Álgebra y trigonometrÍadia.diauaemex.com/algebra y trigonometría cbu 2009.pdf · 2017. 9....

Álgebra yTRIGONOMETRÍA

www.shutterstock.com

Alejandro Morales VelázquezJesús Ocampo Contreras

María Lilia Gonzaga VillalobosAlberto Guadarrama HerreraDomingo Hernández García

CON BASE EN COMPETENCIAS PARA BAChILLERATO

DirectorioUAEMDr. Jorge Olvera GarcíaRector

Dr. en Edu. Alfredo Barrera BacaSecretario de Docencia

Dra. Est. Lat. Ángeles Ma. del Rosario Pérez BernalSecretaría de Investigación y Estudios Avanzados

M. en D. José Benjamín Bernal SuárezSecretario de Rectoría

M. en E. P. D. Ivett Tinoco GarcíaSecretaría de Difusión Cultural

M. en Com. Ricardo Joya Cepeda Secretario de Extensión y Vinculación Universitaria

M. en D. Yolanda Eugenia Ballesteros SentíesSecretaría de Cooperación Internacional

M. en E. Javier González MartínezSecretario de Administración

Dr. en C. Pol. Manuel Hernández LunaSecretario de Planeación y Desarrollo Institucional

Dr. en D. Hiram Raúl Piña LibienAbogado General

Lic. en Com. Juan Portilla EstradaDirector General de Comunicación Universitaria

M. en A. Emilio Tovar PérezDirector General de Centros Universitarios y Unidades Académicas

Lic. en Teo. Jorge Bernáldez GarcíaSecretario Técnico de Rectoría

M. en A. Ignacio Gutiérrez PadillaContralor Universitario

M. en S. P. María Estela Delgado MayaDirectora de Estudios de Nivel Medio Superior

E. en E. Hugo Eduardo García GarcíaDirector de Instituciones Incorporadas

Planteles Dependientes

Dr. en C. E. Juan Cuenca DíazPlantel “Lic. Adolfo López Mateos”

M. en C. E. F. María de los Ángeles Bernal GarcíaPlantel “Nezahualcóyotl”

M. en D. Werther Juárez ToledoPlantel “Cuauhtémoc”

M. en D. A. Ed. S. Fidel Nava AltamiranoPlantel “Ignacio Ramírez Calzada”

M. en C. y T. E. Rosenda Ivett Vilchis TorresPlantel “Dr. Ángel Ma. Garibay Kintana”

M. en Hum. Sandra Chávez MarínPlantel “Dr. Pablo González Casanova”

M. en E. S. José González ToricesPlantel “Sor Juana Inés de la Cruz”

M. en C. Comp. Carlos Alberto Salgado TreviñoPlantel Texcoco

M. en D. Juan Carlos Medina HuicocheaPlantel Atlacomulco

de la Escuela Preparatoria

Universidad Autónoma del Estado de México l Nivel Medio Superior

PRE

SEN

TAC

IÓN

El mundo es dinámico y el desarrollo de la tecnología crece a pasos agigantados. En la antigüedad, el cambio se daba cada cincuenta años y actualmente, cada seis meses. Esto lo vemos, por ejemplo, en la compra de una computadora que hoy tiene todos los adelantos tecnológicos, pero en seis meses ya existirá una mejor. Al respecto, la educación no se puede quedar atrás.

El desarrollo de la tecnología en los alumnos en edad de cursar el bachillerato está presente día con día y por eso es necesario buscar métodos adecuados de enseñanza-aprendizaje para lograr que ellos se interesen en aprender también de una manera dinámica.

El propósito de este libro es lograr que los estudiantes se motiven al ver que la trigonometría tiene un sinnúmero de aplicaciones en su entorno. Por esta razón, se presentan actividades que no sólo se tienen que llevar a cabo en el aula, sino también en los patios de recreo, jardines de los planteles o en cualquier otro ambiente; actividades donde el alumno aprende y desarrolla habilidades y destrezas, así como un cambio en sus actitudes, y que tienen que ver con el desarrollo de valores. Este método es llamado por competencias, se basa en el constructivismo, es decir, el alumno construye su conocimiento mediante el desarrollo de actividades en las cuales participa no sólo la memorización, sino también el desarrollo de la metacognición.

Asimismo, se presentan actividades en las cuales se utiliza software graficador a fin de fomentar el uso de la tecnología, así como otras que se desarrollan mediante una secuencia didáctica en la que se incluye apertura, desarrollo y cierre de la actividad.

Las actividades se muestran de tal manera que el alumno realiza algunos procedimientos y otros se le presentan como guía o pistas para que pueda comprender, plantear y analizar adecuadamente cada proceso.

De igual manera, se presentan algunas lecturas de información y conceptos básicos que el educando requiere para una mejor comprensión. Al final de cada módulo se contempla una actividad integradora, en la cual se abordan los principales conceptos que él debe comprender y aplicar, así como una evaluación y una rúbrica que ayudan a verificar si el estudiante ha logrado los propósitos o competencias establecidas en cada módulo.

El libro está integrado por cuatro módulos:

M

M3

4

M

M

1

2

Módulo I. TriángulosDonde se abordan temas de rectas y planos, puntos y rectas notables del triángulo, así como la resolución de triángulos rectángulos, triángulos oblicuángulos y, áreas y perímetros de polígonos.

Módulo II. Círculo Donde se abordan circunferencia y círculo, ángulos de acuerdo con su posición y sector circular, entre otros temas.

Módulo III. Funciones trigonométricasEn este módulo se presentan los arcos en posición normal y reducidos, así como las gráficas de la función seno y coseno.

Módulo IV. Ecuaciones trigonométricasDonde se presentan las identidades fundamentales y su transformación, así como la solución de ecuaciones trigonométricas.

Álgebra y Trigonometría: con base en competencias para bachillerato

SECUENCIA DIDÁCTICA GENERAL

APERTURA

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

Conocimientos previos

� Bienvenida para ruptura del hielo y establecimiento de un clima de confianza � Mencionar los propósitos de la actividad y cuáles son las competencias que se espera desarrolle el alumno � Revisar el ambiente de aprendizaje (espacio físico, disposición física del alumno, materiales y características de los estudiantes) � Dinamización mediante una pregunta detonadora y lluvia de ideas

Situación de la vida cotidianaIndicar conceptos necesarios para resolver la situación problema

Conocimientos necesarios para desarrollar y resolver la situación de aprendizaje

DESARROLLO Para el desarrollo del tema, el profesor actúa como mediador al aplicar la estrategia de solución de situaciones problema, apoyándose de material didáctico a través de presentaciones en PowerPoint, rotafolio, acetatos y pintarrón. Lo cual permite que el alumno participe en forma activa e interactúe de manera colaborativa para lograr las competencias establecidas en la actividad

Se fomenta la motivación a fin de que prevalezca un clima de confianza y seguridad para el alumno, y donde pueda resaltar sus aciertos y aprender de los errores

CIERREConclusiones

Se realiza la retroalimentación del tema, se aclaran dudas y se lleva a cabo un resumen

� La conclusión se realizará conjuntamente entre alumnos y profesor � Evaluación � Comprensión y aplicación del conocimiento en los diferentes contextos de las actividades � Procedimental: desarrollo de habilidades para plantear y resolver situaciones de aprendizaje � Actitudes y valores: disciplina, disposición para el trabajo individual y en equipo � Evidencia del desempeño � Ejercicio resuelto � Lista de control. Se registran las evidencias de conocimientos, actitudes y valores de los alumnos � Portafolio de evidencias � Rúbrica


ÍND

ICE Presentación

Secuencia didáctica general

Módulo I. TriángulosIntroducciónÁngulos y sistemas de medición Sistemas de medidaTales de MiletoTriángulosRazones trigonométricasTriángulos oblicuángulosÁreas y perímetros de polígono Actividad integradora Evaluación del aprendizajeReferencias bibliográficas

Módulo II. CírculoIntroducciónElementos notables del círculo y de la circunferencia Actividad integradora Evaluación del aprendizaje Referencias bibliográficas

Módulo III. Funciones trigonométricasIntroducciónCircunferencia unitaria y arco asociadoComportamiento de las funciones seno, coseno y tangenteFunciones trigonométricasFuncion tangenteActividad integradoraEvaluación del aprendizajeReferencias bibliográficas

Módulo IV. Ecuaciones trigonométricasIntroducciónIdentidades trigonométricas fundamentales Ecuaciones trigonométricasActividad integradoraEvaluación del aprendizaje Referencias bibliográficas

8

15

44

9

15

50

63

75

97

17

56

63

75

97

21

57

69

79

103

91

113

24

59

70

80

111

92

37

71

90

112

93


DIAGRAMA DECONTENIDOS

MÓDULO ITRIÁNGULOS

ÁLGEBRAY

TRIGONOMETRÍA

MÓDULO IIIFUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

MÓDULO IICÍRCULO

MÓDULO IVECUACIONES

TRIGONOMÉTRICAS


M1Basado en competencias

12


ÁNGULOS

TRIÁNGULOS

ÁREA DEPERÍMETRO DETRIÁNGULOS Y

OTROS POLÍGONOS

TRIÁNGULOOBLICUANGULO

TRIÁNGULORECTANGULO

RECTASY

PUNTOSNOTABLES



13

Módulo unoTRIÁNGULOS



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COMPETENCIAS

Competencias de la Dimensión

Competencias Genéricas

Competencias Disciplinares Básicas

�Piensa de manera flexible, analítica y crítica al definir estrategias para la solución creativa de problemas, la toma de decisiones y el análisis de la realidad. �Aplica conscientemente diferentes formas de razonamiento al reconocer un problema y definirlo; al hacer una reflexión crítica a partir de las preguntas que se plantea; al poner a prueba sus ideas, juicios, conceptos o respuestas; al desarrollar diversas estrategias para investigar, sistematizar, representar, comprender, analizar y aplicar información, y al controlar y evaluar el proceso seguido. � Identifica y recupera el error como un elemento del proceso de aprendizaje que le facilita la construcción de nuevos sentidos y significados

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.


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INTRODUCCIÓN

La palabra trigonometría proviene del griego trigonon, que significa “triángulo” y metron, que significa “medida”; por consecuencia trigonometría quiere decir medida de los triángulos.1 Como sabemos, la historia de la Trigonometría se remonta a la época de los egipcios cuando se estableció la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.

Tales de Mileto fue uno de las tantas mentes brillantes que han habitado este planeta; aunque de oficio mercader desarrolló una apreciada habilidad para los campos de la Geometría, la Astronomía y la ciencia en general. Su educación fue empírica, pues nunca contó con la ayuda de maestros.

Anaximandro fue uno de los discípulos de Tales de Mileto, él afirmo y demostró que la Tierra era esférica y giraba sobre su eje. Además de ello fue geómetra, cosmólogo y astrónomo. Pitágoras fue otro gran discípulo de Tales, quien a diferencia de su maestro (Tales) fue un hombre práctico, una persona mística e introvertida cuya vida estaba llena de rituales rígidos. Fundó la escuela pitagórica en la isla que hoy conocemos como Sicilia, Italia. Se le atribuye a él o a sus discípulos las tablas de multiplicar, pero más se le reconoce por el teorema que lleva su nombre.

Durante el periodo de esplendor de Alejandría (aproximadamente en el año 300 a. C) y años posteriores emana una diversidad de matemáticos, astrónomos, como Euclides (conocido como “el padre de la Geometría”), Apolonio de Perga, Eratóstenes, Arquímedes, Herón, Diofanto, Ptolomeo, entre otros.

En el siglo XVIII, Leonard Euler, suizo matemático, separó la Trigonometría convirtiéndola en una ciencia independiente de la Astronomía.

Realiza una línea del tiempo donde indiques los orígenes de la Trigonometría y sus principales actores. Recuerda citar sus principales aportaciones.

ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:

Forma geométrica: se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas que concurren en un punto común llamado vértice. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.

Forma trigonométrica: es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno a uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

1 Ricardo Bernal, Trigonometría, México, McGraw-Hill, p. 3.

Trabajoen equipo



16

Sistemas de medición de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos son: �Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades) �Grado centesimal �Grado sexagesimal

Clasificación de los ángulosC

lasi

ficac

ión

Por su amplitud

En función desu posición

Ángulo nulo:

θ = 0º

Ángulo agudo:

θ > 90º

Ángulo recto:

θ = 90º

Ángulo obtuso:90º <

θ < 180º

Ángulo llanoθ = 180º

Ángulo cóncavoAmplitud menor a la de un llano

θ < 180º

Ángulo convexoAmplitud mayor a la de un llano

θ > 180º

Suplementarios:θ + β = 180º

Complementarios:θ + β = 90º

Consecutivos:tienen el mismo vértice

en común

Adyacentes: ángulos consecutivoscuyos lados no comunes están en

la misma recta. Son también suplementarios

Opuestos por el vértice: los ladosde uno con prolongaciones opuestas

a los lados del otro

Ángulos congruentes: son aquellosque tienen la misma amplitud

Ángulos conjugados: son aquellosque suman 360º


17

Trabajoen equipo

SISTEMAS DE MEDIDA

Sistema sexagesimal: en este sistema se divide una circunferencia (una vuelta) en 360 ángulos centrales iguales y se escribe como 360°; cada una de esas partes corresponde a un grado, es decir, 1/360°. El grado es la unidad fundamental y se denomina sexagesimal porque su base es 60.

1° = representación de un grado 1´= representación de un minuto 1” = representación de un segundo

1° = 60´1´ = 60”

Sistema cíclico: en este sistema la unidad fundamental es el radián. Un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la misma longitud del radio de circunferencia.

Sistema sexagesimal

Sistema cíclico (radianes)

360° 2π

270°

180° π

90°

45°

1° 0.017453

57.29° 1

APERTURADinamización mediante pregunta detonadora y lluvia de ideas

Investiga las propiedades del triángulo y qué le permite estar presente en diferentes estructuras. Apóyate de imágenes e identifica cuál es la figura geométrica que prevalece.


Ángulos formados por dos rectas paralelas y una recta secante

Identifica en la figura los nombres correspondientes a los ángulos y complementa la siguiente tabla:



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Nombre de los ángulos Número

Opuestos por el vértice Internos ExternosAlternos internos Alternos externosCorrespondientes

DESARROLLO Utilizando la figura anterior y con un , obtén la medida de los siguientes ángulos:

Ángulo Medida Justifica tu respuesta

B

FE

A

DC

21

4

5

8

3

6

7


19

CIERREConclusión

El número 1 se llama “uno”, el 2 se llama “dos” y así sucesivamente debido al número de ángulos que tienen:

�El número 2 tiene un ángulo �El número 2 tiene dos ángulos �El número 3 tiene tres ángulos

Y el 0 no tiene ángulos.

Fuente: www.verasoul.com/2009/sabias-que.html

Ejercicios propuestos

Determina el valor de “x” y de “y”. Fundamenta tus respuestas. t

r

s

2x

3x-20ºy+10º r ll s

a)

L1 L2 L1 ll L2

y5x + 43x + 20

b)

En la siguiente figura determina: α +β = ? Justifica tu respuesta.

L1

L2

2a

L1 ll L2

3a - 20º



20

Trabajoen equipo

APERTURA Dinamización mediante una pregunta detonadora y lluvia de ideas

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE En un plantel se utiliza una grúa para levantar columnas de acero; con base en la fotografía se puede observar que el pistón (recta secante) soporta la pluma (paralelas). Obtén los ángulos de acuerdo con su medida, sentido y posición, respecto a dos rectas paralelas cortadas por una recta secante.

Conocimientos previos¿Conoces el nombre de los ángulos de acuerdo con su posición?

DESARROLLOEl modelo gráfico que representa la situación problema es:

Escribe la respuesta:1. ¿Qué nombre recibe el ∠ABC de acuerdo son su magnitud? _________ obtuso ________2. ¿Qué nombre recibe el ∠GFE de acuerdo con su magnitud? _________ agudo ________3. ¿Cuál es el ángulo opuesto por el vértice al ∠GFE? _________________________________4. ¿Cuál es el ángulo correspondiente al ∠CBD?, entonces su correspondiente es ∠BFH5. ¿Cuál es el ángulo alterno-interno al ∠FBD ? _____________________________________6. ¿Cuál es el ángulo alterno-interno al ∠ABF?, por lo tanto es el ∠BFH7. ¿Cuál es el ángulo colateral-externo al ∠GFH ?____________________________________8. ¿Cuál es el ángulo colateral-externo al ∠ABC ?, entonces es el ∠EFG9. ¿Qué ángulo es el suplementario del ∠EFG?______________________________________10. ¿Qué nombre recibe el ∠ABD de acuerdo con su magnitud?________________________

Fuente: adaptado de http://mlm-s1-p.mlstatic.com/grua-hiab-palfinger-18500-solo-grua-no-camion-excelente-7976-MLM5297859792_102013-F.jpg

A

B

CD H

F

EG


21

TALES DE MILETO (639 a. C-546 a. C.)

Nació en Mileto (Turquía), fue uno de los siete sabios. Fundador de la escuela jónica en donde fue maestro de Anaximandro, Anaxágoras, etc. Con él se inicia la Geometría como ciencia racional.

Sus estudios lo condujeron a resolver ciertas cuestiones, como la determinación de distancias inaccesibles, la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles, el valor del ángulo inscrito y la demostración de los teoremas que llevan su nombre.

Tomó como base la Geometría de los egipcios, lo que permitió dar un avance fundamental debido a que fue el primero en emprender la tarea de demostrar exposiciones matemáticas mediante series regulares de argumentos. Inventó la matemática deductiva; además del teorema que lleva su nombre, se le acreditan entre otros los siguientes teoremas:

1. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto2. Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro

3. Los ángulos básicos en un triángulo isósceles son iguales4. Los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son iguales5. Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente

iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son iguales.

Logró medir la altura de la gran pirámide de Guiza a petición del Faraón, quien conocía de su talento. Tales se apoyó en un bastón y cuando la sombra del bastón coincidió con la altura del mismo, le dijo a un servidor del Faraón: “Corre y mide de prisa la sombra de la gran pirámide. En este momento es tan larga como la propia pirámide”.

Fuente: http://eltrasterodepalacio.files.wordpress.com/2012/10/sin-tc3adtulo-21.jpg.

Teorema de Tales

Si en un triángulo se traza una línea a cualquiera de sus lados, se forman dos triángulos semejantes.

Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Illustrerad_Verldshistoria_band_I_Ill_107.jpg.



22

Trabajoen equipo

Fuente: http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u6/M3_U6_contenidos/Teorema_de_Thales_en_triangulos_semejantes.jpg.

APERTURA Trabajo en equipo a realizar en las áreas deportivas y patios de recreo

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESi Erika mide 1.50 m de estatura y proyecta una sombra de 1.90 m, en ese mismo momento un anuncio de publicidad proyecta una sombra de 3.78 m. Calcular la altura del anuncio de publicidad.

Conocimientos previos �Semejanza de triángulos �Razón y proporción

DESARROLLOPara solucionar este problema habrás de utilizar la semejanza de dos triángulos.

Modelo gráfico

D

Fuente: adaptado de www.shutterstock.com.

AD

BC


23

Trabajoen equipo

Aplicando proporcionalidad de triángulos

Despejando la altura del anuncio(D)

Resultado La altura del anuncio de publicidad es de: metros

CIERREConclusión


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESi Aldo mide 1.73 m de estatura y proyecta una sombra de 1.28 m, en ese mismo momento el asta bandera del plantel proyecta una sombra de 6.45 m. ¿Cuál será la altura del asta bandera?

Conocimientos previos �¿Sabes qué es semejanza de triángulos? �¿Qué es razón y proporción?

DESARROLLOPara solucionar este problema habrás de utilizar la semejanza de dos triángulos.

Modelo gráfico


AD

BC



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Trabajoen equipo

Aplicando proporcionalidad de triángulos

Despejando la altura del asta bandera (D)

Resultado La altura del asta bandera es de: metros

CIERREConclusión

TRIÁNGULOS

Rectas y puntos notables de un triángulo

APERTURAActividad en equipo

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un triángulo cuyas medidas sean 8 cm, 7 cm y 5 cm, trace la circunferencia inscrita sobre éste.

Conocimientos previos �¿Cómo se utiliza la regla, el compás y las escuadras para el trazo de figuras geométricas? �¿Sabes el concepto de mediatriz, mediana, bisectriz, altura, ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro?

Trace el triángulo ABC de base ocho, esto es AC = 8, AB = 7 y CB = 5.

Con el compás, haciendo centro en el vértice C a una abertura cualquiera, marcamos en los lados CA y CB los puntos de corte indicados por D y E respectivamente; con esa misma abertura del compás hacemos centro en el punto D para trazar el arco que se cruzará con el arco trazado desde el punto E, el punto de cruce se unirá con el vértice inicial C, mediante una línea recta.

A

B

8

57

C


25

A la línea recta trazada en el paso anterior se le conoce como bisectriz y es la que divide el ángulo en dos partes iguales.

De igual forma se traza la segunda y tercera BISECTRIZ, a partir de los vértices A y B. �Al cruce de las bisectrices se le conoce como INCENTRO. �Con el compás, haciendo centro en el INCENTRO, se traza la circunferencia inscrita en el triángulo.

CIERREConclusión

El alumno dibujará un TRIÁNGULO semejante al anterior.

B

D

E

CA

A8 C

Incentro

Circunferenciainscrita

5

B

7

Ahora, realizando la construcción geométrica en Geogebra. Este programa informático nos permite realizar trazos de curvas de muchos tipos de forma fácil.

1. Inicie Geogebra.2. En la Ventana de trabajo,

seleccione Poner 2 puntos. Puede ubicarlos sobre cualquiera de los ejes para tener una fácil referencia:



26

3. Seleccione Segmento entre 2 puntos de la barra de herramientas, elija dos de los puntos que ya ha trazado y únalos.

4. Repita este proceso para todos los puntos.

5. Una vez trazado el TRIÁNGULO, seleccione la opción de bisectriz. Elija los vértices en el siguiente orden: primero A, luego B y finalmente C, se trazará automáticamente la bisectriz.

6. Repita lo anterior con los demás vértices, procure que el vértice del ángulo al cual se le trazará la bisectriz sea siempre el segundo punto que elija.

7. Ahora, en la barra de herramientas presione el botón de Circunferencia dado su centro y uno de sus puntos. El centro es la intersección de las bisectrices del paso anterior.


27

8. El otro punto debe coincidir con cualquiera de los lados del TRIÁNGULO. Arrastre el cursor hasta que toque el lado y suelte. Se trazará automáticamente la circunferencia inscrita.

CIERRE Conclusión (en Geogebra)

APERTURAActividad individual

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un triángulo cuyas medidas sean 8 cm, 7 cm y 5 cm, trace la circunferencia circunscrita sobre éste.

Realizar una construcción similar en Geogebra.

Conocimientos previos �¿Cómo se utiliza la regla, el compás y las escuadras para el trazo de figuras geométricas? �¿Sabes el concepto de mediatriz, mediana, bisectriz, altura, ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro?

DESARROLLORealizar la construcción en su cuaderno de apuntes e imprimir la misma actividad en Geogebra.

CIERREConclusión



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Semejanza de triángulos

Una semejanza en general existe cuando puede cambiarse el tamaño y la orientación entre las figuras geométricas, pero sin alterar su forma.

Postulados de semejanza Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales (A.A.A).

Los ángulos correspondientes son ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C',

Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente comprendido entre dos lados proporcionales (L,A,L).

Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales (L,L,L).

Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes, se escribe ABC~DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.

Ángulos:Fuente: http://www.planetamatematico.com/index.php?option=com_content&task=blogcategory&id=126&Itemid=147.

Curvas en GeoGebra:Fuente: http://www.thatquiz.org/es/practice.html?geometry.

A

B

C

A´

B´

C´

A

L

L

L1

L2

A

ab

c

a´ b´

c´

Y para navegar...

Trigonometría


29

Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn la escuela se tienen estructuras metálicas para sostener el tablero de basquetbol y en las cuales se aprecian diferentes tipos de triángulos. Con base en los postulados de semejanza obtén tres triángulos semejantes e indica la medida de los ángulos y lados respectivamente.

Conocimientos previos �¿Sabes trazar triángulos semejantes aplicando una razón y proporción? �¿Qué es la medición de ángulos?

DESARROLLOConsiderando el triángulo mayor y el vértice C que corresponde con el tablero:

Medir los lados del triángulo ABC.

Medir con transportador los ángulos interiores.

Localiza en la estructura metálica del tablero un triángulo semejante al triángulo ABC.

El teodolito es un instrumento que sirve para medir ángulos horizontales y verticales, y es muy usado en topografía. Consta de un anteojo que gira alrededor de un segundo eje vertical. De esta forma se miden dos tipos de ángulos: la orientación y la elevación.

Fuente: http://www.centros5.pntic.mec.es.

C

B

A

315 cm

116 cm260 cm

C

B

A

20º55º

105º

C

A

B315 cm

116 cm260 cm

20º55º

105º

Fuente: adaptado de http://safe-img04.olx.com.mx ui/12/86/75/ 1368661841_510698175_1-Fotos-de--Tableros-de-Basquetbol-y-canchas-deportivas.jpg.

Fuente: http://www.topoequipos.com/dem/topoequipos/south/ETSeries.jpg.



30

Solución: existe otro triángulo en la estructura metálica en forma paralela con las mismas dimensiones.

Complementen la tabla siguiente con base en los dos triángulos semejantes que localizaron en la estructura:

Medida del lado Valor del ángulo Razones Proporciones

Segundo triángulo semejante

Medir los lados del triángulo ABC

Medir con transportador los ángulos interiores

Realicen un triángulo semejante al triángulo ABC

Solución

C

A

B

C

116 cm

116 cm

120 cm70º

55º

55º


31

Complementen la tabla siguiente:

Medida (lado) Valor del ángulo Razones Proporciones

Ahora, elaboren de manera individual el tercer triángulo semejante con su tabla correspondiente en el cuaderno de apuntes.

Clasificación de los triángulos

Definición de triángulo: es un polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los triángulos son los únicos polígonos que no tienen diagonales.

A los triángulos también se les llama trígonos, aunque es un nombre menos común para estos polígonos.

Fuente: http://es.wikipedis.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo.

Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos.



32

Trabajoen equipo

Por la amplitud de sus ángulos

Muchos pintores destacados basaban sus obras de arte en triángulos con el propósito de que sus pinturas manifestarán la sensación que pretendían reflejar. Por ejemplo, en Acróbata y joven equilibrista de PICASSO, la composición está resuelta mediante dos triángulos rectángulos que provocan una sensación de estabilidad y seguridad, y el otro invertido, que provoca la sensación inversa. Esta sencilla composición consigue conjugar dos sensaciones opuestas jugando con dos triángulos.

Los triángulos son figuras elementales en la construcción por ser la figura geométrica con mayor solidez que cualquiera otra. Ejemplo primordial son las pirámides.

Fuente: http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100303144052AAS.


AperturaActividad en equipo

Conocimientos previos �¿Sabes la clasificación de los triángulos?

Según sus ángulos

Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo de 90º

Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90º)

Triángulo acutángulo: cuando sus tresángulos interiores son menores de 90º

Triángulo oblicuángulo: es todo aquel que no es triángulo rectángulo

Fuente: http://lamemoriadelasolas.files.wordpress.com/2007/06/acrobata-de-picasso.jpg.

Fuente: http://1.bp.blogspot.com/-yMyxeWn7Fdc/UD08GNFnNAI/AAAAAAAAGvA/eOHyS89KXN8/s1600/piramides-egipcias-2.jpg


33

Trabajoen equipo

DESARROLLOCon una cámara digital o con tu celular toma imágenes de objetos, por ejemplo, un mueble, una vela o un anuncio con formas triangulares semejantes a cada una de las que aparecen en la tabla que se presenta a continuación.

Elabora una tabla como la siguiente en tu cuaderno y pega o dibuja las imágenes solicitadas.

Triángulo Equilátero Imagen Isósceles Imagen Escaleno Imagen

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

CIERREConclusión

Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras y el otro la división de una línea en proporción del medio y los extremos; es decir, el número áureo. El primero puede compararse a una medida de oro y el otro, a una piedra preciosa”. Johannes Kepler

La relación entre los lados de un triángulo rectángulo está establecida en el siguiente teorema:

En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Realiza la siguiente actividad en tu cuaderno de trabajo.


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEMediante la siguiente actividad comprobarás el teorema de Pitágoras.



34

Conocimientos previos �¿Sabes cómo se obtiene el área del cuadrado y del triángulo? �¿Conoces el teorema de Pitágoras?

DESARROLLO1. Forma un equipo de tres integrantes.2. Tracen un triángulo rectángulo en papel bond, con las siguientes dimensiones: base 24

cm, altura 10 cm e hipotenusa 26 cm.3. Ahora tracen tres cuadrados en el otro papel bond, uno de 10 cm de lado, el segundo de

24 cm y el tercero de 26 cm. Marquen las cuadrículas de cada cuadrado para identificar su área e iluminen cada cuadro con diferentes colores.

4. Cuenten y anoten en cada cuadro cuántos cuadritos tienen marcados con números grandes.

5. Peguen los cuadros en los lados correspondientes del primer triángulo formado. Ahora respondan las siguientes preguntas:

Suma el área de los cuadrados que están sobre los catetos, ¿qué te representa esa cifra?

Suponiendo que se conoce el área del cuadrado que se localiza por encima de alguno de los dos catetos, como el área del cuadrado que está sobre la hipotenusa. ¿Cómo podrían obtener el área del cuadrado que falta?

CIERREConclusión

Pega las figuras en una hoja y archívala en tu portafolio de evidencias.

Se conocen dos lados del triángulo rectángulo


a

c

b


35

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELiza quiere empotrar en la pared una pantalla LCD de 25 pulgadas. Para ello necesita determinar la dimensión del largo; sabe que la altura es de 15 pulgadas. El tamaño de una pantalla se especifica por la diagonal.

IMAGEN MODELO

Conocimientos previos �¿Sabes las operaciones con números reales, así como la jerarquía de operaciones? �¿Conoces el teorema de Pitágoras?

DESARROLLODatos La diagonal de la pantalla está representada por: c = 25”; lo alto por a = 15” y el largo por b = ?

Utilizando el teorema de Pitágoras c2 = a2 + b2

Sustituimos valores 252 = 152 + b2

Despejamos la variable b

Realizamos operaciones

Simplificamos

El largo de la pantalla es

CIERREConclusión Las dimensiones que Liza deberá tener en cuenta para instalar la pantalla son:




36


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEl puente del viaducto de Millau, en Aveyron (Francia), es el puente más alto del mundo. La estructura alcanza una altura de 343 m sobre el río Tarn, tiene una longitud total de 2 460 m y cuenta con 11 claros de 311 m entre los pilares. Para reparar uno de los 162 tirantes, un empleado del puente debe subir a lo más alto del pilar, cuya altura es de 100 m sobre la carretera.

¿Qué longitud tiene el tirante más largo del puente que va a reparar?

MODELO

Conocimientos previos �¿Sabes cuál es la clasificación de triángulos? �¿Conoces el teorema de Pitágoras?

DESARROLLO

Utilizando el teorema de Pitágorascalculamos la longitud del cable más largo, representado por la variable c

Sustituyendo valores

Realizando operaciones

Simplificando

La longitud del tirante es

CIERREConclusión

C=?

C=100 m

155 m

Fuente: www.shutterstock.com.

311 m

100 m


37

Trabajoen equipo

En tu cuaderno de trabajo resuelve lo siguiente:

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna constructora norteamericana lleva el proyecto de un puente colgante que mide 311 m desde la orilla hasta el poste, el cual tiene 100 m de alto. Con base en estos datos, ¿cómo pueden determinar la longitud del cable más alto?

Imagen Modelo


1. La torre de una estación de radio tiene una altura de 35 m y está anclada a 8 m desde la base de la antena. ¿Cuál es la longitud del cable que realiza el anclaje?

2. Una persona desea subirse a la azotea de su hogar para revisar la impermeabilización del techo. Utiliza para ello una escalera de 9 m para subir a una altura de 5 m. ¿A qué distancia del pie de la casa debe colocar la escalera?

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Se conoce un lado cualquiera y un ángulo agudo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un restaurante se requieren forrar 10 carpas como la que se muestra en la figura siguiente a cuatro aguas. Si se conoce el ancho y el ángulo de inclinación, calcula cuánto se gastarán para realizarlas si por cada metro cuadrado se utiliza kilo y medio de paja, y su precio es de $20 pesos.

100 m

311 m

x


Hipotenusa

Cateto adyacente

Catetoopuesto

θ



38

IMAGEN MODELO

Dividiendo un lado del techo en dos triángulos rectángulos

Conocimientos previos �¿Conoces las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras? �¿Sabes cuál es la fórmula para calcular el área del triángulo?

DESARROLLO¿Cuál de las razones trigonométricas involucra los datos del problema?

Despejamos el cateto opuesto

Se obtiene el valor del cateto opuesto

Como se trata de un triángulo isósceles, el valor del cateto adyacente es igual al del cateto opuesto

Utilizando la fórmula para el área del triángulo

Sustituyendo valores obtenemos un área de

Área del triángulo es

Como el lado del techo se dividió en dos partes, entonces son dos triángulos rectángulos

La carpa tiene cuatro lados, por lo tanto el área total será

Cantidad de paja por metro cuadrado

2.3 m

45º 90ºc.o



39

Cantidad de paja que requiere una carpa

Kilos de material total, de las 10 carpas

El costo es

CIERREConclusión

Ángulo de elevación y ángulo de depresión


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESe desea conocer la altura de la torre de una estación de radio; se sabe que un cable tensor está anclado a 8 m desde la base de la antena y su ángulo de elevación es de 60°.

¿Cuál es la altura de la antena?

Imagen Modelo

Fuente: adaptado de www.shutterstock.com

60º

8 m

60º

8 m

h = ?

Horizontal

Horizontal

Línea

de m

ira

Observador

Observador

Ángulo deelevación

Ángulo dedepresión



40

Trabajoen equipo

Conocimientos previos �¿Conoces las operaciones con números reales? �¿Sabes cuál es el teorema de Pitágoras?

DESARROLLO

La razón trigonométrica que involucra los datos conocidos

Sustituimos valores

Despejamos el “cateto opuesto”

Realizamos las operaciones

La altura de la antena es:

CIERREConclusión

Tarea en equipo “Denme una vara y mediré la tierra”

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE¿Sabes quién fue Eratóstenes? Él fue quien trascendió a la historia por esa frase. Eratóstenes nació en Grecia y se inició en la Filosofía pero no sobresalió; sus compañeros lo llamaban “β” por ser el “segundo” en todo; sin embargo, su destino era otro.

Te invitamos a que conozcas más de su historia siguiendo el link:http://www.youtube.com/watch?v=sAjtYwXy5Bc&feature=related.

Conocimientos previos �Teorema de Pitágoras �Razones trigonométricas

1. En tu cuaderno de trabajo lleva a cabo el proceso de solución.2. Realiza 5 de las 9 situaciones problema que presenta el video.3. Discutan con el grupo sus opiniones y escriban un resumen de lo que más llamó su

atención.4. Guarda una copia de su trabajo en tu portafolio de evidencias.

CIERREConclusión


41


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEAlberto desea determinar el ángulo de inclinación respecto al piso de una rampa para personas con capacidades diferentes; él sabe que la altura es de 18 cm y que la diagonal mide 85 cm.

IMAGEN MODELO

Conocimientos previos �¿Conoces las razones trigonométricas?

DESARROLLO

Utilizando la razón trigonométrica seno

Sustituimos los valores y simplificamos

Efectuando operaciones

Despejamos

El valor del ángulo es

CIERREConclusión

Ejercicios propuestos 1. El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de

depresión de 12°. Un buzo baja 40 m hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

2. El tirante de un puente forma un ángulo de 38°50’ con respecto a la horizontal. ¿Cuál es la altura del puente donde está colocado el tirante, si éste tiene una longitud de 64 m?

3. El edificio Empire State tiene una altura de 1 250 pies, ¿cuál es el ángulo de elevación de su último piso desde un punto de la calle que está a una milla de la base del edificio.

18 cm85 cm

Ángulo de inclinaciónFuente: http://img.archiexpo.es/images_ae/photo-g/rampas-acceso-portatiles-discapacitados-61197-5300647.jpg.



42

Valores exactos de las razones trigonométricas

Razones de los ángulos 30º y 60º Los pasos para obtener los valores exactos de estos dos ángulos son los siguientes: Grafica un triángulo equilátero de dos unidades por lado, traza la bisectriz de uno de sus ángulos al lado opuesto. La figura queda dividida en dos triángulos rectángulos congruentes, debido a que la bisectriz coincide con la mediana y la altura.

Sen 30º = Sen 60º =

Cos 30º = Cos 60º =

Tan 30º = Tan 60º =

Razones de los ángulos 45º Para obtener las funciones de este ángulo, dibujamos un cuadrado de una unidad de lado y se traza una diagonal, formándose dos triángulos rectángulos congruentes, como se muestra a continuación:

Sen 45º =

Cos 45º =

Tan 45º =

2230º

60º

21

30º

60º

2

1

45º

1

1

1

12

45º


43

El procedimiento para obtener los valores exactos de las razones trigonométricas de ángulos 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, se realiza considerando un ángulo en posición normal cuyo lado terminal pasa por el punto indicado.

Iniciamos con un ángulo cuya magnitud sea 0º y se puede representar por un punto que pase por (4, 0). Se considera x = 4, y = 0 y r = 4, las razones son:

Realiza un procedimiento similar para los ángulos de 90º, 270º, 180º y 360º.

Finalmente, con los valores de las funciones de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º,180º, 270º y 360º complementa la siguiente tabla:

Razón 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360°

seno 1/2

coseno

tangente

cotangente

secante

cosecante

Operaciones con valores exactosUtilizando los valores exactos de las razones trigonométricas realiza las siguientes operaciones:



44

Ejercicios propuestosObtén el valor exacto de las siguientes operaciones:

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

CONOCIDOS DOS ÁNGULOS Y EL LADO OPUESTO A UNO DE ELLOS


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn globo aerostático es visto al mismo tiempo sobre un valle por dos observadoras. Las dos están a 2.32 millas de distancia una de la otra. Si suponemos que las observadoras y el globo están en el mismo plano vertical y el ángulo de elevación respecto a la primera es de 28º y respecto a la segunda es de 37º, ¿a qué altura se encuentra el globo?

Imagen Modelo

Conocimientos previos � ¿Conoces el triángulo rectángulo? � ¿Sabes cuáles son las razones trigonométricas? � ¿Conoces la ley de senos?



45

DESARROLLOSi dividimos el triángulo oblicuángulo resultan dos triángulos rectángulos; para resolver uno de ellos es necesario obtener la medida de un lado, el cual utilizaremos más adelante como hipotenusa, a través de la ley de senos.

Obteniendo el valor del ángulo A, por suma de ángulos interiores A + B + C = 180°

A + 37º + 28º = 180ºA = 180º - 37º - 28º

A = 115º

Aplicando la ley de senos

Resolviendo el triángulo del lado derecho de la imagen, se utiliza

Se despeja la variable c

Se sustituyen valores

El valor de c es

Conociendo la longitud c utilizaremos este valor como la hipotenusa del triángulo rectángulo, que se forma con la persona de la izquierda y el globo.

Aplicando la razón trigonométrica seno

Sustituyendo datos

Se despeja la altura H

La altura entre el globo y el suelo es

CIERREConclusión

c.o. = H C = 1.2 mi

θ = 37°



46

SE CONOCEN DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO A UNO DE ELLOS

AperturaActividad individual

Conocimientos previos �¿Conoces el triángulo oblicuángulo? �¿Conoces la ley de senos?

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna persona de 1.80 m de altura baja por una rampa que tiene un ángulo constante de inclinación. Una fuente de luz colocada detrás de la persona proyecta una sombra de ésta a 6 m de distancia. En un determinado momento, el ángulo de depresión desde la parte superior de la cabeza de la persona es de 32º hasta el extremo de su sombra. ¿Cuál es el ángulo de inclinación de la rampa?

DESARROLLO

Modelo

Del modelo de la situación de aprendizaje se obtiene el ángulo complementario: C = 90° - 32° = 58°

Con el dato anterior se traza el triángulo ABC, como se muestra a continuación y se resuelve por medio de la ley de senos

1.8 msen A

A = sen-1(0.254)

A = 14.7º

= 6 msen 58º

sen A= 6 m1.8 m sen 58º


32º 1.80 m

6 mβ

32º68º

A

B

D

C

1.80 m

6 mβ


47

Conocido el ángulo A podemos determinar el ángulo B, cuyo valor se obtiene:

B = 180º - (58º + 14.7º)B = 107.3º

Y por consecuencia podemos determinar el ángulo D: D = 180º - 107.3º D = 72.7º Con el valor obtenido, sólo nos falta determinar el ángulo de inclinación de la rampa (E =?), para ello debemos interpretar los resultados de la siguiente manera:

El ángulo E es un ángulo suplementario de D; por consiguiente, podemos obtener su valor realizando lo siguiente: E = 90º - 72.7º

CIERREConclusión

El ángulo de inclinación de la rampa es: 17.3°

SE CONOCEN DOS LADOS Y EL ÁNGULO FORMADO ENTRE ELLOS


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEl puente del Alamillo es un puente atirantado que cruza el río Guadalquivir, en Sevilla, España. Consta de un único pilar que actúa de contrapeso; para los 200 m de largo del puente utiliza trece largos cables. El contrapeso tiene una inclinación de 48º y además cuenta con un mirador que se localiza a 142 m de altura. ¿Cuál es la longitud del cable más largo?

IMAGEN MODELO

Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Puente_del_Alamillo_en_Sevilla.jpg

32º68º

A

B

D = 72.7º

C1.80 m

6 mβ

L1

L2E = ?

L1 ll L2

140

m

200 m

Long del cable(c)

48º

(LC)Long del contrapeso



48

Conocimientos previos �¿Sabes qué es un triángulo rectángulo? �¿Conoces las razones trigonométricas? �¿Conoces la ley de cosenos?

DESARROLLOCon los datos que se tienen es conveniente resolver en primera instancia un triángulo rectángulo para obtener el valor de la hipotenusa (LC); al conocer la longitud del contrapeso se procede a resolver el triángulo oblicuángulo mediante la ley de cosenos.

Resolviendo el triángulo rectánguloAplicando la razón seno

Sustituyendo datos hip =LC (longitud del contrapeso)

Se despeja la longitud del contrapeso

La longitud del contrapeso es

Con la longitud del contrapeso (LC), ahora se resuelve el triángulo oblicuángulo

Aplicando la ley de cosenos c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Designando las variablesc es la longitud del cablea es la longitud del contrapesob es la longitud del puente

Sustituyendo datos c2 = (188.38 m)2 + (200 m)2 - 2(188.38 m)(200 m) cos 132º


Simplificando

Se obtiene la raíz cuadrada

La longitud del cable más largo es

CIERREConclusión

a

b

c


49

SE CONOCEN LOS TRES LADOS


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn muchacho sostiene dos globos. La longitud de la cuerda de la mano izquierda es de 12 m y la longitud de la cuerda de la mano derecha es de 5 m. Además, se sabe que la distancia de separación entre los globos es de 14 m. Calcula el ángulo que se forma entre las dos cuerdas.

IMAGEN MODELO

Conocimientos previos �¿Sabes qué es ángulo de elevación y un ángulo de depresión? �¿Conoces la ley de cosenos?

Aplicando la ley de cosenos c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

Despejando el coseno del ángulo

Obteniendo el ángulo

Sustituyendo datos


Calculando el ángulo C

El valor del ángulo entre las dos cuerdas es

CIERREConclusión

c = 14 m

a = 12 m b = 5 m

AB

C

Fuente: adaptado de www.shutterstock.com



50

ÁREAS Y PERÍMETROS DE POLÍGONOS

HERÓN DE ALEJANDRÍA

Matemático y astrónomo (126 a. C.-50 a. C.).

Proveniente de una familia de origen humilde, durante su juventud fue zapatero.

No existe la certeza de la fecha exacta en que vivió ni de su muerte.

Quizá la expresión matemática más conocida de Herón sea su fórmula para determinar el área de un triángulo cuando se conozcan sus lados. Algo realmente útil en aquellos tiempos.

El teorema nos garantiza, conociendo los lados de un triángulo, determinar su área mediante la siguiente expresión:

Dónde: “a”, “b” y “c” son los lados del triángulo y “s” la mitad de su perímetro.

Elementos del triángulo:Fuente: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/rectas_notables_actividades/index.htm.

Teorema del cateto:Fuente: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/representar_irracionales_sgn/Cateto.htm.

Teorema de Pitágoras:Fuentes: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Teorema_de_Pitagoras/index.htm.

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Teorema_de_Pit%C3%A1goras._Aplicaciones.

Y para navegar...

Trigonometría

Fuente: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/h/heron.htm.

Si el área total de la República Mexicana se repartiera entre el total de mexicanos, nos tocarían 18 479 m2.

Lado: a

Lado: cLado: b

Fuente: http://shop.inmobiliare.com/wp-content/uploads/2013/05/mapa-de-mexico.jpg


51

Un polígono es la figura plana delimitada por una poligonal cerrada, donde los segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los segmentos son los vértices del polígono. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etcétera.

Un polígono regular es aquel que es equilátero y equiángulo; es decir, todos los lados y todos sus ángulos son iguales. Si no cumple lo anterior estamos hablando de un polígono irregular.

Pentágono regular Pentágono irregular

En Irlanda del Norte se encuentra una de las formaciones basálticas más espectaculares de la Tierra, “La Calzada de los Gigantes”, que contiene unas 40 mil columnas de basalto provenientes de una erupción volcánica acontecida hace 60 millones de años. Las columnas de basalto tienen forma de polígonos regulares de 6, 7 y 8 lados. A pesar de tratarse de un fenómeno natural, la precisión de los hexágonos hace pensar en que han sido colocados allí por una mano misteriosa.

Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/calzada_del_Gigante.

ÁREAS Y PERÍMETROSFIGURA NOMBRE PERÍMETRO ÁREA

Cuadrado

P = nln es igual al número de

lados

A = l2

Rectángulo A = b . h

Triángulo

Fuente: http://tejiendoelmundo.files.wordpress.com/2009/01/calzada-de-los-gigantes-5.jpg.



52

FIGURA NOMBRE PERÍMETRO ÁREA

Rombo

P = nln es igual al número de

lados

Romboide A = b . h

Trapecio

Polígono

Círculo P = πd A = πr2



Se desea vender un terreno de forma triangular, cuyas dimensiones son las siguientes: 12 m, 10.5 m y 8 m. ¿Cuál será el precio del terreno, sabiendo que el metro cuadrado está a $2 500?

Conocimientos previos �¿Conoces las operaciones con números reales, así como la jerarquía de operaciones? �¿Conoces el teorema de Herón? �¿Conoces cómo se calcula la superficie de un terreno?

DESARROLLODatos a = b = c = 80 cms = semiperímetro. La fórmula para calcularlo es:

c = 8m b = 10.5 m

a = 12 m


53

Se calcula el perímetro del triángulo con la fórmula: P = L + L + L

P = 8 m + 12 m + 10.5 mP = 30.5 m

Calculamos el semiperímetro

Mediante la fórmula de Herón calcula el área

Sustituyendo los valores

El área total es

CIERREEl costo total del terreno es: 41.31m2 ($2 500) = $103 275

Conclusión


Conocimientos previos �¿Conoces las operaciones con números reales? �¿Sabes resolver triángulos rectángulos? �¿Conoces las razones trigonométricas? �¿Conoces la ley de cosenos?

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESe desea impermeabilizar la cubierta de un kiosco, se sabe que el radio es de 4.9 m y tiene forma de un octágono. ¿Cuántos litros de impermeabilizante deben comprarse para realizar el mantenimiento correspondiente? Considera que 1 L de impermeabilizante cubre un metro cuadrado de superficie.

IMAGEN MODELO

DESARROLLOPara conocer el ángulo central, dividimos los 360° entre el número de lados del polígono.

Trabajoen equipo

ap

4.9 mo

B

A

l

Fuente: http://worldsaquarium.com/wp-content/uploads/2012/08/Mariscos-Kiosko-2.jpg.



54

Aplicando la fórmula del ángulo central para polígonos regulares n es número de lados

Se sustituyen valores

El valor del ángulo central es 45º

El valor del ángulo central se divide en dos para resolver uno de los dos triángulos rectángulos

Ahora, es necesario obtener la longitud de cada lado del octágono:

Aplicando la razón seno, donde


Despejando a

El valor de (magnitud de un lado del polígono) es

Para saber la cantidad de impermeabilizante que se debe comprar, tenemos que conocer el área del techo. Aplicando la razón coseno, dondec.a. es el apotemahip es el diámetro

Despejando c.a.

Sustituyendo


El valor de la apotema es

Una vez obtenidos los valores de la apotema y la magnitud de un lado del polígono, es posible calcular el área del triángulo de la siguiente forma:Fórmula para área de un triángulo, dondeb el el lado del polígonoh es el apotema


El área del triángulo es


55

Trabajoen equipo

El área total del octágono es:

Se requieren utilizar 68 L de impermeabilizante, aproximadamente.

CIERREConclusión


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa señora Sara desea construir un jardín con alberca, como se muestra en el esquema. Le pidió a su hija que calcule el área que se va a ocupar y el perímetro que se va a cercar. Los datos del diseño son los siguientes:

RQ = UV = 6 m TS = 4 m

WP = MN = 4 m MV = PQ = 5 m

TU = 9 m

Conocimientos previos �¿Conoces las operaciones con números reales? �¿Sabes calcular las áreas de figuras geométricas?

DESARROLLO (complementar la tabla)

Figura Fórmula del área Sustitución Área

A = b . h A = (16)(5)

A = b . h A = 45 m2

El perímetro es:

CIERREConclusión

MN O WP

V QUR

TS



56

Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESe debe pintar una iglesia, determina la cantidad de pintura (litro) que debe comprarse si se sabe que cada litro rinde 15 m2 . El profesor guiará la actividad.

Conocimientos previos �¿Cuál es el teorema de Pitágoras? �¿Sabes calcular el área y perímetro de figuras geométricas?

DESARROLLO

CIERREConclusión

ACTIVIDAD INTEGRADORA


Con base en el plano calcular los metros cuadrados que se indican en la tabla e investigar el precio de cada material. Considera que todas las acotaciones se encuentran en metros.

Y para navegar...Polígonos

Fuentes:http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/areas/index.htm.http://www.aplicaciones.info/decimales/geoplax2.htm.http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/formula_heron/formula_de Heron.htm#historia.

Fuente: adaptado por Alejandro Morales Velázquez.

1 m



57

Lugar Material Dimensiones Área Precio unitario Importe

Recámaras Alfombra de uso rudo

Sala-comedor Piso laminado

Gimnasio Tatami

Alberca Azulejo

Jardín Pasto

EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn globo aerostático es visto al mismo tiempo sobre un valle por dos observadoras. Las dos están a 1.39 km de distancia una de la otra. Si suponemos que las observadoras y el globo están en el mismo plano vertical y el ángulo de elevación respecto a la primera es de 35° y respecto a la segunda es de 52°, ¿a qué altura se encuentra el globo?

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEl puente del Alamillo es un puente atirantado que cruza el río Guadalquivir, en Sevilla, España. Consta de un único pilar que actúa de contrapeso; para los 200 m de largo del puente utiliza 13 largos cables. El contrapeso tiene una inclinación de 48º y además cuenta con un mirador localizado a 142 m de altura.

El reto es calcular la longitud del tercer cable partiendo del contrapeso hacia el extremo del puente. Toma en cuenta que la separación de los cables es simétrica.

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJESe pretende pintar la fachada principal y lateral de cinco naves de la fábrica que se ilustra en la imagen. Quien realizará el trabajo cobra $45 por cada metro cuadrado. ¿Cuánto tendrá que pagar la empresa por el servicio prestado? Las dimensiones son: largo 87 m, altura lateral de los muros 2.5 m y altura máxima de la loza 3 m.



Fuente: http://www.le-triangle.fr/export/espanol/sg_stockageindustrial_content/stockageindustrial/picturebox/stockage_industrial-bodegas_industriales-Le-Triangle.fr:5.jpg



58

RÚBRICA

PROPÓSITO 10 8 6 4

Resuelve situaciones problema que se modelan a través de triángulos y comprende la relación entre las magnitudes de los lados y los ángulos

Los diagramas y/o dibujos son claros y ayudan al entendimiento de los procedimientos

Los diagramas y/o dibujos son claros y fáciles de entender

Los diagramas y/o dibujos son poco claros de entender

Los diagramas y/o dibujos son difíciles de entender o no son usados

Calcula el área y perímetro de polígonos regulares e irregulares

Plantea, interpreta y resuelve adecuadamente la situación problema

Plantea e interpreta adecuadamente la situación problema

Plantea adecuadamente la situación problema

No plantea adecuadamente la situación problema

Estrategia/procedimientos

Por lo general, usa una estrategia eficiente y efectiva para resolver problemas

Por lo general, usa una estrategia efectiva para resolver problemas

Algunas veces usa una estrategia efectiva para resolver problemas

No usa una estrategia efectiva para resolver problemas

Orden y organización

El trabajo es presentado de manera ordenada, clara y organizada que es fácil de leer

El trabajo es presentado de manera ordenada y organizada que es, por lo general, fácil de leer

El trabajo es presentado de manera organizada y es difícil de leer

El trabajo se ve descuidado y desorganizado

RESUMEN

En este capítulo se estudiaron los triángulos, sus elementos y clasificación de acuerdo con sus ángulos y sus lados. También se aprendió la resolución de triángulos según el tipo del que se trate, sea rectángulo u oblicuángulo o una combinación de ambos. Así como su aplicación e importancia en el entorno.


59

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Bibliografía

Biggs, John (2005), Calidad del aprendizaje universitario, Madrid, España: Narcea.

Arriola, M. et al. (2007), Desarrollo de competencias en el proceso de instrucción, México: Trillas.

Hernández, D. et al. (2010), Álgebra, México: UAEMéx.

Orozco, E. (1992), Haciendo matemática, Álgebra I, México.

Pérez, M. (2006), Matemáticas 2 para bachillerato. Geometría y Trigonometría. Guía de aprendizaje, México: Alfaomega.

Ramírez, M. et al. (2006), Sugerencias didácticas para el desarrollo de competencias en secundaria, México: Trillas.

Swokowski, E., et al. (s.f.), Trigonometría, 9a ed., México: Thompson Learning.

Ortiz, J. (2009), Matemáticas 2. Bachillerato general, México: Patria.

Bernal, R. (2008), Trigonometría bachillerato, México: McGraw-Hill.

Mesografía − http://www.matebrunca.com. − http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html. − http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm. − http://geometriadinamica.org/geogebra/teoremadethalesdemileto.htm. − http://www.thatquiz.org/es/.

TRANSFORMACIONESENTRE SISTEMA

DE MEDICIÓNDE ÁNGULOS

CÍRCULO

SECTORCIRCULAR

ELEMENTOSNOTABLES



Módulo dosCÍRCULO


M2

62

Basado en competencias

COMPETENCIAS

PROPÓSITOS DEL MÓDULO



A través del dominio del lenguaje técnico de la matemática y los métodos de trabajo propios de esta disciplina, identifica problemas, construye hipótesis de solución, recupera evidencias y aplica modelos matemáticos que le permitan explicar y resolver de manera crítica un problema de su entorno relacionado con círculos y sector circular.












63

Nos remontaremos al invento de la rueda por los Sumerios (3 500 años a. C.) quienes en sus construcciones mostraban figuras geométricas. La historia de la Trigonometría se inicia con las primeras matemáticas conocidas en Egipto y Babilonia; más tarde los babilonios adaptaron la rueda a sus carros con fines

bélicos y con su uso descubrieron la relación que existe entre su circunferencia y su diámetro con un valor de “tres”. Al conocer que el año tiene aproximadamente 360 días dividieron la circunferencia entre 360 partes iguales y obtuvieron el grado en el sistema sexagesimal.

Por su parte, los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Los griegos también iniciaron el estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos (arcos) de un círculo y las cuerdas correspondientes.

En este segundo módulo se analizan los elementos notables del círculo y circunferencia, las transformaciones de sistemas de medición de ángulos, definición de sector circular y las fórmulas para obtener la longitud de arco, así como el área y perímetro de un sector circular.

Todas las situaciones de aprendizaje de este módulo han sido enfocadas a temas relacionados con su entorno, a fin de que el alumno aplique los conocimientos adquiridos en el aula.

ELEMENTOS NOTABLES DEL CÍRCULO Y DE LA CIRCUNFERENCIA

Definición de circunferencia: es el lugar geométrico del conjunto de puntos en un plano, tales que su distancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante.

Identificando r como el radio de la circunferencia y C, el centro de ésta.

r y C son los elementos fundamentalespara trazar su gráfica.

Elementos fundamentales de la circunferencia

C Centro de la circunferencia

︱CP︱ Radio: segmento de recta que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia

︱DD'︱ Diámetro: segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro

︱MM'︱ Cuerda: segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia

S Secante: es una recta que corta en dos puntos a la circunferencia

T Tangente: es una recta que toca en un solo punto a la circunferencia, perpendicular al radio

INTRODUCCIÓN

C

P

r

TM'

P

D'M

D C

S


M2

64


Círculo Es una figura plana (región) delimitada por una circunferencia

Arco Es la distancia de la circunferencia comprendida entre dos radios

Sector circular

Es la porción o región de un círculo comprendida entre dos radios y el arco que subtiende

AREA DEL CÍRCULO A = πr2

PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA P = 2πr

Sistemas de medición de ángulos

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos son: �Radián (usado oficialmente en el sistema internacional de unidades) �Grado centesimal �Grado sexagesimal

Equivalencias: 1° = 60´1´ = 60´´

1° = 0.01745 radianes1 radián = 57.295°

Complementa la tabla de equivalencias

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

π/6 π 2π

Círculo

Círcunferencia

Longitudde arco

Circunferencia

Longitudde arco

r

r

Circunferencia


65

Trabajoen equipo

APERTURATrabajo en equipo, actividad a realizarse en la cafetería

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELos alumnos traerán por equipo un postre o comida en forma de círculo (diferentes tamaños).

Conocimientos previosConcepto de: circunferencia, radio, centro, sector circular, área, perímetro, porcentaje.

DESARROLLOEscribirán con base en los cálculos que realicen:

Diámetro cm Radio cm

Perímetro cm

Área cm2

Corten una rebanada en forma de sector circular y obtengan los siguientes datos: Radio cm

Ángulo grados

Ángulo rad

Longitud del arco cm

Área del sector circular cm2

¿Cuántas rebanadas exactas como la que cortaron caben en todo el círculo original?

Si dividen el círculo original en 8 partes iguales obtengan:Área de sector circular de cada parte:

Ángulo de sector circular de cada parte: Longitud de arco de sector circular de cada parte

CIERREConclusión

r

Longitud de arco

Fuente: http://genesconectados.com/wp-content/uploads/2013/10/Pizza.jpg.


M2

66


Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn limpiador de parabrisas de un automóvil mide 65 cm de largo y el hule 48 cm, si al moverse gira a un ángulo de 115º, calcular el área que limpia.

Fuente: http://www.planetabuggy.com.br/extintos/rio/parabrisas.jpg.

Conocimientos previos �Cálculo del área de un sector circular �Transformar la medida de un ángulo en sistema sexagesimal a sistema cíclico.

DESARROLLOPara calcular el área que limpia el hule, primero se calculará el área del limpiador completo y se restará el área que no limpia.

Cálculo de áreas

Cálculo del área del sector circular con radio de 65 cm

Simplificando A65 =

Obteniendo la diferencia de la longitud del limpiador menos la longitud del hule (área que no limpia) 65 - 48 = 17 cm

Cálculo del área del sector circular de radio de 17 cm A17 =

Obtención del área que limpia el hule

Sustitución

El área que limpia el hule es de 0.39606 m2

CIERREConclusión

65 cm


67

Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna rueda tiene 58 cm de diámetro, ¿qué distancia recorre en metros la rueda de la bicicleta cuando ésta completa 15 revoluciones o vueltas?

Conocimientos previos �Cálculo de la longitud de un arco �Transformación de un ángulo en sistema sexagesimal a sistema cíclico

DESARROLLO

Calculando las 15 vueltas en radianes

Obteniendo el radio

Obteniendo la longitud

Sustituyendo y simplificando

Cuando la rueda ha completado la 15ava vuelta su recorrido es de

CIERREConclusión


El origen de la puntuación del tenis viene de la Edad Media, cuando la observación de los astros era común y por tanto el uso de un instrumento formado por la sexta parte de un círculo que sirve para medir ángulos. Por esto en el tenis los puntos cuentan de 15 en 15 (15-30-45-60), de tal modo que cada juego suma 60 puntos. Cada juego tiene 6 sets de 4 juegos, cada uno vale 15 “grados” y se proclama vencedor aquel que primero logra completar el círculo de 360 grados de la esfera celeste de los astros.

Fuente: http://www.amistad2003.com/sabias.htm.


M2

68



PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEDel ejemplo anterior, si la bicicleta recorre 210 m, ¿cuántas revoluciones o vueltas ha dado la rueda?

Conocimientos previos �Cálculo de la longitud de un arco �Transformación de un ángulo en sistema sexagesimal a sistema cíclico

Se sabe que la longitud y el radio son: l = 210 m, r = 29 cm

DESARROLLO

De la longitud de arco despejando el ángulo


Transformación del ángulo del sistema cíclico a sistema sexagesimalAplicando regla de tres:1 revolución: 360 grados :: θ : 41489.59 grados

Cuando recorre 210 m la rueda ha dado 115.25 revoluciones o vueltas

CIERRE Conclusión


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEConsiderando el costo de construcción de barda (mano de obra, primer nivel) a $500.00 por metro lineal, $100 más el segundo nivel, $200 más el tercer nivel y el remate 50 pesos más. ¿Cuánto se pagará por la construcción de la barda perimetral de un terreno con forma de sector circular, si el radio es de 23 m y el ángulo central mide 135º? Conocimientos previos

�Concepto de perímetro �Cálculo de la longitud de un arco �Transformación de un ángulo en sistema sexagesimal a sistema cíclico

El modelo gráfico que representa la situación problema es: O = 135º-

Fuente: http://www.arteguias.com/tierradepinares.htm


69

DESARROLLO

Obteniendo la longitud de arco

Transformación del ángulo del sistema cíclico a sistema sexagesimal


Obteniendo el perímetro P = r + r + l

Obteniendo el costo de la barda (primer nivel)

Obteniendo el costo de la barda (segundo nivel)

Obteniendo el costo de la barda (tercer nivel)

Obteniendo el costo de la barda (remate)

CIERREConclusión


APERTURA Trabajo individual

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn limpiador de parabrisas de un automóvil mide 60 cm de largo y el hule 45 cm, si al moverse gira a un ángulo de 160º, calcular el área que limpia.

Fuente: adaptada de https://www.google.com.mx/search?q=parabrisas&es_sm, http://www.planetabuggy.com.br/extintos/rio/parabrisas.jpg.

45 cm

60 cm


M2

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Resuelve en tu cuaderno las siguientes situaciones de oportunidad de aprendizaje.

1. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna rueda de bicicleta tiene 48 cm de diámetro, ¿qué distancia recorre en metros la rueda cuando ésta completa 1, 250 revoluciones o vueltas?

Del ejemplo anterior, si la bicicleta recorre 210 m, ¿cuántas revoluciones o vueltas ha dado la rueda?

2. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un campo de futbol se riega el pasto con un aspersor que gira las 8 décimas partes de la circunferencia. Si el agua que riega es uniforme con un alcance de 12 m, ¿cuál es el área que se riega y qué perímetro se tiene del área regada (distancia alrededor del sector circular)?

3. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEConsiderando el costo de construcción de barda (mano de obra, primer nivel) a $500.00, por metro lineal, $100 más el segundo nivel, $200 más el tercer nivel y el remate 50 pesos más. ¿Cuánto se pagará por la construcción de la barda perimetral de un terreno con forma de sector circular, si el radio es de 20 m y el ángulo central mide 145º?

RESUMEN

Con las actividades que realizó el alumno en este módulo aprendió los conceptos geométricos básicos, como: punto, recta, plano, longitud de arco, ángulo central, ángulo inscrito, recta tangente, recta secante y sector circular. Así como los sistemas de medición de ángulos sexagesimal y cíclico.

Al final del módulo se presenta una autoevaluación; con el fin de comprobar si los propósitos establecidos se cumplieron. Es importante que el profesor los verifique.


Fuente: http://www.arteguias.com/tierradepinares.htm


71

RÚBRICA

PROPÓSITO 10 8 6 4

Resuelve situaciones problema que involucran el perímetro y el área de un sector circular

Los diagramas y/o dibujos son claros y ayudan al entendimiento de los procedimientos

Los diagramas y/o dibujos son claros y fáciles de entender

Los diagramas y/o dibujos son poco claros de entender

Los diagramas y/o dibujos son difíciles de entender o no son adecuados

Traza las rectas y puntos notables de un triángulo como la mediatriz, bisectriz, mediana, altura, circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro

Los dibujos son claros y ayudan al entendimiento de los procedimientos

Los dibujos son claros y fáciles de entender

Los dibujos son poco claros de entender

Los dibujos son difíciles de entender o no son adecuados

Identifica los tipos de ángulos de acuerdo con su medida, sentido y posición respecto a dos rectas paralelas cortadas por una recta secante

Plantea, interpreta y resuelve adecuadamente la situación problema

Plantea e interpreta adecuadamente la situación problema

Plantea adecuadamente la situación problema

No plantea adecuadamente la situación problema

Estrategia/procedimientos

Por lo general, usa una estrategia eficiente y efectiva para resolver problemas

Por lo general, usa una estrategia efectiva para resolver problemas

Algunas veces usa una estrategia efectiva para resolver problemas

No usa una estrategia efectiva para resolver problemas

Orden y organización

El trabajo es presentado de manera ordenada, clara y organizada, que es fácil de leer

El trabajo es presentado de manera ordenada y organizada que es, por lo general, fácil de leer

El trabajo es presentado de manera organizada y es difícil de leer

El trabajo se ve descuidado y desorganizado

BIBLIOGRAFÍA

Biggs, John (2005), Calidad del aprendizaje universitario, Madrid, España: Narcea.Arriola, M. et al. (2007), Desarrollo de competencias en el proceso de instrucción, México: Trillas.Hernández, D. et al. (2010), Álgebra, México: UAEMéx.Orozco, E. (1992), Haciendo matemática, Álgebra I, México.Pérez, M. (2006), Matemáticas 2 para bachillerato. Geometría y trigonometría. Guía de aprendizaje, México: Alfaomega.Ramírez, M. et al. (2006), Sugerencias didácticas para el desarrollo de competencias en secundaria, México: Trillas.Swokowski, E. et al. (s/a), Trigonometría, 9ª ed., México: Thompson Learning.



CIRCUNFERENCIAUNITARIA Y ARCOS

ASOCIADOS

FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS

COMPORTAMIENTODE LAS FUNCIONES

SENO, COSENOY TANGENTE

GRÁFICA DE LASFUNCIONES SENO Y

COSENO DE LASFORMAS

y =

asen (b x +

)y =

acos (b x +

)

Módulo tresFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS


M3

74


COMPETENCIAS




A través del dominio del lenguaje técnico de las Matemáticas y los métodos de trabajo propios de esta disciplina, identifica problemas, construye hipótesis de solución, recupera evidencias y aplica modelos matemáticos que le permitan explicar y resolver de manera crítica un problema de su entorno relacionado con funciones trigonométricas.












75

INTRODUCCIÓNHistóricamente las funciones trigonométricas, son las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Donde θ es uno de sus ángulos agudos y las relaciones de los lados sólo dependen de θ y no del tamaño del triángulo. Así, para cada valor de θ, las seis relaciones quedan determinadas en forma única, por consiguiente, son funciones de θ y se llaman funciones trigonométricas, sus nombres específicos son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Y sus símbolos son: sen, cos, tan, cot, sec y csc, respectivamente.

Para tratar las funciones trigonométricas, este módulo se inicia con los arcos en posición normal y reducidos, a fin de que el alumno maneje operaciones en radianes con su calculadora. Se plantean problemas de aplicación donde el alumno debe seguir un proceso que le auxilia paso a paso para obtener la solución.

Se tratan las funciones trigonométricas del seno y coseno con un análisis de cada uno de los parámetros y el trazo de sus gráficas; en algunos casos se da la gráfica y el alumno debe obtener los parámetros y en otros, sólo los parámetros, a fin de que obtenga la gráfica. Así como ejercicios de aplicación.

La función tangente únicamente se presenta para que los alumnos la conozcan pero no se analizan sus parámetros, por no ser del alcance de este libro.

Las gráficas de las funciones cotangente, secante y cosecante no se contemplan en este libro, pero es importante que el alumno las conozca mediante un trabajo de investigación.

CIRCUNFERENCIA UNITARIA Y ARCO ASOCIADO

Si se tiene un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición estándar de un arco se obtiene al tomar el vértice en el origen y hacer que el lado inicial coincida con el eje x positivo. Si se rota en dirección contraria a las manecillas del reloj hasta una posición terminal, entonces decimos que se forma un arco. Comúnmente denotamos los arcos mediante letras griegas minúsculas o letras mayúsculas de nuestro alfabeto, y especificamos la dirección de la rotación por medio de un arco circular o espiral con una flecha en el extremo. Dependiendo en donde se encuentre el lado terminal, se dirá que en ese cuadrante se encuentra el arco.

La unidad de medida que se acostumbra usar para arcos es el radián. Un arco tiene una medida de un radián si al colocar su vértice en el centro de un círculo, la longitud del arco subtendido en la circunferencia es igual al radio.

Gráficamente: definición de radián.

r

r

r


M3

76


Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEPara que una clavadista tenga una entrada adecuada en el agua, al tocar sus piernas debe tener un arco en posición normal de π/6 con respecto a la horizontal. Calcula el arco reducido.

Conocimientos previos �¿Qué es un arco reducido? �¿Cuándo un arco está en posición normal?

EjemploTrazar el arco en posición normal y su reducido para 4 rad y θ=5.5 rad.

Proceso

Para 4 rad, se traza primeroen posición normal:

Para 5.5 rad:

DESARROLLOAhora, se resuelve la presentación de la situación de aprendizaje.Dibuja un esquema que represente la situación de aprendizaje.



77

¿Qué arco forman las piernas de la clavadista con respecto a la horizontal? π/6

¿En qué cuadrante se encuentra el arco en posición normal?

¿Cómo es el arco en posición normal respecto al arco reducido en el primer cuadrante? Son iguales

Por lo que el arco reducido es

CIERREConclusión


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn un entrenamiento de karate, el profesor le indica al alumno que el arco en posición normal de su pierna, respecto a la horizontal, para que dé en el blanco debe ser de . Calcular el arco reducido.

Conocimientos previos �¿Qué es un arco reducido? �¿Cuándo un arco está en posición normal?

DESARROLLODibuja un esquema que represente la situación de aprendizaje.

¿En qué cuadrante se encuentra el arco en posición normal? Cuadrante dos

¿Cómo se calcula el arco reducido en el cuadrante dos?

El arco reducido es de

CIERREConclusión



M3

78


Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELos puntos en los lados terminales de ángulos desempeñan un papel importante en el diseño de los brazos para un robot. Supón que un autómata tiene un brazo recto de 18 pulg de longitud que puede girar alrededor del origen en un plano de coordenadas.

a. Si la mano del robot está en (18, 0) y a continuación gira un arco en posición normal de , ¿cuál es el nuevo lugar de la mano y cuál es el arco reducido?

b. Si la mano se encuentra inicialmente en (12 , 12). ¿Cuántos radianes, aproximadamente debe girar el brazo, cuánto debe hacerse variar su longitud para mover la mano a (-16 , 10), y cuál es el arco reducido?

Conocimientos previos �¿Sabes trazar arcos en posición normal y reducidos? �¿Sabes calcular los lados de un triángulo rectángulo?

DESARROLLOProceso de solución del inciso a)Si la posición inicial es (18 , 0) y gira un arco de ; realiza un esquema con los datos:

Al girar un arco de , la hipotenusa es de 18 pulg ¿Qué función trigonométrica relaciona los datos del problema?

Despejando el cateto adyacente (CA)



El valor de 9 qué representa La abscisa x=9

La ordenada se obtiene con el teorema de Pitágoras

x=9, r=18r2=x2+y2

Sustituyendo datos

(18 , 0)



79

La nueva coordenada es 9, 15.58

¿Cuál es el arco reducido? Es el mismo que el arco en posición normal, por estar en el primer cuadrante

Proceso de solución del inciso b)

¿Qué arco nos indica la posición (12 , 12)? El arco es

¿Qué función trigonométrica relaciona los datos de la nueva posición?

Cuando la mano se mueve a la nueva posición (-16 , 10) forma un triángulo, siendo la abscisa -16 y la ordenada 10, y sustituyendo se tiene

El valor del ángulo reducido en el segundo cuadrante de θ es

Transformando a radianes se tiene

¿Cuál es el arco reducido?

¿Cuál es el arco que gira el brazo del robot, de la posición (12 , 12) a la posición (-16 , 10)?

CIERREConclusión

COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE

Las funciones trigonométricas se pueden describir en términos de puntos en un círculo y referirnos entonces a ellas como funciones circulares.

Sea U un círculo unitario, esto es, un círculo de radio 1 con centro en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Entonces U es la gráfica de la ecuación x2 + y2 = 1, si θ es cualquier ángulo, colocamos θ en posición estándar y hacemos que sea el punto donde el lado terminal intersecta a U.


M3

80


Trabajoen equipo

El enfoque del círculo unitario puede usarse para investigar la variación del seno y el coseno a medida que cambia el valor de θ.

Considerando variaciones de θ en radianes:

θ 0 π 2π

Senθ 0 1 0 -1 0

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa siguiente gráfica corresponde a una nota musical, que se representa por la función seno. Calcula lo siguiente: y=a sen(x)

00 .5 11 .5 22 .5 33 .5 44 .5 55 56 6.50

0.5

1

1.5

-1.5

-1

-0.5

π2 π

a. Amplitudb. Periodoc. Puntos máximos y mínimosd. Dominio y rango

Conocimientos previos � ¿Qué es amplitud? � ¿Qué entiendes por periodo? � ¿Sabes qué es el dominio y rango de una función?

DESARROLLOLa expresión algebraica de la función seno es de la forma:

y=a sen(bx), donde

a es la amplitud, bx es el argumento y b es el número real.

Por lo tanto, si y=1 sen(x)La amplitud es: a= ±1, que corresponde al coeficiente de la función.Para encontrar el periodo, el argumento se iguala con cero [0] y con [2π].

El periodo inicia en: x=0

y termina en: x=2π

El intervalo del periodo es


81

Trabajoen equipo

El punto máximo se localiza en la parte más alta de nuestra gráfica, se indica con la coordenada (x, y), donde y es la altura máxima verticalmente (amplitud)

El punto mínimo se localiza en la parte más baja de la gráfica, se indica con la coordenada (x, y), donde y es la altura mínima verticalmente hacia abajo del eje x (amplitud)

Las coordenadas del punto máximo y mínimo son

La amplitud corresponde con la distancia máxima que alcanza sobre el eje y En este caso es de

Los puntos donde la curva corta al eje x son las intersecciones, es decir, en:

La coordenada, para x = 0, es:

La coordenada, para x = π, es:

La coordenada, para x = 2π, es:

El dominio representa la extensión de la curva horizontalmente, es decir, los valores que corresponden a x:El rango representa la extensión de la curva verticalmente, es decir, los valores que corresponden a y:

CIERREConclusión


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEn una comunicación de teléfonos celulares las ondas están representadas de acuerdo con la siguiente gráfica.

a. Obtén la ecuación que represente la gráfica, considerando que la longitud de la onda es de 2π y su amplitud, 2

b. Calcula el periodo c. ¿Cuáles son los puntos

máximos y mínimos?d. ¿En qué puntos la gráfica corta

al eje x?

Conocimientos previos �¿Qué es la amplitud? �¿Qué es el periodo? �¿Conoces las intersecciones con los ejes de una función?

Pág. 106

A

0

-A

LONGITUD DE ONDA

AMPLITUDDE ONDA

[email protected]


M3

82


DESARROLLO

De la gráfica se observa que la onda inicia hacia abajo y está representada por -2 (amplitud) a=-2, para la mitad de la onda

La gráfica corresponde a la función seno, debido a que inicia sobre el eje x, a partir de cero y= -2sen x

El periodo coincide con la longitud de onda, que es de x =2π

El punto máximo se encuentra en

El punto mínimo se encuentra en

Las intersecciones con los eje x se localizan con los valores x=0, x=π, ∧ x=2π

CIERRE

ConclusiónEn esta caso la gráfica se inicia trazando en la parte negativa, por esta razón el punto máximo se encuentra en y el punto mínimo, en . Cuando se inicia trazando en la parte positiva, que es lo más común, el punto máximo se obtiene en y el punto mínimo en .


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUna onda de teléfono celular está representada por la siguiente figura. A partir de ella, obtén la siguiente información:

a. ¿Cuál es el periodo?b. ¿Cuáles son sus puntos

máximos y mínimos?c. ¿Cuáles son las

intersecciones con el eje x?d. ¿Cuál es su amplitud?e. ¿Cuál es su dominio?f. ¿Cuál es su rango?

1.5

1

0.5

0.50 .5 11 .5

π /2

3π /2

π2π

22 .5 33 .5 44 .5 55 .5 60

0

-0.5

-1

-1.5

1

.5

.5

0.5 11 .53π /2

π 2π

22 .5 33 .5 44 .5 55 .5 60

0

.5

.5

-1


83

Conocimientos previos �¿Qué es la amplitud? �¿Qué es el periodo? �¿Sabes utilizar la calculadora?

DESARROLLO

El periodo corresponde con la longitud de onda Inicia en x=0

y termina en x= 2π

Los puntos máximos se localizan en

Los puntos donde corta la curva al eje x son La amplitud corresponde con la distancia máxima que alcanza sobre el eje yEl dominio representa la extensión de la curva horizontalmente

El rango es la extensión de la curva verticalmente

CIERREConclusión


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa ecuación que representa un movimiento armónico simple es:

Calcula lo siguiente:a. El periodob. Punto máximo y punto mínimoc. Trazar la gráfica

Conocimientos previos �¿Sabes utilizar un software graficador?

DESARROLLO

El argumento de la función es Y se iguala con cero

Despejando la variable x

Ahora , se iguala con [2π]

Despejando la variable x x= (2π)(2)x=4π

Por lo tanto, el periodo es


M3

84


Trabajoen equipo

El punto máximo se encuentra igualando con

Despejando x x=π punto máximo

El punto mínimo se encuentra igualando con

Despejando x punto mínimo

La gráfica se puede realizar mediante tabulación o con el uso de Geogebra o Winplot.En este caso se utiliza Geogebra, tecleando en la barra de entrada la ecuación indicada:

Y dando enter se traza la gráfica automáticamente.

Mediante la herramienta de texto de Geogebra, se introducen los datos obtenidos de punto máximo y mínimo.

CIERREConclusión


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEPara un intervalo de 45 minutos, los tsunamis cerca de Hawai, provocados por el sismo de 1960 en Chile, se pudieron representar por la ecuación:

, donde y está en pies, y t en minutos.

a. Calcula la amplitud y el periodo de las olas



85

Trabajoen equipo

b. Si la distancia de una cresta de onda a la siguiente era de 21 km. ¿Cuál era la velocidad de la onda?

Conocimientos previos � ¿Qué es la amplitud y el periodo? � ¿Sabes qué es velocidad?

DESARROLLO

La amplitud de la onda es de ±8

El periodo se obtiene igualando con cero el argumento

Despejando t

Ahora, el argumento se iguala con 2π

Despejando t

Por lo tanto, el periodo es de t=12 min

Transformando el tiempo a horas, ya que la velocidad es de 21 km/hPara calcular la velocidad, si

Sustituyendo datos

Por lo que la velocidad es CIERREConclusión


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa onda que produce una nota musical está representada por la ecuación:

Calcular lo siguiente:a. El periodob. Las intersecciones con los ejesc. Trazar la gráfica

Conocimientos previos �¿Sabes usar un software graficador?

DESARROLLO

Periodo, el argumento primero se iguala con cero


M3

86



Posteriormente, el argumento se iguala con 2π


El periodo es

Intersecciones con el eje x, el argumento se iguala primero con


Para trazar la gráfica utilizamos Geogebra, donde tecleamos en la barra de entrada la función:

CIERREConclusión

Gráfica de las funciones seno y coseno, de las formas f(x)= a sen (bx + c)

La amplitud de f(x) o de su gráfica se define como la mayor ordenada de puntos en la gráfica. Si a > 0, la mayor ordenada ocurre si sen (bx + c) =1, mientras que si a < 0, debemos tomar sen (bx+c) = -1. En ambos casos la amplitud es ︱a︱

Teorema de los periodosSi f(x)=sen bx , donde b ≠ 0, entonces el periodo de f(x) es


87

Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJELa onda de comunicación en telégrafos está representada por la siguiente ecuación:

Representa la gráfica para una frecuencia de dos ciclos y obtén lo siguiente:a. El periodob. Intersecciones con el eje xc. Dominio y rango

Conocimientos previos �¿Conoces las intersecciones con los ejes? �¿Sabes qué es dominio y rango?

DESARROLLO

La amplitud de la onda es de

El periodo. El argumento se iguala con cero y con

Despejando a x

El periodo es

Intersecciones con el eje x, se iguala con π

Despejando x

Dominio

Rango

La gráfica que representa dos ciclos empieza en y termina en .

CIERREConclusión


M3

88



PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEUn movimiento de radiotransmisiones satelital está representado por la siguiente ecuación.

Calculara. El periodob. Puntos máximos y mínimosc. Dominio y rangod. Traza la gráfica para una frecuencia

de dos ciclos

Conocimientos previos �¿Sabes usar un software graficador?

DESARROLLO

Periodo, igualando con cero y 2π, se tienen dos expresiones

Despejando de ambas expresiones a x, el periodo es

El dominio tiene dos ciclos, entonces

La gráfica nos representa dos ciclos.

El dominio inicia en y como son dos ciclos, termina en . El rango es .

CIERREConclusión

0.5

-0.5

1

-1

0.5-0.5

11π/98π/95π/92π/9π/9

11 .5 22 .5 33 .5 40

0

Fuente: http://3.bp.blogspot.com/_utTw9qxuWcs/TL2TA7AzG1I/AAAAAAAAAH0/lPhNhq33sAc/s1600/tooway-schema%5B1%5D.jpg


89

Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEDe acuerdo con la siguiente gráfica, expresar la ecuación de la onda senoidal, en la forma y= a sen (bx + c).

Conocimientos previos �¿Sabes qué es amplitud y periodo? �¿Sabes utilizar la calculadora? �¿Sabes calcular las diferentes razones trigonométricas?

DESARROLLOLas ordenadas máxima y mínima de los puntos de la gráfica son: - 5 y 5; por consiguiente, la amplitud es 5, que representa el valor de a.

Como una onda ocupa el intervalo y la otra , el

periodo es 4, que equivale a la distancia del intervalo de la onda al momento de dar un ciclo.

De acuerdo con el teorema de amplitudes, periodos y desplazamientos de fase, para b>0.El periodo es:

El desplazamiento de fase es:

Como c debe ser positivo, el desplazamiento de fase debe ser negativo; es decir, la gráfica se obtiene desplazando la gráfica de hacia la izquierda.

Como se desea que c sea lo más pequeña posible, se escoge un desplazamiento de fase igual a α . Por lo tanto:

Entonces, la función es: ¿Puede haber otras funciones?

CIERREConclusión


M3

90



PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEl proceso rítmico de la respiración consiste en periodos alternos de aspiración y espiración. Normalmente un ciclo completo dura cinco segundos. Si F(t) representa la corriente o flujo de aire en el momento t (en litros por segundo) y si el flujo máximo de aire es 0.6 L/s, establecer una fórmula que tenga la forma:

f(t) = a sen (bt)y que se ajuste a esta información.

Conocimientos previos �Amplitud, periodo �Uso de la calculadora en radianes �Cálculo de las diferentes razones trigonométricas

DESARROLLOSi f(t) = a sen (bt), para determinada b>0, entonces el periodo de f es: en esta aplicación el periodo es 5 segundos y por consiguiente: Puesto que el flujo máximo corresponde a la amplitud a de f, sea a = 0.6 y con ello llegamos a la fórmula:

CIERREConclusión

FUNCIÓN TANGENTEAl igual que en el caso de las funciones seno y coseno, utilizamos el software Geogebra para trazar la gráfica de la función tangente.

Llamaremos función tangente a aquella que asocia a cada ángulo el valor de la tangente correspondiente. Su expresión analítica es la siguiente: y = tan x; y su gráfica:


91

Sus características son:

Dominio y submúltiplos

Rango

Periodicidad Periódica con periodo T = p (180º)

Puntos de corte con eje y En y = 0

Puntos de corte con eje x En x = kp (siendo k un número entero)

Signo de la función Positiva en el intervalo (0º , 90º) (con periodicidad p) Negativa en el intervalo (90º , 180º) (con periodicidad p)

Máximos relativos No presenta

Mínimos relativos No presenta



1. Dibuja la gráfica de la función seno y coseno para el intervalo entre:

2. Grafica las ecuaciones siguientes e indica dominio, rango, puntos máximos, puntos mínimos, periodo y amplitud:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

RESUMEN

En este módulo se utilizó Geogebra para trazar las gráficas de las funciones trigonométricas del seno, el coseno y la tangente. El uso es muy sencillo por lo que no se menciona el procedimiento y se deja al alumno y al profesor la decisión de utilizarlo o realizarlo mediante tabulaciones.

Se presentan ejercicios de arcos en posición normal y reducidos, así como los principales parámetros que intervienen en la identificación de las gráficas de las funciones trigonométricas.


M3

92



Resuelve en tu cuaderno las siguientes situaciones de oportunidad de aprendizaje:

1. En un entrenamiento de karate, el profesor le indica al alumno que el arco en posición normal de su pierna con respecto a la horizontal para que dé en el blanco, debe ser de

. Calcular el arco reducido.

2. La onda que produce una nota musical está representada por la ecuación:

Calcular lo siguiente:a. El periodob. Las intersecciones con los ejesc. Trazar la gráfica

3. La onda de comunicación en telégrafos está representada por la siguiente ecuación:

Representa la gráfica para una frecuencia de dos ciclos y obtén lo siguiente:a. El periodob. Intersecciones con el eje xc. Dominio y rango


93

RÚBRICA

Valoración 5 3 1 Total

Presentación y formato

Desarrolla el contenido del trabajo con limpieza, utiliza colores contrastantes para los gráficos y letra legible (a mano), además de entregarlo en tiempo y forma

Lo entrega en tiempo, utiliza colores contrastantes para los gráficos, pero está falto de orden y limpieza

Lo entrega en tiempo, pero el desarrollo del trabajo carece de limpieza, usa un mismo color para los gráficos y es poco legible

Planteamiento del problema

Identifica todas las variables involucradas en la situación problema y las representa gráficamente

Identifica todas las variables involucradas en la situación problema, pero no las traduce gráficamente

No identifica las variables involucradas en la situación problema ni las traduce gráficamente

Proceso de solución

Utiliza una secuencia lógica y ordenada de pasos para llegar a la solución del problema

Utiliza parcialmente una secuencia ordenada para llegar a la solución del problema

Carece de fundamentos algebraicos para llegar a la solución del problema

Obtención del resultado correcto

Obtiene todos los resultados correctos

Se aproxima a los resultados

No llega a ningún resultado correcto

Conclusiones, interpretación del resultado y reflexión personal

Interpreta adecuadamente los resultados e incluye su reflexión personal

Interpreta adecuadamente los resultados pero omite su reflexión personal

Interpreta incorrectamente los resultados y omite su reflexión personal

CALIFICACIÓN TOTAL POR EQUIPO


Mesografía

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_trigonometricas_vcc/tang_construccion.htm.

ht tp://www.windows2universe.org/physical_science/magnetism/em_radio_waves.html&lang=sp&portal=milagro.

Módulo cuatroECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS



96

COMPETENCIAS




A través del dominio del lenguaje técnico de las Matemáticas y los métodos de trabajo propios de esta disciplina, identifica problemas, construye hipótesis de solución, recupera evidencias y aplica modelos matemáticos que le permitan explicar y resolver de manera crítica un problema de su entorno relacionado con ecuaciones trigonométricas.












97

En Matemáticas, las identidades trigonométricas son verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, se cumple para cualquier valor del ángulo).

Relación pitagórica

Identidad de la razón

Estas identidades son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas, para lo cual se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, simplificándose entonces la integral resultante con base en identidades trigonométricas.

Por otro lado, de cos2α, sen2α, tales que sen2α = (sen α)2 o bien cos2α = (cos α)2.Se pueden extrapolar más identidades. Sin embargo, estas expresiones de conversión pueden tener el signo correcto (+ o −). Por ejemplo, si sen θ = ½ , la conversión propuesta es

, aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Esta es la réplica del teorema de Pitágoras llamada identidad trigonométrica fundamental, una de las ocho que al efectuar operaciones sencillas permite encontrar 24 identidades más y útiles para resolver situaciones de aprendizaje.

A continuación, te presentamos las ocho identidades fundamentales que vamos a utilizar en este módulo:

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

RECÍPROCAS

COCIENTE

CUADRADAS O PITAGÓRICAS

INTRODUCCIÓN



98

Trabajoen equipo

Principalmente estas identidades se aplican para resolver integrales (cálculo integral), sobre todo en las que simplifican utilizando las identidades fundamentales antes descritas; también se aplican en la solución de ecuaciones trigonométricas y en algunos problemas como son: del sonido, la turbulencia que genera un avión o bien en la frecuencia cardiaca de las personas, así como en las ondas sonoras de los diferentes instrumentos musicales y demás; de la luz y diferentes ondas electromagnéticas que se presentan en otras situaciones científicas de nuestros tiempos, como son: ultrasonidos, ondas sísmicas, tornados, huracanes, ondas eólicas generadas por el viento, aunque en este tipo de situaciones se aplican identidades un poco más complejas.


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEVerificar la identidad trigonométrica siguiente:

Ondas sonoras

Cada instrumento musical produce una vibración característica. Las vibraciones se propagan por el aire formando ondas sonoras que al llegar al oído nos permiten identificar el instrumento aunque no lo veamos. Un diapasón genera un sonido puro, y vibra regularmente con una forma de onda redondeada. Un violín genera un sonido claro y una forma de onda dentada. La flauta genera un sonido suave y una forma de onda relativamente redondeada. El diapasón, el violín y la flauta tocan la misma nota, por lo que la distancia entre las crestas de la onda es la misma en todas las formas de onda.

Conocimientos previos �Las identidades trigonométricas fundamentales �Operaciones con números reales �Propiedades de la igualdad

DESARROLLO

Se puede verificar, desarrollando y sustituyendo en la expresión del lado izquierdo del signo igual o en la del lado derecho del signo igual, o bien desarrollando ambos hasta lograr la igualdad de los miembros de la identidad

senAtanA ≡ secA-cosA

En este caso desarrollaremos primero el lado izquierdo, sustituyendo las identidades que

intervengan a senos y cosenos; posteriormente se realizan las operaciones algebraicas correspondientes

Empecemos utilizando la identidad: y sustituyendo en el lado izquierdo de la expresión 1 :


Se realiza la multiplicación

1

1

Fuente: www.shutterstock.com


99

Utilizando la identidad: sen2A ≡ 1- cos2A y sustituyendoDividiendo cada término del numerador con el denominador

Utilizando la identidad ,

De lo anterior se concluye: la identidad se verificó desarrollando el miembro del lado izquierdo, llegando a la misma expresión del lado derecho.

Ahora:Desarrollando el miembro del lado derecho:


Realizando operaciones del lado derecho

Utilizando: 1 - cos2A ≡ sen2A y sustituyendo

Factorizando: sen2A = senA·senA y sustituyendo

Pero , entonces

Concluyendo, se verificó la identidad desarrollando el miembro del lado derecho

CIERRE ConclusiónPor lo que la identidad se verificó y comprobó de dos formas.


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Verifica la siguiente identidad:

Terremotos y ondas de choqueLos terremotos se producen cuando se libera de forma súbita la presión o tensión almacenada entre secciones de roca de la corteza, causando temblores sobre la superficie terrestre. El lugar en el que las capas de roca se desplazan y disponen unas




100

en relación con otras se llama foco, centro efectivo del terremoto. Justo encima del foco, un segundo lugar llamado epicentro señala el punto superficial donde la sacudida es más intensa. Las ondas de choque se propagan como ondulaciones desde el foco hasta el epicentro decreciendo en intensidad. Los tipos principales de ondas sísmicas son las ondas primarias (ondas P) y las de cizalla (ondas S). Las ondas P desplazan las partículas en la misma dirección que la onda (izquierda). Son las detectadas primero porque son más rápidas que las S (derecha), que provocan vibraciones perpendiculares a la dirección de propagación. Conocimientos previos

� ¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? � ¿Sabes cuáles son las operaciones con números reales? � ¿Cuáles son las propiedades de la igualdad?

DESARROLLO

Utilizando la identidad:

y sustituyendo en la

expresión, en el miembro izquierdo

Como las fracciones tienen el mismo denominador, entonces se suman los numeradores quedando el mismo denominador

Se comprueba la identidad

CIERRE Conclusión


Sin la aplicación y correcto uso de las ecuaciones trigonométricas sería imposible dirigir tráfico aéreo, ya que con ellas se puede determinar el rumbo y seguir la trayectoria de dos aviones que parten de una misma base.



101



Comprueba la siguiente identidad: cotB + tanB ≡ secBcscB

Las ondas de radio hay que mezclarlas con ondas portadoras para poderlas emitir. Es necesario modificar la frecuencia (ritmo de oscilación) o la amplitud (altura) mediante un proceso denominado modulación. Estos dos procesos explican la existencia de los dos tipos de estaciones, AM o FM, en la radio. Las señales son totalmente diferentes, por lo que no se pueden recibir simultáneamente.

Conocimientos previos � ¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? � ¿Sabes cuáles son las operaciones con números reales? � ¿Cuáles son las propiedades de la igualdad?

DESARROLLO

Desarrollando el lado izquierdo de la identidad y utilizando las siguientes identidades fundamentales:

cotB + tanB ≡ secBcscB

Resolviendo la suma

En el numerador

Como el número 1 se puede multiplicar tanta veces como sea necesario, entonces descomponiendo en fracción:

Utilizando las identidades:

Se verificó la identidad

CIERREConclusión



Verifica la identidad trigonométrica siguiente: cosx cotx ≡ cscx – sen x




102

Se observa la turbulencia que genera la turbina del avión y la cantidad de ondas que se presentan.

Conocimientos previos

�¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Cuáles son las operaciones con números reales? �¿Sabes cuáles son las propiedades de la igualdad?

DESARROLLOPara el desarrollo del tema, el profesor actúa como mediador aplicando la estrategia de solución de situaciones de aprendizaje, apoyándose de material didáctico a través de presentaciones en PowerPoint, rotafolio, acetatos y pintarrón

Utilizando la identidad: cosx cotx ≡ cscx – sen x

Multiplicando numerador con numerador y denominador con denominador

Queda finalmente

Utilizando la identidad:

Dividiendo cada numerador con el denominador se tienen dos fracciones

Sustituyendo:

CIERREConclusión


Fuente: http://images.npg.org.uk/800_800/9/5/mw215995.jpg

Abraham Samoilovitch Besicovitch fue un reconocido matemático judío quien decía: “La reputación de un matemático reside en el número de pruebas erróneas que ha hecho”.


103

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las ecuaciones trigonométricas se forman con la inserción de una o más funciones trigonométricas, donde la incógnita es el ángulo que se presenta en dichas funciones.

Ahora bien, para resolver una ecuación trigonométrica se utilizan los métodos parecidos a los que se usan en Álgebra, es decir, en las ecuaciones de primer grado con una variable o la fórmula general utilizada para una ecuación de segundo grado, o bien aplicando el método de sustitución, ya que no hay un método preciso para poder dar solución a dichas ecuaciones trigonométricas. Sin embargo, un método muy útil para lograr esto es usar las identidades trigonométricas.

La recomendación que hacemos los autores es transformar una ecuación trigonométrica a senos y cosenos principalmente, como lo señalaremos posteriormente.

Por último, para dar solución a una ecuación ya que se haya transformado a seno, coseno y/o también en muchas ocasiones en tangente, se procede a calcular el ángulo, paso último de la solución de una ecuación trigonométrica.

Por consiguiente, en las situaciones de aprendizaje que encontremos en los diferentes contextos donde estemos, en algún momento de nuestra vida tendremos contacto con: contextos de sonido, turbulencia que genera un avión, frecuencia cardiaca de las personas, ondas sonoras de los diferentes instrumentos musicales, la luz y diferentes ondas electromagnéticas que se presentan en variadas situaciones científicas de nuestros tiempos, como son ultrasonidos, ondas sísmicas en los tornados, huracanes, ondas eólicas generadas por el viento; ejemplos donde se presentan diferentes tipos de ondas y en las que tendremos que resolver una ecuación trigonométrica.

Es interesante saber que el matemático Suizo Leonhard Euler, en el siglo XVIII, obtuvo las funciones trigonométricas mediante la exponencial de números complejos, con lo cual demostró que las propiedades básicas de la Trigonometría son simplemente producto de la aritmética con números complejos, ya que (x, y) es un número complejo, que colocado en el plano cartesiano forma un triángulo, el cual se resuelve por teorema de Pitágoras o bien por razones trigonométricas, de las cuales se obtienen las identidades y con éstas a su vez resolvemos ecuaciones trigonométricas.

Enseguida resolveremos situaciones de aprendizaje, en las que consideramos o proporcionamos una ecuación hipotética con una fotografía que describe las diferente ondas electromagnéticas, de sonido o algún tipo de onda, ya que como lo mencionamos todo está asociado con las ondas que se presentan en la realidad que vivimos los seres humanos, sin omitir que la energía no se crea ni se destruye, sólo se transforma. En el universo y en nuestro planeta absolutamente todo es energía, porque todo se mueve en el mismo.

APERTURA Actividad individual

PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEResolver la siguiente ecuación trigonométrica, para la cual se calcularán los valores del ángulo B:

2 cosB – 1 = 0



104

Rayo y trueno proyectándose de abajo hacia arriba del árbol

La corriente eléctrica asociada a un rayo varía entre 30 000 amperes y 10 veces el mismo valor. La temperatura es cercana a 20 000 ºC, tres veces la que existe en la superficie del sol. El tiempo que dura es de 30 microsegundos aproximadamente. Alcanzan una velocidad hasta de 220 000 km/h, pero cuando se presenta el resplandor luminoso éste viaja a una velocidad mucho mayor, de 300 000 km/s (la velocidad de la luz), por lo tanto se ven en el mismo instante que sube. El trueno lo oímos después de ver el rayo porque el sonido se transmite a una velocidad mucho menor que la luz.

Conocimientos previos �¿Conoces las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Sabes qué es lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Conoces las propiedades de la igualdad?

DESARROLLO

La ecuación a resolver es 2cosB – 1 = 0

Se despeja cos B

Se divide:

Despejando el ángulo B ∴

El valor de B resuelve la ecuación

CIERREConclusión

El valor de los ángulos es: B = 60º



Calcula el valor del ángulo θ de la ecuación: 2senθ = 1



105

Calentamiento solarLas placas solares, también llamadas colectores, utilizan la energía del Sol para calentar agua, que servirá para la calefacción y el suministro de agua caliente de la casa.


DESARROLLO

Resolviendo

Despejando senθ

Simplificando

Despejando θ

El valor de ángulo θ es

CIERREConclusión



Calcular los valores del ángulo A que satisfagan la ecuación trigonométrica: cos2 A+ 4sen A - 4 = 0

Parque eólicoLos aerogeneradores dañan menos el ambiente que otras fuentes, aunque requieren una velocidad media del viento de al menos 21 km/h.

Conocimientos previos �¿Cuáles son las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Qué es lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Cuáles son las propiedades de la igualdad? �¿Conoces la fórmula general o métodos para resolver una ecuación de segundo grado?





106

DESARROLLO

Ecuación cuadrática mixta de la forma ax2 + bx + c = 0Para cos2A + 4senA- 4 = 0

Sustituyendo la identidad: , para tener todo en senosRealizando operaciones y simplificando, y multiplicando la expresión por -1

Entonces

Resuelve la ecuación cuadrática o de segundo grado utilizando cualquiera de los métodos conocidos

Ahora, resolviendo por fórmula general

ax2 + bx + c = 01 sen2A – 4sen4 + 3=0

Donde: a= 1, b= -4, c = 3

Comparando las fórmulas

Sustituyendo valores en la fórmula general


Sacando raíz cuadrada

Se tiene

Obteniendo los dos valores

AhorasenA = 3

A= sen-1 (3)A no existe en R

Y, por último

El valor del ángulos es: A= 90º

CIERREConclusión


107


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJEEs necesario calcular el valor del ángulo α de la ecuación:

2senα cos α = senα Géiser

Los géiseres lanzan gas y agua muy caliente al exterior, agua que se puede utilizar como fuente de energía. Dado que se presenta energía, por consiguiente hay vibraciones.

Conocimientos previos �¿Cuáles son las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Qué es lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Cuáles son las propiedades de la igualdad? �¿Conoces la fórmula general o métodos para resolver una ecuación de segundo grado?

DESARROLLO

Primero la ecuación se iguala con cero

Factorizando senα

Igualando con cero cada factor

Resolviendo cada ecuación

Ahora para

Despejando cos α

Despejando α

CIERREConclusión

El valor de los ángulos es: 0º, 80º, 360º ∧ 60º, 300º




108

Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJECalcular el valor del ángulo B de la ecuación:

3 tan2 B + 4tanB + 1 = 0

Conocimientos previos �¿Cuáles son las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Sabes qué es el lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Cuáles son las propiedades de la igualdad? �¿Conoces los métodos para resolver una ecuación de segundo grado?

DESARROLLO

Ecuación cuadrática mixta de la forma ax2 + bx + c = 0

Ahora, resolviendo por fórmula general3 tan2 B + 4tanB + 1 = 0

Donde: a=3, b=4, c= -1 ∧ x=tanB

Comparando las fórmulas


Simplificando

Obteniendo el valor de la raíz cuadrada

Simplificando se obtienen los dos valores de la tangente del ángulo B

El valor deL primer ángulo es

El valor del segundo ángulo estanB= -1

B= tan-1(-1)B2= -45º

CIERREConclusión


109

Fuene: http://media22.elsiglodetorreon.com.mx/i/2009/09/153533.jpeg

Trabajoen equipo


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJECalcula en la siguiente ecuación trigonométrica, los valores del ángulo β:

Tipos de movimiento ondulatorioLas ondas son una perturbación periódica del medio en que se mueven. En las ondas longitudinales, el medio se desplaza en la dirección de propagación. Por ejemplo, el aire se comprime y expande en la misma dirección en que avanza el sonido. En las ondas transversales, el medio se desplaza en ángulo recto a la dirección de propagación. Los terremotos generan ondas de los dos tipos, que avanzan a distintas velocidades y con distintas trayectorias. Estas diferencias permiten determinar el epicentro del sismo. Las partículas atómicas y la luz pueden describirse mediante ondas de probabilidad, que en ciertos aspectos se comportan como las ondas de un estanque.

Fotografía del derrumbe del edificio Nuevo León en el sismo de 1985 en Tlatelolco, donde el Ing. Jesús Ocampo Contreras apoyó en la remoción de los escombros y rescate de personas atrapadas en dicho edificio.

Conocimientos previos �¿Cuáles son las identidades trigonométricas fundamentales? �¿Sabes qué es el lenguaje común y lenguaje algebraico? �¿Cuáles son las propiedades de la igualdad? �¿Conoces la fórmula general o algún método para resolver una ecuación de segundo grado?

DESARROLLO

Ecuación cuadrática mixta de la forma ax2 + bx + c = 0

Para

Ahora, resolviendo por fórmula general

ax2 + bx + c = 0

Donde: , ,





110

Trabajoen equipo


Obteniendo el valor de la raíz cuadrada

Simplificando

Aplicando el signo (+) y (-), se tienen los dos valores del cosβ

El valor del primer ángulo es

El valor del segundo ángulo es

CIERREConclusión

El valor de los ángulos es:β1= 70.5287º = 70º 31' 44"β2= 53.1301º = 53º 7' 48"

El profesor pasará lista conforme el alumno desarrolla la situación de aprendizaje y evaluará: conocimientos, actitudes y valores.


PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJECalcula los valores del ángulo θ que satisfagan la ecuación trigonométrica:

2cosθ = secθ

RadarLas pantallas de radar indican la presencia y el movimiento de objetos fuera del alcance de la vista. Esto es muy útil para los oficiales de derrota. El equipo electrónico registra el comportamiento de las ondas de radio emitidas por el navío. Las ondas que no topan con nada se dispersan, mientras que las ondas reflejadas informan de la posición de los objetos en el entorno.



111


DESARROLLO

Sustituyendo la identidad en la ecuación

2cosθ = secθ


Despejando cos2θ

Sacando raíz cuadrada en ambos miembros, se obtienen los dos valores del cosθ

Ahora, se calcula el valor de los dos ángulos, primero para el signo positivo

Por último, para el signo negativo

CIERREConclusión

El valor de los ángulos es: θ1= 45º

θ2= 135º, 315º


Del inciso 1 al 7 utiliza las identidades fundamentales, transforma a una sola identidad así como del inciso 8 al 14, verifica las identidades:

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7. 14.



112

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:15. 2sen2A – senA – 1= 016. 2cos2A – cosA – 1 =017. tan2A + 2tanA –1 = 018. cot2a – 2cotA – 3 = 019. 2tan2A + tanA – 3 = 0

RESUMEN

En este módulo se presentaron problemas teóricos para la verificación de las identidades y posteriormente en la resolución de las ecuaciones trigonométricas, a fin de encaminar al alumno paso a paso para que comprendiera el proceso de verificación y solución de un enunciado en una identidad o de una ecuación, así como también los métodos que existen para su solución.

Al final del módulo se presenta una autoevaluación para comprobar si los propósitos establecidos se cumplieron.

Es importante que el profesor verifique con las autoevaluaciones los logros obtenidos por los alumnos, así como la rúbrica para evaluar los aprendizajes del módulo e integrar la evaluación total.


Resuelve en tu cuaderno las siguientes situaciones de oportunidad de aprendizaje:

1. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Verificar la identidad trigonométrica siguiente:

2. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJE Es necesario calcular los valores del ángulo A que satisfagan la ecuación trigonométrica:

cos2A + 4senA - A = 0

3. PRESENTACIÓN DE LA SITUACIÓN DE APRENDIZAJECalcula el valor o los valores del ángulo β en la siguiente ecuación trigonométrica:

a)


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RÚBRICA

Valoración 5 3 1 Total

Presentación y formato

Desarrolla el contenido del trabajo con limpieza, utiliza colores contrastantes para los gráficos y letra legible (a mano), además de entregarlo en tiempo y forma

Lo entrega en tiempo, utiliza colores contrastantes para los gráficos, pero está falto de orden y limpieza

Lo entrega en tiempo pero el desarrollo del trabajo carece de limpieza, usa un mismo color para los gráficos y es poco legible

Planteamiento del problema

Identifica todas las variables involucradas en la situación problema y las representa gráficamente

Identifica todas las variables involucradas en la situación problema, pero no las traduce gráficamente

No identifica las variables involucradas en la situación problema ni las traduce gráficamente

Proceso de soluciónUtiliza una secuencia lógica y ordenada de pasos para llegar a la solución del problema

Utiliza parcialmente una secuencia ordenada para llegar a la solución del problema

Carece de fundamentos algebraicos para llegar a la solución del problema

Obtención del resultado correcto

Obtiene todos los resultados correctos

Se aproxima a los resultados

No llega a ningún resultado correcto

Conclusiones, interpretación del resultado y reflexión personal

Interpreta adecuadamente los resultados e incluye su reflexión personal

Interpreta adecuadamente los resultados, pero omite su reflexión personal

Interpreta incorrectamente los resultados y omite su reflexión personal

CALIFICACIÓN TOTAL POR EQUIPO


Arriola, M. et al. (2007), Desarrollo de competencias en el proceso de instrucción, México: Trillas.

Ramírez M. et al. (2007), Guía para el desarrollo de competencias docentes, México: Trillas

Castelnuovo, E. (1990), Didáctica de la Matemática moderna, México: Trillas.

Boyer, Carl (1986), Historia de las matemáticas, Madrid: Alianza Universidad.

Esteban Piñero, Mariano et al. (1998), Trigonometría, Madrid: Editorial Síntesis.Fernández Reyes, Manuel et al. (1991), Circulando por el círculo, Madrid: Editorial Síntesis.

Swokowski, E. W. (1983), Álgebra y Trigonometría analítica, Belmont (USA): Grupo Editorial Iberoamericana.

Microsoft® Encarta® 2008. © 1993-2007 Microsoft Corporation.

Álgebra y trigonometrÍadia.diauaemex.com/algebra y trigonometría cbu 2009.pdf · 2017. 9....

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