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IntegralesIntegrales Simples.Integrales Mltiples.Integrales de Superficie.Integrales en Lnea.
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Unidad IVIntegral doble
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La integral dobleSea R una regin cerrada en el plano xy y sea g(x, y) una funcin definida en un rectngulo que contiene a R. Hacemos una particin del rectngulo que contiene a la regin R en n x n rectngulos, donde el k-simo rectngulo tiene dimensiones Xk por Yk (no necesariamente iguales). Luego evaluamos una funcin g(x,y) en algn punto (Xk*, Yk*) de cada rectngulo, y formamos la suma... n2 g(xk*, yk*)D xk Dyk
k = 1
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La integral doble La suma anterior, como en la integral definida, se llama Suma de Riemann. A continuacin se ilustra lo anterior. Ejemplos: 1) Integrando g(x,y) = x + 1 Regin R : rea comprendida entre las curvas y = x; y = 4 - x, x = 0.
En las siguientes imgenes se har una particin del rectngulo en 8 x 8 = 64 rectngulos. Si el punto medio de una subregin queda dentro de R, se le incluye en la particin y por lo tanto en la suma de Riemman.
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Funciones = {x, 4 - x}Grfica de funciones en el plano xy
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La integral dobleGrfica de la regin R
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La integral dobleParticin de la regin R en 64 rectngulos.
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La integral dobleA continuacin se muestra el resultado de evaluar la funcin g(x, y) = x + 1 en el punto medio de cada rectngulo de la particin y el clculo de la sumatoria de Riemann, n2 g(xk*, yk*)DxkDykk = 1y la integral doble de la funcin sobre la regin R, aunque an no hemos definido que significa "Integral doble".
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La integral doblePara la funcin g(x, y) = 1 + x La suma de Riemann = 6.625 para n = 64 rectngulos Integral doble = 6.66667 Como habrs observado, el valor de la suma de Riemann est cercano al valor de lo que llamamos "Integral doble".
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La integral dobleEnseguida se ilustrar la particin tridimensional de el volumen comprendido entre la superficie z = g(x, y) y la regin R.
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La integral dobleSe hace las columnas para calcular el volumen.
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La integral dobleVolumen de los 64 paralelepipedos es 6.625Volumen exacto = 6.66667
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La integral dobleA continuacin veremos otro ejemplo de lo anterior para reafirmar el concepto. Ejemplo 2. Integrando g(x,y) = 25 - x8 - y8 Regin R : rea comprendida entre las curvas y = x8 - 4 ; y = 4 - x8. En seguida se har una particin de la regin R en 8 x 8 = 64 rectngulos.
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La integral dobleFunciones = {- 4 + x2 , 4 - x2}
Grfica de funciones en el plano xy
Grfica de la regin R
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La integral dobleParticin de la regin R en 64 rectngulos
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La integral dobleA continuacin se muestra el resultado de evaluar la funcin g(x,y) = 25 - x2 - y2 en el punto medio de cada rectngulo de la particin y el clculo de la sumatoria de Riemann, Para la funcin g(x, y) = 25 - x2 - y2La suma de Riemann = 418.75 para n = 64 rectngulosIntegral doble = 438.242
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La integral dobleEn las siguientes grficas se ilustrar la particin tridimensional de el volumen comprendido entre la superficie z = g(x,y) y la regin R.
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La integral dobleLa regin se divide en partes iguales (en este caso) y se calcula el volumen.
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La integral dobleVolumen de los 64 paraleleppedos es 433.484
Volumen exacto 438.248
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La integral dobleDefinicin: Si g(x, y) est definida en una regin cerrada y acotada R del plano xy, la Integral Doble de g(x, y) sobre R se define como: n2 g(x, y) dA =lim g(xk*, yk*) Dxk Dyk R n 0 k = 1 cuando la norma de la particin tiende a cero. ( lo que equivale a n 0)