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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR MATEMATICA II

FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CICLO II / 2015

UNIDAD I: INTEGRAL INDEFINIDA LA ANTIDERIVADA

El Concepto operativo de LA ANTIDERIVADA se basa en una operación contraria a la derivación.

Definición Se dice que una función F es una antiderivada de una función f si ( ) ( )F x f x en algún

intervalo.

Ejemplo 1: La antiderivada de

2

1

2

2

2

3

2

4

2

( ) 3

( )

( ) 1( ) 2 puede ser

( ) 2.72

( )n

F x x

F x x

F x xf x x

F x x

F x x C

En general la antiderivada de la función f es una familia de funciones que en el ejemplo

anterior está representada por 2( )F x x C donde C es una constante cualquiera

Notación

La antiderivada de f se representa por ( ) ( )f x dx F x C donde:

Al símbolo se le llama símbolo de la integral

A la expresión ( )f x dx se le llama integral indefinida de ( )f x con

respeto a x

La función ( )f x se denomina integrando.

Al número C se le llama constante de integración

dx es el diferencial de “x” e indica la variable respecto a la cual se integra.

Recordemos que : ( )si y f x , entonces ( )dy

f xdx

, luego ( )dy f x dx

Al término dy se le denomina diferencial de la variable dependiente.

Reglas para diferenciales Si ( ) y ( )u f x v g x entonces

) ( ) y ( )a du f x dx dv g x dx

b) ( ) ( ( ) ( ))

=( ( ) ( ))

= ( ) ( )

( ) =

d u v d f x g x

f x g x dx

f x dx g x dx

d u v du dv

Unidad I: Integral definida Métodos de integración Ciclo II /2015

2

2

) u vdu udv

d dv v

Ejemplo 2: Si cos(5 )y x entonces la 5 (5 )dy sen x dx

El proceso de encontrar una antiderivada recibe el nombre de antidiferenciación o integración. Ejercicio 1: Verifique para cada unos de los problemas siguientes que la antiderivada o integral indefinida de f es F

a) 5 (5 ) 10 cos(5 ) 10sen x dx x x C

Solución Observemos que:

( ) 5 (5 ) 10

( ) cos(5 ) 10

( ) 5 (5 ) 10

por lo tanto ( ) ( )

f x sen x

F x x x C

F x sen x

F x f x

b) (2 ) (2 )2cos(2 ) sen x sen xx e dx e C

c) 1 2

2 4

6tan (1 3 )

2 6 9

xdx x C

x x

) ( ) ( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

c d uv d f x g x

f x g x g x f x dx

f x g x dx g x f x dx

d uv udv vdu


3

d) 2 1 2 12 (3 ) 3cos(3 ) (3 )x xe sen x x dx e sen x C

e) sec( ) ln sec( ) tan( )x dx x x C

f) csc( ) ln csc( ) cot( )x dx x x C

Propiedades de la integral indefinida Si ( ) ( ) y ( ) ( )F x f x G x g x , entonces

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx F x G x C

2. ( ) ( ) ( )k f x dx k f x dx k F x C , para cualquier constante k

Ejemplo :

a) 3 3( ) ( )x sen x dx x dx sen x dx

b) 14csc( ) 14 csc( )x dx x dx

c) 4 45 520 3cos( ) 20 3 cos( )

8 8x x dx x dx x dx dx

Algunas antiderivadas básicas conocidas

1.

1

1

nn x

x dx Cn

2. ( ) cos( )sen x dx x C

3. cos( ) ( )x dx sen x C

4. 2sec ( ) tan( )x dx x C


4

5. sec( ) tan( ) sec( )x x dx x C

6. 2csc ( ) cot( )x dx x C

7. csc( )cot( ) csc( )x x dx x C

8. 1

2

1( )

1dx sen x C

x

9. 1

2

1tan ( )

1dx x C

x

10. 1

2

1sec ( )

1dx x C

x x

11. x xe dx e C

12. ln( )

xx a

a dx Ca

13. 1

lndx x Cx

14. sec( ) ln sec( ) tan( )x dx x x C

15. csc( ) ln csc( ) cot( )x dx x x C

Ejercicio 2: Evaluar cada una de las integrales indefinidas siguientes

a) 5x dx

b) 4 xdx

c) 3

1x dx

x

d) 1

5 cos( )x x dxx


5

e) 2

11

1

xe dxx

f)

2 31 x xdx

x

g) 2sec( ) tan( ) sec ( ) 1x x x dx

h) 5u du

i) sec( ) tan( )u u du

j) udu

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Existen técnicas para evaluar integrales indefinidas como las del ejemplo 1

INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE

( U SUSTITUCION )

Algunas integrales se pueden llevar a la forma ( ( )) ( )f g x g x dx , las cuales pueden

resolverse haciendo ( )u g x y ( )du g x dx , lo cual se convierte

( ( )) ( ) ( )f g x g x dx f u du La integral de la derecha es una de las 15 fórmulas

= ( )F u c básicas

= ( ( ))F g x c Regresamos a la variable original


6

Ejemplo 3: Evaluar 5

2 3x dx

Solución

2 3

2

2

u x

du dx

dudx

5 5

5 1

6

6

2 32

1 esta es una integral básica (la número 1 de la pag 3). Sólo que con variable

2

1 =

2 5 1

1 =

2 6

1 = Luego hay que regr

12

dux dx u

u

uC

uC

u C

5u du

6

esar a la variable original.

1 = 2 3 , ya que 2 3

12x C u x

Ejercicio 3: Evaluar las siguientes integrales

a) cos(7 )x dx

b) 32 2 tan( )sec ( ) 3 x xx x e dx

c)

624 3

xdx

x


7

d) 212sec (15 )x dx

e) Evaluar 23xxe dx

f) 2

6

24

1 64

xdx

x

g) Evaluar 2sec x

dxx

h) Evaluar 2

23

dv

v v


8

i) 2 1x x dx

j) dx

x x

k) 2

4

6 10

udu

u u

l) 3

6 1

3 2

xdx

x


9

INTEGRACION POR PARTES Sea ( ) , ( )u u x v v x funciones diferenciables (derivables)

( )

( )

d uv udv vdu

udv d uv vdu

udv uv vdu

La fórmula anterior es útil cuando vdu es más fácil de calcular que udv .

La clave de esta fórmula en una integración consiste en saber distinguir a quien llamarle

“u” y a quien llamarle “dv”

Un recurso bastante útil es la frase siguiente:

ILATE : Inversa Logarítmica Algebraica Trigonométrica Exponencial.

Nos da la pauta de a que expresión llamarle “u”

Ejemplo 4: 3xxe dx

En este caso tenemos una algebraica: x y una exponencial 3xe . Entonces llamaremos u

a la algebraica (aparece primero en la frase ILATE)

Luego, si u x du dx , entonces dv es el resto, es decir, 3xdv e dx . De ahí que

3xv e dx 3

3

xe

Por lo tanto, aplicando la fórmula

3 33

3 3

3 3

3 9

x xx

x x

udv uv vdu

e exe dx x dx

xe ec

Ejercicio 4: 3 ln( ) ?xx dx 3

4

ln( )

1

4

u x dv x dx

xdu dx v

x


10

Ejercicio 5: 1tan ( )x dx

Ejercicio 6: cos( )x x dx

Ejercicio 7: 2 ( )xe sen x dx

Ejercicio 8: 2 ln( )x x dx


11

INTEGRACION DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Identidades trigonométricas básicas

1) 2 2cos ( ) ( ) 1x sen x

2) ( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a

3) ( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a

4) cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b

5) cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b

Si en la identidad 2) se hace a b x

( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a

( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen x x sen x x sen x x

6) (2 ) 2 ( )cos( )sen x sen x x

Si en la identidad 4) se hace a b x

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )x x x x sen x sen x

7) 2 2cos(2 ) cos ( ) ( )x x sen x

De la identidad 1) obtenemos


12

8) 2 2( ) 1 cos ( )sen x x

9) 2 2cos ( ) 1 ( )x sen x

Sustituyendo estas últimas dos identidades en la identidad 7) obtenemos

2 2cos(2 ) cos ( ) ( )x x sen x

2 2cos(2 ) cos ( ) 1 cos ( )x x x

2cos(2 ) 2cos ( ) 1x x

2cos(2 ) 1 2cos ( )x x

10) 2 1 cos(2 )cos ( )

2

xx

2 2cos(2 ) cos ( ) ( )x x sen x

2 2cos(2 ) 1 ( ) ( )x sen x sen x

2

2

cos(2 ) 1 2 ( )

2 ( ) 1 cos(2 )

x sen x

sen x x

11) 2 1 cos(2 )( )

2

xsen x

Sumando la identidad 2) y 3) obtenemos

( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a ( ) ( )cos( ) ( )cos( )sen a b sen a b sen b a

( ) ( ) 2 ( )cos( )sen a b sen a b sen a b

12) ( ) ( )

( )cos( )2

sen a b sen a bsen a b

Sumando la identidad 4) y 5) obtenemos

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b cos( ) cos( ) 2cos( )cos( )a b a b a b

13) cos( ) cos( )

cos( )cos( )2

a b a ba b

Si a al identidad 5) le restamos la identidad 4) obtenemos cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b


13

( )cos ( )m nsen x x dx

cos( ) cos( )cos( ) ( ) ( )a b a b sen a sen b

cos( ) cos( ) 2 ( ) ( )a b a b sen a sen b

14) cos( ) cos( )

( ) ( )2

a b a bsen a sen b

Otras identidades importantes y fáciles de verificar son:

15) 2 21 tan ( ) sec ( )x x

16) 2 21 cot ( ) csc ( )x x

Con la ayuda de las identidades anteriores pueden evaluarse integrales del tipo

Para ,estas integrales se distinguen dos casos Caso I : m ó n es un entero positivo impar

Supóngase por ejemplo que m es impar. Escribiendo 1( ) ( ) ( )m msen x sen x sen x

1( )cos ( ) ( )cos ( ) ( )m n m nsen x x dx sen x x sen x dx

Se transforma la expresión 1( )msen x en términos que contengan cosenos con la ayuda de

las identidad 2 2( ) 1 cos ( )sen x x . Luego haciendo ( )u sen x se resuelve la integral.

Observación: si m es impar no importa el valor de n , es decir n puede ser cualquier

número real. De forma similar si n es impar

Ejercicio 9 :Evaluar 3 4( )cos ( )sen x x dx

Solución


14

Ejercicio 10 :Evaluar 3cos ( )x dx

Ejercicio 11: Evaluar 4 3( )cos ( )sen x x dx

Ejercicio 12: 35 cos( ) ( )x sen x dx


15

Ejercicio 13: 5

3

cos ( )

( )

xdx

sen x

Caso II: tanto m como n son enteros pares no negativos

Cuando m y n , son enteros pares no negativos, la evaluación de ( )cos ( )m nsen x x dx

depende de las identidades 2 1 cos(2 )cos ( )

2

xx

y 2 1 cos(2 )

( )2

xsen x

Ejercicio 14: Evaluar 2 2( )cos ( )sen x x dx

Ejercicio 15: Evaluar 4 ( )sen x dx


16

Ejercicio 16: Evaluar 6cos ( )x dx

Para evaluar integrales de la forma tan ( )sec ( )m nx x dx se consideran cuatro

casos Caso I : si n es un entero positivo par

Se separa un factor 2sec ( )x y se transforma el resto a factores tan( )x para ello se utiliza

la identidad 2 21 tan ( ) sec ( )x x . Luego se hace tan( )u x

Observación:

En el caso que n sea par, m puede ser cualquier número real

Ejercicio 17: Evaluar 43 tan( ) sec ( )x x dx

Ejercicio 18: Evaluar 4 6tan ( )sec ( )x x dx


17

Ejercicio 19: Evaluar 4sec ( )x dx

Caso II : para resolver integrales tan ( )m x dx donde m es un número par

Se separa un factor 2tan ( )x y se transforma en términos de sec( )x utilizando la identidad

2 21 tan ( ) sec ( )x x . Luego se utiliza el caso I y se repite el proceso si es necesario.

Ejercicio 20: Evaluar 4tan ( )x dx


18

Caso III : si m es un entero positivo impar

Entonces la tan ( )sec ( )m nx x dx se resuelve separando un factor tan( )sec( )x x y

transformando el resto a factores sec( )x para ello se utiliza la identidad 2 21 tan ( ) sec ( )x x

de la cual se despeja 2 2tan ( ) sec ( ) 1x x . Luego se hace sec( )u x

Observación:

en el caso que no contenga el factor sec( )x se multiplica y divide por el factor

sec( )x y luego se separa el factor tan( )sec( )x x

Ejercicio 21: Evaluar 3 5tan ( )sec ( )x x dx

Ejercicio 22: Evaluar 5tan ( )x dx


19

Ejercicio 23: Evaluar 3sec( ) tan ( )x x dx

Caso IV: si m es par y n es impar

Entonces la tan ( )sec ( )m nx x dx , escribimos el integrando en términos de sec( )x y se

aplica integración por partes.

Ejercicio 24: Evaluar 2tan ( )sec( )x x dx


20

OBSERVACIONES:

1. Las integrales del tipo cot ( )csc ( )m nx x dx se tratan de forma análoga a las

integrales de la forma tan ( )sec ( )m nx x dx 2. Cuando se tenga una integral de potencias trigonométricas que no

corresponden a ninguno de los casos anteriores, se transforma el integrando a potencias de seno y coseno.

3. Cuando se tenga integrales de la forma

a) cos( )cos( )ax bx dx

b) ( ) ( )sen ax sen bx dx

c) ( )cos( )sen ax bx dx

Se utiliza las identidades 12, 13 y 14 de la página 13

Ejercicio 25: Resolver 2 3sec ( )cos ( )x x dx

Ejercicio 26: Resolver (5 )cos(3 )sen x x dx


21

Integración por sustitución trigonométrica

Si el integrando contiene una expresión de la forma 2 2 2 2 2 2, ,a u a u u a , donde

0a , es posible, a menudo, realizar la integración por medio de una sustitución trigonométrica

Si el integrando contiene Hacer la sustitución

2 2a u ( )u a sen ,

2 2

2 2a u tan( )u a ,

2 2

2 2u a sec( )u a , 0

2 2

Ejemplo 5: Calcular 2

1

9dx

x x

Solución: (una forma)

Notemos que el integrando contiene la expresión 2 2a u

2

2 2

9 3a a

u x u x

Luego la sustitución que hay que hacer es 3tan( )x

Ahora hay que cambiar la variable x por la nueva variable

Para ello hacemos uso de la sustitución que se hizo al inicio 3tan( ) tan( )3

xx

Es decir

ya que la tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es ”cateto opuesto” entre el cateto adyacente.

Observemos que el integrando es 2

1

9x x y utilizando el triángulo rectángulo

buscamos una razón trigonométrica más adecuada para sustituir 29 x .

De ahí que

2

2

9sec( )

3

9 3sec( )

x

x

Luego hay que sustituir, también x y también dx

Recordando que 3tan( )x , entonces 23sec ( )ddx


22

2

2

2

9

2

1 13sec

3tan 3sec9

3sec

3tan 3sec

1

sec( ) 1 cos( )

( )3 tan( ) 3

cos( )

csc( )

1ln csc( ) cot( )

3

dx

x x

dx dx x

d

dd

sen

d

C

Ahora hay que regresar de nuevo a la variable original y para ello utilizamos nuevamente el triángulo rectángulo construido anteriormente

2

2

cot( )csc( )

1 1 9 2ln

39

xdx C

x xx x

Ejercicio 27: 2 24

dx

x x

Solución


23

Ejercicio 28: 24 9x dx

Solución


24

Ejercicio 29:

3/ 2

24 9

dx

x

Solución

3/ 2 3/ 2

2 2 24 9 (2 ) 3

dx dx

x x

Ejercicio 30:

3/ 22 8 25

dx

x x


25

INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

Introducción Es normal efectuar la siguiente operación con fracciones

4 3 4( 3) 3( 2)

2 3 ( 2)( 3)

x x

x x x x

4 12 3 6

( 2)( 3)

4 3 7 6

2 3 ( 2)( 3)

x x

x x

x

x x x x

Notemos que para calcular 7 6

( 2)( 3)

xdx

x x

resulta más fácil efectuar la suma de

integrales 4 3

2 3dx dx

x x

= 4ln 2 3ln 3x x C

Para integrar funciones racionales propias ,P

d o n d e P e s d e m e n o r g r a d o q u e QQ

, con

frecuencia, se necesita expresarlas como la suma de cocientes simples, llamados fracciones parciales. En el caso de que el polinomio del numerador sea de grado mayor o igual al grado del polinomio del denominador, primero de hace la división y luego se expresa como fracciones parciales Caso I : Factores lineales no repetidos

( )

( )

P xdx

Q x , donde ( )Q x está expresado mediante factores lineales, es decir, de la forma

ax b , a y b reales.

Si Q es de grado n , entonces ( )Q x tendrá n raíces (n factores) y el número de fracciones

parciales será n. La descomposición en fracciones es:

1 2

1 1 2 2

( )...

( )

n

n n

AA AP x

Q x a x b a x b a x b

, donde 1 2, ,...,. nA A A son constantes por determinar-

La integración se reduce entonces a una suma de integrales de la forma

lnA A

dx ax b Ca x b a

Ejercicio 31: 3

2 1

7 6

xdx

x x

Solución


26

Caso II : Factores lineales repetidos

( )

( )

P xdx

Q x , donde ( )Q x tiene sólo factores lineales, pero algunos de ellos repetidos. A cada

factor de la forma s

ax b le corresponde en la descomposición la suma

31 2

2 3... s

s

A AA A

ax b ax b ax b ax b

, siendo 1 2, ,..., sA A A constantes por determinar. El

número de fracciones parciales siempre será igual al grado de ( )Q x .


27

Ejercicio 32: 2

2

2 3

( 1)

xdx

x x

Solución:

Ejercicio 33: 2

3 2

4 8?

2

x xdx

x x x

Solución


28

Caso III : Factores cuadráticos irreducibles no repetidos Por factor cuadrático irreducible de un polinomio P se entiende una expresión de la forma

2ax bx c si su discriminante 2 4 0b ac . Por ejemplo, 2 3 4x x es un factor cuadrático

irreducible ya que 2

3 4(1)(4) 0 . Por cada factor cuadrático irreducible se tendrá dos

fracciones parciales:

2(2 1)

2 2 2

1 (4 ))

2 1 2 1 2 1

d x

dx

A x Ba

x x x

2 2( 2 5) ( 2)

2 2 2 2 2 2

1 (2 2) (2 ))

( 2 5)( 2) 2 5 2 5 2 2

d x x d x

dx dx

A x B C x Db

x x x x x x x x x

Observemos que el número de fracciones siempre es igual al grado del polinomio del denominador.

Ejercicio 34: 3 2

2 2

7 20 35 13?

( 4 13)

x x xdx

x x x

Solución


29

Caso IV : Factores cuadráticos irreducibles repetidos

2(2 1)

2 2 22 22 2 2

1 (4 ) (4 ))

2 1 2 12 1 2 1 2 1

d x

dx

A x B C x Da

x xx x x

2( 2 5)

2 3 2 2

2 22 2

3 32 2

1 (2 2))

( 2 5) 2 5 2 5

(2 2)

2 5 2 5

(2 2)

2 5 2 5

d x x

dx

A x Bb

x x x x x x

C x D

x x x x

E x F

x x x x

Ejercicio 35:

2

2 2

4?

1 ( 2 2)

x xdx

x x x

Solución


30

USO DE TABLAS DE INTEGRACION

Ejercicio 36: Resolver las siguientes integrales haciendo uso de tablas

a) ln( )x x dx b)

2 (3 )xe sen x dx

c)

3 2xx e dx d) 25

dx

x x x

e) 2

3

2 5 2dx

x x f)

1( )xsen x dx

g)

2 (3 )sen x dx h) 3/2

25

dx

x

j)

5tan ( )x dx k) 2 3x xdx

l)

14 2 1x x dx

m) 2 2

dx

x x x

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