Análisis Matemático II

INTEGRALES INDEFINIDAS

Temas:

• La antiderivada o primitivas.

• La Integral indefinida.

• Propiedades de la Integral Indefinida.

• Integración directa

Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui

Propósitos:

Determina la antiderivada defunciones.

Define las gráficas de lasantiderivadas.

Calcula integrales inmediatasusando sus propiedades

Primitivas o Antiderivadas

Definición: Una función F se llamaantiderivada de una función f en unintervalo I, si la derivada de F es f;esto es: F´(x) = f(x) para todo x en I.

Observación:

De la definición se ve que F no es única.

Para que F´(x) exista, la función F(x) debe sercontinua.

Interpretación geométrica

Ejemplo ilustrativo:

Calcule la antiderivada más general de la siguiente función:26)( xxf

Interpretación geométrica

Interpretación geométrica

Interpretación geométrica

Teorema

Si F es una antiderivada de f en unintervalo I, la antiderivada másgeneral de f en I es:

F (x)+ C

donde C es una constante arbitraria.

El conjunto de todas las antiderivadas se denomina: la Integral Indefinida de f respecto a x, denotada por:

CxFdxxf )()(

Símbolo de Integral

Función integrando

Diferencial de x

Una antiderivada de f

Constante de integración

Ejemplo 1

Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

xxfd

c

exf

a

x

cos)( )

x

1f(x) )

)(b)

8xf(x) ) 3

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

1. Del múltiplo constante:

dxxfkdxxkf )()(

2. De la suma o diferencia:

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(CUIDADO:

Fórmulas de integración

Cxdxx ln12.

Cn

xdxx

nn

1

1

1. Ejemplos

Ejemplos3. Ck

edxe

kxkx

Fórmulas de integración

Ck

kxdxkxsen

)cos()(

Ck

kxsendxkx

)()cos(4.

5.

Ejemplos:

6. Ck

kxdxkx

)tan()(sec2

7. Cxdxx

)arctan(1

12

Ejemplo 2

Determine:

dxxsenc

dxeb

dxxa

x

)3()

)

)

2

5