la enseñanza de fracciones en tercero de primaria200.23.113.51/pdf/32675.pdf · la evaluación de...
TRANSCRIPT
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD AJUSCO LICENCIATURA EN PEDAGOGÍA
LA ENSEÑANZA DE FRACCIONES EN TERCERO DE PRIMARIA
TESIS
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADA EN PEDAGOGÍA
PRESENTA: RAQUEL VILLEDA ESTRADA
ASESOR: DR. JOSÉ LUIS CORTINA MORFÍN
CIUDAD DE MÉXICO, FEBRERO 2017.
1
Agradecimientos
La vida está llena de momentos felices y tristes, o como prefiero llamarlos momentos
amargos, pero sobre todo la vida está llena de retos. Un reto en esta vida fue concluir
la licenciatura, y con ello el proceso para obtener mi título universitario. Durante estos
cuatro años viví muchos momentos llenos de felicidad, así como algunos momentos
amargos. Estos últimos me han llevado a realizar cambios en mi vida, a tener un
crecimiento personal, ya que tuve que aprender a afrontar mis propios miedos yo sola
y lejos de las personas a las que más quiero. Todo ello me llevó a vivir experiencias
extraordinarias en lugares que jamás me imaginé, con personas grandiosas que me
enseñaron a ver la vida de otra manera.
Agradezco primero a mis padres, pues fueron ellos quienes me dieron la vida y las
posibilidades de salir adelante, pues su apoyo en todas las etapas de mi vida siempre
ha sido incondicional. Agradezco a mi padre por los consejos y el apoyo brindado
durante todo este tiempo, y a mi madre quien ha sido mi amiga, mi doctora, mi maestra,
mi diseñadora, mi chef, etc. Gracias a los dos porque han trabajado incesantemente
para darme a mí y a mi hermana todo lo que necesitamos. Gracias por aconsejarme,
por mostrarme el camino correcto, por ser mis guías a lo largo de este camino, por
saber detenerme cuando debía, pero sobre todo por empujarme cuando tuve miedo
de seguir mis sueños.
Gracias también a mi hermana por saber ser paciente, por escuchar todas mis
historias, por los consejos que me ha dado. Y sobre todo por estar ahí para hacerme
aterrizar los pies sobre la tierra, para que no me imaginé cosas que prácticamente son
imposibles.
La vida me ha dado cosas maravillosas, una muy importante es la oportunidad de
hacer realidad mis sueños al lado de las personas que más quiero.
2
Yo sé que aunque no lo diga mi corazón recuerda cada gesto de amabilidad, cada
favor, y cada una de esas sonrisas que han llenado mi vida de alegría. Gracias a todos
aquellos que han formado parte de momentos inolvidables. Estoy eternamente
agradecida con esos amigos que he conservado durante años, así como a los que han
llegado hace poco tiempo, y también con los compañeros de clase y de trabajo ya que
de ellos he recibido su apoyo incondicional, sus consejos y sus palabras de aliento.
Gracias también a mis maestros a todos en general pues de ellos he aprendido muchas
cosas que me servirán en el futuro, pero sobre todo agradezco a esos maestros de
quienes he recibido consejos para ser mejor. En la vida siempre hay un maestro que
nos marca la vida, y el maestro que marcó mi vida lo hizo durante mi formación
universitaria, pues él es integrante del cuerpo académico de esta honorable casa de
estudios. Yo le agradezco a este maestro sus regaños, sus consejos y sobre todo por
haberme escuchado en el momento en el que más lo necesitaba, ya que sus palabras
han influido en mi crecimiento, no solo académico sino también en el personal. Bien
dicen que la vida es una caja llena de sorpresas, pues uno nunca sabe lo que le espera.
Doy gracias a toda mi familia en general, a cada tío, tía, primo, prima y sobre todo a
mis abuelos. En especial a mi abuelo quien me inspira no solo a ser mejor persona,
sino una mejor ciudadana, gracias a él por cada uno de sus consejos, y por la confianza
que ha depositado en mí.
A mi asesor el Dr. José Luis Cortina también le estoy muy agradecida, ya que me ha
brindado su apoyo durante estos cuatro años. Gracias por su tiempo, por compartir
sus conocimientos conmigo, por saber ser paciente, por ser tan persistente, ya que sin
su apoyo concluir con este sueño me hubiera llevado un poco más de tiempo. Gracias
en nombre mío y el de mi familia.
3
Dicen que el que da no debe de volver a acordarse, mientras que el que recibe nunca
debe olvidar. Y es verdad, pues el apoyo que yo he recibido de cada una de las
personas que forman parte de mi vida es imposible olvidarlo. Seamos agradecidos
con las personas que nos hacen felices, pues son ellos los jardineros que hacen
florecer nuestra alma.
“Los científicos dicen que estamos hechos de átomos, pero
a mí un pajarito me dijo que estamos hechos de historias”.
Eduardo Galeano
4
Índice
Introducción ............................................................................................................... 5
Capítulo I. Planteamiento del problema .................................................................. 8
Capítulo II. Marco Referencial ................................................................................ 14
El Significado de las Fracciones.................................................................................... 15
Las Fracciones en el Plan de Estudios ......................................................................... 15
La comprensión de fracciones de los alumnos mexicanos ......................................... 24
Capítulo III. Metodología ......................................................................................... 26
Objetivos ......................................................................................................................... 26
Preguntas de investigación ............................................................................................ 26
Matriz de valoración........................................................................................................ 28
Capítulo IV. Análisis ................................................................................................ 33
Las Escuelas ................................................................................................................... 33
Los Maestros ................................................................................................................... 34
Las Sesiones ................................................................................................................... 34
Resultados por Categoría............................................................................................... 35
Resolución de Problemas ............................................................................................. 35
Soluciones Múltiples ..................................................................................................... 37
Trabajo Colaborativo y Socialización de Razonamientos .............................................. 38
Cumplimiento con los Contenidos del Programa de Estudios ....................................... 40
Material Concreto ............................................................................................................ 41
Implementación de material concreto ............................................................................ 41
Formas de usar los materiales concretos ...................................................................... 45
Otros materiales empleados ......................................................................................... 47
Descripción de cada una de las sesiones ..................................................................... 50
Descripción de la Sesión 1.1 ......................................................................................... 51
Descripción de la Sesión 1.2 ......................................................................................... 60
Descripción de la Sesión 2.1 ......................................................................................... 67
Descripción de la Sesión 2.2 ......................................................................................... 71
Descripción de la Sesión 3.1 ......................................................................................... 77
Descripción de la Sesión 3.2 ......................................................................................... 82
Descripción de la Sesión 4.1 ......................................................................................... 86
Conclusiones ........................................................................................................... 91
Referencias .............................................................................................................. 95
Anexos
5
Introducción
Esta tesis nace de una preocupación por las consecuencias negativas que el
bajo desempeño de los alumnos mexicanos en matemáticas tiene para su desarrollo
individual y el de la sociedad a la que pertenecen. Se parte del supuesto,
fundamentado en la literatura en pedagogía, de que para revertir esa situación se
necesita mejorar la calidad de la enseñanza. Se considera que para lograr ese objetivo,
se necesita primero conocer cómo se lleva a cabo esta enseñanza de las matemáticas
en nuestro sistema educativo.
En esta tesis se presentan los resultados de una investigación sobre cómo se
enseñan las fracciones en tercer grado de primaria. Debido a que la enseñanza de las
matemáticas es un tema muy amplio, la tesis se centra en un sólo aspecto de ésta: el
de la enseñanza de las fracciones. De manera más acotada, se estudia la enseñanza
de este contenido en el tercer grado de primaria. La razón de que se haya escogido
este grado es porque, como se explica en el Capítulo II de esta tesis, es en éste donde
tiene lugar el primer acercamiento formal de los alumnos con el tema de las fracciones.
En la investigación realizada se analizaron siete sesiones de clase que fueron
videograbadas en donde es posible apreciar las actividades realizadas por cuatro
maestros. Se analizaron dos sesiones de tres maestros y una sola sesión de un
maestro, todos ellos pertenecientes a dos escuelas primarias públicas diferentes de la
Ciudad de México.
Esta tesis se divide en cuatro capítulos. En el primero se hace referencia al
bajo desempeño del alumnado mexicano en matemáticas, el cual ha sido
documentado a través de la aplicación de múltiples pruebas, tanto nacionales como
internacionales. Se explican las consecuencias negativas de este bajo desempeño
tanto para el desarrollo personal de los alumnos, como para el de la sociedad de la
que forman parte.
6
En el Capítulo II, se hace una revisión de literatura que sirve de fundamento
para la presente tesis. Dentro de los principales autores se encuentra Llinares y
Sánchez (1997), quienes hablan sobre el reducido uso que se le da al tema de
fracciones en la vida diaria. También se hace mención de algunos autores como
Kieren, quien destaca el tema de las fracciones como la base fundamental del algebra.
Otras autoras que se citan son Perera y Valdemoros (2009), quienes también hablan
del trabajo que realizó Kieren, pero ellas lo hacen con base en los constructos intuitivos
de las fracciones (medida, cociente, operador multiplicativo y razón). Por último, pero
no menos importante, se hace una revisión de la enseñanza de las fracciones según
los programas de estudio vigentes en México (2011). Se hace mención de cuál es el
momento en el que se presenta por primera vez el tema de fracciones en el aula,
además de que se especifica la forma en la que los contenidos de fracciones son
desglosados a lo largo de la educación primaria.
En el Capítulo III se describe el punto de origen de los datos que se analizan
en esta tesis. Se proporcionan datos relevantes de las siete sesiones que forman parte
de la investigación, como el número de maestros que participaron: dos maestros y dos
maestras de dos escuelas primarias diferentes de la Ciudad de México. Se mencionan
también como dato importante los ciclos escolares en los que se llevó a cabo la
videograbación de cada sesión y el total de alumnos que la escuela atendía durante el
periodo, así como también la información sobre la formación y los años de servicio de
cada maestro participante.
En este capítulo también se describe la matriz de valoración que se le aplicó a
las sesiones de clase estudiadas. Se explica que dicha matriz contiene cuatro
categorías básicas. Cada una cuenta con tres niveles de evaluación.
Además, en este capítulo, se especifica el objetivo de esta investigación, el cual
consiste en conocer cómo se enseña el tema de fracciones en aulas de tercer grado
de primaria, con el fin de contribuir al desarrollo de programas de formación docente
que lleven a mejorar la enseñanza de este contenido.
7
El cuarto y último capítulo contiene el análisis de las sesiones. Se presentan
resultados globales de cómo se realizó la enseñanza de las fracciones, de acuerdo
con la matriz de valoración que se aplicó. También se hace una descripción general
de cada una de las sesiones estudiadas, en la que se especifican los resultados
obtenidos de la evaluación que se hizo a cada una de ellas.
Al final de la tesis, en el apartado de conclusiones, se discuten las
implicaciones de la investigación realizada, así como sus contribuciones.
8
Capítulo I. Planteamiento del problema
El deficiente aprendizaje de las matemáticas, por parte de los alumnos
mexicanos, ha sido documentado con algunas pruebas que buscan conocer el dominio
de los aprendizajes esenciales de la educación formal, en el Sistema Educativo de
nuestro país. Una de estas pruebas fue publicada por la Secretaría de Educación
Pública (SEP) en junio de 2015, quien, en coordinación con el Instituto Nacional para
la Evaluación de la Educación (INEE), diseñó un nuevo plan para evaluar el
aprendizaje de los estudiantes.
La prueba Plan Nacional para la Evaluación de los Aprendizajes (Planea) fue
aplicada a estudiantes de sexto de primaria y de tercero de secundaria de todo el país.
Como lo explica el INEE:
Planea tiene como propósito conocer la medida en que los estudiantes logran el
dominio de un conjunto de aprendizajes esenciales en diferentes momentos de la
educación obligatoria, los cuales se definen a partir de los planes y los programas de
estudio vigentes. Sus resultados ofrecen información sobre el grado de cumplimiento
del derecho a una educación de calidad, entendido como el derecho a aprender, el
cual debe ser garantizado por el Estado (p. 2).
Como dato importante para esta tesis, Planea 2015 reveló que un 60.5% de la
población que se encontraba en 6to grado de primaria presentaba un logro insuficiente
de los aprendizajes clave del currículo de matemáticas (INEE, 2015). Según el INEE:
Los resultados en el campo del pensamiento matemático representan un desafío
mayúsculo para el conjunto del Sistema Educativo Nacional, porque hablan de que a
una gran cantidad de estudiantes no se les están ofreciendo los conocimientos y las
habilidades necesarias para alcanzar o mantener un nivel satisfactorio en sus
aprendizajes (p. 4).
9
Según los autores de Planea, las deficiencias en los aprendizajes matemáticos
de los alumnos de primaria, considerados clave, tendrán afectaciones negativas en su
vida futura. Estas afectaciones pueden ubicarse en cuatro áreas principales: la vida
académica, la vida laboral, la vida cotidiana y la participación social, ya que se les
dificultará emplear las matemáticas como una herramienta más para su desarrollo
dentro de esas áreas (Cortina, 2007).
Al verse afectada la vida académica de los alumnos, podemos pensar que
probablemente no concluyan con su educación básica. Esto porque los contenidos que
recibirán en los grados superiores deberán integrarlos con los ya adquiridos en el área
matemática. Estas afectaciones no solamente estarían influyendo en la vida personal
del alumno, sino repercutiendo en la misma sociedad, pues los egresados del Sistema
Educativo Nacional no se encontrarán lo suficientemente capacitados para integrarse
al mercado laboral formal.
Lo anterior nos lleva a la segunda área, la vida laboral. Como ya se mencionó,
ésta se ve afectada por el escaso conocimiento, lo que limita la apertura de fuentes de
trabajo que demandan trabajadores suficientemente formados, a los que se les
remunera con buenos salarios. En lugar de ello, en una sociedad insuficientemente
educada, los trabajos son informales, se les ofrece baja remuneración, y las
condiciones laborales son malas. Esto puede ser un causante del retraso en la
economía de un país, y hacer que la gente no cuente con un ingreso personal mínimo
necesario para atender necesidades básicas.
La tercera área de afectación es la vida cotidiana que, como es posible ver,
está muy ligada al área anterior, por su impacto en la economía familiar. Tener un
amplio conocimiento y dominio del área matemática ayuda a poder hacer mejores
elecciones dentro de la vida diaria. Un ejemplo de la aplicación del área matemática
son las compras de artículos de primera necesidad, las inversiones en transporte. Un
buen nivel de conocimiento matemático ayudará a hacer mejores elecciones a la hora
de invertir en la adquisición de artículos, a realizar compras inteligentes, y a que los
10
pagos que se hagan a cambio de objetos y servicios sean los que menos perjudiquen
a la economía personal y familiar, a corto y largo plazo.
La cuarta área a la que se hace referencia es la de la participación ciudadana,
la cual se deriva del área anterior, y con ella se hace referencia a la toma de decisiones.
El INEE menciona que lo que se espera al desarrollar el área de conocimientos
matemáticos es que los individuos sean capaces de “emitir juicios bien fundados y
tomar decisiones necesarias en su vida diaria como ciudadano constructivo,
comprometido y reflexivo” (INEE, 2013, p. 35). Un ejemplo claro es cuando los
ciudadanos hacen la elección de sus gobernantes. Esto implica hacer un
reconocimiento de la trayectoria del candidato, de sus propuestas y la viabilidad de
éstas, para emitir un juicio propio y ser comprometido con su sociedad. Otro más sería
exigirle a un funcionario que rinda cuentas de las acciones realizadas en beneficio de
la ciudadanía, en donde el ciudadano debe de tener la capacidad de interpretación de
la información que se le está proporcionando.
Con estos ejemplos es posible ver que el dominio de los conocimientos sobre
el área matemática es parte de una vida diaria, y base fundamental de nuestro
desarrollo. Todos ellos están en función de nuestro crecimiento personal y social, es
por ello que debe ser fundamental el dominio sobre los contenidos matemáticos
básicos del currículo.
Como mencionaba anteriormente, estas cuatro áreas traerán afectaciones
inmediatas y futuras para el alumno que deserta de la educación básica, y no
solamente personal sino también de manera social. El Programa Internacional para la
Evaluación del Alumnado, mejor conocido como PISA, es otra organización que se
encarga de evaluar los aprendizajes de estudiantes que se encuentran en tercer grado
de secundaria.
El instrumento que se aplica se conoce como “la Prueba PISA.” El INEE explica
que:
… es un estudio promovido y organizado por la Organización para la Cooperación y
el Desarrollo Económico (OCDE). Participan los países miembros y no miembros de
11
la organización y se caracteriza por ser comparativo y periódico. Su propósito principal
es determinar en que medida los estudiantes de 15 años, que están por concluir o
han concluido su educación obligatoria, han adquirido los conocimientos y las
habilidades relevantes para participar activa y plenamente en la sociedad actual.
PISA se centra en la capacidad de los estudiantes para usar sus conocimientos y
habilidades y no en saber hasta que punto dominan un plan de estudios o currículo
escolar. Por ello, no mide que tanto los estudiantes pueden reproducir lo que han
aprendido, sino que se indaga en lo que PISA denomina competencia (literacy), es
decir, la capacidad de extrapolar lo que se ha aprendido a lo largo de la vida, su
aplicación en situaciones del mundo real, así como la capacidad de analizar, razonar
y comunicar con eficacia los planteamientos, las interpretaciones y la resolución de
problemas en una amplia variedad de situaciones (INEE, 2013, pp. 11-12).
Y según los documentos de PISA, en el 2006 se encontró que:
Los países iberoamericanos están logrando formar muy pocos estudiantes que
puedan incorporarse exitosamente al mundo laboral que requiere conocimientos y
habilidades matemáticas firmes, como es el caso de las empresas e instituciones
sociales en las que las tecnologías cibernéticas desempeñan un papel central”
(Cortina, 2007, p. 120).
Con esta información y aunado a los datos obtenidos por Planea es posible
imaginarnos que los alumnos que están egresando, o bien desertando de las
instituciones educativas, lo hacen, en su gran mayoría, con dificultades en el área de
las matemática. Esto, como ya se comentó anteriormente, truncará su futuro
académico, orillándolos a tomar caminos para los que no están preparados, como lo
son el trabajo o formar una familia.
Lo segundo podría verse afectado por la economía y algunos aspectos
socioculturales pues, dependiendo de estos, se vería permeado el futuro de sus
descendientes. La formación de una familia podría también afectarse al seguir un
patrón familiar, o por problemáticas que surgieron como resultado de la deserción.
Pues si los padres no concluyeron su educación, podría ser éste un factor que influya
en el desempeño académico de la hija o hijo, lo que probablemente lo lleve también a
12
la deserción escolar. Por motivos como los que ya se han mencionado, y algunos otros
que pudieran imaginarse, se llega a la conclusión de que los alumnos no están
aprendiendo los contenidos básicos del currículo, los cuales son considerados como
conocimientos básicos.
Con relación al párrafo anterior, es importante mencionar que está
ampliamente documentado que el desempeño de los alumnos está estrechamente
relacionado con sus características socioculturales. Se ha detectado que el
desempeño de los alumnos se encuentra fuertemente relacionado con factores como
el económico, social y cultural, en donde la escuela no tiene mucha influencia. Cortina,
Cardoso y Zuñiga (2012) retomaron un artículo de Backhoff, Bouzas, Contreras,
Hernández y García en el que se calculó que el 66% de la varianza en los resultados
de matemáticas de los estudiantes mexicanos, en una evaluación muestral y
representativa, dependía de variables relacionadas con características socioculturales
de sus madres.
Tomando como base los resultados anteriores sería incorrecto atribuirle a la
calidad de la enseñanza, que ofrece el Sistema Educativo Nacional, el que los
resultados en el área matemática sean bajos. Sin embargo, sí sería apropiado esperar
que la mejora de esta situación se diera a través de acciones que tuvieran lugar en las
aulas de las escuelas mexicanas.
Como lo menciona Cortina (2012), está bien documentado en la literatura que
existen factores de índole netamente escolar, que tienen el potencial de influenciar
significativamente el aprendizaje matemático de los estudiantes. Entre éstos destaca
la enseñanza, que cuando es de buena calidad puede incluso lograr que, en el
mediano plazo, se reviertan las desventajas que para los alumnos pudiera implicar la
situación económica, social y cultural de sus familias.
Es así que la presente tesis nace de una preocupación por las consecuencias
negativas que el bajo desempeño de los alumnos mexicanos en matemáticas tiene
para su desarrollo individual y el de la sociedad a la que pertenecen. Se parte del
supuesto, fundamentado de la literatura en pedagogía, como ya se explicó, que para
13
revertir esa situación se necesita mejorar la calidad de la enseñanza. Se considera que
para lograr ese objetivo, se necesita primero conocer cómo se lleva a cabo esta
enseñanza de las matemáticas en nuestro sistema educativo.
14
Capítulo II. Marco Referencial
De acuerdo con Llinares y Sánchez (1997), el uso cotidiano de las fracciones
se considera un tanto reducido, al menos en la vida cotidiana. Pero ¿por qué es que
deben de enseñarse las fracciones? ¿Cuál es el sentido o la finalidad de aprenderlas?
Estos autores defienden la permanencia de las fracciones en los planes y programas
de estudio, apoyándose en que las operaciones como la multiplicación y división de
decimales sólo podrían entenderse correctamente si se saben las correspondientes
operaciones con fracciones. También mencionan que las fracciones son esenciales
como factores de comparación, es decir, números utilizados para establecer cómo se
comparan dos cantidades.
Según ellos, las personas que conocieran solo los números naturales verían
limitado su vocabulario. Para esto último se da un ejemplo de situaciones para las
cuales no se podrían plantear situaciones inversas: “he tardado tres veces más que tú
en hacer un trabajo”.
Los autores antes mencionados citan también fragmentos del trabajo de
Thomas E. Kieren en los que se destaca que el tema de las fracciones es una base
fundamental para las relaciones algebraicas posteriores, y consideran que la
comprensión de los números racionales es básica para el desarrollo y control de las
ideas matemáticas.
Dentro de las opiniones que dan Llinares y Sánchez (1997), es posible
encontrar una muy pequeña en la que se menciona que “las fracciones son parte de
nuestro bagaje cultural y que no sería lógico restringir los conocimientos de las
generaciones futuras respecto de las presentes” (p. 29).
15
El Significado de las Fracciones
Perera y Valdemoros (2009) también citan el trabajo de Thomas E. Kieren,
quien se ha dedicado a realizar estudios sobre la didáctica de las fracciones. Estos
autores mencionan que existen varios constructos intuitivos (media, cociente, operador
multiplicativo y razón), en los que subyace el conocimiento de la fracción. Además hay
un quinto constructo intuitivo: la relación parte-todo que sirve de base para la
construcción de los otros cuatro citados anteriormente.
Los constructos intuitivos son: la relación parte-todo que es considerada como
un todo (continuo o discreto) subdividido en partes iguales y señala como fundamental
la relación que existe entre el todo y un número designado de partes. La fracción como
medida la reconocen como la asignación de un número a una región o a una magnitud
(de una, dos o tres dimensiones), producto de una partición. La fracción como cociente
la refieren como el resultado de la división de uno o varios objetos entre el número
determinado de personas o partes. El papel de la fracción como operador es el de
transformador multiplicativo de un conjunto hacia otro conjunto equivalente. Esta
transformación se puede pensar como la amplificación o la reducción de una figura
geométrica en otra figura asociada al uso de fracciones. La fracción como razón es
considerada como la comparación numérica entre dos magnitudes.
Las Fracciones en el Plan de Estudios
Los programas de estudio vigentes para educación primaria (SEP, 2011a)
estructuran el contenido de cada grado en cinco bloques secuenciales (del primero al
quinto). Para el caso de matemáticas, en cada bloque se especifican las competencias
que se favorecen y los aprendizajes esperados. Además, el estudio de los contenidos
se organiza en tres niveles de desglose. El primer nivel corresponde a los ejes
temáticos, el segundo a los temas y el tercero a los contenidos. Para la primaria, los
tres ejes temáticos son: (1) sentido numérico y pensamiento algebraico; (2) forma,
espacio y medida; y (3) manejo de la información.
16
El primer eje, sentido numérico y pensamiento algebraico, se divide en tres
temas: números y sistemas de numeración, problemas aditivos, y problemas
multiplicativos. El segundo eje, forma, espacio y medida, se divide en dos temas:
medida, figuras y cuerpos, y ubicación espacial. Finalmente, el tercer eje, manejo de
la información, también se divide en dos temas: análisis y representación de datos, y
proporcionalidad y funciones.
Para mayor claridad, en la Tabla 1 se expone la estructura general que tiene
el plan de estudios:
Bloque__
Competencias:
Aprendizajes esperados
Ejes
Sentido numérico Forma, espacio y medida
Análisis y representación de
datos
Números y sistemas de numeración
Problemas aditivos
Problemas multiplicativos
Medida
Figuras y cuerpos
Ubicación espacial
Representación de datos
Proporcionalidad y funciones
Tabla 1. La estructura del programa de estudios para matemáticas
En cuanto a los aprendizajes esperados, el tema de las fracciones aparece en
el tercer bloque de tercero de primaria. En la Tabla 2 se muestra la forma en que
aparece este tema como parte de los “aprendizajes esperados” según se especifica
en los programas de estudios.
17
Grado Bloque Aprendizajes esperados
III 3 Resuelve problemas de reparto cuyo resultado sea una fracción de la forma m/2n
IV 1 Identifica fracciones equivalentes, mayores o menores que la unidad.
IV 2 Identifica fracciones de magnitudes continuas o determina que fracción de una magnitud es una parte dada.
IV 5 Identifica y genera fracciones equivalentes.
V 4 Resuelve problemas que implican sumar o restar números fraccionarios con igual o distinto denominador.
V 5 Usa fracciones para expresar cocientes de divisiones entre dos números naturales.
VI 1
Resuelve problemas que impliquen leer, escribir y comparar números naturales, fraccionarios y decimales, explicitando los criterios de comparación.
Resuelve problemas aditivos con números naturales, decimales y fraccionarios que implican dos o más transformaciones.
VI 2 Calcula porcentajes e identifica distintas formas de representación (fracción común, decimal, %).
VI 5 Resuelve problemas que implican multiplicar o dividir números fraccionarios o decimales con números naturales.
Tabla 2. Aprendizajes esperados que implican a las fracciones, en los programas de estudio de primaria
En cuanto a los contenidos específicos a ser estudiados, estos también
aparecen en el tercer bloque de tercero de primaria. Su presencia se mantiene en
todos los bloques subsecuentes, tanto de tercero de primaria como de los grados que
siguen.
El eje en el que se concentran los contenidos de fracciones es el de “sentido
numerico y pensamiento algebraico”, particularmente en el tema “números y sistemas
de numeración”, como se detalla a continuación.
En la Tabla 3 se especifica cuáles son los contenidos de fracciones para tercer
grado, en el eje “sentido numérico y pensamiento algebraico”. Como se puede notar,
la mayoría de los contenidos pertenece al tema “números y sistemas de numeración”.
Se inicia con el estudio de medios, cuartos y octavos. Se contempla además el trabajo
18
con equivalencias simples y representaciones gráficas. También se propone la
resolución de problemas sencillos de suma y resta.
Bloque Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
Números y sistemas de numeración Problemas Aditivos
3
Uso de fracciones del tipo m/2n (medios, cuartos, octavos, etc.) para expresar oralmente y por escrito medidas diversas.
Uso de fracciones del tipo m/2n (medios, cuartos, octavos, etc.) para expresar oralmente y por escrito el resultado de repartos.
4
Identificación de escrituras equivalentes (aditivas, mixtas) con fracciones. Comparación de fracciones en casos sencillos (con igual numerador o igual denominador).
5
Elaboración e interpretación de representaciones gráficas de las fracciones. Reflexión acerca de la unidad de referencia.
Resolución de problemas sencillos de suma o resta de fracciones (medios, cuartos, octavos).
Tabla 3. Contenidos que implican a las fracciones, en el eje “sentido numerico y pensamiento algebraico” del programa de estudio de tercero de primaria
En la Tabla 4 se especifican los contenidos de fracciones para cuarto grado,
en el eje “sentido numérico y pensamiento algebraico”. Como se puede notar, el tema
aparece en todos los bloques. Además, como en el grado anterior, la mayoría de los
contenidos pertenece al tema “números y sistemas de numeración”. Se introducen
otras fracciones, además de los medios, cuartos y octavos. Se continúa con el tema
de equivalencias y representaciones fraccionarias. Además, también se propone
trabajar, de manera informal, la suma y resta de fracciones con diferente denominador.
19
Bloque Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
Números y sistemas de numeración Problemas Aditivos
1
Resolución de problemas que impliquen particiones en tercios, quintos y sextos. Análisis de escrituras aditivas equivalentes y de fracciones mayores o menores que la unidad.
2
Representación de fracciones de magnitudes continuas (longitudes, superficies de figuras). Identificación de la unidad, dada una fracción de la misma.
3
Identificación de fracciones equivalentes al resolver problemas de reparto y medición.
Resolución, con procedimientos informales, de sumas o restas de fracciones con diferente denominador
4 Uso de las fracciones para expresar partes de una colección. Cálculo del total conociendo una parte.
5
Obtención de fracciones equivalentes con base en la idea de multiplicar o dividir al numerador y al denominador por un mismo número natural
Expresiones equivalentes y cálculo del doble, mitad, cuádruple, triple, etc., de las fracciones más usuales (1/2, 1/3, 2/3, 3/4, etcétera).
Tabla 4. Contenidos que implican a las fracciones, en el eje “sentido numerico y pensamiento algebraico” del programa de estudio de cuarto de primaria
En la Tabla 5 se especifican los contenidos de fracciones para quinto grado, en
el eje “sentido numerico y pensamiento algebraico”. Por un lado, en el tema “números
y sistemas de numeración”, se introduce la recta numerica como recurso para
representar a las fracciones. Además, se trabaja la comparación de fracciones con
distinto denominador, y el uso de las fracciones para representar el cociente de una
medida entera.
20
Por otro, en el tema “problemas aditivos”, se continúa con la suma y resta,
ahora con fracciones cuyos denominadores sean múltiplos uno de otro. Así como suma
y resta de fracciones con diferentes denominadores.
Bloque Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
Números y sistemas de numeración Problemas Aditivos
1
Resolución de problemas que impliquen sumar o restar fracciones cuyos denominadores son múltiplos uno de otro.
2
Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la recta numérica, con superficies, etc. Análisis de las relaciones entre la fracción y el todo.
3
Comparación de fracciones con distinto denominador, mediante diversos recursos.
Uso del cálculo mental para resolver adiciones y sustracciones con números fraccionarios y decimales.
4
Identificación de la regularidad en sucesiones con números (incluyendo números fraccionarios) que tengan progresión aritmética, para encontrar términos faltantes o continuar la sucesión.
Resolución de problemas que impliquen sumas o restas de fracciones comunes con denominadores diferentes.
5
Uso de la expresión n/m para representar el cociente de una medida entera (n) entre un número natural (m): 2 pasteles entre 3; 5 metros entre 4, etcétera.
Tabla 5. Contenidos que implican a las fracciones, en el eje “sentido numerico y pensamiento algebraico” del programa de estudio de quinto de primaria
Finalmente en la Tabla 6 se han de detallar los contenidos de fracciones para
sexto grado, también ubicado en el eje “sentido numerico y pensamiento algebraico”.
Aquí se puede notar que tanto en el tema “números y sistemas de numeración” como
“problemas aditivos” el estudio de las fracciones se asocia con el de otras nociones,
particularmente los números decimales.
21
Bloque Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico
Números y sistemas de numeración Problemas Aditivos
1
Lectura, escritura y comparación de números naturales, fraccionarios y decimales. Explicitación de los criterios de comparación.
Resolución de problemas aditivos con números naturales, decimales y fraccionarios, variando la estructura de los problemas. Estudio o reafirmación de los algoritmos convencionales.
1
Resuelve problemas aditivos con números naturales, decimales y fraccionarios que implican dos o más transformaciones.
2
Ubicación de fracciones y decimales en la recta numérica en situaciones diversas. Por ejemplo, se quieren representar medios y la unidad está dividida en sextos, la unidad no está establecida, etcétera
3
Identificación de una fracción o un decimal entre dos fracciones o decimales dados. Acercamiento a la propiedad de densidad de los racionales, en contraste con los números naturales.
4
Conversión de fracciones decimales a escritura decimal y viceversa. Aproximación de algunas fracciones no decimales usando la notación decimal.
Resolución de problemas que impliquen calcular una fracción de un número natural, usando la expresión “a/b de n”.
4
Identificación y aplicación de la regularidad de sucesiones con números (naturales, fraccionarios o decimales) que tengan progresión aritmetica o geometrica, así como sucesiones especiales. Construcción de sucesiones a partir de la regularidad.
5
Resolución de problemas que impliquen una división de número fraccionario o decimal entre un número natural
Tabla 6. Contenidos que implican a las fracciones, en el eje “sentido numerico y pensamiento algebraico” del programa de estudio de sexto de primaria
22
Como se mencionó arriba, el otro eje en el que aparece el estudio de las
fracciones es el de “manejo de la información”, siempre en el tema de “proporcionalidad
y funciones”. En Tabla 7 se muestra el total de contenidos que se contemplan para
este eje en los programas de estudio de educación primaria. Como se puede ver, estos
contenidos son sólo tres y aparecen en los programas de estudio de quinto y sexto de
primaria.
Grado Bloque Manejo de la Información
Proporcionalidad y funciones
V 5 Relación del tanto por ciento con la expresión “n de cada 100”. Relación de 50%, 25%, 20%, 10% con las fracciones 1/2, 1/4, 1/5, 1/10, respectivamente.
VI 1
Cálculo del tanto por ciento de cantidades mediante diversos procedimientos (aplicación de la correspondencia “por cada 100, n”, aplicación de una fracción común o decimal, uso de 10% como base).
VI 4
Comparación de razones del tipo “por cada n, m”, mediante diversos procedimientos y, en casos sencillos, expresión del valor de la razón mediante un número de veces, una fracción o un porcentaje.
Tabla 7. Contenidos que implican a las fracciones, en el eje “manejo de la información” de los programas de estudio de primaria
Los Planes y Programas de educación primaria no dicen cómo deben
enseñarse las fracciones. Sin embargo, sí contienen recomendaciones específicas
sobre cómo debería de ser la enseñanza matemática en general. Una recomendación
fundamental es el uso de la resolución de problemas como recurso principal para
apoyar el aprendizaje. Esta recomendación está presente en los propósitos del estudio
de las matemáticas para la educación básica. En ellos se menciona que los alumnos
deben desarrollar:
Formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos para resolver
problemas, así como elaborar explicaciones para ciertos hechos numéricos o
geométricos (SEP, 2011a, p. 59).
23
La recomendación también está presente en los “estándares de matemáticas”,
en donde se especifica que se espera que los alumnos:
Utilicen el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con
números naturales, así como la suma y la resta con números fraccionarios y
decimales para resolver problemas aditivos y multiplicativos (SEP, 2011a, p. 60).
Además, es parte central del “enfoque didáctico”:
El planteamiento central en cuanto a la metodología didáctica que se sugiere para el
estudio de las Matemáticas, consiste en utilizar secuencias de situaciones
problemáticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a
encontrar diferentes formas de resolver los problemas y a formular argumentos que
validen los resultados (SEP, 2011a, p. 65).
Finalmente, la recomendación también aparece en la sección de
“competencias matemáticas”:
(Competencia matemática) Resolver problemas de manera autónoma. Implica que
los alumnos sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o
situaciones… Se trata de que los alumnos sean capaces de resolver un problema
utilizando más de un procedimiento, reconociendo cuál o cuáles son más eficaces; o
bien, que puedan probar la eficacia de un procedimiento al cambiar uno o más valores
de las variables o el contexto del problema, para generalizar procedimientos de
resolución (SEP, 2011a, p. 69).
Además, en el desglose de los contenidos, constantemente se alude a que los
alumnos aprendan a resolver problemas.
En resumen, en el plan y programas de estudio vigente, se contempla que la
resolución de problemas es recurso central en la tarea de procurar el aprendizaje
matemático de niñas y niños.
Tomando como base los planes y programas, que previamente han sido
analizados para este trabajo, se considera que un problema es una actividad que
implica el planteamiento de una situación enfocada a dar solución a una pregunta, la
24
cual debe de implicar un reto para el alumno. Este debe de contar con diferentes
estrategias de solución.
La comprensión de fracciones de los alumnos mexicanos
Cortina, Cardoso y Zúñiga (2012) reportaron un estudio, “El significado
cuantitativo de las fracciones para estudiante mexicanos de 6° de primaria”, en el cual
se aplicaron 297 cuestionarios a alumnos de sexto grado de 13 escuelas primarias.
Algunas de esas escuelas se encontraban en los Altos de Chiapas y otras en el sur de
la Ciudad de México. Dentro de los resultados que se obtuvieron se identificó que una
gran cantidad de estos niños se encontraban muy rezagados en su comprensión del
significado cuantitativo de las fracciones, de acuerdo con lo que los programas de
estudio vigentes se proponían lograr. Para llegar a estas conclusiones fue necesario
hacer uso de cuatro categorías en las que se clasificaron solamente 292 cuestionarios,
ya que los cinco restantes presentaron algunas inconsistencias, lo cual no permitió su
clasificación.
Los resultados que se presentaron por los autores mencionados anteriormente
sugieren que algunos alumnos al finalizar su educación primaria entienden cuándo una
fracción cuantifica una magnitud mayor, menor o igual a ½ y 1. Otra parte del alumnado
parece creer que las fracciones sólo cuantifican magnitudes menores a 1. Pero hay
una parte muy grande que no reconoce el significado cuantitativo de las fracciones
más comunes, incluyendo ½.
Los resultados de Cortina, Cardoso y Zúñiga son consistentes con lo que
reportó el INEE a partir de la aplicación de Planea 2015. Algunos resultados que
muestran el bajo logro obtenido en cuanto al tema de fracciones se muestran en la
Tabla 8.
25
Reactivo Porcentaje de respuestas correctas a nivel nacional
Resolver problemas de comparación que impliquen sumas de fracciones
22%
Resolver problemas de sumas de fracciones 25%
Sumar dos fracciones propias 28%
Identificar una fracción impropia en la recta numérica
30%
Resolver problemas de reparto en los que se busca el cociente fraccionario
30%
Resolver problemas de comparación que impliquen sumas de fracciones
31%
Tabla 8. Algunos resultados de la aplicación de Planea 2015
Al interpretar estos datos es importante tener presente que se trató de preguntas
de opción múltiple en las que la posibilidad de tener bien la respuesta por selección
aleatoria es ¼ (o 25%).
26
Capítulo III. Metodología
En el estudio que sirve de base para esta tesis se planteó un objetivo general,
que para cumplirse en su totalidad se apoya de tres objetivos específicos. De la misma
manera se dan a conocer las preguntas que fueron pieza clave para el desarrollo de
la tesis.
Objetivos
Esta investigación tuvo como objetivo general investigar cómo se enseña el
tema de fracciones en aulas de tercer grado de primaria, con el fin de contribuir al
desarrollo de programas de formación que lleven a mejorar la enseñanza de este
contenido.
Los objetivos específicos fueron:
Identificar los contenidos de fracciones que se están enseñando en
grupos de tercer grado de educación primaria.
Identificar cuáles son las estrategias que los docentes emplean para la
enseñanza de las fracciones.
Reconocer diferencias en las formas de enseñanza y las estrategias a
las que diferentes maestros recurren.
Preguntas de investigación
Las preguntas que se intentaron resolver con el desarrollo de esta
investigación están relacionadas con las categorías que se establecieron
anteriormente. Es por ello que solamente se plantearon cuatro:
¿Qué tanto se utiliza la resolución de problemas en la enseñanza de las
fracciones en tercero de primaria?
27
¿Qué tanto se promueve el que los alumnos encuentren diferentes
formas de resolver los problemas o ejercicios que los docentes les
presentan, cuando se enseñan fracciones en tercero de primaria?
¿Qué tanto se promueve el que los alumnos colaboren entre ellos al
resolver los problemas o ejercicios durante la enseñanza de las
fracciones en tercero de primaria, y que además socialicen sus
razonamientos y soluciones?
¿Hasta dónde los contenidos que se abordan en la enseñanza de las
fracciones en tercero de primaria son los que especifica el programa de
estudios?
Al finalizar esta investigación se pretende dar respuesta a cada una de estas
preguntas que han sido planteadas, las cuales contribuirán a lograr nuestro objetivo
general.
El estudio consistió en analizar siete sesiones de clases, en aulas de tercer
grado, en escuelas públicas del Distrito Federal. En las sesiones se abordó el tema de
fracciones. Estas sesiones fueron videograbadas como parte de un estudio mayor. Se
seleccionaron solamente siete, ya que fueron las que tuvieron lugar en aulas de tercer
grado de educación primaria, y en las que se abordaron temas de fracciones.
Las siete sesiones que se analizaron fueron impartidas por cuatro maestros,
quienes laboraban en dos escuelas primarias distintas. Tres de esos maestros fueron
observados y videograbados en dos ocasiones, mientras que uno solamente fue
videograbado en una ocasión.
Una de las escuelas en la que se observó a tres maestros (Manuel, Rocío y
Vania1), a la que en adelante se identificará con el nombre de Escuela Primaria
República de Brasil, se encontraba ubicada en la delegación Iztacalco. En el ciclo
escolar 2014-2015 atendía a 507 alumnos en el turno matutino y contaba con 17
1 Los nombres reales de las escuelas y de los maestros han sido sustituidos por seudónimos para salvaguardar la identidad de cada uno de ellos.
28
grupos. La otra escuela, en la que se observó a un maestro (Fabián), a la que se
identificará como Escuela Primaria Vicente Guerrero, se encontraba ubicada en la
delegación Cuauhtémoc. En el ciclo escolar 2014-2015 atendía a 319 alumnos, y
contaba con 17 grupos.
En la Tabla 9 se muestra la información que se recabó sobre los maestros
participantes. Como se puede observar, todos los maestros eran experimentados. El
que menos años de experiencia tenía era el maestro Fabián (7 años), mientras que la
maestra con más años de experiencia era la maestra Rocío (29 años).
Nombre Años de servicio Formación
Manuel 14 Lic. en educación primaria
Fabián 7 Lic. en educación primaria
Rocío 29 Normal básica y Lic. en Historia
Vania 10 Lic. en educación primaria
Tabla 9. Los maestros participantes
Matriz de valoración
Para realizar el análisis se elaboró lo que Martínez Rizo (2014) llama matriz
de valoración. Éstas tienen una estructura matricial, de tabla de doble entrada, con
renglones y columnas:
Un eje contiene las categorías o dimensiones del objeto de estudio. Por
lo general estos aspectos se incluyen en los renglones de la tabla, cada
uno de los cuales presenta una dimensión de la realidad a evaluar.
El otro eje tiene los niveles de desempeño o ejecución de cada
dimensión con cierto orden de mejor a peor. Las columnas presentan
una graduación de desempeños de distinta calidad que se identifican
con etiquetas.
29
Según Martínez Rizo (2014), una matriz de valoración o rúbrica busca ser una
herramienta de medición, lo que es prerrequisito para que sea también herramienta de
evaluación. Los principios de su construcción son aplicables a cualquier instrumento.
La matriz de valoración incluyó cuatro categorías, las cuales se formularon
tomando como base el enfoque didáctico del plan de estudios, así como los
señalamientos de Van Steenbrugge H, Remillard J, Verschaffel L, y Desoete A. (2015)
sobre los aspectos clave de una enseñanza de las fracciones de calidad (ver Anexo
1).
La primera categoría hace referencia a la resolución de problemas. En esta
categoría se ubicaron tres niveles de evaluación, los cuales corresponden a las
actividades que se esperan ver reflejadas por parte del maestro durante las sesiones,
esto según los programas de matemáticas de tercer grado de educación primaria.
A. No hay problema a ser resuelto.
B. Hay un problema pero no representa una situación real que les
despierte interés y les resulte retador a los alumnos por lo cual no los
invita a reflexionar.
C. Hay un problema basado en una situación real que le despierta el
interés y le resulta retador a los alumnos. Los invita a reflexionar.
En el nivel “A”, que es el que ha sido considerado el más bajo, como el lector
puede observar, corresponde a cuando la actividad planteada no conlleva un problema
a ser resuelto, que sea de interés para los alumnos. En lugar de ello, puede que el
maestro solamente plantee la resolución de ejercicios, ya sea dictados o de copias.
En el nivel “B” se ubican las sesiones en las que los maestros plantean un
problema a los alumnos. Sin embargo, éste no les despierta interés. Esto último porque
el problema que se plantea puede no ser algo realista o coherente.
En el nivel “C”, se ubican las sesiones en las que se les plantea a los alumnos
un problema, el cual implica una situación real que les despierta el interés.
30
La segunda categoría que se planteó está relacionada con las soluciones
múltiples y, al igual que en la categoría anterior, conlleva tres niveles.
A. Sólo se permite una forma de solución a los problemas y/o ejercicios, la
cual se conoce de antemano.
B. Se aceptan diferentes formas de solución de los problemas y/o
ejercicios, pero no se promueve el que los alumnos las encuentren.
C. Se promueve que los estudiantes encuentren múltiples formas de
resolver los problemas y/o ejercicios.
En el primer, inciso “A”, se ubican las sesiones en las que el maestro no permite
que los alumnos resuelvan la actividad de una forma ajena a la que él sugiere.
En el inciso “B” se han de ubicar aquellas sesiones en las que los maestros
aceptan el hecho de que los alumnos implementen diferentes formas de solución a los
ejercicios y/o problemas. Sin embargo, esto no se promueve. Se nota porque el
maestro no le pregunta al grupo, de manera regular, si encontraron otras formas de
resolver los problemas.
En el inciso “C”, se encuentran las sesiones en las que los maestros
promueven que los alumnos encuentren diferentes formas de resolver los problemas
y/o ejercicios. En algunos casos los maestros podrían pedir a los alumnos que
justifiquen o que den algunos argumentos de por qué es adecuada esa forma de
solución.
La tercera categoría se refiere a la forma de trabajo, es por ello que lleva el
nombre de trabajo colaborativo y socialización de argumentos. En esta categoría al
igual que en las anteriores, se plantean tres niveles de evaluación, en donde se toma
el grado de promoción por parte del maestro, para que los alumnos colaboren entre
ellos a la hora de resolver los ejercicios o problemas que les sean planteados durante
la sesión.
31
A. No se promueve ni se acepta que los alumnos colaboren entre ellos
para resolver problemas y/o ejercicios ni que socialicen sus
razonamientos.
B. Se acepta que los alumnos colaboren entre ellos para resolver
problemas y/o ejercicios, pero no que socialicen sus razonamientos.
C. Se promueve que los alumnos colaboren entre ellos para resolver
problemas y/o ejercicios, ya sea en grupos pequeños o en plenaria, y
que socialicen sus razonamientos.
Como se puede observar, en el Nivel “A”, se ubican aquellas sesiones en las
que los maestros no aceptan que los alumnos colaboren entre ellos a la hora de
resolver los ejercicios y/o problemas que se establezcan durante la sesión.
El Nivel “B” es el intermedio. En éste se están las sesiones en las que los
alumnos colaboraron de manera espontánea entre ellos para resolver los ejercicios y/o
problemas que el maestro les planteó. Tomando en cuenta que tal vez en este nivel
los alumnos no socializan sus razonamientos, lo que es igual a que solamente se
enfoquen en dar los resultados obtenidos.
En el Nivel “C”, por otra parte, se encuentran las sesiones en las que el
maestro promueve que los alumnos colaboren a la hora de resolver los ejercicios y/o
problemas que se les plantean. Además, promueve que los alumnos socialicen con
sus compañeros sus razonamientos y los resultados obtenidos.
La última categoría se refiere al cumplimiento con los contenidos del programa
de estudios. Es por ello que en esta categoría se registra el cumplimiento o
incumplimiento con respecto al programa de tercer grado, el cual es proporcionado por
la Secretaría de Educación Pública.
Para desarrollar esta última categoría se tomó en cuenta la revisión a los
contenidos de la materia de matemáticas de todos los niveles, pero se puso mayor
énfasis en el tema de fracciones para tercer grado de educación primaria. Los tres
Niveles son:
32
A. El contenido de fracciones que se toca no está incluido en el programa
de estudios de la SEP.
B. Sólo parte del contenido de fracciones que se toca está incluido en el
programa de estudios de tercer grado de primaria.
C. La totalidad del contenido de fracciones que se toca está incluido en el
programa de estudios para tercero de primaria.
En el Nivel “A” se ubican aquellas sesiones en las que los contenidos que han
sido abordados durante estas no corresponden a los que ha sugerido la SEP para
tercer grado de primaria.
En el Nivel “B” considerado como nivel intermedio se ubican aquellas sesiones
en las cuales solo algunos de los contenidos abordados son correspondientes a los
que han sido sugeridos por la SEP para tercer grado de primaria.
En el Nivel “C” se ubican aquellas sesiones en las que todos los contenidos
que fueron abordados corresponden a los que sugiere la SEP para tercer grado de
primaria.
33
Capítulo IV. Análisis
En este capítulo se reportan los resultados obtenidos a partir del análisis
realizado a las sesiones sobre la enseñanza de las fracciones. Para esto se
desarrollaron cuatro categorías que, como se mencionó en el capítulo número tres,
son la base del análisis que se hizo a un grupo de datos seleccionados de un estudio
mayor. Dicha escala fue desarrollada tomando como base de su fundamentación el
programa de estudios de tercer grado, específicamente el área en donde se tocan los
contenidos para la enseñanza de las matemáticas, de educación primaria. El objetivo
fue estudiar cómo los maestros de educación primaria de algunas escuelas de la
ciudad de México estaban trabajando los contenidos de fracciones durante las
sesiones de matemáticas.
El análisis de las siete sesiones se estructura de la siguiente forma: Primero
se hace una descripción general de las escuelas, los maestros y las sesiones. Después
se reportan los resultados de cada categoría. Finalmente, se presenta una descripción
que da cuenta del análisis que se hizo de cada sesión, de manera particular.
Las Escuelas
Como el lector recordará en el apartado de metodología se hizo una
descripción, en donde se especificó a qué escuelas primarias de la ciudad de México
pertenecían cada uno de los maestros videograbados. Una de las escuelas en la que
se observó a tres maestros de ahora en adelante será identificada con el nombre de
Escuela Primaria República de Brasil, y se encontraba ubicada en la delegación
Iztacalco. La otra escuela, en la que se observó solo a un maestro será identificada
como Escuela Primaria Vicente Guerrero. Las dos instituciones fueron visitadas
durante el ciclo escolar 2014-2015.
34
Los Maestros
En el capítulo correspondiente a la metodología se puede ubicar la Tabla 9.
En ella se muestra información respectiva a los años de servicio y la formación de cada
uno de los maestros que participaron. Como es posible observar en dicha tabla, había
algunos maestros con muchos más años de experiencia que otros, de siete hasta 29
años, así como también maestros que contaban con estudios de licenciatura.
Las Sesiones
En la Tabla 10 se muestra información correspondiente a las sesiones que
fueron videograbadas y analizadas. Como se puede observar, tres grupos fueron video
grabados dos sesiones, y sólo un grupo, el de la maestra Vania, fue observado en una
sola sesión.
La sesión con mayor duración fue la segunda que se documentó en el grupo
del maestro Manuel (Sesión 1.2), mientras que la que menos duró fue la primera sesión
de la maestra Rocío (Sesión 3.1).
Dentro de los datos mostrados, se observó que los maestros de la Escuela
Primaria República de Brasil cuentan con un total de 30 alumnos cada uno, mientras
que el maestro de la Escuela Primaria Vicente Guerrero solamente tiene un total de 17
alumnos en el grupo observado.
35
Número de
sesión
Maestro Escuela Duración Total de
alumnos
1.1 Manuel
Primaria República de
Brasil
73 min 30
1.2 74 min
2.1 Fabián
Primaria Vicente
Guerrero
57 min 17
2.2 65 min
3.1 Rocío
Primaria República de
Brasil
52 min 30
3.2 65 min
4.1 Vania
Primaria República de
Brasil
57 min 30
Tabla 10. Duración de cada sesión y número de alumnos que estaban presentes
Como se observa en la tabla 10 la mayoría de las sesiones alcanzaron una
duración superior a los 60 minutos, siendo únicamente dos sesiones las que no
alcanzaran ese tiempo.
Resultados por Categoría
Resolución de Problemas
Este apartado recibe el nombre de “Resolución de problemas”, y es la primera
categoría de análisis que se revisa. Para su desarrollo se tomaron en cuenta tres
niveles de valoración. Estos se representan con las letras: A, B y C. Estos niveles se
describieron en el capítulo anterior, pero para que el lector los tenga de manera más
presente, se procede a mencionarlos:
A. No hay problema a ser resuelto.
B. Hay un problema pero no representa una situación real que les
despierte interés y les resulte retador a los alumnos por lo cual no los
invita a reflexionar.
36
C. Hay un problema basado en una situación real que le despierta el
interés y le resulta retador a los alumnos. Los invita a reflexionar
En la Figura 1 se presentan los resultados del análisis realizado a todas las
videograbaciones.
Figura 1. Resultados en la categoría Resolución de problemas
Como se observa en la Figura 1, cinco de la siete sesiones fueron ubicadas
en el Nivel A. Ello implica que en estas sesiones no se le presentó al grupo un problema
a ser resuelto. Una sesión más fue ubicada en el Nivel B, porque hubo un problema,
pero éste no representó una situación real que les despertara el interés y les resultara
retadora a los alumnos. Solamente una sesión fue ubicada en el Nivel C. Fue la única
sesión en la que se les presentó al grupo un problema basado en una situación real
que les despertara el interés a los alumnos, les resultara retador, y los invitara a
reflexionar.
El desempeño en esta categoría fue bajo. En general, en las sesiones de
enseñanza que fueron observadas, no se priorizó el planteamiento de problemas como
recurso para procurar el aprendizaje de las fracciones de los alumnos.
0
1
2
3
4
5
6
A B C
Resolución de problemas
37
Soluciones Múltiples
Al igual que la primera categoría, Soluciones Múltiples también cuenta con tres
niveles de valoración:
A. El maestro sólo permite una forma de solución a los problemas y/o
ejercicios, la cual conoce de antemano.
B. Se aceptan diferentes formas de solución de problemas y/o ejercicios,
pero no se promueve que los alumnos las busquen.
C. El maestro promueve que los estudiantes encuentren múltiples formas
de resolver los problemas y/o ejercicios.
En la Figura 2 se presentan los resultados del análisis realizado a todas las
videograbaciones.
Figura 2. Resultados en la categoría Soluciones múltiples
Como el lector puede observar, seis de las siete sesiones fueron ubicadas en
el Nivel A. Ello implicó que en estas sesiones el maestro sólo permitió una forma de
solución de los problemas o ejercicios, la cual conocía de antemano. En el Nivel B se
ubicó solamente una sesión. En ésta la maestra aceptó diferentes formas de solucionar
los problemas o ejercicios, pero no promovió que los alumnos las encontraran.
0
1
2
3
4
5
6
7
A B C
Soluciones múltiples
38
Finalmente, en la Figura 2 se observa que el Nivel C se encuentra vacío. Esto
se debe a que en ninguna de las siente sesiones observadas se reconoció que los
maestros promovieran que los alumnos encontraran múltiples formas de resolver los
problemas o ejercicios.
Vale la pena señalar que esta fue la categoría con el nivel más bajo de
desempeño. En general, entre los maestros observados, no se notó que ellos
promovieran que los estudiantes encontraran múltiples formas de resolver situaciones
relacionadas con el concepto de fracción.
Trabajo Colaborativo y Socialización de Razonamientos
Los tres niveles en esta categoría son:
A. No se promueve ni se acepta que los alumnos colaboren entre ellos
para resolver problemas y/o ejercicios ni que socialicen sus
razonamientos.
B. Se acepta que los alumnos colaboren entre ellos para resolver
problemas y/o ejercicios, pero no que socialicen sus razonamientos o
sus soluciones.
C. Se promueve que los alumnos colaboren entre ellos para resolver
problemas y/o ejercicios, ya sea en grupos pequeños o en conversación
plenaria, y que socialicen sus razonamientos o sus soluciones.
En la Figura 3 se presentan los resultados del análisis realizado a todas las
videograbaciones.
39
Figura 3. Resultados en la categoría Trabajo colaborativo y socialización de razonamientos
Como se puede observar en la Figura 3, solamente una de las siete sesiones
fue ubicada en el Nivel A de esta categoría. En esta sesión no se promovió ni se aceptó
que los alumnos colaboraran entre ellos para resolver problemas o ejercicios, ni que
socializaran sus razonamientos.
En el Nivel B se ubicó una sola sesión. En ella fue posible que los alumnos
colaborar entre ellos resolviendo problemas o ejercicios, pero no socializando sus
razonamientos.
En el Nivel C se ubicaron las cinco sesiones restantes. En ellas los alumnos
colaboraron entre ellos para resolver problemas o ejercicios, tanto en grupos pequeños
o en plenaria, y también socializaron sus razonamientos o soluciones.
Resulta interesante que, en términos de recursos pedagógicos, las sesiones
observadas hayan recibido los mejores puntajes en esta categoría. En general, los
maestros parecen valorar el que los alumnos colaboren entre ellos y socialicen sus
razonamientos a la hora de aprender sobre las fracciones.
0
1
2
3
4
5
6
A B C
El trabajo colaborativo y la socialización de razonamientos
40
Cumplimiento con los Contenidos del Programa de Estudios
La última categoría evaluada fue el cumplimiento con los contenidos del
programa de estudios. Los niveles fueron los siguientes:
A. El contenido de fracciones que se toca no está incluido en el programa
de estudios de la SEP para tercero de primaria.
B. Solo parte de los contenidos de facciones que se tocan están incluidos
en el programa de estudios de la SEP para tercero de primaria.
C. El total del contenido de facciones que se toca corresponde a lo que
marca el programa de estudios para tercero de primaria.
En la Figura 4 se presentan los resultados del análisis realizado a todas las
videograbaciones.
Figura 4. Resultados en la categoría Cumplimiento con los contenidos del programa de estudios
Como el lector puede observar, en esta categoría las sesiones ubicadas en el
Nivel “A” fueron tres, lo que indica que no todos los temas que fueron abordados en
las sesiones están incluidos en los planes y programas de estudio para tercero de
primaria. Otras tres sesiones se encuentran en el Nivel “B”. Ello quiere decir que en
0
1
2
3
4
A B C
El cumplimiento con los contenidos del programa de estudios
41
estas sesiones parte de los contenidos abordados pertenecen a los planes y
programas de tercer grado, mientras que otra no. Finalmente, es notable que
solamente una sesión fue ubicada en el Nivel “C”. En esta sesión sí se abordaron
exclusivamente temas que se indican los planes y programas de estudios para tercer
grado de educación primaria 2011 (SEP, 2011).
Con la finalidad de proporcionarle al lector una imagen más precisa de cómo
fueron codificadas las sesiones, más adelante en el presente capítulo se incluye una
descripción de cada una, en la que se especifica cómo fue codificada.
Material Concreto
Durante el análisis de las sesiones se hizo evidente la presencia de material
concreto en seis sesiones. En consecuencia, se decidió extender el análisis original, a
fin de dar cuenta de cómo se utilizó el material concreto para la enseñanza de las
fracciones.
En esta parte del análisis se comienza por especificar el número de sesiones
en que se usaron los materiales concretos. Posteriormente, se describen las tres
formas en que fueron usados. Finalmente, se da cuenta de qué otro tipo de recursos
fueron usados, además del material concreto.
Implementación de material concreto
En la Figura 5 se muestra la distribución de las sesiones, en cuáles se usó
material concreto y en cuáles no.
42
Figura 5. Sesiones en las que se emplea material concreto y sesiones en las que no
Como el lector puede observar en la Figura 5, hubo seis sesiones en donde se
pudo identificar el uso de material concreto para enseñar fracciones, y una en donde
no. A continuación se describen los materiales concretos que fueron empleados.
“El pastel de fracciones” es un conjunto de figuras circulares y fraccionadas
que puede variar en cuanto al diseño, tamaño y material, pues puede ser elaborado
por el maestro o comprado. En dos sesiones se empleó este material pero con algunas
variaciones.
En el caso de las sesiones observadas se emplearon dos diseños diferentes
del material, uno de cartulina y otro de fomi. El primer tipo de material fue usado por el
maestro Manuel en la Sesión 1.1 (ver Figura 6 y Descripción de la Sesión 1.1), mientras
que el segundo material descrito fue empleado por la maestra Rocío en la sesión 3.1
(ver Figura 7 y Descripción de la Sesión 3.1). El uso que cada maestro le dio al material
no fue igual, basta con ver que el diseño de cada uno de los materiales fue distinto.
0
1
2
3
4
5
6
7
Si No
Materiales concretos
43
Figura 6. “El pastel de fracciones” usado en la Sesión 1.1
Figura 7. “El pastel de fracciones” usado en la Sesión 3.1
En dos sesiones se usaron hojas de papel tamaño carta que fueron dobladas
(ver Descripción de la Sesiones 2.2 y 4.1). En una de las sesiones, las hojas fueron
dobladas de manera horizontal para formar líneas, que en la actividad fueron
interpretadas como carriles en una competencia de atletismo (ver Figura 8 y
Descripción de la Sesión 2.2).
44
Figura 8. Partes de hojas de papel doblado que representan carriles
En la otra sesión, las hojas fueron dobladas en dos dimensiones para crear
particiones de las mismas (ver Figura 9 y Descripción de la Sesión 4.1).
Figura 9. Fraccionando una hoja en dos dimensiones
En otra sesión se usaron botellas plásticas que fueron llenadas con líquidos
(ver Figura 10 y Descripción de la Sesión 2.1.).
45
Figura 10. Representación de fracciones en botellas usando líquidos
Un último material usado fue al que se denominó como “Escala de Fracciones”
(ver Figura 11). Este fue usado por el maestro Manuel en la Sesión 1.2.
Figura 11. La escala de fracciones
Formas de usar los materiales concretos
A fin de dar cuenta de cómo se usaron los materiales concretos, se
desarrollaron tres categorías.
46
La primera categoría consistió en registrar las sesiones en las que todos
los alumnos pudieron manipular cada uno de los materiales disponibles.
La segunda categoría registra las sesiones en las que solo algunos de
los alumnos fueron quienes manipularon los materiales con los que se
trabajó.
La tercera categoría alberga a las sesiones en las que solamente el
maestro es quien manipula los materiales disponibles.
En la Figura 12 se muestran los resultados que se obtuvieron al hacer el
análisis de las sesiones tomando como base las categorías antes mencionadas.
Figura 12. Sesiones en donde se ve quiénes manipularon los materiales, por sesión
Como es posible observar, en cuatro de las siete sesiones todos (maestro y
alumnos) tuvieron oportunidad de manipular el material empleado por el maestro. Y
como vemos solo hay una sesión en la que solamente algunos manipularon los
materiales. Y una más para el nivel que indica que solamente fue el maestro el que
manipuló los materiales.
Las sesiones que se han considerado dentro de las que todos manipularon el
material son la Sesión 1.1 con el contador de fracciones, la Sesión 2.2 con la carrera
0
1
2
3
4
Todos manipularon Solo algunos manipularon Solo el maestro manipuló
Manipulación de materiales concretos
47
de atletismo; la Sesión 3.1, usando el pastel de fracciones para sumar fracciones; la
sesión 4.1, en la ubicación de una parte de la figura fraccionada. El desarrollo de cada
una de las sesiones se encuentra descrito más adelante en este capítulo.
La única sesión en la que el material fue manipulado solamente por algunos
de los integrantes de grupo fue la Sesión 1.2.
Otra sesión, que es la única dentro de este nivel es la 2.1, en donde solamente
el maestro fue el que manipuló el material: un par de botellas.
Otros materiales empleados
Además del material concreto ya mencionado anteriormente se identificó el
uso de otros materiales para enseñar fracciones. Y para esto se creó entonces una
última serie de categorías para codificar las sesiones. Las categorías son:
Sesión en la que se utiliza el libro de tercer grado emitido por la SEP.
Sesión en la que se utilizan materiales que han sido fotocopiados de
otros libros o guías, manuales, o creados por el propio maestro, etc.
Uso de libros de texto auxiliares, editados por editoriales privadas.
Figura 13. Sesiones en donde se ve el uso de otro tipo de materiales auxiliares, por sesión
0
1
2
3
Libro de SEP Material fotocopiado Libros auxiliares
Otros materiales
48
Como es posible observar en la Figura 13, en sus tres niveles se ubicaron
solamente tres sesiones en las que fueron empleados estos tipos de materiales. En la
categoría correspondiente al Libro de SEP no se ubica a ninguna de las sesiones, ya
que los maestros no lo emplearon. En la siguiente categoría hubo dos sesiones en las
que se observó que los estudiantes trabajaron en materiales fotocopiados. En la otra
categoría se ubicó solamente una sesión la cual se trabajó con un libro auxiliar.
Como ya se mencionó en la segunda categoría, material fotocopiado, es
posible ubicar dos de las siete sesiones observadas. La primera corresponde a la
sesión 3.1 (de la maestra Rocío; ver Figura 14). La segunda sesión en la que se
empleó este tipo de material fue en la 4.1 en donde la maestra Vania repartió a los
alumnos una copia (ver Figura 15).
Figura 14. Fotocopia usada en la sesión 3.1
49
Figura 15. Fotocopia usada en la sesión 4.1
En el tercer y último nivel se ubican los textos auxiliares. Estos corresponden
a guías, cuadernillos u otros libros que los maestros han empleado para que los
alumnos aborden el tema de fracciones. En esta categoría se ubicó solamente una
sesión, que correspondió a la sesión 1.2 del maestro Manuel (ver Figura 16), en donde
él trabajó con algunas actividades que venían en una guía comercial.
50
Figura 16. Imagen de un libro de texto no oficial Sesión 1.2
Como es posible observar en este apartado, para llevar a cabo la enseñanza
de fracciones en el tercer grado, en la mayoría de las sesiones registradas se empleó,
para el desarrollo de las actividades planeadas, algún material ya sea concreto o
impreso.
Descripción de cada una de las sesiones
En este apartado se presenta el análisis realizado a cada una de las sesiones,
en donde se incluyen fragmentos de diálogos realizados entre los alumnos y el
maestro, los cuales fueron de gran importancia en cada una de las sesiones
videogravadas.
51
Descripción de la Sesión 1.1
La primera sesión ejemplificada corresponde a la primera que impartió el
Maestro Manuel. Ésta se ubicó en la categoría de Resolución de Problemas, en el
Nivel A. En la segunda categoría Soluciones Múltiples, fue ubicada en el Nivel A. En
la tercera categoría Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel C, el nivel
más alto. En la cuarta y última categoría Cumplimiento con el Plan de Estudios, la
sesión fue ubicada en el Nivel A (ver Anexo 2).
El maestro Manuel tenía la Lic. en educación primaria. Contaba con 14 años
de servicio docente. Laboraba en la escuela República de Brasil. Atendía a un total de
30 alumnos.
Durante la primera sesión, el maestro organizó al grupo de tal manera que los
alumnos quedaron repartidos en equipos de seis personas. A cada uno de los equipos
le designó un espacio dentro del salón, en donde él previamente había ubicado el
material con el que se trabajó en clase. Los alumnos tuvieron que sentarse en el piso
para poder trabajar de manera más cómoda. Lo primero que el maestro pidió a los
alumnos fue que atendieran las instrucciones.
Antes de comenzar con sus actividades, el maestro dio, una introducción al
tema de las fracciones. Para ello empleó algunas hojas con las que ilustró a los
alumnos sobre el tema. Para esta actividad el maestro tomó una hoja completa y la
mostró al grupo (ver Figura 17).
52
Figura 17. Equipos de trabajo de la Sesión 1.1
Después comenzó a realizar algunas preguntas clave para, al parecer,
identificar qué conocimientos tenían los alumnos sobre el tema, por lo que dijo.
Maestro: ¿Esto qué será para ustedes? (dice el maestro dirigiéndose a un alumno en
específico).
Alumno 1: Una hoja.
Entonces el maestro hizo la misma pregunta dirigiéndose a un segundo alumno.
Alumno 2: Rosa.
(El maestro vuelve a hacer la misma pregunta a un tercer alumno).
Alumno 3: Un entero.
Maestro: Exactamente, ustedes podrán decir que es una hoja, pero es un entero ¿Qué
será un entero?
Alumno 4: Es cuando en vez de dividirlo en cuartos se toma por completo.
Alumno 5: En vez de dividirlo, en vez de estarlo dividiendo en cuartos, en octavos y
en quintos, no lo tienes que partir, (explica uno de los alumnos).
Maestro: ¿Quién tiene una noción diferente?
Alumno 6: Que está completo.
Maestro: Exactamente. Un entero es algo que está completo, algo que no le falta nada
ni un pedazo, es un todo. Un entero es algo que está completo.
Con las hojas de color rosa, el maestro empieza a demostrar qué pasa si
fracciona una por la mitad, una en cuartos, otra en octavos. Para cada fracción va
53
pidiendo a los alumnos que identifiquen qué parte del entero es. Va haciendo
preguntas de manera grupal y muy pocas de manera individual.
Después de que el maestro dio esta explicación a los alumnos, él continúo con
la actividad planeada. Les dio a los alumnos indicaciones que para comenzar con la
actividad debían de poner atención a las instrucciones del juego. El juego empleado
para la actividad fue nombrado por el maestro como el “Contador de Fracciones”, y
para esta actividad se utilizó el pastel de fracciones (ver Figura 6). Para poder jugarlo
él dio las siguientes instrucciones:
El niño que esté frente al juego deberá ser el banco, y se encargará de repartir las figuras.
El banco repartirá las figuras a los niños conforme estos vayan tirando los dados.
Cuando se tiren los dados la numeración más pequeña será el numerador y el dado que marque la numeración más grande será el denominador.
Después de que se dieron las indicaciones el maestro puso un ejemplo de
cómo se tenía que realizar el juego. Para ello tiró los dados y pidió a los alumnos que
armaran la fracción con el número dos y el cinco. El maestro cuestionó a los alumnos
de la siguiente manera:
Maestro: ¿Qué fracción se formó con 2 y 5?
Alumnos: Dos quintos.
Maestro: Entonces el banco debe agarrar y darme una figura que represente dos
quintos. Pero si solamente hay figuras de un quinto ¿cuántas me debe dar?
Alumno: Dos figuras.
Maestro: El banco me debe de dar dos figuras que digan un quinto para que yo forme
los dos quintos, los alumnos irán formando en su espacio un pastel, hasta
que formen un entero, cuando hayan formado con las figuras que les vayan
dando el entero lo cambian por un entero, que es la figura redonda.
Después de que se explicó el juego, y de que se realizó un ejemplo el maestro
permitió que los alumnos dieran inicio al juego (ver Figura 18).
54
Figura 18. La actividad “el banco” realizada en la Sesión 1.1
Mientras tanto él se encargó de supervisar las actividades de cada uno de los
equipos. Durante el juego el maestro propuso a los alumnos que tenían que cambiar
sus fracciones pequeñas por unas más grandes, y para que los alumnos pudieran
entender a lo que se refería dio un ejemplo:
Maestro: por ejemplo me caen dos cuartos. ¿Los puedo cambiar por un medio?
Tienen que ir viendo ustedes que sus figuras se amolden para que completen
su entero y lo cambian por la figura del entero, para juntar sus seis enteros.
Durante el desarrollo de la actividad algunos alumnos que eran los encargados
del banco tenían dificultades para repartir a sus compañeros las fracciones adecuadas.
Ante esta situación los demás compañeros iban indicando al alumno encargado del
banco cuáles debían de ser las piezas que tenía que entregarle a su compañero. Dicha
situación se presentó en todos los equipos, pero de manera diferente. En ocasiones
eran los alumnos que recibían las fracciones quienes no sabían cómo acomodarlas.
En algunos casos, el maestro ayudó a aclarar dudas en los equipos. En otros no lo
notó.
Conforme el maestro fue pasando a los equipos, fue corrigiendo a los alumnos
en donde veía errores. En algunos casos fue indicando cómo acomodar las fracciones
para formar un entero. Los alumnos que no tuvieron la ayuda del maestro
55
intercambiaron sus fracciones por un entero, justo cuando ya completaban su figura,
sin importar que en realidad las fracciones no sumaran el entero.
La actividad concluyó cuando una alumna juntó sus seis enteros. Entonces el
maestro hizo una serie de preguntas al azar, con el fin de que los alumnos dijeran con
qué fracciones ellos habían completado un entero. Para ello se estableció un diálogo
con los alumnos:
Maestro: ¿Ustedes utilizaron diferentes fracciones para formar un entero verdad? ¿Sí
o no? Bueno ¿Con qué fracciones formaron ustedes un entero? (hizo la
última pregunta dirigiéndose a una alumna en específico).
Alumno 1: Con tres tercios.
Maestro: Ella con tres tercios formó un entero, ¿Tú con qué fracción formaste un
entero? (le dice a otro alumno en específico).
Alumno 2: Con dos medios.
Maestro: Con dos medios formó enteros aquí, ¿Con qué fracciones formaste un
entero? Ellos ya me dijeron que con dos medios, y aquí con tres tercios
formaron un entero. ¿Tú con qué fracción formaste un entero? (le dice a una
alumna en particular, la cual le contesta en voz muy baja provocando que el
maestro dirija la pregunta a otra alumna).
Alumno 3: Con cinco de esos, (señala hacia las figuras, mientras al fondo se escucha
una voz).
Alumno 4: Con cinco quintos
Maestro: ¿Con cuánto me dijiste?
Alumno 4: Con cinco quintos.
Maestro: Con cinco quintos él formó también un entero, (el maestro pasa junto a otro
equipo y pregunta) ¿Aquí con qué fracciones formaron un entero?
Alumno 5: Con un sexto.
Maestro: Con un sexto no se forma un entero, al contrario se forma con seis sextos,
un sexto es nada más una pequeña parte de las seis que debe tener un
entero.
Con estas preguntas el maestro dio por cerrada la primera actividad, y procedió
a explicar la segunda actividad. La segunda actividad se realizó en los cuadernos, y
con ayuda del material con el que se desarrolló la primera actividad. La actividad que
se realizó consistió en la comparación de fracciones y para ello se dieron algunas
indicaciones de cómo el maestro quería que los alumnos realizaran el trabajo.
56
La primera indicación fue que los alumnos compararan qué figura era menor,
mayor o igual. Para esto los alumnos tenían que seguir utilizando el material que se
les había repartido al inicio de la clase. Para explicar lo que se tenía que realizar el
maestro, como en otras ocasiones, puso un ejemplo:
Maestro: ¿Qué fracción será mayor un cuarto o un quinto? (para representar el
ejercicio pidió las figuras representativas a cada fracción y las muestra a los
alumnos, y vuelve a preguntar), ¿Qué fracción será mayor? ¿Qué fracción
tiene más espacio? ¿Qué fracción es más grande?
Alumnos: un cuarto.
Maestro: Entonces sería la fracción un cuarto es mayor que un quinto. Sí, un cuarto
es mayor que un quinto. Así van a ir comparando. Si quieren poner encima
la pueden poner y ya pueden ver cuál es mayor o cuál es menor, sí.
Después de este ejemplo el maestro anotó algunas de las comparaciones de
fracciones que los alumnos tenían que resolver con ayuda del material. De los
ejercicios que el maestro anotó en el pizarrón (ver Figura 19) explicó el primero, y lo
hizo permitiendo que los alumnos interactuaran con él.
Figura 19. Actividad de comparación de fracciones en la Sesión 1.1
A continuación el diálogo que se mantuvo durante la resolución del ejercicio.
Maestro: ¿Un medio será mayor que un tercio?
Alumnos: Un medio es mayor.
57
Maestro: ¿Un medio es mayor?
Alumnos: Sí.
Maestro: (El maestro pidió prestadas las figuras de un medio y un tercio para
demostrar la respuesta. Tomó un medio y un tercio, y lo encima, y lanza una
pregunta al grupo) ¿Cuál será mayor?
Alumnos: Un medio.
Maestro: Un medio porque ocupa más espacio, entonces aquí un medio es mayor
que un tercio. Así sucesivamente van a ir comparando sus figuras.
El maestro anotó otros ejercicios en el pizarrón y pidió a los alumnos que los
resolvieran pero de manera individual, y que para ello tenían que comparar la primera
fracción con la segunda. Durante el tiempo que los alumnos estuvieron resolviendo los
ejercicios, el maestro observó el procedimiento que algunos de ellos empleaban, y en
un caso pudo notar que un alumno no estaba encimando las figuras para identificar
cuál era mayor, menor o igual. Por tal razón el maestro le llamó la atención al alumno,
argumentando que no estaba contestando los ejercicios como él le había indicado.
Entonces dio la siguiente indicación al grupo:
Maestro: Deben de utilizar las figuras, para medirlas y ver cuál tiene más espacio.
Deben de anotar en el recuadro que está entre las fracciones el signo
correspondiente. El que marca viendo la boquita a la derecha es mayor y a
la izquierda es menor y el signo igual son dos barritas.
Más tarde de que el maestro dio esa instrucción, procedió a resolver el
siguiente ejercicio del pizarrón. Para ello empleó el mismo procedimiento que en los
ejercicios anteriores. Pidió al grupo que pusiera atención, y tomó las figuras
representativas de cada fracción, las encimó para que los alumnos pudieran ver si era
mayor, menor o igual, y pidió que anotaran la respuesta. Al finalizar el ejercicio esto
fue lo que dijo:
Maestro: El niño que no compare con sus figuras se le va a hacer más difícil. Tenemos
que comparar con las figuras para ver la fracción real.
El maestro contestó todos los ejercicios que anotó en el pizarrón. En total los
ejercicios fueron tres. Los ejercicios consistieron en comparar un sexto con un tercio,
58
un quinto con un cuarto y un tercio con un medio. El procedimiento para resolver cada
ejercicio fue similar al primero: encimando las figuras representativas de cada fracción,
y con ayuda de los alumnos identificaron cuál fracción era mayor, menor o igual.
Después de que los alumnos contestaron todos los ejercicios en el cuaderno,
el maestro comenzó a poner nuevos ejercicios. Primero anotó uno, y lo explicó a los
alumnos. También les explicó que ahora tenían que usar más de dos figuras para
poder comparar las fracciones, y para ello dio un primer ejemplo. El primer ejercicio de
la segunda actividad de comparación de fracciones consistió en comparar un medio y
dos cuartos, argumentando que para ver cuál es mayor se tenían de colocar las figuras
un medio arriba de las que representaban dos cuartos. Para eso un ejemplo del diálogo
que mantuvo con el grupo:
Maestro: Colocamos un medio encima de dos cuartos para ver quién cubre a quién,
o cuál es mayor o cuál es menor.
Durante el ejercicio llamó la atención a los alumnos para que hicieran lo que
les estaba indicando, y preguntó:
Maestro: ¿Qué dicen un medio será menor, mayor o igual a dos cuartos?
Alumnos: Igual.
Maestro: Es igual porque si yo pongo, (ejemplificó con las figuras de un medio y dos
cuartos), un medio encima de dos cuartos da exactamente lo mismo, da
igual, ¿Pero en una ya estamos utilizando dos figuras para completar el
medio, verdad?
Enseguida de que el maestro dio ese ejemplo, anotó otro ejercicio más, y pidió
a los alumnos que lo contestaran. Mientras ellos iban contestando en sus cuadernos,
el maestro pasaba por los equipos para ver cómo realizaban la actividad. En uno de
los equipos encontró que un alumno no estaba contestando el ejercicio como él lo
había indicado. Le llamó la atención y le dijo:
Maestro: Si no trabajas haciendo la comparación de las figuras encimando, entonces
nada más está trabajando al tanteo y así no te va a salir la fracción. Tienes
que agarrar dos cuartos y formarlos y encimar un tercio para que compares
las fracción.
59
Posteriormente de esperar a que los alumnos resolvieran los ejercicios durante
unos minutos el maestro comenzó a contestar el siguiente ejercicio utilizando las
figuras, así como en el ejemplo que dio al principio. Después de eso puso en el pizarrón
otros ejercicios en donde los alumnos tenían que comparar 3/6 y 2/5, ¼ y 2/6, 2/3 y
2/5. Cada una de estas comparaciones la resolvió el maestro, de la misma manera que
las primeras, con ayuda del material y con la participación de los alumnos. El maestro
finalizó la clase revisando que los alumnos hubieran copiado los ejercicios y las
respuestas en sus cuadernos.
Esta sesión fue ubicada en el Nivel “A” de la primera categoría, “Resolución
de Problemas”. Como puede observarse en la descripción de la sesión, el maestro no
planteó un problema a los alumnos. En lugar de ello, el maestro procuró que los
alumnos produjeran respuestas específicas a diferentes ejercicios.
En la segunda categoría, “Soluciones Múltiples”, esta sesión se ubicó en el
Nivel “A”. Como se desprende de la descripción, el maestro sólo aceptaba una forma
de solucionar los ejercicios, misma que era indicada por él.
En la tercer categoría¸ “Trabajo Colaborativo”, la sesión fue ubicada en el nivel
“C”. En general, el trabajo colaborativo y la socialización de razonamientos pareció
estar presente en las actividades que se realizaron. Durante la primera actividad
realizada, los alumnos jugaron con el “Contador de Fracciones”. Durante el juego, los
alumnos colaboraron unos con otros para repartirse las fracciones adecuadas.
También intercambiaron comentarios sobre cómo ir avanzando en el juego. En las
siguientes actividades, aunque se trabaja de manera individual al principio, después el
maestro permitió que los alumnos interactuaran de manera plenaria, socializando así
sus respuestas.
En la cuarta categoría, Cumplimiento con el Plan de Estudios, la sesión se
ubicó en el Nivel “A”, debido a que el contenido abordado durante la sesión no está
incluido en el programa de estudios de tercer grado.
60
Descripción de la Sesión 1.2
La segunda sesión ejemplificada corresponde a la segunda que impartió el
Maestro Manuel. Fue ubicada en la categoría de Resolución de Problemas, en el Nivel
A. En la segunda categoría, Soluciones Múltiples, fue ubicada en el Nivel B. En la
tercera categoría, Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel B. En la
cuarta categoría Cumplimiento con el Plan de Estudios, la sesión fue ubicada en el
Nivel B (ver Anexo 2).
Como ya se dijo, el maestro Manuel tenía la Lic. en educación primaria.
Contaba con 14 años de servicio docente. Laboraba en la escuela República de Brasil.
Atendía a un total de 30 alumnos.
Durante esta sesión todos los alumnos estuvieron sentados, cada uno en su
banca. Éstas se encontraban pegadas a la pared, y solo algunas estaban al centro del
salón. Al frente del salón se encontraba el escritorio del maestro. En él había un
material didáctico conformado por palitos pegados a una base de madera, y también
había algunos bloques de madera de diferentes tamaños y colores, los cuales tenían
un valor diferente en una de sus caras. Este material didáctico es conocido como
“Escala de Fracciones” (ver Figura 11).
Los alumnos permanecieron algunos en sus lugares, otros platicando
mientras que el maestro estaba dibujando algunas figuras en el pizarrón, al concluirlas,
hizo referencia al tema abordado en la sesión anterior. El tema de la clase anterior fue
“Las fracciones” y el nuevo tema que se vio fue el de “Fracciones equivalentes”. Para
explicar a los alumnos el tema, el maestro tomó como ejemplo los dibujos del pizarrón.
Éstos eran círculos fraccionados en donde el primero representaba un entero, el
segundo dos medios, el tercero cuatro cuartos y el cuarto ocho octavos (ver Figura
20).
61
Figura 20. Actividad las fracciones equivalentes en la Sesión 1.2
Después de que el maestro tuvo listas las representaciones gráficas en el
pizarrón, inició con la explicación del tema:
Maestro: Dos fracciones equivalentes es cuando vamos a representar la misma
cantidad sin que haya de más, van a representar la misma cantidad dos
fracciones aunque se escriban de diferente manera. ¿Sí?
Luego de esta información que dio a los alumnos, el maestro explicó con un
ejemplo que una fracción equivalente puede ser un medio y dos cuartos, porque
aunque se escriben diferente representan el mismo espacio. El maestro después inició
una conversación con el grupo en la que trató de darles a los alumnos una mayor
explicación de la noción de equivalencia. A continuación se transcribe parte de la
conversación, con el fin de ejemplificar cómo procedió el maestro:
Maestro: Recordemos un entero es algo que no le hace falta nada. Es un todo. Es
algo completo. Entonces ¿un entero va a ser lo mismo que dos qué? (señala
las figuras que ha hecho en el pizarrón; ver Figura 20).
Alumnos: Dos medios, dos cuartos.
Maestro: Un entero va a ser lo mismo que dos medios ¿Un entero va a ser lo mismo
qué?
Alumnos: Dos cuartos.
Maestro: ¿Son dos?
62
Alumnos: Cuatro.
Maestro: ¿Un entero va a ser lo mismo qué? (señala una última figura).
Alumnos: Ocho octavos.
Al final de la explicación el maestro concluyó diciendo que: “las fracciones
equivalentes son aquellas que se representan con diferentes números pero que
gráficamente son lo mismo”. Y para demostrarlo a sus alumnos remarcó en las figuras
que había dibujado en el pizarrón ½ = 2/4 =4/8. Luego tomó el material didáctico de la
mesa (ver Figura 11) y lo mostró a los alumnos. Colocó en el material un bloque que
representaba un entero, y a un lado colocó dos bloques de un medio encimados y
preguntó:
Maestro: ¿Son iguales?
Alumnos: Sí.
Después de este ejemplo, el maestro presentó otro, en donde empleó los
cuatro bloques de un cuarto, y como en el ejemplo anterior volvió a preguntar a los
alumnos si eran o no iguales las dos filas de bloques. Con el material, el maestro puso
otro ejemplo en el que mostró cómo un entero es equivalente a tres tercios.
A continuación, puso ejemplos de equivalencias entre fracciones. Por ejemplo,
le pidió a una alumna encontrara la fracción equivalente de un tercio. La alumna lo
resolvió de manera rápida y puso a un lado dos sextos, que fue la fracción equivalente.
Un ejemplo que llevó a otra alumna a realizar varias pruebas fue en el que tuvo que
encontrar la fracción equivalente de tres sextos. Para resolverlo, la alumna tuvo que
probar con algunos bloques hasta que encontró que tres sextos eran igual a cuatro
octavos. Durante cada uno de los ejemplos que se hicieron el maestro dio tiempo
suficiente para que los alumnos anotaran en sus cuadernos las equivalencias.
En una segunda actividad que se realizó, el maestro dibujó de nueva cuenta
en el pizarrón algunas figuras representativas. Ahora los ejercicios que se realizaron
fueron en rectángulos. En esta actividad el maestro no dio ningún ejemplo que
permitiera a los alumnos saber lo que tenían que hacer. Solamente dio la indicación a
una alumna de pasar al frente e identificar la fracción.
63
La alumna debía de identificar la fracción equivalente a 3/6. Una de las figuras
que estaba dibujada en el pizarrón había sido dividida en sextos. En ella el maestro
había iluminado 3/6. Había otra figura que estaba dividida en cuartos. Ninguna de las
partes había sido iluminada. Aparentemente, el maestro esperaba que la alumna
iluminara la fracción equivalente a los 3/6.
La alumna presentó algunos problemas para poder realizar el ejercicio, por lo
que el maestro pidió a otra alumna que pasara a resolver el ejercicio. Ella, al igual que
su compañera, tuvo problemas para resolverlo. Entonces el maestro pidió a una
tercera alumna que pasara a ayudar a su compañera a resolver el ejercicio, y como
entre las dos no pudieron resolverlo les pidió que pasaran a sus lugares.
Para poder resolver esta actividad el maestro tuvo que resolver el ejercicio,
pero antes de que lo resolviera modificó el número de partes de una de las figuras.
Ahora el ejercicio consistía en identificar la fracción equivalente de 3/6 en una figura
fraccionada en octavos. Un segundo ejercicio que el maestro hizo fue identificar la
fracción ½ en una figura que estaba fraccionada en cuartos. El maestro les dijo a los
alumnos que “al comparar figuras estas siempre tenían que ser iguales” y luego les
pidió que copiaran los ejemplos en sus cuadernos (ver Figura 21).
Figura 21. Apuntes de la Sesión 1.2, en donde se abordó la comparación de fracciones
64
La tercera actividad que el maestro puso a los alumnos fue similar a la
segunda, pero esta vez las figuras en donde se hicieron las representaciones fueron
círculos. El primer ejercicio consistió en encontrar la fracción en cuartos, los cuales
tenían que ser equivalente a ½. Los alumnos tuvieron que identificar en la parte de
abajo de la figura la fracción correspondiente, que ya estaba iluminada, y la fracción
equivalente a ésta en la otra figura que no estaba iluminada, así como poner qué
fracción era.
Otro ejercicio implicó que los alumnos encontraran el equivalente de ¼ en una
figura fraccionada en octavos (ver Figura 22).
Figura 22. Ejemplificación del tema en fracciones equivalentes, Sesión 1.2
Después de que el maestro les dio un tiempo a los alumnos para que
resolvieran los ejercicios, todo el grupo comenzó a resolverlos de manera conjunta. A
continuación un ejemplo del diálogo que se mantuvo durante la actividad plenaria.
Maestro: Ambas figuras deben estar iluminadas de la misma parte. La fracción de un
medio sería equivalente a dos cuartos ¿Aquí qué fracción estamos
representando? (señala la figura en donde acababa de colorear los dos
cuartos).
Alumno 1: dos cuartos.
65
Maestro: Aquí estamos representando dos cuartos. Estamos iluminando el mismo
espacio que el de la otra figura. Aquí es uno de dos, y aquí dos de cuatro
(señala respectivamente a cada una de las figuras).
De la misma manera en que resolvió el primer ejercicio, el maestro pidió a los
alumnos que encontraran en la figura que se encontraba fraccionada en ocho octavos
la fracción equivalente a un cuarto. Para ello pidió que iluminaran del mismo lado de
la fracción correspondiente, y que pusieran a qué fracción correspondía.
En una cuarta y última actividad, el maestro pidió a los alumnos que trabajaran
en las páginas de una guía de distribución comercial, distinta al libro de texto. En ella
se resolvió la actividad que venía marcada con el tema: Comparación de fracciones
equivalentes (ver Figura 23 y 24). El maestro leyó las indicaciones para cada una de
las actividades y explicó cómo podían los alumnos encontrar la fracción equivalente.
Figuras 23 y 24. Muestra de los materiales complementarios usados en Sesión 1.2
66
La guía hacía referencia a un método distinto al que el maestro había
propuesto a lo largo de la sesión. Es diferente pues el maestro solo resolvió ejercicios
gráficamente, y la guía daba la opción de encontrar la fracción equivalente mediante
la multiplicación del numerador y el denominador por un mismo número. Para dejar en
claro la actividad, y que los alumnos pudieran contestar las actividades, se tuvieron
que dar algunos ejemplos que les sirvieron de apoyo para contestar cada actividad de
la guía.
Esta sesión fue ubicada en el Nivel “A” de la categoría Resolución de
Problemas, ya que durante las actividades realizadas no se resolvió problema alguno.
Como puede notarse en la descripción, la sesión se enfocó a que los alumnos
resolvieran diferentes ejercicios.
En la segunda categoría, Soluciones Múltiples, la sesión fue ubicada en el
Nivel “A”. Lo cual significa que el maestro a lo largo del desarrollo de las actividades
fue testigo de que algún alumno utilizó otro tipo de solución, pero no la promovió. Sin
embargo, sí promovió la que él había planteado, pues se enfocó en que los alumnos
resolvieran las actividades de la manera en la cual él les había indicado.
En la tercera categoría, Trabajo Colaborativo, la sesión se ubicó en la Nivel
“B”. Como puede notarse en la descripción presentada, el maestro permitió que los
alumnos colaboraran entre ellos, de manera plenaria.
En la cuarta categoría, Cumplimiento con el Plan de Estudios, la sesión se
ubicó en el Nivel “B”. Esto se debe a que se identificó que algunos de los ejercicios se
apegaban a lo que dispone el programa de estudios: “Uso de fracciones de tipo m/2n
(medios, cuartos, octavos, etc.) para expresar oralmente y por escrito el resultado de
repartos” (SEP, 2011, p. 75).
Es importante aclarar que la sesión no se limitó a cubrir estos contenidos, sino
que se cubrieron otros que no están especificados en el programa de estudios de tercer
grado. Por ejemplo, además de emplear medios, cuartos y sextos, toca el tema de
equivalencias de fracciones.
67
Descripción de la Sesión 2.1
La tercera sesión ejemplificada corresponde a la primera que impartió el
Maestro Fabián. Ésta se ubicó en la categoría de Resolución de Problemas, en el Nivel
A. En la segunda categoría Soluciones Múltiples, fue ubicada en el Nivel A. En la
tercera categoría Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel C, el nivel
más alto. En la cuarta y última categoría Cumplimiento con el Plan de Estudios, la
sesión fue ubicada en el Nivel A (ver Anexo 2).
El Maestro Fabián era Licenciado en Educación Primaria. Contaba con siete
años de servicio docente. Laboraba en la escuela primaria Vicente Guerrero. Atendía
un grupo de 17 alumnos.
Durante la primera sesión el maestro Fabián trabajó el tema “Representando
las fracciones en unidades de medida liquida”, y para ello durante su sesión utilizó un
par de botellas de plástico recicladas. Pero, antes de abordar el tema lo primero que
el maestro hizo fue dar un repaso sobre lo que ya se había visto del tema de fracciones.
Para darles la participación a los alumnos les pidió que fueran levantando la mano. A
continuación un pequeño diálogo del repaso que se llevó a cabo en la sesión.
Maestro: ¿Con tus palabras, qué es un entero? (fue dando oportunidad a los alumnos
de responder a la pregunta).
Alumno 1: Es cuando algo se divide.
Alumno 2: Es como un pastel que está dividido pero no agarran nada.
Alumno 3: El entero es una parte que todavía no se ha agarrado nada.
Maestro: ¿Y se le llama parte?
Alumnos: No, un completo.
También hizo que los alumnos recordaran el trabajo de representación de
fracciones en figuras como rectángulos, cuadrados y círculos. Explicó a los alumnos
que esas fracciones tenían ahora que ser representadas en botellas. Para su trabajo
con ese material pidió a un alumno que llenara una de las botellas, mientras él seguía
comentando sobre el trabajo que ya se había hecho anteriormente.
Maestro: ¿Qué pasaba cuando partíamos las pizzas o los pasteles?
Alumno 1: Teníamos mitades.
Maestro: No todas se llamaban mitades. ¿Cuándo ya partía en dos tenía?
68
Alumnos: Medios.
Una vez que el alumno llegó con la botella, el maestro mostró al grupo ambas
botellas, la llena y la vacía. A partir de ese momento el maestro comenzó a interactuar
con el grupo. Les hizo preguntas y algunas afirmaciones de lo que sucedía al vaciar el
líquido. Incluso, puso algunos ejemplos de estas situaciones, las cuales se describen
a continuación.
Maestro: ¿Qué va a pasar con el agua que vacié?
Alumno 1: Se va a completar la botella con agua.
Maestro: Se va a completar, pero si yo le hecho muy poca. ¿Qué va a pasar con esa
agua?
Alumno 2: Se va a hacer una parte.
El maestro hizo una comparación de este suceso con lo que comentó al
principio, sobre la repartición de las figuras. También hizo una demostración de que
pasaba cuando se había llenado una de las botellas hasta la mitad (ver Figura 25).
Figura 25. Ejemplificación de las fracciones en unidades líquidas, Sesión 2.1
Para saber lo que pensaban los alumnos les preguntó lo siguiente:
Maestro: ¿Ustedes cuánto creen que he llenado de esta botella?
Alumno 3: dos décimos
69
Maestro: ¿Por qué dos décimos? Sí, me dijiste dos décimos, pero necesito tu
justificación, y por qué tu razón de decir dos décimos.
Alumno 4: Maestro un décimo, porque a la mitad sería un décimo y con la otra mitad
serían dos décimos.
Maestro: ¿Es correcta su respuesta?
Alumnos: No.
Alumno 5: Serían dos medios.
Maestro: ¿Está llena a dos medios?
Alumno 6: No, porque si no sería todo.
Maestro: Antes de dar su respuesta piensen bien en ella.
Alumno 7: Es un medio.
Maestro: Es un medio porque está a la mitad. Entonces ¿para llenarlo cuánto
necesito?
Alumnos: Un medio, dos medios en total para que este todo completo.
Después de dar algunos ejemplos con las botellas el maestro dibujó en el
pizarrón un rectángulo de manera vertical, haciendo la simulación de que podría haber
sido una botella. En este ejemplo pidió a un alumno que pasara a representar la
cantidad de agua que había en la botella, y que pusiera la fracción a la que
correspondía, la respuesta era un medio.
Después de este ejemplo, el maestro fue dibujando más figuras. Para cada
una había una fracción que representar, y los alumnos iban pasando uno por uno a
representar la cantidad de agua que correspondiera a la fracción que el maestro había
indicado.
En la segunda botella dibujada, una alumna tuvo que pasar a representar un
tercio de agua. Se le dificultó un poco el fraccionar la figura, pero el maestro la auxilió
recordándole cómo habían fraccionado los pasteles cuando necesitaban repartirlos en
tres partes. Tomando como base lo que el maestro le explicó la alumna pudo
representar la fracción.
En una tercera botella, otro alumno tuvo que identificar un cuarto. Otro ejercicio
más fue identificar en otra botella tres cuartos. El último alumno fraccionó la botella
como si estuviera fraccionando una figura plana, en este caso se puede tomar como
ejemplo que el alumno haya intentado fraccionar la imagen representativa como si solo
70
se tratara de un rectángulo. A este alumno, el maestro le explicó cómo tenía que haber
realizado la actividad, pues de esa manera no era posible representar la cantidad de
agua en una botella real. Cada uno de los ejemplos realizados en el pizarrón fue
copiado por los alumnos en sus cuadernos.
Después de estos ejemplos, el maestro puso a los alumnos a representar otras
fracciones en sus cuadernos. Para que todas las figuras tuvieran el mismo tamaño
pidió que las figuras fueran de 4 cuadritos de largo por 12 de alto. El primero de los
envases tenía que representar cuatro sextos, el segundo cinco octavos y el tercero
nueve doceavos. Estas representaciones los alumnos las tuvieron que hacer de
manera individual, cada uno en sus cuadernos (ver Figura 26). Los alumnos que
tuvieron dudas acudieron con el maestro para que les explicara, y en algunos casos el
maestro explicó de manera general cómo podían resolver el ejercicio.
Figura 26. Ejercicios de representación de fracciones, Sesión 2.1.
Con la revisión de esta última actividad, el maestro dio por terminada la sesión,
y dio un avance de las actividades a realizar en la siguiente sesión.
Esta sesión es posible ubicarla en el Nivel “A” de la primera categoría,
Resolución de Problemas, dado que durante las actividades realizadas, el maestro no
planteó un problema a los alumnos. En lugar de haber un planteamiento del tipo que
71
se pide en los planes y programas para tercero, el maestro planteó a los alumnos una
serie de ejercicios ilustrativos, a los cuales cada alumno le dio solución de manera
individual.
En la categoría número dos, Soluciones Múltiples, la sesión fue ubicada en el
Nivel “A”. Esto cual significa que durante la sesión el maestro solamente permitió que
los alumnos emplearan una forma de solucionar los problemas de cada actividad.
En la tercera categoría, Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel
“C”. Lo que quiere decir que durante la sesión el maestro permitió que los alumnos
colaboraran de manera plenaria en la resolución de los ejercicios que él había
planteado.
En la última categoría Cumplimiento con el Plan de Estudios, la sesión fue
ubicada en el Nivel “A”. Esto porque los contenidos que se abordan durante la sesión
no correspondieron con el programa de estudios de tercer grado.
Descripción de la Sesión 2.2
La cuarta sesión ejemplificada corresponde a la segunda sesión que impartió
el Maestro Fabián. Ésta se ubicó en la categoría de Resolución de Problemas, en el
Nivel C. En la segunda categoría, Soluciones Múltiples, fue ubicada en el Nivel A. En
la tercera categoría, Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel C, el nivel
más alto. En la cuarta y última categoría Cumplimiento con el Plan de Estudios, la
sesión fue ubicada en el Nivel B (ver Anexo 2).
Como se mencionó anteriormente el maestro Fabián era Licenciado en
Educación Primaria. Contaba con siete años de servicio docente. Laboraba en la
escuela primaria Vicente Guerrero. Atendía un grupo de 17 alumnos.
El maestro inició la sesión haciendo una serie de preguntas a los alumnos, con
la finalidad de hacer una retroalimentación de sus conocimientos, es por ello que
abordó ideas principales sobre el trabajo de fracciones empleando botellas. En la
sesión anterior (ver Descripción de la Sesión 2.1) el maestro abordó la representación
72
de fracciones en unidades líquidas, es por ello que empleó como material didáctico un
par de botellas de 1 litro. Para el desarrollo de la actividad realizó ejercicios de manera
individual y plenaria, en donde participó la mayoría del grupo. Habló sobre el trabajo
que se realizó con las botellas y los procedimientos que se habían empleado para
resolver los ejercicios. Como ejemplo de la interacción que hubo en el grupo durante
la retroalimentación se ha rescatado un fragmento de la conversación que el maestro
mantuvo con el grupo.
Maestro: ¿Cuánto tenía la botella transparente?
Alumnos.: Un medio.
Maestro: ¿Cuánto creen que tenía la botella que es de color blanco?
Alumno 1: Un medio.
Maestro: ¿Por qué crees que era la mitad?
Alumno 1: Porque se le vació el agua a la botella a la mitad. Y allí en la otra queda
más o menos la mitad.
Maestro: Entonces ¿Dos mitades hacen un?
Alumnos: Entero o un completo.
Maestro: Y si ahora en lugar de vaciar un medio, vacío un cuarto de agua a la otra
botella ¿Cuánto tiene?
Alumno: ¿Cómo cuando repartíamos las rebanadas de pizza o de pastel?
Maestro: Sí, si tomo dos rebanadas de un pastel que está dividido en cinco quintos
¿Cuántas rebanadas quedan?
Alumno: Tres quintos.
Como se puede observar, el maestro hizo una retroalimentación con el tema
de las botellas, pero uno de los alumnos también asoció este problema de repartición
con lo que habían visto antes, al fraccionar una pizza o pasteles. Con esto los alumnos
no sólo recordaron cómo se pueden fraccionar los contenidos líquidos dentro de un
recipiente, sino también las unidades o figuras que representan enteros. Después de
que se dio la retroalimentación sobre el tema, el maestro comenzó a dar las
indicaciones para que los alumnos comenzaran con la actividad del día. Para ello les
pidió que se organizaran en pequeños grupos de dos integrantes.
El trabajo realizado consistió en dividir un camino, es por ello que puso de
ejemplo las carreras de atletismo, en donde los atletas para poder ganar una carrera
tuvieron que haber recorrido ciertas distancias establecidas, dentro de una pista. Para
73
efectuar el trabajo el maestro hizo preguntas con relación al tema eje de la actividad,
con la finalidad de saber si los alumnos tenían conocimientos previos sobre quiénes
eran los atletas y qué era el atletismo. Después de explicarles un poco sobre el tema,
les mencionó a los alumnos que ellos iban a hacer un ejemplo de las pistas por donde
corrieron los atletas.
El maestro repartió a los alumnos una hoja de color que tenían que partir por
la mitad, para que cada uno de los alumnos tuviera una mitad. Ya después cada uno
de ellos tuvo que partir su mitad de la hoja de tal manera que cada uno obtuviera dos
partes iguales, para que luego pudieran pegarlas en su cuaderno (ver Figura 27). Para
esto último, el maestro puso el ejemplo de cómo se tenían que pegar las tiras en el
cuaderno, ya que la primera línea era la representación del carril por donde había
pasado uno de los atletas, y la segunda tira era el segundo carril, que perteneció a otro
de los participantes.
Figura 27. Cortando tiras para carriles, actividad de la Sesión 2.2
Una vez preparados los cuadernos, el maestro dio algunos ejemplos sobre el
atletismo. Dentro de la explicación el maestro remarcó un poco más lo que era el
atletismo, dejando claro en su explicación que el tramo de recorrido era el mismo, pero
74
que no todos los participantes recorrían la misma distancia pues en este caso ellos
solo debían de marcar lo que cada corredor recorrió en un minuto. Luego de esto les
pidió a los alumnos que identificaran en sus cuadernos, en donde ya habían pegado
las tiras de hojas de colores, la salida, la meta y los nombres de cada uno de los
competidores que participaron en la carrera. El maestro dio las siguientes indicaciones:
Maestro: Para el trabajo en el cuaderno se empleó la de quien llega más lejos en un
minuto. Del lado izquierdo de su cuaderno dibujan un participante y más arriba le ponemos
salida y en el extremo de la derecha meta. El primer participante se llamó Jesús y el segundo
Jorge.
Además de estas indicaciones, el maestro pidió a los alumnos que como título
de la actividad pusieran “Carrera de velocidad a un minuto”. Despues el maestro tomó
el tiempo y dejó que pasara un minuto, y a continuación les indicó a los alumnos cuál
fue la distancia en fracción que recorrió cada uno de los participantes. Las distancias
que cada uno recorrió fue: Jesús recorrió ¾ de carril y Jorge 5/8, de carril, entonces el
maestro preguntó a los alumnos:
Maestro: ¿Quién ganó? –En ningún momento él ha identificado en qué parte del carril
se quedó cada competidor-.
Alumnos: Jorge.
Maestro: Están seguros de su respuesta, por favor revisen sus respuestas. Para saber
quién ganó deben de fraccionar cada uno de los carriles. –Es por ello que
luego cuestionó a los alumnos sobre sus respuestas-. ¿Saben en cuántas
partes se tiene que fraccionar el primer carril?
Alumnos: Se tiene que dividir en 4.
Maestro: ¿Cuántas deben de ser en la segunda?
Alumnos: Ocho partes.
Maestro: Las partes en las que se fracciona cada uno de los carriles tienen que ser
iguales, así sean cuatro u ocho partes, y ubicar hasta dónde se encontró
cada uno de los competidores después del minuto de carrera (ver Figura 28).
75
Figura 28. Representación de la carrera 1, problema planteado en la Sesión 2.2
Como complemento del problema, el maestro planteó otro problema similar.
Ahora se trató de una carrera a velocidad en donde las competidoras eran mujeres.
En el segundo problema los alumnos tuvieron que poner en práctica los conocimientos
que adquirieron con la resolución del problema anterior, pues ahora fueron ellos
quienes tuvieron que resolver el problema. En la segunda carrera las competidoras
fueron Susi, quien recorrió 4/6 de carril y Ana que recorrió 5/8 de carril, ambas a un
minuto (ver Figura 29).
Figura 29. Representación de la carrera 2, problema planteado en la Sesión 2.2
Durante el tiempo que el maestro dio para que los alumnos resolvieran el
problema, él recorrió el salón resolviendo algunas de las dudas que presentaron los
76
alumnos. El maestro le reiteró al grupo que debía recordar cómo habían resuelto el
problema anterior, ya que el procedimiento que el maestro esperaba que los alumnos
hubieran empleado en la resolución del segundo problema era precisamente el mismo
con el que se resolvió el primero.
Con la resolución de este último problema, el maestro dio por terminada la
sesión, pues aunque era similar al anterior, a los alumnos les llevó un poco de tiempo
resolverlo, y en algunas ocasiones el maestro tuvo que recordarles lo que habían
hecho con el problema anterior. Solamente así todos los alumnos pudieron entregar al
maestro el problema resuelto.
Esta sesión se ubicó en el Nivel “C” de la primera categoría, Resolución de
Problemas, ya que durante el desarrollo de la sesión el maestro sí formuló un par de
problemas que fueron resueltos por los alumnos.
En la segunda categoría, Soluciones Múltiples, la sesión fue ubicada en el
Nivel “A”, ya que durante la resolución de los dos problemas planteados, el maestro
solamente permitió a los alumnos una forma de resolver cada problema, misma que él
ya conocía de antemano, ya que fue él quien se encargó de explicarles a los alumnos
la forma adecuada para que encontraran la respuesta a los problemas.
En la tercera categoría, Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel
“C”, ya que el maestro promovió el trabajo colaborativo desde el inicio de la sesión,
primero en la retroalimentación, y después en la preparación de los materiales para el
desarrollo de las actividades.
En la cuarta y última categoría, Cumplimiento con el Plan de Estudios, la
sesión fue ubicada en el Nivel “B”, ya que los temas abordados durante la misma no
fueron únicamente contenidos pertenecientes a los planes y programas de tercer
grado.
77
Descripción de la Sesión 3.1
La quinta sesión ejemplificada corresponde a la primera que impartió la
Maestra Rocío. Ésta se ubicó en la categoría de Resolución de Problemas, en el Nivel
B. En la segunda categoría, Soluciones Múltiples, fue ubicada en el Nivel B. En la
tercera categoría, Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel C, el nivel
más alto. En la cuarta y última categoría. Cumplimiento con el Plan de Estudios, la
sesión fue ubicada en el Nivel B (ver Anexo 2).
La maestra Rocío tenía una formación en la Normal básica y una Lic. en
Historia. Contaba con 29 años de servicio docente. Laboraba en la escuela primaria
República de Brasil. Atendía a un grupo de 30 alumnos.
Al inicio de la sesión, la maestra organizó a los alumnos en pequeños grupos,
distribuyendo a cada uno de los equipos dentro del salón, de tal manera de que los
alumnos tuvieran espacio para trabajar en el suelo. Para la primera actividad del día la
maestra dio pequeñas bolsitas a los equipos, estas contenían materiales de fomi que
formaban parte de un pastel de fracciones (ver Figura 7).
Para realizar la explicación de la actividad a los alumnos, la maestra puso
algunas reglas en donde solamente se le daba la participación a quien hubiera
levantado la mano. La actividad consistió en que los alumnos fueran resolviendo
algunos ejercicios, los cuales consistieron en resolver sumas de fracciones. Ellos
estuvieron haciendo las sumas de fracciones con denominadores iguales y diferentes.
Después de que la maestra daba la suma a los alumnos, ellos tenían que rectificar sus
respuestas con el material que tenían. Los alumnos tenían que ir representando cada
una de las sumas en el piso con las figuras de fomi que se les había entregado al inicio
de la clase.
Dentro de los ejercicios que se realizaron estuvieron la suma de un cuarto más
un cuarto, dos sextos más un sexto, tres octavos más un octavo, entre otras. Después
tuvieron que hacer sumas de fracciones con denominadores diferentes como: dos
medios más un cuarto, entre otras. E incluso después, la maestra puso ejercicios que
daban como resultado una fracción mayor al entero, como por ejemplo: dos enteros
78
más tres cuartos. En los casos en los que se presentaron algunas confusiones, la
maestra ayudó a los alumnos a resolver el ejercicio mediante una explicación, la cual
hizo de manera grupal.
La segunda actividad del día consistió en ubicar a los alumnos en medio círculo
sentados en el suelo. Ya ubicados de esta manera la maestra tomó tres figuras de
animales diferentes, un conejo, una rana y un chapulín. Ella les planteó a los alumnos
un problema. En donde los tres animales iban a ir a una fiesta, pero para poder ir tenían
que cruzar un puente que medía dos metros de largo. Y los saltos que estos animales
daban eran de diferentes distancias. El primer animalito en saltar fue un conejo que
daba saltos de un medio de metro. El segundo animalito fue una rana que daba saltos
de un cuarto de metro, y el tercero, un chapulín que daba saltos de un octavo de metro.
Con este problema la muestra pidió a los alumnos que mencionaran cuántos
saltos creían que había dado cada animalito para cruzar el puente, con ello trató de
fomentar en los alumnos la búsqueda de otras alternativas de solución. Más adelante
las respuestas que habían dado los alumnos, tuvieron que ser representadas
gráficamente para corroborar que fueran correctas. Pero para llegar a esa
representación, antes la maestra cuestionó un poco a los alumnos, aquí un pequeño
fragmento del diálogo que mantuvo con los alumnos durante la actividad:
Maestra: Vamos a cruzar el puente, piensen, el conejo (toma el dibujo del conejo).
¿Cuantos saltos va a dar el conejo?
Alumnos: cuatro saltos, tres saltos.
Maestra: ¿Por qué crees que el conejo va a dar cuatro saltos? (le pregunta a un
alumno en específico).
Alumno 1: Porque la mitad es un salto la otra mitad ya son dos saltos, más la otra
mitad son tres saltos más la otra mitad ya son cuatro.
Después de este diálogo que la maestra mantuvo con los alumnos, ella les
preguntó nuevamente “¿Cuantos saltos va a dar el conejo?”, esto para saber cuántos
saltos creían los alumnos que el conejo tenía que haber dado. Lo que hizo fue escuchar
las respuestas y elegir a dos alumnos, a los que les preguntó ¿Por qué? cada uno
decía que eran tantos saltos. Para que la respuesta de cada uno quedara más clara,
79
la maestra le pidió al primer alumno que contestó que explicara por qué el conejo tuvo
que dar cuatro saltos.
Es por ello que la maestra pidió al alumno que representara su respuesta de
manera gráfica. Y para esto le entregó al alumno el dibujo del conejo, mientras que
ella sostuvo dos metros de madera en donde el alumno representó el número de saltos
que había dado el conejo. Esta actividad provocó que el alumno reflexionara qué parte
del metro equivalía a un medio, la cual correspondía con la distancia de cada uno de
los saltos del conejo. Ya teniendo esta información el alumno supo cuántos
centímetros eran equivalentes a cada uno de los saltos del conejo. Y entonces
comenzó a ejemplificar, en los dos metros, cada uno de los saltos que dio el conejo.
Llegando así a la conclusión de que la cantidad de saltos que había mencionado,
desde el inicio de la actividad, si correspondía con la cantidad de saltos que había
representado en los dos metros. El alumno fue representado cada salto del conejo de
50 centímetros en 50 centímetros así hasta llegar a los dos metros, concluyendo que
el total de saltos que el conejo había dado eran cuatro (Ver Figura 30).
Figura 30. Representación del problema planteado en la Sesión 3.1
80
El otro alumno que también había dado su respuesta, la cual había sido tres,
aceptó que su compañero tenía razón en que eran cuatro saltos los que dio el conejo.
Y que no podían ser tres porque un salto era equivalente a un medio, y el medio era
igual a 50 centímetros de un metro.
Este mismo proceso de resolución del problema fue empleado para que los
alumnos pudieran dar respuesta a las siguientes preguntas ¿Cuántos saltos dio la rana
para cruzar el puente? Y ¿Cuántos saltos dio el chapulín para cruzar el puente? Los
alumnos emplearon el mismo procedimiento, que con el conejo, para poder saber
cuántos fueron los saltos que cada uno de los animalitos dio en los dos metros.
La maestra les dio la oportunidad de pasar a comprobar de manera gráfica sus
respuestas a quienes quisieran, pero para poder representar su respuesta era
necesario que los alumnos tuvieran conocimiento de cuántos centímetros eran
equivalentes a cada uno de los saltos. Esto era fundamental, pues al pasar a
representar los saltos el alumno tenía que saber cuánto iba a avanzar, en algunos de
los casos los demás compañeros les decían cuánto debían avanzar o hasta qué
centímetro era correcto avanzar.
El segundo animalito que se representó fue la rana, y para ello los alumnos
tomaron como ejemplo la primera representación. La información que tenían era que
los saltos dados por la rana eran de un cuarto de metro, y por lo tanto llegaron a la
conclusión de que los centímetros equivalentes eran 25. Tomando como base los 25
centímetros uno de los alumnos fue representando con el dibujo y los metros cada uno
de los saltos, hasta llegar a los dos metros. Con ello los alumnos obtuvieron que los
saltos dados por la rana habían sido ocho.
Después se hizo el mismo procedimiento con el chapulín, los datos que se
tenían era que sus saltos habían sido de un octavo de metro. Y entre el grupo sacaron
los centímetros que equivalían a cada uno de los saltos, y luego un alumno pasó a
representarlo gráficamente. De manera grupal pensando que el salto era de la mitad
del de la rana se llegó a la conclusión de que cada salto era de 12.5 centímetros y que
en total el chapulín había dado 16 saltos. A la hora de que el alumno hizo la
81
representación el resto del grupo señalaba hasta dónde debía abarcar cada salto, y al
finalizar la representación se dieron cuenta de que su respuesta había sido acertada.
Para cerrar esta actividad la maestra pasó a los alumnos al pizarrón para que
colocaran los resultados, en donde cada uno anotó el número de saltos en los dos
metros, la equivalencia de cada salto en centímetros y la identificación de cuántos
saltos se daban en fracción. Por ejemplo el conejo: el conejo dio 4 saltos, cada salto
fue de un medio y en centímetros el salto midió 50 cm, esta última información cada
uno de los alumnos la anotó en sus cuadernos (ver Figura 31).
Figura 31. Representación de fracciones en unidades de medida, actividad de la Sesión 3.1
Esta sesión fue ubicada en el Nivel “B”, Resolución de Problemas. Se
consideró dentro de dicho nivel ya que la maestra planteó a los alumnos un problema
pero éste, de acuerdo con los planes y programas, no representó una situación real
que despertara el interés e hiciera reflexionar a los alumnos.
En la segunda categoría, Soluciones Múltiples, la sesión fue ubicada en el
Nivel “B” ya que solo durante la resolución del problema la maestra permitió que los
alumnos fueran quienes encontraran la manera de resolverlo. Como se puede
observar en la descripción anterior, ella no se encargó de promover una búsqueda de
82
alternativas para resolver el problema. Y en la primera actividad los alumnos siguieron
los procedimientos que ella indicó para realizar las sumas y comparaciones.
En la última categoría, Trabajo Colaborativo, esta sesión fue ubicada en el
Nivel “C” ya que como se puede observar en la descripción anterior, durante las
actividades la maestra se encargó de promover en los alumnos el trabajo colaborativo,
permitiendo que los alumnos socializaron en equipo y de manera plenaria sus
conocimientos.
En la última categoría, Cumplimiento con el Plan de Estudios, la sesión fue
ubicada en el Nivel “B”. Esto porque parte de los contenidos vistos en la sesión no iban
de acuerdo con lo que se especifica en los programas y planes de estudio de tercero.
Descripción de la Sesión 3.2
La sexta sesión ejemplificada corresponde a la primera que impartió la Maestra
Rocío. Ésta se ubicó en la categoría de Resolución de Problemas, en el Nivel A. En la
segunda categoría Soluciones Múltiples, fue ubicada en el Nivel A. En la tercera
categoría Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel C, el nivel más alto.
En la cuarta y última categoría Cumplimiento con el Plan de Estudios, la sesión fue
ubicada en el Nivel A (ver Anexo 2).
Como se mencionó anteriormente la maestra Rocío tenía una formación en la
Normal básica y una Lic. en Historia. Contaba con 29 años de servicio docente.
Laboraba en la escuela primaria República de Brasil. Atendía a un grupo de 30
alumnos.
Esta segunda sesión la maestra Rocío la inició con la revisión del trabajo que
dejó de tarea en la sesión anterior. En esta ocasión los alumnos estuvieron cada uno
sentados en sus bancas, el tema que se abordó en la sesión fue el de “Fracciones
equivalentes”. Para poder revisar la tarea la maestra pidió a los alumnos que le fueran
dictando los ejercicios que había dejado. Conforme los alumnos le iban dictando cada
83
uno de los ejercicios la maestra los iba resolviendo, esto con ayuda de los mismos
alumnos.
Con el primer ejercicio que se dictó, la maestra explicó al grupo cuáles eran
los requisitos necesarios para fraccionar un entero, y para ello puso algunos ejemplos
de fracciones equivalentes, las cuales estaban representadas con pasteles. La
maestra se encargó de recalcar a los alumnos lo que indicaba el denominador y el
numerador, y haciéndoles ver a los alumnos que un entero se puede fraccionar en
cuantas veces queramos, siempre y cuando los pedazos sean iguales.
Después la maestra resolvió en el pizarrón ejercicios como: un entero es igual
a la fracción siete séptimos. En los ejercicios como: un entero es igual a una fracción
con denominador doce, los alumnos tenían que buscar un número para el numerador
de la fracción. La única condición que éste debía de cumplir era que al fraccionar la
figura todos los pedazos fueran iguales y que completaran el entero.
Esta actividad de encontrar el numerador fue desarrollada de manera plenaria,
ya que la maestra pedía la intervención de los alumnos para resolver cada uno de los
ejercicios y ella anotaba las respuestas en el pizarrón (ver Figura 32). De esta manera
los alumnos que no resolvieron la tarea porque tuvieron dudas para resolverla vieron
la explicación y la forma en que había que resolver cada ejercicio. La maestra en cada
uno de los ejercicios fue dando las razones de por qué los alumnos estaban o no bien
en sus respuestas, y de esta manera revisaron y abordaron el tema de comparación
de fracciones.
84
Figura 32. Equivalencia de fracciones, actividad de la Sesión 3.2
En una segunda actividad los alumnos tuvieron que resolver una serie de
ejercicios que venían en la copia que la maestra les había entregado, estos ejercicios
eran muy similares a los que ya habían realizado. Para dar las instrucciones de la
actividad la maestra dibujó en el pizarrón una figura similar a la que venía en el primer
ejercicio de la copia. La maestra dio a los alumnos la siguiente indicación.
Maestra: Chicos, lo que tenemos que hacer en la copia es sumar cada uno de los
enteros. Estos enteros están fraccionados en octavos, tenemos 5 enteros
¿cuánto es en total? Deben de contar todos los octavos iluminados de cada
una de las figuras. Se forman dieciséis octavos, chicos ¿Cuántos enteros se
forman?
Alumnos: Dos.
En el segundo ejercicio de la copia la maestra dio algunas indicaciones a los
alumnos, pues les dijo cuántas partes de cada figura tenían que estar coloreadas, ya
que por cuestiones del material que había sido fotocopiado (ver Figura 33), en este
ejercicio no era posible identificar la cantidad de fracciones iluminadas. La actividad de
resolver la copia se llevó a cabo de manera individual, pero en los casos en los que
los alumnos presentaron dudas la maestra acudía a sus lugares a resolverlas.
85
Figura 33. Copia de la actividad resuelta en la Sesión 3.2
Conforme los alumnos iban terminando de realizar las actividades de la copia
la maestra les fue pidiendo que dejaran sus cuadernos en el escritorio, para que ella
los revisara bien. Dentro del salón también hubo un alumno que se ofreció a ayudarle
a sus compañeros a resolver la copia, él les explicaba mientras la maestra atendía a
los demás alumnos. La maestra también observó en una ocasión la explicación que
este alumno le dio a uno de sus compañeros. Con esta actividad de la copia la maestra
Rocío dio por terminada la segunda de las sesiones en la que se puede ver de qué
manera aborda ella el tema de fracciones en un grupo de tercer grado.
La sesión se ubicó en la categoría, Resolución de Problemas, en el Nivel A.
Porque durante el desarrollo de las actividades que la maestra planteó al grupo no se
resolvió ningún problema, pero sí varios ejercicios.
En la segunda categoría, Soluciones Múltiples, fue ubicada en el Nivel, ya que
durante las actividades desarrolladas la maestra no promovió que los alumnos
86
encontraran otra solución a los ejercicios, pues se encargó de promover la forma de
solución que ella ya conocía de antemano.
En la tercera categoría, Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel
C, ya que durante las actividades los alumnos trabajaron de manera plenaria
compartiendo sus conocimientos con el grupo. Y en la última actividad, permitió a uno
de los alumnos trabajar de manera colaborativa en la resolución de ejercicios de la
copia.
En la última, categoría Cumplimiento con el Plan de Estudios, la sesión fue
ubicada en el Nivel A, porque los contenidos abordados durante la sesión no
correspondieron con los que indican los planes y programas de estudios de tercero.
Pero estos sí han sido ubicados en los planes y programas de otros grados.
Descripción de la Sesión 4.1
La séptima sesión ejemplificada corresponde a la que impartió la Maestra
Vania. Ésta se ubicó en la categoría de Resolución de Problemas, en el Nivel A. En la
segunda categoría, Soluciones Múltiples, fue ubicada en el Nivel A. En la tercera
categoría, Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel A, el nivel más bajo.
En la cuarta y última categoría Cumplimiento con el Plan de Estudios, la sesión fue
ubicada en el Nivel C (ver Anexo 2).
La maestra Vania tenía una formación en de licenciada en Educación Primaria.
Contaba con 10 años de servicio docente. Laboraba en la escuela primaria República
de Brasil. Atendía a un grupo de 30 alumnos.
En la sesión de la maestra Vania los alumnos estuvieron sentados cada uno
en sus lugares correspondientes. Para dar inicio al trabajo del día la maestra dictó a
los alumnos una serie de multiplicaciones que cada uno anotó en sus cuadernos. La
maestra pidió a los alumnos que se pusieran a contestar cada uno de los ejercicios,
para ello solamente tenían que utilizar cálculo mental. Después de que dio algunos
minutos para que los alumnos contestaran las multiplicaciones les dictó una serie de
87
sumas. Para el tercer ejercicio de dictado la maestra puso a los alumnos ciertas
cantidades de números, en donde ellos tenían que escribir la cantidad dictada con
letra.
Después del dictado la maestra escribió en el pizarrón información, y mientras
ella escribía los alumnos terminaban de contestar las actividades que les había
dictado. El nuevo tema que se abordó fue “Conozco la fracciones”. En el pizarrón la
maestra anotó información sobre el tema, ésta la copió de un libro de texto para el
maestro. Dentro de la información que anotó en el pizarrón, ella dibujó también tres
ejemplos de fracciones, un medio, un cuarto y un octavo (ver Figura 34).
Figura 34. Información de fracciones, proporcionada a los alumnos en la Sesión 4.1
Mientras que los alumnos estuvieron copiando lo que estaba en el pizarrón la
maestra aprovechó para copiarlo también. Cuando terminó de copiarlo dio indicaciones
a los alumnos de que entregaran la hoja con el dictado de las operaciones. Mientras
que los alumnos estuvieron copiando la información y los ejemplos, la maestra los
estuvo observando para que cada uno estuviera haciendo su trabajo.
88
Luego de un tiempo la maestra comenzó a repartir, solamente a los alumnos
que ya habían terminado de copiar la información del pizarrón, una copia que tenían
que contestar. Ante cualquier otra actividad, como por ejemplo platicar o ponerse de
pie la maestra llamaba la atención a los alumnos para que estos estuvieran en sus
lugares y guardaran silencio. Después de que esperó un tiempo a que todos terminaran
de copiar terminó de entregar las copias y les pidió a los alumnos que las contestaran
así como lo habían visto en la información que copiaron. La indicación que dio fue la
siguiente.
Maestra: En el ejercicio que están tomando después de lo del pizarrón van a
colocar la fracción correspondiente de cada figura.
Después de esta explicación los alumnos tuvieron que contestar la copia que
ella les había entregado, los alumnos que presentaron algunas dudas para comenzar
a contestar la copia se acercaron con otros compañeros para que les explicaran. En
algunos de los casos la maestra les llamó la atención a los alumnos por estar
platicando fuera de su lugar, sin tomar en cuenta de que estaban resolviendo sus
dudas sobre el trabajo. Después de unos minutos comenzó a revisar el trabajo, para
esto los alumnos debían de llevar la copia pegada en sus cuadernos (ver Figura 35).
Figura 35. Copia de la actividad realizada en la Sesión 4.1
89
Para la última actividad que realizó la maestra con el grupo fue necesario que
una alumna le ayudara a repartir a cada uno de sus compañeros cuatro hojas blancas,
para el desarrollo de la actividad mantuvo el siguiente diálogo con los alumnos:
Maestra: ¿Esto que tengo aquí qué es?
Alumnos: Un cuadrado, un rectángulo.
Maestra: Un rectángulo, ¿Cuántos?
Alumno 1: uno entero.
Maestra: Un entero, y si nosotros lo partimos por la mitad e iluminamos una parte,
¿Qué fracción sería?
Alumnos: Un medio
Maestra: Anotan la fracción. (Mostro la hoja que representaba un medio con la
fracción ya anotada y les preguntó) ¿Está bien escrito?
Alumnos: Sí.
Maestra: Pero qué creen y si la dividimos en cuatro partes ¿Qué fracción sería?
Alumnos: un cuarto.
Maestra: si la dividimos en cuatro partes y tenemos dos partes iluminadas ¿Qué
fracción sería?
Alumnos: dos cuartos.
La maestra indicó a los alumnos que tenían que tener cada uno cuatro hojas:
una para representar el entero, otra para un medio, otra para un cuarto y la otra para
un octavo. Cada una de estas representaciones tenía que estar iluminada, solamente
una parte de la fracción la cual tenía que estar escrita en la parte iluminada (ver Figura
9). Después los alumnos tuvieron que pegar cada una de las hojas en sus cuadernos.
Con esta última actividad se dio por terminada la sesión de la maestra Vania.
Ésta se ubicó en la categoría, Resolución de Problemas, en el Nivel A. Pues
durante las actividades realizadas en la sesión, la maestra no planteó a los alumnos
ningún problema que estuviera relacionado con lo que dicen los planes y programas
de tercero. Pues solo se resolvieron algunos ejercicios.
En la segunda categoría, Soluciones Múltiples, fue ubicada en el Nivel A, ya
que al desarrollar las actividades la maestra permitió a los alumnos una sola manera
de resolver las actividades, la cual ella les había ilustrado en el pizarrón.
90
En la tercera categoría, Trabajo Colaborativo, la sesión fue ubicada en el Nivel
A, porque durante el trabajo realizado en las actividades la maestra no permitió que
los alumnos trabajaran en grupos pequeños, y tampoco promovió la socialización de
conocimientos de manera plenaria.
En la cuarta categoría, Cumplimiento con el Plan de Estudios, la sesión fue
ubicada en el Nivel C, ya que los contenidos abordados durante la sesión sí
corresponden a los que marcan los planes y programas de tercero: “Uso de fracciones
del tipo m/2n (medios, cuartos, octavos, etc.) para expresar oralmente y por escrito el
resultado de repartos” (SEP, 2011: 75).
91
Conclusiones
Para llegar a las conclusiones de esta investigación es necesario recordar que
se tomó como base fundamental el problema del bajo desempeño de los alumnos
mexicanos en el área matemática. Tomando como principal objetivo de investigación
la enseñanza, supuesto pedagógico que contribuye a la mejora de la situación descrita
anteriormente. Pues sólo para recordarle al lector, como ya se ha mencionado
anteriormente que algunas investigaciones que, la enseñanza suele ser un factor de
influencia en el aprendizaje de los contenidos. Pero, para contribuir a la mejora de esta
enseñanza fue necesario conocer cómo es que se lleva a cabo ésta dentro de las aulas
de tercer grado de escuelas primarias públicas de la ciudad de México.
De las siete sesiones que se analizaron tomando como base la matriz de
valoración, que estuvo basada en el diseño de Martínez Rizo (2014) y el enfoque
didáctico del plan de estudios (SEP, 2011), fue posible llegar a las siguientes
conclusiones.
En las diferentes sesiones los maestros tienen fortalezas y debilidades, de
acuerdo con lo que se marca en los planes y programas emitidos por la SEP. Una de
las fortalezas se encuentra ubicada en la tercera categoría, el trabajo colaborativo y
socialización de razonamientos, tomando en cuenta los tres niveles de valoración es
posible ubicar que la mayoría de las sesiones se registraron en el nivel C (ver Figura
3). Dicho nivel registra las sesiones en las que se promueve que los alumnos colaboren
entre ellos para resolver los problemas y/o ejercicios ya sea en grupos pequeños o en
conversación plenaria, permitiendo así que se socialicen sus razonamientos y
soluciones.
De la misma manera fue posible encontrar algunas debilidades. Una de ellas
se ubicó dentro de las la primera categoría, resolución de problemas. Dicha categoría
registra la resolución o no de problemas. Esto es lo que se espera, según datos
92
extraídos del enfoque didáctico de matemáticas, pero según las sesiones analizadas
cinco de siete sesiones se encuentra ubicadas en el nivel A (ver Figura 1). Este nivel
alberga todas las sesiones en las que los maestros no plantearon un problema a ser
resuelto. Por lo anterior, es por lo es considerado que los maestros presentan una
debilidad en el planteamiento de problemas en la materia de matemáticas.
La segunda categoría también muestra algunas debilidades dentro del trabajo
que se realiza en las sesiones, ya que en ella se registraron las soluciones múltiples.
Y de acuerdo con el análisis realizado seis de siete sesiones se ubican en el nivel que
indica que predomina solo una forma de solución a los problemas y/o ejercicios, el
nivel A (ver Figura 2). Siendo los mismos maestros quienes nieguen a los alumnos la
oportunidad de encontrar múltiples formas de solución a los problemas y/o ejercicios
planteados.
La cuarta categoría se encuentra un tanto más equilibrada, pues en dos de
sus niveles se ubican tres sesiones, para cada uno, y en uno solamente una sesión
(ver Figura 4). Lo cual demuestra que el cumplimiento con los contenidos del programa
también es otra de las debilidades dentro de las sesiones analizadas. Ya que
solamente en una sesión se ven contenidos específicamente de tercer grado, mientras
que en las demás sesiones se abordan contenidos de otros grados.
Con el análisis de estas sesiones se ha podido ver qué tanto de las propuestas,
que han sido planteadas en los planes y programas de matemáticas, concuerdan con
lo que se lleva a cabo dentro de los salones de clase de tercer grado.
También es posible ahora dar solución a las preguntas que se plantearon al
inicio de esta investigación. Como el lector recordará la primera pregunta fue ¿Qué
tanto se utiliza la resolución de problemas en la enseñanza de las fracciones en tercero
de primaria? La respuesta a esta pregunta sería: muy poca, pues solo dos de siete
sesiones plantean un problema y solamente una de esas dos cumple con las
características necesarias planteadas por la SEP.
93
La segunda pregunta que me planteé fue ¿Qué tanto se promueve el que los
alumnos encuentren diferentes formas de resolver los problemas o ejercicios que los
docentes les presentan, cuando se enseñan fracciones en tercero de primaria? Y como
ya se demostró, los resultados obtenidos respecto a este tema marcan que es una
debilidad, ya que el maestro no promueve dichas actividades entre los alumnos. Aun
cuando llegan a presentarse al momento en el que los alumnos resuelven las
actividades propuestas. Lo cual podría ser aprovechado por los maestros.
Con lo que respecta a la pregunta ¿Qué tanto se promueve el que los alumnos
colaboren entre ellos al resolver los problemas o ejercicios durante la enseñanza de
las fracciones en tercero de primaria, y que además socialicen sus razonamientos y
soluciones? Se puede concluir que la mayoría de los maestros en cada una de sus
sesiones promueven que los alumnos colaboren entre ellos a la hora de realizar las
actividades.
La última pregunta fue ¿Hasta dónde los contenidos que se abordan en la
enseñanza de las fracciones en tercero de primaria son los que especifica el programa
de estudios? Como el lector recordará, solamente una sesión aborda temas
exclusivamente de tercer grado, mientras que en las demás sesiones se abordan
temas tanto de tercer grado como de otros grados. Esto puede deberse a múltiples
casas, como por ejemplo que los maestros abordan temas que se deberían de ver en
otros grados, pero los abordan porque son temas sencillos y se encuentran dentro de
los temas que se deberían de aprender en nivel primaria.
Como ya se vio las sesiones suelen variar dependiendo del criterio de cada
uno de los maestros en turno, aunque es posible ver que la mayoría de ellos llevan a
cabo a diferentes escalas las propuestas que la SEP realiza dentro de los planes y
programas de estudio. Si bien no todas las sesiones cumplen con las especificaciones
dadas dentro de los planes y programas, pero sí realizan dentro de ellas actividades
que pueden sustituir esas especificaciones. Sin embargo con ello no se está
permitiendo que los aprendizajes esperados por la SEP sean los especificados en
dichos planes, pues las actividades realizadas no siempre concuerdan con las
94
propuestas realizadas, ya que depende del criterio de cada maestro y del contexto del
alumno.
95
Referencias
Cortina J. (2007). El aprendizaje de las matemáticas en Iberoamérica según lo
informado en el documento PISA 2006, Science Competencies for Tomorrow´s
World. Educación Matemática, vol. 19, núm. 3, 115-122.
Cortina J. (2012). El valor educativo y factibilidad de la educación de la calidad de la
enseñanza matemática en la educación primaria mexicana. Manuscrito no
publicado. Universidad Pedagógica Nacional. México.
Cortina, J., Cardoso, E. y Zúñiga, C. (2012). El significado cuantitativo de las fracciones
para estudiantes mexicanos de 6° de primaria. Revista electrónica de
investigación educativa, 14(1), 70-85.
Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación. (2013). México en PISA 2012.
1a edición. México: INEE.
Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación. (2015). Plan Nacional para la
Evaluación de los Aprendizajes (Planea). Resultados nacionales 2015, 6° de
primaria y 3° de secundaria, lenguaje y comunicación, y matemáticas.
Retrieved from México, D.F.: http://www.inee.edu.mx/index.php/resultados-
nacioales-2015.
Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación. (2015). Planea 2015, 6° de
primaria. Resultados de logro en matemáticas. México, D.F.
Llinares, S. & Sánchez, M. (1997).Creencia sobre las fracciones. En Matemáticas:
Cultura y aprendizaje. Fracciones, la relación parte-todo. (pp. 17-34). Madrid:
España. Síntesis.
Martínez, F. (2014). El estudio de las prácticas docentes. En: Acercamientos empíricos
de evaluación en el aula en la Educación Básica. (pp. 17-71). México.
Universidad Autónoma de Aguascalientes.
96
Perera, P. y Valdemoros, M. (2009). Enseñanza experimental de las fracciones en
cuarto grado. Educación matemática, 21(1), 29-61.
Secretaría de Educación Pública. (2011a). Educación primaria básica, Tercer grado.
En Programas de estudio 2011, guía para el maestro. Pp. 58-76.
Secretaría de Educación Pública. (2011b). Educación primaria básica, Cuarto grado.
En Programas de estudio 2011, guía para el maestro. Pp. 57-78.
Secretaría de Educación Pública. (2011c). Educación primaria básica, Quinto grado.
En Programas de estudio 2011, guía para el maestro. Pp. 59-80.
Secretaría de Educación Pública. (2011d). Educación primaria básica, Sexto grado. En
Programas de estudio 2011, guía para el maestro. Pp. 59-79.
Van Steenbrugge H, Remillard J, Verschaffel L. y Desoete A. (2015). Teaching
fractions in elementary school. The Elementary School Journal, vol.116, núm.1
Anexos
Anexo 1. Categorías de análisis
Categorías Niveles
Resolución de problemas A. No hay problema a ser resuelto.
B. Hay un problema pero no representa una situación real que les despierte
interés y les resulte retador a los alumnos por lo cual no los invita a
reflexionar.
C. Hay un problema basado en una situación real que le despierta el interés y
le resulta retador a los alumnos. Los invita a reflexionar.
Soluciones múltiples A. Sólo se permite una forma de solución a los problemas y/o ejercicios, la cual
se conoce de antemano.
B. Se aceptan diferentes formas de solución de los problemas y/o ejercicios,
pero no se promueve el que los alumnos las encuentren.
C. Se promueve que los estudiantes encuentren múltiples formas de resolver
los problemas y/o ejercicios.
Trabajo colaborativo A. No se promueve ni se acepta que los alumnos colaboren entre ellos para
resolver problemas y/o ejercicios ni que socialicen sus razonamientos.
B. Se acepta que los alumnos colaboren entre ellos para resolver problemas
y/o ejercicios, pero no que socialicen sus razonamientos.
C. Se promueve que los alumnos colaboren entre ellos para resolver
problemas y/o ejercicios, ya sea en grupos pequeños o en plenaria, y que
socialicen sus razonamientos.
Cumplimiento con el plan de estudios
A. El contenido de fracciones que se toca no está incluido en el programa de
estudios de la SEP.
B. Sólo parte del contenido de fracciones que se toca está incluido en el
programa de estudios de tercer grado de primaria.
C. La totalidad del contenido de fracciones que se toca está incluido en el
programa de estudios para tercero de primaria.
Anexo 2. Ubicación de las sesiones en cada uno de los niveles de análisis
No. de sesión
Maestro Escuela Resolución de problemas
Soluciones múltiples
Trabajo colaborativo
Cumplimiento con el plan de estudios
Material concreto
1.1 Manuel República de Brasil
Nivel A Nivel A Nivel C Nivel A Si
1.2 Nivel A Nivel B Nivel B Nivel B Si
2.1 Fabián Vicente Guerrero
Nivel A Nivel A Nivel C Nivel A Si
2.2 Nivel C Nivel A Nivel C Nivel B Si
3.1 Rocío República de Brasil
Nivel B Nivel B Nivel C Nivel B Si
3.2 Nivel A Nivel A Nivel C Nivel A No
4.1 Vania República de Brasil
Nivel A Nivel A Nivel A Nivel C Si