problemas mark spong ii unidad movimientos rigidos y tranformaciones homogeneas.pdf
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CENTRO DE INVESTIGACION Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL
IPN.
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA
SECCION MECATRONICA
ROBOTICA
Dr. Hebertt Sira Ramírez
Ejercicios unidad II Movimientos rígidos y transformaciones homogeneas.
Robot Modeling and control
Mark W. Spong, Seth Hutchinson, and M. Vidyasagar
Gibran Daniel Reyes Juárez
Febrero de 2015
1. Usando el hecho que , demostrar que el producto vectorial de dos vectores
libres no depende de la escogencia del sistema donde están definidas sus coordenadas.
Un vector libre no esta referenciado al origen de un sistema de coordenadas. Tienen la
forma , donde los puntos estan en el plano aunque su
diferencia se puede interpretar como vectores referenciados al origen,
.
El producto escalar de dos vectores se define como:
∑
Definiendo asi dos vectores columna , definidos en el sistema de referencia a, si el
producto escalar no depende del sistema de referencia.
(
)
La aplicacion de la matriz de rotación sobre los vectores conserva el producto
escalar en el sistema rotado.
(
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
De manera genera la aplicación de la matriz de rotación sobre los vectores se
denota como calculando el producto escalar de estos vectores rotados, tenemos.
2. Mostrar que la longitud de un vector libre no cambia por rotación, es decir que ‖ ‖
‖ ‖.
‖ ‖ √
Si definimos un vector libre (
) ‖ ‖ √ √
.
(
) (
) (
)
‖ ‖ √
‖ ‖ √
,resolviendo el binomio y
simplificando.
‖ ‖ √
√
‖ ‖
3. Demostrar que la distancia entre puntos no cambia por rotación, es decir, que ‖ ‖
‖ ‖.
La distancia entre dos puntos p y q de un cuerpo rigido coincide con la norma del vector
que conecta dichos puntos, este vector es un vector libre que puede trasladarse al origen,
por la demostracion del punto 2 se concluye que la distancia tambien se conserva.
4. Si la matriz satisface , demostrar que los vectores columna de son unitarios y
mutuamente perpendiculares.
*
+, satisface *
+ *
+
[
] *
+
*
+ (
) (
).
El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero.
= (
)
Un vector unitario es aquel que su norma es unitaria ‖ ‖ ‖ ‖ .
‖ ‖ √ √ √
‖ ‖ √ √ √
5. Si la matriz satisface , entonces:
a) Demostrar que det R = ±1.
b) Demostrar que det R = ±1 si nos restringimos a sistemas que obedecen la regla de la
mano derecha.
*
+, satisface *
+ *
+ .
*
+
6. Verificar las ecuaciones (2.3)-(2.5).
(
) (
) (
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
7. Un grupo es un conjunto X junto a una operación * definida en el conjunto tal que:
para todo .
.
Existe un elemento tal que para todo .
Para cada , existe algun elemento tal que .
Demostrar que SO(n) con la operación de multiplicación de matrices es un grupo.
(
) (
)
(
) , cerrado bajo la operación dada.
{(
)(
)}(
) (
)
(
) {(
)(
)} (
)
Cumple asociatividad.
(
) , para ,existencia de elemento inverso
En general para el conjunto , se cumple ,por lo que se concluye que
, existe el elemento inverso.
8. Deduzca las ecuaciones (2.6)-(2.7).
Para la rotación respecto al eje x, el primer vector fila son las proyecciones de las
componenetes en x,y,z del nuevo eje x sobre los ejes antiguos, lo mismo sucede para el
vector fila siguiente, correspondiente a las proyecciones en x,y,z del nuevo eje y sobre los
ejes antiguos, el último el vector fila corresponde a las proyecciones en x,y,z del nuevo eje
z sobre los ejes antiguos.
(
)
Lo mismo sucede con la rotación respecto al eje y, el primer vector fila corresponde a las
proyecciones de las componenetes en x,y,z del nuevo eje x sobre los antiguos, el segundo
vector fila corresponde a las proyecciones de las componenetes en x,y,z del nuevo eje y
sobre los antiguos, el último vector fila corresponde a las proyecciones de las
componenetes en x,y,z del nuevo eje z sobre los antiguos.
(
)
9. Suponga que A es una matriz de rotación 2x2. En otras palabras y det A = 1.
Demostrar que existe un único θ tal que A es de la forma.
A=*
+
En el plano xy, si el eje x se rota un ángulo θ a la vez que el eje y se rota un ángulo ϕ la
matriz que representa esta transformación queda de la siguiente manera.
B=[
]
Una matriz de rotación satisface y det A = 1, lo que implica que y que
sus vectores columna son mutuamente perpendiculares, es decir que su producto escalar es
cero.
Para que B sea una matriz de rotación debe satisfacer (
) , lo
que claramente no es cierto ya que (
) .
La condición para que esto se cumpla es que θ=ϕ
10. Considere la siguiente secuencia de rotaciones:
a) Rotación ϕ alrededor del eje x del sistema de referencia fijo.
b) Rotación θ alrededor del eje z del sistema actual.
c) Rotación ψ alrededor del eje y del sistema de referencia fijo.
Escribir el producto de matricial que dará la matriz de rotación resultante (no realizar el
producto de las matrices).
11. Considere la siguiente secuencia de rotaciones:
a) Rotación ϕ alrededor del eje x del sistema de referencia fijo.
b) Rotación θ alrededor del eje z del sistema de referencia fijo.
c) Rotación ψ alrededor del eje x del sistema actual.
Escribir el producto de matricial que dará la matriz de rotación resultante (no realizar el
producto de las matrices).
12. Considere la siguiente secuencia de rotaciones:
a) Rotación ϕ alrededor del eje x del sistema de referencia fijo.
b) Rotación θ alrededor del eje z del sistema actual.
c) Rotación ψ alrededor del eje x del sistema actual.
d) Rotación α alrededor del eje z del sistema de referencia fijo.
Escribir el producto de matrices que dará la matriz de rotación resultante (no realizar el
producto de las matrices).
13. Considere la siguiente secuencia de rotaciones:
a) Rotación ϕ alrededor del eje x del sistema de referencia fijo.
b) Rotación θ alrededor del eje z del sistema de referencia fijo.
c) Rotación ψ alrededor del eje x del sistema actual.
d) Rotación α alrededor del eje z del sistema de referencia fijo.
Escribir el producto de matrices que dará la matriz de rotación resultante (no realizar el
producto de las matrices).
14. Encuentre la matriz de rotación que representa un roll de π/4 seguido por un yaw de π/2
seguido por un pitch de π/2.
La secuencia de rotaciones resultante queda de la siguiente manera.
(
)
(
√
⁄ √
⁄
√
⁄ √
⁄
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)(
)
(
√
⁄ √
⁄
√
⁄ √
⁄
)
(
√
⁄ √
⁄
√
⁄ √
⁄ )
15. Si el sistema de referencia o1x1y1z1 es obtenido del sistema de referencia o0x0y0z0 por una
rotación de π/2 alrededor del eje x seguido de una rotación de π/2 alrededor del eje y fijo,
encuentre la matriz de rotación R que representa la transformación de coordenadas. Dibuje
el sistema inicial y final.
(
)(
) (
)
16. Suponga que 3 sistemas de referencia o1x1y1z1, o2x2y2z2 y o3x3y3z3 son dados, y suponga:
[
√
√
]
[
]
Encuentre la matriz .
[
√
√
]
[
]
[
√
√
]
17. Verifique la ecuación (2.46).
La rotación respecto a un eje arbitrario se puede obtener a partir de la rotación de algun
eje del sistema por ejemplo una rotación respecto al eje z un ángulo α seguida de una
rotación respecto al eje y un ángulo β, en la siguiente secuencia.
[
] [
] [
]
√
√
√
Resolviendo el producto matricial y sustituyendo la igualdades anteriores se obtiene.
[
]
18. Si R es una matriz de rotación demostrar que +1 es un eigenvalor de R. Sea k un
eigenvector unitario correspondiente al eigenvalor +1. Dar una interpretación física de k.
*
+ | | *
+
| |
Los eigenvalores de la matriz R para cualquier ángulo tienen magnitud unitaria si este se
representa en su forma polar √
19. Sea
√ . Encontrar Rk,θ.
√
[
]
[
√
√
√
√
√
√
]
20. Demostrar por cálculo directo que Rk,θ dada por la ecuación (2.46) es igual a R dada por la
ecuación (2.51) si θ y k estan dados por la ecuación (2.52) y (2.53), respectivamente.
[
]
(
√
√
√
)
√
√
√
[
]
[
√
√
√
√
]
21. Calcule la matriz de rotación dada por el producto:
Rx,θRy,ϕRz,πRy,-ϕRx,-θ
[
] [
] [
]
[
] [
]
[
] [
] [
]
[
]
22. Suponga que R representa una rotación de 90° alrededor de y0 seguido por una rotación de
45° alrededor de z1. Encontrar el equivalente eje/ángulo que representa R. Dibuje el sistema
inicial y final y el eje vector k equivalente.
[
]
[ √
⁄ √
⁄
√
⁄ √
⁄
]
[
√
⁄ √
⁄
√
⁄ √
⁄ ]
(
)
(
√
⁄
)
(
)
(
√
⁄
√
√
⁄
)
(
)
Fig. Sistema inicial y final.
Fig. Vector k.
23. Encuentre la matriz de rotación correspondiente al conjunto de ángulos de euler {π/2, 0,
π/4}. ¿cuál es la dirección del eje x1 relativo al sistema base?
[
] [
] [
]
[
] [
]
[ √
⁄ √
⁄
√
⁄ √
⁄
]
[ √
⁄ √
⁄
√
⁄ √
⁄
]
24. La sección 2.5.1 describió solo los ángulos de euler Z-Y-Z. Listar todos los posibles
ángulos de euler. ¿es posible tener ángulos de euler Z-Z-Y? ¿por qué o por qué no?
Angulos de euler de la forma , etcétera se pueden simplificar ya que hay
dos rotaciones respecto al mismo eje seguidas, por lo que estas se pueden representar por
una sola rotación.
25. Números complejos de magnitud unitaria (es decir, α + iβ tal que α2 + β
2 = 1), pueden ser
usados para representar orientaciones en el plano. En particular, para el número complejo
α +iβ, podemos definir el ángulo θ = atan2(α,β). Demostrar que la multiplicación de dos
números complejos corresponde a la adición de los ángulos correspondientes.
La funcián calcula el ángulo que forman x e y en el plano ubicándolo en un
cuadrante dependiendo del signo de estos.
26. Demostrar que los números complejos junto a la operación de multiplicación definen un
grupo. ¿cuál es el elemento identidad para el grupo? ¿cuál es el inverso para α + iβ?
Para
cerradura
( ) ( )
( ) ( )
Asociatividad.
Para
, existe elemento neutro.
(
)
existe inverso.
Por lo tanto los números complejos con la operación de multiplicación son un grupo.
27. Los números complejos pueden ser generalizados definiendo tres raices cuadradas de -1
independientes que obedecen las reglas de multiplicación:
Usando esto, definimos un cuaternión por , el cual es típicamente
representado por 4-tuplas . Una rotación θ alrededor del vector unitario
puede ser representada por el cuaternión unitario
. Demostrar que tal cuaternión tiene norma
unitaria, es decir que
.
El cuaternión unitario
, puede expresarse en la
forma condensada
, donde es un vector unitario.
Definimos la norma de un cuaternión como , donde
, de modo que
(
) (
)
, donde es unitario y
.
28. Usando
, y el resultado de la sección 2.5.3,
determine la matriz de rotación R que corresponde a la rotación representada por el
cuaternion .
Expresando el cuaternión como
, y sustituyendo en la matriz.
[
]
Tomando
la matriz de rotación correspondiente a Q queda de la siguiente manera.
[
]
29. Determine el cuaternión Q que representa la misma rotación dada por la matriz R.
[
]
El vector unitario representa el eje de rotación, mientras que el ángulo
θ representa el ángulo de rotación.
30. El cuaternión puede considerarse como un componente escalar y un
componente vectorial = . Demostrar que el producto de dos cuaterniones,
Z=XY esta dado por:
Sugerencia: realizar la multiplicación y
simplificar el resultado.
, donde z e y son vectores, de modo que el producto de estos
cuaterniones es.
, donde ,
31. Demostrar que es el elemento identidad para la multiplicación de
cuaterniones unitarios, es decir que para cualquier cuaternión unitario .