la investigación etnomatemática en catamarca

Revista “Aportes Científicos en PHYMATH” ISSN 2313-9455

Volumen 3, Julio 2013

La Investigación Etnomatemática en Catamarca Juárez, G. A.; Navarro, S. I. 55

La Investigación Etnomatemática

en Catamarca

Juárez, Gustavo Adolfo; Navarro, Silvia Inés

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de

Catamarca. [email protected]

Recepción: 15/02/2013

Aceptado para publicación: 14/05/2013

Resumen:

La Etnomatemática surge como una inquietud de reconocer el desarrollo de las diversas técnicas matemáticas en diferentes ambientes. Si bien consideramos una matemática universal, existen variadas técnicas abordadas desde las diversas culturas, como consecuencia de los conocimientos existentes en tales grupos étnicos, los conocimientos luego incorporados y la adaptación de estos a ese ambiente. Las experiencias en investigación en nuestro ambiente son muy recientes, como lo es la Etnomatemática dentro de la Matemática misma. Es nuestra intención aquí observar y analizar este punto de partida y la expectativa que puede surgir en las distintas ciencias afines.

Palabras Claves: Etnomatemática; Modelos Matemáticos; Matemática Aplicada.




The Etnomathematical Investigation in

Catamarca

Abstract:

The Etnomathematics arises like a restlessness of recognizing the development of the diverse mathematical techniques in different environment. Although we consider an universal mathematics, diverse techniques approached from the diverse cultures exist, as consequence of the existent knowledge in such ethnic groups, the knowledge then incorporate and the adaptation of these to that environment. The experiences in investigation in our environment are very recent, as it is it the Etnomathematics inside the same Mathematics. It is here our intention to observe and to analyze this starting point and the expectation that it can arise in the different similar sciences.

Keyword: Etnomathematics; Mathematical Models; Applied Mathematics.

Introducción

Primero consideramos adecuado presentar a la

Etnomatemática, la cual surge de una propuesta realizada por

Ubiratan D’Ambrosio en oportunidad de la realización de la

conferencia anual de la Asociación Nacional de Profesores de

Matemáticas, en el año 1985, en donde explicó en una reunión a

un grupo selecto de participantes, que pensaba que el concepto de

Etnomatemática había generado suficiente interés y que era

oportuno formar un grupo de estudios. A partir de allí, junto a su




creador, fue enriqueciéndose un grupo de investigadores en

America Latina, hasta cubrir gran parte del planeta. El grupo

oficial de Etnomatemática actualmente se haya constituido con

una fuerte formación de manera interdisciplinaria.

La Etnomatemática se ubica como una combinación de la

matemática y la antropología cultural, a un nivel, que se pudiera

llamar “la matemática del ambiente” o la “matemática de la

comunidad”. A otro nivel, como de relación, la Etnomatemática es

la manera particular, y tal vez peculiar, en que grupos culturales

específicos cumplen las tareas de clasificar, ordenar, contar y

medir. [1]

Si bien es cierto que la utilización del prefijo “etno” se

usa para referir específicamente a sociedades originarias, no

menos es cierto que es también válida su aplicación a otros grupos,

como ser la sociedad de una nación, una comunidad obrera, un

sector profesional, o, como en nuestro caso, una comunidad que se

desarrolla en una época histórica determinada. Se debe incluir en

esta categoría de análisis situaciones simbólicas, diseños técnicos,

construcciones prácticas, métodos de cálculos, mediciones en

tiempo y espacio, formas específicas de razonamiento y otras

actividades cognoscitivas y materiales [2]. La relación entre

historia y educación matemática se manifiesta plenamente en lo

que Ubiratan D’Ambrosio denomina programa etnomatemático

que:

“...supone un tratamiento del conocimiento matemático de modo bastante particular, es decir, un conocimiento visto como una producción socio-cultural y como tal, plausible de ser reconstruido históricamente...” [3].




La definición de naturaleza etimológica de

Etnomatemática que suele preferir dar D’Ambrosio es, de

considerarla como derivada de tres raíces: etno que comprende los

diversos ambientes social, cultural, natural. La raíz griega

mathema, que quiere decir explicar, entender, enseñar, manejarse;

y un tercer componente, thica, ligado a la raíz griega tecni que es

arte, técnicas. Así sintetizando las tres raíces se tiene artes,

técnicas de explicar, de entender, lidiar con el ambiente social,

cultural y natural. [4]

Las prácticas Etnomatemáticas pueden ser interpretadas

como aquellas que se refieren a la vida de los pueblos en contextos

políticos que determinan formas de imposición, aceptación y en

algunos casos resistencia. En éste punto compartimos el

pensamiento de Perero cuando afirma que la perspectiva

etnomatemática

“…es comprender la cultura, el conocimiento, la epistemología, la historia y la política…se incluye la acción social y el abordaje de una teoría de las ideas y un análisis de las prácticas en un sentido multidimensional que comprenda el sentido de la historicidad del conocimiento” [5].

Por nuestra parte, el nexo se crea en forma indirecta

ante un discípulo de D’Ambrosio, Carlos Rodney Bazzanesi,

investigador en Biomatemática, en particular mediante el

Modelado Matemático Dinámico y más específicamente en los de

tipo Fuzzy. [6]




Nuestra tarea dentro de esta línea de investigación,

permite ver como nuestra comunidad, la intentamos matematizar

con leves propuestas iniciales, que en su momento tuvo resultados

alentadores, los cuales pasamos a detallar a continuación.

Desarrollo

1. Análisis Interdisciplinario de las magnitudes en la

Catamarca Colonial

Con el fin de mantener activas las investigaciones del

tipo histórico y matemático, surge la necesidad de interesarnos en

la Etnomatemática, a fin de ver la matematización realizada en la

época colonial en nuestra sociedad. La búsqueda nos llevó a

realizar un trabajo junto al Lic. Luis Navarro Santa Ana,

destacado historiador de nuestra Universidad. En él se relaciona

las unidades e instrumentos para mediciones utilizadas en la

época colonial, como resultado de una implementación de la

cultura española en estas tierras, logrando conocer y relacionar

magnitudes y legislaciones. [7]

En el mencionado trabajo, se rescata la esencia de las

definiciones de matemática, cultura y etno, tomando como

premisas para conceptualizar nuestra óptica y sustento científico

al conjunto de conocimientos matemáticos de una comunidad,

relacionados con su cosmovisión e historia, disponiendo de un

nexo entre la Matemática y sus prácticas.




El objetivo fundamental de dicho trabajo [7], es

demostrar como los habitantes de la Catamarca Colonial (1683-

1828), matematizaron su existencia; es decir, la manera como

efectivizaron sus cuentas, como midieron, relacionaron y

clasificaron, e incluso como infirieron en su cotidiano accionar en

un contexto circundante y circunstancial.

Así, se estudió las unidades o sistemas de medidas

utilizados local y regionalmente de las magnitudes de capacidad,

peso y volumen, en el marco tempo espacial determinado y las

equivalencias con las correspondientes en tiempos actuales, sin

dejar de lado, la mención de algunos de los instrumentos de

medición utilizados, observando su carácter local en algunos de los

casos, como la vara, que se diferenciaba de la utilizada en

provincias vecinas, o el del almud que se diferenciaba del utilizado

en España.

En este aspecto analítico resulta interesante el orden con

el que aparecen ciertas magnitudes, así pues superficie y volumen

se entremezclan. Es importante mencionar por un lado la gran

cantidad de medidas utilizadas, y en cada caso con sus

correspondientes múltiplos o submúltiplos, y que existían

equivalencias entre algunas de ellas. Por otro lado, la forma de

medir involucraba a dos magnitudes que se median casi sin

distinción, tal vez por que escapaba a ellos la densidad de los

productos a medir, no el concepto, sino la forma de diferenciarlos,

o la dificultad de medirlos. Así por ejemplo, es común encontrar

un mismo nombre para una unidad, pero diferenciada si se pesaba

o se daba su volumen. En cuanto a la forma de mencionar las

magnitudes ha cambiado de manera que las fuentes de la época




hablan de capacidad y peso lo que actualmente se utiliza como

volumen y masa.

2. Etnomatemática y Modelos Matemáticos

Otras experiencias Etnomatemáticas propias estuvieron

ligadas a los Modelos Matemáticos. Fue precisamente, dentro de

los modelos que se consideró a los Modelos Geométricos para

estudiar la estructura de dos de los elementos más caros a nuestra

Cultura: el Poncho Catamarqueño [8] y las Vasijas de la Cultura

de la Aguada. [9], [10], [11], [12], [13], [14] y [15]

2.1. El Poncho Catamarqueño

En este trabajo, [9], se realizó una búsqueda de

información en el área artesanal, que si bien parece distante en

principio, recurre a la Matemática en forma frecuente, casi sin

darse cuenta. En efecto, desde el precio de la materia prima, en

este caso la lana, las medidas del poncho, el tiempo de ejecución,

entre otras, son variables a considerar, aun cuando existen otras

características medibles que escapan por una simple tradición:

cantidad de lana utilizada, costo de trabajo en términos de horas

trabajadas, etc..

Primero se estudió la estructura de un poncho,

diferenciándose los distintos tipos de poncho, según su

procedencia, identificando al Poncho Catamarqueño. Dentro de

esta particular estructura esta el moño y la cinta que esta a ambos




lados del campo, de color distinto; llamando campo al plano total

del poncho. Se determinaron medidas de largo, ancho, distancias

al orificio del cuello, de los flecos, y de todo otro elemento que

pudiera distinguirse en su estructura.

Las relaciones métricas del poncho, debieron ser

analizadas posteriormente en término de las correspondientes al

cuerpo humano. Y es por ello, que se recurrió a estudios

históricos, donde se pudieran observar los conocimientos

geométricos de escalas y proporciones que pudieran utilizarse en

la confección, en efecto, se utilizó las proporciones del cuerpo

humano estudiadas por el arquitecto Vitrubio (Marcus Vitruvius

Pollio), y que fueran recuperados posteriormente por Leonardo Da

Vinci.

Inicialmente pensamos en el rectángulo áureo, el cual

presenta en sus lados la relación que el largo es un múltiplo del

ancho, pero tal múltiplo es el numero áureo φ , siendo su valor

aproximado 1,618034 recordando que es un número irracional, es

decir, el largo es un múltiplo no entero del ancho. Curiosamente el

cociente entre el largo y ancho según nuestro Poncho modelo sin

flecos, con largo 2,08 [m] y ancho 1,52 [m], da un cociente de

1,3684211, lejos del valor de φ . Tomado el Poncho con flecos,

donde el largo es 2,24 [m] y el ancho 1,68 [m], resulta el cociente

de 1,33 que tampoco tiende al valor esperado.

A partir de la idea que el hombre de Vitrubio se dibuja

circunscripto en una circunferencia de centro en el ombligo, y que

pasa por tres puntos dados por los extremos de sus dedos de la

mano, cuando sus brazos están extendidos a la altura de la cabeza,

y el tercer punto es la base del cuerpo, entre los dos pies cuando




estos están juntos, o con la posición de piernas abiertas formando

un triángulo equilátero, hemos considerado lo siguiente: el Poncho

tiene un ancho dado por la distancia que va desde uno a otro de los

puños, cuando los brazos están extendidos, a la altura de los

hombros. Figura 1.

Figura 1: Se aprecia sobre la imagen inmortalizada por Leonardo Da Vinci, el círculo con centro en el ombligo y que contiene a los extremos

de los dedos cuando los brazos se hallan extendidos, y a los pies. El círculo propuesto aquí pasa por las muñecas y por la mitad de la parte

baja de las piernas, punto intermedio de la rodilla y el tobillo.




2.2. Las Vasijas de la Cultura de La Aguada

La Cultura de La Aguada, es una de las que mejor se

desarrolló en nuestro suelo catamarqueño, muestra de ello, esta

reflejada en las Vasijas que hoy se conservan en distintos Museos

y que son valoradas en sus estudios por distintos especialistas de

la Arqueología. Una publicación relacionada a las vasijas que se

hallan en el Museo Adán Quiroga, se analizan bajo la óptica de su

Autor, el Dr. Néstor Kriscauztki [9], y que resultó de interés para

realizar Modelado Geométrico de algunas de tales vasijas.

La Cultura La Aguada, es una de las culturas más

emblemáticas y representativas de las culturas precolombinas. Sin

lugar a dudas, La Aguada representa el momento culminante del

arte precolombino del noroeste argentino. Sus expresiones se

despliegan a través de múltiples materiales: una fina cerámica

(pintada, pulida y grabada), la metalurgia del oro y el bronce, la

escultura en piedra y el arte rupestre, grandes imágenes pintadas

en abrigos rocosos y cuevas como por ejemplo al este de la Sierra

del Ancasti (La Tunita y La Candelaria). Todas esas formas

plásticas, son portadoras de una rica iconografía de carácter

figurativo-fantástico poblada obsesivamente de imágenes de

felinos, figuras humanas muy ataviadas, algunas con armas en sus

manos o cabezas colgando de sus brazos, con tocados o máscaras,

otras ya son seres híbridos (tal vez, la representación de la

transformación chamánica); completan el repertorio las figuras de

saurios y serpientes, aves, vampiros y diversas formas

geométricas.




Existen diferencias bastantes netas entre el oeste de

Catamarca y La Rioja, el Valle Central y en el este de nuestra

Provincia, las diferencias son notables en sus diferentes restos

arqueológicos (cerámica, lítico, construcción de poblados, sistemas

de riego, etc.). Aunque en todos los casos hay una ideología

dominante fácilmente identificable en sus manifestaciones

artísticas, entre cuyas representaciones se destacan, una de

aspecto felínico, el tigre o dragón de La Aguada. De manera, que

detrás de la diversidad advertimos un lenguaje común. A través de

su simbología, La Aguada se enraíza en una antigua tradición

ideológico-religiosa que encontramos formando parte de la

cosmovisión, el arte y espiritualidad del mundo andino. Creemos

que uno de los hilos conductores de este lenguaje común se

encuentra, en que todas estas culturas compartieron las bases de

un mismo conocimiento chamánico centrado en una íntima

relación con las plantas sagradas, así como una cosmovisión en la

que se interrelacionan profundamente lo humano, lo animal y lo

sobrenatural.

2.2.1. Modelo Matemático Geométrico de Vasijas de la

Cultura de La Aguada

Para alcanzar los objetivos de trabajo, fue necesaria una

investigación interdisciplinaria, búsqueda bibliográfica en

historia, arqueología y arte, entrevistas con especialistas de las

áreas citadas, y la interpretación y adaptación de tales

investigaciones dentro de la Matemática.




El aporte teórico dado por distintas áreas de la

Matemática, permite la realización de los modelados geométricos,

siendo necesario reforzar la capacidad de analizar y abstraer

características propias de la Matemática Aplicada, como así del

manejo de software disponible.

Para ello, se detallan dos casos:

a. Modelado geométrico de la silueta de una vasija de la


Para este caso, se contaban con el análisis de la forma

geométrica de la vasija, conocer técnicas y elementos que fueron

usados en la elaboración de la vasija, de las cuáles muchas se

conservan hoy en la construcción de replicas, y la utilización

correcta de conceptos de la geometría plana y del espacio.

De esta manera, la hipótesis fue hallar expresiones

matemáticas que reflejen la imagen de una vasija, tomándose como

supuesto inicial, que estas son sólidos de revolución, y de allí

analizar el perfil de la vasija. Se dice supuesto, pues las mismas no

son el resultado de una curva alrededor de un eje, pues existe una

excentricidad solo muy próxima a una circunferencia,

consecuencia del tipo de construcción, debido a que eran

construidas a mano y no con torno, el cuál fue un instrumento

incorporado a esta región con posterioridad, como consecuencia de

la incorporación de costumbres españolas.




Asimismo, el perfil de la vasija rotando alrededor de un

eje fue la propuesta, definiendo una función bivariada, que resultó

con cuatro asignaciones, en algunos casos, de acuerdo con la forma

del cuerpo, o bien, sobre como la función rotara para definir la

forma exterior completa. En efecto, el eje central se podía tomar

vertical con la vasija parada, o con una rotación alrededor de un

eje horizontal con una vasija acostada. El primero de los casos,

llevó a una función compuesta por funciones determinadas tramo

por tramo, de acuerdo a las partes de la vasija, es decir borde,

cuello, cuerpo y base (ver figura 2) y a su curvatura o linealidad.

Figura 2: Imagen de la Vasija de la Cultura de la Aguada seleccionada para su estudio. La misma se compone de cuatro partes que allí se

indican: borde, cuello, cuerpo y base.

Con la información obtenida en el plano podemos

determinar la forma de la vasija en el espacio, mediante los

conceptos de superficie de revolución.




1- Modelo Geométrico del borde de la vasija

Aproximamos en el plano el borde, quedando definido

por la recta de ecuación1679

85

+= xy . Al llevarla al espacio

tridimensional mediante superficie de revolución esta tendrá la

siguiente ecuación: 1679)(

85 22 ++= yxz , y su gráfica es:

Figura 3: Representación geométrica de la ecuación que modela el borde la vasija

2- Modelo Geométrico del cuello de la vasija

En forma análoga, obtuvimos que en el plano el cuello

queda definido por la recta de ecuación 40

10814

13+−= xy . Al llevarla

al espacio tridimensional como superficie de revolución esta

tendrá la siguiente ecuación 40

1081)(4

13 22 ++−= yxz cuya gráfica

es:




Figura 4: Representación geométrica de la ecuación que modela el cuello de la vasija

3- Modelo Geométrico del cuerpo de la vasija

Obtuvimos que en el plano, el cuerpo queda definido por

la recta de ecuación )8,7(6,2)6,3( 2 −−=− xy . Al llevarla al espacio

tridimensional como superficie de revolución con la siguiente

ecuación 8,7)((6,2)6,3( 222 −+−=− yxz cuya gráfica es:




Figura 5: Representación geométrica de la ecuación que modela el cuerpo de la vasija

4-. Modelo Geométrico de la base de la vasija

Finalmente se obtuvo que en el plano la base quede

definida por la recta de ecuación 420713

4223

+= xy . Al llevarla al

espacio tridimensional como superficie de revolución esta tendrá

la siguiente ecuación 420713)(

4223 22 ++= yxz . Gráficamente es:

Figura 6: Representación geométrica de la ecuación que modela la base de la vasija




b. Clasificación de las formas geométricas de la decoración

de vasijas de la Cultura de La Aguada

Otra propuesta de trabajo sobre las vasijas de la cultura

de la aguada, fue el relacionado con las figuras que contienen en

su superficie.

En las diferentes piezas arqueológicas se visualizó los

grabados y representaciones, las cuales se dividieron para su

estudio de la siguiente manera:

1. Tipo de representaciones o motivos: Los motivos

analizados corresponden a elementos tales como, pucos,

ollas, pipas, vasos y estatuillas confeccionadas con

cerámica y/o piedra decoradas mediante pigmentos

naturales o grabadas.

Guardas Felínicas Humanas

Figura 7: Tipos de representaciones o motivos presentes en vasijas




2. Tipos de relleno: corresponden al diseño interior de los

dibujos pintados o gravados, pudiendo ser cuadriculas,

líneas aproximadamente paralelas, puntos o ningún

relleno.

Cuadriculado Rayado Punteado

Pintado Sin relleno Con relieve

Figura 8: Tipos de rellenos presentes en vasijas

3. Elementos o figuras geométricas: estos elementos pueden

estar formando la figura por si sola o bien ser partes de

una figura que la componen.




Figura 9: Tipos de figuras geométricas presentes en vasijas

4. Agrupamiento en elementos geométricos básicos: con la

clasificación anterior y ante posibles semejanzas y por lo

tanto difícil clasificación se realizaron agrupamiento de

figuras según formas, considerando la ausencia de

instrumentos para su diseño, resultando solo triángulos,

cuadriláteros, círculos y rectas.

5. Simetría: Esta propiedad fue considerada debido a su

abundante presencia en dibujos, rectas, curvas y figuras.




Simetría por repetición Simetría por repetición, de un solo motivo con otro no repetido

Simetría en una misma representación

Figura 10: Simetrías presentes en vasijas

3. Optimización con restricción como aporte teórico al

modelado matemático

Al realizarse la modelización de la curva del perfil de

una vasija, existió en algunos casos la asignación de dos o más

expresiones para la función. Con esto el ajuste debía ser tratado

usando puntos medidos o sea determinados con precisión y otros

que se ajustaban. De allí surgió la necesidad de realizar ajustes de

curvas con restricciones. Esto aportó a un tema importante dentro

de la optimización matemática, desarrollándose un estudio teórico

del ajuste a curvas de primer, segundo y tercer grado con

restricción a que contenga uno, dos o tres puntos dados. [14]

El método de mínimos cuadrados como herramienta en el

ajuste de curvas es muy conocido, aquí pretendemos extender el




mismo ante la propuesta de que el ajuste este dado por una recta

que pase por un punto determinado dentro de los datos dados.

Este trabajo de investigación permite llevar un contenido

al área de la Matemática Aplicada, mediante un aporte a la

creación de Modelos Matemáticos, como asignatura de la Carrera

Profesorado en Matemáticas.

En particular surge como necesidad de unir las trazas de

gráficas asignadas por tramos, precisamente en puntos donde se

produce el cambio de asignación de expresiones polinómicas

ajustadas. Tal problema surge al ajustar la silueta de vasijas de

barro confeccionadas por aborígenes que poblaron en el Valle de

Catamarca en el periodo entre los años 600 y 900 de nuestra era,

conocida como Cultura La Aguada.

Tales vasijas, presentan una forma casi regular por lo

que se decidió estudiarlas como superficies de revolución;

previamente se planteo la investigación de su silueta en el plano,

observándose cambios en su aproximación de rectas a parábola o

cúbicas, por lo que, en el cambio de asignación presentaban en la

modelización discontinuidad, motivando a efectuar ajustes con

restricción.

Con el objeto de realizar el modelado matemático de

vasijas de barro confeccionadas por aborígenes de la Cultura de La

Aguada, se tomo una de ellas (figura 11), que se encuentra

catalogada en el Museo Adán Quiroga del Complejo Cultural

Calchaquí, en la Ciudad de Catamarca, y presentada en la obra de

Néstor Kriscautzky. [9]




Figura 11: Vasija de la Cultura La Aguada. Ilustración del Libro La Cultura de La Aguada en el Museo Adán Quiroga

La silueta de la misma (figura 12) que se ilustra en la

obra citada fue analizada en tamaño real permitiendo determinar

puntos sobre los que se trabaja para luego ajustar la curva de la

silueta, mediante el método de mínimos cuadrados.

Figura 12: Silueta de Vasija de la Cultura La Aguada. Ilustración de La Cultura de La Aguada en el Museo Adán Quiroga




Se trabaja sobre la división de la vasija en base, cuerpo y

borde, que sugieren los especialistas, observándose que podría

ajustarse a recta, parábola y recta respectivamente.

Figura 13: Silueta según las curvas de ajustes por MMC. Colaboración de Eduardo Zarate.

Los ajustes mencionados en la figura 13, presentan

discontinuidad en los puntos de cambio de asignación. A fin de

evitar esto se propone adicionar restricción al ajuste, para ello se

puede elegir algún punto, en particular donde se inicia una

asignación, en los distintos ajustes. Esto implica poner restricción

al método de mínimos cuadrados. Por ello se desarrolla esta

investigación teórica a fin de aplicar luego a nuestro problema.

De esta manera se desarrolló los métodos de ajuste con

restricción siguientes:

• Ajuste a una recta sujeto a que pase por un punto

dado, reconociendo que entre ellos existe uno




llamado el ajuste lineal óptimo, basado en el

punto de centro de gravedad, dependiente de las

rectas normales de regresión lineal.

• Ajuste a una parábola sujeta a que pase por un

punto o que pase por dos puntos dados.

Resultados

Los resultados obtenidos de nuestra investigación, se

destacan por:

• Análisis Interdisciplinario de las magnitudes en la

Catamarca Colonial

Las medidas de superficie se derivan de las de longitud y

de éstas se dan las de volumen, por un crecimiento lógico de las

dimensiones; sin embargo es llamativo ver que no era frecuente

este paso, sino que, una vez que contaban con medidas de volumen

se las utilizaba para la superficie. Sin embargo, se recurre a

medidas de superficie cuando aparecen medidas de riego con las

cuales se mide la distribución de agua a las propiedades, cuando

estas, en la actualidad definen a la magnitud denominada caudal.

Se observa que no esta clara la unidad de medida, pues nos

estamos refiriendo a caudal, el cual, a través de una sección dada

es igual al volumen de fluido que la atraviesa por unidad de

tiempo, que hoy se mide en metros cúbicos por segundo. En aquel

momento, era la superficie que atraviesa durante un cierto

tiempo, la superficie podía ser cualquiera de las tres mencionadas




para lo cuál las compuertas tenían determinadas medidas: marco,

naranja, paja.

• El Poncho Catamarqueño

En cuanto al Poncho, partiendo de la imagen

inmortalizada por Da Vinci de las relaciones dadas por Vitrubio,

realizamos el trazado de una circunferencia de centro en el

ombligo, que contenga a los dos puntos citados, o sea los puños, la

sorpresa fue encontrar que pasa por debajo de la rodilla, en el

punto intermedio entre la rodilla y el tobillo, o sea en la parte baja

de los gemelos (ver Figura 1), este punto marca el largo ideal que

tiene un Poncho para que sea apreciado por su belleza, es el largo

del poncho catamarqueño tal como se muestra en la Figura 14.

[15]




Figura 14: La imagen del hombre de Vitrubio con poncho de acuerdo al círculo mostrado en la Figura 1.

• Modelado geométrico de la silueta de una vasija de la


Con el trabajo de investigación realizado respecto a las

Vasijas de la Cultura de La Aguada, podemos afirmar para uno de

los casos tratados, que el perfil de la vasija queda definido por una

función bivariada con cuatro asignaciones que al hacerla rotar

sobre la variable z , nos determina el total de la vasija que hemos

elegido para el análisis; definiendo un Modelo Geométrico.

Considerando la pieza que se encuentra en el Museo Adán Quiroga




en la ciudad capital de Catamarca, con el número de inventario Nº

1274 (ver figura 2).

• Modelo Geométrico del Perfil de la Vasija

Tomando finalmente a la vasija como un todo, hemos

deducido en el plano, el perfil total de la vasija por la siguiente

expresión:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

−−=−

+−=

+=

BASExy

CUERPOxy

CUELLOxy

BORDExy

420713

4223

)8,7.(8,1)6,3(40

10814

131679

85

2

Por definición de superficie de revolución en el espacio

tridimensional la vasija quedará determinada por la expresión:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

++=

−+−=−

++−=

++=

BASEyxz

CUERPOyxz

CUELLOyxz

BORDEyxz

420713)(

4223

)8,7.(6,2)6,3(40

1081)(4

131679)(

85

22

222

22

22

Y su gráfica es:




Figura 15: Modelo geométrico de la vasija de la figura 2

• Clasificación de las formas geométricas de la decoración

de vasijas de la Cultura de La Aguada

Para éste caso, en el análisis de las piezas arqueológicas

nos dio los siguientes resultados:

1. Tipo de representaciones o motivos: Casi la mitad posee

figuras Felínicas, demostrando ser una identidad del

momento cultural. En segundo lugar, con casi la cuarta

parte, están los que tienen rasgos humanos, pero como

recordemos que a veces estaban con disfraz felínico,

justifica el nombre de cultura del puma.




18,3

45

23,3

13,4

0

5

1015

20

2530

3540

45

Porcentaje de Caracteristicas Sobresalientes

Guardas

Caracteriaticas Felinicas

Rasgos Humanos

Otras Caracteriaticas

Figura 16: Tipo de representaciones o motivos presentes en vasijas

2. Tipos de relleno: En las distintas figuras se realizan

rellenos, siendo la más frecuente el cuadriculado y líneas

paralelas. Tal vez esto por ser más sencillo para realizarlo

pues, con solo un 8,3% están los puntos, los cuales son

mucho más trabajosos.

3531,6

8,3

25,1

0

5

1015

20

25

3035

Porcentaje de los tipos de relieves

Cuadrícula

Líneasaproximadamenteparalelas Puntos

Otros

Figura 17: Tipos de rellenos presentes en vasijas




3. Elementos o figuras geométricas: El grado de dificultad en

la realización de un objeto geométrico queda reflejado en

la cantidad que éstos se hallan, siendo lo frecuente

líneas, tanto paralelas como perpendiculares y entre las

figuras el triángulo.

Porcentaje de figuras o elementos geométricos16%

1%9%

4%11%

10%4%17%

4%

16%7%

1%

Triángulo Cuadrado RectanguloTrapecio Rombo CírculoElipse Semielipse Rectas paralelasRectas perpendiculares Segmento Punto

Figura 18: Tipos de figuras geométricas presentes en vasijas

4. Agrupamiento en elementos geométricos básicos:

Consideramos necesario agrupar según cuatro grandes

grupos a los entes, debido a la imperfección que pudieran

tener algunos, y así tomar a las elipses como círculos con

pequeñas deformaciones, o rectángulos como cuadrados

por sus aproximaciones.




8272

83 87

0102030405060708090

Porcentajes de entes geométricos basicos por pieza arqueológica

Triángulos

Cuadrados

Círculos

Rectas

Figura 19: Tipos de elementos geométricos básicos presentes en vasijas

5. Simetría: A partir de los datos obtenidos podemos

concluir que es más frecuente el empleo de simetría, esto

es 73%, en los motivos decorativos de las piezas

seleccionadas. Este nos lleva a pensar, que intentaban

lograr una armonía en el dibujo pintado, cincelado o en

el relieve realizado.

• Optimización con restricción como aporte al modelado

matemático

En cuanto al modelado geométrico de las Vasijas, el

objetivo fue dar una solución al corte de la gráfica de la silueta de

la vasija de barro obtenida por ajuste. Por otro lado, el ajuste sin

restricción queda demostrado que es equivalente a uno con la

restricción de que pase por el centro de gravedad, siendo este




punto coincidente con la intersección de las trazas de las

ecuaciones normales de la regresión lineal entre las variables.

Figura 20: Representación del modelo de una vasija aplicando el ajuste con restricción

Se presenta el resultado de aplicar el método de mínimos

cuadrados con restricción en el ajuste a la parábola sujeta a que

pase por los dos puntos donde se cambia la asignación, esta es:

815216.17918225.01299739.0ˆ 2 +−= xxy , asegurando una continuidad

en el trazo de la silueta. Finalmente se aplica la transformación

para convertir en superficie de revolución, obteniendo las figuras

20 y 21.




Figura 21: Representación del modelo de una vasija aplicando el ajuste con restricción

Conclusión

El planteo Etnomatemático realizado en las citadas

investigaciones, marca un mutuo interés de ciencias que si bien

parten de distintos objetos de estudios, es el ambiente de su

aplicación el que los vincula en sus desarrollos tempo espaciales,

sirviendo para conocer el perfil de la vida cultural bajo aspectos

aplicados de ciencias, que sin mencionarlas se apreciaban en las

actividades cotidianas a través del comercio, la industria y la

organización.

Podemos afirmar que la Etnomatemática es una

herramienta muy eficaz para el análisis de diversos temas de

distintas áreas de enseñanza e investigación relacionadas con las

ciencias exactas y naturales, así como también en las ciencias




humanas y sociales en general, lo importante es dar el enfoque

adecuado.

Agradecimientos

El presente artículo pretende dar difusión a trabajos

realizados oportunamente, los cuales fueron logrados gracias al

entusiasmo de, entre otros, de un gran colega y amigo como lo es

el Mgter en Historia Luis Navarro Santa Ana, a él nuestro

agradecimiento. Por otro lado un fuerte agradecimiento a los que

en esos momentos eran alumnos de la Asignatura Modelos

Matemáticos, y hoy recientes colegas, que mostraron interés en la

investigación Etnomatemática, Silvia Vanesa Romero, Natalia

Romina Olmos, Julia Dalila Cabeza, Julia Leiva, Rita Quinteros,

Eduardo Miguel Zárate, Carlos Sola Marimón y Roberto

Rodríguez. Por último, el agradecimiento por el tiempo cedido

para las consultas en diversas áreas que fueron necesarias en cada

elaboración, a los artesanos Doña Carmen de Ríos, Sebastián

Castro, Profesora en Artesanía Estela Moreno de Extensión

Universitaria, al Dr. Néstor Kriscautzky.




Referencias

[1] Boletín del Grupo Internacional de Estudios de Etnomatemáticas. Santiago

de Cali. 2005. [2] Wilhem, P. (1990) Etnomatemática. Ed. Fragma. España. [3] D´Ambrosio Ubiratan (1990) Etnomatemática. Ed. Alica. Brasil. [4] Blanco Álvarez Hilbert. Entrevista a Ubiratan D´Ambrosio. Pagina oficial

de Etnomatemática www.etnomatematica.org visitada desde octubre 2008.

[5] Perero, J. (2000) Etnomatemática. Ed. Facultad de Educación. Brasil. [6] Bassanezi, Rodney Carlos (2002) Ensino aprendizagem com modelagem

matemática. Editorial Contexto. Brasil. [7] Juarez Gustavo Adolfo, Navarro Santa Ana Luis, Navarro Silvia Inés

(2009): Análisis Etnomatemático de Pesas y Medidas en la Catamarca Colonial (1683-1828). Comunicación en Educación Matemática. Reunión Nacional de Unión Matemática Argentina. Revista en Educación Matemática. Trabajo de Investigación, Vol. 25: versión en línea www2.famaf.unc.edu.ar/rev_edu/ consultada desde 2009 a la fecha.

[8] Romero Silvia Vanesa, Juarez Gustavo Adolfo, Navarro Silvia Inés (2009):

Una experiencia en Etnomatemática: Geometría del Poncho Catamarqueño. Comunicación en Educación Matemática. Reunión Nacional de Unión Matemática Argentina. Revista en Educación Matemática. Trabajo de Investigación, Vol. 25: versión en línea www2.famaf.unc.edu.ar/rev_edu/ consultada desde 2009 a la fecha.

[9] Kriscautzky, Néstor (2008): La Cultura Aguada en el Museo Adán Quiroga:

técnicas y motivos. Editorial Científica Universitaria. Catamarca. [10]Juarez Gustavo Adolfo, Olmos Natalia Romina, Cabeza Julia Dalila,

Navarro Silvia Inés (2010): Modelo Geométrico de una Vasija de la Cultura de la Aguada. Comunicación en Educación Matemática. Reunión Nacional de Unión Matemática Argentina. Tandil. Provincia de Buenos Aires.

[11] Leiva Julia, Quinteros Rita, Juarez Gustavo, Navarro Silvia, Navarro

Santa Ana Luis (2011): Etnogeometría de las decoraciones en vasijas de Cultura de La Aguada. Comunicación en Educación Matemática. Reunión Anual Unión Matemática Argentina. Tucumán.

[12]Sola Marimón Carlos, Rodríguez Roberto, Juarez Gustavo Adolfo (2010):

Volumen de sólidos de Revolución aplicado en Vasijas de Cultura de




La Aguada. II Congreso Internacional de Educación en Ciencia y Tecnología. 4º Congreso de Educación en Ciencia y Tecnología. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de Catamarca.

[13]Eduardo Miguel Zárate: Modelización Matemática de Vasija de Cultura de

La Aguada (2010). II Congreso Internacional de Educación en Ciencia y Tecnología – 4º Congreso de Educación en Ciencia y Tecnología Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad Nacional de Catamarca.

[14] Navarro Silvia Inés, Juarez Gustavo Adolfo (2010): Aporte al modelado

matemático en Etnomatemática: Ajuste lineal con restricción. Comunicación en Educación Matemática. Reunión Nacional de Unión Matemática Argentina. Tandil. Provincia de Buenos Aires.

[15] Sarquís Celia, Martínez Daniel, Sarquís Eduardo (2005): El poncho abrigo

del catamarqueño. Editorial Sarquís. Catamarca. Argentina.

la investigación etnomatemática en catamarca

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