Introduccion

Gran parte de la forma en la que hoy estudiamos los sistemas dinamicosse lo debemos al matematico y fısico frances Henry Poincare quien revolu-ciono el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales, utilizando ramascomo la geometrıa y la topologıa. Todo esto con el fin de conocer propiedadesglobales, o cualitativas, de las soluciones de estos sistemas.

El siguiente fragmento puede darnos una idea del pensamiento que sostenıaPoincare acerca de lo que hoy llamamos caos.

Una causa muy pequena que escapa a nuestra percepcion deter-mina efectos considerables que no pueden escaparsele a nuestravista, y entonces decimos que el efecto se debe al azar.

Henri Poincare: Ciencia y Metodo.

Hoy en dıa denominamos caos precisamente a todos aquellos sistemas quepresentan comportamientos difıciles de determinar con cambios irregulares.Por tanto los sistemas dinamicos son una herramienta importante, ya quenos ayudan a conocer dicho comportamiento.

Podemos decir tambien que los sistemas dinamicos han tomado gran im-portancia, debido a que se encuentran inmersos en diferentes areas como son:la Economıa, la Astronomıa y la Biologıa, por mencionar algunas, e inclusola Literatura ha tomado parte de este fenomeno. Un claro ejemplo de estose encuentra en el cuento titulado “El sonido del trueno” de Ray Bradburyen el cual describe como un hombre que regresa al pasado para cazar a undinosaurio pisa sin darse cuenta a una mariposa y al regresar a su epocatodo lo encuentra totalmente cambiado. Este efecto, es conocido como unfenomeno de sensibilidad a las condiciones iniciales.

i

¿Que tiene que ver el Caos y la Linealidad?

A primera vista uno dirıa que no tienen nada que ver. Debido a que las trans-formaciones lineales poseen propiedades que las caracterizan y que de algunaforma hacen que podamos definir su comportamiento. Lo cual no sucedecon las tranformaciones caoticas, ya que estas presentan comportamientosirregulares.

Ası es que por esta razon uno no esperarıa encontrar transformacioneslineales que pudieran ser caoticas, sin embargo no es ası. En el artıculo deDavid S. Bennet, titulado “Chaos and Linearity”, muestra un ejemplo deuna transformacion lineal que es caotica, ¡para sorpresa de todos! Y esa esprecisamente la motivacion de esta tesis, desarrrollar en forma amplia y de-tallada dos ejemplos de transformaciones lineales caoticas que acontinuacionpresentaremos:

(1) En este primer ejemplo consideraremos el espacio de las sucesiones queson cuadrado sumables y T es la transformacion lineal dada por

T : l2 → l2

T (x0, x1, x2, ...) = 2(x1, x2, x3, ...).

(2) En el segundo ejemplo consideraremos el espacio H(C) que es el con-junto de las funciones enteras, y aquı la transformacion a considerar esla que a cada funcion le asigna su derivada.

D : H(C) → H(C)

D(f) = f ′

A continuacion daremos una breve explicacion de lo que veremos en cadacapıtulo:

En el capıtulo 1 vamos a definir que entendemos por orbita y puntosperiodicos. Despues daremos la definicion de caos de Devaney, que es la queutilizaremos en la demostracion de nuestros ejemplos.

Definicion 0.0.1. Sea X un espacio mtrico. Decimos que f : X → X escaotica en X si:

ii

(a) El conjunto de puntos periodicos bajo f es denso en X.

(b) Existe x ∈ X, tal que su orbita es densa en X.

(c) f es sensible a las condiciones iniciales en X.

Se sabe que,si X es un conjunto perfecto, la tercera condicion en estadefinicion es una consecuencia de las dos anteriores. Una demostracion deeste hecho puede encontrarse en el artıculo de J. Banks et al. titulado “OnDevaney’s Definition of Chaos” .

Ahora como el objetivo de este capıtulo es demostrar que las transfor-maciones lineales en Rn no son caoticas, utilizaremos el hecho de que todosubespacio vectorial en Rn es cerrado y que si L : Rn → Rn es una transfor-macion lineal que tiene una coleccion densa de puntos periodicos. Entoncesexiste m ∈ N tal que Tm = I ( Identidad en Rn).

Observese que este resultado, el de la densidad de puntos periodicos im-plica que alguna iteracion de la transformacion es la identidad, es un pocomas general, ya que todo espacio vectorial X sobre R de dimension finita esisomorfo a Rn.

Recordaremos tambien en este capıtulo propiedades importantes de Rn,como son: ser un espacio metrico completo y separable.

Probaremos en el capıtulo 1 que las transformaciones lineales en espaciosde dimension finita no son caoticas, sin embargo si el espacio es de dimen-sion infinita podemos encontrar al menos dos ejemplos de transformacioneslineales que sean caoticas. Ası es que el capıtulo 2 nos servira para presentaral espacio de las sucesiones cuadrado sumables el cual denotaremos comol2. Este espacio resulta ser precisamente un espacio de dimension infinita.Demostraremos que

〈x, y〉 =∞∑

k=0

xkyk.

define un producto interior, en l2 y su norma esta dada de la siguientemanera:

‖x‖ =

√√√√ ∞∑k=0

x2k =

√〈x, x〉.

Probaremos ademas que l2 es un espacio metrico completo y separable.Y finalmente demostraremos que su dimension es infinita.

iii

Una de las condiciones que debe de cumplir un operador caotico es queposea un vector universal i.e., un vector cuya orbita sea densa. Esto no siem-pre resulta facil de encontrar. Ası es que, el capıtulo 3 nos servira para de-mostrar un teorema de existencia de vectores universales. ¡No uno, sino unacoleccion densa de vectores universales! Para esto nos sera util demostrarprimero el Teorema de Baire.

Despues de todo lo anterior, estamos preparados para presentar en elcapıtulo 4 un ejemplo de una transformacion lineal caotica en un espacio dedimension infinita. El espacio como es de imaginarse sera el de las sucesionescuadrado sumables, l2, y la funcion la siguiente:

T : l2 → l2

T (x0, x1, x2, ...) = 2(x1, x2, x3, ...)

Veremos, entre otras propiedades, que T es una transformacion lineal y escontinua.

Ademas encontraremos una forma de caracterizar a los puntos periodicosde T , es decir, daremos una regla para encontrar puntos periodicos de T decualquier periodo. Todo esto con la finalidad de demostrar que el conjun-to de puntos periodicos bajo T es denso en l2. Para demostrar que existeun vector cuya orbita es densa en l2, demostraremos que T cumple con lascondiciones del teorema de existencia de vectores universales del capıtulo 3.Finalmente para demostrar la ultima condicion, para que un operador seacaotico, demostraremos el siguiente teorema:

Teorema 0.0.1. Sea H un espacio metrico, completo y separable. Y seaL : H −→ H una transformacion lineal. Si L tiene un vector universalentonces L es sensible a las condiciones iniciales.

Finalmente en el capıtulo 5, veremos otro ejemplo de un operador linealcaotico. El espacio sera el de las funciones enteras definidas en C y el operadores el siguiente:

D : H(C) → H(C)

D(f) = f ′

Empezaremos en la primera seccion por demostrar que C(C), el espaciode las funciones continuas de C en C, es un espacio metrico completo yseparable. Para ello demostraremos primero que ρ definida de la siguientemanera es una metrica para dicho espacio:

iv

ρ(f, g) =∞∑

n=1

(1

2

)nρn(f, g)

1 + ρn(f, g)

donde, para cada n ∈ N, definimos

ρn(f, g) = sup{|f(z)− g(z)| : z ∈ Bn(0)}.

Luego veremos un lema importante que relaciona a ρ con ρn y que sera utilpara demostrar que C(C) es un espacio metrico, completo y separable. Estasera la base para demostrar tambien que H(C) ⊂ C(C) es un espacio metrico,completo y separable.

Finalizamos esa seccion demostrando que la dimension de H(C) es infini-ta.

Las dos siguientes secciones nos serviran para demostrar propiedades im-portantes del operador D y el operador I que resulta ser una funcion inversapara D y que esta definido como:

I : H(C) → H(C)

(I(f))(z) = I(f(z)) =

∫ z

0

f(ξ)dξ

La ultima seccion la dedicaremos para demostrar que D es un operadorcaotico, demostrando que el conjunto de puntos periodicos bajo D es densoen H(C) y que existe un vector cuya orbita es densa en H(C). Con esteresultado finaliza la tesis.

v

Indice general

1. LA DINAMICA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALESEN Rn 11.1. Orbitas, puntos periodicos y caos. . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Propiedades de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Las transformaciones lineales en Rn no son caoticas. . . . . . . 5

2. PRESENTANDO A l2 112.1. Propiedades de l2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. l2 es un espacio vectorial completo y separable. . . . . . . . . . 162.3. l2 un espacio de dimension infinita. . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. EXISTENCIA DE VECTORES UNIVERSALES 223.1. El Teorema de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2. Teorema de existencia de vectores universales. . . . . . . . . . 23

4. UNA TRANSFORMACION LINEAL CAOTICA EN l2 284.1. Una transformacion lineal caotica en l2. . . . . . . . . . . . . . 28

4.1.1. Propiedades de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Caracterizacion de los puntos periodicos bajo T. . . . . . . . . 314.3. T es caotica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1. Densidad en el conjunto de puntos periodicos. . . . . . 334.3.2. Transitividad (vectores universales). . . . . . . . . . . . 354.3.3. Sensibilidad a las condiciones iniciales. . . . . . . . . . 37

5. CAOS EN EL ESPACIO DE LAS FUNCIONES ENTERAS 385.1. C(C), el espacio de las funciones conti-nuas. . . . . . . . . . . 38

5.1.1. Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.1.2. Un lema importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

vi

5.1.3. (C(C), ρ) es un espacio metrico completo. . . . . . . . . 475.1.4. (H(C), ρ) es un espacio metrico completo y separable. . 495.1.5. H(C) un espacio de dimension infinita . . . . . . . . . 53

5.2. El operador derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.1. Propiedades del operador derivada. . . . . . . . . . . . 55

5.3. El operador integracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4. D es caotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.1. Vectores universales en H(C) . . . . . . . . . . . . . . 585.4.2. Densidad del conjunto de las funciones periodicas . . . 59

vii

Capıtulo 1

LA DINAMICA DE LASTRANSFORMACIONESLINEALES EN Rn

La finalidad de este primer capıtulo, es demostrar que las transforma-ciones lineales en Rn no son caoticas.

Para demostrar lo anterior, primero daremos una introduccion rapida a losconceptos basicos de sistemas dinamicos, para presentar despues la definicionde caos. Recordaremos ademas algunas propiedades importantes de Rn.

1.1. Orbitas, puntos periodicos y caos.

Sea (X, d) un espacio metrico, donde d representa la metrica en X. Seaf : X → X una funcion continua. Definimos f 0 como la identidad en X,f 0(x) = x para toda x ∈ X, f 1 = f y, si n > 1, fn = f ◦ fn−1. A lasfunciones fn las llamamos las iteraciones de f .

Por ejemplo si f(x) = x2, las iteraciones de f son las siguientes:

f 2(x) = f(f(x)) = f(x2) = x22

f 3(x) = f(f 2(x)) = f(x22

) = x23

...

fn(x) = x2n

.

1

Conocer el comportamiento que tiene cada punto bajo un proceso itera-tivo es precisamente el objeto de estudio de los sistemas dinamicos discretos.Es decir nos interesa saber a donde va cada punto y que ruta sigue parallegar allı. Para conocer este comportamiento haremos uso de las siguientesdefiniciones.

Definicion 1.1.1. Sea x ∈ X, definimos la orbita de x bajo f como el siguien-te conjunto {fn(x) : n > 0} = {x, f(x), f2(x), ...}.

Notacion: O(x, f) denotara la orbita de x bajo f.Ejemplo. Sea f : R −→ R donde f(x) = 2x + 3. Entonces la orbita para

x = 3 bajo f es: O(3, f) = {3, 9, 21, 45, . . .}.

Definicion 1.1.2. Sea x ∈ X. Decimos que x es un punto periodico de f siexiste n ∈ N tal que fn(x) = x, al numero m = min{n ∈ N : fn(x) = x} lellamamos el periodo de x. Para el caso en el que n = 1, diremos que x es unpunto fijo de f.

Definicion 1.1.3. Decimos que una funcion f es caotica segun Devaney sicumple con las siguientes condiciones:

(a) El conjunto de puntos periodicos bajo f es denso en X, es decir, paratoda ε > 0 y para toda x ∈ X existe y ∈ X, y punto periodico bajo f ,tal que y ∈ Bε(x).

(b) X contiene un vector universal para f, es decir, existe un x ∈ X talque la O(x, f) es densa en X.

(c) f es sensible a las condiciones iniciales en X, es decir, existe δ > 0 talque para toda x ∈ X y ε > 0, existen y ∈ Bε(x) y n ≥ 1 tales qued(fn(x), fn(y)) > δ.

En el artıculo de J. Banks et al. titulado “On Devaney’s Definition ofChaos” se demuestra que la ultima condicion es resultado de las dos primeras[1], si X es un conjunto perfecto. Ası es que para demostrar que una funciones caotica nos bastara con demostrar las dos primeras condiciones.

2

1.2. Propiedades de Rn

Los espacios en los que vamos a trabajar de aquı en adelante seran es-pacios vectoriales sobre un campo K, los cuales son completos con respectoa la norma inducida por su producto interior. A este tipo de espacios se lesdenomina Espacios de Hilbert.

Definicion 1.2.1. Un espacio metrico es una pareja (X, d) donde X es unconjunto y d es una funcion d : X × X −→ R, llamada metrica, la cualsatisface las siguientes condiciones para toda x, y, z ∈ X se tiene que:

(i) d(x, y) ≥ 0,

(ii) d(x, y) = 0 si y solamente si x = y,

(iii) d(x, y) = d(y, x),

(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

(1) Rn es un espacio vectorial sobre el campo de los reales.

Es claro, si recordamos como definimos la suma, + , y el productopor un escalar, ∗ :

+: Rn × Rn −→ Rn

(x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn).

∗ : R× Rn −→ Rn

α ∗ (x1, x2, ..., xn) = (αx1, αx2, ..., αxn), α ∈ R.

Entonces (Rn, +, ∗) forma un espacio vectorial sobre R.

(2) (Rn, d) es un espacio metrico.

Sean x = (x1, . . . , xn) y y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn. Definimos el productointerior de x con y como:

〈x, y〉 =n∑

i=1

xiyi.

3

La metrica inducida por el producto interior estara dada de la siguientemanera:

d(x, y) = ‖x− y‖ , ‖x‖ =√〈x, x〉, x, y ∈ Rn.

Es facil ver que d cumple con las condiciones para ser metrica.

(3) Rn es un espacio metrico completo.

Demostracion. Para demostrar que Rn es completo con respecto a lametrica anterior. Hay que demostrar que toda sucesion de Cauchy enRn, converge a un elemento de Rn.

Para eso sea {x(p)} una sucesion de Cauchy en Rn donde

x(p) = (x(p)1 , x

(p)2 , ..., x

(p)n ) ∈ Rn, x

(p)i ∈ R, p = 1, . . .

Veremos que existe (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn tal que

lımp→∞

(x(p)1 , x

(p)2 , ..., x(p)

n ) = (x1, x2, ..., xn). (1.2.1)

Como {x(p)} es una sucesion de Cauchy en Rn se cumple que:

Dada ε > 0 existe N ∈ N tal que si p, q > N entonces∥∥x(p) − x(q)

∥∥ < ε

pero|x(p)

i − x(q)i | ≤

∥∥x(p) − x(q)∥∥ , para toda i = 1, ..., n.

Entonces si p, q > N,|x(p)

i − x(q)i | < ε,

es decir, {x(p)i } es una sucesion de Cauchy en R.

Ahora, utilizando la completez de R, tenemos que

lımp→∞

x(p)i = xi, con xi ∈ R.

Es decir, para ε√n

> 0 existe Ni ∈ N tal que si p > Ni, 1 ≤ i ≤ n,entonces

|x(p)i − xi| <

ε√n

. (1.2.2)

Utilizando lo anterior, calculemos lo siguiente:

4

Sea N = max{N1, N2, ..., Nn}, si p > N

∥∥∥(x(p)1 , ..., x(p)

n )− (x1, ..., xn)∥∥∥2

=∥∥∥(x(p)

1 − x1, ..., x(p)n − xn)

∥∥∥2

=n∑

i=1

(x(p)i − xi)

2

< nε2

n< ε2.

Con esto mostramos que {x(p)} es una sucesion de Cauchy que convergea (x1, x2, ..., xn), donde (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn.

Por lo tanto Rn es un espacio metrico completo.

(4) Rn es un espacio separable, es decir, existe X ⊂ Rn denso y numerable.

Demostracion. Consideremos X = Qn. Es facil ver que es denso, usan-do el hecho de que Q es denso en R.

Para ver que Qn es numerable, utilizaremos el hecho de que Q lo es. Co-mo Q×Q = ∪q∈Q{(q, t) : t ∈ Q}, entonces Q2 es numerable. Siguiendoeste camino, se puede mostrar que para toda n ∈ N, Qn es numerable.

1.3. Las transformaciones lineales en Rn no

son caoticas.

Nuestro objetivo es demostrar que las transformaciones lineales en Rn noson caoticas. Sin embargo podemos extender este resultado a los espacios dedimension finita, ya que cualquier espacio de dimension finita es isomorfo aRn para alguna n.

Teorema 1.3.1. Todo espacio vectorial X sobre R, de dimension finita esisomorfo a Rn.

Demostracion. Como X es de dimension finita, existe una coleccion β ={x1, x2, ..., xn} ⊂ X llamada base que es linealmente independiente y generaa X.

5

Se define

h : X → Rn primero para la base como:

h(xi) = ei para toda 1 ≤ i ≤ n,

y se extiende linealmente para cada x ∈ X, de la siguiente manera, si

x =n∑

i=1

αixi

conαi ∈ R, entonces

h(x) = α1e1 + α2e2 + · · ·+ αnen

Definida ası, h : X → Rn es claramente lineal.Ahora demostremos que h es isomorfismo

(a) h es inyectiva

Si x 6= y, x =∑n

i=1 αixi y y =∑n

i=1 βiyi existe αj 6= βj entoncesh(x) 6= h(y).

(b) h es suprayectiva

Sea w = α1e1+α2e2+· · ·+αnen, considere x = α1x1+α2x2+· · ·+αnxn

entonces α1e1 + α2e2 + · · ·+ αnen = h(α1x1 + α2x2 + · · ·+ αnxn).

Ahora probaremos la siguiente proposicion que nos ayudara a demostrarque las transformaciones lineales en Rn no son caoticas.

Proposicion 1.3.2. Cualquier subespacio vectorial de Rn es un subconjuntocerrado de Rn.

Demostracion. Sea Y un subespacio de Rn. Demostraremos que Y es unsubconjunto cerrado de Rn, es decir, que Y contiene a todos sus puntos deacumulacion.

Como Y es un subespacio de Rn podemos formar una base ortonormalde el, utilizando el proceso de Gram-Schmidt.

6

SeaB = {bj : j = 1, . . . , k}

una base ortonormal de Y. Sea p un punto de acumulacion de Y, entoncesexiste {yi} ⊂ Y tal que

lımi→∞

yi = p,

en otras palabras {yi} es una sucesion de Cauchy en Rn, es decir para todaε > 0 existe N ∈ N tal que para i, l ≥ N tenemos que

‖yi − yl‖ < ε.

Como yi ∈ Y y B es base de Y entonces

yi =k∑

j=1

αjibj, αji ∈ R.

Observemos ahora que

‖yi − yl‖ =

∥∥∥∥∥k∑

j=1

αjibj −k∑

j=1

αjlbj

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥k∑

j=1

(αji − αjl)bj

∥∥∥∥∥=

√√√√⟨ k∑j=1

(αji − αjl)bj,k∑

j=1

(αji − αjl)bj

⟩.

Usando el hecho de que B es una base ortonormal tenemos que: 〈bi, bj〉 = 0para i 6= j y 〈bi, bj〉 = 1 para i = j, ademas utilizando las propiedades delproducto interior, podemos reducir la expresion anterior como sigue:

‖yi − yl‖ =

√√√√ k∑j=1

(αji − αjl)2 < ε.

De lo anterior podemos concluir que, para cada j fija, {αji} es una sucesionde Cauchy en R, es decir, existe αj ∈ R tal que el

lımi→∞

αji = αj.

7

Solo nos queda por demostrar que

lımi→∞

yi =k∑

j=1

αjbj ∈ Y.

Sea ε > 0, como {αji} es una sucesion convergente en R entonces paracada j escogemos nj tal que si i ≥ nj entonces | αji − αj |< ε√

k. Sea

N = max{n1, n2, . . . , nk}, si i ≥ N entonces

∥∥∥∥∥yi −k∑

j=1

αjbj

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥k∑

j=1

αjibj −k∑

j=1

αjbj

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥k∑

j=1

(αjibj − αjbj)

∥∥∥∥∥=

√√√√ k∑j=1

(αji − αj)2

<

√√√√ k∑j=1

(ε√k)2

= ε.

Entonces como lımi→∞ yi =∑k

j=1 αjbj y tambien lımi→∞ yi = p.

Por la unicidad del limite tenemos que p =∑k

j=1 αjbj ∈ Y.Por lo tanto Y contiene a todos sus puntos de acumulacion, es decir, es

cerrado.

Teorema 1.3.3. Sea T : Rn −→ Rn una transformacion lineal. Supongamosque T tiene una coleccion densa de puntos periodicos. Entonces existe m ∈ Ntal que Tm = I ( Identidad en Rn).

Demostracion. Sea P = {p ∈ Rn : Tm(p) = p para alguna m ∈ N}.Demostraremos primero que P es un subespacio de Rn.

(1) 0 ∈ P.

8

Ya que T (0) = 0, es decir, 0 es un punto de periodo 1.

(2) Si a, b ∈ P entonces a + b ∈ P.

Como a, b ∈ P, existen n, m ∈ N respectivamente tales que T n(a) = ay Tm(b) = b

Considere k = nm, entonces

T k(a + b) = T k(a) + T k(b) = T nm(a) + T nm(b) = a + b.

(3) Si a ∈ P y α ∈ R entonces αa ∈ P.

Como a ∈ P, existe n ∈ N tal que T n(a) = a, entonces

T n(αa) = αT n(a) = αa.

Por lo tanto P es un subespacio vectorial de Rn, entonces por la proposi-cion anterior tenemos que P es un subconjunto cerrado de Rn y ademas densopor hipotesis, por lo tanto , P = P = Rn. Con lo cual concluimos que todopunto x ∈ Rn, es un punto periodico bajo T.

Falta demostrar que existe m ∈ N tal que Tm = I.Para eso, consideremos una base, B = {bi : i = 1, ..., n}, para Rn. Como

cada bi ∈ P, por lo anterior, existen mi ∈ N, i = 1...n tales que Tmi(bi) = bi.Sea m el mınimo comun multiplo del conjunto {mi : i = 1...n}, entoncespara cada bi tenemos que

Tm(bi) = Tmi(

mmi

)(bi) = bi.

Sea x ∈ Rn entonces

x =n∑

i=1

αibi.

aplicando

Tm(x) =n∑

i=1

αiTm(bi)

=n∑

i=1

αibi

= x.

Como x fue arbitrario entonces Tm = I.

9

Corolario 1.3.4. Una transformacion lineal de Rn en sı misma no puedeser caotica.

Demostracion. Supongamos que sı es catica, entonces se cumple que el con-junto de puntos periodicos de T es denso en Rn. Por (1.3.3) tenemos queexiste m ∈ N tal que Tm(x) = x para cada x ∈ Rn. Esto implica que cadaorbita es finita, O(x, T ) = {x, T (x), T 2(x), ..., Tm−1(x)}, para todo punto enRn. Lo que nos dice que T no tiene ningun vector universal, lo cual es unacontradiccion, ya que T es caotico.

Por lo tanto ninguna transformacion lineal en Rn puede ser caotica.

10

Capıtulo 2

PRESENTANDO A l2

Nuestra meta, es mostrar una transformacion lineal que sea caotica. Dedi-caremos los capıtulos 2, 3, y 4 a este objetivo. El primer paso es considerarun espacio vectorial que no tenga dimension finita donde tal transformacionpuede estar definida. Este espacio es precisamente el de las sucesiones queson cuadrado sumables, a este espacio lo denotaremos como l2.

En este capıtulo veremos propiedades importantes de l2. De hecho nuestrointeres es mostrar que es un espacio metrico, completo y separable. Ademasdemostraremos que l2 tiene dimesion infinita.

l2 = {{xi} : xi i = 0, 1, 2, ...,∞∑i=0

x2i < ∞}

Note que la sucesion {xi} puede escribirse tambien como un vector conuna cantidad infinita de coordenadas, es decir,

x = (x0, x1, ..., xk, ...)

2.1. Propiedades de l2

Proposicion 2.1.1. l2 es un espacio vectorial sobre R, con las operacionessuma, + , y producto por un escalar, * , definidas de la siguiente manera:

+ : l2 × l2 −→ l2(x0, x1, ..., xk, ...) + (y0, y1, ..., yk, ...) = (x0 + y0, x1 + y1, ..., xk + yk, ...)

11

∗ : R× l2 −→ l2α ∗ (x0, x1, ..., xk, ...) = (αx0, αx1, ..., αxk, ...), α ∈ R.

Para ver que la operacion suma esta bien definida, hay que demostrar losiguiente:

(x0 + y0, x1 + y1, ..., xk + yk, ...) ∈ l2, es decir, que la siguiente serie∑∞k=0(xk + yk)

2 converge.Para ello basta con demostrar que la siguiente serie

∑∞k=0 xkyk converge.

Demostracion. Sean x, y ∈ l2 y n ∈ N utilizando la desigualdad de Holder(ver [2] pagina 61 ) para el caso cuando p = q = 2 tenemos que:

0 ≤n∑

k=0

|xkyk| ≤

(n∑

k=0

|xk|2) 1

2(

n∑k=0

|yk|2) 1

2

es decir, (n∑

k=0

|xkyk|

)2

≤n∑

k=0

x2k

n∑k=0

y2k ≤

∞∑k=0

x2k

∞∑k=0

y2k

entonces, pasando al limite obtenemos que(∞∑

k=0

|xkyk|

)2

≤∞∑

k=0

x2k

∞∑k=0

y2k.

Notemos que tanto∑∞

k=0 x2k, como

∑∞k=0 y2

k convergen y ademas la raızes una funcion continua.Por lo tanto

∑∞k=0 |xkyk| esta acotada y converge.

Por ultimo, la convergencia de∑∞

k=0 |xkyk| implica la convergencia de∑∞k=0 xkyk, esto debido a que xkyk ≤ |xkyk|.

Es inmediato que si x, y ∈ l2 entonces x + y ∈ l2 ya que

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 〈x, y〉

y cada uno de ellos es una sucesion convergente.

12

A continuacion definimos para l2 un producto interior y una norma.

Proposicion 2.1.2. Sea 〈, 〉 : l2 × l2 −→ R la funcion dada por,

〈x, y〉 =∞∑

k=0

xkyk. (2.1.1)

Entonces 〈x, y〉 define un producto interior, en l2.

Demostracion. Para ver que ( 2.1.1) define un producto interior hay queverificar las siguientes propiedades:

(a) 〈x, x〉 ≥ 0 para toda x ∈ l2.

Sea x ∈ l2. Basta con observar que x2k ≥ 0 para toda k.

(b) 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = (0, 0, ...).

Sea x ∈ l2. Supongamos 〈x, x〉 = 0, es decir∑∞

k=0 x2k = 0, pero esto pasa

si y solamente si x2k = 0 para toda k, es decir, si y solo si x = (0, 0, . . .)

(c) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 .Sean x, y ∈ l2, como

N∑k=0

xkyk =N∑

k=0

ykxk,

es claro al pasar al lımite que:

〈x, y〉 =∞∑

k=0

xkyk =∞∑

k=0

ykxk = 〈y, x〉 .

(d) 〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉 .Observe lo siguiente:

13

Sea n ∈ N, con n fija y sean x, y, z ∈ l2

n∑k=0

xk(yk + zk) =n∑

k=0

(xkyk + xkzk)

=n∑

k=0

xkyk +n∑

k=0

xkzk

pasando al limite en ambos lados de la desigualdad tenemos que:

∞∑k=0

xk(yk + zk) =∞∑

k=0

xkyk +∞∑

k=0

xkzk,

en efecto,

〈x, y + z〉 = 〈x, y〉+ 〈x, z〉 .

Con las cuatro propiedades que hemos demostrado, podemos concluirque, 〈, 〉 define un producto interior en l2.

Observe que no hace falta demostrar que nuestra funcion, 〈, 〉, esta biendefinida, pues ya se hizo al verificar que la suma de dos elementos enl2 esta en l2.

Con esto hemos demostrado que nuestra funcion sı es un productointerior.

Proposicion 2.1.3. Sea ‖ ‖ : l2 × l2 −→ R la funcion definida ası

Si x, y ∈ l2, ‖x‖ =

√√√√ ∞∑k=0

x2k =

√〈x, x〉 .

Entonces ‖ ‖ define una norma en l2.

Demostracion. Hay que demostrar las siguientes propiedades:

(1) ‖x‖ ≥ 0 para toda x ∈ l2.

14

Es claro, ya que x2k ≥ 0 para toda k.

(2) ‖x‖ = 0 si y solo si x = (x0, x1, ...) = (0, 0, ...) = 0.

Supongamos que ‖x‖ = 0, es decir,∑∞

k=0 x2k = 0, pero esto pasa si y

solamente si x2k = 0 para toda k, si y solamente si x = (0, 0, . . .).

(3) ‖αx‖ = |α| ‖x‖Sea n ∈ N, con n fija, observe lo siguiente:

n∑k=0

(αxk)2 = α2

n∑k=0

x2k,

pasando al limite tenemos que:

∞∑k=0

(αxk)2 = α2

∞∑k=0

x2k,

entonces √√√√ ∞∑k=0

(αxk)2 = |α|

√√√√ ∞∑k=0

x2k,

es decir,

‖αx‖ = |α| ‖x‖ .

(4) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .

Sea n ∈ N, con n fija entonces

n∑k=0

(xk + yk)2 =

n∑k=0

x2k +

n∑k=0

2xkyk +n∑

k=0

y2k

≤n∑

k=0

x2k + 2

√√√√ n∑k=0

x2k

√√√√ n∑k=0

y2k +

n∑k=0

y2k

=

√√√√ n∑k=0

x2k +

√√√√ n∑k=0

y2k

2

,

15

entonces √√√√ n∑k=0

(xk + yk)2 ≤

√√√√ n∑k=0

x2k +

√√√√ n∑k=0

y2k,

haciendo n −→∞ tenemos que el lado izquierdo converge y ademas:

‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .

2.2. l2 es un espacio vectorial completo y sep-

arable.

Una de las propiedades mas importantes que posee l2, es que es un espaciocompleto y separable.

Proposicion 2.2.1. l2 es un espacio completo.

Demostracion. Sea {x(n)} una sucesion de Cauchy en l2, donde

x(n) = (x(n)0 , x

(n)1 , x

(n)2 , ..., x

(n)k , ...).

Observe lo siguiente:Como {x(n)} es de Cauchy, dada ε > 0, existe N ∈ N tal que si p, q > N

entonces∥∥x(p) − x(q)

∥∥ < ε, es decir,

∞∑k=0

(x(p)k − x

(q)k )2 < ε2. (2.2.1)

De lo anterior podemos concluir que cada {x(n)k } es una sucesion de

Cauchy en R ya que

|x(p)k − x

(q)k | ≤

∥∥∥x(p)k − x

(q)k

∥∥∥ , para toda k, si p, q > N.

Ahora haciendo uso del hecho de que R es completo, tenemos que paracada k ∈ N existe xk ∈ R tal que

lımn→∞

x(n)k = xk.

16

Tomemos entonces a

x = (x0, x1, x2, ..., xk, ...) con xk = lımn→∞

x(n)k para toda k ≥ 0.

Ahora sı demostremos que l2 es completo, para eso veremos lo siguiente:

(1) lımn→∞∥∥x(n) − x

∥∥ = 0, y

(2) x ∈ l2.

(1) lımn→∞∥∥x(n) − x

∥∥ = 0.

Demostracion. Sea ε > 0. Existe N ∈ N tal que si n, q > Nentonces ∥∥x(n) − x(q)

∥∥ < ε,

tomando M ∈ N, con M fija se cumple√√√√ M∑k=0

(x(n)k − x

(q)k )2 ≤

∥∥x(n) − x(q)∥∥ ,

entonces √√√√ M∑k=0

(x(n)k − x

(q)k )2 < ε.

Si tomamos ahora a n fija y hacemos q −→∞ por ser {x(q)k } una

sucesion convergente en R, obtenemos lo siguiente:√√√√ M∑k=0

(x(n)k − xk)2 ≤ ε.

Observemos ahora que M fue arbitraria, es decir se cumple paratoda M. Por lo tanto se sigue que:√√√√ ∞∑

k=0

(x(n)k − xk)2 ≤ ε, (2.2.2)

17

y como ε fue arbitraria, entonces

lımn→∞

∥∥x(n) − x∥∥ = 0.

(2) x ∈ l2.

Demostracion. Para ver que x ∈ l2, hay que demostrar:∞∑

k=0

x2k converge

Observemos lo siguiente:

x2k = [(xk − x

(n)k ) + x

(n)k ]2

≤ 2[(xk − x(n)k )2 + (x

(n)k )2],

ya que para a, b ∈ R se cumple que

0 ≤ (a− b)2 = a2 − 2ab + b2,

entonces2ab ≤ a2 + b2.

luego sumando a2+b2 a ambos lados de la desigualdad, obtenemosla relacion buscada.

Entonces para M ∈ N, con M fija, tenemos que

M∑k=0

x2k ≤ 2[

M∑k=0

(xk − x(n)k )2 +

M∑k=0

(x(n)k )2],

como M fue arbitraria, hacemos tender M →∞ entonces

∞∑k=0

x2k ≤ 2[

∞∑k=0

(x(n)k )2 +

∞∑k=0

(x(n)k − xk)

2],

lo cual demuestra que x ∈ l2, ya que {x(n)} ∈ l2 y la siguiente serie∑∞k=0(x

(n)k − xk)

2 converge, pues ya se demostro en (2.2.2).

Proposicion 2.2.2. l2 es separable

Demostracion. Para demostrar que l2 es separable hay que mostrar, que ex-iste X ⊂ l2, donde X es denso y numerable.

18

Para ello construyamos a nuestro conjunto de la siguiente manera: SeaX =

⋃∞i=0 Xi donde

Xi = {(x0, x1, . . . , xk, . . .) ∈ l2 : x0, x1, ...xi−1 ∈ Q, y xj = 0 si j ≥ i.}

Probaremos primero que X es denso y despues que es numerable.

(1) X es denso.

Sean ε > 0, y x ∈ l2 donde x = (x0, x1, x2, ..., xk, ...). Como∑∞

k=j x2k

converge, existe j lo suficientemente grande tal que∑∞

k=0 x2k < ε

2.

Utilizando el hecho de que Q es denso en R, tenemos que para cada xk,0 ≤ k ≤ j − 1, existe qk ∈ Q tal que

|xk − qk| <√

ε

2j,

entoncesj−1∑k=0

|xk − qk|2 < j(ε

2j) =

ε

2.

Ahora sı demostremos que X es denso en l2, para ello proponemos av = (q0, q1, q2, ..., qj−1, 0, 0, 0...) ∈ X

Entonces

‖v − x‖2 =

j−1∑k=0

|xk − qk|2 +∞∑

k=j

x2k

<ε

2+

ε

2< ε,

lo cual demuestra que X es denso en l2.

(2) X es numerable.

Observe lo siguiente:

f1 : Q → X1

con f(q1) = (q1, 0, 0, ...) es biyectiva

es decir, X1 es numerable.

19

f2 : Q×Q → X2

con f(q1, q2) = (q1, q2, 0, 0, ...) es biyectiva

es decir, X2 es numerable.

Ası continuando con este proceso podemos concluir que cada conjuntoXi es un conjunto numerable, luego entonces X =

⋃∞i=0 Xi tambien es

numerable, por ser una union numerable de conjuntos numerables.

2.3. l2 un espacio de dimension infinita.

Definicion 2.3.1. Sea (X, +, ∗) un espacio vectorial sobre K. Una colec-cion de vectores {Xα} contenidos en X se llama linealmente independiente(l.i.) sobre K, si toda subcoleccion finita xα(1), xα(2), ..., xα(n) es linealmenteindependiente sobre K.

Definicion 2.3.2. Decimos que un espacio vectorial (X, +, ∗) tiene dimen-sion infinita sobre K, si para toda n ∈ N, es posible hallar n vectores en Xque son linealmente independientes sobre K.

Proposicion 2.3.1. l2 es un espacio de dimension infinita.

Demostracion. Considere el siguiente conjunto:

X = {ei : 0 ≤ i}, donde

ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .) , es decir todas las coordenadas de ei son cero salvola coordenada i-esima que es 1.

Sea n ∈ N, tomemos ahora el siguiente subconjunto de X.

E = {e0, e1, ..., en} ⊂ X.

20

Observemos ahora que cualquier combinacion lineal de E es linealmenteindependiente, ya que si

α0e0 + α1e1 + · · ·+ αnen = (0, 0, ...),

es decir,(0, ..., 0, α1, 0, ..., 0, α2, 0, ..., 0, αn, 0, ...) = (0, 0, ...),

entoncesα1 = α2 = · · · = αn = 0.

Como n fue arbitraria, concluimos que l2 tiene dimension infinita.

21

Capıtulo 3

EXISTENCIA DE VECTORESUNIVERSALES

Una de las propiedades que se deben de cumplir, para saber si una trans-formacion lineal es caotica, es que el espacio posea un elemento cuya orbitasea densa, esto es a lo que llamamos tener un vector universal.

Como esta propiedad no siempre resulta tan facil de demostrar, probare-mos un teorema que demuestra la existencia de vectores universales, no uno,si no un conjunto denso.

Para lograr la densidad de este conjunto de vectores universales, nos serade gran ayuda el Teorema de Baire.

3.1. El Teorema de Baire.

Teorema 3.1.1. Suponga que S es un espacio metrico completo. Entoncesla interseccion numerable de conjuntos abiertos y densos en S es denso en S

Demostracion. Sea D =⋂

i∈N Di donde cada Di es un conjunto abierto ydenso.

Mostraremos que D es denso.Para eso, sean x ∈ S y ε > 0. Por ser D1 denso, existe

p1 ∈ D1

⋂Bε(x).

Ahora considere ε1 > 0 tal que Bε1(p1) ⊂ Bε(x)⋂

D1

22

Como D2 es denso tambien, existe p2 ∈ D2

⋂Bε1(p1) y por ser abierto

existe ε2 > 0 tal que Bε2(p2) ⊂ D2

⋂Bε1(p1).

De hecho podemos encontrar ε2 de tal manera que cumpla la siguientecondicion:

Bε2(p2) ⊂ Bε1(p1)⋂

D2 y ε2 <1

2

Siguiendo esta idea, podemos encontrar una sucesion de puntos pn de talmanera que:

(1) pn ∈ Dn

⋂Bεn−1(pn−1) y

(2) Bεn(pn) ⊂ Bεn−1(pn−1)⋂

Dn , εn < 1n.

Con esto hemos construido una sucesion de puntos, {pn}, la cual es deCauchy. Ya que para n,m ≥ N tenemos que pn ∈ BN y pm ∈ BN , entonces|pn − pm| < 2εN < 2

N.

Ahora utilizando la completez de S, tenemos que existe p ∈ S tal quepn −→ p. Observe que dada N ∈ N, pn ∈ BεN

(pN) para toda n ≥ N,entonces p ∈ BεN

(pN).Pero BεN

(pN) ⊂ DN lo cual implica que p ∈ DN para toda N.Ademas como p ∈ Bε1(p1) ⊂ Bε(x), entonces p ∈ Bε(x). Por lo tanto

p ∈ Bε(x)⋂(⋂

N∈N DN

).

Y como x ∈ S y ε > 0 fueron arbitrarias, concluimos que la interseccion:

∞⋂n=0

Dn es densa en S.

3.2. Teorema de existencia de vectores uni-

versales.

Antes de enunciar nuestro famoso teorema de existencia de vectores uni-versales, tenemos que ver a continuacion una proposicion y un lema que nosservira en dicha demostracion.

23

La idea de esto, es construir al conjunto de vectores universales como unainterseccion numerable de conjuntos abiertos y densos, para poder hacer usodel teorema de Baire y con ello poder concluir la existencia de un conjuntodenso de vectores universales.

Proposicion 3.2.1. Sea H un espacio metrico, completo y separable. SeaL : H → H una funcion continua. Sea X = {xi : i = 1, 2, 3, ...}, X ⊂ H,denso y numerable. Sean i, n ∈ N. Considere el siguiente conjunto:

Wi,n = {y ∈ H : T k(y) ∈ B 1n(xi) para alguna k, k = 0, 1, 2, 3, ...}

Entonces

(1) Wi,n =⋃∞

k=0 L−k(B 1n(xi)),

(2) Wi,n es abierto.

Demostracion. (1) Primero demostraremos la contencion de ida. Sea y ∈Wi,n, es decir, existe k ≥ 0 tal que

Lk(y) ∈ B 1n(xi).

Esto implica que y ∈ L−k(B 1n(xi)) es decir,

Wi,n ⊂∞⋃

k=0

L−k(B 1n(xi).

Ahora la contencion de regreso. Sea y ∈⋃∞

k=0 L−k(B 1n(xi)) entonces

y ∈ L−k(B 1n(xi)) para alguna k

es decir,Lk(y) ∈ B 1

n(xi).

Entonces∞⋃

k=0

L−k(B 1n(xi)) ⊂ Wi,n

Finalmente hemos demostrado que Wi,n =⋃∞

k=0 L−k(B 1n(xi)).

(2) Sean i, n ∈ N con i, n fijos.

24

Como Lk es continua y B 1n(xi) es un conjunto abierto, entonces L−k(B 1

n(xi))

es abierto. Pero ademas la union arbitraria de abiertos es abierto, porlo tanto tenemos que:

Wi,n =∞⋃

k=0

L−k(B 1n(xi)) es un conjunto abierto.

Recordemos que dada L : H → H, decimos que x ∈ H es un vectoruniversal de L si la orbita de x bajo L es densa en H.

Lema 3.2.2. Sea L : H −→ H una transformacion lineal continua, sobre unespacio metrico, completo y separable, H. El conjunto de todos los vectoresuniversales de L en H es una interseccion numerable de conjuntos abiertosen H.

Demostracion. Como H es separable existe X ⊂ H, denso y numerable. SeaX = {xi : i = 1, 2, 3, ...}.

SeaD = {v ∈ H : O(v, L) es densa en H}.

Es decir D es el conjunto de vectores universales de H.Para cada i, n ∈ N, sea

Wi,n = {y ∈ H : Lk(y) ∈ B 1n(xi) para alguna k = 0, 1, 2, 3, ...}

Por la proposicion anterior sabemos que cada Wi,n es un conjunto abierto.Demostraremos entonces que:

D =⋂

i,n∈N

Wi,n.

Probemos entonces la ida. Sean i, n ∈ N fijos. Sea v ∈ D.Como O(v, L) es densa, existe k ≥ 0, Lk(v) ∈ B 1

n(xi) entonces

v ∈ Wi,n

Y por lo tanto v ∈⋂

i,n∈N Wi,n.Ahora el regreso. Observemos primero lo siguiente:Sean x ∈ H y ε > 0. Como X es denso en H, existe xj ∈ X tal que

xj ∈ Bε(x).

25

Sea N ∈ N tal queB 1

N(xj) ⊂ Bε(x) (3.2.1)

Ahora sı, sea v ∈⋂

i,n∈N Wi,n, es decir v ∈ Wi,n para toda pareja i, n, en

particular v ∈ Wj,N . Entonces existe k ∈ N tal que Lk(v) ∈ B 1N

(xj), pero

por ( 3.2.1) tenemos que Lk(v) ∈ Bε(x).Por tanto, O(v, L) es densa en H.

Teorema 3.2.3. Sea L : H → H una transformacion lineal continua sobreun espacio metrico completo y separable, H. Supongamos ademas que existeun subconjunto denso y numerable X ⊂ H, y una inversa derecha S para L,L ◦ S = identidad en H, de tal forma que ‖Ln(x)‖ −→ 0 y ‖Sn(x)‖ −→ 0para toda x ∈ X cuando n →∞.

Entonces H posee vectores universales para L.

Demostracion. Hemos visto ya que

D =⋂

i,n∈N

Wi,n

y que cada

Wi,n = {y ∈ H : Lk(y) ∈ B 1n(xi) para alguna k, k = 0, 1, 2, 3, ...}

es un conjunto abierto, ası es que si nosotros probamos tambien que cadaWi,n es denso entonces por el teorema de Baire concluiremos que H poseevectores universales para L, de hecho un conjunto denso, D.

Sean δ > 0 y z ∈ H. Mostraremos que para toda pareja (i, n), existey ∈ Wi,n tal que y ∈ Bδ(z).

Como X es denso existen x0, z0 ∈ X tales que

‖z − z0‖ <δ

2y ‖xi − x0‖ <

1

2n

Por otro lado sabemos que

‖Ln(x)‖ −→ 0 y ‖Sn(x)‖ → 0 para toda x ∈ X

en particular para x0 y z0. Ası es que podemos encontrar N ∈ N lo suficien-temente grande de tal forma que

∥∥SN(x0)∥∥ < δ

2y∥∥LN(z0)

∥∥ < 12n

.Ahora sı veremos la densidad de Wi,n

26

Proponemos y = SNx0 + z0. Entonces

‖y − z‖ =∥∥SNx0 + z0 − z

∥∥≤∥∥SNx0

∥∥+ ‖z − z0‖< δ.

Con esto hemos probado que y ∈ Bδ(z)Ahora solo nos falta probar que y ∈ Wi,n, es decir, existe k ≥ 0 tal que

Lk(y) ∈ B 1n(xi). Para eso utilizaremos el hecho de que T ◦ S es la identidad

en H. Entonces sea k = N∥∥LN(y)− xi

∥∥ =∥∥LN(SNx0 + z0)− xi

∥∥=∥∥LN(SN(x0))− xi + LN(z0)

∥∥≤ ‖x0 − xi‖+

∥∥LN(z0)∥∥

<1

n.

Un ejemplo de una transformacion lineal que tenga un conjunto denso devectores universales lo presentaremos en el siguiente capıtulo.

27

Capıtulo 4

UNA TRANSFORMACIONLINEAL CAOTICA EN l2

En el capıtulo 1 hemos demostrado ya, que las transformaciones linealesen Rn no son caoticas. Es decir, en espacios de dimension finita ser lineal ycaotica son dos situaciones ajenas. Sin embargo si el espacio vectorial dondetrabajamos no es de dimension finita, podrıa suceder lo contrario. Para de-mostrarlo en este capıtulo daremos un ejemplo de ello.

4.1. Una transformacion lineal caotica en l2.

El espacio en el cual estara definida nuestra transformacion sera l2, elespacio de las sucesiones que son cuadrado sumables. Veremos al final deeste capıtulo que este espacio vectorial es de dimension infinita.

Definicion 4.1.1. Definimos la funcion T : l2 → l2 como sigue:

T (x0, x1, . . .) = 2(x1, x2, . . .)

para x = (x0, x1, . . .) ∈ l2.

Note que la transformacion lo que hace es tomar una sucesion y recorrerlahacia la izquierda para luego multiplicarla por dos. Entonces dada x ∈ l2

28

T (x) = 2(x1, x2, ..., . . .)

T 2(x) = 22(x2, x3, ..., . . .)

...

Tm(x) = 2m(xm, xm+1, ..., ).

Observese tambien que si∑∞

i=0 x2i converge entonces

∑∞i=0(2xi)

2 tambienconverge, esto implica que T (x) ∈ l2 si x ∈ l2.

4.1.1. Propiedades de T

(1) Es claro que T es lineal.

(2) T es continua.

Para probar que T es continua demostraremos el siguiente teorema:

Teorema 4.1.1. Sea H un espacio vectorial normado. Sea L : H −→H una transformacion lineal. Los siguientes enunciados son equiva-lentes:

(a) L es continua.

(b) L es continua en 0.

(c) L es acotada, es decir, existe M > 0 tal que ‖L(x)‖ ≤ M ‖x‖ paratoda x ∈ H.

Demostracion. Para demostrar lo anterior probaremos las siguientesimplicaciones: (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (a).

(a ⇒ b) : Es claro.

(b ⇒ c) : Como L es continua en 0, dada ε > 0 existe δ > 0 tal que si‖x‖ < δ. Entonces

‖L(x)− L(0)‖ < ε,

pero L es lineal, es decir, L(0) = 0. Entonces

‖L(x)‖ < ε

Ahora, sea x 6= 0

29

Observe que el punto, δx2‖x‖ , cumple con la desigualdad∥∥∥∥ δx

2 ‖x‖

∥∥∥∥ =δ ‖x‖2 ‖x‖

=δ

2< δ.

Demostremos ahora que L es acotada. Sea x ∈ H, con x 6= 0,entonces

‖L(x)‖ =

∥∥∥∥L(δx

2 ‖x‖)

∥∥∥∥ (2

δ‖x‖) ≤ ε

(2

δ‖x‖)

.

Si hacemos M = 2εδ

obtenemos el resultado deseado es decir

‖L(x)‖ ≤ M ‖x‖ ,

Para todo x ∈ H.

(c ⇒ a) : Como L es acotada, existe M > 0 tal que ‖L(x)‖ ≤ M ‖x‖ . Seanε > 0 y x ∈ H. Demostraremos que L es continua en x.

Proponemos δ = εM

.

Si y ∈ H es tal que ‖y − x‖ < δ, entonces

‖L(x)− L(y)‖ = ‖L(y − x)‖< M ‖y − x‖< Mδ

= ε.

Proposicion 4.1.2. T es continua.

Demostracion. Por el teorema anterior sabemos que basta con probarque T es acotada.

Sea x ∈ l2 donde x = (x0, x1, ...) entonces

‖T (x0, x1, ...)‖ = ‖2(x1, x2, ...)‖

=

(∞∑i=1

(2xi)2

) 12

≤ 2

(∞∑i=0

x2i

) 12

= 2 ‖x‖

30

por lo tanto‖T (x)‖ ≤ 2 ‖x‖ .

(3) Sea S : l2 → l2, donde S(x0, x1, ...) = 12(0, x0, x1, ...). Entonces S es una

inversa derecha de T.

Ya que

T ◦ S(x) = T (1

2(0, x0, x1, ...)) = (x0, x1, ...) = x.

4.2. Caracterizacion de los puntos periodicos

bajo T.

Empecemos ahora por caracterizar a los puntos periodicos de T.Por ejemplo si queremos encontrar los puntos periodicos de periodo 2 bajo

T, entonces se debe cumplir que:

T 2(x0, x1, x2, . . .) = (x0, x1, x2, . . .).

Pero, por otro lado

T 2(x0, x1, x2, . . .) = 22(x2, x3, x4, . . .)

Entonces igualando y despejando ambas ecuaciones obtenemos lo siguiente:

x2 =x0

22, x3 =

x1

22

x4 =x0

24, x5 =

x1

24

...

x2n =x0

22n, x2n+1 =

x1

22n

es decir,

x = (x0, x1,x0

22,x1

22, . . . ,

x0

22n,

x1

22n, . . .)

Observe, que lo realizado hasta el momento fue encontrar como deben serlos terminos de un punto periodico de periodo dos.

31

Note que el punto x ası encontrado esta en l2, ya que∞∑i=0

x2i = x2

0 + x21 +

x20

22+

x21

22+

x20

24+

x21

24+ · · ·

= (x20 + x2

1)∞∑

n=0

(1

4

)n

= (x20 + x2

1)[1

1− 14

]

=4

3(x2

0 + x21).

La serie anterior converge. Por lo tanto concluimos que x es un puntoperiodico de periodo 2 bajo T.

Analogamente podemos ver que un punto periodico de periodo tres tienela siguiente forma:

x = (x0, x1, x2,x0

23,x1

23,x2

23, . . . ,

x0

23n,

x1

23n,

x2

23n, . . .)

Continuado con este proceso podemos encontrar puntos periodicos decualquier periodo, por ejemplo de periodo m:

x = (x0, x1, . . . , xm−1,x0

2m,x1

2m, . . . ,

xm−1

2m, . . . ,

x0

2mn,

x1

2mn, . . . ,

xm−1

2mn, . . .).

La siguiente proposicion resume las observaciones anteriores sobre puntosperiodicos.

Proposicion 4.2.1. Sean m ∈ N y (x0, x1, . . . , xm−1) ∈ Rm. Sea x[m] ∈ l2dado por

x[m] = (x0, x1, . . . , xm−1,x0

2m,x1

2m, . . . ,

xm−1

2m, . . . ,

x0

2mn,

x1

2mn, . . . ,

xm−1

2mn, . . .)

entoncesx[m] es un punto periodico de periodo m bajo T .

Demostracion. Es claro que x[m] ∈ l2, ya que

∞∑i=0

x2i = (x2

0 + · · ·+ x2m−1)

∞∑i=0

(1

22m)i.

y la serie∑∞

i=0(1

22m )i converge a 22m

22m−1.

Ahora procedamos a demostrar que x[m] es un punto periodico de periodom.

32

Para eso calculemos lo siguiente:

Tm(x[m]) = 2m( x0

2m, . . . ,

xm−1

2m, . . . ,

x0

2m(n+1), . . . ,

xm−1

2m(n+1), . . .

),

Tm(x[m]) =(x0, . . . , xm−1,

x0

2m, . . . ,

xm−1

2m, . . . ,

x0

2mn,

x1

2mn, . . . ,

xm−1

2mn, . . .

).

Es decir, Tm(x[m]) = x[m]

Por lo tanto x[m] es un punto periodico de periodo m.

4.3. T es caotica.

En esta seccion veremos que T cumple con las tres condiciones propuestaspor Devaney para que un operador T sea caotico.

4.3.1. Densidad en el conjunto de puntos periodicos.

Denotaremos por P al conjunto de puntos periodicos bajo T.

Teorema 4.3.1. P es denso en l2

Demostracion. Sean ε > 0 y x ∈ l2 donde x = (x0, x1, ..., xm, ...).Por la proposicion (4.2.1) de la seccion anterior tenemos que:

x[m] = (x0, x1, . . . , xm−1,x0

2m,x1

2m, . . . ,

xm−1

2m, . . . ,

x0

2mn,

x1

2mn, . . . ,

xm−1

2mn, . . .),

es un punto periodico de periodo m bajo T.Ahora calculemos su norma al cuadrado

∥∥x[m]∥∥2

=

(m−1∑j=0

x2j

)(∞∑

k=0

(1

22m

)k)

≤

(∞∑

j=0

x2j

)(1

1− 122m

)= ‖x‖2

(22m

22m − 1

).

33

Es decir,

∥∥x[m]∥∥2 ≤ 22m

22m − 1‖x‖2 . (4.3.1)

Ahora definamos la siguiente funcion:

R : l2 → l2

tal queR(x0, x1, ...) = (x1, x2, ...).

Observe que ∥∥Rm(x[m])∥∥2

=

∥∥∥∥ 1

2mTm(x[m])

∥∥∥∥2

.

Utilizando que x[m] es un punto periodico de periodo m tenemos que∥∥Rm(x[m])∥∥2

=1

22m

∥∥x[m]∥∥2

,

y por ( 4.3.1)

∥∥Rm(x[m])∥∥2 ≤ ‖x‖2

22m − 1,

∥∥Rm(x[m])∥∥ ≤

√‖x‖2

22m − 1.

Entonces existe N ∈ N lo suficientemente grande de tal forma que∥∥RN(x[N ])∥∥ <

ε

2,

y ∥∥RN(x)∥∥ = (

∞∑k=N

x2k)

12 <

ε

2.

Por otro lado ∥∥x− x[N ]∥∥ =

∥∥RN(x− x[N ])∥∥ ,

dado que x[N ]k = xk para k = 0, 1, 2, ..., N − 1.

34

Pero ∥∥RN(x− x[N ])∥∥ ≤ ∥∥RNx

∥∥+∥∥RNx[N ]

∥∥ .

Por lo tanto ∥∥x− x[N ]∥∥ < ε.

Es decir, x[N ] ∈ Bε(x), y es un punto periodico de periodo N.Con esto hemos probado que P es denso en l2.

4.3.2. Transitividad (vectores universales).

En el capıtulo anterior demostramos el siguiente teorema :

Teorema 4.3.2. Sea T : H → H una transformacion lineal continua sobreun espacio metrico, completo y separable H. Supongamos ademas que existeun subconjunto denso X ⊂ H, y una inversa derecha S para T tal que T ◦S =identidad en H, de tal forma que ‖T n(x)‖ −→ 0 y ‖Sn(x)‖ −→ 0 para toda

x ∈ X. Entonces H posee vectores universales para T.

Ası es que para demostrar que l2 posee un vector universal aplicaremosel teorema anterior.

Hemos probado ya, que T : l2 → l2 con T (x0, x1, ...) = 2(x1, x2, ...) es unatransformacion lineal y continua en un espacio metrico, completo y separable,l2. Y que S : l2 −→ l2 con S(x0, x1, ...) = 1

2(0, x0, x1, ...) es una inversa derecha

de T.Recordemos ademas que:

X =∞⋃i=0

Xi,

donde

Xi = {(x0, x1, ..., xk, ...) : x0, x1, ..., xi−1 ∈ Q y xj = 0 si j ≥ i},

es un subconjunto de l2, que es denso y numerable.Ahora solo nos resta por demostrar que

‖T n(x0, x1, ..., xk, ...)‖ → 0

y‖Sn(x0, x1, ..., xk, ...)‖ → 0

para toda x ∈ X.

35

Entonces sea (x0, x1, ..., xk, ...) ∈ X, es decir existe j ∈ N tal que

(x0, x1, ..., xj−1, 0, ...) ∈ Xj con x0, x1, ..., xj−1 ∈ Q.

Observe que :

(1) ‖T n(x0, x1, ..., xj−1, ...)‖ → 0

Tomemos n = j. Entonces

T n(x0, x1, ..., xk, ...) = 2n(xn, xn+1, ..., xn+k, ...)

= 2n(0, ..., 0, ..),

entonces

‖T n(x0, x1, ..., xk, ...)‖ = 2n ‖(0, ..., 0, ...)‖ = 0.

Ahora haciendo n →∞ tenemos el resultado deseado.

(2) ‖Sn(x0, x1, ..., xk, ...)‖ → 0

Tomemos n = j. Como

Sn(x0, x1, x2, ...) = (1

2)n(0, ..,0, x0, x1, ...).

Entonces

‖Sn(x0, x1, ..., xk, ...)‖ = (1

2)n ‖(x0, x1, ...)‖ .

Observe que

‖(x0, x1, ...)‖ =

√√√√ ∞∑i=0

x2i < ∞.

Haciendo n →∞

‖(x0, x1, ...)‖2n

→ 0

Es decir

‖Sn(x0, x1, ..., xj−1, ...)‖ → 0 para toda x ∈ X.

36

Recordemos que en el capıtulo 1 mencionamos que para demostrar queuna transformacion fuera caotica bastaba con demostrar que se cumplieraque el conjunto de puntos periodicos fuera denso y tuviera un vector cuyaorbita fuera densa. Ası es que podemos concluir en este momento que T :l2 −→ l2 con T (x0, x1, ...) = 2(x1, x2, ...) es una transformacion lineal caotica.Sin embargo no esta por demas demostrar la ultima condicion que proponeDevaney.

4.3.3. Sensibilidad a las condiciones iniciales.

Para demostrar que T es sensible a las condiciones iniciales demostraremosel siguiente teorema:

Teorema 4.3.3. Sea H un espacio metrico, completo y separable. Y seaT : H −→ H una transformacion lineal. Si T tiene un vector universal.

Entonces T es sensible a las condiciones iniciales.

Demostracion. Sea v el vector cuya orbita es densa en H. Proponemos δ = 1,sean ε > 0 y x ∈ H, proponemos δ = 1.

Como la O(v, T ) es densa en H, sucede lo siguiente:

(1) Existe N ∈ N tal que TN(v) ∈ Bε(0), entonces proponemos a y =x + TN(v).

(2) La O(v, T ) no es acotada, entonces existe n ∈ N tal que∥∥T n(TN(v))

∥∥ >1.

Calculemos ahora lo siguiente:

‖T n(y)− T n(x)‖ =∥∥T n(x + TN(v))− T n(x)

∥∥=∥∥T n(x) + T nTN(v)− T n(x)

∥∥=∥∥T nTN(v)

∥∥> 1 = δ.

Por lo tanto T es sensible a las condiciones iniciales.

37

Capıtulo 5

CAOS EN EL ESPACIO DELAS FUNCIONES ENTERAS

El proposito de este capıtulo es demostrar que en el espacio de las fun-ciones enteras, H(C), existe un operador que es caotico.

Recordemos que una funcion entera, es aquella que es analıtica en todoel plano complejo.

5.1. C(C), el espacio de las funciones conti-

nuas.

5.1.1. Espacios metricos

En esta seccion veremos algunas metricas en el espacio de los complejos.

Proposicion 5.1.1. Sea (C, d) donde d(s, t) = |s− t|. Entonces (C, d) es unespacio metrico completo.

Proposicion 5.1.2. Si (C, d) es un espacio metrico entonces

µ(s, t) =d(s, t)

1 + d(s, t)

tambien es una metrica en C.

Demostracion. Es claro que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la definicion(1.2.1) se cumplen debido a que d(s, t) es una metrica.

38

Ası es que solo nos resta por demostrar que:

µ(s, t) ≤ µ(s, u) + µ(u, t)

Para demostrar lo anterior observemos lo siguiente:Sea f(x) = x

1+xcon x > 0 entonces f ′(x) = 1

(1+x)2> 0 para toda x, es

decir, f es creciente. Como

d(s, t) ≤ d(s, u) + d(u, t),

entonces

d(s, t)

1 + d(s, t)≤ d(s, u) + d(u, t)

1 + d(s, u) + d(u, t)

=d(s, u)

1 + d(s, u) + d(u, t)+

d(u, t)

1 + d(s, u) + d(u, t)

≤ d(s, u)

1 + d(s, u)+

d(u, t)

1 + d(u, t)

es decirµ(s, t) ≤ µ(s, u) + µ(u, t).

Notacion: C(C) denota el conjunto de las funciones continuas que van deC en C.

Observese que dada z ∈ C, existe n ∈ N tal que z ∈ Bn(0) = {z ∈C : |z| ≤ n}. Por tanto C se puede expresar como una union numerable deconjuntos compactos, C =

⋃∞n=1 Bn(0).

Definicion 5.1.1. Sean f, g dos funciones en C(C). Definimos

ρn(f, g) = sup{|f(z)− g(z)| : z ∈ Bn(0)}.

La funcion ρn : C(C)× C(C) −→ R cumple las siguientes propiedades:Sean f, g, h ∈ C(C),

(1) ρn(f, g) ≥ 0 para toda f, g ∈ C(C).

Es claro ya que |f(z) − g(z)| ≥ 0 para toda f, g ∈ C(C) y toda z ∈Bn(0).

(2) Si ρn(f, g) = 0 entonces f(z) = g(z) para toda z ∈ Bn(0).

39

Es claro ya que 0 ≤ |f(z) − g(z)| ≤ sup{|f(z) − g(z)| : z ∈ Bn(0)} ycomo ρn(f, g) = 0 tenemos que |f(z)− g(z)| = 0 para toda z ∈ Bn(0),que es lo mismo que decir f(z) = g(z) para toda z ∈ Bn(0).

(3) ρn(f, g) = ρn(g, f).

Esta igualdad es inmediata.

(4) ρn(f, g) ≤ ρn(f, h) + ρn(h, g).

Observe lo siguiente: Como para z ∈ Bn(0)

|f(z)− h(z)| ≤ sup{|f(z)− h(z)| : z ∈ Bn(0)} = ρn(f, h)

y|h(z)− g(z)| ≤ sup{|h(z)− g(z)| : z ∈ Bn(0)} = ρn(h, g)

tenemos que

|f(z)− g(z)| ≤ |f(z)− h(z)|+ |h(z)− g(z)|≤ ρn(f, h) + ρn(h, g),

para toda f, g, h ∈ C(C).

Entonces

sup{|f(z)− g(z)| : z ∈ Bn(0)} ≤ ρn(f, h) + ρn(h, g).

Es decir,ρn(f, g) ≤ ρn(f, h) + ρn(h, g).

Definicion 5.1.2. Sean f, g ∈ C(C). Definimos

ρ(f, g) =∞∑

n=1

(1

2

)nρn(f, g)

1 + ρn(f, g).

Proposicion 5.1.3. (C(C), ρ) es un espacio metrico.

Demostracion. Note que ρ(f, g) esta bien definida, ya que

ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)< 1 y

∞∑n=1

(1

2

)n

converge.

(1) ρ(f, g) ≥ 0 para toda f, g ∈ C(C).

40

Es claro ya que ρn(f, g) ≥ 0

(2) ρ(f, g) = 0 si y solamente si f = g en C.

Es tambien claro, ya que esta condicion implica que para toda n ∈ Nρn(f, g) = 0.

(3) ρ(f, g) = ρ(g, f)

Ya que ρn(f, g) = ρn(g, f) entonces f = g en Bn(0) para toda n yentonces en C.

(4) ρ(f, g) ≤ ρ(f, h) + ρ(h, g)

Hemos visto ya que ρn(f, g) ≤ ρn(f, h) + ρn(h, g), ası es que utilizandola misma funcion en la demostracion de la proposicion ( 5.1.2) podemosllegar a la siguiente desigualdad:

ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)≤ ρn(f, h)

1 + ρn(f, h)+

ρn(h, g)

1 + ρn(h, g).

Considere ahora M ∈ N con M fija entonces

M∑n=1

(1

2

)nρn(f, g)

1 + ρn(f, g)≤

M∑n=1

(1

2

)nρn(f, h)

1 + ρn(f, h)+

M∑n=1

(1

2

)nρn(h, g)

1 + ρn(h, g).

Haciendo tender M −→∞ obtenemos el resultado deseado.

Ademas de ser ρ una metrica, cumple con otras propiedades importantesque veremos en el siguiente lema.

Lema 5.1.4. Sean f, g, ϕ, γ ∈ C(C) y c ∈ C, entonces

(i) ρ(f, g) = ρ(f − g, 0).

(ii) ρ(f + g, 0) ≤ ρ(f, 0) + ρ(g, 0).

(iii) ρ(cf, cg) ≤ max{|c|ρ(f, g), ρ(f, g)}.

(iv) Si para toda ε > 0, ρ(f, ϕ) < ε y ρ(g, γ) < ε, entonces ρ(f +g, ϕ+γ) <2ε.

Demostracion. (i) ρ(f, g) = ρ(f − g, 0).

41

Ya que

ρn(f − g, 0) = sup{|(f − g)(z)− 0| : z ∈ Bn(0)}= sup{|f(z)− g(z)| : z ∈ Bn(0)}= ρn(f, g).

Luego,ρn(f − g, 0)

1 + ρn(f − g, 0)=

ρn(f, g)

1 + ρn(f, g).

(ii) ρ(f + g, 0) ≤ ρ(f, 0) + ρ(g, 0).

Observemos lo siguiente:

ρn(f + g, 0) = sup{|(f + g)(z)− 0| : z ∈ Bn(0)}= sup{|(f(z)− 0) + (g(z)− 0)| : z ∈ Bn(0)}≤ sup{|f(z)− 0| : z ∈ Bn(0)}+ sup{|g(z)− 0| : z ∈ Bn(0)}≤ ρn(f, 0) + ρn(g, 0).

Ahora como siempre usamos que x1+x

es creciente para tener que

ρn(f + g, 0)

1 + ρn(f + g, 0)≤ ρn(f, 0)

1 + ρn(f, 0)+

ρn(g, 0)

1 + ρn(g, 0).

(iii) ρ(cf, cg) ≤ max{|c|ρ(f, g), ρ(f, g)}. Consideremos primero los sigu-ientes dos casos:

Caso(|c| ≥ 1) entonces

ρn(cf, cg)

1 + ρn(cf, cg)=

|c|ρn(f, g)

1 + |c|ρn(f, g)≤ |c|ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)=

|c|ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)

Caso(|c| < 1) Sucede que|c|ρn(f, g) < ρn(f, g)

42

Observemos que la funcion g(t) = t1+t

es creciente entonces aplicandolaa ambos lados de la desigualdad anterior obtenemos lo siguiente:

ρn(cf, cg)

1 + ρn(cf, cg)<

ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)

Por lo tanto, en el primer caso tenemos que

ρ(cf, cg) ≤ |c|ρ(f, g),

y en el segundoρ(cf, cg) ≤ ρ(f, g).

Concluimos entonces que ρ(cf, cg) ≤ max{|c|ρ(f, g), ρ(f, g)}.

(iv) Si para toda ε > 0, ρ(f, ϕ) < ε y ρ(g, γ) < ε, entonces ρ(f +g, ϕ+γ) <2ε.

Sea ε > 0 comoρ(f, ϕ) < ε y ρ(g, γ) < ε

entonces

ρ(f + g, ϕ + γ) = ρ((f + g)− (ϕ + γ), 0)

= ρ((f − ϕ) + (g − γ), 0)

≤ ρ(f − ϕ, 0) + ρ(g − γ, 0)

= ρ(f, ϕ) + ρ(g, γ)

< ε + ε

= 2ε

5.1.2. Un lema importante

Proposicion 5.1.5. Sean f, g ∈ C(C) y 1 ≤ n ≤ p. Entonces

ρn(f, g) ≤ ρp(f, g).

43

Demostracion. Sea z ∈ Bn(0), observe que Bn(0) ⊂ Bp(0) por lo que,

|f(z)− g(z)| ≤ sup{|f(u)− g(u)| : u ∈ Bp(0)}.

Es decir,|f(z)− g(z)| ≤ ρp(f, g) para toda z ∈ Bn(0).

Mostrando que ρp(f, g) es una cota superior de los valores |f(z)− g(z)|.Por lo tanto

ρn(f, g) ≤ ρp(f, g)

Lema 5.1.6. Dada ε > 0 existen δ > 0 y p ∈ N tal que para cada par defunciones f, g ∈ C(C) se cumple lo siguiente: Si

ρp(f, g) = sup{|f(z)− g(z)| : z ∈ Bp(0)} < δ,

entoncesρ(f, g) < ε.

Demostracion. Sea ε > 0. Tomemos p ∈ N fijo tal que∑∞

n=p+1(12)n < 1

2ε.

Proponemos δ = 14ε

Observe que para 0 ≤ t ≤ δ tenemos que

t

1 + t< δ.

Haciendo uso de la proposicion anterior, de que x1+x

es creciente y delhecho de que ρp(f, g) < δ tenemos que

ρn(f, g)

1 + ρn(f, g)≤ ρp(f, g)

1 + ρp(f, g)<

1

4ε, 1 ≤ n ≤ p.

44

Calculemos entonces

ρ(f, g) =∞∑

n=1

(1

2

)nρn(f, g)

1 + ρn(f, g)

=

p∑n=1

(1

2

)nρn(f, g)

1 + ρn(f, g)+

∞∑n=p+1

(1

2

)nρn(f, g)

1 + ρn(f, g)

<

p∑n=1

(1

2

)n(1

4

)ε +

∞∑n=p+1

(1

2

)n

<

(1

4

)ε

∞∑n=1

(1

2

)n

+1

2ε

< ε.

Por tanto ρ(f, g) < ε.

Lema 5.1.7. Dada δ > 0 y Bp(0), existe ε > 0 tal que para cada par defunciones f, g ∈ C(C) se cumple lo siguiente: Si

ρ(f, g) < ε

entoncesρp(f, g) = sup{|f(z)− g(z)| : z ∈ Bp(0)} < δ.

Demostracion. Sean δ > 0 y Bp(0).Proponemos ε = δ

2p+2pδ

Luego(1

2

)pρp(f, g)

1 + ρp(f, g)≤ ρ(f, g) =

∞∑n=0

(1

2

)nρn(f, g)

1 + ρn(f, g)< ε.

Por tanto (1

2

)pρp(f, g)

1 + ρp(f, g)< ε.

Despejandoρp(f, g)

1 + ρp(f, g)< 2pε.

Sea ϕ(x) = x1−x

la inversa de x1+x

, como ϕ es creciente si x ∈ [0, 1).Aplicando ϕ en ambos lados de la desigualdad anterior se tiene que:

45

ρp(f, g) <2pε

1− 2pε=

δ1+δ

1− δ1+δ

= δ.

Sustituyendo el valor de ε se obtiene el resultado deseado.

Proposicion 5.1.8. Sea {fn} una sucesion en (C(C), ρ). Entonces {fn} con-verge a f si y solamente si converge uniformemente sobre todo compactocontenido en C.

Demostracion. ⇒) Sea ε > 0 y K ⊂ C compacto. Sea M > 0 tal queK ⊂ BM(0). Por el lema (5.1.7) existe δ > 0 tal que para todo par f, g ∈ C(C)si

ρ(f, g) < δ

entoncessup{|f(z)− g(z)| : z ∈ BM(0)} < ε.

Como fn −→ f entonces para δ > 0 existe N ∈ N tal que ρ(fn, f) < δpara toda n ≥ N.

En consecuencia, para toda n ≥ N se tiene que

|fn(z)− f(z)| < ε y para toda z ∈ BM(0).

Luego fn → f uniformemente en BM(0) en particular en K.⇐) Sea ε > 0 por el lema (5.1.6) existen δ > 0 y BM(0) tal que para

f, g ∈ C(C) si

sup{|f(z)− g(z)| : z ∈ BM(0)} < δ

Entonces

ρ(f, g) < ε.

Como fn −→ f uniformemente en BM(0) tenemos que dada δ > 0 existeN ∈ N tal que para toda n ≥ N

|fn(z)− f(z)| < δ y para toda z ∈ BM(0).

En consecuencia, para toda n ≥ N,

ρ(fn, f) < ε.

46

Proposicion 5.1.9. Sea {fm} una sucesion de Cauchy en (C(C), ρ). Sean ∈ N. Entonces para toda δ > 0, existe N ∈ N tal que si p, q ≥ N, entoncesρn(fp, fq) < δ.

Demostracion. Sea δ > 0 y consideremos la bola cerrada Bn(0). Por el lema(5.1.7), existe ε > 0 tal que si f, g ∈ C(C) y ρ(f, g) < ε. Entonces ρn(f, g) < δ.

Por ser {fm} una sucesion de Cauchy, para ε > 0 existe N ∈ N tal que sip, q ≥ N entonces

ρ(fp, fq) < ε.

Por tantosup{|fp(z)− fq(z)| : z ∈ Bn(0)} < δ,

ρn(fp, fq) < δ.

Observe que la proposicion anterior muestra que si {fm} ⊂ (C(C), ρ) esuna sucesion de Cauchy, entonces para cada z ∈ C, la sucesion {fm(z)}tambien es de Cauchy. Luego como C es completo lımm→∞ fm(z) existe, ydefine una funcion en todo el plano C, dada por f(z) = lımm→∞ fm(z).

5.1.3. (C(C), ρ) es un espacio metrico completo.

Teorema 5.1.10. Sea n ∈ N. Sea {fm} una sucesion de Cauchy en C(C).Sea

f(z) = lımm→∞

fm(z), para cada z ∈ Bn(0).

Entonces {fm} converge uniformemente a f en Bn(0).

Demostracion. Sean ε > 0 y n ∈ N. Por el lema (5.1.7) existe γ > 0 tal quepara g, h ∈ C(C) si

ρ(g, h) < γ,

entonces|g(z)− h(z)| < ε

2para toda z ∈ Bn(0).

Como {fm} es una sucesion de Cauchy, para γ > 0 existe n0 ∈ N tal quesi i ≥ 1 y m > n0, entonces

ρ(fm, fm+i) < γ.

47

Luego, para toda z ∈ Bn(0) se tiene que

|fm(z)− fm+i(z)| < ε

2.

Ahora tomemos el lımite cuando i →∞, obtenemos lo siguiente:

|fm(z)− f(z)| = limi→∞|fm(z)− fm+i(z)| ≤ ε

2< ε.

Por lo tanto {fm} → f uniformemente en Bn(0).

Teorema 5.1.11. Sea {fm} una sucesion de Cauchy en (C(C), ρ) que con-verge uniformemente a f en la bola Bn(0). Entonces f es continua en Bn(0).

Demostracion. Sean z0 ∈ C tal que |z0| < n y ε > 0.Como fm → f uniformemente en Bn(0), existe N ∈ N tal que si m ≥ N

entonces |fm(z)− f(z)| < ε3

para toda z ∈ Bn(0).Sea m ≥ N. Como fm es continua, para ε

3> 0 existe δ∗ > 0 tal que si

|z − z0| < δ∗. Entonces

|fm(z)− fm(z0)| <ε

3.

Considerando δ = min{δ∗, n− |z0|} tenemos que si |z− z0| < δ, entonces

|f(z)− f(z0)| ≤ |f(z)− fm(z)|+ |fm(z)− fm(z0)|+ |fm(z0)− f(z0)|

≤ ε

3+

ε

3+

ε

3= ε.

Por lo tanto f es continua en C.

Teorema 5.1.12. (C(C), ρ) es un espacio metrico completo.

Demostracion. Sea {fm} una sucesion de Cauchy en (C(C), ρ).Para cada z ∈ C, definimos

f(z) = lımm−→∞

fm(z).

(que existe por ser {fm(z)} de Cauchy.) Entonces por el teorema ( 5.1.10),paracada n ∈ N, {fm} converge uniformemente a f en Bn(0), y por el teorema(5.1.11) tenemos que f es continua para toda z ∈ Bn(0), y como n es arbi-traria f es continua en C.

48

Ası, f ∈ C(C).Por otro lado como fm → f converge uniformemente en cada Bn(0), eso

quiere decir que para δ > 0 existe m0 ∈ N tal que si m ≥ m0 entonces|fm(z)− f(z)| < δ para toda z ∈ Bn(0), es decir

ρn(fm, f) < δ.

Ahora, dado ε > 0 aplicando el Lema ( 5.1.7), existe δ > 0 y Bn(0), talesque

ρn(fm, f) < δ.

entonces, si m ≥ m0,ρ(fm, f) < ε.

Por tanto,lım

m→∞ρ(fm, f) = 0.

5.1.4. (H(C), ρ) es un espacio metrico completo y sep-arable.

Denotamos con H(C), el espacio de las funciones enteras, es decir fun-ciones que son analıticas en todo C.

Notemos que una funcion entera se puede expresar como una serie depotencias:

f(z) =∞∑

n=0

anzn

con radio de convergencia infinito.Como H(C) ⊂ C(C), podemos asumir que las funciones enteras heredan

la misma metrica que las funciones continuas. Es decir, para toda f, g ∈ H(C)

ρ(f, g) =∞∑

n=1

(1

2

)nρn(f, g)

1 + ρn(f, g)

tambien es una metrica para H(C).

49

Los siguientes dos teoremas nos van a ser utiles. Sus demostraciones sepueden encontrar en las paginas 174 y 212 de [4] y

Teorema 5.1.13. Sea A ⊂ C, un conjunto abierto y conexo. Sean γ : [a, b] →C una curva contenida en A y {fm} una sucesion de funciones continuasdefinidas en γ([a, b]), las cuales convergen uniformemente a f en γ([a, b]).Entonces ∫

γ

fm −→∫

γ

f

Teorema 5.1.14. Sea f continua en una region A y suponga que∫

γf = 0,

para cualquier curva cerrada en A. Entonces f es analıtica en A.

Teorema 5.1.15. Si {fm} es una sucesion en H(C) y f ∈ C(C), tal que

lımm→∞

ρ(fm, f) = 0

Entoncesf es analıtica en todo C.

Demostracion. Sean ε > 0 y z0 ∈ C.Aplicando la proposicion (5.1.8) a {fm} tenemos que fm −→ f uniforme-

mente sobre todo compacto contenido en C, en particular sobre la Bε(z0).Considere ahora cualquier curva cerrada homotopica a un punto, la cual

denotamos por γ, tal que γ ⊂ Bε(z0). Como fm es entera para toda m,entonces por el Teorema de Cauchy tenemos∫

γ

fm = 0 para toda m. (5.1.1)

y por el teorema (5.1.13) ∫γ

fm −→∫

γ

f. (5.1.2)

De 5.1.1 y 5.1.2 obtenemos que∫γ

f = 0.

finalmente utilizando el teorema de Morera, concluimos que f es analıtica enBε(z0) ⊂ C. Por lo tanto f es entera en todo C.

50

Teorema 5.1.16. H(C) es completo.

Demostracion. Sea {fm} una sucesion de Cauchy en H(C). Como C(C) escompleto, existe f ∈ C(C) tal que

lımm−→∞

ρ(fm, f) = 0

Entonces, por el Teorema anterior tenemos que f es analıtica.Por lo tanto H(C) es completo.

Teorema 5.1.17. H(C) es separable.

Demostracion. Para demostrar que H(C) es separable, mostraremos que ex-iste un conjunto D ⊂ H(C), denso y numerable.

SeaQ = {z ∈ C : z = x + iy con x ∈ Q, y ∈ Q}

Proponemos

D = {P (z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anz

n : ai ∈ Q y n ∈ N}

(1) D es denso

Sea ε > 0.

Primero consideremos ε2

> 0. Por el lema (5.1.6) existen δ > 0, y una

bola cerrada BR(0) con R > 1, tales que para cada par f, g ∈ C(C),

sup{|f(z)− g(z)| : z ∈ BR(0)} < δ

implica

ρ(f, g) <ε

2.

Ahora sı la densidad.

51

Sea f ∈ H(C), entonces f(z) =∑∞

n=0 anzn y como la convergencia de

la serie es uniforme en compactos para BR(0) y para δ > 0 existe k ∈ Ntal que para m ≥ k

|m∑

n=0

anzn − f(z)| < δ para toda z ∈ BR(0).

Si hacemos P (z) =∑k

n=0 anzn tenemos que

ρ(P, f) <ε

2.

Por otro lado sean Q(z) =∑k

n=0 bnzn, bn ∈ Q y z ∈ BR(0). Entonces

|Q(z)− P (z)| = |k∑

n=0

(bn − an)zn|

≤k∑

n=0

|bn − an||z|n.

Sea M = max{|bn − an| : n = 0, 1, . . . , k}entonces

|Q(z)− P (z)| ≤ Mk∑

n=0

Rn

= M(k + 1)Rk.

Si M < δ(k+1)Rk tenemos que

|Q(z)− P (z)| < δ.

Entonces ρ(Q,P ) < ε2.

Por lo tanto,ρ(f, Q) < ε.

(2) Ahora demostraremos que D es numerable.

52

Sea

A0 = QA1 = {a0 + a1z : a0, a1 ∈ Q}A2 = {a0 + a1z + a2z

2 : a0, a1, a2 ∈ Q}...

An = {a0 + a1 + a2z2 + · · ·+ anz

n : a0, . . . , an ∈ Q}

Observe que cada Ai es un conjunto numerable. Entonces A =⋃∞

i=0 Ai

es numerable. Pero D = A, con lo cual hemos terminado.

5.1.5. H(C) un espacio de dimension infinita

En el capıtulo 2, demostramos que l2 es un espacio de dimension infinita,ası es que ahora vamos a hacer lo mismo para el espacio de las funciones en-teras. Para ello recordemos primero la definicion de un espacio de dimensioninfinita.

Definicion 5.1.3. Decimos que un espacio vectorial (X, +, ∗) tiene dimen-sion infinita sobre K, si para toda n ∈ N, es posible hallar n vectores en Xque son linealmente independientes sobre K.

Proposicion 5.1.18. H(C) es un espacio de dimension infinita.

Demostracion. Considere el siguiente conjunto:

X = {1, z, z2, z3, ...}

Sea n ∈ N, tomemos ahora el siguiente subconjunto de X.

E = {z, z2, ..., zn} ⊂ X

53

Observemos ahora que cualquier combinacion lineal de E es independien-te, ya que

α1z1 + α2z

2 + · · ·+ αnzn = 0

entoncesα1 = α2 = · · · = αn = 0

Como n fue cualquiera, concluimos que H(C) tiene dimension infinita.

5.2. El operador derivada.

La demostracion del siguiente lema se encuentra en [4] pagina 172.

Lema 5.2.1. Desigualdad de Cauchy. Sea f analıtica en A, donde A esun conjunto abierto y conexo, y sea γ un cırculo con radio R y centro enz0 que esta en A. Supongamos que el conjunto {z : |z − z0| < R} tambienesta en A. Suponga ademas que |f(z)| ≤ M para toda z ∈ γ. Entonces parak = 0, 1, ...

|f (k)(z0)| ≤k!

RkM

El siguiente lema nos sera util al estudiar las propiedades del operadorf → f ′.

Lema 5.2.2. Sea R > 0. Consideremos las bolas BR(0) y BR+1(0). Sea fanalıtica en BR+1(0). Entonces

sup{|f ′(z)| : z ∈ BR(0)} ≤ sup{|f(z)| : z ∈ BR+1(0)}.

Demostracion. Sea ξ ∈ BR(0)Como f es analıtica en BR+1(0) y B1(ξ) ⊂ BR+1(0) tenemos que existe

N = sup{|f(z)| : z ∈ B1(ξ)}. Por la desigualdad de Cauchy tenemos que :

|f ′(ξ)| ≤ sup{|f(z)| : z ∈ B1(ξ)}

Y como

sup{|f(z)| : z ∈ B1(ξ)} ≤ sup{|f(z)| : z ∈ BR+1(0)},

54

entonces|f ′(ξ)| ≤ sup{|f(z)| : z ∈ BR+1(0)}

Pero ξ fue cualquiera, entonces

|f ′(z)| ≤ sup{|f(z)| : z ∈ BR+1(0)} para toda z ∈ BR(0).

Por lo tanto,

sup{|f ′(z)| : z ∈ BR(0)} ≤ sup{|f(z)| : z ∈ BR+1(0)}

5.2.1. Propiedades del operador derivada.

Empezemos por definir el operador derivada como sigue:

D : H(C) −→ H(C),

D(f) = f ′.

Como la derivada de una funcion entera es una funcion entera, el operadorD esta bien definido.

Ahora veamos algunas de las propiedades que posee :

(1) Es claro que D es lineal.

(2) D es continua en la funcion constante cero (que denotamos simplementecon 0).

Demostracion. Sea ε > 0. Por el lema (5.1.6), existen δ∗ > 0 y R > 0tales que para f ∈ C(C), la condicion:

sup{|f(z)| : z ∈ BR(0)} < δ∗,

implica queρ(f, 0) < ε.

Ahora consideremos δ∗ > 0 y BR+1(0). Por el lema (5.1.7), existe δ > 0tal que si

ρ(f, 0) < δ,

55

entoncessup{|f(z)| : z ∈ BR+1(0)} < δ∗.

Observe ahora que, por el lema anterior, tenemos que si ρ(f, 0) < δ,

sup{|f ′(z)| : z ∈ BR(0)} < δ∗.

Entoncesρ(f ′, 0) < ε.

(3) lımn→∞ ρ(Dn(P ), 0) −→ 0 para toda P ∈ D

Demostracion. Sea ε > 0 y P (z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ akz

k ∈ D

Considere n0 = k + 1. Observe que si n ≥ n0, Dn(p) = 0, luego

ρ(Dn(P ), 0) = ρ(0, 0) = 0 < ε

5.3. El operador integracion.

Definimos ahora al operador integracion como sigue:

I : H(C) → H(C)

(I(f))(z) = I(f(z)) =

∫ z

0

f(ξ)dξ

Observemos que I es un operador lineal y es una inversa derecha para D.Sea f ∈ H(C). Observe que f es integrable, por lo tanto existe ϕ ∈ H(C)

tal que ϕ′(z) = f(z) o equivalentemente que∫ z

0

f(t)dt = ϕ(z)− ϕ(0).

Entonces,

D ◦ I(f(z)) = D(I(f(z))) = D(ϕ(z)− ϕ(0)) = f(z).

Proposicion 5.3.1. Para toda P ∈ D, se tiene que lımn→∞ ρ(In(P ), 0) = 0

Demostracion. Sea P (z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ akz

k ∈ D

56

Para demostrar que el lımn→∞ ρ(In(P ), 0) = 0 Observe que:

Ik(P (z)) = Ik(a0) + Ik(a1z) + · · ·+ Ik(anzn).

y usando que,ρ(f + g, 0) ≤ ρ(f, 0) + ρ(g, 0),

bastara ver lo siguiente lımn→∞ ρ(In(akzk), 0) = 0 para cada k.

Demostracion. Sea ε > 0 por el lema (1.7) existen δ > 0 y BR(0) tal quepara f, g ∈ H(C). Si sup{|f(z)− g(z)| : z ∈ BR(0)} < δ, entonces

ρ(f, g) < ε.

Observe que In(akzk) = akzk+n

(k+n)!k! ∈ C. Entonces

sup{|In(akzk)| : z ∈ BR(0)} = sup{| akz

k+n

(k + n)!k!| : z ∈ BR(0)}

=akR

k+n

(k + n)!k!

Haciendo tender n →∞, obtenemos lo siguiente:

sup{|In(akzk)| : z ∈ BR(0)} → 0,

ya que la serie∑∞

j=0Rj

j!es convergente. Por lo que, existe n0 ∈ N tal que si

n ≥ n0,sup{|In(akz

k)| : z ∈ BR(0)} < δ.

Entonces, por la desigualdad anterior,

ρ(In(akzk), 0) < ε

y obtenemos el resultado deseado.

Usando las observaciones tenemos que:

ρ(In(P (z)), 0) ≤ ρ(In(a0), 0) + ρ(In(a1z), 0) + · · ·+ ρ(In(akzk), 0),

y por lo que acabamos de demostrar concluimos que

ρ(In(a0), 0) + ρ(In(a1z), 0) + · · ·+ ρ(In(akzk), 0) → 0

57

cuando n tiende a infinito.

como 0 ≤ ρ(In(P (z)), 0),

entoncesρ(In(P (z)), 0) → 0.

5.4. D es caotico

5.4.1. Vectores universales en H(C)

Hemos demostrado ya que

D : H(C) → H(C),

D(f) = f ′,

es un operador lineal, definido en un espacio metrico, completo y separable.Hemos visto tambien que el conjunto

D = {P (z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anz

n : ai ∈ Q y n ∈ N} ⊂ H(C)

es denso y numerable.Recordemos ademas que la funcion

I : H(C) → H(C),

I(f(z)) =

∫ z

0

f(ξ)dξ,

es una inversa derecha para D, y que tanto ρ(Dn(P ), 0) y ρ(In(P ), 0) tiendena cero cuando n tiende a infinito para toda P ∈ D.

Observemos entonces, que lo hecho hasta el momento es demostrar que secumplen todas las hipotesis del teorema ( 3.2.3). Con lo cual concluimos queH(C) posee vectores universales para D. Es decir, existe f ∈ H(C) tal quesu sucesion de derivadas, {f, f ′, f (2), ...} forman un conjunto denso de H(C).

En resumen podemos concluir el siguiente teorema

Teorema 5.4.1. El operador D : H(C) → H(C) tiene una orbita densa esdecir, existe f ∈ H(C) tal que la sucesion de derivadas {f, f ′, f2, ...} es unconjunto denso en H(C).

58

5.4.2. Densidad del conjunto de las funciones periodi-cas

Proposicion 5.4.2. El conjunto de funciones periodicas de D, es un su-bespacio de H(C).

Demostracion. Denotaremos con Per(D) al conjunto de funciones periodicasde D.

Sean f, g en Per(D). Entonces existen n, m ∈ N tales que Dn(f) = f yDm(g) = g. Sean α, β ∈ C. Entonces

Dnm(αf + βg) = αDnm(f) + βDnm(g) = αf + βg

Proposicion 5.4.3. Sean M ≥ 0, ε > 0 y f ∈ H(C) definida como

f(z) =zM

M !.

Entonces existe ϕ ∈ Per(D) tal que ρ(f, ϕ) < ε.

Demostracion. Sean δ > 0 y BN(0), por el lema ( 5.1.7 ) tenemos que parag, h ∈ H(C) si ρN(g, h) < δ entonces ρ(g, h) < ε.

Consideremos k ∈ N tal que

∞∑i=k

N i

i!< δ.

Proponemos

ϕ(z) =zM

M !+

zM+k

(M + k)!+

zM+2k

(M + 2k)!+ · · ·

=∞∑

j=0

zM+jk

(M + jk)!

Observemos que el coeficiente de zi en ϕ(z), es menor o igual que 1i!, por

tanto el radio de convergencia de ϕ(z) es infinito.Notemos que ϕ(z) es una funcion entera y ademas periodica bajo D, de

periodo k.

59

Ahora consideremos z de tal forma que |z| ≤ N entonces se tiene que

∣∣∣∣ϕ(z)− zM

M !

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∞∑

j=1

zM+jk

(M + jk)!

∣∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣∞∑

j=1

|z|M+jk

(M + jk)!

∣∣∣∣∣≤

∞∑j=1

NM+jk

(M + jk)!

≤∞∑

i=K

N i

i!

< δ

EntoncesρN(f, ϕ) < δ.

Con lo cual concluimos queρ(f, ϕ) < ε.

Corolario 5.4.4. Sean M ≥ 0, ε > 0, c ∈ C, c 6= 0, y f ∈ H(C), definidapor f(z) = czM , entonces existe ϕ ∈ Per(D) tal que ρ(f, ϕ) < ε.

Demostracion. Observe que f(z) la podemos escribir tambien como f(z) =

(cM !) zM

M !.

Sea g(z) = zM

M !. Por la proposicion anterior tenemos que para min{ ε

|c|M !, ε}

existe ϕ ∈ Per(D) tal que ρ(g, ϕ) < min{ ε|c|M !

, ε}Ahora observemos lo siguiente:

ρ

((cM !)

zM

M !, (cM !)ϕ

)≤ max

{ρ

(zM

M !, ϕ

), |c|M !ρ

(zM

M !, ϕ

)}Ahora consideremos dos casos:

60

Si |c|M ! ≤ 1 entonces

ρ

((cM !)

zM

M !, (cM !)ϕ

)≤ ρ

(zM

M !, ϕ

)≤ min

{ε

|c|M !, ε

}= ε

Si |c|M ! > 1

ρ

((cM !)

zM

M !, (cM !)ϕ

)≤ |c|M ! ρ

(zM

M !, ϕ

)< |c|M ! min

{ε

|c|M !, ε

}= ε

Ahora estamos en condiciones de demostrar que el conjunto de funcionesperiodicas bajo D es denso en H(C). Para eso, demostraremos la siguienteproposicion.

Proposicion 5.4.5. Para toda P ∈ D y ε > 0, existe f ∈ Per(D) tal queρ(P, f) < ε. Donde

D = {Q(z) = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anz

n : ai ∈ Q y n ∈ N}

Demostracion. Sea P (z) ∈ D donde P (z) = p0 + p1z + p2z2 + · · · + pkz

k yε > 0. Por el corolario anterior sabemos que existen ϕ0, ϕ1, ..., ϕk funcionesenteras tales que para 0 ≤ i ≤ k, ρ(Pi, ϕi) < ε

k+1donde Pi(z) = piz

i yϕi ∈ Per(D).

Proponemos

f =k∑

i=0

ϕi.

Por la proposicion ( 5.4.2), f ∈ Per(D).

61

Ahora calculemos la siguiente distancia:

ρ(P, f) = ρ(p0 + p1z + p2z2 + · · ·+ pkz

k, ϕ0 + · · ·+ ϕk)

= ρ((p0 − ϕo) + (p1z − ϕ1) + · · ·+ (pkzk − ϕk), 0)

≤ ρ(p0 − ϕo, 0) + · · ·+ ρ(pkzk − ϕk, 0)

= ρ(p0, ϕo) + · · ·+ ρ(pkzk, ϕk)

=ε

k + 1+ · · ·+ ε

k + 1

= ε

Lo anterior nos servira para demostrar el siguiente teorema:

Teorema 5.4.6. El conjunto de funciones periodicas bajo D es denso enH(C).

Demostracion. Dada f ∈ H(C) y ε > 0, por ser D denso existe P ∈ Dcon ρ(f, P ) < ε

2y por la proposicion (5.4.5), existe ϕ ∈ Per(D) tal que

ρ(P, ϕ) < ε2

luego

ρ(f, ϕ) ≤ ρ(f, P ) + ρ(P, ϕ) <ε

2+

ε

2= ε.

Hemos probado entonces que D posee una funcion cuya orbita es densay ademas que el conjunto de funciones periodicas bajo D es denso en H(C),por lo tanto podemos enunciar la siguiente proposicion.

Proposicion 5.4.7. D es caotico

Demostracion. La unica condicion que nos falta por demostrar es la sensibi-lidad a las condiciones iniciales. Como lo anunciamos en la introduccion estacondicion es consecuencia de la densidad de Per(D) y de la existencia de unvector universal. Vease el artıculo de J. Banks et al. [1].

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