°

Leemos y observamos la siguiente situación

Una rampa es una superficie inclinada que nos

permite conectar dos lugares a diferente altura.

Hoy en día, todos los edificios públicos deben

contar con acceso para el desplazamiento de

las personas con movilidad reducida o adultos

mayores. La construcción de rampas es

obligatoria, siguiendo las especificaciones que

indican que su ángulo de inclinación debe tener

un rango de 10° a 15° respecto a la horizontal.

Actualmente, en el hospital Nueva Esperanza

están construyendo una rampa lineal, cuya

altura será de 1,5 m al final de ella.

Si deseamos construir una rampa con un ángulo de inclinación de 15° respecto a la base horizontal, ¿cuál será la longitud de la rampa tomando en cuenta ese ángulo de inclinación?, ¿se puede representar de manera matemática esta situación y su resolución?

2. ¿Qué altura tiene la construcción de la rampa del hospital Nueva Esperanza?

3. ¿Qué forma geométrica se observa en la imagen de la rampa? Grafica y escribe sus elementos.

5. ¿Qué te piden calcular las preguntas de la situación?

1. ¿Qué ángulo de inclinación debe tener obligatoriamente una rampa?

4. ¿Qué razones trigonométricas expresarían una relación entre la medida de un ángulo y la medida de los lados de la forma geométrica graficada?

1. Describe el procedimiento que seguirías para dar respuesta a las preguntas de la situación.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Se define como el cociente que se obtiene al dividir

las medidas de los lados de un triángulo rectángulo con

respecto a uno de sus ángulos agudos.

En el triángulo de la figura:

α: un ángulo agudo

del triángulo

(0° ˂ α ˂ 90°)

c: hipotenusa

a: cateto opuesto al ángulo αb: cateto adyacente al ángulo α

En este triángulo

se cumple:

c ˃ 0, a ˃ 0, b ˃ 0c ˃ a, c ˃ b

a + b ˃ c

Teorema de Pitágoras

c2 = a2 + b2α

a

b

c

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

De acuerdo al

triángulo rectángulo

de la figura anterior,

definimos las razones

trigonométricas de α:

sen α =cateto opuesto

hipotenusa

a

c=

cos α =cateto adyacente

hipotenusa

b

c=

tg α =cateto opuesto

cateto adyacente

a

b=

ctg α =cateto adyacente

cateto opuesto

b

a=

sec α =hipotenusa

cateto adyacente

c

b=

csc α =hipotenusa

cateto opuesto

c

a=

Teorema de Pitágoras

c2 = a2 + b2

c

a

b

Halla las razones trigonométricas (RT) del ángulo Ɵ en el siguiente triángulo.

• Para hallar las RT necesitamos la medida de los catetos y de la hipotenusa,

en este caso calculamos la medida de la hipotenusa mediante el teorema

de Pitágoras.

1 cm

3 cm

C

A

BƟ

x

1 cm

3 cm

C

A

BƟ

(3 cm)2 + (1 cm)2 = x2

9 cm2 + 1 cm2 = x2

10 cm2 = x210 cm = x

=senƟ =cateto opuesto

hipotenusa

310tgƟ =

cateto opuesto

cateto adyacente

3

1=

ctgƟ =cateto adyacente

cateto opuesto

1

3=

cosƟ =cateto adyacente

hipotenusa=

110

cscƟ =hipotenusa

cateto opuesto =

103

secƟ =hipotenusa

cateto adyacente =

101

Razones

trigonométricas

recíprocas

Conociendo las tres

primeras razones puedo

conocer las tres restantes.

Cuando el

denominador

tiene un número

irracional tengo

que racionalizar.

sen Ɵ = =3 10

10× 1010310

cos Ɵ = =1010

× 1010110

10 cm1 cm

3 cm

C

A

BƟ

Razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos notables

Del cuadrado Del triángulo equilátero

k

kk

k

k

k

45°

45°

k 2 2k2k

2k k

2kk 3

k k 60°60° 60°

30°30° 30°

Razones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos notables

Actividad: Calculo en mi cuaderno las RT de 37°, 16° y 37°2 .

Resolución de triángulos rectángulos

Significa encontrar la medida de sus tres lados y sus tres ángulos interiores.

Nos encontramos con los siguientes casos:

a) Se conoce la longitud de la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo.

b) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo.

c) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo.

a) Se conoce la longitud de la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo.

• Dato 1: la medida

de un lado: hipotenusa (c).

• Dato 2: la medida

de un ángulo agudo: α.

• Incógnitas: la medida

de los lados: x, y.

• Cálculo de x: • Cálculo de y:

x = c ∙ sen α= sen αx

c

y = c ∙ cos α= cos αy

c

αx

y

c

α

cx = c ∙ sen α

y = c ∙ cos α

b) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo.

• Dato 1: la medida de un lado: cateto

opuesto (a).

• Dato 2: la medida del ángulo agudo: α.

• Incógnitas: la medida de los lados: x, y.

α

a

y

x

y = a ∙ ctg α

a

α

x = a ∙ csc α

• Cálculo de x: • Cálculo de y:

x = a ∙ csc α= csc αx

ay = a ∙ ctg α= ctg αy

a

c) Se conoce la medida de un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo.

• Dato1: la medida de un lado: cateto

adyacente (b).

• Dato 2: la medida de un ángulo agudo: α.

• Incógnitas: la medida de los lados: x, y.

αy

b

x y = b ∙ tg α x = b ∙ sec α

αb

• Cálculo de x:

x = b ∙ sec α= sec αx

b

• Cálculo de y:

y = b ∙ tg α= tg αy

b

En el gráfico, la hipotenusa

mide m y uno de los ángulos

agudos mide Ɵ. Calcula el

valor de x.

Aplico la regla práctica.

Si el valor de m = 1, tendríamos

Es una identidad

muy conocida

que más adelante

la utilizaremos.

Para efectos prácticos, cuando

se requiera calcular la longitud

de un lado de un triángulo

rectángulo, en cualquiera

de los tres casos mencionados,

se sugiere formar la siguiente

igualdad:

= sen Ɵx

m

= R. T. (ángulo dato)lado incógnita

lado dato

x = m ∙ sen Ɵ

Ɵ

xm

sen2Ɵ + cos2Ɵ = 1

senƟ

cosƟ

1

Por el teorema de Pitágoras tenemos:

Ɵ

1. ¿Cómo represento matemáticamente la longitud de la rampa en función del ángulo especificado?

• Represento la situación.

Datos:

˗ Ángulo de la rampa: Ɵ˗ Rango del ángulo: 10° ≤ Ɵ ≤ 15°

˗ Altura de la rampa: 1,5 metros

˗ Longitud de la rampa: x

1,5 m

ƟPiso horizontal

Cateto adyacente

Cateto

opuesto

• Represento la longitud de la rampa usando razones trigonométricas.

Aplico la regla práctica y la razón trigonométrica “csc Ɵ”, para calcular la longitud de la rampa x:

– Regla práctica

para calcular la

medida de un lado.

x = 1,5 ∙ csc Ɵ

La longitud

de la rampa

en función del

ángulo se expresa

como 1,5 ∙ csc Ɵ.

– Razón trigonométrica

= R. T. (ángulo dato)lado incógnita

lado dato

csc Ɵ = hipotenusa

cateto opuesto

= csc Ɵx

1,5

2. Si deseamos construir una rampa con un ángulo de inclinación de 15° respecto a la base horizontal, ¿cuál será la longitud de la rampa tomando en cuenta ese ángulo de inclinación?

• Antes de determinar la longitud de la rampa de acceso al hospital con un ángulo de 15°, realizo el calculo para dos ángulos notables de 45° y 30°.

1,5 m

15°

Piso horizontal

• Calculo la longitud de la rampa cuando el ángulo es de 45°.

Del triángulo 2,

obtengo

el valor de la

constante k:

1,5 m = k

Calculo la

longitud x

de la rampa:

1: Representación gráfica de la rampa.

2: Triángulo notable de 45°.

Relaciono las longitudes

de los lados

de ambos triángulos.

x = (1,5 m)(1,41)

x = 2,115 m

x = k 245°

1,5 m = k

45°

1,5 mx

12

x = k 2

Del triángulo 2, obtengo

el valor de la constante k:

• Calculo la longitud de la rampa cuando el ángulo es de 30°.

Relaciono

las longitudes

de los lados

de ambos

triángulos.

1,5 m = K

x = 2(1,5 m)Calculo la

longitud x

de la rampa:

x = 2k

x = 3 m

30°

1,5 m = k

30°

1,5 mx

1 2

𝑘 3

1: Representación gráfica de la rampa.

2: Triángulo notable de 30° y 60°.

1,5 m = k(2,45 – 1,41)

1,44 m = k

• Ahora calculo la longitud de la rampa cuando el ángulo es de 15°.

1: representación gráfica de la rampa.

2: triángulo notable de 15 y 75°.

Relaciono las longitudes

de los lados de ambos

triángulos.

En 2, calculo el valor

de la constante k: Calculo la longitud

x de la rampa:

x = 4k

x = 4(1,44 m)

x = 5,76 m1,5 m = k ( 6 – 2)

15°15°

1,5 m

x

1 21,5 m = k( 6 – 2 )

1,5 m = k(1,04)1,5 m1,04 = 𝑘 Respuesta: La rampa tiene una longitud aproximada de 5,76 m para un ángulo de 15°.

• Otra forma de calculo para la longitud de la rampa:

15°

1,5 mx

15°

x = 4k

Multiplicamos

miembro a miembro.

Restamos miembro a miembro.

Para calcular la rampa necesito calcular el valor de k, x = 4k.

6 – 2 = 2,439 – 1,41 = 1,029

3 = 1,732 = 1,41

Sabemos que:

6 = 1,73 × 1,41 6 = 2,4392 = 1,41

Buscamos el calculo de

k( 6− 2 ).

1,5 m = k( 6 – 2 )

Del triángulo:

Dado que:

Entonces:1,5 m = k(1,029)

1,458 = k

Entonces, la longitud de la rampa sería:

x = 4k = 4 (1,458)

x = 5,83

Por lo tanto, tenemos un

valor aproximado de 5,83 m.

1,5 m = k ( 6 – 2 )

1,5 m1,029= k

15°

x = 4k1,5 m = k( 6 – 2 )

6 – 2 = 1,029

• Podemos ahora comparar las longitudes de la rampa obtenidas con los diferentes ángulos.

• Representamos gráficamente cómo varía la longitud de la rampa:

En los triángulos A, B y C observamos que a un ángulo agudo de menor

medida, es mayor la longitud de la hipotenusa.

15°

x = 5,76 m

30°

x = 3 m

45°

x = 2,115 m

1,5 m1,5 m

A B C1,5 m

15° 30° 45°

1,5 m

1. Considerando la información anterior, ¿qué ocurre con la longitud de la rampa cuando la medida del ángulo de elevación va aumentando? ¿Por qué?

2. ¿Qué longitudes de la rampa, según la altura presentada en la situación, cumplen las especificaciones en la construcción de rampas? ¿Por qué?

Gracias