La funcinf(x)=x3- x2- 12xno tiene extremos absolutos en el intervalo abierto (-4,5), por qu? Fjate en la siguiente grfica:f(x)= x3- x2-12xf'(x)= 3x2- 2x -12Nmeros crticos:{-1.69425, 2.36092}

Si prestamos atencin a los valores de la funcin para aquellasx's cercanas a (o en la vecindad de)x=c1yx=c2(los puntos azules de la grfica), observars quef(c1)es el valor mximo de la funcin en un intervalo (a1,b1) que contenga ac1yf(c2)es el valor mnimo de la funcin en un intervalo (a2,b2) que contenga ac2. Estos puntos reciben el nombre deextremos relativosolocales, y se definen como sigue:Definicin de extremo relativo: Un nmeroy1=f(c1)es un mximo relativo de una funcin f, sif(x)f(c1)para todaxen algn intervalo abierto que contenga ac1. Un nmeroy1=f(c1)es un mnimo relativo de una funcin f, sif(x)f (c1)para todaxen algn intervalo abierto que contenga ac1.

Como consecuencia de esta definicin puede concluirse que todo extremo absoluto (excepto extremo en la frontera) es tambin un extremo relativo. Es muy importante que notes que los puntos en azul de la grfica anterior no fueron obtenidos por medio de simple tabulacin. (Cmo es la tangente a la grfica en los extremos relativos?). Para encontrar los extremos relativos no es suficiente el graficar la funcin por medio de simple tabulacin.Observa los puntos que marcan los extremos relativos de la siguiente grfica.

f(x)= -3x2/3- 2x

2(x1/3- 1)

f'(x)=

x1/3

Nmeros crticos:{0.0, 1.0}

Examinando la grfica anterior observars que los extremos relativos de la funcin mostrada ocurren en valores dexen los que la curvano tiene tangenteo en los quela tangente es horizontal(o vertical). Por lo tanto los valores dexen los quef'(x)=0of'(x)no existe, son importantes. Definicin de valor crtico:Un valor crtico de una funcinf(x)es un nmerocen su dominio para el cualf'(c)=0f'(c)no existe.

Es importante notar quef(c)debe estar definida para que el nmerocsea un valor crtico. Enunciamos en seguida dos importantes teoremas.Teorema:Si una funcinf(x)tiene un extremo relativo en un nmeroc, entoncesces un valor crtico.

Nota importante:El teorema anterior NO dice que en todos los valores crticos habr un extremo relativo.Observa la siguiente grfica.

f(x)= x3+ 1f'(x)= 3x2Nmeros crticos:{0.0, 0.0}

Como puedes observar,x=0es un nmero crtico, perof(0)no es un extremo relativo.. Teorema:Sif(x)es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces un extremo absoluto ocurre en un punto frontera del intervalo o en un valor crtico en el intervalo abierto (a,b).Obtencin de los extremos absolutos El ltimo teorema de la seccin anterior puede resumirse de la siguiente manera:Para encontrar un extremo absoluto de una funcinf(x)continua en [a,b]:1. Evaluarfenay enb.2. Determinar todos los valores crticosc1, c2, c3,..., cnen (a,b).3. Evaluarfen todos los valores crticos.4. El ms grande y el ms pequeo de los valores de la lista,f(a), f(b), f(c1), f(c2),..., f(cn)son el mximo absoluto y el mnimo absoluto, respectivamente, defen el intervalo [a,b]. Observaciones:a) Una funcin puede tomar sus valores mximo y mnimo ms de una vez en un intervalo, pero elmximo absoluto es un slo nmeroyel mnimo absoluto estambinun solo nmero.b) El recproco del teorema anterior (extremos relativos) no es necesariamente cierto. Es decir un valor crtico de una funcin no siempre corresponde a un extremo relativo. (Como ya viste conf(x)=x3+1)Veamos otro ejemplo para ilustrar lo anterior.f(x)= (x - 1)1/3

1

f'(x)=

3(x - 1)2/3

Nmeros crticos:{1.0}

Como observars la derivada de esta funcin muestra quex=1es un valor crtico sin embargo esta funcin al igual que la anterior, no tiene extremo alguno.