 + 2 3x = 10 + 2

x =12

33x = 8

x = 4 x = 83

1.9.2. Inecuaciones con valor absoluto

La desigualdad |x| < D, nos dice que la distancia entre x y cero es menorque D, es decir que x esta entre D y D:

| | |

D 0 D

|x| < D D < x < D, D > 0|x| D D x D, D > 0

La desigualdad |x| > D, nos dice que la distancia de 0 a x es mayor que D,por lo tanto x < D, o, x > D:

| | |

x D 0 D x

|x| > D x < D, o, x > D, D > 0|x| D x D, o, x D, D > 0

Ejemplo 1.9.

1. |x| < 4. |x| < 4 4 < x < 4, la solucion: {x R | 4 < x < 4},que es el intervalo (4, 4).

|

4 0 4


2. |x| 5. |x| 5 x 5, o, x 5. Solucion: (,5] [5,).Graficamente:

| |

5 0 5

o tambien: {x R | x 5, o, x 5}.

Ejemplo 1.10. |x 3| 2.

2 x 3 22 + 3 x 3 + 3 2 + 3

1 x 5.

Ejercicios 1.11. Resolver:

1. |x 5| = 7.

2. |x 8| = 10.

3. |x+ 9| = 11.

4. |4x 6| = 14.

5. |7x 11| = 21.

6. |x 5| 7.

7. |x 8| 10.

8. |x+ 9| 11.

9. |4x 6| 14.

10. |7x 11| 21.

11. |8x+ 16| 24.

12. |x 5| 7.

13. |x 8| 10.

14. |x+ 9| 11.

15. |4x 6| 14.

16. |7x 11| 21.

17. |8x+ 16| 24.

18. |9x+ 16| 18.

1.10. Inecuaciones cuadraticas

Resolver: x2 + 5x+ 6 < 0.

La funcion f(x) = x2 + 5x + 6 es cuadratica y la grafica una parabola que

se abre hacia arriba y que tiene vertice en el punto donde x = 52 , es decir,

1.10. INECUACIONES CUADRATICAS 17

el punto P(52 ,14

), pasa por los puntos (3, 0), (2, 0), (4, 2), (1, 2),

entre otros.

| | |

-

-

-

4 1

1

1

1

2

La inecuacion x2 + 5x+ 6 < 0, esta preguntando por los valores x para los

cuales la expresion x2 + 5x + 6 es menor que cero. Segun la grafica, la

desigualdad se cumple para todos los x en el intervalo (3,2). El ejerciciose resuelve de la siguiente manera:

x2 + 5x+ 6 < 0 (x+ 3)(x+ 2) < 0

Hay un producto de dos factores: (x + 3) y (x + 2). Cuando un producto

de dos factores es menor que cero? Cuando uno de los factores es positivo

y el otro negativo. Encontrando los ceros de f(x) = x2 + 5x + 6, x1 = 3y x2 = 2 y se ubican en el eje X, la recta queda dividida en tres partes asaber: (,3), (3,2), (2,)

| |

3 2

(,3) (3,2) (2,)

Se le dan valores a x en cada uno de los factores (x + 3) y (x + 2), valores

que esten en cada uno de los intervalos (,3), (3,2), (2,), porejemplo, si le damos valores a x en el factor (x + 3), valores menores que

3, es decir, si x recorre el intervalo (,3), el factor (x + 3) siempresera negativo, lo mismo el factor (x+2). Si x en los factores (x+3) y (x+2)

recorre el intervalo (3,2), el valor de (x+ 3) es positivo, mientras que elvalor de (x+ 2) sera negativo. Si x en los factores (x+ 3) y (x+ 2), recorre

el intervalo (2,), los valores de (x+3) y (x+2) siempre seran positivos.Lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla:


(,3) (3,2) (2,)(x+ 3) - + +

(x+ 2) - - +

Signo del producto + - +

Geometricamente, se puede hacer de la siguiente manera:

3 2

(x+ 2) : + + +

(x+ 3) : + + + + + +

se ve claramente que en el intervalo (3,2), el factor (x + 3) el positivo,mientras que el factor (x+ 2) es negativo. Luego, el producto es negativo y

la solucion de x2 + 5x+ 6 < 0, es (3,2).

Ejemplo 1.12. Resolver la siguiente desigualdad:

(x+ 4)(x 5)(x 2) < 0, x 6= 2

Podemos evitar el denominador, multiplicando ambos lados de la desigualdad

por una cantidad positiva y que nos convenga, de tal manera que se cancele

el denominador. Para este ejemplo esa cantidad es (x 2)2:

(x 2)2(x+ 4)(x 5)(x 2) < 0(x 2)

2,

queda

(x 2)(x+ 4)(x 5) < 0.

Cuando el producto de tres factores es menor que cero? Cuando los tres fac-

tores son negativos o cuando dos factores son positivos y el otro es negativo.

La expresion de la izquierda es cero cuando x = 2, x = 4 y x = 5, de talmanera que esos tres numeros dividen la recta numerica en cuatro intervalos

que son: (,4), (4, 2), (2, 5) y (5,).

| | |

4 2 5

(,4) (4, 2) (2, 5) (5,)


Geometricamente, tenemos

| | |

4 2 5

(x+ 4) : + + + + + + + + +

(x 2) : + + + +

(x 5) : + +

se observa claramente, que los tres factores son negativos en el intervalo

(,4). En el intervalo (2, 5), dos factores son positivos y uno negativo.En el intervalo (4, 2), dos factores son negativos y el otro positivo y en el

intervalo (5,) los tres factores son positivos. Luego la solucion de ladesigualdad

(x+ 4)(x 5)(x 2) < 0, x 6= 2

consta de todos los numeros reales que esten en el intervalo (,4) o enel intervalo (2, 5).

Ejercicios 1.13. Resolver

1. 2 5(1 3(1 5x)) > 12

2. 2 5 3x+ 2(3 5(2 4(1 x))) 20

3. (x 3)(x+ 5) > 0, Solucion: (3,) (,5)

4.4

x 3 > 2

x 7, Solucion: (0,)

(,1

2

)

5. x2 > 4, Solucion: (2,) (,2)

6. x2 9, Solucion: [3, 3]

7. x2 3x+ 2 > 0, Solucion: (, 1) (2,)

8. x3 3x2 33x+ 35 0, Solucion: (,5) [1, 7]

9. x3 + 15x2 + 26x 240 < 0, Solucion: (,10) [8, 3]

10. x3 2x2 104x 192 > 0, Solucion: (8,2) (12, )


11. x3 + 1 0, Solucion: (,1]

12. 6x2 + 21x 147 > 0, Solucion: (,7) (7

2,)

13. 2x4 9x3 + 11x2 4 < 0 Solucion:(12 , 1

)

14.x+ 3

x 1 +x 1x+ 1

0, Solucion: (1, 1)

15.x

x 2+1

x+ 1 1

x 2, Solucion:[12

13 1

2,1

)[1

2

13 1

2, 2

)

16. x 1 x2 + 2x 2 < 5x+ 1

17.x2 + 5x 2x2 + 3x 1+1 2, Solucion:

(,1

2

13 3

2

][1

2

13 3

2, 12

]

18. 1 < x2 + 5x 2x2 1 + 1 2

19. 2 x2 + 5x 1 < x+ 1

20. 1 |2x+ 10| < 8

21. |2x 1| < 1 Solucion: (0, 1)

22. |4x+ 7| 5, Solucion: (,3] [12 ,

)

23. |x+ 1| < |2x 1| , Solucion: (, 0) (2,),

24.

x+ 1

x 3

5, Solucion: (, 3) [4,) [3,) (, 73

]

25.

x

x+ 2

3, Solucion: (2,) (,3] (,2] [32 ,

)

26.

2x+ 8

6x+ 3

> 10, Solucion es:(12 ,1129

)(1931 ,12

)

27.

x 12x+ 6

2x+ 1

x 4

, Solucion :

(,3][1

6

337 19

6,)(3, 4)(4,)

(,1

6

337 19

6

]


28. James tiene dos puntajes de 71 y 82 sobre 100. Cuanto debe sacar en

el tercer examen para tener un promedio de 80 o mas.

(Respuesta Debe sacar 87 o mas)

29. Un taxi cobra $900 por el primer cuarto de milla y 300 por cada cuarto

de milla adicional. Que distancia en cuartos de milla puede recorrer

una persona que tiene entre $3000 y $6000.

(Respuesta entre 8 y 18 cuartos de milla)

30. El numero de diagonales, en un polgono con n lados, esta dado por

d =n(n 1)

2 n.

Para que polgonos pasara de 35 el numero de diagonales?.

(Respuesta polgonos de mas de 10 lados)

31. Una resistencia de 5 ohmios y una resistencia variable se instalan en

paralelo. La resistencia resultante RF esta dada por RF =5R

5 +R.

Determine los valores de la resistencia variable R para los cuales la

resistencia resultante RF sea mayor de 2 ohmios.

(Respuesta R > 103 )

32. La intensidad I en lumens de cierta fuente de luz en un punto a r

centmetros de la fuente esta dada por I = 625r2

. A que distancia de la

fuente de luz la intensidad sera menor de 25 lumens.

(Respuesta r > 5)

33. Se desea construir un terreno rectangular que tienen un area entre 4725

y 8800 metros cuadrados. Si la diferencia entre el largo y el ancho es

12 metros encuentre las posibles medidas del largo y el ancho.

(Respuesta largo entre 75 y 100, ancho entre 63 y 88 )

34. Si 0 < x < 2 probar que 3 < 2x+ 3 < 7

35. Si 1 < x < 5, entonces 2 < 3x 5 < 10

36. Si 1 x 4 y 2 z 5, probar que 8 2x+ 3z 23

37. Si 2 x 5, probar que 73 x+ 5

3 10

3


38. si 2 < x 5, probar que 1 8 x3

< 2

39. Si 2 < x < 7, probar que

x9

2

0 la grafica de esta funcion es una parabola que abre hacia arriba

(h, k)

h

k

Figura 40: y = ax2 + bx+ c, a > 0

62 CAPITULO 2. RELACIONES Y FUNCIONES

Si el vertice de la parabola es (h, k) el recorrido de la funcion es [k,)Si a < 0 la grafica de esta funcion es una parabola que abre hacia abajo

(h, k)

h

k

Figura 41: y = ax2 + bx+ c

Si el vertice de la parabola es (h, k) el recorrido de la funcion es (, k]

2.5.5. Funcion cubica

Es una funcion polinomica de grado tres, tiene la forma f(x) = ax3 + bx2 +

cx+ d, a 6= 0.

Ejemplo 2.19. La funcion cubica f(x) = x3, a = 1, b = c = d = 0:

dominio todos los reales, recorrido todos los reales, la grafica es la siguiente:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

6

f(x) = x3

Figura 42: y = x3.

2.6. FUNCIONES RACIONALES 63

2.6. Funciones racionales

Una funcion racional es de la forma r(x) = p(x)q(x) , donde p y q son polinomios.

El dominio de una funcion racional es el conjunto de numeros reales donde

el denominador es no nulo:

Dom(r) = {x R : q(x) 6= 0 } = R {x R : q(x) = 0}De esta forma para calcular el dominio de una funcion racional se debe

resolver la ecuacion q(x) = 0.

Ejemplo 2.20. Funcion r(x) =3x2 5x+ 4

2x3 5x2 4x+ 3 ,

es una funcion racional, en la cual el numerador es un polinomio de segundo

grado y el denominador es un polinomio de tercer grado. El dominio consta

de todos los reales exceptuando los valores donde el denominador es cero, es

decir: x = 3, x = 1, x = 1/2

Ejemplo 2.21. Funcion r(x) =1

x

Es una funcion racional, el numerador es la funcion constante p(x) = 1, el

denominador es la funcion q(x) = x, dominio todos los reales excepto el cero

(x = 0 es el eje Y ), el recorrido todos los reales excepto el cero (y = 0 es el

eje X)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

f(x) =1

x

Figura 43: y =1

x


Ejemplo 2.22. Funcion f(x) = 1x2: dominio todos los reales excepto el cero

(x = 0 es el eje Y ), el recorrido todos los reales mayores a cero

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

f(x) =1

x2

Figura 44: y =1

x2

2.7. Funciones radicales.

Las funciones radicales aparecen de la forma R(x) = nr(x), donde r(x) es

una funcion racional.

Si n es impar el dominio de una funcion radical es:

Dom(R) = Dom(r)

Si n es par el dominio de una funcion radical es:

Dom(R) = {x R : r(x) 0}

Ejemplo 2.23. Sea la funcion y =x algunas parejas ordenadas son

f = {(0, 0), (1, 1), (2,2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), }

Como r(x) = x, el dominio es el conjunto {x R : x 0}, lo mismo que elrecorrido. La grafica es la siguiente:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

f(x) =x

Figura 45: y =x

2.7. FUNCIONES RADICALES. 65

Ejemplo 2.24. Hallar el dominio de la funcion: f(x) =x2 9

Se requiere que lo que esta dentro de la raz sea mayor o igual a cero. Se

resuelve la siguiente desigualdad con valor absoluto:

x2 9 0 x2 9 x2 3 |x| 3 x 3 o x 3.

Dom(f) = (,3] [3,)

Ejemplo 2.25. Hallar el dominio de la s funcion g(x) =16 x2

Se requiere que lo que esta dentro de la raz sea mayor o igual a cero. Se

resuelve la siguiente desigualdad con valor absoluto:

16 x2 0 16 x2 x2 4 |x| 4 4 x 4.

Dom(g) = [4, 4]

Ejercicios 2.26. Hacer la grafica de las siguientes funciones:

1. y = x2 + 4x 2

2. y =36 + x2

3. y =x2 + 49

4. y = x2 4x+ 2

5. y = x2 + 6x 1

6. y = 2x+ 2

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

7.25 x2

8.36 x2

9.x2 49

10.7x2 49

11.25 10x2

12.50 5x2

13.20x2 80

14.1

x2 49

15.1

10x2 90


16.1

50 10x2

17.1

50 10x2

18.1

100 5x2

2.8. Funciones a trozos

Una funcion a trozos, es aquella que esta definida por un numero finito de

funciones en n subconjuntos disyuntos dos a dos, de la recta real as:

f(x) =

f1(x) si x A1f2(x) si x A2...

fn(x) si x An

El dominio de esta funcion a trozos es:

Dom(f) = [Dom(f1) A1] [Dom(f2) A2] ... [Dom(fn) An ]

Ejemplo 2.27. La funcion y = g(x) definida por:

y = g(x) =

1 si 4 x < 2x2 si 2 x < 0x, si 0 x < 4

1 si 4 x 6

es una funcion a trozos y la grafica es:

y =x

y = x2

y = 1

y = 1

2

42

Figura 46: y = g(x)

2.8. FUNCIONES A TROZOS 67

Dominio y recorrido: [4, 6] y [0, 4] {1} respectivamente.

2.8.1. Funcion valor absoluto

La funcion valor absoluto de x, se nota |x| y se define de la siguiente manera:

|x| =

x, si x 0x, si x < 0

La funcion valor absoluto es una funcion a trozos, cuyo dominio consta de

los numeros reales R, el recorrido es [0,) y la grafica es la siguiente:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

f(x) = |x|

Figura 47: y = |x|

2.8.2. Funcion escalon unitario

La funcion escalon unitario es una funcion a trozos, cuyo dominio consta de

los numeros reales R y el recorrido es el conjunto: {0, 1}. Se denota (x) yse define de la siguiente manera:

(x) =

1, si x 00, si x < 0

La grafica es la siguiente:

f(x) = (x)1

Figura 48: y = (x)


2.8.3. Funcion parte entera

La funcion denotada f(x) = bxc, se llama funcion parte entera de x y sedefine para cada real x, como el unico entero bxc = n, tal que

bxc x < bxc+ 1, esto es, n x < n+ 1

Por ejemplo, si x = 3.8 el mayor entero menor a 3.8 es tres.

b3.8c 3.8 < b3.8c+ 1,= b3.8c = 3

El dominio de esta funcion consta de todos los reales y el recorrido los

numeros enteros. La grafica es la siguiente:

1

1

...

...

Figura 49: f(x) = bxc : la parte entera de x

2.9. Operaciones con funciones

Sean f y g funciones de valor y variable real y un numero real. Las

funciones suma, resta, producto y cociente de f y g que se denotan respec-

tivamente: f + g, f g, .f, f.g y fg , y se definen en cada punto x, donde lasigualdades tengan sentido por:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2.9. OPERACIONES CON FUNCIONES 69

2. (f g)(x) = f(x) g(x)

3. ( f)(x) = f(x)

4. (f g)(x) = f(x) g(x)

5.

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)

Con las definiciones anteriores se tienen los siguientes resultados:

1. Dom(f + g) = Dom(f g) = Dom(fg) = Dom(f) Dom(g)

2. Dom(fg

)= Dom(f) Dom(g) {x : g(x) = 0}

Ejemplo 2.28. Sean las funciones f(x) = x/2 y g(x) =x, entonces,

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x/2 +x

f(x) = x/2

g(x) =x

(f + g)(x) = x/2 +x

Figura 50: f(x) = x/2, g(x) =x y f + g

Se observa que la suma es puntual, por ejemplo f(4) = 2 y g(4) = 2,

(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 4

Dom(f + g) = Dom(f) +Dom(g) = R [0,) = [0,)


Ejemplo 2.29. Sean las funciones f(x) = x/2 y g(x) =x, entonces,

(f g)(x) = f(x) g(x) = x/2x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

0

1

2

3

4

5

f(x) = x/2

g(x) =x

(f g)(x) = x/2x

Figura 51: f(x) = x/2, g(x) =x y f g

Ejemplo 2.30. Sean las funciones f(x) = x y g(x) = 1x , entonces,

(fg) (x) = f(x)g(x) = x1

x= 1, x 6= 0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

(f.g)(x) = 1, x 6= 0

Figura 52: (f.g)(x) = 1, x 6= 0

2.9. OPERACIONES CON FUNCIONES 71

Ejemplo 2.31. Sean las funciones f(x) =x2 25 y g(x) =

x 4,

entonces,

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)=

x2 25x 4

Observe que el dominio de la funcion f consta de los reales x, tales que

x2 25 0, resolviendo la desigualdad se obtiene lo siguiente:

x2 25 0 x2 25 |x| 5 x 5 o x 5

es decir, los intervalos (,5] [5,), y el dominio de la funcion g constade todos los reales mayores o iguales a cuatro, pero como g esta en el deno-

minador, x 6= 4, entonces, el dominio de la funcion fg , consta de todos losreales mayores o iguales a cinco: {(,5] [5,)} (4,) = [5,)

Ejemplo 2.32. Sean

f(x) =

2x 1 si x < 14 x si 1 x 1x+ 1 si x > 1

y g(x) =

3x si x < 0

1 2x si x 0

Hallar:

a) f + g b) f g c) f.g d) fg

Funcion Intervalo > x < 1 1 < x < 0 0 < x < 1 x > 1

f(x) 2x 1 4 x 4 x x+ 1

g(x) 3x 3x 1 2x 1 2x

(f + g)(x) 5x 1 4 + 2x 5 3x 2 x

(f g)(x) x 1 4x+ 4 x+ 3 3x

(f.g)(x) 6x2 3x 3x2 + 12x 2x2 9x+ 4 2x2 x+ 1

(f/g)(x) 2x13x4x3x

4x12x

x+112x


luego:

a) (f + g)(x) =

5x 1 si x < 14 + 2x si 1 x < 05 3x si 0 x < 12 x si x > 1

b) (f g)(x) =

x 1 si x < 14x+ 4 si 1 x < 0x+ 3 si 0 x < 13x si x > 1

c) (f.g)(x) =

6x2 3x si x < 13x2 + 12x si 1 x < 02x2 9x+ 4 si 0 x < 12x2 x+ 1 si x > 1

d) (f/g)(x) =

2x13x si x < 1

4x3x si 1 x < 04x12x si 0 x < 1, x 6= 12x+112x si x > 1

2.10. Composicion de funciones

Si f y g son dos funciones de tal forma que Rec(f) Dom(g), entonces,se puede definir la funcion g compuesta f , (g f) definida de la siguientemanera:

(g f)(x) = g (f(x))

Si la condicion Rec(f) Dom(g) no se cumple, puede resultar que (gf)(x),sea la funcion vacia.

2.10. COMPOSICION DE FUNCIONES 73

Ejemplo 2.33. Dadas las funciones f(x) =3x 5 y g(x) = x2 + 3,

entonces, F (x) = (f g)(x) = f [g(x)] = f [x2 + 3] =3(x2 + 3) 5 =

3x2 + 9 5 =3x2 + 4

En este ejemplo, se observa que el dominio de la funcion g consta de todos

los reales, mientras que el dominio de f es el conjunto de los reales mayores

o iguales a 53 , la funcion f g consta de todos los reales x en el dominio deg tales que g(x) esta en el dominio de f. Para la funcion g f, se tiene:

G(x) = (g f)(x) = g[f(x)] = g[3x 5] =

(3x 5)2 + 3

Ejemplo 2.34. Sean f(x) = 1x1 y g(x) = x3 + 2

1. Hallar una funcion h tal que f h = g

2. Hallar una funcion k(x) tal que k g = f

Desarrollo

1) f (h(x)) = g(x) = f (h(x)) = 1h(x) 1 =

1

h(x) 1 = g(x)

despejando h(x)

1

g(x)= h(x) 1 = h(x) = 1

g(x)+ 1

reemplazando

h(x) =1

x3 + 2+ 1 =

x3 + 3

x3 + 2

2) k (g(x)) = f(x) = k(x3 + 2

)=

1

x 1

haciendo u = x3 + 2,= x = 3u 2

k (u) =1

3u 2 1

, luego, k (x) =1

3x 2 1


2.11. Funciones algebraicas

Una funcion se llama algebraica si esta expresada como combinacion de su-

mas, restas, productos, cocientes o composiciones de funciones polinomicas,

racionales o radicales. por ejemplo:

f(x) = 2x3 +4 5x2 + 1

3x 3

+x2 5x 1

Ejercicios 2.35.

Dadas las siguientes funciones:

a- f(x) =5x 10

b- g(x) = 4x+ 8

c- j(x) =x2 3

d- h(x) = 2x 5

Encontrar las siguientes funciones y decir cual es el dominio:

1. f + g

2. f + h

3. f j

4. g f

5. g + g

6. g + j

7. g + h

8. h+ f

9. h j

10. h h

11. h g

12. j + j

13. j + h

14. j + f

15. j g

16. f g

17. f h

18. f j

19. g f

20. g g

21. g j

22. g h

23. h f

24. h j

25. h h

26. h g

27. j j

28. j h

29. j f

30. j g

31. f.g

32. f.h

33. f.j

34. g.f

35. g.g

36. g.j

2.12. TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS CON FUNCIONES 75

37. g.h

38. h.f

39. h.j

40. h.h

41. hg

42. jj

43. jh

44. jf

45. jg

Sean p(x) = 3x, q(x) = xx+1 , r(x) = x

3 + 1 y t(x) = 1xxEncuentre:

46. Una funcion f(x) tal que p f = q

47. Una funcion g(x) tal que q g = p

48. Una funcion h(x) tal que r h = q

49. Una funcion k(x) tal que t k = r

50. Una funcion f(x) tal que f q = r

51. Una funcion g(x) tal que g p = t

52. Una funcion h(x) tal que h t = q

53. Una funcion k(x) tal que k r = p

2.12. Transformaciones geometricas con funciones

2.12.1. Desplazamientos verticales y horizontales de las grafi-

cas

Si la grafica de la funcion y = f(x) es conocida, con base en esa funcion se

puede facilmente hacer la grafica de funciones f(x) + c, f(x) + c, f(x+ c) y

f(x c), mediante traslaciones de la siguiente manera: si c R y c > 0,se tiene lo siguiente:

1. La grafica de g(x) = f(x)+c es la misma de y = f(x) pero desplazada

c unidades hacia arriba.


f(x) = x2

g(x) = x2 + c

c

Figura 53: Traslacion de f(x) = x2, c unidades arriba

2. La grafica de g(x) = f(x)c es la misma de y = f(x) pero desplazadac unidades hacia abajo.

f(x) = x2

g(x) = x2 c

cFigura 54: Traslacion de f(x) = x2, c unidades abajo

3. La grafica de g(x) = f(xc) es la misma de y = f(x) pero desplazadac unidades hacia la derecha.

4. La grafica de j(x) = f(x+c) es la misma de y = f(x) pero desplazada

c unidades hacia la izquierda.


Ejemplo 2.36. Sea f(x) = x2. Hacer las graficas de las funciones g(x) =

f(x c) y j(x) = f(x+ c)

f(x) = x2j(x) = (x+ c)2 g(x) = (x c)2

c

Figura 55: f(x) = x2, j(x) = f(x+ c) y g(x) = f(x c).

2.12.2. Dilataciones y contracciones verticales

Sea c un numero real positivo diferente de uno y sea y = f(x) una funcion.

La grafica de la funcion g(x) = cf(x) se puede obtener de y = f(x) sim-

plemente multiplicando la segunda componente (la ordenada) por el nume-

ro c . Las parejas ordenadas de la funcion y = f(x) son de la forma

(x, f(x)), mientras que las parejas ordenadas de g(x) = cf(x) son de la

forma (x, cf(x)). Por ejemplo si g(x) = 3f(x), entonces, la imagen de

cada valor de x se triplica respecto a la funcion y = f(x).

Si c > 1, se dice que la grafica de f se dilata, mientras que si 0 < c < 1, se

dice que la grafica de f se contrae.

Para funciones periodicas (ver ?? de la pagina ??), este proceso se conoce

como modulacion de amplitud.

Ejemplo 2.37. Para la funcion f(x) =x algunas parejas ordenadas son

f = {(0, 0), (1, 1), (2,2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), }

1. Para la funcion g(x) = 2x las parejas correspondientes son:

g = {(0, 0), (1, 2), (2, 22), (4, 4), (9, 6), (16, 8), (25, 10), }


En este caso la grafica de g es una dilatacion de la grafica de f. Las

graficas quedan de la siguiente manera:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

f(x) =x

g(x) = 2x

Figura 56: y =x y g(x) = 2

x

2. Para la funcion g(x) =x2 las parejas correspondientes son:

f = {(0, 0), (1, 12), (2,x2 ), (4, 1), (9,

32), (16, 2), (25,

52), }

En este caso la grafica de g es una contraccion de la grafica de f por

ser c = 12 . Las graficas quedan de la siguiente manera:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

f(x) =x

g(x) =x2

Figura 57: y =x y g(x) =

x2

Las tres graficas en el mismo plano se ven as:


-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

5

6

7

f(x) =x

2f(x)

f(x)

2

Figura 58: f(x) =x,

Ejemplo 2.38. Dada la grafica siguiente de la funcion y = x2 defina

g(x) y j(x) . Cual es dilatacion y cual contraccion?

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6

f(x) = x2

j(x)

g(x)

Figura 59: y = x2.


2.12.3. Dilataciones y contracciones horizontales

Si c > 1 la funcion y = f(cx), se contrae horizontalmente en un factor c,

respecto a la funcion y = f(x). Si y = f(xc ), la funcion se dilata horizontal-

mente, en un factor de c con respecto a la funcion y = f(x).

Para funciones periodicas (ver ?? de la pagina ?? ), este proceso se conoce

como modulacion de frecuencia.

Ejemplo 2.39. Dada la funcion y = f(x) = x2 tal que 2 6 x 6 2 apartir de ella definir la siguiente funcion con su respectivo dominio: y1 =

f(2x).

La funcion queda definida de la siguiente manera:

y1 = f(2x) = (2x)2.

como el cambio se hace en el dominio entonces tenemos lo siguiente:

2 6 2x 6 2 1 6 x 6 1

Notese que ha cambiado el dominio de y1 que ahora es 1 6 x 6 1,mientras que el recorrido queda igual.

Ejemplo 2.40. Dada la funcion y = f(x) = x2 tal que 2 6 x 6 2 apartir de ella definir la siguiente funcion con su respectivo dominio: y2 =

f(x/2).

La funcion queda definida de la siguiente manera:

y2 = f(x/2) = (x/2)2.

como el cambio se hace en el dominio entonces tenemos lo siguiente:

2 6 x/2 6 2 4 6 x 6 4

vemos que ha cambiado el dominio de y2 que ahora es 4 6 x 6 4,mientras que el recorrido queda igual.

Las graficas de las funciones de los dos ultimos ejemplos quedan de la sigui-

ente manera


y1 = f(2x) = (2x)2

y = f(x) = x2

y2 = f(x2 ) = (

x2 )

2

Figura 60: y = f(x) = x2, f(2x) y f(x2 )

Ejemplo 2.41. Dada la funcion y = g(x) definida de la siguiente manera:

y = g(x) =

1 si 4 x < 2x2 si 2 x < 0x, si 0 x < 4

1 si 4 x 6

cuya grafica es:

y =x

y = x2

y = 1

y = 1

2

42

Figura 61: y = g(x)


entonces, la funcion y1 = g(2x) queda definida de la siguiente manera:

y1 = g(2x) =

1 si 4 2x < 2(2x)2 si 2 2x < 02x, si 0 2x < 4

1 si 4 2x 6

lo anterior es equivalente a:

y1 = g(2x) =

1 si 2 x < 1(2x)2 si 1 x < 02x, si 0 x < 2

1 si 2 x 3

cuya grafica es:

2

42

Figura 62: y = g(2x)

Ahora vamos a definir y graficar la funcion y2 = g(0,8x). Observemos que

el dominio x se multiplica por una cantidad mayor que cero y menor que

uno. La funcion queda definida de la siguiente manera:


y2 = g(0,8x) =

1 si 4 0,8x < 2(0,8x)2 si 2 0,8x < 00,8x, si 0 0,8x < 4

1 si 4 0,8x 6

lo anterior es equivalente a:

y2 = g(0,8x) =

1 si 4/0,8 x < 2/0,8(0,8x)2 si 2/0,8 x < 0/0,80,8x, si 0/0,8 x < 4/0,8

1 si 4/0,8 x 6/0,8

es decir

y2 = g(0,8x) =

1 si 5 x < 2,5(0,8x)2 si 2,5 x < 00,8x, si 0 x < 5

1 si 5 x 6,25

y =0,8x

y = (0,8x)2

y = 1

y = 1

2

42

Figura 63: y2 = g(0,8 x)


2.12.4. Simetra con respecto al eje x

Dada la funcion y = f(x), si a partir de ella se quiere graficar la funcion

g(x) = f(x), entonces, lo que tenemos que hacer es cambiarle el signo alas ordenadas, es decir que si en la grafica de y esta la pareja (x, y) en g

la pareja correspondiente es (x,y). Aqu el dominio no cambia, pero si elrecorrido y las dos graficas son simetricas con respecto al eje X

Ejemplo 2.42. Dada la funcion f(x) =x a partir de ella graficar la

funcion g(x) = f(x) = x, entonces, lo que se debe hacer es cambiar-le el signo a las ordenadas (segundas componentes), es decir, que si en la

grafica de y esta la pareja ordenada (x,x) en g la pareja ordenada

correspondiente es (x,x). Algunas parejas ordenadas de f y g son:

f = {(0, 0), (1, 1), (2,2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), } y

g = {(0, 0), (1,1), (2,2), (4,2), (9,3), (16,4), }

Las graficas quedan de la siguiente manera:

f(x) =x

g(x) = x(x,y)

(x, y)

Figura 64: y =x y g(x) = x


2.12.5. Simetra con respecto al eje y

Si nos dan la funcion y = f(x) y a partir de ella queremos graficar la

funcion g(x) = f(x), entonces, lo que se debe hacer es cambiarle el signo ala primera componente, es decir, que si en la grafica de f(x) esta la pareja

ordenada (x, y) en g la pareja ordenada correspondiente es (x, y). Aqu elrecorrido no cambia, pero si el dominio.


funcion g(x) = f(x) =x, entonces, lo que se debe hacer es cambiarle

el signo a las abscisas en cada pareja ordenada de f(x) =x, es decir, que

si en la grafica de f esta la pareja ordenada (x,x) en g, la pareja ordenada

correspondiente es (x,x). Algunas parejas ordenadas correspondientes aestas dos funciones, son:

f = {(0, 0), (1, 1), (2,2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), } y

f = {(0, 0), (1, 1), (2,2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), }

Las graficas quedan de la siguiente manera:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

f(x) =xg(x) =

x(x, y) (x, y)

Figura 65: y = f(x) =x y g(x) =

x

2.12.6. Simetra con respecto al origen

Dada la funcion y = f(x) a partir de ella graficar la funcion g(x) = f(x).Entonces, lo que se hace es cambiarle el signo a las abscisas y a las ordenadas


en cada pareja de y = f(x), es decir, que si en la grafica de f esta la pareja

ordenada (x, f(x)) en g la pareja ordenada correspondiente es (x,f(x)).Las dos graficas quedan simetricas al origen.


funcion g(x) = x, entonces, lo que se debe hacer es cambiarle el signo

a las abscisas y a las ordenadas en cada pareja ordenada, es decir, que si

en la grafica de f esta la pareja ordenada (x,x) en g, la pareja ordenada

correspondiente es (x,x). Algunas parejas ordenadas correspondientesa estas dos funciones, son:

f = {(0, 0), (1, 1), (2,2), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5), } y

y1 = {(0, 0), (1,1), (2,2), (4,2), (9,3), (16,4), (25,5), }

Las graficas quedan simetricas respecto al origen puesto que si aparece la

pareja (x, y) tambien aparece la pareja (x,y). Las graficas son lassiguientes:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3

-2

-1

0

1

2

3f(x) =

x

g(x) = x

(x,y)

(x, y)

Figura 66: f(x) =x y g(x) =

x

Ejercicios 2.45. Dada la siguiente grafica de la funcion y = f(x) definida

en el intervalo [1, 4]


-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3

-2

-1

0

1

2

3y = f(x)

Figura 67: y = f(x)

1. Debe graficar las siguientes funciones:

y1 = f(x 5) y2 = f(x+ 5) y3 = f(x) y4 = f(x)y5 = f(x) y6 = 2f(x) y7 = 2f(x) y8 = 2f(x)

2. Especifique el dominio de cada una de las funciones del item anterior.

3. Que pares de funciones sus graficas son simetricas? Diga si la simetra

es respecto al eje Y al eje X o al origen.

4. En otro plano cartesiano haga la grafica de las siguientes funciones

especificando el dominio y el recorrido:

y9 = f(x 5) + 4 y10 = f(x+ 5) 4 y11 = f(4 x) y12 = 3f(x 2)

2.12.7. Accion del valor absoluto sobre una funcion

En el ejemplo ?? de la pagina ?? se dio la definicion de valor absoluto. La

definicion dice, que si a una funcion se le aplica valor absoluto, el valor ab-

soluto de esa funcion es el mismo, en los intervalos donde la funcion toma

valores positivos, pero en los intervalos donde la funcion toma valores nega-

tivos, el valor absoluto lo que hace es volver positivos esos valores. Entonces,

la grafica de la funcion donde toma valores negativos y la grafica del valor


absoluto de esa funcion donde toma valores negativos, son simetricas res-

pecto al eje x, puesto que se le cambia el signo a las segundas componentes.

De hecho, la funcion identica f(x) = x, toma valores negativos en (, 0)

g(x) = |x|, x (, 0)

f(x) = x, x (, 0)

Figura 68: f(x) = x, g(x) = |x|

Ejemplo 2.46. Analice las funciones f(x) = x2 2 y g(x) = |x2 2|

Mediante un analisis simple se observa que la funcion f toma valores nega-

tivos unicamente cuando x (2,

2), en los demas valores del dominio

la funcion es positiva. Eso significa que al aplicarle valor absoluto a f , se

afecta solamente en ese intervalo.

f(x) = x2 21

Figura 69: f(x) = x2 2


g(x) = |x2 2|1

Figura 70: |x2 2| : linea continuaMatematicamente se hace de la siguiente manera: por definicion de valor

absoluto, se tiene

|x2 2| =

x2 2, si x2 2 0(x2 2), si x2 2 < 0

(2.2)

En la desigualdad de la primera parte, se tiene:

x2 2 0 x2 2 x2

2 |x|

2

x 2 o x

2

La desigualdad de la segunda parte queda:

x2 2 < 0 x2 < 2 x2 0

2.13. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 99

Si el angulo esta en el primer cuadrante, 0 < < 2 , la longitud del

segmento OC = cos y la longitud del segmento CP = sen. Como la

longitud de OC y de CP dependen del angulo , entonces, cos y sen

son funciones que las denotamos: y = cos y y = sen siendo cualquier

numero real, es decir, que el dominio de las funciones cos y sen corresponde

a todos los reales, pero el recorrido esta dado por: 1 cos 1 y 1 sen 1

Algunos valores de seno y coseno

P = (cos, sen)

P0 = (1, 0)

P2= (0, 1)

P(1, 0)

P 32= (0,1)

L

Figura 78:

Cuatro puntos interesantes*

P0 = (cos 0, sen 0) = (1, 0) = cos 0 = 1 sen 0 = 0

P2= (cos 2 , sen

2 ) = (0, 1) = cos 2 = 0 sen 2 = 1

P = (cos, sen) = (1, 0) = cos = 1 sen = 0

P 32= (cos 32 , sen

32 ) = (0, 1) = cos 32 = 0 sen 32 = 1

*Cuando los ejes coordenados cortan la circunferencia


cos

cos()

P(cos, sen)

P(cos(), sen()

)

CO A

1

ML

L

sen() = sen

sen

Figura 79

Propiedades:

1. Para cada real , el punto P = (cos, sen) = (x, y), se encuentra en

la circunferencia unitaria y forma un triangulo rectangulo con ecuacion

x2 + y2 = 1, luego,

cos2 + sen2 = 1 (2.5)

es una identidad trigonometrica, porque se cumple para todo y se

llama identidad pitagorica.

2. Como es cualquier numero real, segun la grafica anterior:

cos() = cos sen() = sen (2.6)

lo que significa que la funcion y = cos, es una funcion par, y la

funcion y = sen, es una funcion impar

3. Si el punto P da otra vuelta, sobre la circunferencia unitaria, regresa

al mismo sitio, lo cual significa que

(cos, sen) =(cos(+ 2), sen(+ 2)

)


4. Si el punto P da la vuelta en el sentido que giran las manecillas de los

relojes, el angulo es negativo y se tiene:

(cos, sen) =(cos( 2), sen( 2)

)

5. Si el punto P da n vueltas, se tiene:

(cos, sen) =(cos(+ 2n), sen(+ 2n)

), n = 0,1,2,

6. Lo anterior significa que las funciones sen y cos son funciones pe-

riodicas de periodo 2.

cos = cos(+ 2) = cos(+ 2n)

sen = sen(+ 2) = sen(+ 2n), n = 0,1,2,

7. La funcion sen, en el primer cuadrante aumenta de 0 hasta 1. En

el segundo cuadrante disminuye de 1 hasta 0. En el tercer cuadrante

disminuye de 0 hasta -1 y en el cuarto cuadrante aumenta de -1 hasta

0. La grafica es la siguiente, en esa vuelta:

3

2

6

23

56

76

43

32

53

116 2

1

Figura 80 g(x) = sen

La grafica anterior se repite en los intervalos: [2, 4], [4, 6], yen los intervalos: [2, 0], [4, 2], .


Figura 81 g(x) = senx

2

Ceros de la funcion seno:

Se observa en la grafica que sen x = 0, cuando,

x = 0, , 2, 3, 4,

8. La funcion cos, en el primer cuadrante disminuye de 1 hasta 0. En

el segundo cuadrante disminuye de 0 hasta -1. En el tercer cuadrante

aumenta de -1 hasta 0 y en el cuarto cuadrante aumenta de 0 hasta 1.

La grafica es la siguiente, en esa vuelta:

3

2

6

23

56

76

43

32

53

116 2

1

Figura 82 g(x) = cos

La grafica anterior se repite en los intervalos: [2, 4], [4, 6], yen los intervalos: [2, 0], [4, 2], .

Figura 83 g(x) = cosx

2


Ceros de la funcion coseno:

Se observa en la grafica que cos x = 0, cuando,

x = 2, 3

2, 5

2, 7

2,

2.13.3. Funcion tangente

La funcion tangente se denota tan y esta dada por: tanx =senx

cosx.

El dominio de la funcion tan por ser un cociente, es el conjunto de los

numeros reales exceptuando lo ceros del denominador. Como el denominador

es cosx, hay que hallar los ceros de esta funcion y excluirlos del dominio de la

funcion tangente. Se sabe que cosx = 0, cuando, x = n2, n = 1, 3, 5, .

Para cada n = 1, 3, 5, , las graficas de x = n2, son rectas verticales

(paralelas al eje Y ), las dibujamos en el plano Cartesiano, son infinitas rectas

paralelas separadas una distancia de que dividen el plano en infinitas

franjas y en cada franja se dibuja una parte de la funcion tan, dandole

valores a x. La grafica es la siguiente:

x =

2

1

Figura 84: y = tanx

Como tanx =senx

cosx, entonces, tan(x) = sen(x)

cos(x) = senx

cosx= tanx,

por lo tanto la funcion tan es una funcion impar.


2.13.4. Funcion cotangente

La funcion cotangente se denota cot y esta dada por: cotx =cosx

senx.

El dominio de la funcion cot por ser un cociente, es el conjunto de los

numeros reales exceptuando lo ceros del denominador. Como el denominador

es senx, hay que hallar los ceros de esta funcion y excluirlos del dominio

de la funcion tangente. Se sabe que senx = 0, cuando, x = n, n =0, 1, 2, 3, . Para cada n = 0, 1, 2, 3, , las graficas de x = n, sonrectas verticales (paralelas al eje Y ), las dibujamos en el plano Cartesiano,

son infinitas rectas paralelas separadas una distancia de que dividen el

plano en infinitas franjas y en cada franja se dibuja una parte de la funcion

cot, dandole valores a x. La grafica es la siguiente:

1

Figura 85: y = cotx

2.13.5. Funcion secante

La funcion secante se denota sec y esta dada por: secx =1

cosx.

El dominio de la funcion sec por ser un cociente, es el conjunto de los numeros

reales exceptuando lo ceros del denominador. Como el denominador es cosx,

hay que hallar los ceros de esta funcion y excluirlos del dominio de la funcion

tangente. Se sabe que cosx = 0, cuando, x = n2, n = 1, 3, 5, . Para

cada n = 1, 3, 5, , las graficas de x = n2, son rectas verticales (paralelas

al eje Y ), las dibujamos en el plano Cartesiano, son infinitas rectas paralelas

separadas una distancia de que dividen el plano en infinitas franjas y en


cada franja se dibuja una parte de la funcion sec, dandole valores a x. La

grafica es la siguiente:

1

1

cosx

Figura 86: y = secx

2.13.6. Funcion cosecante

La funcion cosecante se denota csc y esta dada por: cscx =1

senx.

El dominio de la funcion csc por ser un cociente, es el conjunto de los numeros

reales exceptuando lo ceros del denominador. Como el denominador es senx,

hay que hallar los ceros de esta funcion y excluirlos del dominio de la funcion

cosecante. Se sabe que senx = 0, cuando, x = n, n = 0, 1, 2, 3, .Para cada n = 0, 1, 2, 3, , las graficas de x = n, son rectas verticales(paralelas al eje Y ), las dibujamos en el plano Cartesiano, son infinitas rectas

paralelas separadas una distancia de que dividen el plano en infinitas

franjas y en cada franja se dibuja una parte de la funcion csc, dandole

valores a x. La grafica es la siguiente:


senx

2

1

Figura 87: y = cscx

En general, las funciones trigonometricas se definen no necesariamente en el

circulo unitario, sino en cualquier circulo de radio r, de la siguiente manera:

C

O

r

M = (x, y) = (r cos, r sen)

x

y

Figura 88:

El radio r y el angulo , forman el triangulo rectangulo OCM, en el cual,

el cateto adyacente al angulo es x, el cateto opuesto al angulo es y y la

hipotenusa es r:

1. sen =longitud del cateto opuesto

longitud de la hipotenusa=

y

r,=, y = r sen


2. cos =longitud del cateto adyacente

longitud de la hipotenusa=

x

r,=, x = r cos

3. tan =longitud del cateto opuesto

longitud del cateto adyacente=

y

x=

sen

cos

4. sec =1

cos=

r

x

5. csc =1

sen=

r

y

Una de las aplicaciones de las funciones trigonometricas es resolver triangu-

los rectangulos. Resolver un triangulo, es encontrar las longitudes de los

lados y las medidas de los angulos internos conociendo algunos datos.

Ejemplo 2.55. Resolver los siguientes triangulos rectangulos:

= 4

y = 3h

x

h = 6 y = 3

Figura 89:

En el triangulo rectangulo de la izquierda, conoce la medida del angulo y

la longitud del lado opuesto, se puede utilizar la funcion sen para encontrar

la longitud de h o la funcion tan para hallar la longitud de x o una vez que

se obtenga el valor de h o de x, utilizar el teorema de Pitagoras:

sen(

4) =

3

h,=, h = 3

sen(4 )=

3

0,7071067 4, 2426407

tan(

4) =

3

x,=, x = 3

tan(4 )=

3

1= 3

En el triangulo rectangulo de la derecha, se conoce la longitud del lado

opuesto al angulo y la longitud de la hipotenuusa. Se puede utilizar la

inversa de la funcion sen para encontrar la medida de , hay otros caminos.


sen =3

6=

1

2,=, = sen1

(1

2

)= 0, 5235987 =

6

Si los triangulos no son rectangulos, se debe aplicar la ley de los senos o la

ley de los cosenos, segun el caso, para resolverlos:

2.13.7. Ley de los senos

La ley de los senos se utiliza para resolver triangulos, cuando se conoce:

1. La longitud de dos lados y la medida de uno de los angulos opuestos.

2. La medida de dos angulos y la longitud de un lado cualquiera

b

a

A

Figura 90: 2 < A <

Se introduce un sistema de coordenadas, de la siguiente manera:

b

a

A A

h

B

Figura 91: sen( A) = senEn la figura anterior se observa lo siguiente:

h = b sen( A) = a senB, como, sen( A) = senA,=,


b senA = a sinB,= senAa

=senB

b(2.7)

Si se traza, en el mismo triangulo, una perpendicular, desde el lado a, hasta

el vertice A, se obtiene lo siguiente:

c

b

M

A

C

B

Figura 92: AM BC

De los triangulos rectangulos AMC y AMB, se tiene:

AM = b senC = c senB,= senCc

=senB

b(2.8)

De ?? y ??, se obtiene, la ley de los senos:

senA

a=

senB

b=

senC

c(2.9)

2.13.8. Ley de los cosenos

La ley de los cosenos se utiliza para resolver triangulos en los siguientes

casos:

1. Se conoce la longitud de los tres lados.

2. Se conoce la longitud de dos lados y la medida del angulo entre ellos


c

b a?

A

C

Figura 93: se conoce la medida de A, y las longitudes b y c

Se obtienen las coordenadas del punto C:

c

b a

A

O P B(c, 0)

C(b cosA, b senA)

Figura 94: el triangulo OPC, es rectangulo

Como se conocen las coordenadas de los puntos B y C, hallamos la distancia

entre esos dos puntos que es a :

a2 = (b cosA c)2 + (b senA 0)2 =b2 cos2A 2b(cosA)c+ c2 + b2 sen2A =b2(cos2A+ sen2A) 2bc cosA+ c2,=

a2 = b2 + c2 2bc cosA (2.10)

Ahora, si se conocen las longitudes de los tres lados, entonces, de la ecuacion

?? se despeja A:

2bc cosA = b2 + c2 a2,=

cosA =b2 + c2 a2

2bc,=, A = cos1

(b2 + c2 a2

2bc

)(2.11)


Ahora, si el triangulo que se tiene es el siguiente, en el cual, nuevamente,

conocemos la longitud de dos de sus lados y el angulo A entre ellos, pero la

medida de dicho angulo es mayor que 2 y menor que ,

c

b

a?

A

Figura 95: 2 < A <

Se introduce un sistema de coordenadas, de la siguiente manera:

c

b

a?

A

b cos( A)

A B(c+ b cos( A), 0)

C (0, b sin( A))

Figura 96: 2 < A <

Conocidas las coordenadas del punto C y del punto B, y teniendo en cuen-

ta que cos( A) = cos cosA + sen senA = cosA y sen( A) =sen cosA senA cos = senA, se halla la longitud de a :

a2 = (c+ b cos( A) 0)2 + (0 b sen( A))2 =(c b cosA)2 + (b senA)2 =

c2 2b(cosA)c+ b2 cos2A+ b2 sen2A =b2(cos2A+ sen2A) 2bc cosA+ c2,=

a2 = b2 + c2 2bc cosA (2.12)

Ejercicios 2.56. Pasar de grados a radianes


1. 15o

2. 20o

3. 30o

4. 45o

5. 75o

6. 240o

7. 330o

8. 210o

9. 135o

10. 450o

11. 680o

12. 96o

13. 500o

14. 270o

15. 720o

Pasar de radianes a grados

16. 3

17. 34

18. 94

19. 512

20. 116

21. 722

22. 54

23. 4,21

24. 3,14

25. 2,21

Ubique los siguientes angulos en planos Cartesianos

26. 65o

27. 120o

28. 360o

29. 370o

30. 420o

31. 720o

32. 1270o

33. 600o

34. 135o

35. 480o

36. 920o

37. Encuentre las medidas en grados y radianes del angulo obtuso formado

por las manecillas de un reloj que marca las 5 en punto

38. Encuentre las medidas en grados y radianes del angulo agudo formado

por las manecillas de un reloj que marca las 2 en punto.

39. Encuentre las longitudes de las diagonales de una caja cuyas dimen-

siones son 5 cm de largo, 4 de ancho y 3 de alto.

40. Encuentre las seis funciones trigonometricas del angulo , si P es el el

punto terminal de .


a) P = (5,3)b) P = (4, 9)

c) P = (7, 6)

d) P = (12,9)e) P = (10,3)f) P = (6,4)

41. Encuentre las seis funciones trigonometricas del angulo si:

a) cot = 54 , sen < 0

b) sen = 27 , tan > 0

c) csc = 32 , cos < 0

d) sec = 95 , sen < 0

e) tan = 5, sec > 0

f) sen = 517 , tan > 0.

42. Un guardabosques que esta a 15 m de la base de un arbol observa que

el angulo entre el suelo y la cima del arbol es de 200 cual es la altura

del arbol.

43. Un observador sobre un edificio A mide un angulo de depresion de 350

respecto a la base de otro edificio B y un angulo de elevacion de 150

hasta la cima de B. Si la altura del edificio A es 24 m, cual es la altura

de B.

44. La parte superior de una escalera de 3 mts esta recostada contra el

borde del techo de una casa. Si el angulo entre la escalera y la hori-

zontal es de 480 Cual es la altura aproximada de la casa y que tan

lejos esta el pie de la escalera de la base de la casa?

45. Dos observadores ubicados en linea recta sobre la horizontal miden

los angulos de elevacion hasta la parte mas alta de un edificio. Si el

primero mide un angulo de 400 y el segundo de 250 y la distancia entre

ellos es de 800mts encuentre la altura del edificio.

46. Para el triangulo siguiente, hallar la longitud de los lados y la medida

de los angulos incognitas:


c

ab

B A

C

Figura 97: se conoce la medida de A, y las longitudes b y c

a) Si A = 500 , B = 700 y a = 20

b) Si a = 6 , b = 8 y C = 1100

c) Si A = 300 , b = 9 y a = 7

d) Si A = 500 , B = 800 y a = 14

e) Si A = 400 , b = 20 y c = 12

f ) Si C = 1250, b = 18 y a = 15

g) Si C = 960, b = 20 y a = 22

h) Si a = 20, b = 30 y c = 18

i) Si a = 13, b = 9 y c = 8

47. Cuando el angulo de elevacion del sol es de 500, un poste de telefonos

inclinado a un angulo de 850 entre la horizontal y el poste, arroja una

sombra de 5 metros. Calcule la longitud del poste.

48. Un poste vertical de luz de y un hombre de 170 cm de altura estan

alineados sobre un anden que se inclina hacia abajo en un angulo

constante . Si la sombra del hombre sobre el anden hacia abajo es de

4 metros y el angulo de depresion desde la cabeza del hombre hasta la

punta de su sombra es de 320 encuentre el angulo .

49. Los angulos de elevacion de un aeroplano se miden desde lo mas alto

y desde la base de un edificio que mide 20 mts de alto. El angulo de

la cima del edificio es de 380 y el desde la base de 400. Encuentre la

altitud del aeroplano.


50. Un rombo tiene lados de 12 cm de longitud, si el angulo de uno de los

vertices es 550, hallar las longitudes de las diagonales.

51. Dos estaciones de radar se situan a 6 Km la una de la otra. Un avion

pasa directamente sobre la linea de las dos estaciones. En este instante

las distancias entre el avion y las estaciones son de 2.5 Km y 4 Km

Encuentre la altitud del avion.

52. Hallar las diagonales de un paralelogramo de lados 3 y 5 metros que

tiene un angulo interno de 60.

53. Un arbol en una ladera proyecta una sombra de 215 pies, si el angulo

de inclinacion de la ladera es de 22o con la horizontal y el angulo de

elevacion del sol es de 52o Cual es la altura del arbol?

2.13.9. Identidades trigonometricas

Si en la identidad ?? de la pagina ??, se divide cada termino en cos, se

obtiene:

cos2 + sen2 = 1, =, cos2

cos2 +

sen2

cos2 =

1

cos2

que es la identidad:

1 + tan2 = sec2 (2.13)

Nuevamente, en la identidad ?? de la pagina ??, se divide cada termino

en sen, se obtiene:

cos2 + sen2 = 1, =, cos2

sen2 +

sen2

sen2 =

1

sen2

que es la identidad:

cot2 + 1 = csc2 (2.14)

La identidad que se va a obtener a continuacion, es muy importante, pues

combinada adecuadamente se obtienen muchas otras:


b

P (cos b, sen b)

O

Q(cos a, sen a)

1a

a b

Figura 98:

El triangulo OPQ de la figura anterior, es un triangulo isosceles, pues, como

se esta en el circulo unitario : OP = OQ = 1, y la medida del angulo O es

a b. Para encontrar la distancia entre P y Q, se puede utilizar la formula?? de la pagina ??, entonces:

| PQ |2 = (cos a cos b)2 + (sen a sen b)2

= cos2 a 2 cos a cos b+ cos2 b+ sen2 a 2 sen a sen b+ sen2 b= 1 + 1 2 cos a cos b 2 sen a sen b= 2 2 cos a cos b 2 sen a sen b (2.15)

Tambien se puede encontrar la distancia entre P y Q, usando ??, el teorema

del coseno puesto que del triangulo se conoce la longitud de dos de sus lados

y el angulo entre ellos:

| PQ |2 = 12 + 12 2 1 1 cos(a b)= 2 2 cos(a b) (2.16)

Igualando ?? y ??, se tiene:

2 2 cos(a b) = 2 2 cos a cos b 2 sen a sen b,=,


2 cos(a b) = 2 cos a cos b 2 sen a sen b, luego,

cos(a b) = cos a cos b+ sen a sen b (2.17)

Si en ?? se escribe b en lugar de b, se obtiene:

cos(a+ b) = cos a cos(b) + sen a sen(b),=,cos(a+ b) = cos a cos b sen a sen b (2.18)

Si en ?? se hace b = a, se tiene:

cos(a+ a) = cos a cos a sen a sen a =

cos(2a) = cos2 a sen2 a (2.19)

Reemplazando cos2 a = 1 sen2 a en ??, se tiene:

cos(2a) = cos2 a sen2 a = 1 sen2 a sen2 a = 1 2 sen2 a,=,

cos(2a) = 1 2 sen2 a (2.20)

Despejando sen2 a en ??, se tiene:

sen2 a =1 cos(2a)

2(2.21)

Reemplazando sen2 a = 1 cos2 a en ??, se obtiene:

cos(2a) = cos2 a sen2 a = cos2 a (1 cos2 a) = 2 cos2 a 1,=,

cos(2a) = 2 cos2 a 1 (2.22)

Despejando cos2 a en ??, se tiene:

cos2 a =1 + cos(2a)

2(2.23)


Sumando las identidades ?? y ??, se obtiene:

cos(a+ b) + cos(a b) = 2 cos a cos b (2.24)

Restando las identidades ?? y ??, se obtiene:

cos(a b) cos(a+ b) = 2 sen a sen b (2.25)

Si en ??, se hace a = 2 , entonces:

cos(2 b)= cos

(2

)cos b+ sen

(2

)sen b,=,

cos(2 b)= sen b (2.26)

En ?? se hace la sustitucion, c = 2 b, =, b = 2 c, reemplazando:

cos c = sen(2 c)

(2.27)

Reemplazando a+ b en lugar de b en ??, se obtiene:

sen(a+ b) = cos(2 (a+ b)

)= cos

((

2 a) b

)

= cos(2 a)cos b+ sen

(2 a)sen b, luego,

sen(a+ b) = sen a cos b+ sen b cos a (2.28)

Si en ?? se escribe b, en lugar de b, se obtiene:

sen(a b) = sen a cos(b) + sen(b) cos a,=,sen(a b) = sen a cos b sen b cos a (2.29)

Sumando las identidades ?? y ??:

sen(a+ b) + sen(a b) = 2 sen a cos b (2.30)

En ??, se hace b = a para obtener:

sen(a+ a) = sen a cos a+ sen a cos a,=,sen(2a) = 2 sen a cos a (2.31)


Ejemplo 2.57. Verificar la siguiente identidad trigonometrica:

2 sen2 x cos2 x tan2 x =tan2 x (cos2 x sen2 x) tan2 x

sec2 x

Para verificar una identidad trigonometrica, hay varias maneras de hacerlo:

1. Trabajar solamente en la expresion que esta a la derecha del igual,

hasta convertir esta expresion en la expresion que esta a la izquierda

del igual.

2. Trabajar solamente en la expresion que esta a la izquierda del igual,

hasta convertir esta expresion en la expresion que esta a la derecha del

igual.

3. trabajar simultaneamente en ambos lados del igual, utilizando las pro-

piedades de las igualdades hasta obtener una identidad obvia, por

ejemplo, 0 = 0

4. Combinar las anteriores.

Utilizando la parte 1, se tiene:


sec2 x

=tan2 x(1 (cos2 x sen2 x))

sec2 x

=sen2 x(1 (cos2 x sen2 x))

cos2 x sec2 x

como, cos2 x sec2 x = 1, entonces,

= sen2 x(cos2 x+ sen2 x (cos2 x sen2 x))= sen2 x(cos2 x+ sen2 x cos2 x+ sen2 x)= sen2 x 2 sen2 x

reemplazando, sen2 x = cos2 x tan2 x, se tiene:

= 2 sen2 x cos2 x tan2 x


Otra forma

Utilizando la parte 3, se puede hacer de la siguiente manera:


sec2 x

se multiplica por sec2 x. A la derecha se saca factor comun tan2 x

2 sen2 x cos2 x tan2 x sec2 x = tan2 x(1 cos2 x+ sen2 x)

se divide ambos lados tan2 x.

2 sen2 x cos2 x sec2 x = 1 cos2 x+ sen2 x

como, cos2 x sec2 x = 1 y ademas, cos2 x+ sen2 x = 1

2 sen2 x = cos2 x+ sen2 x cos2 x+ sen2 x2 sen2 x = 2 sen2 x

Ejercicios 2.58. Demuestre cada una de las siguientes identidades trigo-

nometricas

1. (sec t tan t) sec t = 11 + sen t

2.cot(t) + csc(t)

sen(t) =1

1 cos t

3.

1 cos 1 + cos

=1 cos | sen |

4.

1 sen 1 + sen

=1 sen | cos |

5.tan 3 cot 3tan 2 + csc2

= tan cot

6.cos a

1 tan a +sen a

1 cot a = cos a+ sen a


7.sen t+ tan t

1 + cos t= tan t

8. sec t cos t1 + sen t

= tan t

9.tan z sec ztan z + sec z

=sen z 1sen z + 1

10.tan z cot ztan z + cot z

= 2 cos2 z + 1

11.tan + cot

cos 2 sen sec 3 = sec csc

12.cos3 x+ sen3 x

cosx+ senx= 1 senx cosx

13.sen

1 cot +cos

1 tan = cos + sen

14.tanx cotxsenx cosx

= sec2 x csc2 x

15.1

1 + sen+ cos= csc 2+ 12 sec+ 12 csc

16.cos t

1 sen t = sec t+ tan t

17.sen t

1 + cos t= csc t cot t

18.sen t cos t

1 sen t+ cos t = csc(2t) +12 csc t 12 sec t+ 1

19.cos(x+ h) cosx

h= cosx

cosh 1h

senxsenhh

20.sen(x+ h) senx

h= senx

cosh 1h

+ cosxsenh

h

Elimine los radicales realizando la sustitucion indicada

1.16 49(z + 1)2, 7(z + 1) = 4 sen , 2 2

2.144 + 169(3y 2)2, 13(3y 2) = 12 tan , 2 2

3.100w2 81, 10w = 9 sec , 0 2


4.

7 4(2z + 7)2

z, 2(2z + 7) =

7 sen , 2 2

2.14. Funciones inversas

2.14.1. Funciones inyectivas

Una funcion f es inyectiva o uno-uno, cuando asigna valores distintos en

el recorrido a valores distintos en el dominio. Esto es, si x 6= y, entonces,f(x) 6= f(y). Lo que es equivalente a decir, que si f(x) = f(y), entonces,x = y.

Ejemplo 2.59. Dados los conjuntos X = {1, 3, 5} y Y = {a, b, c, d, e}, lasiguiente funcion f : X Y, es inyectiva:

5

3

1

f

m

m

b

a

X Y

c

de

Figura 99: Funcion inyectiva

2.14.2. Funciones sobreyectivas

Una funcion Xf Y es sobreyectiva si el recorrido de la funcion es el

conjunto de llegada, esto es, R(f) = Y .

Ejemplo 2.60. Dados los conjuntos X = {1, 3, 5} y Y = {a, b} la siguientefuncion es sobreyectiva:

2.15. INVERSA DE UNA FUNCION 123

f

1

3

5

X Y

b

a

Figura 100: Funcion sobreyectiva

2.14.3. Funciones biyectivas

Si una funcion es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo, se dice que la

funcion es biyectiva.

Ejemplo 2.61. Dados los conjuntos X = {1, 3, 5} y Y = {a, b, c}, la sigui-ente funcion f : X Y, es biyectiva:

5

3

1

f

a

X Y

b

c

Figura 101: Funcion biyectiva

2.15. Inversa de una funcion

Como se dijo en ?? de la pagina ??, una funcion es inyectiva, si asigna valores

diferentes en el recorrido a valores distintos en el dominio. Matematicamente


se escribe: si x 6= y, entonces, f(x) 6= f(y), que es equivalente a decir: sif(x) = f(y), entonces, x = y. Por ejemplo, veamos que la funcion f(x) =

5x 4 es inyectiva: sean a y b dos valores distintos en el dominio de f , sedebe mostrar que sus imagenes son diferentes, veamos:

a 6= b = 5a 6= 5b = 5a 4 6= 5b 4, luego, f(a) 6= f(b).

Tambien se utiliza: si f(a) = f(b), entonces, a = b, veamos:

f(a) = f(b), reemplazando, 5a 4 = 5b 4,= 5a = 5b, luego, a = b.

Definicion 2.62. Si f es una funcion inyectiva, que es el conjunto de pa-

res ordenados (x, y), con x en el dominio de f, entonces, existe una unica

funcion llamada la inversa de la funcion f, o simplemente la inversa de f

y denotada f1, que es el conjunto de pares ordenados de la forma (y, x),

definida por:

x = f1(y) y = f(x) (2.32)

Se puede observar que el dominio de la funcion f1 es el conjunto de todas

las segundas componentes de la funcion f, lo que significa, que el dominio

de la funcion f1 es el recorrido de la funcion f y el recorrido de f1 es el

dominio de f.

Si en ??, de la pagina ?? reemplazamos y = f(x) en x = f1(y), se obtiene

x = f1(f(x)), y si reemplazamos x = f1(y) en y = f(x), se obtiene

y = f(f1(y)), o, lo que es lo mismo, x = f(f1(x)), por ser y una variable

muda. Esto significa que la compuesta de dos funciones inversas, es la funcion

identica f(x) = x

Como ejemplo ilustrativo, sea la funcion f(x) = x2, definida en el intervalo

[12 , 2], entonces, como y = x2, resolvemos para x y obtenemos x =

y, en el

intervalo [14 , 4]


y = f(x)

Figura 102

y = f1(x)

Las graficas de f y f1 son simetricas a la recta y = x, puesto que si la pareja

(x, y) esta en una funcion, entonces la pareja (y, x) esta en la otra funcion,

y el punto medio del segmento que une esos dos puntos

(x+ y

2,y + x

2

),

esta en la recta y = x.

Ejemplo 2.63. Dada la funcion y = 3x 2, encuentre la funcion inversa,verifique que las dos compuestas dan x y haga las graficas en el mismo plano

cartesiano, incluyendo la recta y = x

Se despeja x en la funcion: x =y + 2

3, intercambiamos x e y, se tiene:

y =x+ 2

3. Sea f(x) = 3x 2 y f1(x) = x+ 2

3. Las dos funciones com-

puestas son:

(f f1

)(x) = f

(f1(x)

)= f

(x+ 2

3

)= 3

(x+ 2

3

) 2 = x

(f1 f

)(x) = f1 (f(x)) = f1(3x 2) = 3x 2 + 2

3= x

Aqu, dominio y recorrido de f y de f1, son todos los reales.


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4 y = f(x)

Figura 103

y = f1(x)

Ejemplo 2.64. Sea f(x) = 3

x 2x+ 1

Pruebe que la funcion es inyectiva,

encuentre la inversa y halle el recorrido.

1. f es inyectiva

si f(x) = f(y),= 3

x 2x+ 1

= 3

y 2y + 1

elevando al cubo:

x 2x+ 1

=y 2y + 1

, aplicando propiedades de las desigualdades:

(x 2)(y + 1) = (y 2)(x+ 1),=xy + x 2y 2 = xy + y 2x 2

transponiendo terminos:

x 2y = y 2x,= 3x = 3y,= x = y, luego, f es inyectiva

2. Para hallar la funcion inversa de f, se hace x = f(y) :

x = 3

y 2y + 1

, elevando al cubo: x3 =y 2y + 1


aplicando propiedades de las desigualdades:

x3(y + 1) = y 2,= x3y + x3 = y 2,= x3y y = x3 2

y(x3 1) = x3 2,= y = x3 2

x3 1 ,

luego, la inversa de f es, f1(x) =x3 2x3 1

3. R(f) = Dom(f1) = R {1}

Ejemplo 2.65. Restringiendo una funcion no inyectiva para hallar la in-

versa

La funcion f(x) = x2 + 4x+ 5 no es inyectiva pues:

f(x) = f(y), reemplazando, x2 + 4x+ 5 = y2 + 4y + 5, cancelando 5

x2 + 4x = y2 + 4y, igualando a 0, x2 y2 + 4x 4y = 0, factorizando,(x y)(x+ y) + 4(x y) = 0,= (x y)(x+ y + 4) = 0, resolviendo:x = y, o y = 4 x, por ejemplo, si x = 1, y = 5, y,f(1) = f(5) = 10.

es decir, hay elementos diferentes en el dominio con la misma imagen.

La funcion es y = x2+4x+5: completando cuadrados resulta (x+2)2 = y1,una parabola que abre hacia arriba con vertice V = (2, 1). La grafica es:

f(x) = x2 + 4x+ 5

2

1

Figura 104: f(x) = x2 + 4x+ 5


Luego, la funcion es inyectiva en (,2] o en [2,)La funcion restringida f : [2,) [1,) es biyectiva y su inversa es:x = f(y), (y + 2)2 = x 1extrayendo raz resulta

y + 2 = x 1, como restringimos la funcion a [2,), es decir, se

escogio la rama derecha de la parabola, la inversa es: f1(x) = 2+x 1

f(x) = x2 + 4x+ 5,x [2,), y [1,)

f1(x) = 2 +x 1,

x [1,), y [2,)

2

1

Figura 105: f y f1

Si se restringe f a (,2],

libro de calculo.pdf

Documents