Interpolación Lineal

y Polinomios de

NewtonGuillermo Castro 200670305

Jairo Valverde 200669165

Nathalie Chavarría 200663611

Rodny Céspedes 200658110

Rogelio Salazar 200324364

Interpolación Lineal

La Interpolación lineal es la forma

más simple de interpolación; pues

esta consiste en conectar dos

puntos con una línea recta.

El método se observa de la siguiente manera:

Usando triángulos semejantes:

Partiendo de:

Despejando:

Obtenemos:

En general:

La notación f(X) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden

Además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término [f(X1) - f(X0)] / (X1 – X0) es una aproximación de diferencias divididas finitas a la primera derivada

Ejemplo 1: Calcúlese el logaritmo natural de 2 (ln 2) usando interpolación lineal.

Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre ln 1 = 0 y ln 6 = 1.7917595.

Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde:ln 1 = 0 a ln 4 = 1.3862944.

Nótese que el valor real de ln2 = 0. 69314718

Solución: Evaluando la fórmula de interpolación lineal (3) de X = 1 a X = 6 da:

  La cual representa un error porcentual de e% = 48.3 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 1 a X = 4 da:   

Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 33.3%.

¿Cuándo falla el método de

interpolación lineal?

Cuando la derivada es horizontal en

un punto. Además, el valor de la segunda

derivada es muy grande.

Ejemplo 2: Estime el logaritmo base 10 de 5 (log 5):

Primero, llévese a cabo los cálculos interpolando entre log 4 = 0.60206 y log 6 = 0.7781513.

Después repítase el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde:log 4.5= 0.6532125 a log 5.5 = 07403627.

Nótese que el valor real de log 5 = 0. 6989700043

Solución: Evaluando la fórmula de interpolación lineal de X = 4 a X = 6 da:

 

 La cual representa un error porcentual de e% = 1.268 %. Usando el intervalo más pequeño desde X = 4.5 a X = 5.5 da:  

Utilizando el intervalo más pequeño se reduce el error relativo porcentual a e% = 0.31223%.

Polinomios de Interpolación

de NewtonLa estrategia de este método consiste en mejorar la

estimación introduciendo curvatura a la línea de

unión de puntos.

Para generalizar, se utiliza el polinomio de grado n

para diferencias divididas de newton como:

fn (x) = b0 + b1 ( x – x0) + b2 ( x– x0 ) ( x – x1 ) + ... + bn ( x - x0 )

( x – x1 ) ( x – x2 )… ( x - xn-1).

Donde los coeficientes se obtienen utilizando los (n+1)

puntos requeridos de la siguiente forma:

b0 = f (x0)

b1 = f [x1, x0]

b2 = f [x2, x1, x0]

.

:

bn = f [xn, xn-1, ..., x1, x0]

Donde las evaluaciones de la función colocadas

entre paréntesis son diferencias divididas finitas. Por

ejemplo:

1. f [ xi, xj] = f(xi) - f(xj) xi – xj

2.f [ xi, xj , xk] = f [xi, xj ] - f [ xj, xk ]

xi - xk

En general, la n-ésima diferencia dividida finita es:

f[xn, xn-1, xn-2, x1, x0] = f[xn, xn-1, xn-2, x1] - f[xn-1, xn-2,x1,x0] xn – x0

Para concluir la secuencia anterior se llega a:

X f(X)

X0=1 0.000 0000

X1=4 1.386 2944

X2=6 1.791 7595

X3=5 1.609 4379

Ejemplo 1:

Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese ln 2

con un polinomio de interpolación de Newton con

diferencias divididas de tercer orden.

Solución:

Primero debemos recordar que el polinomio con n = 3, es:

Las primeras diferencias divididas del problema son:

Las segundas diferencias divididas son:

La tercera diferencia dividida es:

i xi f (xi)Primera

diferencia dividida

Segunda diferencia dividida

Tercera diferencia dividida

0 1.0 0.000000000.46209813

1 4.0 1.3862944 - 0.051873116

0.20273255 0.0078655415

2 6.0 1.7917595 - 0.020410950

0.182321603 5.0 1.6094379

i xi f (xi)Primera

diferencia dividida

Segunda diferencia dividida

Tercera diferencia dividida

0 1.0 0.000000000.46209813

1 4.0 1.3862944 - 0.051873116

0.20273255 0.0078655415

2 6.0 1.7917595 - 0.020410950

0.182321603 5.0 1.6094379

Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2,

x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con

b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da:

f3 (x) = 0 + 0.46209813 (x - 1) - 0.0518731 (x - 1) (x - 4)

+ 0.0078655415 (x - 1) (x - 4) (x - 6)

Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=2, f3(2) = 0.62876869, lo que representa un error del

εa % = 9.3%.

Ejemplo 2:

Usando la siguiente tabla de datos, calcúlese log 5

con un polinomio de interpolación de Newton de tercer grado:

X f(X)

X0=4 0.60206

X1=4.5 0.6532125

X2=5.5 0.7403627

X3=6 0.7781513

Solución:

Nuevamente debemos recordar que el polinomio con n = 3, es:

Las primeras diferencias divididas del problema son:

A continuación se facilitará la tabla con las diferencias divididas

Las segundas diferencias divididas son:

La tercera diferencia dividida es:

i xi f (xi)Primera

diferencia dividida

Segunda diferencia dividida

Tercera diferencia dividida

0 4 0.606020.094385

1 4.5 0.6532125 - 0.0048232

0.0871502 -0.001446065

2 5.5 0.7403627 - 0.00771533

0.07557723 6 0.7781513

Los resultados para f(x1, x0), f(x2, x1, x0) y f(x3, x2,

x1, x0) representan los coeficientes b1, b2 y b3 Junto con

b0 = f (x0) = 0.0, la ecuación da:

f3 (x) = 0.60602 + 0.094385 (x - 4) - 0.0048232(x – 4) (x – 4.5)

-0.001446065 (x - 4) (x –4.5) (x – 5.5)

Con la ecuación anterior se puede evaluar para x=5, f3(5) = 0.6983549163, lo que representa un error del

εa % = 0.087999%.