geoemtria analitica
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X= x1+ r x2 ; r≠ -1
y= y1+ r y2; r≠ -1
x= x1+x2
y= y1+y2
M
AC
RG
B
UNIDAD: I
RESUMEN DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
1) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN UNA RECTA
P1 P2
(X1)(X2)
P1 (Y1)
D (P1 P2)= Y2- Y1
P2 (Y2)
2) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO Y
D (P1 P2)=0 x
3) RAZON ENTRE DOS SEGMENTOS
P1(X1;Y1) P(X;Y) P2(X2;Y2)
P1P = rPP2
4) COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
, Sir = 1, => Pm ( ; )
5) DISTANCIA DE PUNTO A RECTA
P1(X1;Y1)
P2(X2;Y2)
(X2-X1)2 + (Y2-Y1)2
y1+y2
x1+x2
2AQ ; BM ; CN (Medianas); G=Baricentro = A+B+C
3
ORTOCENTRO : PUNTO DE Ω DE LAS ALTURAS INCENTRO : PUNTO DE Ω DE LAS BISECTRICES CIRCUNCENTRO : PUNTO DE Ω DE LAS MEDIATRICES
Y
P1(x1; y1)
Distancia entre 2 rectas paralelasd(L1//L2) = C1 – C2
A2+B2
d(P;L)= Ax1+By1+C ; P1(x1; y1) E /R2
A2+B2
P1(X1;Y1
)
P2(X2;Y
2)
P1(X1;Y1) P2(X2;Y2) l
Y2 - Y1
X2 - X1
6) ANGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA, PENDIENTE DE UNA RECTA Angulo de inclinación de una recta: Es el ángulo que forma la recta con la
parte positiva del eje X.
α=ángulo de inclinación 0
7) PENDIENTE DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS ≠ S EN EL PLANO
Yl
ml = Y2Y1; X1≠X2
X2-X1
0 x
8) ECUACIONES DE LA RECTA
a) Ecuación de la recta que pasa por dos puntos ≠ S
Y
Y-Y1=(X-X1) ;X1≠X2 0 x
0 X
d
L:Ax + By + C= 0
P1(X1;Y1)
(0;b)
b) Ecuación de la recta que pasa por un punto P1 (X1 Y1) y se conoce la pendiente “m”
Y
Y-Y1= m (X-X1) l
Forma: Punto – pendiente
0 X
c) Ecuación de la recta cuando se conoce su pendiente y su intercepción con
el eje “Y”
Y l
Y=mx + b
“b” es la ordenada del punto 0 Xdonde la recta corta al eje “Y”
d) Ecuación de la recta en su forma intersección en los ejes Y
l
(0; b)Xa
+ Yb=1
0 (a; 0) X
e) Ecuación general de la recta
L: Ax+By+C = 0; A; B y C E /R, A y B no pueden ser “0” a la vez
ml= −AB
; b= −CB
Intercepto
Pendiente
f) Ecuación de la recta que pasa por dos puntos en forma de determinantes.
X Y 1X1 Y1 1 = 0 Los puntos son P1(x1,y1) y P2(x2,y2)X2 Y2 1
NOTA
X1 Y1 1Área del que tiene por ibstices los puntos
A= 12
X2 Y2 1 = P1(x1,y1) , P2(x2,y2) y P3(x3,y3)
X3 Y3 1 (Se toma el valor absoluto del determinante). Si el valor del determinante es cero (0), => los puntos P1,
P2 y P3 son colineales.
ÁNGULO FORMADO POR 2 RECTAS ≠ S
L2 L1 m1= pendiente de la recta inicial tgα= l1 y m2 = pendiente de la recta
α final l2
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
L1: A1+X1+B1Y1+C1=0
L2: A2+X2+B2Y2+C2=0
1º L1 // L2 ↔ m1 = m2
2º L1 | L2 ↔ m1.m2=-1 ó m1=-1m
ó m2=-1m
3º L1 y L2son coincidentes ↔ AA
=BB
=CC
=K
OBSERVACIONES
1) La recta representativa de la oferta tiene pendiente + para que se pueda
cumplir el principio de que a mayor precio “y”, mayor cantidad – ofrecida
“x”.
2) La recta de demanda tiene pendiente negativa
3) La intersección de estas rectas se llama punto de equilibrio,
p*(x*;y*) <
Y* es el precio para el cual la oferta es igual a la demanda
m2- m1
1+m1.m2
0
Y
X
2 1
1
2
1
2
1
2
X* es la cantidad de equilibrio
Y* es el precio del equilibrio
FAMILIA DE RECTAS
1) Una recta y su ecuación quedan determinados perfectamente por 2
condiciones independientes.
2) Una recta que satisface solamente una condición no es una recta única; hay
infinidad de rectas que la cumplen, cada una de las cuales tiene la propiedad
común asociada, con esa única solución.
3) La totalidad de las rectas que satisfacen una única condición geométrica se
llama FAMILIA O HAZ DE RECTAS.
Ejm: <
Y= 5X+K ; K= 1; 2; 3; 0
Y = 3 = K(X-2); K=0; 1;-1 → HAZ DE RECTA DE VERTICE (2; 3)
LA CIRCUNFERENCIA
1. De centro C´ (h; k) y radio r => (x-h)2+(y-k)2= T2(Forma ordinaria o analítica)
Donde T = (X0-h)2 + (Y0-k)2
2. Si C´(0;0) => x2+y2= rSu centro es el origen del sistema: Forma CANÓNICA
3. x2 +y2+Ax+By+C =0 Forma general de la ecuación de la circunferencia.
Centro (-A2
; −B2
)
Radio= T0 = 12
= A2 +B2-4C
Si A2 +B2-4C > 0, la circunferencia es real
Si A2 +B2-4C = 0, la circunferencia es un punto
Si A2 +B2-4C < 0, la circunferencia es imaginaria
4. Ecuación de la circunferencia que pasa por 3 puntos dados no colineales.
P1(X1Y1), P2(X2Y2) yP3(X3Y3) está dada por el determinante.
x2+y2 x y 1
x2+y2 x1 y1 1
x2+y2x2 y2 1 = 0
x2+y2x3 y3 1
5. FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS
1. Una circunferencia y su ecuación se determina cada una por 3 condiciones
independientes.
2. Una b, que satisface menor de 3 condiciones independientes no es, por lo tanto
única.
3. La ecuación de una c, que satisface solamente a 2 condiciones contiene una
constante arbitraria llamada PARAMETRO=> se dice que tal ecuación
representa un familia de circunferencias de un parámetro.
Ej. (x-1)2 +(y-1)2=K2<
P(x; y)
C(h; k)
Y
X0
P(x; y)
X
Y
0 C (0; 0)
1
2
3
1
2
3
K E /R+
Centro común (1; 2)
Familia de todas las circunferencias concéntricas cuyo centro común es (1; 2)
4. Familia de curvas que pasan por las intersecciones de dos circunferencias
dadas, sean:
C1: x2 +y2 +A1X+B1Y+C1=0
C2: x2 +y2 +A2X+B2Y+C2=0
De 1 y 2 se obtienen
x2+y2 +A1X+B1Y+C1+K (x2 +y2 +A2X+B2Y+C2)=0
Esta ecuación es útil para obtener la ecuación de una curva que pasa por las
Ωs de las circunferencias dadas, ya que entonces no es necesario determinar
las coordenadas de los puntos de Ω.
B2- 4AC<0 es una ELIPSE
B2- 4AC=0 es una PARABOLA
B2- 4AC>0 es una HIPÉRBOLA
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO
Ax2 +Bxy+Cy2+Dx+Ey+F= 0
Representa una cónica del genero parábola, Elipse o Hipérbola según que el indicador
(I=B2-4AC) sea 0, - o +
Es decir si
Ejm. Determinar la naturaleza del lugar geométrico de la ecuación: 5x2 + 4xy + 2y2-24x-
12y+29=0 I= B2- 4AC = (4)2- 4 (5)(2) = 16 – 40 = -24
°°° Representa una elipse.
Ejercicios.- Determinar la naturaleza de la cónica que representa la ecuación dada.
1) 4x2-24xy + 11y2+56x-58y+95=0
2) 4x2-12xy + 9y2–8√13x – 14√13y + 117=0
3) 3x2-4xy - 4y2+16x +16y - 12=0
4) 5x2+2xy + 10y2-12x-22y+17=0
5) x2+ 8xy + 16y2-4x-16y+7=0
También: Una cónica es una parábola, una elipse o una hipérbola según que su
excentricidadE sea a:
e= 1 (Parábola)
e< 1 (Elipse) e= ca
= √a2−b2
a
e> 1 (Hipérbola)
A=5B=4C=2
EJERCICIOS
1) Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:
a)(-5) y (6) b) (3) y (-7) c) (-8) y (-12)
2) La distancia entre dos puntos es 9, si uno de los puntos es (-2), hallar el
otro punto. (Dos casos)
3) Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido
cuyos extremos son los puntos (-7) y (-19)
4) Un extremo de un segmento dirigido es el punto (-8) y su punto medio es
(3). Hallar la coordenada del otro extremo.
5) Los extremos de un segmento dirigido son los puntos P1(4) y P2(-2),
hallar la razón P2P: PP1 en que el punto P, divide a este segmento.
6) Un cuadrado de lado 2a, tiene su centro en el origen y sus lados om //s a
los ejes coordenadas, hallar las coordenadas de sus vértices.
7) Los vértices de un rectángulo son los puntos (1; -2); (4;-2); (4; 2)
determinar la longitud de los catetos y después calcular el área del
triángulo y la longitud de la hipotenusa.
8) Tres vértices de un rectángulo son los puntos (2;-1), (7;-1) y (7;3) Hallar
el 4to vértice y el área del rectángulo
9) Del problema 7. Determinar los puntos medios de los catetos y de la
hipotenusa.
10)Hallar la distancia del origen al punto (a;b)
11)Hallar la distancia entre los puntos (6;0) y (0; -8)
12)Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos (-1;1) y
(3,1). Hallar las coordenadas del 3er vértice (2 casos)
13)Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1;3); (7;3); (9;8) y (3;8)
demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su área
14)Demostrar que los puntos (0; 0); (3; 4) ;(8;4); y (5; 0) son los vértices de
un rombo. Hallar su área.
15)Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3;-1); (0.3); (4;-1)
16)Demostrar que los puntos (2;-2); (-8; 4), (5; 3) son los vértices de un
triángulo, rectángulo, y hallar su área.
17)Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices pm los puntos (-3;-1);
(0;3); (3;4)y (4;-1)
18)Demostrar que los tres puntos (12; 1); (-3;-2); (2;-1) son colineales, es
decir que están sobre una misma recta.
19)Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto
(3;-2). Si la abscisa del otro extremo es 6, hallar su ordenada (Dos
soluciones)
20)Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto
(x;y) equidista de los puntos (-3;5) y (7;-9).
21)Los puntos extremos de un segmento son P1(2; 4) y P2(8;-4). Hallar el
punto P(x;y) que divide a este segmento en dos partes tales que P2P:
PP1=-2
22)Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7; 8) y su
punto medio es (4; 3). Hallar el otro extremo.
23)Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2; 5); (4; 2) y (1; 1),
hallar las coordenadas de los 3 vértices.
24)Una recta L1 pasa por los puntos (3;2) y (-4;-1) y otra recta L2 pasa por
los puntos (-7;1) y el punto A cuya ordenada es -6, Hallar la abscisa del
punto A. Sabiendo que L1 es perpendicular a L2.
25)Una recta pasa por los puntos (-2;-3) ;(4;1). Si un punto de abscisa 10
pertenece a la recta, ¿Cuál es su ordenada?
OBSERVACIONES
01.La recta representativa de la oferta, tiene pendiente positiva para que se
pueda cumplir el principio de que a mayor precio “y” mayor cantidad
ofrecida “x”
02.La recta representativa de la demanda, tiene pendiente negativa.
03.Se llama “punto de equilibrio”, al punto P*(X*;Y*) de intersección de las
rectas de oferta y demanda, y* será el precio para el cual la oferta es
igual a la demanda
x*=Es la cantidad de equilibrio
y*=Es el precio de equilibrio
0
04.El conjunto de puntos y solamente de aquellos puntos cuyas
coordenadas dan una ecuación de la forma f(x; y)=0, se llama gráfica de
la ecuación o bien su lugar geométrico.
Ejercicios:
1. Hallar la ecuación de la recta, sabiendo que:
i) Pasa por A(1;5) y m=3
ii) Tiene m=3 y la Ω en el eje Y es -2
iii) Pasa por (4;2) y (-5;7)
iv) Pasa por A(7;8) y es // a la recta que pasa por los puntos C(-2;2) y
D(3;4)
2. ¿Cuáles de las siguientes rectas son de oferta? y ¿Cuáles de
demanda?
i) 3y+6x+15=0 ii) 2y-3x=0 iii) x+2y-4=0 iv) 2x-y-6=0
Y*
Demanda Oferta
y
P*(x*;y*)
X* X
3. ¿Cuándo el precio de un kilo de arroz es S/. 3.00(y) se compran
diariamente 60 kilos(x) y cuando el kilo de arroz vale S/.2.50(y) se
compran 70 kilos(x) ¿Cuál es la ecuación lineal de la demanda?
4. Cuando el precio de las bicicletas es S/.250.00(y) no hay demanda
alguna(x=0), cuando su precio es nulo (y=0), es decir cuando pm gratuita
se demandan 50(x). ¿Cuál es la ecuación de la demanda?
5. Hallar el punto de equilibrio de las rectas de oferta y demanda
i) 5x+2y-50=0 ii) 3x+y-15=0
2x- y- 2 =0 y-2x=0
6. En ciertos casos, la pendiente de una gráfica de demanda puede ser
nula, o sea el precio es constante, cualquiera que sea la cantidad
demandada, en otros casos la pendiente de la gráfica no puede estar
definida, es decir la cantidad demandante es independiente del
precio.
CIRCUNFERENCIA
1. Hallar la ecuación de la circunferencia con los siguientes datos:
a)Centro es (7;-6) y pasa por el punto (-2;-2)
b)Centro es (2;-4) y es tg al eje “y”
c)Centro es (0;-2) y es tg a la recta L: 5x – 12y + 2 =0
d)Centro es sobre el eje “x” y pasa por A(1;2) Y B(4;6)
e)Circunscrita al de lados 9x+2y+13=0 ; 3x+2y-13=0 y x-y-1= 0
2. Hallar el centro y radio de la circunferencia
a)2x2 + 2y2 – 6x+10y+9=0
b)4x2 + 4y2+28x-8y+37=0
c)16x2 + 16y2 – 64x+8y-79=0
d)9x2 + 9y2 + 72x-12y+101=0
e)25x2 + 25y2 + 30x-20y-62=0
f) 4x2 + 4y2 – 16x-32y=0
3. Una cuerda de la circunferencia x2+y2=25 está sobre la recta cuya
ecuación es: x-7y+25=0, hallar su longitud.
4. La ecuación de una circunferencia es: (x+4)2+ (y-3)2=36; demostrar que
A (1; 2) es interior a la circunferencia y B (-8; 8) es exterior a ella.
5. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 =50; el punto medio de una
cuerda de esta circunferencia es (-2; 4). Hallar la ecuación de la recta
que contiene esta cuerda.
6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P1(-1;2);
P2(1;1) y P3(0;-2)
7. Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el
segmento que une los puntos (-2;5) y (6;-1)
L
T
RV
xꞋ
X
P(x;y)
yꞋ
Y
0
N
F
P(x;y)
XꞋX
T
UNIDAD II
CONICAS
PARÁBOLA:
DEFINICIÓN.- Sea L una recta fija y F un punto fijo / F Ɇ L, la parábola P de
Bisectriz L y Foco F , es el conjunto de puntos P tales que la distancia de P a
L es igual a la distancia de P a F.
P= P E /R2/d (P;L) = (P;F)
Ecuación de la parábola con vértice en el origen de posiciones.
I CASO: V (0; 0) F(p;0) L : X= - p ecuación: y2 = 4px
L: x = -p
“L” es la directriz
Fes el foco
V es el vértice
PT = PF
XꞋ L pesando por F es el eje de la P
VF= RV = P
MN XꞋ en F se llaman lado recto de la P
y es igual a 4p es decir MN = 4p
Ec. De P en vértice en el
origen XꞋ coincide en X, la hoja
se abre hacia x positivo
F(P;0)
y
0
x
Y
L: y =- p
F(0;P)
V(0;0)
P(x;y)
F(h+p;k)
V(h;k) P
II CASO: V (0; 0) F(-p;0) L : X= + p ecuación: y2 = - 4px
III CASO: V (0; 0) ; F(0; P) ; L : y = -p , eje de P es el eje Y positivo
Ecuación: x2= - 4py
IV CASO: V (0; 0) ; F (0; - p) ; L : y = P
Ecuación: x2= - 4py
Ecuación de la parábola con vértice V (h; k)
Posiciones:
I CASO: V (h; k), F (h+p; k) : L : X = h – p ; eje de P // al eje X
P > 0 ; Ec. : (y – k)2 = 4P (x – h)
II CASO: V (h;k), F (h-p; k) ; L: x=h+p. Eje //a X
xV
0
Y
F(-P;0)
P(x;y)
L: X=P
0
y
F(0;-P)
x
L
0 V(0;0)
XꞋ
X
y
h0
L Y
V
III CASO:V (h; k) , F (h; k – p) ; L: y = k - p , eje de P // al eje Y
IV CASO
V (h; k) , F (h; k – p) ; L: y = k + p , eje de P // al eje Y
(x – h)2 = -4P (y – k)
P < 0
F0
P < 0
Ec. : (y – k)2 = – 4P (x – h)
VK
F
xꞋ
h
Ec. : (x – h)2 = 4p (y – k)P > 0
EJERCICIOS
1. Hallar la ecuación de la parábola, si:
a) F (5;0) , directriz x= 5F (P;0) x=-P
L: x = 5 x2= - 4pyV (0; 0) x2= - 4(2)yF (0; -P) x2= - 8y
L: x = -5 => Como xꞋ // X => y2= 4px O coincidente y2= 4(5) x y2= 20x
(0;0)0 F(5;0)
V(0;0)
xꞋx
b) (0;-2) y directriz y-2=0F (P;0) y=2
F(0;-P)
yx
L
X0 V(0;0)P
F(0;-2)
c) (12;0¿ ,directriz L: 2x+1=0
F (P;0) x= - 12
0 V(0;0)
(12;0¿ XꞋ
X
X=−12
y2 = 4px
y2 = 4( 12)x
d) V(0 ;0) se abre hacia la izquierda de la longitud del lado recto 6
F(- 23;0¿
0 V(0;0)
F(23;0¿
1
L= 23
MN = 4p 4p= 6
p= 64=23
0
5. Demostrar que la ecuación: 4x2 – 20x – 24y +97 = 0, representa una parábola,
hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y la
longitud de su lado recto.
Solución
1. Esta ecuación representa una parábola cuyo eje es // al eje Y
2. Dividiendo por 4 y se pasa.
X2-5x = 6y - 974
(x-52¿2= 6y -
974
+254
(x-52¿2= 6y –
724
(x-52¿2= 6y – 18
(x-52¿2= 6 (y-3)
(x-h¿2 = 4p (y – k)
6. Eje // al eje x => (y – k)2 = 4p (x – h)
4y2- 8x – 20 y = 71
y2 – 5 y – 2 x = 714
y2 – 5 y = 2 x + 714
y2 = 4px
y2 = 4( 12)x
MN = 4p 4p= 6
p= 64=23
=>V ( 52
; 3)
4P = 6 MN = 6
P= 64
P= 32
V (h;k)F(h;k+p)
F= (52;3+ 3
2¿
F= (52;3+ 3
2¿
F= (52;92¿
1 2 3 4 5 6C(0;0)
323232
F(52;92¿
V(52;3¿
xꞋ
y
( )
2
2
2 9 18
2 9 18 0
( 2 3 ) 6 0
2 3 6 0
36
2
a a
a a
a a
a a
a a
= +
- - =
+ - =
+ =Ú - ¹
-= Ú =
( )
2
2
2 9 18
2 9 18 0
( 2 3 ) 6 0
2 3 6 0
36
2
a a
a a
a a
a a
a a
= +
- - =
+ - =
+ =Ú - ¹
-= Ú =
(y2 – 52
)2 = 2x + 714
+254
(y2 – 52
)2 = 2x + 24
(y2 – 52
)2 = 2(x + 12)
V=(-12; 52
) P= 12
Ejercicios sobre la elipse
1) Los vértices de una elipse son los puntos A1(0;6) , A2(0;-6) y sus focos
los puntos F1(0;4) y F2(0;-4), hallar su ecuación.
Solución: C (0;0) equidista de los focos como los focos están sobre el
eje y => su ecuación de la forma.
2) Los focos de una elipse son los puntos F1(3;0) y F2(-3;0), y la longitud de
una cualquiera de sus lados rectas es igual a 9. Hallar la ecuación de la
elipse.
229 2 9
bLR MN b a
a= = = Þ =
0-2 -1-10-11-12
V(-12;52
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
2
1
2
1
2
; 1, 6
; 9, 6
; 5, 3
; 5, 6 3
, 5 7 ; 6
, 5 7 ; 6
7
4
A h a k
A h a k
B h k B
B h k B
F h c k
F h c k
ce
a
- = -
+ = -
+ = -
- = - -
- - - -
+ - + -
= =
2
2
2 2 2
2
2
9 23
2 49
1
2 10
5
4
16 9
7
bLR
a
bb
h a
h a
h
h
a
a b c
c
c
=
= ® =±
+ =
- =
=
=
=
- =
- =
=
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2
2 2
651 1
16 9
y k yx h x
a b
- -- -+ = Þ + =
3. Hallar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene su vértice
(0;7), su centro es el origen y que pasa por el punto R(√5; 143
)
4. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide en el eje
x, hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos (√6;-1) y (2;√2)Sol: El eje mayor esta sobre el eje x => su ecuación es de la forma
x2 + y2 = 1
a2 b2
5. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por P(√62
;3); C(0;0), su eje
menor coincide con el eje X y la longitud de su eje mayor es el doble de su eje menor Sol: El eje es de la forma:
x2 + y2 = 1b2 a26. Usando la definición de la elipse hallar la ecuación si los vértices son
coordenadas y1(-3;-1) y V(5;-1) y su excentricidad e= 34
Solución:
V;V = 2a = √¿¿¿ = √64+0 = 8 => a = 4 7. Los focos de una elipse son los puntos F(-4;-2) Y F(-4;-6) y la longitud
del lado recto es 6. Hallar la ecuación de la elipse y su excentricidad.
Solución:
8. Los vértices de una elipse son los puntos (1;-6) y (9;-6) y la longitud de
cada lado recto es 9/2. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas
de sus focos y su excentricidad.
2 2 2
2
2
25 9
34
5.81
a b c
a
a
a
= +
= +
=
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2
22
1
125 34
y kx h
b a
yx
--+ =
--+ =
2
2
( ; )
( ; )
5
34
F h k c
F h k c
ce
a
+ =
-
= =
9. Los focos de cada elipse son los puntos (3;8) y (3;2), la longitud de su
eje menor es 8. Hallar la ecuación de la elipse, las coordenadas de sus
vértices y su excentricidad.
10. El centro de una elipse es el punto (2;-4), el vértice y el foco de un
mismo lado del centro son los puntos (-2;-4) y (-1;-4), respectivamente,
hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje
mayor y la de cada lado recto.
11. Reducir la ecuación de la elipse: x2 + 4y2 - 10x- 40y+ 109 = 0 a la
segunda forma ordinaria, determínese las coordenadas del centro,
vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la de cada
lado recto y e.
12. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por R (1; 3), S (-1; 4), T (0; 3-
√ 32 ), Q (-3; 3) y tiene sus ejes paralelos a los ejes coordenados.
13. El centro de una hipérbola en el origen, y su eje transverso esta sobre el
eje Y, si un foco es el punto P (0; 5) y la excentricidad es igual a 3, hallar
la ecuación de la hipérbola, y la longitud del lado recto.
14.Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el
eje X. Hallar su ecuación sabiendo que su excentricidad es ( 12√6) y que
la curva pasa por P(2;1)
15. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje conjugado está sobre
el eje x, la longitud de cada lado recto es 23
y la hipérbola pasa por el
punto P (-1; 2), hallar su ecuación.
16. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos A (3; -2) y B
(7; -6), tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje
X.
17.Los vértices de una hipérbola son los puntos (-1; 3) y (3; 3) su e= 32
,
hallar la ec. de la H, las coordenadas de sus focos, la long. de sus ejes
transverso y conjugado y el lado recto.
Nota:Hipérbola equilátera si a=b x2-y2=a2
18. Los focos de una hipérbola son los puntos (4; -2) y (4; -8) la long. de su
eje transverso es 4. Hallar la ec. de la hipérbola, la long. de su lado recto
y su e.
NOTA 2:
Hipérbolas conjugadas._ Cuando el eje transverso de cada una es
idéntica al conjugado de la otra. Tienen las mismas asíntotas y el mismo
centro.
(x−ha2
)2 - (y−kb2
)2 = 1 ; (y−kb2
)2 - (x−ha2
)2 =1
Hipérbolas Homofocales._ Son todas aquellas que tienen (y+55
)2 - (x−44
)2=1 el mismo centro de la familia es: (x
a2)2 - (
y−kb2
)2 = 1
UNIDAD III
MATRICES._ Es un arreglo rectangular de números reales encerrados en
grandes paréntesis rectangulares, las matrices se representan o denotan por
letras mayúsculas A; B; C; D, etc.
DEFINICIÓN._ Es un arr eglo de números reales, ordenadas en filas y
columnas encerradas entre corchetes o paréntesis, se denotan por letras
mayúsculas.
1. [1234 ] 2. [¿345127 ] 3. [¿ 5671234812] 4. [ 423−1]
5. [12356 ] 6. [3 ] 7.[¿a11a12 a13
a21 a22a23
a11a12 a13] 8.¿
8 [a11 ]
Ejm: Una empresa produce 4 productos A, B, C y D. El producto de cada
artículo requiere cantidades específicas de 3 materias primas, x E y, y también
cantidades determinados de mano de obra supongamos que la empresa desea
comparar los números de unidades de x, y, y de mano de obra que se requiere
en la producción semanal de estos 4 productos. Ejm. En el tabla.
Producto A B C D
Unidades de material x 250 300 170 200
Unidades de material y 160 230 75 120 =>[¿2503002001602301208085100 ]
Unidades de mano de obra 80 85 120 100
ORDEN O TAMAÑO DE UNA MATRIZ._ El orden o tamaño de una matriz es el
producto indicado del número de filas por el número de columnas de la matriz.
Filas
[¿a11a12 a13
a21 a22a23
a31 a32a33] =>Orden 3 x 3
¿2 x 3 Orden= 2 x 3 Orden= m x n
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ._ Son los diversos objetos distribuidos en filas
y columnas.
.¿Sus elementos son a11; a12; a21 y a22
NOTACIÓN: Se denotan por letras mayúsculas A, B y C y sus elementos por
letras minúsculas. ai j, bi j, ci j, etc.
También A= [ ai j ] n x m , ai json sus elementos
Ejemplo: Escribir la matriz A= [ ai j ] 3 X 2
A = [¿a11a12
a21 a22
a31 a32] A tiene 3 filas y 2 columnas
El 1º sub índice indica las filas (i)
El 2º sub índice indica columnas (j)
i = ésima fila
j= ésima columna
Ejm. 2
Fila
ColumnaFila Columna
[¿1 3 56 1 46 0 7
869]=> a32 = 0 , a24 = 6 , a13=5
OBSERVACIÓN: Una matriz no tiene un valor numérico, es solo una manera
de arreglar números.
MATRIZ FILA: Son de orden 1 x n una sola fila (Vector Fila)
[a11 a12 a13⋯ a1n ]
MATRIZ COLUMNA: Son de orden m x 1 una sola columna (Vector Columna)
[ a11a21a31an1
]IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices A y B son iguales si son del mismo
tamaño y si sus elementos correspondientes son respectivamente iguales.
Es decir: A=B <->ai j = bij ,Qi j
A=¿B =¿A=B <->a11=b11a12=b12
a21=b21a22=b22
A ≠B=>ai j ≠bij ,para algún i , j
MULTIPLICACIÓN ESCALAR POR UNA MATRIZ._ Dada una matriz A de
orden m x n α un escalar, al producto α A, se define por
α A= [¿ αa11 αa11 ⋯αa21 αa22 ⋯αam1 αam1 ⋯
αa11
αa11
αamn]Ejm.: Si α = 3 y A[1 4 5
2 6 −13 2 0 ]
3A = [3 12 156 18 −39 6 0 ]
PROPIEDADES: Sean α1 y α2 dos escalares y A y B dos matrices de mismo
orden =>
1. (α1 α2) A = α1 (α2 A)
2. α1(A + B) = α1A + α1B
3. (α1 + α2) A = α1A +α2A
4. 1 . A = 0
5. 0 . A = 0