leyes financieras utilizadas en la práctica

Capítulo 2 Leyes financieras utilizadas en la práctica

Fernando J. Aguiar Maragoto Paulino Martínez Fernández

Departamento de Economía Financiera y Contabilidad

Universidade de A Coruña. Departamento de Economía Financeira e Contabilidade

Fernando J. Aguiar Maragoto y Paulino Martínez Fernández Capítulo 2. Leyes Financieras utilizadas en le práctica

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na 2

LA LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

La Ley Financiera de Capitalización Simple, utilizada en la práctica generalmente para operaciones a corto plazo (a un año o menos) es una función tal que la unidad monetaria proyectada desde a tiene un crecimiento (un rédito de capitalización) o, en su caso, una disminución (en contracapitalización) que es proporcional —es una función lineal— al tiempo de proyección y al parámetro que conoceremos como tipo de interés, y está expresado en tanto por uno. Responde, por tanto, a la forma:

; 1

Que el crecimiento de la unidad monetaria sea proporcional al número de periodos quiere decir que los intereses devengados, periodo a periodo, no se incorporan al capital para devengar nuevos intereses, lo que sí sucede, como veremos en su momento, en el caso de la capitalización compuesta. Más aún, tales intereses están referidos al instante de tiempo , es decir, como capital que son tienen un vencimiento, que es ; su disponibilidad en un momento anterior a sería a costa de disminuir su cuantía a través del oportuno procedimiento de contracapitalización.

Ya hemos tenido ocasión en el capítulo anterior (Ejemplo 1.5) de comprobar que una ley como la que estamos estudiando cumple con los requisitos exigibles a una ley financiera, cuando 0, y en el Ejemplo 1.7 que cumple con los requisitos de ser una ley estacionaria y sumativa. Es, por tanto, una ley ampliamente sumativa que podemos representar en función del tiempo interno :

; 1 1 y

Su representación gráfica se muestra en la Fig.1.

Si partimos de un capital ; , la cuantía del capital equivalente , disponible en , siendo , se denomina montante o capital final y vendría dada por la siguiente expresión1:

;;;

11

1 Nótese que ·

·1



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Es importante observar que el valor depende de .

Fig. 1

EJEMPLO 2.1

Sea la ley financiera de capitalización ; 1 0,05 10. Calculemos el capital equivalente en el instante 10 a 100 €; 3 .

; 100 1 0,05 10 3 135 €

Calculemos ahora el capital equivalente en el instante de tiempo 8:

; ;

100 1 0,05 10 3 1 0,05 10 8

1001 0,05 10 31 0,05 10 8

1001,351,10

122,73 €

Calculemos ahora el capital equivalente en el instante de tiempo 8, pero con el instante de proyección en 12:

; ;

100 1 0,05 12 3 1 0,05 12 8

1001 0,05 12 31 0,05 12 8

1001,451,20

120,83 €

Como podemos observar, el valor obtenido con 12 es diferente que el obtenido con 10, siendo el mismo capital, 100 €; 3 , y el mismo periodo durante el cual



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na 4

se traslada: del 3 al 8. Pero ¿cuál es el motivo financiero de esta diferencia y por qué? El tipo de interés periodal de nuestro ejemplo es del 5%, como quiera que se capitalizan cinco periodos (del tres al ocho), si el punto de proyección fuese 8 el valor de la proyección sería:

; 100 1 0,05 8 3 125 €

Es decir, los intereses serían 125 100 25 €. Cuando el punto de proyección es 10, para recibir los intereses el agente económico tendría que esperar para cobrarlos al instante de tiempo 10, aunque fuesen devengados en

el periodo 3; 8 . Al no hacerlo y recibirlos en 8, ha de contracapitalizarlos desde 10 a 8, de ahí que la cuantía sea inferior. Siguiendo este mismo razonamiento con 12, sucede lo mismo, pero como el periodo de contracapitalización es mayor –ahora de cuatro periodos, en lugar de dos− el resultado todavía es menor.

EJEMPLO 2.2

Insistamos con otro ejemplo acerca de cómo afecta el punto de proyección al traslado de capitales en el tiempo. Supongamos un agente financiero que coloca un capital de 1.000,00 € a seis periodos y al 1% en régimen de capitalización simple.

1. Si el sujeto en cuestión aguarda para retirar su dinero al instante de tiempo 6, el montante que recibirá será la proyección de los 1.000,00 € desde 0 a 6. Es decir: 1.000 1 0,01 6 0 1.000 1,06 1.060,00 €

2. Si el sujeto en cuestión retira su dinero al finalizar el segundo periodo (instante de tiempo 2), lo que recibirá es la proyección de los 1.000,00 € desde 0 a 2. Es decir:

1.000 0; 2 1.000 ,

,1.019,23 €

3. Obsérvese que, a pesar de que en el segundo supuesto ha tenido el capital 1 3⁄

del tiempo total (dos periodos en lugar de seis), no recibe 1 3⁄ de los intereses del primer supuesto: 1 3⁄ 60 20 €, sino una cantidad menor: 19,23 €. ¿Por qué? Porque esos 20 € los recibiría si se presta a esperar a recibirlos en el periodo 6; como no lo hace, recibe los 20 € actualizados al instante 2 (contracapitalizados desde 6 a 2):



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na 5

20,00 2; 6 20,00 ,

,19,23 €

4. Estos 19,23 € son una cuantía tal que, acumulada al capital inicial y capitalizada

en las mismas condiciones inicialmente consideradas resulta el valor final:

1.019,23 2; 6 1.019,23 ,

,1.060,00 €

————————————————————

En el caso particular —muy frecuente en la práctica— de que , tendríamos

;11

1 1

Como vemos, en este caso, la ley y el factor coinciden:

; 1 ; .

Por otra parte, el tanto de capitalización es

;; 1 1 1

es decir, el parámetro de la ley de capitalización simple, que, como ya hemos indicado, se conoce comercialmente como tipo de interés, y está expresado en tanto por uno.

EL COMPORTAMIENTO DE LOS INTERESES EN LA LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Para el intervalo ; los intereses generados bajo la ley financiera de capitalización simple son

; ; 1 1 1



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na 6

Si subdividimos dicho intervalo en otros dos2 ; y ; de modo que y calculamos los intereses para cada subintervalo tenemos:

; ; 1 1 1

; ; 1 1 1

Sumando ambas expresiones, tenemos:

; ;;

Es decir, la suma de las cuantías de los intereses de los intervalos ; y ; con leyes de capitalización simple en y , respectivamente3, es igual a los

intereses del intervalo ; , lo que implícitamente nos está diciendo es que los intereses de los respectivos intervalos no se acumulan al capital para devengar nuevos intereses, destacada característica ésta de los sistemas sumativos. La Fig. 2 representa esta circunstancia, propia de los sistemas sumativos. Observando la misma vemos que el capital ; se convierte en ; ; en el intervalo ;

proyectando en y genera unos intereses representados por en segmento . La misma cuantía de capital, ahora disponible en , esto es, el capital ; se proyecta

a y genera unos intereses representados por el segmento . La suma de las

cuantías representadas por los mencionados segmentos y son los intereses totales del intervalo ; . Vemos, pues, que los intereses representados por el

segmento no generaron nuevos intereses en el intervalo ; .

EJEMPLO 2.3

Sea la ley ; 1 0,06 10. Si calculamos la proyección del capital 300 €; 4 en el instante 10 obtenemos:

300 1 0,06 300 1 0,06 10 4 408 €

Los intereses, disponibles en el instante de tiempo 10, es decir ; 10 son:

408 300 108 €

2 Podríamos dividirlo en más subintervalos sin que pierda generalidad el razonamiento. Lo subdividimos en dos por simplificar la exposición. 3 Nótese que cuando decimos “con leyes de capitalización simple en y ” lo que estamos diciendo es que el primer intervalo tiene como punto de proyección y el segundo intervalo tiene como punto de proyección .



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Fig. 2

Si dividimos el intervalo 4; 10 en dos subintervales 4; 6 y 6; 10 y calculamos los intereses de cada intervalo para un capital de cuantía 300 € y vencimiento en 4 y en 6, respectivamente, tendremos:

300 1 0,06 6 4 336 € 4; 6 336 300 36 €

300 1 0,06 10 6 372 € 6; 10 372 300 72 €

4; 10 4; 6 6; 10 36 72 108 €

LA LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

La Ley Financiera de Capitalización Compuesta, utilizada en la práctica generalmente para operaciones a largo plazo (más de un año) es una función tal que la unidad monetaria proyectada desde a tiene un crecimiento exponencial es decir, más que proporcional, de la forma:

; 1

donde es el denominado tipo de interés, en tanto por uno.

En el capítulo anterior (Ejemplo 1.5) hemos comprobado que, cuando el valor de es mayor que cero, una ley como la indicada cumple con los requisitos exigibles a una ley financiera y en el Ejemplo 1.7 que cumple con los requisitos de ser una ley estacionaria y multiplicativa. Se trata, por tanto de una ley ampliamente multiplicativa, que podemos representar en función del tiempo interno :



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; 1 1 y

Para entender el significado del crecimiento multiplicativo antes aludido vamos a analizar la siguiente relación de recurrencia:

En el instante de tiempo la cuantía de un capital unitario es 1 um.

Transcurrido un periodo, la mencionada unidad monetaria se transforma (se proyecta) en 1 .

En el periodo 2, el valor 1 , disponible al inicio de este periodo, pasa a ser 1 1 1

al final de este segundo periodo.

Siguiendo esta relación de recurrencia nos permite generalizar 1 1 1 1

Vemos, pues, que la cuantía del capital al final de cada uno de los periodos es el resultado de capitalizar un periodo el capital disponible al inicio del mismo. Dicho de otro modo, los intereses se acumulan al capital, periodo a periodo, para devengar nuevos intereses, de ahí el crecimiento exponencial citado. Esta es la condición característica de los sistemas multiplicativos4. En la Fig. 3, representamos la correspondiente función exponencial, creciente y cóncava hacia arriba como lo demuestran las siguientes condiciones matemáticas:

; 1 ln 1 0 (creciente, respecto de )

; 1 ln 1 0 (cóncava hacia arriba, respecto de )

Si partimos de un capital ; , la cuantía del capital equivalente , disponible en , siendo se denomina montante o capital final y vendría dada por la siguiente expresión:

;;;

11

1

4 Posteriormente volveremos sobre este importante concepto al comentar el comportamiento de los interés bajo una ley de capitalización compuesta.



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na 9

valor que no depende de , propiedad de las leyes multiplicativas, como ya hemos tenido ocasión de comentar en el primer capítulo.

Fig. 3

EJEMPLO 2.4

Sea la ley financiera de capitalización ; 1 0,05 =10. Calculemos el capital equivalente en el instante 10 a 100 €; 3 .

100 1 0,05 100 1 0,05 140,71 €


; ;

100 1 0,05 1 0,05

1001 0,051 0,05

100 1 0,05 127,63 €

Calculemos el capital equivalente en el instante de tiempo 8, pero con el instante de proyección en 12:

100 1 0,05 1 0,05

1001 0,051 0,05

100 1 0,05 127,63 €



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0

Como podemos observar, el valor obtenido con 12 es el mismo que el obtenido con 10, es decir, la proyección no depende de .

————————————————————

Uno de los problemas prácticos que plantea la capitalización compuesta reside en el hecho de que, en ocasiones, el número de periodos a capitalizar no es un número entero; por ejemplo, 4 años y 3 meses o, lo que es lo mismo, 4,25 años. Esto nos lleva a considerar que si utilizamos como valor de el número fraccionado correspondiente 4,25 , los intereses de la fracción del último periodo —del último trimestre, en nuestro ejemplo—se están haciendo disponibles antes de que finalice el periodo de capitalización5. La literatura financiera suele proponer tres posibles soluciones al problema:

1. Convenio exponencial, consistente en utilizar como valor de un número racional; en nuestro ejemplo 4,25. Este es el caso utilizado habitualmente en la práctica.

2. Convenio lineal. Consiste en capitalizar en régimen de capitalización compuesta por la parte entera de periodos, en nuestro ejemplo, 4 y en régimen de capitalización simple, al mismo tipo de interés, por la parte fraccional (0,25 en nuestro ejemplo).

3. Interpolación lineal. Consiste en capitalizar en régimen de capitalización compuesta por la parte entera y añadir a este valor la parte proporcional de la diferencia entre el capital resultante de capitalizar periodos y 1 periodos. El resultado coincide con el convenio lineal6. La Fig. 4 muestra gráficamente este procedimiento.

EJEMPLO 2.5

Sea un capital de 10.000,00 € que se coloca en régimen de capitalización compuesta al 6% durante 4 años y tres meses. Calcúlese el capital final o montante de acuerdo a los tres criterios habituales en la práctica financiera:

5 El periodo de capitalización es anual, por lo que los intereses están disponibles al final de cada año, para capitalizar y con ello devengar nuevos intereses. 6 Siempre que la interpolación se haga entre y 1 periodos. Si se hace entre y periodos, siendo 1 no se da tal coincidencia. Ahora bien, lo lógico es hacerlo entre y 1 periodos.



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na 1

1

Convenio exponencial:

1 10.000 1 0,06 , 12.810,02 €

Convenio lineal:

1 1 0,06 0,25 10.000 1 0,06 1,015 12.814,14 €

Interpolación lineal:

10.000 1,06 12.624,77 €

10.000 1,06 13.338,25 €

0,25 12.624,77 0,25 13.338,25 12.624,7712.814,14 €

Fig. 4

Obsérvese que:

1. El montante obtenido con el convenio exponencial es menor que con el convenio lineal. El motivo no es otro, en este último caso, que se capitaliza la fracción del último año (0,25 en nuestro ejemplo) en régimen de capitalización simple, que para valores inferiores a la unidad de tiempo conduce a resultados mayores que la capitalización compuesta, como comprobaremos más adelante.



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na 1

2

2. Al convenio lineal y la interpolación lineal, al hacerse ésta sobre un periodo (en nuestro ejemplo el que media entre el instante 4 y el 5), coinciden en cuanto a resultado. No conduciría al mismo resultado en el caso siguiente, donde interpolamos entre el periodo 4 y el 6:

10.000 1,06 12.624,77 €

10.000 1,06 14.185,19 €

0,252

12.819,82 €

No obstante, lo propio es interpolar entre dos periodos consecutivos, el inmediatamente anterior y el inmediatamente posterior a , en nuestro caso el 4 y el 5.

EL COMPORTAMIENTO DE LOS INTERESES EN LA LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Sea el intervalo ; que subdividiremos en sendos intervalos7 ; y ; de modo que . Una unidad monetaria proyectada en el intervalo ; con punto de proyección en da lugar a ; 1 1, valor que recoge el capital inicial unitario más los intereses generados en el periodo ; . Si ahora este valor lo proyectamos, a su vez, desde a , con proyección en , nos quedaría:

1 ; 1 1 1 ;

Es decir, en el primer tramo ; los intereses se incorporaron al capital y, una vez hecho esto, el resultado se proyectó en el tramo ; dando lugar al mismo valor que se habría obtenido de hacer la proyección desde a directamente: ; . Ello quiere decir que en la ley de capitalización compuesta los intereses se acumulan al capital para devengar nuevos intereses, característica ésta de los sistemas multiplicativos, como ya hemos comentados en ocasiones anteriores. La Fig. 5 representa esta circunstancia. De la observación de la misma vemos que el capital ; se convierte en ; ; en el intervalo ;

7 Una vez más lo hacemos en dos intervalos para simplificar la exposición, no obstante el razonamiento es generalizable a subintervalos.



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3

proyectando en y genera unos intereses representados por en segmento . El valor ; ; disponible en se proyecta a y genera unos intereses finales

representados por el segmento . Vemos, pues, que los intereses representados

por el segmento sí generaron nuevos intereses en el intervalo ; al haber sido incorporados al capital en el instante de tiempo .

Fig. 5

EJEMPLO 2.6

Tomando la ley financiera del Ejemplo 2.4 y subdividiendo el periodo 3; 10 en sendos subperiodos 3; 6 y 6; 10 tenemos:

100 1 0,05 115,76 €

115,76 1 0,05 140,71 €

Como podemos observar, al capital final en el periodo diez es el resultado de capitalizar los intereses —incorporarlos al capital— en el primer subintervalo y luego proyectar el nuevo capital (con los intereses incluidos) en el segundo subintervalo.



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4

COMPARACIÓN ENTRE LAS LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Tomando el mismo tipo de interés (constante y referido al año) observaremos el comportamiento del capital acumulado o montante a medida que varía el tiempo para un capital inicial 1:

TIEMPO CAPITALIZACIÓN SIMPLE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

0 1 1 ¼ / 1 ¼ / 1 / ½ / 1 ½ / 1 / 1 1 1 2 1 2 1 … ... …

1 1

Un ejemplo numérico nos ayudará a comprender el comportamiento de ambos casos, para un tipo de interés del 10%:

t CAPITALIZACIÓN SIMPLE imple

CAPITALIZACIÓN

COMPUESTA

DIFERENCIA

0 1 1 0 0,25 1,025 1,0241 0,0009 0,5 1,05 1,0488 0,0012 0,75 1,075 1,0741 0,0009

1 1,1 1,1 0 1,25 1,125 1,1265 -0,0015 1,5 1,15 1,1537 -0,0037 1,75 1,175 1,1815 -0,0065

2 1,2 1,21 -0,01

De la observación de las tablas anteriores podemos deducir que:

1. Los valores del montante en capitalización simple y en capitalización com-puesta coinciden cuando 0 y 1.

2. Para valores de n comprendidos entre 0 y 1, 0 1 , el montante en capitalización simple es mayor que en capitalización compuesta.

3. Para valores de n superiores a la unidad, n 1, el montante en capitalización compuesta es mayor que el montante en capitalización simple. La máxima diferencia entre el montante de ambas capitalizaciones está alrededor de

1 2⁄ , como se demuestra en el Apéndice a este capítulo.



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na 1

5

Es importante ver esta relación entre ambas leyes de capitalización, pues es muy frecuente la creencia de que la capitalización compuesta conduce siempre a un montante mayor que la simple, como consecuencia de que capitaliza intereses para devengar nuevos intereses, mientras que la capitalización simple no lo hace. Como vemos, para periodos inferiores a la unidad, la capitalización simple produce un montante mayor que la compuesta.

Gráficamente se muestra en la Fig. 6.

Fig. 6

LA LEY FINANCIERA DE CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Un caso particular de la capitalización compuesta es la conocida como capitalización continua que nos es otra que la capitalización compuesta cuando los periodos de capitalización son infinitesimales. En propiedad, no hablamos, por tanto, de una ley financiera diferente de la Capitalización Compuesta, sino de una aplicación concreta de la misma. Su obtención podemos llevarla a cabo por diversos procedimientos:

1. A partir del límite de la expresión:

; lim 1 · lim 1· · ·

donde ln 1 , que es el tanto instantáneo8.

8 Posteriormente, al desarrollar los tantos equivalentes, aclararemos el porqué de la nomenclatura y el concepto al que responden.



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na 1

6

2. A partir del tanto instantáneo 1 :

; · ·

EJEMPLO 2.7

Obtener el montante o capital final de un capital de 100 €; 3 a través de la Ley Financiera de Capitalización Continua con 10, si el tipo de interés periodal es del 4% anual y los periodos se miden, consecuentemente en años.

100 100 , · 131,59 €

Obviamente, como caso particular que es de la capitalización compuesta, al mismo resultado llegamos aplicando ésta directamente:

100 1 0,04 131,59 €

————————————————————

Como quiera que cuando la capitalización es instantánea este hecho podría inducir al lector a pensar que el montante final es o tiende a infinito, al ser infinitos los periodos de capitalización, esto es, los periodos en los que los intereses se incorporan al capital para devengar nuevos intereses. Ya vemos con el ejemplo que esto no es así, no obstante razonemos el por qué: es cierto que se capitaliza en infinitos intervalos, pero también es cierto que los intereses que se capitalizan son infinitesimales toda vez que los periodos durante los cuales se devengan los mencionados intereses también son infinitesimales; ello da como resultado, en esta tipo de función concreta, un valor finito.

LA LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL

La Ley Financiera de Descuento Simple Comercial —la ley de descuento más utilizada en la práctica y conocida como descuento simple—, se aplica, generalmente, para operaciones a corto plazo (a un año o menos) es una función tal que la unidad monetaria proyectada desde a tiene un decremento (un rédito de descuento) que es proporcional —es una función lineal— al tiempo de proyección y al parámetro que se conoce comercialmente como tipo de descuento. Responde, por tanto, a la forma:



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7

; 1

En el capítulo anterior (Ejemplo 1.5 y Ejemplo 1.7) hemos comprobado que una ley como ésta, cuando 0 cumple con los requisitos exigibles a una ley financiera, estacionaria y sumativa. Es, por tanto, una ley ampliamente sumativa, que podemos representar en función del tiempo interno :

; 1 1 y

Como quiera que el capital descontado ha de ser mayor que cero la relación entre , y ha de verificar:

; 1 1 0

De donde

1 1

Aunque el nombre puede llevarnos a suponer que la ley financiera de descuento simple comercial es la inversa de la ley financiera de capitalización simple, esto no es así. En efecto, no es la inversa, sino la prolongada. ¿A dónde nos lleva este hecho?:

1. Que no sea inversa quiere decir que trasladado un capital de cuantía desde a , siendo , si el montante obtenido con la ley financiera de

capitalización simple, llamémosle , lo descontamos desde a con la ley financiera de descuento simple comercial y con el mismo parámetro , el valor descontado no es el mismo valor original , sino un valor inferior. En el epígrafe siguiente detallaremos este hecho.

2. El conjunto de ambas leyes cuando , y para un valor concreto de , constituye un sistema financiero completo, de modo que tenemos los criterios para mover capitales en el tiempo cualquiera que sea el valor de , vencimiento de los mismos9.

9 Siempre con la limitación, en el caso del descuento, de que el capital proyectado se mayor que cero, como ya hemos comentado.



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na 1

8

Si partimos de un capital ; , la cuantía del capital equivalente , disponible en , siendo se denomina capital descontado o inicial y vendría dada por la siguiente expresión10:

;;;

11

Es importante observar que el valor depende de . Con un ejemplo ilustraremos este hecho.

EJEMPLO 2.8

Sea la ley financiera de descuento ; 1 0,05 0. Calculemos el capital equivalente a 100 €; 10 en el instante 0.

; 100 1 0,05 10 0 50 €


; ;

100 1 0,05 10 0 1 0,05 8 0

1001 0,05 10 01 0,05 8 0

1000,500,60

83,33 €

Calculemos el capital equivalente en el instante de tiempo 8, pero con la proyección en 2:

; ;

100 1 0,05 10 2 1 0,05 8 2

1001 0,05 10 21 0,05 8 2

1000,600,70

85,71 €

Como podemos observar, el valor obtenido con 2 es diferente que el obtenido con 0, siendo el mismo capital 100 €; 3 , y el mismo periodo durante el cual se traslada: del 10 al 8.

10 Obsérvese que la expresión 1.



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na 1

9

En el caso particular —muy frecuente en la práctica— de que , la expresión anterior quedaría

;11

1 1

Como vemos, en este caso, la ley y el factor coinciden:

; 1 ; .

El tanto de descuento es

;; 1 1

que es el parámetro de la ley de descuento simple comercial y se conoce comercialmente, como ya hemos comentado anteriormente, como tipo de descuento.

El comportamiento del descuento en esta ley sigue la misma pauta que los intereses en la ley financiera de capitalización simple, es decir, el descuento no se incorpora —no se resta— al capital inicial para devengar nuevos descuentos, ya que se trata de una ley sumativa. Por ser similar la deducción a la ya desarrollada para la ley financiera de capitalización simple, resumiremos los pasos que nos llevan a esta conclusión, sobre la base de los mismos intervalos temporales entonces considerados11 ; y ; :

; 1 ; 1 1

; 1 ; ; 1 1

Sumando ambas expresiones, tenemos:

; ; ;

Ya que ; 1 1 .

11 Obsérvese que al tratarse de una ley de descuento, el sentido de la desigualdad entre , y es el opuesto al de la capitalización simple.



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na 2

0

EJEMPLO 2.9

Con la ley financiera del Ejemplo 2.8 subdividamos el periodo 0; 10 en dos subperiodos 0; 6 y 6; 10 :

100 ; 100 10; 6 100 1 0,05 10 6 80 €

El descuento de este subperiodo es de 6; 10 100 80 20 €.

Para el segundo subperiodo:

100 ; 100 6; 0 100 1 0,05 6 0 70 €

El descuento de este subperiodo es de 0; 6 100 70 30 €.

El descuento total para el periodo 0; 10 será:

0; 10 6; 10 0; 6 20 30 50 €

Esto es, el valor obtenido haciendo la operación de descuento directamente desde el instante 10 al 0, calculado en el Ejemplo 2.8.

COMPARACIÓN ENTRE LAS LEYES FINANCIERAS DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y LA DE DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL

La ley financiera de descuento simple comercial y la ley financiera de capitalización simple no son leyes recíprocas, contra lo que su denominación parece indicar y que, en muchas ocasiones, induce a error. En efecto, cuando :

1 1 1

Un ejemplo nos ayudará a ilustrar este hecho.



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na 2

1

EJEMPLO 2.10

Si colocamos un capital de 100 € al tipo de interés 5% durante cuatro periodos, el montante del mismo será:

100 100 0,05 4 120 €

Si ahora descontamos, también al mismo tipo, 5%, durante los mencionados cuatro periodos el resultado es:

120 1 0,05 4 96 € 100 €

¿A qué se debe ello? Cuando capitalizamos, el 5% se aplica durante cuatro años al capital inicial, lo que da unos intereses de 100 0,05 4 20 €. Cuando descontamos, aunque aplicamos igualmente el mismo 5% durante los mismos cuatro años, lo hacemos sobre 120 €, lo que supone una disminución de valor de 120 0,05 4 24. El valor del descuento es superior al valor de los intereses, como consecuencia de aplicar el 5% durante cuatro años a capitales de diferente cuantía (mayor en el caso del descuento).

————————————————————

Cabe preguntarse, entonces, qué relación ha de existir entre y , parámetros respectivos de la capitalización simple y del descuento simple comercial, para que ambas operaciones sean inversas. Ello lo deducimos de la siguiente relación, resultado de capitalizar una unidad monetaria durante periodos y descontar a un tipo el montante obtenido durante los mencionados periodos:

1 1 1

De donde

1

O, lo que es lo mismo

1



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na 2

2

Observemos que:

1. La relación depende de , es decir, no es generalizable a cualquier intervalo de capitalización y posterior descuento.

2. El valor del parámetro es inferior a , lo que es lógico, ya que, para conseguir que los intereses y el descuento coincidan, ha de ser inferior por aplicarse a una base mayor (la cuantía ) a la que se aplica (la cuantía ).

Para el caso particular de 1 las relaciones quedarían como sigue12:

1

1

LA LEY FINANCIERA DE DESCUENTO SIMPLE RACIONAL O MATEMÁTICO

Si bien se trata de una ley financiera poco utilizada en la práctica, resaltamos su estudio para abundar en el hecho de que la ley financiera de Capitalización Simple y la ley financiera de Descuento Simple Comercial no son leyes recíprocas, tal y como hemos comentado anteriormente. En efecto, la ley financiera recíproca de la de Capitalización Simple es la ley de Descuento Simple Racional o Matemático, cuya expresión es la siguiente:

;1

11

1 0

Como quiera que se trata de la inversa de la Capitalización Simple, el valor actual o valor descontado que resulta de aplicar esta ley, es superior al que, a igualdad de parámetros ( ) resultaría de aplicar la ley de Descuento Simple Comercial. Dicho de otro modo: el importe del descuento es inferior al aplicar la ley de Descuento Simple Racional que al aplicar la ley de Descuento Simple Comercial.

12 Insistimos en que este es un caso particular, en el que al no aparecer de forma explícita por ser la unidad, puede inducir al error de que la relación entre e no depende de .



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En efecto, denominando al valor descontado según la ley de Descuento Simple Racional y al valor descontado según la ley de Descuento Simple Comercial, tenemos que

11

11

0

EJEMPLO 2.11

Sea una letra de 1.000,00 € descontada al 12% anual por medio año. Obtengamos los valores actuales con ambas leyes:

1.0001

1 0,12 0,5943,40 €

1.000 1 0,12 0,5 940 €

1.000 943,40 56,60 €

1.000 940 60,00 €

Como vemos, el descuento comercial es superior al descuento racional o matemático, lo que lleva a que el valor actual o descontado sea inferior en el caso del descuento comercial que en el racional.

LA LEY FINANCIERA DE DESCUENTO COMPUESTO

La ley financiera de descuento compuesto, ley multiplicativa y estacionaria, tiene la siguiente expresión:

; 1 1

Su deducción y particularidades son similares a las estudiadas para el caso de la capitalización compuesta. Su uso en la práctica es poco habitual, utilizándose para descontar capitales en régimen compuesto la ley financiera de capitalización compuesta, lo que en propiedad es contracapitalizar, si bien el uso de esta expresión no es frecuente, sino el de descontar.



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TIPOS DE INTERÉS EQUIVALENTES

Dos tipos de interés son equivalentes13 si aplicados a un mismo capital durante el mismo periodo de tiempo, producen idéntico montante o capital final, aunque vengan referidos a períodos de tiempo distintos —por ejemplo, uno referido a periodos mensuales y otro a periodos anuales—.

La equivalencia entre tipos de interés es diferente según la ley de valoración que se utilice. Como quiera que los tipos de interés pactados en las operaciones financieras que tienen lugar en la práctica suelen referirse a porcentajes anuales, tomaremos el tipo de interés anual como referencia para hacer nuestros razonamientos, sin que por ello pierdan generalidad los mismos, si bien tratándolos en tanto por uno14.

Denominaremos al tipo de interés anual convertible, esto es, susceptible de subdividirse en periodos de capitalización; y denotaremos por al tipo de interés equivalente al m-ésimo de año15.

En el caso de la Ley financiera de Capitalización Simple, los tipos de interés son equivalentes si son proporcionales. Ello se debe a la sumatividad, esto es, al hecho de que los intereses no se acumulan al capital para generar nuevos intereses. Por ejemplo, un tipo de interés mensual es equivalente a un tipo de interés anual si el primero es la doceava parte del segundo. Ambos tipos de interés son equivalentes si se verifica que

En efecto, conducen al mismo capital final, tras referir la magnitud tiempo a la misma unidad a la que están referidos los tipos de interés:

1 1

13 En la práctica comercial e, incluso, en algunos manuales sobre la materia, denominan a este concepto como “tantos equivalentes” lo que es una imprecisión ya que tanto y tipo de interés no son expresiones sinónimas, como ya hemos tenido ocasión de ver en el primer capítulo. Advertimos al lector de este uso bastante generalizado en la práctica comercial para prevenirle de posibles confusiones. 14 Es muy frecuente en la práctica que, aunque los tipos de interés y de descuento pactados en las operaciones financieras sean anuales, los periodos de capitalización o, en su caso, de pago, sean en fracciones de año. Meses, trimestres y semestres son las más habituales. 15 Recordemos que tratados en tanto por uno.



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donde está referido a m-ésimos de año (meses, trimestres, cuatrimestres, semestres…).

EJEMPLO 2.12

En capitalización simple, un tipo de interés anual nominal o convertible del 6%, ¿qué tipos de interés mensual y trimestral son equivalentes al mismo?

Mensual:

120,0612

0,005 0,5%

Trimestral:

40,064

0,015 1,5%

Para la Ley Financiera de Descuento Simple Comercial cabe hacer el mismo razonamiento, pero en lugar de utilizar el parámetro (tipo de interés de capitalización) utilizando , tipo de descuento:

1 1

donde es el tipo de descuento anual convertible y el tipo de descuento equivalente al m-ésimo de año.

EJEMPLO 2.13

En descuento simple comercial, un tipo de descuento mensual del 0,5%, ¿qué tipos de interés anual es equivalente al mismo?

12 12 0,005 0,06 6%

————————————————————

En el caso de la Ley Financiera de Capitalización compuesta introduciremos un nuevo concepto que es el de tipo de interés efectivo anual y que denotaremos por .



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Pues bien, diremos que el tipo de interés es equivalente a capitalizado en m-ésimos de año si se verifica que16 1 1, ya que si así fuere nos conduciría al mismo capital final en años:

1 1 1 1 11

donde es el número de años y por tanto el número de m-ésimos de año. Digamos que en la expresión 1 tanto como el exponente están en la misma unidad de medida temporal.

Resumiendo, en el caso de la Ley Financiera de Capitalización Compuesta las relaciones quedarían como sigue:

1 1 1 1

1 1

1 1

Al valor se le conoce en la práctica financiero-comercial como tipo de interés nominal anual, en contraposición a , que es el tipo de interés efectivo anual.

EJEMPLO 2.14

Obtener el tipo de interés anual equivalente y el tipo de interés anual nominal o convertible, si se capitaliza al 1% mensual en régimen de capitalización compuesta.

Tipo de interés anual equivalente:

1 1 1 1 1 0,01 1 0,1268 12,68%

Tipo de interés anual nominal o convertible:

12 12 0,01 0,12 12%

16 Esta relación la obtenemos de 1 1 , es decir, el montante al final de un año ha de ser el mismo capitalizando anualmente al tanto que capitalizando veces, en m-ésimos de año, al tanto .



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EJEMPLO 2.15

Obtener el tipo de interés anual equivalente y el tipo de interés mensual o fraccionado, si el tanto nominal anual es del 12% en régimen de capitalización compuesta.

Tipo de interés anual equivalente:

1 1 10,1212

1 0,1268 12,68%

Tipo de interés mensual:

120,1212

0,01 1%

EJEMPLO 2.16

Obtener el tipo de interés anual nominal o convertible y el tipo de interés mensual o fraccionado, si el tanto efectivo anual es del 12% en régimen de capitalización compuesta.

Tipo de interés mensual o fraccionado:

1 1 1 0,12 1 0,009488 0,95%

Tipo de interés anual nominal o convertible:

12 12 0,009488 0,113865 11,40%

————————————————————

Finalmente, como ya hemos tenido ocasión de comentar, el tipo de interés equivalente en Capitalización Continua al tipo de interés en Capitalización Compuesta es 1 .



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SUMA FINANCIERA Y CAPITAL UNIFICADO

El concepto de suma financiera de un conjunto de capitales, ya estudiado en el capítulo anterior, nos es más que otro capital, sustituto de los anteriores y con vencimiento en de modo que su cuantía es tal que: ∑ ; donde

; ; es el factor financiero correspondiente para trasladar los respetivos capitales ; , ; … ; al instante de tiempo . En aquellas leyes financieras en las que el factor depende de , punto de proyección17, el vencimiento se conoce como vencimiento común. Obviamente, hay infinitas sumas

financieras, tantas como valores se asignen a .

En el caso de que, en estas leyes financieras, sea posible encontrar un capital ; de modo que no dependa18 de , esta suma financiera se conoce como

capital unificado y su vencimiento como vencimiento medio.

Para buscar un capital que cumpla esta condición, en el caso de la Capitalización Simple, partimos de la siguiente igualdad19:

1 1 1

operando en la cual nos queda:

si hacemos

nos queda, entonces:

17 El factor depende de en las leyes sumativas. De las leyes estudiadas, es el caso de las leyes financieras de Capitalización Simple y de Descuento Simple Comercial. 18 Lo que supone que no dependa de ni ni . 19 Haremos el desarrollo para la Ley Financiera de Capitalización Simple, ya que trasladar el razonamiento a la Ley Financiera de Descuento Simple Comercial es inmediato y se llega a la misma solución.



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simplificando términos:

dividiendo por ambos términos de la igualdad:

de donde

∑ ∑∑

Hemos encontrado, por tanto, un valor de ; cuyo valor no depende de 20. Este es el capital unificado donde, como vemos:

1. La cuantía del mismo es la suma de las cuantías de los capitales sumandos. 2. El vencimiento es la media ponderada por las respectivas cuantías de los

capitales, de los vencimientos de los capitales sumandos. 3. Hay un único capital unificado, para cada ley y conjunto de capitales, ya

que únicamente hay un capital suma financiera que no depende de . 4. La Ley Financiera de Capitalización Simple es un Sistema Unificable, como

ya habíamos avanzado, pero no demostrado, en el Ejemplo 1.7 del capítulo primero. Queda ahora demostrado que es unificable ya que hemos encontrado un capital cuya cuantía y cuyo vencimiento no dependen de . Razonando de modo similar, se obtiene el capital unificado para la Ley Financiera de Descuento Simple Comercial, que tiene idéntica expresión que el obtenido para la Ley Financiera de Capitalización Simple. La Ley Financiera de Descuento Simple Comercial es, por tanto, también, un Sistema Unificable.

En el caso de las leyes multiplicativas21, como el factor no depende de , todas las sumas financieras son capital unificado, de modo que hay infinitos

20 No depende de ni ni . 21 Capitalización Compuesta y Capitalización Continua, entre las leyes estudiadas anteriormente con mayor uso en la práctica financiera, ya que ya que el Descuento Compuesto y el Racional son de poca aplicación práctica.



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capitales unificados, tantos como valores se asignen a . Las leyes multiplicativas son, consecuentemente, Sistemas Unificables.

Resumiendo, las leyes en las que es posible encontrar, al menos, un capital unificado se denominan leyes unificables, como ya hemos comentado en el capítulo anterior.

EJEMPLO 2.17

Sean los capitales 1.400 €; 0 , 2.000 €; 4 y 3.000 €; 8 . Valorando con una Ley Financiera de Capitalización Simple, obténgase el capital unificado.

1.400 2.000 3.000 6.400 €

1.400 0 2.000 4 3.000 81.400 2.000 3.000

5

El capital unificado es, pues, 6.400 €; 5 .



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1

APÉNDICE

Si denominamos a la función que mide la diferencia entre el montante en capitalización simple y el montante en capitalización compuesta, es decir

1 1

Dicha función alcana un máximo cuando

0

y, además,

0

tenemos, entonces que:

1 1 0

de donde

11

11

11

11

siendo el tanto instantáneo de la capitalización continua.

Si obtenemos la segunda derivada con respecto a podremos comprobar que su valor es negativo, lo que confirma que estamos en un máximo de la función.

Vemos, por tanto, que la máxima diferencia entre montantes de ambos tipos de capitalización depende del tipo de interés.

Para un valor de 10% el valor de es

, ,

,0,50397096… 184 días



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Y la máxima diferencia es:

1 1 1 0,10 0,50397096 1 0,10 ,

1,19123 €

En la siguiente tabla mostramos los valores del instante en que se produce la máxima diferencia y también el valor de esta diferencia para un capital unitario y para tipos de interés comprendidos entre el 1% y el 25%:

Capitalización

Simple Capitalización

Compuesta Diferencia

1% 0,500415 1,005004 1,004992 0,000012 2% 0,500825 1,010017 1,009967 0,000050 3% 0,501232 1,015037 1,014926 0,000111 4% 0,501634 1,020065 1,019869 0,000196 5% 0,502033 1,025102 1,024797 0,000305 6% 0,502428 1,030146 1,029709 0,000437 7% 0,502819 1,035197 1,034605 0,000592 8% 0,503207 1,040257 1,039487 0,000770 9% 0,503591 1,045323 1,044354 0,000969

10% 0,503971 1,050397 1,049206 0,001191 11% 0,504348 1,055478 1,054044 0,001434 12% 0,504722 1,060567 1,058867 0,001700 13% 0,505092 1,065662 1,063676 0,001986 14% 0,505459 1,070764 1,068472 0,002292 15% 0,505822 1,075873 1,073254 0,002619 16% 0,506183 1,080989 1,078022 0,002967 17% 0,506540 1,086112 1,082777 0,003335 18% 0,506895 1,091241 1,087518 0,003723 19% 0,507246 1,096377 1,092247 0,004130 20% 0,507595 1,101519 1,096963 0,004556 21% 0,507940 1,106667 1,101666 0,005001 22% 0,508283 1,111822 1,106357 0,005465 23% 0,508623 1,116983 1,111035 0,005948 24% 0,508960 1,122150 1,115701 0,006449 25% 0,509294 1,127323 1,120355 0,006968



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3

Gráficamente representamos a continuación el comportamiento de en función del tipo de interés :

0,498000

0,500000

0,502000

0,504000

0,506000

0,508000

0,510000

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

leyes financieras utilizadas en la práctica

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