jorge acuña un enfoque integral y estadístico

Primera ediciónEditorial Tecnológica de Costa Rica, 1986

Segunda ediciónEditorial Tecnológica de Costa Rica, 1996

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Control de Calidad: un enfoque integral y estadístico / Jorge Acuña Acuña. — 2 ed. — Cartago: Editorial Tecnológica de Costa Rica, 1996.

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© EDITORIAL TECNOLOGICA DE COSTA RICA Instituto Tecnológico de Costa Rica Apartado Postal 159-7050, Cartago •S (506) 551 -5333 Fax (506) 552-5354 ISBN 9977-66-076-X (ISBN 9977-66-010-7 Primera edición)Hecho el depósito de ley Impreso en Costa Rica

ISBN 9977-66-076-X

1. Control de Calidad. I. Título

CONTENIDO

P resentación 9

C A P IT U L O I. C onceptos y definiciones 11Definición de control de calidad, 14El sistema de control de calidad, 20Beneficios del sistema de control de calidad, 31Factores que controlan la calidad, 32Responsabilidad de calidad, 35La calidad en sistemas modernos de manufactura,37Resumen, 38Preguntas de repaso, 40Problemas, 40

C A P IT U L O II. E stadística elemental 43Análisis de datos, 44Concepto de probabilidad, 55Pruebas de hipótesis, 81Bondad de ajuste, 100Análisis de varianza, 108Muestreo estadístico, 128Resumen, 141Preguntas de repaso, 141Problemas, 142

CONTROL DE CALIDAD

C A P IT U L O III. In g en ier ía d e ca lid a d 159Características de calidad, 160Normalización, 172Metrología, 179Especificaciones, 180Método de Taguchi, 194Diseño para la manufactura, 201Conceptos de efectividad de sistemas, 206Resumen, 215Preguntas de repaso, 215Problemas, 216

CAPITULO IV. G r á f i c o s d e c o n t r o l p a r a v a r ia b l e s 2 2 3Definición de gráfico de control, 223Etapas de un gráfico de control, 224Causas de variación, 225Gráficos de control para variables, 228Gráfico de promedios e intervalos, 232Utilización del gráfico x, R para ajustar un proceso, 254Gráfico de promedios y desviación estándar, 282Gráfico de medianas e intervalos, 301Gráfico de sumas acumuladas, 319Aplicaciones de series de tiempo, 368Resumen, 382Preguntas de repaso, 383Problemas, 384

CAPITULO V. G r á f i c o s d e c o n t r o l p a r a a t r i b u t o s 397Defectuosos vrs disconformes, 400Gráfico para fracción defectuosa o disconforme, 405Gráfico para número de defectuosos, 419Gráfico para defectos por unidad, 435Gráfico para deméritos, 455Resumen, 461Preguntas de repaso, 462Problemas, 463

JORGE ACUÑAACUÑA

CAPITULO VI. M u e s t r e o d e a c e p t a c ió n

Manual de inspección, 477Definición de muestreo de aceptación, 479Muestreo de aceptación para atributos, 480

Planes simples de muestreo 481 Planes dobles de muestreo 503 Planes múltiples de muestreo 506

Planes de muestreo para variables, 551 Norma ISO 3951,556 Resumen, 590 Preguntas de repaso, 591 Problemas, 592

CAPITULO VIL A s p e c t o s g e n e r a l e s

DE LA ADMINISTRACIÓN DE LA CALIDAD

Organización de la función calidad, 610Funciones del gerente de calidad, 613Prevención de producto fuera de especificaciones, 615Coordinación y control, 617Economía de la calidad, 618Indicadores de calidad, 633Organización de la inspección, 639Diseño de un sistema de control de calidad, 649: Resumen, 653 Preguntas de repaso, 654 Problemas, 655

APENDICESAPENDICE I. T a b l a s d e d i s t r ib u c ió n d e p r o b a b il id a d

APENDICE II. D e m o s t r a c ió n d e o b t e n c ió n d e f ó r m u l a s

PARA EL CÁLCULO DE LOS LÍMITES DE CONTROL

APENDICE III. F l u j o g r a m a s p a r a g r á f ic o s d e c o n t r o l

475

609

669

691

702

APENDICE IV. P e c u l ia r i d a d e s 713

del éxito está en darle al consumidor los productos necesarios para satisfacer sus requerimientos y lograr así una excelente calificación por parte de éste, la que se reflejará en un incremento de ventas. Durante el desarrollo del texto se irán analizando diversos temas de organización de calidad y de aplicaciones estadísticas, cada capítulo con ejemplos y abundantes problemas para ser resueltos por el lector.

Agradezco a todas aquellas personas que con su ayuda e impulso me dieron su apoyo para transmitir mis conocimientos en este tema.

Jorge Acuña A.Cartago, Costa Rica

Capítulo I

CONCEPTOS Y DEFINICIONES

uando se oye hablar de Control de Calidad se cree que este es un concepto nuevo. Sin embargo, Control de Calidad es un medio que las personas han utilizado desde épocas prehistóricas, con el fin de decidir entre lo que es bueno y lo que es malo, de acuerdo con la utilización que se le vaya a dar al bien, servicio o actividad. Esto lo ha hecho y lo hace el ser humano con el fin de mejorar cada día más su calidad de vida.

El hombre primitivo conocía cuando una fruta era buena o mala de acuerdo con las características fijadas por él mismo. También, al fabricar sus utensilios de caza y posteriormente de agricultura, se efectuaban controles con el fin de garantizar que éstos no fallarían al utilizarlos. Estos fueron los inicios de lo que actualmente se conoce como demanda de calidad.

Durante la conquista y colonización de América, el nivel de calidad del armamento y de los navios jugó un papel muy importante en el éxito de los planes trazados por conquistadores y demás personajes de la época. Además, un aspecto de gran relevancia en ese período fueron los medios usados para conservar alimentos durante los largos viajes, no solo a América sino también al resto del mundo. Tampoco hay que olvidar que los vikingos, años atrás, habían experimentado viajes de esta

12 CONTROL DE CALIDAD

naturaleza, para lo cual debieron contar con medios de transporte y de conservación de alimentos que les permitieran los largos desplazamientos.

En el siglo XVIII, con el desarrollo de la Revolución Industrial y a través de invenciones como la máquina de vapor, la industria sufrió un cambio importante en su nivel de productividad y muchas empresas pasaron de un nivel de organización familiar a una administración que se preocupaba más por el desarrollo del mercado por medio de la entrega de un producto de mayor calidad.

El sistema de producción cambió de un modelo artesanal a uno en serie o en línea que obligó a estructurar mejor las operaciones de producción, poniéndole mayor atención a los problemas de eficiencia y de variabilidad en las características de los productos fabricados, problemas que en el sistema artesanal no eran prioritarios pues en la elaboración de cada unidad del producto participaba solo una persona.

Como consecuencia del cambio en el sistema de producción, se desarrolla la división del trabajo, fenómeno que es sumamente importante para el concepto de calidad de proceso, pues el obrero se especializa en un sector de la producción lo que permite una mejor crítica y visualización de los problemas propios de su área de trabajo.

Cabe mencionar el aporte que ofreció a finales del siglo XVIII y principios del XIX el llamado "Padre de la administración científica”, F. W. Taylor, quien con sus teorías impulsó la organización de la producción. Esta reorganización con carácter científico ayudó a poner mayor atención a la calidad del producto.

En la segunda mitad del siglo XIX, con las primeras explotaciones petrolíferas y más tarde con el desarrollo de la tecnología petroquímica, la industria tomó un gran auge, pues ya se podía producir en una forma más eficiente con materias primas de un nivel tecnológico más avanzado. Esto permitió a su vez que las empresas aumentaran considerablemente el nivel de producción, con lo que el problema de calidad se agudizó. Poco a poco se fueron desarrollando métodos de inspección para verificar la calidad del producto final. Estos métodos son los precursores de la tecnología de calidad empleada por las empresas hoy en día.

Conforme pasaron los años, las personas se preocuparon más por aumentar el nivel de calidad de todo aquello que consumían o utilizaban. Sin embargo,

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no todo fue para bien de la humanidad pues mucha de esta tecnología fue usada para la fabricación de material bélico. Es así como con el transcurso de la Primera Guerra Mundial (1914-1918) no solo se emplea la citada tecnología sino que ésta es mejorada radicalmente. Obligadas por las circunstancias, las industrias de la época producen armamento más perfeccionado. Aquí no solo es importante la cantidad producida sino también la minimización de la probabilidad de falla.

Hasta esta época, el hombre actuó con instinto para conocer sobre el éxito del producto que fabricaba, pues todavía no ideaba ningún medio que le permitiera cuantificar la eficacia de sus programas.

En 1931, Walter Schewart introduce conceptos estadísticos en la inspección de procesos a través de los llamados gráficos de control o cartas de control. La aplicación de estos conceptos permitirá luego el desarrollo de lo hoy conocido como control estadístico de procesos.

Durante la Segunda Guerra Mundial (1939-1944), la tecnología del control de calidad alcanzó un mayor auge debido a las exigencias de calidad del armamento requerido, el cual era radicalmente superior al usado en !a Primera Guerra Mundial. Para lograr esos niveles de calidad, las empresas metalmecánicas, alimentarias y farmacéuticas, entre otras, establecen departamentos de control de calidad con profesionales altamente calificados, dedicados al diseño de un producto capaz de hacer frente a las exigencias del momento. Esto permite el desarrollo de la investigación en este campo que genera entre otras cosas: normas de muestreo conocidas como Normas Militares Estándar y técnicas de contabilidad para la investigación de la probabilidad de falla del producto.

Finalizada la Segunda Guerra Mundial, las industrias, aprovechando y perfeccionando los modelos generados durante el conflicto bélico, desarrollan una tecnología más eficiente. A inicios de la década de 1950-1960, grandes estudiosos de la calidad como Edward Deming y J.M. Juran comparten sus conocimientos fuera de los Estados Unidos. Es así como Japón, deseoso de salir del desastre causado por la guerra, contrata los servicios de estos dos importantes personajes. Los conocimientos impartidos por ellos, sumados al gran interés mostrado por los japoneses para aprender y mejorar sus sistemas de calidad, dio paso al Japón industrializado que se tiene hoy en día. La importancia que los japoneses dan a la calidad de los productos industriales así como el nivel de motivación y conciencia de sus trabajadores han permitido este gran desarrollo.


En la actualidad, con los sistemas de producción automatizados, con la aplicación de los robots industriales a la producción y con el desarrollo de la tecnología de visión de máquina, la inspección 100% es eficiente, con lo que se reduce considerablemente la cantidad dé producto defectuoso que sale al mercado.

En Costa Rica, se hacen grandes esfuerzos por desarrollar la calidad de los productos fabricados, aspecto en el cual muchas empresas han tenido éxito. Sin embargo, la conciencia de calidad necesaria para producir más y mejor aún no ha sido correctamente comprendida por el trabajador. Por otro lado, no hay claridad en las políticas gubernamentales y empresariales, por lo que es difícil establecer el camino por seguir.

En la actualidad muchas empresas nacionales requieren de un proceso de reconversión en tres planos: adm inistrativo, tecnológ ico y mental. La reconversión mental permitirá cambiar nuestra forma de pensar y preparará el camino para los cambios tecnológicos y administrativos que se requieren.

Por otro lado, se debe apoyar el Sistema Nacional de Metrología, Normalización y Control de Calidad el cual pretende ordenar todo lo referente a esta materia tan importante.

Es de esperar que se reúnan los esfuerzos dispersos para que el país supere los problemas que no le permiten exportar productos competitivos a mercados internacionales.

DEFINICION DEL CONTROL DE CALIDAD

Para definir mejor este concepto es importante analizar por separado los conceptos de control y calidad.

Control

Al intentar definir este término, generalmente se hace mención de una serie de sinónimos, tales como verificación, comparación, registro, comprobación y confrontación. Algunas definiciones comunes son:

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a. Control es el acto de verificar que algún material cumple con un patrón previamente establecido con el fin de corregir cualquier desviación.

b. Control es un conjunto de actividades que se realizan con el fin de cerciorarse de que un determinado proceso o tarea se está llevando a cabo de acuerdo con los planes establecidos.

Desde el punto de vista de los procesos de fabricación, control se puede definir como:

El conjunto de actividades que se realizan sobre un proceso o producto con e l fin de verificar que éste se encuentra dentro de los límites fijados por un patrón previamente establecido.

Al observar esta definición, se puede notar que se habla de límites de control. La razón es muy simple: para hablar de control necesariamente se debe hablar de límites, pues éstos son los que marcan el intervalo de comportamiento del producto o proceso. En el plano del control de calidad estos límites de control se llaman normas o especificaciones.

La existencia de límites de control es primordial, pues es imposible conocer si un proceso o producto se está desempeñando correctamente si no se tiene un patrón de comparación. En otras palabras debemos determinar qué es lo que se considera como bueno o deseable para saber qué es lo contrario.

El control se identifica a través de un ciclo. La Figura 1 muestra la representación de las actividades que componen este ciclo.

En la Figura 1 se puede notar que, para la ejecución de un adecuado control, se deben recolectar datos, analizarlos por métodos científicos, compararlos con el patrón y obtener conclusiones y recomendaciones haciendo uso no solo de los datos suministrados sino también de la experiencia generada por quien toma las decisiones. Estas decisiones se revisarán constantemente con el fin de verificar su acierto y tomar en cuenta los cambios dinámicos a que están sometidos los procesos. Por ello, el control se convierte en un ciclo.

Calidad

Al tratar de definir calidad se debe tener presente que la calidad es un grado y por lo tanto, la expresión popular que dice “este producto es de calidad”, es imprecisa, pues el término “calidad”, en sí mismo, no es sinónimo de bueno.


FIGURA 1.1. Representación esquemática del ciclo de control

Calidad es adecuación al uso (Juran, 1951). Esto significa que calidad se define en términos del uso dado al producto y del nivel de satisfacción logrado. A raíz de este cambio radical en el concepto de calidad, es necesario definir el término desde dos ángulos: el del productor y el del consumidor. Es así como nacen los conceptos de calidad absoluta o de concordancia y calidad relativa o de diseño.

Calidad absoluta es el grado en que un proceso es capaz de reproducir un diseño, es decir existe una concordancia entre el producto y su diseño. Esta es una definición del productor y es válida durante el proceso de fabricación de un producto.

Calidad relativa es el grado en que un producto cumple con el fin para el cual fue creado. En otras palabras, la medida en que satisface las necesidades o requerimientos del consumidor o cliente. Esta es la definición del consumidor y es la de más importancia, pues todo esfuerzo que conlleve a mejorar la calidad relativa se reflejará en el volumen de ventas.

Las necesidades del consumidor se plasman en el diseño; por lo que podemos afirmar que si existe calidad relativa es porque hubo calidad absoluta. Lo contrario no siempre es cierto.

JORGE ACUÑA ACUÑA 17

Dos conceptos importantes en calidad relativa son disponibilidad y servicio. Disponibilidad es la acción mediante la cual el cliente utiliza el producto y éste cumple con la función requerida. Servicio es el conjunto de beneficios que se le otorgan al cliente con el fin de garantizar un adecuado funcionamiento del producto durante el período de garantía.

Control de calidad

Definidos los anteriores términos es necesario presentar las diversas formas que el control de calidad ha tomado en el pasado, en las que se aprecia la evolución que se ha tenido en esta materia. La Figura 1.2 muestra la pirámide del control de calidad que representa este avance.

El primer nivel es la concepción más primitiva de control de calidad y viene dada por la inspección final de producto. Esta actividad es la acción mediante la cual se revisan las unidades producidas para evitar que producto defectuoso


salga al mercado. Esta acción es totalmente correctiva y su aporte a la mejora de la calidad es ínfimo pues la mayor parte del tiempo se dedica a separar producto bueno de malo.

El segundo nivel lo constituye la inspección de proceso, que es la acción mediante la cual un sistema de inspección organizado detecta los problemas de calidad en el lugar donde ocurren, controlando a través de las líneas de producción. Este control es más preventivo que correctivo, pues la mayor parte del tiempo se dedica a la búsqueda e identificación de causas y efectos de los problemas de calidad.

El tercer nivel de la pirámide lo constituye el control de calidad, control total de calidad y aseguramiento de la calidad. Control de calidad se define como la verificación de que un producto se fabrica de acuerdo con el diseño planteado, diseño que es el resultado de la interpretación técnica de las necesidades del consumidor, y que por lo tanto lo satisface. Para hacer frente a esta concepción de calidad, es necesario que todo el personal de la empresa tenga muy claro su rol en el logro de ese importante objetivo.

“Control Total de Calidad es el conjunto de esfuerzos efectivos de los diferentes grupos de una organización, para la integración del desarrollo, del mantenimiento y de la superación de la calidad del producto, con el fin de hacer posible fabricación y servicio, a satisfacción completa del consumidor y al nivel más económico” (Feigenbaum,1977). En esa definición hay varios términos que es necesario explicar más a fondo. Son ellos:

- Grupos de una organización: se refiere a que un nivel de calidad adecuado solo se logra con el compromiso de todos los niveles de la empresa y que todo miembro de la organización tiene tareas específicas para el logro del objetivo.

Desarrollo: señala al hecho de que es necesario desarrollar la calidad, que no es algo que funciona por sí solo. Se deben establecer medios por los cuales se estén revisando constantemente los procedimientos que garanticen el desarrollo de la calidad del producto.

- Mantenimiento: la calidad no solo debe ser controlada sino también mantenida y se deben establecer procedimientos para velar porque se mantenga el régimen de trabajo, de manera que se garantice un nivel de calidad cada día mejor.


Superación: es importante que el personal de la empresa se desarrolle y se supere, como un medio para mejorar los niveles de calidad de los productos que se fabriquen.

- Fabricación y servicio: el viejo concepto de que la responsabilidad de la calidad termina en la bodega de producto terminado queda obsoleto. La empresa es responsable por cualquier falla de calidad ocurrida cuando el producto se encuentra en manos del cliente. Para ello se deben establecer medios de servicio que garanticen una atención rápida a los problemas de calidad detectados por el consumidor.

Satisfacción completa del consumidor: el objetivo de calidad solo se logra si hay completa satisfacción del cliente al usar el producto adquirido. Esto redunda en la posibilidad de nueva compra, lo cual constituye el objetivo número uno de toda empresa industrial.

- Nivel más económico: deben realizarse los respectivos análisis de costo- beneficio con el fin de conocer el nivel de calidad al que aspira la empresa, que no es, precisamente, producir cero por ciento defectuoso, que de por sí resulta tecnológicamente imposible de lograr.

El control total de la calidad revoluciona el concepto popular de control de calidad pues:

a. Deja claro que el problema de calidad no es exclusivo de un departamento que lleva ese nombre, sino de todos los miembros de la empresa.

b. Supera la creencia de que controlar la calidad es una tarea de inspección, al establecer la calidad como un concepto de sistema que involucra a todas las funciones empresariales,

c. Cambia de un concepto específico y simple de clasificar producto como bueno o malo a un concepto de logro de satisfacción del consumidor.

El aseguramiento de la calidad es el conjunto de acciones y actividades que tienen como objetivo brindar los medios técnicos y humanos que garanticen la aplicación y éxito de los programas de calidad total. Esto incluye entre muchos aspectos: personal profesional, personal técnico, análisis científico de decisiones y herramientas adecuadas de análisis y control.


El cuarto nivel o cúspide de la pirámide es “autonomation”. Este es el concepto más moderno de control de calidad y consiste en un cambio total en la concepción de calidad. Con “autonomation” el obrero adquiere una alta motivación y conciencia que le permite ser inspector de su trabajo. Esto se basa en el principio de que la calidad del trabajo que una persona ejecuta, es el reflejo de la calidad de persona que es. Se tiene una amplia conciencia de que el próximo proceso es el cliente y que para que se pueda efectuar un buen trabajo se necesita de una alta calidad de entrega. Quienes tienen una alta aplicación de este concepto son los japoneses, los resultados son evidentes.

EL SISTEMA DE CONTROL DE CALIDAD

Debido a la nueva concepción de calidad como una responsabilidad de todas las funciones de la empresa, es necesario establecer un sistema que sea capaz de coordinar todas las actividades que deben llevarse a cabo.

El sistema de calidad es el engranaje que se encargará de planear, ejecutar, coordinar y controlar todas las actividades cuya realización tienen como objetivo entregar al cliente un producto con la calidad requerida por él.

Uno de los aspectos que es necesario para concebir este sistema es el establecimiento de políticas claras de calidad, que perfilen los lineamientos por seguir, mostrando las intenciones de los niveles jerárquicos de dar prioridad a proyectos y actividades que tengan como principal fin la conservación y mejora de la calidad del producto.

El implantar un sistema de control de calidad persigue una serie de objetivos que al cumplirse facilitan el desempeño de la empresa y aumentan su prestigio en el mercado. Los más importantes objetivos son:

1. Brindar al consumidor un producto acorde con sus requerimientos de calidad,

2. Diseñar un producto acorde con los requerimientos del consumidor y las limitaciones de fabricación,

3. Asegurar que los materiales suministrados por los proveedores cumplen con los requerimientos de calidad fijados para la fabricación,

JORGE ACUNAACUNA 21

4. Hacer un uso más racional de equipos, maquinaria y mano de obra para lograr niveles de calidad competitivos.

5. Disminuir al máximo la cantidad de producto defectuoso y reprocesable con el fin de hacer un aporte importante a la disminución de los costos de-

- rivados de productos de mala calidad,

6. Disminuir el tiempo y el costo de las actividades de inspección de materias primas, materiales, producto en proceso y producto terminado,

7. Mejorar la moral del trabajador a través de la solución participativa de problemas, lo que redundará en fabricación de productos de más alto nivel de calidad,

8. Disminuir y si es posible eliminar, los reclamos del cliente y las devoluciones de producto,

9. Impulsar todas las actividades que conlleven al establecimiento de sistemas de control preventivo y proyectivo más que correctivo,

10. Impulsar la ejecución de actividades cuyo fin sea analizar el comportamiento del producto en el mercado,

11. Promover unas buenas relaciones con el proveedor con el fin de que se suministren materiales de alta calidad.

Pueden existir diversas formas de visualizar este sistema. Sin embargo, todas ellas convergen en que el s is tem a está com puesto po r cua tro subsistemas que abarcan el diseño de producto, el mercado de proveedores, el proceso y el mercado de consumidores, con los que se abarca tanto a las actividades dentro de los procesos de fabricación como fuera de él. La Figura 1.3 esquematiza este sistema.

Subsistema Diseño de producto

Cuando se proyecta el lanzamiento de un nuevo producto al mercado o cuando se desea retroalimentar uno ya establecido con opiniones de consumidores y fabricantes, la revisión cuidadosa del diseño es de gran importancia. La intención aquí es diseñar un producto acorde con las necesidades del consumidor


y con las limitaciones de fabricación y no simplemente acorde con los gustos e inventiva del diseñador. Esto es comúnmente conocido como diseño para la manufactura.

Los requerimientos del consumidor deben ser transformados en especificaciones técnicas que sirvan como base para la fabricación del producto. Algunas

JORGE ACUÑA ACUÑA

de las actividades que se deben ejecutar con el fin de cumplir con ese importante objetivo son:

1. Planeación de producto: se debe diseñar un producto bajo un plan adecuado que tome en cuenta la tecnología más apropiada y más económica. •Este plan involucra la organización de los métodos, materiales, máquinas y procesos que garantizan un máximo aprovechamiento de los recursos de la empresa. Se debe planear un producto desde el punto de vista económico, lo que significa que éste debe cumplir con sus características de calidad a un nivel económico asequible para la empresa y para el consumidor.

2. Análisis estadístico: en el análisis de diversas opciones de diseño se generan datos que deben ser estudiados a fondo con el fin de tomar decisiones. El diseño de experimentos se puede aplicar con el fin de encontrar el mejor conjunto de características que beneficien la calidad del producto. En la actualidad se aplica con éxito el Método de Taguchi, el cual se explicará más adelante.

3. Registro de proveedores: consiste en el desarrollo de un registro que contenga información sobre niveles de calidad, tipos de materiales que ofrecen y otras características que sirvan a los diseñadores para analizar opciones.

4. Estudios de capacidad de calidad: dentro de los requerimientos de manufactura es necesario que el diseñador conozca sobre la capacidad de calidad de la maquinaria con el fin de que genere un diseño capaz de ser fabricado económicamente.

5. Experiencia con producciones anteriores: en el caso de productos para los cuales se tengan datos generados en producciones anteriores, se pueden usar esas experiencias para que no ocurran contratiempos innecesarios.

6. Pruebas piloto: antes de producir a gran escala, se pueden efectuar pruebas piloto que analicen las características del producto y retroalimenten los procesos. Esta es una forma de lograr más fácilmente los objetivos de calidad que se persiguen.

7. Normalización: el diseño de un producto debe cumplir con las normas de calidad fijadas en el ámbito nacional o internacional. En el caso de que no


existan normas, el diseñador debe fijarse metas alcanzables que en el futuro se puedan convertir en normas de empresa.

8. Simplificación: todas las partes de un producto deben tener una función específica, y el conjunto de operaciones para fabricarlo debe basarse en procedimientos simplificados y fáciles de entender. El desarrollo de este tipo de actividades facilitará el alcance del objetivo de calidad por medio de un adecuado equilibrio costo-rendimiento.

9. Sistemas CAD. La aplicación de la computación a la industria se ha ido incrementando día con día. El diseño asistido por computadora (CAD) es un excelente medio para diseñar un producto que se encuentre aún más cerca de los requerimientos del cliente. Para ello, el diseñador debe retroalimentar al programa con todas aquellas características que el consumidor desea que estén presentes en el producto.

Subsistema Mercado de Proveedores

Es importante recalcar que no es posible fabricar un producto de un alto nivel de calidad si no se cuenta con materiales que cumplan los requerimientos para tal fin. Esto implica que se deben desarrollar métodos que garanticen la obtención de materiales que cumplan con las condiciones adecuadas de fabricación. La empresa receptora debe ser lo suficientemente exigente para obligar al proveedor o proveedores a enviar los productos con la calidad solicitada.

Algunas de las técnicas que pueden ser aplicadas para lograr el citado objetivo son:

1. Relaciones con proveedores: mantener una buena relación entre proveedor y comprador facilita el envío de materiales de alta calidad. Esta relación se puede enriquecer a través de visitas recíprocas que evidencien tanto capacidades como limitaciones de ambas partes.

2. Mantenimiento de instrumentación: la ejecución de mediciones con instrumentos que no tienen adecuadas condiciones de almacenaje ni adecuados programas de mantenimiento representa un alto riesgo de tomar mediciones erróneas que conllevan a decisiones igualmente erróneas.


3. Educación y entrenamiento para la inspección: el inspector es la persona que con criterios objetivos o subjetivos decide sobre la aceptación o rechazo de producto. Para ello, debe ser adecuadamente entrenado con el fin de que sus decisiones sean tan acertadas como sea posible. Los manuales de inspección son de gran ayuda para unificar criterios entre inspectores.

4. Análisis de especificaciones: la aplicación de una especificación tiene como principal objetivo tener un patrón de comparación que permita tomar decisiones acertadas. A su vez es posible someter esa especificación a un proceso de análisis, de tal manera que se concluya acerca de la eficacia de su aplicación.

5. Control de inventarios: conviene desarrollar modelos de inventario que tomen en cuenta no solo la cantidad sino también la calidad, pues así se pondrá atención tanto a la cantidad que se va a comprar y a cuándo comprarla, como a la calidad de los lotes recibidos.

6. Manejo de materiales: no basta con recibir los materiales en buen estado, sino que es necesario desarrollar eficientes programas de almacenamiento y sistemas de manejo que eviten el deterioio de los mismos.

7. Muestreo de aceptación: esta técnica, que se verá detalladamente más adelante, consiste en la aceptación de lotes con base en el análisis de calidad efectuado sobre muestras sacadas de ellos.

8. Cotizaciones y órdenes de compra: la comunicación de los requerimientos del comprador se hace utilizando cotizaciones y órdenes de compra. Si estos documentos son mal preparados, se corre el riesgo de que se envíen mercaderías que no cumplen con los requisitos de fabricación, con las consiguientes pérdidas económicas y de tiempo.

9. Estimación de la actuación de la inspección: la inspección, como actividad de producción, puede ser sometida al estudio de tiempos y movimientos con el fin de estandarizar métodos y calificar la actuación del inspector. Esto se puede hacer no solo en términos de la cantidad de producción que es capaz de inspeccionar sino también en función de su capacidad para detectar defectuosos y defectos.

10. Certificación de calidad: la posibilidad de entregar al proveedor un certificado de calidad es una opción que debe estar presente. Esta opción ayudará


8. Manejo de materiales en proceso: el manejo de producto en proceso es una de las actividades que más tiempo consume (aproximadamente de 65 a 70% del tiem po total de fabricación), con lo que la probabilidad de que el producto se deteriore en esta actividad es alta. Por ello, se debe diseñar un sistema de manejo de materiales que se ajuste a los requerimientos establecidos por las características físicas y químicas del producto que se va a transportar.

9. Planeación de m étodos de inspección: la inspección de producto no puede ser una actividad improvisada, sino que, por el contrario, debe ser planeada de ta l m anera que se fijen los deberes y responsabilidades de inspección y se asignen a las diversas personas. El capítulo VII profundiza al respecto.

10. Utilización de gráficos de control: el gráfico de control es una buena herramienta para controlar en forma correctiva y preventiva el comportamiento de una determinada característica de calidad. Este tema se verá detenidamente en los Capítulos IV y V.

11. M uestreo de aceptac ión : ta l y com o se exp licó an te rio rm ente , este m uestreo co n s is te en la acep tac ión de lo te s con base en la ca lidad detectada en m uestras extraídas de él. El Capítulo VI ahondará en esta importante técnica.

12. Reproceso y desecho de producto: el reproceso de producto es una actividad que debe ser considerada. Si la empresa no cuenta con esta posibilidad es importante la ejecución de un proyecto que analice la factibilidad técn ica y económ ica de reprocesar. Por o tro lado, se debe d isponer de áreas c la ram ente iden tificadas con el fin de que tan to e l producto por reprocesar com o el que se va a desechar sean colocados. Esto ordenará las líneas de producción y evitará los errores al tomar producto defectuoso como producto bueno o viceversa.

13. Auditorías de calidad: en ocasiones el trabajo de inspección y control no se ejecuta adecuadamente. A través de auditorías de calidad es posible investigar si los métodos y procedim ientos de control de proceso se están aplicando en la forma fijada. Con esto se pueden hacer los cambios necesarios para lograr los objetivos y metas.


Subsistema Mercado de consumidores

Este subsistema está relacionado con todas aquellas actividades que tienen como objetivo estudiar las necesidades del consumidor y retroalimentar al sistema acerca de la efectividad del producto para cumplir con esas necesidades.

Este subsistema se puede llamar también Control de Producto o Control Post-proceso, pues todas sus actividades son ejecutadas fuera de los procesos de fabricación.

Cuando el producto ha sido fabricado, es almacenado para su posterior transporte y distribución. Es importante que la empresa tenga presente que la máxima responsabilidad de calidad se in icia a partir de este momento, pues éste es el período de tiempo en que se pondrán a prueba las características de calidad y se evaluará si el producto satisface las necesidades del consumidor.

Para esto es necesario estructurar cuidadosamente el transporte y distribución de producto, con el fin de que haya un manejo adecuado que garantice que éste no se deteriorá antes de llegar a manos del consumidor.

A lgunas de las actividades que pueden ayudar en el desarrollo de este subsistema son:

1. Análisis de reclamos: es importante ponerle especial atención a los reclamos efectuados por el cliente, pues en ellos se pueden encontrar motivos para buscar soluciones a los problemas de calidad.

2. Análisis de devoluciones: al igual que en el caso anterior, las causas de devoluciones deben ser cuidadosamente estudiadas y no simplemente limitarse a cambiar producto. Se deben llevar registros que permitan recolectar toda la información posible acerca de las razones que el cliente tiene para rechazar el producto. El objetivo es tomar las medidas correctivas del caso y las medidas preventivas necesarias para reducir y en lo posible eliminar este problema.

3. Seguimiento de producto: un adecuado plan de seguimiento de producto, instaurado desde el instante en que el producto sale de la empresa, permitirá recolectar todo aquel producto que saldrá fuera de especificaciones antes de que lo haga y llegue a manos del consumidor. A lgunas de las


al proveedor a superarse con el fin de mejorar su calidad generando un historial que lo puede hacer acreedor a un diploma de esta naturaleza. Este tipo de premiación es un medio de incentivar al proveedor pues constituye para él una estupenda carta de presentación cuando participe en nuevas ofertas.

11. Destino de material rechazado: se deben fijar áreas destinadas a recibir el material que ha sido rechazado. Se debe evitar al máximo la probabilidad de que este producto defectuoso ingrese a las líneas de producción. Para ello se deben etiquetar con colores llamativos que faciliten su discriminación a los encargados del manejo y distribución de materiales.

Subsistema Proceso

Si se ha logrado obtener un buen diseño de producto y se han podido adquirir materiales que reúnen los requerimientos, la siguiente etapa es proceder a la fabricación del producto.

El control de proceso debe ejecutarse a lo largo de todas las etapas de producción y no al final, ya que ésta última debe ser una actividad preventiva y no correctiva. El control preventivo es el que brinda las oportunidades de mejorar, detectando fallas en el momento en que ocurren, evitando altos volúmenes de producción defectuosa o no conforme con los requrimientos. También con control preventivo se pueden investigarlas causas de las fallas de calidad, generando resultados que permiten eliminar o reducir considerablemente la producción defectuosa.

Al igual que los sistemas de control de producción, los sistemas de control de proceso se clasifican en control por proceso y control por producto. El sistema de control por producto se basa en procedimientos y métodos cuya función principal es dar un seguimiento al producto a través de las líneas de producción chequeando que sus características estén acordes con las especificaciones técnicas establecidas. El sistema de control por proceso no se ocupa del producto y sus partes sino de las operaciones de fabricación. Aquí lo importante es mantener bajo control la ejecución de la operación de tal manera que se cumpla con los estándares de calidad fijados para la máquina o mano de obra utilizada.

JORGE ACUÑA ACUÑA 2 7

Algunas de las técnicas que pueden aplicarse para el logro de los objetivos del control de proceso son:

1. Análisis del proceso: para que se tenga un control de proceso adecuado se debe hacer un estudio de las diversas operaciones que lo componen. Este estudio puede ser apoyado por diagramas de operaciones y de flujo que identifiquen y resalten los puntos críticos de calidad.

2. Análisis de operaciones: con base en el estudio anterior se procede a estudiar operación por operación identificando materiales, métodos y otros factores que influyan en la calidad del proceso ejecutado ahí.

3. Clasificación de características de calidad: cada operación del proceso genera una o más características de calidad, las cuales deben ser clasificadas de acuerdo con su frecuencia de ocurrencia y con su impacto en la calidad.

4. Análisis del nivel de calidad: el nivel de calidad que mejor conviene a la empresa no es cero defectuosos, puesto que si fuese posible lograrlo se necesitaría de alta tecnología. Esto lógicamente encarecería el producto haciéndolo no competitivo en el mercado. Ante ello, se debe investigar cuál es el nivel más económico.

5. Control de herramientas y dispositivos: el diseño de sistemas adecuados de revisión y reemplazo de equipo constituye una de las armas más importantes puesto que éste es, en muchas ocasiones, el origen de los problemas de calidad.

6. Estudio de capacidad de proceso: no es posible exigir a un proceso que produzca bajo una capacidad para la cual no está diseñado. Por ello, se deben hacer estudios con el fin de conocer esa capacidad y así hacer un uso más eficiente de ella.

7. Entrenamiento y adiestramiento de personal: la mano de obra es otra fuente importante de fallas de calidad. Por ello, se deben establecer programas de entrenamiento y adiestramiento que minimicen esta situación. La capacitación, la motivación y la conciencia de calidad son excelentes medios para lograr un buen desempeño de la mano de obra.

CONTROL DE CALIDAD

técnicas que se utilizan aquí son pruebas de anaquel, códigos de fabricación, y equipo de recolección. Las pruebas de anaquel consisten en muestras de producto que la empresa conserva con el fin de estar evaluando constantemente su calidad. En el momento en el que esta calidad no sea satisfactoria, se ordena la recolección de los remanentes en el mercado. La identificación se hace usando códigos de fabricación. La recolección la lleva a cabo el equipo de recolección, que es un grupo de personas que visitan constantemente al distribuidor en busca de producto rechazado.

Servicio: en algunos productos más que en otros, se debe poner énfasis en programas de servicio al cliente, con el fin de hacer frente a posibles eventualidades que provoquen descontento en el cliente. El servicio debe ser rápido y eficaz de tal manera que el cliente no pierda su grado de satisfacción para con el producto.

Garantía: la garantía es un medio de protección al cliente que ninguna empresa debe pasar por alto. Existen dos formas de garantía: comercial e industrial. La garantía comercial es la que comúnmente ofrecen las casa® comerciales cuando se compra determinado producto. Esta consiste de un lapso de tiempo dentro del cual la empresa responderá por ciertas fallas del producto. La garantía industrial es aquel período de vida útil forjada en el producto por medio de un diseño que permite evaluar la duración de determinado producto. Esta consiste de un lapso de tiempo dentro del cual la empresa responderá por ciertas fallas del producto. La garantía industrial es aquel período de vida útil forjada en el producto por medio de un diseño que permite evaluar la duración de determinado producto. Esta garantía define la capacidad de nueva compra, siempre y cuando el grado de satisfacción del cliente sea favorable.

Auditorías de calidad: estas auditorías son procedimientos diseñados para evaluar el grado en que el producto satisface los requerimientos fijados por el consumidor.

Encuestas de mercado: una encuesta de mercado puede servir como un medio para evaluar el impacto que el producto está teniendo en el mercado. Se pueden hacer preguntas que retroalimenten el diseño, el proceso o la calidad de materiales usados.


8. Visitas ai cliente: un programa de visitas al cliente puede servir como medio para recolectar de la fuente, información relevante sobre el desempeño del producto. Este puede ser un medio para demostrarle al cliente la responsabilidad de la compañía.

BENEFICIOS DEL SISTEMA DE CONTROL DE CALIDAD

Con la implantación de un sistema de control de calidad, la empresa podráobtener una serie de beneficios, dentro de los cuales se pueden citar:

1. Mejoramiento de la calidad del diseño y por consiguiente del producto, gracias al estudio de las causas de los problemas.

2. Reducción de los costos de operación, al detectar los defectos y defectuosos en el momento preciso en que ocurren y no en etapas posteriores.

3. Reducción de pérdidas económicas y materiales debido a una utilización más adecuada de materiales y máquinas.

4. Mejoramiento de la moral del trabajador al producir con un nivel más alto de calidad.

5. Reducción de tropiezos en las líneas de producción, al ejecutarse un control más preventivo que correctivo.

6. Mejoramiento de los métodos de inspección, al existir guías más claras y procedimientos que ayuden a los inspectores a tener un criterio unificado en la toma de decisiones.

7. Establecimiento racional de verdaderas razones de producción, al tomar en cuenta los defectuosos encontrados.

8. Oportunidad para acumular datos verídicos que pueden ser utilizados para propaganda veraz.

9. Cálculo más objetivo de costos de reproceso y desperdicio que ayudan a determinar un costo más real de producción y por ende un precio más cercano a la realidad.

10. Mejoramiento de la organización del trabajo.

CONTROL DE CALIDADUn enfoque integral y estadístico

Jorge Acuña A.

2a edición

É TEDITORIAL TECNOLO GICA DE COSTA RICA


i 1. Concientización y motivación hacia la calidad que deben tener los diferentes niveles de organización de la empresa.

A través de estos beneficios se puede llegar a demostrar que la calidad lejos de ser un costo es una valiosa inversión.

FACTORES QUE CONTROLAN LA CALIDAD

La obtención de un producto de buena o mala calidad, no es un acontecimiento de buena o mala suerte, sino que es el resultado directo de las políticas de calidad que gobiernen la empresa. Estos resultados se deben al comportamiento de una serie de factores que se denotan factores de la calidad.

Los factores de la calidad, conocidos como las siete emes de la calidad (debido a sus iniciales en inglés), son los siguientes:

1. Mercado (Marketing)

El mercado juega un papel muy importante en la calidad de un producto. En el estudio del mercado se conjugan tres frentes que son las necesidades del consumidor, las necesidades de la sociedad y el espacio de soluciones que ofrece la empresa.

Las necesidades del consumidor surgen de la vida cotidiana y especialmente de los recursos necesarios para agilizar las actividades de las personas. Esto permite la ejecución de tareas en forma más eficiente. En este sentido podemos mencionar las diferencias entre el ama de casa del pasado y el ama de casa de hoy en día. El ama de casa del pasado basaba el desempeño de sus labores en su esfuerzo físico. El ama de casa actual ha recibido el beneficio de la tecnología industrial, que le ha permitido agilizar sus oficios domésticos, de tal manera que le ha quedado más tiempo para dedicarlo a otras labores. Las necesidades de la sociedad, enmarcadas dentro del Triángulo de Necesidades de Maslow, pueden ser cubiertas por la industria a través de cuatro de sus principales componentes como son vivienda, alimentación, vestido y medicinas, es decir aquellas que determinan su subsistencia.


Las soluciones de la empresa se dan en términos de diseños que recojan las necesidades del consumidor y de la sociedad para convertirlas en producto terminado. En realidad, este proceso es bastante complejo, pues las necesidades tanto de la sociedad como del consumidor son amplias y muy variadas, mientras que las posibilidades de solución que se ofrecen son escasas. Esto se puede representar en la Figura 1.4.

Soluciones que brinda la empresa Necesidades de la sociedad Necesidades del consumidor

N

Nso

S:Nso:N:

FIGURA 1.4. Representación esquemática de las necesidades del mercado en función de las soluciones de la empresa.

Se puede observar en la Figura 1.4 que solamente una pequeña porción de las necesidades del consumidor y de la sociedad pueden ser abastecidas por la empresa (zona sombreada). De ahí la importancia de investigar a fondo las necesidades del consumidor.

2. Hombre (Man)

El hombre constituye el principal factor de calidad, pues de su grado de motivación y conciencia dependen los demás factores. No se logra nada si las personas no cooperan, ni tienen conciencia de calidad en la labor que se les encomienda. Por más eficientes y eficaces que sean los medios técnicos propuestos, si


el ser humano no colabora no se obtendrán buenos resultados. Para ello, se deben buscar los medios que logren una adecuada capacitación de los diferentes niveles de la empresa, de tal manera que las políticas de calidad se cumplan.

3. Capital de trabajo (Money)

Como en toda labor de tipo comercial o industrial, el capital de trabajo es absolutamente necesario. Para llevar a cabo las actividades planeadas es necesario invertir. Cualquier recurso económico utilizado en el sistema de control de calidad debe verse como una inversión y no como un gasto.

En control de calidad debe tenerse muy presente el siguiente pensamiento:

La buena ca lidad cuesta, pero la m ala ca lid a d cuesta más(IMMECA, 1979).

4. Material (Material)

Los materiales y materias primas juegan un papel primordial en la calidad final de un producto. No es posible obtener alta calidad con materiales mediocres, pues el proceso de producción no es capaz de generar calidad. Ante esto el objetivo clave es suministrarle al proceso los materiales que necesita para un desempeño eficaz de sus actividades.

5. Máquina (Machine)

Las máquinas constituyen el medio de transformación de materiales en productos terminados. Cualquier desperfecto o desajuste que éstas sufran, se visualizará en defectos en los productos que se fabriquen. Por esto es de importancia tener adecuados programas de mantenimiento preventivo que garanticen baja probabilidad de desajustes y desperfectos. Además, debe concientizarse al operador de la importancia de vigilar los diferentes controles que la máquina tenga, con el fin de tomar acciones preventivas en el momento preciso.


6. Método (Method)

Los métodos de trabajo que se utilicen en operaciones de producción y en operaciones de carga, descarga y manejo de materiales, si no son adecuadamente diseñados, son fuente de fallas de calidad.

El analista de métodos debe contemplar en sus diseños los requerimientos de calidad de la operación. Una forma de hacer ésto es a través de dispositivos que faciliten la operación eliminando toda posibilidad de que el producto sea defectuoso por causa de un mal método de trabajo.

Además, es labor del analista lograr, mediante una adecuada motivación, que el operario desarrolle su trabajo siguiendo el método establecido, de tal manera que la ejecución de su operación se produzca en el nivel más alto de calidad.

7. Administración (Management)

La administración de la empresa es la primera que debe de estar convencida de los beneficios de un sistema de control de calidad. La razón es que son ellos los encargados de dictar las políticas, de aprobar los planes y de asignar los recursos. Sin este convencimiento es muy poco lo que pueden hacer los departamentos y secciones de la organización.

La forma de medir el desempeño del sistema es a través de un diagnóstico de estos factores. Es así como nos daremos cuenta de las fallas de la organización en la consecución del objetivo de calidad.

RESPONSABILIDAD DE CALIDAD

Se puede afirmar que la responsabilidad de la calidad del producto terminado recae en todos los niveles de la organización. Sin embargo, existen diferentes grados de responsabilidad, siendo los más altos para el equipo diseñador, el equipo proveedor, el equipo productor y el cuadro gerencial de la empresa.

El equipo diseñador tiene la enorme responsabilidad de traducir los requerimientos del cliente en especificaciones técnicas de acuerdo con limitaciones de fabricación. El equipo proveedor es responsable de entregar a producción los materiales que reúnen los requerimientos de fabricación. El equipo productor es


responsable de fabricar el producto de acuerdo con los requisitos del diseño conservando el nivel de calidad de los materiales suministrados. El cuadro gerencial es responsable de dictar las políticas y facilitar los recursos para que los equipos de trabajo puedan cumplir con su función. Lo anterior implica que la estructura organizativa no solo debe ajustarse a los niveles jerárquicos ya establecidos sino también al flujo de información vertical y horizontal, necesario para coordinar actividades. Esto se puede visualizar mejor en la Figura 1.5, en la que se observa cómo las diversas unidades se coordinan. Así, por ejemplo, Ventas tiene una clara interrelación con el consumidor en su trabajo con el mercado mientras Personal -usando programas de reclutamiento y selección de persona l- brinda a las líneas de producción el personal idóneo.

Información Responsabilidad ■■■■■ Autoridad

FIGURA 1.5. Representación gráfica de responsabilidades de calidad

JORGEACUÑAACUÑA

LA CALIDAD EN SISTEMAS MODERNOS DE MANUFACTURA

Al igual que los sistemas de producción, los sistemas de control de proceso también han evolucionado. Esta evolución se ha dado a través de la generación y aplicación de sistemas modernos de manufactura tales como robots, sensores de máquina, visión de máquina y sistemas CAD/CAM.

La aplicación de robots al ambiente industrial ha permitido la ejecución de operaciones con más altos niveles de exactitud y precisión, lo que ha favorecido la calidad de lo fabricado. Esta se da puesto que es más factible cada día producir con tolerancias más angostas o sea con especificaciones más cerca del valor objetivo.

Los sensores de máquina han favorecido el desarrollo de instrumentos que facilitan la inspección reduciendo el tiempo de recolección y análisis de información. Los sensores electrónicos son capaces de detectar diferencias y en algunos casos accionar mecanismos que permiten tomar medidas correctivas y preventivas. Esta acción es una clara ventaja para el control de los procesos.

La visión de máquina ha dado grandes aportes a la inspección visual pues a través de este sistema se pueden obtener conclusiones más rápidas y más eficientes. Este sistema ayuda además a sustituir al hombre en la labor de inspección visual, la cual es monótona y perjudicial a la vista en la mayor parte de los casos. Una explicación general del sistema se presenta en la Figura 1.6. En esta figura se tiene una cámara de televisión que toma imágenes del producto, las traduce a señales digitales, para que sean interpretadas por una computadora la cual tiene alimentados los diferentes patrones contra los cuales compara. De acuerdo con la decisión tomada la computadora puede enviar una señal al sistema de manejo de materiales para que rechace la unidad en estudio.

Los sistemas CAD/CAM (Computación Aplicada al Diseño/Computación Aplicada a la Manufactura) combinan el diseño de producto con la manufactura del mismo, convirtiéndose en una garantía para reducir el eterno problema de traducir especificaciones y requerimientos de diseño en productos terminados.

En un sistema de esta naturaleza, el diseñador ejecuta su labor y almacena en una base de datos todo tipo de instrucciones y características de diseño.


CONTROL DE CAMARA

SEÑALANALOGICA

CAMARA DIGITADOR

□/ \

SEÑALDIGITAL

n n n n n n n n nCOMPUTADORA

CENTRAL

LINEA DE PRODUCCION

FIGURA 1.6. Sistema de visión de máquina usada en inspección visual

Posteriormente, esos requerimientos son transmitidos mediante programas computacionales desde un computador central hasta uno en la línea de producción y de ahí a la máquina. La retroalimentación controla el proceso. La Figura 1.7 muestra un ejemplo de este sistema.

Se han esbozado hasta el momento algunos principios sobre los que se basa el verdadero concepto de calidad. Estos principios son:

1. El control de calidad no es únicamente inspecr-ón, sino que va más allá, hacia la investigación de causas y corrección de las mismas, con el fin de que no se vuelvan a presentar en el futuro. Esto obliga a analizar la calidad en forma sistémica, involucrando a la organización en su totalidad.

RESUMEN

JORGEACUÑAACUÑA 39

FIGURA 1.7. Sistema Integrado de Manufactura

2. El problema de la calidad del producto es competencia de todos los niveles de la empresa. En la medida en que haya conciencia de esta responsabilidad se lograrán los niveles establecidos.

3. La calidades intrínseca del producto, el control no agrega calidad al mismo pues es solo un medio de investigar problemas y reducirlos.

4. El control debe ejecutarse en etapas, responsabilizando a las diferentes secciones de la ejecución de las actividades fijadas en cada una de ellas.

5. La calidad debe entenderse como e l grado en que un cliente se siente satisfecho con las funciones que realiza el producto que adquiere.


6. Se pueden automatizar los procesos de inspección, sin embargo la responsabilidad de calidad será siempre del factor humano.

PREGUNTAS DE REPASO

1. Comente el aporte del desarrollo histórico del control de calidad a la concepción moderna.

2. Defina los conceptos de control, calidad, calidad total y control de calidad.

3. Explique el ciclo del control.

4. Explique la pirámide del control de calidad.

5. ¿Qué es un sistema de control de calidad y cómo está estructurado?

6. Explique detalladamente cada uno de los componentes del sistema de control de calidad.

7. ¿Cuáles son los objetivos de implantar un sistema de control de calidad? ¿Qué beneficios genera un sistema de control de calidad?

8. Explique los factores que gobiernan la calidad de un producto.

9. Analice las responsabilidades de calidad en los sistemas industriales.

10. ¿Qué nuevos conceptos de calidad se manejan en sistemas modernos de producción?

PROBLEMAS

1. Seleccione una empresa industrial o de servicios y analice su sistema de control de calidad. Haga un diagnóstico inicial.

2. Evalúe en una empresa la incidencia de cada uno de los factores de calidad en la calidad del producto final.

3. Enumere las actividades por realizar para implantar un sistema de control total de calidad en una empresa del sector alimentario.

JORGEACUÑAACUÑA 41

4. Seleccione el organigrama de una empresa industrial e identifique claramente la responsabilidad de calidad de cada uno de los niveles jerárquicos ahí representados.

5. Investigue los aspectos relacionados con control de calidad tomados en cuenta en el Plan de Reactivación Industrial en nuestro país.

Capítulo II

ESTADISTICA ELEMENTAL

.»

E n los últimos años se ha ampliado la gama de aplicaciones de la estadística en el ambiente industrial, y va desde la recolección y anális is de datos hasta la inferencia estadística y el diseño de experimentos.

Una de las áreas de la industria en la que más se ha aplicado es en la inspección de calidad de los productos fabricados. Esto ha dado origen a lo que se conoce como control estadístico de la calidad. En estos casos se selecciona una muestra, se analiza y con base en los resultados obtenidos se infiere la situación real del proceso p roductivo . La ap licación de la estadística al control de procesos y de materiales es solamente un arma para la toma de decisiones y no la solución a los problemas.

En este capítulo se presentarán algunos conceptos y técnicas de análisis de datos, para luego entrar en el tema de inferencia estadística, que constituye la base fundamental para el establecim iento de un control estadístico de la calidad.

Se supone de antemano que el lector tiene conocimientos generales de estadística.


ANALISIS DE DATOS

El primer paso en la aplicación de la estadística a procesos industriales consiste en el registro y análisis de la información proveniente de las diferentes pruebas físicas y químicas que se hacen a los productos con el fin de verificar su estado.

Del análisis de los datos provenientes de esas pruebas se derivarán las acciones preventivas, con las que se procurará reducir y si es posible eliminar los problemas de mala calidad que se presentan en las líneas de producción.

Para lograr un adecuado análisis es necesario agrupar los datos de tal manera que se puedan visualizar comportamientos y tendencias históricas de los procesos.

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Una de las formas que permite disponer los datos para su análisis es la distribución de frecuencias de datos agrupados, que consiste en el agrupamiento del conjunto de datos en intervalos, de tal manera que generen una distribución. Esta distribución puede ser comparada con distribuciones estadísticas teóricas y así inferir soluciones al problema planteado. Existen también las distribuciones de frecuencia de datos no agrupados, que se usan para el análisis de datos de variable discreta, tales como número de defectuosos y número de defectos.

Dos de las claves importantes para tener una distribución de frecuencias eficiente y eficaz son la escogencia de un método que considere las cifras significativas de los datos y la escogencia de un número de clases que refleje una adecuada distribución.

Antes de entrar a presentar un método de elaboración de una distribución es recomendable dar algunas definiciones.

Frecuencia

Es el número de veces que se repite un dato en un conjunto de datos, o en un intervalo determinado. Existen varios tipos de frecuencia, éstas son:


a. Frecuencia absoluta

b. Frecuencia absoluta acumulada

c. Frecuencia relativa

d.- Frecuencia relativa acumulada

La frecuencia absoluta es el número absoluto de veces que se encuentra un dato en un conjunto de datos o intervalo. Se denota por n.cuando los datos no están agrupados y por nkcuando estos datos están agrupados. Se encuentra por inspección del conjunto de datos.

La frecuencia absoluta acumulada es la suma acumulada de la frecuencia absoluta. Se denota por N,en datos no agrupados y por Nken datos agrupados.

La frecuencia relativa es una forma de representar porcentualmente el número de veces que se repite un dato o el número de datos que se encuentran en un intervalo. Se denota por 1, para datos no agrupados y por fk, para datos agrupados. Se calcula como:

Frecuencia absolutaFrecuencia relativa = ------------------------------------------------ x 100

Número total de datos

La frecuencia relativa acumulada es la suma acumulada de la frecuencia re lativa. Se denota por F(para datos no agrupados y por Fkpara datos agrupados. Se calcula como:

Frecuencia absoluta acumuladaFrecuencia relativa acumulada = ---------------------------------------------- x 100

Número total de datos

Clase

La clase es un intervalo dentro del cual se encuentra un conjunto de datos. Sus valores extremos se llaman límites de clase. El número de clases se denota con la letra k.

Los límites de clase representan a los datos. En este caso son conocidos como límites reales de clase y están denotados por L( y Ls. En caso contrario,


los límites de clase se denotan por I, y ls y su función se reduce exclusivamente al conteo de los datos para obtener la frecuencia absoluta.

La amplitud de clase o intervalo de clase es la diferencia entre los límites reales de clase. Se denota con la letra i.

Histograma

Un histograma es un gráfico de barras verticales continuas, en donde se representan los límites reales de clase en el eje x y la frecuencia absoluta o relativa en el eje y. La escala del eje x debe graduarse de tal manera que todas las barras sean de igual tamaño, m ientras que la escala del eje y, debe graduarse con base en la frecuencia relativa o absoluta más grande.

Para el desarrollo de la distribución de frecuencias se puede hacer uso de paquetes de computación. Uno de éstos es STADGRAPHICS, paquete que tiene un sinnúmero de herramientas estadísticas no solo para distribución sino también para inferencia estadística.

A pesar de ser un medio ágil para elaborar d istribuciones, éste no considera cifras significativas que son muy importantes cuando se analizan datos con fines de análisis de calidad.

Para garantizar el cuidado de cifras significativas se puede aplicar el siguiente procedimiento:

1. Recolectar los datos (x.) de acuerdo con el tamaño de muestra previamente calculado. Esta recolección debe ser ordenada de tal forma que se entienda posteriormente la información. Para ello se puede usar un formato tal como el que presenta en el Ejemplo 2.1. Este formato no solo sirve para anotar la in form ación recolectada sino tam bién la d is tribuc ión de frecuencias correspondiente.

2. Ordenar los datos de menor a mayor. Es opcional; si no se hace, se ejecuta el paso 11b.

3. Calcular el rango, restando al dato mayor, el dato menor. Sea:

R = Xlmix-Xwn

• *


4. Fijar el número de clases (k), es conveniente que esté entre 5 y 20. Se puede utilizar la regla de STURGES para obtener un aproximado al número de clases. Esta regla es:

k = 1 + 3,3 log n donde n = tamaño de la muestra

5. Calcular el intervalo de clase (i), así:

i = R/k

El valor de i debe ser redondeado siempre hacia arriba y a la misma cantidad de decimales que tienen los datos.

6. Calcular el rango propuesto (Rp) mediante la multiplicación del intervalo redondeado (¡r) por el número de clases, sea:

Rp=l’,*k7. Calcular la diferencia (d) entre el rango y el rango propuesto:

d = Rp- R

Este valor es un número cuya última cifra significativa debe ser un cinco. Si no lo es, se debe devolver al paso 5 y hacer el cálculo con otro número de clases, hasta que se cumpla la condición.

8. Calcular la mitad de la diferencia (md)

md=d/2

9. Fijar los límites reales de clase (L,, Ls), usando el siguiente procedimiento:

a. Tomar el valor del dato menor y restarle el valor de md; el valor obtenido es el primer L,.

L. = x -m .i l imin d

b. Sumar i al valor de Ln, para obtener el primer Ls.

L = L , + iSi llc. Hacer el L* igual al Ls{k1)y repetir el paso 9b. hasta completar las k

clases. Al final se debe cumplir con:

Lrt=xlm4x+md


donde Lsk= último límite real superior.

10. Fijar los límites de clase (l|t ls), sumando cinco unidades decimales a los límites inferiores reales de clase y restándoselas a los límites superiores de clase. Así por ejemplo:

Si L,y Lstienen solo un decimal, se suma y se resta 0,5

Si L y Lstienen dos decimales, se suma y se resta 0,05

I. = L + 5 unidades decimalesde iklsk= Lsk- 5 unidades decimales

11. Completar el cuadro de frecuencias de datos agrupados, para ello

a. Calcular el punto medio (xk)

L + L L+l“ S I s

\ = ---------------- o XK=----------------2 2

b. Obtener el valor de la frecuencia absoluta (nk) usando lo obtenido en el punto 2 o a través de conteo que consiste en ir contando dato por dato y poniendo una rayita en el intervalo correspondiente.

c. Obtener la frecuencia absoluta acumulada (Nk)

Nk=Acumulado de nk

d. Calcular la frecuencia relativa (f.)1%

n

e. Obtener la frecuencia relativa acumulada (Fk)

n

12. Construir el histograma para observar la distribución del conjunto de datos.


EJEMPLO 2.1

Se toman doce grupos de cinco unidades de una máquina llenadora de latas de pasta de tomate y se pesan, originando los datos que se presentan en el Cuadro 2.1.

Construir una distribución de frecuencias de datos agrupados.

SOLUCION

1. Los datos se recogen en el formato definido. El Cuadro 2.1 presenta la información recolectada para este ejemplo.

2. Se usará el método de conteo.

3. R = x. . - x. .im á x im fn

R = 25,0 -1 8 ,0 = 6,5

CUADRO 2.1. Información recolectada en decigramos

HOJA DE DATOS - DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Artículo: Pasta de tomate Característica: Peso Operación: Llenado Operario: M. Matamoros Fecha:02-12-84 Tumo: 1

Código: XY-987 Especificación: 20,0 ± 2,5 Máquina: Llenadora Inspector: M. Coto Hora de inicio: 8 am Hoja # 1 de 1

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 22,0 23,0 20,0 21,5 19,0 21,5 22,5 25,0 21,5 24,5 22,5 23,52 20,5 19,0 19,0 19,0 21,5 24,0 20,0 20,5 23,0 24,0 22,5 20,03 20,0 21,5 19,5 21,0 22,5 19,5 21,0 21,5 22,5 23,5 20,5 20,54 21,0 21,0 20,0 20,0 22,5 22,0 22,5 21,5 23,5 22,0 22,0 22,55 22,5 21,5 22,5 22,0 18,5 22,0 22,0 22,5 21,0 22,0 19,5 23,0


4. k= 1 + 3 ,3 lo g n

k = 1 + 3,3 log 60

k = 7

R 6,55. i = ------ = ----------= 0,923=1,0

k 7

6. Rp= if*k = 7 *1 ,0 = 7,0

7. d = Rp- R = 7,0 - 6,5 = 0,5

0,58. md= d/2 = ------ =0,25

2

9- ^ i = ximfn_md= 18,5-0 ,25= 18,25

LS1 = L,, + i = 18,25 + 1,0 = 19,25

La= L „= 19,25

L 2=Lí2+¡ = 19,25+ 1,0 = 20,25

Y así sucesivamente hasta completar las siete clases.

Esto se puede observar mejor en el Cuadro 2.2.

El resto se obtiene de igual forma.

El conteo se obtiene anotando una rayita por cada dato que se ubica en la clase respectiva.

A través de las frecuencias se puede observar alguna característica importante, por ejemplo el análisis de posición para algún valor especial tal como una especificación.

12. El histograma correspondiente a este ejemplo se puede observar en la Figura 2.1. En él, se puede ver que el peso de los tarros de pasta de tomate se distribuye en una forma aproximadamente simétrica, o sea una gran frecuencia en el centro que disminuye hacia los lados.


CUADRO 2.2. Cuadro de distribución de frecuencias para el Ejemplo 2.1

HOJA DE DATOS - DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Artículo: Pasta de tomate Característica: Peso Operación: Llenado Operario: M. Matamoros Fecha:02-12-84 Tumo: 1

Código: XY-987 Especificación: 20,0 ± 2,5 Máquina: Llenadora Inspector M. Coto Hora de inicio: 8 am Hoja#1 d e i

L, L. », K CONTEO nh N„ K

18,25 19,25 18,3 19,2 mu 5 18,75 5 8,33 8,3319,25 20,25 19,3 20,2 iiiiniii 9 19,75 14 15,00 23,3320,25 21,25 20,3 21,2 iiiniiii 9 20,75 23 15,00 38,3321,25 22,25 21,3 22,2 iiiiiiiiiiiinii 16 21,75 39 26,67 65,0022,25 23,25 22,3 23,2 iiniiiiiiiiii 14 22,75 53 23,33 88,3323,25 24,25 23,3 24,2 mu 5 23,75 58 8,33 96,6724,25 25,25 24,3 25,2 ii 2 24,75 60 3,33 100

l(1 = L„ + 0,05 = 18,25 + 0,05 = 18,30 l„ = L „ - 0,05 = 19,25 - 0,05 = 19,20 El resto se obtiene de igual forma.El conteo se obtiene anotando una rayita por cada dato que se ubica en la clase respectiva.

MEDIDAS DE LA DISTRIBUCION

No es fácil obtener conclusiones de un conjunto de datos sueltos o de cuadros calculados a partir de ellos. Debido a esta limitación es necesario calcular medidas que los representen. Las medidas de mayor importancia son la media aritmética y la desviación estándar.

También pueden ca lcu larse la moda, la mediana, los percentiles requeridos y varios coeficientes como el coeficiente de variación y el de kurtosis. Estas medidas no se presentan en este momento.

La media aritmética se calcula en datos no agrupados como:


16

14

12

n k 1 0

8

6

4

2 -U

18,25 19,25 20,25 21,25 22,25 23,25 24,25 25,25

Límites reales de clase (L(,Ls)

FIGURA 2.1. Histograma para el Ejemplo 2.1 (Peso de tarros de pasta de tomate)

n

I x ,_ í=iX = ---------------

n

donde:

x: valores de la variable en estudio

n: tamaño de la muestra

En datos agrupados se calcula así:


nc

( I nk*d ) * i

x = A +n

donde:

d: desviación del punto medio con respecto a la posición de la media supuesta (clase de mayor frecuencia, d=0). Es medida en unidades de intervalo de clase.

i: amplitud o intervalo de clase

A: punto medio de la clase que contiene la media supuesta (clase de d=0)

nc: número de clases

La desviación estándar, para datos no agrupados, se calcula usando la siguiente fórmula:

Para datos agrupados se tiene:

EJEMPLO 2.2

Para el Ejemplo 2.1, calcular la media aritmética y la desviación estándar para datos no agrupados y agrupados.


SOLUCION

Para datos no agrupados:

1292,5x = £x/n = = 21,54

60

Ix = 1292,5 I x 2= 27972,75 n= 60 i=1,0

(1292,5)27972,75 -

60s = \ = 1,485

59

En datos agrupados y usando el Cuadro 2.2 se obtiene la información que se presenta en el Cuadro 2.3.

El factor d se establece con valores enteros negativos hacia arriba y positivos hacia abajo de la clase de mayor frecuencia.

Para el ejemplo los valores de la media y la desviación son:

Esto significa que el conjunto de datos se distribuye con un promedio de 21,6 decigramos con una desviación estándar de 1,52 decigramos.

Un aspecto muy importante que se debe considerar es que la mayor parte de las pruebas en las que se requiera el uso de esta técnica necesitan ser

A= 21,75 parad = 0

-12x = 21,75+ ( ) * 1,0 = 21,6 decigramos

60


CUADRO 2.3. Cálculos intermedios para obtener X y s

XR d n„*d n k*da

- 18,75 5 -3 -15 4519,75 9 -2 -18 3620,75 9 - 1 - 9 921,75 16 0 0 022,75 14 1 14 1423,75 5 2 10 2024,75 2 3 6 18

TOTAL Ii\*d=-12 In /(f=142

ejecutadas en el menor tiempo posible. Ante ello es necesario confeccionar formatos que agilicen la recolección y análisis de la información. La Figura 2.2 presenta un formato que puede ser usado en estos casos. Con este formato se pueden hacer estudios futuros para evaluar el comportamiento de una variable. En estos casos se dejan fijos los límites de clase y se toman nuevas muestras.

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

Muchas pueden ser las definiciones que se den al término probabilidad. En ocasiones se asocia con la palabra posibilidad, lo cual parece en alguna medida aceptable si se cuantificara. Tres de las definiciones más comunes son las siguientes:

1. Probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación, con el fin de asignar un valor a su ocurrencia futura.

EJEMPLO 2.3 Ilustración del concepto de probabilidad

Si un dado es lanzado al aire, se tiene la certeza de que va a caer, pero no se puede afirmar con certeza que la cara que quedará hacia arriba será la que


O)

"§Q).<0•21esQ)2Ci.SCUi£C\iOsi

5CDc

0)T3VIniT300E£c

</> sLU 0)Z ¿2 »o 2> Q)a: 3w E

§ 5

z . . o

í2yO Q • UJ Oc/>5í= a: uj áLÜ □ sÍllO 3 2


contiene el número 6. Si este experimento se repite n veces podemos llamar n al número total de lanzamientos y s al número de aciertos por un número determinado, lógicamente entre 1 y 6. Para ilustrar el concepto de probabilidad se puede asociar con la frecuencia relativa que se obtiene de la relación f = s/n. Este valor tiende a estabilizarse conforme el número de lanzamientos tiende a infinito y por lo tanto puede asignarse como el valor para la ocurrencia futura del acierto.

2. Probabilidades un valor numérico que debe llenar ciertas condiciones y que se asocia con un evento dado para expresar el grado de confianza que se tiene en la verificación futura del experimento que le dio origen. Esta es una definición dada desde el punto de vista matemático.

3. Probabilidades la fracción n(E,)/n que se origina si un suceso puede ocurrir de n-maneras mutuamente excluyentes e igualmente posibles, de tal manera que n(E ) de ellas poseen un atributo (E).

n(E.)P(E() = -----------

n

Para entender más claramente esta definición se deben definir algunos conceptos claves tales como:

Espacio muestral: es el conjunto S de todos los resultados posibles, al ejecutar un experimento. Este número total de eventos se denotan de la siguiente manera:

Número de eventos de S = p"

donde:

p: número de posibilidades del experimento

n: número de veces que se repite el experimento.

Evento simple es uno de los resultados E¡del espacio muestral S.

Evento compuesto es el conjunto de resultados Ecdel espacio muestral S que cumplen con cierta característica.


EJEMPLO 2.4

Se lanza un dado dos veces.

a. Identifique los eventos que conforman el espacio muestral y el número de ellos.

b. Dé un ejemplo de un evento simple.

c. ¿Cuántos eventos componen el evento compuesto X + Y > 4?

SOLUCION

a. Con el fin de determinar el número total de eventos del espacio muestral se utilizará un gráfico de coordenadas donde se colocarán las posibilidades del primer lanzamiento en el eje x y las del segundo en el eje y. La Figura 2.3 muestra este gráfico.

El número de posibilidades p es seis y el número de veces que se repite el experimento es dos por lo tanto:

Número de eventos de S = 62= 36 eventos simples

En la Figura 2.3 se pueden observar los 36 eventos simples del espacio muestral representados por asteriscos en el reticulado del gráfico.

b. Un ejemplo de evento simple es (1,6) el cual significa que en el primer lanzamiento el resultado es uno y en el segundo lanzamiento es seis.

c. El evento compuesto X + Y > 4 está conformado por todos aquellos eventos simples que originan una suma mayor que cuatro entre el valor del primer lanzamiento y el valor del segundo lanzamiento. Estos eventos son todos menos (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2) y (3,1). Es decir, 30 eventos conforman este evento compuesto.

En general, se puede decir que la probabilidades el resultado de dividir el número de ocurrencias de un evento determinado, entre el número total de eventos que componen el espacio muestral.

La probabilidad tiene las siguientes propiedades:


Lanzamiento

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5.6) (6.6)

(6.5)(1.5) (2.5) (3.5)■

(4.5) (5.5)

(1.4) (2.4) (3.4) (4.4) (5.4)

(1.3) (2.3) (3.3) (4.3) (5.3)

(1.2) (2.2) (3.2) (4.2) (5.2)

(1.1) (2.1) (3.1) (4.1) (5.1)

(6,4)

(6.3)

(6.2)

(6 .1)

2 3Primer

Lanzamiento

FIGURA 2.3. Representación gráfica del espacio muestral

1. La probabilidad es un número o cantidad no negativa.

P(E§) > 0

2. La probabilidad es un número o cantidad menor o igual a 1.

P(E¡) S 1

3. La suma de las probabilidades correspondientes a cada uno de los eventos del espacio muestral es igual a 1.

P(E,) + P(E2) + P(E3) + .........+ P(En) = 1

4. La probabilidad de un evento y su complemento suman 1.

P(E¡) = 1 - P(E,)C

La probabilidad considera dos leyes principales llamadas la ley de la suma y la ley del producto.


Ley de la suma

La ley de la suma dice que si se tienen dos eventos simples E, y E2, la probabilidad de que ocurra uno u otro se representa por la suma de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de esos eventos menos la probabilidad de que ocurran ambos. Sea:

P(E, U E2) = P(E,) + P(EZ) - P(Et n E2)

Si los eventos ocurren en forma independiente entonces la probabilidad de ocurrencia de E, o de E2se calcula como la suma de las probabilidades correspondientes a cada uno de ellos. Así:

P(E1UE2) = P(E1) + P(E2)

Ley del producto

Si los resultados de un suceso aleatorio pueden tener a la vez los atributos E, y E2, la probabilidad de que ocurran ambos es igual a la probabilidad de que suceda E, multiplicada por la probabilidad de que suceda E2dado que sucedió E2. Sea:

P(E, y E2) = PÍEj/E,) /: dado que sucedió

Si los sucesos ocurren en forma independiente entonces la probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos se calcula como la m ultiplicación de las probabilidades correspondientes a ambos eventos.

Así:

P(E, y E2) = P(E,) * P(E2)

EJEMPLO 2.5

Una caja contiene ocho canutos de hilo azul, cuatro de hilo blanco y uno de hilo rojo.

1. Si se extrae un canuto al azar, hallar la probabilidad de que sea:


a. azulo blanco

b. blanco o rojo

2. Si se extraen dos canutos, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea . azul y el segundo rojo?

E2: evento en el que se extrae un canuto blanco

E„: evento en el que se extrae un canuto rojo

n(E,): número de canutos de hilo azul

n(E2): número de canutos de hilo blanco

n(E3): número de canutos de hilo rojo

SOLUCION

1. Sea: E,: evento en el que se extrae un canuto azul

Dado que n(E,) = 8, n(E2) = 4 y n(Ej) = 1

a. P (E ,oE 2) = P (E ,U E 2) =P (E ,) + P(E2) -P (E 1n E 2)

n(E,) n (E2)+ - 0

n n

8 4+ - 0

13 13

= 12/13

Es decir, la probabilidad de que el canuto extraído sea azul o blanco es 12/13, sea 0,9. La probabilidad de que ocurran ambos eventos es cero por cuanto no hay hilos de color combinado.


b. P(E2o E3 ) = P(E2U E3 ) = P(E2) + P(E3 ) - P(E2n E3)

n(E2) n(Eg)= + 0

n n

1 4= + 0

13 13

= 5/13

La probabilidad de que el canuto extraído sea rojo o blanco es 5/13, sea 0,38.

2. Si se extraen dos canutos se pueden dar dos situaciones:

a. Caso A. Con reposición, lo que significa que el canuto se retorna a la caja después de la primera extracción. Esto convierte ambas extracciones en eventos independientes.

P(E, y E3) = P(E,) * P(E3)

n(E,) n(E3)

n n

8 1

13 13

8P(E,y E3) = -------- = 0,047

169

b. Caso B. Sin reposición, lo que significa que el canuto no se retoma a la caja después de la primera extracción.

*

JORGE ACUNA ACUNA 63

P(E, Y E3) = P(E,) * P(Eg/Et)

n(E,) n(E3) ________ *

n n - 1

8 1 8P(E,y E3) = --------- * ---------- + ----------= 0,051

13 12 156

La probabilidad de que al extraer dos canutos de la caja, el primero sea azul y el segundo sea rojo es 0,047 si se hace con reposición y 0,051 si se hace sin reposición.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Las distribuciones de probabilidad constituyen la base teórica para investigar fenómenos aleatorios cuyo comportamiento es anormal. Este estudio consiste en la búsqueda de un ajuste que permita efectuar el análisis acorde con lo expresado por la teoría de probabilidades.

Las distribuciones de probabilidad pueden ser de variable aleatoria continua o de variable aleatoria discreta y su aplicación al control estadístico de la calidad dependerá de la clasificación efectuada sobre las características de calidad, de lo que se hablará en el siguiente capítulo.

Una función matemática f(x) será una función de probabilidad si cumple con las siguientes dos condiciones:

Si es de variable aleatoria discreta

b1. 0 < f(x )< 1 2. F(x) = I f ( x ) = 1

a

Si es de variable aleatoria continua

1 . 0 < f(x) > 12. F(x) = £f(x) dx = 1


Se verán a continuación aspectos generales de las principales distribuciones de probabilidad.

D is t r ib u c io n e s d e p r o b a b i l id a d d e v a r ia b l e a l e a t o r ia c o n t in u a

Existen diversas distribuciones de probabilidad que comúnmente son usadas para analizar poblaciones que generan variables dimensionales. Estas dim ensiones son estudiadas a través del muestreo y analizadas con distribuciones teóricas con el fin de inferir resultados muéstrales hacia la población. A continuación se verán algunas de las principales.

1. Distribución normal

Es la distribución de probabilidad de variable aleatoria continua más importante, pues los datos distribuidos normalmente se originan en numerosos experimentos. La característica más sobresaliente de esta distribución es que gran cantidad de datos se agrupan alrededor del promedio, decreciendo su frecuencia conforme se alejan de él.

La función densidad de esta distribución es:

1f(X) = --------------e -l,X-M)2/2o2) -oo < X > °o

o JaT

Esta distribución posee entre otras las siguientes características:

a. El área total bajo la curva normal evaluada de -oo hasta +®° es igual a 1.

b. La curva normal es simétrica: el área a la derecha y el área a la izquierda de la media aritmética son iguales.

c. La curva que representa la distribución es la Campana de Gauss

d. Esta distribución puede estandarizarse con el fin de hacer más fácil el cálculo de probabilidades. En esta estandarización se usa el estadístico

X -| lZ = ---------

a


e. La curva queda perfectamente determinada cuando se conocen los parámetros p y a.

f. Las técnicas usadas en el cálculo de probabilidades a partir de curvas unimodales, pueden ser usadas en otras curvas aunque éstas no sean

. normales.

g. La distribución muestral obtenida a partir de una población cualquiera se distribuye normalmente.

Debido a que cada valor de p y de o originan una forma de distribución distinta, es necesario acudir a la estandarización con el fin de convertir la curva normal en una curva normal estándar. Esta estandarización permite calcular probabilidades usando tablas en lugar de integrar la función.

La curva normal estandarizada se caracteriza por tener p=0 y a2= 1 y se obtiene a través de la transformación de la variable x en el estadístico

x -pZ = --------- . Así, la distribución se convierte en:

a

1f (Z) = e *a -o» < Z > +oo

\|2 t?

Con esta curva normal estandarizada, lo que se hace es encontrar el valor de la variable transform ada Z y con ese número acudir a la Tabla I en APENDICE I, donde se encontrará el valor de N(Z) que corresponde a la probabilidad acumulada buscada.

EJEMPLO 2.6

Una fábrica especifica que el peso de los tarros de frutas que produce debe obedecer a un peso medio de 2,00 kg con una desviación estándar de 0,05 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que un determinado tarro pese entre 1,90 y 2,06 kg, sabiendo que esta variable se distribuye normalmente?


SOLUCION

Representando esta probabilidad según la Figura 2.4 se tiene que:

/2 ,0 6 -2 ,0 0 \A= P(1,9<x<2,06) = N í------------------j - N

\ 0,05 /

= N(1,2) — N(-2,0)

= 0,8849-0,0228

= 0,8621

Se ha determinado que la probabilidad de que un determinado tarro pese entre 1,90 y 2,06 kg es 0,8621.

Los valores de N(Z) se extraen de la Tabla I en el Apéndice I.

Tal y como se indicó al desglosar las características de la distribución normal, la disíiibución que le corresponde a un conjunto de muestras llamada distribución muestral se distribuye normalmente. Esto obedece a un teorema llamado teorema del lím ite central, el cual dice:

Si se toman muestras aleatorias de tamaño n de una población que tiene media p y desviación estándar o, la distribución de muestreo correspondiente a

FIGURA 2.4. Curva normal del Ejemplo 2.6


los promedios de m muestras será aproximadamente normal, con media p igual a p y desviación muestral ox igual a o/'lñT

El término OjSe conoce como error estándar y se calcula así:

o >lN-n Si la población es finita y suOj --------------- --■■■ tamaño se denota como N.

\lñ 'ÍÑM

oOj = ---------- Si la población es infinita

NÍñ

En control estadístico de la calidad este teorema es muy aplicado cuando se extraen muestras sucesivas de los procesos y se desea conocer el comportamiento de los mismos a través de los promedios. En el Capítulo IV se analizarán estas aplicaciones.

EJEMPLO 2.7

Un proceso de llenado de bolsas de cacao en polvo origina un peso medio de 50,10 g y una desviación estándar de 5,25 g. Si se toma una muestra de 40 bolsas, ¿cuál es la probabilidad de que su media se encuentre entre 48,10 y 50,90 g?

SOLUCION

De acuerdo con la Figura 2.5 se tiene:

A = P(48,10 < x < 50,9)=N((50,90-50,10)/0,83)-N((48,10-50,10)/0,83)

A = N(0,96) - N(-2,41)

A = 0,83147 - 0,00798 Obtenidos de Tabla I en Apéndice I

A = 0,82349


FIGURA 2.5. Curva normal para e l Ejemplo 2.7

La probabilidad de que la media de peso de una muestra de 40 bolsas se encuentre entre 48,10 y 50,90 gramos es 0,82349.

2. Distribución t-student

En muchas ocasiones no es posible obtener muestras grandes debido a razones de costo o a razones tecnológicas propias de los procesos, entonces es necesario utilizar una distribución de probabilidad para pequeñas muestras que permita hacer estimaciones confiables. El tamaño de muestra que se considera como límite entre muestras grandes y pequeñas es 30. La distribución usada en este caso se conoce como distribución t-student y su función densidad es:

Yof(x) = ---------------------

( 1 + (t2 /v))‘v+,V2

donde:

Y0= constante que depende del tamaño de la muestra

v = número de grados de libertad

La distribución t-student permite definir la distribución muestral de t, con el estadístico t definido por:


X“ ^ r—< t= \J n - 1

s

La forma que tiene la curva de esta distribución es parecida a la curva normal, siendo más achatada conforme el tamaño de la muestra tiende a cero.

EJEMPLO 2.8

Se fabrican productos que deben tener un peso medio comprendido entre 10,049 y 10,095 g. Se toma una muestra de 15 unidades, originándose un promedio de 10,072 g y una desviación estándar de 0,100 g. ¿Cuál es la probabilidad de cumplir con el peso fijado?

SOLUCION

Si se usa la Figura 2.6 para el cálculo se tiene:

P(10,049 < x <10,095) = T(( 10,095-10,072)/(0,100/ \pÍ4))-T((10,049-10,072)/(0,100/ \fÍ4))

= T (0,861) - T (-0,861)= 0,80 - 0 , 2 0

= 0,60

FIGURA 2.6. Cálculo de probabilidades


La probabilidad de cumplir con el peso fijado es 0,60.

Los valores de T(0,861) y T(-0,861) sirven para calcular las probabilidades usando la Tabla II del Apéndice I.

3. Distribución Chi-cuadrado

Así como existen distribuciones para el promedio se tiene una distribución para la variabilidad, específicamente para la varianza. Esta distribución es la distribución chi-cuadrado, representada por ae2. Tiene la siguiente función densidad:

f(x) = Y 0 (ae2)1/2<v‘2) e' 1 / 2 ae2

donde:

Y0: constante que depende del tamaño de la muestra

v : número de grados de libertad y equivale a n- 1

Esta distribución tiene la forma que se presenta en la Figura 2.7.

El estadístico ae2se calcula como:

FIGURA 2.7. Curvas Chi-cuadrado según grados de libertad


n*s2 ( X, - X ) 2 + ( Xg - X ) 2 + .... + ( xn - X ) 2

ae2 = ---------- -----------------------------------------------------o 2 o2

EJEMPLO 2.9

Una máquina llenadora ha ejecutado su operación con una varianza de 0,83 g2. Si se toma una muestra de 15 unidades, ¿cuál es la probabilidad de tener una varianza:

a. Superior a 1,31 g2?

b. Inferior a 0,56 g2?

SOLUCION

Utilizando la Figura 2.8 se obtienen los siguientes resultados:

n * s2 15(1,31) n * s 2 15(0,56)a. ae2 = ---------- =-------------- = 2 3 ,7 b. ae2= ----------- = ------------- =10,1

o2 0,83 o 2 0,83

FIGURA 2.8. Curvas Chi-cuadrado para e l Ejemplo 2.9


Los valores de la probabilidad se encuentran en la Tabla III del Apéndice I. En conclusión, la probabilidad de obtener una varianza superior a 1,31 g2 es 0,05 y la de obtener una varianza inferior a 0,56 g2es 0,25.

4. Distribución F-Fisher

En ocasiones es de importancia estudiar la relación de varianzas pertenecientes a dos poblaciones distintas. Para analizar esta situación se usa la distribución F- Fisher que es una distribución de probabilidad para la razón de varianzas. El estadístico por utilizar es:

F = --------- si o , 2 es igual a o 2 2

s2 2

s,2 /o , 2

F = --------- si a , 2 no es igual a o2 2

w

Esta distribución se origina al extraer muestras sucesivas de cada una de las poblaciones y al calcular el respectivo valor de F y de su probabilidad.

EJEMPLO 2.10

En un proceso de corte de varillas para un ensamble especial, existen dos máquinas cortadoras tecnológicamente parecidas aunque diferentes en antigüedad. Esta similitud hace pensar que las varianzas de corte generadas por ambas máquinas puedan ser comparadas.

Si se toma una muestra de 16 elementos de cada máquina, calcular la probabilidad de que la razón de varianzas sea:

a. Mayor a 1,43

b. Menor a 0,7

• ' s


SOLUCION

Utilizando la Figura 2.9 y la Tabla IV del Apéndice I se puede calcular esta probabilidad.

v, = nr 1 = 1 6 -1 =15

v2 =n2-1 = 16-1 = 15

Como respuesta al problema se tiene que la probabilidad de que la razón de varianzas sea superior a 1,43 es 0,25 y de que sea inferior a 0,7 es también 0,25.

=1.43

a1=0,25

Fv1y2.n2=0 ’7

F,5,15*2 =0.7

a2=0,25

FIGURA 2.9. Curvas Fpara e l Ejemplo 2.10


D is t r ib u c io n e s d e p r o b a b il id a d d e v a r ia b l e a l e a t o r ia d is c r e t a

Cuando el estudio de poblaciones no se hace a través de mediciones sino a través del conteo o separación por atributos, las distribuciones teóricas que se usan para la inferencia son más generales y se basan en la calificación del producto como bueno o como defectuoso. Algunas de las distribuciones más importantes se verán a continuación.

1. Distribución binomial

En muchas ocasiones no es posible o rentable controlar procesos mediante variables, por lo que es necesario tomar decisiones con base en los atributos que caractericen a un producto como bueno o como malo. Esta calificación depende de si cumple con lo especificado por el cliente. Una de las distribuciones que se utiliza como medio de inferencia estadística es la distribución binomial.

La distribución binomial es la distribución que se ajusta a experimentos que cumplen con las siguientes cuatro condiciones:

a. El experimento consiste de n pruebas.

b. Los resultados del experimento se enmarcan de forma que existe una probabilidad de éxito denotada por p y una probabilidad de fracaso denotada por q y que se calcula como q = 1-p.

c. Las pruebas ejecutadas deben ser independientes.

d. En cada prueba interesan x casos del total de casos.


n!b (x,n,p) = ---------------- px * qn-x

x! (n-x)

xP (x < X) = B (X.n.p) = X b(xi,n,p)

1 * 0

JORGE ACUNA ACUÑA 75

donde:

b(x,n,p): probabilidad de obtener x casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p

B(X,n,p): probabilidad de obtener menos de X casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p

1 • B(X,n,p): probabilidad de obtener más de X casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p

n: número de pruebas ejecutadas en el experimentox: número de casos exactos deseadosX: número de casos deseados ( implica <X o >X)p: probabilidad de éxito del experimentoq: probabilidad de fracaso del experimento

n-x: número de fracasos

Las probabilidades pueden ser calculadas mediante la evaluación de la fórmula o utilizando la Tabla V del Apéndice I.

La distribución binomial tiene un valor esperado (p) igual a n*p y varianza (o2) igual a n*p*q.

EJEMPL0 2 .i l

Un cliente establece que para aceptar un lote de producto que le envía el fabricante, éste debe cumplir con el contrato firmado. Este contrato establece que el lote se acepta si una muestra de 2 0 unidades extraída de él, contiene dos o menos defectuosos.

Si el fabricante envía un lote 10% defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea rechazado?

SOLUCION

Primero que todo se debe analizar si se cumple con las cuatro condiciones fijadas para la distribución binomial.


D is t r ib u c io n e s d e p r o b a b i l id a d d e v a r ia b l e a l e a t o r i a d is c r e t a

Cuando el estudio de poblaciones no se hace a través de mediciones sino a través del conteo o separación por atributos, las distribuciones teóricas que se usan para la inferencia son más generales y se basan en la calificación del producto como bueno o como defectuoso. Algunas de las distribuciones más importantes se verán a continuación.

1. Distribución binomial

En muchas ocasiones no es posible o rentable controlar procesos mediante variables, por lo que es necesario tomar decisiones con base en los atributos que caractericen a un producto como bueno o como malo. Esta calificación depende de si cumple con lo especificado por el cliente. Una de las distribuciones que se utiliza como medio de inferencia estadística es la distribución binomial.

La distribución binomial es la distribución que se ajusta a experimentos que cumplen con las siguientes cuatro condiciones:

a. El experimento consiste de n pruebas.

b. Los resultados del experimento se enmarcan de forma que existe una probabilidad de éxito denotada por p y una probabilidad de fracaso denotada por q y que se calcula como q = 1 -p.

c. Las pruebas ejecutadas deben ser independientes.

d. En cada prueba interesan x casos del total de casos.


n!b (x,n,p) = ---------------- px * q"-*

x! (n-x)

X

P (x < X) = B (X.n.p) = Z b( xjPn,p)i =0


donde:

b(x,n,p): probabilidad de obtener x casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p

B(X,n,p): probabilidad de obtener menos de X casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p

1 - B(X,n,p): probabilidad de obtener más de X casos, en n pruebas si la probabilidad de éxito es p

n: número de pruebas ejecutadas en el experimentox: número de casos exactos deseadosX: número de casos deseados ( implica <X o >X)p: probabilidad de éxito del experimentoq: probabilidad de fracaso del experimento

n-x: número de fracasos

Las probabilidades pueden ser calculadas mediante la evaluación de la fórmula o utilizando la Tabla V del Apéndice I.

La distribución binomial tiene un valor esperado (p) igual a n*p y varianza (o2) igual a n*p*q.

EJEMPL0 2 .i l

Un cliente establece que para aceptar un lote de producto que le envía el fabricante, éste debe cumplir con el contrato firmado. Este contrato establece que el lote se acepta si una muestra de 2 0 unidades extraída de él, contiene dos o menos defectuosos.

Si el fabricante envía un lote 10% defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que sea rechazado?

SOLUCION

Primero que todo se debe analizar si se cumple con las cuatro condiciones fijadas para la distribución binomial.


1. n = 20 3. Hay independencia

2. p = 0,10 4. x< 2

Por leyes de probabilidad se tiene que la probabilidad de rechazo es igual al complemento de la probabilidad de aceptación.

Sea:

P(X > 2) = 1 - P (X < 2)

2P(X < 2) = B(2,20,0,10) = X b(xi,n,p)

i=0

P(X < 2) = b(0,20,0,10) + b(1,20,0,10) + b(2,20,0,10)

20! 20! 20!P(X < 2) = -------- 0,10o * 0,9020 + ---------- 0,101 *0,9019 + -----------0,102*0,9018

20! *0! 19! *1! 18! *2!

P(X<2) = 0,1216+0,27+0,2853 = 0,6769

Probabilidad de rechazo = P(X>2) = 1 - P(X<2) = 1 -0,6769 = 0,3231

Si se utiliza la Tabla V del Apéndice I se tiene que:

P(X<2) = B (2,20,0,10) = 0,6769

P(X>2) = 1 - P(X<2) = 1 - 0,6769 = 0,3231

Por lo tanto la respuesta es que si se envía un lote 10% defectuoso la probabilidad de que sea aceptado es 0,3231.

2. Distribución de Poisson

Esta es otra distribución de variable discreta que puede ser utilizada como aproximación de la distribución binomial cuando se tienen muestras muy grandes y probabilidades de éxito muy pequeñas. La regla dice que la aproximación es mejor cuando el valor esperado (n*p) es menor que cinco. En control estadístico de la calidad se prefiere usar la distribución binomial para el control de defectuosos y la distribución de Poisson para el control de defectos.



e 'i'ff(x) = p(x,7 ) = ------------

x!

La función acumulada se expresa así:

F(x) = P(X,y) = I p (x„y)M>

donde:

P(*.Y): probabilidad de x éxitos en n pruebas

P(X,y) : probabilidad de hasta X éxitos en n pruebas

x : número de éxitos

y : media de la distribución ( y= n*p)

• e : constante exponencial con valor 2,71828

EL valor esperado del promedio y la varianza de esta distribución es Y=n*p. Las probabilidades correspondientes a esta distribución pueden ser localizadas en la Tabla VI del Apéndice I.

EJEMPLO 2.12

Una compañía farmacéutica afirma que existe una probabilidad de 0,005 de que un paciente que ingiere un nuevo medicamento, sufra una reacción secundaria. Si 2000 pacientes compran este medicamento, ¿cuál es la probabilidad de que ocho sufran efectos secundarios?

SOLUCION

p = 0,005 n = 2000 x= 8 y= 2000 *0,005 = 10

Utilizando la fórmula se tiene:


108p (8 , 1 0 ) = e 1 0 = 0,1126

8!

Utilizando la Tabla VI del Apéndice I.

p (8,10) = P (8,10) - P (7,10)

= 0,333 -0 ,220 = 0,113

Por lo tanto, la probabilidad de que ocho de los 2000 pacientes sufran efectos secundarios al ingerir el medicamento es 0,113.

Estimación de intervalos

En inferencia estadística, no es confiable hacer estimaciones puntuales al analizar los parámetros poblacionales. Ante ello, es necesario calcular intervalos en los cuales se espera que se encuentren esos parámetros, con un nivel de confianza (1 -a) establecido.

Es así como basándose en las distribuciones de probabilidad antes vistas, se pueden estimar intervalos tanto para p como para o2. La estimación de un intervalo para p se construye con base en la distribución normal, cuando cr es conocida y con base en la distribución t-student cuando a es desconocida.

Los límites de confianza para p, se calculan así:

_ aL = x ± Z „ * --------- si o es conocida

C OJc i

Nn

sL = x ± t * --------- si a es desconocida

C a/2 i-----------

sn-l

Los límites de confianza para a2, se calculan así:

ns2 ns2

Llc = -------------- LSC = -----or\2 oq2® 1-o/2 a/2

Llc= límite inferior de confianza LSC= límite superior de confianza

/)


EJEMPLO 2.13

Se toman 30 varillas cortadas por una máquina cortadora. Si se tiene una longitud promedio de 5,35 cm, con una desviación típica de 0,85 cm

a. ¿Cuáles son los límites de confianza para p, con 95% de confianza?

b. ¿Cuáles son los límites de confianza para o2, con 95% de confianza?

c. Si se conociera que a 2 es igual a 1,58 cm2, ¿cuál es la respuesta a la pregunta a?

SOLUCION

a. La Figura 2.10 representa el intervalo de confianza.

n = 30 x = 5,35cm s = 0,85cm (1-a) = 0,95 a = 0,05

s sLl = x - t _C (i/2

\I n- 1

L S C = X + t a *

v[rKf

= 5,35-2,0350,85

'Í2 9= 5,35 + 2,035

0,85

\Í29*

= 5,02 cm = 5,67 cm

= t0025/2= 2,045 de Tabla II en Apéndice I

FIGURA 2.10. Limites de confianza para p (a desconocida)


Esto significa que se puede afirmar con 95% de confianza que el proceso de corte de varillas tiene un promedio de corte comprendido entre 5,02 cm y 5,67 cm.

b. s2=0,852= 0,7225 cm2

La Figura 2.11 permite representar el intervalo de confianza.

n s2 30 (0,7225) 21,675L l= = ------------------= -----------------=0,474 cm2

^ 0 . 9 7 5 4 5 - 7 4 5.7

ns 2 30(0,7225) 21,675LS = --------- = ---------------- = --------------= 1,35 cm2

C 16 16

Los valores de chi-cuadrado están en la Tabla III del Apéndice I.

Esto significa que se puede afirmar con 95% de confianza que el proceso de corte de varillas tiene una varianza de corte comprendida entre 0,474 cm2y 1,35 cm2.

c. Si o2= 1,58 cm2 entonces o = 1,257 cm.

El intervalo de confianza se puede observar en la Figura 2.12.

0,025

FIGURA 2.11. Límites de confianza para r f


0 ,

L l c L I c

FIGURA 2.12. Limites de confianza para p (o conocida)

a 1,257Llc = x - = 5,35 -1 ,9 6 -------------= 4,9 cm

\[rT >Í30

a 1,257LSc = x + = 5,35 +1,96 = 5,8 cm

nTTT >130

Los valores de Z se obtuvieron de la Tabla I del Apéndice.

Esto significa que se puede afirmar con 95% de confianza que el proceso de corte de varillas tiene un promedio de corte comprendido entre 4,9 cm y 5,8 cm.

PRUEBAS DE HIPOTESIS

El desarrollo de experimentos en los cuales se plantean hipótesis con el fin de probarlas es una práctica muy útil en control estadístico de la calidad. A través de este procedim iento se pueden hacer inferencias acerca del comportamiento de un proceso con el fin de ejecutar acciones que prevengan problemas de calidad.

Una prueba de hipótesis es un procedimiento mediante el cual, sujeto a un error tipo I denotado por a, se contrasta una hipótesis planteada con el fin de probar su veracidad o su falsedad.


Existen dos tipos de errores que deben ser controlados al probar una hipótesis. Estos errores son el error tipo I (a) y el error tipo II (6 ). La definición de estos errores es la siguiente:

Error tipo I (a) es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo esta verdadera.

Error tipo II (3) es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula siendo esta falsa.

El procedimiento para plantear y probar una hipótesis es el siguiente:

a. Plantear la hipótesis. Esta hipótesis se llama comúnmente hipótesis nula y es denotada por H0. Al establecer esta hipótesis se genera otra llamada hipótesis alternativa o alterna denotada por Ha.

b. Determinar si la prueba debe ser unilateral o bilateral. La decisión se basará en lo que se desee probar y en los resultados que se deseen obtener.

c. Fijar el nivel de significación (a) o error tipo I, generalmente tomado como 1%, 5% ó 10%, dependiendo de la confianza que se desee de la estimación.

d. Definir el estadístico que se va a usar de acuerdo con la distribución de probabilidad que le corresponde a la variable en estudio y según lo que se desee probar (una media, dos medias, una varianza, dos varianzas, una proporción o dos proporciones).

e. Definir las áreas donde se cumplirá cada una de las hipótesis. Esto se hace con base en lo fijado en b. y buscando en tablas el estadístico teórico correspondiente al nivel de significación a.

f. Calcular el valor del estadístico seleccionado en d, usando los valores obtenidos en la experimentación y que se basaron en el muestreo.

g. Comparar el estadístico obtenido en f con el estadístico teórico localizado en e. El resultado permitirá conocer la decisión de aceptación o rechazo de la hipótesis planteada.

h. Obtener las conclusiones del experimento efectuado. Un valor importante de calcular aquí es el error tipo II.


Tal y como se expresó en el punto d es necesario definir la distribución de probabilidad y el estadístico que se va a usar. Las distribuciones y estadísticos más comunes de acuerdo con la hipótesis por probar son:

1. De una media

1.1 Distribución normal s i o es conocida

x -HZ = ---------

a/ \fñ

EJEMPLO 2.14

En un proceso de fabricación de piezas de precisión se quiere que el valor nominal del diámetro de una pieza sea 20,0 mm. Se conoce que la desviación estándar de esta característica es 3,0 mm. Se toma una muestra de 25 piezas obteniéndose un promedio de diámetro de 19,2 mm. ¿Se ha cumplido con lo requerido? Use a=5%.

SOLUCION

Se seguirá el procedimiento planteado.

a. Planteo de la hipótesis

H0: p = 20,0

Ha: |i = 20,0

b. La hipótesis es bilateral puesto que no se cumple con lo requerido si el promedio de la muestra es mayor o menor que lo especificado.

c. El nivel de significación es dado, a= 5%.

d. El estadístico por usar es el siguiente:


x -U z=------

o/

e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura2.13.

f. Cálculo del estadístico citado en d.

X -n 19,2-20,0Z = --------- = ------------------- = -1 ,33

o/ 'íñ 3,0/^25

g. El valor de Z calculado (-1,33) se encuentra en el área de cumplimiento de la hipótesis nula.

h. En conclusión, se puede afirmar, con a=5%, que estadísticamente se cumple con el valor nominal requerido.

1.2 Distribución t-student s i a es desconocida

x - nt = ---------

s/ \íñ

FIGURA 2.13. Areas de cumplimiento de la hipótesis

JORGE ACUÑA ACUÑA 8 5

EJEMPLO 2.15

Si en el Ejemplo 2.14 no se conoce la desviación estándar pero a partir de la muestra se calcula una desviación típica de 2,1 mm ¿Qué conclusiones se obtienen? Use a=5%.

SOLUCION



H0: P = 2 0 , 0

Ha: p = 20,0

b. La hipótesis es bilateral puesto que no se cumple con lo requerido si el promedio de la muestra es mayor o menor que lo especificado.

c. El nivel de significación es dado, a = 5%.


x-|it = ------------

s / ^n-1

v=24



e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura2.14.


x - p 19,2-20,0t = ------------------ = -------------------- = -1,87

s/ \fñ-T 2 , 1 / \[24~

g. El valor de t calculado (-1,87) se encuentra en el área de cumplimiento de la hipótesis nula.

h. En conclusión, se puede afirmar, con a = 5%, que estadísticamente se cumple con el valor nominal requerido.

2. De proporciones

2.1 De una proporción. Se usa la aproximación binomial a la distribución normal.

x -n pZ = ------------

Vnpq

EJEMPLO 2.16

Un proveedor envía lotes de producto que según sus registros son 5% defectuosos. Un cliente toma una muestra de 200 unidades y encuentra 16 unidades defectuosas. ¿Es cierto lo que muestran los registros del fabricante, con cc=5%?

SOLUCION

Se seguirá el procedimiento planteado,


JORGE ACUÑA ACUÑA

H0: p = 0,05

Ha: p > 0,05

b. La hipótesis es unilateral puesto que lo problemático en cuanto a calidad es que el porcentaje de defectuosos supere lo especificado.



x -n pZ =

\|npq

e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura 2.15.


x -n p 16-200(0,05)Z = — = =1-95

\| npq \|200*0,05*0,95

g. El valor de Z calculado (1,95) se encuentra fuera del área de cum-plimiento de la hipótesis nula.

1,645



h. En conclusión, no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula con a = 5%. Por lo tanto, estadísticamente no es cierto lo que anotan los registros del fabricante.

2.2 De dos proporciones. Se utiliza la misma aproximación anterior.

x, x.

Z =n, n 2

\l P’q’[(1/n.)+(1/n2)]

x, + x2

p- = -------------- q - 1 - P’n, + n2

EJEMPLO 2.17

Para el mismo producto del Ejemplo 2.16, existe otro proveedor. Una muestra de 2 0 0 unidades extraídas de un lote enviado por él, tenía 1 2 unidades defectuosas. ¿Se puede decir con 95% de confianza que el proveedor del Ejemplo 2.16 da peor calidad que el de este ejemplo.

SOLUCION



Sea:

p la fracción defectuosa suministrada por el proveedor del Ejemplo 2.16

p2la fracción defectuosa suministrada por el proveedor del Ejemplo 2.17

H0: P, = P2

Ha; P,>P 2


b. La hipótesis es unilateral puesto que se quiere probar si la cantidad de defectuosos enviada por un proveedor es significativamente mayor que la enviada por el otro.



X, Xj,

n, n2

\l P’q’tí 1 /n,)+(1 /n2)]

X 1 + X 2

P’ = ------------n, + n2

q' = 1 - p’

e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura 2.16.



g. El valor de as2 calculado (23,2) se encuentra en el área de cumplimiento de la hipótesis nula.

h. En conclusión, se puede afirmar, con a = 5%, que estadísticamente se cumple con la varianza establecida.

3.2 Caso de dos varianzas

Se utiliza la distribución F-Fisher.

3.2.1 o , 2 es igual a o2 2

s , 2

F = ---------

S2 2

3.2.2 o,2no es igual a o 2 2

S,2 /Oi2

F = -------------s ,2/ o22

EJEMPLO 2.19

En un proceso de corte de bolsas plásticas se usan dos máquinas. De la máquina A se toma una muestra de 30 unidades que genera una varianza en el corte de 3,3 mm2 y de la máquina B se toma una muestra de 25 unidades que genera una varianza de 4,1 mm2. ¿Se puede afirmar, con o=5%, que una máquina es mejor que la otra?

SOLUCION



Sea a2Ala varianza producida por la máquina A

ct2b la varianza producida por la máquina B


Ho: ° 2 a= ° 2b

H . :< j 2 a = ° 2b

b. La hipótesis es bilateral puesto que se desea probar la existencia o no de diferencias entre las varianzas de ambas máquinas.



e. La Figura 2.18 muestra las áreas de cumplimiento de hipótesis.


s , 2 3,3F = -----------= ---------- = 0,805

S22 4,1

g. El valor de F calculado (0,805) se encuentra en el área de cumplimiento de la hipótesis nula.

h. En conclusión, se puede afirmar, con a=5%, que no existe ninguna diferencia de variabilidad entre ambas máquinas.


4. De dos medias

En este tipo de hipótesis se tienen dos poblaciones y se desean comparar los promedios generados después de haber extraído una muestra de cada una de las poblaciones. Esto se puede representar según la Figura 2.19.

POBLACION POBLACION1 2

FIGURA 2.19. Representación gráfica de hipótesis de dos medias

4.1 Caso de o conocida y muestras mayores que 30

4.1.1 a,2= o22= o

x , - x 2 - 8Z = -----——— — — —

o \| ( 1 /n,)+(1 /n2)

5: diferencia deseada entre medias, generalmente debida a la naturaleza tecnológica de los procesos, de los cuales se extraen las muestras

4.1.2 o , 2 no es igual a o 2 2

x , - x 2 - 8 Z = —— —

\ | (o,2 /n 1 )+(a2 2 /n2)

EJEMPLO 2.20

Las máquinas a que se refiere el Ejemplo 2.19 cortan las bolsas con promedios de longitud de 16,1 mmy 14,3mm. La varianza es conocida y es 4,0

» "N

• ' s


mm2. Se dice que existe diferencia entre los promedios de ambas máquinas si la diferencia es mayor a 0,12 mm. ¿Existe diferencia entre la longitud de bolsas fabricadas por ambas máquinas? Use a=5%.

SOLUCION



Sea pAel promedio de longitud generado por la máquina Ay

Sea pBel promedio de longitud generado por la máquina B

Ho" Ma®

H a: MA = M B

b. La hipótesis es bilateral puesto que lo que se desea probar es si ambos promedios son ¡guales o diferentes.



x , - x2- 5Z = ■

o \ | ( 1 /n,)+(1 /n2)

e. Las áreas de cumplimiento de la hipótesis se presentan en la Figura 2 .20.


x , - x2- 5 1 6 , 1 - 1 4 , 3 - 0 , 1 2Z = - = ------------------------------=3,1

o\l(1/n,)+(1/n2) 2 \|(1/30)+(1/25)

5 = 0 ,1 2

CONTROL DE CALIDAD


g. El valor de Z calculado (3,1) se encuentra fuera del área de cumplimiento de la hipótesis nula.

h. En conclusión, se puede afirmar, con a = 5%, que estadísticamente existe diferencia entre la longitud de las bolsas suministradas por ambas máquinas.

4.2Caso de o desconocida. En este caso se requiere ejecutar antes la prueba F para varianzas.

4.2.1 o , 2 no es igual a cj2 2

x , - x 2- 8

t =\J (s*/n j+(s22/n2)

( s ^ W s ^ / n /v = [-------------------------------------------------- ] - 2

{[(s,2 /n,)2/(n + 1 )]+[(s2 2 /n2 )2 /(n2 + 1 )]}

4.2.2 o ^ e s ig u a la a /y n(>30


x , - x 2 - 8t =

\| (s1 */n,)+(s2 */n2)

v = n, + n2 - 2

4.2.3 a,2es¡gualaa22ynj<30

x , - x 2- 6

t = ----------------------------SpV(1/n,)+(1/n2)

SP=\| [(n , - 1 )s,2 +(n2 - 1 )s2 2 ]/(n,+n2 - 2 )

v = n, + n2 - 2

EJEMPLO 2.21

Una inspección de calidad efectuada sobre dos marcas de baterías para linterna, reveló que una muestra aleatoria de 61 unidades de la marca A generó un promedio de vida útil de 36,5 horas con una desviación estándar de 1, 8

horas, mientras que otra muestra aleatoria de 31 unidades de la marca B generó un promedio de 36,8 horas con una desviación estándar de 1,5 horas.

Con un nivel de significación del 5% se desea saber si hay diferencia significativa entre la vida útil de ambas marcas.

SOLUCION

Para probar si hay diferencia significativa entre los promedios se debe comprobar primero la diferencia entre las varianzas, para así seleccionar el estadístico adecuado.

1. Hipótesis de varianzas

Siguiendo los pasos de una prueba de hipótesis se tiene:



g. El valor de Z calculado (3,1) se encuentra fuera del área de cumplimiento de la hipótesis nula.

h. En conclusión, se puede afirmar, con a = 5%, que estadísticamente existe diferencia entre la longitud de las bolsas suministradas por ambas máquinas.

4.2Caso de o desconocida. En este caso se requiere ejecutar antes la prueba F para varianzas.

4.2.1 o , 2 no es igual a o

t =x , - x 2-S

\J (s 2 /n,)+(s 2 /n,)

(s,2 /n,)+(s2 2 /n 2 ) 2

v = [ ] - 2

{[(s1 2 /n 1 )2 /(n 1 + 1 )]+[(s2 2 /n2 )2 /(n2 + 1 )]}

4.2.2 o,2es igual a o,2y n(>30


x, ~ x2- 5t = ----------------------------

\| (s,2 /n,)+(s2 7n2)

v = n, + n2 - 2

4.2.3 a /'e s ig u a la a /y n ^S O

x 1- x 2 - 8

t = ----------------------------SpV(1/n,)+(1/n2)

Sp=\| [(nl-1)s)2 +(n2 -1)s 2 2 y(n 1 +n2 -2)

v = n, + n2 - 2

EJEMPLO 2.21

Una inspección de calidad efectuada sobre dos marcas de baterías para linterna, reveló que una muestra aleatoria de 61 unidades de la marca A generó un promedio de vida útil de 36,5 horas con una desviación estándar de 1 , 8

horas, mientras que otra muestra aleatoria de 31 unidades de la marca B generó un promedio de 36,8 horas con una desviación estándar de 1,5 horas.

Con un nivel de significación del 5% se desea saber si hay diferencia significativa entre la vida útil de ambas marcas.

SOLUCION

Para probar si hay diferencia significativa entre los promedios se debe comprobar primero la diferencia entre las varianzas, para así seleccionar el estadístico adecuado.

1. Hipótesis de varianzas

Siguiendo los pasos de una prueba de hipótesis se tiene:

98 CONTROL DE CAUDAD


b. Como la hipótesis alternativa es de desigualdad, entonces es bilateral. Esto significa que puede darse una relación mayor o menor.

c. El nivel de significancia es a= 5%.

d. El estadístico por usares Fc= S,z/S22(distribución F-Fisher), pues lo que se desea es medir la relación de varianzas.

e. La Figura 2.21 muestra las áreas de la hipótesis que se va a probar.

vi =n1 - 1 = 6 1 - 1 = 6 0

v2 = n 2 -1 =31 - 1 = 30

De la Tabla IV del Apéndice I se tiene:

F

F

60.30.0 975

60,30.0.025= 0,551

= 1,440

Ha

’ (

F V I , V 2 , 0 ( / 2 F v i f V 2 , ( l - 0 ( / 2 )


JORGE ACUNA ACUNA 9 9

f. Fc= S,2 /S2 2 = 1,82 /1,52 = 1,44

g. Este valor calculado de Fc cae en el área donde se cumple H0, por lo tanto se acepta Ho.

h. Se concluye que ambas varianzas, al 5% de significancia, son iguales.

Se procede entonces a hacer la hipótesis de promedios.

Siguiendo los pasos de prueba de hipótesis se tiene:


H0: ^1+^2 H8 :p , + p 2

b. La hipótesis es bilateral al igual que en la hipótesis anterior.

c. El nivel de significación es del 5%.

d. Según la hipótesis anterior las varianzas son desconocidas pero igua* les, además, los» iamaños de muestra son mayores que 30. Por lo tanto el estadístico por usar es:

t=—= = =\ | (s,2 /n,) + (s2 z/n2)

e. Las áreas de cumplimiento y rechazo de la hipótesis se observan en la Figura 2.22.

v = n 1 + n 2 - 2

v = 61 +31 - 2

v = 90

De la tabla II del Apéndice I se obtienen los valores:

*90.0.025 = ~^ *90.0.975 = ^

f. El estadístico calculado es:


Ho


36,5 - 3 6 ,8 -0t =

\|(1,82/61) + 1,52/31)

-0 ,3t = ----------= -0,845

0,355

En este caso (p, - p2) = 0 pues es de suponer que tratándose de un mismo producto las medias poblacionales son iguales.

g. El valor de t calculado cae dentro del área donde se cumple Ho, por lo tanto, no hay evidencia estadística, con a = 5%, para concluir que ambas medias son diferentes.

BONDAD DE AJUSTE

Una de las bases fundamentales del control estadístico de la calidad es la inferencia estadística. Por ello, la determ inación del tipo de distribución correspondiente a un conjunto de datos provenientes del estudio es absolutamente necesaria. La prueba de bondad de ajuste permite probar el ajuste de los resultados de un experimento a una distribución de probabilidad teórica sujeto a un error a.

I


El método en cuestión se basa en la comparación de las frecuencias absolutas observadas y las frecuencias absolutas esperadas, calculadas a partir de la distribución teórica en análisis.

La prueba de bondad de ajuste se hace a través de una prueba de hipótesis que se plantea de la siguiente manera:

H0 : f(x )= |_____ |

H.:f(x) = l_____ |

El símbolo |_____| representa a la distribución teórica que se va a probar.Así por ejemplo, si se desea probar el ajuste de un conjunto de datos experimentales a una distribución normal, entonces la hipótesis se plantea así:

1Ho: f(x) = --------------e-«x->1»2/2a2>

o \|2 rc

1H : f(x) = --------------e-u»-vr2n«2)

ONÍ27

Si se trata de un ajuste para una distribución de Poisson, la hipótesis se plantea así:

e"T y*Ho: f(x) = p (x, 7 ) = ------------

x!

e-Y y*Ha: f(x) = p (x, y) = ------------

x!

Para la prueba de la hipótesis se usa el estadístico chi-cuadrado. Este se calcula así:

a. Datos discretos

naB2c = Z (n i- e j)2/ ej

i= 1


b. Datos agrupados

ncae2c = X (nk- e k)2 /e k

k=1

donde:

a: frecuencia absoluta de datos discretos

e¡: frecuencia esperada de la distribución (por requisitos estadísticos, ninguna de estas frecuencias debe ser menor que 5. Si ocurriese se deben agrupar x^s o clases).

n: número de datos discretos

nc: número de clases

La frecuencia esperada se calcula multiplicando la respectiva probabilidad asociada con el dato o la clase (p,) por el tamaño de la muestra (n).

Los grados de libertad (v) usados para la búsqueda del estadístico teórico ee2„ .son:(1 -a)

v= k-m - 1 si se trata de datos discretos (k es el número de variaciones de la variable x) y

v= nc-m - 1 si son datos agrupados.

El valor m se refiere al número de parámetros que son necesarios de estimar para calcular la frecuencia esperada.

La aceptación de Ho se da cuando el ae2c es menor que ce2(1_0). en cuyo caso se dice que el conjunto de datos se distribuye según la distribución planteada, con (1 -<x)% de confianza.

EJEMPLO 2.22

Al fabricar una lámina de vidrio, se inspeccionan muestras a intervalos de tiempo regulares. En 250 muestras tomadas al azar se han encontrado imperfecciones que varían de 0 a 10 con diversas frecuencias. El Cuadro 2.4 muestra las frecuencias observadas.

I

JORGE ACUÑA ACUÑA ,0 3

Se desea saber si esta variable aleatoria se distribuye por Poisson con

SO L U C IO N

La hipótesis por probar es la siguiente:e - T y

H0: f(x) = p (x, y) = -------------- con y=3x!

e-TY*Ha: f(x) = p (x, y) = ---------------- con y=3

x!

El valor de y se calcula así:

kIn .* x ,

número total de defectos i = 1

Y = --------------------------------------- ---------------número de muestras n

k: número de variaciones de las imperfecciones

8*0 + 40*1 + 6 2 *2 + ................+ 1*10Y = -------------------------------------------------

250

Y = 740/250 = 2,96 3,0

Como muestra de cálculo se presenta la frecuencia esperada de x=0 y x=6 . El Cuadro 2.4 presenta la totalidad de los cálculos.

Para x,= 0

3op, = e 3 ------- =0,0498

0!

104 CONTROL DE CALI DAD

CUADRO 2.4. Frecuencias observadas y esperadas

Número de Frecuencia Probabilidad Frecuenciaimperfecciones observada Poisson (y=3) esperada

(x.) (n.) (pt) (e.)

0 8 0,0498 12,51 40 0,1494 37,42 62 0,2240 56,03 54 0,2240 56,04 43 0,1680 42,05 27 0,1008 25,26 1 0 0,0504 1 2 , 6

7 3 — 0,0216 5,4“8 2 6 0,0081 2 , 0

9 0 0,0027 0,71 0 1 0,0008 0 , 2 _

e, = 0,0498 *250 =12,45

Para x7 = 6

36

p7 = e 3 = 0,05046 !

e7= 0,0504 *250 =12,60

( 8 — 12,5 ) 2 (40 - 37,4 ) 2 (6 -8 ,3 ) 2

ae2c = ----------------+ ------------------- + ................+ ---------------12,5 37,4 8,3

as2 =3,84

El número de grados de libertad es:

v = k-m-1 = 8 - 1 - 1 = 6

m = 1 puesto que se estima y


La Figura 2.23 muestra el valor de chi-cuadrado teórico.

FIGURA 2.23. Representación de las áreas de hipótesis

Como ae2c< ae260g5, entonces se acepta la hipótesis nula y se puede afirmar con a = 5% que la variable aleatoria se distribuye mediante Poisson con media igual a 3 imperfecciones.

EJEMPLO 2.23

Una muestra de 100 unidades tomadas de una máquina llenadora de bolsas de cacao en polvo, originó la distribución de frecuencias de peso (gramos) que se presenta en el Cuadro 2.5.

¿Se puede afirmar, con a=5%, que la variable aleatoria peso se distribuye según la distribución normal?

SOLUCION

El Cuadro 2.5 presenta los cálculos necesarios para probar la hipótesis de normalidad.

La hipótesis por probar es:

106 CONTROL DE CALI DAD


L, L . n* d nk*d nk*d2 P. ek

— 75,55 0 _ l r 72,4 -3 0 0 0,0087 0,87 —75,55 81,85 5 5 78,7 -2 -10 20 0,0483 4,83 5,781,85 88,15 15 85,0 -1 -15 15 0,1607 16,0788,15 94,45 35 91,3 0 0 0 0,2903 29,0394,45 100,75 25 97,6 1 25 25 0,2830 28,30

100,75 107,05 12 103,9 2 24 48 0,1644 16,44 —107,05 113,35 8 20 110,2 3 24 72 0,03666 3,66 20,9113,35 +e° 0 _ 116,5 4 0 0 0,0080 0,80__

TOTALES: 48 180

1H :f(X )=---------------e-K*-n)2 /2 a2 ]O ' ' ,-----

a \Í2rc

1Ha:f(x) = ------------ e-f<x-">2/2°21

a \J 27t

Con el fin de proceder al cálculo de las frecuencias esperadas se necesita estimar la media (p’) y la desviación estándar (o').

p’ = 91,3 + [(48/100) * 6,3] = 94,324 gramos

a’ = 6,3 V (180/100) - (48/100)2= 7,893 gramos

La distribución teórica se presenta en la Figura 2.24. Los cálculos correspondientes son los siguientes:

75,55-94,324Z=----------------------=-2 ,38

7,893A, = 0,0087

JORGE ACUÑA ACUÑA

I

107

Límites de clase

FIGURA 2.24. Curva normal para cálculo de probabilidades

Z=

Z=

z=

z=

z=

z=

81,85 -94,324

7,,893

88,15 - 94,324

7,893

94,45 - 94,324

7,893

100,75 - 94,324

7,893

107,75 -94,324

7.893

113,35 - 94,324

= -1,58

= -0,78

= 0,81

= 1,7

= 2,41

A2= 0,057 - 0,0087 A2= 0,0483

A3= 0,2177-0,057 A =0,1607

A =0,508-0,2177= 0,016 A =0,2903

7,893

As= 0,791 -0 ,508 A5= 0,283

A6= 0,9544-0,791 A =0,1644

A?= 0,992 - 0,9544A7= 0,0366A„= 1 -0 ,9 9 2 = 0,008o


El valor del estadístico chi-cuadrado calculado es el siguiente:

(5 - 5,7) 2 (1 5 -1 6.07)2 (20 - 20,9) 2

+.... +5.7 16,07 20,9

Como m=2, pues se estima la media y la desviación estándar para el cálculo de las frecuencias esperadas, entonces:

La Figura 2.25 muestra las áreas de la hipótesis.

Como as2c< 5,99, entonces se acepta Hoy se puede afirmar con 5% de nivel de significancia que la variable peso se distribuye normalmente con media igual a 94,324 gramos y desviación estándar igual a 7,893 gramos.

ANALISIS DE VARIANZA

El análisis de varianza es una de las técnicas del diseño de experimentos de mayor aplicación, pues ofrece resultados muy útiles para la toma de decisiones. Consiste en una prueba de hipótesis para la diferencia de más de dos

v = 5-2-1 =2

F ( x )

*2,0,95 - 5 ,99

FIGURA 2.25. Curva chi-cuadrado, para la hipótesis de bondad de ajuste


medias. En esta prueba se tienen k-parámetros poblacionales distribuidos normalmente, cuya variación se estudia dividiéndola en componentes.

La hipótesis general que se va a probar se plantea así:

Ho: H i= m = = m*H : Al menos dos de las medias son diferentes.a

Si la hipótesis nula es rechazada, se pueden hacer comparaciones individuales a través del Método de Tukey, el que veremos más adelante. En el análisis de varianza se presume que cualquier variación existente entre los promedios de una o más variables categorizadas se debe a:

1. Una variación entre las observaciones Y„dentro de cada categoría (variación inter) o

2. Una variación entre las categorías debido a sus características propias (variación extra).

La variación inter se debe al azar mientras que la variación extra se debe a causas sistemáticas. Para tratar lo anterior, el análisis de varianza separa la variabilidad total en dos componentes:

1. Variabilidad entre categorías, midiendo variación sistemática y aleatoria.

2. Variabilidad dentro de las categorías, midiendo variabilidad aleatoria.

El procedimiento consiste en comparar las dos estimaciones de o2, una basada en la varianza entre medias muéstrales y otra basada en la varianza dentro de las muestras. Estas varianzas se calculan así:

n _o 2 = Z (Y. - Y)2 /(n-1) varianza dentro de la muestra

i= 1

m _ _o 2 = n * [ I (Y. - Y)2 /(m-1)] varianza basada en medias muéstrales

i=1

La conclusión se obtiene una vez que se compare el valor de F calculado como el cociente de ambas varianzas con el F teórico extraído de tablas.



L, L, n„ Xk d nk*d nk*d2 P. ek

—> 75,55 °~ 1 r 72,4 -3 0 0 0,0087 0,87— ] 5.775,55 81,85 5 5 78,7 -2 -10 20 0,0483 4,8381,85 88,15 15 85,0 -1 -15 15 0,1607 16,0788,15 94,45 35 91,3 0 0 0 0,2903 29,0394,45 100,75 25 97,6 1 25 25 0,2830 28,30

100,75 107,05 12 —I 103,9 2 24 48 0,1644 16,44 —107,05 113,35 8 20 110,2 3 24 72 0,03666 3,66 20,9113,35 +co 0 116,5 4 0 0 0,0080 0,80

TOTALES: 48 180

1Ho: fM = — e-[<x-*,)2/2o2>

a ^271

1Ha:f(x) = ------------ enx-»)V2<¿)

O \] 271

Con el fin de proceder al cálculo de las frecuencias esperadas se necesita estimar la media (p’) y la desviación estándar [&).

p’ = 91,3 + [(48/100) * 6,3] = 94,324 gramos

a’ = 6,3 V (180/100) - (48/100)2= 7,893 gramos

La distribución teórica se presenta en la Figura 2.24. Los cálculos correspondientes son los siguientes:

75,55 - 94,324Z=----------------------= -2,38

7,893A, = 0,0087


75,55 81,85 88,15 94,95 100,75 107.75 113,35

Límites de clase

FIGURA 2.24. Curva normal para cálculo de probabilidades

Z=

z=

z=

z=

z=

z=

81,85 - 94,324

7,,893

88,15 -94,324

7,893

94,45 - 94,324

7,893

100,75 - 94,324

7,893

107,75 - 94,324

7,893

113,35 - 94,324

7,893

A2= 0,057 -0,0087 = -1,58 A2= 0,0483

A3= 0,2177-0,057 = -0,78 A3 = 0,1607

A4= 0,508-0,2177 = 0,016 A 4 = 0,2903

A5= 0,791 -0,508 = 0,81 A =0,283

A6= 0,9544-0,791 = 1,7 A =0,1644

A7= 0,992-0,9544 = 2,41 A7= 0,0366

A =1 - 0,992 = 0,008


Según el número de variables en estudio el análisis de varianza recibe el nombre de clasificación en una dirección o en dos direcciones. Esto también se conoce como una variable y dos variables de clasificación.

Clasificación en una dirección

La denominación “clasificación en una dirección” se debe a que la variable en estudio se clasifica en un solo sentido y se le llama tratamiento. En este análisis se seleccionan muestras aleatorias de tamaño n de m-poblaciones pertenecientes a cada variable categorizada. La representación matricial de esta clasificación se encuentra en el Cuadro 2.6.

La hipótesis que se prueba es la siguiente:

Ho: Mm = M-,2® M-.3= ••••= KmH : no todas las u.i’s son iguales3

CUADRO 2.6. Matriz de una variable de clasificación

Tratamientos

Observación 1 2 3 4 m

1 Y„ Y« y 1 3 Y,, ...... •••• Ylm2 y „ yk y 2 3 Y?< ..... •••• Y2m3 y3, Y3 2 Y3 3 Y3 4 ..... .... Y ^4 Y., Y« Y« Y4 4 ..... Y4m

n Yn 1 Ytó Yf»3 Yn 1 ..... .... Y ^

TOTALES T, t 2 T.3 T, .... .... Tnm T..

MEDIA Y, Y, Y a Yo ..... ..... Y.m Y..


El valor de Y.significa el valor asignado a la observación i en la categoría o tratamiento j.

El análisis de varianza se hace con base en el Cuadro ANOVA como un medio de evitar cálculos tediosos. El Cuadro 2.7 presenta el cuadro ANOVA para una variable de clasificación.

El error especifica la variación aleatoria dentro de los tratamientos. El significado y fórmulas de cálculo de los términos usados son los siguientes:

m : número de tratamientos

n : tamaño de la muestra.

SIC(TR): Suma intermuestral de cuadrados de tratamientos

mSIC(TR)= [( IT ,) /n ]-C

M

mC= T..*m*n T . . -E T ,

M

T..= Gran Total de las m*n observaciones

STC: Suma Total de Cuadrados

CUADRO 2.7. Cuadro ANOVA para una variable de clasificación

Origen de Grados de Suma de Cuadrado F.variación libertad cuadrados medio

Tratamiento m- 1 CMm GNUError m*(n-1 ) SCE CME CME

TOTAL m*r> - 1 STC


STC=m n

[ I I Yij2] - C i= 1 j= 1

SCE: Suma de cuadrados del error.

SCE= s t c - s ic (TR)

CM<W Cuadrado medio de los tratamientos

CM(TR ,=SIC(TR,

(m-1 )

CME: Cuadrado medio del error

CME=SCE

m*(n-1 )

La aceptación de la hipótesis nula se da cuando el F teórico es menor que el F calculado. La Figura 2.26 mucctra el área de cumplimiento de la hipótesis.

F (*)

I

' vl.v2.(1-u)

FIGURA 2.26. Area de cumplimiento de la hipótesis

EJEMPLO 2.24

Para comparar la efectividad de tres tipos diferentes de pintura fosforescente usados para pintar cuadrantes de indicadores de instrumentación


náutica, se pintan ocho cuadrantes con cada una de las pinturas. Luego, se iluminan los cuadrantes con luz ultravioleta y se mide el tiempo-en segundos- que los números del cuadrante quedan iluminados después de apagar la luz. La información generada se presenta en el Cuadro 2.8.

¿Se puede afirmar con a=1 % que las diferencias observadas entre las medias de los tipos de pintura son significativas o se deben simplemente al azar?

SOLUCION

H0:u 1 = fi2= ft3Ha: Al menos dos p’s no son iguales

Según los datos suministrados por el Cuadro 2.8:

T , = 378

T 2=396,6

CUADRO 2.8. Matriz de información para el análisis de varianza

Tipo de pintura

Cuadrante 1 2 3

1 46,3 38,7 62,32 48,2 53,6 64,73 42,0 49,3 56,24 41,8 47,3 60,25 48,9 51,4 53,66 51,0 53,9 55,57 49,7 43,6 61,88 50,1 48,8 54,5

TOTAL 378,0 396,6 468,8 1243,4

PROMEDIO 47,3 49,6 58,6 51,8


T 3= 468,8

T =1243,4

Se calculan entonces los factores del cuadro ANOVA.

(1243.4)2C ----------------- 64418,479

24

3782 + 396,62 + 468,82SIC,TD= ------------------------------------------ 64418,479 = 575,146

r 8

STC = (46,32+ 38,72+ 62,32+ ......+ 54,52) - 64418,479

STC = 65285,04 - 64418,479 = 866,561

SCE = 866,561 - 575,146 = 291,415

575,146CM(TR)= -------------------=287.573

2

291,415CME = ---------------------- =13,877

21El Cuadro 2.9 presenta el Cuadro ANOVA correspondiente a este ejemplo.

La Figura 2.20 presenta las áreas de hipótesis.

Como Fces mayor que el F teórico, no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de igualdad de medias, con a= 1%. Por lo tanto, la efectividad de cada tipo de pintura es diferente.

La Figura 2.27 presenta las áreas de la prueba.

Clasificación en dos direcciones

La denominación “clasificación en dos direcciones” se debe a que existen dos variables en estudio que se clasifican en dos sentidos, llamándose uno tratamiento y el o tro .


CUADRO 2.9. Cuadro ANOVA para el Ejemplo 2.17

Origen de Variación

Grados de libertad

Suma de Cuadrados

CuadradoMedio

F*C

PinturaError

2

2 1

575,146291,415

287,57313,877

20,73

TOTAL 23 866,561

* De Tabla IV del Apéndice.

En este análisis se seleccionan muestras aleatorias de tamaño n para cada alternativa correspondiente a la intersección de las variables de clasificación según su categoría. La representación matricial de esta clasificación se encuentra en el Cuadro 2.10.

En este caso se prueban dos hipótesis, una para tratamientos y otra para bloques. Ambas hipótesis son independientes, por lo que sus resultados no se asocian. Las hipótesis son las siguientes:



CUADRO 2.10. Matriz de dos variables de clasificación

Bloques

1 2 3 4 • • n Total Media

T 1 R

Y„ y I2 Y13 Y „ • • Yln T, Y,

A 2 T

y „ y22 y23 y24 • Y2n y2

A 3 M

y31 Y * Y33 Ym • • Y * t 3 -<U

I 4 E

y41 y <2 Y4 3 Y44 • Y^ t 4 Y4

N • • • • • • • •

T0 • • • • • • • •

Sm Y., Y ., Y** Y(n4 • • • Y ^ Tm Ym

TOTAL T, T. T .3 t . Tn T..

MEDIA Y, y 2 y 3 Y 4 • • Y.n Y..

- Para bloques

Ho: M. = 2= M 3 = -" = KmHa: no todas las j i. j ’s son iguales

- Para tratamientos

Ho: lA1.= m = ^3 .= - - = n.Ha: no todas las jj.í’s son iguales

El valor de Y(j significa el valor asignado a la observación del bloque i y el tratamiento j.


Este análisis de varianza se hace también con base en el Cuadro ANOVA como un medio de evitar cálculos tediosos. El Cuadro 2.11 presenta el cuadro ANOVA para dos variables de clasificación.

El significado y fórmulas de cálculo usados son los siguientes:

m: número de tratamientos

n: número de bloques

SIC(TR): Suma intermuestral de cuadrados de tratamientosm

SIC(TR)= [ (X T. 2)/n] - CÍ=1

SIC(0L): Suma intermuestral de cuadrados de bloques

S I C (b l>= t( I T /)/n ] - C i=i

n mC= T..2/m*n T..= I T = X T .

¡=1 1 ¡=1

CUADRO 2.11. Cuadro ANOVA para dos variables de clasificación

Origen de variación

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Cuadradomedio

Tratamiento m-1 SIC™ cm (TH,

CME

Bloque n-1 SIC(BL, cm (BU c m (BL(

Error (m-1)*(n-1) SCE CMECME

TOTAL m*n-1 STC


T ,* 468,8 T =1243,4

Se calculan entonces los factores del cuadro ANOVA.

(1243.4)2C = ---------------- = 64418,479

24

3782 + 396,62 + 468,82 SIC ------------------------------------------64418,479 = 575,146

(TR8

STC = (46,32+ 38,72+ 62,32+ ......+ 54,52) * 64418,479

STC = 65285,04 - 64418,479 = 866,561

SCE = 866,561 - 575,146 = 291,415

575,146CM(TH)= -------------------=287,573

2

291,415CME = ----------------------=13,877

21

El Cuadro 2.9 presenta el Cuadro ANOVA correspondiente a este ejemplo. La Figura 2.20 presenta las áreas de hipótesis.

Como Fces mayor que el F teórico, no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de igualdad de medias, con a= 1%. Por lo tanto, la efectividad de cada tipo de pintura es diferente.

La Figura 2.27 presenta las áreas de la prueba.

Clasificación en dos direcciones

La denominación “clasificación en dos direcciones” se debe a que existen dos variables en estudio que se clasifican en dos sentidos, llamándose uno tratamiento y el o tro .



Origen de Grados de Suma de Cuadrado F*Variación libertad Cuadrados Medio

Pintura 2 575,146 287,573 20,73Error 21 291,415 13,877

TOTAL 23 866,561

De Tabla IV del Apéndice.

En este análisis se seleccionan muestras aleatorias de tamaño n para cada alternativa correspondiente a la intersección de las variables de clasificación según su categoría. La representación matricial de esta clasificación se encuentra en el Cuadro 2.10.

En este caso se prueban dos hipótesis, una para tratamientos y otra para bloques. Ambas hipótesis son independientes, por lo que sus resultados no se asocian. Las hipótesis son las siguientes:



T.. = Gran Total de las m*n observaciones

STC: Suma Total de Cuadrados

m nSTC= [ I I Y ifJ -C

|=1 i=i

SCE: Suma de cuadrados del error.

SCE= S T C -S IC ^ -S IC ^

CM(TR): Cuadrado medio de los tratamientos

SIC.

C M <t r >=

(TR)

(m-1)

CM|BL): Cuadrado medio de los bloques

cm(BL)=SIC(BU

(n-1)CME: Cuadrado medio del error

SCECME = ----------------

La aceptación de la hipótesis nula se da cuando el F teórico es menor que el F calculado. Como se indicó antes esta decisión se toma para bloques y tratamientos por separado. La Figura 2.28 muestra el área de cumplimiento de la hipótesis. Existen dos curvas de este tipo: una para tratamientos y otra para bloques.

v1,: número de grados de libertad de los tratamientos

v1b: número de grados de libertad de los bloques

v 2 : número de grados de libertad del error


V lb av 2 , (1 -a )


EJEMPLO 2.25

El departamento de servicio de una compañía distribuidora de equipo computacional tiene un grupo de tres técnicos encargados de la reparación de averías secundarias en unidades centrales de proceso (CPU). Estos técnicos se han especializado en tres importantes marcas. Los tiempos de reparación en minutos de cada marca para cada técnico se muestran en el Cuadro 2.12. Con a=5%, ¿se puede afirmar que el tiempo de reparación depende de la marca o del técnico que repara?

CUADRO 2.12. Información para el análisis de varianza

Técnicos

Marca 1 2 3 Ti.

1 45 46 51 1422 42 44 50 1363 36 41 48 1254 49 47 54 150

T-j 172 178 203 553


SOLUCION

Como se puede observar en el Cuadro 2.12 los totales son los siguientes:

T, = 142 T2 = 136 T3 = 125 T4 = 150

T , = 172 T 2= 178 T 3= 203 T =553

5532C =---------- = 25484

4*3

STC = 452 + 462 + 512+...........+ 542 - 25484 = 265

1422 +1362+ 1252+ 1502SIC.Tm = ---------------------------------------------- 25484 = 111

3

1722 + 1782 + 2032SIC(BL)= ------------------------------------------ 25484 = 135

4

SCE = 265-111 -135 = 19

CM(TR)= 111/3 = 37,0

C M (B L )= 1 3 5 / 2 = 6 7 -5

CME = 19/6 = 3.2

El Cuadro 2.13 presenta el cuadro ANOVA correspondiente a este ejemplo. Las áreas de la hipótesis se pueden observar en la Figura 2.22.

Con a =1 %, se puede afirmar que hay evidencia estadística para rechazar ambas hipótesis nulas. Esto significa, que el tiempo de reparación varía de acuerdo con el técnico que efectúa la reparación y la marca que está siendo reparada.

Cuando L hipótesis se rechaza se pueden hacer comparaciones múltiples a través de diversos métodos con el fin de identificar diferencias significativas entre categorías. Existen tres métodos principales: Bonferroni, Scheffé y Tukey. En este texto se analizará solamente uno de éstos: el método de Tukey.




Grados de libertad

Suma de Cuadrados

CuadradoMedio

Fe

Marca 3 111 37 11,6Técnico 2 135 67,5 21,1Error 6 19 3,2

TOTAL 11 265

Método de Tukey

Cuando Hoes rechazada significa que hay diferencia entre por lo menos I dos de los promedios. Este método es exacto cuando el tamaño de la muestra es constante y conservativo cuando ese tamaño es variable.

El método consiste en evaluar el conjunto de todos los posibles pares (|x - l l ’s ) con base en intervalos de confianza y la distribución del rango estudentizado.

FIGURA 2.29. Areas de cumplimiento de las hipótesis


La distribución del rango estudentizado se basa en la siguiente premisa: Si se tienen r observaciones independientes Y,, Y2, Y3,..., Yrde una distribución normal con media p y varianza o2, siendo w el rango de este conjunto de observaciones tal que w= Máx(Y.)-Mín(Y.) y si se estima o2 a partir de o2 con v grados de libertad e independientemente de Y¡, entonces la razón w/s es llamada rango estudentizado y se denota por q(r,v) = w/s.

Como se puede notar la distribución de q depende de r y v, lo que ha permitido el desarrollo de tablas como las mostradas en el Apéndice I, para niveles de confianza del 90,95 y 99%.

Tal y como se dijo anteriormente el método de comparaciones múltiples se basa en límites de confianza para todos los posibles pares de promedios. Si el intervalo incluye al cero se dice que no hay diferencia significativa entre las medias consideradas; caso contrario, la diferencia es significativa.

El intervalo de confianza se calcula así:

1. Una variable de clasificación

D ±T *s (D )

D = IY -Y..II. I .

s2(D) = CME[(1/nj) + (1/ni.)]

1T =------ * [q(1 -a,m,n-m)]

| |

EJEMPLO 2.26

En un estudio de efectividad de cuatro componentes químicos contra la oxidación, se toma un conjunto de cinco observaciones de cada uno, con lo que se genera la información mostrada en e! Cuadro 2.14.

Se considera que entre más grande el valor de Y., mejor es la efectividad del compuesto.


CUADRO 2.14. Datos del Ejemplo 2.20

I Componente n,

1 A 5 432 B 5 893 C 5 674 D 5 40

Después de haber efectuado el análisis se generó el cuadro ANOVA, que se presenta en el Cuadro 2.15.

a. ¿Existen diferencias s ign ifica tivas entre componentes al 95% de confianza?

b. Si las hay, ¿cuáles componentes establecen esa diferencia?

SOLUCION

a. Al localizar el valor de F3 16095en tablas este es 3,24, por lo que es significativamente menor que el F calculado. En conclusión, sí hay diferencias significativas entre componentes con 95% de confianza.

b. Búsqueda de diferencias significativas,

m = 4 n-m = 20-4 = 16

En tabla VIII del Apéndice se localiza el valor de q.

q(0.95,4,16) = 4,05

1T = ------------- * (4,05) = 2,86

y¡2

s2(D) = 4,5 *[(1 /5 )+ (1/5)] = 1,8


CUADRO 2.15. Cuadro ANOVA del Ejemplo 2.20


Grados de libertad

Suma de Cuadrados

CuadradoMedio

F*0

Componente 3 7893,75 2631,25 584,72Error 16 72,00 4,50

TOTAL 19 7965,75

S (D) = 1,34

T *s (D ) = 2,86* 1,34 = 3,8

Los intervalos de confianza son:

42.2 = (89 - 43) - 3,8 < |i2 - |i, < (8 9 - 43) + 3,8 = 49,8

20.2 = (67 - 43) - 3,8 < |t3 - p, < (67 - 43) + 3,8 = 27,8

-0,8 = (43 - 40) - 3,8 < p, - p4 < (43 - 40) + 3,8 = 6,8

18.2 = (89 - 67) - 3,8 < p 2 - p 3 < (89 - 67) + 3,8 = 25,8

45.2 = (89 - 40) - 3,8 < p 2 - p 4 < (89 - 40) + 3,8 = 52,8

23.2 = (67 - 40) - 3,8 £ p3 - p4 < (67 - 40) + 3,8 = 30,8

Como se puede ver, el único intervalo de confianza que incluye al cero es ( p, - p4). Por lo tanto, se concluye, con 95% de confianza, que el único par de promedios que no muestran diferencias significativas es el par formado por los componentes 1 y 4. Dado que la medida de efectividad es de maximización el componente B puede ser escogido como la mejor alternativa.


2. Dos variables de clasificación

El in terva lo usado tam bién se basa en la d istribución del rango estudentizado, pero con pequeñas diferencias en el cálculo de sus términos.

A. D = ÍY.-Yr l

2*CMEs2(D) = ----------------

bn

1T = ----------------q[1-a,a,(n-1)abl

<2

a: Número de tratamientos

b: Número de bloques

B. D = IYj-Y..I

- 2CMEs2(D) = ------------

an

1T =-------------q[1-a,b,(n-1)ab]

y¡2

EJEMPLO 2.27

La Compañía CBC vende repostería en un área metropolitana. Del total de artículos vendidos hay tres hacia los que la clientela ha mostrado especial interés. La Cía desea saber si el tamaño y el peso son significativos para la decisión del cliente por uno u otro tipo. Un análisis hecho sobre muestras de tamaño dos, para tres tamaños y dos pesos, generó la información de costo en colones del Cuadro 2.16.

CONTROL DE CALIDAD

CUADRO 2.16. Información del Ejemplo 2.21

Peso

Tam año 1 2

1 Y Y 442 Y Y

21 1 2267

3 Y Y31 33 42

Y , 50 52 51

El análisis de varianza efectuado generó los resultados m ostrados por el A N O V A presentado en el C u a d ro 2.17.

a. ¿ E x is te n d ife re n c ia s s ig n if ic a tiv a s en ta m a ñ o s y p e s o s al 9 5 % de confianza?

b. Si las hay, m uestre dónde se encuentran esas diferencias.


Origen de

Variación

Grados de

libertad

Sum a de

Cuadrados

Cuadrado

MedioFe

Tamaño 2 1544 772 77,2

Peso 1 12 12 1.2Error 2 20 10

T O T A L 5 1576


SOLUCION

a. C o n a = 5 % , los valores teóricos de F son los siguientes:

^ 2 ,2 ,0.95 1,2 ,0 .9 5 -

Al com parar los valores teóricos con los valores calculados se nota que, con a = 5 % , no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de tam años, pero sí para aceptar la hipótesis nula de pesos.

b. S e efectuará la prueba de Tu k e y para tam años, con el fin de identificar los pares que muestran diferencias significativas. Los datos para el cálculo de los intervalos de confianza son los siguientes:

C M E = 10,3

a = 3

b = 2

n = 2

(n -1 )a b = 6

2 * 1 0 ,3s2(D ) = --------------------------------= 5,15

2 * 2

D e la Ta b la VIII del Apéndice I se obtiene:

q (0 .95,3 ,6 ) = 4,34

4,34T = -----------------------------= 3,07

2

T * s ( D ) = 3 ,0 7 * ^ 5 ,1 5 = 7,0

16 = (67 - * 4) - 7 ,0 < p 2 - n, < (67 - 44) + 7,0 = 30

- 5 = (44 - 42) - 7,0 < p , - p 3 < (44 - 42) + 7,0 = 9

18 = (67 - 42) - 7 ,0 < |i2 - p 3 < (67 - 42) + 7,0 = 32


Al analizar los intervalos de confianza se puede concluir, con a = 5 % , que la única diferencia que no es significativa se da entre los tam años 1 y 3. Al ser la m e d id a de e fectivid ad de m in im iza c ió n , la m ejo r a lternativa p u e d e se r la núm ero 3.

MUESTREO ESTADISTICO

En la inspección de calidad es de fundam ental importancia confiar en los resultados obtenidos a partir del análisis de m uestras.

Estas muestras que son obtenidas de poblaciones finitas o infinitas, deben cum plir con los dos principales requerim ientos del muestreo inferencial; éstos son aleatoriedad y representatividad.

U n a m uestra es aleatoria cuando los elementos que la com ponen fueron extraídos de una población en la cual todos sus com ponentes tuvieron la misma probabilidad de pertenecer a esa muestra.

U n a m u e s tra e s re p re s e n ta t iv a c u a n d o su s e le m e n to s reflejan las características de la población de la cual fueron extraídos. C o n ello, se puede afirmar con cierto nivel de confianza, que lo que ocurre con la muestra, ocurre con la población.

C o m o se puede ver, para cum plir con una verdadera inspección por m ues

treo es m uy conveniente garantizar estas dos características, generalm ente ligadas al tam año de la muestra y al m étodo usado para su selección.

El m uestreo estadístico para ser efectivo y eficaz debe basarse en tres aspectos principales: en la selección de m uestras de tam año adecuado, en la e jecución de inferencias válidas y aplicables y en la m edición del g rado de confianza de las conclusiones.

Para lograr lo expresado anteriorm ente, es necesario seguir un procedimiento que incluya los siguientes pasos:

a. Identificación de la ca ra cte rística por estu d ia r y de la totalidad de lasunidades de m uestreo dentro de las cuales se seleccionará la m uestra(m arco de m uestreo).

JORGE ACUÑA ACUÑA 12S

b. Escogencia del tipo de muestreo que se va a usar identificando la unidad de m uestreo. Esto debe garantizar la aleatoriedad y representatividad antes definidas.

c. Determinación del tam año de la muestra, mediante la fórmula que especifique el tipo de muestreo.

d. S e le c ció n aleatoria de la m uestra previa definición del procedim iento adecuado.

e. Escogencia del m étodo de estimación del error estadístico.

f. Cálculo de inferencias, errores y grado de confianza de las conclusiones.

En general, son m uchas las razones por las cuales se debe usar muestreo. A lgunas de éstas son:

a. A h o rro de dinero al evitar la inspección 1 0 0 % , la cual tiene costos m ás altos.

b. Ahorro de tiempo al disminuir la cantidad por inspeccionar en relación con la inspección 1 0 0 % .

c. Atención de casos individuales en forma más sistemática.

d. R ecurso indispensable cuando la inspección es destructiva.

e. Unico m étodo posible cuando la población es infinita.

f. E x c e le n te o p ció n c u a n d o los erro re s no m u é stra le s, e sp e c ia lm e n te hum anos, son grandes e imposibles de reducir.

Al ejecutar m uestreo estadístico siem pre estarán presentes dos tipos de errores que se conocen com o error estadístico y sesgo.

El e rro r e sta d ístico es aquel propio del muestreo y que se produce por la n a tu ra le za aleatoria de la m uestra y po r la falta de h o m o g e n e id a d en los elem entos que la conform an. Este error se minimiza, si se ejecuta el muestreo en form a ordenada y siguiendo el procedimiento antes fijado.

El s e s g o es el error hum ano, intencional o no intencional que se comete al ejecutar el muestreo y que generalmente es sistemático. Este error se minimiza a través de pro gram as de entrenam iento, capacitación y m otivación de inspectores y recolectores de información estadística.


T ip o s de m u e s tre o

Existen diferentes tipos de muestreo, dentro de los cuales se pueden citar: el muestreo aleatorio simple, el muestreo sistemático, el muestreo estratificado, el muestreo por conglom erados y el muestreo de aceptación. En inspección de c a lid a d los m á s u s a d o s so n el m u e s tre o a le a to rio s im p le , el m u e s tre o estratificado y el m uestreo de aceptación. E n el C a p ítu lo VI se desarrollará am pliam ente el muestreo de aceptación.

M u e s tre o a le a to rio s im p le : se b asa en la extracción de una m uestra aleatoria de una población, para una característica seleccionada, con el fin de inferir los resultados a la citada población. Esta inferencia está sujeta a un error estadístico que es necesario determ inar.

El m uestreo aleatorio puede ejecutarse para estim ar el prom edio de una característica o estimar una proporción de ella.

C u a n d o se de se a estim ar un va lo r m edio, el ta m a ñ o de la m uestra se calcula así:

Z 2 _ * N * o2a/2n = --------------------------------

zV ^ + ne2C u a n d o se d e s e a e stim a r u n a p ro p o rc ió n , e n to n ce s ei ta m a ñ o de la

m uestra se calcula com o

Z2 „/2 * N * P * q

Z 2o/2 * P * q + N E 2

Los términos usados en estas expresiones significan:

n : tam año de la muestra

Z ^ : estadístico de distribución normal ligado al error a

N : tam año de la población

a 2: varianza poblacional

E : error de estimación entre el parámetro y el estadígrafo


p : proporción de la característica en la muestra

q : proporción que no pertenece a la característica en la muestra

Si la población es infinita las expresiones del tam año de la m uestra se convierten en:

Z 2 * o 2o/2n =--------------------------------------para estimación de la m edia

E 2

n = p * q [ Z 2 / E 2] para estimación de una proporción

El error estándar correspondiente al muestreo se calcula com o

<r-= \j [(N -n )/ (N -1 )] * (a 2/n) Si se trata de una población finita yse estim a una m edia

c -= \] o 2/n Si se trata de una población infinitay se estima una media

o p = \ l[(N -n )/ (N -1 )]* (p * q )/ n t>i se trata de una población finita yse estima una proporción

a p= \ ] (p * q )/ n Si se trata de una población infinitay se estima una proporción.

EJEMPLO 2.28

Considérese un lote de producción de 1000 unidades, cuya varianza en el diám etro de una de sus partes es 250 m m . S e desea estim ar el prom edio del diám etro, a partir de una m uestra, con una confianza del 9 5 % y con error no m ayor a 1 m m .

SOLUCION

N = 250 E = 1

Z (i/2= 1,96 (extraído de Ta b la I de Apéndice I)


O2 = 2 5 0

1,962 * 1 0 0 0 * 2 5 0n =---------------------------------------------------= 480,2 - 481

(4 * 250) + (1000 * 1)

a ; = \| [(1000 - 481)/(1000 - 1)] * (250 / 481) = 0,52

Para estim ar el prom edio de diám etro de esta pieza, se debe extraer una m uestra de 481 unidades. El m uestreo tiene un error estándar de 0,52.

EJEMPLO 2.29

U n fa b ric a n te a firm a q u e el 2 ,5 % de los p ro d u c to s q u e e n tre g a el c o m p ra d o r son defectuosos. Si éste recibe los pro ductos en lotes de 5000 unidades, ¿cuál d eb e ser el tam año de la m uestra por usar para verificar lo expresado por el fabricante? U se 9 5 % de confianza y un error no m áxim o del 1 % en la estimación.

SOLUCION

E = 0,01

p = 0,025

q = 0,975

N = 5000

(1 -a ) = 0 ,9 5

Z„y2= 1.96

1 ,962 * 5000 * 0,025 * 0,975n = -------------------------------------------------------------------------------= 7 8 9 unidades

1,962 * 0 ,025 * 0 ,975) + (5000 * 0 ,012)

o p = \ J [(5 0 0 0 -7 8 9 ) / (5 0 0 0 -1 )] * [(0 ,025 * 0 ,975) / 789] = 0,005

JORGE ACUÑA ACUÑA

Lo anterior significa que para estim ar el porcentaje defectuoso de ese producto, se debe extraer una m uestra de 789 unidades. Este muestreo tiene un error estándar de 0,005, bastante bajo.

F o rm a s d e e x tra c c ió n de la m u e s tra : un aspecto m uy im portante de considerar en él muestreo aleatorio simple es el uso de las tablas de n ú m e ro s a le a to rio s , con el fin de garantizar aleatoriedad en la tom a de la m uestra. El p ro cedim ien to consiste en a sig n a r un núm ero a cad a e lem ento del m arco muestral y luego, con la tabla seleccionar los que la muestra indique.

EJEMPLO 2.30

S e desea tomar una muestra de 5 elementos de un total de 80 que conform an la población a través de la tabla de núm eros aleatorios. E stablezca ios núm eros que conform an la citada muestra.

SOLUCION

P a ra efectos de este ejem plo se usarán las siguientes co lum n as de la Ta b la IX de núm eros aleatorios del Apéndice I.

2253 2176

1342 8664

5498 0184

2364 0900

8439 9898

S e deben escoger cinco núm eros de dos cifras, com prendidos entre 01 y80.

S e tom a una c o lu m n a arbitraria, por e jem plo la de 53, sea la tercera (prim era 22, segunda 25, tercera 53). Si es así, los elementos asignados son el 5 3 ,4 2 ,6 4 ,3 9 y 76. Esto se obtiene en forma vertical, si se acaba ésta se puede cam biar a otra.


Nótese que no se tom ó en cuenta el 98, por estar arriba de 80.

Ta m b ié n cu a n d o se agotó la colum n a, se pasó a la última colum n a del segundo bloque.

Otra forma de extraer una muestra es mediante m u e stre o sistem ático, el cual es m uy ágil, cuando el núm ero de elem entos que se va a seleccionar es m uy grande. A sí, por ejemplo obtener una muestra del 5 % de un lote de 20000 productos, obligaría a seleccionar 1000 núm eros aleatorios y luego hacer la selección correspondiente.

En estos casos lo mejor es seleccionar un núm ero aleatorio entre 1 y 20 y en adelante escoger cada vigésim o elemento. A sí, si el núm ero fuese el 3, los elem entos seleccionados serán 3 ,2 3 ,4 3 ,6 3 ,8 3 , . . . , hasta 19983. El procedimiento es el siguiente:

1. C o n o ce r el tam año del lote y de la m uestra que se va a extraer.

2. Calcular el intervalo de muestreo, que se obtiene dividiendo el tam año del lote entre el tam año de la m uestra (N/n).

3. Seleccionar un núm ero aleatorio, entre 1 y el intervalo de muestreo.

4. A partir del núm ero aleatorio encontrado anteriormente, sum ar el intervalo de muestreo. Esto dará los núm eros posicionales de los elementos que se deben contem plar dentro de la muestra.

5. S e le c cio n a r la m uestra, e sco gié n d o la del lote según el procedim iento citado en 4.

M uestreo estratificado: en este tipo de muestreo, los elementos poblacionales se dividen prim ero en k -g ru p o s y luego se aplica m uestreo aleatorio sim ple sobre cada grupo. El proceso usado para establecer estos grupos se llama e s tra tifica ció n y a cad a grupo se le llama e stra to . La razón de aplicar estratificación se debe a que los elem entos poblacionales presentan m ucha heterogeneidad, por lo que la obtención de conclusiones representativas se hace difícil.

En este m uestreo, las probabilidades de selección de los estratos pueden se r diferentes y no es necesario que todos los elem en tos tengan la m ism a oportunidad de selección, pero se debe conocer la probabilidad de cada uno.


La estratificación se ejecuta de tal m anera que exista cierta homogeneidad entre los e lem entos de ca d a g rupo y que qu e d e n en igual núm ero en cad a estrato.

El error estándar del se calcula así:

Oj = \J(1/N2) * { X [ ( N , -n ) / (N. -1 ) ] * N 2 * ( a 2 / n.)} ¡=1

donde:

N : tam año de la población

N ¡: tam año del estrato i

k : núm ero de estratos

n .: tam año de la muestra por extraer del estrato i

o : desviación estándar del estrato i

EJEMPLO 2.31

E n el puesto de recepción de m ateriales se han recibido 12 lotes que originaron los porcentajes defectuosos que se presentan en el Cuadro 2.18.

a. Estratificar esta situación y obtener sus m edidas

b. Calcular el error estándar

c. ¿C u á l es el error si se usa muestreo aleatorio simple?

SOLUCION

a. El C u a d ro 2 .1 9 presenta la estratificación efectuada con base en la magnitud del porcentaje defectuoso.

S e pueden calcular a lgunos valores para cad a estrato. El C u a d ro 2 .2 0 m u e stra el ta m a ñ o , la m edia aritm ética y la d e svia ció n e stá n d a r de ca d a estrato.


CUADRO 2.18. Información de recepción de materiales

Lote % Defectuoso

1 0,852 1,353 0,604 2,205 1,806 3,107 0,908 0,509 1,75

10 0,7511 2,4012 2,10

CUADRO 2.19. Estratificación del % defectuoso

Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3

0,50 0,90 2,100,60 1,35 2,200,75 1,75 2,400,85 1,80 3,10

CUADRO 2.20. Cálculos de la estratificación

Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3

N, = 4 Z II 4 N3 = 4

x, = 0,675 x2 = 1,45 x3 = 2,45

o, = 0,134 O, = 0,362 a3 = 0,39


C o n b a s e en el C u a d ro 2 .2 0 se c a lc u la un e s tim a d o del p ro m e d io poblacional.

_ (N 1* x ,) + (N 2*x2) + (N 3 *x3)x ’ = -----------------------------------------------------------

N

_ (4 * 0 ,6 7 5 )+ (3 * 1 ,4 5 )+ (4 *2,45)x ’ = -------------------------------------------------------------------------

12

x’ = 1,525

S e puede probar que este valor es igual al poblacional.

Np = (Z x . )/ N = 18,3 / 1 2 = 1 ,5 2 5

i=ib. El error estándar de este muestreo estratificado es:

0 - = \J (1 /12 2)*{[(4-2)/(4-1 )]*42*(0 ,1342/2)+[(4 -2)/(4-1 )]*42*(0 ,3622/2 )+ [(4-2)/(4-1 )]*42*(0,392/2)}

a - = \J ( 1 / 1 44)*[(16/3)*(0,1342+0,3622+0,392)

o 5= \J (1/144)*((16/3)*0,3011)

a x = 0,1056

El error del muestreo estratificado es 0,1056.

c. Si se hubiere usado muestreo aleatorio simple, entonces el tamaño de la muestra sería seis y el error estándar sería:

o -= \ J [(1 2-6)/(12-1 )]*(0,79282/6) = 0 ,2 3 9

C o m o se puede observar el muestreo estratificado ofrece un error m ucho m enor, lo que lo hace m ás confiable.

E n m uestre o estratificado no s iem pre se calcula a n ticipadam ente un tam año de m uestra constante para cada estrato, sino que de acuerdo con las

1 3 8 CONTROL DE CALIDAD

ca ra cte rística s de los m ism o s se calcu lan tam años de m uestra variables,

u s a n d o p a ra ello d o s fo rm a s : u n a de c o n v e n ie n c ia , lla m a d a a f i ja c ió n

p r o p o r c io n a l y otra re la cio n a d a con la va ria b ilid a d del estrato , lla m ad a

afijac ió n ó p tim a .

En el m uestreo proporcional, el tam año de la muestra se calcula com o:

En afijación óptima, el tam año de m uestra se calcula com o:

n¡= n * [ ( N i* o i) / I ( N l* o ¡)]

El error estándar se estima así:

o -= \J (1/n) * { [ I (N .* o,) / N ]2} - [ I (N .* a 2) ] / N 2

EJEMPLO 2.32

La producción de una em presa se ha dividido en tres estratos, de acuerdo

con la fracción defectuosa que presenten. Por registros de los últimos años se

conoce la información que se m uestra en el C uadro 2.21.

a. Si se desea tomar una muestra de 20 lotes, ¿cuántos lotes de cada estrato

se deben seleccionar?

nl= (n /N )* N i

donde n es el tam año de m uestra total fijado de antem ano.

El error estándar se calcula com o:

k

i=i

b. C o m p a re los errores estándar correspondientes con el error estándar de

m uestreo aleatorio simple.


CUADRO2.21. Información de porcentaje defectuoso en los últimos años

Estrato % Defectuoso Número de lotes

Desviación estándar (% )

1 5 ó más 35 0,972 1,5 a 4,99 80 0,823 Menos de 1,5 15 0,30

T O T A L 130 1,25*

Para el total de la producción.

SOLUCION

a. Para efectos didácticos este problema se resolverá por afijación proporcional y por afijación óptima. En situaciones prácticas se debe escoger el que

m ejor se adapte a las condiciones.

• Afijación proporcional

El C ua d ro 2.22 m uestra los cálculos de tam año de muestra.

C o m o se puede observar en el C u a d ro 2.22, para com pletar los 20 lotes seleccionados, se deben tom ar 5 lotes del estrato 1 ,1 2 lotes del estrato 2 y 3

lotes del estrato 3.

CUADRO 2.22. Cálculos por afijación proporcional

Estrato Tam año de la muestra

1 n, = (20/130) * 35 = 5,38= 52 n2 = (20/130) * 80= 12,3 =123 n3 = (20/130) *15 = 2,3 = 3


• Afijación óptima

Ei C u a d ro 2 .2 3 m uestra los cálculos iniciales para obtener el tam año de m uestra por este método.

C o n base en el C u a d ro 2 .2 3 se calculan los ta m a ñ o s de m uestra de la siguiente m anera:

n, = 2 0 * (3 3 ,9 5 / 104,05) = 6 ,5 2 = 6

n2= 2 0 * (65,6 /104,05 ) = 12,61 = 13

n3= 2 0 * ( 4,5 / 104,05) = 0 ,8 6 = 1

b. Com paración de errores

El error estándar para afijación proporcional es:

g _= sj [(1 30-20)/(130*20)]*[(1/130)*[(35*0,972)+(80*0,822)+(15*0,302)]

o -= 0,169

El error estándar para m uestreo por afijación óptima es:

o -= \J (1/20)* [(104,05/13 0 )2] - (88,07/1302)

o; = 0 ,1 6 4

CUADRO 2.23. Cálculos iniciales para afijación óptima

Estrato N, N,*a, ai2 N,*a2

1 35 0,97 33,95 0,94 32,932 80 0,82 65,60 0,67 53,793 15 0,30 4,50 0,09 1,35

T O T A L E S IN * a .= 104,05 IN * 0¡2 = 88,07


El error estándar si se usa m uestreo aleatorio simple se calcula así:

ax= \| [(1 30-20)/(130 -1 )] * (1 ,252/20)

Oj= 0,26

C o m o se puede observar, los errores del muestreo por afijación proporcional (0 ,169) y óptima (0 ,164) son parecidos, mientras que el error del muestreo a le a to rio s im p le (0 ,2 6 ) es a lto , p o r lo qu e se p u e d e c o n c lu ir qu e no es recom endable usar este tipo de muestreo en este caso.

RESUMEN

S e ha visto en este capítulo que:

1. Las aplicaciones de la estadística son am plias y variadas en los distintos

aspectos de la inspección de calidad.

2. La estadística es solamente una herramienta poderosa para la solución de

problem as. Ella no es por sí sola la solución a los problem as de calidad.

3. El análisis de datos y la inferencia estad ística , si son bien usada s, se

convierten en poderosas arm as para la tom a de decisiones.

4. El m u e stre o esta d ístico , en sus distintas fo rm a s, es un re cu rso m uy

necesario para conocer y corregir los procesos.

5. Para que los estudios estadísticos no pierdan su fundamentación científi

ca, es necesario tener m uy presente que deben seguirse los procedimien

tos establecidos.

PREGUNTAS DE REPASO

1. Establezca claramente las ventajas que ofrecen al control estad ístico déla

calidad, el análisis de datos y la Inferencia estadística.

1 42 CONTROL DE CALIDAD

2. R azone m esuradam ente las características de los procesos que permiten decidir si un estudio estadístico se debe hacer por variable continua o por variable discreta.

3. ¿ Q u é usos tienen los intervalos de co n fia n za para pro m e d io s y para varianzas?

4. ¿ C u á l es el principai objetivo de una prueba de hipótesis? ¿ P o r qué se debe seguir un procedim iento?

5. ¿ Q u é im p o rta n cia tiene una b o n d a d de ajuste al efe ctu a r un estudio estadístico?

6. Explique en qué consiste un análisis de varianza.

7. ¿ Q u é significa rechazar una hipótesis en un análisis de varianza?

8. ¿ E n qué consiste el M étodo de Tu k e y y en qué casos se aplica?

9. ¿ C u á le s son las dos principales características que d eb e cum plir una muestra estadística? Explíquelas detalladamente.

10. ¿ E n qué casos se debe aplicar un muestreo aleatorio simple o un muestreo estratificado? ¿C ó m o se decide cuál es mejor?

PROBLEMAS

1. El Cuadro 2.24 muestra las m ediciones ejecutadas en el diámetro exterior de un anillo. Estas m edidas fueron tom adas en grupos de siete anillos.

a. Hacer una distribución de frecuencias de datos agrupados para las 112 observaciones.

b. H acer representaciones gráficas de la distribución.

c. ¿ Q u é porcentaje de anillos tienen diámetro exterior superior a 32,241 milímetros?

d. ¿ Q u é porcentaje de anillos están entre 32,241 y 32,249 milímetros?

e. ¿C uá ntos anillos se espera que tengan m edidas iguales o inferiores a 32,240 milímetros?


CUADRO 2.24. Mediciones de diámetro externo de un anillo (medidas por encima de 32,200 milímetros)

G R U P O N?

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 34 50 55 38 51 44 49 47 43 48 48 42 40 46 46 432 45 50 42 49 49 49 40 46 48 45 45 42 50 41 48 483 45 40 47 41 47 48 49 48 43 50 50 57 40 40 41 474 37 44 44 46 45 43 40 39 43 48 44 40 49 49 42 435 41 42 46 50 48 42 40 42 50 43 49 48 49 49 52 446 53 34 41 43 40 46 46 55 42 42 31 37 48 48 40 517 45 45 48 47 39 36 46 47 44 45 40 49 44 44 36 47

f. ¿C u á n to s anillos se espera que tengan m edidas superiores a 32,250

m m ?

g. Si los anillos con diámetro exterior igual o inferior a 32,240 milímetros se

deben desechar, ¿qué decisión tomaría si el costo de materia prima es

de 0144,00?

h. To m a n d o en cuenta la siguiente información:

-c o s to de m ano de obra por anillo = 030,95

-c o s to de energía consum ida por anillo = 012,65

-c o s to s indirectos = 1 8 % de costos directos

-utilidades brutas = 3 5 % de costos directos

-im p u e sto s = 2 5 % del precio de los anillos

-n iv e l de producción m ensual = 10000 unidades

¿ C u á n to es lo que la e m p re s a g a n a si los anillos d e s e ch a d o s son

vendidos a 080 cada uno?


2. U na em presa dedicada al procesam iento de cacao tiene problem as con el peso de uno de sus productos. Este producto es ca ca o en polvo que se ve n d e en sobres m arcados con peso nominal de 100 g. Para efectos de estudiar la s ituación se to m a ro n 60 sobres llenos, o rd e n a d o s en seis grupos de diez unidades que originaron la información del C u a d ro 2.25.

H a ga un análisis estadístico para resolver el problem a de la operación de llenado. Si el problem a existe establezca una estrategia para su solución.

3. En una bodega de materia prima se han recibido tres lotes de 20 unidades cada uno. El núm ero de piezas por lote que cumplen con lo requerido es de 1 8 ,1 5 y 10 respectivam ente. D e un lote se tom a una unidad que resulta cum plir con lo requerido. D espué s de restituir la unidad, del m ism o lote se extrae otra que tam bién resulta cum plir con lo requerido.

Hallar la probabilidad de que am bas piezas hayan sido extraídas del tercer lote.

4. El proceso A produce piezas cuya longitud se distribuye norm alm ente con m edia 10,5 cm y varianza 4 cm 2. El proceso B produce le0 m ism as piezas

CUADRO 2.25. Datos generados del peso de cacao en polvo

G rupo No.

1 2 3 4 5 6

1 98,7 99,4 100,8 99,7 101,5 97,92 99,5 101,3 99,7 103,0 102,3 98,83 100,5 100,3 100,7 102,5 101,7 99,04 100,0 97,7 103,4 101,4 95,8 100,05 96,6 96,0 102,1 101,0 100,7 101,56 98,7 98,0 102,3 100,8 99,9 100,87 96,7 99,7 96,9 100,1 103,6 98,88 100,3 99,9 97,5 99,7 102,0 97,99 103,2 100,3 98,7 99,8 103,7 96,5

10 103,7 103,0 100,0 100,7 98,0 100,5


con lon gitud ta m b ié n n o rm a lm e n te d istrib u id a con m e d ia 10,4 cm varianza 8 cm 2. La utilidad lograda usando el proceso A es de 080,00 po pieza y usando el proceso B de 0150,00 por pieza.

Las piezas que no midan entre 9 y 14 cm, son desechadas. ¿Cuál procesi recom ienda usar y qué criterio usó para la selección?

5. Una fábrica de aluminio produce, entre otras cosas, un tipo de canal de un; aleación de aluminio. Por experiencia, se sabe que la rigidez medida en ps está norm alm ente distribuida con m edia igual a 2425 psi y desviaciói e s tá n d a r 115 psi. ¿ C u á l es la p ro b a b ilid a d de qu e un ca n a l de es; aleación, que es seleccionado aleatoriam ente, tenga un valor de rigide: com prendido entre 2230 y 2425 psi?

6. U na población está form ada por cuatro elem entos cuyas magnitudes soi 5 ,8 ,1 2 y 15. D e m o stra r el teorem a del límite central con m uestras d; tam año dos tom adas con reem plazo.

7. Los peso s de las bobinas de tela recibidas en una bod e ga de materia: primas tienen un peso medio de 100 kilos con desviación estándar de 25 ki los. ¿ C u á l es la probabilidad de que el peso de cinco bobinas recib idas' cargadas en una carretilla supere el límite de capacidad de ésta que es di 600 kilos?

8. En el Problem a No. 7:

a. ¿ C u á l es la pro babilidad de que la m edia se encuentre entre 95,5 ' 108,75 kilos?

b. Si se recibieran estas bobinas en grupos de tam año cinco, ¿cuánta: bobinas se espera que tengan un peso m edio superior a 107,7 kilos?

9. En un proceso de producción de láminas de acero para techo, se necesit; conocer el com portam iento de su grosor. Si se extrae una muestra de 11 e le m e n to s, que orig ina u n a m edia de 0 ,0 5 8 cm , con una desviació i estándar de 0,0028 cm

a. Determ inar la probabilidad de encontrar láminas que tengan;

-u n grosor igual o superior a 0,06 cm

-u n grosor entre 0,05 y 0,065 cm

-u n grosor igual o inferior a 0,056 cm


b. ¿ C o n qué nivel de confianza se puede afirmar que este proceso produce láminas con un grosor que se encuentra entre 0,055 y 0,061 cm ?

10. Para una distribución t-student con 15 grados de libertad, hallar el valor del estadístico t, tal que:

a. el área a su derecha es 0,01

b. el área a su izquierda es 0,95

c. el área entre él y el valor de t2es de 0,95

11. El vo lu m e n pro m e dio de un tanq ue es de 305 litros. Si se e jecutan 22 mediciones del volum en, la desviación estándar correspondiente es de 35 litros. Determine la probabilidad de que la media de esas mediciones:

a. esté com prendida entre 290 y 304 litros

b. sea inferior a 308 litros

c. sea superior a 299 litros

12. Para analizar la dispersión de una m áquina cortadora de alambre, se toma

una m uestra de 30 piezas cortadas. Si la desviación estándar de corte es de 3 ,1 5 cm . ¿ C u á l es la p ro b a b ilid a d de hallar en las 30 p ie z a s una

desviación estándar:

a. Superior a 2 cm

b. Inferiora 1 ,8 cm

c. Entre 1,7 y 2,8 cm

13. C o n el fin de analizar la calidad suministrada por dos máquinas troqueladoras, se tom a información sobre el diámetro de m uestras de piezas m aquinadas. El Cuadro 2.26 m uestra esta información.

Determine cuál es la probabilidad de que la razón de varianzas:

a. S ea superior a 2,5

b. S e a inferiora 0,8

c. Se encuentre entre 0,95 y 2,35


CUADRO 2.26. Información para el problema No. 13

Máquina Tam año de Media DesviaciónMuestra estándar

1567-A 31 5,5 cm 0,75 cm1568-B 27 5,8 cm 0,72 cm

14. La probabilidad de que no falle un transistor es de 0,95 . S e prueban 5

transistores. ¿C uá l es la probabilidad de que fallen dos transistores, de tal m anera que el segundo transistor que falle sea probado de último?

15. U n p ro ce so de m anufactura de circuitos integrado s p ro d u ce con una fracción defectuosa de 0 ,5 5 % . C a d a 20 minutos se tom a una m uestra de 200 unidades al azar. Si la m uestra contiene una o m ás unidades defec

tuosas, el proceso debe ser parado. Determ ine la probabilidad de que el proceso sea parado de acuerdo con el esquem a de muestreo.

16. P or e x p e rie n cia se sab e q u e la pro babilidad de que un tornillo salga

defectuoso es 0,05 y la de que una tuerca salga defectuosa es 0,04.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una tuerca escogida al azar y un tornillo

escogido al a za r no ajusten y por lo tanto el par no pueda ser usado?

b. Si la fábrica vende su producto en cajas de 200 parejas. ¿C u á l es el núm ero esperado de parejas defectuosas?

17. Un fabricante de piezas para automóviles garantiza que una caja de estas

piezas contiene un máximo de 2 unidades defectuosas. Si la caja contiene

20 piezas y la experiencia demuestra que el proceso produce 2 % de piezas defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que una caja de piezas satisfaga

esta garantía?

18. En un proceso de fabricación de bombillos, se tiene una fracción defectuosa de 0,02. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 bombillos

se encuentren:


a. cero defectuosos

b. un defectuoso

c. m enos de un defectuoso

d. m ás de tres defectuosos

19. La probabilidad de que un dispositivo electrónico falle es de 0,0025. Si se tom an 3000 dispositivos para un análisis, hallar la probabilidad de que fallen:

a. 8 dispositivos

b. 3 ó 6 dispositivos

c. D e 4 a 7 in c lu s iv e

d. M enos de 3 dispositivos

e. M ás de 9 dispositivos

20. U n a muestra de 12 calcetines de algodón son som etidos a una nrueba de resistencia de rotura de hebras. El resultado del experim ento generó un prom edio de resistencia de 212,17 g/cm2con una desviación estándar de 3 5 ,6 5 g/cm2. H a lla r los lím ites de confianza del 9 5 % para la m edia y la desviación estándar.

21. D o s m á q u in a s lle n a d o ra s de g e la tin a en po lvo e stán s u m in is tra n d o paquetes con variabilidad m uy alta en su peso. C o n el fin de analizar esta s ituación se to m a n 50 p a q u e te s de la m á q u in a I y 60 p a q u e te s de la m áquina II, originando las distribuciones de frecuencia del C uadro 2.27.

a. ¿ S e puede afirmar con a = 5 % , que una de estas m áquinas genera un peso superior a la otra?

b. ¿C uá l es la probabilidad de com eter error tipo II?

c. ¿ S e puede afirm ar con a = 5 % , que hay diferencia entre los peso s de am bas m áquinas?

22. E n una investigación sobre eficacia y rendim iento de dos tipos de s u s tancias quím icas usadas com o pegam ento, se hicieron dos pruebas piloto, una con ca d a u na de ellas, m id ie n d o la resiste ncia a la te n sió n . Esta


CUADRO 2.27. Distribuciones de frecuencia del Problema 21

L| L. " « nwi

82,95 83,75 5 683,75 84,55 7 984,55 85,35 14 1885,35 86,15 11 1586,15 86,95 7 786,95 87,75 6 5

nkl: frecuencia absoluta de máquina I nkll: frecuencia absoluta de máquina II

p ru e b a con siste en te n sa r las partes p e g a d a s hasta que se separan, m om ento en que se mide la fuerza requerida. Los valores obtenidos para am bas pruebas se observan en el Cuadro 2.28.

¿Existe alguna diferencia significativa entre am bos pegam entos? ¿Cuál es la probabilidad de error tipo II?

CUADRO 2.28. Datos para el Problema 22

Muestra # Pegamento I Pegamento II

1 174.0 173.02 173.5 171.53 172.6 172.04 173.0 173.85 171.5 171.16 172.5 172.47 173.6 172.08 172.0 173.8


23. La resistencia a la rotura de cables producidos por un fabricante tiene una m edia de 900 kilos y una desviación estándar de 50 kilos. M ediante una nueva técnica en el proceso de fabricación, se aspira a que esta resistencia pueda ser incrementada. Para com probar esta suposición se ensayan 50 c a b le s y se e n c u e n tra u n a re s is te n c ia m e d ia de 9 2 5 kilos c o n una desviación estándar de 55 kilos ¿P ue de aceptarse que hay un incremento significativo en la resistencia?

24. U na máquina debe producir arandelas con un grosor de 0,125 cm. S e saca una muestra de 10 arandelas que resultan tener un grosor medio de 0,135 cm y una desviación e stá n d a r de 0 ,0 0 7 . P rueb e si la m áquina está en buenas condiciones de fabricación.

25. Si en 250 piezas producidas por la m áquina A, hay 19 piezas defectuosas, y en 300 de la m áquina B, 27 defectuosas ¿existe diferencia en cuanto a la ca lid a d su m in is tra d a p o r a m b a s m u e stra s re s p e cto a su p o rce n ta je defectuoso producido? U se a = 3 % .

26. U n estudio destinado a com parar el contenido de nicotina de dos m arcas de cigarrillos reveló que 50 cigarrillos de la m arca A , tenían un contenido pro m e dio de 2 4 ,2 m iligram os con una desviación están dar de 1,3 milig ram o s, m ientras que 50 cigarrillos de la m arca B, tenían un contenido medio de 25,1 miligramos, con una desviación estándar de 1,5 miligramos. ¿ E s significativa la diferencia observada entre las m edias? Use a = 5 % .

27. S e tom a una m uestra de 18 piezas provenientes de la máquina 12 3 -A , que g e n e ra n una re siste n cia m edia a la co m p re sió n de 220 0 psi co n una desviación estándar de 150 psi. Luego se toman 16 piezas provenientes de la m áquina 12 4 -B ; que generan una resistencia m edia a la com presión de 2410 psi con una desviación estándar de 145 psi. Las piezas de la m áquina 12 3 -A , cuestan m enos que las de 12 4 -B y se com prarán las de la 12 4 -B , solo si resultan por lo m enos 150 psi m ás resistentes que las de la m áquina 123-A . ¿ Q u é solución le da Ud a este problem a? U se a = 5 % .

28. S e quiere hacer un análisis sobre una pieza m ediante la utilización de dos p ro c e d im ie n to s . E n el p ro c e d im ie n to A se u s a u n a m u e s tra d e 25 e le m e n to s y en el pro ce d im ie n to B de 16 e le m e n to s. El C u a d ro 2 .2 9 . muestra los resultados correspondientes.


CUADRO 2.29. Información para ambos procedimientos

Procedimiento Promedio DesviaciónEstándar

A 136 cm 12cmB 128cm 10cm

Probar las hipótesis respectivas, si u= 135 cm y o = 20 cm , con a = 5 % .

29. D e un lote de 10000 unidades se tom an 260 p iezas encontrán dose un núm ero de defectos com prendido entre 0 y 13 defectos distribuidos según el Cuadro 2.30. ¿S e puede afirmar con a = 6 % , que la variable aleatoria se distribuye por Poisson?

30. Al analizar la calidad de un lote se pueden encontrar, según los registros históricos, una cantidad de defectos que oscila entre 1 y 8. Ai som eter a in sp e cc ió n un lote de 2 5 6 u n id a d e s se e n c o n tró el c o m p o rta m ie n to mostrado en el C uadro 2.31.

Determine con cc= 5 % , si la distribución correspondiente a este conjunto es la distribución geom étrica g (x ;0.5)

CUADRO 2.30. Defectos encontrados en las 260 piezas del problema 29

No. defectos No. de piezas No. defectos No. de piezas

0 18 7 101 44 8 102 58 9 93 28 10 94 18 11 85 14 12 146 12 13 8


CUADRO 2.31. Datos obtenidos para el problema 30

X 1 2 3 4 5 6 7 8

f 1 3 6 6 0 3 4 1 2 9 1 3 1

x: número de defectosf: número de piezas con ese número de defectos

La función densidad de esa distribución es:

g (x ,p ) = p . qx_1

31. Para el Problem a 21 se establece que el producto que no pese entre 83,0

y 86,0 gram os, no se aceptará com o bueno.

a. Pruebe norm alidad de peso para am bas m áquinas.

b. ¿ Q u é se puede decir, con 9 5 % de confianza, acerca de los porcentajes

de producto no conform es en am bas m áquinas?

32. T re s p ro ve e d o re s entre ga n lotes de p ro ducció n q ue se p ru e b a n en el

laboratorio. La prueba consiste en m edir la resistencia a la com presión en psi. Los datos correspondientes a los últimos tres lotes de cada proveedor se muestran en el C uadro 2.32.

CUADRO 2.32. Datos obtenidos de las pruebas para el problema 32

Proveedores

A B C

6 0 5 0 0 6 9 0 0 0 6 8 0 0 0

5 9 0 0 0 5 8 0 0 0 6 1 0 0 0

6 2 5 0 0 6 5 5 0 0 6 4 5 0 0

TJORGE ACUÑA ACUÑA 153

a. C o n un n ive l de s ig n ific a c ió n del 5 % , p ro b a r si h a y d ife re n c ia s significativas para las m edias de cada lote.

b. C o n un n ive l d e s ig n ific a c ió n del 5 % , p ro b a r si h a y d ife re n c ia s significativas para las m edias de cada lote y para cada proveedor.

c. Si hay diferencias en cualquiera de los ca so s, dem ostrar dón de se presentan esas diferencias.

33. En una em presa fabricante de piezas cilindricas se han generado m uchos rechazos en los últimos m eses y se cree que ello se debe a las diferencias

m ostradas entre las d im ensiones g e n e ra d a s entre las m áquinas y a la Inexactitud de las m ism as. Para investigar esta situación se toman cinco m uestras de cincuenta unidades de cada m áquina, midiendo su longitud en m m y originando la información presentada en el Cuadro 2.33.

a. ¿S o n ciertas las hipótesis planteadas con a = 5 % ?

b. Si hay diferencias, ¿en qué m áquinas las hay? U se a = 5 %

34. La resistencia a la tensión ha sido una de las características que m ás ha fallado en la elaboración de cintas vulcanizadas para llantas. Para analizar la situación se ensayan dos m uestras a diferentes tiem pos de curado a 14 ° C y u s a n d o d ife re n te s a c e le ra d o re s . La in fo rm a c ió n o b te n id a presentada en el C uadro 2.34 es para tres tiempos de curado en minutos.


M AQ U IN AS

A B C D

M 53,4 55,5 53,3 54,3E 55,8 56,0 56,2 54,9D 54,5 55,0 54,0 55,8I 55,6 55,5 55,0 54,1

A 54,0 54,6 53,8 53,5



A C E L E R A D O R

A B C

T 40 3900 4300 3700I 3600 3700 4100EM 60 4100 4200 3900P 3500 3900 40000S 80 4000 4300 3600

3800 3600 3800

a. ¿ S e puede afirmar con a = 5 % , que la resistencia media varía según el tipo de acelerador?

b. ¿ S e p u e d e a firm a r co n c t= 5 % , q u e la re s iste n cia m e d ia v a ría de acuerdo con el tiempo de curado?

c. Si hay diferencias identifique: ¿en qué tipo de acelerador o tiempo de curado se presenta?

35. Para el Problem a 22:

a. ¿ Q u é ta m a ñ o de m uestra se requiere para lograr un error tipo II de 0 ,12?

b. De acuerdo con los resultados obtenidos en 1. ¿qué nivel de confianza se requiere para obtener una decisión contraria a la obtenida?

c. Si se considera defectuoso todo aquello que tenga un valor bajo 171,0 y sobre 173,0 y se supone distribución normal para am bas poblaciones.

- ¿ q u é se p u e d e a firm a r a c e rc a de los p o rce n ta je s d e fe c tu o so s sum inistrados por am bos tipos de pegam ento?

- si se fija un porcentaje defectuoso de 1 % , ¿qué se puede afirmar de ca d a u n o de los pegam entos?


d. Si se fija el siguiente estimador de la desviación estándar: a ’=T/3 donde T es la tolerancia dada, ¿qué se puede decir de las varianzas de cada tipo de pegam ento si T es igual 2 ,0?

e. Si se especifica que el promedio de resistencia debe ser 172,0, ¿qué se puede decir de la eficacia obtenida por cada tipo de pegam ento?

Nota: use a = 5 % para todas las estim aciones

36. U n a fábrica diseña em paque s para productos alim enticios. La form a de trabajo consiste en diseñar varios bocetos y mostrarlos al cliente. Actualm ente se han presentado a un cliente cuatro opciones de diseño para su a p ro b a c ió n . P a ra e v a lu a r ca d a d ise ñ o se estim a el m onto de ve n ta s anuales para cada opción.

Las cuatro opciones se presentan en el Cuadro 2.35.

La inform ación obtenida del A N O V A se presenta en los C u a d ro s 2.36 y 2.37.

¿ Q u é opción se puede considerar la mejor? U se ot=5%

37. Si se d e s e a m u e s tre a r un lote de 5 0 0 0 0 u n id a d e s , pa ra ve rifica r el pro m e dio de defectuosos, ¿cuál debe ser el ta m a ñ o de la m uestra si: p=0,04, E = 0 ,1 ,1 -a = 9 5 % ?

38. S e d e s e a m u e s tre a r la p ro d u c c ió n de u na m á q u in a pa ra e s tim a r el promedio del diámetro de las piezas que fabrica. ¿C u á l es el tam año de la muestra que garantiza un error no m ayor de 0,5, con 9 5 % de confianza, si se sabe que cr2 = 4 ,7 cm 2?

CUADRO 2.35. Opciones de diseño presentadas al cliente

Opción Descripción

A Tres colores con dibujos animadosB i res colores sin dibujos animadosC Cinco colores con dibujos animadosD Cinco colores sin dibujos animados


CUADRO 2.36. Tamaño de muestra y promedios

Opción

A 1 B C D

", 2 3 4 2

15 13 19 27

CUADRO 2.37. Cuadro ANOVA deI Problema 36

Origen g-1. Suma de Cuadrados Cuadrado medio F

Diseño 3 258 86 11,21Error 6 46 7,67

T O T A L 9 304

39. Un departam ento de control de calidad lleva un registro sobre la cantidad de defectuosos encontrados por sem ana. La Información se presenta en el C u a d ro 2.38.

a. Extraer una m uestra aleatoria de seis elem entos, utilizando m uestreo aleatorio sim ple y m uestreo estratificado. E n am bos casos estim e los parám etros poblacionales y el error estándar.

b. ¿C uá l de los dos tipos de m uéstreos es preferible?

40. Lo s porcentajes defectuosos de ios lotes recib ido s por una c o m p a ñ ía oscilan entre 0 ,5 % y 3 ,5 % . D urante el presente año se han recibido 216 lotes que se han dividido en tres estratos, cuya información se m uestra en el Cuadro 2.39.

JORGE ACUÑA ACUÑA

CUADRO 2.38. Datos registrados en las últimas doce semanas

Semananúmero

Cantidad de defectuosos

1 302 453 604 205 156 107 108 509 30

10 3511 912 17

CUADRO 2.39. Información para el Problema 40

Estrato % Defectuoso Número de lotes

Desviación estándar del %

1 0 ,5 % -0 ,9 9 % 98 0,052 1 ,0 % -1 ,9 9 % 106 0,153 2 ,0 % -3 ,5 0 % 12 0,35

a. Se desea sacar una m uestra de 40 lotes, ¿cuál es el núm ero de lotes que se debe extraer de cada estrato? U se tanto afijación óptima com o proporcional.

b. C a lc u le los errore s co rresp o ndientes y com p a re a m b a s form as de estratificar.

Capítulo III

INGENIERIA DE CALIDAD

L a ingeniería de calidad es la disciplina que se encarga de investigar los medios que permiten la dism inución y si es posib le la e lim in ación de la va riabilidad en los p ro c e s o s . E s te e stu d io se h a ce an te s de in ic ia r la p ro d u c c ió n y tiene c o m o o b je tivo in v e s tig a r to d a s aquellas ca u sa s que pro vocan que una determ inada ca ra c te rís tic a de ca lid a d se co m p o rte con am plias tolerancias.

Para ejecutar este tipo de investigaciones se necesita un ordenam iento en las actividades de diseño de producto de tal m anera que se pueda hacer uso de las herramientas estadísticas y de laboratorio para efectuar las pruebas que sean necesarias.

La base estadística de este tipo de estudios es el d ise ñ o de e x p e rim e n to s que a tra vé s de d iferentes form as de p rue ba perm iten identificar y controlar las causas de posibles problemas de calidad en la etapa de diseño de producto.

E n la actualidad, la tend encia es hacia construir calidad en la etapa de diseño de producto, evaluando las diferentes modalidades en que las características de calidad pueden actuar.

160 CONTROL DE CALÍDAD

CARACTERISTICAS DE CALIDAD

El control de proceso de un producto se ejecuta sobre la base de ca ra c terísticas de calidad que se g eneran en las diferentes etapas de fabricación. U n a característica de calidad es una variable o un atributo generada en una operación de producción y que d eb e cum plir con los requisitos fijados. Si la característica es una variable significa que es m edible (por ejem plo: longitud, tem peratura, presión, hum edad y p H ). Si ésta es un atributo significa que no es m edible (por ejem plo: olor, color, sabor, apariencia y textura).

En el control por variables, se ejecutan una serie de m ediciones con un instrum ento a d e cuadam ente sele ccionado . La m agnitud obtenida refleja la condición del proceso y permite obtener conclusiones para realizar acciones correctivas, preventivas y proyectivas que evitarán futuros problem as.

En el control por atributos, se recolecta información acerca de la cantidad de unidades defectuosas así co m o de los defectos encontrados. En esta a c ción se toma nota de posibles causas y se toman decisiones para decrem entar tanto la cantidad de defectuosos co m o la cantidad y variedad de d e 'o cto s . Ta m b ié n pueden usarse para el control de producto que no siendo defectuoso no cum ple con lo especificado.

T a l y com o se puede abstraer de la definición de característica de calidad, un producto tiene una gran cantidad y variedad de características. Ante ello, es necesario e jecutar una clasificación con el fin de determ ina r aq uellas m ás Importantes y relevantes. Para ejecutar esta clasificación se hace uso de tres diagram as que son el diagrama de Ishikawa, el diagrama de Pareto y el diagrama de causa- efecto. La clasificación consiste en recolectar toda s las características y ponerlas en el d iagram a de Ishikawa, luego clasificarlas de acuerdo con su frecuencia e importancia en un diagram a de Pareto y finalmente encontrar las ca usa s y efectos ocasionados por la falla de las características seleccionadas, usando diagram as causa-efecto.

Diagrama de Ishikawa

Este diagrama, también conocido com o diagrama de espina de pescado, es un m edio de recolectar la inform ación sobre todas las características de calidad generadas en la fabricación del producto.


Existen tres tipos de diagram as de Ishikawa, el diagrama para e l proceso en el que se colocan las operaciones de proceso en las ramas, el diagrama para el producto en el que se colocan las partes del producto en las ram as y el diag ram a ge ne ra l en el que se anotan las características directam ente en las ram as, de acuerdo con su ocurrencia. En el diagram a para producto, adem ás de las partes, es recom endable anotar, en las ram as, el nom bre del producto final pues existen características que se observan solo en él.

El procedim iento para construir este diagram a es el siguiente:

1. Elegir el producto o proceso que se va a estudiar.

2. Colo car la palabra proceso o el nom bre del producto (para diagram a para producto y diagrama general) en el extremo derecho de una flecha horizontal, tal y com o lo m uestra la Figura 3.1.

3. H a c e r una lista de todas las características de calidad que se generan. Esta lista se efectúa para cada parte del producto, cada etapa del proceso, o en form a general. En esto, se debe tom ar en cuenta al operario y a inspectores experim entados con el fin de no dejar por fuera aquellas características que tengan una periodicidad m uy irregular o m uy espaciada y que por lo tanto puede que no se detecten en el período de observación.

4. O rdenar la información en forma secuencial, de acuerdo con las partes que com ponen al producto o las etapas que conform an el proceso.

5. Dibujar las flechas diagonales (ram as principales) sobre las que se representarán las partes del pro ceso, las partes del producto o las cara cte rísticas de calidad. Esto se puede ver en la Figura 3.2.

> Nombre de producto

> Proceso

FIGURA 3.1. Formas de la flecha horizontal


Rama

6. D ib u ja r las s u b ra m a s si existen va ria c io n e s p ara la ca ra cte rística de calidad anotada.

7. Verificar que todas las características han sido anotadas.

E J E M P L O 3.1

Elaborar un diagram a de Ishikawa para producto para un abridor de latas con base en la siguiente información recolectada.

1. El producto está com puesto por las siguientes partes: manigueta superior, m anigue ta inferior, cuchilla de corte, piñón, patilla de giro del p iñón y rem ache de cuchilla.

2. Las características de calidad para cada parte son las siguientes:

Manigueta superior Manigueta inferior- resistencia - longitud- porosidad ' - diámetro- longitud - porosidad- impresión - resistencia- dureza - dureza- acabado

Cuchilla de corte- ángulo de corte -filo

Piñón- paso del diente- dureza


- profundidad de corte- resistencia- dureza- porosidad- pulido

Remache de cuchilla-t ip o- longitud- holgura- diámetro exterior- acabado- diámetro de cabeza

Abridor de latas- apariencia- peso- em paque

S O L U C I O N

C o n base en la inform ación sum inistrada se construye el d iagram a que muestra la Figura 3.3.

Diagrama de Pareto

El diagram a de Pareto permite clasificar las características de calidad de acuerdo con su frecuencia de ocurrencia y su importancia. Esta acción permite ce n tra r la a te n c ió n s o la m e n te s o b re a q u e lla s c a ra c te rís tic a s q u e sean importantes y no triviales. Este diagram a se usa tam bién en clasificación de inventarios y es com únm ente conocido com o clasificación A B C .

En la aplicación de esta técnica se hace uso de la siguiente categorizaciór de características:

Característica crítica (A): es aquella falla que puede provocar la pérdida de vida de personas, el daño a la propiedad privada o hace que el producto nc cum pla con el fin para el cual fue creado.

- resistencia- porosidad- núm ero de dientes- diámetro exterior- ajuste

Patilla de giro del piñón-flexibilidad de giro- ancho- resistencia- porosidad- elasticidad


Manigueta superior Remache Cuchilla de corte

FIGURA 3.3. Diagrama de Ishikawa para un abridor de latas

Característica principal o mayor (B): es a q u e lla qu e h a ce q u e el producto deje de cum plir con la función intentada si cae fuera de los límites

prescritos.

Característica menor (C): es aquella que hace que el producto tenga

fallas de poca importancia si cae fuera de los límites prescritos.

Característica incidental o irrelevante (D ) : es a q u e lla falla que no

provoca problem as importantes y en m uchos casos pasa desapercibida a los

ojos del usuario. El cliente raras veces se queja por este tipo de falla.

La clasificación de características o b e dece a una política de eliminación

de problem as. La regla m ás usada es la del 8 0 % y consiste en buscar cuáles


características pro vocan el 8 0 % de los problem as de calidad. La regla es la siguiente:

De 0 % a 8 0 % se denom inan características críticasDe m ás de 8 0 % a 9 5 % se denom inan características m ayores

De m ás de 9 5 % a 9 8 % se denom inan características m enores

De m ás de 9 8 % a 1 0 0 % se denom inan características incidentales

El procedim iento de selección de características de calidad usando el d iagram a de Pareto es el siguiente:

1. Listar todas las características de calidad presentadas en el diagram a de Ishikawa. (C o lu m n a 1)

2. T o m a r una m u e stra de p ro d u cto te rm in a d o de ta m a ñ o p re via m e n te c a lc u la d o y to m a r nota de la fre c u e n c ia de falla de c a d a u na de las características de calidad listadas en 1. (C olum na 2)

3. O to rg a r un p e so (w ) a ca d a ca ra cte rística d e s p u é s de un análisis de criticidad y ubicarla dentro de una de las cuatro categorías citadas. Puede usarse una escala de peso, co m o la siguiente: 1 0 0 ,5 0 , 2 5 ,1 según sea característica crítica, principal, m enor o incidental. (C olum na 3)

4. M ultiplicar la frecuencia ano tada en 2 (n :) por el corresp ondiente peso asignado en 3. (w¡). (C olum na 4)

5. S u m a r la colum na 4 y obtener el total correspondiente.

6. C a lc u la r el porcentaje de ca d a característica d ivid iendo el va lor de la C o lum na 4 por el total obtenido en el paso 5. (C o lu m n a 5)

7. A n o ta r en un s e g u n d o cu a d ro el listado de ca racterísticas de calidad ordenada s de m ayor a m enor con base en el porcentaje calculado en ei paso 6 el cual se anota en la C o lum na 5. (C olum na s 6 y 7)

8. C a lc u la r el p o rc e n ta je a c u m u la d o , a c u m u la n d o el p o rc e n ta je de la

colum na 7. (C o lu m n a 8)

9. Efectuar el corte al 8 0 % y asignar a cada característica en el intervalo de 0 a 8 0 % , su c o rre s p o n d ie n te c la sifica ció n id e n tifica d a p o r u n a letra. (C o lu m n a 9)


10. C o nstru ir el eje x c o n esca la indiferente pero de igual ancho para cada

c a ra c te r ís tic a de c a lid a d y el eje / c o n u na e s c a la de 0 a 1 00 que

representa el porcentaje.

11. Dibujar el rectángulo correspondiente a cada característica de la altura que

indique la colum na 2.

12. Dibujar el acum ulado de la colum na 3.

13. Localizar en el eje y, los valores 8 0 % , 9 5 % y 9 8 % y observar en el eje x las

ca ra cte rística s que se d e n o ta rá n co m o críticas, m a yo re s, m e n o re s e

incidentales. Para hacer esto se localiza el valor y se traza una línea hori

zontal hasta intersecar la línea de porcentaje acum ulado, luego se traza

una línea vertical de la intersección al eje x. Las características encerradas

por el cuadro formado son las que corresponden a la categoría en estudio.

14. O btener las conclusiones de la clasificación.

EJEMPLO 3.2

Efectuar un diagram a de Pareto para las características de calidad varia

bles del abridor de latas citado en el Ejem plo 3.1. La regla por seguir es la del

8 0 % y se desean identificar las características críticas sobre las que se basará

el subsistem a de control de proceso.

Para clasificarlas haga uso de la información que se presenta en el Cuadro

3.1 que se obtuvo de una muestra de 200 unidades.

SOLUCION

S e seguirá el procedimiento planteado.

a. Los pasos 1 ,2 y 3 se presentan en el C uadro 3.2.

b. Los pasos 4 , 5 ,6 , 7 ,8 y 9 se presentan en los C ua d ro s 3.3 y 3.4.

c. Los pasos 1 0 ,1 1 ,1 2 y 13 se presentan en la Figura 3.4.


CUADRO 3.1. Información recolectada para 200 unidades

Característica (Columna 1)

Abridores que no cumplieron (Columna 2)

Peso (w) (Columna 3)

1. Dureza de manigueta inferior 2 1002. Longitud de manigueta inferior 3 253. Longitud de manigueta superior 5 14. Dureza de manigueta superior 4 505. Diámetro de manigueta inferior 5 506. Resistencia de manigueta inferior 4 257. Angulo de corte 25 1008. Profundidad de corte 10 1009. Dureza de cuchilla de corte 15 50

10. Resistencia de cuchilla de corte 1 111. Paso del diente 20 2512. Dureza del piñón 1 5013. Resistencia del piñón 5 5014. Número de dientes 6 5U15. Diámetro exterior del piñón 24 2516. Longitud del remache 30 117. Diámetro exterior del remache 25 2518. Holgura del remache 10 10019. Holgura de la patilla 10 10020. Ancho de la patilla 25 5021. Resistencia de la patilla 5 100

C o n c lu s io n e s

Al observar la Figura 3.4 o el Cuadro 3.4 se concluye que la característica m ás importante es la No. 7 que es el ángulo de corte y la m enos importante la No. 10 que es la resistencia de la cuchilla de corte. A su ve z el subsistema control de proceso basará sus acciones en las características presentadas en el C uadro 3 .4 . Esto significa que el subsistem a busca la eliminación del 8 0 % de los problem as de calidad por m edio del estudio e implementación de m edidas sobre las características seleccionadas.


CUADRO 3.2. Cálculos Intermedios para el Paretograma


",(Columna 2)

w(Columna 3)

n*w (Columna 4)

Porcentaje (Columna 5)

1 2 100 200 1,8002 3 25 75 0,6703 5 1 5 0,0404 4 50 200 1,8005 5 50 250 2,2306 4 25 100 0,9007 25 100 2500 22,3508 10 100 1000 8,9409 15 50 750 6,700

10 1 1 1 0,00911 20 25 500 4,47012 1 50 50 0,45013 5 50 250 2,2G014 6 50 300 2,68015 24 25 600 5,36016 30 1 30 0,27017 25 25 625 5,60018 10 100 1000 8,94019 10 100 1000 8,94020 25 50 1250 11,17021 5 100 500 4,470

TO TA L : 11186

D ia g ra m a c a u sa -e fe cto

P a ra ca d a una de las ca ra cte rística s prioritarias se le ccio n a d a s p o r el p a re to g ra m a se co n s tru ye un d ia g ra m a de ca u s a -e fe c to , d o n d e c o m o el nom bre lo indica, el objetivo es buscar las causas que provocan y los efectos provocados por la falla de esa característica.


CUADRO 3.3. Cálculos finales del Paretograma


%(Columna 2)

% acumulado (Columna 3)

Clasificación ' (Columna 4)

7 22,35 22,35 A20 11,17 33,52 A

8 8,94 42,26 A18 8,94 51,40 A19 8,94 60,34 A

9 6,70 67,04 A17 5,36 72,64 A15 5,36 78,00 A21 4,47 82,47 B11 4,47 86,94 B14 2,68 89,62 B

5 2,23 91,85 B13 2,23 94.08 B

4 1,80 95,88 C1 1,80 97,68 C6 0,90 98,58 D2 0,67 99,25 D

12 0,45 99,70 D16 0,27 99,65 D

3 0,04 99,99 D10 0,01 100,00 D

Este diagram a es una importante arm a para la búsqueda y eliminación de causas de variación y constituye una forma ordenada de recolectar información acerca de las fallas que afectan la calidad del producto.

Este diagram a puede ser construido de dos formas. La primera consiste en colocar siete ramas para las causas y siete ram as para los efectos. Estas ramas constituyen los factores de la calidad. La otra form a consiste en anotar las ca usa s y los efectos directam ente en cada ram a. La segunda form a tiene la desventaja de que no Identifica al agente causante o afectado con la falla de la


Q - O ^ O L ü Z H < - 3 U J " 3o'-

FIG

URA

3.4.

Par

etog

ram

a de

l Ej

empl

o 3.

2.


CUADRO 3.4. Características seleccionadas por el Paretograma

No. Nombre

7 Angulo de corte20 Ancho de la patilla

8 Profundidad de corte18 Holgura del remache19 Holgura de la patilla

9 Dureza de la cuchilla de corte17 Diámetro exterior del remache15 Diámetro exterior del piñón

característica de calidad. En am bos casos se actúa con control preventivo con

el fin de proyectar todas las actividades que prevengan las fallas de calidad.

El procedim iento de construcción de este diagram a es el siguiente:

1. Colocar la característica en estudio en un cuadro centrado

2. Anotar a la izquierda las causas y a la derecha los efectos

3. Identificar cada rama con un factor de calidad. Los nombres de los factores

de calidad se anotan en el encabezado de las ramas

4. A notar en cad a ram a las causa s y los efectos según sean originados o

afectados por cada factor de calidad

5. Corroborar que se haya anotado toda la información

La Figura 3.5 muestra el esquem a correspondiente a este diagram a.

EJEMPLO 3.3

D e te rm in a r las ca u sa s y efectos para el ca so en que la o p e ra ció n de

llenado de bolsas de cacao no cum plan con el peso especificado.


Causas Efectos

Hombre Máquina Dinero Hombre Máquina Dinero

FIGURA 3.5. Esquema de un diagrama causa-efecto.

SOLUCION

La Figura 3.6 presenta el diagram a solicitado. La información se recolecta directamente en las líneas de producción y en entrevistas con inspectores.

NORMALIZACION

El avance tecnológico y las condiciones competitivas de los productos en el m ercado provocan cambios relevantes en la forma de pensar de productores y consum idores.

U no de estos cam bios se refiere a exigencias de calidad, las cuales en su m ayoría son establecidas por el con sum ido r y cum plidas por el productor, si éste desea tener éxito en m erca dos tanto ra cio n a le s com o internacionales. Bajo este concepto m oderno de calidad de producto, el productor debe establecer eficientes y eficaces sistemas, para lograr la fabricación de un producto q u e c u m p la con e s p e c ific a c io n e s de d is e ñ o que g a ra n tic e n a su v e z el cumplimiento de los requerimientos del consum idor.

JORGE ACUÑA ACUÑA

FIGU

RA

3.6.

Dia

gram

a ca

usa-

efec

to

para

el

Fjem

plo

3.3


C o m o una activid a d para le la a la identificación de ca ra cte rística s de calida d, el analista de calidad d e b e estab lecer o recolectar las n o rm a s de proceso y de producto que sean los patrones de comparación para llevar a cabo un ve rd a d e ro control. Este p ro ce so pertenece a una disciplina o rga n iza d a conocida com o norm alización.

La n o rm a liza c ió n se define c o m o el p ro ce d im ie n to de fo rm u la ció n y aplicación de reglas que pretenden encauzar una determinada actividad dentro de un patrón de com portam iento adecuado. Los objetivos m ás importantes de esta disciplina son:

1. Facilitar y racionalizar la flexibilidad en el uso de materiales de tal m anera que se tengan costos m ás bajos y calidad de un nivel superior.

2. E s ta b le c e r p ro c e d im ie n to s qu e pe rm ita n e v a lu a r las In n o va c io n e s tecnológicas importadas de otros países.

3. Proteger los intereses del consum idor y las condiciones del am biente.

4. G e n e ra r e s p e c ific a c io n e s q u e perm itan un v e rd a d e ro con trol de las actividades productivas.

5. O rga n iza r la producción ordenando procedim ientos y m etodologías.

El instrumento generado de un estudio de normalización se conoce com o norm a. La norm a se define com o el resultado de la gestión de norm alización a p ro bada por una autoridad form al y cu ya aplicación se hace a través de un d o c u m e n to que con tien e los requerim ie ntos y co n d icio n e s que d e b e n ser cum plidas. Si se habla de pro cesos productivos, el nom bre que recibe es de norm a técnica. La norm a técnica contiene, entre otras cosas, especificaciones p ara la variable en estudio , m é to d o de e n s a yo , e q u ip o e instrum en tació n necesaria, m étodo de toma de la m uestra y acciones por tomar.

Tipos de normas técnicas

Las norm as técn ica s se clasifican según su ca rácter de aplicación, su contenido y su nivel de aplicación.

La s n o rm as se clasifican de a cu e rd o con su ca rácter de aplicación en norm as obligatorias y optativas. Las norm as obligatorias son dictadas por un


ente oficial competente y adquieren validez al ser publicadas en un diario oficial. Las normas optativas son también aprobadas por un ente oficial pero su aplicación es voluntaria.

Las norm as, de acuerdo con su contenido, se clasifican en la siguiente forma:

1. De terminología y definiciones. Recolectan conceptos y los definen con el fin de establecer un lenguaje uniforme.

2. D e clasificación. C lasifican co n cepto s y los o rdenan en función de su finalidad.

3. De elaboración. Establecen condiciones de manufactura que garanticen el cum plim iento de los requisitos exigidos por el cliente.

4. De requisitos. Indican entre otras cosas valores nom inales y tolerancias para productos y partes.

5. De m étodos de ensayo. Establecen los procedim ientos para la ejecución de e n s a yo s que p e rs ig u e n e va lu a r el cu m p lim ie n to de los requisitos exigidos al producto.

6. D e m uestre o y re c e p ció n . E sta b le c e n ta m a ñ o s de m uestra , p ro c e d im ientos de extracción y criterios de aceptación y rechazo.

7. De rotulado. Plantean la forma de identificar, manipular y transportar el producto. Estas norm as son m uy útiles en el em paque de producto.

8. De envase y embalaje. Establecen las características y propiedades de los materiales por usar para proteger, transportar y alm acenar el producto.

9. De uso. Establecen los métodos para lograr una adecuada utilización del producto.

Las norm as según su nivel de aplicación se clasifican en:

1. De nivel individual. S e usan para la atención de problemas que conciernen a un usuario.

2. De nivel empresarial. La em presa decide desarrollar una norm a para ser aplicada internamente. Por ejemplo, una em presa del sector m etal-m ecánico decide implementar una norma para el proceso de limado.


3. D e nivel de asociación. Varias em presas afiliadas a una asociación deciden plantear y acatar una norm a que les permite cumplir con intereses afines. Por ejemplo, una cám ara sectorial decide implantar una norm a con el fin de que las em presas afiliadas la cum plan.

4. D e nivel nacion al. S e c to re s industriales desarro llan n o rm as p a ra ser cum plidas por todos ellos. Esto puede darse a nivel formal o informal. Por ejemplo, el Instituto de N orm as Té cn ica s de Costa Rica ( IN T E C O ) decide im plem entar una norm a para ser cum plida por un sector específico.

5. D e nivel regional. Varios países acuerdan desarrollar una norm a para su beneficio mutuo. Por ejem plo, el Instituto Centroam ericano de Investigación y T e c n o lo g ía Industrial ( IC A IT i ) decide p o n e r a las ó rd e n e s de la región centroam ericana una norm a determinada.

6. D e nivel mundial. S e dictan en ámbito mundial para facilitar el intercambio económ ico con parám etros com unes. Por ejemplo, la Organización Internacional de Estandarización ( IS O ) pone a disposición de quien lo quiera una norm a para el control de aceptación por atributos.

U n o de los aspectos claves es que la em presa debe buscar por el m edio más conveniente, la form a de desarrollar o adoptar norm as. U n o de los a spectos que ayudan en esta tarea son las norm as técnicas de aplicación específica. Sin e m b a rg o , al se r esp e cífica s son aplicab les según ciertas co n d icio n e s impuestas por la naturaleza del proceso y producto en estudio. Así, la tarea de integración de norm as se puede volver inmanejable e improductiva. Para ello, es m ejor el uso de norm as de aplicación general cuyo objetivo es enm arcar una determ inada tarea, dejando los aspectos específicos para ser analizados de acuerdo con el proceso o producto analizado.

N o rm a IS O -9 0 0 0

U n a de las te n d e n cia s po sitivas de los o rg a n ism o s de n o rm a liza ció n intern acionales ha sido el e stab lecim ien to de series de n o rm as con un fin específico. En este caso la Serie IS O -9 0 0 0 procura un ordenam iento de todo aquello relacionado con aseguram iento de calidad, visto desde su concepción integral.


En 1987, IS O (O rg a n ism o Internacional de Estandariza ció n) aprobó un con junto de n o rm a s que llevan el n o m bre S e rie IS O -9 0 0 0 , cu yo principal

objetivo es el establecimiento de m ecanism os de aseguramiento de la calidad, que garanticen la buena m archa de las actividades internas de una em presa y de su relación con los clientes.

La Serie IS O -9 0 0 0 es un conjunto de cinco norm as num eradas de 9000 a 9004, las cuales se aplican a la gestión de calidad. Las normas se pueden usar

bajo condiciones contractuales y no contractuales, con el fin de garantizar la entrega de un producto que cum pla los requisitos previamente establecidos por el cliente.

La aplicación de la Serie IS O -9 0 0 0 requiere de bastante grado de especia- lización en conceptos m odernos de calidad, pues la norm a solo establece los

instrum entos po r evaluar, q u e d a n d o los m edios y los procedim ientos para hacerlo bajo la responsabilidad del analista que la aplique. E stos pro cedimientos y métodos persiguen diagnosticar el sistema de calidad. Debe tenerse

presente aquí que las normas usan el concepto de calidad con enfoque integral y no bajo el concepto m ínim o de inspección de producto. La norm a contiene definiciones y conceptos que permiten e nm arcar la evaluación y decidir qué aspectos evaluar.

La norma 9000 establece los criterios para seleccionar o aplicar las normas que com ponen la serie. En ella se dan las características de cada norm a de tal m anera que se pueda decidir con facilidad cuál usar.

Si se desea establecer un nivel de gestión de calidad, que conlleve a un constante m ejoram iento de la calidad de producto y servicio al consum idor, y que tome en cuenta tanto factores hum anos com o técnicos y organizativos, se debe aplicar la norm a 9004.

Si se han e s ta b le cid o s itu a cio n e s co n tra c tu a le s entre el cliente y el pro veedor se debe aplicar la norm a 9001, 9002 o 9003. Al decir situaciones contractuales implica que el cliente ejecuta pedidos al proveedor en los cuales

establece sus condiciones.

El C ua d ro 3.5 muestra una breve descripción de cada una de las normas

que com ponen la Serie IS O -9 0 0 0 .


CUADRO 3.5. Descripción de la Serie iSO-9000

Norma Nombre Breve descripción

ISO-9000 Norma para la gestión yaseguramiento de la calidad. Lineamlentos de selección y aplicación.

Es la guía que permite seleccionar el tipo de modelo a usar. Da las pautas para que el analista escoja el modelo que más se adecúa a las características de la empresa y a sus relaciones con el cliente.

ISO-9001 Sistema de calidad. Modelo de aseguramiento de la calidad aplicado al diseño- desarrollo, fabricación, instalación y servicio.

ISO-9002 Sistema de calidad. Modelo de aseguramiento de calidad aplicado a la fabricación e instalación.

ISO-9003 Sistema de Calidad. Modelo de aseguramiento de calidad aplicado a la inspección y ensayos finales.

Se usa cuando existe un compromiso contractual entre cliente y proveedor para entregar un producto acorde a sus requisitos. Se fijan las características que demuestran que el productor es capaz e Idóneo para cumplir el contrato. Incluye todas las actividades por realizar desde el diseño de producto hasta el servicio post-venta.

Se usa en situaciones contractuales, cuando la capacidad del proveedor para fabricar un producto acorde a las necesidades del cliente, debe ser demostrada.Las actividades planteadas tienen por objetivo la prevención y detección de Irregularidades tanto en la etapa de fabricación como en la etapa de instalación.

Se usa en situaciones contractuales cuando se debe demostrar que el productor ejecuta ensayos y pruebas finales al producto, con el fin de evitar que productos no conformes lleguen a manos del cliente.

ISO-9004 Sistema de calidad. Gestión de calidad y elementos del sistema. Lineamientos.

Se usa cuando se desea diseñar un sistema de calidad que dé confianza a la dirección de que se van a cumplir los requisitos impuestos por el cliente. Incluye actividades que van desde el diseño de producto, análisis de materiales, control de proceso y hasta la investigación de fallas del producto en manos del cliente.


U n a de las ventajas de esta serie es que sirve de base para la im plem en- tación de un sistem a m oderno de control de calidad, el cual podem os estar seguros que cumplirá con lo requerido por la Serie.

El cumplimiento de lo establecido por esta norm a es imprescindible, pues será un requisito por cum plir para iniciar operaciones com erciales con o rganism os internacionales.

METROLOGIA

La metrología es la ciencia de la medición y se refiere a la escogencia del instrumento adecuado, que permita m edir un elem ento o característica en las unidades deseadas, y en los sistem as de unidades adoptados. En el caso de inspección de calidad la unidad deseada depende de la especificación que se te n g a y el s is te m a de m e d id a a d o p ta d o es el M K S (m e tro -k ilo g r a m o - segundo ).

Si la medición no es efectuada bajo las condiciones metrológicas fijadas, los datos obtenidos no reflejarán las condiciones de la característica que está siendo medida. C o m o resultado, las conclusiones y decisiones serán erróneas y costosas.

E n m etrología se pueden com eter dos tipos de errores: sistem áticos y casua les. Los errores sistem áticos son propios del instrum ento usado y se deben entre otras cosas a cam bios de tem peratura que afectan al material de que están hechos, a desgastes o a errores en la escala trazada. Los errores casuales se deben al ser humano y su origen se encuentra principalmente en la falta de entrenam iento en el uso del instrum ento. Esta falta de capacitación provoca errores tales com o mala colocación del instrumento con respecto a la p ie za , lectura errónea de escalas y m ala o in adecua da regulación del instrum ento con respecto al patrón de medida usado.

Lo s in stru m e n to s de m e d ic ió n se p u e d e n c la sifica r s e g ú n el á re a o disciplina en que se usan. Algunas de estas á, aas son: Mecánica, Electricidad, Física, Metalurgia, Q uím ica, Biología y Botánica (Brito,1993)

En el área M ecánica, por ejem plo, los instrum entos se clasifican en instrum entos para m edidas de longitud, instrum entos para m edidas angulares,


instrum entos de verificación de atributos e instrum entos de m edida y verificación en el laboratorio.

Lo s instrum entos para m e d id a s de longitud perm iten m edir entre otras d im e n s io n e s a n c h o , la rg o , p ro fu n d id a d y d iá m e tro . E je m p lo s de e sto s instrumentos son el pie de rey y el m icrómetro. Los instrumentos para m edidas a ngulares com o su nom bre lo Indica perm iten m edir m agnitudes angulares. E jem plos de ellos son el gonióm etro y la regla de senos. Los instrum entos de verificación de atributos permiten com probar si una característica cum ple con un patrón fijado sin efectuar m edición alguna. Ejem plos de éstos son los calibres p asa-no pasa, las ruedas dentadas, escuadras, com pases y palpadores de carátula. Los instrumentos de verificación en laboratorio cum plen la m ism a funció n de los a n te rio re s y g e n e ra lm e n te o cupa n un e sp a c io im po rtante . E jem plos de ellos s o n la m esa de control de excentricidades y el com parador óptico.

ESPECIFICACIONES

D e acuerdo con su origen, existen dos tipos de especificaciones que son las especificaciones de consum idor y las especificaciones de productor.

Especificaciones del consumidor

Estas especificaciones se originan en los requerimientos o características q u e el clie n te d e s e a in c o rp o ra r en el p ro d u c to q u e v a a a d q u irir . E s ta s especificaciones se clasifican en o cho grupos cuya descripción se brinda a continuación.

A . Dimensional. A q u í se definen algunas m edidas que el cliente desea en el producto. Por ejemplo, la capacidad en litros de un tanque de captación de agua.

B. Funcional. E n este c a s o el clie n te e sta b le ce los re q u e rim ie n to s de funcionam iento que garanticen una m ejor utilización del producto. Por ejem plo, la capacidad de desconexión de una plancha cuando alcance la tem peratura deseada.


C . Apariencia. Esta característica juega un papel m uy importante, principalm ente para productos alim enticios y suntuo sos, puesto que en ellos el prim er punto crítico de evaluación de calidad se da por la vista. La a p a riencia está relacionada con la forma, el color, la presentación, el empaque y todo aquello que llame la atención del cliente. Por ejemplo, el color que presente una jalea.

D. Servicio. Este se refiere a todos aquellos aspectos relacionados con la a te n ció n b rin d a d a , po r la e m p re s a , u na v e z q u e el p ro d u cto ha sido adquirido por el cliente. El servicio considera los siguientes aspectos:

• Disponibilidad. S e refiere a la acción que permite localizar el producto con facilidad, es decir, que si se necesita se pueda adquirir en el menor tiempo posible. S e asocia también con la facultad del producto de estar apto para su uso.

• Mantenibilidad. S e refiere a la necesidad que tiene el consum idor de que al fallar el producto, éste pueda ser reparado en el m enor tiempo posible, existiendo amplia disponibilidad de repuestos. Por ejemplo, la variedad de repuestos para reparar un televisor.

• Servicibilidad. Esto se refiere a la necesidad que tiene el consum idor de que el se rvic io de instalación, ex plicació n de funcionam iento y reparación se haga en la mejor forma y en el m enor tiempo posible. Se incluyen las facilidades que se le dan al cliente de que d e vu e lva el producto si éste no satisface sus expectativas.

E. Conservación. S e refiere a la ca p a cid a d del pro ducto , exigida por el cliente , de c o n s e rv a r sus ca ra cte rística s iniciales d urante un tiem po prudencial fijado por el fabricante. Por ejem plo, el tiempo de duración de una caja de leche.

F. Manejo. Se refiere a las facilidades de movimiento que ofrezca el producto, de tal m anera que su traslado de un lugar a otro sea fácil. Por ejemplo, la utilización de envases desechables en lugar de envases retornables, en el caso de refrescos gaseosos.

G . Requisitos legales. S e refiere a los requisitos de carácter legal que se exigen al producto. Por ejemplo, etiqueta que contemple los Ingredientes y la m arca respectiva.


H . Empaque. S e refiere a la funcionalidad y protección que se tenga delpro d u cto , con el fin de no alterar su s ca ra cte rística s de calida d. P o rejemplo, em paque doble uso.

El productor debe tom ar estas especificaciones y generar especificaciones técnicas capaces de cumplir con las exigencias establecidas. Parte del éxito de lograr total satisfacción del con sum ido r se basa en hacer una correcta inter

pretación de esos requerimientos.

U n a de las técnicas que en la actualidad es usada para ejecutar una efi

ciente traducción de conceptos es Q F D “Quality Function Deploym ent” (G utié rrez, 1989). A través de ella se pretende transformar las peticiones del cliente en especificaciones ingenieriles que al ser reproducidas garanticen el cu m p li

miento de las necesidades del cliente. Este Capítulo analizará, m ás adelante, algunos aspectos referentes a esta técnica.

Especificaciones del productor

La s especificaciones del pro ductor o especificaciones técnicas son el patrón de co m paració n que form an parte de una norm a y cu yo objetivo es

brindar a la inspección la g u ía para catalogar al producto com o aceptable o rechazable.

Dependiendo del producto, este tipo de especificaciones son fijadas por m edio de una norm a, del cliente o de la em presa m ism a. No es posib le dec ir que se está ejecutando un contro l de proceso si no existe una especificación. El parámetro de comparación es absolutamente necesario para conocer cuál esfel estado de un proceso.

Las especificaciones del productor se deben dar en form a escrita y en la m e d id a de lo po sib le d e b e n s e r n u m é ric a s p u e s al s e r v e rb a le s p u e d e n provocar malas interpretaciones. Las especificaciones a m enudo se presentan

com o un valor nominal denotado por M y una tolerancia denotada por T . E se valor nominal es un valor central mientras que la tolerancia es una desviación

m áxim a perm isible. E n la com binación de estos dos aspectos se presentan cuatro casos que son:


CASO I

M ± T : este caso establece una variación entre dos valores, uno superior (M + T ) y otro inferior (M - T ) , s iendo inaceptable la producción que salga del intervalo establecido

CASO II

M - T : este caso establece un valor nominal (M ) y un valor Inferior (M - T ) bajo el cual la producción se considera inaceptable

CASO III

M + T : este caso establece un valor nom inal (M ) y un valor superio r (M + T ) sobre el cual la producción se considera inaceptable

CASO IV

+ t , : este caso establece un valor nominal y tolerancias diferentes hacia arriba , ~T* y abajo.

Esto se da pues el costo y la probabilidad de que el producto salga a un lado u otro son diferentes

Para analizar casos, referentes especialm ente a variables, es necesario

d o m in a r los c o n c e p to s de exactitud y p re cis ió n , los que se v e rá n a c o n tinuación.

Exactitud y precisión

La exactitud se mide de acuerdo con la magnitud del movimiento que tenga el prom edio y la precisión de acuerdo con la m agnitud de la variabilidad con

respecto a un valor prefijado. El análisis de exactitud y precisión de un proceso puede llevar a identificar anomalías, las cuales una vez eliminadas o reducidas,

ocasionan la disminución de producto no conforme con especificaciones.


Si se tiene una especificación M ± T , entonces se definirá la exactitud com o el grado en que el promedio estimado del proceso coincide con el valor nominal (M) de especificación. C u a n d o se cum ple esa condición se habla de un proceso centrado. Si se m uestran diferencias entre am bos valores es necesario probar si son significativas. Los pro ce so s centrados deb en ser usados solo cuando las condiciones físicas y económ icas, arriba y abajo del valor nominal, son parecidas o iguales.

La precisión es el grado en que el proceso tiene una m agnitud de varia bilidad igual o inferior a un tercio de la to le rancia pre fijada. Lo an te rio r se dem uestra así:

S e a un proceso centrado que se distribuye norm alm ente con m edia X ’ y desviación estándar a ', el cual estadísticam ente es obligado a producir dentro del rango de la media y 3 o ’, entonces su representación gráfica se da según la Figura 3.7.

Desde el punto de vista estadístico (9 9 ,7 4 % de producto aceptable), para tener la m áxim a producción aceptable es necesario que 6 o ’ sea igual o m enor a 2 T , de aquí 6 o ’ < 2 T o s e a o < T / 3 . Si hay d uda sen la diferencia se debe hacer la prueba de hipótesis correspondiente usando la distribución chi-cuadrado.

i__________________________________________________ i

2 Tl---------------------------------------------------------------------------------------------1

6 o - ’

FIGURA 3.7. Representación gráfica de exactitud y precisión


En la com binación de exactitud y precisión existen cuatro casos que son:

CASO A: Proceso centrado y preciso

Este es el m ejor de los caso s ya que el porcentaje defectuoso según la distribución normal es 0 ,2 7 % o m enos. Si se tiene este caso se deben ejecutar actividades que permitan que esta condición prevalezca.

La Figura 3.8 m uestra este caso.

(

(*)

CASO B: Proceso descentrado y preciso

La p re s e n ta c ió n de esta s itu a ció n p u e d e g e n e ra r g ran ca n tid a d de

defectuosos o producto no conforme con especificaciones. La magnitud de esta

cantidad depende de qué tan grande es la diferencia entre la m edia estim ada

del proceso y el valor nominal especificado.

La Figura 3.9 representa este caso. En ella se puede ver que los valores de

la m edia del proceso y el nominal son diferentes.

* ) X ’ - 3 0 - ’ X ’ = M X ’ - 3 tr ’1 _ -------------------------------------------------------------- l

M - T M + T

El intervalo X ± 3o’ puede ser menor que el representado.

FIGURA 3.8. Representación gráfica del Caso A


X’ " 3 u ’ X ’FIGURA 3.9. Representación gráfica del Caso B.

x» - 3tr>

CASO C: Proceso centrado e im preciso

E s un caso delicado, que puede provocar gran cantidad de producto defectuoso o no conforme con especificaciones, esto depende de la magnitud de o ’.


M - T M + T

FIGURA 3.10. Representación gráfica del Caso C

JORGE ACUNA ACUNA 1----- 187

CASO D: Proceso descentrado e impreciso

Este es el peor de los casos. C u a n d o se presenta, se debe dism inuir la dispersión para luego centrar el proceso. E L objetivo es disminuir la cantidad de producción defectuosa o no conform e con especificaciones.


La exactitud y la precisión del p ro ce so , se definen de a cu e rd o con la especificación, pero también se pueden definir de acuerdo con la capacidad del proceso. Si es así, exactitud y precisión se definen de la siguiente forma:

Exactitud es el grado en que un proceso mantiene su promedio cerca del valor verdadero poblacional sin cam bios bruscos que lo descontrolen.

Precisión es la capa cid ad de un proceso de m antene r una dispersión controlada, o sea que la desviación estándar se encuentra siem pre cerca del valor poblacional m ás favorable.

P a ra co m p le m e n ta r el análisis de exactitud y precisión es im portante calcular el porcentaje defectuoso o no conforme con especificaciones. Para ello es necesario que la variable en estudio se distribuya normalmente tal y com o lo m uestra la Figura 3.12.

X ’ - 3 i r X ’ X ’ - 3 t r ’

FIGURA 3.11. Representación gráfica del Caso D


M - T X ’ M t T

A, + A2= Porcentaje de producto fuera de especificaciones

FIGURA 3.12. Representación gráfica de la curva normal para el cálculo del porcentaje de inconformidades

EJEMPLO 3.4

Una operación de corte de piezas debe cumplir con una especificación de 10,5 ± 1,3 cm . S e tom a una m uestra de 100 unidade s y d e s p u é s de haber realizado una distribución de frecuencias se obtiene una m edia de 10,2 cm y una desviación estándar de 0 ,8 cm . A d e m á s , se ha ejecutado la respectiva prueba de norm alidad, siendo ésta aceptada con 9 5 % de confianza. ¿C u á l es el estado de la operación de corte?

SOLUCION

1. Análisis de exactitud

De acuerdo con los datos, M no es igual a X ’ por lo que se hará la respectiva p ru e b a de hipótesis. La F ig u ra 3 .1 3 m uestra las ca ra cte rística s de la hipótesis por probar.

C o n a = 5 % , no hay evidencia para afirm ar que el pro ceso está e sta d ís ticamente centrado, puesto que el Z teórico (-1 ,96) es m ayor que el Z calculado (-3 ,7 5 ),


0 ,0 2 5 0 ,0 2 5

- 1,96 l,9 6

FIGURA 3.13. Hipótesis de medias (bilateral)

H 0:n = 10,5H a: g no es igual a 10,5

1 0 ,2 -1 0 ,5: -3 ,75

0,8\/ióo~

2. Aná lis is de precisión

C o n el fin de a n a liz a r la p re c is ió n de este p ro c e s o se c o m p a ra la desviación estándar con un tercio de la tolerancia. Así:

o ’ < T/3

0,8 > 1,3/3

0,8 > 0 ,4 3

Este análisis m uestra evidencia de imprecisión. No es necesario, en este caso , pero para efectos ilustrativos se probará la hipótesis. La F igu ra 3.14 muestra las características de la hipótesis por probar.

ae= 124,342"

FIGURA 3.14. Hipótesis de una varianza

H 0; ° 2= (T/3 )2 H a: o 2> (T/3 )2

0 ,82se2 = 100 ---------- = 3 4 6 ,1 3

0,432 .

(*) V a lo r ob ten ido de TABLA III del Apéndice I.


C o n a = 5 % , no hay evidencia estadística para afirmar que el proceso es preciso. C o m o es evidente el proceso es altamente impreciso.

3. Porcentaje de producto no acorde a especificaciones

C o m o un m edio de conocer la cantidad de producto que no cum ple con lo e stab lecido con la especificación se utiliza la distribución norm al según lo m uestra la Figura 3.15.

% de productoconforme = N((11,8-10,2/0,8)-N((9,2-10,2)/0,8)

o- ’ = 0 ,8 = N(2,00) - N(-1,25)= 97,73-10,57 = 87,16 0

% de producto no conforme= 100- 87,16= 12,84%

(*) Porcentajes obtenidos de TABLA I en 9 , 2 10,2 I I , 8 Apéndice I.

FIGURA 3.15. Porcentaje no conforme

E n c o n c lu s ió n , se tie n e un p ro c e s o q u e e stá d e s c e n tra d o , q u e es impreciso y que genera un 12 ,8 4 % de producto fuera de las especificaciones. Al ca lcu la r el porcentaje de pro ducto no con form e para el p ro ce so cen trado, usando el mismo método, se obtiene un valor de 10,32% . Lo anterior demuestra que aunque se centre el proceso no es m ucho lo que se logrará. La acción que corresponde es dism inuir la variabilidad tanto com o sea posible, con el fin de reducir la cantidad de producto que no cum ple con especificaciones.

Determinación de especificaciones

P a ra con tar con un v e rd a d e ro control en las lín e a s de p ro d u cció n es n e c e s a rio fijar p a rá m e tro s de c o m p a ra c ió n , q u e e sté n b a s a d o s en los


requerimientos del cliente y en la capacidad técnica, tecnológica y humana con que se cuenta.

Los límites de tolerancia naturales son los que se establecen con base en el proceso en estudio. A partir de estos límites y tom ando en cuenta factores adicionales se establecen los límites de especificación.

Los límites de tolerancia se establecen para características de calidad que pueden ser variables o atributos. Cuando son variables se pueden calcular para unid a d e s de p ro ducció n o para p ie za s e n s a m b la d a s. E n el ca so de estas últim as, los c o m p o n e n te s d e b e n cu m p lir con requisitos parcia les que les permitan formar parte del ensam ble.

C u a n d o se c u e n ta co n un b u e n s is te m a de in fo rm a c ió n es p o sib le determ ina r lím ites de tolerancia con facilidad. A s í, por e jem plo, si se tiene información de que una característica a io largo del tiem po se ha com portado norm alm ente con m edia g y desviación están dar a , se pueden calcular los límites de tolerancia fácilmente. Basta con definir un porcentaje de artículos que se desea que estén entre los límites y con ello se calcula un intervalo. Así, si se quiere que ese porcentaje sea 9 0 % (P = 0 ,9 ), entonces:

Límites de tolerancia= g ± 1,645 • a

donde el valor de 1,645 se obtiene de la Ta b la I del Apéndice I.

Sin em bargo, esa no es la regla, puesto que es difícil conocer los valores de g y a . A n te esto, es necesario h acer estim aciones a partir de m uestras estadísticamente obtenidas. C o n base en esta muestra se calcula el valor de la m edia y de la desviación estándar (usan do distribución de frecuencias) y se hacen las inferencias del caso. S e debe entender que los valores obtenidos a partir de la muestra no son iguales a los parámetros poblacionales, aspecto que la estimación debe tomar en cuenta.

El método usado consiste en calcular los límites de tolerancia con base en la constante K, la cual depende de un nivel de confianza (1 -a ), del tam año de muestra (n) y de la proporción de producto que se desea se encuentre dentro de límites (P ). Los límites de tolerancia se calculan así:

Límites de tolerancia= x ± K*s

La constante K se obtiene de la Ta b la VII en el Apéndice I.


C o n base en esos límites se pueden obtener especificaciones. El ajuste inicial se hace a partir del análisis de exactitud y precisión. Así:

V + V.se teM =--------------------------

2

se ieT = ----------------------------

2

donde:

V se es el valor superior especificado (M + T )

V je es el valor inferior especificado (M -T )

Los va lo re s finales de especificación se obtienen a g re g a n d o factores externos y experiencia . La va lid e z de esta estim ación d e p e n d e de la base estadística que tenga la m uestra y la eficacia de los factores de ajuste.

EJEMPLO 3.5

U n a em presa que se dedica a la fabricación de bolsas plásticas, desea conocer los límites de tolerancia para el espesor de la bolsa. Para ello se tiene in fo rm a ció n de e s p e s o r p a ra u n a m u e s tra de 50 b o ls a s c a lc u la d a bajo co n cepto s estadísticos. Lo s datos obtenidos, en d é c im a s de m ilím etro, se

presentan en el C uadro 3.6.

Determine los límites de tolerancia que garanticen con 99 de confianza que el 9 5 % de las bolsas cum plen con lo especificado.

SOLUCION

Para calcular la m edia aritmética y la desviación estándar se hace uso de una distribución de frecuencias. Se usa una distribución de frecuencias pues es


CUADRO 3.6. Información para el Ejemplo 3.5

Dato Valor Dato Valor Dato Valor Dato Valor

1 8,0 11 4,9 :; 21 7,0 31 5,32 6,0 12 7,1 22 6,9 32 8,33 7,3 13 8,2 23 7,1 33 8,14 5,1 14 8,0 24 7,2 34 7,65 7,0 15 8,5 25 6,8 35 7,86 6,8 16 8,1 26 6,4 36 7,37 7,0 17 7,1 27 6,0 37 7,28 6,8 18 6,0 28 7,0 38 7,09 8,1 19 6,3 29 5,8 39 7,1

10 6,9 20 6,3 30 4,3 40 6,9

una forma eficaz de representar la distribución de probabilidad correspondiente.

El C u a d ro 3.7 presenta esta distribución de frecuencias.

La prueba de bondad de ajuste realizada sobre la anterior distribución de frecuencias acepta la normalidad con a = 5 % .

Los valores de la media aritmética y la desviación estándar son:

CUADRO 3.7. Distribución de frecuencias del Ejemplo 3.5

L LS I1 IS C O N T E O nk Nk K Fk

4,25 5,05 4,3 5,0 III 3 4,65 3 6 65,05 5,85 5,1 5,8 mu 5 5,45 8 10 165,85 6,65 5,9 6,6 iiiiiii 7 6,25 15 14 306,65 7,45 6,7 7,4 iiiiiiiiiiiiiiiiiiii 20 7,05 35 40 707,45 8,25 7,5 8,2 iiiiiiini 10 7,85 45 20 908,25 9,05 8,3 9,0 mu 5 8,65 50 10 100

194 CONTROL DE CALiDAD

x = 7 ,05 + [( -6 / 5 0 ) * 0,8] = 6,9 décim as de milímetro

o = 0,8 V (85/50) - (-6/50)2 = 1,1 décim as de milímetro

Al consultarla Ta b la VII en el Apéndice I, el valor de K, para el tam año de m uestra de 50 unidades, nivel de confianza del 9 9 % y proporción entre límites del 9 5 % , es de K= 2,576.

Los límites de tolerancia son los siguientes:

L = x + 2 ,576* 1,1 = 9,7 décim as de milímetrost ’

L. = x - 2 ,576 * 1,1 = 4,0 décim as de milímetroIt ’

E s to q u ie re d e c ir q u e el p ro c e s o es c a p a z de p ro d u c ir con 9 9 % de confianza, el 9 5 % de las bolsas con m edidas com prendidas entre 4 ,0 y 9,7 décim as de milímetro.

Si no h a y fa cto re s e x te rn o s a d ic io n a le s la e s p e c ific a c ió n se p u e d e establecer en 6,85 ± 2,85 décim as de milímetro. Esta especificación se calcula

así:

V = 9,7 décim as de milímetrose ’

V. = 4 ,0 décim as de milímetroie ’

v +vse le 9 ,7 + 4,0M = = 6,85

2 2

V - Vse le 9 ,7 -4 ,0T = = 2,85

2 2

METODO DE TAGUCHI

Este m étodo, cuyo objetivo es lograr a través del diseño de producto un m ás alto nivel de calidad, fue desarrollado en Japón por el Dr. Genichi Taguchi.


El método de Taguchi, cuya aplicación ha sido ampliamente probada en países industrializados, consiste en diseñar calidad al diseñar el producto. La principal meta es estudiar todas aquellas fuentes de variabilidad con el fin de minimizar su incidencia durante la m anufactura del producto.

Este método es una variación de los m étodos tradicionales de diseño experim ental y su aplicación consiste en optim izar p ro ce so s en relación con especificaciones del consumidor. Esta técnica posee una gran ventaja y es que no requiere de gran conocimiento del proceso por optimizar.

El Método de Ta g u ch i com bina técnicas com o tormenta de ¡deas, diseño de experim entos, arreglos ortogonales y análisis de varianza con dos nuevos con ceptos desarro llados por el D r. T aguchi llam ados función de pérdida y análisis señal/ruido (Taguch i, 1987).

La función de pérdida se define com o la pérdida económ ica ocasionada a la sociedad cuando las características funcionales del producto se desvían del valor objetivo deseado. Esta pérdida se genera por cuanto el cliente desea un valor nom inal y no ese valor asociado con una tolerancia. En general, los diseñadores e ingenieros no calculan esta pérdida por falta de información la cual no ha sido recolectada o no está disponible.

U n a form a de estim ar esta pérdid a es a tra vés de la cuantificaclón de costos tales com o servicio y garantía por reparación de productos defectuosos, pérdida de m erca do, insatisfacción del cliente y pérdida de ventas futuras. A lg u n o s de éstos son claram ente difíciles de estim ar por lo que deb en ser prorrateados con base en los otros.

El análisis señal/ruido busca d iseñar el producto o el proceso lo suficientemente robusto (capaz de afrontar los efectos de la variación sin cam bios significativos) para que satisfaga las variaciones a que se verá sometido tanto interna com o externamente. Las variaciones internas son aquellas que ocurren durante el proceso de manufactura, mientras que las variaciones externas son las provocadas por factores externos que norm alm ente no están bajo control del fabricante o el consum idor.

Algunos ejem plos de causas de variación internas son alm acenaje indebido, pérdidas de fricción de maquinaria, calor, polvo y corrosión. C o m o causas de va ria ció n e x terna se p u eden citar aquellas c a u s a d a s por co n d icio n e s


d e s fa v o ra b le s q u e se p re se n ta n en el m e rc a d o o a m b ie n te en el qu e se desenvuelve el producto. Algunos ejemplos de ellas son: hum edad, cam bios de temperatura, tensiones y otros esfuerzos que hacen que el producto se aleje de las especificaciones establecidas.

D e s d e el punto de vista estad ístico , el m étodo b u s c a la re d u cció n de variabilidad alrededor de la m edia con una desviación estándar m uy pequeña. U n a form a de m edir lo e x p re sa d o anteriorm ente es a tra vés del índice de capacidad de proceso ( IC P ), que se define com o la relación entre las tolerancias y la capacidad de proceso. La Figura 3.16 da una representación gráfica de este índice.

El IC P se calcula de la siguiente m anera:

Ancho de la especificación ( o Tolerancia de diseño)Cp = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Capacidad de proceso ( o Variación Total del proceso)

v e - v ieC p = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6 a (Rango Total desde -3 a hasta +3 cr)

Vse: Valor superior especificado

V¡e: Valor inferior especificado

El Método de Taguchi trata de optimizar la capacidad de proceso buscando un equilibrio entre lo que piensan los diseñadores y lo que pueden ejecutar los Ingenieros de proceso.

Valor inferior Valor Valor superiorde especificación nominal de especificación

-------------------------------------------- Toleremcias --------------------------------------------

FIGURA 3.16. Representación del Indice de capacidad de proceso


Este m étodo se basa en d iseño experim ental a través de los llam ados cuadros latinos. Los arreglos ortogonales m ás usados son los de dos y de tres niveles totalmente balanceados. Estos arreglos son conocidos com o La el de d o s n ive le s y L 9 el de tres n iv e le s . El C u a d ro 3 .8 p re se n ta el a rre g lo L 9. (Netter,1984).

En el C u a d ro 3 .8 se puede o b s e rva r que son necesarios nueve experim entos para lograr la m axim ización de cuatro factores en tres niveles. Nótese que el promedio de los tres primeros experimentos, Y 1 , Y2 , y Y3 , es el promedio de rendimiento del producto o proceso cuando se selecciona el nivel 1 del factorA . El promedio de Y2, Y 5 y Y 8 es el efecto de seleccionar el nivel 2 del factor B. En general, el prom edio de las doce com binaciones (factores A ,B ,C y D y sus niveles 1,2 y 3 ) es evaluado con el fin de obtener el m ejor resultado para las especificaciones del proceso o producto.

EJEMPLO 3.6 ( SHINA.1990)

Las partes en este pro ceso son p e g a d a s m ediante un sistem a de alta te c n o lo g ía . E l p e g a m e n to R T V fue s e le c c io n a d o c o m o a g e n te en el

CUADRO 3.8. Arreglo ortogonal para tres factores L9 (3i)

Exp.

Factores

ResultadoA B C D

1 1 1 1 1 Y12 1 2 2 2 Y23 1 3 3 3 Y34 2 1 2 3 Y45 2 2 3 1 Y56 2 3 1 2 Y67 3 1 3 2 Y78 3 2 1 3 Y89 3 3 2 1 Y9


e x p e rim e n to , con p a rá m e tro s e le g id o s a rb itra ria m e n te para la e tapa de prelim pieza y tem peratura de curado.

La razó n del estudio se fundam en ta en el hecho de que el producto en m anos del con sum ido r está siendo afectado por la separación de las partes. Surgió la idea de aplicar el m étodo de Ta g u ch i para optimizar la resistencia de adherencia y entonces se decidió m edir la resistencia de la unión con un aparato especial com únm ente usado para determ inar la presión m áxim a aplicada antes de que dos partes se separen al eliminar cierta presión externa.

Se decidió en este caso usar un arreglo ortogonal de tres niveles, ya que se desea iniciar con el nivel actual catalogándolo com o m edio y luego variar los niveles hacia arriba o hacia abajo para observar los correspondientes efectos. Lo s cuatro factores c o n s id e ra d o s en el a rreg lo L 9 fuero n: tem p e ra tu ra de curado, lim pieza ultrasónica, cantidad de R T V y tipo de agente quím ico.

La tem pera tura de cu rado se pro bó en tres niveles a sab er 30°C com o temperatura ambiente, 50°C com o nivel actual de temperatura del horno y 70°C com o un valor alto de tem peratura del horno. La lim pieza ultrasónica, m étodo usado para prelimpiar las partes, se aplicó también en tres niveles a saber 1, 3 y 5 m inutos, siendo 3 m inutos el tiem po usado actualm ente. El vo lu m e n de R T V , usando diferentes cabezas de aplicación, se varió alrededor del volum en usado actualmente, el cual es 1,7 cm 3; los valores usados fueron 1 ,2 ,1 ,7 y 2,5 c m 3. El tipo de agente quím ico usado para la lim pieza ultrasónica fue variado del em pleado actualmente Metileno (M E T ), a otros limpiadores tales com o Metil Etil Ketona (M E K ) y agua (H 20 ) .

El cuadro latino fue diseñado según lo muestra el C uadro 3.9.

E n el C u a d ro 3 .9 se p u e d e v e r c ó m o en el exp e rim e n to n ú m e ro 3 los v a lo re s u s a d o s fu e ro n : 3 0 ° C pa ra te m p e ra tu ra de c u ra d o , 2 ,5 c m 3 para volum en de R T V , Metil Etil Ketona com o limpiador y 5 minutos para tiempo de lim pieza. El resultado fue una unión que necesitó 22,6 libras de presión para separarse.

Los efectos de ca d a nivel fueron su m a d o s y tabulados de la form a que m uestra el C uadro 3.10. Para calcular los valores correspondientes se sum an los factores que co in cid e n . C o m o e je m p lo se p re sentan tres cá lcu lo s, los dem ás se ejecutan de la m ism a forma.


CUADRO 3.9. Arreglo ortogonal para el Ejemplo 3.7 U (37)

F a c t o r e s

E x p . A B C D F u e r z a

1 3 0 1 1 ,2 h 2o 1 1 ,52 3 0 3 1 ,7 M E T 2 2 , 73 3 0 5 2 , 5 M E K 2 2 , 64 5 0 1 1 ,7 M E K 1 9 ,05 5 0 3 2 ,5 h 2o 2 8 , 56 5 0 5 1 ,2 M E T 2 4 , 07 7 0 1 2 ,5 M E T 2 5 ,18 7 0 3 1 ,2 M E K 3 0 , 39 7 0 5 1 ,7 h 2o 3 3 , 3

FAC TO RES N IVELES U NIDADES

A=TEMPERATURA DE CURADO 30 50 70 °CB=TIEMPO DE LIMPIEZA 1 3 5 MINUTOSC=VOLUMEN DE RTV 1,2 1,7 2,5 cm3D=AGENTEUSADO h2o MET MEK

Cálculo de Factor A al nivel 1

A1 = Experim ento 1 + Experim ento 2 + Experim ento 3

A1 = 11,5 + 22,7 + 22,6

A1 = 5 6 ,8

Cálculo de Factor B al nivel 2

B2 = Experim ento 2 + Experim ento 5 + E xperim ento s

B2 = 22,7 + 28,5 + 30,3

B 2 = 81,5


Cálculo de Factor C al nivel 3

C 3 = Experim ento 3 + Experim ento 5 + Experim ento 7

C 3 = 22,6 + 28,5 + 25,1

C 3 = 76,2

C o n b á s e en el C u a d r o 3 .1 0 , el v a lo r m á s alto p a ra c a d a fa c to r es

seleccionado, de tal m anera que la resistencia de la unión sea m axim lzada. En

este experimento, el m áxim o se da para A 3 (70°C), B2 (3 minutos), C 3 (2 ,5 cm 3

de volum en de R T V ) y D1 (a gu a para el baño ultrasónico). Las conclusiones

son las siguientes:

1. El factor m ás importante es la temperatura de curado puesto que eS el que

causa el m ayor cam bio.

2. El factor m enos importante es el agente químico puesto que el usarlo o no

usarlo no causa diferencia significativa.

3. La com binación del mejor factor seleccionado de los cuatro factores no se

encuentra en la matriz del arreglo L9.

4. La resistencia pro m e dio usand o los factores sele ccionado s p u e d e ser

estimada sum ando los promedios de los cuatro factores sea 88,7 + 81,5 +

76,2 + 73,3 = 319,7/9 = 35,5. Esto representa aproxim adam ente un 5 0 %

de incremento sobre el prom edio de todos los experim entos.

CUADRO 3.10. Análisis de datos del experimento

A B C D

N I V E L 1 5 6 , 8 5 5 , 6 6 5 , 8 7 3 , 3

N I V E L 2 7 1 , 5 8 1 , 5 7 5 , 0 7 1 , 8

N I V E L 3 8 8 , 7 7 9 , 9 7 6 , 2 7 1 , 9

T O T A L 2 1 7 , 0 2 1 7 , 0 2 1 7 , 0 2 1 7 , 0


D e lo a nterio r se c o n c lu y e que el M é to d o de T a g u c h i p u e d e rápida y fácilm ente optim izar un proceso o un producto usando técnicas estadísticas m uy simples. Por otro lado, no es necesario tener un conocimiento profundo de las ca ra cte rística s físicas y q u ím ic a s del p ro ce so o pro ducto que va a ser optim izado.

Este ejemplo ¡lustra cóm o la m edia de un proceso puede ser llevada hasta el nivel deseado. Un procedimiento similar puede ser aplicado para optimizar la variabilidad, a lo q u e el Dr. Ta g u ch i llama Análisis Señal/Ruido. En este caso, v a rio s p ro d u cto s d e b e n se r p ro b a d o s p a ra c a d a línea de e x p e rim e n to y entonces los resultados pueden se r m axim izados reduciendo la varianza en

forma opuesta al procedimiento usado en este caso de estudio. (Ta g u ch i,1986)

DISEÑO PARA LA MANUFACTURA

La intención de esta té cn ica es g a ra n tiza r que el d ise ñ o de producto cum plirá con los requerim ie ntos de calidad fijados por el cliente y con las lim itacion es de fabrica ció n e sta b le cid a s po r la te cn o lo g ía de p ro ce so . El objetivo es lograr un diseño fácil de fabricar y que cum pla con las expectativas fijadas por el consum idor.

To d o producto industrial pasa por una etapa de diseño. En unos casos este proceso es altamente especializado y en otros casos obedece al trabajo de una única persona, la que a través de los año s, ha adquirido la suficiente e x p e riencia y pericia para bosquejar un diseño. En m uchas ocasiones, se hace caso om iso de las especificaciones del consum idor y se diseña un producto fácil de fabricar pero que no es del total agrado del cliente. En otras ocasiones, se diseña el producto sin tom ar en cuenta las capacidades tecnológicas y técnicas de los procesos productivos, con el correspondiente problem a de que se tiene un diseño difícil de producir. El producto que se fabrica no cum ple con la calidad exigida por el diseño pues los ingenieros de producción se limitan a interpretar

lo establecido por el diseñador.

U no de los procesos productivos más afectado por situaciones de este tipo es el proceso de ensam ble, pues si el producto no se diseña para una fácil y sim ple operación de ensam ble, los problem as de productividad y calidad se


a g ra v a rá n y se in c re m e n ta rá n . N o im p o rta si el e n s a m b le es m a n u a l o automático, los cuidados en la etapa de diseño deben ser analizados.

En el caso de un ensam ble m anual los operarlos necesitan m esas, dispositivos, cajas, sujetadores y herramientas manuales para llevar a cabo su trabajo. A d em ás, se necesitan bandas transportadoras, dispositivos de gravedad u otros equipos de manejo de materiales para el transporte de materiales, partes y productos de un puesto de trabajo a otro. Las m anos son la principal herramienta de trabajo. En el caso de un ensamble automático, el diseño de producto debe tom ar en cuenta todas aquellas características que faciliten el desarrollo de program as de com putadora de acuerdo con el proceso por ejecutar.

En general, sin importar el tipo de ensamble, el objetivo de los diseñadores es uno: diseñar un producto cuya simplicidad y características permitan un fácil ensam ble, satisfaciendo los requerim ientos del consum idor a un nivel económ ico para la em presa. Esto es conocido com o diseño para la manufactura.

En la aplicación de este concepto, los diseñadores toman en cuenta el tipo d e p ro d u c to , s u s c a r a c te r ís t ic a s y a d e m á s los s ig u ie n te s p rin c ip io s (Fisher, 1984):

1. Modularidad. S e deben com binar tantas partes com o sea posible en una sola, con el fin de reducir inventario, m anejo de partes y piezas, tiempo de e n s a m b le y nivel de d ificultad de la o p e ra c ió n . A la v e z , el o rd e n se favorece y la program ación y el control de producción se hace m ás fácil.

2. Partes multifuncionales. Este tipo de partes perm iten tener tareas de ensam ble m ás eficientes y m ás productivas pues se reduce considerablemente el tiempo de ensam ble, la probabilidad de errores y la necesidad de largas y com plicadas actividades de capacitación y entrenamiento.

3. Accesibilidad. Las partes que com p o n e n el ensam ble deben ser d iseñadas de tal m anera que favo re zcan el diseño de un m étodo de trabajo fácil, e v ita n d o el tra bajo de “co n to rs io n is ta ” que es fre cu e n te v e r en operaciones de ensam ble m anuales.

4. Flexibilidad. Las partes de un producto ensam blado deben ser diseñadas de tal m anera que permitan cam bios rápidos y ágiles en el futuro. Esto con el fin de reducir los costos de los cam bios necesarios para adaptarse a los requerim ientos de m ercado y del avance tecnológico.


5. Utilidad. Las partes y subensam bles deben ser diseñados de tal m anera que se obtengan utilidades sin sacrificar la calidad de materiales y com ponentes. Para esto, el diseñador debe hacer un análisis de costos y estar consciente de que se debe d iseñar un producto lo suficientem ente e conóm ico y de alta calidad y que por consiguiente cum pla con los requisitos establecidos tanto por parte del cliente com o del proceso de manufactura.

6. Simplicidad. Un diseño de producto que sea sim ple evita errores en las líneas de ensam ble pues las instrucciones y esquem as son fáciles de ente n d e r. E s ta s im p lic id a d p u e d e e lim in a r o p e ra c io n e s de e n s a m b le innecesarias. E n el caso del ensam ble autom ático, sim plicidad significa diseñar el producto para que sea fácil de ensam blar manualm ente.

7. Seguridad. D iseñar un producto que sea fabricado y usado bajo condiciones se g u ra s es una tarea fundam ental del diseñad or. D ispositivos m a te ria le s y p ro c e s o s d e b e n c u m p lir con las n o rm a s de s e g u rid a c establecidas.

8. Facilidad. El ensamblaje unidireccional facilita la operación de ensamble Puestos de trabajo que se diseñen para ejecutar el ensamble en una ónice dirección facilitan ampliamente la operación.

9. Variabilidad. El diseño de un producto con un excesivo núm ero de partes variables perjudica la ejecución de las operaciones de ensam ble. El nú m ero de partes d e b e ser m ín im o , de tal m a n e ra q ue se sim plifique I; estructura del ensam ble y se facilite el proceso.

10. Orientación. La orientación de las partes en la operación de ensam bli puede causar dem oras y puede increm entar la probabilidad de error. Lí necesid ad de orientar partes puede ser evitada usand o dispositivos < superficies de orientación. El diseño de puestos de trabajo que obedezcai a un proyecto cuidadosam ente evaluado garantiza este principio.

E s requisito de un diseño para el ensam ble el cum plim iento de cierta

condiciones. Entre éstas (G airola,1986):

1. Eliminación de ajustes y escogencia de un método eficiente d ensamble de partes. La operación de ajuste es la que m ás problem as d calidad causa , por ello debe se r cu idado sam ente estudiada brindand tolerancias que no sean tan g rand es com o para que el producto pierd


e sté tica y c a lid a d , ni tan p e q u e ñ a s c o m o p ara qu e la o p e ra c ió n de ensam ble se vuelva difícil de ejecutar. El método y los materiales para unir partes deben ser cu idado sam ente seleccionado s de tal m anera que se reduzca la probabilidad de desajustes y uniones defectuosas.

2. Reducción del uso de herramientas y sujetadores. El d iseño debe contem plar form as de ensam ble que minimicen el uso de tornillos y toda clase de sujetadores. Si esto se logra, el uso de herramientas será mínimo y la operación de ensam ble será m ás eficiente.

3. Atención especial sobre valores objetivo establecidos para dimensiones críticas. T o d a dim ensión crítica debe ser especialmente tratada y analizad a por m edio del control estadístico, buscando siem pre el valor objetivo para m inim izar la variabilidad. El m étodo de Ta g u ch i constituye una gran ayuda en el logro de esta meta.

4. Establecimiento de superficies con características topográficas que favorezcan el ensamble. Este tipo de superficies permitirán a la m áquina o al o p e ra d o r e je c u ta r la o p e ra c ió n en una fo rm a m á s ágil, rá p id a y eficiente.

5. Identificación de parámetros de diseño. Si se conocen los parám etros que pueden afectar la calidad del producto se pueden predecir fallas antes de la etapa de producción. El m étodo de Taguchi y en general las técnicas de diseño de experim entos pueden ser útiles para este análisis.

6. Análisis de propiedades de los materiales. E s im portante tom ar en cuenta propiedades de los m ateriales en el diseño de producto, pues es este el medio de estudiar interacciones entre el am biente, el ser hum ano y las m áquinas, evaluando las posibles causas de fallas.

7. Estudio del producto y de la tecnología del proceso. Es absolutamente n e c e sa rio c o n o c e r a c e rca de las c a ra cte rística s del p ro d u cto y de la tecnología del proceso. D iseñar un producto sin tom ar en cuenta estos aspectos provoca un gran riesgo de com eter errores. El d iseñador debe con ocer las limitaciones y fortalezas de los sistem as de ensam ble. Esto requiere del trabajo en equipo de diversas disciplinas.

8. Análisis de la competencia. Es importante analizar las causas de éxito o fracaso de mercado de competidores, pues es una forma de retroalimentar


productos y procesos. Para ello se debe establecer un adecuado sistema

de Inform ación que p e riód ica m en te recolecte datos para su posterior

análisis.

9. Análisis de diseños preliminares y finales. Definitivamente no es una

buena práctica iniciar una producción sin analizar las fortalezas y debili

dad es del d iseño establecido. Esto se logra a través de pruebas piloto

iniciales que permitan evaluar las características de diseño y determinar

los c a m b io s n e ce sa rio s . La p rá ctica de fijar va lo re s objetivo en lugar

de to le ra n cia s o b lig a al p ro c e s o a p ro d u cir co n un m e jo r m a rg e n de

calidad.

El d iseño de un p ro ducto bajo estos principios y co n d icio n e s garan ti

za rá éxito en el m erca do con el correspondiente aum ento en el volum en de

ventas.

Las inquietudes generadas por este objetivo han dado origen a los siste

m as C A D (D is e ñ o Asistido por C o m p u ta d o ra ) pues el objetivo es utilizar la

com putadora para producir un diseño que tome en cuenta la m ayor cantidad de

variables que puedan influir en la fabricación del producto. C o n el fin de dism inuir la interpretación de los requerimientos de diseño se habla en la actualidad

de sistem as C A D / C A M , a través de los cuales el d iseñad or puede transmitir

instrucciones directamente a la m áquina respectiva.

Del análisis anterior se desp re n d e que el d iseño de producto ju e ga un papel clave en el logro del objetivo de calidad. Si un diseño se plantea apegado

a los requerim ientos del co n su m id o r y a las lim itaciones y n e cesid ades del proceso existe una alta probabilidad de que satisfaga al consumidor. Esta tarea

incluye un análisis profundo de materiales y procesos.

SI se diseña para la producción, las diversas tareas de inspección de cali

dad y control de producción se harán relativamente m ás fáciles. Si los diseños están sujetos a interpretación del equipo de producción, la probabilidad de

com eter errores crece.

A unq ue la discusión se ha centrado en diseño para el ensam ble los crite

rios citados aquí son totalmente válidos para otros procesos.


CONCEPTOS DE EFECTIVIDAD DE SISTEMAS

C u a n d o se habla de calidad de producto y se enfoca desde el punto de vista del cliente, es necesario evaluar la efectividad con la que el objetivo de satisfacción com pleta se cumplirá. Para ello se debe som eter al producto a un ciclo de vida que contem ple las siguientes fases:

a. Concepción y factibilidad. S e refiere a la idea de lanzar un producto al m ercado com o producto de investigación y desarrollo o com o producto de la investigación de m ercado. Incluye un análisis de factibilidad desde tres ángulos: económ ico, operativo y técnico. En el análisis económ ico se evaluarán d iversas alternativas según su costo. En el análisis operativo se analizará la factibilidad de fabricar el producto de acuerdo con el equipo productor que se cuenta. E n el análisis técnico se evaluará la capacidad con que se cuenta y se com parará con la requerida para fabricar el producto. La decisión final se b asará en el análisis de costo beneficio y en la capacidad de inversión que se tenga.

b. Diseño de producto. En el capítulo I se analizó el impacto que el diseño de producto tiene en la calidad que se obtenga. Y a se com entó en este capítulo acerca de la importancia de diseñar para producir.

c. Desarrollo de pruebas piloto. E s necesario evaluar las b o n dades del diseño a través de la ejecución de pruebas piloto que permitan corregir los errores antes de producir.

d. Análisis de producción previa. Consiste en producir uno o m ás lotes de prueba que permitan efectuar los ajustes necesarios directamente en las líneas de producción.

e. Producción masiva. U n a v e z que se tiene la ce rte za de que se han alcanzado los parámetros dictados por el diseño se inicia la producción en m asa efectuando los controles previam ente diseñados.

f. Cambios en diseño. A través de la retroalimentación recibida del cliente y del proceso de fabricación se incorporan las mejoras al diseño, con el fin de irse acercando cada día m ás a lo deseado por el cliente.

En todas estas etapas existe riesgo de error y este error será frecuente en la m edida en que la efectividad del sistem a sea baja.


La efectividad de un sistema es la m edida de la extensión en que se

espera que ese sistema satisfaga los requisitos fijados para cumplir una misión

específica. La efectividad es función de la disponibilidad, la fiabilidad y la capacidad de los com ponentes del sistema los cuales se combinan a través de

índices que miden la efectividad del sistema.

La disponibilidad del sistema se define com o la condición de inicio que

perm ite que un producto em piece la labor para la que fue creado. La dispo

nibilidad del sistema se determina a partir del cálculo de la disponibilidad de sus

componentes, los que se combinan por medio de las leyes de probabilidad para

determinar la disponibilidad final. La disponibilidad de los com ponentes (P a) se

calcula com o:

T M E F = J01 * f(t) dt

P a: disponibilidad del com ponente

T M E F : tiempo medio entre fallas

T M D R : tiempo m edio de reparación

f(t): función de falla

EJEMPLO 3.7

La función de fiabilidad de un com ponente eléctrico de un tostador este,

dada por la función R(t) = e'5'. La razón constante ue falla es de 0,008 fallas por

hora. Al ocurrir una falla, el tiempo medio de reparación es de 15 minutos. ¿Cuál

es la disponibilidad del tostador?

Pa = T M E F / ( T M E F + T M D R )

donde:


SOLUCION

T M E F = 1/5 = 1 / 0,008 = 125 horas

Pa = ( T M E F + T M D R ) / T M E F

Pa = 125 7(125 + 0 ,2 5 ) = 0,998

La disponibilidad de este com ponente eléctrico es 0,998.

La fiabilidad es la p ro b a b ilid a d de q u e el s is te m a se e n c u e n tre en cualquiera de los estados fijados en su m isión y cum pla a cabalidad con las funciones asociadas con ese estado. Para calcularla se hace uso de funciones de probabilidad. La fiabilidad de un com ponente (R (t)) se calcula com o:

T M E F = ! (t )d t

EJEMPLO 3.8

Un com presor tiene una tasa constante de falla de 0 ,0004 fallas por hora. Su p o n ga que el com presor inicia el trabajo al tiempo t=0.

Calcule la fiabilidad del com presor en 150 horas de trabajo.

h(t) = razón de daño = f(t)/R(t)

dR (t)f(t) = -------------

d(t)

Tam bién T M E F se puede definir com o:


SOLUCION

h(t) = 0 ,0004 fallas/hr 1 = 1 5 0 horas

R(t) = exp [-0 ,0004 J 0 dx] = exp [-0,0004t]

R (1 50) = exp [-0 ,0004 (150)] = 0,9418

La fiabilidad es de 0,9418, o sea que la probabilidad de falla es de 0,0582.

Al e va lu a r la fiabilidad del sistem a se co m binan las fiabilidades de los com ponentes a través de tres m odelos que son el m odelo en serie, el modelo en paralelo y el m odelo parcialm ente redundante.

Modelo en serie

Este modelo representa un sistema que tiene m com ponentes idénticos e independientes conectados en serie, lo que significa que si uno falla, el sistema o subsistem a falla. La expresión de fiabilidad para este modelo es:

Rs = (R+g)m=R +mRrn~1q+m(m-1)Rm2q2+...+mfm-1L..fm-¡+11Rmia¡+...+qm 2! i!

Rs= fiabilidad del sistema

R = fiabilidad del componente

m = número de componentes

Rm = fiabilidad de m elementos operando exitosamente

mR'"-'q = probabilidad de que exactamente (m-1) elementos operen exitosamente

m(m-11 Rm 2q2 = probabilidad deque exactamente (m-2) elementos 2! operen exitosamente

m(m-1t...fm-¡+11Rm iqi = probabilidad de que exactamente (m-i) elementos i! operen exitosamente

qm = probabilidad de falla de m elementos


Si los co m p o n e n te s son no idénticos la fiabilidad del sistem a se calcula com o:

mr = n r

S I

i=1

R = fiabilidad del sistemas

R¡ = fiabilidad del com ponente i

E J E M P L O 3.9

U n sistem a de producción es alimentado por bom beo usando tres bom bas de diferente capacidad. Las tres b om ba s son necesarias para permitir que el proceso cum pla con su razón de producción. Las fiabilidades de estas bom bas son 0 ,9 , 0 ,9 5 y 0 ,9 2 re sp e ctiva m e n te . ¿ C u á l es la fiabilidad del sistem a de bom beo?

SOLUCION

La Figura 3.17 representa al sistem a de bom beo.

3

R s= n R¡= R,* R2* R3 ¡=i

Rs = 0,9 * 0,95 * 0 ,92 = 0 ,7866

La fiabilidad del sistem a de bom beo es de 0,7866.

#1 #2 #3

R,= 0,9 R,= 0,95 R,= 0,92

FIGURA 3.17. Representación del sistema de bombeo


Modelo en paralelo

E s te m o d e lo re p re s e n ta m a ctivo s e in d e p e n d ie n te s c o m p o n e n te s co n ectado s en paralelo. Esto significa que al m e n o s un com p o n e n te debe funcionar norm alm ente para el éxito del sistem a. La fiabilidad del sistem a se calcula com o:

a. Para com ponentes idénticos

R = 1 - qms ~

b. Para com ponentes no idénticos

mRs = i - n qi

i=1

donde:

Rs = fiabilidad del sistema

qm = probabilidad de falla de m com ponentes

q¡ = probabilidad de falla del com ponente i

n = productoria

EJEMPLO 3.10

a. La Figura 3.18 representa un sistem a de tres m otores eléctricos co n e ctados en paralelo. Estos son idénticos e independientes. La probabilidad de falla de un motor es 0,15. Calcule la fiabilidad del sistema.

R s = 1 - q 3= 1 -(0 ,1 5 )3 = 0,9966

b. La Figura 3.19 representa al m ism o sistem a anterior con la diferencia de que los tres m otores no son idénticos. Las fiabilidades de estos m otores son 0,80, 0,91 y 0,87 respectivamente.

CONTROL DE CALIDAD

0,15

FIGURA 3.18. Sistema de motores conectados en paralelo

0,80

FIGURA 3.19. Sistema de motores conectados en paralelo

3R = 1 - n q

S 0

¡=1

R = 1 -q ,* q 2*q3

R s= 1 - (0 ,2 0 )(0 ,0 9 )(0 ,13)

JORGE ACUNA ACUNA

R = 1 - 0,00234S ’

R = 0 ,9 9 7 6 6S ’

Modelo parcialmente redundante

En este m odelo n de los m c o m p o n e n te s de b e n funcio nar para que el sistem a funcione con éxito. La fiabilidad de este tipo de m odelo se calcul; com o:

n mRn/m= 1 ( ) R ' ( 1 - R r

i=m i

R = fiabilidad del com ponente

Rn/m= fiabilidad de n de m com ponentes

EJEMPLO 3.11

La Figura 3.20 representa un sistema com puesto de tres subsistemas A, I y C respectivamente. En el subsistem a A solo dos com ponentes deben operar sim ultáneam ente para garantizar el éxito del subsistem a. Calcule la fiabilidad del sistema.

S O L U C I O N

a. Subsistem a A

Ra= £ ( )R¡(1-R)3-'i=2 i

3 3Ra= ( ) R2(1 - R) + ( )R3

2 3


Subsistema A Subsistema B Subsistema C

FIGURA 3.20. Representación del sistema del Ejemplo 3.11

R A = 3 R 2 (1 - R ) + R 3 = 3R 2 - 2 R 3

R A = 3 * (0 ,8 9 )2 - 2 * (0 ,8 9 )3 = 0,966362

b. Subsistem a B

R b = 0,93

c. Subsistem a C

R c = 1 - q4 = 1 - (1 - R )4

R c = 1 -(1 -0 ,9 4 )4= 0,999987

La Figura 3.21 representa al sistema.

R s = R a * R b * R c

R s = (0 ,9 6 6 3 6 2 )(0 ,9 3 )(0 ,999987)

R = 0 ,8 9 8 7S ’


0,966362 0,93 0,999987

FIGURA 3.21. Representación del sistema

La fiabilidad del sistema es 0,8987.

La c a p a c id a d es la facultad de un sistem a para lograr los objetivos de acuerdo con las condiciones fijadas.

RESUMEN

H em os visto en este capítulo cóm o la ingeniería de calidad busca el análisis de los problemas de calidad de los procesos con base en una Identificación de características de calidad. A partir de ellas y de ias actividades en la etapa de diseño de producto se logra reducir la variabilidad, el eterno enem igo de la calidad.

Adem ás, se fundamenta la necesidad de aplicar la normalización con el fin de o b te n e r n o rm a s y e s p e c if ic a c io n e s q u e g o b ie rn e n los p ro c e s o s de manufactura.

Otra de las técnicas útiles es el análisis de efectividad del sistema a través del cual se pu e d e d ise ñ a r calida d, estu d ia n d o la pro babilidad de falla del producto y ejerciendo las acciones necesarias.

PREGUNTAS DE REPASO

1. ¿ Q u é es ingeniería de calidad y cuál es su objetivo en control de calidad total?

2. ¿P o rq u é es im portante clasificar las características de calidad? ¿ Q u é m étodos se usan para esta clasificación?


3. D é un ejem plo real en el que se apliquen los m étodos de clasificación de características.

4. E xp liqu e ¿p o r q ué es im portante que la norm alizació n sea to m a d a en cuenta en el control de calidad?

5. ¿ O u é tipo-de norm as existen y cuándo deben ser aplicadas?

6. Analice las ventajas de la Norm a IS O -9 0 0 0 para el desarrollo industrial delpaís.

7. Analice el objetivo del establecimiento de especificaciones técnicas.

8. ¿ Q u é es el diseño para la m anufactura y qué objetivo cum ple el Q F D en ella?

9. Explique el concepto de fiabilidad y capacidad en efectividad de sistemas.

10. ¿ Q u é ve n ta ja s o fre ce la a p lica c ió n de las té cn ica s de e fectivid ad de sistem as en control total de calidad?

PROBLEMAS

1. E s ta b le z c a las e s p e c ific a c io n e s del c o n s u m id o r pa ra los s ig u ie n te s productos:

1. Pantalón para m ecánico

2. Pantalón de vestir

3. Bolsa para café

4. Bicicleta

5. Basurero

2. El departamento de inspección de calidad de una em presa m anufacturera de agujas y alfileres despacha su producto en lotes de 5000 cajas de 1000 unidades cada una. La longitud m edia de la agujas es de 46,5 m m , con una desviación estándar de 0,8 mm.

a. Si se extrae una m uestra de 2 00 agujas de una caja, determ ine la probabilidad de encontrar agujas con m edidas:


• com prendidas entre 45,4 y 45,7 mm

• superiores a 45,3 mm

b. Si la especificación de longitud dada por norm a es

E : 45,8 ± 2 ,0 m m :

• ¿C u á l es el % defectuoso?

• ¿ C u á l e s el v a lo r e s p e r a d o d e a g u ja s d e fe c tu o s a s en un despacho?

3. Para el Problem a No. 2 del Capítulo II, responda las siguientes preguntas si la norm a establece una especificación de peso de E: 100,0 ± 2,5 g.

a. ¿ Q u é c o n d ic io n e s tienen que d a rse pa ra g e n e ra r un 1 % de p ro ducción fuera de especificación?

b. ¿ Q u é ocurriría si la m e d ia se desplaza a 103,7 g?

c. Si en última instancia las condiciones del proceso no pueden cambiar, ¿cuál debe ser una nueva especificación?

d. Si el co n su m id o r m uestrea este producto usando m uestras de 60 sobres y rechaza la m uestra si encuentra dos o m ás bajos de peso, ¿ c u á l es la p ro b a b ilid a d de que una d e te rm in a d a m u e stra sea rechazada?

e. ¿ C ó m o calcularía usted los lím ites de tolerancia naturales de este proceso, por un procedim iento diferente a los presentados en estetexto?

4. De un pro ceso de fabricación de a bo no se extrae una m uestra de 100 sacos con el fin de chequear el peso. Esta m uestra origina la distribución de frecuencias que se presenta en el Cuadro 3.11 (peso en kilogramos).

Si la especificación es: E : 7,0 ± 1,1 kg

a. Analice la situación de este proceso.

b. ¿C u á le s son sus conclusiones y recom endaciones?

c. A un nivel de con fian za del 9 9 % y d e se a n d o una proporción entre límites del 9 5 % , ¿cuáles son los límites de tolerancia?


CUADRO 3.11. Distribución de frecuencias del Problema No. 4

L, L I, >, nK

2,15 4,05 2,2 4,0 54,05 5,95 4,1 5,9 125,95 7,85 6,0 7,8 567,85 9,75 7,9 9,7 209,75 11,65 9,8 11,6 4

11,65 13,55 11,7 13,5 3

d. Si se hiciera un control basado en prom edios, ¿ q u é porcentaje de ellos saldría de especificación?

5. D e un pro ceso de fabricación de varillas para p a ra gu a s se extrae una m u e stra de 25 u n id a d e s , con el fin de in s p e c c io n a r su lon gitud. Lo s resultados obtenidos, con m edidas en cm , se presentan en el Cuadro 3.12.

Si la especificación es: E : 29,6 ± 2,5 cm

a. ¿ S e puede afirmar con a = 5 % , que el proceso está centrado?

b. ¿ S e puede afirmar con a = 5 % , que el proceso es preciso?

c. ¿ Q u é conclusiones obtiene del análisis hecho?

6. La especificación para el diámetro de ciertos tubos plásticos es: E : 39,12 ± 1,90 cm.

CUADRO 3.12. Datos para el problema No. 5

28,6 30,1 29,9 28,1 30,028,8 32,1 30,8 28,7 29,028,9 32,0 31,7 29,9 29,729,1 30,5 30,2 30,2 30,830,8 30,0 29,0 30,5 31,2


Existen en la planta tres m á qu in a s que p ro ducen bajo las condiciones presentadas en el C ua d ro 3.13.

CUADRO 3.13. Información del Problema No. 6

M AQUINAS

A B C

Promedio 39,12 40,85 34,91

Desviación 1,50 1,90 1,40

Dadas las características de las máquinas, realizar un análisis que dé res

puesta a las siguientes pregun*as:

a. ¿ C u á l es el % defectuoso de cad a m áquina y qué recom endaciones se dan?

b. Si se realizara una inspección 1 0 0 % , usand o un calibre p a sa -n o pasa,

cuyas dim ensiones son 35 ,8 y 39,8 cm , ¿cuál es el porcentaje de tubos

que pasaron com o buenos siendo m alos y cuál es el porcentaje que se

rechazaron siendo buenos? Analice la situación para cada m áquina y para

la producción total.

c. ¿ C u á l d eb e se r una especificación para que to d a s las m áquinas pro

duzcan 3 % o m enos de tubos defectuosos? Resuelva considerando tanto

proceso centrado com o descentrado.

ch. ¿C u á l sería la especificación que reduce al m ínim o el porcentaje defec

tuoso de estas m áquinas?

7. En un estudio se tiene por objetivo determinar la combinación de variables

qu e p ro d u c e la m á s alta p ro d u c c ió n de a lu m in io a tra vé s de cuatro diferentes variables del proceso. Se tiene la siguiente información:


Lista de variables

A. T ie m p o de m ezclado

Se-tienen tres diferentes tiem pos que son 2 ,3 y 4 horas

B. Velocidad de corte

S e tienen tres velocidades que son 3 6 ,7 8 ,1 0 0 rpm

C . Condición de nitrógeno usado

S e p u e d e u s a r s e c o , c o n 7 2 % de h u m e d a d re la tiv a y 5 0 % de hum edad relativa

D. Estado físico del impulsor

S e tienen tres niveles que son alto, m edio y bajo

Si los resultados de los experim entos L9 en su orden respectivo son 16,3, 16,0, 16,2, 16,1, 16,0, 16,8, 15,5, 15,9 y 16,7 kilogram os por hora.

a. Determ ine la m ejor com binación de variables.

b. ¿ Q u é conclusiones obtiene de este experim ento?

8. U na em presa desea invertir en un sistem a de inspección que funcione a tra vé s de se n so re s . S e han recib ido tres ofertas c u ya inform ación se presenta en el Cuadro 3.14.

Si se desea que este equipo trabaje tres turnos, co m parar las opciones ofrecidas con base en su efectividad, por un período de un año y para un uso que requiera inspeccionar 2200 unidades por hora.

9. U na red está compuesta de unidades independientes según la Figura 3.22. La pro babilidad de falla de ca d a unidad se especifica en el d ia g ra m a . ¿C u á l es la fiabilidad del sistem a?

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3.14

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0,02

0,02

0,08

0,04 0,05

- 12 -

0,09

13 14

0,03 0,02

0,01 0,07

- 10 -0,04

- 11 -

0,05

FIGURA 3.22. Diagrama para el Problema 9

Capítulo IV

GRAFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES

os procesos productivos son incapaces de producir dos unidades de producto exactamente iguales. Esto se debe a un sinnúm ero de causas que provocan variación y que por io tanto es necesario controlarlas cu a n d o se presentan en exceso.

U n a de las herram ientas estadísticas que puede servir para esta función es el gráfico de control. A través de un gráfico se pueden investigar anormalidades en los procesos productivos, las cuales provocan producción no conforme con las especificaciones. Tam bién es posible visualizar tendencias que lleven al proceso paulatin a m ente fuera de control con las co rre sp o n d ie n te s consecuencias que ello acarrea.

DEFINICION DE GRAFICO DE CONTROL

El gráfico de control es una forma gráfica y cronológica de representar el com portam iento de una o m ás características de calidad, fijando límites que sean acordes con experiencias y valores especificados y previam ente establecidos.


En algunas em presas aún está m uy arraigado el uso de inspección 1 0 0 %

(es decir inspección del total producido) con la idea de que esta es la form a de

evitar que producto fuera de especificaciones alcance las m anos del co n su

m idor. Sin em bargo, este es un m étodo m uy caro, que requiere m ucho tiempo

y q u e no n e c e s a ria m e n te c u m p le con la idea re q u e rid a . A d e m á s , no es aplicable en inspección destructiva.

Para estos caso s, el gráfico de control constituye una importante herra

mienta que permite un control m ás barato con grandes posibilidades de generar

un análisis representativo si se cum plen los requisitos establecidos para su uso

y aplicación.

En el análisis mediante gráficos de control se toman m uestras del proceso

o m áquina a intervalos de tiempo, con el fin de estudiar el comportamiento de la

variable. El requisito es que valores, que son representativos del co m po rta

miento del proceso, se m antengan dentro de dos bandas de confianza llama

das límites de control con el fin de concluir que el proceso es estable.

En resumen, el gráfico de control tiene com o objetivo principal, descubrir el

desajuste del proceso, m ostrado por tendencias pronunciadas o puntos fuera

de límites de control, y encontrar las causás a través del análisis de factores de

calidad com o el hom bre, las m áquinas, los materiales y los métodos de trabajo.

Estadísticam ente, el gráfico de control se puede definir com o un intervalo

de confianza en una escala serie-tiem po, en donde los límites de control son

niveles de significación, con sus coeficientes correspondientes a la desviación

estándar de la característica en estudio.

ETAPAS DE UN GRAFICO DE CONTROL

U n gráfico de control se aplica a tra vé s de tres etapas q u e son c o n s

trucción, análisis y seguim iento. La construcción del gráfico consiste en el

d ise ñ o del e xp e rim e n to y en la re co le cció n y re p re se n ta ció n gráfica de la información. En esta etapa se define, entre otras cosas, la característica por es

tudiar, el núm ero de grupo, el tam año de cada grupo y el m étodo de selección.

JORGF ACUÑA ACUÑA '225

Ta m b ié n se calculan los límites de control y se dispone la información para su análisis.

T o d o s e sto s p ro c e d im ie n to s d e b e n e je c u ta rs e m e d ia n te el uso de form ularios especialm ente d iseñad os con el fin de d isponer de información adecuadam ente ordenada.

El a n á lis is del gráfico se efectúa en dos pasos. Prim ero, se com para la situación del pro ceso con respecto a su com portam iento norm al y luego se com para con respecto a la especificación. Al efectuar el análisis, las dificultades se mostrarán por medio de puntos fuera de límites de control o tendencias pronunciadas. La intención principal no es un análisis correctivo sino preventivo. S e investigan las causas para evitar que situaciones similares o relacionadas ocurran en el futuro.

A q u í se debe tener claro que si el proceso está bajo control no significa que cum ple con la especificación, po r lo que esto último d eb e investigarse por separado. Este análisis es m uy importante, pues de los resultados obtenidos dependerá el éxito de la siguiente etapa.

El s e g u im ie n to consiste en la acción preventiva que se lleva a cabo después de conocer el comportamiento del proceso. Este consiste en graficar nuevas muestras sobre un patrón de gráfico que contiene solo los límites de control y en elaborar conclusiones de acuerdo con el com portam iento detectado.

CAUSAS DE VARIACION

Los gráficos de control se basan en el estudio de causas de variación pues son éstas las que originan los problem as de calidad en los procesos. C o m o se recalcó anteriorm ente ningún proceso de m anufactura es ca p a z de producir dos unidades idénticas, pues siem pre existe variación.

Esta variación tiene su origen en la naturaleza del proceso y en la intervención de agentes externos que hacen que el comportamiento de la característica en estudio se altere.

Existen dos tipos de ca u sa s de variación: las ca u sa s a signable s y las causas no asignables.


Las causas no asignables ocurren al a za r y se deben a la naturaleza

tecn ológica de m áqu in a s, pro ceso s y m ateriales. Esta s ca usa s tienen una

influencia m uy pequeña sobre la calidad del producto y no son determ inantes

para que el proceso salga fuera de control. Estas causas son independientes

entre sí y su distribución de probabilidad no es conocida.

Las causas asignables ocurren debido al com portam iento anorm al de

uno o m ás factores de calidad, son pocas en núm ero pero de gran influencia en

la calidad del pro ducto. Estas ca u s a s pueden se r estudiadas a fondo para

dism inuir o anular su influencia.

Estas causas llevan al proceso paulatina o bruscam ente fuera de control y

se observan en los gráficos com o puntos fuera de límites de control o tenden

cias pronunciadas.

Según su incidencia en la especificación pueden generar altos volúm enes

de producto disconforme con especificaciones. S u distribución de probabilidad

es la distribución normal.

E J E M P L O 4.1

U n a o peración de corte de una lám ina, e jecutada en una guillotina, se

efectúa siguiendo este procedim iento:

1. Colo car la lámina bajo la guillotina y sujetarla con el dispositivo.

2. Accionar la palanca de avance para que la guillotina baje.

3. Cortar la lámina.

4. Accionar la palanca de avance para que la guillotina suba.

5. D escargar las dos piezas y colocarlas a un lado de la guillotina.

Establecer un listado de posibles causas asignables de variación, que pue

dan provocar problem as de calidad en esta operación, clasificadas de acuerdo

con los factores de calidad hom bre, m áquina, m étodo y material.

JORGE ACUNA ACUNA

SOLUCION

Listado de características

Causas imputables al hombre• Falta de adiestramiento

• Exceso de confianza

Descuido

• Desm otivación

• Negligencia

Causas imputables a la máquina• Filo de cuchilla

• Lubricación de partes m ecánicas

• Desajuste de cuchilla

G olpe de guillotina

• Desajuste de dispositivo

Dispositivo mal colocado

Causas imputables al método de trabajoPuesto de trabajo mal diseñado

• Distancia a palanca

• M étodo de carga y descarga

Accionar de la pieza no controlado

Causas imputables a la materia prima y materiales• D ure za de la lámina

• Lám inas torcidas

• Porosidad

• Defectos superficiales

• Brillo

• Granulación

• Rayaduras


GRAFICOS DE CONTROL PARA VARIABLES

C u a n d o la característica de calidad es importante de acuerdo con el a n á

lisis de Pareto, una de las técnicas estadísticas que se puede aplicar son los

gráficos de control. El objetivo es llevar un estudio detallado del c o m p o rta

miento de la variable con el fin de tom ar las acciones correctivas y en especial

preventivas para que las anom alías no se presenten.

Los gráficos de control para variables se com ponen de dos partes: una se

basa en promedios y controla la exactitud; la otra parte se basa en m edidas de

dispersión y controla la precisión. Ta m b ié n existen en esta categoría los g rá

ficos de sum as acum uladas que solamente controlan exactitud con base en un

estudio de desplazam iento periódico del promedio del proceso. El Ejem plo 4.2

d e m u e s tra la ra zó n po r la que se u san pro m e d io s c o m o e s tim a d o re s de tendencia central.

Un aspecto que se debe tom ar en cuenta para decidir si usar o no este tipo

de g rá fic o s e s un a n á lis is d e c o s to s p u e s es n e c e s a rio el e m p le o deinstrum en tació n, m ateria les y p e rs o n a s que en m u ch o s ca so s d e b e n se r

especializados. Esto es aún m ás importante si se toma en cuenta que solo se

puede controlar una variable a la vez.

EJEMPLO 4.2

Una operación de producción debe cumplir con la especificación 34 ± 9 cm.

En este m om ento el prom edio del proceso se encuentra en 40 cm . Dem ostrar que es mejor un control basado en promedios con muestras de cuatro unidades que un control basado en observaciones individuales.

SOLUCION

M = 34 cm T = 9 cm

o ’ = T/3 = 9/3 = 3 cm


P ara d e m o stra r lo solicitado, se calculará la pro babilidad de detectar

puntos fuera de límites usando observaciones individuales y se com parará con

la correspondiente a prom edios. Los límites se basarán en tres desviaciones

estándar a la izquierda y tres a la derecha del prom edio del proceso.

CASO A. Observaciones individuales

Los límites de control se calculan así:

L S C = x + 3 * a ’ = 34 + 3 * 3 = 43 cm

LIC = x - 3 * a ’ = 34 - 3 * 3 = 25 cm

La Figu ra 4.1 m uestra gráficam ente la form a de h acer el cá lculo de la probabilidad planteada.

S ea A la probabilidad de detectar un valor x fuera de límites y com puesta por la sum a de A , y A 2.

A , = P ( x > 43 ) = 1 - N ((43-40)/3)

A ,= 1 - N ( 1 ) = 1 -0 ,8 4 1 = 0 ,1 5 9

S itua c ió n teó rica S ituac io 'n rea l

FIGURA 4.1. Representación de probabilidad basada en observaciones individuales.


A , = 1 5 ,9 % de Ta b la I de Apéndice I

A 2 = P ( x < 25 ) = N ((25-40)/3)

A 2= N ( - 5 ) cuyo valor es aproxim adam ente cero

Por lo tanto: A = A , + A 2 = 15,9 + 0 = 15,9 %

A = 1 5 , 9 %

CASO B. Promedios con muestras de cuatro unidades

S e a B la probabilidad de encontrar un promedio de una muestra fuera de límites y calculado por la sum a de B, y B 2.

D ado que se trabajará con prom edios se usará el teorem a del límite ce n tral, por lo que:

p_= ¡i = 34,0

a* = o 1 N n = 3 / V 4 = 1,5 c m

Los límites de control serán:

L S C * = x + 3 * O j = 3 4 ,0 + 3*1,5 = 3 8 ,5 c m

L IC - = x - 3 * o - = 3 4 ,0 -3 * 1,5 = 2 9 ,5 c mX X ’ ’ ’

La F ig u ra 4.2 m uestra gráficam ente la form a de h a ce r el cálculo de la probabilidad planteada.

B , = P ( x > 3 8 ,5 ) = 1 - N ((3 8 ,5 -4 0 ,0 )/1 ,5)

B ,= 1 - N ( -1 ) = 1 -0 ,1 5 9 = 0,841

B, = 8 4 ,1 % de Ta b la I de Apéndice I


S ituación teó rica S ituac ión real

FIGURA 4.2. Representación de la distribución muestral (n=4)

B 2= P ( x < 29,5 ) = N ((2 9 ,5 -4 0 ,0 )/1 ,5)

B2= N ( - 7 ) cuyo valor es aproxim adam ente cero

B = B ,+ B2=8 4 ,1 + C = 8 4 ,1 %

B = 8 4 ,1 %

Al com parar am bos valores es evidente que la probabilidad de detectar el

prom edio de una m uestra fuera de límites (8 4 ,1 % ) es m ucho m ás alta que la

probabilidad de detectar una observación individual (1 5 ,4 % ) fuera de límites de

control. Esto dem uestra la razón por la cual se usan promedios en el control de

procesos.

Existen diversos tipos de gráficos de control para variables. S e verán a

continuación los siguientes:

a. Gráfico de promedios e intervalos (x ,R )

b. Gráfico de promedios y desviación estándar (x ,o )

c. Gráfico de m edianas e intervalos (M e,R)

d. Gráficos de sum as acum uladas (C U S U M )


GRAFICO DE PROMEDIOS E INTERVALOS ( x,R)

Este gráfico utiliza co m o m edida de control de exactitud el pro m e dio y co m o m edida de control de precisión el intervalo. Estas m edidas se calculan con base en m -m uestras de tam año n, extraídas del proceso en estudio a intervalos de tiempo o cantidad de producción que son definidos previam ente.

E s requisito cla ve para usar este tipo de gráficos sele ccionar m uestras pequeñas, pues el intervalo solo es un buen estimador de dispersión en estos casos.

Construcción del gráfico

E n la construcción de un gráfico de control x,R se siguen los siguientespasos:

1. Selección de la variable. E ste d e b e ser n e ce sa ria m e n te un paso ya e je cu ta d o a tra v é s de la identificación de c a ra cte rística s de ca lid a d em pleando el diagram a de Ishikawa y el paretogram a.

2. Definición del marco de muestreo y método de seleción. E s necesario definir el lugar de donde se extraerán las muestras, sea éste lotes produc id o s o m á q u in a s en p ro ce so . A d e m á s , se d e b e estru ctu ra r a d e c u a dam ente la form a en que las m uestras van a ser extraídas. Algunas de las formas de ejecutar estas actividades son:

a. U tiliza ció n de una pro p o rc ió n sob re una can tida d p ro d u cid a (p o r ejemplo cinco de cada cien)

b. Utilización de intervalos de tiempo iguales (por ejemplo una muestra cada diez m inutos)

c. Selección aleatoria usando la tabla de núm eros aleatorios

d. U so de m uestreo sistemático

3. Determinación del número de subgrupos o muestras (m). La determinación de este núm ero se debe hacer de tal m anera que la probabilidad de detectar c a u s a s a s ig n a b le s entre las u n id a d e s que co n fo rm a n la

JORGE ACUÑA ACUÑA »

233

m u e s tra s e a la m ín im a p o s ib le , p e ro la m á x im a e n tre m u e s tra s o s u b g ru p o s. E sto se logra si se cu m p le n las co n d icio n e s de re p re se n tatividad del m uestreo. La experiencia en el uso de este tipo de gráficos dicta que este núm ero debe ser m ayor a veinte. Si esto no es posible solo se pueden usar el núm ero de subgrupos de tam año cinco especificado en la Ta b la IX del Apéndice I.

4. Determinación del tamaño del subgrupo o muestra (n). Es m uy importante que la selección de esta muestra sea aleatoria y que la frecuencia de tom a de ella se haga sobre la base de los beneficios esperados y el costo de evaluación de calidad generado. D ebido al uso del intervalo com o m edida de dispersión, la experiencia dicta que el tam año no debe ser mayor que diez unidades. Los núm eros m ás usados son cuatro, cinco y seis.

5. Recolección de información. U na ve z diseñado el esquem a de muestreo se procede a la recolección datos, ejecución de m ediciones y cálculo de medidas estadísticas. Es importante en este paso hacer uso de un formato a d e c u a d o q u e p re sente la inform ación o rd e n a d a para su análisis. El E jem plo 4 .3 presenta un ejem plo de form ato. Lo s datos y las m edidas calculadas a partir de ellos deben tener una cifra significativa m ás que lo exigido por la especificación.

Los cálculos que se efectúan son los siguientes:

a. Prom edio de la muestra

nI x ,i=1

n

donde:


x.: dato individual

b. Intervalo de la muestra

R = x - x .imáx imin

X = -


donde:

ximáx: dato de m ayor magnitud en la muestra

ximín: dato de m e n o r magnitud en la muestra

c. Promedio de prom edios

mX x

X i + X 2 + X 3 + . . . + X n ¡=1

x= _m m

donde:

m: núm ero de m uestras

x: prom edio de la m uestra i

d. Intervalo prom edio

R 1 + R , + R , + ... + R1 2 3 mR = ----------------------------------------------------

m

donde:

m: núm ero de muestras

R¡: intervalo de la m uestra i

6. Cálculo de límites de control. Existen dos tipos de límites de control. Los lím ites de contro l de l proceso sirven para analizar la situación del proceso con respecto a sus capacidades naturales, o sea aquellas sin la intervención de ca u s a s a s ig n a b le s . Los lím ite s de co n tro l esp ec ificado s son aquellos basados en la especificación y que sirven para ver si el proceso cum ple con ella. La demostración de estos límites se puede observar en el Apéndice III.

X R ,¡=1


Los límites deben tener una cifra significativa m ás que lo exigido por la especificación y el criterio de redondeo es redondear límites superiores hacia arriba a la cifra siguiente y límites inferiores hacia abajo a la cifra precedente. Las fórmulas son las siguientes:

a. Límites de control especificados

Para promedios Para intervalos

L S E -= M + TI NfrT L S E R = D 2*T/3

LCE-x= M L C E R = d2*T/3

LIE - = M - T / ' íñ L IE R = D ,* T / 3

L S E : Límite Superior Especificado

L C E : Línea Central Especificada

LIE : Límite Inferior Especificado

b. Límites de c o r frol del proceso


L S C x = x + A 2 * R L S C r = [ Y

L C C

L IC x = x - A 2 * R

l c c r = r

L 'C r = D 3

L S C : Límite Superior de Control

L C C : Línea Central de Control

LIC : Límite Inferior de Control

Los valores de las constantes A 2, D ,, D 2, D 3, D 4 y d2se encuentran en el formato de recolección de datos.

7. Construcción del gráfico. El gráfico consiste de dos partes: una para graficar los pro m edio s y otra para graficar los intervalos. Para esto se


gradúan dos escalas, la del eje x que sirve para anotar entre otras cosas el núm ero de la m uestra, la hora de recolección y la m áquina de donde se obtuvo.

La otra escala, la del eje y, se divide en dos partes independientes, una graduada para promedios y la otra graduada para intervalos, por supuesto con escalas diferentes.

La fo rm a en que se g ra d ú a n las e s c a la s para el p ro m e d io y pa ra el intervalo deben contem plar la magnitud m ás grande y más pequeña entre los valores de prom edio e intervalo y los respectivos límites superiores e inferiores.

Los límites de control especificados no se dibujan sobre el gráfico, sino que se pueden superponer utilizando una lámina de plástico.

Una ve z graduadas las escalas se procede a dibujar los límites de control de proceso y los puntos correspondientes a cada muestra. Los intervalos se grafican con bastones y los prom edios con línea de trazo continuo.

Los puntos que salgan ruera de límites deben ser identificados m ediante una m a rca especial, un círculo por ejem plo. La F ig u ra 4.3 m uestra un esquem a de este gráfico.

Análisis del gráfico

U n a v e z que se ha construido el gráfico se procede a h acer un análisis detallado con el fin de detectar los problem as que presenta la característica de calidad en estudio. El análisis del gráfico se efectúa en dos paso s que son: análisis del proceso con respecto a sus capacidades y análisis del proceso con respecto a especificaciones.

El análisis del proceso con respecto a sus capacidades se hace en dos etapas que son análisis correctivo y análisis preventivo. En el análisis correctivo se identifican puntos fuera de límites y se eliminan. La razón de su eliminación es que su causa es asignable y por lo tanto eliminable. En el análisis preventivo se estudian las causas de los puntos fuera de límites y se analizan tendencias y peculiarid ades. Si un análisis inicial m uestra que no hay puntos fuera, ni tendencias ni peculiaridades se dice que este proceso está bajo control.


ro<2OOQ

< < tr z »- Q en o ujuj < UJ => S oS CC UJí ° Q

O . oQC <UJ £r5 <5 a-Z o

o . i r o 5 i i J ü - o to

n i n ^ i o cvj — o

— z h u j t r > < _ J o </>

FIGU

RA

4.3.

Rep

rese

ntac

ión

de un

gráf

ico

x,R

.


Al efectuar este análisis correctivo pueden ocurrir cuatro casos:

CASO A. No hay puntos fuera de límites en ambos gráficos

En este caso am bos gráficos muestran estabilidad y por lo tanto se puede concluir que la característica no presenta causas asignables.

CASO B. Hay puntos fuera de límites solo en el gráfico x

En este caso se tiene un problema de exactitud del proceso con respecto a su promedio natural. Aquí, los límites y los promedios se desplazan hacia donde se desplace el prom edio de promedios. Los puntos que se encuentren fuera de límites deben elim inarse y los límites deben recalcularse. El nuevo valor del prom edio modificado se calcula así:

m h

x m = ( S v I x j / ( m - h )

k=1 k=1

donde:

Xm = prom edio modificado

m = núm ero de m uestras totales

h = núm ero de m uestras fuera de límites

Los límites modificados se calculan usando las m ismas expresiones vistas anterio rm ente, y se sustituye el va lo r del pro m e dio po r el n uevo va lo r m o dificado.

El ch e q u e o de p u n to s fuera de lím ites d eb e e je cu ta rse ca d a v e z que nuevos límites sean obtenidos. El análisis term ina en el m om ento en que no haya ningún punto fuera de límites, siem pre y cuando no se hayan elim inado m ás del 3 0 % de las m uestra s. Si ello ocurriese, se su sp e n d e el estudio, se analiza el proceso para encontrar las causas de lo ocurrido y una vez corregidas


las fallas, se inicia de n uevo la recolección de datos para la construcción y análisis de un nuevo gráfico.

CASO C. Hay puntos fuera de límites solo en el gráfico R

En este caso se tiene un problema de alta variabilidad que debe corregirse. C u a n d o el intervalo aum enta los puntos del gráfico R tienden hacia el límite superior y los puntos de los prom edios en el gráfico de prom edios tienden a ubicarse cerca de los límites de control de proceso, con tendencia a salir fuera de ellos. Los valores de R fuera de límites son elim inados y se recalcula un nuevo intervalo promedio y límites modificados, tanto para los intervalos com o para los prom edios, pues ellos están b a sa d o s en el intervalo pro m edio . El intervalo prom edio modificado se calcula así:

_ m f

Rm= (X R k- X R J / (m -f )k=1 k=1

donde:

R m = intervalo promedio modificado

m = núm ero total de m uestras

f = núm ero de muestras que se salen de límites

CASO D. Hay puntos fuera de límites en ambos gráficos

Este es el peor de los caso s, pues las situaciones pre sentada s en los caso s B y C ocurren juntas. El problem a se torna aún m ás grande cuan do al corregir uno se altera el otro.

C uand o existen cam bios m ás grandes en la media del proceso que en los intervalos, el gráfico R puede m ostrar alguna estabilidad mientras que en el gráfico de promedios los puntos se salen de límites. Las acciones que se deben seguir son las m ismas presentadas para los casos B y C . Al eliminar los puntos


fuera d eb e iniciarse con los punto s fuera del gráfico de intervalos p u e s el intervalo promedio modificará los límites de control de promedios.

Las muestras que se eliminan por precisión no se eliminan por exactitud y viceversa. A m bos análisis se ejecutan en form a independiente.

En el análisis preventivo se efectúa una investigación detallada de las causas que provocaron que el o los puntos salieran fuera de control. Para ello, se ha ce uso del d ia g ra m a ca u sa y efecto construido para la característica en estudio.

El objetivo de este análisis es identificar las causas y establecer procedimientos para eliminarlas, de tal m anera que no continúen influyendo en el com portamiento de la variable. C o m o una herramienta para detectar cam bios futuros se pueden usar los límites de advertencia que son límites basados en dos desviaciones estándar en lugar de tres.

En el caso de que existan te n d e n c ia s , éstas deben ser analizadas cuidadosamente haciendo uso de ecuaciones de regresión si se considera necesario proyectar un determ inado com portam iento. El objetivo es actuar de m anera preventiva ya que con el tiempo causas no asignables de variación con tendencia m arcada pueden convertirse en causas asignables de variación.

Si existen peculiaridades deben ser analizadas detenidam ente. Si éstas fuesen m uy m arcadas pueden ser el resultado de un comportamiento anormal que aún no se ha manifestado de m anera abierta. Ejem plos de ellas son puntos cerca de límites y cam bios bruscos en el promedio del proceso. En el Apéndice IV se presentan varios ejem plos de peculiaridades y sus posibles causas.

El análisis del proceso con respecto a la especificación se hace c o m p a rando los limites modificados con los límites de control especificados. Adem ás, se efectúa el análisis de exactitud y precisión y se calculan los respectivos porcentajes de producto que no cum ple con especificaciones al inicio y al final del estudio.

Al co m parar los lím ites de control del proceso con los límites de control especificados se pueden generar las siguientes situaciones:

S itu a c ió n 1. Doble lím ite especificado. Los lím ites de contro l de l proceso se encuentran dentro de los lím ites de contro l especificados y e l proceso está centrado


Esta es una situación bastante favorable pero poco usual. C u a n d o ésto ocurre, se deben seguir las siguientes acciones:

1. Seguir usando los m ism os m edios de control

2. C o n s id e ra r la po sib ilid a d de u s a r lím ites de con trol de p ro ce s o m ás holgados sin perjudicar el desem peño del proceso

3. R educir los intervalos de inspección

4. Revisar la especificación con el fin de constatar su apego a las condiciones

exigidas al proceso. El objetivo es dem ostrar que la situación presentada

se debe a la bue n a calidad del p ro ce so y no a una m ala e sco ge n cia o diseño de especificaciones

S itu a c ió n 2. Doble lím ite especificado. Los lím ites de contro l de l proceso se encuentran casi coincidiendo con los lím ites de control especificados cuando e l proceso está centrado

C u a n d o ésto ocurre, se debe:

1. Vigilar constantem ente el centro del p ro ceso, pues un m ínim o cam bio puede provocar producto defectuoso

2. Analizar la posibilidad de disminuir la dispersión

3. Analizar la posibilidad de ampliar tolerancias (debe ser la última acción que

se siga)

S itu a ció n 3. Doble límite especificado. Los límites de control especificados se encuentran ligeram ente dentro de los lím ites de contro l de l proceso cuando el proceso está centrado

Esta situación provoca un nivel de producto disconforme con las especificacion es que debe ser controlado con cuidado . La s m edidas que se deben

tom ar en este caso son entre otras:

1. Dism inuir la dispersión del proceso haciendo los cam bios necesarios

2. Utilizar inspección 1 0 0 % , hasta que el proceso vuelva a su normalidad

3. Analizar la posibilidad de am pliar tolerancias (última acción)


S itu a c ió n 4. Doble lím ite especificado. Los lím ites de contro l del proceso se encuentran dentro de los lím ites de contro l especificados y e l proceso está descentrado

Este ca so es de cuidado pues si el proceso es irregular en m antener su cen tro p u e d e p ro vo ca r de un m o m e n to a otro un vo lu m e n no d e s e a d o de producto defectuoso. Las m edidas por tom ar son las siguientes:

1. Ejecutar acciones que permitan centrar el proceso y controlar su exactitud

2. Si no fuera posible ce n tra r el p ro ce so de inm ediato, se d eb e e m p le a r

inspección 1 0 0 % hasta que se logre

3. Establecer controles rígidos que permitan detectar cualquier cam bio en el

centro del proceso.

S itu a c ió n 5. Doble lím ite especificado. Los lím ites de contro l de l proceso se encuentran casi coincidiendo con los lím ites de control especificados cuando e l proceso está descentrado

E ste ca so es parecido al m ostrado en la Situación 4. La s accion es por seguir son las m ism as aunque el control debe ser aún m ás rígido.

S itu a ció n 6. Doble lím ite especificado. Los límites de control especificados se encuentran ligeram ente dentro de los lím ites de contro l de l proceso cuando e l p roceso está descentrado

E n esta situación la cantidad de producto que no cum ple con especifica

ciones puede ser alta en la m edida en que el proceso tenga su valor medio m uy a lejado del va lo r nom inal especificado. La s a ccion es son las m ism as de la situación 4.

S itu a c ió n 7. Un solo lím ite especificado. E l lím ite de contro l especificado se encuentra ba jo e l lím ite de con tro l de proceso s i se contro la un m ín im o o sobre é l s i se controla un m áxim o

Esta es una situación favorable que debe continuar. La calidad del proceso será m ejor en la m edida en que el límite de control del proceso se aleje del especificado. Si esa distancia fuera m uy grande se puede reducir el intervalo de

inspección en forma controlada.


S itu a ció n 8. Un solo límite especificado. E l lím ite de contro l especificado coincide con el lím ite de contro l de l proceso

Esta es una situación de cuidado pues puede generar producto que no cum ple con especificaciones en cualquier m om ento. Las acciones por seguirson:

1. C u id a r que el proceso no m u e va su prom edio hacia el límite de controlespecificado

2. Aum entar la frecuencia de inspección

3. Disminuir ligeramente la dispersión del proceso

S itu a c ió n 9. Un solo límite especificado. E l lím ite de contro l especificado se encuentra sobre e l lím ite de con tro l de proceso s i se controla un m ínim o o bajo é l s i se controla un máximo

Esta situación genera disconformidades que se agravan de acuerdo con la brecha que se presente entre los límites. Las m edidas que hay que tom ar son:

1. M over el centro del proceso en dirección contraria a donde se encuentre ellímite de control especificado

2. Inspeccionar 1 0 0 % hasta lograr un control favorable

3. Tratar de dism inuir la tolerancia (en último caso)

U na vez que se han com parado límites se procede a hacer el análisis de exactitud y precisión. Para ello se realizan las siguientes comparaciones con las respectivas pruebas de hipótesis si es necesario:

M = x

g ’< T/ 3

o ’ = R/d2

Hecho ésto se calcula el porcentaje disconforme con especificaciones al inicio y al final del estudio. Las Figuras 4.4 y 4.5 m uestran las curvas normales que se deben plantear para calcular am bos porcentajes.

244

M - T M + T

*¡

FIGURA 4.4. Cálculo del porcentaje disconforme inicial.

CONTROL DE CALIDAD

FIGURA 4.5. Cálculo del porcentaje disconforme final.

a e s t im a c ió n inicial de la desviación estándar antes del análisis

o j: estimación final de la desviación estándar después del análisis

R .: intervalo promedio inicial -a n te s del a n á lis is -

R , : intervalo prom edio final -d e s p u é s del a n á lis is -

El porcentaje de producto disconform e total se encuentra sum a n d o las áreas A , y A 2. Si se desea, se puede efectuar una p rue ba de hipótesis para


determ inar si la reducción lograda en el porcentaje calculado es significativa

(prueba de hipótesis de dos proporciones).

S e g u im ie n to

U na vez que se ha finalizado el análisis y se ha constatado que el proceso

cum ple con las especificaciones, se proyectan los límites de control del proceso

al futuro en un esquem a que permitirá el control con base en nuevas muestras.

C a d a m uestra se gráfica y se to m a n las d e c is io n e s del ca so con el fin de

corregir situaciones anóm alas.

Para esta actividad se debe adiestrar al personal para que tomen muestras

obedeciendo a los esquem as que cumplen con las condiciones de aleatoriedad

y representatividad.

Este proceso debe ejecutarse hasta que las condiciones que presenta la

característica sean favorables, es decir, hasta que se entregue al consum idor

un producto que satisface sus expectativas.

P ara tener una idea global de las tres etapas en el uso de un gráfico de

control de pro m e d io s e intervalos se pu e d e o b s e rv a r el flu jogram a I en el

Apéndice III.

EJEMPLO 4.3

En una industria m anufacturera de envase s plásticos, existe un envase

cuyo peso nom inal debe ser 45 gram os. C o n el fin de cheque ar el estado del

p ro ce so se tom an treinta m uestra s de cinco e n va se s ca d a una y se pesan

obteniendo la información que se presenta en el Cuadro 4.1.

a. Efectuar un análisis usando un gráfico de prom edio e intervalo

b. Si las tolerancias se fijan en ± 5 gram os ¿Q u é conclusiones se obtienen del

estado del proceso?


CUADRO 4.1. Hoja de datos y cálculos iniciales para el Ejemplo 4.3

Hoja de datos - Gráficos de control X, R Artículo: ' Envase plástico Código: Característica: Peso en gramos Especificación: Operación: Extrusión Máquina: Operario: J. Morales Inspector: Fecha: 30-6-84 Tumo: 2-10 Hora de inicio: 3:30 Hoja # 1

A-X-30 45 ± 5 g Extrusora H. Picado

de 1

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=5

V I 5 48 42 42 43 41 45 59 40 40 42A N 4 35 48 40 43 42 47 60 40 42 45L D 3 46 47 49 40 41 44 59 46 43 39O I 2 55 45 48 40 41 47 59 46 46 44 OR V 1 41 46 41 42 45 49 60 46 47 45

BTOTAL 225 228 220 208 210 232 297 218 218 215

PROMEDIO 45,0 45,6 44,0 41,6 42,0 46,4 59,4 43,6 43,6 43,0 SINTERVALO R 20 6 9 3 4 5 1 6 7 6

EMUESTRA # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

RV I 5 52 44 44 54 51 44 46 39 42 48A N 4 38 53 43 41 39 45 55 42 42 42 VL D 3 48 47 45 45 54 46 47 55 49 43O I 2 44 38 40 44 45 37 46 47 43 43 AR V 1 45 44 43 39 38 43 43 48 44 43

TOTAL 227 226 215 223 227 215 237 231 220 220PROMEDIO 45,4 45,2 43,0 44,6 45,4 43,0 47,4 46,2 44,0 44,0 I

INTERVALO R 14 15 5 15 16 9 12 16 7 5

MUESTRA # 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30N

V I 5 35 46 54 48 60 45 40 36 45 47A N 4 58 47 49 47 53 44 40 47 45 50 EL D 3 50 49 46 46 49 42 40 48 46 51O I 2 40 40 43 45 51 40 39 45 44 47 SR V 1 52 41 35 41 52 40 41 35 47 44

TOTAL 235 233 227 227 275 211 200 211 227 237PROMEDIO 47,0 46,6 45,4 45,4 55,0 42,2 40,0 42,2 45,4 47,6

INTERVALO R 23 11 19 7 9 5 2 13 3 7i—CONSTANTES—

n 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1

a 2 1,880 1,023 0,729 0,577 0,483 0,419 0,373 0,337 0,308 0,285

d 2 3,686 4,358 4,698 4,918 5,078 5,203 5,307 5,394 5,469 5,534

D4 3,267 2,575 2,282 2,115 2,004 1,924 1,864 1,816 1,777 1,744

d2 1,118 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078 3,173


SOLUCION

A. Construcción del gráfico

Los pasos del 1 al 4 se encuentran en el C uadro 4.1.

Paso 5. C álculo del prom edio de prom edios y el intervalo prom edio. Del C uadro 4.1 se obtiene que:

1359 ' - 276x — ----------------= 45,3 R = -------------= 9 -2

30 30

Paso 6. Cálculo de límites de control


Especificación: M ± T = 45 ± 5 gram os

Para promedios

L S E _ = M + T / 'frf = 45 + 5/\f5 = 47,3 gram osX

L C E = M = 45,0 gram osX

LIE = M - T / f n = 45 - 5/15 = 42,7 gram osX

Para intervalos

L S E r = D 2 * T/3 = 4 ,918*5/3 = 8 ,6 gram os

L C E r = d2 * T/3 = 2,326 * 5/3 = 3,9 gram os

L IE r = D, * T/3 = 0*5/3 = 0 gram os

Para n=5, los valores de D 2, d2y D, se localizan en la hoja de datos en el C uadro 4.1. El valor de D, es cero.

b. Límites de control del proceso

Para promedios

.48 CONTROL DE CALIDAD

L S C x = x + A 2* R = 45,3 + (0 ,5 7 7 * 9 ,2 ) = 5 0 ,7 gram os

L ca = x = 45,3 gram os

L IC x = x - A 2* R = 4 5 ,3 - (0 ,5 7 7 * 9 ,2 ) = 3 9 ,9 gram os

Para intervalos

L S C R= D 4* R = 2 ,1 1 5 * 9 ,2 = 1 9 ,5 g ra m o s

L C C r = R = 9,2 gram os

U C R = D 3* R = 0 *9,2 = 0 gram os

Los valores utilizados y las constantes se encuentran en el C u a d ro 4.1.

Paso 7. Construcción del gráfico

La Figura 4.6 presenta el gráfico correspondiente a este ejemplo.

B. Análisis del gráfico

1. Análisis con respecto a l proceso

Al observar la Figura 4.6 se nota que hay puntos fuera en am bos gráficos, por lo que se procede a eliminarlos.

G rá fic o R

Se nota que las m uestras 1 y 21 se encuentran sobre el límite superior de control, entonces se recalcula el intervalo promedio.

276 - (2 0 + 23)Rm = 8,32 gramos

30 -2


O CC < L l —U O IX O CC<Ll. —O O CE

FIGU

RA

4.6.

Grá

fico

de co

ntro

l X,R

de

l Ej

empl

o 4.

3.


S e re c a lcu la so lo el lím ite s u p e rio r p u e s es el qu e se n e c e sita p ara observar si hay m ás puntos fuera.

L S C Rm= D 4* R m = 2 ,1 15* 8 ,3 2 = 17,6 gram os

Al observar de nuevo el gráfico se nota que la muestra 23 se sale de límites por lo que se elimina. El nuevo intervalo modificado es:

2 3 3 -1 9R m = ------------------------= 7 ,93 gram os

2 8 -1

L S C ^ = 2,115 * 7,93 = 16,8 gram os

Y a no hay m ás puntos fuera y se eliminaron solo el 1 0 % de las muestras. S e procede entonces a analizar el gráfico de promedios.

Gráfico x

S e recalculan los límites con el nuevo intervalo promedio.

L S C - = 45,3 + (0 ,577 * 7,93) = 49,9 gram os

L i a = 45,3 - (0 ,577 * 7 ,93) = 40,7 gram os

S e nota que las m uestras 7 ,2 5 y 27 se encuentran fuera de límites. Por lo tanto se procede a eliminarlas y a recalcular el promedio.

1 3 5 9 - (5 9 ,4 + 5 5 + 40)x m = --------------------------------------------------= 44,6 gram os

3 0 - 3

Los límites de control de proceso modificados serán:

L S C 5m= 44,6 + (0 ,577 * 7,93) = 49,2 gram os

L IC 5m= 44,6 - (0 ,577 * 7,93) = 40,0 gram os


Al observar de nuevo el gráfico se nota que ya no hay m ás puntos fuera y solo se e lim in aron el 1 0 % de las m u e stra s . En cuan to a p e cu lia rid a d e s y tendencias no se observa nada importante.

2. Análisis con respecto a especificaciones

Al com parar la situación de los límites de control de proceso finales y los límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 3, por lo que ya se conocen las acciones que hay que tomar.

Al hacer el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto no conform e con especificaciones se tiene:

a. Exactitud

M = x

45,0 = 44,6

Se plantea la siguiente hipótesis

H 0:p = 45

H a: p = 45

La Figura 4.7 muestra la curva normal correspondiente.

o ’ = 7,93/2,326 = 3,41

4 4 ,6 -4 5Z = = - 0,26

3,41

'15

C om o se puede observar en la Figura 4.7, no existe evidencia estadística, con a = 5 % , para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, bajo las condiciones actuales se puede afirmar con 9 5 % de confianza que el proceso está centrado.


FIGURA 4.7. Curva normal para la prueba de hipótesis.

b. Precisión

El proceso no es preciso puesto que:

a ’ > T/3

a' = R/d2= 7 ,93/ 2,326 = 3,41

T/3 = 5 / 3 = 1,67

3,41 > 1 ,6 7

C o n la d ife re n c ia m o s tra d a re s u lta in n e c e s a rio h a c e r la p ru e b a de

hipótesis.

c. Porcentaje de producto disconforme

o'.= 9 ,2/ 2,326 = 3,96

& = 7 ,9 3 / 2 ,3 2 6 = 3,41

Las Figuras 4.8 y 4.9 muestran las curvas normales usadas para el cálculo del porcentaje de producto fuera de especificaciones.


FIGURA 4.8. Cálculo del porcentaje de producto disconforme inicial.


A , = P (x < 40,0) = N ((4 0 ,0 - 44,6)/3,96) = -1 ,16

A , = 0,123 ó 1 2 ,3 %

A 2= P (x > 50,0) = 1 - N ((5 0 ,0 - 44,6)/3,96) = 1 - N (1 ,36)

A 2= 1 -0 ,9 1 3 1 = 0 ,0 8 6 9 0 8 ,6 9 %

El porcentaje de producto disconforme total inicial es 20,99 % .

A , = P (x < 40,0) = N ((4 0 ,0 - 44,6)/3,41) = -1 ,34

A , = 0,09 ó 9 %

A 2= P (x > 50,0) = 1 - N ((5 0 ,0 - 44,6)/3,41) = 1 -N (1 ,5 8 )

A 2= 1 -0 ,9 4 3 = 0,057 6 5 ,7 %


El porcentaje de producto disconform e total final es 14,7 % .

C o m o se puede concluir del análisis realizado, la eliminación de causas asignables ayuda a disminuir el porcentaje de producto disconforme de 2 0 ,9 9 % a 1 4 ,7 % . Sin e m b a rg o , esto no es suficiente y deb e n hacerse las m ejo ras recom endadas para elevar el nivel de calidad de este proceso.

UTILIZACION DEL GRAFICO x , R PARA AJUSTAR UN PROCESO

U no de los aspectos en que es útil un gráfico de controfx, R es para ajustar un p ro ce so o m á qu in a de a cu e rd o con el d e s e m p e ñ o de una determ ina da característica. El primer paso es seleccionar esa característica y m áquina en la que se efectuará el estudio. El procedim iento por seguir es el m ismo explicado anteriormente y en adelante solo se hará énfasis en las diferencias.

Este análisis consiste en un estudio de por lo m enos tres días, a través de los cuales se introducen m ejoras y se evalúan al día siguiente.

El procedim iento es el siguiente:

1. R ecolectar los datos del prim er d ía, construir el gráfico y analizarlo . Alefectuar el análisis pueden ocurrir las siguientes situaciones:

a. H ay puntos fuera de lím ites de con tro l de proceso. En este caso se procede tal y com o se explicó anteriormente, es decir, se recalculan límites, se analizan tendencias y peculiaridades y se co m p a ra n con especificaciones. Al final del día se efectúan las medidas correctivas y preventivas necesarias ajustando m áquinas, m étodos y materiales, con el fin de continuar el estudio al día siguiente. Si el proceso cumple con las especificaciones no hay necesidad de continuar con un segundo día de estudio, a no ser que el proceso se presente m uy descontrola d o o q u e se d e m u e s tre q u e las e s p e c if ic a c io n e s e s tá n m al establecidas.

b. No ha y pu n tos fuera de lím ites de con tro l de proceso. Si es así se procede a evaluar la situación del proceso con respecto de especificaciones. Si cum ple con las especificaciones se aplica lo dicho en el


punto a). Si no cum ple con ellas se deben introducir m ejoras al proceso, las que se evaluarán al día siguiente.

Si en el prim er día, uno o am bos gráficos m ostraron estabilidad inicial, c sea ninguna m uestra fue elim inada, entonces los lím ites de control de proceso se usan com o límites de control iniciales para el segundo día, cor el fin de probar su consistencia.

2. Recolectar los datos del segundo día. Si existen límites de control de proceso iniciales los datos recolectados se graflcan y se analiza la con sis tencia del proceso con respecto al día anterior sin entrar en el análisis Luego, se efectúan los cálculos necesarios para obtener nuevos límites con base en las muestras del primer y segundo días com o si fuesen un solc con junto . C o n b ase en estos lím ites y en los dato s de a m b o s d ía s se efectúa el análisis. Si hay puntos fuera se elim inan, se com para con la especificación y se hacen los ajustes necesarios. Si no hay puntos fuera sim plem ente se procede a com parar con especificaciones y a tom ar las acciones preventivas y correctivas que se evaluarán al siguiente día. S cu m p le con especifica cio n e s se aplica lo dicho en el punto 1 a ). Si nc existen límites iniciales de control de proceso se efectúa el mismo análisis y se toman las mismas acciones, pero con base solamente en las muestras tom adas el segundo día.

Si únicamente en el segundo día, uno o am bos gráficos mostraron estabilidad inicial, es decir, ninguna muestra fue eliminada, entonces sus límites de control del proceso se usan co m o límites de control iniciales para e tercer día Si en el primer y segundo días hubo consistencia, se toman los límites calculados con base en las muestras de am bos días.

3. Recolectar los datos del tercer día. Si existen límites de control de procese iniciales, los datos recolectados se grafican y se analiza la consistencia de proceso con respecto al día o días anteriores, sin entrar en la etapa de análisis. Luego , se efectúan los cálculos necesarios para obtener nuevos límites con base en el conjunto de m uestras del primero, segundo y tercei días o con base en el segundo y tercer día, si los límites iniciales se basar solo en el segundo día. Con base en estos límites y en los datos de los tres o dos días, según sea el caso, se efectúa el análisis. Si hay puntos fuera se elim inan y se p ro ce d e a c o m p a ra r con la especificación y a h a ce r los


ajustes necesarios. Si no hay puntos fuera, simplemente se com para con

especificaciones y se toman las acciones preventivas y correctivas que se

e valuarán al siguiente d ía. Si no existen lím ites iniciales de control de

proceso se efectúa el mismo análisis y se toman las mismas acciones, pero

con base solam ente en las muestras tom adas durante el tercer día.

4. Si ya se-ha logrado cum plir con las especificaciones, se tiene entonces un

proceso ajustado a los requerimientos. D e lo contrario pueden ocurrir dos

cosas:

a. Q u e sea necesario el análisis de un cuarto día, si hay indicios de que

el proceso todavía es capaz de dar algo mejor, en cuyo caso se aplica

el m ism o procedim iento explicado.

b. Q u e se concluya que la o las m áquinas analizadas no son capaces de

cum plir con las exigencias planteadas, en cuyo caso se deben tom ar

las acciones de sustitución de equipo o modificación o eliminación del

contrato con el cliente.

5. U na ve z ajustado el proceso se deben establecer las acciones de control

por seguir con el fin de que el proceso m antenga su grado de ajuste.

Este es un buen procedimiento para encontrar la capacidad de un proceso

o m áquina y así cumplir con las exigencias de calidad planteadas por el cliente

o consum idor. La Figura 4 .1 0 presenta un esquem a del gráfico resultante al

aplicar este procedimiento.

Es importante recalcar que un estudio de esta naturaleza debe ir a c o m

pañado de una cam pañ a de m otivación y entrenam iento a nivel de em presa,

pu e s los e s fu e rzo s pa ra m e jo ra r ca lid a d d e p e n d e n en un alto g ra d o del

com portam iento, actitud y aptitud del factor humano.

EJEMPLO 4.4

Una Compañía que fabrica paraguas desea controlar la longitud de las varillas

a través de un gráfico de control de prom edios e intervalos. La recolección de


0 52 - M 5 0 -

D 4 8 ~1 4 6 - 0 4 4 -

4 2 - 4 0 - 3 8 - 3 6 - 3 4 -

I 22-n 18-

I 2 3 4 . . .P r im e r d ía

I 2 3 .S eg u n d o d io

I 2 3 4 . . . mT e rce r día

Espacio para la información adicional que se desee

FIGURA 4.10. Representación de un gráfico x,R en ajuste de proceso.

inform ación se hizo durante tres días tom ando cien observaciones diarias y

efectuando las m ejoras del caso al final de cada día. Los datos obtenidos se

encuentran en los C uadros 4 .2 ,4 .3 y 4.4.

Term inado el análisis se desea saber:

1. ¿ Q u é se ha logrado a través de los tres días de control?

2. ¿ Q u é se planea hacer en el futuro?

3. ¿ Q u é destino dar a la producción fabricada?

CONTROL DE CALIDAD

SOLUCION


Los pasos del 1 al 5 se encuentran en los Cuadros 4 .2 ,4 .3 y 4.4.

Lím ites de control especificados

Especificación: M ± T = 40,0 + 2,5 cm

Para prom edios

L S E = M + T / T ñ = 40,0 + 2,5/ Í 5X

L C E = MX

L IE _ = M - T/ T ñ = 40,0 - 2,5/ Í5X

Para intervalos

L S E r = D 2* T/3 = 4,918 *2,5/3 = 4,1 O cm

L C E r = d2 * T/3 = 2 ,326 * 2,5/3 = 1,94 cm

L IE r = D, * T/3 = 0 *2 ,5 /3 = O cm

Para n=5, los valores de D 2, d2y D , se localizan en la hoja de datos en el

iuadro 4.2. El valor de D , es cero para muestras de tam año igual o inferior a 11.

Construcción del gráfico para el día lunes(M uestras de la No. 1 a la No. 20 en el Cuadro 4.2).

a. Lím ites de control del proceso

= 4 1 ,1 2 c m

= 40,00 cm

= 38,88 cm

Para prom edios

JORGE ACUNA ACUNA

CUADRO 4.2. Datos del primer día para el Ejemplo 4.4

Hoja de datos - Gráficos de control x, R Articulo: Varilla de paraguas Código: AM-05 Característica: Longitud de corte Especificación: 45,0 ± 2,5 gr Operación: Corte de barras Máquina: Cortadora xy Operario: T. P. Aguilar Inspector: A. M. Flores Fecha: 26-09-84 Turno: 1 Hora de inicio: 8:00 a.rti. Hoja # 1 de 3

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=5

V I 5 A N 4 L D 3 0 I 2 R V 1

42.142.740.739.1 43,3

38.540.5 47,2 39,438.6

40,235,937,546.738.8

37,937.8 36,5 40,039.9

40.541.542.5 40,0 39,9

48.0 43,444.043.040.0

36.038.739.041.7 43,5

45.0 40,8 40,240.1 41,7

42,341,539,939.836.9

50.047.0 45,646.1 46,9

O

B

STOTAL

PROMEDIO INTERVALO R

207,941,58

4,2

204,240,84

8,7

199,139,8210,8

186,837,36

1,4

204,440,88

2,6

218,443,68

8,0

198,939,78

7,5

207,841,56

4,9

200,440,805,4

235,647,12

4,4

MUESTRA # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

V I 5 A N 4 L D 3 O I 2 R V 1

37,038.439.5 38,7 37,9

40.6 41,539.738.8 37,1

35,037.6 40,339.7 38,5

38,936.338.4 39,6 40,0

40,3 4 ; ,3 40,841.542.5

41.541.540.339.3 38,9

43,342,140.0 38,838.0

42.143.2 40,8 40,0 39,7

41,537,438,337.838.9

35,941.743.8 42,7 40,1

V

A

TOTAL PROMEDIO

INTERVALO R

191,538,302,5

197,739,54

4,4

191,138,22

5,3

193,238,64

3,7

206,441,28

2,2

201,540,30

2,6

202,240,44

5,3

205,841,16

3,5

193,938,78

4,1

204,240,84

7,9I

CALCULOS N

MUESTRAS DE LA 1 A LA 20 £ x = 810,2 X = 40,51E

S£ R = 99,4 R = 4,97

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A2 1,880 1,023 0,729 0,577 0,483 0,419 0,373 0,337 0,308 0,285

D2 3,686 4,358 4,698 4,918 5,078 5,203 5,307 5,394 5,469 5,534

D4 3,267 2,575 2,282 2,115 2,004 1,924 1,864 1,816 1,777 1,744

d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078 3,173

i


CUADRO 4.3. Datos del segundo día para el Ejemplo 4.4

Hoja de datos - Gráficos de control x, R Artículo: Varilla de paraguas Código: AM-05Característica: Longitud de corte Especificación: 45,0 ± 2,5 grOperación: Corte de barras Máquina: Cortadora xyOperario: T. P. Aguilar Inspector: A, M. FloresFecha: 27-09-84 Turno: 1 Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 2 de 3

Muestra # 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n=5

V I 5 42,1 38,5 40,2 37,9 40,6 43,0 38,0 40,8 41,3 40,0A N 4 40,8 40,5 38,9 39,8 41,4 43,4 38,7 39,3 41,5 36,9L D 3 40,7 42,3 37,5 40,0 42,4 40,5 39,1 39,0 38,9 38,8O I 2 39,3 39,4 42,1 41,5 40,2 41,3 40,3 39,9 39,8 39,2 OR V 1 42,5 38,6 38,8 39,7 40,0 38,9 39,9 40,9 37,6 40,0

BTOTAL 205,4 199,3 197,5 198,9 204,6 207,1 196,0 199,9 199,1 194,9

PROMEDIO 41,08 39,86 39,50 39,78 40,92 41,42 39,20 39,98 39,82 38,98 SINTERVALO R 3,2 3,8 3,3 3,6 2,4 4,5 2,3 1,9 3,9 3,1

MUESTRA # 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40R

V I 5 37,9 41,6 37,5 39,8 39,3 41,5 40,3 36,9 36,9 38,7A N 4 38,0 41,5 37,6 38,3 38,4 41,5 40,9 40,9 36,9 38,8 VL D 3 39,4 39,5 40,3 39,9 40,0 41,5 38,8 41,9 42,7 39,0O I 2 38,5 38,8 39,7 40,9 41,5 39,9 39,7 40,5 40,1 40,7 AR V 1 38,4 39,1 40,0 41,0 40,5 38,7 39,6 40,3 40,1 40,6

TOTAL 192,2 200,5 195,1 199,9 199,7 203,1 199,3 200,5 196,7 197,8PROMEDIO 38,44 40,10 39,02 39,98 39,94 40,62 39,86 40,10 39,34 39,56 I

INTERVALO R 1,5 2,8 2,8 2,7 3,1 2,8 2,1 5,0 5,8 2,0n

CALCULOS

DE LA MUESTRA 21 A LA 40 DE LA MUESTRA 1 A LA 40 E(2d° DIA)

I x = 797,50 x= 39,88(1», y 2do DIAS)

I x = 1607,7 x= 40,19 S

IR = 62,60 R= 3,13 IR = 162,0 R=4,05

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a 2 1,880 1,023 0,729 0,577 0,483 0,419 0,373 0,337 0,308 0,285

d 2 3,686 4,358 4,698 4,918 5,078 5,203 5,307 5,394 5,469 5,534

d4 3,267 2,575 2,282 2,115 2,004 1,924 1,864 1,816 1,777 1,744

d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078 3,173


CUADRO 4.4. Datos del tercer día para el Ejemplo 4.4

Hoja de datos - Gráficos de control x, R Artículo: Varilla de paraguas Código: AM-05Característica: Longitud de corte Especificación: 45,0 ± 2,5 grOperación: Corte de barras Máquina: Cortadora xyOperario: T. P. Aguilar Inspector: A. M. FloresFecha: 28-09-84 Turno: 1 Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 3 de 3

Muestra # 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 n=5

V I 5 41,1 39,5 40,0 41,5 38,9 38,7 40,0 39,5 39,0 39,8A N 4 40,6 40,5 41,3 42,3 38,0 38,0 41,0 39,6 39,9 38,9L D 3 40,3 41,3 39,3 40,0 41,0 37,6 40,5 40,1 40,3 39,9O I 2 39,8 39,4 39,8 39,6 40,3 38,9 39,5 40,3 40,9 40,1 OR V 1 41,2 38,9 40,0 39,8 40,3 38,9 40,0 41,3 41,1 40,3 B

sTOTAL 203,0 199,6 200,4 203,2 198,5 192,1 201,0 200,8 201,2 199,0 E

PROMEDIO 40,60 39,92 40,08 40,64 39,70 38,42 40,20 40,16 40,24 39,80 RINTERVALO R 1,4 2,4 2,0 2,7 3,0 1,3 1,5 1,8 2,1 1,4 V

AMUESTRA # 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C

V I 5 39,9 39,9 39,7 38,7 38,1 38,7 39,5 40,2 40,0 39,5 OA N 4 40,0 40,3 40,3 39,7 42,6 39,1 38,5 40,1 41,7 38,1 NL D 3 41,0 40,5 38,6 40,1 40,0 39,2 40,6 40,0 40,8 40,7 EO I 2 40,0 40,0 38,6 41,6 40,0 40,2 40,4 39,7 39,6 40,5 SR V 1 39,8 39,9 40,7 42,0 39,3 40,7 40,0 39,9 39,5 40,0

TOTAL 200,7 200,6 197,9 202,1 200,0 197,9 199,0 199,9 201,6 199,2PROMEDIO 40,14 40,12 39,58 40,42 40,0 39,58 39,80 39,98 40,32 39,84

INTERVALO R 1,2 0,6 2,1 3,3 4,5 2,0 2,1 0,5 2,2 2,8

CALCULOS

DE LA MUESTRA 41 A LA 60 DE LA MUESTRA 21 A LA 60 DE MUESTRA 1 A LA 60(3er DIA) (2d0 y 3“ DIAS) (LOS TRES DIAS)

I R = 40,90 R= 2,05 IR = 103,50 R= 2,59 IR = 202,9 R= 3,39Ix = 799,54 X= 39,98 I x = 1597,04 x= 39,93 Ix = 2407,2 x= 40,12

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

\ 1,880 1,023 0,729 0,577 0,483 0,419 0,373 0,337 0,308 0,285

Dp 3,686 4,358 4,698 4,918 5,078 5,203 5,307 5,394 5,469 5,534

3,267 2,575 2,282 2,115 2,004 1,924 1,864 1,816 1,777 1,744

d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078 3,173


L S C = x + A * R = 40,51 + (0 ,5 7 7 * 4 .9 7 ) = 43,38 cmX ¿

L C C _ = x = 40,51 cmX

L IC = x - A * R = 4 0 ,51 -(0 ,5 7 7 * 4 ,9 7 ) = 37,64 cmX ¿

Para intervalos

L S C r = D 4*R = 2 ,1 1 5 * 4 ,9 7 = 1 0 ,5 2 c m

L C C r = R = 4 ,97 cm

L IC r = D 3* R = 0 * 4 ,9 7 O cm

Los valores de x y R utilizados y las constantes se encuentran en el Cuadro4.1.

La Figura 4.11 presenta el gráfico correspondiente a este día.

b. Análisis del gráfico

• Análisis con respecto a l proceso

Al observar la Figura 4.11 y el C uadro 4.2 se nota que hay puntos fuera en am bos gráficos, por lo que se procede a eliminarlos.

Gráfico R

S e nota que la m uestra No. 3 se encuentra sobre el límite superior de control por lo que se procede a calcular el intervalo modificado.

9 9 ,4 -1 0 ,8R = 4,66 cmm

2 0 - 1


o cr < u. _ o o C3 cr < u— o o

FIGU

RA

4.11

. G

ráfic

o de

cont

rol

del

Ejem

plo

4.4.

(Prlm

er d

ía).


S e re c a lcu la so lo el lím ite s u p e rio r pu e s es el que se n e c e sita para observar si hay m ás puntos fuera.

L S C = D / R = 2 ,1 1 5 * 4 ,6 6 = 9,86 cmR m 4 m 7 7 7

Y a no hay puntos fuera y se eliminó solo el 5 % de las muestras.

S e procede entonces a analizar el gráfico de promedios.

G ráfico x


L S C x= 40,51 + (0 ,577 * 4,66) = 43 ,20 cm

Lia = 40,51 - (0 ,577 *4,66) = 37,82 cm

S e nota en la F igura 4.11 que las m uestras No. 4, 6 y 10 se encuentran fuera de límites. Por lo tanto se procede a eliminarlas y a recalcular el promedio.

8 1 0 ,2 - ( 37,36 + 43,68 + 47,12)x m = -------------------------------------------------------------------------= 4 0 ,1 2 cm

2 0 - 3


L S C xm = 4 0 ,1 2 + (0 ,577 *4,66) = 42,81 cm

L IC xm = 4 0 ,1 2 - (0 ,577 *4,66) = 37,43 cm

Al observar de nuevo el gráfico se nota que ya no hay m ás puntos fuera y se e lim in aron solo el 1 5 % de las m u e stra s . En cu a n to a p e cu lia rid a d e s y tendencias no se observa nada importante.

• Análisis con respecto a especificaciones

Al com parar la situación de los límites de control de proceso finales y los límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 3. Por lo que se aplican las acciones ya citadas anteriormente.


Al hacer el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto fuera de especificaciones se tiene:

• Exactitud

M = x

40,00 = 40,12

S e plantea la siguiente hipótesis

H 0:p = 40,00

H a:g = 40,00

La Figura 4.12 m uestra la curva normal correspondiente.

o ' = 4,66/2,326 = 2

4 0 ,1 2 -4 0 ,0 0Z = — — = 0,13

2

\Í5

C o m o se puede observar en la Figura 4.12, no existe evidencia estadística, con cc= 5 % , para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, bajo las condiciones actuales se puede afirmar con 9 5 % de confianza que el proceso está centrado.

Precisión


a ’ > T/3

& = R/d2= 4 ,6 6 /2 ,3 2 6 = 2

T/3 = 2 ,5 / 3 = 0,833

2 > 0,833



La diferencia m ostrada hace innecesario hacer la prueba de hipótesis.

Porcentaje de producto disconform e

o \= 4 ,9 7 / 2 ,3 2 6 = 2,14

o ’, = 4 ,6 6 / 2 ,3 2 6 = 2

La s F ig u ra s 4 .1 3 y 4 .1 4 m uestra n las curva s n orm ales u sada s para el cálculo del porcentaje de producto disconform e.

A , = P (x < 37,5 ) = N ((3 7 ,5 - 40,51 )/2,14) = -1,41

FIGURA 4.13. Cálculo del porcentaje disconforme inicial



A , = 0,0793 ó 7 ,9 3 %

A 2 = P ( x > 4 2 ,5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 40,51 )/2,14) = 1 - N (0,93)

A 2= 1 -0 ,8 2 3 8 = 0,1762 6 1 7 ,6 2 %

El porcentaje de producto disconforme inicial es 2 5 ,5 5 % .

A , = P( x < 37,5 ) = N ((37 ,5 - 4 0 ,1 2)/2) = -1,31

A , = 0,0951 6 9 ,5 1 %

A 2= P ( x > 4 2 ,5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 40,12)/2) = 1 - N (1,19)

A 2= 1 -0 ,8 8 3 = 0 ,1 1 7 6 1 1 ,7 %

El porcentaje de producto disconforme final es 21,21 % .

C o m o se puede concluir del análisis realizado, la eliminación de causas

asignables ayuda poco a dism inuir el porcentaje de producto disconform e de

2 5 ,5 5 % a 21,21 % . Esto no es suficiente y deben hacerse las mejoras recom en

dadas para elevar el nivel de calidad de este proceso y evaluarlas el día martes.

2. Construcción del gráfico para el día martes(M uestras de la No. 21 a la No. 41 en el C uadro 4.3).

268 CONTROL DE CALiDAD

a. Lím ites de contro l de l proceso

Para prom edios

L S C x = x '+ A 2* R = 39,88 + (0 ,577 * 3 ,13) = 41,69 cm

L C C x = x = 39,88 cm

L IC x = x - A 2*R = 3 9 ,8 8 - (0 ,577 * 3,13) = 38,07 cm

Para intervalos

L S C = D * R = 2 ,115 * 3,13 = 6,62 cmR 4 ’ ’ ’

L C C r = R = 3 ,1 3 c m

L IC r = D 3*R = 0 *3,13 = O cm

Los valores de x y R utilizados y las constantes se encuentran en el Cuadro4.2.


b. A n á lis is del g rá fico

• Análisis con respecto a l proceso

Al observar la Figura 4.15 y el Cuadro 4.3, se nota que no hay puntos fuera en am bos gráficos.

En cuanto a tendencias y peculiaridades no se observa nada importante deo n a l ¡ 7 a r

G 4

24


FIG

URA

4.15

. Gr

áfico

de

cont

rol

,fl

de/

Ejem

plo

4.4.

(Se

gund

o dí

a).



Al com parar la situación de los límites de control de proceso finales y los límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 3. Por lo que se aplican las acciones citadas anteriormente.

Al hacer el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto disconform e con especificaciones se tiene:

Exactitud

M = x

40,00 = 39,88


H 0:p = 40,00

H a:p = 40,00

La Figura 4.16 m uestra la curva normal correspondiente,

o ’ = 3,13/2,326 = 1,35



3 9 ,8 8 -4 0 ,0 0 Z = ------------------------------------------= -0 ,20

1.35

n -C om o se puede observar en la Figura 4.16, no existe evidencia estadística,

con a = 5 % , para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, bajo las condiciones actuales se puede afirmar con 9 5 % de confianza que el proceso está centrado.

Precisión


o ’ > T/3

a ’ = R/d2= 3 ,1 3 / 2 ,3 2 6 = 1,3c;

T/3 = 2 ,5 / 3 = 0,833

1.35 > 0 ,8 3 3

Si se desea se puede hacer la prueba de hipótesis. Sin em bargo, en este caso a m bos valores están alejados pues es casi seguro que la hipótesis de precisión se rechazará.

• Porcentaje de producto disconform e

A l no h a b e rs e e lim in a d o m u e s tra s , el p o rc e n ta je inicial es igual al

porcentaje final.

o ’ = 3 ,1 3 /2 ,3 2 6 = 1,35

La F ig u ra 4 .1 7 m u e s tra la c u rv a n o rm a l u s a d a p a ra el c á lc u lo del

porcentaje de disconformes.

>72 CONTROL DE CALIDAD

3 7 , 5 3 9 , 8 8 4 2 , 5

FIGURA 4.17. Cálculo del porcentaje de producto disconforme.

A , = P ( x < 37,5 ) = N ((3 7 ,5 - 39,88)/1,35) = -1 ,76

A , = 0,0392 ó 3 ,9 2 %

A 2= P( x > 4 2 ,5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 39,88)/1,35) = 1 - N (1,94)

A 2= 1 - 0 ,9738 = 0,0262 ó 2 ,6 2 %

El porcentaje de producto disconforme es 6 ,5 4 % .

C o m o se puede concluir del análisis realizado, las a ccion es llevadas a ca b o al final del día lunes surtieron efecto pu e s el p o rcentaje de p ro ducto disconform e se redujo de 21,21 % a 6 ,5 4 % . A pesar de qu se corrigió este a s pecto, se harán nuevas m ejoras pues aún no se cum ple con especificaciones. Estas m ejoras se evaluarán el día miércoles.

3. Construcción del gráfico para el día miércoles

D ado que el día martes el proceso mostró consistencia, el análisis se basará sobre las veinte m uestras del día m artes y las veinte del día m iércoles (M uestras de la No. 21 a la No. 40 en el Cuadro 4.3 y de la No. 41 a la No. 60 en el C uadro 4.4).

SI se o bserva la Figura 4.19 que resum e la situación de los tres días, los valores del día martes se m uestran consistentes y m ejorados. S e procederá a


hacer el análisis correspondiente con los valores de a m bos días usando las

m edidas calculadas en el Cuadro 4.4.

a. Límites de control del proceso

Para promedios

L S C - = x + A 2 * R = 39,93 + (0 ,577 * 2 ,59) = 41,43 cm

L C C = x = 39,93 cmX

LIC - = x - A 2* R = 3 9 ,9 3 - (0 ,577 * 2,59) = 38,43 cm

Para intervalos

L S C = D ,* R = 2,115 * 2,59 = 5 ,4 8 c mR 4 ’

L C C r = R = 2,59 cm

L IC r = D 3* R = 0 * 2,59 = O cm


b. Análisis del gráfico

Análisis con respecto a l proceso

Al observar la Figura 4.18 se nota que hay puntos fuera en am bos gráficos,

por lo que se procede a eliminarlos.

N U M ERO DE L A M U E S T R A

FIGURA 4.18. Gráfico de control del Ejemplo 4.4. (Tercer día).

oJ3Om>

Primer día Segundo día Tercer día

FIGURA 4.19. Gráfico de control x <R del Ejemplo 4.4. (Los tres días de estudio).

274 C

ON

TRO

L DE

CA

LIDA

D


G ráfico R

S e nota que la muestra No. 39 del C uadro 4.3 se encuentra sobre el límite superior de control.

1 0 3 ,5 -5 ,8 R = ----------------------------- = 2,51 cmm

4 0 -1

S e re c a lc u la so lo el lím ite s u p e rio r p u e s es el q u e se n e c e sita p a ra observar si hay m ás puntos fuera.

L S C = D „ * R = 2 ,1 1 5 * 2 ,5 1 =5 ,3 1 cmR m 4 m ’ ’

Y a no hay m ás puntos fuera y se eliminó solo el 2 ,5 % de las m uestras. Se procede entonces a analizar el gráfico de promedios.

Gráfico x

S e recalculan los límites con el nuevo intervalo prom edio.

LSC* = 39,93 + (0,577*2,51) = 41,38 cm

LIC^ = 39,93 - (0,577*2,51) = 38,48 cm

S e nota en la Figura 4 .1 8 que las m uestras No. 26 y 31 del C u a d ro 4 .3 y No. 46 del Cuadro 4.4 se encuentran fuera de límites. Por lo tanto se procede a eliminarlas y a recalcular el prom edio

1597,04 - (4 1 ,4 2 + 38,44 + 38,42) x = --------------------------------------------------------------------------= 39,97 cm

m

4 0 - 3



L S C = 39,97 + (0 ,577 * 2,51) = 41,42 cmxm ’ ' ’ ’ ' ’

L I C ^ = 39,97 - (0 ,577 * 2,51 ) = 38,52 cm

Al observar de nuevo el gráfico se nota que ya no hay más puntos fuera. Se elim inaron solo el 7 ,5 % de las m uestras. En cuan to a peculiaridades y tendencias no se observa nada importante.


Al com parar la situación de los límites de control de proceso finales y los límites de control especificados se nota que corresponde todavía a la Situación 3, aunque m ás favorable que al inicio del estudio.

Al hacer el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto disconform e se tiene:

• ExactitiK l

M = x

40,00 = 39,97


H 0:p = 40,00

H a:p = 40,00

La Figura 4.20 muestra la curva normal correspondiente.

o ’ = 2,51/2,326 = 1 ,0 8

Z =3 9 ,9 7 -4 0 ,0 0

1,08

V 5

= 0,062



C om o se puede observar en la Figura 4.20, no existe evidencia estadística, con a = 5 % , para recha za r la hipótesis nula. Por lo tanto, bajo las condiciones actuales se puede afirmar con 9 5 % de confianza que el proceso está centrado.

• Precisión


o ’ > T/3

a ’ = R/d2= 2,51 / 2,326 = 1,08

T/3 = 2 ,5/ 3 = 0,833

1,08 > 0 ,8 3 3

Se procede a efectuar la prueba de hipótesis.

H 0: a 2= 0 ,8 3 3 2

H : o 2> 0,8332a ’

Usando la Figura 4.21, se puede notar que el valor de chi-cuadrado calculado está dentro de la zona de cumplimiento de H 0. Por lo tanto, se puede afirmar con 9 5 % de confianza que las diferencias mostradas no son significativas. Ante ello, se puede decir que el pro ceso es e stad ísticam ente pre ciso. La diferencia


FIGURA 4.21. Curva Chi-cuadrado para la prueba de hipótesis.

m ostrada entre el va lor especificado de o ’2 (0 ,8 3 3 ) y de s2 (1 ,0 8 ) ge n e ra un porcentaje d e V o d u c to disconforme que es necesario calcular.

(n -1 ) * s2 (4 ) * 1,082ae2= ----------------------------= -------------------------------= 6,724

a 2 0,8332

• Porcentaje de producto disconforme

o ] = 2,59 / 2,326 = 1,11

a ’ = 2 ,5 1 / 2,326 = 1,08

La s F iguras 4 .2 2 y 4 .2 3 m uestran las cu rva s norm ales usadas para el cálculo del porcentaje de producto disconforme.

A = P (x < 37,5 ) = N ((3 7 ,5 - 39,93)/1,11) = -2 ,19

A , = 0 ,0143 ó 1 ,4 3 %

A 2 = P ( x > 42,5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 39,93)/1,11) = 1 - N (2 ,32)

A 2= 1 -0 ,9 8 9 8 = 0,0102 0 1 ,0 2 %

El porcentaje de producto disconforme inicial es 2 ,4 5 % .


FIGURA 4.22 Cálculo del porcentaje disconforme inicial.


A , = P ( x < 37,5 ) = N ((3 7 ,5 - 39,97)/1,08) = -2 ,29

A , = 0 ,0110 ó 1 ,1 0 %

A 2= P ( x > 42,5 ) = 1 - N ((4 2 ,5 - 39,97)/1,08) = 1 - N (2 ,34)

A 2 = 1 - 0 ,9904 = 0 ,0096 ó 0 ,9 6 %

El porcentaje de producto disconform e final es 2 ,0 6 % .

C o m o se puede concluir del análisis realizado, la eliminación de causas a sig n a b le s en este d ía a yu d a po c o a d ism in uir el p o rce n ta je de p ro d u cto disconform e, pues únicam ente pasa de 2 ,4 5 % a 2 ,0 6 % . Sin em bargo, el logro obtenido desde el prim er día es realm ente significativo (p a só de 2 5 ,5 5 % a 2 ,0 6 % ).


Ante este logro, quizás no sería conveniente un día m ás de estudio pues ya se ha exigido bastante al proceso. Si se hiciera se podrían obtener resultados desfavorables.

Respuestas al problema

1. ¿Q u é se ha logrado?

a. Dism inuir considerablem ente la variabilidad del proceso, desde una posición inicial en la que se tiene un pro ceso im preciso hasta una

posición final en que se tiene un proceso estadísticam ente preciso.

b. Centrar el proceso logrando la exactitud deseada. Esto a pesar de que desde el inicio el proceso mostró estar estadísticamente centrado.

c. Dism inuir el producto disconforme desde un porcentaje preocupante

de 23^55% a un porcentaje m anejable de 2 ,0 6 % .

2. ¿ Q u é hacer en el futuro?

a. C o n tr o la r el p ro c e s o e s tr ic ta m e n te p a ra q u e m a n te n g a las condiciones para las cuales ha m ostrado capacidad de logro.

b. Analizar las implicaciones de un porcentaje de disconforme del 2 ,0 6 % en el siguiente p ro c e s o , las cua le s ló g ica m e n te no van a ser las

m ism as que se tienen bajo las condiciones anteriores. En el caso de que se esté produciendo para un cliente se le deben com unicar las

nu e va s con dicio nes y obtener su decisión con el fin de ve r si se le s igue supliend o . D e lo contrario se rá necesario h a ce r un estudio técnico-económ ico para sustituir equipo, si es que se desea continuar

con ese cliente.

c. Si se quiere se pueden usar los límites obtenidos para el último día

para la etapa de seguimiento.

3. ¿ Q u é hacer con lo fabricado?

Lo fabricado el segundo y tercer día es de un nivel de calidad bastanteaceptable, por lo que se puede efectuar una inspección 1 0 0 % , utilizando

CONTROL DE CALIDAD

las varillas de longitud no conform e con especificaciones para otros productos o desechándolo en última instancia.

C o n respecto a lo fabricado el p rim er d ía, que se trata de un producto m ayorm ente fuera de especificaciones, se pueden seguir los siguientes pasos:

a. Apartar el producto disconforme m ediante inspección 1 0 0 %

b. Utilizarlo en otro tipo de producto

c. Desecharlo totalmente

d. R eprocesarlo si se trata de producto con longitud m a yo r a la e s p e cificada.

GRAFICO DE PROMEDIOS Y DESVIACION ESTANDAR

U n a prá ctica g e n e ra liza d a es u sa r el intervalo R co m o m e d id a de v a riabilidad, quizás justificada en la facilidad de su cálculo. Sin em bargo, cuando un p ro c e s o tie n e p ro b le m a s g ra v e s d e p re cis ió n o e s im p o sib le e x tra e r muestras pequeñas de él, ya sea por la razón de producción o por cualquier otra causa , el uso del intervalo no es una decisión estadística confiable. En estos casos, se debe usar la desviación estándar com o m edida de variabilidad.

El gráfico de pro m e dio s y d esviació n estándar usa la m edia aritm ética com o m edida de exactitud y la desviación estándar muestral com o m edida de precisión.

Los procedim ientos en el uso de este tipo de gráfico son básicam ente los m ism os del gráfico de prom edio e intervalos. Ante ello, se explicarán a continuación solo las diferencias en las tres etapas de este gráfico de control, sea construcción, análisis y seguimiento.

C o n s tru c c ió n del g rá fic o

El p ro c e d im ie n to p a ra la c o n s tru c c ió n de este tipo d e g rá fic o e s el siguiente:


1. Los pasos 1 y 2 son los m ism os del gráfico de prom edio e intervalos.

2. Determinación del número de subgrupos o muestras (m). La determinación de este núm ero se debe hacer de tal m anera que la probabilidad de d etectar ca u s a s a sig n a b le s entre las u n id a d e s que co n form an la m uestra sea la m ín im a posible, pero la m áxim a entre m uestras o s u b grupos. Esto se logra si se cum plen las condiciones de representatividad del m uestreo. La experiencia en el uso de este tipo de gráficos dicta que este núm ero debe ser m ayor a veinte.

3. Determinación del tamaño del subgrupo o muestra (n). Es m uy importante que la selección de esta muestra sea aleatoria y que la frecuencia de toma de ella se haga sobre la base de los beneficios esperados y el costo de evaluación de calidad generado. Al ser la desviación estándar la medida de dispersión usada no hay restricciones importantes en el tamaño de esta m uestra*

4. Recolección de información. U na vez diseñado el esquem a de muestreo se procede a la recolección de datos, ejecución de mediciones y cálculo de medidas estadísticas. Es importante en este paso hacer uso de un formato a d e c u a d o que p re sente la inform ación o rd e n a d a para su análisis. El E je m p lo 4 .5 presenta un m odelo de form ato. Lo s datos y las m edidas calculadas a partir de ellos deben tener una cifra significativa m ás que lo exigido por la especificación.


a. Prom edio de la muestra

n

E x ,X 1 + X2 + X 3 + . . . + Xn i=1

x = --------------------------------------- =-------------n n

donde:


x¡: dato individual

CONTROL DE CALIDAD

b. Desviación estándar muestral

n _I ( X , - x ) 2

c. Promedio de promedios

m

_ _ _ _ I *X, + X2 + X3 + . . . + Xm ¡=1

X = ---------------------------------------------------- = --------------m m

donde:

m: núm ero de m uestras

x: prom edio de la muestra i

d. Desviación estándar promedio

_ rn < T = ( I s ( )/ m

¡=1

donde:


s.: desviación estándar de la m uestra i

5. Cálculo de límites de control. La demostración de estos limites se puede observar en el Apéndice II. El criterio de redondeo es el mismo usado en el gráfico de prom edios e intervalos. Las fórmulas son las siguientes:

JORGE ACUÑA ACUÑA



L S E , = M + T/vTf L S EO

= B 2 * T/3

L C EX

= M L C E „ = c2 * T/3

LIEX = M - T / íñ LIE

O = B, * T/3



L IE : Límite Inferior Especificado


Para pfbm edios Para intervalos

L S C - = x + A ^ o L S C 0 = B 4* o

L C C - = x L C C „ = o

L IC - = x - A ,* a



L IC : Límite Inferior de Control

Los valores de las constantes A ,, B ,, B2, B 3, B 4y c 2se encuentran en e formato de recolección de datos. Si la muestra excede el tamaño de 25, los valores se pueden aproxim ar de la forma que se indica en el Apéndice II.

6. C o n s tru c c ió n d e l g rá fic o . El gráfico consiste de dos partes: una paré graficar los promedios y otra para graficar las desviaciones. Las escalas s í


gradúan en la m ism a form a que se hace para el gráfico de prom edios e

intervalos.

U na ve z graduadas las escalas se procede a dibujar los límites de control

de proceso y los puntos correspondientes a cada muestra. A m bos gráficos

se trazan con línea continua.

Los puntos que salgan fuera de límites deben ser identificados mediante

una m arca especial, un círculo por ejem plo. La Figura 4.24 m uestra un

esquem a de este gráfico.


Al Igual que en el gráfico de promedios e intervalos, se procede a hacer un

a n á lis is d e ta lla d o c o n el fin de d e te c ta r los p ro b le m a s que p re s e n ta la

ca ra cte rís tica de ca lid a d en e stu d io . Lo s p ro ce d im ie n to s y co n clu s io n e s

generales tienen los m ism os fundam entos.

Al efectuar el análisis correctivo pueden ocurrir cuatro casos posibles:

CASO A. No hay puntos fuera de límites en ambos gráficos

En este caso am bos gráficos muestran estabilidad y por lo tanto se puede

concluir que la característica no presenta causas asignables.

CASO B. Hay puntos fuera de límites solo en el gráfico x

La conclusión es la m ism a que para el anterior gráfico. El nuevo valor del

prom edio modificado se calcula usando la m isma expresión:

( m _ h _ Txm = X x k - X x k / ( m - h )

Vk=1 k=1 )


C L c r o ^ u j o — o c / )

UJc/)

< coí - Í2 ° 2 < 3 ikj y ° § ° 2

I— s 2 2 a ü

oLl. 2

<

< tr < Q_

Lü

OLiJtO> — <0 — 02


donde:

xm = prom edio modificado

m = núm ero de m uestras totales

h = núm ero de m uestras fuera de límites

Lo s lím ites m o dificados se calcu la n u sa n d o las m is m a s e x p re sio n e s u sa d a s inicialm ente, sustituyendo el va lor del p ro m e dio por el n u e vo valor modificado.

El ch e q u e o de punto s fuera de lím ites d eb e e je cu ta rse c a d a v e z que nuevos límites sean obtenidos. El análisis term ina en el m om ento en que no haya ningún punto fuera de límites, siem pre y cuando no se hayan elim inado m ás del 3 0 % de las muestras. Si ello ocurriese, se suspende el estudio, se analiza el proceso para encontrar las causas de lo ocurrido y una ve z corregidas se inicia de n uevo la recolección de datos para la construcción y análisis de un nuevo gráfico.

CASO C. Hay puntos fuera de límites solo en el gráfico a

En este caso se tiene un problem a de alta variabilidad que debe corregirse. El análisis es el m ism o del gráfico anterior. Los valores de o sobre el límite superior son e lim in a d o s re c a lcu la n d o una n u e va d e svia ció n m edia y lím ites modificados, tanto para las desviaciones com o para los promedios, pues ellos están basados en la desviación promedio.

Los valores que se encuentren bajo el límite inferior deben ser investigados con el fin de conocer las causas de esa baja variabilidad y ver la posibilidad de im plem entar esas causas al proceso, si ellas permiten lograr una m ejora integral. Las causa s de esta situación podrían ser negativas, com o por ejem plo, mala inspección, mediciones erróneas y negligencia de inspectores. La desviación prom edio se recalcula así:

_ ni fo m = ( I ok - I o k) / ( m - f )

k=1 k=1


donde:

o m = intervalo prom edio modificado

m = núm ero total de muestras

f = núm ero de m uestras que se salen de límites

CASO D. Hay puntos fuera de límites en ambos gráficos

Este es el peor de los casos pues las situaciones presentadas en los casos

B y C o curren juntas. El pro blem a se torna aún m ás com plicado cu a n d o al corregir uno se altera el otro.

Las acciones por seguir son las m ismas presentadas para los casos B y C. Al eliminar los puntos fuera de límites de control, debe iniciarse con los puntos fuera del grápce de desviaciones, pues si se modifica la desviación promedio

cam bian los límites de control de promedios.

Las muestras que se eliminan por precisión no se eliminan por exactitud y

viceversa. A m b o s análisis se ejecutan en forma independiente. En el caso de

tendencias y peculiaridades se siguen los procedim ientos indicados para el gráfico de promedio e intervalos, inclusive lo indicado en el Apéndice IV.

El análisis del p ro ce so con respecto a la especificación se hace c o m

p a ra n d o los lím ites m o dificados con los lím ites de control e specificado s.

A d e m á s, se efectúa el análisis de exactitud y precisión y se calculan los res

pectivos porcentajes de producto fuera de especificaciones al inicio y al final del estudio.

Al com parar los lím ites de control del proceso con los límites de control

e sp e cifica d o s se utilizan las m is m a s s ituacio nes discutidas en el gráfico anterior.

U na ve z que se ha hecho la com paración de límites se procede a hacer el

análisis de exactitud y precisión. Para ello se hacen las siguientes co m p a ra

ciones con las respectivas pruebas de hipótesis si es necesario:


M = X

a ’< T/3

o ’ = o/c2

H echo esto se calcula el porcentaje de producto disconforme al inicio y al final del estudio. Las Figuras 4.25 y 4.26 muestran las curvas norm ales que se deben plantear para calcular am bos porcentajes.

El porcentaje de producto disconform e total se encuentra su m a n d o las áreas A 1 y A 2. Si se desea, se puede efectuar una p rue ba de hipótesis para

FIGURA 4.25. Cálculo del porcentaje disconforme Inicial.



determinar si la reducción lograda en el porcentaje de producto disconforme es

significativa.

Seguimiento

El procedim iento y las acciones por seguir en esta etapa son las m ism as

usadas en el gráfico de prom edios e intervalos.

P ara tener una idea global de las tres etapas en el uso de un gráfico de

control de promedios y desviaci'on estándar se puede observar el flujograma II

en el Apéndice III.

Este gráfico tam bién puede ser utilizado com o herramienta para el ajuste

de un proceso, el procedim iento es el mismo.

EJEMPLO 4.5

Un fabricante de lapiceros tiene un problema de calidad con el diámetro de

las ta p a s . A n te e llo , d e c id e e fe c tu a r un con trol m e d ia n te un g rá fico de

p ro m e d io s y d e s via cio n e s e stá n d a r pu e s cree que el pro blem a es de alta

variabilidad. Este pro ceso es continuo por lo que le permite tom ar m uestras

grandes.

La especificación se fija en 10 + 2 m m . La inform ación recolectada se

encuentra en el C uadro 4.5. S e pide analizar la situación.

SOLUCION


Los pasos del 1 al 4 se encuentran en el Cuadro 4.5.


CUADRO 4.5. Datos para el Ejemplo 4.5

HOJA DE DATOS - GRAFICOS DE CONTROL x ,0

Artículo: Tapas para lapiceroCaracterística: Diámetro Operación: Formación de tapasOperario: J. M. AbarcaFecha: 28-11-84 Turno: 1

Código: A-78Especificación: 10 ± 5 mm Máquina: MoldeadoraInspector: J. A. Rojas

Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja: # 1 de 2

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

25 9,7 10,3 11,5 13,4 10,0 9,8 9,5 9,4 9,1 10,0 10,0 11,1 10,0 9,9 9,8 10,8 10,5 10,1

24 9.2 10,1 9,2 10,1 10,2 10,3 10,0 10,5 10,0 10,4 10,3 9,9 9,8 8,9 9,0 10,0 10,0 9,7

V 23 10,1 10,0 9,3 10,0 10,3 11,8 10,0 10,0 9,3 10,5 10,0 9,8 9.3 9,2 9,4 9,3 9,2 9,9

A 22 9,9 9,9 9,5 9,3 10,3 10,0 9,9 10,0 10,0 10,0 10,1 10,2 9,4 9,4 8,9 9,2 9,1 9,8

L 21 11,9 9,0 10,9 9,4 10,0 10,3 9,7 10,0 11,0 12,0 10,5 10,4 9,0 10,0 9,0 10,0 9,0 10,0

O 20 10,5 9,9 10,0 9,5 10,0 10,0 9,8 9,8 10,1 10,0 10,1 9,8 10,0 8,9 9,0 10,0 10,0 10,9

R 19 10,3 10,0 10,1 9,6 9,9 10,5 10,0 9,9 10,3 10,0 10,0 10,5 10,0 9,1 10,0 10,4 10,1 10,0

E 18 9,3 12,0 10,1 9,7 9,8 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 9,9 9,9 10,0 9,0 10,0 10,7 10,0 10,0

S 17 9,4 11,4 10,2 10,1 9,7 9,8 10,0 11,1 9,9 10,5 9,8 9,9 10,8 9,9 10,0 10,1 10,0 9,916 9,5 12,3 10,3 10,0 9,6 9,9 10,5 10,8 9,7 11,0 10,0 9,8 10,3 9,7 11,4 10,0 10,2 9,8

I 15 9,0 10,9 9,8 10,8 9,1 9,4 10,1 10,4 9,6 12,5 10,0 10,3 10,2 9,8 11,4 10,0 10,4 9,7

N 14 10,3 10,0 9,7 9,8 8,9 8,9 10,4 10,0 9,9 11,0 11,8 10,4 9,8 9,9 10,9 9,8 10,3 9,4

D 13 10,3 10,8 9,9 9,9 9,7 9,0 10,6 10,0 10,0 10,5 10,8 10,8 9,7 10,0 10,0 9,7 9,8 9,6

I 12 9,8 10,0 10,0 10,7 10,8 9,5 10,0 11,0 10 5 10,6 10,7 10,8 9,5 11,5 10,0 9,9 9,9 9,8

V 11 9,6 9,6 9,3 10,8 10,9 9,7 10,1 10,5 10,5 10,3 10,0 10,7 9,4 10,9 9,9 9,6 9,7 9,7

I 10 9,8 9,8 9,5 11,0 11,9 9,6 10,0 10,5 10,3 10,4 10,6 10,3 9,9 10,3 9,8 10,1 9,4 9,6

D 9 9,9 9,9 11,0 10,1 12,1 9,8 - 9,9 10,4 10,3 10,0 9,9 9,7 10,0 10,2 9,7 10,8 9,3 9,8

U 8 10,0 9,8 11,1 9,9 10,0 9,2 9,8 10,0 10,0 10,0 9,8 9,4 11,3 10,3 9,9 10,3 9,4 10,0

A 7 10,1 10,0 11,2 9,7 10,0 9,8 9,7 10,0 10,1 10,0 9,7 9,3 10,9 9,3 9,8 10,0 10,0 10,0

L 6 10,3 10,8 10,8 9,8 9,8 9,8 9,6 10,0 10,2 9,8 9,6 9,8 10,0 9,4 9,9 10,0 9,9 10,0

E 5 9.7 10,2 10,5 10,2 9,7 9,8 9,3 9,9 10,0 9,9 9,5 9,9 10,0 9,7 9,9 10,1 9,8 10,1

S 4 9,8 9,7 10,4 9,6 9,6 9,2 9,4 9,8 9,9 9,7 9,4 10,0 9,9 9,8 10,5 10,6 10,0 8,9

3 11,1 10,1 10,0 9,0 9,5 9,8 9,7 9,7 9,8 9,6 10,0 10,0 9,8 9,9 10,4 10,2 10,1 9,9

Continúa en la siguiente página

Continuación del Cuadro 4.5

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

21

10,210,1

13.012.0

9,99,7

8,88,9

9,49,9

9,910,0

9,49,9

9.89.9

9,79,9

9,59,8

10,010,0

10,09,9

9,711,1

9,312,3

9,38,9

9,49,0

9.88.9

10,09,9

TotalProm.Desv.

248,99,960,5

261,510,480,97

253,910,160,63

249,6 9,98 0,89

I— On

250,810,030,73

nstanl

249,5 9,83 0,56

es —

244,59,890,32

272,410,140,41

251,810,070,38

268,2*10,32

0,70

252,210,090,49

251,810,070,44

249,69,980,56

246,69,860,8

246,89,870,68

250,010,00,47

244,89,790,44

246,69,860,34

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25A, 3,76 2,39 1,88 1,59 1,41 1,28 1,17 1,90 1,03 0,97 0,92 0,88 0,85 0,82 0,79 0,76 0,74 0,72 0,70 0,68 0,66 0,65 0,63 0,62c2 0,56 0,72 0,80 0,84 0,87 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,94 0,94 0,95 0,95 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,97 0,97 0,97 0,97B, 0 0 0 0 0,03 0,10 0,17 0,22 0,26 0,30 0,33 0,36 0,38 0,41 0,43 0,45 0,46 0,48 0,49 0,50 0,52 0,53 0,54 0,55B2 1,84 1,86 1,81 1,76 1,71 1,67 1,64 1,61 1,58 1,56 1,54 1,52 1,51 1,49 1,48 1,46 1,45 1,44 1,43 1,42 1,41 1,41 1,40 1,39B3 0 0 0 0 0,03 0,12 0,18 0,24 0,28 0,32 0,35 0,38 0,41 0,43 0,45 0,47 0,48 0,50 0,51 0,52 0,52 0,55 0,56 0,57B4 3,27 2,57 2,27 2,09 1,97 1,88 1,82 1,76 1,72 1,70 1,65 1,62 1,59 1,57 1,55 1,53 1,52 1,50 1,49 1,48 1,47 1,45 1,44 1,43

Continúa en la página siguiente

CO

NTR

OL

DE CALIDAD

I JO

RGE

ACUÑA A

CU

ÑA

Continuación del cuadro 4.5

HOJA DE DATOS - GRAFICOS DE CONTROL x, c

Artículo: Tapas para lapiceroCaracterística: Diámetro Operación: Formación de tapasOperario: J. M. AbarcaFecha: 28-11-84 Turno: 1

Código: A-78Especificación: 10 ± 5 mm Máquina: MoldeadoraInspector: J. A. Rojas

Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja: # 1 de 2

19 20 21 22 23 26 27 28 30 31 36

10,09.8 9,49.3

10,011.38.9

10,0 10,0 10,0 11,012.39.89.79.9

10,0 10,09.7 9,69.49.3 9,09.9

10,09.4

9,99.8

10,0 10,19.49.89.3

10,0 10,510.3 10,0 10,0 10,09.59.89.99.49.9

10,0 10,110.4 10,3 10,29.9 9,3



I # 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

TotalProm.Desv.

247,79,910,72

248,19,920,31

— Oo ns tan t e s —4

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25A, 3,76 2,39 1,88 1,59 1,41 1,28 1,17 1,90 1,03 0,97 0,92 0,88 0,85 0,82 0,79 0,76 0,74 0,72 0,70 0,68 0,66 0,65 0,63 0,62C2 0,56 0,72 0,80 0,84 0,87 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,94 0,94 0,95 0,95 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,97 0,97 0,97 0,97B, 0 0 0 0 0,03 0,10 0,17 0,22 0,26 0,30 0,33 0,36 0,38 0,41 0,43 0,45 0,46 0,48 0,49 0,50 0,52 0,53 0,54 0,55b 2 1,8 ' 1.86 1,81 1,76 1.71 1,67 1,64 1,61 1,58 1,56 1,54 1,52 1,51 1,49 1,48 1,46 1,45 1,44 1,43 1,42 1,41 1,41 1,40 1,39B3 0 0 0 0 0,03 0,12 0,18 0,24 0,28 0,32 0,35 0,38 0,41 0,43 0,45 0,47 0,48 0,50 0,51 0,52 0,52 0,55 0,56 0,57b 4 3,27 2,57 2,27 2,09 1,97 1,88 1,82 1,76 1,72 1,70 1,65 1,62 1,59 1.57 1,55 1,53 1,52 1,50 1,49 1,48 1,47 1,45 1,44 1,43

294 C

ON

TR

OL

DE C

ALID

AD

¡

JOR

GE

AC

UN

A A

CU

NA

2

95


a. Lím ites de contro l especificados

Especificación: M + T = 10 ± 2 mm

Para prom edios

L S E j = M + T/1ñ= 10 + 2/125 = 10,40 mm

L C E - = M = 10,00 mm

L lE j = M - T / f f i = 1 0 - 2 /(2 5 = 9 ,6 0 m m

Para intervalos

L S E = B , * T/3 = 1,39 *2/3 = 0,93 mma ¿

L C E = c , * T/3 = 0,97 *2/3 = 0,65 mmO ¿

LIE = B ,* T/3 = 0,54 * 2/3 = 0,36 mmO 1 ’ ’

Para n=25, los valores de B 2, c2 y B, se localizan en la hoja de datos en el

Cuadro 4.5.

b. Lím ites de contro l de l proceso

C o n base en la Información brindada por el C uadro 4.5 se tiene:

200,16 _ 11,34x = --------------------= 1 0 ,0 0 m m o = ----------------= 0 ,5 7 m m

20 20

Para promedios

L S C - = x + A ^ o = 10,00 + (0,62 * 0 ,57) = 10,35 m m

JORGE ACUNA ACUNA

L C C - = x = 1 0 ,0 0 m m

L IC - = x - A 1* ct= 1 0 ,0 0 - (0 ,6 2 * 0 ,5 7 )= 9 ,6 4 m m

Para intervalos

L S C o = B4* a = 1 ,4 3 *0,57 = 0 ,8 2 m m

L C C o = o = 0 ,5 7 m m

L IC = B * o = 0 ,5 6 * 0 ,5 7 = 0 ,3 1 mm0 3 ’ ’

Paso 6r Cbnstrucción del gráfico



1. Aná lis is con respecto a l proceso


Gráfico o

En la Figura 4.27, se nota que las m uestras No. 2 y 4 se encuentran sobre el límite superior de control. Por ello deben eliminarse y recalcular la desviación media y los límites de control de proceso. Es importante recordar que los puntos que salen bajo el límite inferior deben ser analizados en sus causas, pero no elim inados. El valor de la desviación prom edio recalculada será:


“T ÍlO <J-o o

ro (\J — oO O O O

en oo o> d

fS (D<x> d

<o:

3

<

OcrLü

3

> < t _ j O cr: u j co Q U J i x > < 3 0 0 : Lü (/)

FIGU

RA

4.27

. G

ráfic

o de

cont

rol

del

Ejem

plo

4.5.


1 1 ,3 4 -(0 ,9 7 + 0 ,8 9 ) o = = 0,53 m mm ’

20 -2

S e recalculan los límites de control de proceso.

L S C = B„* 0 = 1,43 * 0,53 = 0,76 mmc m 4 m ’ 7 ’

L IC = B * o = 0 ,5 6 *0,53 = 0,29 mmc m 3 m 7 7 7

Al observar de nuevo el gráfico se nota que la m uestra No. 14 se sale de límites por lo que se elimina.

T *

9 ,4 8 -0 ,8 o = -------------------------- = 0,51 mmm ’

1 8 -1

Los nuevos límites son:

L S C - = 1 ,4 3 * 0 ,5 1 = 0 ,7 4 mmcm 7 7 7L IC = 0 ,5 6 * 0 ,5 1 = 0 ,2 8 mm3m 7 7 7

Y a no hay m ás puntos fuera y se eliminó solo el 1 5 % de las muestras. Se procede entonces a analizar el gráfico de promedios.

Gráfico x

S e recalculan los límites con el nuevo Intervalo promedio.

L S C - = 1 0 ,0 0 + (0,62 * 0 ,51) = 1 0 ,3 2 m m

L C C S = 10,00 = 10,00 mm

LIC - = 1 0 ,0 0 - (0 ,6 2 * 0 ,5 1 ) = 9,68 m m


Al o b s e rv a r la F ig u ra 4 .2 7 , se nota q u e las m u e s tra s N o . 2 y 10 seencuentran fuera de límites. Por lo tanto se procede a eliminarlas y a recalcularel prom edio.

200,16 - (1 0 ,4 6 + 1 0 ,3 2 ) x = = 9 ,9 7 m mm

2 0 - 2

Los límites de control de proceso m odificados serán:

L S C = 9,97 + (0 ,62 * 0 ,51) = 10,29 mmxm ' '

L C C - = 9 ,9 7 = 9,97 mmxm ’

L IC xm = 9,97 - (0 ,62 * 0 ,51) = 9,65 mm

Al o b s e rva r de nuevo la F igu ra 4 .2 7 , se nota que ya no hay m ás puntos fuera. En cuanto a peculiaridades se pueden ver ciclos en am bos gráficos que valdría la pena estudiar. La variabilidad al final del estudio tiende a m ejorar, pues dism inuye. S ería importante realizar un nuevo estudio para analizar esta situación.

2. Aná lis is con respecto a especificaciones

Al com parar la situación de los límites de control de proceso finales y los límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 1. Por lo que se aplican las acciones ya citadas.

Al hacer el análisis de exactitud y de precisión se tiene:

a. Exactitud

M = x

10,00 = 9,97


Esta es una hipótesis que no es necesario probar, por lo que se puede concluir que el proceso es estadísticamente centrado.

b. Precisión

El proceso es preciso puesto que:

a ' < 1 /3

a '= a /c2= 0 ,5 1 / 0,97 = 0,53

T/3 = 2 / 3 = 0,67

a ’ < T/3

0 ,53 < 0 ,6 7

Al estar p ro d u cie n d o con u na variabilidad inferior a la especificada el porcentaje de producto disconforme es despreciable.

C o m o se puede concluir del análisis realizado, la eliminación de causas a sig n a b le s c o lo c a a este p ro ce s o en una situación ve n ta jo sa a u n q u e se cum plía con especificaciones desde el inicio del estudio. Se debe continuar con el control de exactitud y precisión permitiendo un poco de libertad al proceso. Tam bién cabe la posibilidad de revisar las especificaciones.

En conclusión, la preocupación del fabricante con respecto al com portam iento de esta variable no tiene fundam ento, según lo m uestra el presente estudio. En otras palabras, los problemas de calidad de este producto se deben a otra característica de calidad que no es el diámetro.

GRAFICO DE MEDIANAS E INTERVALOS

Este es un gráfico poco usado en nuestro medio pues tiene com o requisito la certeza de que la característica que está siendo controlada se com porta según la distribución normal. La razón de ello es que esta distribución es la única que tiene m edia aritmética y m ediana de igual magnitud, lo que permite usar la mediana com o m edida de exactitud en lugar de la media aritmética. Adem ás, es conveniente que la dispersión no sea alta y que ojalá se mantenga bajo control.


La ventaja de usar este tipo de gráfico es que se facilita el cálculo, pues la m ediana es m ás fácil de obtener que la m edia. La ventaja se hace aún m ás evidente cuando se requiere entrenar al personal operativo. H ay que recordar

que la m ediana se obtiene por inspección de los datos localizando aquel valor hasta el que se encuentra el 5 0 % de los datos.

Existen dos tipos de gráficos de m ediana e intervalo, estos son:

a. Gráfico de m ediana e intervalo m ediano

b. Gráfico de m ediana e intervalo promedio

El segundo tipo de gráfico es una combinación del primero con el gráfico R de un gráfico de promedios e intervalos.

A continuación se analizará el gráfico de intervalo m ediano. Los cam bios

que sufrirá este gráfico para convertirse en el otro son m ínim os y consisten en la utilización de los lím ites del gráfico R en lugar de la utilización de lím ites basados en intervalos m edianos.

U no de los aspectos que se debe tom ar m uy en cuenta es que al localizar

la m ediana es necesario alterar el orden de los datos; sin em bargo, se debe

co n se rva r ese orden al graficar, pues de lo contrario se alteraría la serie de tiempo y por lo tanto no se podrían analizar tendencias y peculiaridades.


Los pasos en la construcción del gráfico M e,R son los siguientes:

1. E s te p a s o es el m is m o q u e se s ig u e en el g rá fic o de p ro m e d io s e intervalos.

2. E s te p a s o es el m is m o q u e se s ig u e en el g rá fic o de p ro m e d io s e

intervalos.

3. Determinación del número de subgrupos o muestras (m). La determ in a c ió n d e e s te n ú m e ro se d e b e h a c e r d e tal m a n e r a q u e la p ro b a b ilid a d de d e te c ta r ca u s a s a s ig n a b le s e ntre las u n id a d e s que

c o n fo rm a n la m u e s tra se a la m ín im a p o sib le , p e ro la m á x im a entre


m uestras o subgrup os. Esto se logra si se cum plen las condiciones de representatividad del m uestreo. La experiencia en el uso de este tipo de

gráficos dicta que este núm ero debe ser m ayor a veinte.

4. Determinación del tamaño dei subgrupo o muestra (n). Es m uy importante que la selección de esta muestra sea aleatoria y que la frecuencia de toma de ella se haga sobre la base de los beneficios esperados y el costo de evaluación de calidad generado. Debido al uso del intervalo com o m edida de dispersión, la experiencia dicta que el tam año no debe ser m ayor que diez unidades. Los núm eros m ás usados son cuatro, cinco y seis.

5. Recolección de información. U na vez diseñado el esquema de muestreo se procede a la recolección de datos, ejecución de mediciones y cálculo de medidas estadísticas. Es importante en este paso hacer uso de un formato adecuqplQ que p re sente la inform ación o rd e n a d a para su análisis. El Ejem plo 4.6 presenta un ejemplo de formato. Los datos y las m edidas calculadas a partir de ellos deb e n tener una cifra significativa m ás que lo exigido por la especificación.


a. Localización de la mediana

Para esto se requiere, prim ero, del ordenam iento de cad a m uestra de m enor a mayor.

n +1M e=----------------- término S e a es el valor que se encuentra

2 en la mitad de los datos.

donde:


M e: m ediana del grupo

b. Intervalo de la muestra

R = x . - x ,im a x im ín


donde:

xjmáx: dato de m ayor m agnitud en la muestra

xlmin: dato de m enor magnitud en la muestra

c. Localización de la mediana de medianas

m +1M =-------------------------términoe

2

donde:

m : núm ero de m uestras

M : m ediana de m edianase

d. Intervalo mediano

m + 1R = --------------------- término

2

donde:


R: intervalo m ediano

Si se usara un intervalo promedio se calcula el m ism o usado en el gráfico de prom edios e intervalos.

6. Cálculo de límites de control. i_a descripción de estos límites es la misma dada para el gráfico de control de promedio e intervalos. La dem ostración de estos límites se puede ob se rva r en el Apén dice II. Lo s límites deben tener una cifra significativa m ás que lo exigido por la especificación y el

S e localiza entre los intervalos de cada muestra


criterio de redondeo es límites superiores hacia arriba a la cifra siguiente y límites inferiores hacia abajo a la cifra precedente. Las fórmulas son las siguientes:



l s e Mb= m + t / ^ • L S E r = D 2*T/3

L C E Me= M L C E R= d2* T/3

L IE U e = M - T / ^ L IE R = D ,* T / 3



LIE : Límite Inferior Especificado


Para prom edios Para intervalos

L S C Me= M e + A 2*R L S C r = D 4*R

L C C Me = M e L C C r = R

L 'C Me = M „ - A 2*R L IC r = D 3*R



L IC : Límite Inferior de Control


Los valores de las constantes A 2, D r D 2, D 3, D 4y d2se encuentran en el formato de recolección de datos.

7. C o n s tru c c ió n d e l g rá fic o . El gráfico consiste de dos partes: una para

graficar las m e d ia n a s y el otro para graficar los intervalos. El p ro ce d i

m ie n to p a ra c o n s tru ir el g rá fico es el m is m o u s a d o p a ra el g rá fico

de prom edios e intervalos. La Figura 4.28 m uestra un esquem a de este

gráfico.

La forma en que se graf ican los puntos debe ser acorde con la forma en que

se recolectaron los datos y no de acuerdo con los ordenam ientos hechos para el cálculo de m edianas. Esto es m uy importante para efectos de anali

za r tendencias y peculiaridades pues si no se hace así, se altera la serie

cronológica.

FIGURA 4.28. Representación de un gráfico Mg,R.


A n á lis is del g rá fico

U n a ve z que se ha construido el gráfico se procede a hacer un análisis detallado con el fin de detectar los problemas que presenta la característica de calidad en estudio. El análisis del gráfico sigue los mismos pasos del análisis de un gráfico de pro m edio s e intervalos. El cálculo de la m ediana y el intervalo m ediano modificados se hace mediante las siguientes expresiones:

[ (m - h) + 1 ]M = --------------------------------------- términoem

2

donde:

M = m ediana de m edianas modificadaem

h = núm ero de m edianas que quedan fuera de límites de control de proceso

[ (m - f) + 1 ]R = -------------------------------------------- términom

2

donde:

R = intervalo m ediano modificadom

f = núm ero de intervalos que quedan sobre el límite superior de control de proceso

E s importante indicar que al elim inar puntos, los restantes deben ordenarse para continuar con el análisis. En ocasiones, la eliminación de un punto provoca que el total de muestras sea impar, lo que ocasiona que el valor de la m e d ia n a no se en cu e n tre en el co n ju n to de dato s. Si esto ocurre se debe calcular la m ediana com o el prom edio de los valores extremos.

Por ejemplo, si quedan 20 subgrupos, la m ediana será el término 10,5°, el cual no existe. En este caso se calcula com o el promedio entre los términos de la posición 10° y 11°.


Al calcular el porcentaje de producto disconforme la desviación estándar se estim a com o:

c ’ = R / d2

S e g u im ie n to del g rá fic o

El procedim iento es el m ismo que se practica en el gráfico de prom edios e intervalos. S e debe tener especial cuidado respecto del com portam iento de la precisión de la característica y de la conservación de su norm alidad, por ser requisitos claves en la utilización de este tipo de gráfico.

Para entender m ejor este procedimiento se puede usar el flujograma I en el Apéndice III.

EJEMPLO 4.6

U na com pañía farm acéutica tiene problem as con el envase de uno de los ungüentos que fabrica, pues se ha detectado alguna variabilidad en el peso de cad a tubo. En el pasado se han hecho estudios y se ha com probado que esta variable se distribuye según la distribución normal. S e ha decidido aplicar un gráfico de control para constatar la hipótesis planteada.

La especificación del peso del tubo se establece en 15 ± 5 gram os. C o n el fin de hacer el análisis requerido se recolectó la inform ación m ostrada en el C u a d r o 4 .6 . S e tra ta de 2 7 m u e s tra s de ta m a ñ o 5, las c u a le s a p a re c e n ordenadas de m enor a m ayor en cada subgrupo.

SOLUCION


Los pasos del 1 al 5 se encuentran en el Cuadro 4.6.



CUADRO 4.6. Hoja de datos para el Ejemplo 4.6

Hoja de Datos - Gráficos de control Me, R Ungüento dermatológico Código: A385Artículo:

Característica: Peso Operación: Llenado del envaseOperario: J. SáenzFecha: 30-9-84 Turno: 1

Especificaciones: 15 + 5 g Máquina: LlenadoraInspector: M. BlancoHora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 1 de 1

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=

V I 5 a n 4 I d 3 o i 2 r v. 1

24.219.818.8 14,011.3

21.417.4 16,8 15,1 12,7

23.0 22,8 21,7 18,214.0

27.9 19,6 18,5 15,112.9

19,715.414.4 13,0 11,6

19,518,918,817.215.2

21,019.5 17,2 15,815.5

19.0 18,318.0 15,6 14,9

19,816.715.7 15,213.8

18,716,614.914.9 12,3

O

B

S

Mediana Intervalo R

18,812,9

16,88,7

21,79,0

18,515,0

14,48,1

18,84,3

17,25,5

18,04,1

15,76,0

14,96,4

E

Muestra # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20V

A

C

V I 5 a n 4 I d 3 o i 2 r v. 1

18.715.115.1 13,913.8

20,820,217,916,615,0

17.6 16,8 15,514.7 13,9

22,119.118.317.417.1

19.619.6 19,217.7 13,4

21.3 20,617.4 16,6 15,0

19,618,116.914.9 14,3

19.015.114.5 14,013.6

21,620.4 19,618.5 18,3

15.0 14,7 14,5 13,913.0

Mediana Intervalo R

15,14,9

17,95,8

15,53,7

18,35,0

19,26,2

17,46,3

16,55,3

14,55,4

19,63,3

14,52,0 O

Muestra # 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 N

V I 5 a n 4 I d 3 0 i 2 r v. 1

16.5 15,314.5 14,013.5

15,915,814,714,414,3

15.9 15,5 15,014.913.9

23.9 21,5 21,320.914.9

15.015.0 14,8 14,713.1

19.7 16,015.7 15,5 15,1

21,115,314,213,713,0

E

S

Mediana Intervalo R

14,53,0

14,71,6

15,02,0

21,39,0

14,81,5

15,74,6

14,28,2

n 2 3 4 5 6 8 9 10

A2 2,224 1,265 0,829 0,712 0,562 0,520 0,441 0,419 0,369

D3 0 0 0 0 0 0,078 0,139 0,187 0,227

D4 3,865 2,745 2,375 2,179 2,055 1,967 1,901 1,850 1,809

d2 0,954 1,588 1,978 2,257 2,472 2,645 2,791 2,916 3,024

CONTROL DE CALIDAD

a. Lím ites de contro l especificados

Especificación: M + T = 15 + 5 gram os

Para prom edios

L S E Mb = M + T / f f = 15 + 5/1(5 = 1 7 ,2 4 gram os

L C E Me = M = 1 5 ,0 0 gram os

L IE Me = M - T/ \frí = 1 5 - 5/ = 1 2 ,7 6 gram os

Para intervalos

L S E R = D 2* T/3 = 4 ,66 *5/3 = 7,79 gram os

L C E r = d2* T/3 = 2 ,257 * 5/3 = 3,76 gram os

L IE r = D 1*T/3 = 0 *5/3 = 0 gram os

D 2= 3 d 3+ d 2

= 3 (0 ,8 )+ 2,257

= 4,66

d 3 para n=5 tom a el valor de 0,8

P ara n=5, los valores de D 2, d2y D , se localizan en la hoja de datos en el C u a d ro 4.6.

b. Lím ites de contro l de l proceso

A n te s d e c a lcu la r e stos lím ites es ne ce sa rio lo c a liza r la m e d ia n a de m edianas y el intervalo mediano. Para ello es necesario ordenar los datos de m enor a m ayor. El C u a d ro 4.7 m uestra este ordenamiento.


CUADRO 4.7. Ordenamiento de mayor a menor de los datos intermedios

Muestra No. Mediana Muestra No. Intervalo

27 14,2 25 1,55 14,4 22 1,6

18 14,5 23 2,020 14,5 20 2,021 14,5 21 3,022 14,7 19 3,325 14,8 12 3,710 14,9 8 4,123 15,0 6 4,310 15,1 26 4,613 15,5 11 4,926 15,7 14 5,0

9 15,7 17 5,317 16,5 18 5,4

2 16,8 7 5,57 17,2 12 5,8

16 17,4 9 6,012 17,9 15 6,2

8 18,0 16 6,314 18,3 10 6,4

4 18,5 5 8,11 18,8 27 8,26 18,8 2 8,7

15 19,2 3 9,019 19,6 24 9,024 21,3 1 12,9

3 21,7 4 15,0

Localización de la m ediana de m edianas

(m + 1) 28M = -------------------------- término -= -----------término = 14 o valor

2 2


M e= 16,5 gram os

(m + 1) 28

R = término = --------------término = 14 o valor2 2

R = 5,4 gram os

Para m edianas

L S C Me= M e + A 2* R = 16,5 + (0,712 * 5 ,4) = 20,34 gram os

L C C M e = M e = 1 6 . 5 0 gram os

L IC Me = M e - A 2* R = 16,5 - (0 ,712 * 5 ,4 ) = 12,65 gram os

Para intervalos m edianos

L S C r = D 4*R = 2,179 *5,4 = 1 1 ,7 7 gram os

L C C r = R = 5,40 gram os

L IC r = D 3* R = 0 *5,4 = 0 gram os

Los valores y constantes utilizados están en el C uadro 4.6.




NUMERO DE LA MUESTRA

FIGURA 4.29. Gráfico Me,fí para el Ejemplo 4.6.



1. Aná lis is con respecto a l proceso


Gráfico R

C o m o se puede observar en la Figura 4.29 y en el Cuadro 4.7 las muestras N o . 1 y 4 se en cu e n tra n sobre el límite su p e rio r de control. S e recalcula el intervalo promedio.

26R m = ----------- término = 13 o términom

2

R m= 5,3 gram os

S e re c a lc u la so lo el lím ite s u p e rio r p u e s es el q u e se n e c e s ita para observar si hay m ás puntos fuera.

L S C r = D 4* R m= 2,179 * 5,3 = 11,55 gram os

C o m o se puede notar en la F igu ra 4 .2 9 ya no hay m ás puntos fuera de límites en el gráfico R y se eliminó solo el 7 ,4 % de las m uestras. S e procede entonces a analizar el gráfico de m edianas.

Gráfico Me


L S C Me = 15,7 + (0 ,712 * 5 ,3) = 19,48 gram os

L IC Me = 15,7 - (0 ,712 * 5 ,3) = 11,92 gram os


S e nota que las m uestras No. 19, 24 y 3 se encuentran fuera del límite superior. Por lo tanto se procede a eliminarlas.

25

M = término = 12,5° términoem

2

M em= 15,7 gram os

En este caso no es necesario buscar ei promedio de extremos, pues tanto el dato No. 12 com o el núm ero 13 tienen el valor de 15,7 gram os.


L S C Mem = 15,7 + (0 ,712 * 5,3) = 19,48 gram os

L I C M em = 15,7 - (0 ,712 * 5,3) = 11,92 gram os

Al observar de nuevo el gráfico se nota que ya no hay más puntos fuera. En cuanto a peculiaridades y tend encias se observan algunas tendencias que deben ser analizadas con detenimiento, tratando de identificar sus causas.

2. Análisis con respecto a especificaciones

Al com parar la situación de los límites de control de proceso finales y los límites de control especificados se nota que corresponde a la Situación 3. Por lo

que aplican las acciones ya citadas.

Al hacer el análisis de exactitud, de precisión y de porcentaje de producto

no conform e con especificaciones se tiene:

a. Exactitud

M = Me

15,0 = 15,7



H 0:p = 15,0

H a: g = 15,0

La Figura 4.30 m uestra la curva normal correspondiente.

a ’ = R/d?

a ’ = 5,3/2,257 = 2,348 gram os

1 5 ,7 -1 5 ,0Z = = 0,67

2,348

'■Í5


C om o se puede observar en la Figura 4.30, no existe evidencia estadística,

con a = 5 % , para recha za r la hipótesis nula. Por lo tanto, bajo las condiciones

a c tu a le s se p u e d e a firm a r co n 9 5 % de c o n fia n za q u e el p ro c e s o está

estadísticam ente centrado.

b. Precisión



a ’ > T/3

2.348 > 5/3

2.348 > 1,67


H 0: cr2 = 2,777

H :o 2= 2,777a ’

La Figura 4 .3 0 A m uestra la curva chi-cuadrado correspondiente.

( 5 - 1 ) 2 ,3482as2= -------------------------------------------- = 7,94

2,777

C o m o se puede observar en la Figura 4.30, no existe evidencia estadística, con a= 5 % , para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, bajo las condiciones a c tu a le s se p u e d e a firm a r c o n 9 5 % de c o n fia n z a q u e el p ro c e s o es estadísticam ente preciso.

c. Porcentaje de producto disconforme

FIGURA 4.30A. Curva chi- cuadrado para la prueba de hipótesis

c '.= 5 ,4 /2 ,2 5 7 = 2,393

o ’f= 5,3/ 2,257 = 2,348


Las F ig u ra s 4.31 y 4 .32 m uestra n las curva s norm ales u sada s para el cálculo del porcentaje de producto fuera de especificaciones.

A , = P ( x < 10,0 ) = N ((1 0 ,0 - 16,5)/2,393) = -2,72

A , = 0 ,0033 ó 0 ,3 3 %

A 2= P ( x > 2 0 ,0 ) = 1 - N ( (2 0 ,0 -1 6 ,5)/2,393) = 1 -N (1 ,4 6 )

A 2= 1 - 0 ,9279 = 0,0721 ó 7,21 %

El porcentaje de producto disconform e total inicial es 7,54 % .

A , = P ( x < 10,0 ) = N ((10 ,0 - 1 5,7)/2,348) = -2 ,43

FIGURA 4.31 Cálculo del porcentaje disconforme inicial.


JORGE ACUÑA ACUÑA

A , = 0 ,0075 ó 0 ,7 5 %

A 2= P ( x > 20,0 ) = 1 - N ((2 0 ,0 - 1 5,7)/2,348) = 1 - N (1 ,83)

A 2= 1 - 0 ,9664 = 0 ,0336 ó 3 ,3 6 %

El porcentaje de producto disconforme total final es 4,11 % .

C o m o se puede concluir del análisis realizado, la eliminación de causas asignables ayuda a disminuir el porcentaje de producto diáconforme de 7 ,5 4 % a 4 ,1 1 % . Sin e m bargo, a unque la característica en estudio ha m ostrado ser e sta d ística m e n te e x a cta y p re cis a , es n e ce sa rio e v a lu a r si se requieren m ejoras para elevar el nivel de calidad de este proceso.

Uno de los aspectos claves en la administración de gráficos de control es el diseño de formatos que ayuden en la toma de decisiones cuando se tengan que ejercer acciones preventivas y correctivas.

A lg u n a de esta in fo rm a ció n se refiere a re s p o n s a b ilid a d e s , tipo de a cc io n e s, c la se de a cc io n e s , d e s crip c ió n de e sa s a c c io n e s y sob re todo ra zo n e s del p o r q ué de estas a c c io n e s . D e b e c o n v e n c e rs e a quien tom a decisiones del p orqué de ellas. Si los operarlos son los encargados de llevar los gráficos, es m uy im portante entrenarlos y darles a co n o cer las acciones por

seguir cuando se identifiquen situaciones anóm alas en los gráficos.

G R AFICO DE S U M A S A C U M U L A D A S

Los gráficos de sum as acum uladas se basan en la prem isa de que c a m bios pequeños de exactitud no pueden ser detectados fácilmente usando los gráficos convencionales. Si esto se lograra se necesitaría graficar una gran cantidad de puntos para detectar el cambio, acción que sería tardía y de tipo correctivo. En un gráfico de sum as acum uladas se acumulan diferencias entre el valor obtenido de cada prom edio m uestral y el prom edio esperado. El objetivo es lograr una estabilidad del proceso en cuyo caso esas diferencias deberán ser cero.

C ualquier cam bio en el nivel del proceso dará origen a un valor positivo o negativo de la sum a acum ulada, ello depende de la pendiente del cambio. Si el


cam bio persiste, el valor absoluto de la sum a acum ulada deberá aum entar y

ese efecto hará aparente la situación, con lo que se pueden tom ar las m edidas p re ve n tiva s del ca so . Si el ca m b io no es significativo, la su m a a cu m u la d a tenderá a cero en forma rápida.

U n o de los pro b le m a s de los gráficos de control co n ve n c io n a le s es el hecho de que las decisiones están basadas en igualdad de condiciones, tanto para las primeras muestras com o las últimas. Al representar con ellos una serie de tiempo, debería ponérsele más atención a los datos m ás recientes, cosa que se puede lograr con los gráficos de sum as acum uladas. Los gráficos de sum as acum uladas, cuyo objetivo primario es m antener el control del proceso en las m ejores condiciones, son definitivamente m ás baratos. C o n estos gráficos es p o sib le identificar c a m b io s en el p ro c e s o c u a n d o ésto s son re p e n tin o s y g e nerado s por condiciones que se han venido acum ulan do en el tiem po. La Figura 4.33 m uestra la representación de tendencias en este tipo de gráfico.

En la F ig u ra 4 .3 3 se refleja un im p o rta n te c a m b io al v a ria r a lg u n a s condiciones. Esto obliga a tener una regla de decisión con el fin de calificar la m agnitud del cam bio y evaluar si éste es realm ente im portante o por lo co n trario no implica acciones inmediatas. En otras palabras esta regla cum plirá la misión de los límites de control en gráficos tradicionales.

La sum a acum ulada se calcula al acum ular las diferencias de los pro m e

dios re c o le cta d o s con el va lo r n o m inal, ya sea en u n id a d e s s im p le s o en unidades de error estándar.

La regla de decisión que se usa estab lece el tipo de gráfico de su m a s acum uladas. En esta ocasión se presentan dos tipos que son la m áscara V y el intervalo de decisión h.

Dado que estos gráficos solo controlan exactitud se debe definir qué tipo de gráfico se va usar para controlar pre cisión , puede se r un gráfico R o un gráfico a. Tam bién es posible decidir no controlarla si ésta no es un problema en

la característica en estudio.

Si se desea se puede construir, para la m ism a inform ación, el gráfico de control de prom edios para observar la gran eficacia de un gráfico C U S U M en

detección de cam bios en el centro del proceso.


(/)LüZOo<>i rUJc/)ODo

E>-

Figu

ra

4.33

. R

epre

sent

ació

n de

un G

ráfic

o C

US

UM

.


Máscara V

Este gráfico usa com o m edida de evaluación del cam bio una plantilla en form a de V cuya función es detectar si la pendiente de un cambio registrado es significativa o no. Este es un procedimiento de decisión de dos extrem os (control bilateral) pues controla tanto cuan do la pendiente de cam bio es positiva com o negativa. El m étodo consiste en colocar la plantilla en un punto determ inado y si algún punto graficado anteriorm ente queda debajo de la plantilla se evidencia un cam bio importante a partir de él. Si ello ocurre se mide la magnitud del cam bio y se tom an las acciones correctivas y preventivas que se ameriten.

La F ig u ra 4 .3 4 m u e stra un e je m p lo de esta plantilla. C o m o se puede o b s e rva r esta qu e d a definida al co n o ce r la m agnitud de la distancia d y dei ángulo 0.


El procedim iento para la construcción de este gráfico es el siguiente:

1 . Selección de la variable. Este debe ser necesariam ente un paso ya ejecutad o a tra vé s de la identificación de ca ra cte rística s de calida d e m pleando el diagram a de Ishikawa y el paretogram a. Sin em bargo, en este

FIGURA 4.34. Ejemplo de una máscara V.


caso debe haberse com probado que existe la necesidad de controlar más de cerca la exactitud del proceso. E s Importante definir aquí el gráfico que se va a usar para controlar variabilidad.

2. Definición del marco de muestreo y método de selección. E s n ecesario definir el lugar de donde se extraerán las m uestras, sea éste lotes producidos o m áquinas en proceso. Se siguen los m ismos procedimientos explicados para los gráficos tradicionales

3. Determinación del número de subgrupos o muestras (m). La determinación de este núm ero se debe hacer de tal m anera que la probabilidad de d e te cta r c a u s a s a s ig n a b le s entre las u n id a d e s que co n fo rm a n la m uestra sea la m ín im a posible, pero la m áxim a entre m uestras o su b grupos. Esto se logra si se cum plen las condiciones de representatividad del m uestreo. La experiencia en el uso de este tipo de gráficos dicta que este núm ero debe ser m ayor a veinte.

4. Determinación del tamaño del subgrupo o muestra (n). Es m uy importante que la selección de esta muestra sea aleatoria y que la frecuencia de toma de ella se haga sobre la base de los beneficios esperados y el costo de evaluación de calidad generado. Si se usa el intervalo com o medida de dispersión, la experiencia dicta que el tam año no debe ser m ayor que diez unidades.

5. Recolección de información. U na vez diseñado el esquem a de muestreo se procede a la recolección de datos, ejecución de mediciones y cálculo de medidas estadísticas. E s importante en este paso hacer uso de un formato adecuado que presente la información ordenada para su análisis. S e puede usar aquí el formato de un gráfico de promedio e intervalo o de promedio y desviación estándar, según cual sea el gráfico para controlar precisión.

El cálculo que se efectúa es el de la sum a acum ulada. Existen dos formas de calcularlo: usando diferencia simple o unidades de error estándar. Cada analista decide cuál usar. Las expresiones son las siguientes:

• Diferencia simple

m _Ym=T(vM)

i=1


• Unidades de desviación estándar

m _Y m= I t (x ,-M )/ a ; ]

i=1

en donde:

Y = S u m a acum uladam

xi = V alor del prom edio de la m uestra i

M = prom edio especificado o prom edio deseado

o = error estándar del muestreox

6. D is e ñ o d e la p la n tilla . T a l y com o se indicó anterio rm ente la plantilla queda diseñada cuando se conocen los valores de d y de 0. Existen dos form as de cálculo según se conozca o no la desviación estándar.

a. M áscara Vpara variables norm alm ente distribuidas

Procedim iento A . o conocida (D u n c a n ,1 989)

Para d iseñar gráficos en este caso se con oce o ’ y se dice que es c o n s tante. Para la m áscara V los valores de d y 0 se calculan de la siguiente forma:

d= h/tan 0

0= t a n 1(k-m )/w

donde

w = factor de escala. E s la razón de una unidad de distancia en la escala horizontal con respecto a una unidad de la es"ala vertical.

Este m étodo requiere que antes se aplique el con cepto de intervalo de decisión h con el fin de en co n tra r los va lo re s aq u í requeridos. Este p ro c e

dimiento se verá m ás adelante.

JORGE ACUNA ACUNA

b. M áscara Vpara variables norm alm ente distribuidas

Procedim iento B. o desconocida (D uncan, 1989)

Los valores de d y 6 se calculan con base en dos parám etros que son el error tipo I (a ) y el cam bio esperado en el proceso (8).

El valor de 5 se calcula en unidades de error estándar al dividir la diferencia requerida para detectar cam bios (D ) por el valor del error estándar. La diferencia D representa al núm ero de errores estándar que se desea detectar con la m áscara. Así:

S = D/a

o - = o ’ / V ñ

& : estimación de o

Obtenido ese valor se calcula d com o:

d = ( - 2 / 82) Inoc

El valor de 0 se calcula com o:

0 = arctan (8/2) si w es igual a 1

0 = arctan[1/(2t)]o

0= arctan [1/(2ws)] para w diferente de 1

donde:

t: es el cociente entre o - y w (t = o - / w )

w: factor de escala (w = escala y / escala x)

Seguimiento del gráfico

En este gráfico no existe un análisis por separado, pues este se realiza en la etapa de seguimiento. La razón es que se debe tom ar una decisión por cada punto que se gráfica.


C on el fin de ver si existe un cambio significativo durante el seguimiento del gráfico y a la v e z evaluar el diseño de la m áscara se coloca ésta sobre cada punto del gráfico a partir del s e g u n d o . Si ningún punto que da oculto por la m áscara, se dice que no hay cam bios significativos, si por el contrario un punto o m ás quedan ocultos, se afirma que un cam bio importante se ha generado a partir del intervalo de tiempo en el cual fue recogida esa muestra.

Esta m áscara puede ser usada para conocer la m agnitud del cam bio en el prom edio del proceso. Para ello la m áscara se pivotea alrededor del punto analizado. Si se pu e d e localizar una posición tal que los últim os t puntos caigan dentro de la m áscara V cuando estos t puntos incluyen al m enos los puntos cu biertos cuan do la m áscara estaba horizontal, entonces la dirección de la línea O P en su nueva posición pueder ser usada para m edir el incremento en el promedio del proceso. Para aclarar este concepto se puede observar la Figura 4.35.

U n a form a de calcular la m agnitud real de cam bio es e ncontran do una línea de regresión con los valores de los puntos com prendidos entre el punto de análisis y el punto a partir del cual se detecta el cam bio, incluyéndolos. Sea:

Y c = b o + b , x

donde:

I x 2 * Xy - Xx * Xxyb o = -----------------------------------------------------------------

nX x2- ( I x ) 2

nXxy - Xx * Xyb, = -------------------------------------------------------------

n X x2- ( X x ) 2

C o m o b ^ y / x entonces 6 = arctan b ,-1

U tiliza n d o cualquiera de las e x presiones de 9 vistas anterio rm ente se

despeja el valor de 5 y con él se calcula el valor de D.

D = 6* o -

Esta magnitud significa el verdadero valor de D que la m áscara detectó en

la zo na donde ocurrió el cam bio.


Línea trazada a mano a lo largo de los 6 últimos / » puntos \ /

/ ®

//

Puntos cubiertos por extensión de la mascarilla en la posición horizontal en P

- i 1---------1-------- 1--------- 1 i i i i i i iNúmero de observación

FIGURA 4.35. Magnitud real de cambio.

EJEMPLO 4.7

U n a característica de calidad debe cum plir con el valor nominal de 50,0 g ra m o s y se ha e s tim a d o una d e s v ia c ió n e s tá n d a r de 2 ,0 g ra m o s . P a ra observar tendencias en el cumplimiento con ese valor nominal se desea diseñar una M á sca ra V , para la cual se han to m a d o los dato s del C u a d ro 4 .7 que corresponde a prom edios de m uestras de tam año n=4.

Presente un gráfico C U S U M en sus diferentes etapas que pueda detectar cam bios de un error estándar. U sa r a = 0 ,1 3 5 %

SOLUCION


Los pasos del 1 al 4 han sido previamente ejecutados. Por lo tanto, se procede a calcular las sum as acum uladas. El Cuadro 4.8 presenta estos cálculos.



No. Promedio No. Promedio No. Promedio No. Promedio

1 51,6 6 50,1 11 50,4 16 51,12 50,4 7 48,6 12 52,1 17 49,93 48,9 8 50,8 13 49,8 18 52,44 49,3 9 49,8 14 52,4 19 52,95 51,6 10 48,6 15 51,9 20 51,4

Estos valores se grafican según se muestra en la Figura 4.37 para obtener el gráfico de sum as acum uladas.

D ado D=1 entonces: 5= DI cs-= 1 /1,0 = 1,0

Oj = 2,0/^4 = 2,0/2 =1,0

El factor de escala w = escala en y / escala en x = 2/1 = 2

0 = arctan [1/(2t)]

t =1/1/2 = 2

0 = arctan [1/(2*2)]

0 = arctan [0,25]

0 = 14°

-2 -2d = Ina = In (0,00135)

(12) 2

d = -2 (-6 ,6 )

d = 13,1

D a d o que la escala es de dos a uno se divide el va lo r de d por d o s para conocer la magnitud real de esa distancia. Así, el valor de d es:

JORGE ACUÑA ACUÑA

CUADRO 4.8. Cálculos para el Ejemplo 4.7

No. X x -5 0 (x - 50)/1,0

1 51,6 1,6 1,6 1,62 50,4 0,4 0,4 2,03 48,9 -1,1 -1,1 0,94 49,3 -0,7 -0,7 0,25 51,6 1,6 1,6 1,86 50,1 0,1 0,1 1,97 48,6 -1,4 -1,4 0,58 50,8 0,8 0,8 1,39 49,8 -0,2 -0,2 1,1

10 48,6 -1,4 -1,4 -0,311 50,4 0,4 0,4 0,112 52,1 2,1 2,1 2,213 49,8 -0,2 -0,2 2,014 52,4 2,4 2,4 4,415 51,9 1,9 1,9 6,316 51,1 1,1 1,1 7,417 49,9 -0,1 -0,1 7,318 52,4 2,4 2,4 9,719 52,9 2,9 2,9 12,620 51,4 1,4 1,4 14,0

d = 6,6

La Figura 4 .36 m uestra la m áscara V para este ejemplo y la Figura 4.37 p re senta la m á s c a ra co lo ca d a en uno de los punto s graficados. H ay que recalcar que esta m áscara no se dibuja sino que se desliza sobre el gráfico C U S U M .


C on el fin de analizar posibles cam bios de tendencia se coloca la máscara V sobre cada uno de los puntos del gráfico. Al hacer esto, el primer cambio se


detecta en la m uestra N o. 15, pues la m uestra No. 10 que da oculta. Esto se puede ver en la Figura 4.37.

Si se hubiera construido el gráfico de promedios hubiere sido difícil detectar un cam bio en la muestra No. 15, a pesar de que la tendencia general refleja algún cam bio importante en el prom edio del proceso. La Figura 4.38 presenta el gráfico correspondiente en el que se puede observar lo antes apuntado.

La m agnitud de cam bio detectada se calcula usando el valor de la sum a a c u m u la d a c o rre s p o n d ie n te a las m u e s tra s de la N o . 10 a la N o . 15. La información se presenta en el Cuadro 4.9.

b 0 = -

91 (1 4 ,7 )-2 1 (74,3)

6 (9 1 ) -2 1 2- = -2 ,12

6 (7 4 ,3 ) - 2 1 (14,7 )

6(9 1 ) -2 1 2

La ecuación es:

Luego:

1,31

Y = -2 ,1 3 + 1,31xC ’

y/x = 1,31


FIGU

RA

4.37

. G

ráfic

o de

sum

as

acum

ulad

as

para

el

ejem

plo

4.7.

XII


FIGURA 4.38. Gráfico de promedios para el Ejemplo 4.7.

CUADRO 4.9. Cálculos para análisis de regresión

Muestra X y xy X2

10 1 -0,3 -0,3 111 2 0,1 0,2 412 3 2,2 6,6 913 4 2,0 8,0 1614 5 4,4 22,0 2515 6 6,3 37,8 36

Total 21 14,7 74,3 91

JORGE ACUNA ACUÑ, 333

0 = arctan 1/1.31 = 37,35°

C o m o :

0 = arctan 1/(2w6)

Entonces:

37,35° = arctan 1/(2w6)

0,7631 = 1/(2w s)

1,5262 w 8=1

w 8= 0,6552

D ado que w =2 y 0^=1

2 5 = 0,6552

Slog 2 = log 0,6552

log 0,65525 = --------------------------------------

log 2

5= -0,61

D = a x *5 = 1 * (-0 ,6 1 ) = -0,61

Esto quiere decir que el gráfico ha sido ca p a z de detectar en la zo na de análisis una m agnitud de cam bio de ±0,61 en lugar de +1 tal y com o se había estipulado.

C u rv a A R L

U n o de los aspectos importantes de analizar es el núm ero de puntos que se necesitan graficar para detectar un cambio en la dirección del proceso. Para ello, se utiliza una curva A R L .

Si un proceso com ienza a producir con el valor M y posteriormente cam bia en una cantidad d> y si este cam bio persiste hasta ser detectado, el núm ero de


puntos de muestra que sobre el promedio tendrán que ser graficaaos antes de que el esquem a de control detecte un cam bio es Ñamado Longitud Promedio de la C orrida (A v e ra g e R u n Le n gh t A R L ). P a ra construir esta cu rva se usa el nom ogram a de la Figura 4.39.

Para iniciar se fija un nivel de calidad m a que se considera el nivel de calidad aceptable y que a d e m á s existe otro nivel de calidad m r, m a yo r que m a, considerado la peor calidad y que por lo tanto será rechazado. Adem ás, se tiene que k= (m a+ m r)/2 y que ios valores de o ’, n y h son conocidos.

E n t o n c e s , c o n lo s v a lo r e s de k, m , n y a ’ se lo c a liz a el v a lo r de’ ’ a ’ Jy = Ik - m j J ñ / a ’ en la esca la de la d e re ch a . C o n los valo res de h, n y a ’ se

localiza el valor de Í2=h /o’en la tercera escala. El punto que se obtiene en la

escala de Laal unir los dos puntos correspondientes a los dos valores anteriores es la longitud de la corrida para el nivel de calidad aceptable.

El m ism o procedimiento se sigue para encontrar Lrpero sustituyendo rn e n la posición de m. La curva se obtiene dándole valores a m m enores que k para encontrar Lay m ayores que k para encontrar L r. El núm ero de puntos debe ser tal que permita identificar la suavidad de la curva.

EJEMPLO 4.8

Para una característica determ inada el nivel de calidad aceptable m aes 107, el nivel de calidad rechazable m res 113. La desviación estándar estimada es o ’= 1 0. El valor de h se ha fijado en h=9,5 y el tam año de la muestra es de 9. C o nstru irla curva A R L para valores de m entre 107 y 113.

SOLUCION

Para construir la curva se necesita determ inar los valores de L ay L rcon valores de m dados usando la Figura 4.39.

El C u a d ro 4.10 presenta los pares ordenados para la construcción de la curva.

o =

JORGE ACUÑA ACUÑA

I k-m l / ñ / o ’

Loi - 100

h 1 5 0

-200

- 2 5 0

3 0 0

3 5 0

4 0 0

• 4 5 0

5 0 0

5 5 06 0 06 5 07 0 07 5 08 0 0

9 0 0

^ lO O C

FIGURA 4.39. Nomograma para construir la curva ARL.

335

La Figura 4.40 presenta la curva A R L correspondiente. En ella se puede

ob se rva r cóm o conform e los valores de m tienden al valor rechazable m r, la

cantidad de puntos que es necesario graficar son pocos.

CONTROL DE CALIDAD

CUADRO 4.10. Pares ordenados para construirla curva ARL

m y L

107 0,9 740108 0,6 155109 0,3 50111 0,3 9,5112 0.6 5,5113 0,9 4,0

FIGURA 4.40. Curva ARL para el Ejemplo 4.8.

Si se d e sea detectar cam bios en el pro m e dio del pro ceso en una sola dirección, sea ésta ascendente o descendente, existe un m étodo m ás ágil y sencillo, llamado intervalo h.

P a ra trabajar con este m étodo se e sco g e un va lo r de referencia k, se calculan las sum as acum uladas con diferencias entre los promedios y el valor de k. El valor de k es un valor m ayor que el valor nominal especificado.

El procedim iento original de este m étodo permitía decidir cuando el prom edio del proceso había cam biado hacia uno de los lados. C u a n d o el gráfico era usado para detectar un cambio con pendiente positiva, la regla de decisión consistía en com parar el último punto graficado con el graficado inicialmente. Si la diferencia excedía una cantidad especificada h, entonces la conclusión era que un cam b io im po rtante ha b ía ocurrido. El p ro b le m a con esto es que el gráfico podía detectar cam bios insignificantes.

Ante ello se cam bió el procedimiento y ahora las acciones y decisiones se toman tan pronto com o la sum a acum ulada excede el valor de h. Si ello ocurre, se dice que el proceso ha cam biado por arriba de k. Si la sum a acum ulada cae por deb ajo de cero la serie se ro m pe y se inicia una n u e va . La F igu ra 4.41 muestra lo apuntado.

Si se usa un valor de k m enor que el valor nominal la situación es la misma pero el análisis se hace con respecto a un valor de h negativo.


El procedim iento para la construcción de este gráfico es el m ism o usado para la M áscara V . La s diferencias se dan en el paso 4 donde el cálculo del tamaño de la muestra se hace con base en el nom ogram a de la Figura 4.39 y en el paso 6 el cual se describe a continuación.

Paso 6. Cálculo del intervalo de decisión h

En el caso de un esquem a, por un lado se necesita conocer n y h. Para ello, con las condiciones dadas de A R L para m ay de A R L para m f, k y o , se puede


encontrar el valor de n usando el nom ogram a. Esto se hace localizando el valor de y=lk-m alVn/0 ’ y despejando para n. Si n es decimal se deben probar los dos extremos con el fin de ver cuál está más cerca de las condiciones pedidas. Para esto, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Se determina k=lm +m I/2a r

2. S e localiza en la Figura 4.39 el valor de y=lk-M Nn/a’ usando los valores de L y L dados.

a J r

3. C o n el valor de y se calcula n com o:

n = (y-o’/lk-m i)2

4. S e redondea el tam año de la m uestra y se localiza en la F igu ra 4 .3 9 el nuevo valor de y=lk-m lVn/o’, con el valor de Ladado.

5. C o n el va lo r o b te n id o en 3 se lo c a liza en la m is m a figura el v a lo r de 0=fWn/rr


6. C o n el valor de Q. se calcula h com o:

h = Q * o ’A/n


S e toma el valor de h y se representa en el gráfico de sum as acum uladas construido con el tam año de muestra diseñado.

Seguimiento del gráfico

En este m étodo, al igual que en la M áscara V , no existe un análisis del gráfico, pues el análisis se hace durante la etapa de seguimiento. C a d a punto que se gráfica se com para con h y se tom an las decisiones antes apuntadas.

EJEMPLO 4.9

Para un gráfico C U S U M se tienen los siguientes parám etros: m a=100, m = 1 10, La=500 y L = 5 . La desviación estándar se ha estimado en cr’= 1 0.

Determ inar los valores de h y n para utilizar ese gráfico C U S U M mediante el m étodo del intervalo de decisión.

SOLUCION

1. El valor de k es:

k = 1110+1001/2 = 105

2. S e localiza en la Figura 4.39 el valor de y usando La=500 y L = 5 .

y=lk-mlVn/cr’=0,742

3. El valor de n es:

n = [ 0,742*10/5]2= 2,20

Es decir, n está entre 2 y 3

CONTROL DE CALIDAD

Debe hacerse el cálculo con am bos valores

a. Si se tom a n=3 entonces:

■^=lk-MlVn/a’= 0,866

5. C o n y=0,866 y La=500 se tiene 0 = 2 ,7 2

6. El valor de h será:

h= 2 ,7 2 (1 0)/1,732= 15,7

Esto quiere decir que se debe construir el gráfico de sum as acum uladas restando el valor de k a prom edios obtenidos de m uestras de tres unidades. Si la serie se hace negativa, ésta se rom pe y se inicia de nuevo. Por otro lado, si la sum a acum ulada excede el valor de h=15,7 se dice que ha habido un cam bio significativo en el prom edio del proceso, por lo que se puede actuar de inmediato.

Si se localiza Lr usando La=500 y £1=2,72 se tiene L = 3 ,9 , valor que es m ás bajo que el d e s e a d o de L = 5 . Si se localiza Lau s a n d o L = 5 y A = u ,8 6 6 el valor de Laobtenído es dem asiado alto en relación con el requerido de La=500.

b. Si se tom a n=2 entonces:

7 =lk-ml/Vn/o’= 1105-100IV2/10 = 0,707

5. C o n La=500 y £2=hVn/o’=3,35

6. El valor de h es:

h= 3,35 (10)/V2 = 23,7

Esto quiere decir que se debe construir el gráfico de sum as acum ula das restando el valor de k a prom edios obtenidos de m uestras de dos unidades. Si la serie se hace negativa, ésta se rompe y se inicia de nuevo. Por otro lado, si la sum a acum ulada excede el valor de h= 2 3 ,7 se dice que ha habido un cam bio significativo en el promedio del proceso.

Si se localiza Lrusando L a=5 0 0 y Q = 3 ,3 5 se tiene L =5,5, valor que es m á s bajo que el d e s e a d o de L = 5 . SI se lo c a liza L au s a n d o L = 5 y 7=0,707 el va lor de Laobtenido es dem asiado alto en relación con el requerido de La=500.

JORGE ACUÑA ACUÑA/ l 341

///

I

D a d o que el tam año de m uestra de dos e lem en tos brinda el valor m ás ce rca n o de L a l va lor requerido, eTgráfico C U S U M usará m uestras de tam año 2, usando k=105 y un Intervalo de decisión h=23,7.

Capacidad de proceso

Uno de los requisitos indispensables en control de proceso es conocer cuál es la capa cid ad de calidad que ese pro ceso tiene para la característica en estudio. El fin de ésto es saber si se pueden adquirir com prom isos para producir con tolerancias ajustadas o si por lo contrario se desiste de ello.

S e conoce com o capacidad de proceso el grado de variabilidad con que un proceso o una m áquina genera una característica de calidad al ejecutar una operación determ inada.

Al conocer la capacidad de un proceso se puede predecir cuál es el nivel de calidad del producto. Por ello, al hacer el estudio es importante cerciorarse de que la m áquina está produciendo bajo condiciones norm ales y adem ás el analista debe co n o ce r a fondo el equipo al que se le está determ ina ndo su capacidad. Si no es así, debe asesorarse por quien conozca el comportamiento de ese proceso. La razón es que nunca la capacidad de un proceso es la que se obtiene al Inicio del estudio, sino aquella lograda después de varias pruebas al variar condiciones y hacer cam bios.

La capacidad de proceso se define com o la extensión m ínim a de variación de la característica, que garantiza un 9 9 ,7 4 % de la producción dentro de ella. Se gú n ésto, la capacidad se calcula com o:

K = ± 3 o ’= 6 a ’

donde:

a ’= desviación estándar estim ada para la característica en estudio

El cálculo de la capacidad de proceso cobra aún m ás importancia cuando secom para con la especificación para evaluar el cumplimiento. Esta com paración se puede hacer a través de las pruebas de exactitud y precisión. Sin em bargo, lo m ás usado es el índice de capacidad de proceso, el cual se calcula com o:

I V S E -V | E cp 6 a ’


Lógicam ente la condición favorable de este índice se da cuando tiende a +°°, que se origina cuando la variabilidad decrece. Si este índice es m enor que uno estam os ante un problem a de incum plim iento de la especificación y entre m e n o r s e a , m a y o r s e rá el p o rc e n ta je de p ro d u c to d is c o n fo rm e c o n la especificación.

U no de los principales beneficios de encontrar la capacidad del proceso es que a través de ella se puede determ inar el costo necesario o innecesario del control. A sí, se pueden presentar tres casos:

Caso 1. Proceso innecesariam ente caro

Este el ca so en que se está tra baja ndo con un pro ceso que su p e ra las exigencias de calidad dad as por la especificación, la cual se pre senta m ás am plia de lo que el proceso produce. La Figura 4.42 representa esta situación. El valor de lcpes m ayor que uno.

Caso 2. Proceso en estado de contro l

Este el caso en que se está trabajando con un proceso que se encuentra en el límite de cum plim iento con la especificación. Esto representa un peligro p o r c u a n to un c a m b io por p e q u e ñ o que sea p u e d e p ro v o c a r p ro d u c c ió n defectuosa. La Figura 4.43 representa esta situación. El valor del I es igual o cercano a uno.

VSE

V IE

FIGURA 4.42. Representación gráfica del Caso 1.


Caso 3. Proceso fuera de contro l

E n este ca so , la s ituación es g ra ve y d eb e b u sc a rse una solución in mediata, pues no se está cum pliendo con la especificación. De hecho se está generando producto fuera de especificaciones que será de gran volumen cuando la especificación se cierre considerablem ente. La Figura 4.44 representa esta situación. El valor del lcpes m enor que uno.

FIGURA 4.44. Representación gráfica del Caso 3.


La capa cid ad de pro ceso se calcula m ediante el procedim iento que se explica a continuación:

1. R eco le cta r no m e n o s de 50 o b s e rva cio n e s en form a co n se cu tiva o en intervalos de tiem po o can tida d. P u e d e usarse la te o ría de m uestre o estadístico si se desea determ inar un tam año de m uestra con adecuadas bases estadísticas. Al ejecutar esta actividad debe cerciorarse que se esté trabajando bajo condiciones normales. No deben hacerse ajustes durante esta tarea.

2. Efectuar un estudio de distribución de frecuencias de datos agrupados.

3. Calcular una estimación de la desviación estándar y de la media aritmética de la variable a partir de la distribución de frecuencias realizada en el paso anterior.

4. P ro b a r la n orm alidad de la variable m ediante la p ru e b a de bon d a d de ajuste.

5. Calcular la capacidad instantánea de proceso com o:

K ’ = 6 * o ’

6. Hacer la com paración con especificaciones usando el análisis de exactitud y precisión.

Al hacer este análisis pueden suceder dos cosas:

a. que la variable esté dentro de especificaciones

b. que la variable esté fuera de especificaciones

Si sucede lo expresado en a., se continúa con el Paso 7.

Si sucede lo expresado en b., se deben hacer los ajustes del caso y repetir el estudio a partir del Paso 2. Si después de varios intentos no es posible pasar al Paso 7, se puede continuar con el fin de conocer la capacidad real del proceso a sabiendas de que no se cum ple con especificaciones

7. C on los valores de x’ y a ’, se calculan límites de control iniciales de proceso para i in gráfico de control de prom edio e intervalo o cualquier otro gráfico que se desee, con un tam año de muestra escogido y aplicado en el Paso 8. Los límites de control de proceso son:

l s i r = d 2'

l c i r = d2*o ’

l Ur = D V

Para promedios

L SI - = x ’ + iVn

L C C - = x ’X

i i. “ 3 o ’L - = x —Vn

donde:

LSI = límite superior de control inicial

LC I = línea central de control inicial

Lll = límite inferior de control inicial

8. R e co le c ta r la inform ación n e c e sa ria para el análisis de un gráfico de control de promedios e intervalos. S e siguen aquí los pasos ya conocidos.

9. A nalizar el gráfico usando los límites de control iniciales calculados en el P aso 7. Si no aparecen puntos fuera de límites significa que el proceso es capaz de m antener su exactitud y precisión iniciales. Si se desea, se puede construir el gráfico de control con el fin de e va lu a r tend encias y p e c u liaridades. Sin em bargo, lo que interesa aquí es estim ar la capacidad del proceso con base en exactitud y precisión controladas más que en ejercer acciones, tal y com o ocurre al aplicar estos gráficos en forma separada.

10. Calcular los límites de control del gráfico analizado en el Paso 9, pero con los valores recolectados en el Paso 8. S e debe analizar de acuerdo con el p rocedim iento antes descrito en la sección del gráfico de pro m e dio s e

intervalos.


11. Calcular la capacidad de proceso k, una ve z concluido el análisis. Para ello, se usa la siguiente expresión:

6*RK = 6*cr = ---------

d 2

12. C o m p ro b a r si el proceso es capa z de m antener la capacidad instantánea m ostrada al inicio del estudio. Esto se hace a través de una p ru e b a de hipótesis de dos varianzas com parando k’2con k2.

13. C a lcula r el índice de capacidad de proceso y sacar las conclusiones del caso.

Este procedimiento se puede visualizar mejor en el Flujogram a No. 3 en el A péndice IV.

EJEMPLO 4.10

E n un taller m e cá n ico se p ro d u ce una p ie za cilindrica , cu yo d iám etro externo debe cum plir con una especificación de 9,40 ± 0,15 cm.

Para encontrar la capacidad instántanea del proceso se ha efectuado la d is tr ib u c ió n d e f re c u e n c ia s q u e se p re s e n ta en el C u a d r o 4 .1 1 , y q u e corresponde a una muestra de 100 observaciones.

D ado que se cum ple con especificaciones, se recolectó la información del C u a d ro 4 .12 b ) con el fin de determ inar la capacidad del proceso. Utilizando el procedim iento presentado anteriormente determ ine si el proceso es ca p a z de m antener la capacidad instantánea inicial.

SOLUCION

Los pasos 1 y 2 ya han sido realizados.

Paso 3. Estim ar el prom edio y la desviación estándar

x ’ = 9,39 + (39/100) * 0,03 = 9,40 cm

o ’ = 0,03 -y (2 2 9 /100) - (3 9 /1 0O)2 = 0 ,0 4 4 cm


CUADRO 4.11. Distribución de frecuencias del Ejemplo 4.10

L. Xk d n„d nkdz

9,285 9,315 9,29 9,31 9,30 3 -3 -9 279,315 9,345 9,32 9,34 9,33 8 -2 -16 329,345 9,375 9,35 9,37 9,36 12 -1 -12 129,375 9,405 9,38 9,40 9,39 33 0 0 09,405 9,435 9,41 9,43 9,42 21 1 21 219,435 9,465 9,44 9,46 9,45 14 2 28 569,465 9,495 9,47 9,49 9,48 9 3 27 81

T O T A L 100 39 229

CUADRO 4 .12a. Frecuencias observadas y esperadas

L, L, n„ K - e J K - e kl2/ek

-o o 9,315 3 11 2,23 10,11 0,89 0,07839,315 9,345 8 7,889,345 9,375 12 17,87 5,87 ' 1,92819,375 9,405 33 25,95 7,05 1,91539,405 9,435 21 24,45 3,45 0,48689,435 9,465 14 14,25 0,25 0,00449,465 + o o 9 5,40 3,60 2,4000

as2= 6,8129

P a s o 4. E l C u a d r o 4 .1 2 a ) p re s e n ta las f re c u e n c ia s o b s e rv a d a s y esperadas para la prueba de bondad de ajuste.

H 0: La variable se distribuye norm alm ente

H a: La variable no se distribuye normalmente


CUADRO 4 .12b). Datos para el gráfico de promedios e intervalos

Hoja de datos - Gráficos de control x, RArtículo: Pieza cilindrica Código: A-80Característica: Diámetro Especificación: 9:40 ± 0,15 cmOperación: Torneado Máquina: Torno H-1Operario: R. A. Chaves Inspector: A. F’. PérezFecha: 08-12-84 Turno: 1 Hora de inicio: 10:15 Hoja # 1 de 1

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=5

V I 6A N 5 9,39 9,40 9,45 9,35 9,38 9,45 9,47 9,37 9,39 9,46L D 4 9,40 9,35 9,41 9,40 9,39 9,40 9,34 9,38 9,40 9,35O i 3 9,29 9,38 9,42 9,39 9,41 9,47 9,48 9,39 9,40 9,45R V 2 9,30 9,40 9,38 9,38 9,46 9,42 9,44 9,47 9,42 9,44

1 9,37 9,49 9,35 9,40 9,40 9,35 9,34 9,41 9,44 9,34

TOTAL 46,75 47,02 47,01 46,92 47,04 47,09 47,07 47,02 47,05 47,05PROMEDIO 9,35 9,40 9,40 9,38 9,41 9,42 9,42 9.40 9,41 9,41

INTERVALO R 0,11 0,14 0,10 0,05 0,08 0,12 0,14 0,10 0,05 0,12

MUESTRA# 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

V I 6A N 5 9,34 9,40 9,41 9,40 9,47 9,42 9,40 9,43 9,40 9,38L D 4 9,34 9,39 9,40 9,41 9,39 9,38 9,40 9,33 9,44 9,37O I 3 9,45 9,42 9,43 9,48 9,45 9,42 9,44 9,41 9,38 9,42R V 2 9,37 9,43 9,40 9,31 9,42 9,41 9,38 9,43 9,40 9,36

1 9,47 9,35 9,33 9,37 9,40 9,46 9,41 9,48 9,40 9,42

TOTAL 46,97 46,99 46,97 46,97 47,13 47,09 47,03 47,08 47,02 46,95PROMEDIO 9,39 9,40 9,39 9,39 9,43 9,42 9,41 9,42 9,40 9,39

INTERVALO R 0,13 0,08 0,10 0,17 0,08 0,08 0,06 0,15 0,06 0,06

CONSTANTESn 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A2 1.880 1.023 0.729 0.577 0.483 0.419 0.373 0.337 0.308 0.285

D2 3,686 4,358 4,698 4,918 5,078 5,203 5,307 5,394 5,469 5,534

D4 3,267 2,575 2,282 2,115 2,004 1,924 1,864 1,816 1,777 1,744

d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078 3,173


Ta l y com o se puede observaren la Figura 4.45, el valor del estadístico chi- cuadrado teórico es m ayor que el valor calculado. Ante ello, se puede afirmar, con a = 5 % , que la distribución de probabilidad que corresponde a esta variable es la distribución normal.

FIGURA 4.45. Curva se2para la bondad de ajuste.

Paso 5. Cálculo de la capacidad instantánea de proceso

K ’= 6 * o ’ = 6 * 0,044 = 0,264

Paso 6. C om paración con especificaciones

Análisis de exactitud

M = x’

9,40 = 9,40

Análisis de precisión

a ’ < T/3

0,044 <0,15/3

0,044 < 0 ,0 5

D ado que se cum ple con la especificación se continúa con el paso 7.

Paso 7. Cálculo de límites de control Iniciales


Para intervalos para n=5

L S Ir = D 2 * a ’ = 4,918 * 0,044 = 0,217 cm

L C Ir = d2 * o ’ = 2,326 *0,044 = 0,102 cm

LIIr = D, * a ’ = 0 *0,044 = 0 cm

Para prom edios

3* a ’ 3*0,044L S I- = x + = 9 ,40 + ——T—— = 9 ,4 6 0 cm

* V ñ V 5

L C I- = x ’= 9 ,400 cmX

, ,, - 3 * o ’ . . . 3*0,044L - = x ------- ^ = 9 ,4 0 -------------j=— = 9,340 cm

V 5

P a so 8. E L C u a d ro 4 .1 2 p re se n ta la Inform ación re co le cta d a pa ra el análisis de un gráfico de prom edios e intervalos.

Paso 9. Análisis del gráfico de promedios e intervalos

Al o b s e rv a r la inform ación del C u a d ro 4 .1 2 se nota que ningún punto supera los límites de control iniciales, tanto en el gráfico de intervalos com o en el de p ro m e d io s . P o r lo ta n to , se c o n c lu y e qu e la v a ria b le es c a p a z de m antenerse bajo la exactitud y precisión m ostradas inicialmente.

Paso 10. Cálculo de nuevos límites de control y análisis del gráfico.

• Para intervalos para n=5

L S C r = D 4*R = 2 ,115 *0,100 = 0 ,2 1 2 cm

L C C r = R = = 0 ,100 cm

LICr = D3*R = 0 *0,100 = 0 cm

JORGE ACUÑA ACUÑA

• Para prom edios

L S C ; = x ’ + A 2* R = 9,402 + 0,577 *0,100 = 9 ,4 5 0 cm

L C C - = x ’ = 9,402 cm

L IC ; = x ’ - A 2* R = 9,402 - 0,577 * 0,100 = 9,344 cm

• Análisis de l gráfico

En el C u a d ro 4 .1 2 se pu e d e o b s e rva r que ningún punto sale fuera de límites de control en am bos gráficos.

• Análisis de exactitud

M = x ’

9,40 = 9,402

• Análisis de precisión

a ’ = R/d2= 0,10/2,326 = 0,043

o ’ < T/3

0,043 <0,15/3

0,043 < 0 ,0 5

C om o se puede observar la diferencia mostrada en el caso de exactitud se pu e d e co n sid e ra r desp re cia b le . Si se desea se pu e d e h acer la p ru e b a de hipótesis.

Paso 11. Cálculo de la capacidad de proceso

K = 6 *0,043 = 0,258

P a so 12. C o m p a ra c ió n de la c a p a cid a d inicial con la c a p a cid a d final calculada en el Pasó 11.


La capacidad instantánea fue de 0,264, la capa cid ad del pro ceso es de 0 ,258, esto dem uestra que el proceso es capaz de m antener las condiciones iniciales. Si se d e sea se puede hacer la prueba de hipótesis, sin em b a rgo , la similitud de am bos valores hace innecesario este cálculo adicional.

Paso 13. Cálculo del índice de capacidad de proceso

V SE- V |E 9 ,5 5 -9 ,2 5I = -----------------------= -------------------------= 1 ,1 6 3

K 0,258

Este valor está cerca de uno, lo que dice que el proceso está bajo control pero m uy cerca del límite de cumplimiento. Ante ello, se le debe poner atención, p a ra e vita r que p e q u e ñ o s d e s p la z a m ie n to s de la m e d ia o a u m e n to s de v a ria b ilid a d o c a s io n e n v o lú m e n e s de m a g n itu d im p o rta n te de p ro d u c to disconform e con especificaciones.

Posición óptima de la media

En la m ayoría de las ocasiones, las condiciones para producto que supera el va lo r superior de especificación no son iguales a las del producto que se e n c u e n tra bajo el v a lo r inferior de e sp e c ifica ció n . D o s e je m p lo s de esta situación son: el caso cuando en un lado se puede reprocesar pero en el otro no, con lo que el producto debe desecharse o usarse en otra actividad y el caso cuando el desgaste de herramientas ocasiona que el promedio tienda hacia un lado, con lo que la posición inicial de la m edia debe ser tal que se haga un uso óptimo de la herramienta.

En estos casos no es rentable mantener el proceso centrado y por lo tanto es necesario encontrar la posición óptima de la media.

Caso de desgaste de herram ienta

C u a n d o una operación se realiza haciendo uso de una herram ienta que tiene tendencia al desgaste, es conveniente conocer el instante en oue debe ser cam biada, de tal m anera que se obtenga una utilización m áxim a, lo que redunda en costo. Para lograr esto, se deben establecer reglas que indiquen cuándo cam biar la herramienta. Dos de estas reglas se citan a continuación.

JORGE ACUÑA ACUÑA 3 5 3

Regla 1

C uand o el m argen de tolerancia sea superior a 6 o ’, que es la capacidad de

p ro c e s o , no se d e b e c o lo c a r la m edia del p ro ce s o inicialm ente c o in

cidiendo con la m edia especificada, sino que se debe colocar a una dis

tancia 3 o ’ del valor de especificación que está situado en el lado contrario

de la tendencia de desgaste.

Regla 2

En el caso de una herramienta que se desgasta de tal m anera que la media

del proceso se desplaza hacia el valor superior de especificación, entonces

se debe colocar la m edia del proceso a una distancia 3 o ’ del valor inferior

de e s p e c if ic a c ió n y c a m b ia r la h e rra m ie n ta c u a n d o e sa m e d ia se

encuentre a una distancia 3 o ” del valor superior de especificación.

E s decir:

Posición inicial de la m edia = V IE+ 3 o ’

Posición final de la m edia = V SE-3 o ”

donde:

V IE: valor inferior de especificación

V SE: valor superior de especificación

o ’: estimación de la desviación estándar cuando la herramienta está nueva

o ” : e s tim a c ió n de la d e s v ia c ió n e s tá n d a r c u a n d o la h e rra m ie n ta está desgastada

C uand o la tendencia de desgaste es en el otro sentido, se aplica esta regla pero en sentido contrario al expresado aquí.

La tendencia de la media del proceso es evidente en los casos de desgaste y se p u e d e re p re se n ta r s e g ú n la F ig u ra 4 .4 6 . La s e stim aciones o ’ y o ” se pueden obtener a través de un gráfico de control.


FIGURA 4.46. Representación de la tendencia de desgaste.

EJEMPL0 4 .i l

U n a guillotina usa una cuchilla que se desgasta de acuerdo con las características del trabajo que se va a ejecutar. Para ello, previam ente se han identificado cinco trabajos que son los que m ás provocan ese desgaste. To d o s estos trabajos se hacen bajo la especificación 50,0 ± 10,3 cm . Un estudio de capacidad de proceso realizado en el pasado originó una capacidad 6 o ’ de 12,0 cm. U n gráfico de control de prom edios e intervalos permitió estimar la desviación estándar después del desgaste com o a ”= 1 8 cm.

¿C uá les deben ser las posiciones inicial y final del promedio del proceso si el desgaste de la herramienta tiende al valor superior de especificación?

SOLUCION

V SE = 60,3 cm V |E= 39,7 cm

6 a ’ = 12,0 a ’ = 2 ,0 c m 6 a ”= 1 8 c m a ”= 3 ,0 c m

Posición inicial de la m edia = V |E+ 3 a ’ = 39,7 + 3 * 2 ,0 = 45,7 cm

Posición final de la m edia = V SE- 3 a ” = 60,3 - 3 * 3 ,0 = 51,3 cm


Esto quiere decir que la herramienta debe colocarse inicialmente para que corte con una m edia de 45,7 cm . C u and o la m edia alcance el valor de 51,3 cm significa que es el instante de cam biar la herramienta. El m argen de desgaste permitido es de 5,6 cm (5 1 ,3 -4 5 ,7 ).

Caso de reproceso y desecho

En estos casos la posición de la media del proceso tiende hacia el lado que muestre el costo m ás favorable. Existen varios métodos de localizar esta media que van d e sde la aplicación de d erivad as parcia les para localizar el costo m ín im o , h a sta el p ro c e d im ie n to d e p ru e b a y e rro r q u e se e x p lic a rá a continuación.

El procedim iento de prue ba y error se torna aún m ás fácil cu a n d o una bondad de ajuste ha dem ostrado que la variable en estudio se distribuye según la distribución normal.

Este método consiste en calcular para diferentes valores de x el costo total e sperado por pieza producida y pro bar hasta que se encuentre aquella que o rig in e el c o s to total m ín im o . E s te co sto e s p e ra d o está b a s a d o en las probabilidades de detectar producto en zonas específicas y en el costo unitario asociado con esa zona.

Así, si una especificación establece que las piezas que estén sobre el límite superior de especificación se reprocesan y que las que estén bajo el límite inferior de especificación se desechan y la distribución es normal, el esquem a para aplicar el m étodo de prueba y error será el que presenta la Figura 4.47. Si el costo de d e s e c h a r es m a yo r qu e el costo de re p ro ce s a r, la posición m ás económ ica de la media se localiza hacia la derecha.

Para el caso contrario al aquí expuesto las áreas se invierten así com o los costos y probabilidades asociadas.

La can tida d de d e c im a le s en la b ú s q u e d a se b a s a en la ca n tid a d de decim ales que tenga el valor nominal especificado.

Los costos principales que se pueden considerar en este análisis son:costo del m aterial ( C m), costo de o p eración (C o) y costo de re m aq uin ado ( C r). La


C1: costo de producir piezas no conformes a especificación p 1: probabilidad de que una pieza deba ser desechada

y que por lo tanto deben ser desechadas

C2: costo de producir piezas buenas P2: probabilidad de producir piezas buenas

C3: costo de remaquinar o reprocesar una pieza P3: probabilidad de que una pieza sea remaquinada

FIGURA 4.47. Lsquema para el método de prueba y error.

ecuación de costo esperado con la que trabaja el m étodo de prueba y error,

basada en el caso citado anteriormente, es la siguiente:

( C m+ C o ) P l + ( C m+ C o )P 2 + ( C m+ C o+ C r )P 3

Costo esperado = ----------------------------------------------------------------------------------

por pieza P2+ P3

Este costo se calcula para diferentes valores de m edia aritmética hasta

d etectar la de m e n o r costo . La c u rva de costo está re p re se n ta d a po r una

función tal com o la que se presenta en la Figura 4.48.

Esta m etodología se puede usar en com binación con gráficos de control.

Lo que se hace es sustituir este análisis por el análisis de exactitud el c u a 1 no

tiene sentido cuando lo que se desea es descentrar el proceso. Lo m ism o o cu

rre al calcular el porcentaje de producto no conform e con la especificación. El

resto del análisis perm anece igual.

JORGE ACUÑA ACUÑA ¡57

FIGURA 4.48. Curva de costos para el método de prueba y error.

EJEMPLO 4.12

U n torno produce una pieza cuyas dim ensiones deben cum plir con la e s pecificación 5,000 ± 0 ,025 m m . U n analista tom ó veinte grupos de cuatro piezas cada uno y encontró un valor del intervalo promedio de 0,04 m m . Esta va riable ha dem ostrado en el pasado com portarse según la distribución normal.

Lo s costos por pieza son: para el m aterial e m plead o 02, para el re m a - q u in a d o 0 0 ,1 0 (para el ca so de que resulte con una longitud m enor que la especificada) y para el costo de operación 0 0 ,12.

a. ¿ Q u é porcentaje de producto no está conform e a especificaciones si se asum e que la media de longitud está centrada?

b. ¿ Q u é porcentaje de producto se reprocesa?

c. ¿C u á l es la posición m ás económ ica de la m edia?

d. ¿ Q u é ahorro por m es implica trabajar con la m edia m ás eco nóm ica? El nivel diario de producción es de 750 piezas y se trabajan 26 días por mes.

e. ¿ Q u é mejoras propone en esta operación?

SOLUCION

a. Porcentaje de producto no conforme


La Figura 4.49 m uestra la curva para calcular ese porcentaje.

% de producto conforme = N [(5,025 - 5,000)/0,0194] - N [(4,975 - 5,000)/0,0194]

% de producto conform e = N (1 ,2 9 ) - N (-1 ,2 9 )

% de producto conform e = 0 ,9015 - 0,0985 = 0,803

% de producto no conform e = 1 - 0,803 = 0,197

El porcentaje de producto no conform e con especificaciones es de 19,7% .

FIGURA 4.49. Porcentaje de producto no conforme con proceso centrado.

b. El porcentaje de producto que se reprocesa es 9 ,8 5 % , según los cálculos hechos en a).

c. Posición económ ica de la m edia

D a d o que el v a lo r no m inal de esp e cifica ció n tiene tres d e c im a le s se probarán valores prom edio con esa cantidad de decimales.

• x= 5,000 m m (Proceso centrado)

% de piezas buenas (p2) = 8 0 ,3 %

% de piezas bajo el V IE (p t) = 9 ,8 5 %

% de piezas sobre el V SE (p3) = 9 ,8 5 %

C m = 02 por pieza


CE/pieza = -

C o = 0 0 ,1 2 por pieza

C = 0 0 ,1 0 por pieza

( C m+ C o+ C r)P l + ( C m+ C o )P 2 + ( C m + C o ) P 3

C E/pieza = -

P, + P2

(2+0,1 2 + 0 ,1 0 )0 ,0 9 8 5 + (2+0,12)0 ,803 + (2+0,12)0 ,0985

C E /p ie za :

0 ,0985 + 0,803

2 ,2 2 (0 ,0 9 8 5 ) + 2 ,1 2 (0 ,8 0 3 ) + 2 ,12(0 ,0 985)

0,9015

CE/pieza = 02,362

D a d o que p ro ducir d e s e ch o es m ás caro (0 2 ,1 2 ) que el rem a q u in a d o (0 ,10), se proseguirá con el método de prueba y error con promedios inferiores a 5,000 m.

•x = 4,970 mm

La Figura 4.50 presenta la curva normal para el cálculo de los valores de p,,

p 2y P3-

p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,970J/0,0194 = N (0 ,2 6 )

p, = 0,6026

p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -4 ,970)/0,0194 = 1 - N (2 ,8 4 )

p3= 1 -0 ,9 9 7 7 = 0,0023

p2= 1 - p, - p3= 1 - 0 ,0023 - 0,6026

p2= 0,3951


FIGURA 4.50. Curva de costo esperado = 4,970j.

2,2 2 (0 ,6 0 2 6 ) + 2 ,12(0 ,3 951) + 2 ,12(0 ,0 023)CE/pieza = -----------------------------------------------------------------------------------------

0 ,6026 + 0,3951

CE/pieza = <62,185

C o m o 02 ,1 8 5 es un va lo r m enor que 02,82, ento nces x= 4 ,9 7 0 es una mejor posición que la media centrada. S e probará un valor m enor para ver si es mejor que éste.

•x = 4 ,965 mm


p2y p 3-

(tedia propuesta — cr’ - 0, OI 94^ media centrada

/ \// s

\

4 , 9 6 5 4 , 9 7 5 5 , 0 0 0 5 , 0 2 5

FIGURA 4.51. Curva de costo esperado ( x=4,965).

JORGE ACUNA ACUNA

Pi = N [(4 ,9 7 5 -4 ,965)/0,0194 = N (0 ,5 2 )

p, = 0,6985

p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -4 ,965)/0,0 1 9 4 = 1 - N (3 ,0 9 )

p3= 1 -0 ,9 9 9 = 0,001

p2= 1 - p, - p3= 1 -0 ,0 0 1 -0 ,6 9 8 5

p2= 0,3005

2,2 2 (0 ,6 9 8 5 ) + 2 ,12(0 ,3 005) + 2 ,12(0 ,0 01)CE/pieza =------------------------------------------------------------------------------------------

0 ,6985 + 0,3005

CE/pieza = 02,192

C o m o 02,192 es un valor m a yo r que 02,185, entonces x= 4,970 es una m ejor posición que la m edia en 4 ,965. S e deben probar valores entre 4 ,970 y5,000.

•x = 4,975 mm


p2y p 3-

FIGURA 4.52. Curva de costo esperado (x=4,975).


p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,975)/0,0194 = N (0 ,0 0 )

p, = 0 ,5000

p3= 1 -N [ (5 ,0 2 5 -4 ,975)/0,0 1 9 4 = 1 -N ( 2 ,58)

p3= 1 -0 ,9 9 5 1 = 0 ,0 0 4 9

p2= 1 - p, - p3= 1 - 0 ,0049 - 0,5000

p2= 0,4951

2,2 2 (0 ,5 0 0 0 ) + 2 ,1 2 (0 ,4 9 5 1 ) + 2 ,12(0 ,0 049)

CE/pieza =---------------------------------------------------------------------------------------------0 ,5000 + 0,4951

CEI/pieza = 02,1807

C o m o 02,185 es un valor m ayor que 02,1807, entonces x= 4,975 es una m ejor posición que la media en 4,970. S e probará un valor m ayor para ver si es m ejor que éste.

•x = 4 ,976 mm

La Figura 4.53 presenta la curva normal para el cálculo de los valores de pv

p2y p 3-

p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,976)/0,0194 = N (-0 ,0 5 )

p, = 0,4801

o - ' = 0 , 0 1 9 4



p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -4 ,976)/0,0194 = 1 - N (2 ,5 3 )

p3= 1 -0 ,9 9 4 3 = 0,0057

p2= 1 - p , - p 3= 1 -0 ,0 0 5 7 -0 ,4 8 0 1

p = 0,5142

CE/pieza =2,22(0 ,4 801) + 2 ,12(0 ,5 142) + 2 ,12(0,0 057)

0,4801 + 0 ,5 1 4 2

CE/pieza = 02,1804

C o m o 02,1804 es un valor m enor que 02,1807, entonces x= 4,976 es una mejor posición que la media en 4,975. S e probará un valor mayor para ver si es m ejor que éste.

•x = 4,977 mm


p2y p 3-

p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,977J/0,0194 = N (0 ,10)

p, = 0,5398

tr’ = 0 , 0 1 9 4

4 , 9 7 5 4 , 9 7 7 5 , 0 0 0 5 , 0 2 5


CONTROL DE CALIDAD

p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -4 ,977)/0,0194 = 1 - N (2 ,4 7 )

p3= 1 -0 ,9 9 3 2 = 0,0068

p2= 1 - p, - p3= 1 - 0 ,0068 - 0,5398

p2= 0,4534

2 ,2 2 (0 ,5 3 9 8 )+ 2 ,1 2 (0 ,4 5 3 4 )+ 2 ,12(0 ,0 068)

CE/pieza = --------------------------------------------------------------------------------------------0 ,5398 + 0,4534

CE/pieza = 02,189

C o m o 02,1804 es un valor m enor que 02,189, entonces x= 4,976 es una m ejor posición que la m edia en 4,977. Por lo tanto la posición m ás económ ica de la m edia es:

x = 4,976

Si se probaran dos valores alejados com o 4,930 y 5 ,020 se obtienen los siguientes resultados.

• x = 4,930 mm


p2y p 3-

ü ’= 0 , O I 9 4


JORGE ACUNA ACUNA 3 6 5

p, = N [(4 ,9 7 5 -4 ,930)/0,0194 = N (2 ,3 2 )

p, = 0,9898

p3= 1 -N [ (5 ,0 2 5 -4 ,930)/0,0194 = 1 -N ( 4 ,90)

p3= 1 -1 = 0

p2 = 1 - p, - p3 = 1 - 0 ,0023 - 0,6026

p2= 0,0010

2 ,2 2 (0 ,9 8 9 8 ) + 2 ,12(0 ,0 010)CE/pieza = -

0,9898 + 0,0010

CE/pieza = 02,219

•x = 5,020 mm

La Figura 4.56 presenta la curva normal para el cálculo de los valores de p ,,

p2y p 3-

p, = N [(4 ,9 7 5 -5 ,020)/0,0194 = N (-2 ,3 2 )

p, = 0,0102

media propuesta(T - 0 , 0 1 9 4

med ¡a centrada

4 , 9 7 5 5 , 0 0 0 5 , 0 2 0 5 , 0 2 5



p3= 1 - N [(5 ,0 2 5 -5 ,020)/0,0194 = 1 - N (0 ,2 6 )

p3= 1 -0 ,6 0 2 6 = 0,3974

p2= 1 - p, - p3= 1 -0 ,0 1 0 2 -0 ,3 9 7 4

p2= 0,5924

2,2 2 (0 ,0 1 0 2 ) + 2 ,12(0 ,5 924) + 2 ,12(0 ,3 974)C E/pieza =-----------------------------------------------------------------------------------------------

0 ,0102 + 0,5924

CE/pieza = 03,520

U n resum en de este análisis se puede observar en el C uadro 4.13 y en la Figura 4.57.

Al observar la Figura 4.57 se nota que el costo esperado por pieza crece cu a n d o la m edia se co lo ca en el lado contrario al que d eb e estar. Esto d e m uestra que el control debe ser eficiente para evitar el desplazam iento de la media en ese sentido.

d. A horro m ensual esperado

n= 750 piezas por día

Producción m ensual = 750 * 26 = 19500

C o n x= 5,000 el C E/pieza= 02,36

C E por m es = 19500 * 2,36 = 046020

C o n x= 4,976 el CE/pieza= 02,1804

C E por m es = 19500 * 2 ,1804 = 042517,8

Ahorro esperado por m es= 46020 - 42517,8 = 3502,2

al nivel de 19500 piezas

A horro esperado por m es = 03502,2

FIGURA 4.57. Representación de la posición óptima de la media.

CUADRO 4.13. Resumen de posición económica de la media

Media del proceso Costo esperado (0 por pieza)

4,930 2,21904,970 2,18504,975 2,1808

4,976* 2,1804

4,977 2,1890

5,000 2,3620

5,020 3,5200

promedio óptimo


e. M ejoras en esta operación

La primera y más importante mejora es llevar la m edia del proceso al valor de 4 ,9 7 6 m m , en lu g a r del a ctual v a lo r de 5 ,0 0 0 m m . C o n ello, se estará trabajando con:

Porcentaje de desecho = 0 ,5 7 %

Porcentaje de rem aquinado = 48,01 %

Porcentaje de piezas b uen as= 5 1 ,4 2 %

Costo esperado por pieza = 0 2 ,1 8 0 4

Si se desean lím ites para un gráfico de control de pro m e dio s, éstos se pueden calcular así:

L S C - = 4 ,9 7 6 + 3 * 0 ,0 1 9 4 = 5,003 V 5

L S C - = 4 ,9 7 6 - 3 *°’0 1 9 - = 4,949 V 5

APLICACIONES DE SERIES DE TIEMPO

El objetivo de aplicar series de tiem po al control de procesos es analizar tendencias en función del com portam iento que m uestren las observaciones tom adas, con el fin de ejercer acciones preventivas. En este caso se utilizan técnicas de pronóstico para identificar causas de variación que permitan al personal de calidad, con base en pro yecciones, tom ar las acciones preventivas que se ameriten.

Los m odelos que se usan aquí son los m odelos de auto-regresión con prom edio móvil denotados con las siglas A R M A . Estos m odelos consideran los datos actuales com o los de m ejor predicción conservando la influencia de valores pasados. Esto es lo que permite afirmar que se trata de un modelo con memoria.

Una de las razones por las que es deseable aplicar esta técnica es porque los gráficos tradicionales de promedios tienen debilidades para servir de medio preventivo. A lgunas otras razones son:


1. U n gráfico con límites basado en 3 o ~ solamente provee una señal de alar

m a cuando la situación en estudio difiere del nivel de la m qdia re q u e rid o X

2. La señal de alarm a en un gráfico tradicional depende únicam ente de los

últim os dato s y los datos m á s an tigu o s no son to m a d o s en cuen ta , a

excepción de los gráficos de sum as acum uladas.

3. La verdadera tendencia de la variable no está eficazm ente representada

debido a que los gráficos de control tradicionales no han sido diseñados

para m em orizar condiciones. Ante ello, las desviaciones-ácum ulativas no, se tom an en cu e n ta . D e n u e vo , a excepció n de los gráfíóos d e .su m a s

acum uladas.

4. Un pronóstico acertado de situaciones futuras es posible solo cuando los

datos del m uestreo son analizados a fondo y las conclusiones son com bi

nadas con la experiencia de inspectores que con ocen la conducta de la

característica de calidad en estudio.

5. Este modelo puede ayudar a determinar las condiciones m ás económ icas

de operación, por medio de una com paración entre el comportamiento de

la calidad del proceso y la calidad del producto, cuan do las condiciones

cam bian.

6. En gráficos tradicionales, la evaluación de tendencia es com plicada; si se

usan m odelos A R M A se podrá considerar el impacto que datos históricos

tienen sobre la tendencia futura de la serie.

7. E n gráficos tradicionales es difícil entender y visualizar la conducta del

p ro ce so . Las series a yu d a n a v isu a liza r m ejor la falta de control en el

proceso al existir causas asignables de variación.

8. A tra vé s de un m o d e lo A R M A se p u e d e p ro c e d e r a la ca lib ra ció n de

instrumentos de medición.

9. U n m o d e lo de a u to -re g re s ió n p u e d e d e te c ta r s e ñ a le s y p ro b a r las

consecuencias en el sistema si algunos parámetros son alterados. Esto es

im portante p u e s perm ite a n a liza r las c o n d ic io n e s de estabilidad que

ayudan a m antener un proceso bajo control.


M o d e lo s A R M A (n ,n -1 )

Los m odelos A R M A (n ,n -1 ) fueron desarrollados con el objetivo de que se

p u e d a m e m o riza r inform ación para ser con sid e ra d a al tom ar una decisión

(Pandit y W u, 1986). A unque los m odelos m ás sencillos pueden obtenerse en form a m anual, la regla general obliga a buscar soluciones a través del uso del

com putador. Esto depende del m odelo que se ajuste a la situación en estudio.

En un modelo A R M A (n , n -1 ), n representa el núm ero de parámetros o ^ u e

posee el m odelo en estudio. El término n-1 es el núm ero de parám etros o ^ u e

considera el m odelo. El m odelo general es:

C o m o se puede observar en este m odelo, los valores de a.y B ^ o n equi

valentes a los valores I3¡ de un m odelo de regresión, los valores de atson equivalentes a los valores de £¡ de dicho modelo. La diferencia es que, en regresión,

cada valor tiene su propia identidad, mientras que en auto-regresión, tal y com o

lo m uestra el modelo general, la ocurrencia de un valor x,depende de los valo

res de xtanteriores así com o de los respectivos errores asociados. La cantidad de valores de xt y de at dependen de la m em oria que se desee dar al modelo. El

C u a d ro 4.14 presenta algunos m odelos que explican esta notación.

CUADRO 4.14. Algunos modelos ARMA (n, n-1)

Modelo Ecuación respectiva

A R (2 )

M A (2)

AR M A (2,1)

AR M A (3,2)

x = 0 ,xM+0 2x,2+a,

x=at-0 ,a„ - 92a,.2

x,=0 ,xt.,+0 2x,2-e ,a „+ a,

Xr 0 lX,.1+ 0 2Xt.2+ 0 3Xt-3-e,a , . , - 0 2a ,-2+ a t


Los parám etros de estas ecuaciones se obtienen a trávés de solución de ecuaciones usando matrices. Por ejemplo, para los modelos A R (n ) los valores de o , y o 2se obtienen resolviendo la siguiente multiplicación de matrices:

= (X 'X ) 'X 'Y

— — — —X n*1 Xn X n-1 X-i

X n+2 x ,n+1 X n... X,

• X = • • •

• • • •

XN _ _ XN-, X z rb XMN-n

n: núm ero de parám etros 0 ¡

N: núm ero de observaciones

La solución de este sistema de ecuaciones, la mayor parte de las veces, se hace a través de un p ro gram a de com putador, debido a la gran cantidad de cálculos necesarios. U no de los program as que se puede usar es el program a D D S (P a n d ity W u,1 986).

Tam bién existen m odelos A R M A (n ,m ) donde la cantidad de parámetros 6¡ se determina en forma independiente de los parámetros 0 :. Así se puede tener un m odelo A R M A (5 ,2 ) en el cual se tienen cinco parám etros 0 ^ dos p a rá m etros 9..

T a l y com o se nota en la anterior descripción, es posible aplicar esta técnica al control de una serie de tiempo, como lo es un gráfico de control. La decisión


por tom ar se centra en la definición del m odelo m ás a decuado, para lo cual usam os la función de G reen y la sum a de cuadrados de regresión en la m ism a form a que se usa en regresión. A d e m á s, es importante considerar un m odelo con la m enor cantidad de parámetros con el fin de facilitar su aplicación. Así, se debe probar si el decrem ento en la sum a de cuadrados del error al com parar pa re ja s de m odelos es significativo. P a ra ello, se aplica la p rue ba lineal F (P a n d ity W u ,1 9 8 6 ).

La función general de G re e n para m odelos A R M A (n , n -1 ) tiene co m o objetivo describir la dinám ica o m em oria del m odelo en térm inos de los at. S e

expresa así:

Gi=glY1i+g2Y2i+g3Y3í+ +9X

donde Y,,Y2,...,ynson las raíces de la ecuación

Yn-0,Yn'1' 0 2Y"'2‘ ■••• " 0 n= 0

P o r e je m p lo en un m o d e lo A R M A (2 ,1 ) las ra íc e s se o b tie n e n de las

ecuaciones

Y,+Y2= 0 ,

y,y2= -02

( f ’ - o x 2- - - - 0 , , )g_.------------------------------------------

(YfY,) (Yf Y2) • • • (Yf Y¡. i) (YfY¡* i)—(YfY„)

i=1,2,3 ,...,n

el d e n o m in a d o re s el producto de todos los térm inos (y-Y,) para j= 1 ,2 ,3 ,...,n , excluyendo el término cero (y-y.)

Los com ponentes de la función G re e n pueden ser imaginarios o reales.

El m ejor m odelo es el que se obtiene d espués de co m p a ra r a tra vés de u n a p rue ba F q u e éste tiene la m e n o r s u m a de cu a d ra d o s del error, pa ra el m ínim o posible de parám etros por considerar. Al graficar la Función de G reen


correspondiente a ese modelo, se podrá evaluar su dinámica y sus condiciones de esta b ilid a d . La b ú s q u e d a del m e jo r m o d e lo es e fe ctu a d a m ediante el com putador usando el program a D D S , citado anteriormente.

EJEMPLO 4.13 ,

E n una em p re sa fabricante de artículos de P V C uno de los principales productos es tubería para la construcción. La variable principal es el diámetro por lo que se quiere establecer un control sobre ella. Para efectuar este análisis se tom a una m uestra de 300 m ediciones p re sentada s en el C u a d ro 4 .1 5 y obtenidas de la siguiente m anera:

1. C a d a tres minutos un tubo de 15 metros se corta en tres secciones de cinco metros cada uno.

2. En cada metro de cada sección se efectúa una m edición para un total de cinco observaciones.

3. El intervalo de muestreo es de 0,6 minutos.

a. C onstruir y analizar un gráfico de control de prom edios e intervalos tom ando la inform ación com o si fuesen sesenta m uestras de cinco elem entos cada una.

b. D e te rm in a r un m o d e lo A R M A (n ,m ) qu e p u e d a se r a ju s ta d o al com portam iento de esta variable.

c. ¿ Q u é conclusiones obtiene?

SOLUCION

1. A p lica n d o los p ro ce d im ie n to s ya e x p lica d o s en este capítulo, para la construcción de gráficos de control de promedios e intervalos, se construye el gráfico que m uestra la Figura 4.58.

T a l y co m o se puede o b se rva r en la Figura 4.58, en las prim eras veinte muestras se da una inestabilidad m uy grande, inclusive existen tres puntos fuera de límites en el gráfico de promedios y uno en el gráfico de intervalos.


CUADRO 4.15. Valores de xt para los modelos ARMA(n,m)

H o ja d e d a t o s - A n á lis is A R M A (n ,m )

A r t ícu lo : T u b o d e P V C C ó d ig o : T A 4 5 7

C a r a c te r ís t ic a : P e s o E s p e c i f ic a c ió n : 4 0 ,0 ± 4 , 1

O p e r a c ió n : E x tru s ió n M á q u in a : C o m p a c ta d o r a

O p e r a r io : L. M a ro to I n s p e c t o r S . P é r e z

F e c h a : 1 1 -0 7 -8 5 T u m o : 1 H ora d e in ic io : 2 :4 5 a .m . H o ja # 1 d e 1 _ _

43,3 39,1 40,7 42,7 42,1 38,6 39,4 47,2 40,5 38,5 38,8 46,737,5 35,9 40,2 36,9 37,7 36,5 37,8 37,9 39,9 40,0 42,5 41,540,5 40,0 43,0 44,0 43,4 48,0 43,5 41,7 39,0 38,7 36,0 43,740,1 39,2 38,8 46,0 36,9 39,8 39,9 41,5 42,3 46,9 46,1 45,645,6 47,0 50,0 37,9 38,7 39,5 38,4 37,0 37,1 38,8 39,7 41,540,6 38,5 39,7 40,3 37,6 35,0 40,0 39,6 38,4 36,3 38,9 42,541,5 40,8 41,3 40,3 38,9 39,3 40,3 41,5 41,5 38,0 38,8 40,042,1 43,3 39,7 40,0 40,8 43,2 42,1 38,9 37,8 38,3 37,4 41,540,1 42,7 43,8 41,7 35,9 42,5 39,3 40,7 40,8 42,1 38,6 39,442,3 40,5 38,5 38,8 42,1 37,5 38,9 40,2 39,7 41,5 40,0 39,837,9 40,0 40,2 42,4 41,4 40,6 38,9 41,3 40,5 43,4 43,0 39,940,3 39,1 38,7 38,0 40,9 39,9 39,0 39,3 40,8 37,6 39,8 38,941,5 41,3 40,0 39,2 38,8 36,9 40,0 38,4 38,5 39,4 38,0 37,939,1 38,8 39,5 41,4 41,6 40,0 39,7 40,3 37,6 37,5 41,0 40,939,9 38,3 39,8 40,5 41,5 40,0 38,4 39,3 38,7 39,9 41,5 41,941,5 39,6 39,7 38,8 40,9 40,3 40,3 40,5 41,9 40,9 36,9 40,140,1 42,7 36,9 36,9 40,6 40,7 39,0 38,8 38,7 41,2 39,9 40,340,6 41,1 38,9 39,4 41,3 40,5 39,5 40,0 39,8 39,3 41,3 40,039,8 39,6 40,0 42,3 41,5 40,3 40,3 41,0 38,0 38,9 38,9 38,937,6 38,0 38,7 40,0 39,5 40,5 41,0 40,0 41,3 40,3 40,1 39,639,5 40,3 40,1 39,9 38,9 39,8 39,8 40,0 41,0 40,0 39,9 39,940,0 40,5 40,3 39,9 40,7 38,6 40,3 39,7 42,0 41,6 40,1 39,738,7 39,3 40,0 40,0 42,6 38,1 40,7 40,2 39,2 39,1 38,7 40,040,4 40,6 38,5 39,5 39,9 39,7 40,0 40,1 40,2 39,5 39,6 40,841,7 40,0 40,0 40,5 40,7 38,1 39,5 41,1 40,9 40,3 39,9 39,0

OBSERVACIONES: Para efectos de la serie de tiempo, los datos deben leerse por renglones, pues así corresponde.


FIG

URA

4.58

. G

ráfic

o de

cont

rol


En las siguientes cuarenta m uestras ningún punto en el gráfico de pro m edios y en el gráfico de intervalos se sale fuera de límites, por lo que se puede decir que la variable diámetro en este período se encuentra bajo control. En cuanto a tendencias es evidente el decrecim iento de la variabilidad, lo que es realmente favorable.

2. La F ig u ra 4 .5 9 pre senta el gráfico de o b s e rva cio n e s individua les que perm itirá h a ce r el análisis de estabilidad y a la v e z graficar el m odelo seleccionado.

FIGURA 4.59. Observaciones individuales.

La búsqueda del m odelo A R M A (n ,m ) se hizo con el program a D D S . Los C u a d ro s 4 .1 6 y 4 .17 presentan algunos de los m odelos probados, don de se encuentran los parám etros con sus respectivos intervalos de confianza. D e s pués del análisis de varianza para m edir la regresión, así com o de la función G re e n y del ajuste obtenido al graficar el m odelo sobre los datos reales, la solución es usar el m odelo A R M A (4 ,3 ) pues es el que m ejor calificó.

El C u a d ro 4 .1 8 p re senta los va lo re s iniciales de los p a rá m e tro s de la ecuación del m odelo escogido.

La función de Green de este modelo es la siguiente:


CUADRO 4.16. Salida del programa con los modelos evaluados

Parámetro Modelos ARM A

(1.1) (2.1) (4.3) I (6,5)

0 , 0,327±0,310 0,214±1,690 -0,594+0,lo 3 0,490±0,017

0 2 0,048±0,563 -0,580+0,111 -0,644±0,791

0 3 -0,491 ±0,117 0,36510,423

0< 0,368±0,102\ 0,13210,595

0 5 \ - 0 , 12510,524

0 6 ^2 9 0 1 0 ,4 8 0 -

e, 0,003+0,330 -0,119±1,690 0,979±0,005 0,13710,016

02 -1,090+0,055 -0,02410,469e3 -0,934+0,054 0,34710,406

04 0,07510,576

05 0,16110,438

S C E 1001,75 1007,10 888,87 913,03

G (j)=1,0477*(0,4098)'+0 ,0325*(-0 ,9523)¡+

Q,08173*(0,97059)<*COS(2jt*0,42369*0,6*j+(2,94479))

P a ra j> 0

El Cuadro 4.19 presenta algunos valores para graficar la función de Green que se esquem atiza en la Figura 4.60.

La función de Green representada en la Figura 4.58 tiene dos raíces reales y dos raíces complejas. S e presentan en forma separada, con el fin de evaluar la influencia de cada una de ellas. La primera raíz expresa su falta de memoria, pues rápidam ente tom a el valor de cero. Los otros com ponentes no m ueren rápidam ente por lo que denotan su capacidad de m em oria. La segunda raíz tiene una tendencia a perm anecer fluctuando cerca del valor nominal 40,0. La función de G reen , denotada por D, refleja una alta capacidad de m em oria que permite concluir que usar este modelo para el control proyectivo de esta variable es adecuado, pues pueden ser detectadas tendencias acum uladas.


CUADRO 4.17. Salida del programa con los modelos evaluados

-0,354+0,335 -0,172±0,413 0,011 ±0,373 0,636±0,300 0,109±0,217 -0,107±0,164 -0,101±0,119 -0,184+0,114

0,365+0,623 -0,276+0,387 0,358±0,343 0,670±0,452 -0,290+0,406 0,214±0,279 -0,213+0,164 -0,680±0,185 0,133±0,134

0,485±0,157 -0,398+0,120 -0,751±0,125 -0,221+0,139 0,415±0,135 0,030±0,117 0,181 ±0,111

-0,749±0,050 -0,741 ±0,346 -0,009±0,629-0,011±0,063 -0,669±0,057

-0,484±0,512 -0,204±0,562 0,419±0,498 0,358±0,321

-0,346±0,352 0,251±0,326 0,617±0,368 0,162±0,370 0,220+0,321

SC E 1158,6 852,55 820,48 814,84

CUADRO 4.18. Parámetros del modelo ARMA(4,3)

«Valor


CUADRO 4.19. Valores de la función de Green para el modelo ARMA(4,3)

'• '■í.' A ■ >, véjáj

■2do

componentecomponente componente«

real complejo?]mm -

G(J)

1 0,4294 -0,0309 0,3984 -0,0132 0,385262 0,1760 0,0294 0,2054 0,0762 0,281713 0,0721 -0,0280 0,0440 0,0085 0,052584 0,0295 0,0267 0,0563 -0,0722 -0,015955 0,0121 -0,0254 -0,0133 -0,0043 -0,017656 0,0049 0,0242 0,0292 0,0682 0,097497 0,0020 -0,0230 -0,0210 0,0005 -0,020498 0,0008 0,0219 0,0228 -0,0643 -0,041539 0,0003 -0,0209 -0,0205 0,0027 -0,01781

10 0,0001 0,0199 0,0200 0,0604 0,0805611 0,0000 -0,0189 -0,0189 -0,0057 -0,0246612 0,0000 0,0180 0,0181 -0,0566 -0,0385713 0,0000 -0,0172 -0,0172 0,0083 -0,0088914 0,0000 0,0164 0,0164 0,0529 0,0693720 0,0000 0,0122 0,0122 -0,0424 -0,0302330 0,0000 0,0075 0,0075 0,0275 0,0350450 0,0000 0,0028 0,0028 0,0078 0,01066

3. Conclusiones

Al observar la Figura 4.57, es posible afirmar que la serie es estacionarla pues todos los valores fluctúan alrededor del promedio de 40,0. No existe una tendencia estricta y es claro que la variabilidad, especialmente después de la observación N o. 50, tiende a decrecer hasta el final de la serie.

El m odelo A R M A (4 ,3 ) es seleccionado para controlar el diám etro de los tubos P V C , pues es el modelo de los que tienen pocos parámetros que tiene la m enor sum a de cu a d ra d o s de error (8 8 8 ,8 7 ). La Figura 4.61 fortalece esta afirmación. Los modelos A R M A (6 ,3 ) y A R M A (9 ,6 ) son también adecuados, sin em bargo, la dificultad de trabajar con modelos de muchos parámetros, los hace poco útiles. A d em ás, la prueba F dem uestra que la disminución en la sum a de cu a d ra d o s del error, al usar cu alquiera de ellos en relación con el m odelo escogido, no es significativa.


FIGURA 4.60. Función Green del modelo ARMA(4,3).

El modelo escogido es:

x = -0 ,59385 xt1-0 ,5796xt2-0 ,4 9 0 9 7 x|3+0,3677xt4+at

+ 0 ,97912at ,+0,10901 at2+ 0 ,93415at_3

C o n este modelo se puede proyectar cualquier situación futura. Entre m ás

alejado esté el valor de t, la proyección pierde confiabilidad.

Si se desea usar el modelo con límites de control, es posible calcular éstos basado en + 3 o ’, suponiendo distribución normal de la siguiente m anera:

L S C = M + 3 t/v 0 M: el valor nominal

UC = M-3^Vo~


TIEM PO (m inutos)

FIGURA 4.61. Ajuste del modelo ARMA(4,3).

En este caso M es igual a 40,0 y la desviación estándar V 0 se obtiene del program a D D S , V 0 = 3,81.

L S C = 40,0 + 3* 1/3 ,81 = 45,86

LIC = 4 0 ,0 - 3* \ 3.81 = 34,14

Osea, los límites son:


En conclusión, el m odelo A R M A (4 ,3 ) será usado para predecir el c o m portamiento futuro de la variable diámetro de los tubos P V C . S e ha demostrado su grado de adecuación y su ajuste por lo que es lógico pensar que servirá para detectar, no solo cam bios de tendencia sino también cam bios bruscos, pues se pueden tener límites de control.

El uso de series de tiempo en control de procesos permite detectar cam bios de m anera preventiva y tom ar las acciones que se am eriten. S u aplicación se debe hacercon modelos de bajo nivel (pocos parámetros), pues modelos de alto nivel com plican el análisis. Esto no es una limitación importante, pues usando la prueba F se puede probar la eficacia de un m odelo escogido por conveniencia.

RESUMEN

S e han visto en este capítulo distintos aspectos relacionados con el análisis y control de procesos cuando las características de calidad son variables. Los m ás importantes son los gráficos de control.

Dentro de los aspectos relevantes aquí analizados se tienen:

1. Los gráficos de control pueden ser una excelente herram ienta para controlar de m anera preventiva y correctiva las variables que se consideren m ás importantes desde el punto de vista de calidad. Se debe ser ordenado en su aplicación, p asan do en form a adecuada por los tres pasos: co n strucción, análisis y seguimiento.

2. La selección del gráfico a d e c u a d o se d eb e h a ce r sobre la base de las características específicas de la variable que va a ser estudiada.

En especial, los gráficos de sum as acum uladas deben ser usados cuando se tenga experiencia en el m anejo de otro tipo de gráfico.

3. E s de sum a importancia para el control de procesos conocer la capacidad de proceso, pues es la m ejor form a de saber si éste es c a p a z de cum plir con las exigencias planteadas.

4. La búsqueda de la posición m ás económ ica de la m edia es una metodología adecuada para aquellos casos en que las pérdidas económ icas de producto bajo el valor superior de especificación son diferentes de aquellas


p ro vocadas por producto fuera del valor inferior de e sp e c ifica ció n rto s resultados obtenidos deben verse a nivel macro, para altos volúm enes de producción.

5. El análisis de series de tiempo es importante cuando se quiere desarrollar un estudio exhaustivo de una variable con el fin de proyectar su com portam iento futuro. P a ra su a p lica c ió n se d e b e n d e s a rro lla r p ro g ra m a s com putacionales que faciliten los cálculos. \

6. El análisis y control por variables requiere capacitación y entrenam iento para el personal encargado de esta tarea. Si esto no se h ace^sf, se_corra- el rie sgo de qu e su a p lica ció n no dé los re s u lta d o s d e s e a d o s o p ro yectados.

PREGUNTAS DE REPASO

1. ¿ Q u é son causas asignables de variación y qué importancia tienen en el análisis de pro cesos? Dé un ejem plo de un proceso y desglose las o p e raciones citando las causas asignables de variación para las principales variables que se generen.

2. ¿ Por qué se usan gráficos de control de valores prom edio y no de valores in d iv id u a le s? ¿ Q u é riesgos se co rre n si se usan gráficos de va lo re s individuales?

3. D escriba las tres etapas en la utilización de un gráfico de control. ¿ Q u é aspectos relevantes se deben considerar en cada una de esas etapas?

4. Explique am pliam ente la siguiente afirmación:

“El hecho de que un proceso esté bajo control, no significa que cum ple con las especificaciones”

5. Explique el procedimiento para utilizar el gráfico de control de promedios e intervalos en el ajuste de un proceso. ¿ Q u é limitaciones cree Ud que tiene este procedim iento?

6. ¿Q u é diferencias hay entre gráficos de control de promedios y gráficos de

control de m edianas?


7. ¿ P a ra qué son útiles los grá fico s de s u m a s a c u m u la d a s ? ¿ C ó m o se calculan las sum as acum uladas?

8. ¿ Q u é d ife re n c ia h a y e ntre un C U S U M M á s c a ra V y un C U S U M de intervalo de decisión h?

9. Explique el concepto de longitud promedio de la corrida y de magnitud real de cam bio.

10. ¿ E n qué co n siste un anális is de c a p a c id a d de p ro c e s o ? E x p liq u e el significado de la m agnitud obtenida al calcular el índice de capacidad de proceso.

11. Explique el procedim iento para localizar la posición m ás económ ica de la m edia del proceso.

12. Explique las ventajas y desventajas de usar series de tiem po en co m binación con gráficos de control.

13. ¿ Q u é p ro ce d im ie n to se usa p a ra s e le c c io n a r el m o d e lo A R M A m á s adecuado para ajustarlo a una variable previam ente seleccionada?

14. ¿ C ó m o se usa el m odelo A R M A escogido en control de procesos?

PROBLEMAS

1. U na empresa manufacturera de productos farmacéuticos produce pastillas pa ra el m alestar esto m acal, c u y a especificación de peso es 5 ,0 ± 0,1 gram os.

P a ra estudiar la situación del p ro ce so con respecto a esta variable se toman veinte muestras de tam año cinco, las cuales aparecen en el Cuadro 4.20. Se pide:

a. Elaborar un gráfico de control x,R y ejecutar el análisis

b. O btener las conclusiones y recom endaciones del caso.

2. E n una industria de envases plásticos, existe un producto cuyo peso debe cum plir con la especificación de 45 ± 5 gram os. S e desea establecer un control de proceso sobre esta característica para lo que se han tom ado

Muestra# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A rtícu lo : P a s t il la s p a ra m a le s ta r e s C ó d ig o : A 8 9 0C a ra c te r ís t ica : P e s o E s p e c i f ic a c ió n : 5 ,0 ± 0 , 1O p e r a c ió n : C o m p a c t a d o M á q u in a : C o m p a c ta d o r aO p e r a r io : L. E c h e v e r r ía In sp e c to r : M . A s to r g aF e c h a : 1 0 -0 9 -8 5 T u m o : 2 H o ra d e ¡n ie lo : 2 :0 0 a .m . H o ja # 1 d e 1

JORGE ACUÑA ACUÑA

H o ja d e d a t o s - G r á f i c o s d e co n tr o l x , R

CUADRO 4.20. Hoja de datos para el

v I 5 5,1 5,0 5,1 4,8 4,9 5,0 4,7 4,9 5,0 4,9A N 4 5,0 4,8 4,9 5,2 4,9 5,1 4,9 4,8 5,2 5,0L D 3 5,0 4,9 5,1 5,0 5,0 4,4 5,2 5,0 5,0 5,3O I 2 5,1 5,2 4,9 4,9 5,0 5,0 5,0 5,1 4,7 5,1R V. 1 5,3 5,0 5,1 4,9 5,0 5,2 4,8 4,8 5,0 5,1

Muestra # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

V I 5 5,0 5,0 5,0 5,1 4,9 4,5 5,0 5,9 5,2 5,2A N 4 5,1 5,0 4,9 4,8 4,9 5,0 5, i 5,1 5,1 5,1L D 3 5,0 5,1 4,8 4,8 4,9 5,0 5,0 5,1 5,0 4,6O I 2 4,9 5,0 4,8 4,8 4,9 4,8 4,9 5,0 5,1 5,0R V. 1 5,0 5,1 4,8 4,9 5,0 4,9 4,9 4,8 5,3 5,1

veinte muestras de cinco elementos cada una. El Cuadro 4.21 presenta los datos recolectados.

a. E laborar un gráfico de control de prom edio e intervalos y efectuar el análisis correspondiente.

b. ¿ Q u é co n clu sio n e s se obtienen acerca de la posibilidad de que el proceso pueda cum plir a cabalidad con la especificación?

3. E n el p ro c e s o de c o lo ra c ió n d e fibras de lan a, la a c id e z del líqu id o colorante debe ser cuidadosam ente controlada. Si el grado de acidez es m enor que el valor especificado, la penetración del color es insuficiente. Si éste es m ayor, el color es intenso y el grado de acidez afecta la vida útil de los productos confeccionados con esa fibra.


CUADRO 4.21. Hoja de datos para el Problema 2

H o ja d e d a t o s - G r á f i c o s d e c o n tr o l x , R

A rtícu lo : E n v a s e p lá s t ic o C ó d ig o : A R D 8 7 9 C a r a c te r ís t ic a : P e s o E s p e c i f i c a c ió n : 4 5 ± 5 O p e r a c ió n : T e r m o fo r m a d o M á q u in a : T e r m o fo r m a d o r a O p e r a r io : K . L ó p e z I n s p e c t o r N , F o n s e c a F e c h a : 0 9 - 0 7 -8 5 T u m o : 3 H o r a d e in icio : 1 0 :0 0 H o ja # 1 d e 1

§?•!:. i!»?’

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V I 5 41 46 41 43 45 59 40 40 40 42A N 4 55 45 48 43 51 47 49 42 42 45L D 3 46 47 49 40 51 54 49 43 43 39O 1 2 35 48 40 40 42 47 40 46 46 44R V. 1 48 42 42 42 41 45 49 47 47 45

Muestra # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

V I 5 52 44 44 54 51 44 46 39 42 43A N 4 38 53 43 41 39 45 55 42 42 38L D 3 48 47 45 45 54 46 47 55 49 47O I 2 44 38 40 44 45 37 46 47 43 40R V. 1 45 44 43 39 38 43 43 48 44 44

El Inspector de calidad ha llegado a la conclusión de que un gráfico de con

trol x ,R puede ser de gran ayuda para el control de esta característica de

calidad. Para ello se han tom ado 2 m uestras de 5 elem en tos ca d a una originándose la información del C ua d ro 4.22.

a - A n a lice el gráfico corresp ondiente y o bte nga las co n clu sio n e s del caso.

b- Diseñe un gráfico C U S U M m áscara V, utilizando el criterio del nivel de calidad aceptable y nivel de calidad rechazable. Analícelo y explique su funcionam iento.

4. El gráfico de control x, R es llevado para controlar la resistencia a la tensión de un cierto hilo. Se ha usado un tam año de m uestra de cinco elem entos. Los valores de las sum atorias com putadas con veinticinco grupos son:


CUADRO 4.22. Información recolectada para el Próplema 3

H o ja d e d a t o s - G r á f i c o s d e c o n tr o l x , RA rtícu lo : F ib ra s d e la n aC a ra c te r ís t ica : pH O p e r a c ió n : T e ñ id oO p e r a r io : P . A r c eF e c h a : 0 6 - 1 2 -8 4 T u m o : 1

C ó d ig o : F B 9 0 8 7E s p e c i f ic a c ió n : 4 ,3 0 ± 0 ,1 8 M á q u in a : T e ñ id o r aIn sp e c to r : B . P a c h e c oH o ra d e ¡n ie lo : 6 :0 0 a .m . H o ja # 1 d e 1

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Promedio 4,17 4,15 4,18 4,17 4,20 4,22 4,33 4,33 4,34 4,50Intervalo R 0,14 0,30 0,20 0,09 0,10 0,24 0,65 0,17 0,58 0,22

Muestra # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


I x = 5 1 4 ,2 8

I R = 120,00

a. Calcular los límites de control de proceso.

b. Estim ar el valor de a ’.

c. Determ inar el error estándar del promedio de las 125 m ediciones.

d. SI se establecen tolerancias de ±0 ,4 sobre un va lor nom inal de 21 ¿P ue de el proceso satisfacer las especificaciones?

5. E n un determ inado pro ceso, se ha construido un gráfico de control de promedios e intervalos con muestras de tam año cinco. Hasta el momento, los datos originan un prom edio de 20 ,0 y una desviación estim ada o ’ de2,0. Se recom ienda que se aum ente el tam año de la m uestra de cinco a seis, manteniendo en am bos gráficos los límites. La especificación de esta característica es de 20,0 ± 4,1.

a. ¿C uá les serán las consecuencias si se siguen las recom endaciones dadas?


b. ¿ C u á le s s e rá n las c o n s e c u e n c ia s en el p o rc e n ta je de p ro d u c to

disconforme, si se siguen las recom endaciones?

c. ¿ H a b rá m a yo r pro babilidad de que los punto s caigan fuera de los

lím ites de control en a m b o s gráficos? Justifique su respuesta con núm eros.

6. En una em presa que fabrica varillas crom adas, cu ya longitud está esp e cificada en 178,0 ± 1,06 cm , se tienen problem as de calidad, pues si las

varillas superan el valor superior especificado deben rem aquinarse, pero se desechan si están bajo el va lor inferior especificado. El costo de pro

ducción es de p 1 3,75 y el rem aquinado agrega a ese costo ó6,25.

A ctualm ente se tiene la posibilidad de ve n d e r el producto de d e se ch o ,

recuperando 3/5 del costo de producción entregado. C o n el fin de analizar la situación se recolectó la información que se presenta en el C ua d ro 4.23.

a. Analice esta situación usando un gráfico de promedios e intervalos si

se usaron m uestras de tam año cinco.

CUADRO 4.23. Datos recolectados para el Problema 6

Hoja de datos - Gráficos de control x, R

Articulo: Varillas cromadas Código: VC987Característica: Longitud Especificación: 178,0 ±1,06Operación: Corte Máquina: Cortadora AOperario: A. J. López Inspector: C. HerreraFecha: 05-12-■85 Turno: 2 Hora de inicio: 3:00 p.m. Hoja# 1 de 1

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Promedio 177,6 176,6 178,4 176,6 177,0 179,4 178,6 179,6 178,8 178,2Intervalo R 23 8 22 2 7 8 5 6 7 4

Muestra # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Promedio 179,8 176,4 178,4 178,2 180,6 179,6 177,8 178,4 181,6 177,6Intervalo R 9 8 4 4 6 6 1 9 7 4

JORGE ACUÑA ACUÑA 38í

b. ¿ Q u é dicen en este caso los límites de atención 2 a -?

c. Determ ine la posición m ás económ ica de la media.

d. ¿ Q u é límites de control recom ienda para el futuro?

7. Los datos presentados en el Cuadro 4.24 corresponden a ensayos de verificación de calibración pertenecientes a 21 m áquinas. Los valores se han obtenido usando calibres patrón previam ente calibrados y verificados.

a. Construir y analizar un gráfico x ,R .

b. ¿ Q u é conclusiones se obtienen?

8. U n fabricante trata de que el pro ducto cu m p la con los requerim ientos especificados para una característica de calidad. El C uadro 4.25 presenta los valores del promedio y la desviación estándar para quince muestras de cincuenta observaciones cada una, tom adas en días consecutivos.



Artículo: Calibres Código: No hayCaracterística: Calibración Especificación: 70 ± 2Operación: Verificación Máquina:Operario: M. Orozco Inspector: M. ArceFecha : 07-10-85 Turno: 1 Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 1 de 1

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V i 5 75 72 75 73 70 70 76 73 72 72a n 4 75 71 72 72 70 65 74 73 71 71I d 3 73 71 74 70 70 66 75 71 71 730 i 2 73 71 74 71 76 65 72 70 71 70r V. 1 73 70 75 ' 70 73 65 72 69 73 69

Muestra # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

V i 5 72 72 75 73 79 70 73 71 71 67a n 4 72 73 75 74 69 69 73 71 78 69I d 3 71 77 75 73 74 69 77 70 69 690 i 2 71 71 78 70 72 70 71 75 70 67r V. 1 70 70 70 71 73 73 70 77 72 69



Hoja de datos - Gráficos de control x, o' ■ .

Artículo: Canutos de hilo Código: CH456Característica: Resistencia a tensión v - Especificación: 34,0 ± 4,9 Operación: Hiladura Máquina: Hiladora KAOperario: A. B. Brenes Inspector: C. Herra

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Promedio 35,1 34,6 33,2 34,8 33,4 33,9 34,4 33,0 32,8 34,8Desviación 5,4 4,7 3,8 4,5 4,0 4,3 5,0 5,3 3,3 3,8

Muestra # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Promedio 33,8 32,7 35,4 36,5 33,7Desviación 2,3 4,3 1,2 2,7 4,3

9. U na máquina desarrolló un trabajo calibrada para generar un diámetro con

una especificación de 0,258 ± 0,004 pulgadas. S e hizo un estudio tom ando

cin cu e n ta u n id a d e s en form a c o n se cu tiva o rig in á n d o se los datos del

Cuadro 4.26 (valores expresados en milésimas de pulgada, por encim a de

0,250 pulgadas)

a. Realizar una distribución de frecuencias de datos agrupados y probar

la normalidad del proceso.

b. H acer un estudio de capacidad de proceso con base en un gráfico de

c o n tro l de p ro m e d io s e in te rv a lo s , s ig u ie n d o el p ro c e d im ie n to explicado en este capítulo. Utilice los mismos datos para el análisis del

gráfico.

10. R e s u e lv a el P ro b le m a 9 p e ro u tiliza n d o un g rá fico de p ro m e d io s y

desviaciones estándar.

11. U n fabrica nte trata de m a n te n e r su p ro d u cto bajo un nivel de calidad

aceptable, exigido por las siguientes especificaciones de longitud:

E: 84,0 ±8 ,0 cm



Hoja de datos - Gráficos de control X, R

Articulo: Lámina rectangular Código: LR980Característica: Diámetro Especificación: 0,258 ±0,004Operación: Taladrado Máquina: TaladroOperario: M. Blanco Inspector: M. GuzmánFecha: 07-09-84 Tumo: 1 Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja # 1 de 1

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V I 5 12 13 12 11 9 7 7 8 11 6A N 4 10 6 6 16 8 13 6 7 10 9L D 3 12 10 7 12 7 10 11 10 12 12O I 2 11 9 8 11 9 10 9 10 10 8R V. 1 15 10 13 10 6 9 9 11 15 4

Para averiguar si lo está logrando tom a quince m uestras de veinticinco láminas cada una, originando la información que presenta el Cuadro 4.27.


Hoja de datos - Gráficos de control x, o

Artículo: Subensamble Código: SE323Característica: Longitud Especificación: 84,0 ±8,0Operación: Corte Máquina: Cortadora JOperario: A. B. Bolaños Inspector: D. PachecoFecha: 03-02-85 Turno: 2 Hora de inicio: 3:00 p.m. Hoja #1 de 1

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Promedio 85,1 84,6 83,2 84,8 83,4 83,9 84,4 83,0 82,8 84,8Desviación 7,4 7,7 5,8 5,5 4,0 4,3 5,7 9,3 4,3 7,8

Muestra # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Promedio 83,8 82,7 85,4 86,5 83,7Desviación 6,3 3,3 7,2 4,7 6,3

CONTROL DE CALIDAD

a. H acer el análisis del gráfico.

b. ¿ Q u é pasaría si las tolerancias se amplían a +10 cm ?

c. ¿ Q u é p a s a ría si se c o m p ra u na m á q u in a n u e v a q u e tie n e una

capacidad de 6ct’= 15,0 cm ?

d. ¿ Q u é haría U d si el pro ceso se descentra a 3 2 ,0 cm y m antiene la m ism a variabilidad?

e. ¿ Q u é haría U d si el p ro ce so a u m enta su variabilidad en un 2 0 % , m anteniendo su exactitud?

N O T A :T o d a s las respuestas deben ser justificadas con núm eros.

S e ha tenido la idea de que en la em presa A T R A S A , el troquel 3026 tiene problem as graves, pues no puede mantener su exactitud en una posición e c o n ó m ic a . C o n el fin de in v e s tig a r la s itu a ció n se to m a ro n tre in ta muestras de cinco piezas cada una y se midió el diám etro encontrándose un promedio de 15,6 mm y un intervalo promedio de 0.63 m m .

La característica de esta m áquina es que si las p iezas tienen diám etros superiores a lo especificado se pueden reprocesar, pero si este diámetro es inferior a lo especificado entonces se deben vende r a una cuarta parte del costo.

Si la especificación que se debe cumplir es E: 15,60 ± 0,56 mm y los costos unitarios son los siguientes:

Costo del material: 0 7,25

Costo de rem aquinado: 0 2,15

Costo de operación: 0 9,35

Costo de transporte de unidades con disminución de precio: 0 0,16

a. ¿C uá l es el costo esperado por pieza?

b. ¿C u á l es la posición económ ica de la media?

c. ¿Cuál es el ahorro por m es al nivel de producción de 25000 unidades diarias en promedio?


d. ¿ C u á le s serán los límites de control para un gráfico de promedios e intervalos?

e. ¿C uá les son los límites de control para valores individuales?

13. Resuelva la parte b) del Problem a 12 usando cálculo diferencial.

14. La em presa C A L C O S .A . se ded ica a la fabricación de roles, los cuales pasan por una cuidadosa inspección, en donde se cheque a la distancia entre el diámetro interior y el diámetro exterior. Los datos obtenidos de 25 muestras de cinco roles cada una se presentan en el C uadro 4.28.

Si la especificación es E: 72,6 ± 4,0 mm

a. ¿C uá l es la capacidad de este proceso?

b. ¿ Q u é porcentaje de producto fuera de especificaciones se produjo?


Hoja de datos

Artículo: RolesCaracterística: Longitud Operación: TorneadoOperario: A. CabezasFecha: 09-12-84 Tumo: 1

Gráficos de control x, R

Código: R900Especificación: 72,6 ±4,0 Máquina: Torno MInspector: C. Morales

Hora de inicio: 9:00 p.m. Hoja #.1 de 1

Muestra # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

PromedioDesviación

73,88,3

72,53,3

73,52,1

72,11,5

74,05,4

67,04,2

72,54,1

73,41,8

75,22,3

73.12.1

Muestra # 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

PromedioDesviación

73,22,4

72,71,5

74,01,7

72,81,7

72,01,8

71,92,1

70,81,5

71,51,4

74,01,1

75,31,3

Muestra # 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

PromedioDesviación

72,11,2

72.01.0

72,53,8

71,60,7

73,92,7


c. ¿ H a y tendencias importantes?

d. C o n s tru y a un gráfico C U S U M de M á s c a ra V u s a n d o un nivel de confianza del 9 5 % .

e. E sta b le zc a com pa ra cio n e s entre el gráfico usado en a ) y el gráfico usado en d).

f. C onstruya un gráfico C U S U M de intervalo h.

g. ¿ Q u é c o n c lu s io n e s o b tie n e U d . a c e rc a de la s itu a ció n d e esta característica de calidad?

15. El C u a d ro 4.29 presenta el peso de 20 m uestras de cinco unidades cada una obtenidas en un proceso de elaboración de gelatina. S e ha fijado un valor de referencia de 0,8340 decagram os.

a. C onstruya y analice un gráfico de promedios e intervalos.

b. C onstruya y analice un gráfico de sum as acum uladas de M áscara V.

c. Construya y analice un gráfico de sum as acum uladas de intervalo h.

d. C o m p a re los tres gráficos y obtenga algunas conclusiones.

CUADRO 4.29. Hoja de datos del Problema 15


Artículo: Gelatina Código: GÁ965Característica: Peso Especificación: 0,834 ±0,12Operación: Llenado Máquina: LlenadoraOperario: A. Vargas Inspector: S. ZapataFecha: 12-12-83 Tumo: 1 Hora de inicio: 8:00 a.m. Hoja #1 de 1

Muestra# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Muestra# 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


16. Para un nivel de calidad aceptable m a=6,5 mm y un nivel de calidad rechazable m = 2,0 mm, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra y los valores de k y h para un C U S U M unilateral, si A R L a= 1 000, A R L =2,5 y cr’=5?

17. Suponga que se decide controlar la exactitud de un proceso con un gráficc C U S U M similar al del Problema 14, excepto que k está colocado simétricam ente al otro lado de m a y que se usa -h en lugar de h com o intervalo dedecisión.

Si se desea operar con +h y -h , es decir con un esquem a bilateral,

a. ¿C uá l debería ser el A R L para un m a=6,5, un m r1=2,0 y r n ^ l 1,0?

b. Construya una Máscara V que sea equivalente a este gráfico bilateral.

18. Dados los siguientes valores, trazar la curva A R L de longitud promedio de la corrida:

k, = 110 = 113

k2 = 104 = 101

h = ± 9 ,5 n = 9 o ’ = 10

ma= 107

19. En un intento por establecer gráficos de sum as acum uladas se han fijado los s iguiente s va lo re s: A R L = 5 0 0 para m a= 1 00, A R L = 5 para m = 1 1 0 y g ’= 1 0. ¿C u á le s son los valores de h y de n para un C U S U M unilateral?

20. C o n el fin de diseñar una m áscara V se han fijado los siguientes parám etros: A R L = 2 5 0 para m a=70, A R L = 5 para m =90, y w =2. ¿C u á le s son los valores de d y 0 para la m áscara V?

21. U n gráfico C U S U M tiene un valor de referencia k igual a 8,4 y un intervalo de decisión de 2,8. El tamaño de muestra es nueve unidades, la desviación estándar es 2,3 y el nivel de calidad aceptable es 10,7. Construir la curva A R L de longitud promedio de corrida.

22. C o n s tru ir una m á sca ra V pa ra el p ro b le m a 2 y ca lcu la r la ve rd a d e ra magnitud de cam bio si se detecta algún cam bio de tendencia.

23. Desarrolle un program a de com putadora que permita la búsqueda de una ecuación de un modelo A R (n ).


24. Desarrolle el sistema de ecuaciones de un modelo A R M A (n, m ).

N O T A : Recuerde que al existir 0's, el m odelo no es lineal.

25. Para el P ro b le m a 2, determ ine si un m odelo A R (2 ) es apro p ia d o para analizar la estabilidad en el com portam iento de la variable en estudio. Dem uéstrelo.

26. Para el P ro blem a 1, determ ine cuál de los siguientes m od e lo s es m ás apropiado para representar la conducta de la variable en estudio: A R (2 ), A R M A (2 ,1 ), A R M A (3 ,2 ), A R (3 ).

GRAFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

n m u ch a s o ca s io n e s una línea de p ro d u cció n tiene dificultades con dos o m ás características de calidad, las cuales pueden o no ser llevadas a una escala de m edición. Con lo visto hasta el m om ento solo sería posible e va lu a r las características variables con el in c o n ve niente de que se debe construir un gráfico de control para cada una de ellas. Esta acción sería costosa y poco funcional pues sería im posible hacer el análisis de información, con lo que esta herramienta tan importante perdería todo su aporte.

Ante esta situación, se pueden aplicar los gráficos de control para atributos, los cuales permiten el control de varias características a la ve z, calificando la ca lidad de las piezas com o conform es o disconform es al compararlas con las normas de producción previamente establecidas.

Estos gráficos tienen un costo de inspección por unidad m ás bajo que los gráficos para variables. S in em bargo, requieren de una excelente organización de la inspección y de la información recolectada. La organización de la inspección, entre otras cosas, debe consid erar la estan darización de criterios de aceptación y


re c h a zo m ien tras que la inform ación recolecta da d eb e co n te m p la r p ro c e dimientos que permitan investigar causas asignables de variación, las cuales no son tan evidentes co m o en los gráficos para variables, pues en éstos se analizan varias características a la vez.

La uniformidad de criterios se logra a través de un program a de entrenam iento y de capa citació n y del desarrollo de un m anual de inspección que especifique entre otras cosas:

a. Procedim ientos de inspección

b. B ases estadísticas de muestreo

c. M anejo de instrumentos

d. Criterios de aceptación y rechazo de producto

e. Especificaciones técnicas

f. M uestras patrón

g. Destino de producto aceptado y rechazado

h. Docum entación

Los m anuales de inspección eficientes garantizan que la calificación del producto se haga de una m anera m ás real y hom ogénea, evitando al máximo la utilización de criterios subjetivos. Si esto se logra, los resultados que se obtengan del uso de gráficos para atributos, solamente dependerán del conocimiento de la técnica, que tenga el personal que lo aplica y de los errores propios del muestreo.

U na ventaja que tiene el estudio por atributos es que si existen variables continuas de poca relevancia en el control de proceso, pero que se desean controlar, se pueden usar calibres pasa-no pasa para evitar la medición de la variable y tratar ésta com o si fuese un atributo. El Ejem plo 5.1 ilustra esta situación.

E J E M P L O 5.1

La longitud de una p ie za plástica, u s a d a en un e n s a m b le se cu n d a rio , ha sid o c a ta lo g a d a c o m o d e m e d ia n a im p o rta n c ia e n la c la sifica ció n de

JORGE ACUÑA ACUÑA

c a ra c te rís tic a s de ca lid a d . La longitud de esta p ie za d eb e siguiente especificación:

E: 3 0 ± 2 c m

Diseñar dos calibres pasa-no pasa que eviten la medición de esta variable de tal m anera que se dism inuyan los costos de inspección.

SOLUCION

U n a form a de efectuar esta inspección es d iseñar dos calibres que se ajusten a la sim etría de la pieza. El material puede ser de plástico, m adera o metal.

El diseño de los calibres debe efectuarse de forma tal que las superficies que van a estar en contacto con las piezas m edidas no sean ásperas ni tengan protuberancias que afecten la decisión. Los calibres se diseñan uno para controlar el valor superior especificado (calibre pasa) y otro para controlar el valor inferior especificado (calibre no pasa). Estos calibres pueden tener la forma que presenta la Figura 5.1, en donde se consideran los valores especificados com o los topes máximos en cada caso. C on ello se está afirmando que una pieza no estará conform e a especificaciones si mide m enos de 28 cm o m ás de 32 cm , sin necesidad de efectuar la medición.

El procedimiento para usar los calibres de la Figura 5.1 es el siguiente:

1. T o m a r la pieza e introducirla en el calibre no pasa.

28 cm 32 cm

Calibre no pasa Calibre pasa

FIGURA 5.1. Esquema de calibres pasa-no pasa del Ejemplo 5.1


2. Si la pieza entra en el calibre no pasa se considera no conform e a e s p e cificaciones, pues m ide m enos de 28 cm . No es necesario utilizar el otro calibre y la pieza se rechaza.

Si la pieza no entra, entonces mide m ás de 28 cm, por lo que se procede a introducirla en el calibre pasa.

3. Si la pieza no entra en el calibre pasa se considera no conform e a e s p e cificaciones, pues mide m ás de 32 cm. Esta pieza es rechazada.

Si la pieza entra en el calibre pasa se considera que cum ple con lo e sp e c ific a d o p u e s tiene una d im e n s ió n q u e va de 28 a 3 2 , po r lo q u e es aceptada.

D E F E C T U O S O S V R S D I S C O N F O R M E S

Para obtener conclusiones adecuadas después de efectuar un control por atributos es de sum a importancia establecer la diferencia existente entre unidad defectuosa y unidad disconforme. U na unidad defectuosa es una unidad que no cum ple con la norm a de producción y que por lo tanto posee defectos que pueden o no pueden ser corregidos conllevando a u n reproceso o a un desecho parcial o total del producto.

U n a unidad disconforme es una unidad que no cum ple con la norm a de producción y que por lo tanto no puede ser aceptada. A diferencia de la unidad defectuosa, la unidad disconforme puede que no contenga ningún defecto. Si contiene uno o m ás defectos se convierte en unidad defectuosa.

U n a unidad por sí sola se cataloga com o defectuosa debido a que puede tener uno o m ás defectos. De aquí se concluye que no es correcto hablar de porcentaje de defectos sino de núm ero de defectos por unidad, por m uestra o po r c a d a cien u n id a d e s p ro d u c id a s . S í es co rre cto h a b la r de n ú m e ro de defectuosos o de porcentaje de defectuosos.

Al igual que en el control por variables, el control por atributos requiere de clasificar las no conformidades con el fin de realizar el estudio sobre los m ás importantes de acuerdo con su criticidad y su frecuencia de ocurrencia. S e aplican tam bién en este caso los diagram as de Ishikawa, Pareto y C ausa-efecto . Los defectos que se pueden encontrar en los productos se clasifican de la m ism a form a que las características de calidad:


1. No conformidades críticas

Estas corresponden a problem as m uy serios detectados en e l producto y que conllevan a defectos críticos evidentes. S e caracterizan porque:

a. Hacen que la unidad de producto sea totalmente iñútif-

b. Pueden ca u sa r fallas durante la puesta en uso del producto que no pueden ser corregidas

c. Ofrecen riesgo de causa r daños a personas o propiedades

d. Deben ser totalmente eliminadas

2. No conformidades mayores

C o rre sp o n d e n a pro blem as serios en el producto y p ueden o no existir defectos. Se caracterizan porque:

a. Posiblem ente causen fallas durante la puesta en uso del producto las cuales pueden ser corregidas con un grado alto de dificultad y de costo.

b. Seguram ente causarán un incremento en mantenimiento cuando se deseen evitar.

c. Pueden acortar la vida útil del producto.

3. No conformidades menores

S o n aquellas que se refieren a p ro blem as m od e ra d a m e n te serios que generalm ente no causan defectos. S e caracterizan porque:

a. La p ro b a b ilid a d de qu e o c a s io n e n fallas d u ra n te la v id a útil del producto no es despreciable.

b. Pueden causar problem as en las líneas de producción de naturaleza no tan seria com o las dos clases anteriores

c. G eneralm ente cuando existen defectos, éstos se deben a problemas de apariencia.

4. No conformidades incidentales

Son aquellas que existen en el producto y que pueden ser fácilmente vistas, sin em bargo, su influencia en el desem peño del producto es casi nula. S e caracterizan porque:


a. N o causan fallas de operación durante la vida útil del producto

b. Los defectos, si se presentan, no tienen un peso de importancia y en algunos casos pueden pasar desapercibidos.

Si se presentan estas no conform idades hacen que la pieza que las co n tiene se catalogue de acue rd o con la clasificación a la q ue pertenece. A s í se pueden tener unidades disconformes críticas, mayores, m enores e incidentales.

Al igual que en los gráficos de control para variables, en los gráficos de control para atributos es necesario clasificar las no conform idades con el fin de efectuar control sobre aquellos atributos que realmente m erecen atención.

Para esto se hace uso de los diagram as ya vistos, en especial el diagram a de Pareto. El Ejem plo 5.2 presenta una clasificación de defectos.

EJEMPLO 5.2

C o n el fin de estructurar un control por atributos se tomó de un proceso una m uestra de 80 unidades y se inspeccionó con el fin de localizar los defectos p re s e n ta d o s en el C u a d ro 5 .1 . E ste m is m o c u a d ro p re s e n ta la ca n tid a d encontrada así com o el peso asignado.

CUADRO 5.1. Información recolectada para el Diagrama de Pareto del Ejemplo 5.2

Defecto No. Criticidad

Huecos 100 100Rayaduras 25 25Porosidades 35 100Quebraduras 10 100Deformaciones 84 50Dimensiones 78 1Asperezas 65 50Suciedad 70 25Grietas 10 100


S O L U C I O N

Siguiendo el procedimiento de construcción del paretograma ya explicado anteriormente se construye el C u a d ro 5.2.

C o n base en el ordenam iento de la quinta colum n a del C u a d ro 5.2 , se co n s tru ye el C u a d ro 5 .3 , el cual se rvirá para graficar el d ia g ra m a que se presenta en la Figura 5.2. C o m o se puede observar en el C uadro 5 .3 y en la Figura 5.2, los defectos sobre los cuales se basará prioritariamente el control por atributos serán: huecos, deform aciones, porosidades y asperezas.

U n a ve z con o cid o s los defectos m ás im portantes, el siguiente paso es definir qué tipo de gráfico de control se debe usar. Si se detectara que la causa de alguno de estos defectos es una variable, se puede establecer un gráfico de control para va ria b le s, ya que perm itirá estudiar m ás a d e c u a d a m e n te los problem as. Si eso no ocurre se implementa un gráfico de control para atributos escogiendo, según se estudien defectos o defectuosos o unidades no conform es con especificaciones, entre los siguientes:

a. Gráfico de fracción defectuosa o disconforme (Gráfico p)

b. Gráfico de núm ero de defectuosos o disconform es (Gráfico np)

c. Gráfico de núm ero de defectos por muestra (Gráfico c)

CUADRO 5.2. Cálculos intermedios para el Diagrama de Pareto del Ejemplo 5.2

Defectos No. W No. *w %

Huecos 100 10 1000 39,37Rayaduras 25 25 625 2,46Porosidades 35 100 3500 13,78Quebraduras 10 100 1000 3,94Deformaciones 84 50 4200 16,53Dimensiones 78 1 78 0,31Asperezas 65 50 3250 12,79Suciedad 70 25 1750 6,89Grietas 10 100 1000 3,94


CUADRO 5.3. Cálculos finales para el Diagrama de Pareto

No. Defecto % % acum ulado

1 Huecos 39,37 39,372 Deformaciones 16,53 55,903 Porosidades 13,78 69,684 Asperezas 12,79 82,475 Suciedad 6,89 89,366 Grietas 3,94 93,307 Quebraduras 3,94 97,248 Rayaduras 2,46 99,709 Dimensiones 0,31 100,00

d. Gráfico de núm ero de defectos por unidad (Gráfico u)

e. Gráfico de núm ero de defectos por 100 unidades (Gráfico 10Ou)

f. Gráfico de deméritos

/ \405JORGE ACUÑA ACUÑA i405

GRAFICO PARA FRACCION DEFECTUOSA O DISCONFORME (p)

Este gráfico tam bién conocido con los nom bres de gráficcTjjygrafíco de porcentaje defectuoso, es m u y útil en el estudio del nivel de calidad de un proceso, cuando este se expresa en porcentaje defectuoso o fracción disconforme. Este gráfico es conveniente aplicarlo a aquellos procesos que no tengan porcentajes superiores al 1 0 % . Si esta cifra es superada se debe optar por la aplicación de gráficos para defectos.

Un aspecto relevante en la aplicación de este gráfico es el hecho de que puntos que están bajo el límite inferior de control, no deben ser eliminados. Por el c o n tra rio , d e b e n e s tu d ia rs e a fo n d o las c a u s a s de o c u rre n c ia de esa situación, con el fin de ejercer acciones que favorezcan la aplicación futura de esta técnica. Dentro de las posibles causas que se pueden detectar se tienen, desde el punto de vista optimista, mejoras considerables en el nivel del proceso o, desde el punto pesimista, inspección que no se ejecuta correctamente, por razones de falta de entrenamiento o negligencia.

Si se detectan situaciones favorables se deben establecer m ecanism os que permitan la aplicación efectiva de los medios que generan una baja fracción defectuosa. Si ocurren situaciones desfavo rables o indeseables, se deben ejercer de inmediato las acciones del caso con el fin de eliminar totalmente las causas respectivas.

En la aplicación de este tipo de gráficos se deben utilizar muestras grandes que p erm itan e v id e n c ia r las c o n d ic io n e s de un p ro ce so . El ta m a ñ o de la m uestra debe ser calculada usando la m etodología de m uestreo estadístico presentada en el capítulo 2.

El tam año de muestra puede ser constante o variable para cada grupo que se recolecte . Si es con stante , los lím ites de control de pro ceso son líneas rectas, tal y co m o se vio en el capítulo anterior. Si es variable, los límites de control de proceso pueden ser líneas rectas o líneas quebradas. Esto depende de qué tan grande sea la variabilidad en el tamaño J e la muestra. La decisión de usar un valor constante o variable depende de las características del proceso y de la facilidad y posibilidad de extraer m uestras de tam año constante, forma

que siem pre será la preferida, debido a la facilidad de cálculo.


Lo s dos casos que se presentan a continuación dem uestran los riesgos que se generan por utilizar lím ites de control de p ro ce so rectos, c u a n d o lo requerido eran límites de control de proceso quebrados.

C a s o A

O b s e rv a n d o la F ig u ra 5.3 , se nota, según el lím ite recto, q ue el punto corresp ondiente a la m uestra k está fuera de control, sin em b a rgo , el límite quebrado de tam año de muestra variable indica lo contrario.

FIGURA 5.3. Representación del Caso A.

C a s o B

O b s e rv a n d o la F ig u ra 5.4 , se nota, según el lím ite recto, q u e el punto correspondiente a la m uestra 1 está dentro de control, sin em bargo, el límite quebrado de tam año de m uestra variable indica lo contrario.

Al igual que en los gráficos de control para variables, estos gráficos tam bién se aplican en las tres etapas a saber construcción, análisis y seguimiento.

JORGE ACUÑA ACUÑA

FIGURA 5.4. Representación del Caso B.

Construcción de l gráfico

El procedim iento para la construcción de un gráfico p es el siguiente:

1. Identificar el proceso o m áquina que causa problemas de calidad. Esto se hace con la ayuda de los diagram as de Ishikawa, de Pareto y causa-efecto.

2. Analizar en detalle los defectos que ocasionan piezas defectuosas.

3. Determ inar el tam año de la muestra (n ) según el procedimiento ya citado.

E s conveniente que esta m uestra no sea de un tam año inferior a veinte unidades.

4. D eterm inar el núm ero de m uestras (m ) por tom ar y el intervalo de m ues

treo. Es conveniente que este núm ero de m uestras sea superior a quince y el intervalo debe ser determ inado de tal form a que se reflejen las condiciones del proceso.

5. Recolectar las m -m uestras de tam año n. S e debe anotar aquí toda inform ación que se considere necesaria, pues se debe recordar que en este tipo de gráfico es m ás difícil el estudio de causas asignables. Durante esta recolección no se deben ejecutar cam bios ni ajustes en el proceso. Para


ordenar este proceso se puede hacer uso de un formato com o el mostrado

en el C ua d ro 5.4.

6. R e a liz a r la in sp e cc ió n de las m -m u e s tra s , s e p a ra n d o con su d e b id a identificación a las piezas defectuosas o disconform es. S e debe llevar un registro de la cantidad de piezas defectuosas identificando el tipo y núm ero de defectos encontrados.

7. C a lc u la r el p o rce n ta je de d e fe c tu o s o s o d is c o n fo rm e s u tiliza n d o la siguiente expresión:

Total de defectuosos en la muestra np* 100p ( % ) = ------------------------------------------------------------------------------------= -------------------

tam año de la m uestra n

8. Calcular el porcentaje promedio de defectuosos o disconformes usando la siguiente expresión:

_ Totalidad de unidades defectuosas en las m -m uestrasp ( % ) = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

núm ero total de unidades

I n p * 1 0 0p(%) = ----------------

m*n

S e puede calcular tam bién com o el prom edio de los porcentajes calculados en el punto 7. Sin em bargo, existe el problema de que por redondeo se pierden los datos originales.

C u and o el tam año de la muestra es variable el término m*n se convierte en I n .

9. C a lc u la r los lím ites especificado s y los lím ites de control de p ro ce so , basándose en la distribución binomial.

a. Lím ites especificados

E s to s lím ites p u e d e n estar b a s a d o s en un va lo r m á xim o , c u a n d o se establece que el porcentaje defectuoso no debe superar una cantidad fijada o en un valor prom edio cuando se especifique el requerimiento en esa forma.

Valor m áxim o (p= fracción m áxim a especificada)

L S E p= p

Valor prom edio (p = fracción promedio especificada)

L S E p= p + 3 \J[p(1-p)]/n

L C E p= p

L IE p= p - 3 v[p(1 -p)]/n


L S C p= p + 3 \J[p(1-p)]/n

L C C p= p

L IC p= P ■ 3 \j [p(1 -p)]/n

El límite superior se redondea hacia arriba y el límite inferior hacia abajo, con dos decimales.

C u a n d o el límite inferior de control del proceso es negativo, tom a el valor de cero . En ca so de que el ta m a ñ o de la m uestra sea variable , se pueden calcular los límites de control del proceso de dos formas:

Usando un tam año de m uestra promedio calculado com o:

mX ni¡= t

n = -----------------------m

y sustituyéndola en los anteriores límites en lugar de n.

CONTROL DE CALIDAD

• Calculando límites de control individuales mediante la aplicación de las anteriores fórmulas en forma separada para cada m uestra tom ada.

Construir el gráfico. El gráfico p presenta en el eje x el núm ero de muestra, la hora de recolección, nom bre del recolector, la m áquina, etc., y en el eje y el porcentaje de producto disconforme o fracción defectuosa usando una escala adecuada que permita graficar hasta el valor m ás alto entre el límite su p e rio r de control de pro ceso y el va lo r de m a yo r m agnitud entre los porcentajes defectuosos o disconform es.

U n a ve z que se tienen los ejes se trazan los límites de control del proceso y cad a uno de los puntos correspondientes a cada m uestra, uniéndolos con línea recta continua tal y com o se muestra en la Figura 5.5. Los límites especificados se pueden superponer en plástico sobre el gráfico. N o es

conveniente graficarlos.

álisis de l gráfico

Al analizar un gráfico p, hay que tener en cuenta dos aspectos principales:

a. La situación del proceso con respecto a sí m ismo

FIGURA 5.5. Representación de un gráfico p


b. El control del proceso con respecto a especificaciones

Si se analiza el prim er aspecto, se pueden encontrar tres situaciones:

• M uestras sobre el límite superior de control

• M uestras bajo el límite inferior de control

• Tend e n cia s

Si existen m uestra s sobre el límite superior de control es necesario eliminarlas y recalcular una nueva fracción promedio con sus respectivos límites de control. El valor de la fracción defectuosa modificada se calcula así:

I n p - A

Pm= -----------------------(m -s )-n

donde:

pm = fracción defectuosa prom edio modificada

X n p = total de defectuosos originales

A = total de defectuosos sobre del L S CP

m = núm ero inicial de muestras

s = núm ero de muestras que superan el L S C p

n = tam año de la muestra

Lo s lím ites de con tro l m o d ific a d o s se re c a lcu la n u sa n d o la fracció n defectuosa modificada. C o n estos nuevos límites se debe revisar de nuevo si existen puntos fuera. Si los hay, se recalculan de nuevo p y los límites. Si se elimina m ás del 4 0 % de las muestras, el estudio pierde validez estadística y por lo tanto no es conveniente continuar. S e deben introducir mejoras que reduzcan el porcentaje defectuoso y repetir el análisis con nueva información.

Las muestras que se encuentren bajo el L IC p, no deben eliminarse, pero sí investigar las razones de tal situación, pues tal y com o se dijo anteriormente, puede que sean casos especiales dignos de tratar con cuidado.


Si hay te n d e n cia s de pend ien te positiva, se d e b e d a r un seguim iento estricto al proceso, con el fin de tom ar acciones preventlvas.que eviten que la fracción defectuosa, de un m om ento a otro, supere el L S C p.

Si la tendencia es negativa, implica un indicio de m ejora en el proceso. De todas formas se deben investigar las causas para estar seguros de que son de carácter beneficioso y no perjudicial.

U na ve z que se ha investigado el proceso, se debe analizar la situación del m ism o con respecto a la especificación. S e debe te n e r presente a q u í, si la especificación es un m áximo o un promedio. Si no se cum ple con lo especificado, se deben introducir mejoras que disminuyan la fracción defectuosa o pactar una nueva fracción con el cliente si es posible. Lo segundo es la única opción que queda cuando se tiene certeza de que el proceso no tiene posibilidades de mejora.

Seguim iento de l gráfico

U n a v e z q u e se tiene c e rte z a de qu e el p ro c e s o ha sido a n a liz a d o detenidam ente, se pueden usar los últimos límites de control de proceso para controlar las características de calidad hasta que alcance un nivel de calidad satisfactorio. E s im portante en esta etapa fijar m etas, cum plirlas y tra za rse nuevas. Esto con el fin de buscar la excelencia en el proceso.

La aplicación de gráficos de control p se pu e d e v isu a liza r m ejo r en el Flujogram a que se presenta en el Apéndice II.

EJEMPLO 5.3

U n a línea de p ro d u cció n de p a n ta lo n e s tiene g ra n d e s p ro b le m a s de c a lid a d , p u e s los lo te s e s tá n s ie n d o p ro d u c id o s c o n un p ro m e d io de defectuosos superior al 3 % especificado com o prom edio. Esto ha significado grand es volúm enes de rechazo en los últimos m eses.

C o n el fin de investigar esta situación se ha recolectado la información que presenta el C ua d ro 5.4.

Estudiar este problema usando un gráfico p.

JORGE ACUNA ACUNA 41 3

CUADRO 5.4. Información recolectada para el Ejemplo 5.3

H O JA DE D A TO S — G R A FIC O S DE C O N TR O L P

Artículo: PantalonesInspector: V. SanabriaLínea: 12Fecha: 12-09-85 Turno: 1

Código: PA-678Especificaciones: 3 % promedioTamaño de muestra: n=50

Hora de inicio: 8:00 am Hoja #1 de 1

Número de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hora 8:00 8:10 8:35 8:51 9:00 9:16 9:29 9:41 9:59 10:07# de defectuosos 3 8 4 2 5 1 2 10 3 4Fracc. de defectuosos 0,06 0,16 0,08 0,04 0,10 0,02 0,04 0,20 0,06 0,08


Hora 10:18 10:25 10:31 10:42 10:55 11:03 11:15 11:25 11:35 11:50#■ de defectuosos 3 2 5 4 3 2 7 2 1 4Fracc. defectuosa 0,06 0,04 0,10 0,08 0,06 0,04 0,14 0,04 0,02 0.08

SOLUCION

I. Construcción

L o s P a s o s 1, 2, 3 y 4 fu e ro n re a liz a d o s de p re v io a la to m a de la información.

Los Pasos 5 ,6 y 7 se encuentran en el C uadro 5.4.

Paso 8. Cálculo del prom edio de defectuosos

_ Znp 75p = ------------- =------------------ = 0,075

m-n 1000


Paso 9. Límites de control

a. Límites especificados

p =0,03 n=50

L S E p = 0 ,0 3 + 3 \j [0,03*(1 -0 ,03)]/50 = 0,11

L C E = 0 ,0 3P ’

L IE p = 0 ,03 - 3 \| [0,03*(1 -0 ,03)]/50 = -0 ,0 4 2

D ado que el L IE p resultó negativo asum e el valor de cero. Sea:

L IE p= 0

b. Límites de control de proceso

L S C p = 0,075 + 3 \| [0,075*(1 -0,075)]/50 = 0 ,1 9

L C C = 0 ,0 7 5P ’

L IC p = 0,075 - 3 \f[0,075*(1 -0,075)]/50 = -0 ,0 3 7

El límite inferior se asum e cero. Sea:

L IC = 0P


La Figura 5.6 m uestra el gráfico correspondiente a este ejemplo.

II. Aná lis is de l gráfico

Al observar la Figura 5.6, se nota un punto fuera, el correspondiente a la m u e s tra N o . 8. P o r c o n s ig u ie n te se e lim in a y se p ro c e d e a re c a lc u la r el prom edio de defectuosos y los límites modificados.

7 5 - 1 0 65 65p = -----------------------= --------------- = ---------------= 0,0681 m

(20-1 )*50 19*50 950

JORGE ACUÑA ACUÑA 4 1 5

FIGURA 5.6. Gráfico de control p para el Ejemplo 5.3.

0,068 + 3 \j [0,068*(1 -0,068)]/50 = 0 ,1 8

0,068

0,068 - 3 \[ [0,068*(1 -0,068)]/50 = -0 ,0 4

0

Al observar de nuevo la Figura 5.6 con los nuevos límites modificados, se nota que no se sale ningún punto. En cuanto a tendencias no hay nada importante que m encionar.

Hasta aquí, el proceso de fabricación de pantalones es capaz de brindar una calidad promedio de 6 ,8 % , lo cual está lejos de la especificación 3 % . S e debe Investigar la causa de tanto rechazo, averiguando cuáles características de calidad son las m ás problemáticas con el fin de controlarlas en una forma m ás estricta.

En general, se puede concluir que en realidad el proceso está produciendo con un bajo nivel de calidad.

L S Cp>

L C C .

L IC =pm

LIC =


N o es posib le usar este gráfico de control para se g u im ie n to pu e s no

cu m p le con la e specificación. S e d eb e repetir el estudio cu a n d o se tenga

certeza de que la calidad ha mejorado.

E J E M P L O 5.4

E n el E je m p lo 5 .3 , se d e s e a in ve stiga r la s ituación del p ro ce s o pero

utilizando m u e stra s de ta m a ñ o variable . La inform ación se pre senta en el

C u a d ro 5.5. Efectúe el análisis a través de un gráfico p.

III. Seguim iento

CUADRO 5.5. Información del Ejemplo 5.4

HOJA DE DATOS — GRAFICOS DE CONTROL p

Artículo: Pantalones Inspector: V. Solano Línea: 12 Fecha: 12-09-85 Turno: 1

Código: Especificación: Tamaño de muestra:

Hora de inicio: 7:00 am

PA -678 3% promedio Variable

Hoja # 1 de 1

N ú m e ro de m uestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Hora 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30

Tamaño demuestra 50 58 40 80 68 65 60 44 55 58

# de defectuosos 4 3 5 10 8 4 5 2 1 3

Fracc. defectuosas 0,080 0,052 0,125 0,125 0,118 0,061 0,083 0.045 0,018 0,052


Hora 12:00 1:00 1:30 2:00 2:30 3:00 3:30 4:00 4:30 5:00

Tamaño demuestra 41 54 60 50 55 65 66 50 41 66

# de defectuosos 2 8 4 5 3 2 4 3 5 1

Fracc. defectuosa 0,049 0.148 0,067 0,100 0,054 0,030 0,061 0,060 0,122 0.015


SOLUCION

I. Construcción de l gráfico

L o s P a s o s 1, 2 , 3 y 4 fu e ro n re a liz a d o s d e p re v io a la to m a de la información.

Los Pasos 5 ,6 y 7 se encuentran en el C uadro 5.5.

Paso 8. Cálculo de la fracción prom edio de defectuosos

X n p 82p = = ------------- = 0 ,0 7 3

X n 1126

Paso 9. Cálculo de límites


Son los m ism os del Ejem plo 5.3.

b. Límites de control del proceso.

S e presentan aquí los dos casos, para efectos de mostrar su aplicación. La decisión de cuál usar se da en función del grado de variabilidad del tam año de la m uestra, lo que puede pro vocar dificultades según lo presentan los casos citados al inicio del capítulo.

C A S O A. B asado en el prom edio del tam año de la muestra

50 + 58 + 4 0 + ..................+66n =------------------------------------------------------------ = 56,3

20

L S C p = 0 ,0 7 3 + 3 J [0,073*(1 -0,073)]/56,3= 0,18

L C C = 0 ,0 7 3P

L lC p = 0 ,0 7 3 -3 \f[0,073*(1-0,073)]/56,3 = -0 ,0 3 1

L IC = 0P


C A S O B. B asado en límites individuales

S e d e b e u sa r c u a n d o el ta m a ñ o de la m u e stra s e a m u y va ria b le . Los límites se presentan en el C u a d ro 5.6.

CUADRO 5.6. Cálculos para límites individuales

# n V n 0 ,7 8 /V n

(*)

LSCpn

1 50 7,071 0,1103 0,1842 58 7,616 0,1024 0,1763 40 6,324 0,1233 0,1974 80 8,944 0,0872 0,1615 68 8,246 0,0946 0,1686 65 8,062 0,0967 0,1707 60 7,746 0,1007 0,1748 44 6,633 0,1176 0,1919 55 7,416 0,1052 0,179

10 58 7,616 0,1024 0,17611 41 6,403 0,1218 0,19512 54 7,348 0,1061 0,18013 60 7,746 0,1006 0,17414 50 7,071 0,1103 0,18415 55 7,416 0,1052 0,17916 65 8,062 0,0967 0,17017 66 8,124 0,0960 0,16918 50 7,071 0,1103 0,18419 41 6,403 0,1218 0,19520 66 8,124 0,0960 0,169

— _ - 3 '[ p*(1-p) 3 ,0,073(1-0,073) 0,78(*) 3\J[p*(1-p)]/n = -----------------------= -------------------------------------------= ------------

fn >ln íñ


0,78 0,78(**) L S C p= p + ------------------= 0,073 + ---------------

fñ IrT

Los límites inferiores de control tienen una magnitud negativa por lo que se tom an com o cero.


La Figura 5.7 muestra el gráfico p de este ejemplo, en él se dibujan los dos tipos de lím ites, para m ostrar que para esta m uestra específica los límites individuales no son necesarios.

II. Análisis del gráfico

Al observar la Figura 5.7, se puede ver que ningún punto supera el L S C , por lo que se concluye que el proceso está bajo control. Existe una tendencia negativa, no m uy pronunciada, que refleja una disminución del porcentaje defectuoso.

En cuanto a la especificación, este proceso no la cum ple pues genera un promedio del 7 ,3 % , cuando lo requerido es del 3 % . Por lo tanto, se deben investigar las causas de ello.

III. Seguim iento

N o es conveniente trabajar con este gráfico en la etapa de seguim iento hasta tanto no se cum pla con especificación o se llegue a un acuerdo con el cliente de aceptar lo que se está produciendo, con el com prom iso de que se hará todo lo posible para mejorar.

Si se desea continuar con la etapa de seguimiento es posible que se den puntos ce rca del L S C p, po r lo que los lím ites individuales p ueden se r m ás efectivos que los límites basados en el tam año de muestra promedio.

GRAFICO PARA NUMERO DE DEFECTUOSOS (np)

Este gráfico tiene las m ismas características del gráfico p, con la diferencia de que en lu g a r del va lo r p en el eje y , se usa el va lo r de np (n ú m e ro de

0,18


FIG

URA

5.7.

Grá

fico

de co

ntro

lp

para

el

Ejem

plo

5.4


defectuosos o disconform es). La form a del gráfico es la m ism a, pero la información que se obtiene es diferente, pues el gráfico p origina conclusiones con base en valores relativos, mientras que el gráfico np las origina con base en va lores absolutos. D epende de lo que se desee se selecciona uno u otro gráfico.

El gráfico np solam ente se usa para tam año de m uestra constante. Los pasos en la construcción, análisis y seguimiento son los m ism os del gráfico p, con algunas variantes en los cálculos.

C o n s tru c c ió n del g rá fico

El procedim iento para la construcción de un gráfico np es el siguiente:

1. Identificar el proceso o m áquina que causa problem as de calidad. Esto se hace con la ayuda de los diagramas de Ishikawa, de Pareto y causa-efecto.

2. A n a liz a r en fo rm a d e ta lla d a , los d e fectos q u e o ca sio n a n p ie za s d e fectuosas.

3. Determ inar el tam año de la muestra (n) según el procedimiento ya citado. E s conveniente que esta m uestra no sea de un tam año inferior a veinte unidades.

4. Determinar el núm ero de m uestras (m ) a tomar y el intervalo de muestreo. Es conveniente que este núm ero de m uestras sea superior a quince y el intervalo debe ser determinado de tal forma que se reflejen las condiciones del proceso.

5. Recolectar las m -m uestras de tam año n. Se debe anotar aquí toda inform ación que se considere necesaria, pues se debe recordar que en este tipo de gráfico, al igual que en el gráfico p, es m ás difícil el estudio de causas asignables. Durante esta recolección no se deben ejecutar cam bios ni ajustes en el proceso. Para tener una recolección m ás ordenada se puede usar un formato com o el que m uestra el Cuadro 5.7.

6. Realizar la inspección de las m -m uestras, separando con su debida identificación a las piezas defectuosas o disconformes. Se debe llevar un registro de la cantidad de piezas defectuosas identificando el tipo y núm ero de defectos encontrados.


7. C alcular el núm ero prom edio de defectuosos o disconform es usando la siguiente expresión:

Totalidad de unidades defectuosas en las m -m uestras

m

S e puede calcular tam bién m ultiplicando el tam año de la m uestra por la fracción defectuosa promedio.

8. C a lc u la r los lím ites especificado s y los lím ites de control de p ro ce so , basándose en la distribución binomial.


Estos límites pueden estar basados en un valor m áxim o, cuando se establece que el núm ero de defectuosos no debe superar una cantidad fijada o en un valor prom edio cuando se especifique el requerimiento en esa forma.

Valor m áxim o (p = fracción m áxim a especificada)

np =■núm ero total de muestras extraídas

I n pnP = • 100

A

L S E p = np

Valor prom edio (p = fracción prom edio especificada)

A

L C E = npnp “

LIEp



L C C p = np

L|C„p = n p - 3 ' l n p (1 -p )

El límite superior se redondea hacia arriba y ei límite inferior hacia abajo, con dos decimales.

C u a n d o el límite inferior de control del proceso es negativo, toma el valor de cero.

9. Construir el gráfico. El gráfico np presenta en el eje x el núm ero de m uestra, la hora de recolección, nombre del recolector, la máquina, etc., y en el eje y el núm ero de defectuosos. S e debe usar una escala adecuada que permita graficar hasta el valor más alto entre el límite superior de control de proceso y el valor de m ás magnitud entre los núm eros de defectuosos.

Una ve z que se tienen los ejes se trazan los límites de control del proceso

y cad a uno de los puntos correspondientes a cada m uestra, uniéndolos con línea recta continua tal y com o se muestra en la Figura 5.8. Los límites especificados se pueden superponer en plástico sobre el gráfico. No es conveniente graficarlos.

FIGURA 5.8. Representación de un gráfico np


Al igual que el gráfico p, hay que tener en cuenta dos aspectos principales:

a. La situación del proceso con respecto a sí m ismo

b. El control del proceso con respecto a especificaciones

Si se analiza el primer aspecto, se pueden encontrar tres situaciones:

• M uestras sobre el límite superior de control

• M uestras bajo el límite inferior de control

• Te n d e n cia

Si existen m u e s tra s so b re el lím ite su p e rio r de con trol es n e c e s a rio eliminarlas y recalcular el nuevo promedio de defectuosos o disconform es con sus respectivos límites de control. El valor del número promedio de defectuosos m odificado se calcula así:

_ I n p - FnPm = ------------------

(m-l)

donde:

npm = núm ero promedio de defectuosos modificado

X n p = total de defectuosos originales

F = total de defectuosos fuera del L S C np

m = núm ero inicial de muestras

I = núm ero de muestras que superan el L S C np

n = tam año de la muestra

Los límites de control modificados se recalculan usando el nuevo valor del promedio de defectuosos. C o n estos límites se debe revisar de nuevo si existen puntos fuera. Si los hay, se recalcula de nuevo el promedio de defectuosos y los límites. Si se elim ina m ás del 4 0 % de las m uestras, el estudio pierde validez estadística y por lo tanto no es con venie nte continuar. S e deb en introducir

A nálisis del gráfico


mejoras que reduzcan el núm ero de defectuosos y repetir el análisis con nueva información.

Las muestras que se encuentren bajo el L IC np no deben eliminarse, pero se deben investigar las razones de tal situación, pues tal y com o se dijo anteriormente, puede que sean casos especiales dignos de tratar con cuidado.

Si hay te n d e n cia s de pendiente positiva, se d eb e dar un seguim iento estricto al proceso, con el fin de que se puedan tomar acciones preventivas que eviten que el núm ero de defectuosos, de un m om ento a otro, supere el L S C np,

Si la tendencia es negativa, implica un indicio de mejora en el proceso. De todas formas se deben investigar las causas para estar seguros de que son de carácter beneficioso y no perjudicial.

U n a ve z que se ha investigado el proceso, se debe analizar su situación con respecto a la especificación. H ay que tener presente aquí, si la especificación es un m áxim o o un prom edio. Si no se cum ple con lo especificado, se deben introducir m ejoras que dism inuyan el núm ero de defectuosos o pactar una nueva especificación con el cliente si es posible. Lo segundo es la única op

ción que q u e d a c u a n d o se tiene ce rte za de q ue el p ro ce so no tiene posibilidades de mejora.


S e aplica lo ya anotado para el gráfico de control p.

C o n este gráfico se pu e d e aplicar el flujogram a que se presenta en el Apéndice II, siem pre y cuando se cam bien los términos que hablan de porcentaje defectuoso por núm ero de defectuosos.

EJEM PLO 5.5

Una imprenta desea estudiar su proceso mediante un gráfico de control np. Para ello, se toman 20 muestras de 200 láminas impresas cada una, las cuales

se m uestran en el Cuadro 5.7. H acer el análisis correspondiente.


CUADRO 5.7. Información recolectada para el Ejemplo 5.5

HOJA DE DATOS — GRAFICOS DE CONTROL np

Artículo: ImpresosInspector: A. SilesLinea: 1 2-67Fecha: 12-03-85 T urno: 2

Código: IP— 458Especificación: 2% MáximoTamaño de muestra: n=200

Hora de Inicio: 2:00 pm Hoja # 1 de 1


Hora 2:00 2:30 3:00 3:30 4:00 4:30 5:00 5:30 6:00 6:30# de defectuosos 6 7 4 2 10 8 6 4 5 4


Hora 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30# de defectuosos 7 9 2 1 4 12 15 4 3 2

SOLUCION

I. Construcción de l gráfico

L o s P a s o s 1, 2 , 3 y 4 fu e ro n re a liz a d o s de p re v io a la to m a d e la información.

Los Pasos 5 y 6 se encuentran en el Cuadro 5.5.

Paso 7. Cálculo del prom edio de defectuosos

I n p 115np = --------------= ----------------= 5,75

m 20



i


115p = -------------------= 0,02875

200*20

L S C np = 5,75 + 3 Í5,75*(1-0 ,02875)%= 13

L C C = 5 ,7 5np

L IC np = 5 , 7 5 - 3 '15,75.(1-0,02875) = -1 ,3 4

El límite inferior se supone que es cero. Sea:

LIC = 0np


La Figura 5.9 muestra el gráfico correspondiente a este ejemplo.

II. Análisis del gráfico

Al o b s e rva r la F igu ra 5 .9 , se nota que la m uestra N o. 17 sale sobre el L S C np, lo que indica que en el m om ento de toma de esta muestra el núm ero de defectuosos se incrementó. Ante ésto, se elimina esta muestra y se recalculan los límites de control de proceso.

I n p - 1 5 1 1 5 -1 5npm = ----------------------= ------------------------------ = 5,26

m - 1 19

p =1/3800 = 0,02631 m

L S C np = 5,26 + 3 5 ,2 6 .(1 -0 ,0 2 6 3 ) = 12,0

L C C = 5 ,2 6np


Fi GURA 5.9. Gráfico de control np para el Ejemplo 5.5

L IC np = 5,26 - 3 i 5 ,2 6 .(1 -0 ,0 2 6 3 ) = -1 ,9 4

L IC = 0np

Al observar de nuevo la Figura 5.9, pero con los nuevos límites m odificados, se nota que la m uestra N o. 16 está fuera del límite superior de control. Puesto que aún no se han eliminado m ás del 3 0 % de las muestras se procede a recalcular el prom edio y los límites de control.

1 0 0 -1 5 np = — = 4,89r m

1 9 -1

p = 88/3800 = 0,02441 m

L S C np = 4 ,89 + 3 'J4 ,89 *(1-0,0244) = 12,0

L C C = 4 ,8 9np


se

C o n respecto a especificaciones, no hay cum plim iento, pues el m áxim o requerido es de 4 unidades disconform es, mientras que el proceso genera 12 unidades defectuosas com o m áximo. D eben buscarse soluciones inmediatas pues la situación es crítica.

C o n respecto a tendencias, el gráfico muestra bastante irregularidad, con altibajos que m erecen ser estudiados.

Seguim iento

El seguimiento con este gráfico no es conveniente, pues no se cum ple con la especificación, y el proceso se encuentra m uy lejos de cumplirla.

M é to d o gráfico

C u and o no interese analizar tendencias sino más bien saber si el proceso está fuera de control con base en un análisis rápido, se puede utilizar la Figura 5.10. El procedimiento por seguir es el siguiente:

1. S e calcula el valor de np, con base en la fórmula ya dada.

2. S e localiza en el eje x el valor del núm ero de defectuosos y se traza una línea recta hacia arriba hasta intersectar la línea de trazo grueso.

3. S e traza una línea horizontal punteada desde la intersección anterior y el eje y. Este valor es el L S C np.

4. S e busca en el cuadro de valores de np, la o las muestras que sobrepasan el valor del L S C np. Si no hubiese ningún punto fuera de ese límite se dice que el proceso está bajo control estadístico.

5. Si existen puntos fuera se ejecuta el análisis si corresponde.

LIC = 4 ,8 9 -3 '1 4 ,8 9 .(1 -0 ,0 2 4 4 ) =

Al observar la Figura 5.9 se nota que sale ninguna otra muestra.


Valores de np

FIGURA 5.10. Forma gráfica de aplicar un gráfico de control np.

E J E M P L O 5.6

Resolver el Ejemplo 5.5, utilizando el método gráfico.

1. El valor de np es 5,75 según el Ejem plo 5.5.

2. Se localiza el valor de 5,75 en el eje x.

3. Al utilizar la Figura 5.10 se obtiene que el L S C np es Igual a 13 defectuosos.

4. Al observar el C u a d ro 5.7 se nota que la m uestra No. 17 tiene 15 defectuosos, por lo que es necesario hacer el análisis.

1 1 5 -1 5npm= ------------------------= 5,26

2 0 - 1

Al localizar el nuevo valor de 5,26 en el eje x de la Figura 5.10 se nota que el L S C np modificado es 12 defectuosos. Al observar de nuevo el Cuadro 5.7 se nota que la m uestra N o. 16 se encuentra fuera de ese límite. S e procede a recalcular el valor de np.

1 1 5 - 1 5 - 1 2npm = — -------------------- = 4,89

18

Al revisar de n uevo la Figura 5 .1 0 , ahora con npm=4 ,8 9 se tiene que el L S C npsigue siendo 12 defectuosos. Por lo tanto, ya no hay m ás muestras fuera del límite superior de control.

E n conclusión, se tiene un pro ceso que brinda un límite superior de 12 defectuosos, el cual es m ayor que el valor especificado de 4 defectuosos. Por lo tanto hay que ejercer acciones para disminuir esa cantidad de defectuosos.

GRAFICO PARA DEFECTOS POR MUESTRA (c)

Este gráfico, llamado también gráfico c, sirve para el control de defectos cuando éstos se chequean por muestra extraída.

En estos gráficos, al igual que en los gráficos para defectuosos, los puntos que están bajo el límite inferior de control no se eliminan, sino que se investigar sus causas, pues pueden significar baja cantidad de defectos. La importancia


de estos gráficos es que permiten analizar a fondo aquellos defectos que se presentan con m ás frecuencia, cuya reducción y posible elim inación, puede permitir la eliminación o reducción de la cantidad de defectos.

C o m o se ha dicho antes, la clave de éxito de este tipo de control está en la eficiencia y eficacia de la inspección. Ante ello, es necesario norm alizar m étodos y criterios en las decisiones de aceptación y rechazo de unidades. C o m o u na a yu d a cla ve a esto se tienen los m a n u a le s de inspección b a s a d o s en m u e s tra s patrón q u e e s ta b le zc a n el g ra d o de criticidad de ca d a defecto encontrado en la línea de producción en estudio.

E s importante recalcar que por ser atributos los que se inspeccionan, se deben tener adecuados m edios de recolección de datos que permitan la anotación de características especiales o bservadas en el m om ento de tom a de m uestras.

Estos gráficos tam bién se aplican en tres etapas: construcción, análisis y seguimiento.


Los pasos en la construcción del gráfico c son los siguientes:

1. Lo ca liza r la m áquina o línea de pro ducción con p ro blem as de calidad originados por la cantidad de defectos producidos.

2. C la sifica r los defectos, de tal m a n e ra que el estudio se realice sob re defectos críticos.

3. Seleccionar el o los defectos sobre los cuales se llevará el gráfico de control c.

4. C a lcula r el tam año de la m uestra n. Esta m uestra debe ser de tam año constante.

5. Determinar el núm ero de muestras m que se van a extraer. Es recom endable que sea superior a veinte.

6. Recolectar las m uestras a un intervalo de muestreo que garantice aleatoriedad y representatividad. El C uadro 5.8 muestra un ejem plo de formato que puede ser usado para organizar el proceso de recolección.


m

8. Calcular los límites de control del gráfico basándose en la distribución de Poisson.


• Si se da el núm ero de defectos en promedio, los límites se calculan así:

L S E = c + 3 j eC *

L C E = cC

LIE = c - 3 cC ’

• Si se da el núm ero de defectos com o m áxim o

L S E = cC

donde:

A

c = núm ero de defectos por muestra especificada


L S C c = c + 3 \|c~

L C C = cc

LIC = c - 3 'JeC *


9. Construir el gráfico, colocando en el eje x el núm ero de la muestra y/o fecha de extracción y en el eje y el n ú m e ro de defectos enco n tra d o s en cad a muestra. La escala debe ser escogida con los cuidados ya explicados en los anteriores gráficos. La Figura 5.11 m uestra un e sq uem a de este tipo de gráfico.

FIGURA 5.11. Representación de un gráfico c.

Anális is del gráfico

Si existen m u e stra s fuera de lím ites d e b e p ro ce d e rs e a re c a lcu la r el prom edio y los límites de control, en especial el límite superior de control. El prom edio modificado se calcula así:

Z c - t c = ---------------------------m

m - k

donde:

cm = prom edio de defectos por m uestra modificado

t = total de defectos de las m uestras fuera del L S C c


m = núm ero total de muestras en el estudio

k = núm ero de m uestras fuera del L S C c

En cuanto a tendencias, se deben obsen/ar y cuidar aquellas que tiendan a hacer crecer el núm ero de defectos a niveles que afecten el desem peño de la línea de producción o máquina.

C o n respecto a la com paración con especificaciones, se sigue el procedimiento usado en el gráfico p. S e debe poner especial cuidado para saber especificación ha sido establecida com o un m áximo o com o un promedi .

Seguim iento del gráfico

U n a ve z que se tiene el proceso o línea bajo control y se cum ple con la especificación se procede a construir un gráfico que contenga los últirhos límites de control. C on este gráfico se llevará un control a futuro, de tal m anera que se puedan ejercer acciones correctivas y en especial preventivas. Este gráfico debe colocarse cerca del lugar de inspección para que puntos correspondientes a inspecciones recientes se grafiquen lo antes posible. Solo así se pueden ejercer acciones eficaces.

GRAFICO PARA DEFECTOS POR UNIDAD (u)

Este gráfico, llamado también gráfico u, sirve para el control de defectos cuando éstos se chequean por unidad extraída. La forma de este tipo de gráfico es exactamente la m ism a del gráfico c.

D ebe ser usado cuan do la cantidad de defectos es alta y por lo tanto la cuantificación por muestra es difícil pues manejaría núm eros grandes.

En estos gráficos, al igual que en los gráficos c los puntos que están bajo el límite inferior de control no se eliminan, sino que se investigan las causas, pues pueden significar baja cantidad de defectos. Al igual que los gráficos c, éstos permiten analizar a fondo aquellos defectos que se presentan con m ás frecuencia y cuya reducción y posible eliminación, puede permitir la eliminación o reducción de la cantidad de defectos.


El éxito de la aplicación de este gráfico se basa en la eficiencia y eficacia de la inspección, por lo que es necesario norm alizar m étodos y criterios para las decisiones de aceptación y rechazo de unidades.

Estos gráficos también se aplican a través de las tres etapas: construcción, análisis y seguimiento.


Los pasos en la construcción dei gráfico u son los siguientes:

1. Lo ca liza r la m á qu in a o línea de p ro ducció n con p ro blem as de calidad originados por la cantidad de defectos producidos.

2. C la sifica r los defectos, de tal m a n e ra que el estudio se realice so b re defectos críticos.

3. Seleccionar el o los defectos sobre los cuales se llevará el gráfico de co n trol u. Para que sea utilizado un gráfico u y no un gráfico c el núm ero de defectos debe ser alto.

4. C a lc u la r el ta m a ñ o de la m uestra n. E sta m uestra debe ser de tam año constante o variable según lo amerite la tom a de ella.

5. Determinar el núm ero de m uestras m que se van a extraer. Es recom endable que sea superior a veinte.

6. R ecolectar las m uestras a un intervalo de m uestreo que garantice aleatoriedad y representatividad. El Cuadro 5.8 muestra un ejemplo de formato para la recolección de información.

7. C a lc u la r el v a lo r de u p ro m e d io o n ú m e ro de defectos p ro m e d io por unidad.

mI c ,

i=1u = -------------

m*n




• Si se da el núm ero de defectos por unidad en prom edio los límites se calculan así:

L S E u = ú + 3 \ju/ñ

L C E u = u

LIE = u - 3 \fu/ñU '


L S C u= u + 3 \lu/n

L C C = u

L IC u = ü - 3 \Tu/rT

9. Construir el gráfico, colocando en el eje x el núm ero de la m uestra y/o fecha de extracción y en el eje y el número de defectos por unidad. La escala d e b e ser e s c o g id a con los cu id a d o s ya e x p lica d o s en los anterio res gráficos. La Figura 5.12 m uestra un esquem a de este tipo de gráfico.


S i existen m u e stra s fuera de lím ites d eb e p ro ce d e rse a re ca lcu la r el prom edio y los lím ites de control, en especial el límite superior. El prom edio modificado se calcula así:


FIGURA 5.12. Representación de un gráfico u.

Ic-tUm = -----------------------

£ n - I n h

donde:

um = prom edio de defectos por unidad modificado

t = total de defectos de las m uestras fuera del L S C u

Z n = total de unidades en la m muestras

X n k = total de unidades en las k m uestras fuera del L S C u

En cuanto a tendencias y com paración con especificaciones, se sigue el m ism o procedim iento del gráfico c.


Esta etapa sigue los m ism os pasos explicados para el gráfico c.

GRAFICO PARA DEFECTOS POR CIEN UNIDADES

Este gráfico, llamado también gráfico 10Ou, sirve para el control de defectos cuando éstos se chequean por cada cien unidades extraídas de un lote o


línea de producción. La forma de este tipo de gráfico es exact;

de los gráficos c y u. i

Este gráfico debe ser usado cuando la cantidad de detecte tanto la cuantificación por muestra es difícil pues manejaría núr

En estos gráficos, al igual que en los gráficos c, los puntos cjue están bajo el límite inferior de control no se eliminan, sino que se investigan las causas, pues pueden significar baja cantidad de defectos. La importancia de estos grá

ficos es que permiten analizar a fondo aquellos defectos que se presentan con m ás frecuencia y cuya reducción y posible eliminación, permitiría la eliminación

o reducción de cantidad de defectos.

El éxito de la aplicación de este gráfico se basa en la eficiencia y eficacia de la inspección. Ante ello, es necesario norm alizar m étodos y criterios para las

decisiones de aceptación y rechazo de unidades.

Estos gráficos también se aplican a través de las tres etapas: construcción,

análisis y seguimiento.


Los pasos en la construcción del gráfico 10Ou son los siguientes:

1. Lo ca liza r la m á qu in a o línea de pro ducción con pro blem as de calidad

originados por la cantidad de defectos producidos.

2. Clasificar los defectos, de tal m anera que el estudio se realice sobre d e

fectos críticos.

3. Seleccionar el o los defectos sobre los cuales se llevará el gráfico de con

trol 10Ou. Para que sea utilizado un gráfico 10Ou y no un gráfico c o u el

núm ero de defectos debe ser pequeño.

4. C a lc ula r el tam año de la m uestra n. Esta m uestra debe ser de tam año

constante o variable según se amerite.

5. Determinar el núm ero de muestras m que se van a extraer. Es recom enda

ble que sea superior a veinte.

¡(mente la misma

¡s es baja y por lo heros pequeños.


6. R ecolectar las m uestras a un intervalo de m uestreo que garantice aleatoriedad y representatividad. El Cuadro 5.8 muestra un ejemplo de formato para la recolección de información.

7. C alcular el valor de 10Ou prom edio o núm ero de defectos prom edio por cada cien unidades.

m1 0 0 1 c ,

_ i= 1100u = -------------------------

m*n



• Si se da el núm ero de defectos por cien unidade s en prom edio los límites se calculan así:

L S E 100u = 10Ou + 100*[3 fu/n]

L C E IOOu= 100u

L I E 100u = 100u - 100*[3 fu/ñ]

• Si se da el núm ero de defectos por unidad com o m áximo

L S E 100u = 100u

donde:

A

10Ou = núm ero de defectos por cada cien unidades especificada


L S C )00u= 100u + 100*[3 i u/n]


LCC1(X)u= 100u

L I C ioou = 100u - 100*[3 N u/n] /

9. Construir el gráfico, colocando en el eje x el núm ero de la muestra y/o fecha de extracción y en el eje y el núm ero de defectos por cada cien unidades. La escala debe ser escogida con los cuidados ya explicados en los anteriores gráficos. La Figura 5.13 m uestra un esquem a de este tipp de gráfico.

9 0 -8 0 "7060

lOOu 50 — 40 30 2 0 —

10

4 5 6 7

N ?de la m uestro

-LIC ioo u

FIGURA 5.13. Representación de un gráfico 100u.

Análisis de l$ rá fico

Si existen m u e stra s fuera de lím ites d eb e p ro ce d e rs e a reca lcu la r el prom edio y los límites de control, en especial el límite superior de control. El prom edio modificado se calcula así:

[Xc-t]100u = 1 0 0 * ---------------------------

I n - I n k

donde:

10Ou = promedio de defectos por cada cien unidades modificado


FIGURA 5.12. Representación de un gráfico u.

Xc-tUm = -----------------------

X n - X n k

donde:

= prom edio de defectos por unidad modificado

t = total de defectos de las m uestras fuera del L S C u

Xn = total de unidades en la m muestras

X n k = total de unidades en las k m uestras fuera del L S C u




GRAFICO PARA DEFECTOS POR CIEN UNIDADES

Este gráfico, llamado también gráfico 10Ou, sirve para el control de defectos cuando éstos se chequean por cada cien unidades extraídas de un lote o


línea de producción. La forma de este tipo de gráfico es exactamente la misma

de los gráficos c y u.

Este gráfico debe ser usado cuando la cantidad de dpfectos es baja y por lo tanto la cuantificación por muestra es difícil pues manejaría números pequeños.

En estos gráficos, al igual que en los gráficos c, los puntos que están bajo

el límite inferior de control no se elim inan, sino que se investigan las c a u s a n pues pueden significar baja cantidad de defectos. La importancia de estos grá

ficos es que permiten analizar a fondo aquellos defectos que se presentan con

más frecuencia y cuya reducción y posible eliminación, permitiría la eliminación

o reducción de cantidad de defectos.

El éxito de la aplicación de este gráfico se basa en la eficiencia y eficacia de la inspección. Ante ello, es necesario norm alizar m étodos y criterios para las

decisiones de aceptación y rechazo de unidades.

Estos gráficos también se aplican a través de las tres etapas: construcción,

análisis y seguimiento.


Los pasos en la construcción del gráfico 10Ou son los siguientes:

1. Lo ca liza r la m áquina o línea de pro ducción con pro blem as de calidad

originados por la cantidad de defectos producidos.

2. Clasificar los defectos, de tal m anera que el estudio se realice sobre d e

fectos críticos.

3. Seleccionar el o los defectos sobre los cuales se llevará el gráfico de control 100u. Para que sea utilizado un gráfico 100u y no un gráfico c o u el

núm ero de defectos debe ser pequeño.

4. C a lc u la r el tam año de la m uestra n. Esta m uestra debe ser de tam año

constante o variable según se amerite.

5. Determinar el núm ero de muestras m que se van a extraer. Es recom enda

ble que sea superior a veinte.


6. R ecolectar las m uestras a un intervalo de m uestreo que garantice alea - toriedad y representatividad. El Cuadro 5.8 muestra un ejemplo de formato para la recolección de información.

7. C a lcula r el valor de 10Ou prom edio o núm ero de defectos prom edio por cada cien unidades.

m1001c,

¡=1100u = -------------------------

m*n



• Si se da el núm ero de defectos por cien unidade s en prom edio los límites se calculan así:

L S E 100u = 10Ou + 100*[3 'I u/n]

L C E 100u= 100u

L IE 100u = 100u - 100*[3 fu/n]

• Si se da el núm ero de defectos por unidad com o m áximo

L S E 100u = 100u

donde:

A

10Ou = núm ero de defectos por cada cien unidades especificada


L S C 100u= 100u + 100*[3 'J u/n]


L C C 1OOu= 1 0 0 u

L I C ioou = 1 0 0 u - 1 0 0 * [ 3 ' u / n ] /

9. Construir el gráfico, colocando en el eje x el núm ero de la muestra y/o fecha de extracción y en el eje y el núm ero de defectos porcada cien unidades. La escala debe ser escogida con los cuidados ya explicados en los anteriores gráficos. La Figura 5.13 muestra un esquem a de este tipo de gráfico.

so — -70 — 60 —

lOOu 50 — 4 0 - - 30 — 2 0 —

10 —

-LSC|<

4 5 6 7

N?de la muestra

H LICioo u

FIGURA 5.13. Representación de un gráfico 100u.

Análisis de l$ rá fico

Si existen m u e stra s fuera de lím ites debe p ro ce d e rs e a re ca lcu la r el prom edio y los límites de control, en especial el límite superior de control. El prom edio modificado se calcula así:

[ I c - t ]10Ou = 1 0 0 * ---------------------------

I n - I n k

donde:

10Ou = promedio de defectos por cada cien unidades modificado


t = total de defectos de las m uestras fuera del L S C 100u

X n = total de unidades en las m m uestras

X n k = total de unidades en las k m uestras fuera del L S C 100u




Dado que los tres gráficos anteriores tienen la m isma forma, se presenta a continuación un ejemplo en el que se m uestra que son equivalentes. Ta m b ié n se presenta otro ejem plo en el cual se tienen gráficos para diferentes tipos de defectos.

EJEMPLO 5.7

U n a em p re sa que se dedica a la fabricación de e n va se s de vidrio tiene problem as de calidad, pues la cantidad de defectos en los envases ha crecido considerablem ente. Ante esta situación, se ha decidido instalar un gráfico de control para defectos.

La especificación es de 0,5 defectos por unidad com o m áximo.

Para ello, se han to m ado veinte m uestra s de d ie z unidade s ca d a una, originándose la información que se presenta en el C uadro 5.8.

SOLUCION

S e construirán en este ejemplo los tres gráficos c, u y 100u, para mostrar que los tres son equivalentes a pesar de la diferencia entre sus definiciones. En la práctica solam ente uno debe ser considerado.

Los pasos del 1 al 6 ya han sido ejecutados.

Paso 7. Cálculo de valores promedio


CUADRO 5.8. Hoja de datos para et Ejemplo 5.7

HOJA DE DATOS — GRAFICOS DE CONTROL ckj,100u

Artículo: Envases de vidrioCaracterísticas: Defectos Operación: FormadoOperario: Juan BermúdezFecha: 23-04-85 T umo: 3

Código: ÁW-4567Especificación: 0,5 por unidadTamaño de muestra: n=10 Inspector: L. Domínguez

Hora de inicio: 10:00 pm Hoja # 1 de 1


Hora de toma 10:00 10:10 10:23 10:30 10:35 10:45 10:54 10:59 11:12 11:16Defectos /muestra 6 5 2 9 14 2 6 4 1 1Defectos/unidad 0,6 0,5 0,2 0,9 1,4 0,2 0,6 0,4 0,1 0,1Defectos/100 unidad 60 50 20 90 140 20 60 40 10 10


Hora de toma 11:21 11:35 11:40 11:54 12:08 12:17 12:34 12:45 12:56 1:15Defectos/muestra 1 4 5 2 1 6 4 3 6 8Defectos/unidad 0,1 0,4 0,5 0,2 0,1 0,6 0,4 0,3 0,6 0,8Defectos/100 unidad 10 40 50 20 10 60 40 30 60 80

I c 90c = — — = ----------= 4,5 defectos por muestra

m 20

I c 90u =---------= -----------= 0,45 defectos por unidad

X n 200

10Ou = 100*0,45 = 45 defectos por cada 100 unidades



• Para el gráfico c


L S E = 5 + 3 ' T i = 11,7C ’

L C E c= 5

L IE c = 5 - 3 \Í5 = -1 ,7

U E c = 0

• Para el gráfico u

L S E u = 0 ,5 + 3 {0 ,5 / 1 0 = 1,17

L C E u = 0,5

L IE u = 0 , 5 - 3 'Jo ,5/10 = -0 ,1 7

L IE u = 0

• Para el gráfico 100u

L S E 100u = 100*0,5 + 100*[3 'J0,5/10]

L C E 100u= 100*0,5

L IE 100u =100*0 ,5 -100*[3 'l0 ,5/10]

LIE.oou = 0

b. Lím ites de control

• Para el gráfico c

L S C c = 4,5 + 3 {4 ^ í = 11

L C C . = 4,5

L IC c = 4,5 - 3 {4^5 = -1 ,9

L IC = 0

• Para el gráfico u

LSCu = 0,45 + 3 \| 0,45/10= 1,1

= 117

= 50

= -17


L C C u = 0,45

L IC u = 0 ,4 5 -3 ^ J 0,45/10 = -0 ,1 9

L IC u = 0

• Para el gráfico 100u

L S C 100u = 100*0,45 + 100*[3 nJ0,45/10] = 110

45

L IC ,00u = 100*0,45 -1 00*[3\|0,45/10] = -1 9

Paso 8. Construcción de los gráficos

Las Figuras 5 .1 4 ,5 .1 5 ,5 .1 6 muestran los tres gráficos. En ellas se puede observar que la forma del gráfico es exactamente la misma. Ante ello, se puede concluir que en este caso cualquiera de las tres formas de m edir los defectos es buena. Sin em bargo, por la facilidad de cálculo y la m agnitud de los valores el m ás adecuado es el gráfico c.

Análisis de los gráficos

Al observar las Figuras 5 .1 4 ,5 .1 5 y 5.16 se nota que la muestra No. 5 sale fuera del límite superio r de control. Los valores prom edio m odificados y los nuevos límites son:

cm: promedio de defectos por m uestra modificado

L S C c = 4 + 3\(4~ = 10

L C C c = 4LIC = 4 - 3 \T4 = -2

C

LIC = 0c

9 0 -1 4 76= 4 defectos por muestracm

20-1 19

O)

FIGURA 5.14. Gráfico de control u para el Ejemplo 5.7

oo2H5Or~OmO>nO>O

oJ3Om>ocz*>>ocz>

FIGURA 5.15. Gráfico de control cpara el Ejemplo 5.7.

100 u

160

"

CONTROL DE CALIDAD

FIGU

RA

5.16

. G

ráfic

o de

cont

rol

100u

pa

ra

el Ej

empl

o 5.

7.


9 0 - 1 4 76u = -------------------= --------------= 0,4 defectos por unidad

2 0 0 - 1 0 190

um: promedio de defectos por unidad modificado

L S C u= 0,4 + 3 ''10,4/10= 1

L C C u = 0,4

L IC u= 0,4 - 3 ^0,4/10 = -0 ,2

L IC u= 0

[ 9 0 - 1 4 ] 76100 u = 100*----------------------- = --------------= 40 defectos por 100 unidades

2 0 0 - 1 0 190

10 0um: promedio de defectos por cada 100 unidades modificado

L S C 100u= 100*0,4 + 100*[3\l0,4/10] = 1 0 0

L C C 100U= 100*0,4 = 4 0

L I C 100u = 100*0,4 -1 0 0 * [3 \ l0 ,4/10] = - 2 0

En ninguno de los gráficos se salen m ás muestras. En cuanto a tendencias es importante investigar el comportamiento que se presenta de la muestra No. 6 a la muestra No. 15 y el que se aprecia de la muestra No. 15 a la No. 20. La prim era serie evidencia una tendencia al decrecimiento en el núm ero de defectos, pero la segunda serie presenta una tendencia contraria.

En cuanto a especificaciones, éstas no se cum plen, por lo que se deben hacer los ajustes necesarios para bajar el núm ero de defectos.

Seguim iento

N o es recom endable efectuar un seguimiento con los límites finales obtenidos, pues aún no se ha logrado cumplir con los niveles de número de defectos especificados. Si se desea se pueden utilizar para identificar los problem as


actuales y así ejercer accion es pre ve ntivas y correctivas que d ism inuyan el

núm ero de defectos en los envases de vidrio.

E J E M P L O 5.8

En el control de recepción de una em presa fabricadora de puertas d e c o radas se utilizan gráficos de control para defectos por muestra (c ). Actualm ente se recib en lotes de m a d e ra co rta d a so b re los cu a le s se in sp e cc io n a n , por

muestreo, tres tipos de defectos principales: defectos A, defectos B y defectos C .

Actualm ente no hay especificaciones establecidas por lo que se espera

que este estudio sirva para recom endar alguna, si es posible.

S e propone llevar un gráfico para cada tipo de defecto y uno para defectos totales. Para cum plir con ello se recolecta la información del C uadro 5.9.

C onstruya y analice los gráficos propuestos.

S O L U C I O N

Los pasos del 1 al 6 ya han sido ejecutados.

Paso 7. Cálculo de valores de c prom edio

• Para defectos tipo A

I c A 115= 5,75 defectos por muestra'A ‘

m 20

• Para defectos tipo B

I c B 91■= 4,55 defectos por muestrac,'B

m 20

Para defectos tipo C



HOJA DE DATOS — GRAFICOS DE CONTROL C

Artículo: Láminas de acero Característica: Defectos A, B y C Operación: Recepción Operario: G. Fonseca Fecha: 01 -03-85 T urno: 1

Código: AC 1130 Especificación: No hay Tamaño de muestra: n=50 Inspector: C. Valdés

Hpra de inicio: 7:00am Hoja# 1 de 1


Hora de toma 7:00 7:20 7:35 7:43 7:57 8:14 8:35 8:46 9:06 9:35# de defectos A 5 8 8 1 6 3 5 9 8 10# de defectos B 6 3 3 5 4 2 4 6 7 4# de defectos C 8 8 2 6 3 1 3 6 7 3Defectos totales 19 19 13 12 13 6 12 21 22 17


Hora de toam 9:56 10:14 10:23 10:36 10:44 10:58 11:12 11:23 11:34 11:56# de defectos A 6 7 8 5 4 3 2 4 7 6# de defectos B 2 1 5 4 7 3 4 5 6 10# de defectos C 1 2 5 7 8 9 10 4 3 6Defectos totales 9 10 18 16 19 15 16 13 16 22

l c c 102c = -------------- = ---------------= 5,1 defectos por muestra

m 20

• Para defectos totales

I c T 308cT =---------------= = 15,4 defectos por m uestra

m 20

P aso 8. Límites de control de proceso

• Para defectos tipo A


L S C 4 = 5,75 + 3 \l 5 ,7 5 = 13cA ’ ’

L C C a = 5 ,7 5 = 6cA ’

LIC = 5 , 7 5 - 3 '15,75 = -1 ,4cA ’ ’ ’

l i c cA = o

• Para defectos tipo B

L S C cB = 4,55 + 3 ^4 ,5 5 =11

L C C cB = 4 ,5 5 = 5

L IC cB = 4,55 - 3\|~4j55 = -1 ,9

L I C r = 0cB

• Para defectos tipo C

L S C = 5 ,1 + 3 \Í5 lT = 12CC 7 ’

L C C = 5 ,1 = 5CC 7

LIC r = 5 ,1 -3 \Í5~T = -1 ,6CC 7 7L I C c = 0

• Para defectos totales

L S C t = 1 5 ,4 + 3'115,4 = 2 8C l

L C C = 15,4 = 1 5cl 7

L IC cT = 1 5 ,4 -3 ^ 1 5 ,4 = 3

Paso 9. Construcción de los gráficos.

C o n el fin de co n o ce r el aporte de ca d a defecto al total de defectos es conveniente dibujar un gráfico com puesto en el que se presenten los cuatro elem entos, según se muestra en la Figura 5.17.


Análisis de los gráficos

Al observar la Figura 5.17, se nota que ningún punto se sale de límites en ningún gráfico. Por ello, no existen causas asignables en este estudio, con lo que los lotes se están recibiendo bajo control estadístico.

Si se analizan tendencias en los gráficos en form a conjunta se pueden sacar importantes conclusiones acerca de la influencia de cada uno de los tipos de defecto en la cantidad de defectos totales.

Si se diera una ponderación a cada tipo de defecto, se tendría que uno de los tres defectos sería el m ás importante y, por lo tanto, el control se centraría en él.

O b se rva n d o en la Figura 5.17 el gráfico de defectos totales, se ve que a partir de la m uestra No. 6, el núm ero de defectos por m uestra crece, debido a que la cantidad de defectos de los tres tipos se incrementa, tal y com o se puede observar en los otros gráficos. Tam bién, a partir de la m uestra No. 9 se aprecia una d ism inución en el núm ero de defectos totales, debida a la dism inución sufrida por los defectos tipo B y C .

Otra observación m uy importante es que a partir de la muestra No. 13, se nota una tendencia a dism inuir en el núm ero de defectos totales por muestra, debida a la tendencia que tienen los defectos tipo A , pues los defectos tipo B parecen perm anecer constantes y los defectos tipo C tienden a aumentar.

Conclusiones de este tipo son las que se pueden obtener cuando se lleva un gráfico por defecto, de m anera que se pueden tomar m edidas preventivas y disminuir la cantidad de defectos totales.

O tro de los aspectos que debe analizarse es el hecho de que esta inspección indica que el proceso de donde provienen los lotes muestreados, está bajo control en todos sus tipos de defectos.

D ado que la cantidad de defectos por muestra se encuentra bajo control estadístico es posible tom ar los valores promedio de cada tipo de defecto com o referencia para establecer valores iniciales especificados. D ebido a que una especificación siempre busca el mejoramienio de la calidad del producto, no es recom endable establecerlas al m ism o nivel del prom edio, sino a un valor un poco m ás exigente, el cual se convierta en una meta. A sí, los valores e s p e cificados propuestos pueden ser:

456 CONTROL. DE CALIDAD

1 0 0 ,5 0 ,1 0 y 1, de tal manera que el núm ero total de deméritos para un período se determ ina usando la siguiente expresión:

D = 100cA+ 50cB+ 10cc + c D

donde:

cA, c B, cc y c D representan el núm ero de defectos de cada tipo por muestra

Estos gráficos se aplican en las tres etapas ya explicadas en los gráficos anteriores.

Construcción

En la construcción de un gráfico U sse siguen los siguientes pasos:

1. Seleccionar cuatro categorías importantes de defectos. Esta labor puede ser ayudada por un gráfico de Pareto.

2. Calcular el tam año de la m uestran.

3. Determinar el núm ero de períodos de estudio. Estos pueden ser sem anas, m eses o trimestres entre otros.

4. Registrar la información por período. El Cuadro 5.10 muestra un ejemplo de formato para la recolección de información.

5. Calcular el valor de U de núm ero de defectos del tipo i por unidad.

c.U = -.....

n

donde:

c es el núm ero de defectos del tipo i por muestra

6. Calcular el valor del índice de deméritos.

U s= 1 0 0 U a + 5 0 U b + 10U c + U d

donde:

UA, UB, Ucy UD representan el número de defectos de cada tipo por unidad


7. Calcular los límites de control del gráfico basándose en la distribución de Poisson. Estos límites son para cada período o sea son individuales.

C s= 1002*Ua + 502. U b+ 102*Uc + U d

8. Construir el gráfico, colocando en el eje x la identificación del período y en el eje y el índice de dem éritos (U s). La escala debe ser escogida con los cuidados ya explicados en los anteriores gráficos. La Figura 5.18 muestra un esquem a de este tipo de gráfico.

donde:

9 0807060

L S C u s

Us 5040

3020100

7 " \

o4 -----------1----------- 1----------- 1-----------1----------\-----------1----------- 1-----------1---------- + ~ L IC u s2 3 4 5 6 7 8 9 10 II

Período de tiempo

FIGURA 5.18. Representación de un gráfico Us


Si existen puntos fuera de límites se puede eliminar el período correspondiente, pero se deben investigar las causas. No es necesario recalcular ningún

valor pues los períodos se analizan en forma independiente.


r

C .

CeL S C c c

CT

FIGURA 5.17. Gráficos de control c para el Ejemplo 5.8.


A

cA = 4 defectos tipo A por muestra

A

cB = 4 defectos tipo B por muestra

A

cc = 4 defectos tipo C por muestra

A

cT = 12 defectos totales por muestra

Seguim iento

D ebido a la estabilidad presentada por los diferentes tipos de defectos es im portante co lo ca r los lím ites de control en un gráfico, q ue servirá para ir tom ando información periódica, y que permitirá la tom a de acciones correctivas o preventivas si se ameritan.

A d e m á s por m edio de este seguim iento se pueden introducir m ejoras y establecer especificaciones m ás rígidas que poco a poco conduzcan a mejorar la apariencia de las puertas decoradas. Las especificaciones iniciales deben ser revisadas periódicamente para adaptarlas a las condiciones que muestre el proceso.

GRAFICO PARA DEMERITOS

Este gráfico, tam bién conocido com o gráfico U s, es una form a gráfica de calificar la calidad de un proceso. Este gráfico es para uso adm inistrativo y perm ite o b s e rva r el grado en que la cantidad e im portancia de los defectos afectan el desarrollo de un proceso.

Si la tendencia que sigue el gráfico es de pendiente positiva, se tomarán m edidas administrativas que en el próxim o período permitan cam biar esa tendencia. En este gráfico los defectos se miden a través de una unidad llamada dem érito que es una ponderación multiplicada por el núm ero de defectos por muestra.

El sistema de ponderación usado en este gráfico se basa en el sistema de D o d g e -T o rre y , el cual establece cuatro categorías de defectos con pesos de


Lo m ás importante en este caso son las tendencias pues son las que per

miten evaluar la función administrativa en cuanto a calidad se refiere. Las acciones por tom ar deben ser lo más eficaces posibles, de tal m anera que los resultados se puedan observar en la etapa de seguimiento.


E n esta etapa se evaluarán las a ccion es adm inistrativas to m a d a s, las cuales serán positivas si logran cam biar tendencias perjudiciales en la cantidad de defectos que originan las líneas de producción.

E J E M P L O 5.9

U na em presa de confección de ropa desea llevar un control administrativo so b re cuatro tipos de defectos que son : carriles (A ) , co sturas suelta s (B ), tonalidad (C ) y m anchas (D ). Para ello tom a la inform ación de la cantidad de defectos en los últimos doce m eses, la cual se presenta en el C uadro 5.10.

Presentar una forma de control mediante un gráfico U s.

S O L U C I O N


Los pasos del 1 al 4 se encuentran en el C uadro 5.10.

Los paso s del 5 al 7 se e n cuentran en el C u a d ro 5 .1 1 . Este cu a d ro se construye para facilitar los cálculos y registrar la información adicional que se va

generando.

C o m o se puede o b se rva r los cálculos de los valores de U se hacen por período, lo cual permite calcular los límites de control en forma individual. Esto

generará un gráfico de control con lím ites quebrado s. S e puede calcular un límite constante si se desea, pero para ello el tamaño de la muestra no debe serq l t a m o n t o \ /a ri í }h lp »



HOJA DE DATOS - GRAFICO Us

Artículo: Piezas de confección Característica: Defectos A,B,C y D Operación: Línea de confección Operario: G. Fernández Fecha:01-01-85 al 15-12-85

CODIGO: Especificación: Periodo: Inspector:

Unidad: Defectos* 102

Varios No aplica Mensual C. Calero

Hoja #1 de 1

Mes E F M A M J J A S O

Tamaño de muestra 35 40 30 38 37 34 30 41 35 36# de defectos A 10 15 18 14 10 9 18 14 18 10# de defectos B 8 7 6 9 10 5 8 9 6 10# de defectos C 7 10 11 12 5 7 8 9 10 11# de defectos D 4 8 7 5 3 10 12 13 8 7

Mes N D

Tamaño de muestra 38 42# de defectos A 2 12# de defectos B 12 8# de defectos C 9 7# de defectos D 5 3

CUADRO 5.11. Cálculo de limites de control para el gráfico Us

M E S n D U c u D u , c . au L S C LIC

Enero 35 1474 0,290 0,230 0,200 0,110 42,61 3486,1 9,98 72,55 12,67Febrero 40 1958 0,375 0,175 0,250 0,200 48,95 4212,7 10,26 79,74 18,16Marzo 30 2217 0,600 0,200 0,370 0,230 73,90 6537,0 14,76 118,20 29,60Abril 38 1975 0,370 0,240 0,320 0,130 51,97 4332,0 10,68 84,00 19,93Mayo 37 1553 0,270 0,270 0,135 0,080 41,97 3388,6 9,57 70,70 13,20Junio 34 1230 0,265 0,147 0,206 0,294 36,18 3038,4 9,45 64,53 7,82Julio 30 2292 0,600 0,270 0,270 0,400 76,40 6702,0 14,95 121,20 31,60Agosto 41 1953 0,340 0,220 0,220 0,320 47,63 3972,0 9,84 77,16 18,10Setiembre 35 2208 0,510 0,170 0,290 0,230 63,10 5554,0 12,60 100,90 25,30Octubre 36 1617 0,278 0,278 0,306 0,200 44,92 3505,8 9,87 74,52 15,31Noviembre 38 1595 0,240 0,320 0,240 0,130 41,97 3224,0 9,21 69,60 14,34Diciembre 42 1673 0,286 0,190 0,170 0,071 39,83 3352,0 8,94 66,63 13,03


P a so 8. C o n s tru cció n del gráfico. La Figura 5.19 presenta el gráfico U s

correspondiente.

E F M A M J J A S O N D MESES

FIGURA 5.19. Gráfico de deméritos para el Ejemplo 5.9.

Análisis de l gráfico

Al observar la Figura 5.19, se pueden anotar algunos aspectos im portan

tes. Entre ellos:

a. La tendencia aparenta ser cíclica. Sería m uy conveniente agregar m ás inform ación que permita probar la hipótesis de que los ciclos presentados son significativos. E s importante, en caso de que exista ciclicidad, encontrar las ca u sa s de esa situación, puesto que ésta es perjudicial para el

control.

b. Los índices de deméritos m ás altos se presentaron en los m eses de m arzo

y ju lio . E s c o n v e n ie n te in ve s tig a r q u é c a ra c te rís tic a s o s itu a cio n e s importantes se generaron en esos m eses.


c. El índice de deméritos m ás bajo es el correspondiente al m es de junio. Es conveniente averiguar qué aspectos buen os se im plem entaron en ese período que permitieron dism inuir el núm ero de defectos.

d. A partir del m es de setiem bre se nota una clara tendencia del índice de deméritos a disminuir.

e. D e a c u e rd o co n la v a ria b ilid a d en el ta m a ñ o de la m u e s tra , no es conveniente trabajar con límites promedio. Si se pudiera trabajar con ellos, se calculan así:

Sum atoria de la colum na de límites superioresL S = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

núm ero de períodos

Sum atoria de la colum na de límites inferioresL l = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

núm ero de períodos

En general, se puede decir que un gráfico de deméritos, bien llevado, puede ser una excelente arm a administrativa, que permite evaluar la labor de la organi

zación y llevar un control macro del com portam iento de calidad del producto.


En esta etapa se evaluarán las acciones adm inistrativas tom adas en el p e río d o de estudio anterior. S e d e b e n e m p le a r los lím ites ya fijados y se modificarán una ve z que se tenga nueva información del período en estudio. Las m edidas que se tomen deben garantizar cam bios positivos de tendencias perjudiciales en la cantidad de defectos que originan las líneas de producción.

RESUMEN

En este capítulo, se han analizado los diferentes gráficos de control para atributos y se han podido analizar las ventajas que éstos ofrecen con respecto

a los gráficos de control para variables.


Estos gráficos tienen ia ventaja de que permiten el control de varias características a la ve z , pero la desventaja de que no son eficientes para detectar causas asignables de variación.

Co n el fin de decidir qué gráfico usar se debe determinar primero si el control se hará para defectuosos o para defectos. Si la cantidad de defectuosos es excesiva se debe optar por el control por defectos.

Un aspecto relevante en el uso del control por atributos es el desarrollo de m a n u a le s de inspección cu yo objetivo es m in im izar el em pleo de criterios subjetivos por parte de los inspectores.

PREGUNTAS DE REPASO

1. ¿ P o r qué es útil un m anual de in sp e cció n ? E xp liq u e las partes q ue lo com ponen.

2. Seleccione en una em presa industrial, una línea de producción y clasifique los defectos encontrados.

3. ¿ P o r qué d e b e n se r c la s ifica d o s los defectos, los d e fe c tu o s o s y los disconform es? Explique las diferencias entre ellos.

4. ¿ Q u é peligros se corren al usar límites basados en tam año de m uestra promedio en lugar de límites individuales en gráficos de control p?

5. ¿ Q u é desventajas tiene el uso del m étodo gráfico en gráficos de control np?

6. ¿ Q u é criterios se deben seguir para decidir si el control por atributos se hará para defectuosos o para defectos?

7. ¿Q u é criterios se deben seguir para seleccionar entre un gráfico de control c, u o 100u?

8. Elabore un formato que permita recolectar información sobre varios tipos de defectos y que se puedan graficar en el m ismo formato.

9. ¿ Q u é ventajas y desventajas tiene el uso de gráficos de dem éritos?

10. S eleccione una línea de producción y elabore un m anual de inspección para los defectos que se generen en ella.


PROBLEMAS

1. C o n el fin de iniciar el diseño de un sistema de control de proceso basado en atributos para la línea de cam isas, un ingeniero construyó un diagrama de Ishikawa que originó el siguiente listado de características de calidad:

1. Largo del rollo de tela2. A n cho del rollo de tela3. H uecos4. Carriles5. M anchas6. Cortes torcidos7. Costuras torcidas8. Distancia entre ojales9. Te la desteñida

10. Ajuste de rayas11. Form a del cuello12. Hom bro caído13. Costuras sueltas14. M arca en el em paque15. Impresión del em paque16. Botones sueltos

C o n base en este listado, tom ó 150 cam isas y encontró la cantidad de defectos indicada en el C ua d ro 5.12.

¿C uá les son los defectos sobre los que se basará el sistema planteado?

2. En una fábrica de envases de vidrio recién instalada, se ha iniciado el establecim iento de un sistem a de control de proceso por atributos. S e determinó com o área de inspección la litografía, debido al volum en de rechazo que se está generando en esa sección. Dado que la inspección se ejecuta diariam ente sobre la totalidad producida, el volum en de inspección será proporcional al volum en de producción. El 1 de abril se recibió un informe del inspector de la línea de litografía, el cual se muestra en el Cuadro 5.13.

a. ¿C u á l fue la fracción defectiva del mes de m arzo?

b. ¿C uá les son los límites de control basados en el m es de m arzo?

CONTROL DE CALIDAD

CUADRO 5.12. Información recolectada de defectos

D E F E C TO NIVEL DE CR ITICID AD No.

Carriles Crítico 15Huecos Crítico 28Manchas Crítico 25Costuras sueltas Menor 125Costuras torcidas Mayor 100Tela desteñida Mayor 55Cuello deformado Mayor 15Impresión torcida Incidental 25Rayas desajustadas Crítica 30Ojales disparejos Incidental 100Botones sueltos Incidental 50Hombro caído Crítica 23

c. Efectúe un análisis sobre el gráfico p del m es de m arzo.

d. ¿ Q u é fracción defectiva recom endaría com o especificación para el m es de abril?

El 1 ° de m ayo se recibió el informe del mes de abril, el cual se muestra en el Cuadro 5.14.

e. C o n s tru ya y analice un gráfico p basado en la inform ación de los m eses de m arzo y abril.

f. ¿ Q u é tan acertada fue la especificación recom endada en el punto d.?

g. ¿ C u á l fue la p ro ducció n diaria pro m e dio b u e n a del m es de abril? ¿C u á l es el valor esperado para el m es de m ayo?

h. ¿ Q u é lím ite s de co n tro l p ro p o n e para el m e s de m a y o ? ¿ S e rá

conveniente tom ar la fracción defectiva proyectada del m es de m ayo com o el prom edio de los dos m eses anteriores?


CUADRO 5.13. Informe del inspector para el mes de marzo

H O JA D E D A TO S - G R A FIC O S DE C O N TR O L p

Artículo: Envases de vidrio Código: AT-4567Operación: Litografía Tamaño de muestra: variableFecha de inicio 03-03-85 Hoja #1 de 1 Inspector: L. Lara

Día LUNES MARTES MIERCOLES JUEVES VIERNES

SEM A N A No. N np N np N np N np N np

Marzo 3 Marzo 7 1 172 18 68 10 75 12 76 16 65 10

Marzo 10 Marzo 14 2 77 7 78 18 70 10 60 11 72 9

Marzo 17 Marzo 21 3 78 12 62 6 70 10 71 9 62 12

Marzo 24 Marzo 28 4 58 5 57 6 77 7 75 5 74 11

Marzo 31 5 68 8

i. ¿ S e tiene suficiente información para dar una especificación para el

futuro?

3. E n una e m p re s a la razón de p ro ducció n es de 9000 unidade s diarias. C o m o plan de muestreo se sacan m uestras de 100 piezas por día, directam ente de la línea de producción. Los datos de los primeros veinte días se muestran en el Cuadro 5.15.

a. Efectúe un control por atributos usando un gráfico p.

CONTROL DE CALIDAD

CUADRO 5.12. Información recolectada de defectos

D E F E C TO NIVEL D E C R ITIC ID A D No.

Carriles Crítico 15Huecos Crítico 28Manchas Crítico 25Costuras sueltas Menor 125Costuras torcidas Mayor 100Tela desteñida Mayor 55Cuello deformado Mayor 15Impresión torcida Incidental 25Rayas desajustadas Crítica 30Ojales disparejos Incidental 100Botones sueltos Incidental 50Hombro caído Crítica 23

c. Efectúe un análisis sobre el gráfico p del m es de m arzo.

d. ¿ Q u é fracción defectiva recom endaría com o especificación para el mes de abril?

El 1 ° de m ayo se recibió el informe del mes de abril, el cual se muestra en el Cuadro 5.14.

e. C o n s tru y a y analice un gráfico p ba sa d o en la inform ación de los m eses de m arzo y abril.

f. ¿ Q u é tan acertada fue la especificación recom endada en el punto d.?

g. ¿ C u á l fue la p ro ducció n diaria prom edio b u e n a del m es de abril? ¿C uá l es el valor esperado para el m es de m ayo?

h. ¿ Q u é lím ite s de co n tro l p ro p o n e para el m e s de m a y o ? ¿ S e rá conveniente tom ar la fracción defectiva proyectada del m es de m ayo com o el prom edio de los dos m eses anteriores?


CUADRO 5.13. Informe del Inspector para el mes de marzo

H O JA DE D A TO S - G R A FIC O S DE C O N TR O L p

Artículo: Envases de vidrio Código: AT-4567Operación: Litografía Tamaño de muestra: variableFecha de inicio 03-03-85 Hoja #1 de 1 Inspector: L. Lara


SEM A N A No. N np N np N np N np N np

Marzo 3 Marzo 7 1 172 18 68 10 75 12 76 16 65 10

Marzo 10 Marzo 14 2 77 7 78 18 70 10 60 11 72 9

Marzo 17 Marzo 21 3 78 12 62 6 70 10 71 9 62 12

Marzo 24 Marzo 28 4 58 5 57 6 77 7 75 5 74 11

Marzo 31 5 68 8

i. ¿S e tiene suficiente información para dar una especificación para el futuro?

3. E n una e m p re s a la razó n de pro ducción es de 9000 unidade s diarias. C o m o plan de muestreo se sacan muestras de 100 piezas por día, directamente de la línea de producción. Los datos de los primeros veinte días se muestran en el Cuadro 5.15.

a. Efectúe un control por atributos usando un gráfico p.


CU A ORO 5.14. Informe del inspector para el mes de abril

H O JA DE D A TO S - G R A FIC O S DE C O N TR O L p

Artículo: Envases de vidrio Código: AT-4567Operación: Litografía Tamaño de muestra: variableFecha de inicio: 01-04-85 Hoja 1 de 1 Inspector: L. Lara


SEM ANA No. N np N np N np N np N np

Abril 1 Abril 5 1 64 5 68 6

Abril 7 Abril 11 2 65 10 66 10 67 6 68 5 64 7

Abril 14 Abril 18 3 68 10 64 12 65 5 66 6 67 8

Abril 21 Abril 25 4 64 4 62 5 64 6 68 8 65 5

Abril 28 5 66 8 65 9 64 10

b. Recom iende una especificación para el futuro.

4. El Cuadro 5.16 proporciona los resultados de una inspección sobre rollos de tela en el m es de abril.

a. Construya y analice un gráfico c y un gráfico u.

b. ¿ Q u é valor de defectos promedio recom ienda para el m es siguiente?

c ¿ Q u é conclusiones obtiene de su estudio?

5. En extrusión de vigas de M g I éstas se cortan en form a longitudinal con dimensión 90 cm y luego se inspeccionan generando el C uadro 5.1 7.



H O JA D E D A TO S - G R A FIC O S DE C O N TR O L p

Artículo: Fajas de cuero y vlnll Código: ZV-5210Características:Defectuosos Especificación: 7 % máximoOperación: Revisado final Tamaño de muestra: n=100Operario: JoséBismarck Inspector: L. CoronadoFecha:23-10-85 Turno: 3 Horade inicio:10:00pm Hoja #1 de 1

Número de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Hora de toma 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30# de defectuosos 13 10 7 7 11 8 12 13 10 13


Hora de toma 12:00 1:00 1:30 2:00 2:30 3:00 3:30 4:00 4:30 5:00# de defectuosos 13 10 8 14 18 10 15 8 13 9


H O JA D E D A TO S - G R A FIC O S DE C O N TR O L c y u

Artículo: Rollos de tela de algodón Código: AS-5210Características:Defectos Especificación: 2 en promedioOperación: Inspección de recepción Tamaño de muestra: n=50Operario: Juan Solera Inspector: L. CortésFecha23-07-85 Turno: 1 Hora de inicio: 7:00am Hoja #1 de 1







H O JA D E D A TO S - G R A FIC O S DE C O N TR O L c y u

Artículo: Vigas de Magnesio en ICaracterísticas: Defectos Operación: Inspección de recepciónOperario: Jaime Solano

Código: VM-3218Especificación: No hayTamaño de muestra: n=200 Inspector: H. Corrales

Fecha:28-05-84 Tu rn o :1 y2 Hora de inicio: 7:00am Hoja #1 de 1


Hora de toma 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30# de defectos 22 27 17 22 19 28 31 38 24 12


Hora de toma 12:00 1:00 1:30 2:00 2:30 3:00 3:30 4:00 4:30 5:00# de defectos 41 18 28 33 36 43 28 30 20 17


Hora de toma 5:30 6:00 6:30 7:00 7:30 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00# Defectos 23 27 12 15 17 3 18 45 60 77

a. Construya y analice un gráfico c y uno 10Ou. Com párelos.

b. ¿ Q u é conclusiones saca Ud. de este estudio?

c. ¿ Q u é valor de c promedio recom ienda para el siguiente período?

d. ¿ Q u é valor especificado recom ienda?

6. U n a línea de producción de juguetes de rueda tiene problem as de cali

d a d qu e se p re se n ta n co m o dos d e fectos im p o rta n te s, d e fectos A y defectos B.


C o n el fin de h a ce r un estudio se tom an 20 m uestra s orig in á n d o se la información presentada en el Cuadro 5.18.

a. C o n s tru ya tres tipos de gráficos e indique cuáles serian los límites para la etapa de seguimiento.

b. ¿ Q u é sugerencias tiene para m ejorar la calidad de este producto?

c. ¿ Q u é especificaciones sugiere para el futuro?

d. ¿ Q u é probabilidad de detectar puntos fuera de límites tienen los tres gráficos construidos en a?

7. U n a m ueblería tiene problem as de calidad con cuatro características de calidad asociadas a cuatro tipos de defecto. Para investigar la situación se


H O JA DE D A TO S - G R A FIC O S DE C O N TR O L POR A TR IB U TO S

Artículo: Juguetes de rueda Código: JR-4879Características: Defectos A y B Especificación: No hayOperación: Ensamble Tamaño de muestra: VariableOperario: Carlos Salas Inspector: L. DomínguezFecna:27-03-85 Turno:1 Hora de inicio: 7:00 am Hoja#1de1


Tamaño de muestra 59 45 74 80 35 39 49 51 73 68# de defectos A 39 18 28 35 36 28 28 18 35 39# de defectos B 20 13 12 15 15 10 20 10 14 20# de defectos 5 4 8 19 2 5 4 3 8 7


Tamaño de muestra 64 65 81 30 39 42 55 62 69 79

# de defectos A 39 30 41 20 21 31 30 31 39 41

# de defectos B 30 39 15 30 15 18 14 15 12 10

# de defectuosos 8 12 8 22 13 4 10 11 15 31


toman 20 m uestras de tam año variable, originándose la información que presenta el Cuadro 5.19.

a. H a g a un paretogram a con la siguiente ponderación: 1 0 0 ,5 0 , 25, y 1 para defectos A , B, C y D respectivamente.


H O JA D E D A TO S - G R A FIC O S D E C O N TR O L PO R A TR IB U TO S

Artículo: Muebles Características: Defectos A ,B ,C y D Operación: Ensamble Operario: Cecilia Borbón Fecha:01-01-85 Turno:1

Código: JR-4879 Especificación: 12% Tamaño de muestra: Variable Inspector: L. Zapata

Hora de inicio: 7:00am Hoja#1de1


Fecha 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12

Tamaño de muestra 56 72 47 45 69 65 60 58 50 54# de defectos A 18 25 8 13 8 15 8 25 10 28# de defectos B 20 18 15 13 12 14 18 17 13 10# de defectos C 15 10 28 17 29 11 20 19 10 28# de defectos D 12 13 17 18 19 11 12 11 3 4# de defectuosos 13 8 10 10 5 5 8 13 12 8


Fecha 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26

Tamaño de muestra 55 61 71 68 50 51 58 60 65 66# de defectos A 16 17 16 14 11 9 10 9 17 15# de defectos B 18 15 10 10 17 14 12 23 15 19# de defectos C 18 15 14 15 16 17 20 18 17 16# de defectos D 13 11 9 8 7 16 15 14 11 8# de defectuosos 5 14 8 7 10 8 17 3 4 10


b. C o n s tru y a y an a lice un gráfico de con trol p con lím ites rectos y quebrados. Analice las ventajas y desventajas de uno y otro.

c. Construya y analice un gráfico de control c para cada tipo de defecto y uno para defectos totales.

d. Si se da una especificación promedio del 5 % para defectuosos y de 5 defectos en promedio para defectos totales, ¿cuál es la situación de esta línea de producción?

e. Construya y analice un gráfico u para defectos tipo D.

f. ¿ Q u é límites de control propone usar en el período siguiente?

g. Construya un gráfico de Indice de deméritos.

8. E n un p ro ce so de corte y co n fe cció n se in sp e cc io n a n 20 lotes de 20 cam isas ca d a uno. Los resultados de la inspección se presentan en el C u a d ro 5.20. La especificación se ha fijado en un prom edio de 5 % para defectuosos y en 10 defectos com o m áximo.


H O JA D E D A TO S - G R A FIC O S D E C O N TR O L POR A TR IB U TO S

Artículo: Camisas Código: CA-3412Características: Defectos Especificación: 10% 10Operación: Corte y Confección Tamaño de muestra: n=20Operario: Carlos Salazar Inspector: L. DomínguezFecha:27-08-85 Turno:1 Horade inicio: 7:00am Hoja#1 de 1


# De defectos 15 19 20 25 5 14 5 20 0 13# De defectuosos 5 8 3 4 3 2 1 5 0 4

Nímero de muestras 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

# De defectos 15 18 15 10 5 0 12 11 9 15# De defectuosos 6 8 4 5 1 0 5 3 / 8


a. ¿ Q u é pu e d e de cir U d de este p ro ceso? Justifique su análisis con núm eros.

b. ¿ Q u é propone hacer en el futuro?

9. E n u n a p la n ta q u e tra b a ja tre s tu rn o s se ha lle va d o un re g is tro de imperfecciones de acuerdo con el tam año de muestra seleccionado, el cual se m uestra en el C ua d ro 5.21.

CUADRO 5.21. Registro de información para el Problema 9

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado

Turno c n c n c n c n c n c n

6 a 2 16 16 21 27 6 17 18 11 17 27 3 252 a 10 4 20 6 34 1 6 9 33 6 21 1 37

10a 6 15 11 16 19 1 22 9 28 5 35 2 17

a. Analice la situación a través de un gráfico de control.

b. Si se pide una especificación ¿cuál recom endaría?

c. ¿ Q u é implicaciones tiene este estudio?

d. D eterm ine la probabilidad de que tres puntos co n secutivo s estén sobre el límite superior de control?

10. E n u na e n s a m b la d o ra de a u to m ó v ile s se d is p o n e de un re g istro de inspección de todos los vehículos ensam blados en un mes. Este registro se m uestra en el C uadro 5.22 y consta de la siguiente información:

• Fecha de ensam ble

• C ódigo de la unidad

• Total de defectos encontrados en la unidad

• N úm ero de defectos por departam ento



H O JA D E D A TO S - G R A FIC O S DE D EM ER ITO S

Artículo: Automóvil Código: JR-4879 Característica: Defectos A ,B ,C y D Especificación: No aplica Operación: Ensamble Tamaño de muestra: Variable Operario: Carlos Carrillo Inspector: L. Sánchez Fecha:07-12-85 Turno: 1 Hora de inicio: 7:00am Hoja # 1 de 1

Código de auto 3646 3761 3760 3759 3758 3737 3756 3755 3745 3754

# Defectos totales 86 63 59 60 61 66 63 57 88 54# Def. carrocería 48 25 27 30 24 32 24 33 40 18# Def. pintura 22 17 18 14 23 19 24 13 23 19# Def. tapicería 8 10 7 9 7 6 7 6 14 12# Def. mecánicos 5 8 6 4 5 6 6 3 9 5

Código de auto 3749 3753 3750 3752 3751 3747 3746 3748 3745 3744

# Defectos totales 60 59 70 62 64 67 57 64 62 58# Def. carrocería 29 32 33 32 33 23 27 32 28 23# Def. pintura 12 16 15 16 15 18 15 13 16 14# Def. tapicería 9 8 7 8 7 13 5 10 10 9# Def. mecánicos 2 1 2 1 2 2 3 2 0 3# Def. eléctricos 8 5 7 5 7 11 6 7 8 9

a. Construir y analizar un gráfico c.

b. C ons tru ir un g rá fico de dem éritos usando ia esca la D odge-Torrey.

c. ¿ Q u é conclusiones saca U d de este estudio?

Capítulo VI

MUESTREO DE ACEPTACION

E n o ca sio n e s se d e s e a inspeccio n ar la calidad sobre cantidades de artículos ya producidos, com o en lotes de productos en proceso o lotes recibidos del proveedor. , P a ra e je c u ta r este tipo de in s p e c c ió n ex isten dos

■ fo rm a s : la in s p e c c ió n 1 0 0 % y la in s p e c c ió n p o rm uestreo.

E n la prim era se inspeccion a la totalidad de las u n id a d e s que c o m p o n e n el lote m ie n tra s que en la in s p e c c ió n po r m u e s tre o se to m a u n a m u e stra de unidades y con base en su comportamiento se concluye acerca de la calidad del lote. La eficacia y eficiencia del m u e s tre o d e p e n d e de la a le a to rie d a d y re p re s e n tatividad de la m uestra usada para la inferencia.

A lg u n a s ca racterísticas que diferencian a m b o s tipos de inspección se enum eran a continuación.

IN SP ECCIO N 100% IN SPECCIO N POR M U ES TR EO

A. COSTO

Su costo total es alto, es Su costo total es bajo, se

prohibitivo cuado los lotes estudian las caracterís-son m uy g ra nd esycuando ticas de calidad por unidad


los e n s a y o s so n c o s to s o s . La s decisiones son lentas.

y se tom an decisione s en form a ágil.

B. UTILIZACION

S e em plea cuando no se pueden tolerar riesgos debidos al muestreo en ocasiones cuando los defectos inspeccionados son críticos.

Se em plean cuando se pueden tolerar riesgos y es posible aleatorizar la recolección de datos.

C. ERRORES

S e em plea cuando no es posible tolerar errores propios de la naturaleza estadística de las muestras.

S e em plea cuando los errores de tipo estad ístico se p u e d e n a ce p ta r y pueden ser contratados.

D. SESGOS

Los errores hum anos tales com o fatiga, negligencia y dificultades de su pervisión, que no se pueden m edir ni estimar, hacen que rara v e z las co n c lu s io n e s que se obtiene n se a n exactas y veraces.

Es posible una exactitud real, pues la cantidad por inspeccionar es m enor y m anejable. La inspección se puede organizar y a través de entrenam ientos se pueden reducir los errores hum anos.

E. TIPO DE ENSAYO

N o es aplicable cuando el ensayo es Es el único m étodo aplicable cuando destructivo. el ensayo es destructivo.

F. CANTIDAD DE PERSONAL

R equiere de m uch o s inspectores, cuyo costo de adiestramiento es alto. La organización de este personal es m ás com pleja.

S e requiere m enos inspectores y su entrenamiento es m ás fácil y eficaz. La organización de este personal es m ás fácil.


G. EQUIPO

Necesita de m ucho equipo. Si éste es com plejo y caro será m uy difícil establecer un laboratorio.

S e puede seleccionar equipo y form ar un laboratorio adecuado y organizado.

H. MITOS

Existe una tendencia a creer que solo se pueden obtener buenos resultados si se in sp e cc io n a la totalidad de lo producido. Esto es falso pues la insp ección de grand es vo lúm enes m e diante o p e ra cio n e s repetitivas dific u lta la o b te n c ió n de b u e n o s re sultados.

Existe una tendencia a desconfiar de la estadística, pues se cree que no es posible obtener m uestras adecuadas. Si se siguen los pasos del método científico no hay por qué dudar de la eficacia de los m étodos estadísticos.

Lo s anteriores aspectos hacen que la m ayoría de las ve ce s cu a n d o se p ie n sa en control e sta d ístico de la ca lid a d , se prefiera la in sp e cció n por m uestreo. Para ello se debe disponer de un m anual que especifique procedim ientos y criterios de decisión.

MANUAL DE INSPECCION

El m anual de inspección constituye una importante herram ienta para la estandarización de criterios, pues define los procedim ientos y m etodologías que se deben aplicar al efectuar la inspección. El manual puede estar dedicado a inspección de proceso o de materias primas y producto terminado. Existen algunas diferencias que se centran en el hecho de que si es para el proceso, las características deben analizarse con base en las operaciones de producción y no en el o los productos que se fabriquen.

El objetivo del m anual es lograr la normalización de los métodos y procedimientos de inspección, con el fin de m inim izar las decisiones subjetivas que se tom en. Lo que se quiere es que los inspectores tengan un medio de tom ar decisiones que no se vean influenciadas por criterios propios y subjetivos.


El m anual debe estar com puesto por una serie de secciones. A lgunas de ellas son:

1. Información general. Esta información incluye:

a. Nom bre de la em presa

b. Nom bre y tipo de producto o proceso

c. Código del producto

d. Nom bre del o de los inspectores

e. Fechas

2. Tipo de contrato. S e indicará en el caso de inspección de materias primas el tipo de contrato que se ha suscrito entre el com prador y el vendedor. Se indicará aquí entre otras cosas:

a. N om bre y dirección del proveedor o proveedores

b. A Q L (Nivel de calidad aceptable)

c. Condiciones de rechazo de producto

d. Reem bolso por producto no conform e a requerimientos

e. A cuerdos especiales con el proveedor

3. Tipo de inspección. Se indicará aquí si la inspección es de rutina o especial y en qué casos se aplica cada una de ellas.

4. Lugar de inspección. S e d e b e definir el sitio d o n d e se re a liza rá la inspección y el tipo de puesto que se requiere. S e establecerá el m étodo por seguir y se darán la pautas para efectuar la actividad con alto grado de eficiencia y efectividad.

5. Procedimiento de inspección. S e definen aquí los pasos por seguir en la inspección, incluyendo el tam año de la muestra y la form a en que va a ser recolectada, de tal m anera que se logre la aleatoriedad y representatividad requerida.

Tam bién se deben definir los criterios de aceptación y rechazo de lotes, sin que haya m ayor influencia de los inspectores. S e pueden utilizar, m uestras


patrón que permitan evidenciar la criticidad de los defectos. S e debe explicar el procedim iento de análisis de la m uestra y de tom a de decisiones.

6. Instrumentación. Si se ejecuta inspección por variables se debe organizar el manejo y la utilización de instrumentos de tal manera que las mediciones obtenidas con ellos sean confiables. S e pueden agregar ilustraciones de las partes del instrumento y dependiendo de la complejidad de su manejo, se pueden agregar ilustraciones de los diferentes pasos en su utilización.

Si los instrumentos son m uchos, esta sección puede constituir por sí sola un m anual.

7. Documentación. E s importante tener docum entos que permitan conservar la información recolectada de la inspección para su posterior análisis. Esta información se podría anotar en la orden de fabricación; sin embargo, es m ejor tener docum entos aparte que puedan ser analizados independientemente. Algunos docum entos que pueden utilizarse se presentan en el Capítulo 7.

8. Destino de producto rechazado. T o d o material o producto que sea rech a za d o debe tener su adecuado destino, con el fin de no causar desórden es que cause n confusión en bo d ega s y líneas de producción. Debe buscarse salida a todo material rechazado ya sea por venta o desecho.

U na forma es m arcar un área en bodega desde donde se tomará constantem ente ese producto para su venta o desecho.

El m anual de inspección, si está bien estructurado, puede servir para la capacitación y entrenamiento de inspectores.

DEFINICION DE MUESTREO DE ACEPTACION

El muestreo de aceptación es una técnica estadística que permite calificai la ca lidad de un lote, con base en los análisis efectuados sobre una o más características de calidad y con base en una o m ás muestras extraídas de él.

E s ta técn ica es aplicab le principalm en te en la recepción de materias prim as y materiales y en la inspección de productos terminados ya sea fuera c dentro de la fábrica que pro duce o pro vee. Ta m b ié n es posible utilizarla er


in sp e cc ió n en p ro c e s o , c u a n d o un d e p a rta m e n to e n tre g a a otro lotes de producto sem ielaborado.

C u a n d o se d e c id e a p lica r m u e stre o de a ce p ta ció n se pe rsigu e n dos objetivos fundam entales:

1. A se gu ra r la calidad del lote enviado procurando que éste cum pla con lo requerido por el cliente y que lo satisfaga durante el plazo pactado.

2. A se gurar la calidad del lote recibido y aceptar solo aquel que cum pla con los requerimientos.

En el logro de estos objetivos uno de los aspectos m ás relevantes es la confiabilldad que tenga el m uestreo. El tam año de la m uestra y la aleatoriedad en su selección constituyen las fuentes de error que deben estudiarse a fondo.

Para que el muestreo de aceptación sea representativo, debe tenerse especial cuidado en la forma en que se agrupan los lotes, los cuales deben estar fo rm a d o s p o r u n id a d e s q u e h a y a n s id o fa b r ic a d a s b a jo las m is m a s c o n d ic io n e s , es d e c ir, co n los m is m o s m a te ria le s , m é to d o s , m á q u in a s , operarios y condiciones am bientales.

Al igual que en los gráficos de control, se puede efectuar m uestreo de aceptación para variables y m uestreo de aceptación para atributos. La e sco - gencia del tipo de m uestreo de p e n d e de las características por evaluar en el producto som etido a inspección.

MUESTREO DE ACEPTACION PARA ATRIBUTOS

Un plan de muestreo para atributos funciona extrayendo muestras de lotes y con base en el núm ero de defectos o defectuosos que contengan, se decide sobre la calidad del lote.

De acuerdo con ésto, se puede contar con tres tipos de planes:

a. Planes sim ples de m uestreo

b. Planes dobles de muestreo

c. Planes múltiples de m uestreo


La discrimin,ación de estos planes desde el punto de vista del consum idor y del productor se analiza en función de la probabilidad de aceptación del lote

som etido a inspección.

P l a n e s s i m p l e s d e m u e s t r e o

El plan simple de muestreo se diseña con base en un tam año de muestra (n ) y un núm ero de acep tació n (c ). El ta m a ñ o de m uestra es el nú m e ro de unidade s que deb e n ser extraídas del lote y el núm ero -de aceptación es el criterio que permite aceptar o rechazar la muestra y el lote. Este núm ero debe

especificarse com o núm ero de defectos, defectuosos o disconformes, al inicio de la Inspección.

D ebe recordarse que el producto defectuoso se diferencia del producto disconforme en que el defectuoso no puede cumplir con la función encom endada, pues tiene fallas, m ientras que el disconform e es producto q ue no está acorde con lo requerido aunque no tenga fallas.

Este plan de muestreo funciona según el siguiente procedimiento:

1. Se selecciona un lote (N ) al azar y se extrae una muestra de tam año n en

forma aleatoria y representativa.

2. S e inspecciona 1 0 0 % la muestra.

3. Si la muestra contiene c o menos defectuosos, defectos o unidades disconform es, se acepta la muestra y el lote de donde proviene. A q u í finaliza la inspección.

4. Si por el contrario, la muestra contiene m ás de c defectuosos, disconform es o defectos, se rechaza la m uestra y el lote de donde proviene.

5. S e Inspecciona el remanente del lote (N -n ) 1 0 0 % y se envían las unidades defectuosas al proveedor, tom ando registro de él.

Este procedim iento se representa en la Figura 6.1. Un plan de m uestreo simple se denota con el término (n,c). D e m anera que un plan (100,4) significa que se va a tom ar una muestra de 100 unidades y se aceptará la m uestra y el

lote si el núm ero de defectos o defectuosos es igual o m enor que 4.


FIGURA 6.1. Representación gráfica del funcionr' rniento del plan simple.


La discrim inación del plan de m uestreo, anteriorm ente m encionada, se mide usando la curva característica de operación (O C ). Esta curva es un gráfico de línea en el que se representa el porcentaje de defectuosos o disconformes (p ) en el eje x y la probabilidad de aceptación (P A) en el eje y. El procedimiento para su construcción es el siguiente:

1. Esta b le ce r va lores de p que se encuentren entre 0 y 0 ,1 . Estos valores representan las posibles fracciones de defectuosos o disconform es que puedan tener los lotes.

2. Calcular el valor de np, es decir, multiplicar el tam año de la muestra por el valor de p.

3. Utilizar las tablas de la aproxim ación de la distribución binomial a la Poisson, cuando el tam año del lote es grande, o la distribución binomial cuando es pequeño, para buscar los valores de np.

4. Localizar la probabilidad de aceptación (P A) asociada con el valor de np localizado en 3 y el núm ero de aceptación (c ) correspondiente al plan de muestreo en estudio, utilizando la Ta b la VIII del Apéndice I. La probabilidad de aceptación para un lote cero por ciento defectuoso es 1 0 0 % (1).

5. Construir la curva característica de operación (O C ) usando los valores de

p y p A-

6. O btener las conclusiones del caso.

EJEMPLO 6.1

U n com prador m uestrea los lotes que recibe sacando una muestra de 150 unidades y decide rechazar si encuentra m ás de tres unidades defectuosas. E s decir, utiliza un plan de m uestreo n=150, c=3. ¿C uá l es la curva característica con la que ese com prador inspecciona esos lotes?

SOLUCION

1. S e establecen valores de p com prendidos entre 0 y 0,05.

2. S e calcula el valor de np, multiplicando el tam año de la m uestra (n= 1$0) por los valores d e p .

CONTROL DE CALIDAD

CUADRO 6.1. Datos para la curva OC del Ejemplo 6.1

n=100, c=3

p np P*

0,01 1,5 0,9340,02 3,0 0,6470,03 4,5 0,3430,04 6,0 0,1510,05 7,5 0,059

Utilizando las tablas de la aproxim ación de la distribución binom ial a la Poisson se localizan los valores de np.

S e localiza la probabilidad de aceptación (P A) asociada con el valor de np localizado en 3 y el núm ero de aceptación c=3, usando la T a b la VIII del Apéndice I. El C u a d ro 6.1 presenta la información.

S e construye la curva característica de operación (O C ) usando los valores de p y P A, obtenidos en 4. La Figura 6.2 presenta la curva correspondiente.

FIGURA 6.2. Curva característica de operación del Ejemplo 6.1


6. C o n la curva graficada, se puede localizar la probabilidad de aceptación

que le corresponde a un lote que es inspeccionado con el plan n=1 Jb ,c = 3 .

A sí, por ejemplo, si se tiene un lote 3 ,4 % defectuoso, su probabilidad de aceptación será de 0,251, lo que significa que si se som eten a inspección 100 lotes, se aceptarán 25 y se rechazarán 75 lotes.

El grado de discrim inación de un plan de m uestreo es el grado de rigidez

con que un plan dism inuye la probabilidad de aceptación a pesar de que el lote contenga poca cantidad de producto disconform e o defectuoso.

A sí, el plan más discriminante será siem pre aquel que se encuentre m ás

cerca del origen. Si el productor está chequeando materias primas, usará ese

plan; si está chequeando su producto terminado, deberá chequear también con

ese plan a pesar de que desee hacerlo con un plan m enos discriminante.

Para observar mejor el grado de discriminación de un plan de muestreo, se

plantean los siguientes casos:

C A S O A . Planes que m antienen el tamaño de muestra constante pero número de aceptación variable

EJEMPLO 6.2

Construya las curvas O C para los siguientes cuatro planes de muestreo y

com párelos.

n=100, c=1

n=100,

n=100,

n=100,

c=2

c=3

c=4

SOLUCION

El Cuadro 6.2 resume los pasos del 1 al 4. La Figura 6.3 presenta el paso 5.


CUADRO 6.2. Datos para la curva OC para el CASO A

n=100, c=1 n=100, c=2 n=100, c=3 n=100,c=4

p np P* np Pa np P* np > a

0,01 1 0,736 1 0,920 1 0,981 1 0,9960,02 2 0,406 2 0,677 2 0,857 2 0,9470,03 3 0,199 3 0,423 3 0,647 3 0,8150,04 4 0,092 4 0,238 4 0,433 4 06290,05 5 0,040 5 0,125 5 0,265 5 0,4400,06 6 0,017 6 0,062 6 0,151 6 0,2850,07 7 0,007 7 0,030 7 0,082 7 0,1730,08 8 0,003 8 0,003 8 0,042 8 0,100

O b se rva n d o las curva s características de operación, en la Figura 6.3, se p u e d e con clu ir que los planes de m uestreo se vu e lve n m ás discrim inantes cuando, m anteniendo constante el tam año de la m uestra, se hace decrecer el núm ero de aceptación.

FIGURA 6.3. Curva característica de operación para tamaños de muestra constantes y criterios de aceptación variables.


O b se rva n d o las curvas características de operación, en la Figura 6.3, se puede concluir que los planes de m uestreo se vuelven m ás discrim inantes

cuando m anteniendo constante el tam año de la m uestra se hace decrecer el núm ero de aceptación.

A unq ue el productor desee chequear con el plan n=100, c=4, debe hacerlo con el plan n=10 0,c=1, pues es el plan que usará el consum idor para probar la

calidad de las entregas que se le hagan. Existe también la posibilidad de pactar

con el com p ra d o r para usar un plan interm edio que no sea tan rígido para el productor y que a la ve z proteja al com prador.

C A S O B . Planes que m antienen e l núm ero de aceptación constante pe ro e l tam año de muestra variable

EJEMPLO 6.3

Construya las curvas O C para los siguientes cuatro planes de muestreo y com párelos.

n=100, c=3

n=150, c=3

n=200, c=3

n=250, c=3

SOLUCION


A l o b s e rv a r la F ig u ra 6 .4 , se p u e d e no ta r q u e c u a n d o se m a n tie n e constante el núm ero de aceptación y se varía el tam año de la muestra, el plan

más discriminante será siempre aquel que tenga el m ayor tam año de muestra. De los cuatro planes m ostrados, el que debe usarse es el plan n=250, c=3. Claro está, en igual forma que en el caso anterior, un acuerdo entre el productor

y el consum idor puede llevar a la escogencia de un plan intermedio.


CUADRO 6.3. Datos para la curva OC para el CASO B

n=100, c=3 n=150, c=3 n=200, c=3 n=250, c=3

p np PA np PA np PA np PA

0,01 1,0 0,981 1,5 0,934 2,0 0,857 2,5 0,7580,02 2,0 0,857 3,0 0,647 4,0 0,433 5,0 0,2650,03 3,0 0,647 4,5 0,342 6,0 0,151 7,5 0,0590,04 4,0 0,433 6,0 0,151 8,0 0,042 10,0 0,0100,05 5,0 0,265 7,5 0,059 10,0 0,010 12,5 0,0010,06 6,0 0,151 9,0 0,021 12,0 0,002 15,0 0,0000,07 7,0 0,082 10,5 0,007 14,0 0,000 17,5 0,000

FIGURA 6.4. Curva característica de operación para tamaños de muestra variables y criterios de aceptación constantes

C A S O C . P lanes que con se rva n una m ism a razón en tre e l tam año de la m uestra y e l núm ero de aceptación (n/c).


E J E M P L O 6.4

Construya las curvas O C para los siguientes cuatro planes de muestreo y com párelos.

n= 50, C=2

n= 75, c=3

n=100, c=4

n=125, c=5

SOLUCION

C o m o se puede notar la razón (n/c=25) es la m ism a en todos los planes.


C o m o se puede observar en la Figura 6.5, cuando se mantiene una misma

razón entre el tam año de m uestra y el núm ero de aceptación, los planes de

m uestreo, hasta un cierto valor de p, tienen un grado de discrim inación m uy

parecido. Para este ejemplo, este valor de p es aproxim adam ente 3 ,3 % .

CUADRO 6.4. Datos para la curva OC para el CASO C

n=50, c=2 n=75, c=3 n=100, c=4 n=125, c=5

P np PA np PA np PA np PA

0,01 0,5 0,986 0,75 0,993 1,0 0,996 1,25 0,9980,02 1,0 0,920 1,50 0,934 2,0 0,947 2,50 0,9580,03 1,5 0,809 2,25 0,800 3,0 0,815 3,75 0,8200,04 2,0 0,677 3,00 0,647 4,0 0,629 5,00 0,6160,05 2,5 0,544 3,75 0,480 5,0 0,440 6,25 0,4000,06 3,0 0,423 4,50 0,342 6,0 0,285 7,50 0,2400,07 3,5 0,321 5,25 0,231 7,0 0,173 8,75 0,1280,08 4,0 0,238 6,00 0,151 8,0 0,100 10,00 0,067


P A

0 ,4

0,6

0,2

I ,0

0,8

0 0 0 ,4 )

O

O I 2 3 4 5 6 7 8 p (% )

FIGURA 6.5. Curva característica de operación para planes que tienen una misma razón entre el tamaño de muestra y el número de aceptación.

A sí, en este ejem plo se puede concluir que para valores de p m enores o iguales a 3 ,3 % , el grado de discriminación de todos los planes es el mismo. Sin em b a rgo , para valores superiores a 3 ,3 % el plan m ás discrim inante es el de m ayor tam año de m uestra y m ayor núm ero de aceptación.

C A S O D. Planes que usan un tamaño de muestra porcentual a l tamaño del lote y núm ero de aceptación consecutivo.

EJEMPLO 6.5

En inspección de recepción se tiene la práctica de m uestrear el 1 % del tam año del lote recibido (0,01 N ). C onstruya las curvas O C para los siguientes planes de m uestreo y com párelos.

N =1000 0,

N =2000 0,

n=100,

n=200,

c=2

c=3

N =2500 0, n=250, c=4


SOLUCION


CUADRO 6.5. Datos para la curva OCpara el CASO D

■■ ..

n=100,c=2 n=200,c=3 n=250,C=4

p np PA np PA np PA

0,01 1,0 0,920 2,0 0,857 2,5 0,8910,02 2,0 0,677 4,0 0,433 5,0 0,4400,03 3,0 0,423 6,0 0,151 7,5 0,1300,04 4,0 0,238 8,0 0,042 10,0 0,0290,05 5,0 0,125 10,0 0,010 12,5 0,0050,06 6,0 0,062 12,0 0,002 15,0 0,0010,07 7,0 0,030 14,0 0,000 17,5 0,000

FIGURA 6.6. Curva característica de operación para planes con tamaño de muestra porcentual a N y criterios de aceptación consecutivos


Al observar la Figura 6.6, se puede notar que cuando se usan planes de muestreo basados en criterios porcentuales sobre el tam año del lote, el plan se vuelve m ás discrim inante cu a n d o el tam año del lote crece. En este caso los planes n=200,c=3 y n=250,c=4 tiene un grado de discriminación m uy parecido, a unque es m ás discrim inante el segundo . E n general, se puede concluir que bajo esta práctica es m ejor el envío de lotes pequeños, pues éstos tienen una m ás alta probabilidad de aceptación.

S i el p ro v e e d o r c o n o c e qu e los lote s, en la e m p re s a del c lie n te , se m uestrean bajo el criterio de porcentajes sobre el tam año del mismo y tiene un e n v ío de un lote de ta m a ñ o N , la m ejo r alternativa es se cc io n a r ese lote al m áxim o que pueda. Para ello se debe hacer un análisis de costos, tom ando en cuenta que al seccionar el lote crecerán los costos de envío y transporte, pero decrecerán los costos de alm acenaje y de m ala calidad.

El E jem plo 6.6 ilustra lo anteriorm ente dicho.

EJEMPLO 6.6

Un fabricante recibe un pedido de 20 0 0 0 unidades el cual va a ser inspeccionado en la planta del cliente usando un plan de m uestreo n=200, c=4, n =100, c=2 o n=50, c=1 según se envíe un solo lote, dos lotes de 10000 unidades o cuatro lotes de 5000 unidades. La razón es que el cliente usa el criterio de extraer el 1 % del tam año del lote.

Analice para cada caso las ventajas del fabricante si este entrega lotes que son 2 % defectuosos. N ótese que la razón entre el tam año de la m uestra y el núm ero de aceptación en los tres planes de muestreo es la misma.

SOLUCION

Envío de un solo lote de 20000 unidades

Ante este tam año de lote el cliente usa el plan de m uestreo n=200, c=4. S i s e b u s c a e n la s T a b la s d e la a p r o x im a c ió n B in o m ia l -P o is s o n , la p ro b a b ilid a d de a c e p ta c ió n q u e c o rre s p o n d e a e se p la n , co n p = 0 ,0 2 es 0 ,6 2 9 . A s í se tiene:


Núm ero esperado de unidades aceptadas= 1 *20000*0,629 = 12580 unidades

Núm ero esperado de unidades rechazadas= 1 *20000*0,371 = 7420 unidades

Envío de dos lotes de 10000 unidades cada uno

Al usar este tam año de lote, el cliente utiliza el plan de m uestreo n =100, c = 2 . Si se b u sca en las T a b la s de la a p ro x im a ció n B in o m ia l- P o isso n , la probabilidad de aceptación que corresponde a ese plan con p=0,02 es 0,677. A sí se tiene:

Núm ero esperado de unidades aceptadas= 2*10000*0,677 = 13540 unidades

Núm ero esperado de unidades rechazadas= 2*10000*0,323= 6460 unidades

Envío de cuatro lotes de 5000 lenidades cada uno

Al usar este tam año de lote el cliente utiliza el plan de muestreo n=50, c = 1 . Si se busca en las Tablas de la aproximación Binomial- Poisson, la probabilidad de aceptación que corresponde a ese plan con p=0,02 es 0 ,677. A s í se tiene:

Núm ero esperado de unidades aceptadas= 4*5000*0,736 = 14720 unidades

Núm ero esperado de unidades rechazadas= 4*5000*0,323 = 5280 unidades

Es claro que conforme decrece el tam año del lote, la cantidad esperada de unidades acep tadas crece. A s í, si se e n vía n cuatro lotes de 5000 unidades cada uno, se espera que se acepten 2140 unidades m ás que si se envía un solo lote de 20000 unidades. D e sp u é s de h a ce r el análisis de costos planteado anteriormente se puede llegar a una m ejor conclusión.

En resum en, si se aplica el m uestreo porcentual el pro veedor tenderá a enviar lotes de tamaño lo m ás pequeño posible, mientras que el cliente deseará recibir lotes de tam año lo m ás grande posible.

Diseño de un plan simple de muestreo

A pesar de que los planes de m uestreo pueden ser extraídos de norm as también pueden diseñarse. La ventaja de ésto es que el analista puede plantear


sus condiciones y diseñar un plan que las satisfaga. En la norm a hay que ajustarse a las condiciones dadas por ella.

Para diseñar planes de muestreo es necesario conocer dos pares ordenados m uy importantes, éstos son: (A Q L ,1 -a )y (P N C T , P). E L significado de estos parám etros es el siguiente:

A Q L : nivel de calidad aceptable. E s la m ejor calidad que un proceso puede brindar bajo condiciones norm ales de operación

P N C T : porcentaje no conform e tolerado en el lote. E s la peor calidad que se puede dar com o aceptada bajo condiciones norm ales

a: riesgo del productor de que le rechacen lotes buenos. E s la probabilidad de que lotes m uy buenos, con calidad superior al A Q L , sean rechazados (Error tipo I)

B: riesgo del consum idor. E s la probabilidad de que lotes m uy malos, con calidad inferior al P N C T , sean aceptados (E rro rtip o II)

Estos puntos se representan en la curva característica de operación según lo m uestra la Figura 6.7.

A Q L PN CT

FIGURA 6.7. Representación de los pares ordenados (AQL, 1-a) y (PNCT,3).


C o n base en diseños experimentales y para efectos de operación y diseño de planes, se fija el riesgo del productor (a ) en 5 % y el riesgo del consum idor (13) en 1 0 % . Esto no evita que el analista pueda usar los valores que le garanticen m ayor confiabilidad a su estudio. Tam bién, se puede fijar un nivel de calidad de indiferencia (p0), para el cual la probabilidad de aceptación es igual a la probabilidad de recha zo (0 ,5 ). Esto lo que busca es obtener un riesgo com partido entre el productor y el consum idor.

El diseño de un plan de muestreo se puede basar en el riesgo del productor, en el riesgo del con sum ido r o en am bos. Si el productor es el que desea tener su propio plan podrá diseñar una serie de planes y escoger aquel que llena m ás sus expectativas. Lo m ism o ocurre para el co n su m id o r. Si tanto el consum idor com o el productor desean llegar a un acuerdo para diseñar un plan conjunto que satisfaga am bos riesgos, entonces se diseña un único plan de muestreo.

Si el plan se diseña basado en am bos riesgos su curva característica de operación es la m ostrada en la Figura 6.7. Si se diseñan planes de muestreo basados en el riesgo del productor, las curvas características de operación de esos planes se pueden representar según se muestra en la Figura 6.8(a). Si se diseñan basados en el riesgo del con sum ido r, e sa s cu rva s se representan según se puede ver en el Figura 6.8(b).

E s im po rtante re ca lca r q ue a u n q u e se p u e d e n d ise ñ a r varios p lan es basados en uno de los riesgos, solo uno es capaz de cumplir con am bos riesgos a la vez.

Planes de muestreo basados en el riesgo del productor

Para diseñar estos planes, también llamados planes a, se necesita conocer de antem ano el valor del riesgo del productor (a ) y el valor del A Q L correspondiente al producto sobre el cual se va a aplicar el plan de muestreo. El valor de a , tal y co m o se dijo anterio rm ente se estab lece g e n e ra lm e n te en 5 % . C o n o cid o s éstos, se utiliza para el d iseño de los p lanes el siguiente p ro ce

dimiento:

1. Establecer diferentes valores de núm ero de disconform es, defectuosos odefectos. Esto dependerá de lo que se quiera muestrear. Este núm ero se


A Q L ( p % )( o )

( p % ) PNCT(b )

FIGURA 6.8. Curvas características de operación para riesgo del productor (a) y riesgo del consumidor (¡i).

llama núm ero de aceptación (A c). No es recomendable utilizar el valor de A c igual a cero pues los planes con este núm ero de aceptación son planes m uy discriminantes


2. Localizar en las tablas de la aproximación binom ial-Poisson los valores de np correspondientes a la probabilidad de aceptación (1 -a ) y a los valores de A establecidos en 1.c

3 C a lc u la r el ta m a ñ o de la m uestra que co rre sp o n d e a ca d a valor de np extraído en el p a so 3. E ste ta m a ñ o de m u e stra se ca lcu la u s a n d o la siguiente expresión:

npn =------------------

“ A Q L

4. Dibujar las curvas características de operación, con el fin de escoger aquel plan que se acerque más a los requerimientos y exigencias de la inspección.

EJEMPLO 6.7

D is e ñ a r c in c o p la n e s de m u e s tre o qu e c u m p la n co n un rie s g o del productor (a ) del 5 % , asociado a un nivel de calidad aceptable (A Q L ) de 0 ,6 5 % .

SOLUCION

El Cuadro 6.6 resum e los pasos del 1 al 3. Lo s valores de np se localizan con el valor de A c y el valor de (1 -a )= 0 ,9 5 .

CUADRO 6.6. Cálculos para planes an =np /0,0065 a ' a


Si se dibujan las curvas características de operación, todas pasarán por el

punto (0 ,0 0 6 5 ,0 ,9 5 ) que es el par ordenado (A Q L , PA). Habrá pequeños des

fases ocasionados por el redondeo de datos. Los planes serán m ás parecidos

conform e se acerquen al par ordenado citado.

Planes de muestreo basados en el riesgo del consumidor

Para diseñar estos planes, también llamados planes B, se necesita conocer

de antem ano el valor del riesgo del con sum ido r (B ) y el valor del P N C T corres

pondiente al producto sobre el cual se va a aplicar el plan de muestreo. El valor de

B, tal y com o se dijo anteriormente se establece generalm ente en 1 0 % . Cono ci

d o s ésto s p a rá m e tro s , se utiliza p a ra el d is e ñ o de los p la n e s el s ig uie n te

procedim iento:

1. Establecer diferentes valores de núm ero de disconform es, defectuosos o

defectos. Esto dependerá de lo que se quiera muestrear. Este núm ero se

llama núm ero de aceptación (A c). N o es recom endable utilizar el valor de A c

igual a cero pues los planes con este núm ero de aceptación son planes

m uy discrim inantes

2. Localizar en las tablas de la aproxim ación binom ial-Poisson los valores de

np correspondientes a la probabilidad de aceptación B y a.los valores de A c

establecidos en 1.

3. Calcular el tam año de la m uestra que corresponde a cada valor de np ex

traído en el paso 3. Este tam año de m uestra se calcula usando la siguiente

expresión:

nP*

P N C T

4. Dibujar las curvas características de operación, con el fin de escoger aquel

plan q ue se a c e rq u e m ás a los re q u e rim ie n to s y e x ig e n cia s de la ins

pección.


EJEMPLO 6.8

Diseñar cinco planes de m uestreo que cum plan con un riesgo del con sum idor (p ) del 1 0 % , asociado a un porcentaje no conform e tolerado en el lote (P N C T ) de 4 ,5 % .

SOLUCION

El C uadro 6.7 resum e los pasos del 1 al 3. Los valores de np se localizan con el valor de A c y el valor de P= 0,1.

CUADRO 6.7. Cálculos para planes 3 n = np^O, 045

Ac nPj

1 3,90 872 5,33 1193 6,70 1494 8,00 1785 9,30 207

Si se dibujan las curvas características de operación, todas pasarán por el punto (0 ,0 4 5 , 0 ,1 ) o s e a el par ordenado (P N C T , P A). H a b rá pequeños d e sfases ocasionados por el redondeo de datos. Los planes serán m ás parecidos conform e se encuentren m ás cerca del par ordenado citado.

Plan de muestreo basado en ambos riesgos

Este plan de m uestreo, también llamado plan <x,p, se obtiene con base en los planes de m uestreo diseñados para cada tipo de riesgo en forma separada. Para ello se sigue el siguiente procedimiento:

1. D ise ñ a r un núm ero determ inado de planes de m uestreo basados en el

riesgo del productor (a )


2. D iseñar el m ism o núm ero de planes de muestreo basados en el riesgo del consum idor (B )

3. O b tener la diferencia absoluta In -n „ la 8

4. Localizar la m enor diferencia lna - nBl y observar a qué núm ero de aceptación A c pertenece, pues éste será el núm ero de aceptación del plan basado en am bos riesgos

5. Calcular el tam año de m uestra usando la siguiente expresión:

n . = (n + n„)/2a,8 ' a 8 '

El plan de m uestreo será (naB A c)

6. Construir la curva característica del plan. Por razones de redondeo am bos puntos no coincidirán con los valores teóricos.

S e deben diseñar suficientes planes de muestreo a y B de tal m anera que sea posible encontrar la m enor diferencia In^ - nBl. El analista debe cerciorarse de ese m ínim o, por ello este m ínim o no puede estar en el último plan diseñado.

EJEMPLO 6.9

D iseñar el plan basado en am bos riesgos tom ando com o base los planes diseñados en los Ejem plos 5.6 y 5.7.

SOLUCION

El C u a d ro 6.8 presenta los pasos del 1 al 3.

Paso 4. Al localizar la m enor diferencia ésta pertenece al núm ero de aceptación Ac-2 , lo que quiere decir que este es el núm ero de aceptación del plana,p.

P aso 5. Los tam años de muestra que corresponden al valor de A c del Paso 4 son 126 y 118. El valor de n „ se calcula así:

J a.p

na|5= (1 2 6 + 1 18)/2 = 122

C o n ello el plan de m uestreo que cum ple con am bos riesgos es:


CUADRO 6.8. Plan de muestreo que satisface ambos riesgos

Planes a Planes Rn — n.

KAc n

a Ac

1 55 1 87 322 126 2 119 73 211 3 149 624 300 4 178 1225 400 5 207 193

\ = 2 ,Paso 6. Si se construye la curva característica de operación se verá que

ésta pasa por los puntos (A Q L,1 -a ) y (P N C T ,(3). El desfase se debe al redondeo efectuado al obtener los planes de muestreo.

Costo total esperado de inspección por muestreo

Al utilizar planes de m uestreo sim ple, siem pre es conveniente com parar las bondades de dos o m ás de estos planes, no solo basándose en el grado de discrim inación de los m ism os, sino tam bién en el costo de la inspección. Con este fin, se puede evaluar este costo utilizando la siguiente expresión:

C T E IL = [n + ((N -n ) * P R)] * c¡

donde:

C T E IL : costo total esperado de inspección por lote

n: tam año de la muestra

N: tam año del lote

P R: probabilidad de rechazo (P R=1 -P A)

c : costo de inspección por unidad


Si se o b s e rva la e xp re sió n de costo a n o ta d a anterio rm ente se puede apreciar que el costo se obtiene multiplicando el total de unidades inspeccionadas por el costo de inspeccionar una unidad. El total de unidades inspeccionadas lo constituye la sum a de las unidades que conforman la muestra, las que se inspeccionan 1 0 0 % , con las unidades del remanente del lote (N -n ) cuando el lote sea re c h a za d o . R e c u é rd e s e que el re m a n e n te se in sp e cc io n a 1 0 0 % cuando la muestra es rechazada.

EJEMPLO 6.10

S e han recibido para su inspección 5 lotes cuyas características se presentan en el Cuadro 6.9. El costo de inspección por unidad se ha calculado en 015. ¿C u á l plan de m uestreo resulta m ás económ ico?

CUADRO 6.9. Características de los lotes sometidos a inspección

# Tamaño P Plan usado

1 5000 0,076 n=100, Ac=22 10000 0,030 n=200, Ac=43 12000 0,035 n=220, Ac=44 8000 0,051 n=150, Ac=35 15000 0,014 n=200, Ac=3

SOLUCION

Para encontrar el plan m ás económ ico se hará uso del C u a d ro 6.10.

La probabilidad de aceptación se localiza con el valor de np y el núm ero de aceptación correspondiente al plan que está siendo usado. Así, para el primer plan se multiplica 100 por 0 ,076 y con el valor obtenido y el núm ero de a ce p

tación A c=2, se busca en la tabla de aproxim ación binom ial-Poisson la proba

bilidad de aceptación, la cual resulta ser 0,019.


CUADRO 6.10. Cálculos para determinar el plan de muestreo más económico

Plan N n N-n P* 1 -P *

. . •oíüiOMv-

Costo esperado por lote

n=100, Ac=2 5000 100 4900 0,019 0,981 [100+(4900*0,981)]*15= 0 73604

n=200, Ac=4 10000 200 9800 0,285 0,715 [200+(9800*0,715)]*15= 0108105

n=220, Ac=4 12000 220 11800 0,119 0,881 [220+( 11800*0,881)]*15= 0159237

r>=150, Ac=3 8000 150 7850 0,053 0,947 [150+(7850*0,947)]*15= 0113760

n=200, Ac=3 15000 200 14800 0,692 0,308 [200+(14800*0,308)1*15=0 71376

D ando respuesta a la pregunta planteada se tiene que el plan m ás económ ico es el plan n = 2 0 0 , A c= 3 u sa d o co n lotes de ta m a ñ o 15 0 0 0 u n id a d e s (071376). De lo anterior se concluye que el plan m ás económ ico no es aquel re

lacionado con un tam año de lote pequeño, sino m ás bien el plan que corresponde al lote que suministra la mejor calidad (m enor valor de p).

P l a n e s d o b l e s d e m u e s t r e o

Los planes dobles de muestreo son aquellos mediante los que la decisión de aceptación o rechazo del lote se basa en el establecim iento de dos m ues

tras, pudiéndose aceptar o recha za r con la prim era. Estos planes deben ser utilizados cuando se dem uestre que los planes sim ples no son confiables o cuando el interesado desee m ayor protección en la inspección. No es recom endable usarlos sin que se haya generado experiencia en el uso de planes de

muestreo simples.

La aplicación de planes de muestreo dobles, cuando tienen baja probabilidad de aceptación con la primera muestra, resulta m ás cara que la aplicación

de planes sim ples. Esto se debe a que el costo de inspección por m uestra es m ás grande ya que la sum a del tam año de las dos m uestras del plan doble es

m ayor que el tam año de la muestra de un plan simple equivalente (n ,+ n 2>n).


U n plan doble de m uestreo se aplica extrayendo del lote una m uestra de tam año n, y sometiéndola a inspección 1 0 0 % . Si el núm ero de unidades disconform es o defectuosas detectadas no excede el núm ero de aceptación A c1, se acepta la m uestra y el lote de do n de ella proviene. Si ese núm ero e xcede el nú m e ro de re c ha zo R e1, se re c h a za la m uestra y el lote de donde proviene, obligand o a efectuar una inspección 1 0 0 % sobre el rem anente (N -n ,) . Si el núm ero de disconform es o defectuosos se encuentra entre los núm eros A cl y R e1, se to m a una s e g u n d a m u e stra d e ta m a ñ o n2 igual a n r S i en a m b a s m uestra s el núm ero de discon form es o defectuosos excede el va lor R _, se

e 2 ’

rechazan am bas m uestras y el rem anente del lote de donde provienen (N -n ,- n2), obligando a una inspección 1 0 0 % sobre él. Si por el contrario, ese núm ero es m e n o r qu e R e2, e n to n c e s se a c e p ta n las m u e s tra s y el lote d e d o n d e provienen. La Figura 6.9 ilustra el funcionam iento de este tipo de planes.

E n igual form a que los planes sim ples, los planes dobles tienen su curva característica de operación. El m étodo para su construcción es un poco m ás c o m p le jo pues la pro babilidad de a ce p ta ció n d eb e calcularse para a m b a s m uestras. El siguiente procedimiento se aplica para cada uno de los valores de p que sean escogidos.

1. Calcular la probabilidad de aceptación de la prim era m uestra (P A1)

a. Calcular el valor de n,p que consiste en multiplicar el tam año de la prim era m uestra por el valor de p.

b. C a lc ula r la probabilidad de a cep tació n cu a n d o el núm ero de defectuosos o disconform es es m eno r que A c1.

2. Calcular la probabilidad de aceptación de la segunda muestra (P A2)

a. C a lc u la r el va lo r de n2p que co n siste en m ultiplicar el ta m a ñ o de la segunda m uestra por el valor de p.

b. Calcular las probabilidades de encontrar un valor de núm ero de defectuosos o disconform es entre A c1 y R e1 en la prim era muestra.

c. Calcular las probabilidades com plem entarias a las calculadas en b. tal que se cum pla con A c2.

d. S u m a r las probabilidades de aceptación calculadas en b. y


FIGURA 6.9. Representación gráfica del funcionamiento de un plan doble de muestreo


3. C a lcula r la probabilidad de aceptación total sum ando las probabilidades calculadas en 1. y 2.

EJEM PL0 6 .i l

Determ inar dos puntos de la curva característica de operación correspondiente al siguiente plan doble de muestreo.

n,= 45 n2= 45

A,= 1 ac2= 4

R.,= 5 Re2= 5

U se p=0,01 y p = 0 ,0 2

SOLUCION

Los C u a d ro s 6.11 y 6.12 presentan la información necesaria para calcular

la probabilidad de aceptación para valores de p de 0,01 y 0,02. Las probabilidades fueron localizadas en la tabla de la aproxim ación binom ial-Poisson.

El valor de probabilidad de aceptación de 0,06 se obtiene de multiplicar la

p ro b a b ilid a d de e n c o n tra r d o s d e fe c tu o so s o d isco n fo rm e s en la prim e ra

muestra por la probabilidad de encontrar no m ás de dos en la segunda muestra,

p u e s el n ú m e ro de a c e p ta c ió n en la s e g u n d a m u e s tra es 4. La s d e m á s

probabilidades de los C ua d ro s 6.11 y 6.12 se calculan en igual forma.

P l a n e s m ú l t ip l e s d e m u e s t r e o

Estos planes, tam bién llamados planes progresivos, consisten en la toma

sucesiva de m muestras de igual tam año. El númercfde muestras depende del

m om ento en que se logre obtener núm eros de aceptación y de rechazo conse

cutivos. El funcionam iento de este tipo de planes es sim ilar al de los planes

dobles, con la diferencia de que en este caso se tienen tres o m ás muestras. La

Figura 6,10 y el Ejem plo 6.12 m uestran este procedimiento.


FIGURA 6.10. Representación gráfica del funcionamiento de un plan múltiple de muestreo


CUADRO 6.11. Cálculo de probabilidad de aceptación del EJEMPLO 6.11p=0,01

Análisis de Primera muestra

Análisis de Segunda muestra Contribución

aP*n,*p=45*0,01=0,45 (n, + n2)*p=90*0,01=0,9

P (d < 1) = 0,925 P (d = 2) = 0,064 P(d < 2) = 0,937

0,9250,064*0,937

0,060

P (d < 2 ) = 0,989 P (d = 3) = 0,010 P (d < 1) = 0,772 0,010*0,772

0,0077

P (d < 3) = 0,999 P (d = 4) = 0,001 P (d = 0) = 0,407 0,001*0,407

0,0004

P (d < 4) = 1,000

PA = 0,9931

La curva característica de operación de este tipo de planes es similar a la curva de los planes dobles, aunque su construcción es sum am ente elaborada, pu e s se tienen que calcular probabilidades de aceptación por m uestra. Los p lan es m últiples de m uestreo pueden ser represen tados gráficam ente tal y co m o se observa en la Figura 6.11.

EJEMPLO 6.12

Explicar el funcionam iento y representar gráficam ente el plan múltiple de m u e stre o q ue se e n c u e n tra en el C u a d ro 6 .1 3 . E ste plan co n sta de siete m u e s tra s . N ó te s e que en la m u e stra N o . 7, los n ú m e ro s de a ce p ta ció n y


CUADRO 6.12. Cálculo de probabilidad de aceptación del EJEMPLO 6.11p=0,02


Análisis de Segunda muestra Contribución

aPan *p=45*0,02=0,9 (n, + ns)*p=90*0,02=1,8

P (d < 1) =0,772 P (d = 2) =0,162

0,772

P (d < 2) = 0,937

P(d < 2 ) = 0,731 0,162*0,7310,1184

P (d = 3) = 0,050 P (d < 1) = 0,463 0,005*0,4630,0232

P (d < 3) = 0,987P (d = 4) = 0,011

P (d < 4) =0,998

P (d = 0) = 0,165 0,011*0,1650,0018

P, = 0,9154A ’

rechazo son consecutivos. Esta situación, tal y com o se dijo antes, es la que define el núm ero de m uestras del plan.

SOLUCION

El plan presentado funciona de la siguiente m anera: se tom a una primera

muestra de 200 unidades del lote, si al inspeccionarla 1 0 0 % se encuentran una o menos unidades disconformes o defectuosas se acepta la muestra y el lote de donde proviene. Si esa muestra contiene ocho o m ás unidades disconformes o defectuosas se rechaza la muestra y el lote de donde proviene. Si el núm ero de

unidades disconform es o defectuosas se encuentra entre 1 y 8, se tom a una

DIS

CO

NF

OR

ME

S


FIGURA 6.11. Representación gráfica del plan múltiple de muestreo.

CUADRO 6.13. Plan de muestreo múltiple del Ejemplo 6.12

# n, m , A , R ,

1 200 200 1 82 200 400 6 123 200 600 11 174 200 800 16 225 200 1000 22 256 200 1200 27 297 200 1400 32 33

i


n u e va m uestra de 2 00 unidades. Si en la totalidad de unidades c o rre sp o n dientes a am bas m uestras hay 6 o m enos unidades disconform es se aceptan la s m u e s tra s y el lote d e d o n d e p ro v ie n e n . S i se e n c u e n tra n 12 o m á s unidades disconform es o defectuosas se recha za n las m uestras y el lote de don de provienen. Si ese núm ero se encuentra entre 6 y 12 entonces se tom a una n u e va m uestra de 2 00 unidades. E ste procedim iento continúa hasta la m uestra #7 en la cual se extrae una m uestra final de 2 00 unidades. Si en las 1400 u n id a d e s h a y 32 o m e n o s u n id a d e s d isco n fo rm e s o d e fe c tu o sa s se aceptan las siete m uestras y el lote de donde provienen, pero si hay 33 o m ás unid a d e s en esas con dicio nes, se re c h a za n las siete m uestra s y el lote de don de provienen.

E n la Figura 6.11 se hace la representación del plan múltiple.

Uso de planes en aceptación-rectificación

La utilización de planes de m uestreo para casos de aceptación-rectificación consiste en recibir lotes, som eterlos a inspección y rep oner todo aquel producto que no cum pla con los requerim ientos pactados entre fabricante y c o m p ra d o r. T o d o s los a s p e c to s re fe re n te s a la fo rm a de in s p e c c ió n y a reposición de producto se fija de antem ano.

E n el uso de este procedim iento se utiliza el concepto de calidad saliente m edia (A O Q ) y límite de calidad saliente m edia (A O Q L ). La calidad saliente m e d ia es el porcentaje de pro ducto d iscon form e a requ e rim ie n to s q u e se encuentra en cada lote cuya muestra es aceptada. El límite de calidad saliente m edia es el valor m áxim o de calidad saliente m edia que representa el m áxim o porcentaje de producto disconform e que pasaría al som eterse a inspección varios lotes con diferentes calidades de entrada. La existencia del A O Q L es lógica p u e s no es posible que los lotes tengan sie m p re el m is m o nivel de calidad a pesar de que ello se haya pactado.

Los pasos en la aplicación de este procedim iento son los siguientes:

1. Establecer el pacto entre com prador y vendedor fijando entre otras cosas el lugar de m uestreo, el tipo de m uestreo, el procedim iento para devolver las unidades recha za das y criterios de rechazo.

2. Recibir M lotes de tamaño N para ser muestreados.

DIS

CO

NF

OR

ME

S


FIGURA 6.11. Representación gráfica del plan múltiple de muestreo.

CUADRO 6.13. Plan de muestreo múltiple del Ejemplo 6.12

# n, In , A , R ,

1 200 200 1 82 200 400 6 123 200 600 11 174 200 800 16 225 200 1000 22 256 200 1200 27 297 200 1400 32 33

¡


n u e va m uestra de 2 0 0 unidades. Si en la totalidad de unidades c o rre sp o n dientes a am bas m uestras hay 6 o m enos unidades disconform es se aceptan la s m u e s tra s y el lote d e d o n d e p ro v ie n e n . Si se e n c u e n tra n 12 o m á s unidades disconform es o defectuosas se recha za n las m uestras y el lote de don de provienen. Si ese núm ero se encuentra entre 6 y 12 entonces se tom a una n u e va m uestra de 2 00 unidades. Este procedim iento continúa hasta la m uestra #7 en la cual se extrae una m uestra final de 2 00 unidades. Si en las 1400 u n id a d e s h a y 32 o m e n o s u n id a d e s d isco n fo rm e s o d e fe ctu o sa s se aceptan las siete m uestras y el lote de donde provienen, pero si hay 33 o m ás unid a d e s en esas con dicio nes, se re c h a za n las siete m uestra s y el lote de don de provienen.

E n la Figura 6.11 se hace la representación del plan múltiple.

Uso de planes en aceptación-rectificación

La utilización de planes de m uestreo para casos de aceptación-rectificación consiste en recibir lotes, som eterlos a inspección y rep oner todo aquel p. oducto que no cum pla con los requerim ientos pactados entre fabricante y c o m p ra d o r. T o d o s los a s p e c to s re fe re n te s a la fo rm a de in s p e c c ió n y a reposición de producto se fija de antem ano.

E n el uso de este procedim iento se utiliza el concepto de calidad saliente m edia (A O Q ) y límite de calidad saliente m edia (A O Q L ). La calidad saliente m e d ia es el porcentaje de pro ducto d iscon form e a requ e rim ie n to s q u e se encuentra en cada lote cuya muestra es aceptada. El límite de calidad saliente m edia es el valor m áxim o de calidad saliente m edia que representa el m áxim o porcentaje de producto disconform e que pasaría al som eterse a inspección varios lotes con diferentes calidades de entrada. La existencia del A O Q L es lógica pu e s no es posible que los lotes tengan s ie m p re el m is m o nivel de calidad a pesar de que ello se haya pactado.

Los pasos en la aplicación de este procedim iento son los siguientes:

1. Establecer el pacto entre com prador y vendedor fijando entre otras cosas el lugar de m uestreo, el tipo de m uestreo, el procedim iento para devolver las unidades recha za das y criterios de rechazo.

2. Recibir M lotes de tamaño N para ser muestreados.


3. Localizar la probabilidad de aceptación correspondiente al valor de p del lote. S e puede usar para ello la curva característica de operación del plan de m uestreo utilizado.

4. Calcular los valores de calidad saliente m edia (A O Q ) correspondientes a cada lote. Este cálculo varía según se esté operando con un plan simple, doble o múltiple. Las expresiones que se usan son las siguientes:

a. Planes simples

P A*P’*(N -n)A O Q = --------------------------

N

donde:

PA: probabilidad de aceptación asociada a p’

p’: nivel de calidad del lote al q u e se aplica el plan de m uestre o, expresado en fracción disconform e o defectuosa

n: tam año de la m uestra


b. Planes dobles

[p A,*(N - n, ) + P A2*(N - nr n2)] 'P ’A O Q = -----------------------------------------------------------

N

donde:

PA1: probabilidad de aceptación en la primera muestra asociada con p ’

PA2:probabilidad de aceptación en la segunda m uestra asociada con

P’

n,: tam año de la prim era muestra

n2: tam año de la segunda muestra

p ’: nivel de calida d del lote al que se aplica el p lan de m uestre o, expresado en fracción disconform e o defectuosa

N: tamaño del lote


c. Planes múltiples

[ P A i * ( N ' n i ) + P A 2 * (N ' n r n 2 ) + - + P A k * (N ' n r n 2 ' - ' n k ) ] * P ’A O Q = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

N

donde:

PA1: probabilidad de aceptación en la primera m uestra asociada con p’

P ^iprobabilidad de aceptación en la segunda m uestra asociada con

P’

PAk: probabilidad de aceptación en la k-ésima muestra asociada con p’

n ,: tam año de la prim era m uestra

n2: tam año de la segunda muestra

n ■ tam año de la k-ésim a muestrak

p’: nivel de calida d del lote al qu e se aplica el plan de m uestre o, expresado en fracción disconform e o defectuosa


5. Localizar el valor del límite de calidad saliente m edia (A O Q L ).

6. Ejecutar el procedim iento de devolución de producto rechazado.

Lo s Ejem plos 6.13 y 6 .1 4 m uestran la form a de o perar bajo este pro cedimiento y la forma de calcular los valores de A O Q .

R e c u é rd e s e , que los lotes re c h a za d o s se deb e n in sp e cc io n a r 1 0 0 % , sustituyendo las piezas disconform es por piezas buenas. C o m o es lógico, la calidad de salida es superior a la calidad de entrada y la calidad saliente media será cero solo en el m om ento en que todos los lotes sean rechazados, puesto que la cantidad de unidades defectuosas que queden en los lotes serán solo aquellas que la inspección no haya detectado.

La aplicación de planes de m uestreo bajo este procedim iento es de gran utilidad tanto para el productor com o para el consum idor. Para ello, se requiere de m uy b u e n a s re laciones entre a m b o s. P o r e jem plo, para fijar el nivel de calidad o fracción de producto disconform e o defectuoso se deben poner de


acuerdo de tal m anera que se establezca el número y la forma en que se ejecutará la inspección, sea si ésta se va realizar en la fábrica del productor o del cliente.

Si la inspección se efectúa en la planta del cliente se aum entan los costos de envío y de inspección pero se garantiza la devolución de todo aquel producto

que no satisfaga los requerimientos y la no paralización de la planta por falta de material.

Si la inspección se efectúa en la planta del proveedor o fabricante se evita el en vío de producto disconform e y los costos de inspeccionar, pero se a u m enta la probabilidad de p aralizació n de la planta por falta de m aterial. Si existen acuerdos claros entre am bas partes no hay necesidad de preocuparse por el lugar donde se va a ejecutar la inspección.

EJEMPLO 6.13

En la sección de recepción de materia prima de una planta se reciben diez lotes de 15000 unidades cada uno. El proveedor y el com prador han fijado un porcentaje de disconformes del 1 ,5 % , la utilización del plan simple n=200, A c=3 y la aplicación del procedim iento de aceptación-rectificación.

a. ¿Cuál es la calidad saliente m edia? Utilice un procedimiento de cálculo sin usar la fórmula y usando la fórmula.

b. Si los lotes realmente tuviesen las siguientes calidades: 0,01, 0,01, 0,015,

0 ,02, 0,02, 0 ,025, 0 ,03, 0 ,03, 0 ,035 y 0 ,04, ¿C u á l es el límite de calidad saliente media?

SOLUCION

a. Cálculo de la calidad saliente m edia (A O Q )

S e cu m p le n todo s los p a so s para la aplicació n del p ro ce d im ie n to de aceptación-rectificación. S e procede entonces a calcular la probabilidad de aceptación que corresp onde a un lote con 1 ,5 % de producto disconform e y utilizando el plan simple dado.


Al buscar en las tablas de la aproxim ación binom ial-Poisson se encuentra que para un valor de np=200*0,015=3 y un valor de c=3, la probabilidad de aceptación es de 0,647. Es decir, se tiene una probabilidad de rechazo de 0,353.

Procedim iento sin fórmula

P or tratarse de un sistem a aceptación-rectificación, todas las unidades inspeccion adas son buenas, por ello todos los lotes se reducen en 2 00 unidades, o sea 15000-200=14800 unidades.

Adem ás, todas las muestras que se aceptan obligan a aceptar los lotes de do n de provienen. Por ello, la siguiente cantidad de unidades disconform es evaden la inspección:

10 lotes*0,647*(15000-200)*0,015= 1437 unidades disconform es

Si este núm ero de unidades se divide por la cantidad total de unidades som etidas a inspección se obtiene la calidad saliente media. Así:

1437A O Q = ------------------= 0 ,0 0 9 5 8 0 0 ,9 5 %

150000

Procedim iento con fórmula

P.*p’*(N -n) 0,647*0,015*(15000-200)A O Q = — -------------------- = ------------------------------------------------------- = 0 ,00958 ó 0 ,9 5 8 %

N 15000

C o m o se puede, ver am bos procedim ientos brindan el m ism o resultado,

b. Cálculo del límite de calidad saliente media (A O Q L )

El C u a d ro 6 .1 4 presenta los cálculos de la calidad saliente m edia para cada lote y el valor del límite de calidad saliente media.

Estos valores de A O Q pueden graficarse obteniéndose la C urva A O Q de la Figura 6.12.

P uede notarse que precisam ente el límite de calidad saliente m edia se obtiene para lotes con la calidad de entrega fijada, que es de 1 ,5 % .

El valor de 0 ,9 5 8 % es el peor nivel de calidad que se acepta con los diez lotes presentados.


CUADRO 6.14. Cálculo del AOQL para n=200, A =3

p ’ np Pa A O Q

0 ,0 1 0 2 0 , 8 5 7 0 , 0 0 8 4 50 ,0 1 5 3 0 , 6 4 7 0 , 0 0 9 5 7 f - A O Q L

0 ,0 2 0 4 0 , 4 3 3 0 , 0 0 8 5 4

0 ,0 2 5 5 0 , 2 6 5 0 , 0 0 6 5 30 ,0 3 0 6 0 ,1 5 1 0 , 0 0 4 4 7

0 ,0 3 5 7 0 , 0 8 2 0 , 0 0 2 8 3

0 , 0 4 0 8 0 , 0 4 2 0 , 0 0 1 6 6

P ( % )

FIGURA 6.12. Curva de calidad saliente media

EJEMPLO 6.14

¿Cuál es la calidad saliente media en el Ejemplo 6.13 si se usa el siguiente

plan doble de m uestreo?


n , = 120 n2 = 120

A c, = 3 Ac2 = 6

P el = 7 P e2 = 7

SOLUCION

E L C u a d ro 6 .1 5 p re se n ta los cá lc u lo s n e c e s a rio s pa ra e n c o n tra r la pro babilidad de a cep tació n co rre sp o n d ie n te a un lote cuyo porcentaje de producto disconforme es de 1 ,5 % .

PA1 = 0,966

P a =0,026*0,303+0,006*0,126+0,002*0,027=0,008688A2 ’ ’ 1 ’

p ’ =0,015

n, =120

n2 =120

N =15000

[P A,*(N - n i)+ P A2*(N - n C n2)]*P’A O Q = ------------------------------------------------------------------

N

[0,966*(15 000-120)+0,008688*(15 0 0 0 -1 2 0 -1 20)]*0,015A O Q = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15000

A O Q = 0,0145 o 1 ,4 5 %

La calidad saliente media (A O Q ) de un lote que tiene un porcentaje de producto disconform e de 1 ,5 % y que se m uestrea con el plan doble dad o es de 1 ,4 5 % .

P l a n e s s e c u e n c ia l e s d e m u e s t r e o

En m uchas ocasiones, la inspección de producto es destructiva, pues las unidades se destruyen debido a la prueba que se les ejecuta. Por ello no es


CUADRO 6.15. Cálculo de probabilidad de aceptación (p=0,015)


Análisis de Segunda muestra

n*p=120*0,015=1,20 (n¡+n2)*p=240*0,015=3,6

P (d < 3) = 0,966P (d = 4) = 0,026 P(d < 2) = 0,303

P (d <4) = 0,992P (d = 5) = 0,006 P (d < 1) = 0,126

P (d < 5) = 0,998P (d = 6) = 0,002 P (d = 0) = 0,027

P (d < 6) = 1,000

factible, desde el punto de vista económ ico, tomar m uchas unidades para ser probadas. En este caso se deben usar planes que permitan adoptar decisiones rá p id a s, in sp e cc io n a n d o el m e n o r n ú m e ro de u n id a d e s. E sto s p la n e s se conocen com o planes secuenciales de muestreo.

U n plan secuencial puede ser usado en forma gráfica o en form a tabular. La Figura 6.13 m uestra la forma gráfica de este tipo de plan.

El plan secuencial funciona de la siguiente m anera: se toma una unidad y se prueba. Si su núm ero de defectos cae en la zona de rechazo, se rechaza el lote de donde proviene esa unidad. Si cae en la zona de aceptación, se acepta el lote de donde proviene la unidad. Si el núm ero cae en la zona de inspección se inspecciona una nueva pieza y se continúa así hasta que haya criterio de aceptación o de recha zo . C o m o se puede notar el tam año de la m uestra es variable.

Ta l y com o se puede observare n la Figura 6.13, un plan secuencial queda p la n te a d o c u a n d o se d e te rm in a n la e cu a c ió n de la línea de re c h a zo y la ecuación de la línea de aceptación. Estas ecuaciones son:


FIGURA 6.13. Representación gráfica de un plan secuencia!

• Ecuación de la línea de aceptación (L A c)

C ,= -h, +s*k

• Ecuación de la línea de rechazo (L R e)

C 2= h2 + s*k

donde:

k: núm ero de unidades por inspeccionar

y h2: intersecciones de las líneas

s: pendiente de am bas líneas

P ara d iseñar un plan secue ncia l de m uestreo es necesario co n o ce r el riesgo del pro d u cto r (a ) , el nivel de calidad acep table (A Q L ) , el riesgo del con sum ido r (B ) y el porcentaje no conform e tolerado en el lote (P N C T ) . C o n


estos va lo re s se calcu la n los p a rá m e tro s de las e cu a c io n e s citadas a n te riormente.

log [(1-a)/p]

h ,=---------------------------------------------------------------------------------------------log [(P N C T * (1 -A Q L ))/ (A Q L * (1 -P N C T ))]

log [(1-p)/oc]h2=---------------------------------------------------------------------------------------------

log [(P N C T* (1 -A Q L ) )/(AQL*(1 -P N C T ) ) ]

log [(1 -A Q L ), (1 -P N C T )]s= ---------------------------------------------------------------------------------------------

log [(P N C T * ( 1 -A Q L ))/ (A Q L* (1 -P N C T ) ) ]

La curva característica de operación de un plan secuencial se puede aproxim ar con la graficación de los siguientes cinco puntos:

1. Para p’=0, PA= 1

2 . Para p’= 1 ,

OII<Q

l

3. Para p’= A Q L , p a= i - «

4. Para p’= P N C T , p a=P

5. Para p’=s, PA= h2/(h2+ h 1)

La forma tabular de estos planes consiste en dar valores a k y generar dos colum n as, una de aceptación y otra de re cha zo . C a d a v e z que se som ete a prueba una unidad se observa la tabla para ve r cuál es el criterio por seguir. El va lo r de acep tació n se re d o ndea hacia abajo y el criterio de re cha zo hacia arriba. E l E je m p lo 6.15 perm ite o b s e rv a r las dos fo rm a s de o p e ra r p lanes secuenciales de muestreo.

EJEMPLO 6.15

D ise ñ a r un plan secuencial de m uestreo que cum pla con las siguientes condiciones:


a. Riesgo del productor (a ) = 5 %

b. Riesgo del consum idor (P) = 1 0 %

c. Nivel de calidad aceptable (A Q L ) = 0 ,0 1 2

d. Porcentaje no conforme tolerado (P N C T ) = 0,132

SOLUCION

Para conocer este plan se deben calcular los parámetros de las ecuaciones de aceptación y rechazo.

log [(1 -0 ,05)/0,10] h _.---------------------------------------------------------------

log [(0 ,1 32*(1 -0 ,0 1 2))/(0,012*(1 -0 ,1 3 2 ))]

h ,= 0,89

log [(1 -0 ,1 0)/0,05]h2= ------------------------------------------------------------------------------------------

log [(0 ,132*(1 -0 ,0 1 2))/(0,012*(1 -0 ,132),]

h2= 1,144

log [(1 -0 ,0 1 2)/(1 -0 ,132)]s= ------------------------------------------------------------------------------------------

log [(0 ,1 32*(1 -0 ,0 1 2))/(0,012*(1 -0 ,1 3 2 ))]

s= 0,051

C o n estos valores se plantean las ecuaciones siguientes:

• Línea de rechazo

c2= 1,144 + 0,051 *k

• Línea de aceptación

c ,= -0,89 +0,051 *k

N°

de

DE

FE

CT

OS


Este plan de m uestreo puede re c h a za r con la prim era unidad, pero no aceptar. Para tener criterio de aceptación se necesitan al m enos 18 unidades,

valor que se obtiene haciendo cero el valor de c , .

0 = -0 ,8 9 +0 ,0 5 1 *k

k = 0,89/0,051 = 1 7 , 4 5 - 18

La Figura 6.14 presenta el plan respectivo.

La forma tabular de este plan se m uestra en el Cuadro 6.16.

N O R M A IS O 2859-1

Esta norm a, actualizad a en 1989 por la O rg a n iza ció n Internacional de

Norm alización (IS O ), es m uy similar a la N orm a Militar Estándar 10 5D , la que

FIGURA 6.14. Representación gráfica del plan secuencial


CUADRO 6.16. Plan secuencial en forma tabular

# de unidades Aceptación Rechazo

D e l a 16 — 217 — 3

De 18 a 37 0 3De 38 a 56 1 4De 57 a 95 2 5

En adelante se continúa con el cálculo

fue adoptada por la IS O en 1974. Ella presenta procedim ientos de muestreo, b a s a d o s en inspección po r atributos para ca so s en que series de lotes de productos sean sometidos a inspección, bajo un nivel calidad aceptable (A Q L ) previam ente establecido. La norm a se aplica sobre la inspección de unidades discretas y su propósito es inducir al pro veedor a entregar lotes que tengan calidad igual o mejor al A Q L y al consumidor a aceptar ocasionalmente lotes de bajo nivel de calidad.

Lo s p lanes con tenidos en esta n orm a sirven entre otras co sa s para la inspección de producto term inado , de co m p o n e n te s y m aterias prim as, de operaciones de producción, de materiales en proceso, de materiales alm acenados, de operaciones de mantenimiento, de bases de datos y de procedimientos administrativos.

Estos planes han sido diseñados para permitir el cambio de inspección de acuerdo con el com portam iento de la calidad de los lotes. A s í, iniciando en in sp e cc ió n norm al ésta se to rnará estricta c u a n d o el nivel se deterio re o cam biará a simplificada cuando el nivel m ejore considerablem ente.

La norm a permite escoger el plan que m ejor se adapte a las condiciones de quien la aplique. Estos planes pueden ser simples, dobles o múltiples. Para com prender mejor su aplicación es necesario definir algunos términos com o:

No conformidad: es la generación de una característica de calidad que resulta en un producto, pro ceso o servicio que no reúne los requerim ientos


especificados. S e pueden clasificar en la m ism a forma en que se clasifican los defectos.

Unidad no conforme: es una unidad de producto o servicio que contiene al m enos una no conformidad. S e pueden clasificar en la m ism a forma en que se clasifican las unidades defectuosas.

Porcentaje de no conformes: es el núm ero de unidades no conform es multiplicado por 100 y dividido por el total de unidades inspeccionadas.

No conformes por cada 100 unidades: es el núm ero de no conform ida

des multiplicado por 100 y dividido por el total de unidades inspeccionadas.

Unidad de producto: es la unidad inspeccionada con el fin de clasificar las

unidades conform es y no conform es o para contar no conformidades. Esta unidad puede ser un artículo, un par, un grupo, una longitud, un área o un volumen.

Esta unidad puede o no ser la m ism a unidad de com pra, de producción o de envío.

Para localizar planes de m uestreo en esta norm a se deb e n co n o cer los siguientes datos.

a. T a m a ñ o del lote (N )

b. Nivel de inspección

c. T ip o de inspección

d. T ip o de m uestreo

e. Nivel de calidad aceptable (A Q L )

El tamaño del lote es necesario para entrar a la prim era tabla de la norm a y localizar la letra cód igo del tam año de la m uestra . Si los lotes no han sido e sta n d a riza d o s , se d eb e p ro c e d e r a e s ta n d a riza rlo s p rim e ro que todo . El C u a d ro 6.17 dem uestra lo apuntado.

El nivel de inspección, que también sirve para localizar la letra código del tam año de la muestra, representa el grado de discriminación del plan de m ues

treo. Existen tres niveles generales y cuatro niveles especiales. Si no se esp e cifica el nivel, se utiliza el nivel normal que es el nivel II, si se desea un plan con


m a yo r g rado de discrim inación se usa un nivel III y si se quiere un plan con m e n o r gra d o de d iscrim inación se usa el nivel I. Lo s niveles especia les se deben utilizar solo cuando sea absolutamente necesario trabajar con muestras p e q u e ñ a s y se p uedan tolerar gra n d e s riesgos en la inspección . El tipo de inspección representa la dinámica con la que se aplicará la norma, com en za ndo s iem pre con inspección norm al y ca m b ia n d o a estricta o a sim plificada según las condiciones lo ameriten.

El tipo de muestreo se refiere a la aplicación de muestreo simple, doble o múltiple. Algunas reglas que pueden ayudar a la selección del tipo de muestreoson:

a. Si nunca se ha aplicado la norm a se debe iniciar con planes simples.

b. Si se desea dism inuir costos, se debe procurar la utilización de planes múltiples o dobles.

c. Los planes de muestreo se vuelven m ás difíciles de m anejar conform e se p asa de simple a doble y aún m ás si se pasa a múltiple. Entrenam iento y capacitación son necesarios para evitar errores.

d. C u a n d o el lote cam bia de lugar, al extraer la prim era m uestra, se deben aplicar planes sim ples, pues la extracción de m uestras adicionales se com plica.

e. C u a n d o es necesario utilizar planes con núm ero de aceptación igual a c e ro , solo se p u e d e n u sa r p la n e s sim ples pu e s no existen, para ese núm ero de aceptación, planes dobles ni múltiples.

f. Para niveles de calidad aceptable (A Q L ) superiores a 15 no conformidades por cada 100 unidades, solo existen planes simples, cuando se requieran m uestras pequeñas.

El nivel de calidad aceptable (AQL) es el m ás difícil de obtener, pues raras ve ce s se guarda información útil para su estim ación. Para estimarlo se puede tom ar com o referencia el promedio de producto disconforme que genera la línea de producción. El A Q L debe ser ligeramente m ayor que ese valor para e vita r g ra n d e s v o lú m e n e s de re c h a zo d urante la in sp e cc ió n y lu e g o irlo m ejorando cada día.

Un gráfico de control p, aplicado bajo condiciones normales de fabricación, puede ser de gran utilidad para estim ar el A Q L . Entre otras cosas, tam bién


deben considerarse para su estimación los costos de inspección, requisitos de diseño, d e m a n d a del producto, que jas del cliente y capa cid ad de pro ceso. D ebido a que es requisito co n o ce r el valor del A Q L , para localizar el plan de m uestreo, se puede fijar el valor com o una prim era aproxim ación y luego de acuerdo con el com portam iento del proceso se puede revisar.

Si un valor de AQL no se encuentra en el cuadro de la norma, entonces la norma no se puede aplicar. Lo s va lo re s de A Q L se e x p re sa n en porcentaje de dlsconfom es o no conform idades por cada 100 unidades si su valor es igual o inferior a 10. Si es superior a 10, el A Q L representa únicamente no conform idades por cada 100 unidades.

El p ro c e d im ie n to p a ra e x tra e r un p la n de la n o rm a se d e s c rib e a continuación.

1. Localizar la letra código del tam año de la muestra en la Ta b la I de la Norm a y u s a n d o p a ra e llo , el ta m a ñ o del lote (N ) y el n ivel de in s p e c c ió n seleccionado.

2. Localizar el plan de muestreo deseado en la tabla correspondiente usando la letra código localizada en 1., el A Q L , el tipo de inspección y el tipo de muestreo. Para ayudar a la búsqueda de la tabla deseada, la norma cuenta con identificaciones de tipo de muestreo y tipo de inspección en la esquina inferior derecha de cada hoja. Si un plan no existe para un determ inado A Q L en com binación con la letra código, la norm a e n vía a otro plan de muestreo.

3. O perar el plan de muestreo seleccionado cambiando de tipo de inspección cuando las condiciones lo ameriten.

Tam bién, la norm a contiene una serie de tablas denom inadas Ta b la s X-*, donde el asterisco representa a cada una de las letras código. En estas tablas se pueden también localizar planes de m uestreo. La ventaja de estas tablas es que contienen la curva característica de operación del plan deseado. Estas tablas solo pueden ser usadas en casos de inspección normal o de inspección estricta. Las tablas por letra tienen tres partes: la primera parte son las curvas características de operación para todos los A Q L ’s que tienen relación con la letra, la segunda parte tiene va lo re s tabulados para esas curvas características y la tercera contiene los planes de muestreo correspondientes a la letra.


A lg u n a s tablas de la norm a contienen varios sím bolos especiales cuyo significado se explica a continuación:

T : usar el primer plan de m uestreo localizado sobre la flecha

i : usar el primer plan de muestreo localizado bajo la flecha

A c : núm ero de aceptación

R : núm ero de rechazoe

*: utilizar el plan de muestreo simple correspondiente con la alternativade usar el múltiple cuando esté disponible.

+ + : utilizar el plan de m uestreo doble correspondiente con la alternativa de usar el múltiple inmediato

# : no se permite aceptación para ese tam año de muestra

I : indica que si el núm ero de unidades disconformes se encuentra entreel núm ero de aceptación y de rechazo se debe aceptar el lote pero se reintenra la inspección normal

V : e m p le a r la letra có d ig o sig u ie n te para la que están d isp o n ib le snúm eros de aceptación y de rechazo.

A: e m plear la letra código pre cedente para la que están disponiblesnúm eros de aceptación y rechazo.

EJEMPLO 6.16

U sand o la información de los C uadros 6.18 a 6.23, localizar los planes de m uestreo pedidos en el C u a d ro 6.17 y explique cóm o funciona cada uno de ellos.

SOLUCION

Plan 1

O b s e rv a n d o el C u a d ro 6.18 , se tiene que para N = 2 5 0 0 0 y un nivel de inspección III, la letra código del tam año de la muestra es la letra N.


CUADRO 6.17. Planes de muestreo solicitados en el Ejemplo 6.16

Plan No. 1 2 3 4

Tamaño del lote 25000 kg 18500kg 125000m 5000 uNivel de inspección III II I IIITipo de inspección Normal Estricta Reducida NormalTipo de plan Simple Simple Doble MúltipleAQL 2,5% 6,5% 4% 1,5%

Sabiendo que se desea un plan simple para inspección normal se localiza la Ta b la ll-A , que se presenta en el Cuadro 6.19. Al usar un A Q L de 2 ,5 % y una letra código N el plan es:

n = 500 kg

A c = 21 kg d'sconform es

R e = 22 kg disconform es

Q uiere decir, que de un lote de 25000 kg se toma una m uestra de 500 kg.Si se encuentran 21 kg o m enos d isconform es con lo requerido se acepta lamuestra y el lote. Pero si se encuentran 22 kg o m ás disconform es, se rechaza la m uestra y el lote y se inspeccionan 1 0 0 % los 24500 kg restantes.

Otra forma de extraer este plan es usando las tablas para las letras código. El C u a d ro 6.20 presenta la tabla correspondiente a la letra N, que es la que se usa en este caso. A d e m á s , se señala el plan buscado y su respectiva curva característica de operación.

Plan 2

O b s e rv a n d o el C u a d ro 6.18, se tiene que para N = 1 85 0 0 0 y un nivel de inspección II, la letra código de tam año de m uestra es la letra P.

Sabiendo que se desea un plan simple para inspección estricta se localiza la Ta b la ll-B , que se presenta en el Cuadro 6.21. Al usar un A Q L de 6 ,5 % y una

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6.18

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CUADRO 6.19. Tabla II-A . Planes de muestreo simple para inspección normal

Niveles de calidad aceptables (inspección normal)

0.010 c

A R / A R A R

150 250 650

A R A R . A R

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1250

2000

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14 15

10 11

14 15 21 22

14 15 21 22 30 31

30 31 44 45

14 15 21 22

21 22

30 31o

30 31 44 45O

44 45

V 7 o i

X

u

21 22

14 15 21 22

21 22

CUADRO 6.20. Tablas X-N. Tablas para letra código N

Tipo de plan de

muestreo

Tam año acum ulado la muestra

N iv e le s a c e p t a b le s d e c a l id a d ( i n s p e c c ió n n o r m a l ) Tamaño acumulado

de ¡a m uestra

<0,025 0,025 0,040 X 0,065 0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 X 1,0 X 1,5 X 2,5 >2,5

Ac R. A R Ac R Ae R. A R A R a cr „ A R Ac R. Ac R. Ac R, Ac R. A c R . A R A cR Ac R. A cR.

Sencilo 500 V 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 8 9 10 11 12 T3 14 15 18 19 21 22 A 500

315 0 2 0 3 1 4 2 5 3 7 3 7 5 9 6 10 7 11 9 14 11 16 A 315

V •1 2 3 4 4 5 6 7 8 9 11 12 12 13 15 16 18 19 23 24 26 21 630

Use Use Use

125 V . código código código # 2 # 2 # 3 # 4 0 4 0 4 0 5 0 6 1 7 1 8 2 9 A 125

M 0 P

250 # 2 0 3 0 3 1 5 1 6 2 7 3 8 3 9 4 10 6 12 7 14 250

375 0 2 0 3 1 4 2 6 3 8 4 9 6 10 7 12 8 13 11 17 13 19 375

500 0 3 1 4 2 5 3 7 5 10 6 11 8 13 10 15 12 17 16 22 19 25 500

625 1 3 2 4 3 6 5 8 7 11 9 12 11 15 14 17 17 20 22 25 25 29 625

750 1 3 3 5 4 6 7 9 10 12 12 14 14 17 18 20 21 23 27 29 31 33 750

875 2 3 4 5 6 7 9 10 13 14 14 15 18 19 21 22 25 26 32 33 37 38 875

<0,040 0,040 X 0,065 0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 X 1,0 X 1,5 X. 2,5 X >2,5

N iv e le s d e c a lid a d a c e p ta b le ( in s p e c c ió n e s tr ic ta )

530 C

ON

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CA

LIDA

D

Continuación Jel Cuadro 6.20

Porcentaje de lotes que se espera sean aceptados (Pa)

Calidad de los productos, en porcentaje de no conformes o en no conformidades por 100 unidades


Niveles de calidad aceptable (inspección normal)

0 ,0 2 5 0 ,1 0 0 ,1 5 0 ,2 5 0 ,4 0 0 ,6 5 X 1 ,0 X 1 ,5 X 2 ,5

P ap ( e n p o r c e n t a je d e n o c o n f o r m e s o e n n o c o n f o r m i d a d e s p o r 1 0 0 u n i d a d e s )

99,0 0,002 01 0,029 7 0,087 2 0,165 0,357 0,581 0,701 0,954 1,22 1,50 2,07 2,51

95,0 0,010 3 0,071 1 0,164 0,273 0,523 0,796 0,939 1,23 1,54 1,85 2,49 2,98

90,0 0,021 1 0,106 0,220 0,349 0,630 0,931 1,09 1,40 1,73 2,06 2,73 3,25

75,0 0,057 5 0,192 0,345 0,507 0,844 1,19 1,37 1,72 2,08 2,45 3,18 3,74

50,0 0,139 0,336 0,535 0,734 1,13 1,53 1,73 2,13 2,53 2,93 3,73 4,33

25,0 0,277 0,539 0,784 1,02 1,48 1,94 2,16 2,60 3,04 3,48 4,35 4,99

10,0 0,461 0,778 1,06 1,34 1,85 2,35 2,60 3,08 3,56 4,03 4,95 5,64

5,0 0,599 0,949 1,26 1,55 2,10 2,63 2,89 3,39 3,89 4,38 5,34 6,05

1,0 0,921 1,33 1,68 2,01 2,62 3,20 3,48 4,03 4,56 5,09 6,12 6,87

0,040 0,15 0,25 0,40 0,65 X 1,0 X 1,5 X. 2,5 XN iv e le s d e c a lid a d a c e p t a b le ( in s p e c c ió n es tr icta )

532

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letra código P el plan presenta un tam año de muestra n=800, sin em bargo, no hay criterio de aceptación y rechazo para ese A Q L . Entonces se debe usar el plan hacia el que apunta la flecha.

n = 200 metros

A = 18 metros disconformesc

R = 19 metros disconformese

Q u ie re decir que, de un lote de 185000 m etros se tom a una m uestra de 200 metros. Si se encuentran 18 metros o menos disconformes con lo requerido se acepta la muestra y el lote. Pero si se encuentran 19 m etros o m ás disconfo rm e s, se re c h a za la m uestra y el lote y se in sp e ccio n a n el 1 0 0 % de los 184800 metros restantes.

Ta m b ié n se pu e d e usar la Ta b la X -P que es sim ilar a la T a b la X -N del C uadro 6.20.

Plan 3

O b s e rva n d o el C u a d ro 6.18, se tiene que para N = 1 25000 y un nivel de inspección I, la letra código de tamaño de muestra es la letra L.

Sabiendo que se desea un plan doble para inspección reducida se localiza la Ta b la lll-C , que se presenta en el Cuadro 6.22. Al usar un A Q L de 4 % y una letra código L el plan localizado es el siguiente:

n, = 50 m etros n2 = 50 metros

A = 3 metros A = 8 metrosc1 c2

R = 8 metros R , = 12 metrose1 e2

Q u ie re decir, que de un lote de 1 2 5 0 0 0 m etros se tom a una p rim e ra m uestra de 50 metros. Si se encuentran 3 metros o menos disconformes con lo requerido se acep ta la m uestra y el lote. Si se encuentran 8 m etros o m ás d iscon form es, se re c ha za la m uestra y el lote y se inspeccion an 1 0 0 % los 124950 metros restantes. Si el número de disconformes se encuentra entre 3 y 8, se tom a una s e g u n d a m uestra de 50 m etros. Si en a m b a s m uestra s se en cu e n tra n 8 m etros o m enos d isconform es con lo requerido se acepta la

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6.22

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muestra y el lote. SI se encuentran 12 metros o más disconform es, se rechaza la m uestra y el lote y se inspeccionan 1 0 0 % los 124900 m etros restantes.

Este plan que es para inspección reducida no tiene núm eros de aceptación y rechazo consecutivos en la segunda m uestra. Por lo tanto, si el núm ero de disconform es se encuentra entre am bos núm eros se deb en aceptar am bas m uestras y el lote, pero se debe regresar a inspección normal.

Plan 4

O b s e rv a n d o el C u a d ro 6 .1 8 , se tiene que para N = 5 0 0 0 y un nivel de inspección III, la letra código de tam año de muestra es la letra M.

Sabiendo que se desea un plan múltiple para inspección normal se localiza la T a b la IV -A , q u e se p re se n ta en el C u a d ro 6 .2 3 . A l u s a r un A Q L de 1,5 d is c o n fo rm id a d e s po r c a d a 100 u n id a d e s y u na letra c ó d ig o M , el p lan localizado se m uestra en el C uadro 6.24.

Este plan funciona así: de un lote de 5000 unidades se tom a una primera m uestra de 80 unidades, si no contiene unidades disconform es entonces se acepta la m uestra y el lote. Si contiene 5 o m ás disconform es se re cha za la muestra y el lote, procediendo a inspección 1 0 0 % sobre el rem anente de 4920 unidades. Si el núm ero de disconformes está entre 0 y 5 disconformes se toma una s e g u n d a m u e stra ta m b ié n de 80 u n id a d e s . Si el a c u m u la d o de 160 unidades contiene 3 o m enos unidades disconform es entonces se acepta la m uestra y el lote. Si contiene 8 o más disconform es se rechaza la m uestra y el lote, procediendo a inspección 1 0 0 % sobre el remanente de 4840 unidades. Si el núm ero de disconform es está entre 3 y 8 disconformes se tom a una tercera m uestra tam bién de 80 unidade s. Este proceso se continúa de igual form a hasta tener criterio de aceptación o de rechazo, lo cual necesariam ente debe darse al com pletar siete m uestras, equivalentes a 560 unidades.

SI se com para este plan múltiple con un plan sim ple que trabaje bajo las m ismas condiciones (n=3 15, A c= 1 0, R e= 1 1) se puede notar que trabajar con el plan múltiple puede ser m ás barato siempre y cuando el esquem a de muestreo múltiple no supere la muestra 4.

Ta m b ié n se puede usa rla Ta b la X -M , la cual es similar a la Ta b la X -N del

C uadro 6.20.

CUADRO 6.23. Tabla IV-A. Planes de muestreo múltiple para inspección normal

I I• 3-8

PrimeroSegundoTerceroCuartoQuintoSextoSétimo




¡i |o.010|0.015 0.025 0.040 0.065 0,10 0.15 0.25 0.40 0.65 1.0

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Niveles de calidad aceptable (inspección normal)

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A

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a>o

iContinuación del Cuadro 6.23

Mtvatas de candad aceptable (Inspección normal)— i— i . i - - 1.. i . . i i i ,r

o33Om>oc>

>ocz<>


CUADRO 6.24. Plan múltiple de muestreo del Ejemplo 6.16

No. Tamaño Acumulado Disconformldades/100 unidades

1 n,=80 80 Ael= 0 R ,= 52 n2=80 160 Ac2= 3 R»2= 83 n3=80 240 Ac3= 6 R.3=104 n„=80 320 Ac4= 8 R «= 1 35 n5=80 400 A«=11 R«5=136 ne=80 480 Ac6=14 Ree=177 n7=80 560 Ac7=18 R.r=19

Dinámica de la inspección

Al utilizar esta N orm a, se debe tener presente que el tipo de inspección debe ser dinámico, de tal m anera que se cam bie a inspección reducida cuando la calidad mejore o a estricta cuando ésta empeore.

Las reglas y procedim ientos q ue se siguen para ca m b ia r de un tipo de inspección a otra son las siguientes:

1. Cambio de inspección normal a reducida

Al iniciar la inspección se d eb e aplicar inspección norm al. E s ta n d o en inspección norm al, se cam biará a inspección reducida cuando se satisfagan todas las siguientes condiciones:

a. Los últimos 10 lotes sometidos a inspección han sido aceptados.

b. El nú m e ro total de unidade s no con form es o d isco n fo rm id a d e s en las muestras provenientes de los últimos 10 lotes no supera el núm ero límite d ad o en la T a b la VIII que se e ncuentra en el C u a d ro 6.25. Si se están usando planes dobles o múltiples, se deben considerar todas las muestras inspeccionadas y no solamente las primeras.

c. La producción se está ejecutando en forma estable, sin interrupciones ni situaciones anorm ales.

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spec

ción

re

duci

da

para

es

ta

AQL.

En

este

caso

, má

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10 lot

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norm

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dura

nte

la in

spec

ción

no

rmal

.


d. La autoridad responsable considera conveniente la instauración de la inspección reducida.

2. Cambio de inspección reducida a normal

Estando en inspección reducida se cam biará a inspección normal cuando ocurra cualquiera de las siguientes situaciones:

a. un lote no es aceptado o,

b. un lote se acepta cuan do su nú m e ro de disconform idades se encuentra entre el núm ero de aceptación y el de rechazo o,

c. la producción se vuelve inestable o se presentan anorm alidades en el proceso de producción o,

d. cualquier otra situación que amerite la reinstauración de la inspección normal.

3. Cambio de inspección normal a estricta

Estando en inspección norm al se cam biará a inspección estricta cuando dos de cinco o m enos lotes consecutivos no han sido aceptados.

4. Cambio de inspección estricta a normal

Estando en inspección estricta se retornará a inspección normal cuando se acepten cinco lotes consecutivos. Si 10 lotes consecutivos perpnanecen en inspección estricta se debe suspender la recepción de lotes e informar al proveedor acerca de los pro blem as detectados. N o se reiniciará la recepción hasta tanto no se dem uestre que los problem as han sido eliminados.

EJEMPLO 6.17

En recepción de materias primas de una fábrica se reciben lotes de producto de 8 3 0 0 u n id a d e s que son in s p e c c io n a d o s m ediante un plan sim ple de


muestreo. El A Q L se ha fijado en 4 % y actualmente se usa el Nivel II para la Inspección.

a. ¿ C u á le s son los p lan es de m uestreo para inpección n orm al, estricta y reducida?

b. Si se recibieran 30 lotes con la cantidad de disconform es que presenta el C u a d ro 6.26, ¿cuál debería ser la dinám ica de la inspección? La producción se realizó en forma normal y la dirección de inspección ha dicho que si se cum plen las dos primeras condiciones para pasar a inspección reducida se puede ejecutar esa acción.

SOLUCION

a. Los planes de m uestreo son los siguientes:

Inspección normal Inspección estricta Inspección reducida

n = 2 0 0 n = 2 0 0 n = 8 0

A = 14 A = 12 A = 7

R = 15e R = 13e R = 1 0e

b. La dinám ica de la inspección sería la siguiente:

La inspección se inicia con el plan de inspección norm al (n=200, A c=14, R e= 1 5 ). El C u a d ro 6 .2 7 m uestra que las 10 prim eras m uestra s y por co n siguiente los lotes de donde provienen son aceptadas, con lo que se cum ple la primera condición para pasar a inspección reducida.

S e g ú n la T a b la VIII del C u a d ro 6 .2 5 el n ú m e ro lím ite es 68 u n id a d e s d isconform es para un total de 200*10=2000 unidades inspeccion adas con A Q L = 4 % .

El total de disconformes hasta la muestra No. 10 es de 74, el cual es m ayor que 68 el núm ero límite requerido. Por lo tanto, no se puede pasar a inspección

reducida.


CUADRO 6.26. Número de disconformes encontrados inspección de 30 lotes (Ejemplo 6.17)

N o . m u e s t r a N o . d e

d i s c o n f o r m e s

N o . m u e s t r a N o . d e

d i s c o n f o r m e s

1 1 0 1 6 82 1 4 1 7 1 0

3 5 1 8 1 4

4 3 1 9 1 35 1 2 2 0 1 56 1 0 21 1 67 1 2 2 88 2 2 3 99 1 3 2 4 1 0

1 0 4 2 5 1 211 8 2 6 1 01 2 4 2 7 81 3 7 2 8 71 4 4 2 9 41 5 7 3 0 1 0

Al incorporarse la muestra No. 11, la muestra No. 1 es sustituida para com pletar otras 10 muestras cuyo número de disconformes es 72, número que sigue siendo m ayor que el número límite 68. Al ingresara inspección la muestra No.12, la muestra No. 2 es sustituida para formar un nuevo grupo de 10 muestras, las

CUADRO 6.27. Situación de las primeras 10 muestras

M u e s t r a N o . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

N o . d i s c o n f o r m e s 1 0 1 4 5 3 1 2 1 0 1 2 1 3 4

C r it e r io A A AC

A AC

A A A A AC


cua le s su m a n 62 u n id a d e s d isco n fo rm e s, n ú m e ro que sí es m eno r que el núm ero límite 68. Por lo tanto, la segunda condición para p asar a inspección reducida se cumple.

T a l y com o lo expresa la información dada, la producción se ejecuta norm almente y hay anuencia de la dirección para pasar a inspección reducida si se cum plen las dos prim eras condiciones. Por lo tanto, a partir de la m uestra No. 13 se inspecciona con el plan de muestreo de inspección reducida (n=80, A c=7, R e= 1 0). El Cuadro 6.28 presenta lo que ocurre con las próxim as 4 muestras.

Al observar el C u a d ro 6.28, se nota que las cuatro m uestras son aceptadas. Sin em bargo, la muestra No. 16 (señalada con asterisco) es aceptada con un núm ero de disconformes que se encuentra entre los núm eros de aceptación y rechazo. Por lo tanto, a la ve z que se acepta la m uestra y el lote de donde proviene, se debe reinstaurar la inspección normal a partir de la m uestra No. 17.

CUADRO 6.28. Situación con las muestras de la No. 13 a la No. 16

M uestra No. 13 14 15 16

No. d isconform es 7 4 7 8

C riterio AC

AC

A A

El Cuadro 6.29 m uestra las siguientes cinco muestras.


M uestra No. 17 18 19 20 21

No. d isconform es 10 14 13 15 16

Criterio AC

AC Ac Re Re


C o m o se puede observar en el Cuadro 6.29, al inspeccionar la muestra No. 21 se rechaza, por lo que ya se han rechazado dos m uestras consecutivas. De acuerdo con lo apuntado en la norm a, esta condición es suficiente para inspeccionar con el plan de inspección estricta (n=200, A c= 1 2, R e= 1 3). Por lo tanto, a partir de la m uestra No. 22 se inspeccionarán las m uestras usando este plan.

En el C uadro 6.30 se detallan las siguientes cinco m uestras.


M u e s t r a N o . 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6

N o . d i s c o n f o r m e s 8 9 1 0 1 2 1 0

C r it e r io A A A A c A

Al observar el C u a d ro 6.30 se nota que cinco m uestras consecutivas son aceptadas, por lo que se cum ple la condición para reinstaurar la inspección normal a partir de la muestra N o .27.

El Cuadro 6.31 presenta lo ocurrido con las últimas cuatro muestras.

Las siguientes muestras se continúan inspeccionando con el m ismo procedimiento.

CUADRO 6.31. Situación con las muestras de la No. 2 7 a la No. 30

M u e s t r a N o . 2 7 2 8 2 9 3 0

N o . d i s c o n f o r m e s 8 7 4 1 0

C r it e r io A A A AC C C


O tra s ta b la s de la N o rm a IS O 2859-1

Esta norma contiene también otras tablas que pueden ser útiles para la inspección. Estas son la Tabla V -A , la Tabla V I-A , y la Tabla IX la cual presenta las curvas de m agnitud muestral para m uestreo doble y múltiple. Estas tablas se encuentran en los C uadros 6 .3 2 ,6 .3 3 y 6.34, respectivamente.

Las Tablas V -A y V -B presentan valores aproxim ados del límite de calidad saliente m edia para inspección normal e inspección estricta, respectivamente.

La calidad límite (L Q ) se define com o el nivel de calidad que, para efectos de inspección por m uestreo, tiene la m ás baja probabilidad de aceptación. La Tabla V l-A presenta valores de calidad límite (L Q ) para porcentajes de producto no conforme con especificaciones cuya probabilidad de aceptación es del 10% . Tam bién existen la Ta b la V ll-A para porcentajes de producto no conforme con especificaciones cuya probabilidad de aceptación es del 5 % .

A d em ás, existen las Ta b la s V l-B y V ll-B que se usan para localizar núm eros límite para disconformidades por cada cien unidades cuyas probabilidades de aceptación son 1 0 % y 5 % respectivam ente. T o d a s estas tablas son para planes sim ples de muestreo e inspección normal.

Para localizar el valor buscado en todas las tablas citadas anteriormente se necesita disponer de las letras código del tam año de la muestra y los respectivos valores de A Q L .

La Ta b la IX sirve para localizar la m agnitud m edia muestral, en inspección normal y estricta, que corresponde a un plan doble o múltiple dado un plan simple.

EJEMPLO 6.18

En una inspección por m uestreo se usa el plan sim ple n =125, A c=3, que corresponde a u n A Q L de 1 % . Los lotes que se reciben han mostrado tener un 2 % de producto no conforme a lo requerido.

a. ¿C uá l es el límite de calidad saliente media (A O Q L ) si se trabaja en inspección normal?

b. ¿C u á l es la calidad límite (L Q ) para probabilidad de aceptación del 10 % ?

Cuadro 6.32. Tabla V-A Valores aproximados de AOQL (inspección normal)

« O)■o <n Nivel de calidad aceptable

i 10.010 0,015 0.025 0,040 0,065 0,10 0,15 0,25 0.40 0,65 1.0 1.5 2,5 4,0 6,5 10 15 25 40 65 100 150 250 400 650 1 000

A 2 18 42 69 97 160 220 330 470 730 1 100B 3 12 28 46 65 110 150 220 310 490 720 1 100C 5 7.4 17 27 39 63 90 130 190 290 430 660

D 8 4.6 11 17 24 40 56 82 120 180 270 410E 13 2,8 6,5 11 15 24 34 50 72 110 170 250F 20 1.8 4.2 6,9 9,7 16 22 33 47 73

G 32 1,2 2,6 4,3 6,1 9,9 14 21 29 46H 50 0,74 1.7 2,7 3,9 6,3 9.0 13 19 29J 80 0,46 1,1 1.7 2,4 4,0 5,6 8,2 12 18

K 125 0.29 0,67 1,1 1.6 2,5 3,6 5,2 7,5 12L 200 0,18 0.42 0,69 0,97 1.6 2,2 3,3 4,7 7.3M 315 0,12 0,27 0.44 0,62 1,00 1.4 2,1 3,0 4,7

N 500 0.074 0,17 0,27 0.39 0,63 0.90 1.3 1,9 2,9P 800 0.046 0,11 0,17 0,24 0,40 0.56 0.82 1.2 1,8Q 1 250 0.029 0.067 0,11 0.16 0.25 0,36 0.52 0.75 1,2

R 2000 0.042 0,069 0.097 0,16 0,22 0.33 0,47 0,73

oozHHO

o>□o>o

iCUADRO 6.33. Tabla VI-A Valores de LQ para % de disconformes

(PA=10%, plan simple, inspección normal)oDOm>oc>>ocz>>

CJl-P*.co *

CUAD

RO

6.34

. Ta

bla

IX Cu

rvas

de

mag

nitu

d m

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es

y m

últip

les

(insp

ecció

n no

rmal

y es

trict

a)



c. ¿C u á l es la magnitud muestral de los planes dobles y múltiples equivalentes ai plan simple dado?

SOLUCION

a. O b s e rv a n d o el C u a d ro 6 .3 2 , se pu e d e v e r que el va lo r de A O Q L para n =125 (letra código K ) y A Q L= 1 % es 1 ,6 % .

b. O b se rva n d o el C ua d ro 6.33, se puede ve r que el valor de L Q para n=125 (letra código K ) y A Q L= 1 % es 5 ,4 % .

c. E n el Cuadro 6.34, en el gráfico correspondiente a A c=3 se puede ver que para np=125*0,02=2,5, los tam años de muestra equivalentes al plan sim ple son:

Para plan doble: n ,=n2=0,84*125 = 105 unidades

Para plan múltiple: n=0,78*125 = 98 unidades

PLANES DE MUESTREO PARA VARIABLES

C o n c e p to s gen e ra le s

El muestreo de aceptación para variables es una técnica estadística que se usa para evaluar lotes con base en m uestras con el fin de evidenciar las causas de rechazo, en caso de que éste se dé.

Para aplicar este tipo de muestreo se deben cumplir una serie de condiciones. Las m ás importantes son:

1. La característica de calidad que se va a controlar debe ser una variable, o un atributo que puede ser puesto en una escala de medición.

2. Lo s costos del m uestreo por atributos deb en ser altos por concepto de ensayos destructivos.

3. La inspección de atributos no suministra suficiente información sobre las causas de rechazo, las cuales deben ser estudiadas para increm entar el

nivel de calidad.


4. La distribución de la variable en estudio debe aproximarse a la distribución normal.

La aplicación de este tipo de m uestro tiene algunas ventajas sobre la inspección por atributos. Algunas de ellas son:

1. S e tiene una p ro tección e q u iva le n te con un ta m a ñ o de m u e stra m ás pequeño.

2. S e puede estudiar a fondo la característica de calidad pues solo ella es motivo de estudio.

3. S e ofrece una base m ás apropiada para mejorar la calidad. N o obstante estas ventajas, es necesario hacer un estudio com parativo entre am bas form as de inspección tom ando en cuenta aspectos tales com o: costos de inspección, costos administrativos, personal entrenado, cantidad y dificultad de las m ediciones, disponibilidad de equipo de medición y laboratorios y organización de la inspección.

Los costos de inspección por variables se clasifican en cuatro categorías:

a. Costos administrativos. Son los costos en que se incurre para registrar información; entre ellos se incluyen los costos de papeleo y de personal de inspección. Estos costos son independientes del tam año de la muestra.

b. Muestreo. S on los costos de evaluación que incluyen entre otros los costos de recolectar información y de medición de las mismas.

c. Inspección. Son los costos por tener que inspeccionar piezas. Incluye entre otros el costo de la unidad que está siendo ensayada.

d. Cálculos. S on los costos ocasionados por el entrenamiento del personal para relizar cálculos y sacar conclusiones.

Tipos de planes de muestreo

Existen fundam entalm ent cuatro tipos de planes que se clasifican según se conozca la desviación estándar y si se tienen uno o dos límites de especificación.

El funcionamiento de estos planes es básicamente el mismo utilizado en los planes para atributos: se toma una muestra del lote, se ejecutan las mediciones


sobre ella y dependiendo de la calidad que ésta m uestre al ser com parada con

la especificación, se estab lece un criterio de aceptación o de re c ha zo de la muestra y del lote de donde proviene.

Al igual que en planes para atributos, todos los planes de m uestreo para variables quedan determ inados cuando se definen el tam año de la muestra (n) y el criterio de aceptación (k).

En el caso de un plan para un solo límite especificado con variabilidad desconocida los valores del tam año de la m uestra y del criterio de aceptación se

calculan con base en el riesgo del productor(a), el riesgo del consum idor (B), el

A Q L y el P N C T . Las fórm ulas son las siguientes:

(k 2 + 2 ) * ( z 1_ a + Z 1_ p) 2 n = - 2

2 * ( Z 1-AQL ~ Z 1-PNCt )

( Z 1-a * Z 1-PNCT) + ( Z 1-p * Z 1-A Q L)k = i -

Z 1-a + Z 1-P

donde:

n : Ta m a ñ o de la m uestra

k : Criterio de aceptación (equivale a Z de C u rva norm al)

Z 1a : Valor de Z correspondiente a una probabilidad (1 -a )

Z i p : Valor de Z correspondiente a una probabilidad (1 -(3)

Z i -aql ; Valor de Z correspondiente a una probabilidad (1 -A Q L )

Z i -p n c t : Valor de z correspondiente a una probabilidad (1 -P N C T )

Este plan funciona en forma parecida a una prueba de hipótesis unilateral.

Esto se debe a que según la curva norm al estándar el porcentaje de producto disconform e decrece de acuerdo con el crecim iento del valor absoluto de Z y

por lo tanto hay m ayor probabilidad de aceptación.


E J E M P L O 6.19

Diseñar un plan de m uestreo por variables que cum pla con las siguientes condiciones:

1. Riesgo del productor (a )= 5 %

2. Riesgo del consum idor (P )= 1 0 %

3. Nivel de calidad aceptable (A Q L )= 2 ,5 %

4. Porcentaje disconform e tolerado en el lote (P N C T )= 7 ,5 %

S O L U C I O N

Utilizando la Ta b la I del Apéndice I, se localizan los siguientes valores de Z.

z ,

Z,

Z,

Z,

Así

, 1,65*1,44 + 1,28*1,96K = --------------------------------------------------- = 1 , 6 6 7

1,65 + 1,28

+ a = Z , -0,050 _ Z(),950 = 1,65

1 + = Z, -0.100 ~ Zo,900 = 1,28

1-AQL = Z, -0,025 _ Z 0,975 = 1,96

1-PDTL = Z , -0,075 _ Z 0.925 = 1,44

Í1,6672 + 2 )* (1 ,6 5 + 1,28)2 1 - --------------------------------= 76 unidades

2*(1,96 — 1,44)2

Por lo tanto, se concluye que el plan de muestreo que cum ple con las con

diciones planteadas es n=76, k = 1 ,667. Q uiere decir esto, que se debe extraer del lote una m uestra de 76 unidades y calcular el valor de Z correspondiente (Z = (V E-x)/s). Si el valor de k es m enor que Z, entonces se acepta la m uestra y el lote, de lo contrario se rechaza.


Estos planes de muestreo tienen su correspondiente curva característica

de operación, la cual se construye bajo los siguientes pasos:

1. Establecer valor de p (porcentaje del lote que no cum ple con lo especificado). El núm ero de valores de p debe ser tal que permita suavizar una ade

cuada curva.

2. Calcular el valor de 1-p.

3. Localizar en la Ta b la I de Apéndice I el valor de Z 1

4. Calcular el valor de Z 1PA.

5. Localizar en la Ta b la I de Apéndice I el valor de 1 -P A.

6. Determ inar el valor de PA a partir de 1 -P A.

7. Dibujar la curva característica de operación con los valores de p en el eje x

y los valores de PA en el eje y.

EJEMPLO 6.20

Para el plan de m uestreo diseñado en el Ejem plo 6.19, construir la curva

característica de operación.

SOLUCION

Z 1-PA -

El C u a d ro 6.35 presenta los pasos del 1 al 6 y la Figura 6.15 presenta la

curva característica de operación pedida.


CUADRO 6.35. Cálculos para la curva OC del Ejemplo 6.20

(1)p

(2)1-p

(3)

Z ,-p

(4)z , PA

(5)

1-P*

(6)

P*

0,020 0,980 2,055 -2,15 0,0158 0,98420,025 0,975 1,960 -1,63 0,0156 0,94840,030 0,970 1,880 -1,18 0,1190 0,88100,040 0,960 1,750 -0,46 0,3228 0,67720,045 0,955 1,695 -0,15 0,4404 0,55960,050 0,950 1,645 0,12 0,5478 0,45220,060 0,940 1,555 0,62 0,7324 0,26760,065 0,935 1,514 0,85 0,8023 0,19770,075 0,925 1,440 1,26 0,8962 0,10380,085 0,915 1,372 1,64 0,9495 0,05050,090 0,910 1,340 1,82 0,9656 0,03440,100 0,900 1,287 2,11 0,9826 0,0174

h = i,J_+ i f 72 Q,1{11 76 2*(76 -1 )

7 _ 1 ,6 6 7 -Z 1_P¿ 1 -P A ------------------------0,1Í

N O R M A ISO -3 9 5 1

Esta norm a que tiene sus orígenes en la Norm a Militar Estándar 414, consiste de la a ctu a liza c ió n de dicha n o rm a de tal m a n e ra que los p la n e s de m uestro se ajusten a los de la N orm a 2 8 5 9 -1 . La norm a presenta diferencias significativas con respecto a la Norm a 414. U n a de estas diferencias es el uso del m étodo gráfico que permite conocer la razón de rechazar una m uestra y el lote de donde proviene. Esta razón será siem pre una o am bas entre exactitud y precisión.

Esta norm a ha sido diseñada para ser usada en procesos que tengan las siguientes características:


p ( % )

FIGURA 6.15. Curva característica de operación del Ejemplo 6.20.

1. El procedim iento de inspección se aplica a la recepción continua de lotes de productos discretos que han sido fabricados por un único productor bajo un único proceso. Si hay m ás de un proveedor, la norm a debe aplicarse a cada uno de ellos en forma separada.

2. La inspección se hace sobre una única característica la cual debe ser m edible. Si existen dos o m ás características, esta norm a se debe aplicar a cada una de ellas en forma separada.

3. La producción debe ser estable (bajo control estadístico) y la característica en estudio debe distribuirse norm alm ente o al m enos aproxim arse a esa distribución.

4. El pro cedim ien to estab lece, por contrato o por norm a, el uso de un límite superior de especificación, un límite inferior de especificación o de

am bos.

Algunas definiciones importantes de esta norm a son:

M é to d o s: es un método para definir la aceptabilidad de un lote usando la

desviación estándar muestral.


Método o: es un m étodo para definir la aceptabilidad de un lote usando la desviación estándar del proceso.

Método R: es un m étodo para definir la aceptabilidad de un lote usando una estim ación de la desviación estándar del proceso basada en el intervalo promedio calculado en una serie de mediciones cuando la muestra se divide en subgrupos.

Constante de aceptabilidad: es la constante que se extrae de tablas con base en el tam año de la m uestra y el A Q L . Este valor se com para con el estadístico de calidad para definir si se acepta o se rechaza el lote.

Límites dobles de especificación separados: son límites de especificación para los que se dan A Q L ’s diferentes.Esto quiere decir que el límite superior tiene un A Q L y el límite inferior otro que puede ser igual o diferente. S e denota con U el límite superior y con L el límite inferior.

Límites dobles de especificación combinados: son límites de especificación para los que se da un solo A Q L , lo que significa el límite superior y el inferior deben cum plir en conjunto con '.z especificado por el A Q L .

Estadístico de calidad: es un estadístico similar al estadístico Z de la distribución normal, y que se calcula de igual forma, pues es la diferencia entre un va lo r x e s p e c ific a d o y la m e d ia de la m u e s tra d iv id id a po r la d e s v ia c ió n estándar.

Estadístico inferior de calidad: es el estadístico de calidad donde el valor de x es el límite inferior de especificación.

Estadístico superior de calidad: es el estadístico de calidad don de el valor de x es el límite superior de especificación.

Desviación estándar muestral máxima (MSSD): es el valor m ás grande de la desviación estándar muestral que se genera bajo condiciones dadas.

Desviación estándar máxima del proceso (MPSD): es el valor m ás grande de la desviación estándar del proceso que se genera bajo condiciones d a das. E s decir, es el valor m ás grande de o que se genera para un A Q L cuando el proceso está centrado.

Esta norm a y la Norm a IS O 2819-1 tienen importantes similitudes y diferencias. A lguna s de esas similitudes están en que am bas norm as:


a. Parten de una filosofía com ún (aceptación o rechazo del lote con base en m uestras).

b. U san el criterio de A Q L para determinar el tam año de muestra y criterio de aceptación.

c. S e basan inicialmente en el tamaño del lote y nivel de inspección para buscar una letra código de tam año de muestra.

d. U san básicam ente las m ism as reglas de dinám ica de inspección,

e. U s a n la m is m a cla sifica ció n de p ro d u cto no co n fo rm e con e sp e c ificaciones.

Algunas diferencias son:

a. El criterio de aceptación y rechazo en am bas normas es diferente. Mientras qu e en la N o rm a IS O 2 8 5 9 -1 se b a s a en el n ú m e ro de u n id a d e s nc conform es con lo especificado encontradas en la m uestra, en la norma 3951 se basa en el cálculo del estadístico de calidad.

b. La norm a 3951 requiere para su aplicación de que la característica en estudio se distribuya normalmente, mientras que la Norm a IS O 2859 no tiene n in g ú n re q u e rim ie n to para la distribución de p ro babilidad de las c a racterísticas.

c. Las curvas características de operación de am bas norm as no son equiva lentes a pesar de tener los m ismos valores de A Q L .

d. La probabilidad de que un lote que tiene una calidad igual al A Q L sea acep tado se increm enta con el tam año de m uestra. Esto es similar en ambas norm as; sin em bargo, am bas probabilidades no son idénticas.

e. Los tam años de m uestra en la norm a para variables, correspondientes s una misma letra código, son generalmente más pequeños que los tamaño; de muestra en la norm a para atributos.

f. En esta norm a no existen ni planes dobles ni múltiples.

g. En esta norm a no es aplicable el concepto de A O Q L .

La Norm a IS O 3951 está com puesta de las siguientes partes:

1. Aspectos generales


2. M étodo de selección de planes de muestreo

3. Funcionam iento de un plan de muestreo para variables

4. Ta b la s y diagram as

5. Anexos

a. Procedim ientos para calcular s y o

b. Te o ría estadística

c. Planes de m uestreo por m étodo del intervalo R

Para extraer un plan de esta norm a se necesita contar con la siguiente inform ación:

1. Prueba de que la variable en estudio se distribuye normalmente y de que la producción ha sido continua

2. T a m a ñ o del lote (N )

3. Nivel de inspección

4. M étodo de estim ación (s, o o R)

5. T ip o de inspección

6. T ip o de límites de especificación

7. A Q L

La prueba de normalidad se hace a través de bondad de ajuste. La producción se chequea con el fin de que se dem uestre su continuidad.

El tam año del lote se define de antem ano y debe perm anecer constante. Si no existen lotes de tam año estan darizado se deben ejecutar las actividades necesarias para su estandarización.

El nivel de inspección se establece de acuerdo con lo que se especifique. Si no se especifica ninguno se usa nivel II. Existen tres niveles generales y dos especiales que funcionan en la m ism a forma de los niveles de la Norm a 2859-1.

El m étodo de estimación debe escogerse de acuerdo con el conocimiento del valor de a. Si este es conocido se usa el método a, si no se conoce se usa el m étodo s o R. La decisión de usar s o R se basará fundam entalm ente en las


facilidades de cálculo y en el tam año de la muestra, el cual es ligeramente m ayor en el m étodo R.

El tipo de inspección depende del com portam iento de la calidad de los lotes. S e inicia con inspección norm al y se cam bia a inspección reducida si la calidad mejora o a estricta si desmejora.

El tipo de límite de especificación consiste en definir si se chequeará para un solo límite o para dos límites especificados. Si se trata de dos límites debe definirse si son com binados o separados.

El A Q L debe ser especificado de tal m anera que el plan pueda ser extraído. Existen once valores que van de 0 ,1 0 % a 1 0 % que representan porcentajes de producto no conform e con lo especificado. No se puede usar la norma para valores de AQL diferentes a estos once.

A lg u n a s ta b la s d e la n o rm a c o n tie n e n s ím b o lo s e s p e c ia le s c u y o

significado se explica a continuación:

: usar el primer plan de muestreo localizado sobre la flecha, incluye tam año de muestra y constante de aceptabilidad

^ : usar el primer plan de muestreo localizado bajo la flecha, incluye tam año de muestra y constante de aceptabilidad

1 : indica el límite en el cual los planes son equivalentes a los de la norma

IS O 2859

A continuación se explicarán a fondo los métodos s y o. El método del rango se encuentra en la norm a y funciona m uy parecido al m étodo s.

Método s

El método s se basa en la estimación de la desviación estándar del proceso con base en la desviación estándar muestral. El procedimiento para operar con

este m étodo es el siguiente:

1. C o n el tipo de inspección y el tam año del lote se localiza la letra código del

tam año de la muestra en la Tabla l-A del Cuadro 6.36.


CUADRO 6.36. Tabla I-A Letras código del tamaño de la muestra

Tamaño del lote Niveles especiales de inspección

Niveles generales de inspección

S-3 S-4

2 a 89 a 15

16 a 25

26 a 5051 a 9091 a 150

151 a 280281 a 500501 a 1 200

1 201 a 3 2003 201 a 10 000

10 001 a 35 000

35 001 a 150 000150 001 a 500 000500 001 y más

V\ W BV C

B Dc ED F

E GF HG I

H JI KJ L

cDE

FGH

IJK

LMN

BC

DEF

GH /r

j

KLM

NP

CDE

FGH

JK

LMN

*Use H para un lote de tamaño entre 281 y 400, ejemplo para un lote de tamaño entre 401 y 500

2. Con base en el A Q L , la letra código del tam año de muestra, el tipo de inspección y la definición de si se tienen uno o dos límites y si éstos son co m

binados o separados, se busca en la tabla correspondiente el tam año de la muestra (n ) y la constante de aceptabilidad (k). Por ejemplo, si se trata de

inspección normal se usa la Ta b la ll-A del Cuadro 6.37.

3. S e tom a la m uestra del tam año que indica la tabla correspondiente y se

ejecutan las m ediciones del caso.

CUAD

RO

6.37

. TA

BLA

ll-A

Plan

es

de m

uest

reo

simpl

e pa

ra

insp

ecci

ón

norm

al (

Mét

odo

s)


f ií

05-Q-2o.

*üí í

a>"O co

1 1 .1 i

•o co O -k

S £O ¿S

LO COo " o "

oo

V LO

TÍ LO , h- LO CO 05

co O

co h - co oo t - coCO 0 5 0 5

M CMm ' c m

^ ^ cm' cm‘ cm“

o x —

CO CO_ Tfrcm' cm' cm'

tí- LO_ LOcm' cm' cm'

c q cq cm' cm'

■ [lo

>10

: Y -

Tí- 00 co

CM cm' cm'

LO CO CDcm' cm' cm'


4. S e calcula la media aritmética. Si la media aritmética se encuentra fuera del límite de especificación el lote se rechaza. De lo contrario se continúa con el paso 5.

5. S e calcula la desviación estándar.

6. Se calculan los valores de Q u, Q L o am bos, según se trate de un solo límite o de dos límites especificados.

q l , U Ls s

7. Se establece la decisión de rechazo o aceptación.

a. Si se especifica solo el límite superior entonces el lote se acepta si Q y>k y se recha za si Q u<k.

b. Si se especifica solo el límite inferior entonces el lote se acepta si Q L>k y se recha za si Q L<k.

c. Si se indican límites de especificación separados, entonces el lote se acepta si Q u>ku y Q L>kL y se rechaza si Q u<ku o Q L<kL.

EJEMPLO 6.21

La m áxim a tem peratura de operación de un determ inado dispositivo está especificada en 98,3°C. Si un lote de 40 unidades es sometido a inspección, utilizando nivel de inspección II, inspección normal y A Q L = 1 %

a. ¿C u á l es el plan de m uestreo?

b. ¿S e acepta o se rechaza un lote si la muestra origina los siguientes valores de tem peratura: 92°, 87°, 84°, 96° y 9 4 o?

SOLUCION

a. Se seguirán los pasos antes brindados.

Paso 1. C o n un tam año de lote N =40 unidades y un nivel de inspección II, según el C u a d ro 6.36 la letra clave del tam año de la muestra es la letra D.


P a so 2. C o m o se desea inspección norm al con un A Q L = 1 % , el plan de m uestreo, según el C ua d ro 6.37 es:

n= 5 unidades k=1,53

b. Análisis. S e continuará con el Paso 3.

P aso 3. La m uestra es brindada por el ejemplo.

P aso 4. Cálculo de la media aritmética.

- 92 + 87 + 84 + 96 + 94 . . .x -------------------------------------------- 90,6

5

La m edida aritmética está dentro de lo especificado, por lo tanto se continúa con el Paso 5.

Paso 5. Cálculo de la desviación estándar.

( Z x '22 _ 4 1 0 4 1 ,8 --

n -1 I

Paso 6. Cálculo de Q„

9 8 ,3 -9 0 ,6

u 4,98

J i — - l l ---------------------- § _ = 4 98

P aso 7. Debido a que Q u> k (1,55 > 1,53), se acepta la muestra y el lote de

donde proviene.

Forma gráfica para un solo límite especificado

Este tipo de aplicación se puede ejecutar también en forma gráfica. Para hacer esto, se debe dibujar en un papel milimétrico una de las siguientes líneas

según corresponda:

x = U -k* s (para límite superior)

x =L+k*s (para límite inferior)


El gráfico tiene en el eje x ia desviación estándar y en el eje y la m edia arit

m é tica . C u a n d o la in s p e c c ió n se re fie re a un lím ite s u p e rio r la z o n a de

aceptación se encuentra bajo la línea. Si se trata de un límite interior la zo na de

acep tació n se en cu e n tra sob re la línea. U n a ve z que se tiene el gráfico se

gráfica el par ordenado que conform an la desviación estándar y el prom edio.

D e p e n d ie n d o de la zo n a en donde caiga se tiene el criterio de aceptación o

rechazo de la m uestra y el lote.

EJEMPLO 6.22

R esolver el Ejem plo 6.21 por el m étodo gráfico.

SOLUCION

Utilizando la información del Ejem plo 6.21, se gráfica la recta para el límite

superior, que se puede ve r en la Figura 6.16. La ecuación de esta recta es:

x = 9 8 ,3 - 1,53*s

FIGURA 6.16. Gráfico del Ejemplo 6.22


La graficación de esta recta se hace sobre la base de dos puntos:

P a ra s = 5 , x = 90,65 P a ra s = 0 , x = 9 8 ,3

Al graficar el punto (4 ,98,90 ,6), este cae en la zo na de aceptación aunque bastante cerca de la línea. Por lo tanto, la decisión es aceptar la muestra y el lote de donde proviene.

Caso de dos límites de especificación

La forma de operar en este caso es parecida pero se trabaja con dos constantes de aceptabilidad, una para el límite superior y otra para el Inferior.

EJEMPLO 6.23

S e ha estimado que para un dispositivo electrónico, la temperatura permisible para lograr un funcionamiento óptimo debe estar entre 98,3°C y 82°C. Un lote de 40 unidades es sometido a inspección, utilizando nivel II, inspección normal y A Q L ’s 1 % y 2 ,5 % para el límite superior e inferior respectivamente.

a. ¿ C u á l es el plan de muestreo que se debe usar?

b. A n alice la situación del lote si al analizar una m uestra ésta origina los siguientes valores de temperatura: 92°, 87°, 84°, 96° y 94°C?

SOLUCION

а. S e seguirán los pasos antes brindados.

P aso 1. C on un tam año de lote N =40 unidades y un nivel de inspección II, según el C uadro 6.36 la letra clave del tam año de la muestra es la letra D.

P aso 2. C o m o se desea inspección normal con A Q L= 1 % para el límite superior y A Q L = 2 ,5 % para el límite inferior, el plan de muestreo, según el Cuadroб.37, es:

n= 5 unidades ku= 1,53 kL= 1,24


b. Análisis. S e continúa con los pasos.

Paso 3. La m uestra es brindada por el ejemplo.

Paso 4. Cálculo de la m edia aritmética.

- 92 + 87 + 84 + 96 + 94x = --------------------------------------------- = 90,6

5

La media aritmética está dentro de lo especificado, por lo tanto se continúa con el Paso 5.

Paso 5. Cálculo de la desviación estándar.

2 453*

S = 1|------------------ D — = \ ---------------------------------- = 4 ,9 8¡ X x 141041,8

n - 1 ~ 1 4

Paso 6. Cálculo de Q y y Q L

9 8 ,3 -9 0 ,6

u 4 ,98

9 0 6 - 8 2 , 0

L 4 ,9 8

Paso 7. Debido a que Q u > ky (1,55 > 1,53) y Q L > kL (1,73 > 1,24), se acepta la m uestra y el lote de don de proviene. R ecuérd ese que para re cha za r la m uestra y el lote, solo basta que no se cum pla una de las condiciones.

Forma gráfica para dos límites de especificación

Este tipo de aplicación se puede ejecutar también en form a gráfica. Para hacer esto, se deben dibujar en un papel milimétrico las siguientes líneas:

x = U - ky*s (para límite superior)

x = L + kL*s (para límite inferior)


El gráfico tiene en el eje x la desviación estándar y en el eje y la media aritmética. La zona de aceptación queda determinada por el triángulo formado por a m bas líneas. U n a ve z que se tiene el gráfico se gráfica el par ordenado que conform an la desviación estándar y el prom edio. Dependiendo de la zona en donde caiga se tiene el criterio de aceptación o rechazo de la muestra y el lote.

EJEMPLO 6.24

R esuelva el Ejem plo 6.23 por el m étodo gráfico.

SOLUCION

U tiliza ndo la inform ación del E jem plo 6.23, se grafican las rectas para am bos límites, las que se pueden ver en la Figura 6.17. La ecuación de esta

recta es:

(1 ) x = 9 6 ,3 - 1,53*s

(2 ) x = 8 2 ,0 + 1,24*s

FIGURA 6.17. Gráfico del Ejemplo 6.24


La graficación de estas rectas se hace sobre la base de dos puntos:

• Para la ecuación (1 )

P a ra s = 5 , x =90,65 P a ra s = 0 , x = 9 8 ,3

• Para la ecuación (2)

P a ra s = 5 , x = 8 8 ,2 P a ra s= 0 , x = 8 2 ,0

Al graficar el punto (4 ,9 8 ,9 0 ,6 ) éste cae en la zona de aceptación aunque bastante cerca de la línea. Por lo tanto, la decisión es aceptar la muestra y el lote de donde proviene.

Caso de aceptación para límites combinados

Si se tiene un A Q L com binad o para am bos límites de especificación, se d ebe u sa r el m étodo gráfico a no ser que el valor de la desviación están dar muestral (s ) sea m ayor que el valor de M S S D (desviación estándar m uestral m áxim a), en cuyo caso se rechaza el lote de inmediato. El valor de M S S D se calcula así:

M S S D = fs (U -L )

donde el valor de fs se obtiene de la Ta b la IV -s del C uadro 6.38.

Si se aplica el método gráfico se debe hacer uso de la serie s de curvas que presenta la norm a. La respectiva curva se selecciona con base en la letra código y el A Q L respectivo. Seleccionada la curva se calculan los valores:

s x - L— y -------------U - L U - L

y se grafican. Si el punto cae en la zona de aceptación (dentro de la curva ), la muestra y el lote se aceptan, de lo contrario se rechazan.

EJEM PLO 6.25

R e s o lv e r el E je m p lo 6 .2 3 con un A Q L = 1 % para a m b o s lím ites e s p e cificados.


SOLUCION

C o m o se obtiene en el Ejem plo 6.23, el tam año de la m uestra es de 5 unidades para letra código D, la m edia aritmética es 90,6 y la desviación estándar 4,98.

O bservando el C u a d ro 6.38, el valor de fs es 0,308, por lo tanto:

M S S D = 0,308 (9 8 ,3 -8 2 )= 5 ,0204

C o m o el valor de s no es m ayor que el valor de M S S D , se debe consultar la curva correspondiente a la letra D y A Q L= 1 % . Esta curva se puede observar en

la Figura 6.18.

Al graficar el punto (s / (U -L ),( x -L )/ (U -L )), calculado así:

s 4 ,9 8

U - L 9 8 ,3 -8 2

x - L 9 0 ,6 -8 2

U - L _ 9 8 ,3 -8 2

= 0,306

= 0,528

se nota que cae en la zo n a de rechazo. Por lo tanto, se concluye que bajo las

c o n d ic io n e s d a d a s la m u e s tra y el lote de d o n d e p ro v ie n e d e b e n se r

rechazados.

Si se considera difícil visualizar el criterio de aceptación o rechazo en las

curvas de la Figura 6.18 entonces se puede copiar la curva aparte, inclusive con

una escala m ás grande con el fin de facilitar la operación.

Si se desea consultar la curva característica de operación de un plan espe

cífico, se pueden observar las Ta b la s de la V -B a la V -P en donde se presentan en forma gráfica y tabulada las curvas O C para cada letra código. Estas curvas son para el método s y límite único. Sin embargo, son buena aproximación para dos límites especificados y para los m étodos o y R. Su uso es sem ejante a las

curvas de la N orm a IS O 2859.

Para demostrar su uso se verá el siguiente ejemplo.

CUAD

RO

6.38

. Ta

bla

IV-s

Valor

es

de fs

para

el

cálcu

lo

de la

desv

iació

n es

tánd

ar m

áxim

a (M

SS

D)

(Mét

odo

s)


Not

a: E

l MS

SD

se ob

tiene

m

ultip

lican

do

el fs

esta

ndar

izad

o po

r la

dife

renc

ia

entre

el

límite

su

perio

r de

espe

cific

ació

n U

y el

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in

ferio

r de

espe

cific

ació

n L.;

i.e

M

SS

D=f

s (U-

L).

El MS

SD

indica

la

may

or m

agnit

ud

perm

itida

de la

desv

iació

n es

tánd

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e la

mue

stra

cuan

do

se us

an

plane

s pa

ra el

caso

de

l lím

ite

doble

de

espe

cifi

cació

n co

n va

riabi

lidad

de

scon

ocid

a. S

i la

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iació

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tánd

ar d

e la

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stra

es in

ferio

r al

MSS

D,

exist

e la

posib

ilidad

au

nque

no

¡a ce

rteza

de

que

el lot

e se

rá ac

epta

do.


E J E M P L O 6.26

S u p ó n ga s e que se está trabajando con un plan de m uestreo que usa la letra código G , un A Q L de 2 ,5 % y el m étodo s.

a. ¿Q u é probabilidad de aceptación tiene un lote que posee un 8 % de producto no conform e con lo especificado?

b. ¿Q u é calidad en porcentaje de producto no conforme con especificaciones deb e tener un lote para que tenga una probabilidad de aceptación del

9 Q % ?

c. Si se fija el riesgo del productor en 5 % , ¿qué calidad debe tener el lote para cum plir con él?

d. Si el P N C T se fija en 1 6 % , ¿cuál es el riesgo del consum idor?

S O L U C I O N

Para resolver este problema se hará uso de las Tablas V -G y V -G -1 que se presentan en el Cuadro 6.39.

a. Al o b s e rv a r la T a b la V -G y lo c a liz a n d o la c u rva q u e c o rre s p o n d e a A Q L = 2 ,5 % se puede indicar que la respuesta a esta pregunta es PA= 4 6 % . Para ello, se localiza en el eje x el valor de 8 % y se continúa hasta intersecar la curva de A Q L = 2 ,5 % , entonces se lee en el eje y la correspondiente

probabilidad de aceptación.

b. Si se observa la Ta b la V -G o la Tabla V -G -1 se puede notar que la respuesta a este problem a es p = 2 ,6 7 % . Este valor se puede aproxim ar viendo la curva O C o se puede tomar exacto de la Tabla V -G -1 donde están algunos

valores tabulados.

c. Si a = 5 % entonces P A=0,95. Si se localiza esa probabilidad de aceptación en la misma forma explicada en b), se puede ver que el valor de p asignado

es de 1 ,9 1 % .

d. Si el P N C T = 1 6 % , es decir p=0,16, entonces el valor de p que es un valor de

P . es de 11% .A


Método a

Este método solo debe ser usado cuando se tenga certeza de que se conoce el valor de a. Este valor no se trata de una estimación o aproxim ación de o

sino el verdadero valor, el cual se considera constante. Esto es posible después

de varios años de llevar un control estadístico sobre la variable en estudio.

El procedim iento para trabajar por este m étodo es el siguiente:

1. C on el nivel de inspección y el tam año del lote se localiza la letra código del tam año de la m uestra en la Ta b la l-A del Cuadro 6.36.

2. C o n base en el A Q L , la letra código del tam año de muestra, el tipo de inspección y la definición de si se tiene uno o dos límites y si éstos son com bi

nados o separados, se busca en la tabla correspondiente el tam año de la muestra (n) y la(s) constante(s) de aceptabilidad (k). Por ejemplo, si se trata

de inspección normal se usa la Ta b la lll-A del C uadro 6.40.

3. S e tom a la m uestra del tam año que indica la tabla correspondiente y se ejecutan las m ediciones del caso.

4. S e calcula la m edia aritmética.

5. S e establece la decisión de rechazo o aceptación, según se trate de un límite superior, un límite inferior, límites separados o límites com binados de especificación.

Caso de límite superior especificado

Se acepta la muestra y el lote de donde proviene si:

x < xudonde:

xu = U - k u *cr

no se aceptan si:

x > xu


FIGURA 6.18. Diagrama s-D Curvas de aceptación para límites combinados Método s - Letra código D

UlCT>


Tabla V-G-1 Valores tabulados para las curvas características de operación en los planes simples de muestreo

Niveles aceptables de calidad (inspección normal)P

a0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 10,0

a

99,0 0,01 0,01 0,02 0,04 0,08 0,17 0,28 0,49 0,96 1,71 3,23 5,58 99,0________s

95,0 0,03 0,06 0,09 0,15 0,25 0,45 0,68 1,09 1,91 3,09 5,30 8,41 95,0

90,0 0,07 0,11 0,17 0,26 0,43 0,72 1,06 1,61 2,67 4,14 6,76 10,30 90,0

75,0 0,22 0,32 0,45 0,65 0,98 1,50 2,07 2,94 4,49 6,50 9,83 14,09 75,0

[ 50,0 0,67 0,90 1,17 1,57 2,20 3,09 3,99 5,32 7,51 10,15 14,27 19,25 50,0

25,0 1,73 2,18 2,67 3,38 4,41 5,77 7,09 8,92 11,77 15,02 19,84 25,38 25,0

10,0 3,58 4,31 5,07 6,13 7,58 9,41 11,12 13,38 16,77 20,48 25,76 31,63 10,0

5,0 5,27 6,19 7,13 8,40 10,11 12,22 14,13 16,63 20,28 24,20 29,67 35,63 5,0

1,0 9,91 11,18 12,45 14,11 16,24 18,76 21,00 23,83 27,82 31,97 37,57 43,50 1,0

0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 10,0

Nivel aceptable de calidad (inspección estricta)

Porcentaje de lotes que se espera sean aceptados (P )

Porcentaje de lotes que se espera sean aceptados (Pa)

- N u ^ o i o s a t í ño o o o o o o o o o o

Ogoreo

coSo

i?Crsrco5o

o

Oc:

ü>oCD

OQJCO"O&03"CDoTSCDCOCO

I

CO

NTR

OL

DE CALIDAD

I JO

RGE

ACUÑA ACUÑA

577


Caso de límite inferior especificado

S e acepta la muestra y el lote de donde proviene si:

x > XLdonde:

x l =l_ + kL *a

no se aceptan si:

x < XL

Caso de aceptación para límites separados

S e acepta la muestra y el lote de donde proviene cuando:

x < x u y x > x l

no se aceptan si:

x > xu o x < XL

Caso de aceptación para límites combinados

Si se tiene un A Q L com binado para a m bos límites de especificación, se debe usar el m étodo gráfico a no ser que el valor de la desviación estándar a sea m ayor que el valor de M P S D (desviación estándar m áxim a del proceso), en cuyo caso se rechaza el lote de inmediato, sin necesidad de extraer la muestra. El valor de M P S D se calcula así:

M P S D = fo (U -L )

donde el valor de fose obtiene de la Ta b la IV-cr del Cuadro 6.41.

El procedimiento, si no se cum ple lo anterior, es el siguiente:

1. Seleccionar el tam año de la muestra en la Tabla l-B del Cuadro 6.42, usando letra código y el A Q L .


2. S eleccionar de la serie a de curvas que presenta la norm a, la respectiva curva de aceptación con base en la letra código y el A Q L respectivo. La Figura 6.19 presenta la serie de curvas para la letra E.

3. Calcular el valor de a / (U -L ) y dibujar una línea vertical a partir de este punto.

4. Si la línea interseca la curva de aceptación se obtienen dos valores de (x -L )/ (U -L ) que sirven para determ inar los valores superior e inferior de la

m edia ( x ^ x j .

Si la línea no interseca la curva de aceptación, el proceso se considera no aceptable y la inspección por m uestreo pierde su validez.

Si la línea interseca la porción recta de la curva de aceptación, esto es equivalente a trabajar con el caso de límites separados por lo que se debe se

guir el procedimiento ya explicado para ese caso.

5. T o m a r la muestra del tam año indicado en 1) y calcular la m edia aritmética

de la característica en estudio.

6. Aplica r la siguiente regla de aceptación de la m uestra y el lote de donde

proviene:

Aceptar si la media aritmética calculada en 5) está comprendida entre los valores de x„yxLy rechazar si ocurre lo contrario.

EJEMPLO 6.27

La resistencia m ínim a de un com ponente es de 58000 psi. Un lote de 500 unid a d e s es som etido a inspección, utilizando Nivel II, inspección norm al, A Q L = 1 ,5 % . La desviación estándar es conocida e igual a 3000 psi.

a. ¿ C u á l es el plan de muestreo que se debe aplicar?

b. Analice la situación que ocurriría si la muestra extraída origina los siguien

tes datos:

6 2500-60500-68000-59000-65500

6 2000-61000-69000-58000-64500

CUAD

RO

6.40

. Ta

bla

lll-A

Plan

es

de m

uest

reo

simpl

e pa

ra

insp

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Mét

odo

o)


CO

c £ > S

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CO 0) lí)

í> :

CM CM

tf) N CM CO

=í>:CM CM

CO ^ CM CO

H >

0) CM CO N CM* CM* CM

6J)sanuj ap oublubi iap o6|poo ejjan


CUADRO 6.41. Tabla IV-o Valores de tapara el cálculo de la desviación estándar máxima (MPSD)

(Método o)

Niveles aceptables de calidad (inspección normal)

0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,00 1,50 2,50 4,00 6,50 10,000,147 0,152 0,157 0,165 0,174 0,184 0,194 0,206 0,223 0,243 0,271 0,304 0,347

0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,00 1,50 2,50 4,00 6,50 10,00

Niveles aceptables de calidad (inspección reducida)

0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,00 1,50 2,50 4,00 6,50 10,00

Niveles aceptables de calidad (inspección reducida)

Nota: El MPSD se obtiene al multiplicar fo por I? diferencia entre el límite superior de especificación U y el límite inferior de especificación Li.e. MPSD=fo(U-L)El MPSD indica la mayor magnitud permitida para la desviación estándar del proceso cuando se usan planes para el caso del límite de especificación doble con variabilidad conocida. Si la desviación estándar del proceso es menor que el MPSD existe la posibilidad pero no la certeza de que el lote será aceptado.La autoridad responsable puede especificar el uso del valor fo para inspección estricta tanto para inspección normal como reducida, en cuyo caso la selección entre el método "o” y “s” se mantiene independiente.

SOLUCION

S e seguirá el procedimiento expuesto,

a.

1. Con nivel de inspección II y tam año del lote de 500 unidades se localiza la letra código del tamaño de la muestra en la Ta b la l-A del Cuadro 6.36.

Esta letra es la letra I.

2. C o n base en A Q L = 1 ,5 % , letra código I, inspección normal y para límite sim ple especificado, se b u sca en la T a b la 11l-A del C u a d ro 6 .4 0 , el


ta m a ñ o de la m uestra (n ) y la constante de aceptabilidad (k ). Esto s valores son:

n=10 k=1,70

b.

3. La muestra está dada por el ejemplo.

4. Calcular la m edia aritmética.

x = 630000 = 63000 psi 10

5. Establecer la decisión de rechazo o aceptación. S e usa el criterio para límite inferior de especificación.

S e rechaza la m uestra y el lote de donde proviene puesto que:

X < X L

63000 < 63100

x l = L + kL*s

X L = 58000 + 1,7*3000 = 63100 psi

EJEMPLO 6.28

R esolver el Ejem plo 6.27, si se tiene adem ás que cum plir con un requisito de resistencia m áxim a de 71000 psi cuyo control tiene un A Q L de 1 % .

SOLUCION

S e seguirá el procedim iento expuesto,

a.

1. C o n nivel de inspección II y tam año del lote de 500 unidades se localiza la letra código del tamaño de la muestra en la Ta b la l-A del Cuadro 6.36. Esta letra es la letra I.

CUAD

RO

6.42

. Ta

bla

l-B Ta

mañ

os

de m

uest

ra

para

in

spec

ción

norm

al


Atrib

utos

m

uest

ra

equi

vale

ntes

(IS

O 28

59)

Tam

año

dem

uest

ra

co m 8 13 20 32 50 80 125

200

315

500

800

Letra

códi

goCQ O Q lü U. O X 1 —5 — I 2 z Q.

JO

10,0 CO T f LO N 11 14 17 T í- CO O )

CM CO t f 64 95 127

6,5 co co m c q 9 12 15 O CD CM

CM CM t íL O CM 05 LO CO O

4,0 E ü ^ CM CO T í LO CO O CO 18 25 36 CO O CO

t í N O )

2,5 CO T í LO f - 05 T - 15 22 32 CM i — i -

T Í CO CO

1.5 CM CM CO M - CD CO O 14 19 28 36 54 71

o_ ^ ^ > C M CM CO M - ( O N O ) 12 17 25 CO 05 LO CO T í CO

0,65 r~" CM CO M - l O N CO 11 16 23 30 44 59

0,40 t ~ LO CO CO 10 14 21 27 40 54

0,25 M - CD N 9 13 19 L O N O )

CM CO t í

0,15 M é m .l M - l O CO O ) CM S 23 34 45

O

o" : : [ ; > M - t O CO CO t - CO CM ’ — CM CM CO t í

C</3O _ )fs

CO t í 5 7 10 15 20 25

LO O LO CO LO h - 10

015

020

0

Mét

odo

Niv

el

acep

tabl

e de

calid

ad CQ O ü U J u . O X — -5 —1 2 Z Q-

eflsenuj ap ouewei |ap o6|P90 eriaq


U - L

FIGURA 6.19. Diagrama o-E Curvas de aceptación para límites combinados Método o - Letra código E


2. C o n base en A Q L = 1 % para el limite superior, A Q L = 1 ,5 % para el límite inferior, letra código l, inspección normal y para límite simple especificado, se busca en la Tabla 11 l-A del Cuadro 6.40, el tam año de la m uestra (n ) y las constantes de aceptabilidad (ky y kL). Estos valores son:

n= 10* ky= 1,83 kL=1,70

com o existen dos tam años de m uestra, se tom a el m ás grande

b.

3. La muestra está dada por el ejemplo.

4. Calcular la m edia aritmética.

x = 630000 = 63000 psi10

5. Establecer la decisión de rechazo o aceptación. S e usa el criterio para

límites separados.

x < xl

63000 < 63100

x l = L + kL*a

xl=58000+1 ,7*3000=63100 psi

x <

63000 <

x„ = U - k ,* c

xu

65900

xu=71000-1,83*3000=65510 psi

R E C H A Z O A C E P T A C I O N

S e rechaza la muestra y el lote de donde proviene puesto que es necesario que se cum plan las dos condiciones para aceptar y solo la condición de límite

superior se cumple.

EJEMPLO 6.29

R e s o lve r el E je m p lo 6 .2 8 , con A Q L = 4 % para a m b o s lím ites de e s p e

cificación.


SOLUCION

S e com para el valor de o con el valor de M P S D .

M P S D = fo* (U -L )

M P S D = 0,243*(71000-58000)

M P S D = 3159 psi

el valor de fo se obtuvo de la Ta b la IV -o del Cuadro 6.41.

C o m o el valor de M P S D resultó ser m ayor que o, se continúa con el procedimiento ya descrito.

1. Al seleccionar el tam año de la m uestra de la Ta b la l-B del C u a d ro 6.42, usando letra código I y A Q L 4 % , este valor es n= 13.

2. S e selecciona de la serle a de curvas, la curva de aceptación para la letra código I y A Q L 4 % . La Figura 6.20 m uestra esta curva.

3. C a lcula r el valor de c / (U -L ) y dibujar una línea vertical a partir del punto 0,2308.

4. Dado que la línea interseca la curva de aceptación se obtienen dos valores de (x -L )/ (U -L ) que sirven para determ inar los valores superior e inferior de lam edla (xu y x L).

o < M P S D

3000 < 3159

a 3000= 0,2308

( U - L ) (7 1 0 0 0 -5 8 0 0 0 )

x l - L _ x l - 58000

U - L “ 7 1 0 0 0 -5 8 0 0 0

xu - L _ xu -7 1 0 0 0

U - L ^ 7 1 0 0 0 -5 8 0 0 0

g 2_l _ xl - 58000

130000,31 =

Xl = 5 8 0 0 0 + 0,31 * 13000

x l = 62030 psi

xu= 5 8 0 0 0 + 0,69 *13000

xu= 66970 psi


A Q L

U - L

FIGURA 6.20. Curva de aceptación para letra código I (AQL-4%)

5. La muestra de 13 unidades da un promedio de 63000 psi.

6. La media aritmética calculada se encuentra entre los valores de x , y xL, por lo que se aceptan la muestra y el lote de donde proviene.

Dinámica de la inspección

Al igual que la Norm a IS O -2 8 5 9 -1 , esta norma tiene su propia dinámica de inspección. La inspección se inicia con inspección normal y se cam biará a estricta o reducida según las siguientes condiciones:


Cambio a inspección estricta

S e pasa inspección estricta cuando dos de cinco o m enos lotes no sean aceptados bajo inspección normal. El nuevo plan se localiza en la Ta b la lll-B si se usa m étodo a o la Ta b la ll-B si se usa m étodo s.

Estando en inspección estricta se retornará a inspección normal cuando se acepten cinco lotes consecutivos.

Cambio a inspección reducida

S e puede pasar de inspección normal a reducida cuando se acepten diez lotes consecutivos que cum plen con las siguientes condiciones:

a. Los lotes podrían haber sido aceptables si el A Q L hubiera sido un paso m ás estricto.

b. La producción se efectuó bajo control estadístico.

c. La autoridad responsable da el visto bueno al cam bio.

Los planes por usar se encuentran en la Ta b la ll-C si se usa el m étodo s o en la Ta b la lll-C si se usa el m étodo a.

Estando en inspección reducida se retornará a inspección normal si ocurre cualquiera de las siguientes situaciones:

a. Un lote no es aceptado

b. La producción se torna irregular o con retrasos

c. Otras condiciones que no garanticen un adecuado control si se perm anece en inspección reducida

EJEM PLO 6.30

En la recepción de un dispositivo electrónico se chequea que la temperatura m áxim a de operación sea de 60°C. S e usa el m étodo s, pues se desconoce el valor de o. Las condiciones son usar lotes de 100 unidades, nivel 11 y A Q L 2 ,5 % .


a. ¿ C u á le s serían los tres tipos de planes co rresp ondientes a inspección normal, reducida y estricta?

b. La situación de los últimos 30 lotes sometidos a inspección se presenta en el Cuadro 6.43. Si se hubiera aplicado la dinám ica de inspección ¿cuáles serían los cam bios de inspección?

CUADRO 6.43. Registro de los últimos 30 lotes

# lote 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Qu 1,49 1,51 1,16 1,35 1,78 1,87 1,59 1,66 1,72 188

# lote 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Qu 1,72 1,66 1,59 1,62 1,77 1,60 1,65 1,77 1,81 1,00

# lote 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Qu 1,22 1,37 1,45 1,20 1,88 1,78 1,90 1,67 1,63 1,55

SOLUCION

a. Inspección normal Inspección estricta Inspección reducida

n = 10 n = 10 n = 4

k = 1,41 k = 1,58 k = 1,01

b. S e aplican las reglas apuntadas.

S e inicia con inspección normal, con el plan n=10, k=1,41. De acuerdo con lo establecido al utilizar el m étodo s, el valor de Qu debe ser mayor que ku para que el lote sea aceptado. Al aplicar ésto, los lotes 1 y 2 son aceptados pero los lotes 3 y 4 son recha za dos, con lo que se cum ple la condición para pasar a inspección estricta usando el plan n=10, k=1,58 a partir del lote No. 5.


Los lotes del No. 5 al No. 9 inclusive se aceptan en inspección estricta, y se retorna a inspección normal a partir del lote No. 10.

Los lotes del No. 10 al No. 19 se aceptan por lo que ésto permite pensar en la posibilidad de pasar a Inspección reducida. S e cum ple la condición de que los lotes se ría n a c e p ta d o s con el pró xim o A Q L m ás estricto, A Q L = 1 ,5 % cu yo k =1,58. S e supone que la producción está bajo control estadístico y que la autoridad está de acuerdo con cam biar a inspección reducida. Por lo tanto, se pasa a inspección reducida a partir de la m uestra No. 20 con el plan n=4, k=1,01.

El lote No. 20 se rechaza por lo que a partir del lote No. 21 se pasa a inspección normal, con n=10, k=1,41. Los lotes No. 21 y No. 22 se rechazan por lo que se cum ple la condición para pasar a inspección estricta a partir del lote No. 23, con el plan n =10, k= 1 ,58.

Los lotes No. 23 y 24 se rechazan en inspección estricta, pero los lotes del No. 25 al No. 29 se aceptan, por lo que se cum ple la condición para retornar a inspección normal, con el plan n =10, k=1,41, a partir del lote No. 30.

El lote No. 30 se acepta. La Inspección continúa en la m ism a forma a partir del lote No. 31.

RESUMEN

Este capítulo dedicado al muestreo de aceptación permite determinar que:

1. El muestreo es una buena herramienta estadística para determinar la calidad de los lotes de productos con base en m uestras extraídas de ellos.

2. Este tipo de m uestreo puede favore cer al consum ido r, al productor o a am bos según sea quien lo aplique. La curva característica de operación permite analizar las bondades de un plan para con el productor o el consumidor.

3. Existe la posibilidad de aplicar muestreo secuencial cuando la inspección es destructiva o de costos m uy altos.

4. El m u e s tre o pe rm ite re d u cir los co s to s de In sp e cció n y o rg a n iz a r la inspección.


5. E s necesario establecer m anuales de inspección que reduzcan la influencia de decisiones subjetivas.

6. No existen requisitos especiales en cuanto a distribuciones de probabilidad en el caso de inspección por atributos. Sin e m bargo, en inspección por variables es absolutam ente necesario que la variable en estudio se distribuya según la distribución normal.

7. La aplicación de norm as (IS O -2 8 5 9 -1 , IS O -3 9 5 1 ) es m uy útil para aligerar el procedimiento de inspección. Adem ás, es m ás fácil la obtención de conclusiones.

PREGUNTAS DE REPASO

1. ¿ Q u é ventajas ofrece trabajar con inspección por m uestreo en lugar de inspección 1 0 0 % ?

2. Explique cóm o funciona un plan de m uestreo sim ple, un plan doble y un plan múltiple.

3. ¿ C ó m o se construye y para qué sirve la curva característica de operación?

4. Com ente los pasos para diseñar un plan de muestreo simple basado en los riesgos del productor y del consum idor. Explique en qué consisten esos riesgos.

5. ¿P a ra qué se usa el concepto de inspección total de unidades?

6. ¿ C ó m o funciona un plan de aceptación-rectificación?

7. Explique en qué consiste un plan de muestreo secuencial y qué ventajas tiene sobre los otros planes de muestreo.

8. Explique el procedim iento para extraer un plan de m uestreo de la Norm a IS O 2859-1.

9. Explique en qué consiste la dinám ica de la inspección.

10. ¿C u á n d o se debe aplicar m uestreo de aceptación para variables?

11. ¿C u á l es el procedim iento para extraer un plan de muestreo de la Norma

IS O 3951?


12. Defina los siguientes conceptos:

a. Calidad límite

b. Estadístico de calidad

c. Desviación estándar m áxim a muestral

d. Desviación estándar m áxim a del proceso

13. ¿ E n qué condiciones se usa la N orm a ISO 3951 ?

14. ¿ Q u é diferencias hay entre las N orm as ISO 2859-1 e ISO 3951?

15. Explique los m étodos gráficos de la N orm a ISO 3951.

PROBLEMAS

1. Construir en un m ism o gráfico las curvas características de operación de los siguientes planes de m uestreo:

n= 100, A = 0 n= 100, A =1’ c ’ c

n = 2 0 0 , A = 2 n= 200, A =3’ C » C

n= 300, A = 4 n= 300, A = 5’ c ’ c

a. ¿ Q u é conclusiones se obtienen al com parar estos planes?

b. ¿ Q u é probabilidad de aceptación tienen lotes cuya calidad es 2 ,5 % y 4 ,3 % , en cad a uno de los planes?

c. ¿Q u é calidad debe tener el lote para que su probabilidad de aceptación sea del 9 0 % , en cada uno de los planes?

d. ¿C u á l es el A Q L si el riesgo del productor (a ) es del 9 3 % ?

e. ¿ Q u é valor de P N C T genera un riesgo del consum idor ((3) del 10 % ?

2. Construir las curvas características de operación de los siguientes planes de m uestreo y com parar los planes.

n= 125, A = 1’ C

n= 150, A = 2’ C

n= 175, A = 3


3. En inspección de recepción se recibe una serie de lotes de 100 unidades

de un producto. Estos lotes se inspeccionan con m uestras de tam año 100

y criterio de aceptación A c=4.

a. Construya la curva O C .

b. Si el porcentaje de producto fuera de lo requerido es de 2 ,5 % , ¿qué riesgo del productor está asociado a él?

c. Si el consumidor quiere rechazar lotes que tengan 8 % o m ás de producto disconforme, ¿qué riesgo del consum idor está asociado a él?

4. D iseñar tres planes de muestreo para atributos basados en un A Q L = 2 % .

Com pare esos planes con otros tres basados en una calidad de indiferen

cia asociada a p = 3 ,8 % .

5. Diseñar un plan de muestreo para atributos que cum pla con las siguientes

condiciones:

A Q L = 5 % a = 5 %

P N C T = 1 0 % (3=10%

6. Diseñar un plan de muestreo para atributos que cum pla con las siguientes

condiciones:

A Q L = 1 ,2 % a = 6 %

P N C T = 6 ,2 % (3=12%

7. Diseñe un plan de m uestreo por atributos que cum pla con una calidad de

indiferencia de 1 ,6 % . Com párelo con el plan diseñado en el problem a 5.

8. Construir las curvas de calidad saliente m edia (A O Q ) para los siguientes

planes:

n= 10, A =1C

n= 50 A =2C

n=100 A c=4

n=200

coII<


Lo calice el va lor de P N C T y A Q L en cad a plan asociad os con a = 0 ,0 5 y (3= 0 . 1 0 .

9. Se desea aplicar un plan de aceptación-rectificación sobre la m ercadería que entrega un productor. Esta m ercadería consiste de 50 lotes de 10000 unidade s cad a uno. El contrato firm ado dice que la calidad pactada es 1 , 1 % de producto no conform e.

a. ¿C uá l es la calidad saliente media (A O Q ) si se usa el plan n=200, A c=3?

b. ¿C u á l es el límite de calidad saliente media (A O Q L ), si se varía la calidad pactada entre 1 % y 1 0 % de uno a uno?

10. D ise ñ a r y graficar un plan secuencial que corresp onda a las siguientes condiciones:

oc= 7 %

p= 1 1 %

A Q L = 8 %

P N C T = 2 5 %

11. Un ingeniero desea diseñar, por primera vez, planes de muestreo para inspeccionar los lotes de 50000 unidades enviados por un proveedor. Un contrato firmado por am bas partes establece los siguientes acuerdos:

1. R iesgo del productor = 0,039

2. R iesgo del consum idor = 0,091

3. Nivel de calidad aceptable = 0,019

4. Porcentaje defectuoso tolerado en el lote = 0,052

a. Presente a este ingeniero cuatro tipos de planes simples, equivalentes pero diferentes.

b. Si el costo de inspeccion ar una unidad es de 06, ¿cuál es el plan m ás barato? ¿ Q u é otras consideraciones de costos de calidad d e ben tom arse en cuenta?

c. D em uestre con núm eros que los cuatro planes son equivalentes.

r ■


d. ¿Cuál plan le recom ienda U d. al ingeniero? Justifique su respuesta y anote las consideraciones del caso.

12. E n la inspección de ciertas materias primas se desea definir el tam año de la muestra m ás conveniente. Actualmente, un estudio de inventarios indica que el tam año óptimo del lote puede variar entre 20000 y 30000 unidades sin consideraciones importantes de costo. El proveedor indica que los lotes son 6 ,5 % defectuosos.

a. ¿C uá l plan recom ienda Ud y en qué se basa para hacerlo?

b. U sand o el plan recom endado en a), ¿qué probabilidad de aceptación tiene un lote que es 8 % defectuoso?

c. Si se usara el siguiente plan doble bajo aceptación-rectificación:

n,=50 n2= 50

c = 1 c2= 5

R = 5 R 2= 6

¿C uá l es la calidad saliente m edia?

13. S e desea diseñar un plan de m uestreo por atributos que cum pla con las siguientes condiciones:

A Q L = 1 ,2 % a = 5 %

P N C T = 5 ,8 % p= 1 4 %

a. ¿C uá l es ese plan de m uestreo?

b. ¿ Q u é probabilidad de rechazo tiene un lote que tiene 3 ,4 % de producto disconforme, cuando es inspeccionado con el plan diseñado?

c. ¿ Q u é porcentaje de producto disconforme debe tener un lote para tener una probabilidad de aceptación del 9 8 % , si se inspecciona con este

plan?

d. Com pare este plan con su equivalente en m uestreo secuencial. ¿Q u é

conclusiones se obtienen?

e. Dem uestre que los planes diseñados son realm ente equivalentes.


f. C o n base en la Norm a IS O -2 8 5 9 -1 , ¿cuáles podrían ser los planes doble y múltiple equivalentes al plan diseñado en a.?

14. U n a producción de 2000 p iezas por hora es m uestreada a razón de 150 piezas por hora. Si el lote se acepta cuando salen tres o m enos unidades disconform es:

a. Elabore un cuadro que m uestre la probabilidad de aceptar un lote para diferentes calidades generadas en las líneas de producción.

b. Construya la curva característica de operación

c. ¿Q u é sucede si el tam año del lote se duplica?

d. ¿ Q u é su ce d e si el c o n su m id o r acepta el lote cu a n d o salen cuatro o m enos unidades disconform es?

15. U na fábrica de bicicletas recibe neum áticos en lotes de 2000 unidades. El proveedor establece un porcentaje de producto disconforme de 1 ,5 % , para el m uestreo de aceptación-rectificación.

a. Si se som eten a inspección 300 lotes usando el siguiente plan doble:

n ,= 80 n2= 80

¿C uá l es la calidad saliente m edia?

b. Si se som eten a inspección 100 lotes, con el plan simple n=500, A = 5, ¿cuál es la calidad saliente m edia?

c. Si existe posibilidad de usar cualquiera de los siguientes planes:

¿C uá l de los planes usaría U d y por qué? Para decidir hágalo sobre la base de tres reglas de decisión.

d. ¿Qué acciones se deberían seguir si los lotes fueran de tamaño variable?

R = 6e1

n= 100,

n= 150,

n= 0,01 N


16. Represente gráficamente el plan de muestreo múltiple que se presenta en el Cuadro 6.44.

17. Dada la información del Cuadro 6.45, seleccionar y extraer los planes de muestreo adecuados.

a. Explique el funcionamiento de cada plan

b. Calcule los valores de P N C T y A O Q L , para cada plan.

CUADRO 6.44. Plan múltiple del Problema 16

Muestra Acumulado A 0 Re

n,=50 n=50 2 7n2=50 n,+n2=100 4 11n =50 n,+n2+ n 3=150 8 15n4=50 n,+n2+ n3+ n4=200 12 19n =50 n,+n2+ n3+n4+n5=250 16 22n=50 n,+n2+ n3+n4+n5+n6=300 21 26n7=50 n,+n2+ n3+n4+n5+n6+n7=350 25 29n8=50 n,+n2+ n3+n4+n5+n6+n7+na=400 28 29


Plan Nivel de Insp.

Tipo de muestreo

Tipo de inspecc.

AQ L N

1 II Simple Normal 0,15 552 II Doble Reducida 1,00% 4003 I Simple Estricta 150,00 40004 III Simple Normal 0,40% 20005 II Múltiple Normal 0,65% 100006 III Múltiple Normal 0,25% 707 II Simple Reducida 400,00 1500

8 II Simple Estricta 6,5% 30


18. U n producto se suministra en lotes de 4000 unidades. El A Q L fijado es del 1 ,5 % para el producto disconform e. S e em plea nivel de inspección III y m uestreo simple.

a. ¿C uá les son los planes de muestreo para inspección normal, estricta y reducida?

b. Si la cantidad de producto disconform e en los últimos 25 lotes son los que aparecen en el Cuadro 6.46, ¿cuál es el comportamiento de la inspección?

CUADRO 6.46. Información del Problema 18

Lote# Disconf. Lote# Disconf. Lote # Disconf.

1 7 10 12 18 52 2 11 8 19 23 14 12 11 20 74 11 13 7 21 65 9 14 8 22 76 4 15 4 23 27 7 16 9 24 58 3 17 3 25 39 2

19. En la bodega de producto term inado de una em presa se reciben lotes de 58000 unidades con un A Q L = 4 % . Esta es la primera vez que se van a usar planes de muestreo de aceptación por atributos. Establecer la dinámica de la inspección si se recibieran 30 lotes cuya cantidad de disconform es se presenta en el C u a d ro 6.47.

20. U n proceso sum inistra lotes de 5000 unidades, fijando un A Q L del 1 0 % para defectos tipo A y A Q L del 1 ,5 % para defectos tipo B. S e em plea el nivel II y se usa m uestreo simple.

JORGE ACUÑA ACUÑA________________________ 5 9 9


# lote np # lote np filote np #lote np filote np # lote np

1 22 6 14 11 13 16 18 21 9 26 192 24 7 15 12 10 17 12 22 10 27 203 17 8 15 13 5 18 18 23 11 28 174 16 9 18 14 4 19 6 24 20 29 185 15 10 10 15 10 20 5 25 18 30 15

np: número de disconformes

a. ¿Cuáles son los planes de muestreo para inspección estricta, normal y reducida?

b. Si los defectos tipo A y B en los últimos 10 lotes se presentan en el C u a dro 6.48, ¿cuál es la decisión de rechazo o aceptación de lotes?

21. A una em pacadora de carne llegan cargam entos de 1000 kg y se someten a inspección por atributos, con un nivel II, plan simple y A Q L = 2 ,5 % .


LoteA

DefectosB

1 18 92 20 83 24 74 21 105 20 116 10 117 18 8

8 14 5

9 16 7

10 18 8


a. ¿C uá l es el plan de m uestreo en inspección normal, estricta y reducida?

b. ¿ Q u é probabilidad de aceptación tiene un carga m en to con 1 ,5 % de producto disconforme, si se usa inspección norm al?

c. ¿ C u á l es el A O Q L que le corresponde al plan con Inspección norm al?

d. ¿ C u á l es el P N C T , asociado a un [3=0,10, para el plan de inspección norm al?

e. ¿C uá l es el tam año m edio de las muestras doble y múltiple, correspondientes al plan de inspección norm al?

f. Si se someten a inspección 32 cargamentos que originan la cantidad de producto disconform e del C u a d ro 6.49, ¿cuál es la dinám ica de la inspección?


# lote np #lote np # lote np filote np

1 3 9 3 17 0 25 12 4 10 2 18 1 26 23 3 11 1 19 1 27 44 6 12 0 20 3 28 55 8 13 0 21 0 29 36 4 14 4 22 0 30 47 1 15 4 23 0 31 68 2 16 3 24 1 32 8

22. En un proceso de fabricación de tubos para la construcción, las especificaciones del diámetro para un tipo de tubo se han fijado en 65,3 ± 3,3 cm . Los lotes que se someten a Inspección son de tam año 800 y se usa Nivel I con A Q L = 2 ,3 % para el límite superior y 0 ,1 5 % para el límite inferior.

a. ¿ C u á le s son los p la n e s de m u e stre o q ue se d e b e n u sa r bajo inspección normal, simplificada y estricta?


b. To m a n d o los prim eros valores seleccionados horizontalmente del C uadro 6.50 com o los valores originados por una muestra; ¿cuál es la decisión de aceptación o rechazo bajo inspección norm al?


63 62 69 67 70 66 65 67 68 67

64 70 75 66 70 66 68 65 66 67

23. La especificación m ínim a para ciertos tubos de acero es 50000 psi. Un lote de 800 tubos es sometido a inspección normal, Nivel II con A Q L = 1 ,5 % . La desviación estándar es 1575 psi.

a. ¿C u á l es el tam año de la muestra?

b. Si los valores que genera la m uestra se presentan en el C uadro 6.51, ¿cuál es la decisión de aceptación o rechazo?

CU A DRO 6.51. Información del Problema 23

62500 60500 68000 59000 6550062500 61000 69000 59000 6450061800 63400 65000 64700 66600

24. La especificación de presión para ciertos tubos de acero es 62500±500 psi. U n lote de 2 00 tu b o s es so m etido a in sp e cc ió n n o rm a l, N ivel II, con A Q L = 1 ,5 % . La desviación estándar es 2825 psi.

a. ¿C u á l es el tam año de la muestra?

b. Si los datos son los m ism os del P roblem a 23, ¿cuál es el criterio de aceptación o rechazo?


25. U n proceso produce con las especificaciones de longitud 25,9 ± 1,5 cm. Se someten a inspección 50 piezas, utilizando nivel II y A Q L 1 ,5 % para el valor especificado superior y A Q L 1 ,0 % para el valor especificado inferior.

a. ¿C u á le s son los planes de m uestreo en inspección norm al, estricta y reducida?

b. Si para el plan en inspección norm al se presenta la inform ación del C ua d ro 6.52, ¿cuál es la decisión de aceptación y rechazo? Resuelva gráficamente y analíticamente.


Unidad # Longitud

1 27,12 24,03 27,64 24,55 28,06 24,97 25,08 26,49 26,5

10 27,0

26. El máximo contenido de una sustancia quím ica que debe estar presente en un alimento es 3,5 miligramos por gram o de alimento. Si se som eten a inspección lotes de 2 5 0 0 g ra m o s, utilizando Nivel II, inspección norm al y A Q L = 1 ,5 %


b. Sim ule la dinámica de la inspección estableciendo el criterio de aceptación. U se valores de este criterio en el rango de 1,5 ± 1,2s.

27. En una em presa comercial las lámparas incandescentes se som eten a inspección en lotes de 1000 unidades. El poder lum inoso especificado para


estas lámparas es de 100 bujía-pie com o mínimo. En esa inspección se desea tener un pian de muestreo para el cual lotes de calidad 1 % de producto inaceptable, se acepten el 9 5 % de las veces, mientras que lotes con calidad 5 % se acepten el 1 0 % de las veces.

a. D ise ñ e el plan de m uestreo para ch e qu e a r el pod er lum inoso de las lám paras y construya la respectiva curva característica de operación.

b. ¿ Q u é plan de la norm a ISO-3951 se considera equivalente al diseñado en a?

28. Un proceso produce con las siguientes especificaciones: 28,9 ± 2,5 cm. Se som eten a inspección 70 unidades en forma normal utilizando un Nivel II y un A Q L de 2 ,5 % para am bos límites especificados.

a. ¿ C u á l es el plan de m uestreo?

b. ¿ C u á l es la decisión de inspección si la muestra origina la información del C uadro 6.53?

CUADRO 6.53. Información para el Ejemplo 28 b) (')

Muestra # Valor

1 30,12 30,03 27,84 24,55 28,06 28,57 29,98 32,29 31,0

10 26,411 26,512 27,013 27,714 28,815 28,1

(■) Tome los valores necesarios en forma vertical y ordenada.


29. El m ínim o contenido de un frasco de cacao en polvo es de 980 gram os. Se recibe un lote de 60 frascos.

a. ¿C u á l es el plan de muestreo por usar si se utiliza el Nivel II, inspección normal y A Q L igual a 2 ,5 % ?

b. ¿ Q u é criterio de aceptación o rechazo se obtiene si la muestra genera los valores presentados en el C u a d ro 6.54?

c. R esuelva gráficamente.

CUADRO 6.54. Información para el Ejemplo 29 b) (')

Muestra # Valor

1 9752 9653 9834 9895 9956 10007 9688 10009 1050

10 96811 97212 87613 112314 99915 1029

( ') Tome los valores necesarios en forma vertical y ordenada.

30. U n proceso produce un artículo cuya especificación es 25,8+4,1 cm . Este proceso tiene una capacidad 6 o ’ de 10,8 centím etros y está centrado.

a. ¿ C u á l sería una nueva tolerancia si el A Q L varía a 6 % ?

b. ¿C u á l sería una nueva tolerancia si el A Q L varía a 0 ,5 % ?


31. La especificación de longitud para un determinado producto es de 75,3±8,1

centímetros. Un lote de 800 unidades es recibido para inspección, usando Nivel II, inspección normal, A Q L = 1 ,0 % p a ra e l límite superior y A Q L = 1 ,5 %

para el límite inferior.

a. ¿C uá l es el plan de muestreo que se debe usar?

b. ¿Q u é probabilidad de aceptación tiene un lote que tiene un 2 % de pro

ducto no conform e con especificaciones?

c. ¿ Q u é calidad debe tener un lote para que tenga una probabilidad de aceptación del 9 6 % ?

d. Sim ule la inspección generando valores aleatorios que estén com pren

didos entre 67 cm y 83 cm.

e. Resuelva la parte d) gráficamente

32. La resistencia máxima de un componente es 5985 psi y la mínima 4365 psi. Si un lote de 500 unidades es som etido a inspección usando A Q L = 2 ,5 %

para límite inferior y A Q L = 1 ,5 % para el superior


b. ¿ Q u é probabilidad de aceptación tiene un lote que tiene un 2 ,2 % de

producto no conform e con especificaciones?

c. ¿ Q u é calidad debe tener un lote para que tenga una probabilidad de

aceptación del 9 1 % ?

d. Sim ule la inspección tom ando los valores que necesita de tal m anera

que estén com prendidos entre 5900 y 4300 psi.

33. En la inspección de resistencia a la tracción de un cierto alambre se utiliza com o especificación el valor 68±6 libras. Se reciben para inspección lotes

de 2 50 unidades, usando inspección norm al y Nivel II. S e usa adem ás

A Q L = 1 ,5 % para el límite superior y A Q L = 2 ,5 % para el superior.

a. ¿C uá l es el plan de muestreo por el método de la desviación estándar?

b. ¿C uá l es el plan de muestreo por el m étodo del intervalo?


c. ¿ Q u é probabilidad de aceptación tiene un lote que tiene un 1 ,8 % de producto no conform e con especificaciones? R esponda para am bos métodos.

d. ¿ Q u é calidad debe tener un lote para que tenga una probabilidad de aceptación del 9 0 % ? R esponda para am bos métodos.

e. Analice por am bos m étodos la m uestra que se presenta en el C uadro6.55 y establezca el criterio de aceptación o de rechazo.

CUADRO 6.55. Información para el Ejemplo 33 (")

Muestra # Valor Muestra # Valor

1 63 16 642 64 17 663 64 18 664 69 19 655 70 20 686 64 21 697 69 22 678 75 23 659 69 24 74

10 67 25 6811 66 26 6612 72 27 7613 64 28 6714 70 29 6715 72 30 77

( ') Tome los valores necesarios en el orden acostumbrado.

34. E n un proceso de fabricación se han establecido especificaciones de longitud de 65,3 ± 5,9 cm para el corte de unas piezas. La desviación estándar de esta longitud es conocida y es o=2,1 cm. Se reciben lotes de 50 piezas y se usa Nivel II, inspección norm al y A Q L = 2 ,5 % para el límite superior y A Q L = 1 ,5 % para el límite inferior.


a. Analice una m uestra del tam año que corresponde a las condiciones y obtenga los valores respectivos por simulación.

b. Si los últimos 32 lotes que se han recibido han tenido las decisiones de aceptación y rechazo presentadas en el C ua d ro 6.56, ¿cuál es la diná

m ica de la inspección? Indique si la información es suficiente, si no lo es, presum a lo que sea necesario y siga adelante.

CUADRO 6.56. Información para el Ejemplo 34 b)

# Decisión # Decisión # Decisión # Decisión

1 A c 9 Re 17 Re 25 Ac2 A 10 Re 18 A 26 Ac

3 Ae 11 Ac 19 A 27 Ac

4 A c12 Ac 20 Ac 28 Ac

5 A 13 A 21 A 29 Re

6 A c14 A„ 22 A 30 Ac

7 A c 15 A 23 A 31 A8 R 16 Ac 24 AC 32 A

35. D ise ñ a r un plan de m uestre o para atributos, uno para variables y uno secuencial que cum plan con las siguientes condiciones:

a. Riesgo del productor (a ) = 6 %

b. Riesgo del consum idor (P) = 9 %

c. Nivel de calidad aceptable (A Q L ) = 1 , 8 %

d. Porcentaje de producto no tolerado en el lote (P N C T )= 7 ,2 %

Dem ostrar que esos planes son equivalentes.

36. Realice en una em presa un proyecto que involucre un estudio de características de calidad medibles enum erando las ventajas y desventajas de la

aplicación de esta técnica.


37. Si los últimos 40 lotes que se han recibido en un puesto de inspección de recepción, han tenido las decisiones de aceptación y rechazo presentadas en el Cuadro 6.57, ¿cuál es la dinámica de la inspección? Indique si la información es suficiente, si no lo es presum a lo que sea necesario y siga a delante.

CUADRO 6.57. Información para el Ejemplo 37

Decisión Decisión Decisión Decisión

1 A 112 Ac 12

3 A c 13

4 A c 14

5 \ 156 A 16

7 A c 17

8 R e 18

9 Rl 1910 r 'e 20

R

ReA<A c

AcAAcAcA cA„

21 R,22 A<23 A<24 A<25 A26 A27 Ai28 A29 R,30 R,

31 A32 A33 A34 A,35 R36 K37 A38 A39 A«40 A

38. Escoja en una em presa industrial un producto determ inado y elabore un M anual de inspección.

39. E n los problem as 2 8 , 2 9 , 3 1 , 3 2 y 33, contestar las siguientes preguntas:

a. ¿C u á l es el riesgo del productor?

b. ¿C u á l es el riesgo del consum idor para P N C T = 6 % ?

40. U n producto tiene una carga de rotura mínima de 1500 kilogramos. El valor del A Q L es de 0 ,1 0 % . S e desea cam biar a A Q L = 1 ,5 % . ¿C u á l es el nuevo valor de la carga de rotura m ínim a si la media aritmética es de 2014 kilogram os? Indique sobre qué prem isas resuelve el problem a.

Capítulo VII

ASPECTOS GENERALES DE LA ADMINISTRACION

DE LA CALIDAD

L a adm inistración de la calidad es la disciplina que se encarga de la organización, coordinación, planificación, ejecución y control de todas las actividades que permiten el cumplimiento de las políticas de calidad. Estas se basan en el cumplimiento de los requerimientos y necesidades del cliente o usuario.

Ta l y com o es evidente en la anterior definición esta labor es com p le ja y requiere de re cu rso s h u m a n o s, m ateriales y económ icos y sobre todo de motivación y conciencia basada en un amplio conocimiento de lo que es un sistem a de control de calidad total.

D e a cu e rd o con lo p la n te a d o en el C a p ítu lo I de este libro, el control de la calidad de un producto o servicio es una tarea que atañe a todos los niveles je rá rquicos de la organización. Bajo este esquem a, la organización y administración de las actividades requeridas para cumplir con el objetivo básico de satisfacer al cliente es un reto que se torna com plejo y que exige entre otras cosas:

• Coordinación entre los distintos departam entos de la em presa, en busca de metas com unes.


• Motivación y estímulo al personal para que adquiera conciencia de calidad y que por lo tanto coopere ejecutando sus actividades cada día mejor. Esto debe conllevar a un m e jo ra m ie n to c o n tin u o .

• Búsqueda de resultados tangibles, los cuales se han de obtener respetando las líneas de autoridad y evitando al m áximo la fricción entre los grupos de trabajo.

• Definición clara y concisa de funciones, responsabilidades y procedim ientos con el fin de lograr los objetivos, y evitar duplicación de funciones y a m bigüedad en las órdenes.

C o n el fin de lograr lo anterior se deben establecer m anuales de procedimiento, en los que se definan los alcances y limitaciones de quienes tienen la responsabilidad de velar por la calidad del producto tanto en la planta com o en las m anos del cliente.

ORGANIZACION DE LA FUNCION CALIDAD

El éxito de los program as de calidad en la em presa depende de la forma en que las diferentes actividades son organ izad as. Lógicam ente, esto refleja la m anera en que la función calidad se concibe en el marco de la estructura jerárquica de la em presa.

El problem a es que la em presa en los últimos años, debido a la crisis e conóm ica, se ha preocupado m ás por la búsqueda de capital de trabajo de gran solidez y crecimiento, que por ei establecimiento de políticas y controles que las regulen y garanticen su cum plim iento. Ante esta situación, el em presario ha desviado su atención hacia los problemas económ icos, pues cree que administrar la calidad es un costo innecesario y no una inversión.

En cuanto a control de calidad, una buena cantidad de em presas continúan creyendo en la concepción errónea de basar sus esfuerzos únicamente en inspección de producto, con lo que el cam po de acción se encuentra totalmente limitado. P or ello, se encargan las funciones de calidad a departam entos de producción cuya motivación se centra en cumplir con los requisitos de cantidad sin preocuparse por la calidad, con lo que, la tarea de control se limita a simples inspecciones correctivas de proceso y materias primas.


En otras em presas se tiende a dar autonom ía a la función calidad, lo que pareciera la mejor opción cuando los altos niveles jerárquicos han fijado políticas claras y eficaces.

De lo expresado anteriormente, se puede concluir que en la evolución de la em presa industrial se pueden enm arcar cinco form as de organización para la calidad que dependen de las necesidades, tamaño y cantidad de productos que se tengan en cada em presa. Estas son:

1. Supervisión organizada

E n este caso no existe una organ ización clara de la función calidad y lo poco que se realiza recae sobre el supervisor de la línea y los operarios respectivos. Para que esta forma funcione con éxito, el nivel de motivación y conciencia hacia la calidad en los niveles operativos debe ser m uy alto.

2. Inspección organizada

En este caso se tiene un grupo de inspectores cuya función es verificar la calidad de los productos suministrados por las líneas de producción y dar recom endaciones sobre m edidas correctivas y preventivas. La decisión final es del encargado de producción. En esta forma de organización los resultados dependen del grado de conciencia y m otivación que tenga el supervisor de producción, de lo contrario la inspección es infructuosa. El funcionamiento adecuado se da a través de una amplia coordinación y com unicación entre supervisores e inspectores. Esta form a tiene varios niveles que van desde el nivel simple de inspección final de producto hasta el nivel de inspección por etapas, en los puntos críticos de calidad en las líneas de producción.

3. Función calidad formando parte del Departamento de Producción

En realidad, este es el primer caso en el que se da una verdadera organización para la calidad; sin em bargo, su desem peño será fructífero si existe com unicación, coordinación y conciencia entre las funciones de producción y calidad. A pesar de lo anterior, este m odelo de organización no es adecuado, pues el personal de producción cumpliría el papel de “juez y parte” en cuanto a calidad

CONTROL DE CALIDAD

de lo producido se refiere. E n estas situaciones, el objetivo de cum plir con la cantidad de producción planeada se im pone sobre la calidad de lo producido. U na form a de resolver esto, es convertir el control de producción en una tarea cuyo objetivo sea la entrega de la cantidad, en el lugar y en el tiempo pactado y con la calidad requerida. Las posibilidades de crecimiento y expansión de actividades para la función calidad son absolutam ente limitadas.

4. Función de calidad autónoma

La autonom ía para el desem peño de las actividades brinda a este tipo de organización grandes probabilidades de éxito. Esta organización puede funcionar en varios niveles que van desde una inspección de proceso y materia prima organizada hasta el enfoque de calidad total, donde un gerente de calidad asume la función de coordinador y promotor de las tareas de control de calidad. Si se trabaja bajo el esquem a de inspección de proceso, se debe tener una amplia coordinación con la G erencia de Producción para tener éxito en la consecución de objetivos de calidad.

5. Autocontrol

Esta es la form a de organización en donde el control de calidad recae sobre el operario. Bajo este concepto, el operario se convierte en inspector de su propio trabajo, planificando sus actividades de tal m anera que la probabilidad de producir fuera de especificaciones sea lo m ás baja posible.

Ta m b lé n existen m odelos de organización novedosos aplicados por culturas orientales, en especial la japonesa, los cuales están basados en una amplia capacitación, motivación y conciencia de los mandos operativos con el fin de que se conviertan en inspectores de su propio trabajo. Este concepto se basa en la filosofía de que e l trabajo de una persona es e l re fle jo de su ca lidad hum ana. A dem ás, existe una amplia cooperación de los niveles gerenciales para brindar los recursos necesarios para que cada em pleado cum pla con sus funciones.

Esta forma de pensamiento originó los llamados Círculos de Calidad que son grupos de m ejoram iento cuyo objetivo es solucionar los problem as de ca lidad, que se presentan en una línea de producción con el fin de desarrollarse en su ca m p o y que com o co n se cu e n cia se m ejoren los niveles de calidad y


productividad de la organización. Es decir, el objetivo primordial es la búsqueda del mejoramiento hum ano y no el mejoramiento técnico o tecnológico. Este último debe ser un resultado pero nunca el objetivo.

Este m ovim iento tom ó m ucho auge en La tino am é rica en la d é c a d a de 198 0 -1 9 9 0 y se pueden citar ejem plos de éxito y de fracaso. Los fracasos se han originado en m uchas razones, cuatro de las m ás importantes son:

1. Falta de planeamiento. La m ayor parte de estos fracasos han sido producto de una improvisación total.

2. Falta de un diagnóstico que evalúe las debilidades y fortalezas de la organización para la aplicación de la nueva forma de trabajo,

3. Planteam iento erróneo de objetivos, generalm ente basados en logro de mejores niveles de productividad y no en la búsqueda de realización del ser hum ano.

4. Falta de un proceso de adaptación, tiempo de transición, para cam biar de un estilo a otro (resistencia al cam bio).

E s evidente que para obtener buenos resultados con Círculos de Calidad, se deben hacer las adaptaciones necesarias a la forma de vida e idiosincrasia de nuestros pueblos.

E s importante hacer una evaluación de la estructura jerárquica de la organización, para determ inar si es posible adaptar cualquiera de los dos últimos modelos, pues son los que brindan la mejor posibilidad de lograr el cum plim iento de los requerimientos del cliente.

FUNCIONES DEL GERENTE DE CALIDAD

El gerente de control de calidad, independientemente del tipo de organización de calidad a que pertenezca, debe ejecutar una serie de actividades clásicas. A lgunas de las m ás importantes son:

1. Establecer controles en las diferentes etapas de fabricación. Es de absoluta importancia asegurar la calidad de las partes y productos desde la prim era operación de producción. Nada se logra detectando fallas cuando el

producto ya ha sido terminado.


2. Im plantar m étodos de control correctivo y preventivo en la inspección de

entrada de materiales y materias prim as, en los puestos de trabajo, en la inspección de producto en pro ceso y en la inspección de producto terminado.

3. Identificar las características críticas de calidad y clasificarlas de acuerdo con la gravedad en el incumplimiento de especificaciones.

4. Especificar los niveles de calidad y los métodos de muestreo para el control

y aceptación de materias primas y producto terminado.

5. Coope rar con el departam ento de Ingeniería y Producción en el establecimiento de norm as de calidad.

6. Desarrollar las instrucciones y m anuales de inspección de calidad.

7. Desarrollar planes de evaluación de la calidad de proveedores.

8. Desarrollar formatos para recolección y análisis de información.

9. Especificar el equipo de inspección y de ensayo que debe ser usado en la verificación de calidad.

10. Desarrollar nuevos m étodos y técnicas de ensayo que garanticen aún m ás la representatividad de los datos recolectados.

11. Desarrollar el program a de verificación y calibración de la instrumentación.

12. Efectuar estudios especiales tales com o certificación, auditorías y análisis de capacidad de proceso.

13. Investigar a fondo los problem as de calidad cuando se presenten.

14. Coordinar el establecimiento de m ecanism os que permitan la recolección y análisis de quejas y devoluciones.

15. Efectuar estudios económ icos que permitan conocer los costos de calidad.

16. Coordinar con Producción la mejora de todas aquellas áreas en las líneas que sean causantes de problem as de calidad.

17. Im pulsar las investigaciones que conlleven a conocer cada día m ejor los requerimientos del cliente.


18. P ro m o cio nar la capacitación perm an ente del personal a su cargo y del personal de producción

19. Proporcionar información a Mantenimiento con el fin de que ellos desarrollen adecuados program as de mantenimiento y lubricación.

20. Coordinar a nivel de la em presa todas las acciones que se establecen en el Program a de calidad total.

Estas actividades son necesarias para tener un program a que se acerque a un control de calidad total. La ejecución exitosa de estas acciones depende de la motivación que exista para hacer el trabajo cada día mejor.

PREVENCION DE PRODUCTO FUERA DE ESPECIFICACIONES

La cantidad de producto que no cum pla con lo especificado puede ser controlada mediante m étodos que se dediquen a atacar las causas. Para ello, se deben investigar las fuentes y establecer m edios de control que garanticen la reducción y si es posible la eliminación de defectos o productos no acordes con especificaciones. En este estudio se pueden determ inar varias fuentes, entre las principales se encuentran:

1 ." 'É rro re s de diseño. E s posible que no se tengan en cuenta limitaciones de fabricación, las cuales salen a relucir al producir.

2. Materiales inapropiados. Falta de com unicación interna adecuada y externa con proveedores puede ocasionar la com pra de materiales que no llenan las expectativas de fabricación.

3. Fallas de producción

a. Falta de entrenam iento

b. Mantenimiento inefectivo

c. Condiciones ambientales desfavorables (temperatura, humedad, ven

tilación, etc.)

d. Problem as de organización de la producción cuando no se le ha puesto especial importancia al establecimiento de m étodos adecuados para:


• Distribución de planta

• Métodos de trabajo

• Inventario en proceso

• Balance de líneas

• Control de producción

• M anejo de materiales

4. Sistem as de distribución y transporte Inadecuados

Para tener éxito en esta tarea de prevención es importante aplicar un procedim iento tal y com o se anota a continuación:

1. Priorizar los problem as de calidad encontrados.

2. Realizar un diagnóstico para identificar las causas de los problemas detectados en 1.

3. A b aliza r la información obtenida del diagnóstico.

4. Establecer los m edios y las estrategias para la eliminación de defectos y condiciones que no permiten que el producto cumpla con especificaciones.

5. Aplicar las soluciones encontradas en 4.

6. R e visa r la eficacia de las solucio nes y h acer los ca m b io s que sean n e cesarios.

E s importante que en el diagnóstico participen personas que tengan un amplio conocimiento de los procesos y productos, pues solo así tendrán amplia participación en la búsqueda de posibilidades de solución. La colaboración de personas ajenas a la em presa es de gran valía, pues ellos pueden observar situaciones ano rm ales, difíciles de ser o b s e rva d a s por el personal de planta, pues están acostum brados a convivir con ellas.

La ejecución de actividades para la prevención de problem as son de gran importancia pues:

1. Aportan teorías sobre las causas asignables de los problem as encontrados.

2. Permiten hallar problem as generados por una problem ática anterior.


3. Perm iten investigar acerca de la cooperación que ofrecen las personas involucradas en la fabricación del producto.

4. A yu d a n a co n o ce r el am biente de trabajo y las fuentes de resistencia al cambio.

5. A yu d a n a establecer la autoridad necesaria para ejecutar los m edios de control.

6. Favorecen la investigación de causas que provocan los problemas graves de calidad.

7. Permiten integrar a personas en el estudio de la problem ática de calidad del producto.

Si se plantea un adecuado sistema de control del producto fuera de especificaciones, se tendrá un camino ganado en la lucha por incrementar el nivel de calidad del producto.

COORDINACION Y CONTROL

Según el enfoque m oderno de control de calidad, es imprescindible tener una adecuada coordinación de actividades entre todos los departamentos de la em presa, con el fin de cum plir con las políticas de calidad, planteadas a nivel gerencial. Estas políticas son lineam ientos claros y concisos que reflejan las intenciones y com prom isos de la alta dirección, para enfrentar el reto de entregar un producto acorde con lo requerido por el cliente.

Para tener una idea de cóm o tiene que ser la coordinación se puede com parar la función calidad con la función financiera. Para lograr éxito en la función financiera uno de los instrumentos más útiles se llama presupuesto. A través del presupuesto se coordina con cada departam ento la ejecución de actividades, buscando un adecuado balance entre egresos e ingresos usando un control centralizado.

La función calidad debe operar en forma parecida aplicando instrumentos llamados program as y ejecutando auditorías que investiguen si las actividades y los procedim ientos se están llevando a cabo de acuerdo con lo planeado. A d em ás, se cuantifican los beneficios con el fin de com pararlos con los costos y sacar conclusiones acerca de la rentabilidad de la inversión.


El éxito de esta coordinación está en la motivación y conciencia hacia la calidad que tengan todos los departam entos de la em presa. Por ejemplo:

• Producción para la fabricación del producto que reúna los requisitos del diseño.

• Ingeniería para el desarrollo de productos que se acerquen a los requerim ientos del cliente.

• Ventas para la promoción de producto e investigación del grado en que el producto cum ple con lo requerido por el cliente.

• Compras para la adquisición de materias primas que reúnan los requisitos de fabricación.

• Personal para seleccionar el personal idóneo y generar eficientes program as de capacitación y entrenamiento.

• Inspección para realizar una verificación apegada a las buenas reglas y prácticas dictadas en los m anuales.

• Mantenimiento para establecer planes eficientes de mantenimiento preventivo y correctivo que minimicen fallas en las m áquinas.

• Distribución y servicio para no pro vocar daños al producto en el transporte del m ismo y para brindar un servicio eficiente y en el m om ento requerido, al cliente que detecte fallas de calidad en el producto.

C o m o se puede ver cada función de la em presa tiene que poner su granito de arena en el logro del objetivo de calidad. Para lograr ello, se debe establecer un sistem a de información que permita una amplia com unicación entre los diversos com ponentes de la organización.

Este sistema de información debe permitir que datos actualizados de diseño de producto, control de proceso, control de materiales y materias prim as y control de producto terminado vayan por los canales adecuados y lleguen a las instancias que necesitan de información veraz para la tom a de decisiones.

ECONOMIA DE LA CALIDAD

La econom ía de la calidad tiene dos enfoques uno es el enfoque de la ca lidad de concordancia (dentro de la em presa) y el otro es el de calidad de diseño (fuera de la em presa).


La calidad de diseño es aquella que garantiza que el producto que se va a fabricar, satisface realmente los requerimientos del consumidor. Ta l y com o se explicó en el Capítulo III, aquí se traducen las necesidades del cliente en especificaciones técnicas.

E n la calidad de diseño se tom an en cuenta el valor de la calidad para el consum idor, en términos del grado en que éste satisface sus necesidades, y el costo de calidad necesario para garan tizar ese valor. El costo de calidad se increm enta conform e aum enta el grado de conform idad del consum idor y su pendiente crecerá indefinidamente en el m om ento en el que el grado llegue a ser m áxim o. Esto se representa mediante una curva de inflexión.

El valor de la calidad también crece en relación directa con el grado de conformidad, puesto que a m ayor grado de conformidad, m ayor valor de calidad del producto en el m ercado. Sin em bargo, cuan do ese grado es m áxim o, el valor crece con una pendiente despreciable, mientras el costo crece alarmantemente.

P or lo anterior, es de sum a importancia determinar el grado óptimo de conformidad que garantice un máximo valor de calidad a un costo mínimo. La Figura 7. i presenta las curvas que representan al costo y al valor de la calidad.

E n la Figura 7.1 se representan cuatro áreas Identificadas por las letras A ,B ,C y D. Su significado es el siguiente:

Z O N A A

En esta zona, el costo de calidad siem pre es m ayor que el valor de la calidad, lo cual resulta perjudicial. E s importante recalcar que en esta área la em presa le pone poca importancia a la calidad lo que se refleja en el bajo grado de conformidad.

Z O N A B

E n esta zona, el costo de la calidad es inferior al valor de la calidad, lo que evidencia que la em presa le pone m ás atención al problema de calidad. Conform e el grado de conform idad se acerca al grado óptimo, la diferencia entre el costo y el valor se hace m ás grande lo que hace m ás llamativo trabajar con un

grado de conformidad cercano al grado óptimo.


Z O N A C

En esta zona ocurre lo m ismo que en la zo na B, con la diferencia de que el grado de conformidad es m ás alto. Conform e se aleja el grado de conformidad respecto al grado óptimo, la diferencia entre el costo y el valor se hace m ás pequeña lo que hace poco llamativo trabajar con un grado de conform idad lejano al grado óptimo.

Z O N A D

En esta zona, la situación no es beneficiosa puesto que aunque el grado de conformidad es alto, el costo de ese grado de calidad es m ucho m ás alto que el valor que se obtiene. A d e m á s, por m ás que se invierta en calidad el valor perm anece casi constante.

C o m o conclusión, se nota que será siem pre rentable trabajar en la zo n a com prendida entre el punto formado por las zonas A y B y el punto formado por

JORGE ACUNA ACUNA

las zonas C y D. El grado óptimo de calidad se define com o aquel punto para el cual la diferencia entre el valor de la calidad y el costo de calidad es máxim a. Esto demuestra que la producción perfecta (1 0 0 % producción buena), adem ás de ser una meta imposible de alcanzar, no es la opción m ás rentable para una em presa.

C o s to s de calida d

T a l y com o se apuntó antes, una de las tareas claves de la eco nom ía de calidad es la cuantificadón de costos de calidad, pues constituye una forma concreta para evaluar el rendimiento de un program a de calidad en la empresa.

S in e m bargo, son pocas las e m p re sa s que calculan costos de calidad, quizás porque erróneam ente no lo consideran importante o porque, aunque están conscientes de la importancia de conocer este costo, no saben exactam ente cóm o calcularlo.

Al hablar de costos de calidad es evidente, en prim era instancia, que se habla de algo que constituye un gasto más que una inversión. Sin em bargo, hay que^om ar en cuenta que las consecuencias de producto de mala calidad en el m ercado, pueden ser funestas para una com pañ ía, por lo que se debe tener pre se n te que “L A B U E N A C A L ID A D C U E S T A P E R O L A M A L A C A L ID A D C U E S T A M A S ”.

Por lo anterior, se concluye que Invertir en calidad es una excelente inversión, si se tiene una mentalidad triunfadora en m ercados tan competitivos como los de hoy en día.

C o m o es sabido, el costo de producción está com puesto de tres grandes rubros: costo de m ano de obra, costo de materias prim as y costos indirectos. Los costos de m ano de obra son los costos en que se incurre al pagar salarios al personal, para llevar a cabo las tareas de producción en las líneas de producción. Los costos de materia prima son aquellos que se originan por la com pra y mantención de las materias primas y materiales que conforman el producto terminado. Los costos indirectos son todos aquellos costos que no están directamente relacionados con la fabricación de un producto, pero que son necesarios para dar soporte a las actividades de producción. U n o de estos costos es el costo de evaluación de la calidad, el cual se considera dentro de los costos de


producción, pero que sin em bargo, será evaluado y analizado en forma separada con el fin de cuantificar los beneficios del sistema.

Si se enfoca la calidad com o calidad total, una importante inversión en todas las actividades que conllevan a la consecución del objetivo, puede llevar a una dism inución considerable de los costos de inspección y de los costos de m ala calidad y a un aum ento en el prestigio del producto en el m erca do. Por datos generados por com pañías que llevan registros de costos, se sabe que los costos de la mala calidad representan del 6 0 % al 7 0 % de los costos de calidad, mientras que los costos para evitar problem as son apenas el 1 0 % de ese costo. Para em presas que han im plem entado sistem as de control de calidad, esos estudios m uestran que los costos de m ala calidad se ven considerablem ente reducidos.

Al enfocar la calidad bajo el concepto de sistem a es necesario tom ar en cuenta una serie de costos en que se incurre y que m uchas veces no se consideran com o parte del costo de calidad. Por ejemplo, el costo de brindar servicio al cliente por daños o defectos encontrados durante la operación o uso de un determ inado a rtícu lo .

A continuación se hará una explicación completa de los costos de calidad. La Figura 7.2 presenta una clasificación de los costos de calidad.

C o s to s de capital

Estos son costos atribuibles al esfuerzo por m ejorar la calidad de los prod u cto s y los s e rv ic io s . S e in c lu ye n a q u í toda s a q u e lla s e ro g a c io n e s por

Costosde

Calidad

Costos de capital -

Costos de operación

Costos indirectos

- Depreciación- Interés- Oportunidad

- Prevención- Evaluación- Fallas internas- Fallas externas

FIGURA 7.2. Clasificación de los costos de calidad.


concepto de equipo de m edición, procesam iento de datos, y todas aquellas inversiones que se dan al im plem entar un sistem a nuevo o al revisar uno ya existente.

En realidad, no se tom a en cuenta la inversión en sí, sino la depreciación

del equipo de laboratorio y de m edición, el interés de lo invertido y el costo de

oportunidad de la inversión. Este costo de oportunidad se define com o lo que se deja de percib ir si en lugar de invertir el d inero en el sistem a de control de

calidad, se invierte en otro proyecto o se m antiene depositado en un banco.

C o s to s de o p e ra c ió n

Los costos de operación son aquellos costos en que se incurre para preve

nir y evaluar la calidad de los productos, procesos, materiales, m áquinas y de

m ás recursos que intervienen en el sistema de producción. Estos costos se clasifican en costos de prevención, costos de evaluación, costos de fallas internas

y costos de fallas externas.

Los costos de prevención son aquellos en que se incurre para prevenir la

elaboración de productos defectuosos o fuera de especificaciones y así evitar

que lleguen al consum idor con las correspondientes consecuencias.

Los costos de évaluación son los costos en que se incurre al poner a funcionar el sistema de control de calidad y mantenerlo a lo largo del tiempo. Este

costo involucra las pruebas que se deben hacer a los recursos de producción para inspeccionar la producción de unidades defectuosas o que no cum plen

con la especificación.

Los costos de fallas internas son los costos atribuibles a las fallas de cali

dad encontradas en las líneas de producción y que aún no han salido al m ercado. Los costos de fallas externas son los que ocurren cuando producto defec

tuoso sale al m ercado.

T o d o s estos costos son la base fundam ental del costo de la calidad y se pueden representar según la Figura 7.3. En esta figura, el costo está representado en función del porcentaje de producto que no cum ple con lo especificado,

el cual se tom a com o una m edida del nivel de calidad.


FIGURA 7.3. Representación gráfica de los costos de calidad.

C o m o se puede o b s e rva r en la F igura 7.3 , los costos de pre vención se increm entan conform e aum enta el nivel de calidad (d ism inuye el porcentaje d e fe ctu o so ), m ientras tanto los costos de evaluación y fallas d e cre ce n . La concavidad de la curva de costo total permite identificar un nivel óptimo que no es precisamente cero por ciento de producto no conforme con las especificaciones.

Los costos operativos son los más importantes pues se ha establecido que los costos de prevención representan cerca del 1 0 % de los costos totales, los costos de evaluación el 2 5 % y los costos de fallas del 50 al 7 5 % del costo total de calidad.

Esto deja notar, que la inversión puede considerarse cerca del 3 5 % (sum a de costos de prevención y evaluación) y el beneficio del sistem a cerca del 6 5 % al reducirse considerablemente los costos de fallas internas y externas, al entrar a funcionar las diversas actividades de control.

C o s to s in d ire cto s

E sto s costos son aquellos en que el pro veedor incurre para controlar la calidad de sus productos y que lógicam ente están incluidos en el precio del


producto. Estos costos representan los esfuerzos del proveedor por cumplir con la calidad exigida.

Cálculo de costos de calidad

De los costos de calidad los m ás importantes son los costos de operación. Por ello, es importante fijar un procedimiento que permita el cálculo acertado del costo. Los dem ás costos pueden ser obtenidos de los libros de la com pañía, pues generalm ente constituyen parte de la contabilidad de toda em presa.

El costo total de calidad se puede calcular mediante la siguiente expresión:

C T C = C C A + C P R + C E V + C F I + C F E + C IN

C T C : Costo total de la calidad

C C A : Costos de capital

C P R : Costos de prevención

C E V : Costos de evaluación

C F I: Costos de fallas internas

C F E : Costos de fallas externas

C IN : Costos indirectos

Los valores de los costos de operación deben ser adecuadam ente calculados o recolectados. U na gran ayuda para el cálculo del costo de la calidad es el diseño de un sistema de recolección de Información, que permita cuantlficar los costos conforme se vayan generando.

Para recolectar esta información, se debe tener clara la definición de cada costo con el fin de conocer a qué clasificación pertenece. Para ello, el Cuadro 7.1 presenta un docum ento donde se desglosa cada costo.

U na explicación del tipo de rubros que involucra cada costo es dada a continuación.

Descripción de costos de prevención

Ptaneación de la ca lidades el costo del tiempo que el personal del departam ento de control de calidad o de ingeniería dedica a actividades com o:


CUADRO 7.1. Formato para recolectar costos de calidad

Empresa: XYZProducto: Realizado por:

Periodo:Fecha:

Costos Rubros Montos

PREVENCION(CPR)

1. Planeación de la calidad2. Control de procesos3. Diseño y desarrollo de equipo de inf.4. Entrenamiento5. Evaluación y asesoría de proveedores6. Actividades de prevención por otros7. Otros costos

SUBTOTAL:

EVALUACION(CEV)

1. Inspección de recibo2. Prueba de producto3. Inspección de prodi'Cto4. Inspección por personal directo5. Auditorías de calidad6. Otros costos

SUBTOTAL:

FALLASINTERNAS

(CFI)

1. Desperdicios imputables al proceso2. Reproceso3. Desperdicios imputables al proveedor4. Devolución de producto5. Atención de rechazos6. Soporte de ingeniería7. Otros costos

SUBTOTAL:

FALLASEXTERNAS

(CFE)

1. Reclamos y devoluciones2. Servicio y garantía3. Pérdida de ventas4. Otros costos

SUBTOTAL:

VTOTAL:

y


a. Planeación del sistema de control de calidad. Esto involucra los costos en q u e se in cu rre p o r la p re p a ra c ió n y e v a lu a c ió n de a n te p ro y e c to s y proyectos.

b. Pre paración de instruccio nes para la puesta en práctica de los nuevos m étodos.

c. Diseño de los correspondientes métodos para el control de materiales, proceso y producto terminado.

d. Diseño de los medios que retroalimentarán ingenieros y diseñadores de las fallas en el proceso o en el m ercado.

e. B úsqueda de información de calidad en los diversos departam entos de la organización.

f. Análisis de los problem as diarios con el propósito de evaluar y m ejorar el sistema. Esto no incluye el tiempo dedicado a la atención de problem as en las lín e a s de p ro d u cció n o en las b o d e g a s de m a te ria le s y p ro d u cto s terminados.

Control de procesos es el costo en que se incurre cuando el personal de inspección y administración de calidad se dedica a estudiar y analizar los procesos de producción para establecer los medios que ayuden a incrementar la capacidad de calidad. A lgunos de los costos incluidos aquí son:

a. Apliqación efectiva de las instrucciones del plan de calidad. S e debe dedicar tiempo para verificar las acciones que se están llevando a cabo.

b. M antención de los procesos bajo control. Esto implica las acciones tendientes a lograr que las condiciones adecuadas de calidad se m antengan en el tiempo.

c. Organización y ejecución de auditorías de calidad.

Diseño y desarrollo de equipo de información de la calidad es el costo contabilizado por el tiem po dedicado a la planeación y selección de equipo para pruebas, inspección, control y análisis. Esto no incluye el costo de equipos de medición de producción que se necesitan para la ejecución del proceso, tal es el caso de termóm etros y calibradores.

Entrenamiento es el costo ocasionado por las actividades que tienen com o objetivo entrenar personas en labores de control e inspección. Ejem plo de éste


es el diseño y operación de program as de entrenamiento y actualización de personal de calidad. N o incluye a operarios de producción.

Evaluación y asesoría de proveedores es el costo que se carga al tiempo em pleado por personal de calidad en auditorías de evaluación de calidad en planta de proveedores. Estas auditorías son asesorías a los sistem as de calid a d de los p ro v e e d o re s , co n el fin de s u p e ra r los n iv e le s de c a lid a d s u ministrados.

Actividades de prevención por otros es el conjunto de costos originados por el trabajo de prevención ejecutado por otras dependencias de la organización, tales com o Ingeniería, C o m pra s y Diseño de producto.

Otros costos de prevención. S e incluyen aquí los costos Indirectos y adm inistrativos generados por actividades de prevención tal es el caso de secretarias, materiales y papelería de oficina, teléfono y viajes.

Descripción de los costos de evaluación

Inspección de recibo es el costo asociado con el tiem po dedicado por el personal de inspección a la evaluación de calidad de materias primas y materiales. S e incluyen aq u í las pruebas efectuadas por otros depa rtam entos de la organización com o soporte para la Inspección de recibo. Incluye el costo de visitar al proveedor con el fin de evaluar calidad en su planta.

Prueba de producto es el costo de las actividades cuyo objetivo es probar el funcionam iento de nuevos productos com parando con la especificación.

Inspección de producto es el costo del tiempo necesario para inspeccionar la calidad de lo producido en las líneas de producción, con el fin de decidir su rechazo o aprobación. Si las pruebas son destructivas, entonces, se debe considerar el costo de las piezas ensayadas.

Inspección p o r pe rsona l d irecto es el costo del personal que ejecuta las pruebas y reporta las condiciones del proceso.

Auditorías de calidad com prende el costo del tiempo y recursos necesarios para organizar y ejecutar las auditorías que evalúan el comportamiento de com ponentes y partes. Incluye el tiempo dedicado a pruebas de fiabilidad.

JORGE ACUNA ACUNA 62S

Otros costos incluyen los costos indirectos generados por las actividades de inspección y prueba tales com o:

a. Preparación y com pra de reactivos y materiales de prueba necesarios para la realización de pruebas de calidad.

b. C o m p ra de m ateriales de p rue ba para estudios de v id a útil y prue bas destructivas.

c. Pruebas de evaluación hechas por laboratorios privados.

d. Mantenimiento y calibración de equipos de laboratorio.

En estos costos no deben incluirse costos generados en desarrollo de producto, pues éstos pertenecen a costos de diseño de producto.

Descripción de ios costos de fallas internas

Desperdicios im putables a la fábrica son costos generados dentro de la planta debido a desperdicios ocasionados por errores de diseño, de m ano de obra o de falta de capacidad de calidad de los equipos y m áquinas. N o incluye costos por el desperdicio natural.

Reproceso son costos ocasionados por el reproceso debido al incum plimiento de las norm as de calidad.

Desperdicio y reproceso imputables a l proveedor son costos ocasionados por la no detección de materias primas y materiales que no cum plían los requerimientos de calidad y que al llegar al proceso causan problem as de desecho o reproceso.

Devolución de producto es el costo ocasionado por reproceso o desperdicio de producto, rechazado por el consum idor.

Atención de rechazos de materiales com prados es el costo administrativo ocasionado por el rechazo de lotes. Incluye:

a. Presentación de las quejas y entrevista con el proveedor.

b. M anejo y transporte de lo rechazado.

c. Papeleo y trabajo de oficina ocasionado.


Soporte de ingeniería es el costo del tiempo dedicado por los ingenieros de diseño o de producción a problem as g e nerado s por recha zo s de m ateriales com prados y productos sem ielaborados o terminados.

Otros costos de fallas internas incluyen los costos indirectos generados por el re cha zo de m ateriales o el reproceso y desperdicio de producto sem iela - borado o terminado.

Descripción de los costos de fallas externas

Reclam os y devoluciones es el conjunto de costos ocasionados en forma directa por atención y arreglo de fallas detectadas por el consum idor dentro y fuera del período de garantía. Incluye el costo de sustitución de producto y los costos ocasionados por dicha sustitución.

Servicio y garantía es el costo generado por la constante retroalimentación del com portam iento del producto en el m ercado.

Pérdida de ventas es el costo m ás difícil de calculai, pues está determ inado por la pérdida de ventas ocasionada por la mala fama que toma el producto, cuando las fallas son detectadas por el consum idor.

Otros costos incluyen los costos indirectos generados por los estudios realizados para investigar el comportamiento del producto en el m ercado. Algunos de estos costos son documentación, papeleo, teléfono y costos indirectos ocasionados por la sustitución de producto defectuoso.

LA INVERSIÓN EN CALIDAD

U n o de los aspectos m ás difíciles de lograr es la obtención de dinero suficiente para poner a funcionar el sistem a. Esto es debido a la form a en que el em presario concibe la calidad. Por ello, es absolutamente necesario que el proyecto de calidad sea bien preparado para que tenga aceptación desde el inicio.

El diseño de un sistema de costos com o el presentado aquí puede ser una excelente arm a para convencer, pues es absolutam ente necesario cuantificar los beneficios y los costos con el fin de convencer acerca de la eficacia de cualquier sistema.


U n o de los aspectos que más preocupa al empresario, al hablar de un sistema de calidad, es la inversión inicial y el tiempo estimado de amortización de esa inversión. La respuesta a esta pregunta debe ser cuidadosam ente preparada.

S e pueden plantear m uchos ejemplos de casos que presentan situaciones de inversión. El siguiente ejemplo es un problema típico de un caso de inversión en calidad.

EJEMPLO 7.1

U n a planta manufacturera produce 600 unidades diarias para obtener 400 unidades buenas. Los costos de m ano de obra son de P240 por unidad buena producida y el costo de inspección es de 01200 por día. El producto pasa por dos departam entos en los cuales requiere de igual cantidad de tiempo de producción. U na inspección es practicada después de su salida del segundo departamento. Las 200 unidades defectuosas son reprocesadas por lo que vuelven a la primera operación del proceso com o materiales cuyo costo es similar al

de los materiales originales em pleados.

Un nuevo plan de inspección es propuesto con el fin de agregar un puesto de inspección intermedio a la salida del prim er departam ento, para evitar que defectuosos pasen a procesarse al segundo departam ento. El plan agregará costos de inspección de (5150 por día. S e espera una fracción defectuosa de 1/6 de la cantidad producida (otro sexto es rechazado en la inspección final). Si la capa cid ad de la planta está limitada al actual nivel, ¿ d e b e ser instalado el

nuevo puesto?

SOLUCION

De acuerdo con lo planteado el nuevo puesto de inspección no mejorará la capacidad de calidad del proceso. Sin em bargo, los costos de mano de obra se verán reducidos por la disminución en la cantidad de reproceso requerido. U n

esquem a que representa al problem a se puede ver en la Figura 7.4.

Los costos de m ano de obra se dividen para las dos secciones, de tal m a

nera que:

CONTROL DE CALIDAD

200 unidades rechazadas

400 unidades 600 us. 600 us. I 400 us. buenas

(materiales) Sección 1 Sección 2 Salida

Comienzo Inspección(1/3 rechazado)

FIGURA 7.4. Esquema del Ejemplo 7.1.

(400 * 240)C o sto de m ano de obra = ------------------------- = 96000/2 = 048000

por sección 2

Esto es 080 (48000/600) por unidad procesada.

Si se desea tener 400 unidades por día, la entrada al sistem a cuan do un sexto es rechazado en cada sección es:

X * (5/6) * (5/6) = 400 x= 576 unidades

Esto quiere decir que solamente 576*(5/6) = 480 unidades pasan de la prim era sección a la segunda.

A 080 por unidad procesada, el ahorro en costo de m ano de obra es:

(400 * 240) - (576 + 4 8 0 ) * 80 = 011520 por día

Si el flujo se mantiene en el nivel m áxim o de 600 unidades, entonces:

600 * (1/6) = 100 unidades serán rechazadas en el prim er puesto de inspección

y

(600 - 1 0 0 ) * (1/6) = 83 unidades serán rechazadas en el segundo puesto.

C o n esto, la cantidad de unidades de entrada es igual al de salida (600 - 100 - 8 3 )= 417 unidades por día. Bajo esta premisa los costos de m ano de obra a 080 por unidad se dism inuyen en:

11520 - (5 7 6 -5 0 0 )+ (4 8 0 -4 1 7) * 80 = 139 *80 = 011520 - 011120 = 0400.

A d e m á s , hay que agregar el increm ento de utilidad al producir ahora 17 unidades más.


La inversión es de 0150 por lo que los beneficios (0400) son más altos que los costos. La decisión es instalar los nuevos puestos de inspección.

En el Apéndice V, el Program a No. 2 presenta un program a computacional que permite evaluar aspectos relevantes de costos de calidad. El program a sirve para dem ostrar la importancia de cuantificar costos y evaluar su impacto en el sistem a de control de calidad.

INDICADORES DE CALIDAD

Al administrar cualquier función dentro de la em presa, es necesario establecer algunos indicadores que permitan evaluar la función del personal encargado y la efectividad de los sistemas implementados. Este es el caso de costos de calidad.

Al trabajar con Indicadores una base u objetivo debe ser establecida com o política, con el fin de tener un patrón de com paración y a la ve z poder determinar cuál es la posición del indicador en ese momento. Esta base es un valor del indicador que sea posible de alcanzar y que debe ser revisado constantemente.

B a s e s de c o m p a ra c ió n

Las bases que m ás com únm ente se usan para com parar son:

a. Producción total y costos de esa producción

b. Costo de m ano de obra directa y ventas totales

c. Costo por unidad de producción equivalente

Algunos indicadores de calidad que pueden ser usados son:

1. Porcentaje defectuoso por lote o por período (lpd)

Total de unidades defectuosas

'* = -Ta m a ñ o del lote

Total de unidades defectuosas

Costo de la producción en el período

CONTROL DE CALIDAD

2. R echazos en la planta (lr)

Total de unidades rechazadast,= -------------------------------------------------------------------------------------------


3. Reproceso ( I J

Cantidad de unidades reprocesadas

l,e=---------------------------------------------------------------------Costo de la producción en el período

4. D esecho (ld)

Cantidad de producción desechadald= ------------------------------------------------------------------------------------------


5. Q ue ja s y reclamos (lqr)

Costo de las quejas y reclamosI =---------------------------------------------------------------q'

Monto de ventas totales

6. Costo s de calidad (lcc)

C ostos de calidad

'c c = ------------------------------------------------------------------------------------------------------Costo total de producción

7. Devoluciones (ldv)

Costo de las devoluciones

'* = -----------------------------------------------------------------------------------------M onto de ventas totales

8. Costo de inspección por unidad equivalente (lcut

Costo de inspección en el período

^cue“Total de producción equivalente

9. C ostos de evaluación y prevención (lcp)


Costo s de evaluación y prevención I ------------------------------------------------------------------------cp

Costos de fallas internas y externas

10. Costos de evaluación (lce)

C ostos de evaluación I = -------------------------------------------------------------------------------------------------------ce

C ostos de calidad

11. Costos de prevención (lp)

Costos de prevención

IP= -------------------------------------------------------------------------------------------------------Costos de calidad

C o m o se puede observar, cada indicador necesita de la recolección de inform ación para calcular los diferentes rubros, con el fin de obtener el respectivo valor del indicador.

U n a de las form as que se usa m ás es la basada en producción equivalente. El siguiente ejem plo explica su utilización.

E J E M P L O 7.2

S e a una em presa cuyos montos correspondientes a ventas, materiales y producción por año se presentan en el Cuadro 7.2.


Producto

Colones Unidades

Monto ventas Mats. directo Vol. Producción

1 500000 100000 10000

2 25000 60000 5000

3 75000 20000 8000


Calcular el costo de inspección por unidad equivalente si los costos de inspección se estiman en 061000.

SOLUCION

C o n base en el C uadro 7.2, se prepara el Cuadro 7.3, para calcular la producción equivalente usando el valor contribuido, la unidad de valor contribuido y un factor de corrección. Estas m edidas se calculan así:

V alor contribuido= M onto de Ventas - Material directo

V alor contribuidoU nidad de valor contribuido=----------------------------------------------------------------

Volum en de producción

Unidad de valor contribuidoF a c to r= -----------------------------------------------------------------------------------------------

M áxim o valor de unidad de valor contribuido

Producción equivalente= Factor * M áxim o volum en de producción

61000Costo de inspección por = -------------------- = <52,875

unidad equivalente 21220

Esto quiere decir que el costo de la inspección representa 02,875 de la producción total equivalente. C o n este núm ero se está en capacidad de con ocer

CUADRO 7.3. Cálculo de la producción equivalente

Producto ValorContribuido

Unidad de valor Contribuido

Factor de Corrección

ProducciónEquival.

1 400000 40 1 100002 190000 38 0,95 95003 55000 6,875 0,172 1720

21220


qué tan altos son los costos de calidad en relación con la cantidad de producción obtenida.

Los indicadores pueden graficarse para analizar la tendencia y el com portamiento en el tiempo, cuando se tiene información de varios meses. Para esto, se usa un gráfico de control basado en los siguientes valores:

n: núm ero de m eses x: valor de indicador

x: promedio de indicadores o ’ = ( X má x - X m í n ) / 6 o ’: desviación estándar

L S C = x + 3 o L S C : Límite superior de control

L IC = x - 3 a L IC : Límite inferior de control

Los valores del indicador se grafican y si se salen o se acercan a los límites se hace un análisis. Adem ás, dependiendo de si el indicador es perjudicial en form a creciente o decreciente, se le debe poner m ás atención al respectivo límite.

EJEMPLO 7.3

U n a em presa ha recolectado información de ventas y devoluciones en los últim os siete m eses. La inform ación se presenta en el C u a d ro 7 .4 y la base establecida es 3 % com o máximo, ¿cuál es el comportamiento del indicador de devoluciones?

SOLUCION

1. S e calcula el porcentaje de devoluciones com o el cociente entre el monto de devoluciones y el monto de ventas multiplicado por 100. Estos cálculos se presentan en el Cuadro 7.5.

2. S e calcula el prom edio y la desviación estándar

x = ( Z x ) / n

x= 28,17/7= 4,0243 a ’= (8,4 - 0,25)/6= 1,3583



Colones

Mes Ventas Devoluciones

E 585713 8800F 574814 41700M 475721 1200A 608907 51000M 495815 17917J 668329 28315J 529877 15719

CUADRO 7.5. Cálculo de! Porcentaje de devoluciones

Mes E F M A M J J

% 1,5 7,25 0,25 8,4 3,6 4,2 2,97

3. S e calculan los límites de control

L S C = 4,0243 + 3 ( 1 , 3583) = 8,1

L IC = 4 ,0243 - 3 ( 1 , 3 5 8 3 ) = 0 (se asum e cero)

4. Se hace el gráfico colocando en el eje x períodos iguales para los m eses y en el eje y el valor correspondiente del indicador de devoluciones. La Figura 7.6 m uestra este gráfico.

Al observar la Figura 7.6, se puede ver que el monto correspondiente a devoluciones es bastante inestable, m ostrando puntos fuera de control, los cuales pueden ser analizados por la técnica de gráfico de control; es decir elim inando y recalculando los límites. Por otro lado, la base del 3 % no se está cum pliendo, pues el m áxim o que está dan d o es 8 , 1 %, el cual está


FIGURA 7.6. Gráfico del indicador del Ejemplo 7.3

bastante alejado de ella. S e debe implementar una Investigación, con el fin de analizar las causas de estos altos montos de devoluciones que están resultando m uy caros para la com pañía.

Realizado el estudio se pueden implementar mejoras que reduzcan las devoluciones y por ende el monto de las mismas. Para hacer esto es crucial relacionarse con el cliente con el fin de conocer y analizar las razones por las cuales se efectúan las devoluciones. Las causas de los problemas detectados deben de ser transmitidos a los responsables dentro de la com pañía.

ORGANIZACION DE LA INSPECCION

El éxito d° la inspección de calidad se fundamenta en la forma y lugar donde ésta se efectúe, así com o en el adiestramiento y eficiencia de los inspectores. U n gran aporte a este éxito lo constituye la estandarización de los métodos y el establecimiento de especificaciones reales.


Al hablar de la inspección com o un arm a importante de control, se debe tener claro que no se deben ejecutar inspecciones en todos los puestos de trabajo a lo largo de las líneas de producción. La ubicación de una inspección debe ser analizada profundamente con base en dos criterios que son el costo de p ro ducción de la operación, e l costo acum ulado hasta ella y la criticidad de la o las características de ca lidad generadas.

Para hacer el análisis antes citado, se puede hacer uso de un diagram a de proceso de operaciones, com o el m ostrado en el Cuadro 7.6, en el cual se se ñalen los puntos críticos, los costos de cada operación y los costos acum ulados hasta cada una de ellas. C on base en estos criterios se tiene una decisión m ás objetiva acerca de dónde colocar los puestos de inspección desde el punto de vista económ ico y de cantidad.

U n a ve z que se ha registrado toda la información se utiliza un paretogram a para clasificar los criterios. Otro aspecto que se debe tener en cuenta es el co sto del puesto de inspección, pues dependiendo de qué tan alto sea, se tiene un criterio de inversión para com parar con el costo de m ala calidad.

El diseño de un puesto de inspección debe ser realizado con base en los principios del estudio de tiempos y m ovimientos, garantizando el cumplimiento de los principios de la econom ía de m ovim ientos y la ejecución de la actividad en el m enor tiempo posible.

Tipos de inspección

E xiste n va rio s tipos de in s p e c c ió n , cla sificado s de a cu e rd o c o n tres parám etros que son: objeto de inspección, cantidad de inspección y lugar de inspección. La inspección según el objeto de inspección se puede ejecutar so bre cinco objetivos que son:

a. M aterias primas

b. Prim era tanda de producción

c. Línea de producción

d. Producto terminado

e. Producto en el m ercado


En cada una de estas áreas se ejecutan las actividades necesarias para cumplir con el objetivo de lograr calidad absoluta en el producto terminado. Esto significa que la inspección o rga n iza sus actividades desde la recepción de m aterias prim as y m ateriales en la bodega de entrada, hasta la recepción de producto terminado en la bodega de salida y en las m anos del consum idor.

La inspección según la cantidad de unidades por inspeccionar se clasifica en inspección 100%, inspección porcentual e inspección muestral. Estos tres tipos ya han sido analizados y aplicados a lo largo de los diferentes capítulos de este libro.

La inspección según el lugar de inspección se puede ejecutar mediante inspección de patrulla, inspección centralizada o una com binación de am bos. La inspección de patrulla consiste en la constante visita de los inspectores a los puestos de inspección, con el fin de ejecutar su labor ahí m ism o. Este tipo de inspección tiene ventajas tales com o:

a. Permite la localización rápida de errores

b. Ayuda a hacer ajustes rápidamente

c. M inim iza el m anejo de materiales

d. Agiliza la ejecución de la inspección y se puede ver com o un sistema natural cuando la distribución de la planta es por producto

e. Evita dem oras para continuar con la siguiente operación de producción

Sin em bargo, también tiene algunas desventajas entre las que se pueden citar:

a. Dificulta la colocación de producto rechazado para evitar que se confunda con producto aceptado

b. Congestiona las líneas de producción y si no se organiza adecuadam ente provoca altos volúm enes de inventario en proceso

c. Descentraliza el control de inspectores

d. Imposibilita la utilización de instrumentos altamente precisos o pesados

e. R equiere de registros adecuados para permitir la ejecución de acciones

preventivas


CUADRO 7.6. Ejemplo de diagrama de operaciones


La inspección centralizada consiste en la ubicación de un puesto central, hacia el cual fluyen los inspectores llevando las piezas y partes que van a ser inspeccionadas. Algunas ventajas de este tipo de inspección son:

a. Perm ite una com probación y recuento de unidades recha za das en una forma m ás organizada

b. A se gura y norm aliza las actividades de inspección de producto

c. M inim iza la posibilidad de deterioro de la instrumentación

d. Permite el uso de instrumentos m ás precisos en forma m ás eficiente

e. M inim iza la cantidad de instrumentos necesarios para la inspección

f. Permite el control centralizado de la labor de inspección

g. Facilita la ejecución de acciones preventivas.

Dentro de las desventajas se pueden citar:

a. Puede provocar defectos al tener que trasladar constantem ente piezas y materiales

b. C orrige los errores en forma tardía

c. O bliga a una organización del traslado de material

d. Puede provocar cuellos de botella, si no se toman decisiones ágilmente.

En general, se puede observar que am bos sistemas tienen ventajas y desventajas y que por lo tanto puede ser una buena idea su aplicación en forma

com binada.

El factor humano en la Inspección

T a l y com o se ha indicado en este texto, en el control de calidad el factor hum ano es el m ás importante. Si las personas no tienen iniciativa e interés de ejecutar sus actividades cada día mejor, no importa lo bueno que sea el sistema de control que se esté implem entando, no tendrá los resultados esperados.

Para ello, es importante que la em presa incentive el desarrollo de aptitudes en su personal en todos los niveles, sea este de carácter ejecutivo u operativo.


N o se puede esperar que el nivel operativo realice las cosas tal y com o se ha e n co m endado si no tiene el ejem plo en los m andos m edios y directivos de la organización.

U n a de las áreas generalm ente m ás descuidadas es la inspección. El personal que se ocupa de las tareas de inspección es de naturaleza m uy variada, ia que depende de factores tales com o: volum en de inspección, dificultad de la prueba, exigencia de especificaciones, precisión de los datos, tipo de medición y lugar de la inspección. Este personal debe convertirse en un equipo especial, que com parta sus experiencias y que permita una rotación pro gram ada para evitar la mala práctica de hacer personas imprescindibles que errónea y celosam ente esconden sus experiencias.

El personal de inspección debe tener entre otras las siguientes características: juicio claro, honradez, sentido com ún, responsabilidad, pericia, amistad y respeto a los procedimientos dictados. Los inspectores deben conocer sus responsabilidades, limitaciones y deberes, las que sirven de marco para la toma de decisiones.

Es importante que las decisiones tom adas por el inspector no sean dem asiado rígidas, creyendo que la misión es rechazar grandes volúm enes de producto, para obtener una a decuada calificación, ni dem asiado flexibles para encubrir a los responsables de los problem as de calidad.

En la selección de inspectores, debe tenerse m ucho cuidado para no utiliza r la vieja práctica de escoger a los mejores operarios, pues es grande el riesgo de ganar un mal inspector y perder un excelente operario. Esto se puede evitar con pruebas de selección y program as de capacitación, que lo faculten para realizar sus funciones y que lo concienticen de la importancia de realizarlas bajo los esquem as establecidos.

N o es conveniente contratar inspectores de calidad, a no ser que sean sometidos a un program a extenso de capacitación. La razón de lo anterior está en que no es cierto que personas ajenas a la em presa, de buenas a primeras, tengan criterio para evaluar productos y procesos con los que no están familiarizados. Estos inspectores no serán capaces de tom ar acciones correctivas y m ucho m enos preventivas.

Para el inspector es m uy importante m antener una buena relación con sus c o m p a ñ e ro s , la cu a l no Interfiera ni influya de m a n e ra n e g a tiv a en las

JORGE ACUNA ACUNA

decisiones de aceptación o rechazo de producto. Por otra parte, es necesario considerar que los inspectores son hum anos y que por lo tanto sus decisiones pueden ser erróneas. Esto será perdonable en la medida en que se demuestren las causas de una decisión de esta naturaleza.

C o m o norma general, el comportamiento de todo el personal de inspección será de total cooperación con los dem ás departamentos, adaptándose siempre al ritmo de producción, siendo flexible en los casos de em ergencia y estudiando los procedimientos para elegir el m étodo m ás rápido que respete las norm as y técnicas de inspección.

Precisión de la inspección

La precisión de una inspección es el grado de acierto del inspector para detectar los productos que no cum plen con lo establecido en la especificación. Se relaciona con el grado de certeza con que rechaza producto que realmente está malo y acepta producto que realmente está bueno. En otras palabras ejecuta sus labores con una m uy baja probabilidad de los errores tipo I (rechazar algo que está bueno) y tipo II (aceptar algo que está malo).

Los sesgos en la inspección pueden ser de tres tipos:

1. Sesgos voluntarios que incluyen actos delictivos com o fraude, beneficio erróneo a otro com pañero y falsificación para beneficio personal.

2. Sesgos interm edios que se refieren entre otras causas a parcialidad y redondeo.

3. Sesgos involuntarios que incluyen equivocaciones, fatiga y otras formas de imperfección humana.

Es importante considerar que aunque las fallas importantes de calidad son causadas por los operarios, los sesgos de inspección también pueden influir en la pérdida de reputación de la em presa.

T o d o lo aquí apuntado se refiere a la inspección por m uestreo. Si se usa inspeccic° 1 0 0 % , la experiencia dem uestra que los problem as de calidad se generan por m onotonía y fatiga principalmente.

E s im portante buscar la form a de evaluar la precisión de la inspección, pues así se puede com probar la efectividad de la misma. U na forma de ejecutar


La inspección centralizada consiste en la ubicación de un puesto central, hacia el cual fluyen los inspectores llevando las piezas y partes que van a ser inspeccionadas. Algunas ventajas de este tipo de inspección son:

a. Perm ite una com probación y recuento de unidades recha za das en una forma m ás organizada

b. Ase gura y norm aliza las actividades de inspección de producto

c. M inim iza la posibilidad de deterioro de la instrumentación

d. Permite el uso de instrumentos m ás precisos en form a m ás eficiente

e. M inim iza la cantidad de instrumentos necesarios para la inspección

f. Permite el control centralizado de la labor de inspección

g. Facilita la ejecución de acciones preventivas.

Dentro de las desventajas se pueden citar:

a. Puede provocar defectos al tener que trasladar constantem ente piezas y materiales

b. Corrige los errores en forma tardía

c. Obliga a una organización del traslado de material

d. Puede provocar cuellos de botella, si no se toman decisiones ágilmente.

En general, se puede observar que am bos sistemas tienen ventajas y desventajas y que por lo tanto puede ser una buena idea su aplicación en forma com binada.

El factor humano en la inspección

T a l y com o se ha indicado en este texto, en el control de calidad el factor hum ano es el más importante. Si las personas no tienen iniciativa e interés de ejecutar sus actividades cada día mejor, no importa lo bueno que sea el sistema de control que se esté implem entando, no tendrá los resultados esperados.

Para ello, es importante que la em presa incentive el desarrollo de aptitudes en su personal en todos los niveles, sea este de carácter ejecutivo u operativo.


N o se puede esperar que el nivel operativo realice las cosas tal y com o se ha e ncom endado si no tiene el ejem plo en los m andos m edios y directivos de la organización.

U na de las áreas generalm ente m ás descuidadas es la inspección. El personal que se ocupa de las tareas de inspección es de naturaleza m uy variada, ia que depende de factores tales com o: volum en de Inspección, dificultad de la prueba, exigencia de especificaciones, precisión de los datos, tipo de medición y lugar de la inspección. Este personal debe convertirse en un equipo especial, que com parta sus experiencias y que permita una rotación pro gram ada para evitar la mala práctica de hacer personas imprescindibles que errónea y celosam ente esconden sus experiencias.

El personal de Inspección debe tener entre otras las siguientes características: juicio claro, honradez, sentido com ún, responsabilidad, pericia, amistad y respeto a los procedimientos dictados. Los inspectores deben conocer sus responsabilidades, limitaciones y deberes, las que sirven de marco para la toma de decisiones.

Es importante que las decisiones tom adas por el inspector no sean dem asiado rígidas, creyendo que la misión es rechazar grandes volúm enes de producto, para obtener una adecu a d a calificación, ni d em asiado flexibles para encubrir a los responsables de los problem as de calidad.

En la selección de inspectores, debe tenerse m ucho cuidado para no utiliza r la vieja práctica de e sco ge rá los mejores operarios, pues es grande el riesgo de ganar un mal inspector y perder un excelente operario. Esto se puede evitar con pruebas de selección y program as de capacitación, que lo faculten para realizar sus funciones y que lo concienticen de la importancia de realizarlas bajo los esquem as establecidos.

No es conveniente contratar inspectores de calidad, a no ser que sean sometidos a un program a extenso de capacitación. La razón de lo anterior está en que no es cierto que personas ajenas a la em presa, de buenas a primeras, tengan criterio para evaluar productos y procesos con los que no están familiarizados. Estos inspectores no serán capaces de tomar acciones correctivas y m ucho m enos preventivas.

Para el inspector es m uy importante m antener una buena relación con sus c o m p a ñ e ro s , la c u a l no in terfiera ni influya de m a n e ra n e g a tiv a en las

JORGE ACUNA ACUNA

decisiones de aceptación o rechazo de producto. Por otra parte, es necesario considerar que los inspectores son hum anos y que por lo tanto sus decisiones pueden ser erróneas. Esto será perdonable en la medida en que se demuestren las causas de una decisión de esta naturaleza.

C o m o norma general, el comportamiento de todo el personal de inspección será de total cooperación con los dem ás departamentos, adaptándose siempre al ritmo de producción, siendo flexible en los casos de em ergencia y estudiando los procedimientos para elegir el método m ás rápido que respete las normas y técnicas de inspección.

Precisión de la inspección

La precisión de una inspección es el grado de acierto del inspector para detectar los productos que no cum plen con lo establecido en la especificación. Se relaciona con el grado de certeza con que rechaza producto que realmente está malo y acepta producto que realmente está bueno. En otras palabras ejecuta sus labores con una m uy baja probabilidad de los errores tipo I (rechazar algo que está bueno) y tipo II (aceptar algo que está m alo).

Los sesgos en la inspección pueden ser de tres tipos:

1. Sesgos voluntarios que incluyen actos delictivos com o fraude, beneficio erróneo a otro com pañero y falsificación para beneficio personal.

2. Sesgos interm edios que se refieren entre otras causas a parcialidad y redondeo.

3. Sesgos involuntarios que incluyen equivocaciones, fatiga y otras formas de imperfección hum ana.

E s importante considerar que aunque las fallas importantes de calidad son causadas por los operarios, los sesgos de inspección también pueden influir en la pérdida de reputación de la em presa.

T o d o lo aquí apuntado se refiere a la inspección por m uestreo. Si se usa inspección 1 0 0 % , la experiencia dem uestra que los problem as de calidad se generan por m onotonía y fatiga principalmente.

E s im portante buscar la form a de evaluar la precisión de la inspección, pues así se puede com probar la efectividad de la misma. U na forma de ejecutar


esta tarea es m idiendo la precisión en función de las cantidades de unidades detectadas fuera de especificaciones (H a nsen, 1979). Para aplicar este m odelo, se debe preparar la prueba, ejecutarla a cada inspector y luego hacer el estudio com parativo del caso. El m odelo es el siguiente:

( d - k )pr = ------------------------* 1 0 0

(d - k) + b

donde:

pr: precisión del inspector, expresada porcentualmente

d: n úm ero de unidade s fuera de especificacione s detectadas po r elinspector

b: núm ero de unidades fuera de especificaciones inadvertidas por el inspector

k: núm ero de unidades buenas rechazadas por el inspector

(d -k ): núm ero de unidades fuera de especificaciones realmente encontradas por el inspector

(d -k + b ): núm ero de unidades que realm ente están fuera de especificacionesen la inspección

Este m étodo se puede aplicar para encontrar la precisión prom edio de unequipo de inspección, tal y com o se ve en el siguiente ejemplo.

E JEM PLO 7.4

C o n el fin de evaluar la precisión de la inspección de un equipo de cinco inspectores se ha entregado a cada uno en diferentes instantes un m ism o lote de 200 unidades. El C ua d ro 7.7 presenta los resultados obtenidos. ¿C u á l es la precisión prom edio de este equipo?

SOLUCION

El Cuadro 7.8 muestra los cálculos para cada inspector.

JORGB'ACUÑA ACUÑA 647


Inspector d k b

1 18 2 42 16 1 53 18 3 54 2 1 OO 2

5 19 2 3

CUADRO 7.8. Cálculos intermedios de precisión de inspección

Inspector (d-k) (d-k)+b pr

1 16 2 0 802 15 2 0 753 15 2 0 754 18 2 0 905 17 2 0 85

La precisión del equipo calculada con base en el promedio de los inspecto-

res es de 8 1 % .

Precisión prom edio= (80+75+75+90+85)/5 = 81 %

Procedimiento de inspección

Al ejecutar un estudio que tenga com o objetivo la reorganización de la inspección, es necesario usar algún procedimiento que permita visualizar el flujo de la información a través de los diferentes departam entos de la em presa. U r m étodo para lograr este objetivo es el siguiente:

1. Aprobar la primera pieza o la primera tanda de producción, utilizando prue

bas sucesivas.

CONTROL DE CALIDAD

Exam inar toda la información necesaria para iniciar la producción en masa. La información requerida consta de:

• Dibujos

• Especificaciones

• O rden de trabajo

• Com probación de primera pieza

• Ficha de control de producción

Com probar que el material llegue en las debidas condiciones de presentación y por los m edios de transporte adecuados. Debe com probarse que el tam año del lote esté de acuerdo con las cifras que se encuentren en la Ficha de contro l de producción.

E x a m in a r el form ato de Com probación de prim era p ieza y verificar que ésta lleve la m arca o sello de inspección correspondiente.

Proveer los calibres y elem entos de com probación y medición necesarios para llevar a cabo la inspección en forma eficiente. Esta información se encuentra en la Hoja de Anális is de Operación.

Determinar el tipo de inspección por muestreo de acuerdo con las características m ostradas en la Ficha de inspección.

Elegir al a za r la m uestra correspondiente.

Inspeccionar todas las unidades que com ponen la muestra.

Firm ar la orden de trabajo, si la m uestra y el lote son aceptados en todas las características. Sellar si es posible todas las piezas y anotar el resultado de la inspección en la Ficha de Control de Producción y en el Informe de Inspección. El material quedará en inspección hasta que sea recogido por Control de Producción para ser llevado al siguiente puesto de trabajo. A este material lo acom pañará toda la información que llegó y el Informe de inspección, quedando una copia en la Sección de Inspección donde fue ve rificado el material.

Efectuar una inspección 1 0 0 % . Si la m uestra y el lote son recha za dos en una o varias características, hay que colocar en los lotes las etiquetas de


material rechazado, anotando el resultado en el Informe de Inspección y en la Ficha de Control de Producción , donde se indicará el destino del material rechazado.

11. Poner todo el material a disposición del personal de Control de Producción. Ellos tom arán las debidas acciones basados en lo que diga el Inform e de Inspección, enviando las piezas admitidas a la operación correspondiente y las rechazadas al lugar que corresponda.

12. Enviar al departamento respectivo, las piezas rechazadas reparables. U na v e z reparadas se enviarán de n uevo a inspección con el fin de incorporarlas al lote de donde se extrajeron, si corresponde. S e debe rectificar la Ficha de Control de Producción con las cantidades correspondientes.

13. Continuar con el proceso hasta alcanzar la última operación de producción, m om ento en el cual se debe devolver toda la docum entación a la oficina central de inspección. S e debe co n se rva r solo la información necesaria para ejecutar la inspección final si existe.

Este procedimiento se puede visualizar mejor en el flujograma No. 5 que se presenta en el Apéndice III.

El inspector, en la m edida de lo posible, debe ser capa z de tomar sus propias decisiones y consultar a su jefe lo m enos posible. Esto es importante pues en inspección de calidad las decisiones deben ser rápidas y acertadas. Si una decisión requiere de consulta se debe colocar la etiqueta de material detenido, hasta tanto no se haya obtenido respuesta.

DISEÑO DE UN SISTEMA DE CONTROL DE CALIDAD

C o n todo lo expuesto hasta el momento en este texto, se puede plantear un procedimiento que permita diseñar un sistema de control de calidad. C a b e indicar aquí, que ya existen normas que pueden servir de m arco de referencia para estab lecer un sistem a de control de calidad. E jem plo de ellas es la serie de norm as IS O -9 0 0 0 (en especial la IS O - 9004), las cuales permiten establecer las áreas sobre las cuales debe centrarse la atención.

En este caso se propone un m ecanism o que puede com plem entarse con a lguna norm a y así pod er establecer todas las actividades necesarias para


com pletar el sistema. La premisa m ás importante en este tipo de diseño se refiere al cumplimiento de las bases que fundam entan el concepto de calidad total. El sistema se debe organizar de acuerdo con las cuatro áreas de la calidad total, a saber Diseño, Materiales, Proceso y Producto.

Para h a ce r esto, se pro pone un procedim iento de once etapas, las que pueden ejecutarse haciendo uso de una norm a com o la IS O -9 0 0 4 o aplicando un instrumento propio. Estas etapas son:

1. Análisis de la estructura o rgan izaciona lde la empresa. Es importante co nocer las fortalezas y debilidades de la organización. Así, se podrán explotar las fortalezas y se podrá buscar alguna estrategia que permita atacar las debilidades. A través de este análisis, se determ inará el m odelo que mejor se ajuste a las características de la em presa.

2. Definición de l a lcance de l sistem a. El diseño de un sistema de control de calidad es un trabajo com plejo que amerita un análisis profundo de la relación entre la función calidad y las dem ás funciones de la organización. S e debe dejar claro si se van d iseñar los cuatro subsistem as y ade m á s por cuál se em pezará.

3. Establecim iento o revisión de la política de calidad. El primer paso que se debe implementar es la redacción de una política o la revisión de la misma, si ya existe. Es fundamental para el éxito de un sistema, el com prom iso de la alta dirección a apoyar todo tipo de iniciativas que conlleven a lograr los objetivos del sistema.

4. Realización de un diagnóstico. No es conveniente iniciar las actividades de diseño del sistema sin antes conocer a fondo qué esfuerzos se realizan en la actualidad. H ay que tom ar en cuenta que no todos los esfuerzos actuales son infructuosos; puede haber algunos que con venga con servar con las modificaciones que se consideren necesarias. Si el sistema es nuevo, este diagnóstico se sustituye por una investigación acerca del funcionamiento de sistemas similares. En este caso la norm a y su instrumento son importantes.

5. Elaboración de l anteproyecto. U n a v e z que se tiene claro el a lcance del proyecto y se co n o cen las actividades que se realizan actualm ente, se debe redactar un anteproyecto, que desglose de m anera general, el modelo


que va a ser aplicado, las justificaciones y beneficios de su im plem en- tación, las actividades que se deben ejecutar para el diseño de cada subsistem a, el tiempo estim ado de desarrollo y la estimación inicial de costo.

6 . Presentación del anteproyecto a la gerencia. El anteproyecto preparado se presenta a la gerencia con el fin de obtener el visto bueno. S e debe conv e n c e r con esta presentación de q ue el sistem a es necesario. El fin es obtener una decisión positiva para seguir adelante. Si la decisión es favorable se continúa con la etapa 7, si no lo fuera se deb erá revisar el anteproyecto, con base en las observaciones realizadas por el gerente. S e presentará de nuevo si se ha dado la oportunidad.

7. Desarrollo del proyecto. Esta etapa consiste de los siguientes pasos:

a. Planeación del estudio. Se desglosan todas las actividades y se asignan tiempos y recursos a cada una de ellas. S e pueden aplicar las técnicas de Program ación de Proyectos (C P M por ejem plo), para conocer con algún detalle la fecha proyectada de finalización del proyecto.

b. D esarro llo de l m odelo. Este es el paso que co n su m e m ás tiem po, pues aquí se desglosa cada una de las actividades planeadas. Esta parte se diseña por separado para los cuatro subsistem as y se debe considerar el desarrollo de m anuales. S e incluye también el desglose de actividades para el desarrollo del subsistema de costos de calidad y las correspondientes a las pruebas necesarias para verificar la propuesta. Al final se establecen las actividades que permitirán el nexo entre los subsistem as.

c. Planificación de la inspección. C o m o parte del subsistem a de Control de proceso, se debe diseñar todo el plan de inspección estableciendo entre otras cosas: tipo de inspección, puestos de inspección, instrumentación y criterios de aceptación y rechazo de lotes de productos. La mejor forma de poner esto por escrito, es a través de manuales de inspección.

d. Revisión de l sistema. U na v e z terminado el desarrollo del sistema se efectúa una revisión total con el fin de detectar om isiones y errores.

e . Desarrollo de la propuesta de organización. Esta etapa consiste en e desarrollo de una propuesta que identifique el tipo de organizaciór


que puede h acer frente al sistem a propuesto. S e deben dejar bien

claras las funciones y responsabilidades de todos los m iem bros de la organización en la consecución de los objetivos del modelo.

8 . Presentación a la gerencia. S e presenta el proyecto a la gerencia con el fin de o b te n e r el visto b u e n o pa ra su im p le m e n ta ció n y po r s u p u e s to el respectivo financiamiento. Si la respuesta es positiva, se continúa con la

etapa 9, de lo contrario se hacen los ajustes sugeridos y se presenta de nuevo.

9. Desarrollo e implementación de un program a de capacitación y motivación de personal. C o n el fin de facilitar la resistencia al cam bio y de evitar errores en la implementación del sistema por desconocim iento, se propone el desarrollo de un program a de capacitación. Este program a contempla una explicación general de las partes del sistema, a todos los m iem bros de la organización y una explicación detallada de cada parte a aquellos que están directamente relacionados con su puesta en m archa.

10. Im plem entación de l sistema. Esta etapa consiste de la puesta en m archa de cada una de las actividades desglosadas en el proyecto. Se deben hacer las mejoras y ajustes que se ameriten.

11. Retroalim entación y cambios a l modelo. C o n base en los resultados de la implementación del sistema, se hacen los cam bios necesarios al modelo. Esta etapa será siem pre necesaria, pues es ilógico pensar que el m odelo será adecuado desde su primera aplicación. Para detectar errores se pueden aplicar auditorías de calidad. A través de una auditoría se constata si lo que se aplica obedece a ciencia cierta a lo establecido en el proyecto del sistema.

El seguim iento de este procedim iento permitirá el d iseño de un sistem a adecuado de control de calidad, el cual garantiza lo que se ha anotado insisten

tem ente en este texto y que constituye el m ás importante objetivo de calidad y reto de cualquier com pañía: “Cum plir con los requerim ientos de calidad fijados po r e l consumidor".

La em presa que entienda lo anteriormente apuntado, está llamada a tener grandes éxitos en el m ercado y un futuro próspero en épocas de crisis.


RESUMEN

En este capítulo, se plantea cóm o la administración de la función calidad es esencial para el éxito de un program a de control de calidad. S e ha visto que:

1. La organización que se instituya para el cum plim iento de las actividades encom endadas debe ser simple y eficiente y debe gozar, hasta donde sea posible, de la autonom ía necesaria para cumplir con los objetivos y políticas de calidad que se establezcan para cumplir con los requerimientos del consum idor.

2. El o b je tivo p rin c ip a l de to d o s los n ive le s je rá rq u ic o s , in te rm e d io s y operativos de la em presa debe ser la búsqueda de excelencia en la calidad del producto y en ningún momento debe ser el buscar culpables de los problem as de calidad de los procesos y materiales. Debe quedar claro que la responsabilidad en la consecución de l objetivo de excelencia es de todos los m iem bros de la organización y no de alguno en forma específica.

3. C a b e destacar el hecho de que toda persona dentro de la organización debe buscar los m ecanism os necesarios para m antenerse en una co n stante evaluación de su labor, de tal m anera que se puedan medir los logros obtenidos. Esta es una forma de demostrar que el control de calidad es una inversión y no un costo.

4. E s de sum a importancia analizar y cuantificar los costos inherentes al control de calidad y com pararlos con alguna base, que puede ser: el costo de producción, la producción en unidades de producción equivalente o la producción total de unidades. Este será un medio de verificar qué tan eficientes y eficaces son los medios de control utilizados, en función de los éxitos alcanzados en el m ercado.

5. Si se desean buenos resultados de la inspección, ésta deber ser planeada y ejecutada en forma organizada. Se debe recordar que el objetivo princ ipa l de la inspección es evitar que producto fuera de especificaciones alcance las m anos de l consumidor.

6 . La inspección de calidad no es solamente un procedimiento repetitivo, sino que es toda una cam paña de motivación y conciencia, para que los niveles operativos produzcan cada día mejor. Se debe sustituir el concepto limitado


de ver la inspección com o separación de producto bueno de m alo, por el concepto de inspección preventiva que analiza causas y consecuencias de las fallas detectadas.

7. La organización de la inspección debe ser ágil, de tal m anera que se identifiquen claram ente las responsabilidades, los deberes y las funciones de los inspectores, con el fin de cum plir con los objetivos planteados. Esta organización permitirá desarrollar la inspección con procedimientos eficientes que garanticen el cum plim iento de las actividades planeadas.

8 . El logro de los objetivos de calidad planteados por la organización se da a través del desarrollo de un sistem a de control de calidad, que obe dezca a un proyecto responsablem ente planteado y puesto en práctica.

9. Finalmente es importante recalcar que el principal factor en el cumplimiento de las políticas de calidad es el factor humano. Por ello se deben buscar todos los m ecanism os necesarios para lograr su cooperación y com prom iso.

PREGUNTAS DE REPASO

1. ¿ P o rq u é es im portante la cla ra definición de una o rga n iza c ió n para la calidad?

2. Esquem atice las etapas necesarias para diseñar un sistema de control de calidad.

3. Cite diez importantes funciones de un gerente en la organización para la calidad.

4. ¿ Por qué es importante la coordinación de actividades en el logro de los objetivos de calidad?

5. Explique los conceptos de valor de calidad y costo de calidad y com ente el gráfico que los relaciona.

6 . C o m e n te el desglo se de costos de calidad y explique: ¿ c ó m o se puede calcular cada uno de ellos?

7. ¿ Q u é tipo de análisis se deben hacer para lograr una buena ubicación de los puestos de inspección?


8 . Com ente las ventajas y desventajas de la inspección de patrulla y de la Inspección centralizada.

9. Com ente la importancia del factor hum ano en la inspección de calidad.

10. ¿P a ra qué es importante establecer un procedim iento de ejecución de la inspección?

11. ¿ Q u é uso puede tener la norm a IS O -9 0 0 4 en el diseño de un sistema de control de calidad?

12. ¿P ara qué pueden servir los indicadores de calidad?

13. Desarrolle y explique diez indicadores de calidad diferentes a los presentados en este capítulo.

14. ¿Q u é técnicas de motivación se podrían emplear para lograr un máximo de cooperación y com prom iso de todos los m iem bros de la organización?

15. D esarrolle un m odelo q ue pueda servir para calificar la precisión de la inspección.

PROBLEMAS

1. U n a em presa durante los últimos m eses ha tenido el com portam iento de ventas y devoluciones que se presenta en el Cuadro 7.9.

Analice la situación si se fija una base del 2 ,5 % de devoluciones en pedidos y en colones.

2. Desglose para una em presa industrial los costos de calidad y preséntelos en el formato ofrecido en el Cuadro 7.1.

3. Desarrolle un sistema de incentivos para inspectores, basándose en m odelos conocidos y aplicados a cuotas de producción.

4. Efectúe un diagnóstico de la función calidad en una em presa industrial. Divida el diagnóstico en cuatro etapas, una por cada subsistem a. Puede usar com o guía la N orm a IS O -9 0 0 4 .

5. A través de una investigación, identifique el tipo de organización de calidac

que prevalece en Costa Rica.



iVentas Devoluciones

Mes Colones Pedidos Colones Pedidos

Enero 617815 124 1 2 2 0 0 5Febrero 585700 215 21700 1 0

Marzo 845174 418 41800 8

Abril 489825 145 10700 7Mayo 500708 164 8400 1 2

Junio 558719 175 5200 5

6 . E labore un flujogram a para analizar la form a en que la información debe fluir en el sistema de control de calidad. Considere adem ás los formularios necesarios para recolección de información.

7. E labore un flujogram a para analizar la form a en que la información debe fluir en el sistema de costos de calidad. Considere adem ás los formularios necesarios para recolección de información.

8 . U n a em presa fabrica tres productos de los que se tiene la información del C uadro 7.10.

Si el costo de inspección en el período fue de «¡150000. ¿C u á l es el costo de inspección por unidad equivalente?

CUADRO 7 .10. Información para el Problema 8

ProductoMonto de Ventas

(Colones)Material Directo

(Colones)Volumen de Producción

A 1500000 876900 51790B 789600 357000 23450C 1123500 687950 9870


9. Proponga un nuevo procedim iento que agilice la inspección de producto, to m a n d o co m o b a s e el p ro ce d im ie n to p re se n ta d o en este capítu lo y esquem atizado en el flujograma No. 5 del Apéndice III.

10. U n a em presa fabrica un producto del cual produce 20000 unidades por m es con una fracción defectiva del 2 0 % . El precio de venta del producto es 0 2 0 y para fabricarlo requiere de 0 8 de material directo. Los salarios, gastos indirectos y cargos de depreciación son 0 3 ,01 , 6 y 02,4 respectivamente. El producto defectuoso es desechado sin ningún valor de recuperación. Si la planta quiere invertir para reducir su porcentaje defectuoso de 2 0 % a 1 0 % , ¿cuál es la m áxim a inversión que podría hacerse para lograr esta importante m ejoría en calidad?

11. U n estudio de una línea de producción ha revelado información con respecto al porcentaje defectuoso y el costo acum ulado en cada operación de la línea. Esta información se presenta en el C uadro 7.11.

CUADRO 7.11. Información para el Prou,ema 11

Operación

1 2 3 4 5

% defectuoso 5,1 0 ,6 4,8 3,2 1 ,2

costo acumulado 2,75 3,98 4,27 4,85 5,12

El tam año de muestra por inspeccionar es de 100 unidades y los inspectores ganan a 0200 por hora. Los tiempos de inspección en minutos por producto son, en orden de operación, 1 ,2 -0 ,6 -0 ,5 -2 ,0 -1 ,8 . No se necesita inversión adicional para instalar los puestos de inspección.

a. Si se desea colocar dos puestos de inspección, ¿dónde se deben co

locar? Justifique su respuesta.

b. Si fueran tres puestos de inspección, ¿dónde se deben colocar?

CONTROL DE CALIDAD

Una em presa fabrica un producto que pasa por cinco departamentos o secciones. Esta em presa ha tenido problem as de calidad en los últimos años debido al peso que suministran las m áquinas llenadoras de producto. La especificación para el peso se establece en 3,15 g con una tolerancia de 0,75 g.

De un estudio estadístico llevado a cabo, se encontró que, para esta característica el proceso se distribuye normalmente con media 3,18 g y varianza 0,16 g2.

El costo total de producción es de (586 por unidad, d e sglo sa d o en 1 2 % gastos indirectos, 5 4 % costos de materiales y el resto costo de m ano de obra. C u a n d o el producto es detectado fuera de especificaciones, se quita o se agrega producto, según sea sobrepeso o bajo peso. Esto agrega un costo adicional de (6 1 5 por unidad, debido a pérdida de em paque y pesaje manual.

Actualmente, no existe un puesto de inspección en la operación de llenado. La instalación de un puesto tendría costos fijos de 060000 y el costo de inspección es 035 por hora, con m uestras de 500 unidades/hora.

a. ¿C u á l es la pérdida esperada por pieza?

b. ¿C u á l es la pérdida esperada al nivel actual de producción que es de 50000 unidades por hora?

c. ¿ A qué nivel de producción es conveniente la colocación del puesto de inspección?

. La em presa X Y Z durante los últimos seis m eses ha generado el registro de ventas y devoluciones que se presenta en el C ua d ro 7.12.

Analice la situación si se fija una base de com paración del 2 % en promedio en devoluciones tanto en colones com o en pedidos.

. El C u a d ro 7.13 presenta información de tres productos de una em presa.

a. El costo de calidad en el período es de 050000. ¿ C u á l es el costo de inspección por unidad equivalente?

b. Establezca el valor de un indicador de ventas, material directo y volum en de producción.

c. Establezca tres form as de obtener un indicador de costos de calidad.



Mes

Ventas Devoluciones

Colones Pedidos Colones Pedidos

E 625000 124 1 2 2 2 0 5F 585700 115 21700 1 0

M 845000 231 41800 18A 490000 90 10700 4M 500000 1 0 2 8400 3J 560000 113 15700 8


ProductoVentas

(colones)Material directo

(colones)Volumen de producción

A 1500000 587000 51700B 758000 357000 10800C 1157000 684000 6700

15. En la Figura 7.7, se presenta el esquem a de un gato hidráulico. Sus partes son: cilindro, base, ém bolo, placa giratoria, tuerca de retención, pieza de

cierre de la cabeza del cilindro y clavija roscada. La placa giratoria se m on

ta con alguna holgura en el ém bolo por m edio de la tuerca. Este suben - sam ble, después de ser provisto de un em paque, se monta en el cilindro y

la base, sujetándose con la pieza de cierre de la cabeza del cilindro. La clavija roscada se usa para bloquear la entrada al cilindro, hasta que el gato

se pone en funcionamiento.

El cilindro y la base, p ieza R L-8 9 , es una pieza de acero fundido que se com pra en un taller de fundición fuera de la fábrica a un costo unitario de

CONTROL DE CALIDAD

FIGURA 7.7. Gato hidráulico.

02500. La primera operación que se hace es “To rn e a r y refrentar la pestaña” la que se hace en un torno en el taller m ecánico en un tiem po de 5,4 minutos por pieza. Este torno consum e 0,20 kwh.

Luego, la pieza va a un segundo torno igual al anterior, en donde se ejecuta el refrentado del otro extremo, así com o el escariado y fileteado. En esta tarea se invierten 13 minutos. Realizada esta operación se procede a hacer cuatro agujeros a la base en un tiem po prom edio de 0 ,0085 m inutos por agujero (tiempo dividido en 7 5 % m ano de obra y 2 5 % tiempo de m áquina). Este taladro, que p erm an ece encendido constantem ente, co n su m e en esta operación 0 ,0697 kwh.

Enseguida, en una taladradora de eje doble se hace una perforación y se tarraja para la conexión hidráulica. El tiempo de esta operación es de 1,54 minutos y la m áquina consum e 0,0498 kwh. Antes de enviarse al departamento de montaje, la pieza fundida, ya acabada, es inspeccionada por un inspectora jornal.

Para la fabricación del ém bolo se em plea el acero en barras lam inado en frío S A E -1 010. Las barras se cortan en frío, al tam año deseado en el alm acén. Esta operación se realiza en 0,84 minutos y la sierra eléctrica consume


0,036 kwh. C a d a barra es importada a un costo de 02350, cobrándose en aduana un impuesto del 1 2 % del costo original. La barra se corta en diez partes.

La s ig u ie n te o p e ra c ió n es m a rc a r c e n tro s , la q u e se h a c e en una taladradora ligera en 3,9 minutos. El consum o de energía es de 0,05 kwh. Luego, va a un torno en donde se hacen las operaciones de tornear, hacer garganta y redondear extremo. Estas operaciones se hacen en 15 minutos y se consum en 0,044 kwh. U n inspector a jornal com prueba el tam año.

Luego de ello, cada cien piezas son cem entadas con un costo de 032,5 en 5,46 minutos. Después de que la pieza es cem entada, ésta retorna al taller para ser rectificada. La rectificadora tiene una capacidad de producción de 20 piezas por hora y consum e 0,22 kwh en ese período. Con esto, se termina la operación del émbolo el cual es enviado al departamento de montaje.

La placa giratoria, pieza S P -7 9 3 , es de acero fundido y cuesta 0100 por unidad. La pieza fundida se m aquina en el departam ento de tornillería, usando un torno revólver W a rn e r A n d S w a s s e y W in IA y que con sum e 0,208 kwh. Esta operación se denom ina “Taladrar, escariar y filetear” y tiene una duración de 7,2 minutos. U na ve z m aquinada se desengrasa a presión en 0,6 m inutos usando una solución con un costo de 05,5 por litro de solución consum ida. C o n un litro de solución se lavan 12 piezas. Esta operación la realiza un operario que gana 0125 por hora.

La tu e rc a de re te n ció n , p ie za S P -1 0 8 , se h a c e de a ce ro S A E - 1 113 hexagonal en barras y laminado en frío. C a d a barra es importada y cuesta 05460 m ás 1 3 % de impuesto de consum o y 8 % de impuesto de aduanas. De cada barra salen 190 tuercas. Las primeras operaciones que se hacen son taladrar, escariar, filetear y cortar y se efectúan en el departamento de tornillería en una m áquina Gridley de cinco ejes con un consum o de 0,08 kwh y un tiempo de 0,5 minutos. Luego es limpiada en la desengrasadora en 0 , 6 minuto, utilizando la misma solución y con las mismas especificaciones. S e inspecciona luego por un inspector a jornal y se envía al departam ento de montaje.

La pieza de cierre de cabeza del cilindro, pieza S P -1 24, es hecha de barras de acero S A E -1 113, redondo y laminado en frío, el cual es importado a un costo de 0 5 0 0 el kilogramo. U n a barra pesa 10 kilogramos. Los costos de


de ver la inspección com o separación de producto bueno de m alo, por el concepto de inspección preventiva que analiza causas y consecuencias de las fallas detectadas.

7. La organización de la inspección debe ser ágil, de tal m anera que se identifiquen claram ente las responsabilidades, los deberes y las funciones de los inspectores, con el fin de cum plir con los objetivos planteados. Esta organización permitirá desarrollar la inspección con procedimientos eficientes que garanticen el cum plim iento de las actividades planeadas.

8 . El logro de los objetivos de calidad planteados por la organización se da a través del desarrollo de un sistem a de control de calidad, que obedezca a un proyecto responsablem ente planteado y puesto en práctica.

9. Finalmente es importante recalcar que el principal factor en el cumplimiento de las políticas de calidad es el factor humano. Por ello se deben buscar todos los m ecanism os necesarios para lograr su cooperación y com prom iso.

PREGUNTAS DE REPASO

1. ¿P o rq u é es im portante la cla ra definición de una o rga n iza ció n para la calidad?

2. Esquem atice las etapas necesarias para diseñar un sistema de control de calidad.

3. Cite diez importantes funciones de un gerente en la organización para la calidad.

4. ¿ P o r qué es importante la coordinación de actividades en el logro de los objetivos de calidad?

5. Explique los conceptos de valor de calidad y costo de calidad y com ente el gráfico que los relaciona.

6 . C o m e n te el desglo se de costos de calidad y explique: ¿ c ó m o se puede calcular cada uno de ellos?

7. ¿ Q u é tipo de análisis se deben hacer para lograr una buena ubicación de los puestos de inspección?


8 . Com ente las ventajas y desventajas de la inspección de patrulla y de la Inspección centralizada.

9. Com ente la Importancia del factor hum ano en la Inspección de calidad.

10. ¿P ara qué es importante establecer un procedim iento de ejecución de la inspección?

11. ¿ Q u é uso puede tener la norm a IS O -9 0 0 4 en el diseño de un sistema de control de calidad?

12. ¿P a ra qué pueden servir los indicadores de calidad?

13. Desarrolle y explique diez indicadores de calidad diferentes a los presentados en este capítulo.

14. ¿Q u é técnicas de motivación se podrían emplear para lograr un máximo de cooperación y com prom iso de todos los m iem bros de la organización?

15. D esarrolle un m odelo que pueda servir para calificar la precisión de la inspección.

PROBLEMAS

1. U n a em presa durante los últimos m eses ha tenido el com portam iento de ventas y devoluciones que se presenta en el Cuadro 7.9.

Analice la situación si se fija una base del 2 ,5 % de devoluciones en pedidos y en colones.

2. Desglose para una em presa Industrial los costos de calidad y preséntelos en el formato ofrecido en el Cuadro 7.1.

3. Desarrolle un sistem a de incentivos para inspectores, basándose en m odelos conocidos y aplicados a cuotas de producción.

4. Efectúe un diagnóstico de la función calidad en una em presa industrial. Divida el diagnóstico en cuatro etapas, una por cada subsistem a. Puede usar com o guía la N orm a IS O -9 0 0 4 .

5. A través de una investigación, identifique el tipo de organización de calidad

que prevalece en Costa Rica.



........ ■.............................................. VVentas D e vo lu c io n e s

M es C o lo n e s P edidos C o lo n e s P edidos

E n e r o 6 1 7 8 1 5 1 2 4 1 2 2 0 0 5F e b r e r o 5 8 5 7 0 0 2 1 5 2 1 7 0 0 1 0M a r z o 8 4 5 1 7 4 4 1 8 4 1 8 0 0 8A b r il 4 8 9 8 2 5 1 4 5 1 0 7 0 0 7M a y o 5 0 0 7 0 8 1 6 4 8 4 0 0 1 2J u n io 5 5 8 7 1 9 1 7 5 5 2 0 0 5

6 . E labore un flujogram a para analizar la form a en que la Información debe fluir en el sistema de control de calidad. Considere adem ás los formularios necesarios para recolección de información.

7. E labore un flujogram a para analizar la form a en que la información debe fluir en el sistema de costos de calidad. Considere adem ás los formularios necesarios para recolección de información.

8 . U na em presa fabrica tres productos de los que se tiene la información del C uadro 7.10.

Si el costo de inspección en el período fue de c1 50000. ¿C uá l es el costo de inspección por unidad equivalente?


P ro d u ctoM o nto de Ventas

(C o lo n e s )Material D irecto

(C o lo n e s )V o lu m e n de P ro d u cció n

A 1 5 0 0 0 0 0 8 7 6 9 0 0 5 1 7 9 0B 7 8 9 6 0 0 3 5 7 0 0 0 2 3 4 5 0C 1 1 2 3 5 0 0 6 8 7 9 5 0 9 8 7 0


9. Proponga un nuevo procedim iento que agilice la inspección de producto, to m a n d o co m o b ase el p ro ce d im ie n to p re se n ta d o en este capítu lo y esquem atizado en el flujograma No. 5 del Apéndice III.

10. U n a em presa fabrica un producto del cual produce 20000 unidades por m es con una fracción defectiva del 2 0 % . El precio de venta del producto es 020 y para fabricarlo requiere de 0 8 de material directo. Los salarios, gastos indirectos y cargos de depreciación son 0 3 ,0 1 , 6 y 02,4 respectivamente. El producto defectuoso es desechado sin ningún valor de recuperación. Si la planta quiere invertir para reducir su porcentaje defectuoso de 2 0 % a 1 0 % , ¿cuál es la máxima inversión que podría hacerse para lograr esta importante mejoría en calidad?

11. U n estudio de una línea de producción ha revelado información con respecto al porcentaje defectuoso y el costo acum ulado en cada operación de la línea. Esta información se presenta en el C uadro 7.11.

CUADRO 7.11. Información para el Prou,ema 11

O p e ra ció n

1 2 3 4 5

% d e f e c t u o s o 5 ,1 0 ,6 4 ,8 3 ,2 1 ,2

c o s t o a c u m u l a d o 2 ,7 5 3 ,9 8 4 ,2 7 4 ,8 5 5 ,1 2

El tam año de muestra por inspeccionar es de 100 unidades y los inspectores ganan a 0200 por hora. Los tiempos de inspección en minutos por producto son, en orden de operación, 1 ,2 -0 ,6 -0 ,5 -2 ,0 -1 ,8 . No se necesita inversión adicional para instalar los puestos de inspección.

a. Si se desea colocar dos puestos de inspección, ¿dónde se deben co

locar? Justifique su respuesta.

b. Si fueran tres puestos de inspección, ¿dónde se deben colocar?


transporte desde la casa distribuidora hasta la em presa, brindados por la C ía M ondel, son <£52000 la tonelada. El impuesto de aduana es del 8 ,5 % . Las prim eras operaciones que se hacen en el departam ento de tornillería son taladrar, escariar, filetear y cortar. S e usa una taladradora Conem atic que consum e 0,2 kwh y dura 4,2 m inutos en terminar estas operaciones. Se ha calculado que de una barra se obtienen 13 piezas. Luego, la pieza se en vía al taller m ecánico para taladrar los agujeros para la llave, en una ta la d ra d o ra ligera en 3 ,3 6 m in utos. S e d e vu e lve al d e p a rta m e n to de tornillería para desengrase en 0,6 minutos. Se em plea la m ism a solución anterior y se paga un operarlo de <5175 por hora. Luego, la pieza es revisada por un inspector a jornal y se envía al departam ento de ensam ble.

La siguiente operación se realiza en el departam ento de ensam ble y consiste en m ontar el ém bolo, la placa giratoria y la tuerca de retención en 0 ,1

minutos.

Este subensam ble junto con la pieza de cierre de cilindro y usando los m ateriales mostrados en el Cuadro 7.14, se montan al subensam ble del pistón en 3,4 minutos.

CUADRO 7.14. Materiales usados en el subensamble

Material C o s to

E m p a q u e C 3 1 , 2 5P i e z a S P - 2 1 1 C 2 0 8A r a n d e la S P - 1 7 6 c 1 2

T o r n i l l o c o m ú n c 8

Luego, se monta el ém bolo a la base en 2,91 minutos lo que constituye el ensam ble final. U na ve z finalizada esta operación el gato hidráulico se somete a inspección por m edio de un inspector a jornal. D espué s, la clavija roscada de 0,625 cm , pieza S P -1 4 8 , se coloca para proteger al cilindro en 0,2 minutos. La clavija tiene un costo de C1300. La última operación que se


realiza es limpiar y pintar, la que se realiza en el departamento de montaje en un tiempo de 5,4 minutos por pieza. En este proceso de limpieza se usa un disolvente para lavado de acero cuyo costo es de 0169 el kilogramo puro. La concentración de la solución lavadora es de 8 2 % en peso (densidad del agua= 1 g/cm2). La solución se prepara en la planta y se pueden lava r 400 piezas por litro.

E n el proceso de pintado se gastan 3,8 litros de pintura anticorrosiva por cada 96 piezas. El costo del litro de pintura es de 0300. El diluyente usado cuesta 032 por litro y se gasta un litro de diluyente por cada cuatro litros de pintura. Las piezas se pintan luego de color rojo con un costo agregado de 0 4 , 2 por pieza.

La inspección final se ejecuta en 3,0 minutos, por un inspector a jornal.

Algunos datos adicionales

T ie m p o de jornada de trabajo = 8 horas/día

Costo de kwh = 07,76

C osto de inspección = 0200 por hora

Salario de operarios calificados = 0225 por hora

a. Construya un diagram a de operaciones colocando a la izquierda de la operación los tiempos de operación y a la derecha el costo de la operación y el acum ulado hasta ella.

b. Determine el costo de inspección de calidad.

c. Determine el costo de producción e indique: ¿a qué precio recomien

da venderlo?

d. ¿C uá l es el costo de producción mensual si se trabajan tres turnos?

e. ¿Cuál es el costo acum ulado de producción, al m om ento de cada ins

pección?

f. ¿Están bien colocados los puestos de inspección, desde el punto de

vista del costo total del producto? Justifique con núm eros.


g. ¿ Q u é variables se deben tom ar en cuenta al d iseñar un sistem a de control de calidad para este producto.

h. ¿ Q u é beneficios, desde el punto de calidad, puede traer el balance de la línea de producción?

16. U n a em presa fabrica un producto com puesto por cinco subensam bles los cuales convergen en cinco líneas a un departam ento de ensam ble. Esta em presa desea investigar sus problemas de calidad, por lo que se construyó un paretogram a que indicó que la característica de calidad principal es el diámetro de uno de los subensam bles.

Este diám etro d eb e cum plir con la especificación E : 3 ,15 ± 0 ,7 5 cm . De datos históricos conservados por la C ía , se ha logrado concluir que la va riable diámetro se distribuye normalmente con p = 3 ,15 cm y o 2= 0 ,16 cm 2. El costo total de producción de esta pieza representa el 2 8 % del costo total del producto, el cual se vende en C8600.

El problem a fundam ental de este diám etro es que no se detecta si está defectuoso antes de que la pieza sea ensamblada. Esto ocasiona que si el diámetro resulta defectuoso, se pierda todo el costo entregado. S e ha determ inado que un 1 7 % del costo total son costos de ensam ble, un 1 2 % costos indirectos y un 3 5 % la ganancia deseada en la venta del producto.

S e sabe que del costo de producción de la pieza, un 3 8 % son costos de m ano de obra, 4 0 % costos de materias primas y el resto costos indirectos. Eso s costos representan el 7 0 % de los costos indirectos totales. Ta m b ié n se sabe que en el departamento de ensamble, 9 0 % del costo corresponde a la m ano de obra, 5 % a materiales y 5 % a costos indirectos.

En esta em presa existe un único puesto de inspección y está al final de la línea. Si se rechaza un producto, se incurre en un costo adicional de C2 0 0

al tener que desarm arlo. Esto no incluye las correspondientes pérdidas e c o n ó m ic a s p o r el tra b a jo e n tre g a d o in f ru c tu o s a m e n te . C a d a subensam ble que se rechace es reprocesado, si tiene un diámetro superior a lo especificado y desechado si ocurre lo contrario. En am bos caso s se pierde el costo ya entregado.

a. ¿C uá l es la ganancia esperada por unidad?

b. ¿ C u á l es la g a nancia espe ra d a al nivel de 5 0 0 0 0 0 unidades m e n suales?


c. ¿C o nsidera U d conveniente la colocación de puestos de inspección en las líneas? Justifique con núm eros.

d. ¿ A qué nivel de producción es recom endable colocar un puesto final de inspección?

DATOS ADICIONALES

Costo de instalación del puesto = 060000

El costo del inspector es de 0290 por hora y es capaz de inspeccionar 100 piezas en un turno de 8 horas

17. U n a em presa fabrica un producto conform ado de tres subensam bles. El diagram a de operaciones se muestra en el Cuadro 7.15.

Los costos de material son: 0370 para el material A, 0158 para el material B y 0215 para el material C . Los costos de m ano de obra por pieza se encuentran en el Cuadro 7.16.

CUADRO 7 . 16. Costos de mano de obra para el Problema 17

O p e r a c i ó n C o s t o / p i e z a ( 0 ) O p e r a c i ó n C o s t o / p i e z a f í )

1 1 5 , 7 5 6 1 7 , 8 5

2 2 5 , 0 5 7 3 4 , 0 5

3 3 6 , 7 5 8 6 1 , 2 5

4 1 8 , 4 5 9 6 3 , 4 5

5 2 5 , 2 5 1 0 1 8 ,3 5

A los inspectores se les paga 0350 por hora y cada inspector es capaz de

inspeccionar 500 unidades por hora.

En este proceso casi todas las características de calidad m ás importantes son variables, a excepción de las características de las operaciones 9 y 10,


CUADRO 7.15. Diagrama de operaciones para el Problema 17

D ia g ra m a d e O p e r a c io n e s

E m p r e s a : X Y Z F e c h a : E n e r o 1 9 8 5R e a l iz a d o p o r A . G u z m á n R e s p o n s a b le : S . C o t oC ó d ig o d e p r o d u c to : 3 0 A -9 0

Ensamble A Ensamble B Ensamble CMats: 1,25 kg/pieza Mats: 5 kg/pieza Mats: 1 kg/pieza


las que son atributos. El Cuadro 7.17 presenta la información que se obtuvo de una clasificación de características de calidad. To d a s las variables han dem ostrado distribuirse normalmente.

El nivel de producción es de 18000 unidades diarias. Los puestos de inspección, de ser necesarios, tienen una inversión fija de 045000 cada uno.

Actualmente la em presa tiene los siguientes costos diarios de producción: 0165750 en mano de obra, 01857000 en materiales y 086000 en gastos indirectos. Tam bién se ha determinado que los costos sem anales indirectos de calidad son de 034500, los costos sem anales de prevención de 034570 y los costos sem anales de fallas externas de 0 6 0 0 0 0 .

Basado en la problemática de costos, proponga un sistema de control de proceso.

CUAD

RO

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Apéndice I

TABLAS DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

TABLA I. Distribución normal acumulada

z 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 01 0 0 Z

-3,90 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 -3,90-3,80 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 -3,80-3,70 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 -3,70-3,60 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 -3,60-3,50 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 -3,50-3,40 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0004 0,0004 0,0004 0,u004 -3,40-3,30 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 -3,30-3,20 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 -3,20-3,10 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0009 0,0009 0,0009 0,0010 0,0010 0,0010 -3,10-3,00 0,0011 0,0011 0,0011 0,0012 0,0012 0,0012 0,0013 0,0013 0,0014 0,0014 -3,00-2,90 0,0015 0,0015 0,0015 0,0016 0,0016 0,0017 0,0017 0,0018 0,0019 0,0019 -2,90-2,80 0,0020 0,0020 0,0021 0,0022 0,0022 0,0023 0,0024 0,0025 0,0025 0,0026 -2,80-2,70 0,0027 0,0028 0,0029 0,0029 0,0030 0,0031 0,0032 0,0033 0,0034 0,0035 -2,70-2,60 0,0036 0,0037 0,0038 0,0040 0,0041 0,0042 0,0043 0,0044 0,0046 0,0047 -2,60-2,50 0,0048 0,0050 0,0051 0,0053 0,0054 0,0056 0,0057 0,0059 0,0061 0,0063 -2,50-2,40 0,0064 0,0066 0,0068 0,0070 0,0072 0,0074 0,0076 0,0078 0,0080 0,0082 -2,40-2,30 0,0085 0,0087 0,0089 0,0092 0,0094 0,0097 0,0099 0,0102 0,0105 0,0108 -2,30-2,20 0,0111 0,0113 0,0116 0,0120 0,0123 0,0126 0,0129 0,0133 0,0136 0,0139 -2,20-2,10 0,0143 0,0147 0,0150 0,0154 0,0158 0,0162 0,0166 0,0170 0,0175 0,0179 -2,10-2,00 0,0184 0,0188 0,0193 0,0197 0,0202 0,0207 0,0212 0,0217 0,0223 0,0228 -2,00-1,90 0,0233 0,0239 0,0245 0,0250 0,0256 0,0262 0,0269 0,0275 0,0281 0,0288 -1,90-1,80 0,0294 0,0301 0,0308 0,0315 0,0322 0,0329 0,0337 0,0344 0,0352 0,0360 -1,80-1,70 0,0368 0,0376 0,0384 0,0393 0,0401 0,0410 0,0419 0,0428 0,0437 0,0446 -1,70-1,60 0,0456 0,0465 0,0475 0,0485 0,0495 0,0506 0,0516 0,0527 0,0538 0,0549 -1,60-1,50 0,0560 0,0571 0,0583 0,0594 0,0606 0,0618 0,0631 0,0643 0,0656 0,0669 -1,50-1,40 0,0682 0,0695 0,0708 0,0722 0,0736 0,0750 0,0764 0,0779 0,0793 0,0808 -1,40-1,30 0,0823 0,0838 0,0854 0,0870 0,0886 0,0902 0,0918 0,0935 0,0952 0,0969 -1,30



Continuación de la Tabla I

z 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00

-1,20 0,0986 0,1003 0,1021 0,1039 0,1057 0,1075 0,1094 0,1113 0,1132 0,1151 -1,20-1,10 0,1171 0,1190 0,1210 0,1231 0,1251 0,1272 0,1293 0,1314 0,1335 0,1357 -1,10-1,00 0,1379 0,1401 0,1424 0,1446 0,1469 0,1492 0,1515 0,1539.0,1563 0,1587 -1,00-0,90 0,1611 0,1636 0,1661 0,1686 0,1711 0,1737 0,1762 0,1788 0,1815 0,1841 -0,90-0,80 0,1868 0,1895 0,1922 0,1949 0,1977 0,2005 0,2033 0,2061 0,2090 0,2119 -0,80-0,70 0,2148 0,2177 0,2207 0,2237 0,2267 0,2297 0,2327 0,2358 0,2389 0,2420 -0,70-0,60 0,2451 0,2483 0,2515 0,2547 0,2579 0,2611 0,2644 0,2677 0,2710 0,2743 -0,60-0,50 0,2776 0,2810 0,2844 0,2878 0,2912 0,2947 0,2981 0,3016 0,3051 0,3086 -0,50-0,40 0,3121 0,3157 0,3192 0,3228 0,3264 0,3300 0,3337 0,3373 0,3410 0,3446 -0,40-0,30 0,3483 0,3520 0,3557 0,3595 0,3632 0,3670 0,3708 0,3745 0,3783 0,3821 -0,30-0,20 0,3860 0,3898 0,3936 0,3975 0,4013 0,4052 0,4091 0,4130 0,4169 0,4208 -0,20-0,10 0,4247 0,4286 0,4326 0,4365 0,4404 0,4444 0,4483 0,4523 0,4562 0,4602 -0,10-0,00 0,4642 0,4682 0,4721 0,4761 0,4801 0,4841 0,4881 0,4921 0,4961 0,5000 -0,00

z 00 01 02 03 0 4 0 5 06 07 08 0 9 z

0,00 0,5000 0,5039 0,5079 0,5119 0,5159 0,5199 0,5239 0,5279 0,5318 0,5358 0,000,10 0,5398 0,5438 0 c477 0,5517 0,5556 0,5596 0,5635 0,5674 0,5714 0,5753 0,100,20 0,5792 0,5831 0,5870 0,5909 0,5948 0,5987 0,6025 0,6064 0,6102 0,6140 0,200,30 0,6179 0,6217 0,6255 0,6292 0,6330 0,6368 0,6405 0,6443 0,6480 0,6517 0,300,40 0,6554 0,6590 0,6627 0,6663 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6843 0,6879 0,400,50 0,6914 0,6949 0,6984 0,7019 0,7053 0,7088 0,7122 0,7156 0,7190 0,7224 0,500,60 0,7257 0,7290 0,7323 0,7356 0,7389 0,7421 0,7453 0,7485 0,7517 0,7549 0,600,70 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7733 0,7763 0,7793 0,7823 0,7852 0,700,80 0,7881 0,7910 0,7938 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8105 0,8132 0,800,90 0,8159 0,8185 0,8212 0,8238 0,8263 0,8289 0,8314 0,8339 0,8364 0,8389 0,901,00 0,8413 0,8437 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8576 0,8599 0,8621 1,001,10 0,8643 0,8665 0,8686 0,8707 0,8728 0,8749 0,8769 0,8790 0,8810 0,8829 1,101,20 0,8849 0,8868 0,8887 0,8906 0,8925 0,8943 0,8961 0,8979 0,8997 0,9014 1,201,30 0,9031 0,9048 0,9065 0,9082 0,9098 0,9114 0,9130 0,9146 0,9161 0,9177 1,301,40 0,9192 0,9207 0,9221 0,9236 0,9250 0,9264 0,9278 0,9292 0,9305 0,9318 1,401,50 0,9331 0,9344 0,9357 0,9369 0,9382 0,9394 0,9406 0,9417 0,9429 0,9440 1,501,60 0,9451 0,9462 0,9473 0,9484 0,9494 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9544 1,601,70 0,9554 0,9563 0,9572 0,9581 0,9590 0,9599 0,9607 0,9616 0,9624 0,9632 1,701,80 0,9640 0,9648 0,9656 0,9663 0,9671 0,9678 0,9685 0,9692 0,9699 0,9706 1,801,90 0,9712 0,9719 0,9725 0,9731 0,9738 0,9744 0,9750 0,9755 0,9761 0,9767 1,902,00 0,9772 0,9777 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9807 0,9812 0,9816 2,002,10 0,9821 0,9825 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9853 0,9857 2,102,20 0,9861 0,9864 0,9867 0,9871 0,9874 0,9877 0,9880 0,9884 0,9887 0,9889 2,20



Continuación de la Tabla I

z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 Z

2,30 0,9892 0,9895 0,9898 0,9901 0,9903 0,9906 0,9908 0,9911 0,9913 0,9915 2,302,40 0,9918 0,9920 0,9922 0,9924 0,9926 0,9928 0,9930 0,9932 0,9934 0,9936 2,402,50 0,9937 0,9939 0,9941 0,9943 0,9944 0,9946 0,9947 0,9949 0,9950 0,9952 2,502,60 0,9953 0,9954 0,9956 0,9957 0,9958 0,9959 0,9960 0,9962 0,9963 0,9964 2,602,70 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9971 0,9972 0,9973 2,702,80 0,9974 0,9975 0,9975 0,9976 0,9977 0,9978 0,9978 0,9979 0,9980 0,9980 2,802,90 0,9981 0,9981 0,9982 0,9983 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9985 2,903,00 0,9986 0,9986 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 3,003,10 0,9990 0,9990 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 3,103,20 0,9993 0,9993 0,9993 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 3,203,30 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 3,303,40 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 3,403,50 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,503,60 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,603,70 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,703,80 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,803,90 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,90

Z 00 01 02 0 3 0 4 0 5 06 07 0 8 0 9 Z


TABLA II. Areas de distribución t-student (*)

Probabilidad (área unilateral)gi- 0,40 0,20 0,10 0,05 0,025 0,010 0,005 0,0005

1 0,325 1,376 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,6192 0,289 1,061 1,886 2,290 4,303 6,965 9,925 31,5983 0,277 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,9414 0,271 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,6105 0,267 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859

6 0,265 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,9597 0,263 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,4058 0,262 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,0419 0,261 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,260 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,260 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,43712 0,259 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,31813 0,259 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,22114 0,258 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,14015 0,258 0.866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,258 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,01517 0,257 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,96518 0,257 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,92219 0,257 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,88320 0,257 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 0,257 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,81922 0,256 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,79223 0,256 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,76724 0,256 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,74525 0,256 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

26 0,256 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,70727 0,256 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,69028 0,256 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,67429 0,256 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,65930 0,256 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

40 0,255 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,55160 0,254 0,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460

120 0,254 0,845 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373oo 0,253 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291

Tomado del libro Control de Calidad de Bertrand Hansen, Referencia 11.


TABLA III. Areas bajo la curva de la distribución chi-cuadrado(*)

0,25 0 ,1 0 0,05 0,025 0 ,0 1 0,005 0 ,0 0 1 a V

1,3 2 3 2 ,7 0 6 3,841 5 ,0 2 4 6 ,6 3 5 7 ,8 7 9 10 ,828 12 ,7 7 3 4 ,6 0 5 5,991 7 ,3 7 8 9 ,2 1 0 10 ,597 13 ,816 24 ,1 0 8 6,251 7 ,8 1 5 9 ,3 4 8 11 ,345 12 ,838 16 ,266 35 ,3 8 5 7 ,7 7 9 9 ,4 8 8 11 ,143 13 ,2 7 7 14 ,860 18 ,467 46 ,6 2 6 9 ,2 3 6 1 1 ,070 12 ,832 15 ,086 16 ,750 2 0 ,5 1 5 57 ,841 10 ,645 1 2 ,5 9 2 14 ,449 16 ,812 18 ,548 2 2 ,4 5 8 69 ,0 3 7 12 ,017 14 ,067 16 ,013 18 ,475 2 0 ,2 7 8 2 4 ,3 2 2 7

1 0 ,2 1 9 13 ,362 1 5 ,507 17 ,535 2 0 ,0 9 0 2 1 ,9 5 5 2 6 ,1 2 5 81 1 ,3 8 9 1 4 ,684 16 ,919 19 ,023 2 1 ,6 6 6 2 3 ,5 8 9 2 7 ,8 7 7 91 2 ,5 4 9 15 ,987 1 8 ,3 0 7 2 0 ,4 8 3 2 3 ,2 0 9 2 5 ,1 8 8 2 9 ,5 8 8 10

13,701 1 7 ,275 1 9 ,6 7 5 2 1 ,9 2 0 2 4 ,7 2 5 2 6 ,7 5 7 3 1 ,2 6 4 1114 ,845 1 8 ,549 2 1 ,0 2 6 2 3 ,3 3 7 2 6 ,2 1 7 2 8 ,3 0 0 3 2 ,9 0 9 1215 ,9 8 4 1 9 ,812 2 2 ,3 6 2 2 4 ,7 3 6 2 7 ,6 8 8 2 9 ,8 1 9 3 4 ,5 2 8 1317 ,1 1 7 2 1 ,0 6 4 2 3 ,6 8 5 2 6 ,1 1 9 29,141 3 1 ,3 1 9 3 6 ,1 2 3 1418 ,2 4 5 2 2 ,3 0 7 2 4 ,9 9 6 2 7 ,4 8 8 3 0 ,5 7 8 32,801 3 7 ,6 9 7 1519 ,3 6 9 2 3 ,5 4 2 2 6 ,2 9 6 2 8 ,8 4 5 3 2 ,0 0 0 3 4 ,2 6 7 3 9 ,2 5 2 162 0 ,4 8 9 2 4 ,7 6 9 2 7 ,5 8 7 30,191 3 3 ,4 0 9 3 5 ,7 1 8 4 0 ,7 9 0 172 1 ,6 0 5 2 5 ,9 8 9 2 8 ,8 6 9 3 1 ,5 2 6 3 4 ,8 0 5 3 7 ,1 5 6 4 3 ,3 1 2 182 2 ,7 1 8 2 7 ,2 0 4 3 0 ,1 4 4 32 ,8 5 2 36,191 3 8 ,5 8 2 4 3 ,8 2 0 192 3 ,8 2 8 2 8 ,4 1 2 3 1 ,4 1 0 3 4 ,1 7 0 3 7 ,5 6 6 3 9 ,9 9 7 4 5 ,3 1 5 202 4 ,9 3 5 2 9 ,6 1 5 32,671 3 5 ,4 7 9 3 8 ,9 3 2 41 ,401 4 6 ,7 9 7 21

2 6 ,0 3 9 3 0 ,8 1 3 3 3 ,9 2 4 36,781 4 0 ,2 8 9 4 2 ,7 9 6 4 8 ,2 6 8 22

2 7 ,141 3 2 ,0 0 7 3 5 ,1 7 2 3 8 ,0 7 6 4 1 ,6 3 8 44,181 4 9 ,7 2 8 23

28,241 3 3 ,1 9 6 3 6 ,4 1 5 39 ,3 6 4 4 2 ,9 8 0 4 5 ,5 5 8 5 1 ,1 7 9 24

2 9 ,3 3 9 34 ,382 3 7 ,6 5 2 4 0 ,6 4 6 4 4 ,3 1 4 4 6 ,9 2 8 5 2 ,6 2 0 25

3 0 ,4 3 4 3 5 ,5 6 3 3 8 ,8 8 5 4 1 ,9 2 3 4 5 ,6 4 2 4 8 ,2 9 0 5 4 ,0 5 2 26

3 1 ,5 2 8 36,741 4 0 ,1 1 3 43 ,1 9 4 4 6 ,9 6 3 4 9 ,6 4 5 5 5 ,4 7 6 2 7

3 2 ,6 2 0 3 7 ,9 1 6 4 1 ,3 3 7 44,461 4 8 ,2 7 8 5 0 ,9 9 3 5 6 ,8 9 2 28

33 ,711 3 9 ,0 8 7 4 2 ,5 5 7 4 5 ,7 2 2 4 9 ,5 8 8 5 2 ,3 3 6 58 ,3 0 2 29

3 4 ,8 0 0 4 0 ,2 5 6 4 3 ,7 7 3 4 6 ,9 7 9 5 0 ,8 9 2 5 3 ,6 7 2 59 ,7 0 3 30

4 5 ,6 1 6 5 1 ,8 0 5 5 5 ,7 5 8 5 9 ,3 4 2 63,691 6 6 ,7 6 6 73 ,4 0 2 40

5 6 ,3 3 4 6 3 ,1 6 7 6 7 ,5 0 5 7 1 ,4 2 0 7 6 ,1 5 4 7 9 ,4 9 0 86,661 50

66 ,981 7 4 ,3 9 7 79 ,0 8 2 8 3 ,2 9 8 8 8 ,3 7 9 9 1 ,9 5 2 99 ,6 0 7 60

7 7 ,5 7 7 8 5 ,5 2 7 90,531 9 5 ,0 2 3 100 ,425 1 04 ,215 1 1 2 ,317 70

8 8 ,1 3 0 96 ,5 7 8 1 0 1 ,879 106 ,629 112 ,329 116,321 1 2 4 ,839 80

9 8 ,6 5 0 107 ,565 1 1 3 ,145 1 1 8 ,136 1 24 ,116 128 ,299 1 3 7 ,208 90

109,141 118 ,498 1 2 4 ,342 129,561 135 ,807 1 40 ,169 1 4 9 ,449 100

Tomado del libro Estadística Elemental de Robert Johnson, Referencia 15.

V TContinúa en la siguiente página


Continuación de la Tabla III

V a 0,995 0,99 0,975 0,95 0,90 0,75 0,50

1 0,04393 0,03157 0,03982 0,00393 0,0158 0,102 0,4552 0,0100 0,0201 0,0506 0,103 0,211 0,575 1,3863 0,0717 0,115 0,216 0,352 0,584 1,213 2,3664 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,923 3,3575 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,675 4,3516 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,455 5,3487 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 4,255 6,3468 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 5,071 7,3449 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,899 8,343

10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,737 9,34211 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 7,584 10,34112 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 8,438 11,34013 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 9,299 12,34014 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 10,165 13,33915 4,601 5,229 6.262 7,261 8,547 11,036 14,33916 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,912 15,33817 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,792 16,33818 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 13,675 17,33819 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 14,562 18,33820 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 15,452 19,33721 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 16,344 20,33722 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 17,240 21,33723 9,260 10,196 11,688 13,091 14,848 18,137 22,33724 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 19,037 23,33725 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 19,939 24,33726 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 20,843 25,33627 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 21,749 26,33628 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 22,657 27,33629 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 23,567 28,33630 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 24,478 29,33640 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 33,660 39,33550 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 42,942 49,33560 35,535 37,485 40,482 43,188 46,459 52,294 59,33570 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 61,698 69,33480 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 71,145 79,33490 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 80,625 89,334

100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 90,133 99,334

Para V > 100

Tomado del libro Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones, de Juan Prawda, Referencia 23.

TABL

A IV

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JORGE ACUÑA ACUÑA

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»*«•*<• •*<•*>•* 2 = 2 2 2 2 2 9 2 2 8 = 5 5 3 8 3 5 3 8 3 3 3 8 *

( Cíl) i o p r o j u io i o p ]op pwjaaqn »<>P «0

CONTROL DE CALIDAD

TABLA V. Probabilidades en la distribución binomial (')

P

0,10 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

0 0,5905 0,3277 0,2373 0,1681 0,0778 0,0312 0,0102 0,0024 0,0003 0,00001 0,9185 0,7373 0,6328 0,5282 0,3370 0,1875 0,0870 0,0308 0,0067 0,00052 0,9914 0,9421 0,8965 0,8369 0,6826 0,5000 0,3174 0,1631 0,0579 0,00863 0,9995 0,9933 0,9844 0,9692 0,9130 0,8125 0,6630 0,4718 0,2627 0,08154 1,0000 0,9997 0,9990 0,9976 0,9898 0,9688 0,9222 0,8319 0,6723 0,40955 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0 0,3487 0,1074 0,0563 0,0282 0,0060 0,0010 0,0001 0,0000 0,0000 0,00001 0,7361 0,3758 0,2440 0,1493 0,0464 0,0107 0,0017 0,0001 0,0000 0,00002 0,9298 0,6778 0,5256 0,3828 0,1673 0,0547 0,0123 0,0016 0,0001 0,00003 0,9872 0,8791 0,7759 0,6496 0,3823 0,1719 0,0548 0,0106 0,0009 0,00004 0,9984 0,9672 0,9219 0,8497 0,6331 0,3770 0,1662 0,0474 0,0064 0,00025 0,9999 0,9936 0,9803 0,9527 0,8338 0,6230 0,3669 0,1503 0,0328 0,00166 1,0000 0,9991 0,9965 0,9894 0,9452 0,8281 0,6177 0,3504 0,1209 0,01287 1,0000 0,9999 0,9996 0,9984 0,9877 0,9453 0,8327 0,6172 0,3222 0,07028 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9983 0,9893 0,9536 0,8507 0,6242 0,26399 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9990 0,9940 0,9718 0,8926 0,6513

10 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0 0,2059 0,0352 0,0134 0,0047 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00001 0,5490 0,1671 0,0802 0,0353 0,0052 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,8159 0,3980 0,2361 0,1268 0,0271 0,0037 0,0003 0,0000 0,0000 0,00003 0,9444 0,6482 0,4613 0,2969 0,0905 0,0176 0,0019 0,0001 0,0000 0,00004 0,9873 0,8358 0,6865 0,5155 0,2173 0,0592 0,0094 0,0007 0,0000 0,00005 0,9978 0,9389 0,8516 0,7216 0,4032 0,1509 0,0338 0,0037 0,0001 0,00006 0,9997 0,9819 0,9434 0,8689 0,6098 0,3036 0,0951 0,0152 0,0008 0,00007 1,0000 0,9958 0,9827 0,9500 0,7869 0,5000 0,2131 0,0500 0,0042 0,00008, 1,0000 0,9992 0,9958 0,9848 0 9050 0,6964 0,3902 0,1311 0,0181 0,00039 1,0000 0,9999 0,9992 0,9963 0,9662 0,8491 0,5968 0,2784 0,0611 0.0023

10 1,0000 1,0000 0,9999 0,9993 0,9907 0,9408 0,7827 0,4845 0,1642 0,012711 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9824 0,9095 0,7031 0,3518 0,055612 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9963 0,9729 0,8732 0,6020 0,184113 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9948 0,9647 0,8329 0,451014 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9953 0,9648 0,794115 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0 0,1216 0.0Í15 0,0032 0,0008 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00001 0,3917 0,0692 0,0243 0,0076 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,6769 0,2061 0,0913 0,0355 0,0036 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,00003 0,8670 0,4114 0,2252 0,1071 0,0160 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0,00004 0,9568 0,6296 0,4148 0,2375 0,0510 0,0059 0,0003 0,0000 0,0000 0,00005 0,9887 0,8042 0,6172 0,4164 0,1256 0,0207 0,0016 0,0000 0,0000 0,00006 0,9976 0,9133 0,7858 0,6080 0,2500 0,0577 0,0065 0,0003 0,0000 0,00007 0,9996 0,9679 0,8982 0,7723 0,4159 0,1316 0,0210 0,0013 0,0000 0,00008 0,9999 0,9900 0,9591 0,8867 0,5956 0,2517 0,0565 0,0051 0,0001 0,00009 1,0000 0,9974 0,9861 0,9520 0,7553 0,4119 0,1275 0,0171 0,0006 0,0000

10 1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,8725 0,5881 0,2447 0,0480 0,0026 0,000011 1,0000 0,9999 0,9991 0,9949 0,9435 0,7483 0,4044 0,1133 0,0100 0,000112 1,0000 1,0000 0,9998 0,9987 0,9790 0,8684 0,5841 0,2277 0,0321 0,000413 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9935 0,9423 0,7500 0,3920 0,0867 0,002414 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9984 0,9793 0,8744 0,5836 0,1958 0,011315 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9941 0,9490 0,7625 0,3704 0,043216 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9987 0,9840 0,8929 0,5886 0,133017 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9964 0,9645 0,7939 0,323118 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995 0,9924 0,9308 0,608319 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9992 0,9885 0,878420 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

TABL

A VI

. D

istri

buci

ón

de Po

isson

ac

umul

ada


Continuación de Tabla VI

LANDA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1,00 0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,9991,05 0,350 0,717 0,910 0,978 0,995 0,999

1.10 0,333 0,699 0,900 0,974 0,995 0,999

1,15 0,317 0,681 0,890 0,970 0,993 0,9991,20 0,301 0,663 0,879 0,966 0,992 0,998 0,999

1,25 0,286 0,645 0,868 0,962 0,991 0,998 0,9991,30 0,273 0,627 0,857 0,957 0,989 0,998 0,9991,35 0,259 0,609 0,845 0,952 0,988 0,997 0,9991,40 0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997 0,9991,45 0,235 0,575 0,821 0,940 0,984 0,996 0,9991,50 0,223 0,558 0,809 0,934 0,981 0,995 0,9991,55 0,212 0,541 0,796 0,928 0,979 0,995 0,9991,60 0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994 0,9991,65 0,192 0,509 0,770 0,914 0,973 0,993 0,998 0,9991,70 0,183 0,493 0,757 0,907 0,970 0,992 0,998 0,9991,75 0,174 0,478 0,744 0,899 0,967 0,991 0,998 0,9991,80 0,165 0,628 0,731 0,891 0,963 0,990 0,997 0,9991,85 0,157 0,448 0,717 0,883 0,960 0,988 0,997 0,9991,90 0,150 0,434 0,704 0,875 0,956 0,987 0,997 0,9991,95 0,142 0,420 0,690 0,866 0,952. 0,985 0,996 0,9992,00 0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983 0,995 0,9992,05 0,129 0,393 0,663 0,848 0,943 0,982 0,995 0,9992,10 0,122 0,380 0,650 0,839 0,938 0,980 0,994 0,9992,15 0,116 0,367 0,636 0,829 0,933 0,977 0,993 0,998 0,999


LANDA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2,20 0,111 0,355 0,623 0,819 0,928 0,975 0,992 0,998 0,999

2,25 0,105 0,342 0,609 0,809 0,922 0,973 0,992 0,998 0,999

2,30 0,100 0,331 0,596 0,799 0,916 0,970 0,991 0,997 0,999

2,35 0,095 0,319 0,583 0,789 0,910 0,967 0,990 0,997 0,999

2,40 0,091 0,308 0,570 0,779 0,904 0,964 0,988 0,997 0,999

2,45 0,086 0,298 0,557 0,768 0,898 0,961 0,987 0,996 0,999

2,50 0,082 0,287 0,544 0,758 0,891 0,958 0,986 0,996 0,999

2,55 0,078 0,277 0,531 0,747 0,884 0,954 0,984 0,995 0,999

2,60 0,074 0,267 0,518 0,736 0,877 0,951 0,983 0,995 0,999

2,65 0,071 0,258 0,506 0,725 0,870 0,947 0,981 0,994 0,998 0,999

2,70 0,067 0,249 0,494 0,714 0,863 0,943 0,979 0,993 0,998 0,999

2,75 0,064 0,240 0,481 0,703 0,855 0,939 0,978 0,993 0,998 0,999

2,80 0,061 0,231 0,469 0,692 0,848 0,935 0,976 0,992 0,998 0,999

2,85 0,058 0,223 0,458 0,681 0,840 0,930 0,973 0,991 0,997 0,999

2,90 0,055 0,215 0,446 0,670 0,832 0,926 0,971 0,990 0,997 0,999

2,95 0,052 0,207 0,434 0,658 0,824 0,921 0,969 0,989 0,997 0,999

3,00 0,050 0,199 0,423 0,647 0,815 0,916 0,566 0,988 0,996 0,999

3,05 0,047 0,192 0,412 0,636 0,807 0,911 0,964 0,987 0,996 0,999

3,10 0,045 0,185 0,401 0,625 0,798 0,906 0,961 0,986 0,995 0,999

3,15 0,043 0,178 0,390 0,614 0,789 0,900 0,958 0,984 0,995 0,998 0,999

3,20 0,041 0,171 0,380 0,603 0,781 0,895 0,955 0,983 0,994 0,998 0,999

3,25 0,039 0,165 0,370 0,591 0,772 0,889 0,952 0,982 0,994 0,998 0,999

3,30 0,037 0,159 0,359 0,580 0,763 0,883 0,949 0,980 0,993 0,998 0,999

3,35 0,035 0,153 0,349 0,569 0,753 0,877 0,946 0,979 0,992 0,998 0,999

678 C

ON

TRO

L DE

CALIDAD I

JORG

E ACUÑA

ACUÑA 679


LANDA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1,00 0,368 0,736 0,920 0,981 0,996 0,9991,05 0,350 0,717 0,910 0,978 0,995 0,999

1,10 0,333 0,699 0,900 0,974 0,995 0,999

1,15 0,317 0,681 0,890 0,970 0,993 0,9991,20 0,301 0,663 0,879 0,966 0,992 0,998 0,9991,25 0,286 0,645 0,868 0,962 0,991 0,998 0,9991,30 0,273 0,627 0,857 0,957 0,989 0,998 0,9991,35 0,259 0,609 0,845 0,952 0,988 0,997 0,9991,40 0,247 0,592 0,833 0,946 0,986 0,997 0,999

1,45 0,235 0,575 0,821 0,940 0,984 0,996 0,9991,50 0,223 0,558 0,809 0,934 0,981 0,995 0,9991,55 0,212 0,541 0,796 0,928 0,979 0,995 0,999

1,60 0,202 0,525 0,783 0,921 0,976 0,994 0,9991,65 0,192 0,509 0,770 0,914 0,973 0,993 0,998 0,9991,70 0,183 0,493 0,757 0,907 0,970 0,992 0,998 0,999

1,75 0,174 0,478 0,744 0,899 0,967 0,991 0,998 0,9991,80 0,165 0,628 0,731 0,891 0,963 0,990 0,997 0,9991,85 0,157 0,448 0,717 0,883 0,960 0,988 0,997 0,9991,90 0,150 0,434 0,704 0,875 0,956 0,987 0,997 0,9991,95 0,142 0,420 0,690 0,866 0,952 0,985 0,996 0,9992,00 0,135 0,406 0,677 0,857 0,947 0,983 0,995 0,999

2,05 0,129 0,393 0,663 0,848 0,943 0,982 0,995 0,9992,10 0,122 0,380 0,650 0,839 0,938 0,980 0,994 0,9992,15 0,116 0,367 0,636 0,829 0,933 0,977 0,993 0,998 0,999


LANDA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2,20 0,111 0,355 0,623 0,819 0,928 0,975 0,992 0,998 0,999

2,25 0,105 0,342 0,609 0,809 0,922 0,973 0,992 0,998 0,999

2,30 0,100 0,331 0,596 0,799 0,916 0,970 0,991 0,997 0,999

2,35 0,095 0,319 0,583 0,789 0,910 0,967 0,990 0,997 0,999

2,40 0,091 0,308 0,570 0,779 0,904 0,964 0,988 0,997 0,999

2,45 0,086 0,298 0,557 0,768 0,898 0,961 0,987 0,996 0,999

2,50 0,082 0,287 0,544 0,758 0,891 0,958 0,986 0,996 0,999

2,55 0,078 0,277 0,531 0,747 0,884 0,954 0,984 0,995 0,999

2,60 0,074 0,267 0,518 0,736 0,877 0,951 0,983 0,995 0,999

2,65 0,071 0,258 0,506 0,725 0,870 0,947 0,981 0,994 0,998 0,999

2,70 0,067 0,249 0,494 0,714 0,863 0,943 0,979 0,993 0,998 0,999

2,75 0,064 0,240 0,481 0,703 0,855 0,939 0,978 0,993 0,998 0,999

2,80 0,061 0,231 0,469 0,692 0,848 0,935 0,976 0,992 0,998 0,999

2,85 0,058 0,223 0,458 0,681 0,840 0,930 0,973 0,991 0,997 0,999

2,90 0,055 0,215 0,446 0,670 0,832 0,926 0,971 0,990 0,997 0,999

2,95 0,052 0,207 0,434 0,658 0,824 0,921 0,969 0,989 0,997 0,999

3,00 0,050 0,199 0,423 0,647 0,815 0,916 0,566 0,988 0,996 0,999

3,05 0,047 0,192 0,412 0,636 0,807 0,911 0,964 0,987 0,996 0,999

3,10 0,045 0,185 0,401 0,625 0,798 0,906 0,961 0,986 0,995 0,999

3,15 0,043 0,178 0,390 0,614 0,789 0,900 0,958 0,984 0,995 0,998 0,999

3,20 0,041 0,171 0,380 0,603 0,781 0,895 0,955 0,983 0,994 0,998 0,999

3,25 0,039 0,165 0,370 0,591 0,772 0,889 0,952 0,982 0,994 0,998 0,999

3,30 0,037 0,159 0,359 0,580 0,763 0,883 0,949 0,980 0,993 0,998 0,999

3,35 0,035 0,153 0,349 0,569 0,753 0,877 0,946 0,979 0,992 0,998 0,999

678 C

ON

TRO

L DE

CALIDAD I

JORG

E ACUÑA

ACUÑA 679

Continuación deTablaVI

LANDA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

5,85 0,003 0,020 0,069 0,165 0,306 0,470 0,630 0,764 0,862 0,926 0,963 0,983 0,993 0,997 0,9995,90 0,003 0,019 0,067 0,160 0,299 0,462 0,622 0,758 0,857 0,923 0,961 0,982 0,992 0,997 0,9995,95 0,003 0,018 0,064 0,156 0,292 0,454 0,614 0,751 0,852 0,919 0,959 0,981 0,992 0,997 0,9996,00 0,002 0,017 0,062 0,151 0,285 0,446 0,606 0,744 0,847 0,916 0,957 0,980 0,991 0,996 0,9996,05 0,002 0,017 0,060 0,147 0,278 0,438 0,598 0,737 0,842 0,913 0,955 0,979 0,991 0,996 0,9996,10 0,002 0,016 0,058 0,143 0,272 0,430 0,590 0,730 0,837 0,909 0,953 0,978 0,990 0,996 0,9996,15 0,002 0,015 0,056 0,138 0,265 0,422 0,582 0,723 0,831 0,905 0,951 0,976 0,989 0,996 0,998 0,9996,20 0,002 0,015 0,054 0,134 0,259 0,414 0,574 0,716 0,826 0,902 0,949 0,975 0,989 0,995 0,998 0,9996,25 0,002 0,014 0,052 0,130 0,253 0,406 0,566 0,709 0,820 0,898 0,946 0,974 0,988 0,995 0,998 0,9996,30 0,002 0,013 0,050 0,126 0,247 0,399 0,558 0,702 0,815 0,894 0,944 0,972 0,987 0,995 0,998 0,9996,35 0,002 0,013 0,048 0,123 0,241 0,391 0,550 0,695 0,809 0,890 0,941 0,971 0,986 0,994 0,998 0,9996,40 0,002 0,012 0,046 0,119 0,235 0,384 0,542 0,687 0,803 0,88b 0,939 0,969 0,986 0,994 0,997 0,9996,45 0,002 0,012 0,045 0,115 0,229 0,376 0,534 0,680 0,797 0,882 0,936 0,968 0,985 0,993 0,997 0,9996,50 0,002 0,011 0,043 0,112 0,224 0,369 0,527 0,673 0,792 0,877 0,933 0,966 0,984 0,993 0,997 0,9996,55 0,001 0,010 0,041 0,108 0,218 0,362 0,519 0,665 0,786 0,873 0,930 0,964 0,983 0,992 0,997 0,9996,60 0,001 0,010 0,040 0,105 0,213 0,355 0,511 0,658 0,780 0,869 0,927 0,963 0,982 0,992 0,997 0,9996,65 0,001 0,010 0,040 0,102 0,207 0,348 0,503 0,651 0,773 0,864 0,924 0,961 0,981 0,991 0,996 0,9996,70 0,001 0,010 0,040 0,100 0,202 0,341 0,495 0,643 0,767 0,860 0,921 0,959 0,980 0,991 0,996 0,998 0,9996,75 0,001 0,009 0,036 0,096 0,197 0,334 0,488 0,636 0,761 0,855 0,918 0,957 0,979 0,990 0,996 0,998 0,9996,80 0,001 0,009 0,034 0,093 0,192 0,327 0,480 0,628 0,755 0,850 0,915 0,955 0,978 0,990 0,996 0,998 0,9996,85 0,001 0,008 0,033 0,090 0,187 0,320 0,472 0,621 0,748 0,845 0,912 0,953 0,977 0,989 0,995 0,998 0,9996,90 0,001 0,008 0,032 0,087 0,182 0,314 0,465 0,614 0,742 0,840 0,908 0,951 0,976 0,989 0,995 0,998 0,9996,95 0,001 0,008 0,030 0,085 0,178 0,307 0,457 0,606 0,736 0,836 0,905 0,949 0,974 0,988 0,995 0,998 0,9997,00 0,001 0,007 0,030 0,082 0,173 0,301 0,450 0,599 0,729 0,830 0,901 0,947 0,973 0,987 0,994 0,998 0,9997,10 0,001 0,007 0,027 0,077 0,164 0,288 0,435 0,584 0,716 0,820 0,894 0,942 0,970 0,986 0,994 0,997 0,999


LA N D A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

7,20 0,001 0,006 0,025 0,072 0,156 0,276 0,420 0,569 0,703 0,810 0,887 0,937 0,967 0,984 0,993 0,997 0,999

7,30 0,001 0,006 0,024 0,067 0,147 0,264 0,406 0,554 0,689 0,799 0,879 0,932 0,964 0,982 0,992 0,996 0,999

7,40 0,001 0,005 0,022 0,063 0,140 0,253 0,392 0,540 0,676 0,788 0,871 0,926 0,961 0,980 0,991 0,996 0,998 0,999

7,50 0,001 0,005 0,020 0,060 0,132 0,241 0,378 0,525 0,662 0,776 0,862 0,921 0,957 0,978 0,990 0,995 0,998 0,999

7,60 0,001 0,004 0,019 0,055 0,125 0,231 0,365 0,510 0,648 0,765 0,854 0,915 0,954 0,976 0,989 0,995 0,998 0,999

7,70 0,000 0,004 0,017 0,052 0,118 0,220 0,351 0,496 0,634 0,753 0,844 0,909 0,950 0,974 0,987 0,994 0,997 0,999

7,80 0,004 0,016 0,048 0,112 0,210 0,338 0,481 0,620 0,741 0,835 0,902 0,945 0,971 0,986 0,993 0,997 0,999

7,90 0,003 0,015 0,045 0,106 0,201 0,326 0,467 0,607 0,729 0,826 0,895 0,941 0,969 0,984 0,993 0,997 0,999

8,00 0,003 0,014 0,042 0,096 0,191 0,313 0,453 0,593 0,717 0,816 0,888 0,936 0,966 0,983 0,992 0,996 0,998 0,999

8,10 0,003 0,013 0,040 0,094 0,182 0,301 0,439 0,579 0,704 0,806 0,881 0,931 0,963 0,981 0,991 0,996 0,998 0,999

8,20 0,003 0,012 0,037 0,089 0,174 0,290 0,425 0,565 0,692 0,796 0,873 0,926 0,960 0,979 0,990 0,995 0,998 0,999

8,30 0,002 0,011 0,035 0,085 0,166 0,280 0,411 0,553 0,681 0,786 0,860 0,921 0,957 0,977 0,989 0,995 0,998 0,999

8,40 0,002 0,010 0,032 0,079 0,157 0,267 0,399 0,537 0,666 0,774 0,857 0,915 0,952 0,975 0,987 0,994 0,997 0,999

8,50 0,002 0,009 0,030 0,074 0,150 0,256 0,386 0,523 0,653 0,763 0,849 0,909 0,949 0,973 0,986 0,993 0,997 0,999

8,60 0,002 0,009 0,028 0,070 0,142 0,246 0,373 0,509 0,640 0,752 0,840 0,903 0,945 0,970 0,985 0,993 0,997 0,999

8,70 0,002 0,008 0,026 0,066 0,135 0,235 0,360 0,496 0,627 0,741 0,831 0,897 0,940 0,967 0,983 0,992 0,996 0,998 0,999

8,80 0,001 0,007 0,024 0,062 0,128 0,226 0,348 0,482 0,614 0,729 0,822 0,890 0,936 0,965 0,982 0,991 0,996 0,998 0,999

8,90 0,001 0,007 0,022 0,057 0,119 0,211 0,330 0,462 0,594 0,712 0,808 0,879 0,929 0,960 0,979 0,989 0,995 0,998 0,999

9,00 0,001 0,006 0,021 0,055 0,116 0,207 0,324 0,456 0,587 0,706 0,803 0,876 0,926 0,959 0,978 0,989 0,995 0,998 0,999

682 C

ON

TRO

L DE

CALIDAD ¡

JORG

E ACUÑA

ACUÑA 683


LANDA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

9,10 0,001 0,006 0,020 0,052 0,110 0,198 0,312 0,443 0,574 0,694 0,793 0,868 0,921 0,955 0,976 0,988 0,994 0,997 0,9999,20 0,001 0,005 0,018 0,048 0,104 0,189 0,301 0,430 0,561 0,682 0,783 0,861 0,916 0,952 0,974 0,987 0,993 0,997 0,9999,30 0,001 0,004 0,017 0,046 0,099 0,181 0,290 0,417 0,548 0,670 0,773 0,853 0,910 0,948 0,972 0,985 0,993 0,997 0,998 0,9999,40 0,001 0,004 0,016 0,043 0,093 0,173 0,279 0,404 0,535 0,658 0,763 0,845 0,904 0,944 0,969 0,984 0,992 0,996 0,998 0,9999,50 0,001 0,004 0,015 0,040 0,089 0,165 0,269 0,392 0,522 0,645 0,752 0,836 0,898 0,940 0,967 0,982 0,991 0,996 0,998 0,9999,60 0,001 0,004 0,014 0,038 0,084 0,157 0,258 0,380 0,509 0,633 0,741 0,828 0,892 0,936 0,964 0,981 0,990 0,995 0,998 0,9999,70 0,001 0,004 0,013 0,035 0,079 0,150 0,248 0,368 0,496 0,621 0,730 0,819 0,885 0,931 0,961 0,979 0,989 0,994 0,997 0,9999,80 0,001 0,003 0,012 0,033 0,075 0,143 0,239 0,356 0,483 0,608 0,719 0,810 0,879 0,927 0,958 0,977 0,988 0,994 0,997 0,9999,90 0,001 0,003 0,011 0,031 0,071 0,137 0,229 0,344 0,470 0,596 0,708 0,801 0,872 0,922 0,955 0,975 0,987 0,993 0,997 0,99910,00 0,000 0,003 0,010 0,030 0,070 0,130 0,220 0,333 0,458 0,583 0,697 0,792 0,864 0,917 0,951 0,973 0,986 0,993 0,997 0,99810,20 0,002 0,009 0,026 0,060 0,118 0,203 0,311 0,433 0,558 0,674 0,772 0,849 0,906 0,944 0,968 0,983 0,991 0,996 0,99810,40 0,002 0,008 0,023 0,053 0,107 0,186 0,290 0,409 0,533 0,650 0,752 0,834 0,894 0,936 0,963 0,980 0,989 0,995 0,99810,50 0,002 0,007 0,021 0,050 0,102 0,179 0,279 0,397 0,521 0,639 0,742 0,825 0,888 0,932 0,960 0,978 0,988 0,994 0,99710,60 0,002 0,007 0,020 0,048 0,097 0,171 0,269 0,385 0,508 0,627 0,732 0,817 0,882 0,927 0,957 0,976 0,987 0,994 0,99710,80 0,001 0,006 0,017 0,042 0,087 0,157 0,250 0,363 0,484 0,603 0,710 0,799 0,868 0,918 0,951 0,972 0,985 0,992 0,99611,00 0,001 0,005 0,015 0,037 0,079 0,143 0,232 0,341 0,460 0,579 0,687 0,781 0,854 0,907 0,944 0,968 0,982 0,991 0,99511,20 0,001 0,004 0,013 0,033 0,070 0,131 0,215 0,319 0,436 0,555 0,667 0,762 0,839 0,896 0,936 0,963 0,979 0,989 0,99411,40 0,001 0,004 0,012 0,029 0,064 0,119 0,198 0,299 0,413 0,532 0,644 0,743 0,823 0,885 0,928 0,957 0,976 0,987 0,99311,50 0,001 0,003 0,011 0,028 0,060 0,114 0,191 0,289 0,402 0,520 0,633 0,733 0,815 0,878 0,924 0,954 0,974 0,986 0,99211,60 0,001 0,003 0,010 0,026 0,057 0,108 0,183 0,279 0,391 0,508 0,622 0,723 0,807 0,872 0,919 0,951 0,972 0,984 0,99211,80 0,001 0,003 0,009 0,023 0,051 0,099 0,169 0,260 0,369 0,485 0,599 0,702 0,790 0,859 0,909 0,944 0,967 0,982 0,99012,00 0,001 0,002 0,008 0,020 0,046 0,090 0,155 0,242 0,347 0,462 0,576 0,682 0,772 0,844 0,899 0,937 0,963 0,979 0,98812,20 0,000 0,002 0,007 0,018 0,041 0,081 0,142 0,225 0,327 0,439 0,553 0,660 0,754 0,830 0,887 0,929 0,957 0,975 0,98612,40 0,002 0,006 0,016 0,036 0,073 0,131 0,209 0,307 0,417 0,530 0,639 0,735 0,814 0,876 0,920 0,951 0,971 0,98412,50 0,002 0,005 0,015 0,035 0,070 0,125 0,201 0,297 0,406 0,519 0,628 0,725 0,806 0,869 0,916 0,948 0,969 0,98312,60 0,001 0,005 0,014 0,032 0,066 0,120 0,194 0,288 0,395 0,508 0,617 0,715 0,798 0,863 0,911 0,945 0,967 0,98112,80 0,001 0,004 0,012 0,029 0,060 0,109 0,179 0,269 0,374 0,485 0,595 0,695 0,781 0,850 0,901 0,938 0,963 0,978


LANDA 1 2 3 4 5 6 ; 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

13,00 0,001 0,004 0,011 0,026 0,054 0,100 0,166 0,252 0,353 0,463 0,573 0,675 0,764 0,835 0,890 0,930 0,957 0,975

13,20 0,000 0,003 0,009 0,023 0,049 0,091 0,153 0„"35 0,333 0,441 0,551 0,655 0,746 0,821 0,879 0,922 0,952 0,971

13,40 0,003 0,008 0,020 0,044 0,083 0,141 0,219 0,319 0,420 0,529 0,634 0,727 0,805 0,867 0,913 0,945 0,967

13,50 0,003 0,008 0,019 0,041 0,079 0,135 0,211 0,304 0,409 0,518 0,623 0,718 0,798 0,861 0,908 0,942 0,965

13,60 0,002 0,007 0,018 0,040 0,075 0,130 0,204 0,295 0,399 0,507 0,613 0,708 0,789 0,854 0,904 0,939 0,963

13,80 0,002 0,006 0,016 0,035 0,069 0,119 0,189 0,277 0,378 0,486 0,592 0,689 0,773 0,841 0,893 0,931 0,958

14,00 0,002 0,005 0,014 0,032 0,062 0,109 0,176 0,260 0,358 0,464 0,570 0,669 0,756 0,827 0,883 0,923 0,952

14,20 0,002 0,005 0,013 0,028 0,056 0,100 0,163 0,243 0,339 0,443 0,549 0,649 0,738 0,813 0,871 0,915 0,946

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14,50 0,001 0,004 0,010 0,024 0,048 0,088 0,145 0,220 0,311 0,413 0,518 0,619 0,711 0,790 0,853 0,901 0,936

14,60 0,001 0,004 0,010 0,023 0,046 0,084 0,139 0,213 0,302 0,402 0,507 0,609 0,702 0,782 0,847 0,896 0,933

14,80 0,001 0,003 0,009 0,020 0,042 0,066 0,129 0,198 0,285 0,383 0,486 0,589 0,683 0,766 0,833 0,886 0,925

15,00 0,001 0,003 0,008 0,018 0,037 0,070 0,118 0,185 0,268 0,363 0,466 0,568 0,664 0,749 0,819 0,875 0,917

15,20 0,000 0,002 0,007 0,016 0,033 0,064 0,109 0,172 0,251 0,344 0,445 0,548 0,645 0,732 0,805 0,864 0,908

15,40 0,002 0,006 0,014 0,030 0,058 0,100 0,160 0,236 0,326 0,425 0,527 0,625 0,714 0,790 0,852 0,899

15,50 0,002 0,006 0,013 0,029 0,055 0,096 0,154 0,228 0,317 0,415 0,517 0,615 0,705 0,782 0,846 0,894

15,60 0,002 0,005 0,013 0,027 0,053 0,092 0,148 0,221 0,308 0,406 0,507 0,606 0,696 0,775 0,839 0,889

15,80 0,002 0,005 0,012 0,025 0,048 0,084 0,137 0,207 0,291 0,386 0,487 0,586 0,678 0,759 0,826 0,879

16,00 0,001 0,004 0,010 0,022 0,043 0,077 0,127 0,193 0,275 0,368 0,467 0,566 0,659 0,742 0,812 0,868

16,20 0,001 0,004 0,009 0,020 0,039 0,071 0,117 0,180 0,259 0,349 0,447 0,546 0,641 0,726 0,798 0,857

16,40 0,001 0,003 0,008 0,018 0,035 0,065 0,108 0,168 0,243 0,331 0,428 0,526 0,622 0,708 0,783 0,845

16,50 0,001 0,003 0,007 0,017 0,034 0,062 0,104 0,162 0,236 0,323 0,418 0,516 0,612 0,700 0,776 0,838

16,60 0,001 0,003 0,007 0,016 0,032 0,059 0,100 0,156 0,228 0,314 0,409 0,507 0,602 0,691 0,768 0,832

16,80 0,001 0,002 0,006 0,014 0,029 0,054 0,092 0,145 0,214 0,297 0,390 0,487 0,583 0,673 0,752 0,819

17,00 0,001 0,002 0,005 0,013 0,026 0,049 0,084 0,135 0,201 0,281 0,371 0,468 0,564 0,655 0,736 0,805

17,20 0,001 0,002 0,005 0,011 0,024 0,045 0,078 0,125 0,188 0,265 0,353 0,449 0,545 0,637 0,720 0,791

17,40 0,001 0,002 0,004 0,010 0,021 0,040 0,071 0,116 0,176 0,250 0,336 0,430 0,526 0,618 0,703 0,777

684 C

ON

TRO

L DE

CALIDAD JO

RGE

ACUÑA ACUÑA

685


LANDA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

17,50 0,000 0,001 0,004 0,009 0,020 0,039 0,068 0,112 0,170 0,243 0,328 0,420 0,516 0,609 0,695 0,76917,60 0,001 0,003 0,009 0,019 0,037 0,065 0,107 0,164 0,235 0,319 0,411 0,506 0,600 0,686 0,76217,80 0,001 0,003 0,008 0,017 0,033 0,060 0,099 0,153 0,221 0,303 0,393 0,487 0,581 0,669 0,74618,00 0,001 0,003 0,007 0,015 0,030 0,055 0,092 0,143 0,208 0,287 0,375 0,469 0,562 0,651 0,73118,20 0,001 0,003 0,006 0,014 0,027 0,050 0,084 0,133 0,195 0,271 0,358 0,450 0,544 0,633 0,71518,40 0,000 0,002 0,006 0,012 0,025 0,046 0,078 0,123 0,183 0,256 0,341 0,432 0,525 0,615 0,69818,50 0,002 0,005 0,012 0,024 0,044 0,075 0,119 0,177 0,249 0,332 0,423 0,516 0,606 0,69018,60 0,002 0,005 0,011 0,022 0,042 0,072 0,115 0,171 0,242 0,324 0,414 0,506 0,597 0,68118,80 0,002 0,004 0,010 0,020 0,038 0,066 0,106 0,160 0,228 0,308 0,396 0,488 0,579 0,66419,00 0,001 0,004 0,009 0,018 0,035 0,061 0,098 0,150 0,215 0,292 0,37 0,469 0,561 0,64719,20 0,001 0,003 0,008 0,017 0,031 0,056 0,091 0,140 0,202 0,277 0,361 0,451 0,542 0,63019,40 0,001 0,003 0,007 0,015 0,029 0,051 0,084 0,130 0,190 0,262 0,345 0,433 0,524 0,61219,50 0,001 0,003 0,007 0,014 0,027 0,049 0,081 0,126 0,184 0,255 0,336 0,425 0,515 0,60319,60 0,001 0,003 0,006 0,013 0,026 0,047 0,078 0,121 0,178 0,248 0,328 0,416 0,506 0,59519,80 0,001 0,002 0,006 0,0.2 0,024 0,043 0,072 0,113 0,167 0,234 0,312 0,398 0,488 0,57720,00 0,001 0,002 0,005 0,011 0,021 0,039 0,066 0,105 0,157 0,221 0,297 0,381 0,470 0,55920,20 0,001 0,002 0,004 0,010 0,019 0,036 0,061 0,097 0,146 0,208 0,282 0,365 0,453 0,54120,40 0,001 0,002 0,004 0,009 0,018 0,033 0,056 0,090 0,137 0,196 0,268 0,348 0,435 0,52420,50 0,001 0,002 0,004 0,008 0,017 0,031 0,054 0,087 0,132 0,190 0,260 0,340 0,426 0,51520,60 0,000 0,001 0,004 0,008 0,016 0,030 0,051 0,084 0,128 0,185 0,254 0,332 0,418 0,50620,80 0,001 0,003 0,008 0,014 0,027 0,047 0,077 0,119 0,174 0,240 0,317 0,401 0,48821,00 0,001 0,003 0,006 0,013 0,024 0,043 0,071 0,111 0,163 0,227 0,302 0,384 0,47121,20 0,001 0,002 0,006 0,012 0,022 0,040 0,066 0,103 0,153 0,214 0,287 0,368 0,45421,40 0,001 0,002 0,005 0,010 0,020 0,036 0,061 0,096 0,143 0,202 0,273 0,352 0,43721,50 0,001 0,002 0,005 0,010 0,019 0,035 0,059 0,093 0,139 0,196 0,266 0,344 0,428

1 iBr/F/UBWoi


LANDA 10 11 12 14 15 16 18 19 20

21,60 0,001 0,002 0,004 0,009 0,018 0,033 0,056 0,089 0,134 0,191 0,259 0,336 0,420

21,80 0,001 0,002 0,004 0,008 0,017 0,030 0,052 0,083 0,125 0,180 0,245 0,321 0,403

22,00 0,001 0,002 0,003 0,008 0,015 0,028 0,048 0,077 0,117 0,169 0,233 0,306 0,387

22,20 0,000 0,001 0,003 0,007 0,014 0,025 0,044 0,071 0,109 0,159 0,220 0,291 0,371

22,40 0,001 0,003 0,006 0,012 0,023 0,040 0,066 0,102 0,149 0,208 0,277 0,355

22,50 0,001 0,003 0,006 0,011 0,022 0,039 0,063 0,098 0,144 0,202 0,271 0,347

22,60 0,001 0,003 0,006 0,011 0,021 0,037 0,061 0,094 0,140 0,196 0,264 0,340

22,80 0,001 0,002 0,005 0,010 0,019 0,034 0,056 0,088 0,131 0,185 0,251 0,325

23,00 0,001 0,002 0,004 0,009 0,017 0,031 0,052 0,082 0,123 0,175 0,238 0,310

23,20 0,001 0,002 0,004 0,008 0,016 0,028 0,048 0,076 0,115 0,165 0,225 0,296

23,40 0,001 0,002 0,004 0,007 0,014 0,026 0,044 0,071 0,107 0,155 0,213 0,282

23,50 0,000 0,001 0,003 0,007 0,014 0,025 0,042 0,068 0,104 0,150 0,208 0,275

23,60 0,001 0,003 0,007 0,013 0,024 0,041 0,066 0,100 0,146 0,202 0,268

23,80 0,001 0,003 0,006 0,012 0,022 0,037 0,061 0,093 0,137 0,191 0,255

24,00 0,001 0,003 0,005 0,011 0,020 0,034 0,056 0,087 0,128 0,180 0,243

24,20 0,001 0,002 0,005 0,010 0,018 0,032 0,052 0,081 0,120 0,170 0,230

24,40 0,001 0,002 0,004 0,009 0,017 0,029 0,048 0,075 0,113 0,160 0,219

24,50 0,001 0,002 0,004 0,008 0,016 0,028 0,046 0,073 0,109 0,156 0,213

24,60 0,001 0,002 0,004 0,008 0,015 0,027 0,044 0,070 0,105 0,151 0,207

24,80 0,001 0,002 0,004 0,007 0,014 0,024 0,041 0,065 0,099 0,142 0,196

25,00 0,000 0,001 0,003 0,006 0,012 0,022 0,038 0,060 0,092 0,134 0,185

686 C

ON

TRO

L DE

CALIDAD ¡

JORG

E ACUÑA

ACUÑA 687

C O N T R O L D E C A L ID A D

TABLA VII. Constante K, para límites de tolerancia individuales {')

- a - 0.95 1 - a - 0.99

pn \

0.90 0.95 0.99 0.90 0.95 0.99

2 32.019 37.674 48.430 160.193 188.491 242.3003 8.380 9.916 12.861 18.930 22.401 29.0554 5.369 6.370 8.299 9.398 11.150 14.5275 4.275 5.079 6.634 6.612 7.855 10.2606 3.712 4.414 5.775 5.337 6.345 83017 3.369 4.007 5.248 4.613 5.488 7.1873 3.136 3.732 4.891 4.147 4.936 6.4689 2.967 3.532 4.631 3.822 4.550 5.966

10 2.839 3.379 4.433 3.582 4.265 5.59411 2.737 3.259 4.277 3.397 4.045 5.30812 2.655 3.162 4.150 3.250 3.870 5.07913 2.587 3.081 4.044 3.130 3.727 4.89314 2.629 3.012 3.955 3.029 3.608 4.73715 2.480 2.954 3.878 2.945 3.507 4.60516 2.437 2.903 3.812 2.872 3.421 4.49217 2.400 2.858 3.754 2.808 3.345 4.39318 2.366 2.819 3.702 2.753 3.279 4.30719 2.337 2.784 3.656 2.703 3.221 4.23020 2.310 2.752 3.615 2.659 3.168 4.16125 2.208 2.631 3.457 2.494 2.972 3.90430 2.140 2.549 3.350 2385 2.841 3.73335 2.090 2.490 3.272 2.306 2.748 3.61140 2.052 2.445 3.213 2.247 2.677 3.51845 2.021 2.408 3.165 2.200 2.621 3.44450 1.996 2.379 3.128 2.162 2.576 3.38555 1.976 2.354 3.094 2.130 2.538 3.33560 1.958 2.333 3.066 2.103 2.500 3.29365 1.943 2.315 3.042 2.080 2.478 3.25770 1.929 2.299 3.021 2.060 2.454 3.22575 1.917 2.285 3.002 2.042 2.433 3.19780 1.907 2.272 2.966 2.026 2.414 3.17385 1.897 2.261 2.97) 2.012 2.397 3.15090 1.889 2.251 2.958 1.999 2.382 3.13095 1.881 2.241 2.945 1.987 2.368 3.112

100 1.874 2.233 2.934 1.977 2.355 3.096150 1.825 2.175 2.859 1.905 2.270 2.983200 1.798 2.143 2.816 1.865 2.222 2.921250 1.780 2.121 2.788 1.839 2.191 2.880300 1.767 2.100 2.707 1.820 2.109 2.850400 1.749 2.084 2.739 1.794 2.138 2.809500 1.737 2.070 2.721 1.777 2.117 2.783600 1.729 2.060 2.707 1.764 2.102 2.763700 1.722 2.052 2.097 1.755 2.091 2.748800 1.717 2.046 2.G88 1.747 2.082 2.736900 1.712 2.040 2.682 1.741 2.075 2.726

1000 1.709 2.036 2.676 1.736 2.068 2.71800 1.645 1.960 2.576 1.645 1.960 2.576

* Tomada de la Referencia 20

TABL

A VI

II.

Tabla

de


Tom

ada

de la

jorge acuña un enfoque integral y estadístico

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