integral indefinida apunte (1)
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Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco Facultad de Ciencias Econmicas- Comodoro Rivadavia- MATEMTICA I - Integrales- Balocchi- 2012
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INTEGRAL INDEFINIDA
Integrar es el proceso recproco del de derivar, es decir, dada una funcin f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).
Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x).
Si una funcin f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferencindose todas ellas en una constante.
[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una funcin.
Se representa por f x dx y se lee integral de x diferencial de x.
es el signo de integracin, f (x) es el integrando o funcin a integrar, dx es diferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra. C es la constante de integracin y puede tomar cualquier valor numrico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
f x dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una funcin es correcta basta con derivar.
Ejemplo: 2x
x dx C2
, entonces derivando: x2 0 x2
Integrales inmediatas usadas frecuentemente
dx x C 1
1
mmx
x dx Cm
1
2dx x Cx
x xe dx e C ln
xx aa dx C
a
1lndx x C
x
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Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin.
k f(x) dx = k f(x) dx
Ejemplos:
1. 1
2 2 1 55 5 5 5 1
xx dx x dx C C C
x x
2. 2 2 2 2 2 2 22 2 + a bx dx a abx b x dx a dx abx dx b x dx
2 32 2 2 2 22 + b 2
2 3
x xa dx ab x dx x dx a x ab b C
3. 1 1
1 lnx
dx dx x x Cx x
4. Resolver : 52 2
1dx
x x ( RTA: -5/7 (x -7/5) + C)
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METODOS DE INTEGRACION (Veremos los mtodos por sustitucin de variables y por partes)
POR SUSTITUCION DE VARIABLES
El mtodo de integracin por sustitucin o cambio de variable se basa en la derivada de la funcin compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable, por ejemplo: t, de modo que se obtenga una integral ms sencilla.Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos trminos:
Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:
Ejemplos
1. ln
lnx
xt te dx e dt e C e Cx
, habiendo hecho esta sustitucin: ln(x) = t,
entonces 1/x dx = dt, luego dx= x dt.
2.
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4
23 2
3
12
22 2
1
23
1
2
3 llamamos 5 1 por lo tanto 15
5 1
3 1 1 1,sustituyendo:
5 5 515 15
1 2 2 5 1
5 5 5
xdx x u x dx du
x
du x du du dudx u du
x xu u u
uC u C x C
3.
INTEGRACIN POR PARTES Sean u = u(x), v = v(x) dos funciones continuas en un intervalo [a, b] (o en todo R). La derivada del producto es:
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(u v) = vu + uv
Integrando los dos miembros de la igualdad:
uv dx vudx uvdx , entonces
uv u dv v du uv v du u dv La expresin obtenida, denominada frmula de integracin por partes, se utiliza para transformar una integral en otra ms sencilla.
Ejemplos:
1. 1 1 1
= 3 3 3 3
xxe x dx e x dx u dv uv v du .
Cmo llamaremos a cada una de las partes?
ex dx = dv , x = u
ex = v , dx = du:
1 1
= 3 3
u dv [ x ex - dx xe ]= 1/3 ex (x-1) + C
2. 3 xx e dx
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Ejercicios propuestos:
1.
2. 2 52 ( 3)x x dx
3. 1
21 x x dx
4. 2( )xe x dx
5.
32ln( ). dxx x
6. dxx
e x
2
1
7.