Laboratorio 4, 3a Unidad. FS601 Procesos deSeales. Sistemas LTI descritos por ecuacionesdiferenciales y diagramas de Bode.Instructor: Carlos TenorioMay 17, 2011

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Introduccin:

Un sistema LTI descrito por ecuaciones diferenciales lineales tiene la siguientefrmula general:

NX

M

ak

dk x(t)dk y(t) X=bkdtkdtk

(1)

k=0

k=0

Aplicando transformadas de Fourier a ambos lados de esta ecuacin, y recordando el par de transformadas

Y ()

NX

d n x(t)/dtn (i)n F {x(t)}

ak (i)k = X()

k=0Si

H()

MX

obtenemos:

bk (i)k

k=0

es la funcin de respuesta en frecuencia del sistema LTI (transfor-

madad de Fourier de la respuesta al impulso

h(t))

entonces, en el dominio de la

frecuencia obtenemos:

X() H() = Y ()

(2)

De modo que la respuesta en frecuencia puede obtenerse fcilmente a partirde:

PM

k=0H() = PNk=0

2

bk (i)kak (i)k

=

bM (i)M + ... + b1 (i) + b0aN (i)N + ... + a1 (i) + a0

(3)

Diagramas de Bode

Hendrik W. Bode desarroll en los aos 1930 un mtodo eciente para visualizar las transformadas de Fourier de sistemas LTI descritos por la ecuacin(1).

Si escribimos la respuesta en frecuencia

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H()

en forma polar:

H() =

|H()| ef ase H()

podemos gracar separadamente la amplitud y la fase de

H()

utilizando escalas logartmicas y amplitud en decibeles. En particular, para elsistema LTI descrito por la ecuacin (2) podemos escribir:

|Y ()| = |X()||H()|log10 |Y ()| = log10 |X()| + log10 |H()|F ase Y () = F ase X() + F ase H()Las amplitudes de las transformadas de Fourier se miden en decibeles. Porejemplo, el diagrama de Bode paraversus frecuencia angular

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|H()|

se construira como

20 log10 |H()|

en escalas logartmicas.

Procedimiento

Observar la siguiente gura donde se diagrama un sistema de amortiguacin deun automvil.

Aqu,

y0

representa la distancia entre la supercie del camino y el chass del

automvil cuando ste est en reposo.de la elevacin de referencia y la seal

y0 + y(t) es la posicin del chasis arribax(t) es la elevacin del camino arriba de

la elevacin de referencia.

Construya la ecuacin diferencial de este sistema de la forma (1) en funcinde los parmetros

k, b, M

del sistema de la gura.

Escriba la respuesta en frecuencia del sistemaparmetrosparmetros

k, b, M . Despus,0 y denidos a

H()de la forma (2) con losH() en funcin de los

expresar la mismacontinuacin:

n =

pk/M

y

2

b= 2 km(Puede consultar las diapositivas 135 en adelante de la presentacin deFourier que se envi anteriormente).

Encontrar el diagrama de Bode para la amplitud y fase de la respuestaen frecuencia

|H()|.

El eje vertical debe estar expresado en magni-

tud en decibeles =20log10 |H()|.

En el diagrama de amplitud hacerlo

desde -40 hasta 40 dB. Para el eje horizontal construrlo en escala log-

0 < 0 10 0 . Hacer los grcos para valores = 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.5, 0.4, 1.0 (de ser posible en el mismo dibujo).Suponer un valor de 0 razonable (investigar).artmica para desde

de

Investigue las funciones tf ,impulse,step de MATLAB y genere grcosde la respuesta al impulso y la respuesta al escaln del sistema anteriorpara los valores de

anotados arriba (preferiblemente todos en el mismo

dibujo).

Ahora, investigando la funcin bode de MATLAB, dibujar los diagramasde Bode de los siguientes sistemas:

H1 () = 1 +H2 () =H3 () =

i10

16(i + 2)4

10 + 5i + 10(i )21 + (i /10)

Comentar brevemente las caractersticas de amplitud y fase de cada sistemaen particular.

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