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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos / Lei dos Senos
Prof. Marcio [email protected]
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Matematica Basica II - 2014.1
27 de maio de 2014
1 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Sumario
1 Lei dos Cossenos
2 Lei dos Senos
3 Aplicacao da Lei dos Senos
2 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Sumario
1 Lei dos Cossenos
2 Lei dos Senos
3 Aplicacao da Lei dos Senos
3 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Angulos Agudos
Lei dos Cossenos
Para um triangulo ABC com lados a, b, c opostos aos verticesA,B,C respectivamente, tem-se
a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA
4 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Angulos Agudos
Lei dos Cossenos
Para um triangulo ABC com lados a, b, c opostos aos verticesA,B,C respectivamente, tem-se
a2 = b2 + c2 − 2bc.cosA
4 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.
h = c .senA
x = c . cos A
a2 = h2 + (b − x)2
a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
5 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.
h = c .senA
x = c . cos A
a2 = h2 + (b − x)2
a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.
h = c .senA
x = c . cos A
a2 = h2 + (b − x)2
a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
5 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.
h = c .senA
x = c . cos A
a2 = h2 + (b − x)2
a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.
h = c .senA
x = c . cos A
a2 = h2 + (b − x)2
a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.
h = c .senA
x = c . cos A
a2 = h2 + (b − x)2
a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.
h = c .senA
x = c . cos A
a2 = h2 + (b − x)2
a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
Provemos a veracidade desta afirmacao para angulos agudos.
h = c .senA
x = c . cos A
a2 = h2 + (b − x)2
a2 = (c.senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A + c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] + b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
6 / 21
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Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2
961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2
Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Agudo
EXEMPLO: Determine x .
a = 31
b = 12
A = 600
a2 = b2 + x2 − 2b.x . cos 600
312 = 122 + x2 − 2.12.x .1
2961 = 144 + x2 − 12x
x2 − 12x − 817 = 0
∆ = (−12)2 − 4.1.(−817) = 3412 = 22.853
x =12± 2
√853
2Como se trata de uma medida,x = 6 +
√853 ∼= 35, 2
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Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
Agora, vamos verificar que a Lei vale tambem para angulosobtusos.
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Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
Agora, vamos verificar que a Lei vale tambem para angulosobtusos.
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Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
h = c .sen(π − A) =c .senA
x = c . cos(π − A) =−c . cos A
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
h = c .sen(π − A) =c .senA
x = c . cos(π − A) =−c . cos A
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
h = c .sen(π − A) =c .senA
x = c . cos(π − A) =−c . cos A
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
h = c .sen(π − A) =c .senA
x = c . cos(π − A) =−c . cos A
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
h = c .sen(π − A) =c .senA
x = c . cos(π − A) =−c . cos A
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
h = c .sen(π − A) =c .senA
x = c . cos(π − A) =−c . cos A
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
h = c .sen(π − A) =c .senA
x = c . cos(π − A) =−c . cos A
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
h = c .sen(π − A) =c .senA
x = c . cos(π − A) =−c . cos A
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = (c .senA)2 + (b − c . cos A)2
a2 = c2.sen2(A) + b2 − 2bc cos A +c2. cos2(A)
a2 = [c2.sen2(A) + c2. cos2(A)] +b2 − 2bc cos A
a2 = c2 + b2 − 2bc cos A
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Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
EXEMPLO: Determine x .
x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350
x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)
x2 = 365 + 364.
√2
2
x2 = 365 + 182.√
2
x ∼= 24, 94
10 / 21
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Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
EXEMPLO: Determine x .
x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350
x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)
x2 = 365 + 364.
√2
2
x2 = 365 + 182.√
2
x ∼= 24, 94
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Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
EXEMPLO: Determine x .
x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350
x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)
x2 = 365 + 364.
√2
2
x2 = 365 + 182.√
2
x ∼= 24, 94
10 / 21
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Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
EXEMPLO: Determine x .
x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350
x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)
x2 = 365 + 364.
√2
2
x2 = 365 + 182.√
2
x ∼= 24, 94
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
EXEMPLO: Determine x .
x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350
x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)
x2 = 365 + 364.
√2
2
x2 = 365 + 182.√
2
x ∼= 24, 94
10 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Cossenos - Angulo Obtuso
EXEMPLO: Determine x .
x2 = 142 + 132 − 2.14.13. cos 1350
x2 = 196 + 169− 364.(− cos 450)
x2 = 365 + 364.
√2
2
x2 = 365 + 182.√
2
x ∼= 24, 94
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Sumario
1 Lei dos Cossenos
2 Lei dos Senos
3 Aplicacao da Lei dos Senos
11 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Lei dos Senos
Para um triangulo ABC com lados a, b, c opostos aos verticesA,B,C respectivamente, tem-se
a
senA=
b
senB=
c
senC
12 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Lei dos Senos
Para um triangulo ABC com lados a, b, c opostos aos verticesA,B,C respectivamente, tem-se
a
senA=
b
senB=
c
senC
12 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2a.h
Area(∆ABC ) =1
2a.(c .senB)
2.Area(∆ABC ) = a.c .senB
2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB
b
senB=
abc
2.Area(∆ABC )
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2a.h
Area(∆ABC ) =1
2a.(c .senB)
2.Area(∆ABC ) = a.c .senB
2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB
b
senB=
abc
2.Area(∆ABC )
13 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2a.h
Area(∆ABC ) =1
2a.(c .senB)
2.Area(∆ABC ) = a.c .senB
2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB
b
senB=
abc
2.Area(∆ABC )
13 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2a.h
Area(∆ABC ) =1
2a.(c .senB)
2.Area(∆ABC ) = a.c .senB
2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB
b
senB=
abc
2.Area(∆ABC )
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2a.h
Area(∆ABC ) =1
2a.(c .senB)
2.Area(∆ABC ) = a.c .senB
2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB
b
senB=
abc
2.Area(∆ABC )
13 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2a.h
Area(∆ABC ) =1
2a.(c .senB)
2.Area(∆ABC ) = a.c .senB
2b.Area(∆ABC ) = a.b.c .senB
b
senB=
abc
2.Area(∆ABC )
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2b.h
Area(∆ABC ) =1
2b.(a.senC )
2.Area(∆ABC ) = b.a.senC
2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC
c
senC=
abc
2.Area(∆ABC )
14 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2b.h
Area(∆ABC ) =1
2b.(a.senC )
2.Area(∆ABC ) = b.a.senC
2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC
c
senC=
abc
2.Area(∆ABC )
14 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2b.h
Area(∆ABC ) =1
2b.(a.senC )
2.Area(∆ABC ) = b.a.senC
2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC
c
senC=
abc
2.Area(∆ABC )
14 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2b.h
Area(∆ABC ) =1
2b.(a.senC )
2.Area(∆ABC ) = b.a.senC
2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC
c
senC=
abc
2.Area(∆ABC )
14 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2b.h
Area(∆ABC ) =1
2b.(a.senC )
2.Area(∆ABC ) = b.a.senC
2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC
c
senC=
abc
2.Area(∆ABC )
14 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2b.h
Area(∆ABC ) =1
2b.(a.senC )
2.Area(∆ABC ) = b.a.senC
2c.Area(∆ABC ) = a.b.c .senC
c
senC=
abc
2.Area(∆ABC )
14 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2c .h
Area(∆ABC ) =1
2c .(b.senA)
2.Area(∆ABC ) = b.c.senA
2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA
a
senA=
abc
2.Area(∆ABC )
15 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2c .h
Area(∆ABC ) =1
2c .(b.senA)
2.Area(∆ABC ) = b.c.senA
2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA
a
senA=
abc
2.Area(∆ABC )
15 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2c .h
Area(∆ABC ) =1
2c .(b.senA)
2.Area(∆ABC ) = b.c.senA
2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA
a
senA=
abc
2.Area(∆ABC )
15 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2c .h
Area(∆ABC ) =1
2c .(b.senA)
2.Area(∆ABC ) = b.c.senA
2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA
a
senA=
abc
2.Area(∆ABC )
15 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2c .h
Area(∆ABC ) =1
2c .(b.senA)
2.Area(∆ABC ) = b.c.senA
2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA
a
senA=
abc
2.Area(∆ABC )
15 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Area(∆ABC ) =1
2c .h
Area(∆ABC ) =1
2c .(b.senA)
2.Area(∆ABC ) = b.c.senA
2a.Area(∆ABC ) = a.b.c .senA
a
senA=
abc
2.Area(∆ABC )
15 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Exercıcio
Mostre que em qualquer triangulo vale a relacao
senA < senB + senC
Se A,B,C sao os vertices e a, b, c , respectivamente, os ladosopostos aos vertices, entao, pela lei dos senos, tem-se
a
senA=
b
senB=
c
senC
Daı, o triangulo com lados x = senA, y = senB e z = senC esemelhante ao triangulo ∆ABC
16 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Exercıcio
Mostre que em qualquer triangulo vale a relacao
senA < senB + senC
Se A,B,C sao os vertices e a, b, c , respectivamente, os ladosopostos aos vertices, entao, pela lei dos senos, tem-se
a
senA=
b
senB=
c
senC
Daı, o triangulo com lados x = senA, y = senB e z = senC esemelhante ao triangulo ∆ABC
16 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Exercıcio
Mostre que em qualquer triangulo vale a relacao
senA < senB + senC
Se A,B,C sao os vertices e a, b, c , respectivamente, os ladosopostos aos vertices, entao, pela lei dos senos, tem-se
a
senA=
b
senB=
c
senC
Daı, o triangulo com lados x = senA, y = senB e z = senC esemelhante ao triangulo ∆ABC
16 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:
x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja
senA < senB + senC
senB < senC + senA
senC < senA + senB
17 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:
x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja
senA < senB + senC
senB < senC + senA
senC < senA + senB
17 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:
x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja
senA < senB + senC
senB < senC + senA
senC < senA + senB
17 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:
x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja
senA < senB + senC
senB < senC + senA
senC < senA + senB
17 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:
x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja
senA < senB + senC
senB < senC + senA
senC < senA + senB
17 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Lei dos Senos
Como em todo triangulo, a medida de umlado e SEMPRE menor que a soma dosoutros dois lados, temos:
x < y + z , y < x + z e z < x + y , ou seja
senA < senB + senC
senB < senC + senA
senC < senA + senB
17 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Sumario
1 Lei dos Cossenos
2 Lei dos Senos
3 Aplicacao da Lei dos Senos
18 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Calculo de distancia inacessıvel
Suponha que se queira calcular a distancia d de A a P,considerando que nao ha como fazer a medida diretamente.
19 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Calculo de distancia inacessıvel
Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distancia x ,entre A e B, possa ser calculada diretamente.
Desta forma, construiu-se o triangulo ∆ABP e os angulosA, B e P podem ser determinados.
20 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Calculo de distancia inacessıvel
Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distancia x ,entre A e B, possa ser calculada diretamente.
Desta forma, construiu-se o triangulo ∆ABP e os angulosA, B e P podem ser determinados.
20 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Calculo de distancia inacessıvel
Determina-se o ponto auxiliar B, de modo que a distancia x ,entre A e B, possa ser calculada diretamente.
Desta forma, construiu-se o triangulo ∆ABP e os angulosA, B e P podem ser determinados.
20 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Calculo de distancia inacessıvel
Pela Lei dos Senos:x
senP=
d
senBe portanto,
d =x .senB
senP
21 / 21
Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Calculo de distancia inacessıvel
Pela Lei dos Senos:x
senP=
d
senB
e portanto,
d =x .senB
senP
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Lei dos CossenosLei dos Senos
Aplicacao da Lei dos Senos
Calculo de distancia inacessıvel
Pela Lei dos Senos:x
senP=
d
senBe portanto,
d =x .senB
senP21 / 21