lab - tratamiento de datos experimentales

7/28/2019 LAB - Tratamiento de Datos Experimentales

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Tema:

TRATAMIENTO DE DATOS

EXPERIMENTALES

Curso :Laboratorio de Fsica I

Profesor : Lic. Malco Reyes Sifuentes

Alumnos : Cdigo :

Horario : Jueves

24 pm

Ciudad Universitaria, setiembre del 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR

DE SAN MARCOS

(Universidad del Per, Decana de Amrica)


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LABORATORIO DE FISICA I

LABORATORIO 2 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES Pgina 2

TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

I. OBJETIVOS1. Obtener grficas de los datos experimentales en tablas.2. Construir ecuaciones experimentales e interpretar su comportamiento.3. Obtener graficas en papel milimetrado, semilogartmico y logartmico.4. Hacer el uso del mtodo de mnimos cuadrados para una mejor

representacin de un conjunto de N puntos.5. Conocer el mtodo de aproximacin de pares y hacer uso del mismo.

II. EXPERIMENTO

A. MODELO FISICO

Los dados obtenidos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Estas tablas nos informan

acerca de relaciones entre una de ellas llamada variable independiente y otra llamada variable

dependiente. Estos valores pueden seguir o no una ley, si lo hacen, se podr expresar mediante una

ecuacin matemtica. Una alternativa para establecer dichas relaciones s hacer representaciones

grficas lineales (rectas), para facilitar la construccin de las frmulas experimentales que representan

las leyes que gobiernan el fenmeno.

Para hallar estas ecuaciones o frmulas experimentales se hace lo siguiente:

a) Se grafica en un papel milimetrado los valores de la tabla.

b) Se compara la distribucin de puntos obtenida con curvas conocidas

c) Si se logra identificar la forma de la distribucin de los puntos, el siguiente paso es realizar un

ajuste de curvas correspondientes mediante la tcnica de mnimos cuadrados:

Mtodo de Mnimos Cuadrados:

De la distribucin lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logartmico o semilogaritmico se

calcula la pendiente m y la ordenada b. El mtodo de ajusta ms adecuado para una distribucin lineales la tcnica de mtodos cuadrados. Para aplicar este mtodo primero se construye la tabla:

Xi Yi Xi Yi Xi

X1 Y1 X1Y1 X1

X2 Y2 X2Y2 X22

Xp Yp XpYp Xp2

Xi Yi Xi Yi Xi2


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Luego se calculan la pendiente y la ordenada en el origen

m =pXi Yi - Xi Yi

; b =Xi2 Yi - Xi XiYi

pXi2 - (Xi )2

p Xi2 - (Xi)2

Donde p es el nmero de mediciones.

Luego, la frmula experimental resultante ser: Y = mx + b

Una vez ajustada la distribucin lineal, se procede a hacer los clculos a fin de encontrar la frmula

experimental buscada. Hay que mencionar que en los casos de las distribuciones lineales en papeles

logartmico y semilogartmico las frmulas experimentales son

Y = bxm.......................................................Se grafica en papel logartmico

Y = n 10mx

, Y = be2.303 mx

.........................Se grafica en papel semilogartmico

Donde 10 = e2.303

Dada que el ajuste lineal es por el mtodo de los mnimos cuadrados, la Tabla se convierte en

logartmica y semilogartmica, cuidando de colocar los valores con un mnimo de 4 decimales de

redondeo en cada columna. Hay que observar que las ecuaciones de la recta en esas escalas son:

Log Y = m Log x + Log b , y Log Y = mx + Log b

La ordenada en el origen b obtenida por la frmula ser b que corresponde a Log b, por lo que b se

calcula como antilogartmo de b. As:

b = Antilog b

En caso de no ser necesario el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribucin lineal donde el

valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongacin de la recta con el eje

vertical.

El modelo de ajuste que se utiliza es lineal, esto significa que la ecuacin que se busca tiene la forma

de una recta cuya ecuacin es: Y = mx + b. Donde la pendiente m y la ordenada en el origen b son

constantes a determinar. Pero hay que mencionar que este ajuste o determinacin ahora se puede

automatizar mediante programas de cmputo que facilitan el trabajo,


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Otro mtodo que se utiliza es el mtodo de aproximacin de pares.

Mtodo de Aproximacin de pares de puntos

Para utilizar este mtodo debemos tener presente las siguientes consideraciones:

a) Se aplica a grficas donde los puntos del eje horizontal estn igualmente espaciados.b) Los puntos se dividen en 2 grupos iguales. Un grupo para valores bajos de Y, y otro para

valores altos de Y.

c) A continuacin se aparean los puntos unos de cada grupo

d) Luego se calcula la diferencia de los valores de Y para cada par de puntos

e) A continuacin se calcula el valor medio de las diferencias Y.

f) Por la primera consideracin se sabe que la distancia X entre cada par de puntos es la

misma, por lo tanto la pendiente de la recta ajustada ser:

m = Y

X

g) Se determina el valor medio de X y el valor medio de Y.

h) Como la mejor recta ajustada debe pasar por el punto (X, Y ) con una pendiente igual a m

entonces la ecuacin de la recta ser:

Y = mx + (Y - mX)

Grficas en Papel Logartmico

El papel logartmico es construido a partir de la superposicin de 2 escalas logartmicas en forma

perpendicular. Se utiliza para obtener rpidamente el valor de n: y el valor de c. Sea la funcin:

Y = Cxn

Si se toman logaritmos a ambos lados en esta relacin, resulta:

Log Y = n Log X + Log C

Vemos que al graficar Log Y en funcin de Log X resulta una lnea recta que tiene una pendiente igual

a n y su interseccin con el eje vertical igual a Log C. Como a veces resulta laborioso obtener los

logaritmos de los nmeros de la tabulacin, se puede eliminar este trabajo utilizando el papel

logartmico. Es conveniente advertir que el papel logartmico da la escala en que se dividen los ejes X

e Y, por lo cual no es vlido alterarla como cuando se usa una escala lineal.


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B. DISEO

Papel logartmico:

Papel semilogartmico:

C. Materiales

Tomamos un papel milimetrado y trabajamos el punto4.1 (aplicaciones) de acuerdo alas tablas 1, 2 y 3. Para ellos requerimos materiales de trabajo en este caso son:

6 Hojas de papel milimetradas 2 Hojas de papel logartmicas 1 Hojas de papel semilogartmico Calculadora cientfica


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D. ANALISIS

4.1 En la Tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de corriente elctrica i conducida por un hiloconductor de nicrn, y la diferencia de potencial V aplicada entre sus extremos.

TABLA 1

I V(I)

0.5 2.18

1.0 4.36

2.0 8.72

4.0 17.44

4.2 La Tabla 2 muestra las medidas del tiempo de vaciado (t) de un depsito con agua y lasmedidas de las alturas del nivel de agua para cuatro llaves de salida de diferentes dimetros (D).

TABLA 2

h (cm.) 30 20 10 4 1

d (cm.) Tiempo de vaciado t(s)

1.5 73.0 59.9 43.0 26.7 13.5

2.0 41.2 33.7 23.7 15.0 7.2

3.0 18.4 14.9 10.5 6.8 3.7

5.0 6.8 5.3 3.9 2.2 1.5

7.0 3.2 2.7 2.0 1.3 0.8

4.3 La Tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radn. El dacero se detect una desintegracin de 4,3 x 1018 ncleos.

TABLA 3

T(das)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17


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E. APLICACIONES

1. Grafique las siguientes distribuciones:

De la tabla 1:

a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V v.s. i.

De la tabla 2:

b) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D para cada una de las alturas.

y = 4.36x + 4E-15

R2

= 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 1 2 3 4 5

Intensidad de corriente

Voltaje

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8

h=30

h=20

h=10

h=4

h=1


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c) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. h para cada dimetro.

d) En una hoja de papel logartmico grafique t vs. D para cada una de las alturas.


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e) En una hoja de papel logartmico grafique t vs. h para cada dimetro.

f) Haga el siguiente cambio de variables: z= 1/D2 y grafique t =t(z) en papel

milimetrado.


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De la Tabla 3:

g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs. T.

h) En una hoja de papel semilogartmico grafique A vs. T.

2. Hallar las frmulas experimentales:

a) Obtenga las frmulas experimentales usando el mtodo de regresin lineal para lasgrficas en los casos a, d, e y f.

Al analizar la grafica de la Tabla 1 se nota que es una recta, por lo tanto planteo para

hacer mis ajustes una recta y=mx+b

0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80 100 120

A vs. T

A vs. T


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ix iy ix iy ix2

0.5 2.18 1.09 0.25

1.0 4.36 4.36 1.0

2.0 8.72 17.34 4.0

4.0 17.44 69.76 16.0

5.7ix 70.32iy 65.92ii yx 25.212 ix

Al analizar la Tabla 2 obtengo los siguientes datos con los cuales armare mi ecuacinde la recta.

36.45.725.214

70.3265.765.9242

m

0

5.725.214

65.925.770.3225.212

b

De acuerdo a estos resultados la ecuacin que obtengo es igual a:

V(I)=4.36I

Al analizar la grafica de la Tabla 2 se nota que es una funcin exponencial t (d) por lotanto planteo para hacer mis ajustes una funcin igual a:

y=kxn

Ahora analizare para el caso en el que h=1:

Al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales armar mi funcinexponencial.

82481.149829.255197.15

66982.249829.277984.052

nm

90901.2744574.149829.255197.15

77984.049829.266982.255197.1log

2

kk


82481.190901.27 xy

ixT iyD ixlog iylog ii yx loglog ix2log

1.5 13.5 0.17609 1.13033 0.19903 0.03100

2.0 7.8 0.30102 0.89209 0.26853 0.09061

3.0 3.7 0.47712 0.56820 0.27109 0.22764

5.0 1.5 0.69897 0.17609 0.12308 0.48855

7.0 0.8 0.84509 -0.09691 -0.08189 0.71417

total 2.49829 2.66982 0.77984 1.55197


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xy

xnky

xnky

xky

kxy

kxy

n

n

n

82481.144574.1

logloglog

logloglog

loglog

Ahora analizare para el caso en el que h=4:

Al analizar la tabla obtengo los siguientes datos con los cuales armare mi funcinexponencial.

94912.1

49829.255197.15

96401.32.498291.388745

2

n

43844.5876670.149829.255197.15

38874.149829.296401.355197.1log

2

kk


94912.143844.58 xy

xy

xnky

xnky

xky

kxy

kxy

n

n

n

94912.176670.1

logloglog

logloglog

loglog

ix iy ixlog iylog ii yx loglog ix2log

1.5 26.7 0.17609 1.42651 0.25119 0.03100

2.0 15 0.30102 1.17609 0.35402 0.09061

3.0 6.8 0.47712 0.83250 0.39720 0.22764

5.0 2.6 0.69897 0.41497 0.29005 0.48855

7.0 1.3 0.84509 0.11394 0.09628 0.71417

total 2.49829 3.96401 1.38874 1.55197


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Para h=10 cm. de donde se obtendr esta funcin:

40987.049829.255197.15

96401.32.498291.8561852

n

66948.9497621.149829.255197.15

85618.149829.292146.455197.1log

2

kk


40987.066948.94 xy

xy

xnky

xnky

xkykxy

kxy

n

n

n

40987.097621.1

logloglog

logloglogloglog


01419.2

49829.255197.15

63385.52.498292.2033352

n


1.5 43 0.17609 1.63346 0.28763 0.03100

2.0 23.7 0.30102 1.37474 0.41382 0.09061

3.0 10.5 0.47712 1.02118 0.48722 0.22764

5.0 3.9 0.69897 0.59106 0.41313 0.48855

7.0 2 0.84509 0.30102 0.25438 0.71417

total 2.49829 4.92146 1.85618 1.55197

i

x i

y i

xlog i

ylog ii

yx loglog i

x2log

1.5 59.9 0.17609 1.77742 0.31298 0.03100

2.0 33.7 0.30102 1.52762 0.45984 0.09061

3.0 14.9 0.47712 1.17318 0.55964 0.22764

5.0 5.3 0.69897 0.72417 0.50624 0.48855

7.0 2.7 0.84509 0.43136 0.36493 0.71417

total 2.49829 5.63385 2.20333 1.55197


14/18



88654.13513318.249829.255197.15

20333.249829.263385.555197.1log

2

kk


01419.288654.135 xy

xy

xnky

xnky

xky

kxy

kxy

n

n

n

01419.213318.2

logloglog

logloglog

loglog


01463.249829.255197.15

08066.62.498292.4264552

n

01518.16722276.249829.255197.15

42645.249829.208066.655197.1log 2

kk


01463.201518.167 xy


1.5 73 0.17609 1.86332 0.32811 0.03100

2.0 41.2 0.30102 1.61489 0.48611 0.09061

3.0 18.4 0.47712 1.26481 0.60346 0.22764

5.0 6.8 0.69897 0.83250 0.58189 0.48855

7.0 3.2 0.84509 0.50514 0.42688 0.71417

total 2.49829 6.08066 2.42645 1.55197


15/18



xy

xnky

xnky

xky

kxy

kxy

n

n

n

01463.222276.2

logloglog

logloglog

loglog

Para 2.F se necesita hacer una nueva Tabla:

t (z) z=1/d2 d13.5 0.4444 1.5

7.8 0.25 2.0

3.7 0.11111 3.0

1.5 0.04 5.0

0.8 0.02041 7.0

ix iy ii yx 2

ix

0.4444 13.5 5.9994 0.19749

0.25 7.8 1.95 0.0625

0.1111 3.7 0.4111 0.0123

0.04 1.5 0.06 0.0016

0.02041 0.8 0.01633 0.00042

86591.0x i 3.27yi 43683.8yx ii 2743.0x2

i

Cuando h = 1:

82920.29

86591.02743.05

3.2786591.043683.852

m

29412.086591.02743.05

43683.886591.03.272743.02

b

2

182920.29

dt

Cuando h=4 la ecuacin resulta ser:

2

184.59

dt


2

181.96

dt


2

181.163

dt


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3. Interpolacin y extrapolacin:

a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los ncleos de radn, segn laTabla 2.

diast %A it iAlog ii At log 2

it 0 100 0 2 0 0

1 84 1 1.9243 1.9243 1

2 70 2 1.8451 3.6902 4

3 59 3 1.7706 5.3126 9

4 49 4 1.6902 6.7608 16

5 41 5 1.6128 8.0632 25

6 34 6 1.5315 9.1889 36

7 27 7 1.4314 10.0195 49

8 24 8 1.3102 11.0417 64

9 20 9 1.3010 11.7093 81

10 17 10 1.2304 12.3045 100

55

t i 245

A i 55

t i 7175.17

logA i 150.80

logt i iA 385

t 2i

0779.0

5538511

7175.1755015.80112

n

0003.2

5538511

0150.80557175.17385log

2

k

xA 0779.010069.100(%)

El tiempo de desintegracin del 50% de los ncleos de radon es igual a:

diast

x

8681.3

10069.10050 0779.0

b) Halle los tiempos de vaciado del agua si:

Casos Altura h(cm) Dimetro d(cm) Tiempo t (s)

01 20 4.0 8.54 s

02 40 1.0 190.94 s

03 25 3.5 12.46 s

04 49 1.0 211.48 s


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* Caso 01 : w =

= 0.28 y reemplazando en la ecuacin:

t = 30.2 w + 0.08 = 30.2 (0.28) + 0.08

t = 8.54 s

* Caso 02: w =


t = 30.2 (6.32) + 0.08

t = 190.94 s

* Caso 03: w =


t = 30.2 (0.41) + 0.08

t = 12.46 s

* Caso 04: w =

= 7 y reemplazando en la ecuacin:

t = 30.2 (7) + 0.08

t = 211.48 s

4. Haga

para las alturas y dimetros correspondientes y complete la

tabla:

d(cm) h(cm) t(s) w=h1/2/d2 t(s)

1,5 30 73,0 2,44 73,0

1,5 10 43,0 1,40 43,0

1,5 4 26,7 0,89 26,7

2,0 4 15,0 0,50 15,0

3,0 10 10,5 0,35 10,5

5,0 10 3,9 0,13 3,9

5,0 1 1,5 0,04 1,5

De donde:

i = 5,75 i = 173,6 iYi = 273,83 i2 = 9,09

m = 30,05 ; b = 0,11 => y= mx+ b

t = 30,05 w + 0,11, pero:w = h1/2/d2

La ecuacin experimental ser:

t = t(h ,d) t = 30,05 (w = h1/2/d2) + 0,11


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III. CONCLUSIONES

A travs de las diversas ecuaciones obtenidas con slo datos

experimentales, hemos llegado a la conclusin que con slo un cuadro

que explique el comportamiento de un experimento, se pueden

obtener, mediante mtodos, la ecuacin que describe el

comportamiento de dicho experimento, no solo en los casos que

aparecen en la Tabla sino en casos supuestos que son hallados sin la

necesidad de experimentar otra vez sino haciendo uso de la ecuacin

experimental la cual nos da un valor aproximado que contiene un

mnimo error, el cual es aceptable considerando el tiempo que se

ahorra.

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