la naturaleza analitica de la verdad matematica parra ballesteros

7/25/2019 La Naturaleza Analitica de La Verdad Matematica Parra Ballesteros

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Universitas Philosophica

ISSN: 0120-5323

[email protected]

Pontificia Universidad Javeriana

Colombia

Parra Ballesteros, Mara Paula

La naturaleza analtica de la verdad matemtica

Universitas Philosophica, vol. 32, nm. 64, enero-junio, 2015, pp. 83-88

Pontificia Universidad Javeriana

Bogot, Colombia

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=409540996007

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enero-junio 2015, Bogot, Colombia ISSN0120-5323

LA NATURALEZA ANALTICADE LA VERDAD MATEMTICA

M P P BPontificia Universidad Javeriana

[email protected]

E emprendo la tarea de presentar, de manera muy gene-ral, la filosofa de la matemtica pura, propuesta por Luis Eduardo Surez en dosartculos publicados en Universitas Philosophica. Los artculos se titulan: Filo-sofaLgicaMatemticas y La naturaleza de la verdad matemtica. Para ca-racterizar la filosofa de la matemtica de Luis Eduardo, abordo la pregunta porla naturaleza de la verdad en esta ciencia. El trabajo que ahora presento es moti-

vado por la invitacin que hace el profesor Surez a sus estudiantes en el primerode los artculos mencionados:

uisiera con estas lneas, excitar a los jvenes que aspiran a ser filsofos paraque se inicien en algunos temas fascinantes de la filosofa: los de la filosofade la matemtica (y otros temas conexos como la filosofa de la lgica) en losque muy poco o nada ha incursionado la filosofa colombiana. (Surez,1984, p. 66)

Este texto lo dividido en dos secciones. La primera, Tres corrientes filosof-

cas en matemticas, da cuenta de tres escuelas que surgieron en la segunda mitaddel S. XIX y primera mitad del S. XX. La finalidad de esta seccin es mostrar lasrazones por las cuales el profesor no admite que la caracterizacin de la filosofade la matemtica hecha por cada escuela sea satisfactoria. La segunda seccin,Naturaleza analtica de la verdad matemtica: propuesta de Luis Eduardo Su-rez, expone las razones y los motivos por los cuales se establece que la naturalezade la verdad matemtica es analtica.


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1. Tres corrientes filosficas en matemticas

L a la escuela logicista, intuicionista y formalista noes una crtica destructiva. Aunque se sealan las falencias de cada escuela, razo-nes por las cuales no se puede admitir que fundamenten absolutamente la mate-mtica, se muestra el avance y el refinamiento de los mtodos que produjo cadauno de los programas.

Un antecedente filosfico de la propuesta logicista lo desarrolla Leibniz ensus trabajos. A finales del S. XIX Gottlob Frege postula la totalidad de la tesislogicista, pero esta solo se dar a conocer a travs de su mximo representante:

Bertrand Russell. La tesis fundamental del logicismo es: la matemtica se redu-ce a la lgica (Surez, 1984, p. 72). Segn esta definicin podemos entender queel propsito del programa logicista es fundamentar en leyes y principios lgicosel conocimiento aritmtico y su verdad.

Para lograr la deduccin de todas las proposiciones matemticas de axiomasy leyes lgicos, los adeptos al logicismo debieron desarrollar con extrema finurados elementos: primero, un algoritmo simblico parecido al del lgebra; segun-

do, diversos mtodos potentes de anlisis que permiten definir todos los postu-lados matemticos desde trminos lgicos.

Dado el desarrollo de estos elementos, Russell y Whitehead emprendieron laardua tarea de probar la tesis logicista, para lograrlo tuvieron demostrar dos pun-tos: uno, que la expresin de la totalidad de las proposiciones aritmticas se pue-de realizar en trminos lgicos; otro, el hecho de que toda proposicinmatemtica verdadera es una expresin lgica vlida, es decir, la deduccin, pormedio de razonamientos puramente lgicos y desde una lgica axiomatizada, de

toda proposicin matemtica (Surez, 1984, p. 72). El primer punto, a diferenciadel segundo, es posible cumplirlo.

La imposibilidad de demostrar que toda proposicin matemtica es una expre-sin lgica verdadera significa que la verdad de por lo menos una proposicin ma-temtica no se sigue de los axiomas y las leyes de la lgica, aunque la proposicindentro del sistema se pueda expresar en trminos lgicos. Bretrand Russell hallesta contradiccin en los trabajos de Frege, y con la intencin de salvar el proyectologicista, propuso incluir entre los axiomas del sistema el de reducibilidad. Otro


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problema del programa logicista es la falta de justificacin del infinito actual, esdecir, la explicacin de la postulacin de totalidades infinitas.

Por su parte, el programa intuicionista se constituye como opuesto al pro-grama logicista. Aunque esta nueva escuela acepta la axiomatizacin del anlisis,rechaza la idea del infinito actual en matemtica. Esto que implica en la cienciael rechazo a la construccin o postulacin terica del conjunto total de losnmeros reales. As pues, esta escuela no acepta en grado alguno la idea cantoria-na de nmeros y clases transfinitas.

La cercania de la escuela intuicionista con la epistemologa kantiana la ca-

racterizacin kantiana del conocimiento matemtico es patente. Al igual queKant, los miembros de esta escuela Kroneckner, Poincar y Brower sostienenque el conocimiento matemtico es un conocimiento creado por la mente delmatemtico y justificado por la intuicin. Por esta razn, la verdad que expresanlas proposiciones matemticas no se refiere a objetos intemporales o metafsicos,sino que ella est destinada a satisfacer ciertas necesidades del hombre en rela-cin con un medio.

La lgica que enmarca la matemtica intuicionista no puede ser la lgica

clsica elemental; ya que la lgica clsica acepta postulados que la matemticaintuicionista rechaza como consecuencia de su fundamento epistemolgico.Dos de estos postulados son la construccin de conjuntos o clase infinitos y elprincipio de tercero excluido.

La superioridad filosfica de la escuela intuicionista respecto de la escuelalogicista consiste en que el intuicionismo [c]umple el programa que establece,sin recurrir a presupuestos excludos por l mismo, utilizando en sus construc-ciones los principios de razonamiento descritos en su lgica intuicionista (Su-

rez, 1984, p. 74). El problema de la matemtica intuicionista es que se le puedenplantear tanto las objeciones propias de la concepcin cartesiana del conoci-miento intuitivo, como las objeciones pertinentes a una concepcin kantiana dela filosofa de la matemtica. Adems, esta escuela reduce en gran medida el co-nocimento de la matemtica clsica al negar algunos de los postulados bajo loscuales esta se fundamenta.

Ahora bien, David Hilbert fund y desarroll el mtodo formalista para

fundamentar la matemtica en una serie ordenada y finita de pasos que proba-sen la consistencia del sistema. Para lograr este cometido, dicha escuela tuvo que


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perfeccionar el mtodo axiomtico, con lo que excluye cualquier significadointuitivo de los trminos primitivos que se utilizan. Al excluir un significado

determinado de los trminos primitivos se abre la posibilidad a que el mtodoaxiomtico sea interpretado de distintas maneras. Adems, por la reduccin apostulados y axiomas bsicos, as como el uso exhaustivo del simbolismo lgicode Peano, este mtodo conduce a una economa del pensamiento.

u significa que una teora sea formalizada? ue todas sus afirmaciones yreglas de inferencia, al margen de cualqueir contenido concreto, se pueden hacerexplcitas. Para ello, el procedimiento que se debe aplicar requiere de un vocabu-lario formal que incluye reglas bien formadas de un sistema finito de axiomas,sobre los cuales se pueden efectuar transformaciones de acuerdo con reglas deinherencia. Una teora es completamente formalizada si y solo si no contiene dosteoremas uno de los cuales sea negacin del otro (Surez, 1984, p. 76).

A diferencia de la escuela logicista y la escuela intuicionista, los formalistas nose interesan por los supuestos epistemolgicos de la teora. La consecuencia deesto es que no plantean su investigacin respecto al carcter verdadero de las pro-posiciones matemticas, sino respecto de si el sistema es o no consistente. Si el

programa formalista hubiese sido exitoso, la matemtica y la lgica que se desa-rrollan simultneamente se tendran que considerar independientes a la filosofa.

Por ltimo, hay que decir que cada escuela aborda para negar o afirmar larelacin entre matemtica, lgica y filosofa. Adems, por consideraciones quetienen que ver con el infinito actual o potencial, se asumen posturas respectoa la existencia real o abstracta de los objetos matemticos.

2. Naturaleza analtica de la verdad matemtica: propuesta

de Luis Eduardo Surez

S de la matemtica es la definicin de la verdad mate-mtica (Surez, 1984, p. 77), hay una relacin efectiva entre la matemtica, lalgica y la filosofa. Ahora bien, si la definicin de la verdad matemtica es anal-tica, se responde por los motivos que autorizan la aceptabilidad validez objeti-va de los enunciados y teoras de una manera determinda.

De modo general, una afirmacin matemtica se afirma verdadera en el mismosentido en el que lo hace la proposicin nign hombre casado es soltero. Es decir,


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la aceptabilidad de la verdad no depende de la experiencia emprica ya sea porquela proposicin no se encuentra ligada a la experiencia, o porque es anterior a ella.

Por tanto, la verdad que expresan dichas proposiciones es analtica ya priori.La analiticidad de la verdad de una proposicin est condicionada por las

definiciones o estipulaciones que determinan la significacin de los trminosusados en cada caso. La certeza de una afirmacin analtica es absoluta, pero estacerteza conseguida gracias al anlisis de las definiciones de los trminos impli-cados tiene como costo la vaciedad de contenido informativo: de una proposi-cin analtica no se sigue un contenido emprico o una implicacin prctica. Estaexplicacin es suficiente para entender que la verdad de una proposicin comoningn hombre casado es soltero es analtica. Pero la matemtica no solo seconstituye de trminos definidos, en esta ciencia, tambin se encuentran concep-tos bsicos o trminos primitivos que no se definen en la teora, as como princi-pios y relaciones lgicas que se utilizan en la demostracin de las proposiciones.

El conjunto total de las definiciones, los axiomas y las relaciones lgicas delos elementos que conforman la ciencia son las estipulaciones que se admitenpara su prueba. El conjunto de axiomas o postulados que adopta Surez como

base de toda la matemtica es el sistema axiomtico de Peano. Estos postuladospueden interpretarse de dos maneras: como axiomas materiales y como axiomasabstractos. A continuacin se presentan los postulados axiomticos materiales yla regla deductiva lgica adoptada; aunque la axiomtica abstracta exalta la cua-lidad principial del sistema de Peano, a saber, que los postulados pueden ser in-terpretados de distintas maneras y no solo en el lenguaje aritmtico, es ms dificily extenso dar y comprender los postulados y la demostracin de la matemticadesde axiomas abstractos. Hecha esta aclaracin, los trminos primitivos de la

axiomtica material de Peano son los conceptos de 0, nmero y sucesor. ellos noson definidos en los axiomticos materiales:

P1= 0 es un nmero.P2 = El sucesor de un nmero (n) cualquiera es un nmero (n + 1) o n.P3 = Dos nmeros diferentes no tienen el mismo sucesor.P4 = 0 no es sucesor de ningn nmero.P5= Si P es una propiedad tal que: 0 tiene esa propiedad (P) y si siempre quen tiene la propiedad P, su sucesor tiene la propiedad P. Entonces: Todo n-

mero tiene esa propiedad P. (Surez, 1985, p. 83)


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De P1 se sigue que el 0 es un nmero. Por P2si n = 0, (n + 1) = 1, este proce-so se sigue indefinidamente siempre y cuando, para la nueva definicin de un

nmero particular n es igual a su antecesor inmediato. Por P3y P5se garantizaque en el proceso nunca se va a definir dos veces un mismo nmero. Por P 4 nuncase podr definir 0.

Para definir las operaciones bsicas de la mtemtica, por ejemplo la adi-cin, se debe establecer la relacin lgica por la cul es posible realizar la opera-cin matemtica. En este caso la relacin que permite hacer la demostracin esla transitividad de la identidad, en trminos lgicos se expresa: (a = b) (b = c)(a = c). En trminos aritmticos, como ya estn definidos los nmeros natura-les, se puede aplicar la transitividad de la identidad desde la definicin de nme-ro como el agregado en 1 hasta llegar al trmino que por definicin no es sucesor(0). Entonces, para definir la suma 7 + 5 = 12 se deben tener presente tanto lasdefiniciones recursivas de 7 y 5, como la de 12, para establecer que 7 + 5 = 12si [12 = (11) = 7 + (3)].

Como la matemtica no se reduce a los nmeros naturales, se deben definirtodos los tipos de nmeros enteros, racionales, irracionales, reales, no-reales.

Estas definiciones son posibles en la medida en que se pueden definir los tiposmayores de nmeros en relacin con los tipos menores. Por lo que se llega a lanecesidad de crear conjuntos de conjuntos de pares ordenados de una clase infe-rior que definan un nmero de la clase superior.

La definicin de los tipos de nmeros como conjuntos, unos ms grandesque otros, supone dos axiomas que no son propiamente lgicos es decir, que suverdad es independiente de la verdad de los otros postulados del sistema, estosaxiomas demostrativos son conocidos como el axioma de eleccin y de infinito,

ellos garantizan que tanto los conjuntos finitos como los conjuntos infinitos sonorganizables.

Ahora bien, como lo importante para la matemtica es expresar proposicio-nes verdaderas, los axiomas de Peano deben ser necesariamente interpretados ensu significacin habitual, la cual requiere la definicin de 0, sucesor y nmeronatural. Surez acepta y adopta las definiciones dadas por G. Frege y B. Russell deestos conceptos pero, a diferencia del logicismo, considera que en la prueba de lanocin de sucesor y nmero natural se deben utilizar los axiomas de eleccin y deinfinito respectivamente.


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Con todo, la definicin de la naturaleza de la verdad matemtica propuestapor Luis Eduardo consta de tres elementos: 1. El sistema axiomtico de Peano. 2.

La interpretacin habitual y la prueba formal del programa logicista de lostrminos primitivos del sistema axiomtico de Peano. 3. Los axiomas de eleccine infinitud para justificar las definiciones de nmero natural y sucesor, tal y comolos define el programa logicista. Estos son los componentes que conforman ellogicismo del que habla Surez en el penltimo apartado de su segundo artculo.Desde este punto de vista es, entonces, posible sostener que la matemtica es unarama de la lgica en el siguiente sentido:

a) Todo concepto de la Matemtica Aritmtica, lgebra, Anlisis puede de-finirse en trminos de cuatro conceptos de la lgica pura. Los conceptos denegacin, cuantificador universal, funcin y variable.

Todo teorema de la matemtica puede deducirse de esas definiciones pormedio de los principio de la lgica (ms los axiomas de eleccin y de infini-to) (Surez, 1985, p. 90).

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