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LA GEOMETRÍA SINTÉTICA. ¿PRESENTE EN LA FORMACIÓN DE
PROFESORES?
Valdez, Guillermo; Vecino, María; Oliver, María
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. UNMDP
[email protected]; [email protected]; [email protected]
Resumen
La geometría euclídea continúa aportando con su metodología elementos en la formación de
profesores. Los actuales diseños curriculares para la Educación Secundaria en Matemática,
revalorizan la geometría recomendando incorporarla con un enfoque más dinámico y funcional,
proponiendo un trabajo de descubrimiento y análisis de propiedades de figuras y cuerpos
geométricos. Sin embargo, sigue siendo una temática poco abordada, tanto en la Escuela
Secundaria, como en los planes de estudio del Profesorado. Tal es así que los estudiantes del
Tercer año de nuestro Profesorado, en el año 2013, advirtieron ciertas falencias respecto de sus
conocimientos sobre Geometría, por lo que se acercaron al Consejo Departamental a efectos de
solicitar el dictado de una asignatura optativa que pudiera contribuir a reparar ese déficit y
mejorar las herramientas necesarias para afrontar su futura práctica profesional. Fue así como se
consensuó la reedición de la asignatura optativa “Geometría: su Enseñanza”, que apunta a la
resolución de problemas geométricos, aspectos teóricos, históricos y aplicaciones. En este trabajo
se describen algunos de los problemas tratados, las soluciones más relevantes dadas por los
estudiantes y su opinión acerca de esta experiencia, expresando aspectos positivos, negativos e
interesantes de la misma.
Palabras clave: geometría euclídea - planes de estudio – didáctica - educación secundaria -
Fundamentación
….¡Quien supiera, pues, escribir un libro capaz de despertar el respeto al rigor sin
ahogar la intuición! ¡Quien supiera conjugar en èl la honradez científica, el interés
formativo y la eficacia práctica! ¡Quien pudiera hacer vibrar los espíritus críticos y
sistematizadores de un Hilbert de un Klein, junto a los venerables legados de un
Euclides, de un Apolonio, de un Poncelet, de un Chasles…! ¡Quien supiera ser a un
tiempo clásico y moderno, breve y completo, claro y conciso!
Pedro Puig Adam
A mediados del siglo XX se suscitó una controversia entre los partidarios de una
geometría sintética, propia del modelo “euclidiano”, basada en una axiomática más o menos
explícita, y los partidarios de una geometría analítica, propia del modelo “cartesiano”, cuya
práctica se sustenta en las técnicas del álgebra lineal y cuya axiomática suele quedar más
implícita.
En los últimos años, muchos investigadores en Didáctica de la Matemática, como
Acosta, Santaló, Santos Trigo, Villella, entre otros, han prestado especial atención a la enseñanza
de la geometría en la formación de profesores puesto que el estudio de la misma favorece el
desarrollo de la conjeturación, la argumentación deductiva y la modelización.
Los Principios y Estándares para la Educación Matemática (NCTM) y el Diseño
Curricular para la Educación Secundaria de la Provincia de Buenos Aires, en el área Matemática,
revalorizan la geometría recomendando su incorporación con un enfoque más dinámico y
funcional. En ambos se propone un trabajo de descubrimiento y análisis de propiedades de
figuras y cuerpos geométricos. Sin embargo, sigue siendo un área de escaso trabajo en las clases.
Se acepta que en el proceso de aprender la disciplina, los estudiantes necesitan
desarrollar una disposición y una forma de pensar donde constantemente busquen y examinen
diferentes tipos de relaciones, planteen conjeturas, utilicen distintos sistemas de representación,
establezcan conexiones, empleen varios argumentos y comuniquen sus resultados. Además, el
desarrollo de herramientas tecnológicas está influyendo notablemente en la forma en que los
estudiantes aprenden matemáticas. (Santos Trigo, 2003, p. 196).
Según la opinión de Santaló, a la que adherimos, los profesores tienden a enseñar tal
como fueron enseñados, por lo cual es recomendable aplicar las metodologías de enseñanza de la
geometría durante el dictado de las asignaturas afines en lugar de esperar a tratarlas en los cursos
de didáctica especial. (Santaló, 1993, p. 13 Red Olímpica la Geometría en la formación de
profesores).
Sin embargo, observando el plan de estudios del profesorado de Matemática de la
FCEYN, concluimos que solo cuenta con dos Geometrías.
PLAN DE ESTUDIOS 2014 DEL PROFESORADO EN MATEMÁTICA (abreviado)
A
Año
Asignaturas
1 Cálculo I Algebra Lineal
I
Lógica Cálculo II Introducción
al Algebra
2 Calculo III Algebra Lineal
II
Física I Probabilidades y
Estadística
Psicología del
Aprendizaje
Geometría
3 Geometría
Diferencial I
Métodos
Numéricos I
Modelización Teoría de la
Educación
Variable
Compleja
Didáctica de
la
Matemática
4
Prácticas
Docentes I de
Matemática
Prácticas
Docentes II de
Matemática
Fundamentos de
la Matemática
Política,
Organización y
Gestión Educativa
Optativa I, Optativa II y Optativa III
Los contenidos mínimos de GEOMETRIA y GEOMETRIA DIFERENCIAL I son:
GEOMETRIA:
Contenidos mínimos: Geometría métrica. Espacio afín. Grupo afín. Espacio euclídeo.
Grupo euclídeo. Semejanzas. Espacio proyectivo. Grupo proyectivo. Cónicas y cuádricas. Grupos
de matrices. Grupos de poliedros. Construcciones con regla y compás.
GEOMETRÍA DIFERENCIAL I:
Contenidos mínimos: Curvas en Rn. Longitud de arco. Curvatura. Torsión. Triedro de
Frenet. Superficies regulares. Mapas. Superficies de revolución. Primera forma fundamental.
Vectores normales. Orientación. Aplicación normal de gauss.
Segunda forma fundamental. Curvaturas y direcciones principales. Línea de curvatura.
Geodésicas.
Un simple análisis del Plan pone en evidencia que este diseño ha sido realizado, tal vez,
desde una predominante visión purista de la Matemática, estrechamente especializada y ha dejado
en un segundo plano muchos aspectos concernientes al Profesorado, lo cual provocó algunas
falencias en él. Un ejemplo es que no existe, entre las asignaturas obligatorias, ninguna
Geometría Euclídea, salvo unos pocos fragmentos de ésta incluidos en las dos únicas
geometrías del plan.
Aparece la inquietud….
Un entorno favorable para reeditar el taller de Geometría
Mientras analizaban los Diseños Curriculares en Teoría de la Educación, los alumnos de
tercer año del profesorado de Matemática, en el año 2013, advirtieron ciertas falencias con
respecto a sus conocimientos sobre Geometría , por lo que se acercaron al Consejo Directivo
del Departamento de Matemática de nuestra Facultad a efectos de solicitar el dictado de una
asignatura optativa que pudiera contribuir a reparar ese déficit y mejorar las herramientas
necesarias para afrontar su futura práctica profesional.
Como integrantes del Proyecto de Investigación “Las prácticas docentes en profesores
de Matemática formados en formación. Sujeciones y márgenes de acción” y teniendo a nuestro
cargo el dictado de asignaturas tanto de formación disciplinar (Algebra, Análisis Matemático,
Geometría…) como del área Enseñanza de la Matemática (Didáctica, Prácticas docentes…),
interpretamos y compartimos esta demanda de los alumnos (futuros profesores) habida cuenta
que estos contenidos deberán ser enseñados por ellos en los niveles de la Escuela Secundaria.
Por los motivos expuestos y revisando la oferta de asignaturas optativas del plan de
estudios del Profesorado en Matemática, se consensuó en la reedición de la asignatura
“Geometría: su Enseñanza”, que solo tenía establecidos los contenidos mínimos y que hacía
varios años que no se dictaba.
Contenidos Mínimos de Geometría: Su Enseñanza
Los cinco grupos fundamentales de axiomas. Ángulos y polígonos en la
circunferencia. Puntos y rectas notables en el triángulo. Homotecia y semejanza en polígonos y
circunferencia. El arco capaz. Relaciones métricas derivadas de la semejanza. Equivalencia y
áreas. Metodología de las construcciones geométricas. Inversión y polaridad en el círculo. Los
movimientos y la congruencia en el espacio. Propiedades métricas de los anguloides y poliedros.
Cuerpos redondos. Homotecia, inversión y polaridad en el espacio. Áreas y volúmenes.
Tratamiento metodológico.
A partir de los contenidos mínimos se diseñó el PROGRAMA DE LA ASIGNATURA:
Unidad I: Los cinco grupos fundamentales de axiomas. Ángulos y polígonos en la
circunferencia. Arco capaz. Cuadrilátero inscriptible y circunscriptible. Polígonos regulares.
Puntos y rectas notables en el triángulo.
Unidad II: Homotecia y semejanza en polígonos y circunferencia. Trazado de figuras
semejantes. Relaciones métricas derivadas de la semejanza. Potencia de un punto respecto a una
circunferencia. Sección áurea. Lugares geométricos. Inversión y polaridad en el círculo.
Circunferencias ortogonales. Equivalencia y áreas de polígonos. Equivalencia por
descomposición o por complemento. Cuadraturas.
Unidad III: Construcciones geométricas con regla y compás. Método reductivo.
Método del problema recíproco. Método de los lugares geométricos. Métodos de las
transformaciones: transformaciones por traslación, por simetría, por rotación, por homotecia, por
semejanza, por inversión. El compás de Mascheroni
Unidad IV: Propiedades métricas de los poliedros. Cuerpos redondos. Homotecia,
inversión y polaridad en el espacio. Áreas y volúmenes.
En cuanto a lo metodológico…
Debe ser prioridad en la Educación Matemática, proveer a los estudiantes de una
concepción de la disciplina y de una aproximación al hacer matemático, destacando su alcance,
su poder, usos e historia, todo esto en el nivel adecuado a sus posibilidades, como así también
prepararlos para convertirse en aprendices independientes, e intérpretes con sentido crítico.
Se optó por la modalidad de taller a fin de generar un espacio de aprendizaje y reflexión
a partir de la propia experiencia.
Se trabajó con alumnos de tercer año que ya tenían aprobadas las asignaturas Geometría
y Teoría de la Educación.
Se priorizó la resolución de problemas como punto de partida en la construcción del
conocimiento.
En cuanto a la metodología se trabajó en concordancia con la propuesta del Dr. Luis
Santaló (1993) “La metodología debe ser la misma que piense aplicarse en la enseñanza
Secundaria, cuando se esté en el ejercicio de la profesión, o tal vez se pueden ensayar distintas
variantes (método del descubrimiento, enseñanza basada en la resolución de problemas,
enseñanza personalizada, enseñanza grupal, etc.)”.
Propósitos generales
La propuesta de la asignatura es que los futuros docentes de Matemática emprendan el
estudio de la geometría sintética desde la óptica de su aprendizaje y su enseñanza en la Escuela
Secundaria. Esto va más allá del reconocimiento de figuras y cuerpos geométricos, para hacer
énfasis en el estudio de las propiedades de las figuras, con la finalidad de propiciar un análisis
profundo de las relaciones geométricas y enfocar la acción hacia la resolución de problemas.
Se recurre a la construcción de figuras y cuerpos geométricos como instrumento para
motivar la formulación de conjeturas, a las estructuras conceptuales previamente desarrolladas
como el referente para validarlas o refutarlas y a la resolución de problemas como la estrategia de
aprendizaje. El rol del profesor consiste, fundamentalmente, en cuestionar, enfatizar y aclarar
asuntos específicos, sin que esos intercambios brinden la totalidad de las respuestas a los
problemas propuestos.
Las actividades tienden a fortalecer las siguientes habilidades:
De visualización
De comunicación
De construcciones geométricas
De razonamiento
De aplicación
En algunas oportunidades se incluye el uso de software de geometría dinámica como un
recurso para explorar relaciones. Un asistente geométrico permite realizar construcciones
geométricas, visualizar los problemas, encontrar relaciones entre los objetos, modificar las
posiciones de los mismos, hallar lugares geométricos,….
Algunas actividades propuestas a los estudiantes
a. Una vez analizadas las propiedades de los cuadriláteros con todo el grupo de alumnos se
plantearon varios problemas, por ejemplo: Trazar por un punto P interior a un ángulo un
segmento limitado por sus lados y bisecado por P.
De un total de 10 alumnos que cursaron el taller solo 1 de ellos, Ian, lo resolvió
exitosamente y lo explicó a sus compañeros mediante una serie de pasos.
Esbozó como una primera aproximación al problema un
dibujo que muestra la situación planteada.
Luego consideró el segmento BP y trazó en forma consecutiva y alineada el segmento PQ con
igual longitud que BP .
Por el punto Q trazó las paralelas a las semirrectas BA y BC .
Finalmente aprovechando la propiedad de las diagonales de un
paralelogramo en este caso BEQF y observó que EF es la solución al
problema
Los nueve alumnos restantes solo realizaron ensayos gráficos que no les permitieron
arribar a la respuesta.
b. Una vez realizadas una serie de construcciones de triángulos teniendo en cuenta
determinados datos, se propuso el siguiente problema: Construir un triángulo rectángulo
conociendo un cateto y la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto.
En este caso los alumnos mostraron varias respuestas correctas utilizando diferentes
caminos, entre ellas detallamos las siguientes:
La resolución de Joaquín consistió en construir el triángulo
rectángulo CAE con los datos b y a-c como catetos.
Llamó al ángulo ACE y con el objeto de construir el
triángulo isósceles BEC (en el que 90º AEC y
90º BCE por lo que 2EBC ) consideró sobre la
semirrecta EA un punto cualquiera D y con amplitud 2
construyó el ángulo . Por último trazó la paralela a la
semirrecta DA´ por el punto C obteniendo en la intersección
con la semirrecta EA el punto B. De esta forma BAC es el triángulo pedido.
Daiana, en primer lugar construyó el triángulo rectángulo
ABE con catetos b y a-c según datos. Posteriormente se
construyó la mediatriz del lado AE obteniendo sobre la
semirrecta AB el punto D intersección entre la mediatriz y
dicha semirrecta. La solución es el triángulo rectángulo
EBD. Esto queda justificado debido a que el triángulo
AED es isósceles de modo que BD = c y AD=ED=a
Mercedes resolvió de esta manera: construyó el triángulo rectángulo con catetos b y a-c, a la
hipotenusa la llamó m. Por el vértice A trazó la paralela a m,
llamó al ADC . Construyó el ángulo con la misma
amplitud que y vértice en un punto (F) cualquiera de la
paralela a m, llamando E a la intersección entre el lado del
ángulo y la semirrecta AB. Finalmente trazó la paralela a
EF por C, obteniendo el triángulo ABC solución del
problema.
La solución propuesta por el Profesor:
Si bien ya se había desarrollado el tema:
‘Potencia de un punto respecto de una
circunferencia’, los estudiantes no la emplearon en
sus resoluciones. Los pasos a seguir son:
Se construye el ángulo recto ABC donde AB b
y BC a c .
En la recta AB y en forma consecutiva con AB se
considera el segmento BD b
Trazando, por ejemplo la mediatriz del
segmento CD , en la intersección con la recta CB
se obtiene el punto O centro de la circunferencia.
Se traza la circunferencia y llamando E al punto de intersección entre ella y la recta CB,
se obtiene el segmento BE que resulta de longitud igual a a c ,
El segmento CE tiene longitud 2.a , de modo que ahora la construcción del triángulo
pedido es inmediata. Teniendo en cuenta que 2 2 2 b a c , es decir 2 . b a c a c y
observando que la potencia del punto B respecto de la circunferencia es: . .AB BD BE CB
queda justificada la construcción.
c. Con la intención de presentar una enseñanza de la Geometría integrada en la historia y la
cultura se propuso a los estudiantes que busquen información para exponer en clase en
forma individual sobre algunos temas y problemas clásicos de la geometría:
Euclides. Tratado de Geometría: “Los Elementos”.
El Problema del 5to. Postulado de Euclides.
Los tres problemas clásicos de la matemática griega: la duplicación del
cubo, la trisección del ángulo,y la cuadratura del círculo.
Arquímedes. Su método científico. Sus libros de índole estrictamente
geométrica.
Apolonio de Perga. Sus libros sobre Geometría.
d. Durante el último mes el docente asignó semanalmente a parejas de estudiantes, algunos
temas de mayor dificultad, los que debieron exponer ante la totalidad del grupo. Todos los
temas eran abordables mediante las herramientas teóricas vistas durante el curso.
Construcciones geométricas con compás
Construcciones geométricas con regla y compás (Construcciones de
Mascheroni).
Los rectángulos dinámicos.
Los Rectángulos áureos.
Inversión y sus propiedades fundamentales
Los estudiantes opinan
Al promediar la cursada de la materia y a su culminación, el docente pidió a los alumnos
que escribieran su opinión acerca de su experiencia en el transcurso de los encuentros,
expresando tanto los aspectos positivos como los negativos y aquellos que les resultara
interesante destacar:
Lo que tomo como positivo de esta materia es la libertad a la hora de resolver los problemas, el hecho que
lo podemos hacer en forma grupal o individual y que a medida que vamos avanzando podemos ir viendo
en el pizarrón distintas formas correctas de resolución.[…] A1
Me resulta interesante cuando exponemos acerca de la historia de la matemática, ya que es la primera vez
que vemos los distintos matemáticos que han transcurrido en el tiempo y los aportes que ellos hicieron, es
muy interesante y sorprendente los resultados a los que llegaron, teniendo tan pocos instrumentos en la
época en que vivían […] A2
“Considero como positivo la manera en que se presenta la clase. La oportunidad de aprender nuevos
temas, investigando por nuestra cuenta y permitiéndonos preguntar cualquier duda”. […] A3
Me parecen muy interesantes las actividades presentadas en las clases ya que estoy aprendiendo muchas
cosas de la geometría que no sabía o que no sabía aplicarlas a la resolución de problemas, ya que no las
había estudiado ni en la escuela ni en la facultad hasta ahora. A4
Fue interesante las distintas formas en que se trabajaron los contenidos de la materia: algunas exposiciones
en grupos de a dos personas, exposiciones de problemas y de temas históricos por parte de los alumnos,
explicaciones del profesor y ejercicios y problemas para hacer en forma individual […] A5
“La forma de trabajar fue bastante distinta a la habitual. Fue una linda experiencia, me sirvió mucho.
Mucho de lo trabajado voy a tenerlo en cuenta para mi futura enseñanza.” A6
”[…] Fue divertido ir a cursar, en ningún momento te dan ganas de irte, ni de faltar porque los problemas
que vemos nos entretienen y nos intriga ver su resolución[…] A7
Conclusiones
Si bien hay mucho por mejorar, el dictado de esta asignatura dejó varios aspectos
positivos al propiciar una participación activa de los estudiantes en la construcción de su
conocimiento y al proponer experiencias significativas que fortalecen la enseñanza y el
aprendizaje de la geometría euclídea.
De la lectura de las opiniones surge que la mayoría de los estudiantes valoran
positivamente esta metodología de trabajo.
Como docentes de la asignatura Prácticas Docentes I, hemos tenido la oportunidad de
observar, en las simulaciones de clase, que los alumnos que cursaron esta materia optativa se
diferenciaron de los que no lo hicieron, en aspectos como secuenciación de contenidos,
utilización de estrategias, empleo de diferentes recursos didácticos…
Si bien no se hizo hincapié en el aprovechamiento de las herramientas que brinda la
geometría dinámica, hubo oportunidades en las que se utilizaron para favorecer la
conceptualización, el descubrimiento y la justificación.
Durante el último mes, al asignarles los temas de mayor dificultad, los estudiantes
profundizaron el objeto de estudio y reflexionaron sobre su futuro rol docente.
Referencias Bibliográficas
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Kostovski, A. (1984). Construcciones geométricas mediante un compás. Colección lecciones
populares de matemáticas.Moscú: Ed. Mir.
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Puig Adam, P. (1969). Curso de Geometría Métrica (Tomo I: Fundamentos). Madrid: Biblioteca
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