la estimación

República Bolivariana de VenezuelaUniversidad Nacional Experimental de Guayana

Ingeniería en Industrias ForestalesCátedra: Estadística II

LA ESTIMACIÓN COMO BASE EN LA ESTADÍSTICA INFERENCIAL

AUTOR:

Aponte Juan Carlos

TUTOR:

Barrios Álvaro

Upata, Junio 2015



LA ESTIMACIÓN COMO BASE EN LA ESTADÍSTICA INFERENCIAL

AUTOR:

Aponte Juan Carlos

TUTOR:

Barrios Álvaro

Resumen

En las ciencias, un psicólogo tal vez quiera determinar el tiempo promedio que una persona adulta necesita para reaccionar a estímulos visuales; en los negocios, un funcionario sindical quizá desee conocer la magnitud de la variación del tiempo que requieren los miembros del sindicato para llegar al trabajo; y en la vida diaria, probablemente queremos investigar el porcentaje de accidentes de un automóvil ocasionados por la fatiga del conductor. Todos estos son problemas de estimación, pero serían pruebas de hipótesis si el psicólogo quisiera decidir si el tiempo promedio que un adulto necesita para reaccionar a estímulos en realidad es 0.44 segundos, si el funcionario sindical quisiera saber si la variación del tiempo que necesitan los miembros del sindicato para llegar al trabajo es mayor del que afirma la compañía y si deseáramos verificar si es verdad que 14.5% de todos los accidentes de un automóvil se deben a la fatiga del conductor.



INTRODUCCIÓN

El propósito de todo esto es crear un fundamento que le permita a los

estudiosos de la estadística sacar conclusiones acerca de los parámetros de

una población a partir de datos experimentales. Por ejemplo, el teorema del

límite central proporciona información acerca de la distribución de la media

muestral. La distribución comprende la media poblacional. Entonces

cualesquiera conclusiones referentes a la media poblacional que se obtenga

de un promedio muestral observado dependen del conocimiento de esta

distribución muestral. En el presente trabajo se inicia con de una manera

formal del propósito de la inferencia estadística.

Tradicionalmente los problemas de inferencia estadística se han

dividido en problemas de estimación, donde asignamos valores numéricos a

parámetros de una población, pruebas de hipótesis, donde aceptamos o

rechazamos aseveraciones acerca de los parámetros o formas de las

poblaciones y en problemas de pronóstico, donde pronosticamos valores

futuros de una variable aleatoria. En cada caso, todas las inferencias se

basan en datos muestrales. Los problemas de estimación surgen en todas

las áreas: en las ciencias, en los negocios y en la vida cotidiana.



La estimación.

En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas

que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a

partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una

estimación de la media de una determinada característica de una población

de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una

muestra de tamaño n.1

La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los

cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características

y propósitos del estudio:

1) Estimación puntual:2

-Método de los momentos;

-Método de la máxima verosimilitud;

-Método de los mínimos cuadrados;

2) Estimación por intervalos.

3) Estimación bayesiana.

Un estimador es una regla que establece cómo calcular una

estimación basada en las mediciones contenidas en una muestra estadística.



Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor,

obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se pretende estimar la

talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una

muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos.

Lo más importante de un estimador, es que sea un estimador eficiente. Es

decir, que sea insesgado (ausencia de sesgos) y estable en el muestreo o

eficiente (varianza mínima) Estimación puntual. Sea X una variable

poblacional con distribución Fθ , siendo θ desconocido. El problema de

estimación puntual consiste en, seleccionada una muestra X1, ..., Xn,

encontrar el estadístico T(X1, ..., Xn) que mejor estime el parámetro θ. Una

vez observada o realizada la muestra, con valores x1, ..., xn, se obtiene la

estimación puntual de θ, T(x1, ..., xn) = ˆ θ .

Vemos a continuación dos métodos para obtener la estimación puntual de un

parámetro: método de los momentos y método de máxima verosimilitud.

Método de los momentos: consiste en igualar momentos poblacionales a

momentos muestrales. Deberemos tener tantas igualdades como parámetros

a estimar. Momento poblacional de orden r αr = E(Xr) Momento muestral de

orden r ar = Xn i=1 Xr i n

Método de máxima verosimilitud: consiste en tomar como valor del parámetro

aquel que maximice la probabilidad de que ocurra la muestra observada. Si

X1, ..., Xn es una muestra seleccionada de una población con distribución Fθ

o densidad fθ(x), la probabilidad de que ocurra una realización x1, ..., xn

viene dada por: Lθ(x1, ..., xn) = Yn i=1 fθ(xi).



A Lθ(x1, ..., xn) se le llama función de verosimilitud.(credibilidad de la

muestra observada). Buscamos entonces el valor de θ que maximice la

función de verosimilud, y al valor obtenido se le llama estimación por máxima

verosimilitud de θ. Nota: si la variable X es discreta, en lugar de fθ(xi )

consideramos la función masa de probabilidad pθ(xi).

Ejemplo 7.1: Sea X → N(µ, σ), con µ desconocido. Seleccionada una m.a.s.

X1, ..., Xn, con realización x1, ..., xn, estimamos el parámetro µ por ambos

métodos. Según el método de los momentos: E(X) = Xn i=1 Xi n = − X, y al

ser µ = E(X) se obtiene que ˆ µ = − x. Por el método de máxima verosimilitud:

Lµ(x1, ..., xn) = Yn i=1 fµ(xi ) = = Yn i=1 1 √ 2πσ e −(xi−µ) 2 2σ

Estimación por Intervalos de confianza 109 y maximizamos en µ tal función;

en este caso resulta más fácil maximizar su logaritmo: lnLµ(x1, ..., xn) = − 1

2σ 2 Xn i=1 (xi − µ) 2 − n ln( √ 2πσ) ∂ ∂µ lnLµ(x1, ..., xn) = 1 σ 2 Xn i=1 (xi −

µ) = n − x − nµ σ 2 = 0 ⇐⇒ ˆ µ = −.

Estimación por intervalos.

Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor del

parámetro estimado con una cierta probabilidad. En la estimación por

intervalos se usan los siguientes conceptos:

Intervalo de confianza: El intervalo de confianza es una expresión del tipo [θ1,

θ2] ó θ1 ≤ θ ≤ θ2, donde θ es el parámetro a estimar. Este intervalo contiene al

parámetro estimado con un determinado nivel de confianza. Pero a veces

puede cambiar este intervalo cuando la muestra no garantiza un axioma o un

equivalente circunstancial.

https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_de_confianza



Variabilidad del parámetro: Si no se conoce, puede obtenerse una

aproximación en los datos aportados por la literatura científica o en un

estudio piloto. También hay métodos para calcular el tamaño de la muestra

que prescinden de este aspecto. Habitualmente se usa como medida de esta

variabilidad la desviación típica poblacional y se denota σ.

Error de la estimación: Es una medida de su precisión que se corresponde

con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta más precisión se desee en

la estimación de un parámetro, más estrecho deberá ser el intervalo de

confianza y, si se quiere mantener o disminuir el error, más observaciones

deberán incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir nuevas

observaciones para la muestra, más error se comete al aumentar la

precisión. Se suele llamar E, según la fórmula E = (θ2 - θ1)/2.

Limite de confianza: Es la probabilidad de que el verdadero valor del

parámetro estimado en la población se sitúe en el intervalo de confianza

obtenido. El nivel de confianza se denota por (1-α), aunque habitualmente

suele expresarse con un porcentaje ((1-α)·100%). Es habitual tomar como

nivel de confianza un 95% o un 99%, que se corresponden con valores α de

0,05 y 0,01 respectivamente.

Valor α: También llamado nivel de significación. Es la probabilidad (en

tanto por uno) de fallar en nuestra estimación, esto es, la diferencia entre la

certeza (1) y el nivel de confianza (1-α). Por ejemplo, en una estimación con

un nivel de confianza del 95%, el valor α es (100-95)/100 = 0,05.

https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_de_confianza

https://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_t%C3%ADpica



BIBLIUOGRAFÍA.

ESTADÍSTICA ELEMENTAL. GARY A. SIMON & JHON FREUD, OCTAVA

EDICIÓN. EDITORIAL: NICK ROMANELLI

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. WAMPOLE & MYERS, CUARTA

EDICIÓN. EDITORIAL: RICARDO DEL BOSQUE ALAYÓN

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