lectura complementaria - función matemática.pdf

En la imagen se muestra una funcin entre unconjunto de polgonos y un conjunto denmeros. A cada polgono le corresponde sunmero de lados.

Funcin matemticaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemticas, se dice que una magnitud o cantidad esfuncin de otra si el valor de la primera dependeexclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el rea Ade un crculo es funcin de su radio r: el valor del rea esproporcional al cuadrado del radio, A = r2. Del mismo modo,la duracin T de un viaje de tren entre dos ciudades separadaspor una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a laque este se desplace: la duracin es inversamente proporcional ala velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el rea, laduracin) se la denomina variable dependiente, y la cantidad dela que depende (el radio, la velocidad) es la variableindependiente.

En lgebra abstracta, el concepto general de funcin,aplicacin o mapeo se refiere en a una regla que asigna a cadaelemento de un primer conjunto un nico elemento de unsegundo conjunto (correspondencia matemtica). Por ejemplo,cada nmero entero posee un nico cuadrado, que resulta ser unnmero natural (incluyendo el cero):

... 2 +4, 1 +1, 0 0, +1 +1, +2 +4, +3 +9, ...

Esta asignacin constituye una funcin entre el conjunto de los nmeros enteros Z y el conjunto de los nmerosnaturales N. Aunque las funciones que manipulan nmeros son las ms conocidas, no son el nico ejemplo:puede imaginarse una funcin que a cada palabra del espaol le asigne su letra inicial:

..., Estacin E, Museo M, Arroyo A, Rosa R, Avin A, ...

Esta es una funcin entre el conjunto de las palabras del espaol y el conjunto de las letras del alfabeto espaol.La manera habitual de denotar una funcin f es:

f: A B

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Funcin matemtica - Wikipedia, la enciclopedia libre http://es.wikipedia.org/wiki/Funcin_matemtica

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Una funcin vista como una cajanegra, que transforma los valores uobjetos de entrada en los valores uobjetos de salida

a f(a),

donde A es el dominio de la funcin f, su primer conjunto o conjunto departida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto dellegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagende un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (nico) objetode B que le corresponde. En ocasiones esta expresin es suficiente paraespecificar la funcin por completo, infiriendo el dominio y codominiopor el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones cuadrado einicial, llmeseles f y g, se denotaran entonces como:

f: Z Nk k2, o sencillamente f(k) = k2;

g: V Ap Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del espaol} y A = {Alfabeto espaol}.

Una funcin puede representarse de diversas formas: mediante el citadoalgoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tablade valores que empareje cada valor de la variable independiente con suimagen como las mostradas arriba, o como una grfica que d unaimagen de la funcin.

ndice1 Historia2 Introduccin3 Discrepancias en la definicin4 Definicin

4.1 Funciones con mltiples variables4.2 Notacin. Nomenclatura4.3 Imagen e imagen inversa4.4 Igualdad de funciones

5 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas6 lgebra de funciones

6.1 Composicin de funciones6.2 Funcin identidad6.3 Funcin inversa6.4 Restriccin y extensin

7 Representacin de funciones8 Definicin formal9 Vase tambin10 Referencias11 Enlaces externos


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Gottfried Leibniz acu eltrmino funcin en en sigloXVII.

HistoriaEl concepto de funcin como un objeto matemtico independiente, susceptiblede ser estudiado por s solo, no apareci hasta los inicios del clculo en el sigloXVII.1 Ren Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la ideade funcin como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz enparticular acu los trminos funcin, variable, constante yparmetro. La notacin f(x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut,y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.2 34

Inicialmente, una funcin se identificaba a efectos prcticos con una expresinanaltica que permita calcular sus valores. Sin embargo, esta definicin tenaalgunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores,y no todas las dependencias entre dos cantidades pueden expresarse de estamanera. En 1837 Dirichlet propuso la definicin moderna de funcin numricacomo una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de nmeros, queasocia a cada nmero en el primer conjunto un nico nmero del segundo.La intuicin sobre el concepto de funcin tambin evolucion. Inicialmente la dependencia entre dos cantidadesse imaginaba como un proceso fsico, de modo que su expresin algebraica capturaba la ley fsica quecorresponda a este. La tendencia a una mayor abstraccin se vio reforzada a medida que se encontraronejemplos de funciones sin expresin analtica o representacin geomtrica sencillas, o sin relacin con ningnfenmeno natural; y por los ejemplos patolgicos como funciones continuas sin derivada en ningn punto.Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de unestudio profundo de los nmeros reales, desarrollaron la teora de funciones, siendo esta teora independientedel sistema de numeracin empleado.[cita requerida] Con el desarrollo de la teora de conjuntos, en los siglos XIXy XX surgi la definicin actual de funcin, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetoscualesquiera, no necesariamente numricos.5 Tambin se asoci con otros conceptos vinculados como el derelacin binaria.

IntroduccinUna funcin es un objeto matemtico que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puedepresentarse a travs de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de funcin numrica es larelacin entre la posicin y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

Un mvil que se desplaza con una aceleracin de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que est en funcin deltiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes,calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que elcuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un ciertoinstante t, para varios momentos distinos:


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Representacin grfica de la velocidad de uncuerpo acelerado a 0,66 m/s2.

Tiempo t (s) Distancia d (m)0,0 0,00,5 0,11,0 0,31,5 0,72,0 1,32,5 2,0

La grfica en la imagen es una manera equivalente de presentarla misma informacin. Cada punto de la curva roja representauna pareja de datos tiempo-distancia, utilizando lacorrespondencia entre puntos y coordenadas del planocartesiano. Tambin puede utilizarse un regla o algoritmo quedicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, ladistancia que recorre un cuerpo con esta aceleracin est dadapor la expresin:

d = 0,33 t2,

donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependenciaentre ambas magnitudes.

Una funcin tambin puede reflejar la relacin de una variable dependiente con varias variables independientes.Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleracin constante pero indeterminada a, la distancia recorrida esuna funcin entonces de a y t; en particular, d = at2/2. Las funciones tambin se utilizan para expresar ladependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los nmeros. Por ejemplo, existe una funcin que a cadapolgono le asigna su nmero de lados; o una funcin que a cada da de la semana le asigna el siguiente:

Lunes Martes, Martes Mircoles,..., Domingo Lunes

Discrepancias en la definicinAl consultar bibliografa se encuentra definiciones distintas de funcin, segn el autor, segn la obra y segn lafecha de publicacin, lo que debe tenerse en cuenta al contrastar opiniones, algunas de estas definiciones soncontradictorias dado que lo expuesto en un texto no resulta coherente con lo de otros y el concepto de funcinha evolucionado con el tiempo.

Veamos, de ms general a ms especifica, definiciones de funcin que pueden verse en distintas publicaciones:

Una funcin f de A en B, siendo A y B dos conjuntos cualesquiera, es una correspondencia unvoca entreA y B. 6

La definicin de una funcin como una correspondencia unvoca permite la divisin en dos tipos:

Funcin matemticaFuncin parcialFuncin total


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Esta definicin del termino funcin en forma coloquial o cuando se tratan funciones matemticas no analizadas.

Una funcin f de A en B, siendo A y B dos conjuntos cualesquiera, es una correspondencia entre A y B,unvoca y total.

Esta definicin es la que aqu se desarrolla, equiparando el termino aplicacin matemtica y funcinmatemtica.

Las aplicaciones en las que los elementos del conjunto inicial y final son numricos se denomina funcin.7

Definiendo la funcin como la aplicacin entre conjunto de nmeros, es de echo la definicin ms extendida,aunque formalmente no es la definicin ms extendida.

Dadas las diferencias de definicin de funcin matemtica vistas, es relativamente corriente ver mezcladas estasdefiniciones incluso en un mismo texto publicado.

DefinicinLa definicin general de funcin hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos A y B, una funcin (tambin

aplicacin o mapeo) entre ellos es una asociacin8 f que acada elemento de A le asigna un nico elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (tambin conjuntode partida o conjunto inicial) de f y que B es sucodominio (tambin conjunto de llegada o conjuntofinal).

Un objeto o valor genrico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genrico b deldominio B es la variable dependiente. Tambin se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente.Esta definicin es precisa, aunque en matemticas se utiliza una definicin formal ms rigurosa, que construyelas funciones como un objeto concreto.Ejemplos

Todos los nmeros reales tienen un cubo, por lo que existe la funcin cubo que a cada nmero en eldominio R le asigna su cubo en el codominio R.Exceptuando al 0, todos los nmeros reales tienen un nico inverso. Existe entonces la funcin inversocuyo dominio son los nmeros reales no nulos R \ {0}, y con codominio R.Cada mamfero conocido se clasifica en un gnero, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto unafuncin clasificacin en gneros que asigna a cada mamfero de la coleccin M = {mamferosconocidos} su gnero. El codominio de clasificacin en gneros es la coleccin G = {gneros deMammalia}.


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Existe una funcin rea que a cada tringulo del plano (en la coleccin T de todos ellos, su dominio), leasigna su rea, un nmero real, luego su codominio es R.En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un nico voto, existe una funcin voto queasigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y unconjunto de partidos P, y una funcin entre ellos.

Funciones con mltiples variables

Existen muchos ejemplos de funciones que necesitan dos valores para ser calculadas, como la funcintiempo de viaje T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja denmeros reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un nmero real positivo (el tiempo deviaje). Por tanto, una funcin puede tener dos (o ms) variables independientes.La nocin de funcin de mltiples variables independientes no necesita de una definicin especfica separada dela de funcin ordinaria. La generalidad de la definicin anterior, en la que se contempla que el dominio sea unconjunto de objetos matemticos arbitrarios, permite omitir la especificacin de dos (o ms) conjuntos devariables independientes, A1 y A2, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de lasparejas (a1, a2), con primera componente en A1 y segunda componente en A2. Este conjunto se denomina elproducto cartesiano de A1 y A2, y se denota por A1 A2.

De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de lafuncin T, su dominio es el conjunto R+ R+, el conjunto de parejas de nmeros reales positivos. En el caso dems de dos variables, la definicin es la misma, usando un conjunto ordenado de mltiples objetos, (a1,..., an),una n-tupla. Tambin el caso de mltiples variables dependientes se contempla de esta manera. Por ejemplo,una funcin divisin puede tomar dos nmeros naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojardos nmeros naturales como valores de salida (cociente y resto). Se dice entonces que esta funcin tiene comodominio y codominio el conjunto N N.

Notacin. Nomenclatura

La notacin habitual para presentar una funcin f con dominio A y codominio B es:

Tambin se dice que f es una funcin de A a B o entre A y B. El dominio de una funcin f se denotatambin por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operacin o regla que permite obtener el elemento de Basociado a un cierto a A, denominado la imagen de a.8

Ejemplos

La funcin cubo puede denotarse ahora como f: R R, con f(x) = x3 para cada nmero real x.La funcin inverso es g: R \ {0} R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo.La funcin clasificacin en gneros puede escribirse como : M G, donde (m) = Gnero de m, paracada mamfero conocido m.La funcin rea se puede denotar como A: T R, y entonces A(t) = rea de t = B H/2, donde t es untringulo del plano, B su base, y H su altura.La funcin voto se puede escribir como v: E P, donde v(a) = Partido que a vot, para cada votante a.


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Dado un conjunto de votantes y un conjunto deposible partidos, en unas elecciones, el sentidodel voto de cada individuo se puede visualizarcomo una funcin.

La notacin utilizada puede ser un poco ms laxa, como por ejemplo la funcin f(n) = n. En dicha expresinno se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrn dados por elcontexto en el que se especifique dicha funcin. En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo),la imagen del par (a1, a2) no se denota por f((a1, a2)), sino por f(a1, a2), y similarmente para ms variables.

Existen adems terminologas diversas en distintas ramas de las matemticas para referirse a funciones condeterminados dominios y codominios. Algunas bastante extendidas son:

Funcin real. f: R RFuncin compleja. f: C CFuncin escalar. f: Rn RFuncin vectorial. f: Rn Rm

En particular, las palabras funcin, aplicacin, mapeo, u otras como operador, funcional, etc.pueden designar tipos concretos de funcin segn el contexto.

Imagen e imagen inversa

Los elementos del codominio B asociados con algn elementodel dominio A constituyen la imagen de la funcin.

Dada una funcin f : A B, elelemento de B que corresponde a uncierto elemento a del dominio A sedenomina la imagen de a, f(a).

El conjunto de las imgenes de cadaelemento del dominio es la imagen dela funcin f (tambin rango orecorrido de f). El conjunto de lasimgenes de un subconjuntocualquiera del dominio, X A, sedenomina la imagen de X.

La imagen de una funcin f se denota por Im(f), y la de un subconjunto X por f(X) o f[X]. En notacinconjuntista las imgenes de f y X se denotan:

La imagen de una funcin f es un subconjunto del codominio de la misma, pero no son necesariamente iguales:pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen de ningn elemento del dominio, es decir, queno tienen preimagen.


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La anti-imagen de cada partido es el conjuntode los electores que lo votaron.

La imagen inversa (tambinanti-imagen o preimagen) de unelemento b del codominio B es elconjunto de elementos del dominio Aque tienen a b por imagen. Se denota

por f1(b).

La imagen inversa de un subconjuntocualquiera del codominio, Y B, es elconjunto de las preimgenes de cada

elemento de Y, y se escribe f1(Y).

As, la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningn objeto o, por el contrario, conteneruno o ms objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les asigna dicho elemento del codominio.En notacin conjuntista, se escriben:

EjemplosLa imagen de la funcin cubo f es todo R, ya que todo nmero real posee una raz cbica real. Enparticular, las races cbicas de los nmeros positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que setiene, por ejemplo, f1(R+) = R+.El recorrido de la funcin inverso g no es igual a su codominio, ya que no hay ningn nmero real x cuyoinverso sea 0, 1/x = 0.Para la funcin clasificacin en gneros se tiene:

(Perro) = Canis, y 1(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.

Como el rea es siempre un nmero positivo, el recorrido de la funcin rea A es R+.En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la funcin voto v no coincide con el codominio, yaque el partido C no recibi ningn voto. Sin embargo puede verse que, por ejemplo, v1(Partido A) tiene2 elementos.

Igualdad de funciones

Dadas dos funciones, para que sean idnticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la mismaimagen a cada elemento del dominio:


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Dadas dos funciones f : A B y g : C D, son iguales oidnticas si se cumple:

Tienen el mismo dominio: A = CTienen el mismo codominio: B = D

Asignan las mismas imgenes: para cada x A = B,

se tiene que f(x) = g(x)

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivasLa imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vaca, o contener varios objetos del dominio. Estoda lugar a la siguiente clasificacin:

Funciones Inyectiva No inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva

Se dice que una funcin f : A B es inyectiva si las imgenesde elementos distintos son distintas:


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o, de modo equivalente, si slo asigna imgenes idnticas aelementos idnticos:

Una funcin f : A B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) sisu imagen es igual a su codominio:

o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es laimagen de algn elemento del dominio:

Las funciones inyectivas no repiten las imgenes: si b = f(a), ningn otro a' tiene por imagen a b, por lo que laanti-imagen de este ltimo slo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio,por lo que ninguna anti-imagen puede estar vaca. La definicin de funcin suprayectiva asume que esta tieneun codominio especificado previamente. De lo contrario, la nocin de suprayectividad no tiene sentido.

Cuando una funcin tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyeccin entre ambos conjuntos:

Una funcin f : A B se dice biyectiva si es inyectiva ysuprayectiva.

Las funciones biyectivas constituyen un emparejamiento perfecto entre los elementos del dominio y elcodominio: cada elemento en A tiene una nica pareja en B como todas las funciones, y a cada elementode B le corresponde uno solo en A al menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva.

Ejemplos.La funcin cubo f: R R es biyectiva. Es inyectiva porque dos nmeros reales que tienen el mismo cuboson idnticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.La funcin inverso g: R \ {0} R es inyectiva, ya que el inverso de cada nmero real no nulo es nico(1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R \ {0}.La funcin de clasificacin de mamferos : M G no es inyectiva, ya que hay mamferos distintos en elmismo gnero (por ejemplo, (Yak) = (Toro) = Bos). Sin embargo s es suprayectiva, ya que en cada


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La composicin g f acta sobre elobjeto x transformndolo segn f, ydespus transformando f(x) medianteg.

gnero de mamferos hay clasificada al menos una especie de mamferos.La funcin rea A: T R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R+. Tampoco es inyectiva, ya que puedenconstruirse con facilidad tringulos distintos con el mismo rea.En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto decaras C.

lgebra de funcionesCon las funciones puede realizarse una operacin de composicin con propiedades similares a las de lamultiplicacin.

Composicin de funciones

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valoresde salida de una de ellas como valores de entrada para la otra., creandouna nueva funcin.

Sean dos funciones f : A B y g : C D,tales que el recorrido de la primera estcontenido en el dominio de la segunda, Im(f) C. Entonces puede formarse la composicinde g con f, la funcin g f : A D que a cadaa en el dominio A le asocia el elemento (g f)(a) = g(f(a)).

Es decir, la composicin g f hace actuar primero la funcin f sobre unelemento de A, y luego g sobre la imagen que se obtenga:

La condicin Im(f) C asegura precisamente que este segundo paso sepueda llevar a cabo.

EjemplosLa imagen de la funcin inverso g es R \ {0} puesto que todo nmero real no nulo es el inverso deotro, y por tanto est contenido en el dominio de la funcin cubo f, que es R. La composicin f g: R \{0} R acta entonces como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)3 = 1/x3.Dadas las funciones reales h1: R R y h2: R R dadas por h1(x) = x

2 y h2(x) = x + 1, puede tomarse la

composicin en ambos rdenes, h1 h2 y h2 h1. Sin embargo, son funciones distintas, ya que:


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(h1 h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, y

(h2 h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x2) = x2 + 1

La funcin que clasifica los mamferos en gneros puede componerse con la funcin : G Or queclasifica los gneros de mamferos en rdenes que forman el conjunto Or. La funcin asigna acada mamfero su orden:

( )(Humano) = (Homo) = Primate, ( )(Guanaco) = (Lama) = Artiodactyla

Funcin identidad

En cualquier conjunto puede definirse una funcin identidad, que teniendo como dominio y codominio al propioconjunto, asocia cada elemento consigo mismo.

Dado un conjunto A, la funcin identidad de A es lafuncin id

A : A A que a cada a A le asocia id

A(a) = a.

Tambin se denota como IA. La funcin identidad acta como un elemento neutro al componer funciones, yaque no hace nada.

Dada una funcin cualquiera f : A B se tiene:

Es decir, dado un elemento x A, se tiene que:

Funcin inversa

Una funcin puede tener inversa, es decir, otra funcin que al componerla con ella resulte en la identidad, delmismo modo que un nmero multiplicado por su inverso da 1.


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Dada una funcin f : A B, se dice que g : B A es lainversa o recproca de f si se cumple:

La inversa se denota por g = f1, y tanto f como f1 sedicen invertibles.

No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:

Toda funcin biyectiva f es invertible, y su inversa f1 esbiyectiva a su vez. Recprocamente, toda funcininvertible f es biyectiva.

La notacin para funciones inversas puede ser confusa. Para un elemento del codominio b, f1(b) puede denotartanto la anti-imagen de b (un subconjunto del dominio), como a la imagen de b por la funcin inversa de f (unelemento del dominio), en el caso de que f sea invertible.

Ejemplos.

La funcin exponencial h: R R, que asocia a cada nmero real su exponencial, h(x) = ex, no esinvertible, ya que no es suprayectiva: ningn nmero negativo pertenece a la imagen de h.Existe una funcin que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso del cambio de rupias a quetzales(las monedas de la India y Guatemala), la conversin est dada (en 2011) por:Q(r) = 0,15 rEsta funcin de cambio tiene inversa, la conversin recproca de quetzales a rupias:R(q) = 6,65 qLa funcin cubo f(x) = x3 es invertible, ya que podemos definir la funcin inversa mediante la raz cbica,f1(x) = 3x.La funcin de clasificacin en gneros : M G no es invertible, ya que no es inyectiva, y para cadagnero pueden existir varios mamferos clasificados en l.La funcin que asigna a cada da de la semana su siguiente tiene por inversa la funcin que asigna a cadada de la semana su antecesor:

Lunes Domingo, Martes Lunes,..., Domingo Lunes


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La funcin que asigna a cada mujer delelectorado su voto es una restriccin de lafuncin que a cada miembro del electorado leasigna su voto.

Restriccin y extensin

La restriccin de una funcin dada es otra funcin definida enuna parte del dominio de la original, pero que acta igual queesta. Se dice tambin que la primera es una extensin de lasegunda.

Dadas dos funciones f : A B y g : C D, de forma queel dominio de g sea un subconjunto del dominio de f, C A, y cuyas imgenes coinciden en este subconjunto:

se dice entonces que g es la restriccin de f al subconjuntoC, y que f es una extensin de g.

La restriccin de una funcin f: A B a un subconjunto C A se denota por f|C.

Representacin de funcionesLas funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relacin matemtica descrita mediante una expresin matemtica: ecuaciones de la forma. Cuando la relacin es funcional, es decir satisface la segunda condicin de la definicin de

funcin, se puede definir una funcin que se dice definida por la relacin, A menos que se indique locontrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusin) y que elcodominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la funcin.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.


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Ejemplo: "Para todo x, nmero entero, y vale x ms dos unidades".Como tabulacin: tabla que permite representar algunos valores discretos de la funcin.

Ejemplo:

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teora de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}Como grfica: grfica que permite visualizar las tendencias en la funcin. Muy utilizada para lasfunciones continuas tpicas del clculo, aunque tambin las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5 X4 X3 X2 X1 X0 X

y / x -2 -1 0 1 2 3

Definicin formalLas funciones pueden definirse en trminos de otros objetos matemticos, como los conjuntos y los paresordenados. En particular, una funcin es un caso particular de relacin binaria, luego su esta definicin estbasada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque extensivo se identifica una funcin con sugrfica:

Una funcin es un conjunto f de pares ordenados tal que nocontiene dos pares distintos con la misma primeracomponente:

El dominio (la imagen) de la funcin es entonces elconjunto de primeras (segundas) componentes:


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En la definicin extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencial donde est contenidoel recorrido. En algunas reas de las matemticas es importante preservar esta distincin, y por tanto se usa unadefinicin distinta:9

Una funcin es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), eldominio, el codominio y el grafo de f, tales que:

G(f) A B1.

Todo elemento del dominio tiene imagen: para cada

a A, existe un b B tal que (a, b) G(f)

2.

Esta imagen es nica: si (a, b), (a, c) G(f),

entonces b = c.

3.

De este modo, puede imponerse que dos funciones con el mismo grafo sean distintas por tener codominiodistinto.

Vase tambinAnexo:Funciones matemticasSucesin matemticaFuncin linealFuncin exponencialFuncin cuadrticaRepresentacin grfica de una funcin

Referencias Esta seccin est basada en Pedro Ponte, J. (1992). The history of the concept of function and some educationalimplications (http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v03n2/Ponte.pdf) (en ingls, pdf). The Mathematics Educator 3(2). http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v03n2/Ponte.pdf. Consultado el 10-12-2011.

1.

Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. pp. 17.2. Friedrich Gauss, Carl (1995). Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Fsicas y Naturales. ed.3. Howard Eves (1990). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (3 edicin). Dover. p. 235. ISBN0-486-69609-X.

4.

Dorronsoro, Jorge; Hernndez, Eugenio (1996). Nmeros, grupos y anillos. Adison-Wesley Iberoamericana. ISBN0-201-65395-8.

5.

(en espaol) Gran enciclopedia temtica Plaza. Matemticas (2 edicin). Plaza & Jans Editores, S.A.. 1993. p. 74.6.


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ISBN 978-84-01-61659-4. (en espaol) Diccionario esencial de matemticas. VOX. 6 de 2011. p. 15. ISBN 978-84-9974-001-0.7. a b En general una funcin est caracterizada por una regla o mtodo que describe la asociacin entre los elementosen estos conjuntos. Sin embargo en disciplinas ms avanzadas de las matemticas esto no siempre ocurre, como porejemplo con las funciones de eleccin. Por ello la definicin general de funcin se centra en la asociacin entre losobjetos, y no en la regla o algoritmo.

8.

Sobre la diferencia entre ambas definiciones, vase por ejemplo Forster, Thomas (2003). 1.3. Notation for setsand relations (en ingls). Logic, induction and sets. Cambridge University Press. ISBN 9780521533614.

9.

Dorronsoro, Jorge; Hernndez, Eugenio (1996). Nmeros, grupos y anillos. Adison-WesleyIberoamericana. ISBN 0-201-65395-8.

Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre funciones.The Wolfram Functions Site (http://functions.wolfram.com/). Archivo de funciones matemticas.FooPlot (http://fooplot.com/?lang=es). Graficador de funciones matemticas.Historia del concepto de funcin (http://www.astroseti.org/articulo/4379/). Artculo traducido deMacTutor History of Mathematics archive.

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