introducción a las funciones prof. evelyn dávila
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Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila. Temas prerrequisitos Ecuaciones lineales en una variable Inecuaciones lineales en una variable Operaciones con polinomios Factorización de polinomios Conjunto de los números reales, valor absoluto, notación de intervalos Plano cartesiano - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Introducción a las Funciones
Prof. Evelyn Dávila
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Temas prerrequisitos Ecuaciones lineales en una variable Inecuaciones lineales en una variable Operaciones con polinomios Factorización de polinomios Conjunto de los números reales, valor absoluto, notación de
intervalos Plano cartesiano Ecuaciones lineales en dos variables: conjunto solución, gráficas ,
pendiente Forma pendiente-intercepto - Tipos de líneas Hallar la ecuación de una línea Líneas paralelas y perpendiculares Fórmula de distancia y punto medio
bmxy
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Números Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Cardianles
Naturales
No enteros
Irracionales
Imaginarios1i
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Números Naturales N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
Números Cardinales W = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .... }
("Whole Numbers") Enteros Z = { .... -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, .... }
Números Racionales Q = { p/q | p, q son enteros y q 0 }
Números Irracionales Q'= {Todo numero real que no es racional}
{ Números cuya representación decimal no termina y no son decimales repetitivos }
Números Reales R = { Todo número racional o irracional }
= { Q Q'}
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Definición de función Dominio Recorrido Notación Evaluar una función Cociente diferencial
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Una función es una relación entre
dos conjuntos de tal manera que para
cada elemento del primer conjunto
corresponde un solo elemento del
segundo conjunto.
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Ejemplos reales de relaciones que envuelven funciones: Un individuo y su seguro social Un vehículo de motor y su tablilla.
Por lo contrario, no es una función la relación de madre e hijos. Explica por qué.
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Al primer conjunto, de donde tomamos los
elementos para la regla, se le llama Dominio y al segundo conjunto se le llama Recorrido o
Campo de Valores.
a b
c
avión carro
barco
DOMINIORECORRIDO
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Ejemplo 1
¿Cómo describes esta relación? ¿Cómo se relacionan los dos conjuntos?
a b
c
avióncasa
barco
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Observa que la relación anterior produce un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, éstos son:
{ ( a, avión) , (b, barco) , ( c , carro ) }
¿Cuál es el Dominio en esta relación?
¿Cuál es el Recorrido ?
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RESPUESTAS Ejemplo 1
DOMINO { a, b, c }
Recorrido {avión, barco, carro}
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Ejemplos reales (cotidianos)
Seguro social Número ID Tablilla vehículo
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Ejemplo 2
1 2 3 4
6 2 8 4
a. ¿Cuál es el Dominio en esta relación?
b. ¿Cuál es el Recorrido ?
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Ejemplo 2
1 2 3 4
6 2 8 4
a. ¿Cuál es el Dominio en esta relación?
{ 1, 2, 3, 4 } Dominio
b. ¿Cuál es el Recorrido ?
{ 2, 4, 6, 8 } Recorrido
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Continuamos - Ejemplo 2
Indica cuáles son los elementos de esta relación.
1 2 3 4
6 2 8 4
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Continuamos - Ejemplo 2
Indica cuáles son los elementos de esta relación.
{ ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }
1 2 3 4
6 2 8 4
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RESPUESTAS- Ejemplo 2
c. { ( 1,2) , ( 2,4) , ( 3,6 ) , ( 4,8) }
Observa que los elementos de este conjunto son pares ordenados donde el primer elemento corresponde a un elemento del DOMINIO y el segundo elemento corresponde a uno del RECORRIDO.
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Continuamos - Ejemplo 2
¿Cómo describirías esta relación? ¿Qué regla la describe?
1 2
3 4
6 2
8 4
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RESPUESTAS- Ejemplo 2
Observamos que en esta relación multiplicamos cada elemento del Dominio por dos.
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4
2 x 3 = 6
2 x 4 = 8
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Si representamos a los elementos
del DOMINIO con una x , y a los
elementos del RECORRIDO con una
y , entonces podemos representar la
relación dada de la siguiente forma:
y = 2x
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Decimos que y = 2x , es la regla que describe la relación dada en el Ejemplo 2 .
Observa, que esta ecuación nos indica que de acuerdo al valor que se le asigne a la variable x , será el valor que se obtiene para y.
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PrácticaSegún la definición de función, cuáles de los siguientes dibujos representan a una función.
abc
123
abc
III
III
123
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RESPUESTAS
SI SI
NO
abc
123
abc
III
III
123
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RESPUESTA
Observa que para el elemento I en el DOMINIO corresponden dos elementos distintos en el RECORRIDO, por lo tanto no responde a la definición de funciones.
III
123
NO
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Práctica
¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su Dominio y su Recorrido.
a. { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } ___________________
b. { (1,1), (2,2), (3,3) } ___________________
c. { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} ____________________
d. { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) }_______________
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Respuestas a la Práctica
¿Cuáles de las siguientes relaciones son funciones? Indica su
Dominio y su Recorrido.
a) { (2,6), (4,12), (6,18) , (8,24) } SI
Dominio { 2,4,6,8} Recorrido { 6,12,18,24 }
b) { (1,1), (2,2), (3,3) } SI
Dominio {1,2,3} Recorrido {1,2,3}
c) { (3,6), ( 5, 8), (7,10), (3,9)} NO
Observa que el 3 tiene dos elementos distintos en el RECORRIDO
d) { (4, 1) , (1,4), ( 2, 5) , (5, 3) , (1, 4) SI
Dominio { 4, 1, 2, 5 } Recorrido {1,4,5,3}
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Identificar funciones mediante la observación de tabla de valores
Identifica cuáles de las siguientes tablas de valores representa a una función. En las siguientes tablas la primera columna representa a la variable independiente y la segunda columna a la variable dependiente.
a b
-5 10
0 0
5 -10
4 0
c d
-1 1
0 0
1 1
2 4
e f
4 8
2 1
1 2
2 4
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Notación de Funciones f X ------> Y
Dominio Recorrido
y = f(x)
f es el nombre que se le asignó a la función, se
lee "y es función f de x” , las variables son x y y.
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Ejemplos
x
xxg
x
xy
xxxhxxy
xxfxy
2
1)(
2
1
13)(13
83)(8322
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Importante
Observa: El valor de y , depende del valor que
se le asigne a x, en la regla correspondiente.
Llamamos a y ,la variable dependiente y a x la variable independiente.
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Aplicación
Identifica para cada situación la variable dependiente y la variable independiente.
Se investiga la relación entre el diametro del tronco de un árbol y la edad de éste en términos de años de vida.
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CONTINUACION -Aplicación
Se desea conocer cómo se reproducen los mosquitos durante los doce meses del año.
La relación entre la estatura de las mujeres y el tamaño de sus pies.
La cantidad de horas que dedican los estudiantes a estudiar para un examen y la puntuación que obtienen en éste.
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EVALUAR UNA FUNCIÓN
Evaluar una función consiste en seleccionar un valor del Dominio de esa función y sustituírlo en la regla de la función.
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Ejemplo 1
Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.
Hallar f(3) consiste en evaluar la función f en x = 3, sustituimos este valor en la regla de la siguiente forma
f(3) = 2 ( 3 ) + 1 = 7.
Luego de evaluar la función decimos que f(3)=7.
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Cada vez que evaluamos una función obtenemos dos valores, uno para la variable independiente y el valor correspondiente para la variable dependiente.
Por tanto, obtenemos un par ordenado de la forma
( x, y) .
Para el Ejemplo 1, tenemos que f(3) =7 , por tanto el par ordenado es ( 3, 7).
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Sea f(x) = 2x +1 , una función cuyo Dominio es { 1, 3, 5, 7 }.
Evalúa la función f , en los valores indicados’
f(5) = 2 ( 5 ) + 1 = 11 par ordenado ( 5 , 11)
Práctica
f(1) = ______
f(7) = ______
f(4) = ______
Continuamos con el Ejemplo 1
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Respuesta
f(1) = 3 ( 1, 3 )
f(7) = 15 ( 7, 15 )
f(4) = No existe El 4 no pertenece al Dominio de esta función.
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¿Cuáles son los elementos de esta relación ?
¿Cuál es el RECORRIDO ?
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Sea f(x) = 2x +1 una función cuyo Dominio es { 1 , 3 , 5 , 7 }.
¿Cuáles son los elementos que describen a la función f ? { ( 1,3) , (3,7) , (5,11) , (7,15) }
¿Cuál es el RECORRIDO ? { 3, 7, 11, 15 }
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Ejemplo 2
Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3}
a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta
relación?
b) Indica cuáles son los elementos de esta relación.
c) Indica el Recorrido
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Ejemplo 2
Sea h(x) = x2 + 2 y su Dominio dado por {1,2,3}
a) ¿Es el par ordenado ( 2, 4 ) elemento de esta relación?
NO es elemento de esa función porque h(2) = 6.
b) Indica cuáles son los elementos de esta relación.
{ (1,3), (2,6) , (3,11) }
c) Indica el Recorrido
{ 3, 6, 11 }
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PrácticaSean f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x ; funciones cuyo Dominio es dado por el conjunto que incluye a todo número real que produzca numeros reales en el Recorrido.
Evalúa en los valores indicados:
a) f(-3) = f(0) =
b) g(15) = g(-5)=
c) h( 3) = h( -2) =
d) q(4) = q(-7) =
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Respuestas - Práctica
f(x) = 5x , g(x) = x - 3 , h(x) =x2 + 2x , q(x) = -x
a. f(-3) = -15 f(0) = 0
b. g(15) = 12 g(-5)=-8
c. h( 3) = 15 h( -2) = 0
d.. q(4) = -4 q(-7) = 7
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Cuando no se especifica cuál es el
Dominio de la función entonces es
implícito que consiste en el conjunto de todo número real para el cual esté definida la función en los números reales.
Al evaluar una función el resultado para la variable dependiente y , debe ser un número real.
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Ejemplo en el que se debe tener
cuidado:
g(1) = 1 g(16) = 4 g(-4) = 2i
El resultado NO es un número real por lo tanto -4 no puede ser parte del DOMINIO.
xxg )(
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Cociente Diferencial
Llamamos a la expresión dada por
el cociente diferencial de f(x).
El cociente diferencial es equivalente a la fórmula de la pendiente de la línea que pasa por los puntos
h
xfhxf )()(
))(,())(,( hxfhxyxfx
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Halla el cociente diferencial de la función
Primer paso:
Evaluar f(x+h)
Segundo paso:
Sustituir en la fórmula
Tercer paso:
Simplificar
52x f(x)
22
]52[]522[
522
5)(2)(
h
hh
xhx
hx
hxhxf
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Halla el cociente diferencial de la función
Primer paso:
Evaluar f(x+h)
Repasar
23x h(x)
2222)(
2222)(
hxhxhx
bababa
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Halla el cociente diferencial de la función
Primer paso:
Evaluar f(x+h)
Segundo paso:
Sustituir en la fórmula
Tercer paso:
Simplificar
23x f(x)
hxh
hxhhhxh
hxhxhx
hxhx
hxhx
hxhxf
36
)36(236
]23[]23623[
23623
)222(3
2)(3)(
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Funciones Basicas
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Prueba de la línea vertical Función uno a uno: prueba de la
línea horizontal Comportamiento y características de
la función dada su gráfica Función con Dominio Restringido
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PRUEBA DE LA LINEA VERTICAL
Dada una gráfica, si para toda línea vertical
que pase por cada uno de los valores del Dominio de la relación ésta toca (cruza)
sólo un punto de la gráfica, entonces
corresponde a una función.
x
y
![Page 53: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/53.jpg)
Para cada gráfica indica si ésta es una función
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FUNCIONES BASICAS
![Page 55: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/55.jpg)
Función Constante𝑓 (𝑥 )=2
Dominio RealesRecorrido {2}Valor de y es “constante”
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FUNCION IDENTIDAD
yRECORRIDO
xDOMINIO
𝑓 (𝑥 )=𝑥
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FUNCION CON VALOR ABSOLUTO
0yRECORRIDO
xDOMINIO
xy
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0yRECORRIDO
xDOMINIO FUNCION CUADRATICA
𝑓 (𝑥 )=𝑥2
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yRECORRIDO
xDOMINIO
FUNCION CUBICA
3xy
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xy 0
0
yRECORRIDO
xDOMINIO
FUNCIONES QUE ENVUELVEN RADICALES
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}0{Re
}0{min
yyRycorrido
xyRxioDoFUNCION RACIONAL
xxf
1)(
![Page 62: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/62.jpg)
1x
y
1
x
y
FUNCION EXPONENCIAL
0yRECORRIDO
xDOMINIO
CASO b>1 CASO 0<b<1
10 bybdondeby x
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𝑓 (𝑥 )=2𝑥
CrecienteDominio RealesRecorrido y>0
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1
FUNCION LOGARITMICA
yRECORRIDO
xDOMINIO 0
10,log bybdondexy b
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Funciones con DOMINIO restringido
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Son funciones que por su naturaleza no pueden tener como su DOMINIO al conjunto de los números reales.
En estos casos tenemos que determinar cuál
es el conjunto que representa a su DOMINIO y éste será un subconjunto de los números reales.
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Se requiere conocimiento previo de los siguientes temas:
Radicales Expresiones racionales Inecuaciones lineales Inecuaciones cuadráticas
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Dos tipos de funciones que como regla general tendrán DOMINIO restringido son: las funciones con radicales y las funciones racionales.
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FUNCIONES QUE ENVUELVEN RAÍCES CUADRADAS (Índices pares en general)
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Procedimiento para determinar el Dominio de una función con raíz cuadrada.
A la expresión del radicando se le aplica la propiedad de radicales correspondiente y se despeja para la variable.
El resultado de esta inecuación es el Dominio de la función.
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Una función con DOMINIO restringido es aquella en la que su regla no permite operar en el conjunto de los números reales para algunos valores particulares. Es decir, existen valores reales que si los utilizas para evaluar la función el resultado que obtendrás no está definido en los números reales.
![Page 72: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/72.jpg)
EjemplosDetermina el Dominio de cada funcion
1)()1 xxf
12)()2 xxg
4)()3 2 xxh
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PrácticaDetermina el Dominio de cada funcion
35)()1 xxf
xxg 4)()2
9)()3 2 xxh
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FUNCIONES RACIONALESDEFINICION Un número racional es un número que se
puede representar en la forma
{ p/q | p, q son enteros y q 0 }
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Para determinar el DOMINIO de una función racional debemos identificar los valores de x que hacen al denominador cero y excluirlos del Dominio de la función.
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Procedimiento
Halla las raíces del denominador, es decir, igualas la expresión del denominador a cero y resuelves.
Los valores encontrados los excluyes del DOMINIO
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Ejemplos
3
1)1
x
xy
a) ¿Cuál es el Dominio?
b) Evalúa la función en x = 5
34
12)2
x
xy
a) ¿Cuál es el Dominio?
b) Evalúa la función en x = - 3
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Ejemplos
54
2)3
2
xx
xy
a) ¿Cuál es el Dominio?
1
1)4
2
x
xy
a) ¿Cuál es el Dominio?
b) Evalúa la función en x = -1
16
4)4
2
x
xy
a) ¿Cuál es el Dominio?
b) Evalúa la función en x = 0
![Page 79: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/79.jpg)
Práctica: Indica el Dominio de cada función
)4()
min)
3
1)()1
fb
ioDoa
x
xxf
)4()
min)
23
2)()2
2
fb
ioDoa
xx
xxg
![Page 80: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/80.jpg)
)4()
min)
23
2)()2
2
fb
ioDoa
xx
xxg
=0
Df={x ϶ R, y x≠1,2}
![Page 81: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/81.jpg)
FUNCION UNO A UNO
Definición Una función uno a uno es una función en la que
para cada elemento de su recorrido ( campo de valores) existe un sólo elemento correspondiente en el DOMINIO.
![Page 82: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/82.jpg)
FUNCION UNO A UNO
51015
1 2
3
DOMINIO RECORRIDO
RELACIóN {(1,5) , (2,10) , (3,15) }
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Indica cuáles de las siguientes relaciones representan una función UNO a UNO.
abc
1
3
Dominio Recorrido
12
1020
40
Dominio Recorrido
¿Esta relación es una función?
¿Esta relación es una función uno a uno?
Contesta para cada relación:
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Para determinar si una gráfica dada corresponde a una función uno a uno utilizamos la prueba de la línea horizontal.
x
y
¿Existe alguna línea horizontal que toque dos puntos de esta gráfica a la misma vez?
![Page 85: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/85.jpg)
Identifica cuáles de las siguientes funciones son uno a uno.
![Page 86: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/86.jpg)
Características de la gráfica de una función
Dominio y Recorrido Interceptos en x Intercepto en y Comportamiento
Constante Creciente Decreciente
Intervalo donde la función es positiva Intervalo donde la función es negativa
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Repasar Notación de Intervalo Se incluyen ambos extremos [a,b]
Intervalo cerrado No se incluyen ninguno de los extremos (a, b)
Intervalo abierto Se incluye uno de los dos extremos
[a,b) se incluye a , (a,b] se incluye b
![Page 88: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/88.jpg)
Características de la gráfica de una función Dominio
Se observa la gráfica horizontalmente de izquierda a derecha.
Se toman los valores extremos en x de la gráfica. Recorrido
Se observa la gráfica verticalmente de abajo a arriba. Se toman los valores extremos en y de la gráfica.
Interceptos en x : puntos donde y=0 Intercepto en y: punto donde x=0
![Page 89: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/89.jpg)
Características de la gráfica de una función Comportamiento
Constante: el valor de y no cambia Creciente: a medida que me desplazo a la derecha el valor
de y aumenta Decreciente: a medida que me desplazo a la derecha el valor
de y disminuye
![Page 90: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/90.jpg)
Características de la gráfica de una función Intervalo donde la función es positiva: y > 0 Intervalo donde la función es negativa: y < 0
![Page 91: Introducción a las Funciones Prof. Evelyn Dávila](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062807/56815120550346895dbf3d2c/html5/thumbnails/91.jpg)
Hojas sueltas
Ejemplos
Práctica