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DESCUENTO SIMPLE ECON. ARIEL ROMERO BELLEDONNE

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Análisis Aplicacione

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Page 1: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

DESCUENTO SIMPLE

ECON. ARIEL ROMERO BELLEDONNE

Page 2: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

• Es la diferencia entre la cantidad a pagar y su valor actual que no es lo mismo que el descuento bancario.• El descuento bancario suele designarse sólo con la palabra descuento.• El descuento racional y el descuento bancario se obtiene siguiendo métodos de cálculo diferentes , por lo que es importante no confundir estos conceptos .• Para obtener el descuento racional de una suma a una tasa cualquiera de interés, es necesario encontrar su valor actual y restar éste valor actual de dicha suma.• El resultado será el descuento racional.

DESCUENTO SIMPLE DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO

Page 3: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

DESCUENTO SIMPLE DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO

Descuento racional = Suma adeudada - Valor actualRepresentando por D, el descuento racional y por VF y VA, la suma a pagar y el

valor actual, tenemos:

[10.1] D = VF - VAEJERCICIO 10.1.

Encontrar el descuento racional sobre UM 3000 a cancelar dentro de un año a un

costo del dinero de 6%.

Solución : VF = 3000; i = 0,06 ; n = 1; VA = ?[ 9.1] VA ___3000____ = UM 2830,19 es el valor actual

(1 + 1x0,06)VF = 3000; VA = 2830,19 D = ?Aplicando la fórmula 10.1 y reemplazando valores, tenemos:D = 3000 - 2830,19 = UM 169,81

Page 4: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

DESCUENTO SIMPLE

DESCUENTO BANCARIO

•Es el interés pagado por adelantado. •En la práctica bancaria y comercial el descuento bancario se usa con mayor frecuencia que el descuento racional, por otra parte, no tiene ninguna relación con los llamados descuentos comerciales y por pronto pago. En nuestras clases siempre que se emplea la palabra des cuento sola, sin otra palabra, nos estaremos refiriendo al descuento bancario.•Generalmente, los documentos que dan lugar a las operaciones de descuentos son giros y pagarés. •Valor nominal de un pagaré. Es el capital de la deuda. Si el pagaré no devenga interés, la cantidad a cancelar al vencimiento es idéntica al valor nominal.•Monto nominal de un pagaré. Si el pagaré no devenga interés, su «monto nominal» es la suma del capital y del interés que se ha acumulado al vencimiento. •Valor de un pagaré. Cantidad que hay que pagar a su vencimiento.

Page 5: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

DESCUENTO SIMPLE

DESCUENTO BANCARIO

•Valor efectivo o líquido de un pagaré. Es el valor menos el descuento; es decir, la cantidad de dinero que recibe efectivamente el prestatario.

Fórmula del descuento bancario:Símbolos:VF = Valor del pagaren = Número de períodos hasta el vencimiento del pagaréd = tanto por uno•Por definición, tenemos:

Descuento = Valor x tanto por uno [11.1] D = VFnd•Que viene a ser la fórmula para obtener el descuento bancario simple al tipo d , por n años sobre el valor Sn , es casi invariablemente un año o una fracción de año.

Page 6: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

EJERCICIO 11-1. El cBanco BBVA, descuenta un pagaré, que no devenga interés, de UM 4800 a ancelar dentro de un año. El tipo de descuento del Banco es el 5%, ¿Se desea saber cuánto dinero deducirá esta institución al descontarlo?.

VA = 4800; n = l; d = 0.05; D = ?Fórmula [11.1] D = VFni , sustituyendo valores, tenemos:

D = 4800 (1 x 0,05) = UM 240

•Operaciones como del ejercicio, son más bien poco frecuentes en la realidad. Los bancos comerciales, cuando un pagaré no vence hasta dentro de un año, descuentan estos documentos por un período de tres meses y renuevan la operación 3 veces consecutivas.

DESCUENTO BANCARIO

DESCUENTO SIMPLE

Page 7: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

• El valor actual siempre es menor que el valor nominal y que el monto nominal de la deuda. Un porcentaje dado de una cantidad es siempre mayor que el mismo porcentaje de una cantidad más pequeña.

• En el ejercicio 10.1, vimos que el descuento racional por UM 3000 por un año, al 6% ascendía a UM 169,81. Luego, el descuento bancario al 6% es una cantidad mayor que el descuento racional al 6%.

• Esto se explica porque: el descuento bancario se obtiene multiplicando el valor de la deuda por el tipo de descuento, mientras que el descuento racional se obtiene multiplicando el valor actual por el tipo de interés.

COMPARACIÓN DEL DESCUENTO BANCARIO CON EL DESCUENTO RACIONAL

DESCUENTO SIMPLE

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•EJERCICIO 12.1. El Banco Interbank, tiene en su poder un pagaré por UM 5000, sin interés, pagadero a los 6 meses y solicita a otro Banco que se lo descuente.Si el tipo de descuento es el 5% ¿Cuánto retendrá este Banco?.Solución :

VF = 5000; n = 0,5 (6/12); d = 0,06; D=? Fórmula [11.1] D - VFnd, sustituyendo valores, Tenemos: D = 5000 x 0,6 x 0,05 = UM 125

COMPARACIÓN DEL DESCUENTO BANCARIO CON EL DESCUENTO RACIONAL

Page 9: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

En la práctica comercial rara vez se calcula el descuento para un período mayor a un año y, en la mayoría de los casos, se calcula para alguna fracción de un año.EJERCICIO 13.1. El BCP, descuenta el 10 de mayo de 2011 un pagaré de UM 3000, sin interés, que vence el 24 de junio del mismo año; el tipo de descuento es el 7%.¿Cuál será el importe del descuento?.Solución: VF = 3000; t = 44; n = 44/360; d = 0,07; D = ? Fórmula 11.1 D = VFnd, sustituyendo valores, tenemos:

COMPARACIÓN DEL DESCUENTO BANCARIO CON EL DESCUENTO RACIONAL

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DESCUENTO DE UNA DEUDA QUE DEVENGA INTERÉS

En los casos de descontar un pagaré que devenga interés es necesario hallar el monto nominal; esto es, el valor nominal más el interés, y descontar después la suma. Esto hay que hacerlo incluso cuando el tipo de descuento es igual a la tasa de interés, como veremos en el siguiente ejercicio:EJERCICIO 14.1.El Banco Financiero, descontó el 3 de Agosto de 2011 un pagaré de 8200 que tenía esta misma fecha, devengaba el 6% de interés y vencía el 3 de Setiembre del mismo año. El tipo de descuento del Banco era también del 6%. Se desea saber el descuento retenido por el Banco.

Page 11: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

DESCUENTO DE UNA DEUDA QUE DEVENGA INTERÉS

1ro. Calculamos el monto nominal del pagaré:VA = 8200; t = 30; n = 30/60; i = 0,06 VF = ?Aplicando la fórmula 7.1 VF = VA(1 + ni), tenemos:

VF = 8200 ‹1 + 30 x 0.06 › = UM 8241 360 2o Finalmente calculamos el descuento (D):

VA = 8214; n = 30/60; d=0,06; D = ?•Fórmula 11.1 D = VFnd, reemplazando valores, tenemos:

D = 8214 ‹ 30 x 0.06 › = UM 41,21 360

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DESCUENTO DE UNA DEUDA QUE DEVENGA INTERÉS•Por definición del valor de un pagaré o préstamo, tenemos que es la cantidad de dinero que resta después de deducido el descuento del valor del mismo, esto es, del valor nominal (cuando el pagaré no devenga interés), o del monto nominal (cuando el pagaré devenga interés). Luego, el valor líquido es lo que el cliente recibe efectivamente para su uso. Si designamos el valor líquido por VA, y conservamos VF y D como designando el valor y el descuento, respectivamente, por definición podemos presentar:[12.1 ] VA = VF-D•Como en la fórmula [11.1] D = VFnd, podemos entonces sustituir este valor de D en la fórmula [12.1], y obtenemos:

VA = VF – Snd•Como VF es un factor común de los dos términos del segundo miembro, podemos escribir la ecuación anterior de la si guiente forma:[13.1] VA = VF(1 - nd)

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DESCUENTO DE UNA DEUDA QUE DEVENGA INTERÉS

Que viene a ser la fórmula para calcular el valor líquido de un pagaré de valor VF descontado al tipo de descuento bancario simple por n años.EJERCICIO 15-1.

¿Cuál es el valor líquido de un pagaré de UM 4500, sin interés, que vence dentro de un año, descontado al 5,8%?.

Solución:

VF = 4500; n = 1; d = 0,058; VA = ?Aplicando la fórmula[13.1] VA = VF(1 - nd), tenemos:

VA = 4500(1 - 1 x 0.058) = UM 4239

•Cuando un pagaré devenga interés es necesario hallar primero el monto a pagar empleando la fórmula del interés simple.

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DESCUENTO DE UNA DEUDA QUE DEVENGA INTERÉS

EJERCICIO 16-1. •Encontrar el valor líquido de un pagaré de 1200 UM, que devenga el 5% de interés y vence a los tres meses si el tipo de descuento es el 6%.

Solución:

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DESCUENTO DE UNA DEUDA QUE DEVENGA INTERÉSSolución:

VA =1200; n = 0,25 (3/12); i = 0,05; VF = ?•Io Encontramos la cantidad a pagar dentro de tres meses, [7.11] VF = VA(I + ni):

VF = 1200 ( 1 + 0.25 x 0.06) = UM 1215VF = 1215; n = 0,25(3/12); d = 0,06; VA = ?

•2o Ahora descontaremos UM 1215 por tres meses al 6% ,[13.1] VA = VF(I - nd):

VA = 1215 (1 - 0,25 x 0,06) = UM 1196,76Por consideraciones didácticas la solución del problema se dividió en dos partes separadas, pero es posible, la solución combinada en una sola operación como veremos a continuación:

Page 16: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

DESCUENTO DE UNA DEUDA QUE DEVENGA INTERÉS

VF= 1200; n = 0,25 (3/12); i = 0,05; d = 0,06; VA = ?Aunque el VF es el valor nominal del pagare, el monto a pagar, o monto nominal, es VF( 1 + ni), y VA representa ahora el valor líquido. Podemos pues hallar el descuento simple sobre VF( 1 + ni).

Fórmulas: 7.11 VF = VA(1 + ni) y 13.1 VA = VF(1 - nd): VA = 1200(1 + 0,25 .v 0,05) (1 - 0,25 A* 0,06)= UM 1196,76

Como vemos hemos llegado al mismo resultado anterior.

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INTERÉS COMPUESTO

•El interés compuesto se calcula a una tasa constante durante el plazo de la deuda, pero el capital es aumentado a intervalos, añadiéndole el interés acumulado durante cada intervalo de tiempo pasado. CCon la aplicación del interés compuesto se obtienen «intereses sobre intereses». Cuando los intereses de una deuda se pagan periódicamente no puede haber interés compuesto. Es el más utilizado en las operaciones del Sistema Financiero.

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INTERÉS COMPUESTO•El interés compuesto aumenta en progresión geométrica (la deuda externa, los préstamos bancarios, etc.). Un capital colocado a interés compuesto crece más deprisa que a interés simple.•El interés puede transformarse en capital anualmente, semestralmente, trimestralmente, mensualmente, etc. Se entiende por frecuencia de conversión al número de veces que el interés se convierte en un año. Se entiende como período de interés o conversión al período de tiempo entre dos conversiones sucesivas. Normalmente la tasa de interés se indica como tasa anual.

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INTERÉS COMPUESTO

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:•Io El capital original (P ó VA)•2° La tasa de interés por período (/)•3º El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).•Ejemplo:

Page 20: Análisis Aplicaciones Financieras de Excel Con Matematicas Financieras

INTERÉS COMPUESTO

Ejemplo Sí invertimos una cantidad durante 5 l

/2 años al 8% convertible semestralmente, tenemos que:

El período de conversión es : 6 mesesLa frecuencia de conversiónserá : 2 (un año tiene 2 semestres)

tasa de interés . = 0.08 = 0.04Frecuencia de conversión 2

Entonces el número de períodos de conversión es:(número de años) (frecuencia de conversión) = 5!/2 x 2 = 11

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MONTO COMPUESTOEl factor (1 + i)n es el monto compuesto de 1 a la tasa i por período, por n períodos de conversión.Este factor se obtiene de considerar un capital VA invertido a la tasa i por período de conversión y si designamos con VF al monto compuesto de VA al final de n períodos de conversión. Como VA produce VAi de interés en el primer período de conversión, tenemos al final del período de conversión: VA + VAi = VA( 1 + i) •Es decir, que el monto de un capital al final del segundo período de conversión es: VA( 1 +i)( 1+i)=VA( 1 +i)2, al final del tercer período de conversión el monto es: VA(1 +i)2( 1+i)=VA( 1+Í)3 y así sucesivamente.Siendo la sucesión del montó:

VA(1 + i), VA(1 + i)2, VA(1 + i)3...que no es otra cosa que una progresión geométrica cuyo n-ésimo término es : Fórmula general del interés compuesto: [14.1] VF = VA (1+i)n

-

INTERÉS COMPUESTO

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MONTO COMPUESTOVF

1 2 …. n-1 n

VA

Despejando la fórmula 14.1 para los valores de i y n se obtiene:

[ 15.1]

n VF - 1 i = VA

 

[ 16.1] VF log VAn = ---------------

log (1+i )

INTERÉS COMPUESTO

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EJERCICIO 17-1.

Una persona quiere saber en que suma se convertirá 20,000 UM, colocado en un banco durante 5 años a interés compuesto al 6%, capitalizando anualmente.

VA = 20000; i = 0,06; n = 5; VF=?

Aplicando la fórmula 14.1 VF = VA(1+ i)n

,tenemos:

•VF = 20000(1,06)5 = 26,764.51 UM

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TIEMPO EN EL QUE UN CAPITAL A INTERES SIMPLE O COMPUESTO SE DUPLICA, TRIPLICA . . . Usualmente las entidades financieras para captar ahorristas, ofrecen que duplicarán sus depósitos en 12,18…meses, y los pronósticos de las entidades de control estadístico de los países afirman que la población de tal o cual ciudad se ha duplicado o triplicado en tal o cual período de tiempo. Para encontrar estos períodos de tiempo emplearemos las fórmulas cuyos resultados son matemáticamente exactos (teóricos).

APLICANDO INTERÉS SIMPLEEJERCICIO 18.1. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el total de un préstamo a devolver, se duplique, triplique, cuadruplique y quintuplique si la tasa de interés es del 60% anual (60/12 = 5% mensual)? Solución : VA = 1; VF = 2, 3, 4 y 5; i = 0.05; n=?Aplicando la fórmula[8.i] VF - 1

VA n = ———. Tenemos :

i

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TIEMPO EN EL QUE UN CAPITAL A INTERES SIMPLE O COMPUESTO SE DUPLICA, TRIPLICA . . .

tenemos: 2/1 -1•Se duplica : [8.1] n = = 20 meses

0,05

3/1 -1•Se triplica : [8.1] n = = 40 meses

0,05

4/1 -1•Se cuadriplica: [8.1] n = = 60 meses

0,05

5/1 -1•Se quintuplica: [8.1] n = = 80meses

0,05

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