UNIVERSIDAD CATOLICA DE EL SALVADORFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

FISICA I

Tratamiento de datos experimentales.

I. Introducción

Ante la necesidad que tienen los estudiantes de comprobar ciertos principios de las ciencias se debe instituir el que haya, en determinadas materias, prácticas de laboratorio.En estas prácticas los estudiantes toman datos para poder, a través de un análisis basado en la teoría estudiada en la clase, llegar a una conclusiones que incidan en la comprobación de un principio o en la determinación de una propiedad de algún material.El presente documento pretende ilustrar a los estudiantes para que puedan trabajar esos datos de una manera científica, para alcanzar, igualmente, las conclusiones pertinentes.

II. Fundamentos teóricos.

Se llaman datos experimentales a aquellos que se obtienen a partir de mediciones hechas durante la observación de un fenómeno.Los datos pueden ser directos o indirectos.Dato directo: se llama a aquél que ha sido obtenido mediante una medición directa con un instrumento. Por ejemplo: si usted tiene varias piezas de alambre de cobre, todas del mismo calibre (diámetro de la sección) pero de diferente longitud, mide estas longitudes con una regla o con una cinta métrica. Esto es una medida directa por lo tanto el dato de la medición es un dato directo.Dato indirecto: Se le llama a aquél que se obtiene aplicando una fórmula a partir de datos directos. Si usted desea obtener el área de una pieza circular, mide su diámetro con un instrumento adecuado (medida directa) y luego aplica la fórmula A = 1/4 * π d 2 y ha determinado su área (Dato indirecto).Variable Independiente: Entre los datos experimentales habrá una serie que se constituirá en variable independiente. Sus valores son a voluntad del experimentador y de ellos dependerán los valores que tome.Todos los datos experimentales tomados utilizando algún instrumento de medición, están sujetos a un error que puede ser provocado por la falta de precisión en el instrumento que se utiliza, por la falta de experiencia del investigador, por los errores metodológicos, y por muchas otras causas que se salen del dominio del investigador. Esto genera lo que se conoce como incerteza en las mediciones. Si se ponen todos los medios para evitar los errores metodológicos se puede considerar que, mientas más preciso es un instrumento, menor será la incerteza de la medida en que se incurre. Normalmente se toma como referencia la mitad de la división más pequeña que presente el instrumento.Cuando el riesgo de los errores metodológicos es grande, por ejemplo, cuando se debe medir el tiempo en intervalos muy pequeños y se utiliza un cronómetro simple, es conveniente hacer varias veces la medición, despreciar aquellas que han salido muy desviadas y tomar el promedio de las restantes como el dato más aproximado, tomando en

cuenta la dispersión de los datos para estimar el error. En este caso la incerteza se puede reportar como la diferencia entre el promedio obtenido y el dato extremo más lejano al promedio.

En la tabla de datos experimentales se deben consignar todos los datos, ya sean directos o indirectos y con sus unidades correspondientes, tanto las unidades que brindan los instrumentos de medición cómo las resultantes de las conversiones que se hayan tenido que hacer para que la presentación de los resultados sea la adecuada.

De la tabla general de datos experimentales se separan las dos columnas de datos que habrán de graficarse a fin de obtener una relación matemática entre las dos variables y se hace una nueva tabla únicamente con estas dos columnas.

Entre estas dos columnas se elige la que será la variable independiente para ubicarla en el eje horizontal de la gráfica y la variable dependiente que se colocará en el eje vertical.

Se elige la escala adecuada para cada eje a fin de que quepan todos los datos en la gráfica

Se ubican en la gráfica los puntos que representan cada par ordenado de la tabla de datos y se rodean de una pequeña área circular cuyo diámetro puede representar el error cometido al efectuar las lecturas.

Se traza una línea continua siguiendo la tendencia de los puntos que puede tomar una de las siguientes formas:

a. Línea recta b. Parábola vertical c. Parábola horizontal d. Hipérbola

Dependiendo de la forma de la curva resultante se efectúa un procedimiento a fin de establecer la relación matemática entre las dos variables.a) Línea recta. La relación existente entre las variables es de proporcionalidad directa. La expresión relacional es

y la ecuación quedaría de la forma

en la que K se denomina “constante de proporcionalidad” y su valor se puede determinar calculando la pendiente de la línea recta que se obtuvo en la gráfica.

Esta pendiente puede determinarse según la fórmula de Geometría Analítica

en la que (x1, y1) y (x2, y2) son puntos leídos directamente sobre la recta. No deben tomarse dos puntos de la tabla de datos experimentales, a no ser que éstos coincidan exactamente con puntos de la recta, ya que los datos experimentales siempre están sujetos a error y el investigador de ninguna manera puede decidir cuáles de sus datos están libres de error.Al tomar dos datos de la tabla, el investigador estaría calculando la pendiente entre esos dos puntos que en raras ocasiones será igual a la pendiente geométrica de la línea recta que resulta en la gráfica, por lo tanto su resultado no será científicamente correcto. Bastará para comprobarlo, que tome otros dos puntos de la tabla y tendrá un resultado completamente distinto. Sería absurdo tener 2 ó más constantes para una relación.

También puede calcularse la constante de proporcionalidad midiendo con regla los correspondientes Δy y Δx entre los puntos seleccionados y aplicándoles su respectiva escala para luego emplear la fórmula de geometría analítica:

Esta constante de proporcionalidad llevará las unidades correspondientes a Δy /Δx.

b) Parábola Vertical. Esta figura sugiere una relación de la forma

En la que n es un número positivo mayor que 1.Este tipo de gráfica es susceptible de dos tratamientos.

1. Método cartesiano o “linealización de la curva” (a prueba y error)

Se tabula una nueva columna de datos comenzando por n=2, que contendrá los valores de x elevados al cuadrado.

Se grafica y vrs x2 . Si el resultado es una línea recta, se procede a determinar la pendiente de proporcionalidad como el caso anterior, tomando en cuenta que la variable ya no es x, sino x2, por lo que sus unidades serán u2. Si el resultado es otra curva, se deberá seguir probando exponentes hasta que la gráfica sea una línea recta.

2. Método logarítmico. Se basa en que, al aplicar propiedades de logaritmos a la ecuación :

Queda una expresión como la siguiente:

Representa a una ecuación de línea recta tipo pendiente-intercepto en la que “log y” sería la variable dependiente, “log k” el intercepto, “n” la pendiente y “log x” la variable independiente.En una hoja de papel log-log (hojas que traen impresas escalas logarítmicas, llamadas también hojas de papel logarítmico. De acuerdo al rango de las variables, se utilizarán hojas de diferente orden de magnitud.)El uso del papel logarítmico tiene ventaja ya que se determina directamente el valor de la constante de proporcionalidad y el exponente de la variable, ya sea positivo, negativo o fraccionario, dependiendo de la tendencia de la curva original. En el caso de una parábola vertical el valor de la pendiente “n” será positivo y mayor que 1.

c) Parábola horizontalEsta figura sugiere la relación de tipo

ym x convertible a y = k.x1/m que siempre cae en la forma

pero ahora n es un número positivo menor que 1, de tal forma que n =1/m.

El tratamiento que se da a este tipo de gráficas es análogo al de parábola vertical, es decir, tratamiento cartesiano a prueba y error añadiendo columnas de “ x1/n ” hasta que la gráfica salga recta, o graficación en papel logarítmico en el que la pendiente “n” determinada tendrá que ser un valor entre 0 y 1.

d) Hipérbola Esta vez la relación sugerida será y 1/xm la cual también se puede interpretar como una forma de y = k.xn en la que “n” sería un número negativo y el tratamiento se vuelve análogo al caso anterior. Por el método de linealización a prueba y error, agregando columnas con

los valores correspondientes de “ 1/xn ” comenzando con n = 1 y graficando hasta que la gráfica salga recta. O puede probar por el método de papel logarítmico en cuyo caso el valor de la pendiente “n” será negativo.

III. Aplicaciones

Veamos unas aplicaciones.

EJEMPLO 1. Se realiza un experimento en el que se quiere determinar la dependencia entre la distancia recorrida y el tiempo de un carrito se mueve sobre una superficie horizontal, y se toman los siguientes datos:

tiempo (t) (seg) distancia (x) (m) 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

0.00 0.55 1.15 1.45 2.05 2.45

Con estos datos se elabora la gráfica poniendo el tiempo t en el eje horizontal, y la distancia x en el eje vertical, se aplica una escala adecuada en cada uno de los ejes y se ubican los puntos. Se observa que los puntos siguen una tendencia de línea recta.Luego se traza la línea que siga la tendencia de esos puntos.

No se trata de unir los puntos con rectas. Daría una gráfica de este estilo y no se podría establecer ninguna relación

Tampoco se trata de que queden varios puntos sobre la recta, sino de seguir la tendencia, procurando que los puntos queden distribuidos equitativamente alrededor de la recta. Eventualmente podría ocurrir que uno o más puntos quedaran sobre la recta. Si un punto quedara desviado completamente de la tendencia se desprecia, ya que esos datos no ofrecen ninguna garantía de estar bien tomados

La gráfica quedaría según la siguiente ilustración:

El paso siguiente sería determinar la pendiente de la recta , seleccionando 2 puntos sobre la recta. Ya que los puntos (0.0, 0.0) y (8.0, 2.05) han quedado sobre la recta, se pueden elegir esos dos. Aunque pueden elegirse otros, nunca deben seleccionarse los puntos que quedaron fuera de la recta aunque hayan sido tomados como datos experimentales.

Calculamos la pendiente por la fórmula de la Geometría analítica así

Y la ecuación del experimento queda :

x = 0.255 t

en la que x (distancia) está en metros y t (tiempo) en segundos.

Esta ecuación se puede obtener por un método más sofisticado conocido por “aproximación por mínimos cuadrados”, pero no lo estudiaremos en esta ocasión. El resultado no presentaría mayor diferencia.

EJEMPLO 2. Sobre un plano inclinado deslizó, desde x = 0, un carrito y se tomaron los siguientes datos de la posición del carrito con respecto al tiempo.

t (seg) x (cm) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

0 10 35 75 130 205

Ubicamos los puntos en un gráfico

Se nota la tendencia de la parábola vertical. Por lo tanto habrá que seguir el procedimiento correspondiente para determinar el valor de k y de n para la ecuación x = k tn en la que n > 1

1. Método de “prueba y error para linealización de la curva”. Para comenzar asignamos a n el valor de 2 y agregamos una columna a la tabla de datos con los valores calculados de t2

t (s) t2 (s2) x (cm) 0.0 0.0 0 1.0 1.0 10 2.0 4.0 35 3.0 9.0 75 4.0 16.0 130 5.0 25.0 205

y graficamos, pero esta vez colocando t2 en el eje horizontal y siempre x en el vertical

En este gráfico ya se nota la tendencia a la recta, por lo tanto, puede considerarse que la curva ha sido “linealizada” y puede procederse a determinar el valor de la pendiente como se hizo en el ejemplo 1, el que representará el valor de la constante de proporcionalidad “k”Como la curva resultó “linealizada” con un valor 2 para el exponente “n” se acepta este valor. Si la curva no hubiera salido “linealizada” se deben probar otros valores de “n” hasta obtenerla. Salvo el caso de los procesos adiabáticos, los exponentes normalmente serán números enteros.Tracemos la recta y determinemos el valor de su pendiente.

Esta vez, tomaremos dos puntos reales sobre la recta, no puntos de la tabla.. Por ejemplo el punto 1 ( 8,66) y el punto 2 (20,165) . Apliquemos la fórmula

la ecuación que representa el experimento quedaría entonces:

x = 8.25 t2

con x (posición) en centímetros y t (tiempo) en segundos

Si se utiliza el método de “aproximación por mínimos cuadrados” deberá hacerse en la etapa de “curva linealizada”

2. Haremos la misma determinación pero, esta vez utilizando papel logarítmico. Tendremos que utilizar un papel que tenga al menos 1 orden en el eje horizontal y 3 órdenes en el eje vertical ya que los datos tomados se mueven en esos rangos. Aquí hemos utilizado de 3 x 3.

En el papel logarítmico las marcas se colocan según potencias de 10 de acuerdo a la característica del logaritmo y las divisiones entre marcas no son iguales. La división entre 1 y 2 será mayor que la división entre 2 y 3 y así sucesivamente.Como podrá notarse no aparece el punto (0,0) pues no existe el logaritmo de 0, ni el punto en el que t = 1 seg pues log 1 = 0 y el valor del intercepto es el que nos daría la constante de proporcionalidad. En este caso 8.25. La pendiente de la recta se puede determinar midiendo en centímetros los valores de y y x,. multiplicando por el cociente entre la medida de un orden en x sobre la medida de un orden en y. Al hacerlo nos da como resultado 2. Este es el exponente de la variable independiente, en este caso de t. La ecuación a reportar sería entonces:

x = 8.25 t2

Dejaremos que el alumno haga los ejercicios de la gráfica que corresponde a una parábola horizontal y de una hipérbola.

EJERCICIO 1. Gráfica que corresponde a una parábola horizontal. (caso no real)Experiencia: Se trata de establecer la relación existente entre la altura (h) a la que se deja caer un objeto extendido (un plato de durapax, por ejemplo) y el tiempo (t) que tarda en llegar al suelo. Se utiliza un objeto extendido para que el aire ejerza resistencia sobre él y frene su caída proporcionando una aceleración menor que la ocasionada por la gravedad. Se generó la siguiente tabla de datos:

h (cm) 2 cm

25

t (s) x 10-2

23

50 33 75 42 100 43 125 47 150 53 175 57

¿ Qué significa el 2 cm que aparece en la tabla después de h(cm)? ¿Y el 10-2 después de t(s)?

Por la calidad de los datos ¿piensa usted que se pudieron tomar con una sola experiencia? ¿Por qué?

¿Por qué no se habrá realizado la experiencia para h = 0 cm?

Sin embargo es necesario colocar en la gráfica el punto correspondiente para h = 0. ¿Por qué?

Ubique los puntos en una gráfica con h en el eje horizontal y t en el vertical para determinar la tendencia de la curva.

Deduzca la relación matemática que rige este experimento mediante los dos métodos estudiados: "linealización” a prueba y error utilizando papel milimetrado, y la deducción directa en papel log-log

EJERCICIO 2. Gráfica que corresponde a una hipérbola (caso no real)Experiencia: En un gas sometido a una serie de expansiones y compresiones isotérmicas (manteniendo constante la temperatura) se obtuvieron los siguientes pares de datos de la presión (P) con respecto al volumen (V).

V (litros) P (cm Hg) 10 128 20 66 30 40 40 31 50 28 60 19

Grafique y obtenga la relación más aproximada por los dos métodos descritos.

Programa para graficar: Graph 4.4 Se descarga con licencia gratuita de www.padowan.dk

DEDUCCIÓN DE MODELO MATEMÁTICO UTILIZANDO “GRAPH”

“Graph” es un programa para graficar que se obtiene gratuitamente del sitio www.padowan.dk y que es muy útil para deducir los modelos matemáticos a partir de una serie de datos experimentales. El programa se encarga de trazar la gráfica y de determinar la ecuación de correlación entre las dos variables. Ecuación que ha de servir como base para deducir la fórmula que rige el comportamiento del fenómeno observado. A continuación se ofrece una guía para su utilización en el tratamiento de datos experimentales..

Al ingresar al programa se muestra la pantalla completa y el primer paso será configurar los ejes de coordenadas para poder hacer la gráfica.

1. Configuración de los ejes.

En la barra de tareas se oprime el botón “editar ejes”

Aparece la siguiente ventana.En esta ventana vamos a configurar los ejes con el nombre de la variable y la escala.La pestaña “Eje X” configura la varfiable independiente y la pestaña “Eje Y” es para la configuración de la variable dependiente.

En la casilla “Mínimo” se coloca el mínimo valor que puede tener la variable, que normalmente será 0. En la casilla “Máximo un valor algo mayor que el más alto de los datos experimentales correspondientes.En la casilla “Título del eje” se coloca el nombre da la variable y, entre paréntesis las unidades de medida.

Nos pasamos a la pestaña “Configuración”. En Física se utilizan los gráficos con los ejes a escuadraEl color de la líneas es azul. Si usted quiere cambiar el color lo puede hacer en la pestaña “Colores y fuentes”. Ahí también puede cambiar el estilo de fuente.

2. Introducción de los datos

Se oprime el botón “Insertar serie de puntos”.

En la columna X se introducen los valores, ordenados de menor a mayor, de la variable independiente y en la columna Y, los de la variable dependiente.

Los puntos aparecerán en la gráfica según las elecciones que se hagan en “Marcador” . Para trazar el gráfico de debe usar “línea” de esta ventana. Por eso deje en blanco la casilla “estilo”

La tabla de datos se puede copiar desde un archivo de Excel

Al oprimir “Aceptar” aparecen los puntos en el gráfico.

3. Trazo de la línea de regresión y obtención de la ecuación.

Al aparecer los puntos se activa el botón : “Insertar línea de tendencia”.

Al oprimirlo aparece el siguiente cuadro.

Aquí se elige el tipo de línea de acuerdo a la tendencia que siguen los puntos. En Física, normalmente se utilizará la Lineal (la da por defecto) o, en su caso, la potencial.

Si para x=0 se da que y=0, se marcará la casilla que dice “Cortar en y= 0” En el caso de que exista un valor inicial de la variable dependiente, este se consignará en la casilla y = [ ]

El ejemplo que estamos trabajando indudablemente marca tendencia de una línea recta sin valor inicial, por lo tanto, corta en y = 0. Se marca el cuadrito y se oprime “Aceptar” y ya aparece el gráfico con la línea trazada.

Tanto en el recuadro de la esquina superior derecha del gráfico, como en la columna de la izquierda, aparece la ecuación de regresión entre las variables con su correspondiente coeficiente de correlación (R2 < 1.0000) que es el que indica el grado de aproximación o confianza que genera el trazo. Mientras más cercano a 1 sea, es mejor el grado de confianza.

La ecuación de regresión se puede editar haciendo doble click sobre ella en la columna de la izquierda o mediante el menú que aparece cuando se hace click derecho.En la ventana de edición se puede cambiar el estilo, el color y el grosor de la línea de tendencia.

La ecuación de regresión según el programa Graph es f(x) = 0.2514*x en la que 0.2514 es el valor de la pendiente. Si la comparamos con el valor determinado por el método convencional ( y = 0.255 x ), observamos muy poca diferencia, lo que en Física se considera que no es significativo.

Solo queda cambiar la x y la y de la ecuación de regresión por los símbolos adoptados para representar las variables y ya tenemos el modelo matemático o fórmula para el fenómeno observado.

SI LA TENDENCIA NO ES LÍNEA RECTA.

En el ejemplo 2 se había analizado el caso de una parábola. Siguiendo con ese ejemplo, al trazar la línea de regresión se escogería la opción “potencial”.

Como se puede observar, la ecuación de regresión que resulta no tiene un exponente entero, pero sí muy próximo a 2. Entonces para encontrar el modelo matemático para el fenómeno

pueden existir dos caminos: o editar la ecuación y transformarla, o hacer una nueva gráfica elevando al cuadrado la variable independiente, tal como se hizo en el método manual.

Alternativa 1: Editar la ecuación y transformarla.

La ecuación de regresión que se ha obtenido debe ser transformada para aproximar su exponente a un exponente entero.

f(x) = 9.796x1.8707 f(x) = A x2

Si se deja la misma constante daría una gráfica que se aleja de la distribución de los datos, como se observa en la figura siguiente

Habrá que buscar, a prueba y error, una constante que se acomode a la distribución de puntos . Al probar con la ecuación y = 8.25 x2 resulta una gráfica que se ve bastante bien ajustada a los puntos.

La aproximación es muy buena pero no se tiene la garantía de un método estadístico. Pudimos haber probado con otro valor, cercano a 8.25 y, probablemente, nos habría dado también una aproximación aceptable.

La fórmula que rige el fenómeno quedaría entonces, ya sustituyendo las variable x-y por los símbolos utilizados:

d = 8.25 t2

Alternativa 2: “Enderezamiento de la curva”

El procedimiento sería de acuerdo a lo ya descrito anteriormente: agregar una columna en la tabla de datos con los valores correspondientes a t2 y graficar.

t (s) t2 (s2) x (cm) 0.0 0.0 0 1.0 1.0 10 2.0 4.0 35 3.0 9.0 75 4.0 16.0 130 5.0 25.0 205

Hemos obtenido la ecuación y = 8.2022x2 que se ha obtenido mediante el método estadístico que maneja el programa. Como se ve, el coeficiente de correlación R2 = 0.9997, da un valor muy próximo a 1.000, lo que nos indica un alto grado de confianza.

Se podría reportar el modelo matemático para este fenómeno como d = 8.2022 t2 y, si lo comparamos con el obtenido a prueba y error o con el obtenido mediante el método numérico, se nota muy poca diferencia.

Se deja a la práctica de los estudiantes, desarrollar los otros ejercicios propuestos.