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Actividad No. 3 HISTORIA DEL CALCULO INTEGRALTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULODEFINICION LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDASUMADE RIEMANNPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDATEOREMA DE EXISTENCIAFUNCION PRIMITIVAMETODOS DE INTEGRACION

HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL

La integracin se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Mosc, donde se demuestra que ya se conoca una frmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera tcnica sistemtica documentada capaz de determinar integrales es el mtodo de exhauscin de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar reas y volmenes a base de partirlos en un nmero infinito de formas para las cuales se conocieran el rea o el volumen.Este mtodo fue desarrollado y usado ms adelante por Arqumedes, que lo emple para calcular reas de parbolas y una aproximacin al rea del crculo. Mtodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los us para encontrar el rea del crculo. Ms tarde, Zu Chongzhi us este mtodo para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronoma del siglo XII del matemtico indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de clculo integral.Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el mtodo de exhauscin. En esta poca, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su mtodo de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empez a desarrollar los fundamentos del clculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexin entre la integracin y la derivacin.Newton y Leibniz

Los principales adelantos en integracin vinieron en el siglo XVII con el descubrimiento del teorema fundamental del clculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexin entre la integracin y la derivacin.La integracin fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando lmites.TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Elteorema fundamental del clculoconsiste (intuitivamente) en la afirmacin de que laderivacineintegracinde unafuncinson operaciones inversas. Esto significa que toda funcin continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de lasmatemticasdenominadaanlisis matemticoo clculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el clculo aproximado de reas -integrales- en el que se vena trabajando desde Arqumedes, era una rama de las matemticas que se segua por separado al clculo diferencial que se vena desarrollando porIsaac Newton,Isaac BarrowyGottfried Leibnizen elsiglo XVIIIy dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiarreasyvolmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "rea bajo una funcin" estaba ntimamente vinculado al clculo diferencial, resultando la integracin, la operacin inversa a la derivacin.

DEFINICION LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDAINTEGRAL INDEFINIDA: es la funcion F(x) de la cual proviene f(x). Se le conoce como antiderivada o funcion primitiva y se obtiene al aplicar la regla de derivacion al reves (al final se le agrega una constante C de integracion)INTEGRAL DEFINIDA: La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las reas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una funcin f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la funcin entre los puntos a y b al rea de la porcin del plano que est limitada por la funcin, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.La integral definida de la funcin entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

SUMADE RIEMANN

es un mtodo de integracin numrica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el rea bajo una curva, este mtodo es muy til cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del clculo. Estas sumas toman su nombre del matemtico alemn Bernhard Riemann.La suma de Riemann consiste bsicamente en trazar un nmero finito de rectngulos dentro de un rea irregular, calcular el rea de cada uno de los rectngulos y sumarlos. El problema de este mtodo de integracin numrica es que al sumar las reas se obtiene un margen de error muy grande.PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDAPropiedades de la integral definida1.El valor de la integral definidacambia de signo si se permutan los lmites de integracin.

2.Si los lmites que integracin coinciden, laintegral definidavalecero.

3.Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definidase descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4.Laintegral definidade una suma de funciones es igual a la suma de integrales

5.La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin.

Propiedades de la integral indefinida

1.La integral de una sumade funciones es igual a lasuma de las integralesde esas funciones.

2.Laintegral del producto de una constantepor una funcin es igual a laconstante por la integralde la funcin.

TEOREMA DE EXISTENCIAEs un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o ms generalmente 'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en trminos ms formales de lgica simblica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explcitamente, como es usual en el lenguaje matemtico estndar, por ejemplo, el enunciado de que la funcin seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notacin O.FUNCION PRIMITIVAFuncin primitivaoantiderivadade una funcin dada f(x), es otra funcin F(x) cuya derivada es la funcin dada.

Si una funcin f(x) tiene primitiva, tieneinfinitas primitivas, diferencindose todas ellas en unaconstante.

METODOS DE INTEGRACIONMtodo de integracin por sustitucinElmtodo de integracin por sustitucinopor cambio de variablese basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con unaintegralo anti derivada simple.Mtodo de integracin por partess el que resulta de aplicar el siguiente teorema:Regla mnemotcnica: "Un Da Vi Una Vaca menos flaca(menos integral)Vestida De Uniforme".Eligiendo adecuadamente los valores dey, puede simplificarse mucho la resolucin de laintegral.

Mtodo de integracin por cambio de variablesEl cambio de variables es uno de los mtodos ms usados en la integracin. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable sies la variable original yes una funcin invertible, se tiene:

Referencias:http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo

http://matematica.wikia.com/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral

http://www.hiru.com/matematicas/la-integral-definida

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann

http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_existencia

http://www.ditutor.com/indefinidas/funcion_primitiva.html