investigaciones ciateq xcongreso

CIATEQ ' * :

XCONGRESO YEXPOSICIONLATINOAMERICANA DE TURBOMAQUINARIA

INSTiTUTODE INVESTIGACIONES ELECTRICAS

DISENO DE UN GENERADOR DE VIBRACIONES ARMONICAS POR DESBALANCE ROTATORIO

Eloy Edmundo Rodnguez Vazquez Grupo de Investigacion Aplicada

Fernando Soler #207, Frac. La Joy a, Santiago de Queretaro, Mexico

edmundorv@ieee. org +52 (442) 169 1712

Gerardo Silva Navarro Departamento de Ingeniena Electrica,

Section de Mecatronica, Centro de Investigacion y Estudios

Avanzados del IPN (CINVESTAV-IPN) Av. Institute) Politecmco Nacional #2508,

Col San Pedro Zacatenco, 07360, Mexico DF

[email protected] +52 (55) 5061 3787

Helen Janeth Zufiiga Osorio Turbomaquinaria, Centro de

Tecnologia Avanzada (CIATEQ) P. I. Bernardo Quintana, El Marques

Queretaro, Mexico helen.zuniga@ciateq .mx

+52 (442) 1961500

RESUMEN

En este trabajo se presenta el desarrollo experimental de un sistema integral para el monitoreo y adquisicion de variables fisicas involucradas en el analisis del rendimiento de la turbomaquinaria. El sistema integral se ha denominado SMD Turbo (Sistema de Monitoreo y Diagnostico para Turbomaquinaria) y tiene como proposito fundamental realizar el analisis y diagnostico (en base a herramientas matematicas y graficas) del rendimiento de la turbo maquina a traves de la medicion de variables fisicas como por ejemplo, presion, temperatura y vibracion. El sistema es capaz de realizar el analisis de la informacion en tiempo real y almacenarla para su posterior proceso de diagnostico mediante un software especializado con el cual se podran realizar los calculos del rendimiento. Se presentan resultados preliminares de la propuesta que confirman la viabilidad de la propuesta.

ABSTRACT A Proportional and Integral controller developed for a DC motor is described in this work. This device is an essential part of a generator of harmonic vibrations (forces) for translational mechanical systems. In this control system, the electromechanical actuator and the translational mechanical system are synthesized to have a constant angular speed in the rotor; although this rotor has an eccentric mass wheel

coupled. The shaker system is illustrated with some numerical simulations and its application to a passive and an active vibration absorption problem.

Palabras Clave: Sistemas mecanicos, Vibraciones, Control Proporcional-Integral, Absorcion Pasiva de Vibraciones.

1. INTRODUCCION

El hombre empezo a convivir con el fenomeno de las vibraciones el dia en que invento el que quizas sea el primer instrumento musical, el tambor. Desde entonces y hasta ahora las vibraciones han sido utilizadas por el hombre en una diversidad de actividades, que van desde la musica, hasta su aplicacion como fuerza motora para derrumbar construcciones. Si tomamos en cuenta que la mayoria de las maquinas y sus estructuras experimentan vibraciones, y que las vibraciones se hacen presentes como movimientos oscilantes, entonces resulta logico iniciar con el estudio de este tipo de movimiento oscilatorio [1, 2, 3].

En el presente trabajo se describe el disefio y la sintesis de controlador Proporcional Integral para la regular la velocidad en un motor de CD con una rueda excentrica (desbalance rotatorio), el cual es parte de un dispositivo para generar vibraciones (fuerzas) armonicas sobre sistemas mecanicos

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INSTITUTODE INVESTIGACIONES ELECTRICAS

traslacionales del tipo masa-resorte-amortiguador. El sistema de control de velocidad se implementa a traves de circuitos de control PI, de tipo analogico, y un amplificador de potencia sobre un motor de cd con sensor de velocidad angular. Este controlador debe ser suficientemente robusto para que, bajo el acoplamiento dinamico con el sistema mecanico, se asegure que la velocidad angular en la flecha del rotor con la rueda excentrica sea constante (frecuencia de excitacion constante). Por ultimo, el dispositivo se utiliza en la absorcion pasiva y activa de vibraciones armonicas.

2. SISTEMAS MECANICOS VIBRATORIOS

Los sistemas vibratorios se clasifican, generalmente, en dos tipos: como lineales y como no lineales. Esta claro que un sistema del tipo lineal sera mucho mas facil de caracterizar y de controlar, pero sabemos que en la realidad un sistema es lineal solamente en un pequeno rango de operacion y que esta linealidad esta condicionada a los efectos que tienen ciertos agentes externos que actuan sobre el, como por ejemplo la action de fuerzas externas con componentes armonicas que pueden excitar al sistema o incluso producir su resonancia [3]-El movimiento oscilatorio puede ser repetitivo y regular (periodico), o puede presentar irregularidades considerables (estocastico, como el ruido). Cuando el movimiento es repetitivo durante cierto tiempo x, se dice que es armonico, y al tiempo x se le conoce como el periodo de oscilacion. Por lo tanto, la frecuencia de oscilacion se define como f = 1 / r .

Cuando un sistema mecanico se somete a una fuerza armonica externa, este se ve forzado a oscilar a la misma frecuencia de excitacion que la fuente de excitacion. Por ejemplo, un sistema mecanico traslacional tipo masa-resorte con amortiguamiento viscoso forzado armonicamente:

mX(t) + cX{t) + kx(t) = F0 cos cot (1)

donde x(t) es el desplazamiento de la masa, m, k, y c son la masa, la constante de rigidez del resorte y el coeficiente de amortiguamiento viscoso, respectivamente; la fuerza armonica externa esta caracterizada por la amplitud Fo y la frecuencia de excitacion co. La respuesta vibratoria forzada en estado estacionario es de la forma

x(t) = X sin(<y£ - <j>)

con amplitud y fase expresadas como

(2)

X = F, 1 = tan" CO)

k-moo' \(k-mo)iy+(cwf Un sistema mecanico tambien puede excitarse armonicamente mediante desbalance rotatorio.

3. VIBRACIONES FORZADAS

La maquinaria rotatoria que presenta desbalance rotatorio esta expuesta a fenomenos vibratorios complejos, generalmente indeseables [1, 3]. Para esto considere un sistema masa-resorte-amortiguador, donde mediante una masa excentrica rotando a una velocidad angular co, se perturba para que experimente vibraciones traslacionales (ver figura 1).

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Figure 1. Sistema rotatorio con masa excentrica que produce movimiento armonico traslacional.

Las ecuaciones de movimiento para este sistema mecanico son [2, 4]:

(M - m)X + m —-(x + esin cot) = -kx- cX (3)

Por lo tanto, se obtiene que

MX + cX + kx = meco2 sin cot. (4)

Esta ultima ecuacion es igual a la de un sistema masa-resorte-amortiguador, sujeto a una fuerza de vibration armonica. Entonces, por analogia con el sistema (1) se puede establecer que

Fn = meco2. (5)

Ademas, la amplitud maxima de las vibraciones forzadas y el angulo de fase resultan

x = ^(k-Mo)2)2 +(ca>)2 '

= tan" k-Mof

.(6)

La respuesta total del sistema vibratorio es

x(t)=Xsm(cct-$)+XX sin(^/l-C cont-<fc). (7)

donde el primer termino corresponde a la respuesta forzada y el segundo a la respuesta transitoria, siendo a>n=^kl m la frecuencia natural (no amortiguada) y C, = c/(2mcon) la relation de amortiguamiento del sistema. Cuando co = con el sistema se encuentra bajo resonancia externa.

4. GENERADOR DE VIBRACIONES

En la figura 2 se muestra un diagrama esquematico del generador de vibraciones armonicas, el cual esta

basado en un motor de cd de iman permanente y un disco con una masa excentrica.

•Mb: Figura 2. Diagrama esquematico del generador de

vibraciones.

Aqui se pueden identificar los siguientes parametros:

U(t) Ra eh(t) Ti Tm <f>m(t) Ki La <a(t) Kh <Om(t) Jm Bm M me E

Comente de armadura Resistencia de armadura Fuerza contraelectromotnz Par de carga Par del rotor Desplazamiento angular del rotor Constante del par motor Inductancia de la armadura Voltaje aplicado Constante de la fuerza electromotnz Velocidad angular del rotor-motor Momento de inercia del rotor-motor Coeficiente de friccion viscosa del motor Masa del disco principal Masa excentrica Excentncidad

La funcion de transferencia de este generador de vibraciones se obtiene como:

G(s)= 0.0) EM (8)

K 4(Jffl +ML)S

2 +[^(Jffl +ML)+LaBM]S+BnRJ +KJC,

donde ML = M + mee . Normalizando la funcion de transferencia y sustituyendo los valores reales de los coeficientes se simplifica a


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G(s) = 634610 s

2+3128s+ 32078'

(9)

*u

1 6

1=

•

1

/ " /7 ■ / / /

/ / — Zoom

f||f|^^ I

0 5 1 1.5 2 2.5

donde con = 179.103 rad/s es la frecuencia natural no amortiguada, ^ = 8.734 la relation de amortigua

miento y K = 19.783 (rad/s)/V la ganancia estatica de todo el sistema electromecanico.

La respuesta obtenida mediante simulation numerica del generador de vibraciones se muestra en la figura 3. Se puede observar que la velocidad no es constante, sino mas bien oscilatoria, aun cuando el generador esta montado sobre una base fija. Cuando el generador se monta sobre una base en movimiento, se transmiten ademas fiierzas inerciales y dinamicas que perturban aun mas la velocidad. Es por esto que se procedio a disenar el sistema de control para regulation de velocidad para garantizar que la frecuencia sea constante y en consecuencia tambien la amplitud de la fuerza (5).

5. REGULACION DE LA VELOCIDAD ANGULAR

El esquema del circuito analogico para controlar la velocidad angular del generador de vibraciones se ilustra en la figura 4. Se utiliza un controlador PI con ganancias dadas por

Ts=RaCa = RPon(lMF),y

Y — c — POT2 p~ R~ 100A:Q *

(10)

(11)

Figura 3. Simulation numerica del generador.

De esta manera es posible garantizar que la velocidad angular o frecuencia de excitacion sea casi constante, ya que el generador se encuentra acoplado dinamicamente a un sistema mecanico vibratorio que a su vez provoca perturbaciones armonicas en el sistema de control. La medicion de la velocidad angular se realiza con un decodificador optico y un circuito convertidor de frecuencia a voltaje (LM331).

Figura 4. Diagrama esquematico del controlador analogico PI.

6. CONTROL PASIVO DE VIBRACIONES

El control pasivo de vibraciones consiste en agregar un subsistema masaresorte al sistema primario (maquina).

Con este control en lazo abierto se calcula la masa y el resorte apropiados para que el nuevo sistema

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oscile a la misma frecuencia que la fiiente de vibration, solo que desfasado en 180° (contrafase) del movimiento en el sistema primario, para que al sumarse se cancelen o atenuen como en la figura 5 [1,3,5].

Se propone que las soluciones en estado estable sean

x1 = Asm cot, x2 = B sin cot. (13)

Estas soluciones solo son posibles si los dos amortiguamientos son c1 = c2 = 0. Entonces, sustituyendo estas soluciones en las ecuaciones del sistema (12) resultan las ecuaciones algebraicas

Serial a controlar x(t)

Serial de control y(t) Serial de control x(t)+y(t)

Figura 5. Senales de control pasivo de vibraciones.

Considere un sistema de dos grados de libertad como se muestra en la figura 6.

Sistema pnmano S/sterna secundaro (perturbado) (absorbed or)

Figura 6. Sistema masa-resorte de 2 grados de libertad.

El segundo subsistema es un absorbedor pasivo de vibraciones, que busca que la masa m1 permanezca estatica. Las ecuaciones de movimiento son

mxitx + cxxx + kxxx + k2 {xx - x2) = F0 sin cot m2'x2 + c2x2 -k2{xx -x2) = 0

(12)

- mxco2A + kxA + k2(A-B) = F0

-m2co2B-k2(A-B) = 0 (14)

Para que la masa ffl, permanezca estatica el desplazamiento xj debe se cero, lo cual solo es posible si A = 0. Entonces, resulta que la solution es

B-3L k,

co = = CO., (15)

A estas relaciones se les conoce como condiciones de sincronizacion (contrafase) y de resonancia externa, respectivamente.

Si conocemos la magnitud de la fuerza y la frecuencia de excitacion, entonces se pueden calibrar la masa m2 y el resorte k2 [6]. Para comprobar esta teoria, se realizaron experimentos en una plataforma de sistemas mecanicos traslacionales de Educational Control Products (figura 7).

Los parametros para los experimentos flier on:

^ = 2 . 3 1 % , kx=A00N/m c^ONs/m m2=1.57Skg, k2=80W/m c2=0Ns/m co=con2=225]rad/s=3.5mz> F0=4.6W

Para los experimentos se calcularon tanto la magnitud de la fuerza como su frecuencia, para aplicarlos a la masa principal. Para que los

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resultados del experimento fueran posibles en forma exacta, deben cumplirse simultaneamente las condiciones de sincronizacion y de resonancia externa (15), aunque es dificil la sincronizacion practica de los movimientos. Sin embargo, los amortiguamientos reales son muy pequenos c^23Nslm y c2 * 2ANslm, con lo cual la sincronizacion puede eliminarse al precio de conseguir solamente la atenuacion de las

vibraciones en el sistema primario. En resumen, los resultados obtenidos fiieron bastante satisfactorios (ver figura 8).

7. CONTROL ACTIVO DE VIBRACIONES

Para el control activo de vibraciones se intercambio el generador de vibraciones y el sistema primario. Esto porque la serial de control u(t) sera ahora suministrada por el servomotor de la plataforma ECP y la fuerza armonica/^ por el generador de fiierzas armonicas disenado.

(a) Vista general.

(b) Acoplamiento del generador al sistema primario.

Figura 7. Fotografia de la plataforma experimental ECP®.

La representation en variables de estado del sistema de control es

z = Az + Bu+Ef, zeR4, u,feR , (16)

y = Z3

donde

A =

B =

0 k{+k2

0

K m2

' 0 " 1

0 0

1 c\

0

0

0

k2

0

_k^ _ m2

E =

' 0 " 0

0 1

m2

0

0

1

-h m

(17)

(18)


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Xi(t)

X2(t)

Figura 8. Resultados experimentales con el control pasivo de vibraciones.

Este sistema es completamente controlable y en el caso no forzado ( u = 0 ), es estable si c1 = c2 = 0 o asintoticamente estable si c1>0yc2>0. Esta caracteristica es conveniente, ya que en realidad el amortiguamiento nunca es totalmente cero. Para ver cuales son los efectos que tiene un control activo de

vibraciones se utiliza un control PID en el software de la plataforma ECP , denominado ECP-Executive. Las ganancias del control PID que producen un comportamiento aceptable, considerando que hay una alta ganancia de hardware khw =10055, fiieron:

Kp =0.011629, AT, =0.0003077, ^ ,=0.05

(18)

Estas ganancias son pequenas por el valor grande de la ganancia de hardware. Este controlador se implemento en el sistema sometido a las fiierzas armonicas del generador de vibraciones. Los resultados experimentales se muestran en la figuras 9y 10.

8. CONCLUSIONES

Con el control pasivo de vibraciones no se pudieron atenuar en su totalidad las vibraciones. Esto se debio en parte a que el amortiguamiento no es cero y que este tipo de control solo funciona para frecuencias de excitacion en una banda pequena que incluye a la frecuencia de diseno, por lo que se dice que no es robusto en sus parametros.

El control activo de vibraciones, basado en el control PID, logra atenuar o filtrar bastante bien las vibraciones exogenas y, simultaneamente, verificar el seguimiento de una trayectoria deseada para el sistema. Este controlador, sin embargo, es dificil de sintonizar en sistemas subactuados y perturbados armonicamente, por lo que la respuesta obtenida en seguimiento es muy lenta.

t[seg]

Figura 9. Resultados experimentales con el control activo de vibraciones (PID)


& iNsmuroDE INVESTIGACIONES

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t [seg]

Figura 10. Resultados experimentales con el control activo de vibraciones

(Accion de control PID).

[3] Rao, S.S., "Mechanical Vibrations", 3rd

Edition, Addison-Wesley, NY, 1995.

[4] Schilling, R.J. "Fundamentals of Robotics Analysis and Control", Prentice Hall, New Jersey, USA, 1990.

[5] Korenev, B.G. and Reznikov, L.M. "Dynamic Vibration Absorbers: Theory and Technical Applications''. Wiley, London, 1993.

[6] Fuller, C.R., Elliott, S.J. and Nelson, P.A. "Active Control of Vibration", Academic Press, London, UK, 1996.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Seccion de Mecatronica del CINVESTAV-IPN, a MONDRAGON ASSEMBLY Mexico, a CIATEQ Turbomaquinaria y al CONACYT, por el apoyo otorgado para la presentation de este trabajo.

REFERENCIAS

[1] Braun, S.G., Ewins, D.J., Rao, S.S. (Eds.), "Encyclopedia of Vibration", Vols. 1-3, Academic Press, San Diego, CA, 2001.

[2] Thomson, W.T. and Dahleh, M.D. "Theory of Vibration with Applications", 5l edition, Prentice-Hall, New Jersey, USA, 1998.


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