CÁLCULO DIFERENCIAL

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Semana 11 - Sesión 02

LOGRO DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante es

capaz de calcular las derivadas de segundo orden, de tercer

orden, sucesivamente, y de utilizar sus diferentes notaciones.

También será capaz de calcular la derivada de una

función que no está expresada en forma explícita utilizando el

proceso denominado Derivación Implícita.

Si f es una función derivable, su derivada f´ también es una función

que también puede tener derivada. Dicha derivada se representa como

( f´ )´= f´´ . Esta nueva función f´´ se llama Segunda Derivada de f .

Usando la notación de Leibniz, si y = f (x) , podemos escribir:

2

2

[ ]

dy d yd df (x) f (x)

dx dx dx d x

Otras notaciones son:2( 2 )

x

f (x) f (x) D f (x)

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Ejemplo 1

Si f (x) = x Cos (x) :

f (x ) C os (x ) x Sen (x )

f (x ) x Cos (x ) 2 Sen (x )

x

y

f

f ´´

f ´

Ejemplo 2

La posición de una partícula está dada por la ecuación

, donde t se mide en segundos y s en

metros.

a. Halle la aceleración en el instante t. ¿Qué valor tiene la ace-

leración a los 4 segundos?

b. ¿Cuándo va aumentando la rapidez de la partícula?¿Cuándo

va perdiendo rapidez?

c. Grafique la posición, velocidad y aceleración para 0 t 5.

3 2s f ( t ) t 6t 9t

a.ds 2

dt

2

2

v ( t ) f ( t ) 3t 12t 9

d sa ( t ) f ( t ) 6t 12

dt

2En el instante t 4 segundos , a (4) 12 m / s

Respuesta

Va perdiendo rapidez en el intervalo de tiempo [ 0, 2 ] .

Va aumentando rapidez en el intervalo [ 2, 5 ] segundos.

b.

c.

Extensión

1y , entonces

xSi

2

3

4

1y

x

2!y

x

3!y

x

1y

x

En forma sucesiva se puede hallar la Tercera Derivada,

la Cuarta Derivada, la Derivada de Orden n de una fun-

ción f . Se les denota:

Ejemplo 3

3 3(3)

3 3

d [ f (x) ] d yf (x) f (x)

dx dx

Ejemplo 4

La figura muestra las gráficas de f , f ´ y f ´´. Identifique cada curva y

explique su elección.

Respuesta

f

f

f

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Es una aplicación muy sencilla de la Regla de la Cadena que

permite hallar la derivada dy/dx aún en los casos en que no es posible

expresar la función y en una forma explícita en términos de x .

Esto se presenta por ejemplo cuando existe una ecuación entre

las dos variables x y y , que determina la dependencia de la variable ycomo función implícita de x .

Por ejemplo, se desea hallar dy/dx en el punto (x , y) = (2, 1) de

la curva

donde es muy difícil, por no decir imposible, despejar y en términos de xpara luego derivarla.

3 2 32 5x xy y- + =

ESTRATEGIA

APLICAR EL OPERADOR EN AMBOS MIEMBROS.

Es decir, se deriva respecto a la variable x cada sumando de ambos

miembros, y se aplica la Regla de la Cadena en el momento en que sea

requerida.

:d

dx

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO PROPUESTO

3 2 32 5x xy y- + =

2 2 33 2 0

PRODUCTO

d dx ( xy ) ( y )

dx dx- + =

2 2 2 33 2 2 0x y x (d d

dx dy ) ( y )

x{ }- + + =

2 32 23 2 2 0

( R . CADENA ) ( R . CADENA )

( y ) ( yd d

dx dx

dy dy

d

)x x

y dyy- - × × + × =

2 2 23 2 2 2 3 0dx

x y x y y (d

dy y)

x

d- - × × + × =

3 2 32 5d d

( x xy y ) ( )dx dx

- + =

En este caso se aplicará el punto de la curva (x , y) =(2, 1) en el paso , así :

2 2 23 2 2 1 2 2 2 1 3 1 0dx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

dx

dy y- - × × + × =

10 8 3 0

10 5

2

y y

y

y

- + =

=

¢

¢

¢ =

¢

Si se tiene el dato del punto de la curva donde se quiere

calcular esta derivada, se utilizará en este momento y así se

podrá despejar dy/dx más fácilmente.

( )

Si no tuvieras este dato numérico puedes despejar dy/dx en

forma genérica, desde el paso :

2 2 23 2 4 3dy

x y ( xy y )dx

- = -

2 2

2

3 2

4 3

x ydy

dx xy y

-=

-

( )

0 4 3y , x y¹ ¹

Una característica de esta técnica de Derivación Implícita

es que, en general, la derivada dy/dx resultará expresada en

términos de las dos variables x y y .

4 2 22 6 4 5x y x y+ = + -

CIERRE DE LA SESIÓN

EJERCICIO: Hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (x, y) = (1, 2) de la curva:

Clave: (C)

A) 3 / 2

B) 2

C) 2

D) 0

MUCHAS GRACIAS POR TU ATENCIÓN